Методические указания по расчёту переходных процессов в электротехнике

Министерство транспорта российской федерации
Федеральное агентство морского и речного транспорта
ФГОУ ВПО
«Новосибирская Государственная Академия
водного транспорта»
621.3
Г 687
С.В.Горелов, О.А.Князева, В.Ф.Тонышев
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Методические указания
и пример расчёта курсового проекта
Часть 2
Расчёт переходного процесса в линейной электрической цепи
Новосибирск 2010
УДК 621.3.01(07)
Г 687
Горелов, С.В. Теоретические основы электротехники: методические указания и пример расчёта курсового проекта в 2 ч. Часть 2.
Расчёт переходного процесса в линейной электрической цепи /
С.В.Горелов, О.А.Князева, В.Ф.Тонышев. – Новосибирск: Новосиб.
гос. акад. вод. трансп., 2010. – 35 с.
В методических указаниях приведены правила оформления
курсовых проектов; изложены основные положения и приведены
примеры расчёта переходных процессов классическим и операторным методами. Методические указания предназначены для студентов электротехнических специальностей ВУЗов.
Методические указания утверждены на заседании кафедры
«Электроэнергетические системы и электротехника» и рекомендованы к печати 26.06.2010 года (протокол № 15).
Рецензент: доцент кафедры «Электрооборудования и автоматики» ФГОУ ВПО «Новосибирская государственная академия водного транспорта» Кузнецов Б.З.
 Горелов С.В., Князева О.А.,
Тонышев В.Ф., 2010
 ФГОУ ВПО «Новосибирская
государственная академия
водного транспорта», 2010
2
Требования к оформлению курсового проекта
В состав курсового проекта входят пояснительная записка и
графический материал. Курсовой проект должен оформляться в
соответствии с требованиями ГОСТа.
Пояснительная записка составляется в процессе разработки
разделов курсового проекта, однако, ее окончательная компоновка
производится только по окончании всей работы.
1 Оформление пояснительной записки
1.1 Построение документа – записки
Пояснительная записка является документом и в соответствии со стандартом ГОСТ 2.105-95 выполняется на одной стороне
листа белой бумаги формата А4 (210 х 297 мм), одним из следующих способов: на печатной машинке, с применением печатающий
ЭВМ, рукописным.
При этом использованы ссылки на следующие стандарты:
ГОСТ 2.044-88 ЕСКД. Общие требования к выполнению конструкторских технологических документов на печатающих и графических устройствах вывода ЭВМ;
ГОСТ 2.104-69 ЕСКД. Основные надписи;
ГОСТ 2.106 - 96 ЕСКД. Текстовые документы;
ГОСТ 2.109 - 73 ЕСКД. Основные требования к чертежам;
ГОСТ 2.301 - 68 ЕСКД. Форматы;
ГОСТ 2.304 - 81 ЕСКД. Шрифты чертёжные;
ГОСТ 2.316 - 68 ЕСКД. Правила на чертежах надписей, технических требований и таблиц;
ГОСТ 2.321 - 84 ЕСКД. Обозначения буквенные;
ГОСТ 2.503 - 90 ЕСКД. Правила внесения размеров;
ГОСТ 8.417- 81 ГСИ. Единицы физических величин.
Абзацы в тексте начинаются отступом 15-17 мм.
При выполнении пояснительной записки рукописным способом текст должен быть написан аккуратно, разборчиво на бумаге
одного цвета и одними чернилами.
Текст может быть напечатан на ПК на одной стороне стандартного листа белой односторонней бумаги формата А4 размером
3
210x297 мм (60 знаков в строке, считая промежутки между словами).
Текст и другие отпечатанные и вписанные элементы по
насыщению должны быть чёрными, контуры букв и знаков – чёткими, без ореола и расплывающейся краски. Насыщенность букв и
знаков должна быть ровной в пределах строки, страницы и всей
пояснительной записки.
Текст на иностранных языках может быть целиком впечатан
или вписан от руки (примесь частично напечатанных отдельных
букв или цифр не допускается).
Формулы должны быть вписаны в текст, тщательно и разборчиво, полностью от руки, чёрными чернилами или чёрной тушью. Прописные и строчные, надстрочные и подстрочные индексы
в формулах должны обозначаться чётко. Размеры знаков для формул рекомендуются следующие: прописные буквы и цифры – 7-8
мм, строчные – 4 мм, показатели степени и индексы – не менее 2
мм.
Таблицы, рисунки, фотографии должны быть без пометок,
карандашных исправлений, пятен, трещин и загибов. Набивка буквы на букву и дорисовка букв чернилами не допускается.
Все страницы записки, включая иллюстрации и приложения,
нумеруются по порядку от титульного листа до последней страницы без пропусков и повторений. На фотографии должен быть проставлен номер страницы, на которой она наклеена.
Распечатку текста на компьютере производят через 1,5 интервала в текстовом редакторе, например, MS Word XP/2003/2007
(Windows 2000/XЗ/Vista) Используют Times New Roman Cyr, Courier New Cyr (кегль 14). Каждая страница текста должна содержать
порядка 1800 знаков (30 строк по 60 знаков в строке, считая каждый знак препинания и пробел между словами также за печатный
знак). Сноски и подстрочные примечания печатают на той странице, к которой они относятся (тем же шрифтом, но кеглем 10-м).
Поля на странице задаются следующие:
слева – 25 мм, справа – 15 мм, сверху – 20 мм, снизу – 25 мм.
Порядковый номер печатается в середине нижнего поля страницы.
4
Опечатки, описки и графические неточности, обнаруженные
в процессе выполнения записки, допускается исправлять подчисткой или закрашиванием белой краской и нанесением на том же месте исправленного текста (графики) машинописным способом или
черными чернилами, пастой или тушью рукописным способом.
Текст пояснительной записки должен состоять из ряда разделов и подразделов.
Разделы должны иметь порядковые номера в пределах всего
документа (записки), обозначенные арабскими цифрами без точки
и записанные с абзацного отступа. Подразделы должны иметь нумерацию в пределах каждого раздела. Номер подраздела состоит из
номеров раздела и подраздела, разделенных точкой. В конце номера подраздела точка не ставится. Разделы, как и подразделы, могут
состоять из одного или нескольких пунктов.
Если документ не имеет подразделов, то нумерация пунктов
в нем должна быть в пределах каждого раздела, и номер пункта
должен состоять из номеров раздела и пункта, разделенных точкой.
В конце номера пункта точка не ставится.
Разделы, подразделы должны иметь заголовки. Пункты, как
правило, заголовков не имеют. Заголовки должны четко и кратко
отражать содержание разделов, подразделов. Заголовки следует
печатать с прописной буквы без точки в конце, не подчеркивая.
Переносы слов в заголовках не допускаются. Если заголовок состоит из двух предложений, их разделяют точкой.
Расстояние между заголовком и текстом при выполнении рукописным способом – 15 мм. Расстояние между заголовками раздела и подраздела – 2 интервала, при выполнении рукописным способом – 8 мм.
Каждый раздел текстового рекомендуется начинать с нового
листа (страницы).
В пояснительной записке помещают «Содержание», включающее номера и наименования разделов с указанием номеров листов (страниц).
Слово «Содержание» записывают в виде заголовка (симметрично тексту) с прописной буквы. Наименования, включенные в
5
содержание, записывают строчными буквами, начиная с прописной
буквы.
В конце приводится список использованных источников, которые были использованы при ее написании. Выполнение списка и
ссылки на него в тексте – по ГОСТ 7.1-2003. Ссылки на литературу
даются в квадратных скобках, например, [11] в соответствии со
списком в конце пояснительной записки. Список использованных
источников включают в содержание. Источники записывают по
мере ссылки на источник. При описании источника сначала записывается фамилия автора и его инициалы, после точки указывается
наименование литературного источника, место издания, наименование издательства, год издания книги, количество страниц. Города
Москва, Ленинград, обозначаются сокращенно М., Л., а другие записываются полностью: Наука, Транспорт, или сокращенно: МГУ.
Нумерация страниц документа и приложений, входящих в
состав этого документа, должна быть сквозная. Страницы нумеруются, начиная с титульного листа. Номер страницы проставляют в
середине нижней части листа под текстом.
1.2 Изложение текста записки
Текст пояснительной записки должен быть кратким, чётким
и не допускать различных толкований. При изложении обязательных требований в тексте должны применяться слова: – «Должен»,
«Следует», «Необходимо», «Требуется, чтобы», «Разрешается
только», «не допускается», «Запрещается», «Не следует». При изложении других положений следует применять слова: – «могут
быть», «как правило», «при необходимости», «может быть», «в
случае» и т.д. В записке должны применяться научно- технические
термины, обозначения и определения, установленные соответствующими стандартами, а при их отсутствии – общепринятые в научно - технической литературе.
Если в записке применена техническая терминология, то в
конце её должны быть перечень принятых терминов с соответствующими разъяснениями. Перечень включают в содержание записки . В тексте записки, за исключением формул, таблиц и рисунков, не допускается:
6
- применять математический знак «-» перед отрицательными
значениями (следует писать слово минус);
- применять «0» для обозначения диаметра (следует прописывать словами);
- применять без числовых значений математические знаки,
например: >(больше), <(меньше),= (равно), а также знаки
№(номер), %(проценты).
В тексте записки перед обозначением параметра дают его пояснения, например «напряжение сети Uc»
В записке следует применять стандартизированные единицы
физических величин, их наименования и обозначения в соответствии с ГОСТ8.417.Применение в одном документе разных систем
обозначения физических величин не допускается.
1.3 Написание формул и уравнений
В формулах в качестве символов следует применять обозначения, установленные соответствующими государственными стандартами. Пояснения символов и числовых коэффициентов, входящих в формулу, если они не пояснены ранее в тексте, должны быть
приведены непосредственно под формулой. Пояснения каждого
символа следует давать с новой строки в той последовательности, в
которой символы приведены в формуле. Первая строка пояснения
должна начинаться со слова «где» без двоеточия. Пример – плотность каждого образца Р, кг/м3, вычисляется по формуле:
P = m/V,
где m – масса образца, кг;
V – объём, м3.
В записке издаваемой не типографическим способом, формулы могут быть выполнены машинным способом или чертёжным
шрифтом высотой не менее 2,5 мм. Применение машинописных и
рукописных символов в одной формуле не допускается. Формулы
следует нумеровать порядковой нумерацией в пределах раздела.
Таблицы, за исключением таблиц приложений, следует нумеровать арабскими цифрами в пределах раздела. В этом случае
номер таблицы состоит из номера раздела и порядкового номера
таблицы, разделённых точкой. Таблицы каждого приложения обо-
7
значают отдельной нумерацией арабскими цифрами с добавлением
перед цифрой обозначения приложения. Если в документе одна
таблица, она должна быть обозначена «Таблица 1» или «Таблица В.
1», если она приведена в приложении В. На все таблицы документа
должны быть приведены ссылки в тексте документа, при ссылке
следует писать слово «таблица» с указанием её номера. Заголовки
граф и строк таблицы следует писать с прописной буквы, а подзаголовки граф – со строчной буквы, если они составляют одно предложение с заголовком, или с прописной буквы, если они имеют самостоятельное значение. В конце заголовков и подзаголовков таблиц точки не ставят. Заголовки и подзаголовки граф указывают в
единственном числе. Таблицы слева, справа и снизу, как правило,
ограничивают линиями. Разделять заголовки и подзаголовки боковика и граф диагональными линиями не допускается. Горизонтальные и вертикальные линии, разграничивающие строки таблицы,
допускается не проводить, если их отсутствие не затрудняет пользование таблицей. Заголовки граф, как правило, записывают параллельно строкам таблицы. При необходимости допускается перпендикулярное расположение заголовков граф. Головка таблицы
должна быть отделена линией от остальной части таблицы. Высота
строк таблицы должна быть не менее 8 мм. Таблицу, в зависимости
от ее размера, помещают под текстом, в котором впервые дана
ссылка на нее, или на следующей странице, а при необходимости, в
приложении к документу. Допускается помещать таблицу вдоль
длинной стороны листа документа. Графики, таблицы и т.п. необходимо располагать по ходу текста. Они должны быть аккуратно
выполнены и должны иметь те же обозначения и нумерацию элементов, что и на чертежах. Не допускается применение в одном
проекте одновременно сквозной нумерации (например, для формул) и нумерации по разделам (например, для рисунков и таблицу).
В соответствии с ГОСТ 2.105 – 95 формулы, рисунки, таблицы должны нумероваться сквозной нумерацией арабскими цифрами. Допускается нумерация формул, рисунков таблиц в пределах
раздела. Для курсового проекта мы считаем нумерацию в пределах
раздела предпочтительной. Ссылки в тексте на порядковые номера
формул дают в скобках, например, в формуле (3.1).
8
Формулы, помещаемые в приложениях, должны нумероваться отдельной нумерацией арабскими цифрами в пределах каждого приложения с добавлением перед каждой цифрой обозначения
приложения, например формула (В. 1).
Порядок изложения в записке математических уравнений
такой же, как и формул.
Примечания приводят в документах, если необходимы пояснения или справочные данные к содержанию текста, таблиц или
графического материала. Примечания не должны содержать требований.
Примечание следует помещать непосредственно после текстового, графического материала или таблицы, к которым относятся эти примечания, и печатать с прописной буквы с абзаца. Если
примечание одно, то после слова «Примечание» ставится тире и
примечание печатается тоже с прописной буквы. Одно примечание
не нумеруют. Несколько примечаний нумеруют по порядку арабскими цифрами. Примечание к таблице помещают в конце таблицы
над линией, обозначающей окончание таблицы.
Примеры:
Примечание
1
2
1.4 Оформление иллюстраций и приложений
Количество иллюстраций должно быть достаточным для пояснения излагаемого текста. Иллюстрации могут быть расположены как по тексту документа (возможно ближе к соответствующим
частям текста), так и в конце его. Иллюстрации должны быть выполнены в соответствии с требованиями стандартов ЕСКД и
СПДС. Иллюстрации, за исключением иллюстраций приложений,
следует нумеровать арабскими цифрами в пределах раздела. В этом
случаи номер иллюстрации состоит из номера раздела и порядкового номера иллюстрации, разделённых точкой.
Например – Рисунок 1.1
При ссылках на иллюстрации следует писать «...в соответствии с рисунком 1.2» при нумерации в пределах раздела.
9
Иллюстрации, при необходимости, могут иметь наименование и пояснительные данные (подрисуночный текст). Слово «Рисунок » и наименование помещают после пояснительных данных и
располагают под рисунком следующим образом: Рисунок 1.1 – Детали прибора.
Материал, дополняющий текст документа, допускается помещать в приложениях. Приложениями могут быть, например,
графический материал, таблицы большого формата, расчёты, описания аппаратуры и приборов, описания алгоритмов и программ
задач, решаемых на ЭВМ и т.д.
Приложение оформляют как продолжение данного документа на последующих его листах или выпускают в виде самостоятельного документа. Приложения могут быть обязательными и
информационными. Информационные приложения могут быть
рекомендуемого или справочного характера.
В тексте документа на все приложения должны быть даны
ссылки. Степень обязательности приложений при ссылках не указывается. Приложения располагают в порядке ссылок на них в тексте документа.
Каждое приложение следует начинать с новой страницы с
указанием наверху посередине страницы слово «Приложение» и
его обозначения, а под ним в скобках для обязательного приложения пишут слово «обязательное», а для информационного – «рекомендуемое» или «справочное».
Приложение должно иметь заголовок, который записывают
симметрично относительно текста с прописной буквы отдельной
строкой.
После слова «Приложение» следует обозначение приложений
буквами русского алфавита.
В случае полного использования букв русского и латинского
алфавитов допускается обозначать приложения арабскими цифрами.
Если в документе одно приложение, оно обозначается «Приложение А».
10
Приложения, как правило, выполняют на листах формата А4.
Допускается оформлять приложения на листах формата АЗ, А4 х 3,
А4 х2, А2 и А1 по ГОСТ 2.301.
Текст каждого приложения, при необходимости, может быть
разделён на разделы, подразделы, пункты, подпункты, которые нумеруют в пределах каждого приложения. Перед номером ставится обозначение этого приложения.
2 Расчёт переходных процессов в линейных электрических цепях
Для электрической цепи, соответствующей номеру варианта
и изображенной на рисунках 1-16, требуется определить закон изменения во времени тока после коммутации в одной из ветвей схемы или напряжения, на каком-либо элементе или между заданными
точками схемы. В цепи действует постоянная э.д.с. Е. Параметры
цепи заданы в таблице 2.1
Задачу следует решить двумя методами: классическим и операторным. На основании полученного аналитического
выражения требуется построить график изменения искомой
величины в функции времени на интервале t = 0 до t = 3/|p|мин.
Здесь |p|мин- меньший по модулю корень характеристического
уравнения.
№ варианта задания на курсовую работу студенты выбирают
по двум последним цифрам своего шифра.
Рисунок 1
11
R1
i4
i
i1
L
E
C
R4
i2
i3
R3
Рисунок 2
Рисунок 3
R2
i1
i2
E
i3
C
R1
R3
Рисунок 4
12
R1
R2
i1
i2
R3
L
i3
i4
E
Рисунок 5
Рисунок 6
Рисунок 7
13
C
R1
L
i2
i1
i
C
E
R4
R3
R2
Рисунок 8
Рисунок 9
i2
R4
C
i1
E
R3
R1
L
R2
Рисунок 10
14
R2
L
i1
R1
i2
C
i2
R4
R3
E
Рисунок 11
Рисунок 12
R1
R3
i1
i2
E
C
R4
R2
Рисунок 13
15
R3
R4
L
R2
C
i2
i1
E
R1
i
Рисунок 14
L
R1
i1
i2
E
i3
C
R2
Рисунок 15
Рисунок 16
16
C
L
В
мкФ
мГ
Требуется определить
6
7
8
9
10
5
2
150
5
2
i1
2
--
-
100
10
1
i1
3
0
1
1
120
10
1
i1
3
2
8
6
-
100
50
5
i1
5
1
2
13
1
4
50
1500
1
i1
6
4
50
25
25
-
100
10
1
Uc
7
14
10
20
10
20
300
4
5
Uc
8
16
20
4
16
2
100
10
1
UR 1
9
12
6
10
5
4
150
5
4
Uc
10
5
10
10
10
-
30
2,5
1
Uc
11
6
100
0
50
100
200
10
10
i1
12
9
10
10
4
-
100
10
1
i1
13
13
1
2
1
5
50
1670
2
i1
14
10
8
8
8
4
120
10
1
i1
15
7
10
20
50
20
200
10
1
i1
16
11
2
8
10
10
50
100
1
i1
17
2
5
10
5
5
150
5
2
i2
18
15
1
3
-
-
100
10
1
i3
19
8
1
2
1
1
120
10
1
i2
20
3
3
8
5
-
100
50
5
Uc
Номер
рисунка
E
R
R
R
R
1
2
3
4
2
3
Номер
варианта
1
4
5
1
2
8
10
2
15
2
3
8
4
Ом
17
Продолжение таблицы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
21
1
2
13
2
3
50
1500
1
i2
22
4
50
20
30
-
100
10
1
UL
23
14
15
20
5
20
300
4
5
i2
24
16
20
17
3
2
100
10
1
i1
25
12
9
10
5
1
150
5
4
UL
26
5
5
10
15
-
30
2,5
1
i3
27
6
50
50
50
100
200
10
10
UR 2
28
9
5
15
4
-
100
10
1
UL
29
13
1
2
2
4
50
1670
2
i2
30
10
12
6
8
4
120
10
1
i3
31
7
10
10
50
30
200
10
1
i3
32
11
3
7
10
10
50
100
1
i2
33
2
4
10
5
6
150
5
2
i3
34
15
1,5
2,5
-
-
100
10
1
i2
35
8
2
1
1
1
120
10
1
UR 3
36
3
6
8
2
-
100
50
5
i3
37
1
2
13
3
2
50
1500
1
UL
38
4
50
10
40
-
100
10
1
i2
39
14
3
20
17
20
300
4
5
i
40
16
20
8
12
2
100
10
1
UL
41
12
0
10
5
10
150
5
4
i1
18
Продолжение таблицы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
42
5
15
10
5
-
30
2,5
1
i2
43
6
25
75
50
100
200
10
10
Uc
44
9
10
5
4
-
100
10
1
i2
45
13
1
2
3
3
50
100
2
i2
46
10
24
4,8
8
4
120
10
1
i2
47
7
10
25
50
15
200
10
1
i3
48
11
4
6
10
10
50
100
1
i3
49
2
7
10
5
3
150
5
2
UL
50
15
3
1
-
-
100
10
1
UL
51
8
1,5
1,5
1
1
120
10
1
UL
52
3
1
8
7
-
100
50
5
i2
53
1
2
13
4
1
50
1500
1
Uc
54
4
50
30
20
-
100
10
1
i
55
14
6
20
14
20
300
4
5
UL
56
16
20
11
9
2
100
10
1
Uc
57
12
3
10
5
7
150
5
4
i2
58
5
12
10
8
-
30
2,5
1
i2
59
6
0
100
50
100
200
10
10
UL
60
9
7
13
4
-
100
10
1
i2
61
13
1
2
4
2
50
1670
2
Uc
62
10
6
12
8
4
120
10
1
UL
19
Продолжение таблицы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
63
7
10
30
50
10
200
10
1
UL
64
11
5
5
10
10
50
100
1
UL
65
5
10
10
5
-
150
5
2
Uc
66
15
4
0
-
-
100
10
1
Uc
67
8
0
3
1
1
120
10
1
Uc
68
3
4
8
4
-
100
50
5
UL
69
1
2
13
5
0
50
1500
1
UR 1
70
4
50
35
15
-
100
10
1
i2
71
14
4
20
16
20
300
4
5
UR 1
72
16
20
13
7
2
100
10
1
i2
73
12
2
10
5
8
150
5
4
UR 1
74
5
8
10
12
-
30
2,5
1
UL
75
6
75
25
50
100
200
10
10
i2
76
9
13
7
4
-
100
10
1
Uc
77
13
1
2
5
1
50
1670
2
UR 1
78
16
8
8
8
4
120
10
1
UL
79
7
10
18
50
22
200
10
1
Uc
80
11
6
4
10
10
50
100
1
Uc
3 Пример расчета переходного процесса в линейной электрической цепи
Для электрической цепи (рисунок 3.1), определить после
коммутации токи: i1(t), i2(t), i3(t), напряжение UL(t) и Uc(t), если па-
20
раметры цепи: L = 20мГ, С = 200мкф, R1 = R4 = 10 Ом, R2 = 30 Ом,
R3 = 20 Ом. Источник питания постоянная Е = 100В.
Рисунок 3.1– Расчётная схема
3.1 Расчёт классическим методом
3.1.1 Рассчитываем цепь до замыкания ключа и определяем
ток через индуктивность i 1(0-) и напряжение на ёмкости Uc(0-). Т.к.
Е = const, то UL(0-) = L∙(di1/dt) = 0 i3(0) = C∙(dUc/dt) = 0. Следовательно, по первому закону Кирхгофа
i1(0-) = i2(0-).
По второму закону Кирхгофа :
i2(0-)(R2 + R4) + L∙(di1(0-)/dt)+ R1i1(0-) – Е = 0
(3.1)
Отсюда i1(0-) = Е/(R1+R2+R4) = 100/(10+30+10) = 2А
(3.2)
Напряжение на ёмкости определим из уравнения по второму
закону Кирхгофа
Uc(0-) = i2(0-)(R2+R4)-i3(0-)R3 = 2(30+10) = 80В
(3.3)
3.1.2 На основании законов коммутации определяем независимые начальные условия
i1(0+)=i1(0-)=2A;
(3.4)
Uc(0+) = Uc(0-) = 80B.
(3.5)
3.1.3 После коммутации (ключ замыкается) сопротивление
R4 закорачивается (рисунок 3.2). Определим токи и напряжения для
нового энергетического состояния в установившемся режиме.
21
Рисунок 3.2 – Схема после коммутации
Напряжение на индуктивности ULпр=0 и
i1пр= i2пр = Е/(R1+R2) = 100/(10+30) = 2.5А;
(3.6)
Uспр= i2R2 = 2.5∙30 = 75В.
(3.7)
Все найденные значения принуждённых токов и напряжений
заносим в таблицу 3.1.
3.1.4 Характеристическое уравнение получается из условия,
когда знаменатель дроби при определении свободных токов или
напряжений равен нулю. Это вытекает из того, что в источнике тока и ЭДС свободные составляющие отсутствуют. Тогда свободные
токи и напряжения имеют место только в том случае, если знаменатель дроби равен нулю , т.е. имеет место неопределённость типа
0/0.
Следовательно, характеристическое уравнение можно получить, используя любой метод расчёта эл.цепей ( на основании законов Кирхгофа, контурных токов, узловых напряжений, эквивалентирования схемы к одному сопротивлению и .т. д.).
Выведем характеристическое уравнение, используя в первом
случае метод контурных токов, во втором – входное сопротивление
относительно входной ветви.
Запишем уравнения контурных токов для схемы изображённой на рисунке 3.2. (Характеристическое уравнение выводится
только из послекоммутационной схемы).
iсв11(R1+R2) + L(diсв11/dt)- iсв22R2 = 0;
-iсв11R2+iсв22(R2+R3)+(1/C)∫iсв22dt = 0.
Алгебраизируем уравнение
22
(3.8)
iсв11(R1+R2+PL)-iСВ22R2 = 0,
-iсв11R2+iсв22(R2+R3+1/CP) = 0.
Определитель системы равен
R1+R2+PL
-R2
∆
-R2
R2+R3+1/CP
(3.9)
(3.10)
Положив ∆= 0, имеем характеристическое уравнение
(R2+R3)LCP2+[C(R1R2+R1R3+R2R3)+L]P+(R1+R2) = 0. (3.11)
То же характеристическое уравнение получим, если разорвём
любую ветвь схемы (рисунок 3.2 – схема послекоммутационная) и
запишем входное сопротивление для переменного синусоидального тока. Для примера разомкнём ветвь с ёмкостью (рисунок 3.3)
Рисунок 3.3 – Схема
получения операторного сопротивле-
ния
Zвх(jω) = R3+1/jωc+(R1+jωL)R2/(R1+jωL+R2).
Заменив jω = P, приравняв Zвх(p) = 0, получим уравнение
3.11. Подставим в 3.11 значение параметров, имеем квадратное
уравнение : 2∙10-4р2+0,24р+40 = 0, корни которого: Pi = -200c-1 и
P2 = -1000c-1
3.1.5 Ввиду того, что корни характеристического уравнения
действительные, отрицательные, неравные, свободная составляющая тока(напряжения) определяется из уравнения вида: i св (t)  A1e 1  A 2 e 2 , а переходный ток (напряжение)
pt
p t
i(t) = iпр+iсв(t) = iпр+ A1е 1  A 2 е 2 .
pt
23
p t
(3.12)
Т.к 3.12 содержит две постоянные интегрирования, для их
нахождения необходимо уравнение, которое получают из 3.12 путём взятия производной
di(t)/dt = i/(t) = i/пр+ P1A1е p1t  P2 A 2 е p2 t .
(3.13)
3.1.6 Постоянные интегрирования А1 и А2 находятся из
начальных условий, для момента времени t = 0 из уравнений 3.12 и
3.13 получим:
i(0+) = iпр(0+)+A1+A2,
(3.14)
i(0+) = P1A1+P2A2.
(производная принуждённого тока в данном случае равна нулю,
т.к. к схеме приложено постоянное напряжение).
В уравнениях 3.14 неизвестными являются А1 и А2, а так же
i/(0+). Последнюю величину необходимо получить из других уравнений. В первую очередь из уравнений
uL(t) = L(di/dt),
ic(t) = C(du/dt).
(3.15)
Получим производные тока через индуктивность и напряжения на ёмкости в момент времени t = 0
di/dt(0+)=UL(0+)/L,
(3.16)
du(0+)/dt=ic(0+)/C.
В свою очередь напряжение на индуктивности и ток через
ёмкость в момент времени t = 0 получим из послекоммутационной
схемы, с учётом законов коммутации.
Составим систему уравнений по І и ІІ законам Кирхгофа для
после коммутационной схемы (рисунок 3.2)
i1(0+)=i3(0+)+i2(0) ,
i3(0+)·R3+Uc(0+) – i2(0+)·R2= 0,
i1(0+)·R1+UL(0+)+i2(0+)·R2= E.
Из 1 уравнения выразим i2(0+)
i2(0+)=i1(0+) – i3(0+).
Из 2 уравнения найдем i3(0+) через ёмкость
i3(0+)·R3+Uc(0+) – i1(0+) = 0;
24
(3.17)
i 3(0  ) 
 U c  i1(0  )  R 2
R2  R3

 80  2  30
 0,4( A) ;
30  20
i2(0+)= 2 – (-0,4) = 2,4A.
Напряжение на индуктивности UL(0+) найдём из 3 уравнения
системы 3.17
UL(0+) = E – i2(0+)·R2 – i1(0+)·R1 = 100 – 2.4·30 – 2·10 = 8B. (3.18)
Полученные данные занесём в таблицу 3.1
3.1.7 Определим значение производных токов и напряжений
в момент коммутации t(0). Прежде всего найдём
i'1(0+) = UL(0+)/L = 8/(20·10-3) = 400A/c;
(3.19)
U'c(0+) = i3(0+)/C = -0.4/(200·10-6) = -2000 B/c.
(3.20)
Для определения оставшихся производных продифференцируем систему 3.17, учитывая, что производная от постоянной Е
равна 0.
i'1(0+)=i'3(0+)+i'2(0),
i'3(0+)·R3+U'c(0+) – i'2(0+)·R2= 0,
(3.21)
i'1(0+)·R1+U'L(0+)+i'2(0+)·R2= 0.
Решая систему (3.21) с учётом значений i'1(0+) = 400A/c и
U'c(0+) = -2000 B/c находим остальные производные
i'2(0+) = i'1(0+) – i'3(0+) = 400 – i'3(0+);
отсюда
i 3( 0  ) =
i'3(0+)·R3+(-2000)– (400-i'3(0+))·R2 = 0.
 )  R 2
 Uc(0  )  i1(0
R3  R2

2000  400 30
 280(A/c) .
20  30
Аналогично находим и остальные производные
i'2(0+) = 120А/с U'L(0+) = -7600 В/с.
Полученные результаты заносим в таблицу 3.1
25
Таблица 3.1 – Токи и напряжения послекоммутационной
схемы
I1
I2
I3
Uc
UL
Принуждённая
составляющая
2,5А
2,5А
0
75В
0
Значение в момент
t = (0+)
2А
2,4А
-0,4А
80В
8В
Значение
ной в
t = (0+)
400
А/с
120
А/с
280
А/с
-2000
В/с
-7600
В/с
производ-
3.1.8 Определяем из системы 3.14 постоянные интегрирования А1 и А2 для каждого тока и напряжения, подставляя данные из
таблицы 3.1 в 3.2. Записываем переходные токи и напряжения.
Определяем ток i1(t)
2 = 2,5+A1+A2;
400 = -200A1-1000A2;
Отсюда
A1= -0,125A; A2 = -0,375A;
i1(t) = 2,5-0,125e-200t-0,375e-1000t А.
Определяем ток i2(t)
2,4 = 2,5+A1+A2;
120 = -200A1-1000A2.
Отсюда
A1= 0,025A; A2 = -0,125A;
i2(t) = 2,5+0,025e-200t-0,125-1000t А.
Определяем ток i3(t)
-0,4 = A1+A2
280 = -200A1-1000A2.
Отсюда A1 = -0,15A;
A2 = -0,25A;
i3(t) = -0,15e-200t-0,25e-1000t А.
Определяем напряжение Uc(t)
26
80 = 75+A1+A2;
-2000=-200A1-1000A2.
Отсюда A1=3,75B;
A2 = 1,25B; Uc(t) = 75+3,75e-200t+1,25e-1000t В.
Определяем напряжение UL(t)
8 = A1+A2; -7600 = -200A1-1000A2;
Отсюда A1= 0,5B; A2 = 7,5B;
UL(t)=0,5e-200t+7,5e-1000t В;
3.1.9 Построим график переходного процесса для тока i3(t):
i3(t) = -0,15e-200t-0,25e-1000t.
Значение тока переходного процесса удобнее откладывать на
графике через интервал времени, равный постоянной времени, которая в свою очередь в случае апериодических процессов определяется как обратная величина модуля корня характеристического
уравнения : Т=|1/P| с
Так как переходный ток i3(t) равен сумме двух экспонент, то
каждая составляющая тока будет иметь свою постоянную времени,
причём |P1|<|P2|; следовательно: Т1>Т2 В нашем случае :
Т1=1/200=5∙10-3c; Т2=1/1000=1∙10-3c.
Если представить : A1еp 1 t=A1е-t/Т=A1/et/Т,
то из этого равенства видно, что через интервал времени, равный Т
значение составляющей уменьшается в “e” раз (в 2,72 раза). Для
построения графика переходного тока i3(t) рассчитываем ординаты
составляющей -0,15е-200t через ∆t = τ1 = 5 mC, а ординаты составляющей -0,25е-1000t через ∆t = τ2 = 1 mC. Результаты расчёта сводим в
таблицу 3.2, по которым построим график переходного процесса на
рисунке 3.4.
27
Таблица 3.2 Результаты расч6та для построения графика переходного процесса
-0,15е-200t
t(мс)
0
5
10
15
20
i(A) 2
-0,1
Ток(А)
-0,15
-0,055
-0,02
-0,0075
-0,0028
4
6
8
-1000t
-
10
12
14
Ток(А)
-0,25
-0,092
-0,034
-0,12
-0,0046
0
16
t(мс)
-200t
-0,25e
-0,15e
-0,2
-0,3
-0,4
-0,25е-1000t
t(мс)
0
1
2
3
4
5
i3(t)
Рисунок 3.4 – График переходного процесса
3.2 Расчёт переходных процессов операторным методом
На примере схемы рисунок 3.5 рассмотрим расчёт переходного процесса и определим ток i2(t) методом двух узлов, а ток i1(t)методом контурных токов, для определения остальных токов и
напряжений запишем выражения в операторной форме.
28
Независимые начальные условия были определены в классическом методе и равны:
i1(0) = i1(0+) = i1(0-) = 2A; Uc(0+) = Uc(0-) = 80B.
(3.21)
3.2.1 В режиме после коммутации с учётом ненулевых
начальных условий составляем операторную схему (рисунок 3.5).
Рисунок 3.5 – Операторная схема.
Схема содержит два узла а и в и два контура.
Ток i2(t) можно определить как I2(p) = Uав(p)/R2.
В свою очередь методом двух узлов определим Uав(p)


U

1
1
E

c(0)




  Li1(0)  
P
 R 1  PL  P R  1 


3
CP  .

Uав(p)=
1
1
1


R 1  PL R 2 R  1
3
CP
(3.22)
С целью упрощения преобразования в 3.22 подставим все
числовые значения кроме L и C, и приведём дробь к виду, когда в
числителе и знаменателе будет по одной строке. При этом следует
обращать внимание на то обстоятельство, что при приведении числителя и знаменателя выражение 3.22 каждого к своему общему
знаменателю не следует раскрывать скобки. Это позволит упрощать выражение. Действительно
29
1 
E
 
  Li (0)   P  R 3 
  U c(0)  (R1  PL)  P (R1  PL) 
P
PC 



U AB (p) 
R 2 (R1  LP) 
1 
1 
1 



R3 
R2R3
  (R1  PL)   R 3 
  R 2 (R1  PL)
PC 
PC 
PC 



.
1 

R3 

PC 

Откуда
видно,
что
сокращаются
выражения
(R1+PL)(R3+1/PC). После преобразования получаем
Uав(p)= 3600CLP  84000CP  60 LP 3000 .
2
P (50 CLP 2  1100  LP 40)
Изображение тока I2(p) будет равно
I2(р)= U AB (p)  120 CLP  2800CP 2 LP 100 .
2
R2
P (50 CLP  1100  LP 40)
2
(3.23)
После подстановки значения L и С
5
2
I2(p)= 48 10  P  0,6 P 100  F1 (p) .
P (2 104 P 2  0,24P 40)
Переходим
от
F2 (p)
изображения тока I2(p) к оригиналу i2(t), используя формулу разложения. Приравниваем F2(p) = 0 и определяем корни уравнения.
F2(p) = P(2*10-4p2+0,24p+40) = 0
1
P1= 0; P  200c 1 ; P  1000c .
=>
3
2
Находим производную знаменателя
F'2'(p) = 6*10-3p2 + 0,48p + 40.
(3.24)
Подставим в 3.24 каждый корень
F'2(p1)=40; F2′(p2)=6*10-4(-200)2+0,48(-200)+40=-32;
F'2(p3)=6*10-4(-1000)2+0,48(-1000)+40=160.
Подставляя корни PI, P2, P3 в числитель дроби 2.23а, получаем
F1(P1)=100;
30
F1(P2)=48*10-5(-200)2+0,6(-200)+100=0,8;
F1(P3)=48*10-5(-1000)2+0,6(-1000)+100=-20;
Оригинал тока i2(t) определяется так
I2(t)=(F1(p1)/F2'(P1))eP1t+(F1(P2)/F2'(P2))eP2t+
+(F1(P3)/F2'(P3))eP3t.
(3.25)
Или после подстановки
I2(t)=(100/40)e0t+(-0,8/-32)e-200t+(-20/160)e-1000t=2,5+
+0,025e-200t-0,125e-1000t.
Изображения остальных токов и напряжений определяем,
используя изображения напряжения
I1(p) = (-Uав(p)+E/p+Li1(0))/(R1+LP);
(3.26)
I3(p) = (Uав(p)-Uc(0))/(R3+1/CP);
UL(p) = LPI1(p)-Li1(0+);
(3.27)
(3.28)
Uc(p) = (1/PC)*I3(p)+Uc(0)/p.
(3.29)
Токи I1(p) и I3(p) можно определить методом контурных токов, задав контуры, как показано на рисунке 3.5
I1(p) = I11(p) = ∆1(p)/∆(p);
I3(p) = I22(p) = ∆2(p)/∆(p).
Составим уравнения контурных токов
(3.30)
(3.31)
I11(p)(R1+R2+PL)-I22(p)R2 = E/p+Li1(0);
-I11(p)R2+I22(p)(R2+R3+1/CP) = -Uc(0)/P.
Определители равны:
R1+R2+PL
-R2
∆(p) =
-R2
R2+R3+1/PC
=
= (R1+R2)(R2+R3)+((R1+R2)/CP)+(R2+R3)PL+L/C-R22;
E/P+Li1(0)
∆1(p) = -Uc(0)/P
-R2
R2+R3+1/PC =
= (E(R2+R3)/p)+(E/p2c)+Li(0)(R2+R3)+(Li(0)/CP)-Uc(0)R2/P;
31
∆2(p) =
R1+R+2PL
-R2
E/p)+Li1(0)
-Uc(0)/P
=
= Uc(0)((R1+R2)/p)+Uc(0)L+(ER2/P)+Li1(0)R2;
Определим ток I1(p)
I1(p) =
Δ1 (p)
F (p)
4 104 p 2  0,56p 100
.

 1
4 2
Δ(p) P(210 p  0,24p 40) F2 (p)
(3.32)
Знаменатель дроби 3.32 тот же, что и в 3.23, поэтому N/(pк)
можно взять из предыдущего расчёта
F1(p)=4∙10-4p2+0,56p+100.
Подставляем в 3.32 корни Р1,Р2,Р3 имеем
(3.33)
F1(p1) = 100;
M(p2) = 4∙10 (-200)2+0,56(-200)+100 = 4;
-4
M(p3) = 4∙10-4(-1000)2+0,56(-1000)+100 = -60.
Оригинал тока i1(t) определяется как
i1 (t) 
F1 (p1 ) p1t F1 (p2 ) p2t F1 (p3 ) p3t
e 
e 
e .
F2 (p1 )
F2 (p2 )
F2 (p3 )
(3.34)
Или после подстановки
i1(t) = (100/40)e0t+(4/-32)e-200t+(-60/160)e-1000t =
= 2,5-0,125е-200t-0,375e-1000t .
Достоверность полученных результатов подтверждается сопоставлением расчётов переходных процессов классическим и операторным методами.
32
Литература
1 Зевеке, Г.В. Основы теорий цепей: учебник / Г.В.Зевеке,
П.А.Ионкин – М: Энергоатомиздат, 1989. – 528 с.
2 Бессонов, Л.А. Теоретические основы электротехники.
Электрические цепи: учебник / Л.А.Бессонов – 10-е издание – М:
Гардарики, 2002. – 638с.
33
Содержание:
Стр.
1 Оформление пояснительной записки…………………………… 3
1.1 Построение документа-записки…………………………… 3
1.2 Изложение текста записки……………………………….... 6
1.3 Написание формул и уравнений………………………….. 7
1.4 Оформление иллюстраций и приложений…………………9
2 Расчёт переходных процессов в линейных электрических
цепях……………………………………………………………….11
3 Пример расчёта переходного процесса в линейной
электрической цепи……………………………………………….20
3.1 Расчёт классическим методом………………………………21
3.2 Расчёт операторным методом……………………………….28
4 Литература………………………………………………………….33
34
УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ
Горелов Сергей Валерьевич
Князева Ольга Андреевна
Тонышев Владимир Фёдорович
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Методические указания
Ответственный за выпуск – Князева О.А.
Компьютерная вёрстка – Клабукова И.А.
Подписано в печать 28.10.2010 с оригинал-макета.
Бумага офсетная №1, формат 60х84 1/16, печать трафаретная – Riso.
Усл. печ. л. 2,0. Тираж – 100 экз.; заказ №
. Цена договорная.
ФГОУ ВПО «Новосибирская государственная академия водного
транспорта» (ФГОУ ВПО «НГАВТ»)
630099, г. Новосибирск, ул. Щетинкина, 33
Отпечатано в издательстве ФГОУ ВПО «НГАВТ».
35