Практическая работа: Вычисление вероятностей в электронных таблицах

Практическая работа
Тема: Вычисление вероятностей с использованием комбинаторных функций
электронных таблиц.
Курс: Вероятность и статистика.
Класс: 9.
Цель работы:



Научиться применять электронные таблицы для вычисления вероятностей
событий.
Освоить использование комбинаторных функций (или функций,
моделирующих комбинаторные ситуации) в электронных таблицах.
Закрепить понимание основных понятий теории вероятностей (событие,
благоприятные исходы, общее число исходов, вероятность).
Задачи:
1. Повторить понятия классической вероятности.
2. Изучить возможности электронных таблиц (например, Microsoft Excel,
Google Sheets, LibreOffice Calc) для решения задач на вероятность.
3. Решить типовые задачи на вычисление вероятностей с использованием
формул и функций электронных таблиц.
4. Сделать выводы о преимуществах использования электронных таблиц при
решении вероятностных задач.
Оборудование:



Компьютер с установленной программой для работы с электронными
таблицами (Microsoft Excel, Google Sheets, LibreOffice Calc).
Принтер (для вывода результатов, если требуется).
Инструктивная карточка с заданиями.
Необходимые предварительные знания:




Понятие вероятности события (классическое определение).
Формула расчета вероятности: P(A) = {m}{n}, где m – число благоприятных
исходов, n – общее число исходов.
Основные понятия комбинаторики (перестановки, сочетания, размещения –
знакомство).
Базовые навыки работы с электронными таблицами (ввод данных, формул,
копирование ячеек).
Ход работы:
Этап 1: Подготовка и повторение (10 мин)
1. Введение: Учитель кратко напоминает, что такое вероятность и как она
вычисляется по классическому определению.
2. Повторение формулы: P(A) ={Число благоприятных исходов}} {Общее
число исходов}.
3. Комбинаторика и вероятность: Объяснение, что для нахождения числа
исходов (общего и благоприятных) часто используются методы
комбинаторики (перестановки, сочетания).
o Краткое напоминание (если требуется):
 Перестановки: P_n = n! (порядок важен, все элементы
используются).
 Сочетания: C_n^k = {n!+k!(n-k)!} (порядок не важен, выбираем
k из n).
 Размещения: A_n^k = {n!}{(n-k)!} (порядок важен, выбираем k
из n).
4. Зачем электронные таблицы? Обсуждение, почему вычисление
комбинаторных чисел может быть трудоемким, и как электронные таблицы
могут помочь в этом.
Этап 2: Знакомство с функциями электронных таблиц (15 мин)





Важно: Перед работой необходимо показать ученикам, какие функции
доступны в их программе. Чаще всего используются встроенные функции
для вычисления факториала и сочетаний.
Функция ФАКТР(число) / FACT(number):
o Назначение: Вычисляет факториал числа.
o Пример: Для вычисления 5! ввести в
ячейку =ФАКТР(5) или =FACT(5). Результат: 120.
o Задание: Ввести в таблицу несколько чисел (например, от 3 до 7) и
вычислить их факториалы.
Функция ЧИСЛКОМБ(число; число_выборки) / COMBIN(number;
number_chosen):
o Назначение: Вычисляет количество сочетаний из $n$ элементов по k
(C_n^k).
o Пример: Для вычисления C_5^2 (сколько способов выбрать 2
элемента из 5) ввести в ячейку =ЧИСЛКОМБ(5; 2) или =COMBIN(5;
2). Результат: 10.
o Задание: Ввести пары чисел (n и k) и вычислить соответствующие
сочетания.
(Опционально) Использование формул для размещений и
перестановок:
o Если нет прямой функции для размещений (A_n^k), ее можно
рассчитать как A_n^k = n! / (n-k)!, используя функцию ФАКТР.
o Перестановки (P_n) – это частный случай размещений (A_n^n = n!).
Работа с вероятностью:
o Объяснение, что для расчета вероятности P(A) = m/n нужно:
 Рассчитать общее число исходов (n) с помощью функций
(например, сочетаний).
 Рассчитать число благоприятных исходов (m) – это может быть
как одна комбинация, так и сумма нескольких, либо другая
комбинаторная задача.
 Разделить m на n
Этап 3: Практическое решение задач (25-30 мин)

Учащимся предлагается решить несколько задач, используя электронные
таблицы. Они могут работать индивидуально или в парах.
Задача 1: Выбор команды


Условие: В классе 15 учеников, из них 8 мальчиков и 7 девочек. Нужно
выбрать команду из 4 человек. Какова вероятность того, что в команду
попадут ровно 2 мальчика и 2 девочки?
Шаги решения:
1. Общее число исходов (n): Сколько существует способов выбрать
команду из 4 человек из 15? Это сочетания C_{15}^4
 В таблице: =ЧИСЛКОМБ(15; 4)
2. Число благоприятных исходов (m):
 Сколько способов выбрать 2 мальчиков из 8? Это C_8^2
 В таблице: =ЧИСЛКОМБ(8; 2)
 Сколько способов выбрать 2 девочек из 7? Это C_7^2.
 В таблице: =ЧИСЛКОМБ(7; 2)
 Чтобы получить команду из 2 мальчиков и 2 девочек, эти числа
нужно перемножить (по правилу умножения в комбинаторике).
 m = C_8^2 C_7^2
3. Вероятность: P = m / n.
 В таблице: = ( [ячейка с C_8^2] * [ячейка с C_7^2] )
/ [ячейка с C_15^4]
Задача 2: Игральная кость


Условие: Считаем, что игральная кость (кубик) идеально сбалансирована.
Какова вероятность того, что при однократном бросании кубика выпадет
число, большее 4?
Шаги решения:
1. Общее число исходов (n): Сколько граней у кубика? (6).
2. Число благоприятных исходов (m): Какие числа больше 4? (5, 6).
Всего 2 числа.
3. Вероятность: P = m / n.
 В таблице: =2/6 (или =2/3, результат 0.333...).
4. Замечание: Эта задача простая и не требует комбинаторных
функций, но показывает принцип расчета.
Задача 3: Выбор карт


Условие: Из стандартной колоды в 36 карт (без джокеров) случайным
образом вынимают 3 карты. Какова вероятность того, что все три карты
окажутся одного достоинства (например, три короля, три дамы и т.д.)?
Шаги решения:
1. Общее число исходов (n): Сколько существует способов выбрать 3
карты из 36? Это C_{36}^3.
 В таблице: =ЧИСЛКОМБ(36; 3)
2. Число благоприятных исходов (m):
 Сколько достоинств в колоде? (9: от 6 до Туза).
 Для каждого достоинства сколько карт? (4).
Сколько способов выбрать 3 карты одного достоинства? Для
каждого достоинства это C_4^3.
 Так как достоинств 9, общее число благоприятных исходов
будет: 9 \cdot C_4^3
 В таблице: =9 * ЧИСЛКОМБ(4; 3)
3. Вероятность: P = m / n.
 В таблице: = (9 * [ячейка с C_4^3]) / [ячейка с
C_36^3]

Этап 4: Анализ результатов и выводы (5-7 мин)
1. Обсуждение:
o Какие результаты получились для каждой задачи?
o Насколько удобно было использовать электронные таблицы для
вычислений?
o Какие функции оказались наиболее полезными?
o Какие преимущества дает использование электронных таблиц по
сравнению с ручными вычислениями (скорость, точность,
возможность быстро менять параметры)?
2. Выводы: Учащиеся записывают в тетрадь основные выводы:
o Электронные таблицы позволяют эффективно вычислять
комбинаторные числа (факториалы, сочетания), что упрощает расчет
вероятностей в задачах, связанных с выбором и перестановками.
o Функции типа ФАКТР и ЧИСЛКОМБ значительно ускоряют и
упрощают решение комбинаторных задач.
o Использование электронных таблиц повышает точность вычислений
и снижает риск ошибок.
Этап 5: Подведение итогов работы (2-3 мин)
1. Оценка работы учащихся.
2. Ответы на вопросы.
Инструктивная карточка для учащихся (пример):
Практическая работа
Тема: Вычисление вероятностей с использованием комбинаторных функций
электронных таблиц.
Цель: Научиться вычислять вероятности с помощью функций ФАКТР и
ЧИСЛКОМБ в электронных таблицах.
Ход работы:
1. Откройте программу для работы с электронными таблицами.
2. Функция ФАКТР:
o В ячейку A1 введите число 5, в ячейку B1 введите
формулу =ФАКТР(A1).
В ячейку A2 введите число 7, в ячейку B2 введите
формулу =ФАКТР(A2).
o В ячейку A3 введите число 3, в ячейку B3 введите
формулу =ФАКТР(A3).
o Запишите полученные значения факториалов.
3. Функция ЧИСЛКОМБ:
o В ячейку D1 введите число 15, в ячейку E1 введите число 4. В ячейку
F1 введите формулу =ЧИСЛКОМБ(D1; E1).
o В ячейку D2 введите число 8, в ячейку E2 введите число 2. В ячейку
F2 введите формулу =ЧИСЛКОМБ(D2; E2).
o В ячейку D3 введите число 7, в ячейку E3 введите число 2. В ячейку
F3 введите формулу =ЧИСЛКОМБ(D3; E3).
o Запишите полученные значения сочетаний.
4. Решение Задачи 1 (Выбор команды):
o В ячейку H1 введите формулу для расчета общего числа
исходов: =F1 (результат C_{15}^4).
o В ячейку H2 введите формулу для расчета числа способов выбрать
мальчиков: =F2 (результат $C_8^2$).
o В ячейку H3 введите формулу для расчета числа способов выбрать
девочек: =F3 (результат C_7^2).
o В ячейку H4 введите формулу для расчета числа благоприятных
исходов: =H2*H3.
o В ячейку H5 введите формулу для расчета вероятности: =H4/H1.
o Запишите полученную вероятность.
5. Решение Задачи 3 (Выбор карт):
o В ячейку J1 введите формулу для расчета общего числа
исходов: =ЧИСЛКОМБ(36; 3).
o В ячейку J2 введите формулу для расчета числа благоприятных
исходов: =9 * ЧИСЛКОМБ(4; 3).
o В ячейку J3 введите формулу для расчета вероятности: =J2/J1.
o Запишите полученную вероятность.
6. Выводы: Сформулируйте выводы по работе.
o
Возможные усложнения/вариации:



Введение задач на размещения (например, сколько способов расставить 5
книг на полке).
Использование более сложных вероятностных сценариев, где нужно
суммировать вероятности взаимоисключающих событий.
Создание "шаблона" в таблице, который позволит быстро рассчитывать
вероятность для разных параметров (например, менять $n$ и $k$ в
сочетаниях).
Эта практическая работа позволит ученикам не только закрепить теоретические
знания, но и освоить полезный инструмент для решения задач.