Trigonometric Equations: Solving Methods and Examples

Тригонометрические
уравнения
Определение
Тригонометрические уравнения - уравнения,
содержащие
неизвестное
под
знаком
тригонометрической функции.
Решение тригонометрического уравнения
состоит из двух этапов:
• преобразование уравнения для получения его
простейшего вида
• решение
полученного
простейшего
тригонометрического уравнения.
Решение простейших
тригонометрических уравнений
Пример 1
Решить уравнение:
2 sin 4 x  1  0
Уравнение переносом слагаемого и делением обеих частей
легко сводится к простейшему.
2 sin 4 x  1  0
2 sin 4 x  1
t
4 x   1
k
1
4 x   1 arcsin
 k
2
4
 k
Разделим обе части на 4
x   1
k
1
sin 4 x 
2

k

16

k
4
x   1
k
Ответ:

16

k
4
Пример 2


cos

3
x
0
Решить уравнение: 
3



t    3x 
3

Уравнение уже имеет простейший вид
Это частный вид уравнения cos t=a при a=0

3
 3x 
 3x 

2


2

3
 k
 k
 3x 
x

 k
6

18

Ответ:
 (3)
k
3
 k
x 
18 3
Пример 3
Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным.
Введем новую переменную t=
,
D=1-4*2*(-1)=9
;
;
х=
, n∈Z
, n∈Z
Ответ:
, n∈Z
Пример 4
Решить уравнение: 2cos2x-sinx+1=0
2(1-sin2x)-sinx+1=0
-2sin2x-sinx+3=0
2sin2x+sinx-3=0
Пусть sinx=y, -1≤y≤1
2y2+y-3=0
y1=-1,5- не подходит по условию
y2=1
Возвращаемся к старой переменной:
sinx=1

x
2
 2к , к  Z
Ответ: x 

2
 2к , к  Z
Пример 5
Однородные тригонометрические уравнения.
разделим обе части уравнения на cosx
1.
;
Ответ:
x≠ +πn, n∈Z
Пример 6
Решить уравнение:3 sin 2 x  sin x cos x  4 cos2 x  0
3 sin 2 x  sin x cos x  4 cos2 x  0
: cos2x
3tg 2 x  tgx  4  0
пусть tg x  t
3t 2  t  4  0
4
Корни этого уравнения t  1 и t  
3
4
tg x  1
tg x  
3
4
x  arctg1  n
x  arctg( )  n
3
Ответ:
x

4
 n, n  Z
4
x  arctg  n, n  Z
3
Пример 7
x≠ +πn, n∈Z
, n∈Z
Ответ:
, n∈Z
Пример 8
Однородные тригонометрические уравнения второй
степени.
;
x≠ +πn, n∈Z
D=1 – 4∗2∗
=9
, n∈Z
, n∈Z
Ответ:
, n∈Z
, n∈Z
Спасибо за работу!