контрольная введение в физикуКР

Содержание
Контрольная работа 1 ............................................................................................. 3
Задача 1.1 .............................................................................................................. 3
Задача 1.2 .............................................................................................................. 5
Задача 1.3 .............................................................................................................. 7
Задача 1.4 .............................................................................................................. 8
Задача 1.5 .............................................................................................................. 9
Контрольная работа 2 ........................................................................................... 10
Задача 1.1 ............................................................................................................ 10
Задача 1.2 ............................................................................................................ 12
Задача 1.3 ............................................................................................................ 14
Задача 1.4 ............................................................................................................ 15
Задача 1.5 ............................................................................................................ 16
Задача 1.6 ............................................................................................................ 17
3
Контрольная работа 1
Задача 1.1
Найти модуль разности векторов | a  b | и косинус угла α между
векторами a и b .
Ответ округлить до двух значащих цифр.
Решение:
По рисунку найдем координаты векторов a и b :
a  ( 2  3; 2  5)  ( 1;  3),
b  (6  1; 5  7)  (5;  2).
Теперь находим разность векторов и модуль этой разности:
a  b  ( 1;  3)  (5;  2)  ( 1  5;  3  ( 2))  ( 6;  1),
| a  b || ( 6;  1) | ( 6) 2  ( 1) 2  36  1  37  6,1.
Вычислим косинус угла α между векторами a и b :
4
cos  

1
290
a b
( 1;  3)  (5;  2)


( 1;  3)  (5;  2)
a b
56
( 1)  ( 3)  5  ( 2)
2
2
 0,06.
Ответ: | a  b | 6,1 ;
cos  0,06 .
2
2

1
10  29

5
Задача 1.2
Найти модуль суммы векторов
|a b |
и модуль векторного
произведения [ a  b ] .
Ответ округлить до двух значащих цифр.
Решение:
По рисунку найдем координаты векторов a и b :
a  (1  4; 7  2)  ( 3; 5),
b  (5  7;1  5)  ( 2;  4).
Теперь находим сумму векторов и модуль этой суммы:
a  b  ( 3; 5)  ( 2;  4)  ( 3  ( 2); 5  ( 4))  ( 5;1),
| a  b || ( 5;1) | ( 5) 2  12  25  1  26  5,1.
Модуль векторного произведения находится по формуле:

[ a  b ] | a |  | b |  sin( a , b ) .
6
Определяем последовательно:
| a | ( 3; 5)  ( 3) 2  52  9  25  34 ,
| b | ( 2;  4)  ( 2) 2  ( 4) 2  4  16  20 ,

cos( a , b ) 
a b
( 3; 5)  ( 2;  4)


( 3; 5)  ( 2;  4)
a b


sin( a , b )  1  cos ( a , b )  1  ( 
2
[ a  b ]  34  20 
6  20
14
7


;
34  20
2 170
170
7 2
11
) 
;
170
170
11
 22.
170
Ответ: | a  b | 5,1 ;
[a  b ]  22 .
7
Задача 1.3
Найти
значение
производной
от
функции
f ( x)  ln(sin x)  sin(ln x) в точке с координатой х=1.
Решение:
Находим производную функции:
f / ( x )  [ln(sin x )  sin(ln x )]/ 
 ctgx 
1
1
 cos x  cos(ln x )  
sin x
x
cos(ln x )
.
x
Определяем значение производной в точке х=1:
cos(ln 1)
f (1)  ctg1 
 ctg1  1 .
1
/
Ответ:
f / (1)  ctg1  1 .
8
Задача 1.4
Найти частные производные z x и z y функции z  e
/
/
Решение:
Находим искомые частные производные:
z x/  [e xy ]/x  e xy  y  ye xy ,
z y/  [e xy ]/y  e xy  x  xe xy .
/
xy
/
xy
z

e
,
z

xe
y
Ответ: x
.
xy
.
9
Задача 1.5
Найти градиент функции u  f ( x, y, z ) в точке М.
u  x  ln( z 2  y 2 ) , М(2;1;1)
Решение:
Градиент функции u  f ( x, y, z ) в точке M равен
grad u ( M ) 
u
u
u
(M )  i 
(M )  j 
(M )  k .
x
y
z
Находим частные производные первого порядка функции:
u  ( x  ln( z 2  y 2 ))

 1,
x
x
u  ( x  ln( z 2  y 2 ))
2y

 2
,
y
y
z  y2
u  ( x  ln( z 2  y 2 ))
2z

 2
.
2
z
z
z y
Тогда
u
u
(M ) 
( 2;1;1)  1;
x
x
u
u
2 1
(M ) 
( 2;1;1)  2 2  1;
y
y
1 1
u
u
2 1
(M ) 
( 2;1;1)  2 2  1.
z
z
1 1
Значит, градиент функции u в точке M равен
grad u ( M )  1 i  1 j  1 k  (1;1;1) .
Ответ:
grad u ( M )  (1;1;1) .
10
Контрольная работа 2
Задача 1.1
Частица движется так, что ее радиус-вектор зависит от времени по
закону
t
t
t
r (t )  i  A( ) 3  j  ( B ( ) 4  A( ) 6 )  k  sin t ,

А,В,ω – постоянные величины,

i , j, k

где
– единичные орты в декартовой
системе координат. Через сколько секунд скорость частицы окажется
перпендикулярной оси у, если τ=1 с, А=4 м, В=2 м, ω=π/2 рад/с.
Решение:
Функция скорости частицы – это производная функции радиус-вектора:
t
t
t
v (t )  r / (t )  i  [ A( ) 3 ]t/  j  [ B ( ) 4  A( ) 6 ]t/  k  [sin t ]t/ 

i 


3A t 2
4B t 3 6 A t 5
( )  j (
( ) 
( ) )  k   cos t.
 
 
 
Направляющий вектор оси у – это вектор
j  (0;1;0) . Скорость
частицы будет перпендикулярна оси у, если скалярное произведение векторов
v (t ) и j будет равно нулю, т.е.
11
3 A t 2 4B t 3 6 A t 5
v (t )  j  ( ( ) ;
( ) 
( ) ;  cos t )  (0;1; 0) 
 

 
 
4B t 3 6 A t 5
( ) 
( )  0,
 
 
t3
t5
4B

3
 6A

5
 0,
t 3 ( 4 B 2  6 At 2 )  0,
t 3  0 или 4 B 2  6 At 2  0,
2 B 2
t  0 или t 
,
3A
2
t  0 или t 
2B
2B
 или t  
.
3A
3A
По смыслу задачи время положительно, т.е.
t
2B
.
3A
Подставляя известные значения, находим:
t
22
 1  0,577 с .
3 4
Ответ: а) 0,577 с.
12
Задача 1.2
Частица движется так, что ее радиус-вектор зависит от времени по
t 3
t 3
t 5
r (t )  i  A( )  j  A cos t  k  ( B ( )  A( ) ) , где
закону

А,В,ω – постоянные величины,


i , j , k – единичные орты в декартовой
системе координат. Через сколько секунд ускорение частицы окажется
перпендикулярной оси z, если τ=1 с, А=3 м, В=4 м, ω=π/2 рад/с.
Решение:
Функция ускорения частицы – это вторая производная функции радиусвектора:
t
t
t
v (t )  r / (t )  i  [ A( ) 3 ]t/  j  [ A cos t ]t/  k  [ B ( ) 3  A( ) 5 ]t/ 



3A t
3B t
5A t
 i  ( ) 2  j  A sin t  k  ( ( ) 2  ( ) 4 );
 
 
 
3A t
3B t
a (t )  v / (t )  i  [ ( ) 2 ]t/  j  [ A sin t ]t/  k  [ ( ) 2 
 
 
5A t
6A t
6 B t 20 A t
 ( ) 4 ]t/  i  2   j  A 2 cos t  k  ( 2   2 ( ) 3 ) 
 
 
   
6 At
6 Bt 20 At 3
2
 i  3  j  A cos t  k  ( 3  5 ).



Направляющий вектор оси z – это вектор k  (0; 0;1) . Ускорение
частицы будет перпендикулярно оси z, если скалярное произведение векторов
a (t ) и k будет равно нулю, т.е.
13
a (t )  k  (

6 Bt

3

6 At

3
20 At 3

5
;  A cos t ;
2
6 Bt

3

20 At 3

5
 0,
t (6 B 2  20 At 2 )  0,
t  0 или 6 B 2  20 At 2  0,
3 B 2
t  0 или t 
,
10 A
2
3B
3B
t  0 или t 
 или t  
.
10 A
10 A
По смыслу задачи время положительно, т.е.
t
3B
.
10 A
Подставляя известные значения, находим:
t
3 4
 1  0,632 с .
10  3
Ответ: д) 0,632 с.
)  (0; 0;1) 
14
Задача 1.3
Частица начало свое движение из начала координат, и ее скорость
зависит от времени по закону
постоянные величины,
i, j
t 5
v (t )  (i  A  j  B )( ) , где А,В –

– единичные орты в декартовой системе
координат. Какой путь проделает частица за время t=1 с, если τ=1 с, А=2 м/с,
В=3 м/с.
Решение:
Если скорость тела меняется и задан закон этого изменения v(t) на
некотором отрезке от 0 до t с, то пройденный путь можно определить через
определенный интеграл:
t
t
0
0
s  s0   v (t ) dt  s0   (v x (t )) 2  (v y (t )) 2 dt
.
У нас:
s0  0, t  1,
t
t
v x (t )  A( ) 5  2( ) 5  2t 5 ,

1
t
t
v y (t )  B ( ) 5  3( ) 5  3t 5 ,

1
1
1
1
s  0   ( 2t )  (3t ) dt   4t  9t dt   13t 10 dt 
5 2
0
5 2
10
0
1
10
0
13 6 1
13 6
13
 13  t dt 
t |
(1  0 6 ) 
 0,60 ( м ).
6
0
6
6
0
5
Ответ: д) 0,60 м.
15
Задача 1.4
Частица начало свое движение из начала координат с нулевой начальной
скоростью,
и
ее
ускорение
зависит
от
времени
по
закону
t 4
t 8
a (t )  i  A( )  j  B ( ) , где А,В – постоянные величины, i , j –


единичные орты в декартовой системе координат. Какая величина скорости
будет у частицы в момент времени t=1 с, если τ=1 с, А=3 м/с2, В=4 м/с.
Решение:
Если ускорение тела меняется и задан закон этого изменения a(t) на
некотором отрезке от 0 до t с, то величину скорости можно определить через
определенный интеграл:
t
t
0
0
v  v0   a (t ) dt  v0   ( a x (t )) 2  ( a y (t )) 2 dt
или
v  (v x (t )) 2  (v y (t )) 2
У нас:
v0  0, t  1,
t
t
a x (t )  A( ) 4  3( ) 4  3t 4 ,

1
t
t
a y (t )  B ( ) 8  4( ) 8  4t 8 ,

1
1
v x  0   3t 4 dt 
0
1
v y  0   4t 8 dt 
0
v
3 51 3 5
3
t |  (1  0 5 )  ,
5 0 5
5
4 91 4 9
4
t |  (1  0 9 )  ,
9 0 9
9
3
4
( )2  ( )2 
5
9
9
16


25 81
Ответ: г) 0,747 м/с.
1129
 0,747 ( м / с ).
2025
16
Задача 1.5
Частица из состояния покоя начала двигаться по дуге окружности
радиуса R=1 м так, что угол поворота зависит от времени по закону
t 3
  A( ) . Найти тангенциальное ускорение частицы через время t=1 с,

если τ=1 с, А=2 рад.
Решение:
Выразим через заданные величины угол поворота:
t 3
  2 ( )  2t 3 .
1
Угловая скорость – это производная от угла поворота:
   /  [2t 3 ]/  6t 2 .
Определяем линейную скорость:
v  R  6t 2 1  6t 2 .
Тангенциальное ускорение – это производная от линейной скорости:
a  v /  [6t 2 ]/  12t .
Наконец, находим тангенциальное ускорение частицы через время t=1 с:
a (1)  12  1  12 ( м / с 2 ) .
Ответ: а) 12 м/с2.
17
Задача 1.6
Диск вращается с угловым ускорением, зависимость от времени
которого задается графиком. Найти максимальную угловую скорость диска в
интервале времени 0<t<4 с, если  max  2 c
2
.
Решение:
Угловая скорость определяется по формуле:
  t .
По графику находим:
max   max t  2  3  6 c 1 .
Ответ: в) 6 с-1.