Theoretical Mechanics Calculation Work: Truss Load Analysis

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего образования
«Уральский Федеральный университет имени первого Президента
России Б. Н. Ельцина»
Институт Строительства и Архитектуры (ИСА)
РАСЧЕТНАЯ РАБОТА №1
По теоретической механике
Студент Злоказова В.А.
Группа СТ-230006
Преподаватель Чумакова Л.А.
Екатеринбург
2024
По заданным допускаемым усилиям на растяжение и сжатие найти
предельную нагрузку на ферму консольного крана, изображенную на рисунке.
G
F
Рис. 1
Дано:
Решение:
𝑁раст = 220 кН
1.Определим опорные реакции для заданной фермы:
𝑁сж = 176 кН
a = 2.6 м
b = 2.6 м
⃗⃗⃗⃗
𝑋𝐵
G
Найти:
⃗⃗⃗⃗𝐵 |−?
|𝑋
⃗⃗⃗⃗𝐴 |−?
|𝑋
⃗⃗⃗𝐴 |−?
|𝑌
F
⃗⃗⃗
𝑌𝐴
⃗⃗⃗⃗𝐴
𝑋
𝑆раст −?
𝑆сж −?
F−?
Рис. 2
1
2. Выразим модули составляющих реакций связей через F через уравнения
равновесия:
∑ 𝐹𝑖𝑥 = 0; 𝑋𝐴 − 𝑋𝐵 = 0 ;
𝑋𝐴 = 𝑋𝐵 = 3𝐹;
∑ 𝐹𝑖𝑦 = 0; 𝑌𝐴 − 𝐹 = 0;
𝑌𝐴 = 𝐹;
∑ 𝑚𝐴 (𝐹𝑖 ) = 0: 𝑋𝐵 ∗ 𝑏 − 𝐹 ∗ 3𝑎 = 0;
𝑋𝐵 =
𝐹 ∗ 3𝑎 𝐹 ∗ 3 ∗ 2.6
=
= 3𝐹
𝑏
2.6
3. Определим усилия в стержнях фермы:
⃗⃗⃗
𝑆2
⃗⃗⃗⃗
𝑋𝐵
⃗⃗⃗
𝑆1
⃗⃗⃗
𝑆2 G
⃗⃗⃗
𝑆3
⃗⃗⃗
𝑆6
⃗⃗⃗
𝑆5
⃗⃗⃗
𝑌𝐴
⃗⃗⃗
𝑆6
⃗⃗⃗
𝑆7
⃗⃗⃗9
𝑆
⃗⃗⃗
𝑆1
⃗⃗⃗
𝑆4
⃗⃗⃗
𝑆3
⃗⃗⃗
𝑆5
⃗⃗⃗
𝑆7
⃗⃗⃗⃗𝐴 ⃗⃗⃗
𝑋
𝑆4
⃗⃗⃗
𝑆8
⃗⃗⃗
𝑆8
F
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑆10
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑆10
⃗⃗⃗9
𝑆
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑆11
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑆11
Рис. 3
2
4. Выразим максимально растягивающее и максимально сжимающее усилие
через нагрузку F.
Рассмотрим узел А:
∑ 𝐹𝑖𝑥 = 0: 𝑋𝐴 + 𝑆4 = 0 ;
⃗⃗⃗
𝑌𝐴
𝑆4 = − 𝑋𝐴 = −3𝐹;
∑ 𝐹𝑖𝑦 = 0: 𝑌𝐴 + 𝑆1 = 0;
⃗⃗⃗
𝑆1
A
𝑆1 = −𝑌𝐴 = −𝐹
⃗⃗⃗⃗𝐴
⃗⃗⃗
𝑋
𝑆4
Рис. 4.1
Рассмотрим узел E:
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑆10
𝑡𝑔(𝑎𝐸 ) =
E
𝑏
2.6
=
= 0.333 → 𝑎𝐸 = 𝑎𝑟𝑐𝑡(0.333) = 18.5;
3𝑎 3 ∗ 2.6
∑ 𝐹𝑖𝑦 = 0: − 𝐹 + 𝑆10 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝐸 ) = 0 ;
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑆11
𝑆10 =
𝐹
𝐹
= 3.15𝐹;
𝑠𝑖𝑛(18.5)
∑ 𝐹𝑖𝑥 = 0: − 𝑆10 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝐸 ) − 𝑆11 = 0 ;
𝑆11 = 𝑆10 ∗ 𝑐𝑜𝑠(18.5) = 3.15𝐹 ∗ 𝑐𝑜𝑠(18.5) = −3𝐹;
Рис. 4.2
𝑆11 = −3𝐹
Рассмотрим узел F:
⃗⃗⃗
𝑆6
∑ 𝐹𝑖𝑥 = 0: −𝑆6 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝐸 ) + 𝑆10 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝐸 ) = 0;
F
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑆10
⃗⃗⃗9
𝑆
𝑆6 =
𝑆10 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝐸 )
;
𝑐𝑜𝑠(𝑎𝐸 )
𝑆6 = 𝑆10 = 3.15𝐹;
∑ 𝐹𝑖𝑦 = 0: −𝑆9 + 𝑆6 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝐸 ) − 𝑆10 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝐸 ) = 0;
𝑆9 = 𝑆6 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝐸 ) − 𝑆10 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝐸 ) =
Рис. 4.3
= 3.16𝐹 ∗ 𝑠𝑖𝑛(18.5) − 3.15𝐹 ∗ 𝑠𝑖𝑛(18.5) = 0;
𝑆9 = 0
3
Рассмотри узел D:
∑ 𝐹𝑖𝑦 = 0: 𝑆7 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑎) + 𝑆9 = 0;
𝑆7 = −𝑆9 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑎) = 0 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑎) = 0
𝑆7 = 0
⃗⃗⃗9
𝑆
⃗⃗⃗
𝑆7
∑ 𝐹𝑖𝑥 = 0: − 𝑆8 + 𝑆11 = 0
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑆11
⃗⃗⃗
𝑆8
𝑆8 = 𝑆11 = −3𝐹
D
Рис. 4.4
Рассмотрим узел G:
∑ 𝐹𝑖𝑥 = 0: − 𝑆2 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝐸 ) + 𝑆6 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝐸 ) = 0;
⃗⃗⃗
𝑆2
𝑆2 = 𝑆6 = 3.15𝐹
G
∑ 𝐹𝑖𝑦 = 0: − 𝑆5 + 𝑆2 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝐸 ) − 𝑆6 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝐸 ) − 𝑆7
⃗⃗⃗
𝑆6
⃗⃗⃗
𝑆5
∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝐷 ) = 0;
𝑆5 = −𝑆7 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝐷 ) = 0
⃗⃗⃗
𝑆7
Рис. 4.5
Рассмотрим узел C:
⃗⃗⃗
𝑆5
∑ 𝐹𝑖𝑦 = 0: 𝑆3 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝐶 ) + 𝑆5 = 0
⃗⃗⃗
𝑆3
𝑆3 = −
⃗⃗⃗
𝑆4
C
⃗⃗⃗
𝑆8
𝑆5
𝑠𝑖𝑛(𝑎𝐶 )
𝑆3 = 0
Рис. 4.6
Проверка:
∑ 𝐹𝑖𝑥 = −𝑆4 + 𝑆8 = 3𝐹 − 3𝐹 = 0
4
Максимальное растягивающее усилие:
𝑚𝑎𝑥
𝑆раст
= 𝑆2 = 𝑆6 = 𝑆10 = 3.15𝐹
Максимальное сжимающее усилие:
𝑚𝑖𝑛
𝑆сж
= 𝑆4 = 𝑆8 = 𝑆11 = −3𝐹
5. По заданным допускаемым усилиям на растяжение и сжатие найти
максимально допускаемую нагрузку F на ферму консольного крана.
𝑁раст 220
=
= 69.84 кН;
3.15 3.15
𝑁сж 176
𝑚𝑎𝑥
𝑆сж
= −3𝐹 ≤ 𝑁сж = 176 кН → |𝐹| ≤
=
= 58.67 кН
3
3
𝑚𝑎𝑥
𝑆раст
= 3.15𝐹 ≤ 𝑁раст = 220кН → |𝐹| ≤
Выбираем из двух вариантов наименьший ответ:
F = 58.67 кН
⃗⃗⃗⃗𝐵 | = 3𝐹 |𝑋
⃗⃗⃗⃗𝐴 | = 3𝐹; |𝑌
⃗⃗⃗𝐴 | = 𝐹; 𝑆раст = 3.15𝐹; 𝑆сж = −3𝐹; 𝐹 =58,67 кН
Ответ: |𝑋
5
6