Численные методы интегрирования: Презентация

Методы численного
интегрирования
Основные понятия

с постоянным шагом сетки;

с переменным шагом сетки.

Суть всех методов численного интегрирования
состоит в замене исходной функции ее сеточным
аналогом и вычислении какой-либо функции от
узлов и значений функции в узлах:
b
I=∫ f (x)dx≈ F ( f (x i ), x i )
a

Для методов с постоянным шагом:
I≈ F ( f (x i ), h )
2
Метод прямоугольников

значение интеграла определяется как сумма
площадей прямоугольников, построенных на
узлах сетки, высота которых в общем случае
определяется значением функции в точке ξ ∈[ x
i
ξ2
n
ξn
x1
x2
, xi]
I rect =h⋅∑ f ( ξi )
ξn-1
ξ1
x0
f(x)
ξi
i−1
i=1
xn
x
3
Метод прямоугольников

метод левых
прямоугольников:
ξ i =x i−1

метод правых
прямоугольников:
ξ i =x i
n
I rect .l =h⋅∑ f ( x i−1)
i=1
f(x)
n
I rect . r =h⋅∑ f ( x i )
i=1

f(xn-1)
f(x2)
f(x)
f(xn)
f(x1)
f(x1)
f(x0)
x0
x1
x2
xn
x
x0
x1
x2
4
xn
Метод прямоугольников

метод средних прямоугольников:
x i−1+ x i
ξi=
=x i−1 +h/2= x i −h/2
2
f(x)
f(xn-1+h/2)
n
I rect . m=h⋅∑ f ( x i−1 +h/2 )
i=1
f(x1+h/2)
f(x0+h/2)
x0
x1
x2
xn
x
5
Семейство методов Ньютона-Котеса

Семейство методов Ньютона-Котеса получается
при замене подынтегральной функции ее
кусочно-полиномиальным интерполянтом:
b
I N − K =∫ F( x)dx
a

Наибольшее распространение получили два
случая:

замена кусочно-линейным интерполянтом;

замена кусочно-квадратичным интерполянтом.
6
Метод трапеций

имеем набор n трапеций, площадь каждой из
которых равна:
f ( x i−1 )+ f ( x i )
I i=h⋅
2
f(x2)
(
)
f ( x 0)+ f (x n) n− 1
I trap=h⋅
+ ∑ f (x i )
2
i=1
f(x)
f(x1)
f(xn)
f(x0)
x0
I rect . l + I rect . r
I trap=
2
x1
x2
xn
x
7
Метод Симпсона

При кусочно-квадратичной интерполяции имеем
набор n/2 фигур, ограниченных ветвями парабол,
построенных по трем точкам:
f(x)
f(x1)
f(x2)
f(xn)
f(x0)
x0
x1
x2
xn
x
8
Метод Симпсона

Применяя формулу Лагранжа для многочлена
второго порядка имеем:
( x− x i−1 )⋅( x− x i )
L2 ( x ) =f (x i−2)⋅
2
2h
( x−x i−2 )⋅( x i −x )
+ f (x i−1 )⋅

+
h
2
( x−x i−2 )⋅( x−x i−1)
+ f (x i )⋅
2h 2
Интегрируя параболу, имеем:
f ( x i−2 )+ 4 f (x i−1)+f (x i )
I i=h⋅
3
(
)9
m
m−1
f ( x 0)+ f (x n )
I Sipm =h⋅
+ 4⋅∑ f (x 2 i−1 )+2⋅∑ f (x 2 i )
3
i=1
i=1
Рекурсивные алгоритмы вычисления
определенного интеграла

Рекурсивные алгоритмы основаны на
применении выше рассмотренных формулс
последовательным уменьшением шага
интегрирования:
h k−1
hk =
2

Для осуществления итеративного процесса
желательны формулы, позволяющие
минимизировать вычисления на каждом шаге, и
оценивать погрешности вычисления интеграла
10
Рекурсивные алгоритмы вычисления
определенного интеграла

Рассмотрим зависимости, связывающие между
собой формулы прямоугольников, трапеций и
Симпсона при изменении шага интегрирования:
f ( x i−1 )+ f ( x i+1 )
I rect i ( k−1 ) =h k−1⋅f ( x i ) I trap i ( k−1 ) =h k−1⋅
2
(
f ( x i− 1) +f ( x i )
I trap i ( k ) =h k⋅
2
)
(
f ( x i )+ f ( x i+1)
I trap i+1 ( k ) =h k⋅
2
hk
I Simp i+1 ( k ) = ⋅( f ( x i−1 ) +4 f ( x i ) + f ( x i+1 ))
3
11
)
Рекурсивные алгоритмы вычисления
определенного интеграла
x i+1
I= ∫ f ( x ) dx
xi −1
I rect ( k−1 ) =2 hk⋅f ( x i )
I trap ( k−1 ) =h k⋅( f ( x i−1 ) +f ( x i+1 ) )
hk
I trap ( k ) = ⋅( f ( x i−1 )+2 f ( x i ) +f ( x i+1 ) )
2
hk
I Simp ( k ) = ⋅( f ( x i−1 ) +4 f ( x i ) +f ( x i+ 1) )
3
12
Рекурсивные алгоритмы вычисления
определенного интеграла

Тогда связь между формулами прямоугольников,
трапеций и Симпсона:
I rect ( k−1 ) +I trap ( k−1 )
I trap ( k ) =
2

2⋅I rect ( k−1 ) + I trap ( k−1 )
I Simp ( k ) =
3
Оценку погрешности можно провести на
основании того, что формула Симпсона на два
порядка точнее формулы трапеций:
ε= I−I Simp ≪ I−I trap
ε= I Simp −I trap
I trap ( k ) −I trap ( k−1 )
ε=
3
13
Алгоритм прямоугольников‑трапеций





1) Итерация k = 0, задается количество интервалов
разбиения n и вычисляется шаг h.
2) Вычисляются значения функции в узлах сетки и
интегралы по формулам трапеций и
прямоугольников.
3) Вычисляется интеграл по методу трапеций для
следующей итерации и ошибка.
4) Если ошибка превышает заданную,
пересчитывается шаг интегрирования и повторяются
п. 2-3
5) Если ошибка находиться в пределах допустимой,
вычисляется конечное значение по формуле
Симпсона
14
Алгоритм Ромберга

Обобщенная поправка Ричардсона:
I p ( k ) −I p ( k−1 )
R p ( k )=
p
2 −1

Условие применимости:
|
|
I p ( k ) −I p ( k−1 )
2⋅
<0.1
I p ( k−1 )−I p ( k−2 )

p
Для четных p ≥ 2, формул Ньютона-Котеса
выполняется условие:
I 2 ( k ) =I 1 ( k ) + R 1 ( k )
I p+2 ( k ) =I p ( k ) +R p ( k )
15
Алгоритм Ромберга






1) Итерация k = 0, задается количество интервалов разбиения
n и вычисляется шаг h.
2) Вычисляются значения функции в узлах сетки и интегралы
по формулам трапеций и прямоугольников.
3) Вычисляется интеграл по формуле трапеций и обобщенная
поправка Ричардсона.
4) Вычисляются интегралы по формулам Ньютона-Котеса
более высоких порядков до n и обобщенная поправка
Ричардсона.
5) Расчет ведут пока обобщенная поправка Ричардсона
превышает заданную погрешность.
6) Если обобщенная поправка Ричардсона не уменьшилась до
заданного значения при достижении максимального порядка
формулы Ньютона-Котеса, пересчитывается шаг
интегрирования
16
Численное интегрирование с
переменным шагом

Семейство линейных формул с весами:
n
I≈∑ A i⋅f ( x i )
i=1

В них приближенное значение интеграла
представляется как сумма значений функции в
узлах сетки xi (в общем случае произвольных) на
вес узла Ai:
17
Численное интегрирование с
переменным шагом

Проведем линейное масштабирование и
смещение произвольного интервала
интегрирования [a, b] в интервал [-1, 1]:
x=
b
a+b b−a
+
⋅t
2
2
1
(
)
b−a
a+b b−a
I=∫ f (x)d x=
f
+
⋅t d t
∫
2 −1
2
2
a
18
Численное интегрирование с
переменным шагом

Формула Чебышева:
2
Ai =
n
{
k
1+(−1) n
t 1+t 2+…+t i +…+t n=
⋅
, k=1. . n
2
k+1

Формула Гаусса:
{
k+1
1+(−1)
∑ Ai⋅t = k+1
i
k
i
, k=0. .2⋅n−1
19