Площадь трапеции: формула и решение задач

аb
S 
h
2
Назеренко Л. И., учитель математики ОУ БМСОШ№1
Благовещенского района Алтайского края
Цель урока:
Вывести формулу площади
трапеции показать её применение в
процессе решения задач.
Совершенствовать навыки в
решении задач
Девиз:
«О, геометрия, ты вечна!
Гордись, прекрасная собой!
Твое величье бесконечно!»
Там, где с морем сливается Нил,
В древнем жарком краю пирамид
Математик греческий жил –
Многознающий, мудрый Евклид.
Геометрию он изучал,
геометрии он обучал.
Написал он великий труд.
Эту книгу «Начала» зовут.
02.04.2026
4
Свойство площадей
равных фигур
Равные
многоугольники
имеют равные
площади
Свойство площадей
Если
многоугольник
составлен из
нескольких
многоугольников,
то его площадь
равна сумме
площадей этих
многоугольников
Формулы площадей
а
Квадрат
Прямоугольник
Параллелограмм
Треугольник
S = a2
S=a·b
b
a
S=a·h
h
a
S=½a·h
h
a
Еще 4-5 тыс.лет назад вавилоняне
умели определять площадь трапеции
в квадратных единицах.
Древние египтяне 4000 лет назад
пользовались почти теми же
приемами, что и мы: сумма
параллельных сторон делилась
пополам и умножалась на высоту.
02.04.2026
8
Определение площадей геометрических
фигур - одна из древнейших
практических задач.
Правильный подход к их решению
был найден не сразу.
Один из самых простых и доступных
способов вычисления площадей был
открыт Евклидом.
При вычислении площадей он
использовал простой прием,
называемый методом разбиения.
02.04.2026
9
Вычисление площадей на Руси
Потребность измерения площадей привела к
созданию на Руси рукописей геометрического
содержания чисто практического характера в
XVI веке.
В рукописи «Книга сошного письма» собраны
правила измерения площадей. Трапеция:
площадь трапеции выражается произведением
полусуммы оснований на «хобот», т.е. на
боковую сторону, что тоже неверно.
Вопреки сохранившимся рукописям создание
«русскими мастерами каменных дел»
различных сооружений кремлевских стен и
башен, храмов говорит о том, что эти мастера
02.04.2026
10
• Что называется трапецией?
• Что такое основания трапеции?
• Как называют две другие стороны?
• Какие виды трапеций знаете?
«Трапеция» - слово греческое,
означающее в древности «столик».
Отсюда идет название трапеза, трапезная.
В «Началах» Евклида (III в.до н.э.)
трапеция – любой четырехугольник (не
параллелограмм). Трапеция в нашем
смысле встречается впервые у
древнегреческого математика Пасидона.
Только в XVIII веке это слово
приобретает современный смысл.
Четыре яркие звезды созвездия α, β, γ и δ
располагаются в вершинах трапеции – туловища
льва. А голову льва образуют звезды,
располагающиеся в виде серпа. Поэтому этот
астеризм и называется «серп».
B
8см
C
H
6см
30º
Решение:
A
K
D
трапеция ABCD состоит из 2 Δ: ΔABD и ΔBCD
Чтобы найти её площадь надо найти площади этих треугольников.
Проведём высоту BK в ΔABD
и DH в ΔBCD;
SABD =½ AD  BK
SABCD = SABD + SBCD
SBCD = ½ BC  DH
SABCD = ½ AD  BK + ½ BC  DH
= ½ BK (AD+BC)
SABCD= ½ BK(AD+BC)
BK- высота, AD,BC- основания
Теорема: Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на
высоту
Решить задачу
Дано:ABCD-трапеция
B
AD=12 см; BC=8см,
6см
AB=6 см, A=30°
A 30º
Найти: S ABCD
К
Решение:
ab
S
2
BC  AD
S ABCD 
 BK
2
8  12
2
S ABCD 
 3  30( см )
2
h
8см
C
D
• Дайте определение высоты трапеции:
а) Назовите высоту у прямоугольной
трапеции.
б) Сколько высот можно построить для
трапеции?
Что о них можно сказать?
Высота трапецииперпендикуляр,
проведённый из любой
точки одного из оснований
к прямой, содержащей
другое основание
A
BH- высота
CH1,DH2,MN-высоты трапеции
B
M
C
H2
D
H
N
H1
Задача №1
Найти площадь трапеции Sтрап.
ab
S
h
2
Задача №2
Найти площадь трапеции Sтрап.
B
2
C
ab
S
h
2
8
30º
A
16
К
D
Задача №3
Найти площадь трапеции Sтрап.
B
C
К
12
A
Е
ED=18
D
Задача №4
Найти площадь трапеции Sтрап.
AD=15
B
C
7
12
30º
A
H
D
№480(а)
17 см
Дано:ABCD-трапецияC
D H
AB=21 см
CD=17 см;
A
B
21 см
BH=7см-высота
Найти: S трапеции ABCD
Решение:
SABCD= BH×(AB+CD)÷2
SABCD= 7×(21+17)÷2=38×7÷2=19×7=133(см²)
Ответ:133 см²
№482
Дано:ABCD-трапеция
B
C
AB=CD, B=135°KD=3,4 см; AK=1,4 см 135°
BK-высота
Найти: S трапеции ABCD
Решение:
A 1,4 см
D
E
3,4
см
К
1)в ΔABK K=90º ABK=135º- KBC=45º
A=90º- ABK=45º
2) Проведём высоту СE,
тогда KBCE-прямоугольник и BC=KE,а ΔDCE-прямоугольный, D=45º
3) ΔABK=ΔDCE по гипотенузе и острому углу(AB=CD, A= D)
DE=AK=1,4 см, значит KE=2см, BC=2см
4) AD=AK+KD=1,4+3,4=4,8см
SABCD= BK×(BC+AD)÷2
SABCD= 1,4×(2+4,8)÷2=4,76(см²)
Ответ:4,76см²
Подведем итог:
1. На уроке вывели формулу трапеции.
Она имеет вид:
1
S трап = 2 ( AD  BC )  BH
2. Научились применять эту формулу для
решения задач.
П. 53
№ 480(б,в)
№ 481
Желаю успеха!
«К большому
терпению
придет
и уменье.»