Самостоятельные работы по геометрии 7 класс

САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
ПО ГЕОМЕТРИИ
7 КЛАСС
Учебник Л.С. Атанасян и др.
«Геометрия 7-9»
1
Содержание
Начальные геометрические сведения
Работа № 1: «Измерение отрезков»
3
Работа № 2: «Измерение углов»
5
Работа № 3: «Равные треугольники»
7
Работа № 4: «Смежные и вертикальные углы»
9
Работа № 5: «Биссектриса угла»
11
Треугольники
Работа № 6: «Первый и второй признаки равенства треугольников» 13
Работа № 7: «Равнобедренный треугольник »
17
Работа № 8: «Треугольник»
20
Работа № 9: «Свойства равнобедренного треугольника»
22
Работа № 10: «Третий признак равенства треугольников»
25
Параллельные прямые
Работа № 11: «Признаки параллельности прямых»
28
Работа № 12: «Свойства параллельных прямых»
32
Работа № 13: «Параллельные прямые»
35
Соотношения между сторонами и углами треугольника
Работа № 14: «Сумма углов треугольника »
37
Работа № 15: «Сумма углов треугольника, внешний угол»
39
Работа № 16: «Прямоугольный треугольник»
42
Окружность
Работа № 17: «Окружность»
45
Построения
Работа № 18: «Построения»
48
Используемая литература
49
2
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
ПО ГЕОМЕТРИИ
7 КЛАСС
Начальные геометрические сведения
Работа № 1: «Измерение отрезков»
Вариант 1
1. Точка А принадлежит отрезку DС, равному 54 см. Найдите длины отрезков DА и
СА, если отрезок DА в 8 раз меньше отрезка СА.
2. Точка N лежит на прямой МК между точками М и К. Найдите расстояние между
серединами отрезков МN и NК, если МN = 17 см, NК = 12 см.
3. Точки О, Р, К лежат на одной прямой. Известно, что ОК = 18 м. ОР = 7 м,
РК = 11 м. Может ли точка К лежать между точками О и Р? Ответ обоснуйте.
Вариант 2
1. Точка А принадлежит отрезку DС, равному 30 см. Найдите длины отрезков DА и
СА, если отрезок DА в 5 раз больше отрезка СА.
2. Точка N лежит на прямой МК между точками М и К. Найдите расстояние между
серединами отрезков МN и NК, если МN = 32 см, NК = 5 см.
3. Объясните, почему точки М, N и L не лежат на одной прямой, если МN = 8дм, М L
= 5дм, NL = 6дм
Вариант 3
1. Точки М, Р и О принадлежат одной прямой, причём точки М и Р лежат по разные
стороны от точки от точки О. Найдите длины отрезков ОМ и ОР, если МР = 28 см,
а отрезок ОМ на 12 см короче отрезка ОР.
2. Точка D принадлежит отрезку ОМ. Найдите его длину, если ОD= 15 см, а DМ в 4
раза меньше, чем ОМ.
3. Точка А лежит на прямой ВС. Найдите длину отрезка АС, если АВ = 23м, ВС = 9м.
Сколько решений имеет задача?
Вариант 4
1. Точка М, К и О принадлежат одной прямой, причём точки М и К лежат по разные
стороны от точки О. Найдите длины отрезков ОМ и ОК, если МК = 48см, а отрезок
ОМ на 4см длиннее отрезка ОК.
2. Точка D принадлежит отрезку ОМ. Найдите длину отрезка ОМ, если ОМ на 6см
больше, чем DМ, а ОD =2ДМ.
3. Точка А лежит на прямой ВС. Найдите длину отрезка АС, если АВ = 19м, ВС =
11м. Сколько решений имеет задача?
Вариант 5
1. Точки М, Р и О принадлежат одной прямой. Причем точки М и Р лежат по разные
стороны от точки О. Найдите длины отрезков ОМ и ОР, если МР = 35, и ОМ: ОР=
1: 6.
2. Точка D принадлежит отрезку ОА. Найдите его длину. Если ОD = 12 см, а АD на 5
см меньше, чем ОА.
3. Расстояние между точками А и В равно 8 см, а расстояние между точками В и С – 5
см. Может ли расстояние между А и С быть 13 см? Объясни почему.
3
Вариант 6
1. Точки К, Т и О принадлежат одной прямой. Причём точки К и Т лежат по разные
стороны от точки О. Найдите длины отрезков КО и ОТ, если КТ = 36 и КО
составляет 2/3 отрезка КТ
2. Точка О принадлежит отрезку ХУ. Найдите его длину, если ОУ = 20 см, а ОХ на 5
см меньше, чем ХУ.
3. Расстояние между точками В и С равно 3 см, а расстояние между точками В и D –
8см. Может ли расстояние между С и D быть 11 см? Объясни почему.
Вариант 7
1. Точки А, В, и С принадлежат прямой. Причём точки А и С лежат по разные
стороны от точки В. Найти отрезок АС, если АВ = 10см, что составляет 1/5 отрезка
АС.
2. Точка К принадлежит отрезку МN. Найдите его длину, если МК = 16 см, а КN
составляет 40% отрезка МN.
3. Расстояние между точками К и Т равно 4 см, а расстояние между точками Т и N –
9см. Может ли расстояние между К и N быть 12 см? Объясни почему.
Вариант 8
1. Точки О принадлежит отрезку АВ, равному 24 см., причём точки А и В лежат по
разные стороны от точки О. Найти длины отрезков АО и ОВ, если разность
отрезков АО и ОВ составляет 12см.
2. Точка D принадлежит отрезку РК. Найдите его длину, если РD = 32 см, а DК
составляет 1/5 отрезка МN.
3. Расстояние между точками N и М равно 11 см, а расстояние между точками М и Т
на 3 см меньше. Может ли расстояние между N и Т быть 15 см? Объясни почему.
Вариант 9
1. Точка Е отрезка КD находится в 4 раза ближе к точке А, чем к точке D. Найдите КЕ
и ЕД, если КD = 50см.
2. Точка М принадлежит отрезку АВ. Найдите его длину, если АМ = 42 см, а МВ
составляет 2/3 отрезка АВ.
3. Точки А, В и С лежат на одной прямой. Может ли точка В разделять точки А и С,
если АС – 5 см, ВС = 7 см.? Объясни почему.
Вариант 10
1. Точки А, В, и С принадлежат прямой. Причём точки А и С лежат по разные
стороны от точки В. ВС =30 см. Найти отрезок АС, если АВ равен 2/3 ВС.
2. Точки Х, У, С, D лежат на одной прямой. У – середина ХС, УС = 14 см, СD = 20 см.
Найдите ХD.
3. Точки М, N, К и Р лежат на одной прямой. Найдите КР, если МN = 20 см, МК = 6
см, NР =8 см.
4
Работа № 2: «Измерение углов»
Вариант 1
1. Из точки М выходят три луча МР, МN, МК, причём луч МN проходит между
сторонами угла РМК. Определите градусную меру угла РМК, если КМN = 40°,
РМN в 3 раза больше КМN.
2. Луч m проходит между сторонами угла (bc). Найдите (bm) и (сm), если (bс) =
150°, (bm) в4 раза меньше, чем (сm).
3. Луч ОА проходит между сторонами угла ВОС. Найдите АОВ и АОС, если
ВОС = 75° и АОВ на 13° меньше, чем  АОС.
Вариант 2
1. Из точки М выходят три луча МР, МN, МК, причём луч МN проходит между
сторонами угла РМК. Определите градусную меру угла РМК, если РМN = 110°,
КМN на 50° меньше РМN.
2. Луч m проходит между сторонами угла (bc). Найдите (bm) и (сm), если (bс) =
80°, (bm) в 4 раза больше, чем (сm).
3. Луч ОА проходит между сторонами угла ВОС. Найдите АОВ и АОС, если
ВОС = 148° и АОВ на 28° больше, чем  АОС.
Вариант 3
1. Из точки О выходят три луча ОР, ОN, ОК, причём луч ОN проходит между
сторонами угла РОК. Определите градусную меру угла РОК, если КОN = 120°,
РОN в 3 раза меньше КОN.
2. Луч m проходит между сторонами угла (bc). Найдите (bm) и (сm), если (bс) =
75°, (bm) в 4 раза меньше, чем (сm).
3. Луч ОА проходит между сторонами угла ВОС. Найдите АОВ и АОС, если
ВОС = 68° и АОС на 22° меньше, чем АОВ.
Вариант 4
1. Из точки О выходят три луча ОР, ОN, ОК, причём луч ОN проходит между
сторонами угла РОК. Определите градусную меру угла РОК, если РОN = 20°,
КОN на 20° больше РОN.
2. Луч m проходит между сторонами угла (bc). Найдите (bm) и (сm), если (bс) =
60°, (bm) в 5 раза больше, чем (сm).
3. Луч ОА проходит между сторонами угла ВОС. Найдите АОВ и АОС, если
ВОС = 168° и АОС на 22° больше, чем  АОВ.
Вариант 5
1. Из точки О выходят три луча ОА, ОВ, ОС, причём луч ОВ проходит между
сторонами угла АОС. Определите градусную меру угла АОС, если АОС =150°, и
АОВ: ВОС = 2: 3.
2. Луч n проходит между сторонами угла(ac). Найдите угол (nc), если угол (ас) =
160°, а разность углов (аn) и (nc) равна 40°.
3. Луч с – биссектриса (ab). Луч d - биссектриса (ac). Найдите (bd), если
(ad)=80°.
5
Вариант 6
1. Из точки О выходят три луча ОА, ОВ, ОС, причём луч ОВ проходит между
сторонами угла АОС. Определите градусную меру угла АОС, если АОС =160°, и
АО : ВОС = 1: 3.
2. Луч n проходит между сторонами развёрнутого угла (ac). Найдите угол (nc), если
угол (аn) = 60°.
3. Луч с – биссектриса угла(ab). Луч d - биссектриса угла (ac). Найдите угол (bd), если
угол (ad)=20°.
Вариант 7
1. Из точки О выходят три луча ОD, ОЕ, ОС, причём луч ОС проходит между
сторонами угла АОС. Определите градусную меру угла АОС, если DОС =120°, и
АОЕ составляет 2/3 угла DОС.
2. Луч p проходит между сторонами развёрнутого угла (ac). Найдите угол (nc), если
угол (аn) = 60°.
3. Из вершины угла проведен луч, перпендикулярный его биссектрисе и образующий
со стороной данного угла острый угол, равный 30°. Найдите величину данного
угла.
Вариант 8
1. Из точки О выходят три луча ОD, ОЕ, ОС, причём луч ОС проходит между
сторонами угла АОС. Определите градусную меру угла АОС, если DОЕ =80° и
СОЕ составляет 1/4 угла DОЕ.
2. Луч k проходит между сторонами угла прямого угла (aс). Найдите угол (аk), если
угол (kc) = 30°.
3. Из вершины угла, равного 80°, проведен луч, перпендикулярный биссектрисе угла.
Какие углы образует этот луч со сторонами этого угла?
Вариант 9
1. Из точки С выходят три луча СD, СК, СМ, причём луч ОК проходит между
сторонами угла ДСМ. Определите градусную меру угла ДСМ, если DСК =150°,
что составляет 3/4 угла DСМ.
2. Луч k проходит между сторонами угла (ac). Найдите угол (kc), если угол (аk) = 60°,
а сумма углов (аk) и (kc) равна 140°.
3. Луч с проходит между сторонами угла (ав), который равен 90°. Найдите углы (ас) и
(вс), если угол (ас) в два раза больше угла (вс).
Вариант 10
1. Из точки С выходят три луча СD, СК, СМ, причём луч ОК является биссектрисой
угла DСМ. Определите градусную меру угла DСМ, если DСК = 53°.
2. Луч p проходит между сторонами угла (ac). Найдите угол (pc), если угол (аp)
=160°, а угол (pc) составляет 20% угла (аp).
3. Между сторонами угла (ав), который равен 80°, проходит луч с. Найдите угол (ас),
если угол (св) в три раза меньше угла (ас).
6
Работа № 3: «Равные треугольники»
Вариант 1
1. Дано: ∆DВЕ = ∆АОС. Известно, что DЕ = 4,5 см, DВ = 9 см, D = 60°, В = 30°.
Найдите соответствующие стороны и углы треугольника АОС.
2. На стороне ВС треугольника АВС взята точка D. Найдите длину отрезка ВD, если
он на 5см короче, чем DС, а сторона ВС равна 18см.
Вариант 2
1. Дано: ∆АВС = ∆КОР. Известно, что КР = 2 см, О = 90°, К = 45°. Найдите
соответствующие им стороны и углы треугольника АВС.
2. На стороне ВС треугольника АВС взята точка D. Найдите ВАD, если он в 2раза
меньше, чем САD, а ВАС = 84°.
Вариант 3
1. Дано: ∆DВЕ = ∆МОС. Известно, что DЕ = 4,75 см, DВ = 9,5 см, D = 60°, Е = 90°.
Найдите соответствующие стороны и углы треугольника МОК.
2. На стороне ВС треугольника АВС взята точка D. Найдите отрезок ВD, если он на 3
см длиннее, чем DС, а сторона ВС равна 13см.
Вариант 4
1. Дано: ∆НВМ = ∆КОР. Известно, что ОР = 2,4 см, РК = 1,2 см. О = 30°, К = 90°.
Найдите соответствующие им стороны и углы треугольника НВМ.
2. На стороне ВС треугольника АВС взята точка D. Найдите ВАD, если он в 3 раза
больше, чем САD, а ВАС = 75°.
Вариант 5
1. Дано: ∆АВС = ∆МКР, АВ = 9 см, ВС = 18 см, АС = 13 см. Найдите
соответствующие стороны МКР.
2. На стороне АС треугольника АВС взята точка К. Найдите длину отрезка АК, если
АК составляет 1/3 отрезка АС, а сторона АС = 18 см.
Вариант 6
1. Дано: ∆МNR = ∆ CTK, CT = 9 см, СК = 4 см, КСТ = 90°. Найдите
соответствующие стороны и угол треугольника МNR.
2. На стороне АС треугольника АВС взята точка К. Найдите длину отрезка КС, если
КС составляет 2/3 отрезка АК, а отрезок АК = 18 см.
Вариант 7
1. Дано: ∆СРК = ∆ МNR, КРС = 30°, РСК = 60°, РС = 8 см. Найдите
соответствующие углы и сторону треугольника МNR.
2. На стороне АС треугольника АВС взята точка К. Найдите длину отрезка АК, если
АК: КС=2:5 и АС= 21см.
Вариант 8
1. Дано: ∆АВР = ∆СDК, А = 30°, В= 40°, С=110°. Найдите соответствующие
углы треугольника СDК.
7
2. На стороне АС треугольника АВС взята точка К. Найдите АВК, если АВК:
КВС=2:3, а АВС=100°.
Вариант 9
1. Дано: ∆АОВ = ∆СМР, АО = 5см, ОВ = 8 см, М = 45°. Найдите соответствующие
стороны и угол треугольников АОВ и СМР.
2. На стороне АС треугольника АВС взята точка К. Найдите КВС, если сумма углов
АВК и КВС равна 120°, а угол АВК в 4 раза меньше угла КВС.
Вариант 10
1. Дано: ∆ РСD=∆ ХУZ, D = 65°, ХУ=9см, УZ=15см. Найдите соответствующие
стороны и угол треугольников РСД и ХУZ.
2. На стороне АС треугольника АВС взята точка К. Найдите КВС, если угол
АВС=150° а угол АВК составляет 30% угла АВС.
8
Работа № 4: «Смежные и вертикальные углы»
Вариант 1
1. Найдите углы, полученные при пересечении двух прямых, если один из углов
равен 74°.
2. Найдите величины смежных углов, если один из них а 5 раз больше другого.
3. Найдите величину каждого из двух вертикальных углов, если их сумма равна 48°.
Вариант 2
1. Найдите углы, полученные при пересечении двух прямых, если один из углов
равен 124°.
2. Чему равны смежные углы, если один из них на 30° меньше другого.
3. Найдите величину каждого из двух вертикальных углов, если их сумма равна 104°.
Вариант 3
1. Найдите величины всех углов, полученных при пересечении двух прямых, если
сумма двух из них равна 164°.
2. Чему равны смежные углы, если один из них на 40° больше другого.
3. Какие из высказываний верны и какие неверны:
1) Если два угла вертикальные, то они равны.
2) Если два угла равны, то и вертикальные им углы равны.
3) Если два угла равны, то они вертикальные.
4) Если два угла с общей вершиной равны, то они вертикальные.
Ответ обоснуйте.
Вариант 4
1. Найдите величины всех углов, полученных при пересечении двух прямых, если
разность двух из них равна 42°.
2. Найдите величины смежных углов, если один из них в 3 раза меньше другого.
3. Какие из высказываний верны и какие неверны:
1) Если два угла вертикальные, то они равны.
2) Если два угла равны, то и вертикальные им углы равны.
3) Если два угла с общей вершиной равны, то они вертикальные.
Ответ обоснуйте.
Вариант 5
1. Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен 46°.
Найдите остальные углы.
2. Градусные меры смежных углов относятся как 5:4. Какова градусная мера
меньшего из этих углов?
3. Могут ли оба смежных угла быть острыми?
Вариант 6
1. Сумма трёх углов, полученных при пересечении двух прямых равна 265°. Найдите
больший из углов.
2. Градусные меры смежных углов относятся как 2:3. Какова градусная мера
большего из этих углов?
3. Верно ли утверждение: если два угла смежные, то один из них острый, а другой –
тупой.
9
Вариант 7
1. Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен сумме
двух равных. Найти все полученные при пересечении углы.
2. Найти смежные углы (ао) и (ов), если угол (ао) меньше (ов) на 40°
3. Определите, являются ли два равных угла вертикальными, если они имеют общую
вершину.
Вариант 8
1. Найдите 1, 2, 3, если 1 = 2+ 3
2. Найти смежные углы (ао) и (ов), если (ао) =3(ов).
3. Могут ли оба смежных угла быть острыми?
Вариант 9
1. Найдите  3, 4, если 1 - 2 = 120°.
2. Найти смежные углы (ао) и (ов), если(ао) =1/2 (ов)
3. Определите, являются ли два угла вертикальными, если углы, смежные с ними,
равны?
Вариант 10
1. Найдите 4, если 1 + 2 + 3 = 54
2. Найдите смежные углы. Если один из них на 20° меньше другого.
3. Верно ли утверждение: если два угла имеют общую сторону и их сумма равна 180°,
то данные углы смежные?
10
Работа № 5: «Биссектриса угла»
1. Найдите угол между биссектрисой и стороной угла, равного 50°.
Вариант 2
1. Найдите угол, если его биссектриса образует с его стороной угол, равный 60°.
Вариант 3
1. Дано: АВС=136°, СВD=3АВD. Найдите АВD и СВD.
Вариант 4
1. Дано: АВС=123°, АВD - СВD=17°. Найдите АВD и СВD.
Вариант 5
1. Дано: ОВ – биссектриса угла АОС, ОС – биссектриса угла АОD. Найдите АОD.
Вариант 6
1. Дано: АОС = 77°, АОВ: ВОС=2:5, ВОС – СОD = 12°. Найдите АОВ,
ВОС, СОD.
Вариант 7
1. Дано: АОD = 126°, АОВ: ВОС: СОD = 1:3:2. Найдите АОВ, ВОС,
СОD.
Вариант 8
1. Дано: АОВ = 123°, АОD = 98°, ВО⊥ СО Найдите СОD.
11
Вариант 9
1. Дано: ЕОD = 14°, АОЕ = 88°, ЕОD = СОD, АОВ = ВОС. Найдите АОВ.
Вариант 10
1. Дано: АОЕ = 60°, ВОС =17°, ЕОD = СОD, АОВ = ВОС. Найдите 
СОD.
12
Треугольники
Работа № 6: «Первый и второй признаки равенства треугольников»
Вариант 1
1. Луч ОР является биссектрисой угла КОМ. Докажите, что ∆КОР = ∆МОР, если ОК
= ОМ.
2. Даны два пересекающихся отрезка. Докажите, что ∆ОРМ = ∆ОКТ, если известно,
что МО = ОТ и М =Т.
Вариант 2
1. Даны два пересекающихся отрезка. Докажите, что ∆АВК = ∆АСЕ, если точка А
является серединой отрезка ВС и серединой отрезка ЕК.
2. Равные углы ВАС и АСD отложены по разные стороны от прямой АС. Докажите,
что ВС = АD, если ВСА = DАС.
Вариант 3
13
1. Луч ОР является биссектрисой угла КОМ. Докажите, что ∆КОР =∆МОР,
еслиОРК = ОРМ.
2. Даны два пересекающихся отрезка. Докажите, что ∆ОРМ = ∆ОКТ, если известно,
что РО = ОК и ОМ = ОТ.
Вариант 4
1. Даны два пересекающихся отрезка. Докажите, что ∆МКВ = ∆МЕС, если точка М
является серединой отрезка ВС и серединой отрезка ЕК.
2. Равные углы ВАС и АСD отложены по разные стороны от прямой АС. Докажите,
что АВ = СD, если АСВ =САD.
Вариант 5
14
1. На рисунке АD=DC, ADB = CDB. Докажите, что ABD = CBD.
2. На рисунке АВ=АС, В = С. Докажите, что ВF = CD.
Вариант 6
1. В треугольниках АВС и ВАD САВ =DВА, СВА =DАВ, АD=2см. Найдите
ВС.
2. Отрезки АМ и ВN – расстояния от точек А и В до прямой МN. Известно, что
АМ=ВN. Докажите, что АNМ = ВМN.
Вариант 7
1. На рисунке 1 = 2, 3 = 4. Докажите, что В = D.
2. На рисунке AF=CF, AFD = CFD. Докажите, что АВ=СВ.
Вариант 8
1. На сторонах угла О отложены равные отрезки ОА и ОВ. Отрезок ОС – биссектриса
угла О. Докажите равенство треугольников ОАС и ОВС.
2. Отрезок СD проходит через середину О отрезка АВ так, что САО = DВО.
Найдите АС, если ВД=8см.
Вариант 9
1. В треугольниках АВС и АВD САВ = DАВ, СВА = DВА, ВС=8см. Найдите
ВD.
15
2. Две прямые пересекаются в точке О. На одной прямой от точки О отложены
равные отрезки ОА и ОВ, а на второй прямой - равные отрезки ОС и ОD. Докажите
равенство треугольников ОАС и ОВD.
Вариант 10
1. На рисунке АО = СО, ВО = DО, АВ = 5 см. Найдите СD.
2. На рисунке СО = DО, 1 =2. Доказать, что А = В.
16
Работа № 7: «Равнобедренный треугольник »
Вариант 1
1. Найдите периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ, если АВ
= 7м, ВС = 8м.
2. Периметр равнобедренного треугольника равен 45м. Найдите боковые стороны,
если основание равно 8м.
3. Треугольник АВС – равнобедренный с основанием АС. Докажите, что 3 = 4.
Вариант 2
1. Найдите периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ, если АВ
= 8м, АС = 7м.
2. Периметр равнобедренного треугольника равен 45м. Найдите основание, если
боковая сторона равна 18м.
3. Треугольник АВС – равнобедренный с основанием АС. Докажите, что 3 = 4.
Вариант 3
1. Составьте выражение для вычисления периметра равнобедренного треугольника,
если его основание равно а и в 2 раза меньше боковой стороны.
2. Периметр равнобедренного треугольника равен 45м. Найдите все стороны, если
боковая сторона на 3см больше основания.
3. Докажите равенство двух равнобедренных треугольников с общей боковой
стороной, если равны их углы, противолежащие основаниям.
Вариант 4
1. Составьте выражение для вычисления периметра равнобедренного треугольника,
если его боковая сторона равно b и на 3 меньше основания.
2. Периметр равнобедренного треугольника равен 45м. Найдите все стороны, если
основание в 4 раза меньше боковой стороны.
3. По разные стороны от прямой АВ взяты точки К и N, такие, что АК = ВК, АN = ВN
и ВАК = ВАN. Докажите, что треугольники ВАК и ВАN равны.
Вариант 5
17
1. Найдите периметр равнобедренного треугольника боковая сторона равна 14 см. а
основание 16 см.
2. Периметр равнобедренного треугольника равен 90 см. Найдите основание, если
боковая сторона равна 25 см.
3. Дано: АВ = ВС, ВАD = 105°. Найдите МСN.
Вариант 6
1. Составьте выражение для вычисления периметра равнобедренного треугольника.
Если его основание равно а, и боковая сторона в 3 раза больше основания.
2. Периметр равнобедренного треугольника равен 90 см. Найдите все стороны, если
боковая сторона равна 15 см меньше основания.
3. Треугольник SPK - равнобедренный, SK – его основание. Чему равен 2, если 1 =
48°
Вариант 7
1. Составьте выражение для вычисления периметра равнобедренного треугольника.
Если его боковая сторона равна b, и основание на 4 больше боковой стороны.
2. Периметр равнобедренного треугольника равен 90 см. Найдите все стороны, если
боковая сторона на 15 см больше основания.
3. Треугольник РОR – равнобедренный с основанием PR. Чему равен 1, если  2 =
42°.
Вариант 8
1. Докажите, что медиана, проведенная к основанию, делит его на два равных
треугольника.
2. Периметр равнобедренного треугольника равен 41 см, причем боковая сторона на
3,5 см меньше основания. Найти основание треугольника.
3. Докажите равенство двух равнобедренных треугольников с общим основанием,
если у них равны углы при основаниях.
18
Вариант 9
1. Докажите, что высота, проведенная к основанию, делит его на два равных
треугольника.
2. Периметр равнобедренного треугольника равен 45 см. Найдите его основание, если
оно на 3 см больше боковой стороны.
3. По разные стороны от прямой МN взяты точки А и В так, что АМ=АN=МВ=ВN и
АМN =ВМN Докажите, что ∆ АМN = ∆ ВМN.
Вариант 10
1. Докажите, что биссектриса, проведенная к основанию, делит его на два равных
треугольника.
2. Периметр равнобедренного треугольника равен 45 см. Найдите его основание, если
оно на 3 см меньше боковой стороны.
3. Докажите равенство двух равнобедренных треугольников с общей боковой
стороной, если у них равны углы при основаниях.
19
Работа № 8: «Треугольник»
Вариант 1
1. Найдите длину отрезка АМ и градусную меру угла АВК, если ВМ – медиана, а ВК
– биссектриса треугольника АВС и АС = 16 м, АВС=84°.
Вариант 2
1. Найдите длину отрезка АМ и градусную меру угла АВК. Если ВМ – медиана, ВК –
биссектриса треугольника АВС и АС = 22дм, СВА=70°
Вариант 3
1. Треугольник DОВ – равнобедренный, ВD – его основание, DК и ВМ – медианы.
Докажите, что:
1) ВDМ = DВК;
2) DМ = ВК;
3) ∆ ВDМ =∆ DВК.
Вариант 4
1. Треугольник АВС – равнобедренный, АС – его основание, СD и АЕ – биссектрисы.
Докажите, что:
1) ВАС = ВСА;
2) ЕАС = DСА;
3) ∆АСЕ =∆САД.
Вариант 5
1. Периметр равнобедренного треугольника равен 96 см, боковая сторона 30см. Чему
равно основание этого треугольника?
Вариант 6
1. В треугольнике АВС высота ВК делит сторону АС пополам. Градусная мера угла А
равна 75°. Чему равна величина угла С?
Вариант 7
1. Периметр равнобедренного треугольника равен 116 см. Основание больше боковой
стороны на 14 см. Найдите боковую сторону.
Вариант 8
1. Периметр равнобедренного треугольника равен 68 см. Основание меньше боковой
стороны на 10 см. Найдите боковую сторону.
Вариант 9
1. В равнобедренном треугольнике МКР с основанием КР проведена медиана МА.
Периметр ∆МКР равен 76 см. а периметр ∆АРМ равен 34 см. Найдите длину
медианы МА.
Вариант 10
20
1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ.
Периметр ∆АВС равен 80 см. а периметр ∆АВМ равен 34 см. Найдите длину
медианы АМ.
21
Работа № 9: «Свойства равнобедренного треугольника »
Вариант 1
1. Треугольник СВD – равнобедренный с основанием DС, отрезок ВА – медиана.
Найдите 1, 2, 3, 4, если СВD = 134°.
2. В равнобедренном треугольнике МОN c основанием МN на медиане ОР взята
точка D. Докажите, что если на боковых сторонах отложены равные отрезки ОА и
ОВ, то ∆ОАD = ∆ОВD.
Вариант 2
1. Треугольник СВД – равнобедренный с основанием ДС, отрезок ВА – медиана.
Найдите 1, 2, 3, 4, если DВС = 121°.
2. В равнобедренном треугольнике МОN c основанием МN на медиане ОР взята
точка D. Докажите, что если на основании отложены равные отрезки РА и РВ, то
∆РАD = ∆РВD.
Вариант 3
1. Найдите углы треугольника МКС, если МК – медиана равнобедренного
треугольника СРМ с основанием СР, СМР = 104°, Р = 38°.
2. В равнобедренном треугольнике АВК основанием является сторона АВ. Точка О
лежит на медиане КС. Докажите, что ∆ОАК = ∆ОВК.
Вариант 4
1. Найдите углы треугольника МКС, если КС – медиана равнобедренного
треугольника ОКМ с основанием ОМ, ОКМ = 112°О = 34°.
2. В равнобедренном треугольнике АВК основанием является сторона АВ. Точка О
лежит на медиане КС. Докажите, что ∆ОАС = ∆ОВС.
22
Вариант 5
1. Дано: АВ = ВС, АD =СD, МВА = 140°, ВАК = 110°. Найдите углы треугольника
ВСD.
2. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки М и К
такие, что АМ = СК, точка М лежит между точками А и К. Докажите, что АВМ =
СВК.
Вариант 6
1. Дано: Равнобедренный ∆DВС с основанием DС. D = 40°, ВА – медиана. Найдите
СВА.
2. ∆ МNK – равнобедренный, точки А и В – середины боковых сторон. Соедините их
с точкой D, взятой на медиане NO и докажите, что ∆ АDN = ∆BDN.
Вариант 7
1. В треугольнике АВС проведена медиана АМ, причём ВМ = АВ. ВМС = 108°.
Найти
 ВАМ.
2. Треугольник АВС – равнобедренный с основанием АВ. Найдите длину его высоты
СМ, если периметр треугольника АВС равен 18 см, а периметр треугольника АСМ
равен 12 см.
Вариант 8
1. Докажите, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым
сторонам, равны.
2. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили
соответственно точки Д и Е такие, что АСД = САЕ. Докажите, что АД =СЕ.
Вариант 9
1. Докажите, что в равнобедренном треугольнике биссектрисы углов при основании
равны.
2. В равнобедренном треугольнике МNK c основанием МК длина его медианы NP
равна 8 см. Периметр треугольника МNK равен 32 см. Найти периметр
треугольника MNP.
23
Вариант 10
1. Найдите углы треугольника DКС, если КD - биссектриса равнобедренного
треугольника МКС с основанием МС, МКС = 110°
2. На основании равнобедренного треугольника АВС отметили точки М и К такие,
что АВМ = СВК, точка М лежит между точками А и К. Докажите, что АМ =
СК.
24
Работа № 10: «Третий признак равенства треугольников»
Вариант 1
1. Точки В и D, лежащие по разные стороны от прямой МК, соединены с концами
отрезка МК. Докажите, что ∆МВК = ∆КDМ, если МВ = КD и ВК = DМ.
2. Докажите равенство равнобедренных треугольников ВСD и ВСЕ с общим
основанием ВС, если ВD = ВЕ.
Вариант 2
1. Точки А и В, лежащие по разные стороны от прямой МК, соединены с концами
отрезка МК. Докажите, что ∆МАК = ∆МВК, если МА = ВК и АМК = ВКМ.
2. Докажите равенство равнобедренных треугольников АВС и АDС с общим
основанием АС, если АВ = DС.
Вариант 3
1. На рисунке изображены равнобедренные треугольники, имеющие общую боковую
сторону. Докажите, что ∆АВС =∆АВD, если равны их основания АС и АD.
2. Треугольники АСD и АВD – равнобедренные с общим основанием АD. Докажите,
что ∆АВС = ∆DВС, если точки В и С лежат по одну сторону от прямой АD.
Вариант 4
1. На рисунке изображены равнобедренные треугольники, имеющие общую боковую
сторону. Докажите, что ∆ОМК =∆РМК, если равны их основания ОМ и МР.
2. Треугольники АСD и АВD– равнобедренные с общим основанием АD. Докажите,
что ∆АВС = ∆ DВС, если точки В и С лежат по разные стороны от прямой АD.
Вариант 5
1. На рисунке точка О – центр окружности, АО = АВ, ОС = СD. Докажите, что ∆АОВ
= ∆СОD.
25
2. Отрезки МК и РК равны. Дополните рисунок и докажите равенство треугольников
КРМ и РКR, если известно, что МР = RК.
Вариант 6
1. В равнобедренных треугольниках АОВ и СОВ равны основания АВ и ВС и АО=СО
Докажите, что ∆АОВ = ∆СОВ.
2. На рисунке АВ = АД, СВ = СD. Докажите, что О – середина ВD.
Вариант 7
1. Дано: АВ = СD, АС = DВ. Докажите, что ВАD = СDА.
2. На рисунке АВ = СD, ВD = АС. Докажите, что АЕ = ЕD.
26
Вариант 8
1. На рисунке АВ = СD, АС = ВD. Докажите, что АСВ = DВС и АВD =DСА.
2. На рисунке АF = CF, AD = CD. Докажите, что АВ = СВ.
Вариант 9
1. На рисунке АВ = СD, АС = ВD. Докажите, что ВАС = СDВ и АСВ =DВС.
2. На рисунке АВ = CВ, AF = CF. Докажите, что АD = СD.
Вариант 10
1. В равнобедренных треугольниках МОВ и СОВ равны основания МВ и ВС и
МО=СО Докажите, что ∆ МОВ = ∆ СОВ.
2. На рисунке АВ = АD, СВ = СD. Докажите, что ВО=ОD.
27
Параллельные прямые
Работа № 11: «Признаки параллельности прямых»
Вариант 1
1. Объясните почему прямые а и в параллельны, если:
а)  3 = 5;
б) 1 = 5
в) 3 + 6 = 180°.
2. Определите, какие стороны параллельны у четырёхугольника АВСD.
Вариант 2
1
Объясните почему прямые а и в параллельны, если:
а)  4= 6;
б) 3 = 7
в) 4 + 5= 180°.
2 Определите, какие стороны параллельны у четырёхугольника АВСD.
Вариант 3
1. Объясните почему прямые а и в параллельны, если:
а) 3= 5;
б) 2 = 8
в) 1 + 6= 180°
2. Определите, какие стороны параллельны у четырёхугольника АВСD.
28
Вариант 4
1. Объясните почему прямые а и в параллельны, если:
а) 4= 6;
б) 1 = 7
в) 2 + 5 = 180°.
2. Определите, какие стороны параллельны у четырёхугольника АВСD.
Вариант 5
1. Укажите параллельные прямые, если 1=52°, 2 =128°, 3=128°.
2. Докажите, что АВ II ДК, если АВ=ВС, СD=DК.
29
Вариант 6
1. На каких из рисунков а–г прямые а и b параллельны?
2. На рисунке АК – биссектриса угла ВАС, АМ = МК. Докажите, что МК II АС.
Вариант 7
1. . Параллельны ли прямые а и b, если
1) 3=6;
2) 2=6
3) 4=125°; 6=55°
4) 2=35°; 5=146°
5) 1=98°; 6=82°
6) 1=143°; 7=37°
2. На рисунке АСВ = АСD, АД = СD. Докажите, что ВС II АD.
30
Вариант 8
1. . На каких из рисунков а–г прямые m и n параллельны?
2. Отрезки АВ и СД пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.
Докажите, что АС II ВД.
Вариант 9
1. На рисунке укажите пары параллельных прямых.
2. В треугольнике АВС АВ = ВС, А = 60, ВСD – смежный с АСВ, СМ –
биссектриса угла ВСD. Докажите, что АВ II СМ.
Вариант 10
1. . При пересечении двух прямых секущей образовались углы 1, 2 и 3. Известно, что
углы 1 и 2 – вертикальные, а углы 2 и 3 – накрест лежащие. Как называются углы 1
и 3?
2. На рисунке АВ = СD, ВС = АД. Докажите, что АВ II СD.
31
Работа № 12: «Свойства параллельных прямых»
Вариант 1
1. . Определите 1 и 2, если прямые с и b параллельны и известно, что 3 = 103°.
2. Прямые а и в параллельны. Найдите 5 и 6 если 1 = 43°.
Вариант 2
1. Определите 1 и 2, если прямые с и b параллельны и известно, что 3 = 113°.
2. Прямые а и в параллельны. Найдите 5 и 6 если 2 = 121° .
Вариант 3
1. Определите 1 и 2, если прямые с и b параллельны и известно, что 4 = 36°.
2. Прямые а и в параллельны. Найдите 7 и 8, если 4 = 133°.
Вариант 4
32
1. Определите 1 и 2, если прямые с и b параллельны и известно, что 4 = 46°.
2. Прямые а и в параллельны. Найдите 7 и 8 если 3 = 51°.
Вариант 5
1. На рисунке найдите угол 1.
2. На рисунке ВС = АD, ВС II АD. Докажите, что АВ II СD.
Вариант 6
1. На рисунке найдите угол 2.
2. Через вершину В треугольника АВС провел прямую МК, параллельную прямой
АС, МВА = 42°, СВК = 56°. Найдите углы треугольника АВС.
Вариант 7
33
1. Разность односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных
прямых секущей, равна 50°. Найдите эти углы.
2. На рисунке МАВ = 50°, АВК = 130°, АСВ = 40°, СЕ – биссектриса угла АСD.
Найдите углы треугольника АСЕ.
Вариант 8
1. Один из односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных
прямых секущей, в 4 раза больше другого. Найдите эти углы
2. На рисунке ВС II МК, ВК =КЕ, СК =КD. Доказать, что АD II МК.
Вариант 9
1. Найти все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых
секущей, если один из углов равен 58°.
2. На рисунке ВС=АD и ВС II АD Докажите, что ∆ АВС = ∆ АDС.
Вариант 10
1. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых
секущей, если отношение градусных мер двух из этих углов равно 2:7.
2. На рисунке АВ II CD и АС = АВ, ВСD = 20° Найти угол САВ.
34
Работа № 13: «Параллельные прямые»
Вариант 1
1. Найдите величину каждого из двух внутренних односторонних углов, если один из
них больше другого в 4 раза.
2. Отрезки АС и ВD пересекаются в точке К, причём прямые ВС И АD параллельны.
Докажите, что углы треугольника АDК соответственно равны углам треугольника
СВК.
Вариант 2
1. Найдите величину каждого из двух внутренних накрест лежащих углов, если их
сумма равна 72°.
2. Отрезки АВ и СD параллельны и равны. Докажите, что АВМ = СDМ, где М - точка
пересечения отрезков АС и ВD.
Вариант 3
1. Найдите величину каждого из двух внутренних односторонних углов, если
разность этих углов равна 72°.
2. Прямая, пересекающая боковые стороны равнобедренного треугольника,
параллельна основанию. Докажите, что отсекаемый треугольник также является
равнобедренным.
Вариант 4
1. Найдите величину каждого из двух внутренних накрест лежащих углов, если их
сумма равна 142°.
2. Прямая, пересекающая основание равнобедренного треугольника, параллельна
одной из боковых сторон. Докажите, что она отсекает равнобедренный
треугольник.
Вариант 5
1. На рисунке а II в
Найдите 1 и 2.
2. При пересечении двух данных прямых секущей образовались односторонне углы,
один из которых равен 45°, а другой в 3 раза больше. Докажите, что данные
прямые параллельны.
Вариант 6
1. На рисунке а II в
Найдите 1 и 2.
35
2. При пересечении двух данных прямых секущей образовались односторонне углы,
один из которых равен 150°, а другой в 5 раза меньше. Докажите, что данные
прямые параллельны.
Вариант 7
1. Найдите угол х
2. При пересечении двух данных прямых секущей образовались односторонне углы,
разность которых равна 36°, а отношение – 3:2 . Докажите, что данные прямые
параллельны.
Вариант 8
1. Найдите угол х .
2. При пересечении двух данных прямых секущей образовались односторонне углы,
разность которых равна 108°, а отношение – 4:1. Докажите, что данные прямые
параллельны.
Вариант 9
1. Найдите угол х
2. Отрезки АВ и СD параллельны и равны, а отрезки АD и ВС пересекаются.
Докажите, что ∆АВС =∆DСВ.
Вариант 10
1. Найдите угол х
2. Отрезки АВ и СD параллельны и равны. Докажите, что ∆АОВ =∆DОС, где О –
точка пересечения отрезков АD и ВС.
36
Соотношения между сторонами и углами треугольника
Работа № 14: «Сумма углов треугольника»
Вариант 1
1. В треугольнике DВС проведена биссектриса DК. Определите углы треугольника
DВС, если СDК = 37°, DКС = 105°.
2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС биссектрисы ВМ и СN
пересекаются в точке О. Найдите углы треугольников СВМ и ВОС, если А = 68°
Вариант 2
1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при основании больше
угла между боковыми сторонами в 4 раза.
2. Прямая, параллельная стороне МК треугольника МNК, отсекает от него
треугольник NОР, в котором N = 71°, NОР =34°. Определите углы треугольника
МNК.
Вариант 3
1. В треугольнике DВС проведена биссектриса DК. Определите углы треугольника
DВС, если ВDК = 35°, ВКD = 48°.
2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС биссектрисы ВМ и СN
пересекаются в точке О. Найдите углы треугольников СВМ и ВОС, если АВС =
56°.
Вариант 4
1. Найдите углы треугольника, если один из них в 2 раза больше другого и на 20°
больше третьего.
2. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 56°. Найдите остальные углы.
Вариант 5
1. Найдите углы равностороннего треугольника.
2. На рисунке В = 24°, АВ = ВС. Найдите А и С.
Вариант 6
1. В треугольнике АВС АВ =ВС, СК – биссектриса, А = 66°. Найдите АКС.
2. На рисунке В = 70°, С = 33°. Докажите, что ВС > АВ.
37
Вариант 7
1. Биссектрисы АК и СМ треугольника АВС пересекаются в точке О, ВАС =116°,
ВСА = 34°. Найдите АОС
2. На рисунке ВС II АD, А = 25°, В = 55°, Найдите угол СМD.
Вариант 8
1. В равнобедренном треугольнике АВС с углом при вершине В, равным 36°, провели
биссектрису АД. Докажите, что треугольники АDВ и САD - равнобедренные.
2. На рисунке А = 42°, С = 53°. Докажите, что АС > АВ.
Вариант 9
1. Отрезок ВК - биссектриса равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС,
АКВ = 105°. Найдите углы треугольника АВС.
2. На рисунке В = 70°, С = 33°. Докажите, что ВС > АВ.
Вариант 10
1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол, противолежащий
основанию, на 24° больше угла при основании.
2. На рисунке АВ = 4см, ВС = 6см, РАВС = 15см. Докажите, что А> B
38
Работа № 15: «Сумма углов треугольника, внешний угол»
Вариант 1
1. Найдите внешние углы треугольника, если известны два его внутренних угла 35° и
79°.
2. Найдите неизвестные углы треугольника, если один из них равен 31°, а один из
внешних углов равен 132°.
3. Найдите углы равнобедренного треугольника, если внешний угол при вершине,
противолежащий основанию, равен 54°.
Вариант 2
1. Найдите внешние углы треугольника, если известны два его внутренних угла 37° и
64°.
2. Найдите углы равнобедренного треугольника, если внешний угол при основании,
равен 118°.
3. Найдите углы при основании МР равнобедренного треугольника МОР, если МК –
его биссектриса и ОКМ = 93°.
Вариант 3
1. Найдите углы треугольника, если известны два его внешних угла 121° и 82°
2. Найдите неизвестные углы треугольника, если один из них равен 30°, а один из
внешних углов равен 135°.
3. Найдите углы равнобедренного треугольника, если внешний угол при вершине,
противолежащий основанию, равен 154°.
Вариант 4
Найдите углы треугольника, если известны два его внешних угла 135° и 153°
Найдите углы равнобедренного треугольника, если внешний угол при основании,
равен 146°.
3. Найдите неизвестные углы треугольника АВС, если А = 84°, а угол В в 5 раз
меньше внешнего угла при вершине С.
1
2
Вариант 5
1. Найти углы равнобедренного треугольника, если один из его внешних углов равен
54°
2. На рисунке АС II ВD, СВD = 43°, DВЕ = 37°. Найдите углы треугольника АВС.
3. Внешний угол треугольника равен 134°, а внутренний угол, не смежный с ним, 47°. Найдите неизвестные углы треугольника.
39
Вариант 6
1. Найти углы равнобедренного треугольника, если один из его внешних углов равен
112°.
2. На рисунке АВ = ВС, DВА = 120°. Докажите, что ∆АВС – равносторонний.
3. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного
треугольника параллельна его основанию.
Вариант 7
1. Один из внешних углов треугольника равен 75°. Чему равны:
1)
Угол треугольника при этой вершине;
2)
Сума двух углов треугольника, не смежных с ним
2. На рисунке АД=ВС=СD, АDВ = 144°. Найти углы треугольника АВС.
3. Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна его
стороне, то этот треугольник равнобедренный.
Вариант 8
1. Один из внешних углов треугольника равен 136°, один из углов треугольника, не
смежный с ним, - 61°. Найдите второй угол треугольника, не смежный с данным
внешним.
2. На рисунке АД = ВС = СD, DВС = 22°. Найти углы треугольника АВС.
3. Два внешних угла треугольника равны 104° и 124°. Найдите углы треугольника.
40
Вариант 9
1. . Один из внешних углов треугольника равен 154°. Найдите углы треугольника, не
смежные с ним, если один из этих углов на 28° больше другого.
2. На рисунке АВ II СD, ВСD = 58°, DСЕ = 62°. Найти углы треугольника АВС.
3. Сумма одной пары внешних углов треугольника равна 194°, а сумма другой пары
внешних углов – 321°, Найдите углы треугольника.
Вариант 10
1. Определить вид треугольника, если один из его внешних углов равен углу
треугольника, смежному с ним.
2. На рисунке АВ = ВС, DВС = 120°. Докажите, что ∆АВС – равносторонний.
3. Внешние углы треугольника относятся как 10:9:5. Найдите углы треугольника.
41
Работа № 16: «Прямоугольный треугольник»
Вариант 1
1. Треугольник АВС – прямоугольный с прямым углом С, отрезок СD является его
высотой. Найдите острые углы треугольника АВС, если АСD = 42°.
2. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой МК, АМ и ВК –перпендикуляры к
этой прямой. Докажите, ∆АМК = ∆ВКМ, если АК = ВМ.
Вариант 2
1. Треугольник АВС – прямоугольный с прямым углом С, отрезок СD является его
высотой. Найдите острые углы треугольника АВС, если ВСD = 37°.
2. К прямой АВ проведены в разные полуплоскости перпендикуляры АМ и ВК.
Отрезки МК и АВ пересекаются в точке О. Докажите, что ∆АОМ = ∆ВОК, если
АМ = ВК.
Вариант 3
1. Треугольник АВС – прямоугольный с прямым углом С, отрезок СD является его
высотой. Докажите, что у треугольников АВС и АСD углы соответственно равны
2. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой, АМ и ВК –перпендикуляры к
этой прямой. Докажите, ∆АМК = ∆ВКМ, если МАК = МВМ.
Вариант 4
1. Треугольник АВС – прямоугольный с прямым углом С, отрезок СD является его
высотой. Докажите, что у треугольников АВС и ВСD углы соответственно равны.
2. К прямой АВ проведены в разные полуплоскости перпендикуляры АМ и ВК.
Отрезки МК и АВ пересекаются в точке О. Докажите, что ∆АОМ = ∆ВОК, если
известно, что О – середина отрезка МК.
Вариант 5
1. На рисунке СD = 9см. Найдите АВ.
2. Биссектрисы прямого и острого углов прямоугольного треугольника при
пересечении образуют углы, один из которых равен 132°. Найти острые углы
треугольника.
42
Вариант 6
1. На рисунке АD = 12см. Найдите расстояние от точки С до прямой АВ.
2. Биссектрисы прямого и острого углов прямоугольного треугольника при
пересечении образуют углы, один из которых равен 54°. Найти острые углы
треугольника.
Вариант 7
1. На рисунке СD = 7см. Найдите АВ и А
2. Острый угол прямоугольного треугольника равен 38°. Найдите угол между
биссектрисой и высотой, проведенными из вершины прямого угла.
Вариант 8
1. На рисунке ВD = 5см. Найдите расстояние от точки С до прямой АВ и В.
2. Угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины прямого угла
прямоугольного треугольника, равен 12°. Найдите острые углы треугольника.
Вариант 9
1. На рисунке А = 30°, АВ = 22. Найдите расстояние от точки В до прямой АС.
2. В прямоугольном треугольнике из вершины угла, равного 60°, проведена
биссектриса, длина которой равна 18 см. Найдите длину катета, лежащего против
данного угла.
43
Вариант 10
1. На рисунке АВ = 38см, ВС = 19см. Найдите ТВК.
2. В прямоугольном треугольнике из вершины угла, равного 60°, проведена
биссектриса. Расстояние от основания биссектрисы до вершины другого острого
угла равно 14см. Найти расстояние от основания биссектрисы до вершины прямого
угла.
44
Окружность
Работа № 17: «Окружность»
Вариант 1
1. В окружности с центром О проведена хорда КМ. Найдите неизвестные углы
треугольника ОКМ, если ОМК = 47°.
2. Точка М – середина хорды ВС. Она соединена с центром О окружности. Найдите
углы треугольника ВОМ, если ВОС = 148°.
3. В окружности с центром О проведены радиусы ОМ, ОК и ОN. Докажите, что
∆МОК =∆NОК, если известно, что хорды МК и NК равны.
Вариант 2
1. В окружности с центром О проведена хорда КМ. Найдите неизвестные углы
треугольника ОКМ, если КОМ = 52°.
2. Точка М - середина хорды ВС. Она соединена с центром О окружности. Найдите
углы треугольника ВОМ, если ВСО = 71°.
3. В окружности с центром О проведены радиусы ОМ, ОК и ОN. Докажите, что
∆МОК =∆NОК, если известно, что МОК = NОК.
Вариант 3
1. В окружности с центром О проведены диаметр АВ и хорда ВD. Определите углы
треугольника ВОD, если АОD = 114°.
2. В окружности проведены диаметры МР и DF.Докажите, что хорды МD и РF равны.
3. Точка О – центр окружности. Докажите, что ∆АОВ = ∆DОС, если известно, что
хорды АВ и СD равны.
Вариант 4
1. В окружности с центром О проведены диаметр АВ и хорда ВD. Определите АОD,
если АВD = 44°.
2. В окружности проведены диаметры МР и DF.Докажите, что МFD = РDF
3. Через точки М и К, лежащие на окружности с центром О, проведены касательные
МN и КN. Докажите, что ∆МОN = ∆КОN.
Вариант 5
1. Хорды АВ и СD окружности с центром О равны. Докажите, что АОВ = СОD.
2. Точка О – центр окружности, АВ и АС – касательные к окружности; А = 40°.
Найти ВОС.
3. Найти расстояние между центрами двух окружностей, касающихся внешне, если
радиусы равны 32 см и 5,3дм.
45
Вариант 6 СОД
1. На рисунке точка О – центр окружности, СОD = МОК Докажите, что хорды СD
и МК равны.
2. Точка О – центр окружности, АС и ВС – касательные к окружности  АОВ =120°.
Найти АСВ
3. Найти расстояние между центрами двух окружностей, касающихся внешне, если
радиусы равны 35см и 5,7дм
Вариант 7
1. Отрезки АВ и СD - диаметры окружности с центром О. Докажите, что ВАС
=СDВ
2. Точка О – центр окружности. АВ и АС – касательные. ВОС = 100°. Найти А
3. Расстояние между центрами двух окружностей, касающихся внутренне, равно 15
см. Найти радиусы этих окружностей, если один из них в 2 раза меньше второго.
Вариант 8
1. Отрезки МК и ЕF диаметры окружности с центром О, МК = 12см, МЕ = 10см.
Найдите периметр треугольника FОК.
2. Дано: ВОС = 63°, О – центр окружности. Найдите АОС.
3. Расстояние между центрами двух окружностей, касающихся внутренне, равно 36
см. Найти радиусы этих окружностей, если один из них в 4 раза больше второго.
Вариант 9
46
1. Отрезки АС и АВ – соответственно диаметр и хорда окружности с центром О.
ВАС = 26°. Найти ВОС.
2. Дано: КОМ = 87°, О – центр окружности. Найти КNМ.
3. Точка касания вписанной в равнобедренный треугольник окружности разделяет
боковую сторону этого треугольника на отрезки 5 см и 6 см, считая от основания.
Найдите периметр этого треугольника.
Вариант 10
1. Отрезки МР и МК – соответственно диаметр и хорда окружности с центром О.
РОК = 84°. Найдите МРО.
2. Отрезок СD – диаметр окружности с центом О. На окружности отметили точку Е
так, что СОЕ =90. Докажите, что СЕ = DЕ.
3. Точка касания вписанной в равнобедренный треугольник окружности разделяет
боковую сторону этого треугольника на отрезки 3 см и 4 см, считая от вершины,
противоположной основанию. Найти периметр этого треугольника.
47
Построения
Работа № 18: «Построения»
Вариант 1
1. . Даны отрезки b и угол 𝜷. Постройте равнобедренный треугольник с боковой
стороной, равной b, и углом, противолежащим основанию, равным 𝜷.
2. Постройте прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.
Вариант 2
1. Даны отрезки b и угол 𝜷. Постройте равнобедренный треугольник с основанием,
равным b, и углом, при основании, равным 𝜷.
2. Начертите произвольный треугольник АВС. Постройте биссектрису угла АМ.
Вариант 3
1. Постройте прямоугольный треугольник по двум катетам.
2. Начертите треугольник МРК с тупым углом Р. Постройте высоту КА.
Вариант 4
1. Постройте прямоугольный треугольник по катету и прилежащему острому углу.
2. Дан отрезок АВ. Постройте окружность, для которой отрезок АВ является
диаметром.
Вариант 5
1. Построить треугольник по трём его сторонам.
2. Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из них.
Вариант 6
1. Построить биссектрису и высоту треугольника, проведённые из одной вершины.
2. Построить равнобедренный прямоугольный треугольник по высоте, опущенной на
гипотенузу.
Вариант 7
1. Построить треугольник АВС по сторонам АС = 3 см, ВС = 5 см, и С =50°.
2. На данной окружности найдите точки, равноудалённые от концов данной хорды.
Вариант 8
1. Построить угол, равный данному
2. На окружности с центром О выбрана точка А. Найдите точки окружности,
равноудалённые от точек О и А.
Вариант 9
1. Построить углы 60° и 30°.
2. Найдите центр окружности, вписанной в ∆АВС.
Вариант 10
1. Разделить данный отрезок пополам.
2. Постройте окружность, вписанную в ∆АВС, если С=90°.
48
1.
2.
3.
4.
Литература
Атанасян Л.С. Бутузов В.Ф. Кадомцев С.Б. и др. Геометрия.7-9 класы: учеб. для
общеобразоват. Учреждений. – М.: Просвещение, 2023. – 383 с.
Мельникова Н.Б Захарова Г.А. Дидактические материалы по геометрии к учебнику
Л.С. Атанасян и др. «Геомертия 7-9 класссы». – М.: Издательство «Экзамен», 2013.143 с
Ершова А.П. Сборник заданий для тематического и итогового контроля знаний.
Геометрия 7 класс. – М.: ИЛЕКСА, - 2013, - 112с
Иченская М.А. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии 7 класс –
Москва «Просвещение», 2018.- 49 с.
49