Признаки делимости: учебный проект по математике

Признаки делимости
Руководитель: Ярмоленко Наталья Юрьевна
Исполнитель: Циганович зоя
На уроках математики мы проходили признаки делимости. Меня эта тема
заинтересовала.
Знание этих признаков помогает в быстром счете и в решении
олимпиадных задач. Этой теме я посветила свой проект.
Цель проекта: глубже изучить признаки делимости и научиться применять
их на практике.
В ходе работы над проектом я:
1. Изучила систематизацию признаков.
2. Более глубоко изучила свойства делимости .
3. Изучила доказательства некоторых признаков и решила с их
использованием несколько олимпиадных задач.
4. В конце проекта написала программу проверки делимости числа на 3 с
использованием признака делимости на языке Python
При доказательстве признаков делимости будем использовать свойства делимости.
Свойства делимости целых чисел
Если целые слагаемые a и b делятся на целое число c, то сумма a+b делится на c.
Если одно из двух целых слагаемых a и b делится на целое число c, а второе нет, то сумма a+b не делится на c.
Если целое число a делится на целое число b, то произведение a·k, где k – произвольное целое число, делится
на b.
Ноль делится на любое целое число отличное от ноля.
Классификация признаков делимости
1. Признаки делимости по последним цифрам
Целое число
делится на:
Если:
2
5
10
4
оно оканчивается цифрой: 0, 2, 4, 6, 8 (напр. 26, 38, 150)
25
оно оканчивается на 00, 25, 50 или 75 (напр. 5200, 925,
3275)
оно оканчивается цифрой 0 или 5 (напр. 100, 35)
оно оканчивается цифрой 0 (напр. 120, 60, 200)
две последние цифры этого числа образуют число,
делящееся на 4 (напр. 316, 2540)
2.Признаки делимости по арифметическим операциям над цифрами числа
Целое число делится на:
3
9
7(признак 1)
7(признак 2)
11 (признак 1)
11 (признак 2)
11 (признак 3)
Если:
сумма цифр этого числа делится на 3 (напр. 225 делится на 3, т.к. сумма
цифр 2+2+5= 9, делится на3)
сумма цифр этого числа делится на 9 (напр. 351 делится на 9, т.к. сумма цифр
3+5+1 = 9, делится на 9)
результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без
последней цифры делится на 7 (напр. 343 делится на 7, так как 34-(2·3)=34-6=28
делится на 7)
знакочередующаяся сумма его трёхзначных граней делится на 7.( Трёхзначные
грани числа — это числа, которые получены разбиением исходного числа на
трёхзначные числа начиная с его конца) (напр. 626647 делится на 7, так как 626647=-21 – кратно 7)
знакочередующаяся сумма цифр делится на 11 (напр. 14641 делится на 11, так
как 1-4+6-4+1=0, делится на 11)
сумма его двузначных граней делится на 11 (напр. 1002001 делится на 11, так
как 1+20+01=22 – кратно 11)
если знакочередующаяся сумма его трёхзначных граней делится на 11
(напр. 1002001 делится на 11, так как 1-2+1=0 – кратно 11)
3.Признаки делимости составных чисел
Целое число
Если:
делится на:
6
оно делится и на 2 и на 3 одновременно (напр. 20148 делится на 6, так как число чётное и
2+0+1+4+8=15 – делится на 3)
12
оно делится на 3 и 4 одновременно (напр. 15 743 400 делится на 12, так как оно делится на
3 и 4)
14
оно делится на 2 и на 7 одновременно, (напр. 34692- делится на 14, так как оно делится на 2
и 7)
15
оно делится на 3 и на 5 одновременно (напр. 15 743 400 делится на 15, так как оно делится
на 3 и 5)
18
оно делится на 2 и 9 одновременно (напр. 22410 делится на на 18, так как оно делится 2 и 9)
Приведу примеры разобранных мною доказательств признаков
делимости.
Доказательство признака делимости на 3
Формулировка признака делимости на 3 такова: целое число делится на 3
тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Докажем это на примере четырехзначного числа.
Любое целое число a мы можем разложить по разрядам и представить в
виде
a=a3·1000+a2·100+a1·10+a0, где a3, a2,а1, a0 – цифры, стоящие слева направо
в записи числа a.
Преобразуем число а в виде двух слагаемых:
a=a3·(999+1)+a2·(99+1)+a1·(9+1)+a0=(а3·999+а2·99+а1·9)+(a3+ a2+а1+a0)
По свойствам делимости первое слагаемое делится на 3, следовательно сумма
будет делиться на 3 тогда и только тогда, когда второе слагаемое (a3+ a2+а1+a0)
делится на 3, то есть на 3 делится сумма цифр числа а, что и требовалось доказать.
Доказательство признака делимости на 7 (признак 1)
Формулировка признака делимости на 7 такова: Целое число делится на 7, если разница между этим числом без
последней цифры и удвоенной последней цифрой делится на 7.
Доказательство. Пусть a - число, которое мы хотим проверить на делимость на 7, a0 – количество единиц в этом
числе.
Тогда число без последней цифры равно:
(a-a0)
-------10
А разность между этим числом и удвоенным числом единиц равна:
(a-a0)
a-21a0
-------- - 2а0=
-------------10
10
Число 10 в знаменателе на 7 не делится, поэтому будем рассматривать только числитель. Так как слагаемое 21a0 в числителе
делится на 7 (число 21 делится на 7), то всё выражение делится на 7 тогда и только тогда, когда число a делится на 7, что и
требовалось доказать
ПРИВЕДУ ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ ПРИЗНАКА ДЕЛИМОСТИ НА 11
ЗАДАЧА : Существует ли точный квадрат, имеющий вид ААВВ?
РЕШЕНИЕ : Предположим, что это число является полным квадратом.
Представим его в виде:
1000А+100А+10В+В=1100А+11В=11(100А+В).
Второй сомножитель 100А+В имеет вид А0В
и должен быть кратным 11 (что следует из предположения, что число есть полный квадрат). Следовательно, по
признаку делимости знакочередующаяся сумма его цифр равная А-0+В – делится на 11.
Значит А+В=11 (так как А и В < 10).
Отсюда А=11-В.
Преобразуем число:
11(100А+В) =11(100(11-В)+В)=11(1100-100В+В)=11(1100-99В)=112 (100-9В),
где 100-9В должно быть полным квадратом, что возможно только при В=4
(100-9*4=64=82).
Отсюда следует, что А=11-4=7, а полный квадрат равен 112*82=882.
Ответ. Да, существует. Единственный вариант 7744=882
В конце проекта на основе признака делимости на 3 я написала программу.
В языке программирования Python есть команда, которая определяет остаток от деления одного целого числа на
другое целое. Но я решила написать программу определения кратности числа числу 3 без использования этой
команды, а с помощью признака делимости на 3. Это позволило мне глубже понять сам признак делимости и
поучиться составлять программы на языке Python.
Изучая признак делимости на 3, я обратила внимание на то, что если сумма его цифр делится на 3, то и сложив
цифры полученной суммы мы получим число кратное 3. Это свойство я заложила в алгоритм программы. Я
нахожу суммы цифр до тех пор, пока полученный результат не станет меньше 10, а затем сравниваю его с
числами 0, 3, 6 и 9.
a = input("Введите число: ")
a0 = a
while True:
b=0
for i in a0:
b = b + int(i)
if b < 10:
break
else:
a0 = str (b)
if b == 0 or b == 3 or b == 6 or b == 9:
print("Число", a,"кратно 3")
else:
print("Число", a,"не кратно 3")
По итогам работы могу сказать цель работы достигнута , поставленные задачи
решены.
Данная тема проекта помогла мне разобраться в секретах делимости.
Работа была интересной и полезной.