Definite Integral: Calculus Tutorial with Examples

Определённый интеграл.
Криволинейная трапеция. Понятие определённого интеграла.
y = f(x)
y
x=a
x=b
Пусть y = f(x) непрерывная
функция на отрезке [a;b]
0
a
b
x
Криволинейная трапеция- это фигура, ограниченная
графиком непрерывной неотрицательной функции f(x),
x∈[a;b], параллельными прямыми x=a и x=b и отрезком
оси ОХ.
Найдём площадь криволинейной трапеции.
y = f(x)
1) Разобъем отрезок [a;b] точками xi
(a = x0<x1<x2<…<xn-1< xn= b) на n
отрезков [a;x1], [x1;x2],…,[xn-1;b]
y
2) Пусть длина отрезка
xi  xi  xi 1 , i  1,2,..., n
i
1
0 a=x0 x1
xi-1
n
x
xi xn-1 b=xn
3) Проведём через точки xi
прямые, параллельные оси ОУ.
4) В каждом отрезке [xi-1;xi] возьмём произвольную точку
вычислим значение функции в ней, т.е. f(ξi)
ξi
и
y = f(x)
y
5) Произведение f ( i )  xi равно
площади
прямоугольника
с
основанием Δxi и высотой f(ξi).
i
1
0 a=x0 x1
xi-1
n
x
xi xn-1 b=xn
6) Составим сумму всех таких
произведений (интегральная сумма):
n
f (1 )  x1  f ( 2 )  x2  ...  f ( n )  xn   f ( i )  xi  S n
i 1
7) Интегральная сумма приближенно равна площади криволинейной
трапеции, т.е.
n
S  S n   f ( i ) xi
i 1
y = f(x)
y
8) Пусть  длина наибольшего из
отрезков [ xi-1;xi]:
0 a=x0 x1
9) При
предел
x
i
1
xi-1
  max xi , i  1,2,..., n
xi xn-1 b=xn
n     max xi  0 
интегральная сумма имеет
n
S  lim S n  lim  f ( i )  xi
n
 0
( n   ) i 1
n
S  lim S n  lim  f ( i )  xi
y = f(x)
y
 0
n
( n   ) i 1
определённый интеграл
S
0
a
b
x
n
b
( n   ) i 1
a
lim  f ( i )  xi   f ( x ) dx
 0
Геометрический смысл определённого интеграла:
определённый интеграл представляет собой площадь
криволинейной трапеции
b
S   f ( x ) dx
a
b
 f ( x) dx - определённый интеграл
a
f (x) - подынтегральная функция
f ( x) dx - подынтегральное выражение
х – переменная интегрирования
a– нижний предел интегрирования
b– верхний предел интегрирования
пределы
интегрирования
Свойства определённого интеграла.
• 10. Постоянный множитель можно выносить
за знак определённого интеграла:
b
b
a
a
 k  f ( x) dx  k   f ( x) dx , k  const
• 20. Определённый интеграл от алгебраической
суммы двух или нескольких функций равен
алгебраической сумме их интегралов, т.е
b
b
b
a
a
a
  f ( x)  g ( x)  dx   f ( x) dx   g ( x) dx
• 30. При перестановке пределов интегрирования,
знак интеграла меняется на противоположный,
т.е.
b
a
 f ( x) dx    f ( x) dx
a
b
• 40. Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и
a<c<b, то
b
c
b
 f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx
a
a
y
y = f(x)
S2
S1
0
a
с
b
x
c
Формула Ньютона-Лейбница
b
b
f
(
x
)
dx

F
(
x
)
a  F (b )  F ( a )

a
знак двойной подстановки
Метод непосредственного интегрирования.

Пример 1. Вычислить интеграл
 sin x dx
0


0
sin
x
dx


cos
x

cos
x
0
  cos 0  cos   1  ( 1)  2

0
Ответ. 2
x3 x
1 x dx
8
Пример 2. Вычислить интеграл
x x
8
8
3
dx

dx

x
dx

x

3
x
1
1 
1 x
1 1
8
3
8
8

2
3
 (8  1)  3(3 8  3 1)  7  3 (2  1)  4
Ответ. 4
Метод подстановки
(метод замены переменной).
Теорема.
b
Пусть дан интеграл  f ( x ) dx , где функция f(x)
a
непрерывна на отрезке [a;b].
Введём новую переменную x   (t )
Если
1)  ( )  a ,  ( )  b
2)  (t ) ,  (t )
3)
непрерывны на отрезке
 ;  
f  (t )  определена и непрерывна на отрезке  ;  
то
b

 f ( x) dx   f  (t )  (t ) dt
a
Замечание.
1) При вычислении определённого интеграла методом
подстановки возвращаться к старой переменной не
требуется;
2) Часто вместо подстановки
подстановку t  g (x) ;
x   (t )
применяют
3) Не следует забывать менять пределы интегрирования
при замене переменных!
2
2 x dx
 2 x  1
Пример 3. Вычислить интеграл
1
2
2
2x2 1  t


d 2 x  1  dt
2
4 x dx  dt
1
2 x dx  dt
2
  2  ( 1) 2  1  3
  2  22  1  9
2
9
9
1 dt 1  2
1 2 x 2  1 2  2 3 t 2  2 3 t dt 

2 x dx

1
1
1 1 1
1 9 1 3


 

3 
9 
2  3 2  9 6 18 9
2t
2t
1
Ответ.
9

Пример 4. Вычислить интеграл
2

cos x  cos 3 x dx
0

2



2
2
cos x  cos x dx   cos x (1  cos x ) dx   cos x  sin 2 x dx 
3
0
2
0
0

cos x  t
d cos x   dt
2
0
1
0
1
0
1
2
  cos x sin x dx    t dt   t dt 
 sin x dx  dt
  cos 0  1

  cos  0
2

t
3
3
2
2
1
0

2
3 t
1
3 0
2

3
Ответ.
2
3
5
Пример 5. Вычислить интеграл
x 1  t

d ( x  1)  dt
dx  dt
  11  0
  5 1  4
 x x  1 dx
1
x  t 1
5
4
1
0
 x x  1 dx   (t  1) t dt 
4
3
2
4
1
2
2 5 4 2 3 4
  t dt   t dt 
t 0
t 0
5
3
0
0
2 2
2
2
2
272
4
4
 t t 0  t t 0  16  2   4  2 
5
3
5
3
15
272
Ответ.
15
Метод интегрирования по частям.
Теорема.
Если функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы на
отрезке [a;b], то имеет место формула
b
b
a
a
b
u
dv

uv
a   v du

e
Пример 6. Вычислить интеграл
 x ln x dx
1
e
e
e
x2
1 x2
x2
1
e
e
1 x ln x dx  2 ln x 1  2 1 x dx  2 ln x 1  2 1 x dx 
u  ln x

 du  dx

x
dv  x dx 

2
x 
v
2 
2
 e2
  e2 1  e2 e2 1 1  e2
x2
x
1
e
e
  ln e  ln 1        

ln x 1 
1
2
4
2
4
 2
  4 4 2 4 4

Пример 7. Вычислить интеграл


0
0
0
x
x

x
e
sin
x
dx


e
cos
x

e
0

 cos x dx 
u  e x
dv  sin x dx 


x
v   cos x 
du  e dx

  e x cos x 0  e x sin x 0   e x sin x dx 
0
u  e x
dv  cos x dx


x
v  sin x 
du  e dx
x
e
 sin x dx

Пусть
F ( x )   e x sin x dx
0
Тогда
F ( x)  e x cos x 0  e x sin x 0  F ( x)
2 F ( x)  e x cos x 0  e x sin x 0
2 F ( x)  e 0 cos 0  e cos   e sin   e 0 sin 0  1  e
1  e
F ( x) 
2

Ответ.

1

e
x
e
0 sin x dx  2