Популярная физика: Учебник для студентов

РIIN ОА М ЕNТА Ь РНУ51С5
ОГСЕАГС СОГ СЫЕ И. и Ш У Е П 5 1 Т У
$ Е С О N Э Е О IТ I О N
.10НН Ш Н Е У - N1: ^ У ОКК ■ 1 9 6 7
ДЖ . ОРИР
П О П УЛ Я РН А Я Ф И ЗИ К А
ПЕРЕВОД
СО
ВТОРОГО
АМЕРИКАНСКОГО
ИЗДАНИЯ
И З Д А Т Е Л Ь С Т В О , , М И Р“ * М О С К В А * 1 9 6 9
П е р ев о д с ан гл и й ск о го
Редактор
л. в. ГЕ С С ЕН
Х удож ник
г. И . М А Н УЙ ЛО В
Р е д а к ц и я л и т е р а т у р ы по
Круг читателей этой книги весьма ш и­
р о к — в первую очередь это учащ иеся с т а р ­
ших классов средней школы, студенты п ер­
вых курсов вузов и техникумов. Книга з а и н ­
тересует
также
инженеров,
ж елаю щ их
расш ирить свой физический кругозор, и спе­
циалистов «соседних» с физикой наук — м а ­
тематиков, химиков, биологов, геологов
и т. д. Интересной и весьма полезной она
будет огромной армии п реподавателей ф и ­
зики средних школ, техникумов и вузов, ко­
торые найдут здесь не только новый м атери ­
ал, но и почерпнут опыт поиска новых путей
преподавания классической физики совре­
м енны ми методами.
При подготовке настоящей книги был ис­
пользован перевод первого американского
издания, выполненный С. П. Бакановы м,
В. П. Смилгой и Е. М. Лейкиным. П одготов­
ка текста нового
издания
выполнена
Е. М. Лейкиным,
ОТ
РЕДАКЦИИ
В ы ш едш ая в свет в 1964 г. в переводе на
русский язы к книга Д ж е я О рира «П о п ул яр ­
ная физика» в ы зв ал а большой интерес у н а ­
ших читателей. В 1966 г. было выпущено
второе издание, которое так ж е сразу же
разошлось. В значительной мере это было
связано с тем, что автору удалось найти спо­
соб интересно и увлекательно р ассказать об
основах современной физики и передать чи­
тателю волнующую атмосферу научных от­
крытий.
Д ругой не менее важ н ой причиной успеха
книги был сам подход к изложению общей
физики. Автор отошел от классических ка н о ­
нов и исходил из л е ж а щ и х в фундаменте
современной физики «основных принципов»,
и в том числе принципов симметрии, вклю ­
чающих законы сохранения, отраж аю щ и х
единую структуру физики как науки. П р е ­
имущества такого подхода неоспоримы.
В 1967 г. в СШ А выш ло новое, п ер ерабо ­
танное и расширенное издание книги О ри ­
ра; с этого нового издания и был выполнен
перевод, п редлагаем ый вниманию наших чи­
тателей.
Автор переработал книгу в методическом
отношении, и в этом см ы сле новое издание
представляет собой дальнейший ш аг в у т­
верждении новых путей преподавания ф и зи ­
ки, нового подхода к изложению основ
науки. При подготовке этого издания автор
разумно учел так ж е опыт использования
первой его книги как учебника. Д л я повы ш е­
ния наглядности и более глубокого раскры ­
тия физической сущности явлений автор внес
в изложение множество уточнений и измене­
ний, добавил свыше ста новых рисунков.
П рекрасной находкой является релятивист­
ское обоснование природы магнитных сил.
И злож ени е в целом стало более четким, бо­
лее зрелым. Удачно и особенно интересно
изложены основные идеи и применения ф и ­
зики микромира. Эти разделы фактически
написаны заново.
Автору удалось в простой и доступной
форме осветить новейшие открытия физики
элементарны х частиц.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
КО ВТОРОМ У
АМ ЕРИКАНСКОМ У
ИЗДАНИЮ
Эта книга не просто «просмотренное и
исправленное второе издание» с новой ну­
мерацией з а д а ч и добавлением на несколь­
ких страницах в конце описания новейших
достижений.
Это
издание — серьезная
попытка заново переписать всю книгу с тем,
чтобы отвести больше места объяснениям, не
расш иряя самого предмета. Д о бавл ен о лишь
несколько новых концепций, однако в книге
значительно увеличилось количество п рим е­
ров, рисунков и зад ач (свыше 100 новых р и ­
сунков и около 100 з а д а ч ). Многие новые
примеры и объяснения об язан ы своим п ояв­
лением моему пятилетнему контакту со сту­
дентами и преподавателям и.
Основное новшество состоит в том, что я
решился с единых позиций изложить к в а н ­
товую механику (гл. 12— 16). Я рас см а т р и ­
ваю эти главы как серьезное введение в
квантовую механику на таком м а тем ати ч е­
ском уровне, при котором можно обойтись
без дифференциального исчисления. Мне
неизвестно о существовании другого подоб­
ного курса, в котором основные полож ения
и применение квантовой механики и з л а г а ­
лись бы столь всесторонне к а к с качествен­
ной, т а к и с количественной точек зрения,
и я убежден,
что значительную
часть
квантовой механики можно изучить, не зн ая
высшей математики. В большинстве сл у ч а­
ев, встречаю щ ихся в физике, когда сущ ест­
вуют объяснения ка к с применением высшей
математики, т а к и без нее, я предпочитаю
последние, д а ж е д ля подготовленной ауди ­
тории. Объяснения с использованием э л е ­
ментарной математики обычно обеспечивают
лучш ее понимание и легче поддаются н а ­
глядной интерпретации.
Я знаю по собственному опыту, что пер­
вокурсники колледж ей могут усваивать ф у н ­
д ам ентальн ы е понятия к а к квантовой м е х а ­
ники, т а к и специальной теории относитель­
ности и что они с особым удовольствием
зн ако м ятся с этими разделам и. Н а основе
квантовой механики легко интерпретировать
такие вопросы, ка к строение атома, теория
металлов, строение ядер, диф ракционное
рассеяние, полупроводники, гибридизация
химических связей, физические процессы
в л азерах, радиоактивность и т. п. Ещ е одна
особенность нового издания — количествен­
ное изложение вопросов космологии и прин­
ципа относительности ускорения М аха, а
т а к ж е релятивистское обоснование проис­
хождения магнитных сил.
В 1960 г., когда вышло в свет первое из­
дание, считалось дерзостью насы щ ать до т а ­
кой степени вводный курс теорией относи­
тельности, квантовой механикой и их при­
ложением к атомной и ядерной физике, ф и ­
зике твердого тел а и высоких энергий. Еще
одним новшеством первого издания был ф ор­
м ат книги, использование двухцветной печа­
ти, большое количество снимков с пузы рь­
ковых камер, моделей электронного об лака
атомов, гауссова система единиц в разделах,
посвященных электричеству. Позднее появи­
лись новые учебники для высшей школы, по­
заимствовавш ие ряд этих нововведений. Еще
одним шагом в этом направлении явилось
создание вводных курсов д ля будущих ф изи­
ков в К алифорнийском технологическом ин­
ституте и К алифорнийском университете
(Б ер кл и ).
Х ар актерная особенность этого и зд а ­
н и я — внедрение страница за страницей но­
вой системы обучения. Опыт показывает,
что основное преимущество этой системы со­
стоит в том, что она позволяет учащимся
установить, насколько они действительно у с­
воили только что прочитанное.
Чтобы о тдавать себе отчет в том, что по­
нято, а что нет, нуж на определенная степень
зрелости. С ледует убедить учащихся в необ­
ходимости отвечать по мере продвижения
вперед на каж д ы й вопрос, помещенный
внизу на полях, преж де чем загл я д ы в ать в
ответ.
В новом издании была сделана серьезная
попытка д ать изложение, отвечающее уров­
ню быстро развиваю щ ейся науки. Я долж ен
сознаться, что прогресс физики за последние
6 лет превзошел мои ож идания, причем темп
развития, по-видимому, возрос. Возьмем,
к примеру, число элементарны х частиц. К а ­
залось, что к моменту заверш ения первого
издания число элементарны х частиц з а к р е ­
пилось на циф ре 30. Н о в последующие
пять лет оно увеличилось с 30 до примерно
200 и не видно этому ни конца, ни края.
К счастью, открытие новых частиц породило
новые представления о симметрии, которые
позволяю т легче понять сущ ествование д а ж е
30 первоначальных частиц. Однако затем
было обнаруж ен о нарушение других более
привычных свойств симметрии или законов
сохранения, которые д олж ны были бы у п ­
равл ять элементарными частицами. Н а р я д у
с этими и другие новые открытия, такие, как
сверхзвезды — к в азар ы или оптические к в ан ­
товые генераторы (л азе р ы ), включены в н а и ­
более подходящие разделы книги. Все и зл о ­
жение приведено в соответствие с состоя­
нием физики на 1966 г., а не 1900 г., к а к в
большинстве учебников, или 1925 г., к а к в
некоторых книгах, посвященных якобы со­
временной физике.
З а большую часть нового м а тер и ал а я
благодарен студентам и преподавателям
Корнеллского университета. Я хочу особен­
но
поблагодарить
проф. А. Бирдена,
Р. Спроулла, Ф. М оррисона и Р. Р а д ж а р а мана. Я хочу т а к ж е вы разить п ризн атель­
ность проф. М. Сэндсу за полезные о б с у ж ­
дения нового курса физики, разр а б о т а н н о ­
го Фейнманом, Лейтоном и Сэндсом.
Джей Орир
С ен тяб рь 1966 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Эта книга, по крайней мере косвенно,
о б я за н а своим появлением достижениям СоК ПЕРВО М У Р У С С К О М У ветского Союза, запустившего первый искусИЗДАНИЮ
ственный спутник Земли. Это событие в пре­
подавательских кругах Соединенных Ш татов
произвело огромное впечатление, не у трати в ­
шее своей силы и по сей день. Внезапно
многим стало ясно, что высшее образование
в Соединенных Ш тат ах находится в неудов­
летворительном состоянии. К примеру, пол­
ный курс физики в объеме высшей школы
слуш аю т менее 25% студентов, а в к ол л ед ­
ж а х физику изучает значительно менее по­
ловины всех учащихся.
К тому ж е большинство читаемых курсов
физики следует считать весьма устаревшими.
По традиции большинство научных дисцип­
лин преподносилось в виде обособленных
разделов, содерж ащ и х некоторую кл асси ф и ­
кацию огромной массы фактов. М еж ду тем
теперь нам известно, что в отличие от других
дисциплин физика имеет очень простую,
логически стройную структуру, св язы в аю ­
щую ее в единое целое. Во многих учебни­
ках, например, свет и электричество и з л а г а ­
ются ка к независимые и не связанны е друг
с другом разделы , хотя у ж е почти столетие
известна гл у бо кая связь м е ж д у этими р а з ­
делами. П оказательн ы м
примером может
служ ить объяснение на основе квантовой ме­
ханики электропроводности и зак о н а Ома.
Преподносить закон О ма к а к сам остоятель­
ный закон природы — зн ачит допускать
ошибку.
Число действительно основных законов
природы исключительно мало. Кроме того,
эти наиболее в аж н ы е законы обычно д о­
вольно просто формулирую тся м а т е м а ­
тически. П осле усвоения этих основных
законов весь остальной м атери ал ф актиче­
ски без особого труда встает на свое место.
Этот новый подход к изучению физики по­
лучил наименование метода основных прин­
ципов. Д а н н а я книга
представляет собой
приложение указанного метода к изучению
физики учащ имися колледж ей со слабы м
предварительным ознакомлением с основами
и пспогы ш
10
физики или д а ж е без всякой подготовки.
П равительство Соединенных Ш татов ассиг­
новало пять миллионов долларов на более
широкое внедрение метода основных прин­
ципов в преподавание физики в наш ей выс­
шей школе. Многие из фотографий, поме­
щенных в этой книге, получены от Комитета
по изучению физических наук, субсидируе­
мого правительством. Этот Комитет за н и ­
мается разработкой новых курсов физики
д ля высшей школы, в которых не только при­
нят метод основных принципов в отличие
от энциклопедического подхода, но и в о з д а ­
ется д олж н ое грандиозному скачку вперед,
происшедшему в физике с 1925 г.
Советский спутник, безусловно, послужил
толчком к возникновению нового н а п р а в л е ­
ния в преподавании науки в Соединенных
Ш татах. Я не п редставляю себе всех послед­
ствий этого события, но д ан н а я книга тем
не менее д аст советскому читателю некото­
рое представление о том направлении, в ко­
тором разви вается сейчас в СШ А высшее
образование..
Джей Орир
И ю нь 1961 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
К ПЕРВО М У И З Д А Н И Ю
"
12
Что ж е такое
физическая реальность?
^т0 ПРИВ0ДИТ в Движение Вселенную? Что
п редставляю т собой «загадки» природы? Т а ­
ковы проблемы, определяю щ ие н ап р ав л ен ­
ность и дух данной книги. Она предназначе­
на в первую очередь как пособие для студен­
тов со слабой предварительной подготовкой
по матем атике и физике. Но она д олж на
быть на первых порах полезна и студентам
колледжей, специализирую щ имся по физике.
Основное внимание в книге уделено тем
главным принципам или ф ундаментальным
законам , на которых покоится вся наука.
П редмет изложения, собственно, п редстав­
ляет собой часть обширного собрания р а з ­
личных разделов,
н азы ваем ы х физикой.
Таким образом, это еще один учебник для
колледжей, причем в нем поверхностно и зло­
жены более прикладны е разделы , по т р а д и ­
ции причисляемые к физике. Очень немного,
к примеру, говорится о машинах, в р а щ а т е л ь ­
ной динамике, фотометрии, оптических при­
борах, теории переменного тока, калори м ет­
рии, теории упругости, акустике и т. д. О г р а ­
ничив книгу основами физики, мы тем самым
сузили предмет изложения, получив в о з­
можность более глубоко рассмотреть з а ­
тронутые вопросы. Основным исключением
является гл. 9, в которой довольно подробно
излож ена электроника, что позволяет р а з ъ ­
яснить основные принципы радио и телевиде­
ния и дать представление об огромном з н а ­
чении для техники понимания основных
законо з природы. Те, кто питает отв р ащ е­
ние к изучению инженерных вопросов, могут
опустить эту главу.
По своей природе физика в самой осно­
ве — глубоко ф илософская наука. Она о т р а ­
ж ает непрерывную борьбу человеческого р а ­
зума с природой, полную самых н еож и д ан ­
ных открытий, с которыми люди долж ны со­
образовы вать затем свою деятельность. Эту
борьбу зам анчиво преподнести студентам
гуманитарны х специальностей в историче­
ском и философском аспектах. При этом,
однако, часто впадаю т в ошибку, рассказыв ая студентам о науке, вместо того чтобы
учить их самой науке. В результате студент
не получает реального представления о ф и ­
зическом мире, в котором он живет. « О б р а ­
зованный» человек д олж ен быть зн аком с
обоими аспектами. В идеале он долж ен при­
обретать зн ан ия в н ауке и познавать ее с в я ­
зи с другими дисциплинами в курсах ф ило­
софии. Однако подобный «гуманитарный
подход» можно без у щ ерба для дела исполь­
зовать во вводном курсе физики, коль скоро
основное внимание удел яется изучению с а ­
мой науки. Поэтому в книге известное в ни ­
мание уделено влиянию науки на наш у куль­
туру. Н а р я д у с научными методами
и
«искусством» научных открытий в ней о б ­
суж даю тся философская, социальная и по­
литическая стороны связи науки с нашей
культурой. Однако эти вопросы играют вто­
ростепенную роль по сравнению с изложе*
нием предмета самой науки. Мы использо­
вали увлекательны е стороны и культурную
ценность эпизодов из истории физики, где
это соответствовало основной цели и зл о ж е­
ния. П о к азателем того, насколько успешно
студент усвоил материал, служ ит его способ­
ность решать задачи, требую щие некоторого
размыш ления. Мой опыт использования м а ­
тери ал а этой книги и ее /^ а д а ч в курсах
д ля колледжей, читавшихся в К олум би й ­
ском и Корнеллском университетах, у б е ж д а ­
ет, что студенты гуманитарны х специально­
стей способны постичь основные принципы
науки. Об этом свидетельствует их умение
применять эти принципы к решению задач.
П о ря до к изложения м а тер и ал а опреде­
л ял ся главным образом моими индиви­
дуальны ми соображ ениям и педагогического
характера. Кое-где обсуждение проблем
современной физики о п ереж ает классические
или доклассические варианты. Я старался,
ка к правило, и збеж ать такой последователь­
ности: излож ить предмет в соответствии со
старыми представлениями, сообщить студен­
там, что сейчас это неверно, затем заставить
их забы ть все старое и переучить на новый
лад. Если встречается новый раздел, то сн а ­
чала он обычно приводится в окончательном
13
варианте. Тогда с современных позиций сту­
дент см ожет более полно познакомиться и
усвоить различны е старые представления.
П о рядок разм ещ ения разделов определялся
не традицией, а требованиями более сж атого
логического изложения. Так, явление про­
никновения через барьер, носящее весьма
общий характер, в тексте впервые встре­
чается в связи с обсуждением автоэлектронной эмиссии из м еталла. Это обсуждение
связано с предшествующим рассмотрением
уровня Ферми, связи в металле, кривых
потенциальной энергии, которое в свою
очередь зависит от зн аком ства с такими
вопросами, ка к электронные волны в ящике,
электронное облако в атоме, электрический
потенциал. В о звр а щ ая сь еще д ал ьш е в логи ­
ческой последовательности, мы встречаемся
с корпускулярно-волновым дуализмом, ин­
терференцией волн, теорией электричества,
энергией, механикой и т. д. Таким образом,
больш ая часть этой книги отведена основным
звеньям логической последовательности и з­
ложения. Вследствие компактной, единой
теоретической структуры физики многие г л а ­
вы не соответствуют ранее принятой после­
довательности разобщ енны х и «независи­
мых». разделов в традиционных учебниках.
Я не смог ограничить со д ерж ан ие глав
строго определенными р ам кам и и разделить
главы как бы непроницаемыми перегород­
ками. Иным мож ет показаться проще и по­
следовательнее изл агать классическую ф и ­
зику .именно в такой манере, однако это про­
тиворечило бы самой природе. Я пытался
изл агать истинное полож ение вещей: в кни­
ге откровенно говорится о недостатках и ог­
раниченности представлений современной
физики.
Кроме того, я с т а р ал ся не скрывать,
что для современного описания большинства
физических явлений необходима квантовая
теория. Б л а г о д а р я
развитию квантовой
электродинамики достигнут огромный про­
гресс в понимании явлений физического
мира и строения вещества. Учащихся кол­
леджей, насколько это возможно, следует
знакомить с современными представлениями.
Некоторым преп одавател ям физики мож ет
показаться, что такие вопросы, к а к э л е к т­
ронное облако, квантовая теория химиче­
ской связи, уровень Ферми, зам едлени е хода
времени, строение ядра, космология и со хра­
нение четности, чересчур трудны и а б с т р а к т ­
ны д ля усвоения. О днако мой опыт препода*
вания такого курса на протяжении послед­
них шести лет показы вает, что студенты
гуманитарны х специальностей с большим
трудом усваиваю т третий закон Нью тона,
нежели уровень Ферми или инвариантность
относительно зарядового сопряжения. З а ­
канчивая курс, они не только хорошо чувст­
вуют современную физику, но и предпочи­
таю т ее классической.
В заключение я хочу поблагодарит,ь моих
коллег в К орнелле за их поддерж ку, и осо­
бенно
профессоров
Р об е рта
Спроулла,
Филиппа Моррисона, Д ж о н а Д е -В а й р а и
Р и ч ар д а Ф ейнмана за полезные советы.
Многие любезно предоставили в мое распо­
ряж ение имевшиеся у них иллюстрации,
подбор которых д ля книги вряд ли о к а зал ся
бы под силу одному человеку. Ким Чой из
К орнелла помог мне
рассчитать э л е к т­
ронные о б л а к а атома водорода и ядерное
облако дейтерия. Я б лагодарен Френсису
Ш рэгу и многим другим студентам за вне­
сенный ими большой в к л а д в первое издание
этого учебника.
Я в неоплатном долгу перед Энрико
Ферми, который не только сообщил мне б оль­
шую часть моих познаний по физике, но и
научил методам ее изучения. К а к п р еп о д а в а­
тель Ферми был хорошо известен своей з а м е ­
чательной способностью предельно просто
и ясно изл агать самы е трудные вопросы. Он
достигал этого прямым путем, очень мало
прибегая к математике и о б р а щ а я основное
внимание на физическую сущность явлений.
В этой книге я п ытался передать х ара ктер
и увлекательность физики так, как это мог
бы сделать Ферми,
Дж ей О рир
С ен тяб рь 1960 г.
О БРАЩ ЕНИ Е АВТОРА
^ УЧАЩ ИМСЯ
^
В этой книге появилась одна особенность> о т р а ж а ю щ а я идеи новой системы обучения. Внизу к аж д о й страницы (где позво/ л яет место) помещены вопросы д ля проверки
того, насколько понят и усвоен м а т е р и а л ,а
на следующей странице д ан ы ответы. Чтобы
извлечь максим альную пользу из этих воп­
росов, читатель,
п реж д е чем продолжить
чтение, д о лж ен з а д е р ж а т ь с я и ответить на
вопрос, не за г л я д ы в а я в ответ. Вопросы
сравнительно просты, а на многие можно от­
ветить, д а ж е не прибегая к помощи бумаги
и ка р ан д а ш а. Если какой-то вопрос ок а зал ся
не под силу, то скорее всего это обусловлено
тем, что прочитанное недостаточно хорошо
понято. Здесь мы имеем дело с обычной про­
блемой, возникающей при изучении физики.
С амо чтение м ож ет не вы зы вать трудностей,
однако для понимания требуется нечто боль­
шее, чем просто прочитать или зазуб ри ть,—
необходимо думать, и нет простых способов
обойтись без размыш лений. И так, если вы
не справились с одним из вопросов, то имей­
те в виду, что не следует д вигаться дальш е,
пока вы не прочитаете еще раз и не проду­
маете весь раздел. Помните, что мы о в л а д е ­
ваем знаниями только тогда, когда пол­
ностью отдаем себе отчет в том, чего мы не
понимаем.
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Что такое физика!
Ф И З И К А — ЭТО ТО, Ч Е М Ф И З И К И ЗА Н И М А Ю ТС Я
П О ЗД Н О В ЕЧЕРО М
У
нас нет строгого определения, что
такое физика, и мы не м ож ем точно сказать,
какие вопросы относятся к этой науке, а
какие нет. Представление о некоторых р а з ­
делах, отнесенных автором этой книги к фи ­
зике, читатель получит, изучив ее о г л а в ­
ление.
О дна из зад ач физики— установление « з а ­
конов» окруж аю щ его мира. Открытие ряда
таких законов явилось сюрпризом д ля уче­
ных и философов. В самом деле, некоторые
открытия оказали сь столь неожиданными и
настолько
противоречащ ими
«здравому
смыслу», что с трудом завоевы вал и п р и зн а­
ние. Скептически к ним относились д а ж е
нобелевские лауреаты. Яркий пример: Эйн*
штейн опубликовал теорию относительности
и теорию ф отоэффекта в 1905 г., однако
Нобелевской премии за последнюю был у д о­
стоен лиш ь в 1921 г. Он не получил Н об ел ев ­
ской премии ни за одну из своих работ по
теории относительности. По-видимому, для
некоторых из прежних нобелевских л а у р е а ­
тов, которые участвовали в обсуждении
новых кандидатур, теория относительности
к а з а л а с ь слишком радикальной.
З а т о теперь физики весьма подозрительно
относятся к тому, что вы текает из «здравого
смысла» и каж ется очевидным. Ведь « з д р а ­
вый смысл» является продуктом человече­
ского разум а, и совсем не обязательно МатьП р и ро д а д о л ж н а быть устроена именно так,
ка к о ней думаю т люди. Вот простой при­
мер. Сегодня мы сомневаемся д а ж е в том,
что 2 + 2 = 4 в применении к физическим я в ­
лениям. Мы знаем,
что, п ри б ав л яя к
20 млрд. см/сек еще 20 млрд. см/сек мы
получим не 40 млрд. см/сек, а только
27,3 млрд. см/сек\ Мы твердо знаем правило
сложения скоростей, хотя с точки зрения
«здравого смысла» это правило мож ет п о ка­
заться странным. Р езул ьтир ую щ ая скорость
всегда будет меньше суммы ее составляю19
Фиг. 1. Л о д к а , п л ы в у щ а я по течению.
а — т а к л о дку ви ди т н аб л ю д ател ь, п лы ­
вущ ий по течению (л о д к а в неп одви ж ной
в о д е ); б — т а к л о д к у ви ди т н аб л ю д ател ь,
стоящ и й на берегу (л о д к а в потоке, ско ­
рость которого 10 к м /ч а с ),
щих. Если скорости малы по сравнению со
скоростью света, то этот эф ф ект все равно
существует, хотя он и очень Мал. Р а с с м о т ­
рим в качестве примера движение лодки
вниз по реке (фиг. 1) со скоростью 20 км/час
относительно воды. Если скорость самой во­
ды равна 10 км/час, то результирую щ ая ско­
рость лодки по отношению берега, казалось
бы, д о л ж н а быть в точности равна сумме
двух этих скоростей, т. е. 30 км/час. Однако
из законов физики следует, что скорость
лодки будет несколько меньше. Строго
говоря,
ее
скорость
будет
ра^на
^1 =29,9999999999999866
км/час.
Ясно,
почему потребовалось столько врем ени ,ч то­
бы открыть этот эффект. За ко н физики, у к а ­
зывающий, ка к надо скл а д ы в ать скорости,
получил имя эйнштейновского
зак о н а
слож ения
скоростей
(см. гл. 11). Он гласит:
^рез
Берег
»1 + «2
0^1
1+
где с — скорость света.
В нашем примере ^1 = 10 км/час, а
VI = 20 км/час. Мы видим, что для решения
повседневных з а д а ч вполне годится старый
классический закон VVез= V\ + V2, так как
Рассмотрим еще один противоречащий
«здравому смыслу» пример. Оказы вается,
что 2 + 2 м ож ет быть равно нулю, или, если
хотите, мож но сделать так, чтобы 2 + 2 = 8 .
Н аправи м пучок электронов из электрон­
ной пушки на непроницаемое препятствие,
в котором имеются два отверстия Л и б
(фиг. 2). Поместим в отдалении за препятст­
Фиг. 2. Э л ек тр о н н ая пуш ка, п осы лаю ­
щ ая пучок эл ек трон ов в отверсти я А
вием счетчик Гейгера и закроем отверстие В.
и В.
В этом случае счетчик будет регистрировать
ежесекундно 2 электрона. Теперь откроем
Препятствие
отверстие В и закроем отверстие А. И снова
Электронная пушка
Счетчик
получим 2 отсчета в секунду. НаОтверстие А
Геагера
конец, откроем оба отверстия.
Отверстие В
Счетчик вообще перестал регист­
рировать электроны! Р езу л ьтат
20
Фиг. 3. К а р ти н а, с о зд а в а е м а я пучком
эл ектрон ов, прош едш им д в а отверсти я
(согл асн о соврем ен ной вол н овой т ео ­
рии в ещ ес т в а ).
Т акой бы ла бы и нтенсивность электрон ов
в дан н ы й м ом ен т врем ен и. Т ем ны е у ч а с т ­
ки соответствую т нулевой интенсивности.
не только меньше суммы двух слагаемых,
ка к в случае сложения скоростей, он меньше
каж дого из слагаемых. Если хотите, немного
подвигайте счетчик в вертикальном н а п р а в ­
лении. Вы см ожете найти точку, в которой
он будет д а в а т ь 8 отсчетов в секунду, т. е.
вдвое больше простой суммы двух с л а г а е ­
мых. Н а первый взгляд всему этому трудно
поверить. О днако это так, и подобную к а р ­
тину н аблю дали в лаборатории (см. фиг. 263
на стр. 379). Столь необычное явление обус­
ловлено волновой
природой вещества.
В гл. 12 мы увидим, что все частицы о б л а ­
д аю т определенными волновыми свойствами
и что поэтому такие явления вполне естест­
венны. Н а фиг. 3 показано, как выглядели
бы электронные волны, прошедшие одновре­
менно через оба отверстия А и В.
Рассмотренные примеры с лодкой и
электронным пучком иллюстрируют соответ­
ственно применение теории относительности
и квантовой теории. М ножество физических
явлений, гораздо более фундаментальных,
чем рассмотренные выше, базируется на
этих двух основных принципах нашего ф и зи ­
ческого мира. Поэтому значительную часть
этой книги мы посвятим изложению теории
относительности и квантовой теории.
§ 2. Единицы измерения
Т аблица 1
Единицы измерения
Величины
П л ощ ад ь
Объем
С корость
У ск орен и е
П лотность
И м п ульс
Сила
Э н ерги я
Разм ер н о сть
Ц Т
Ц Т2
М Щ
м цт
м цт г
М ^ /Т *
Д Л И Н А , В РЕМ Я , МАССА
В большой своей части физика посвящена
измерениям различных физических величин,
таких, как длина, время, частота, скорость,
площ адь, объем, масса, плотность, заряд,
тем пература и энергия. Многие из этих
величин взаимосвязаны. Например, скорость
есть длина, деленная на время. Плотность
есть масса, деленная на объем, а объем —
длина, ум н ож енн ая на длину и умнож енная
снова на длину. Большинство физических
величин мож но выразить через длину, время
и массу. Некоторы е из этих соотношений
приведены в табл. 1. Мы будем знаком иться
Т аблица 2
Порядок величин расстояний
Расстояния
(р азм еры ),
см
Р а с с т о я н и е до сам ой
у д ал ен н ой
с ф о то ­
гр аф и р о в а н н о й г а ­
лактики
Р а с с т о я н и е до Б о л ь ­
шой тум ан н о сти в
с о зв езд и и А н д р о м е ­
ды (б л и ж а й ш а я г а ­
лактика)
Р а д и у с наш ей Г а л а к ти к и
О дин
световой
год
(р а с с т о я н и е , к о т о ­
рое п роход и т свет
за один год)
Р а зм е р С олнечной с и ­
стем ы
Р а с с т о я н и е от З ем ли
до С олнца
Р а д и у с С олнца
ю25
1■
1020
в
1013
1■
1010
■*
Р а д и у с Зем ли
10й
м
В ы сота пи ка Э в ер ест
О дин к и л ом етр (и л и
0 ,6 м и л и )
О дин м етр
10»
■
О дин с ан ти м е тр
0 ,4 д ю й м а )
(и л и
О дин м и л л и м етр
Т о л щ и н а волоса
Д и а м е тр к р а с н ы х к р о ­
вян ы х ш ар и к о в
Д л и н а волны света
10-5
Р а зм е р о р ган и ч е ск о й
м олекулы
Р а зм е р атом а в о д о р о ­
да
1 0 -м
Ю-15
Р азм ер ядра урана
Р а зм е р эл ем ен тар н о й
частицы
с этими физическими величинами по мере их
появления в книге.
Длина
Определения длины, площ ади и объема
д аю тся в евклидовой геометрии. В н аст о я­
щее время используется несколько единиц
измерения длины, например: метр, дюйм,
фут, миля. Почти во всех странах, з а исклю ­
чением С Ш А и стран Британского со д р у ж е­
ства, принята метрическая система. Хотя
английская система мер принята в С Ш А в
качестве официальной системы, а м ер и к ан ­
ские ученые, однако, пользуются почти ис­
ключительно метрической системой. В этой
книге мы используем т а к ж е метрическую
систему.
П ервон ач ал ьно метр был определен через
расстояние от Северного полюса до э к в ато ­
ра, которое со ставлят около 10 000 км, или
107 м. Эталоном метра служ и т расстояние
м еж д у штрихами на платиновом стержне,
х р ан ящ ем ся в М еж дун ародн ой п ал ате мер
и весов в П ариж е. О д н ако М ать-П ри рода
позаботилась о том, чтобы обеспечить нас
несравненно более точной единицей длины,
нежели расстояние м еж д у двум я штрихами
на куске металла. Это — длина световой
волны, соответствующей любой узкой спект­
ральной линии. П а р и ж с ки й эталон метра
был п рокали брован с помощью длины вол ­
ны определенной спектральной линии. Аме­
риканский дюйм связан с м еждународны м
метром
следую щим образом :
1 дюйм
в точности равен 2,54 см (100 с м = 1 м ).
Соотношения меж ду другими единицами
приведены в приложении к книге (стр. 547).
В повседневной практике часто возникает
необходимость преж де всего перевести анг­
лийские единицы в метрические. В табл. 2
приведены различные длины, с которыми
имеют дело в физике: от сам ы х малы х ( р а з ­
мер элем ентарны х частиц) до самых б о л ь ­
ших (расстояние до самы х удаленных из н а ­
блю давш ихся г ал ак ти к ).
23
Таблица 8
Время
П орядок величины времени
И нтервал
времени
сек
1015
П ери од полураспада
О 238 — в о зр а ст Зем ли
В р е м я , прош ед ш ее с м о­
м ен та п о яв л е н и я ж и з ­
ни на Зем ле
В о зр а с т человечества
П ериод п олурасп ада п л у ­
то н и я
Ю10
П р о д о л ж и т е л ь н о с ть ж и з ­
ни человека
О дин год
105
О д и н день
В р е м я ж и зн и свободного
нейтрона
10°
О дна с ек у н д а — врем я
м еж ду двум я би ени ям и
с ер д ц а
П е р и о д к о л еб ан и я
ны бандж о
10_6
стру­
В р е м я ж и зн и [х-мезона
1 0 -и
В р е м я ж и зн и в о зб у ж д е н ­
ного атом а до и с п у с ­
к а н и я света
10- “
П ериод обращ ения эл ект­
рон а в о к р у г п р о т о н а в
ато м е водорода
10-а °
П е р и о д о б р а щ е н и я ней т­
рон а и протона в яд р е
В р е м я , за к о то р о е свет
п ересекает элем ен тар­
ную части ц у
24
Время — это физическая категория, по­
этому его определение долж но исходить из
определенных законов физики. Например,
законы физики утверж даю т, что период в р а ­
щения Зем ли долж ен о ставаться постоян­
ным с очень высокой степенью точности. Этот
ф ак т можно использовать д ля определения
основной единицы времени, которая н азы ­
вается средними солнечными сутками. Кроме
того, согласно законам физики, период коле­
баний пластинки кр и сталл а в генераторе
с кварцевой стабилизацией частоты долж ен
оставаться постоянным, если не меняются
тем пература и другие внешние условия.
Таким образом, на основе электронного
генератора мож но сделать очень точные ч а ­
сы. То ж е можно ск азать о частоте ко л еб а­
ний атомов в молекуле. И действительно,
атомные часы, которые -«считают» эти коле­
бания, являю тся самыми точными часами
в мире. Основная единица времени, прим е­
н яем ая как в английской, т а к и в метриче­
ской системах,— это секунда (сокращенно
сек). Она составляет долю
1
60
1
1
1
Х - ж - Х 24
86 400
средних солнечных суток.
В табл. 3 приведены физические и нтер ва­
лы времени, начиная с в озраста З ем л и и
кончая интервалом, за который свет пере­
секает элементарную частицу.
О сновывая понятие времени на законах
физики, мы тем не менее не мож ем быть у в е­
рены, что эти законы абсолютно точны.
Допустим, например, что скорость света
медленно увеличивается со временем. Это
привело бы к изменению некоторых наших
эталонов длины и времени. П р а в д а, до сих
пор не получено ни одного эксперим енталь­
ного доказательства- изменения какой-либо
универсальной физической константы со
временем. О днако не исключено, что они ме­
няются столь медленно, что при достигнутой
в настоящее время точности измерений это
I
Таблица 4
П орядок величин масс
М асса, г
|
Юзо
С олнце
Зем ля
Луна
[020
О к е ан ск и й л ай н ер
1010
О дна тонна
О дин ф унт
10°
■■
О д и н грам м
К р ы л ы ш к о м ухи
П одпись, сделанная
к ар а н д аш о м
10-ю
Ю-ао
К апелька м асла, распы ­
л ен н о го ф о р су н к о й
М о л е к у л а Д Н К (гл а в н а я
к ом понента хром осом ы )
А том у р а н а
П ротон
Э л ек т р о н
не мож ет быть зафиксировано. Мы увидим
в дальнейшем, что новые экспериментальные
д анны е опрокиды ваю т ка зал о сь бы «неру­
шимые» законы физики. Н у ж н о приучиться
зд рав о смотреть на сущ ествующие «законы»
физики и быть готовыми их пересмотреть,
если появится убедительный эксперимент,
опровергаю щий эти законы.
Если мы попытаемся г л у бж е р азобраться
в природе времени, то обнаруж и м , что ни
физики, ни философы не понимают ее до кон­
ца. Н а ш е нынешнее понимание физического
устройства мира не столь глубоко, ка к этого
хотелось бы. Вопрос о достижении истины
в конечной инстанции — не нов. К с о ж а л е ­
нию, физики не в состоянии разреш ить эту
классическую проблему.
М асса
М асса — то ж е физическая категория.
В основе ее определения т а к ж е долж ны
л е ж а т ь законы физики. В гл. 3 мы дадим
современное определение массы, исходя из
зак он а сохранения импульса. В метрической
системе за единицу массы вначале была
в зята м асса 1 см 3 воды при определенных
температуре и давлении. Эту единицу н а з ­
вали грамм. Таким образом, плотность воды
в ы р а ж ае тся очень удобной величиной —
1 г на 1 см3. В английской системе за едини­
цу массы принимается фунт (ф ). Один ки­
л о грам м (103 г) равен 2,204 0 м а с с ы 1).
В т а б л . 4 приведены значения масс, встреч а­
ющиеся в физике.
Такие величины, к а к сила и энергия, ф и ­
зики измеряю т обычно в метрах, к и л о гр ам ­
мах и секундах или соответственно в санти­
метрах, гр ам м ах и секундах. П ервая система
единиц н азы вается системой М К 5 , вторая —
системой С 0 5 . Мы будем пользоваться
в книге обеими этими метрическими систе­
мами единиц.
П ри решении з а д а ч все величины долж -
Ю-зо
’> Д л я к р атк о сти мы будем
пи сать вм есто
грам м — г, вм есто к и л ограм м — к г и вм есто ф ун т — ф.
25
ны в ы р а ж ать ся либо в системе М К 5, либо
в системе С 0 5 . Смешение единиц н е д о п у­
стимо.
§ 3. Математический аппарат
физики
10“ X 10ь = 10“+ь
Физические величины мож но вычислить
и измерить с очень большой точностью. Такой
количественный подход требует знакомства
с математикой. К счастью, многие основные
принципы и понятия физики можно усвоить,
пользуясь лишь элементарной алгеброй и
геометрией. Таково, по-видимому, общее
свойство основных законов природы: чем
ближ е к истине, тем проще основные законы.
Необходимость в более сложном м атем ат и ­
ческом ап п ар ате обычно возникает при
попытке рассчитать какие-либо следствия из
основных законов. Н апример, решить так
назы ваем ую зад ач у трех тел (решить у р а в ­
нение движ ения трех взаимодействую щих
т ел ). Эта за д а ч а не является основной, ибо
такое движение в действительности пред­
ставляет собой суперпозицию движений трех
взаимодействующих пар. Основную ж е з а д а ­
ч у — нахождение орбит двух тел, взаи м од ей ­
ствующих обратно пропорционально к в а д ­
рату расстояния,— решил несколько столе­
тий н а за д И с а а к Ньютон. В астрономии
з а д а ч а двух тел легко реш ается методами
элементарной математики.
Д л я точного ж е расчета движения трех
тел потребовалась бы слож нейш ая э л е к т­
ронная вычислительная машина, которая
выполняет з а 1 сек такое огромное число
операций, д ля которых человеку необходимо
несколько недель. Хотя производство вычий^мЩштельных машин находится еще на на-.^„■йальной стадии, они у ж е широко применяВопрос 1. (Ответы помещ ают ся
-'~ К )Т с я в физике и других областях исследоп о с л е д у ю щ и х ст раницах.) Ч ем у р а в - %#В&НИЙ, а т а к ж е в промышленности,
но отнош ение наи бол ьш его р а сс то ян и я
Д л я полного понимания всего изложенв табл . 2 к н аим еньш ем у?
кк&Ю ГО в этой книге совсем не обязательно
26
знать тригонометрию, дифф еренциальное
исчисление, или высшую математику. Тем
не менее нужно хорошо в ладеть некоторыми
разд ел ам и алгебры. Многие студенты, и зу­
чая физику в колледж ах, не имеют дела
с алгеброй на протяжении нескольких лет.
К роме того, во многих школьных про­
г рам м ах опускаются разделы алгебры, не­
обходимые д ля чтения этой книги. Поэтому,
п реж де чем познакомиться с этой книгой,
тем, кто не силен в математике, придется
немного вспомнить ее. Д л я этой цели мы
приводим в конце главы задачи. В конце
данного п а р а г р а ф а мы д аем обзор сведений
по математике, которые потребуются при
чтении книги.
Д л я тех, кто не уверен в своих познаниях
в области математики, приводятся сл ед ую ­
щие упраж нения. Проверьте, какие из при­
веденных математических соотношений не­
верны.
1. Если 1//?= 1//?! + 1 /# 2, то Я = А?1+ Я 2.
2. (а + 6)2 = а 2 + 62 .
3. Если диаметр круга равен 10~8 см, то
его радиус равен Ю^4, см.
4. Р ад и у с этого круга равен 5~8 см.
_
АX
ВУ
_
~
А -\- X
В + У
•
6. Если катет прямоугольного треуголь­
ника, л еж а щ и й против у гл а 30°, равен 1 см,
то гипотенуза равна УЗ см.
7. 4 : 1/2 = 2.
8. у/ 16аЬ = АаЬ
9.
О твет 1. С огласно табл . 2, р асстоян и е
до наи бол ее удал ен н о й из види м ы х
гал акти к прим ерно 1027 см, а р а зм ер
(лементарной
частицы
примерно
К )-13 см.
О тнош ен ие
1027/10_13=
, |027+ |з= 1040.
/ Т б ^ б 3.
10. -а4+- гЬ = —
а +' “Г
Ь11. Пусть а и Ь — отрицательные числа и
6/а больше единицы. Тогда разность (а — Ь)
отрицательна.
Если вы не смогли ответить более чем на
27
один вопрос, то вы основательно подзабыли
математику, и, преж де чем двигаться д а л ь ­
ше, решите задачи, помещенные в конце
главы. Приведенные выше соотношения все
неверны. П равильны е ответы
даны
на
стр. 36.
Степени десяти
Физики ч ащ е всего сталкиваю тся с вели­
чинами, которые либо много больше, либо
много меньше единицы. Поэтому для удобст­
ва принято записы вать любую величину, не­
важ н о большую или маленькую, в виде
произведения некоторого числа, большего
единицы и меньшего десяти, на число десять
в соответствующей степени. Так, например,
физик зап и сал бы государственный долг
СШ А в виде 3,3- 10й долларов, или иначе —
3 , 3 - 105 млн. долларов. П о к азате л ь степени
показывает, на сколько знаков вправо нужно
передвинуть запятую десятичной дроби. Если
вы захотите написать эту величину, не вводя
степени десяти, то запятую придется сдви­
нуть вправо на 11 знаков: 330 000 000 000
д олларов. Если п оказател ь степени о т ри ц а­
тельный, то за п я т а я перемещ ается точно
таким ж е образом, но только влево. Н а п р и ­
мер, радиус атом а водорода р а в е н 5 - 10- 9 см.
Передвинув запятую влево на девять знаков,
мы получим 0,000 000 005 см.
Д л я умножения и деления чисел, п ред­
ставленных таким способом, нужно пользо­
ваться правилом
10я X 10* = 10о+*
Вопрос 2. Ч ем у р авн о
10-2 : 10~б?
(П р о д ел а й те вы числен ия в ум е или на
бум аге, п р е ж д е чем за гл я н у т ь в о т ­
вет. Е сли вы ош иблись, то п о д зай м и ­
тесь, а уж е чотом дв и гай тесь дал ьш е.)
28
и
10 *
= 10а_*.
П рим ер. Я дерны й р еак то р п р е в р ащ ае т в сутки в
энергию 1 г у р а н а . К а к о в а его м ощ ность в в ат т а х ?
М ощ ность — это эн ергия, отн есен н ая к единице
врем ени. Е сли расчеты п ровод и ть в систем е М К 5 , то
ответ получится в в ат т ах . Э нергию м ож н о вы числить
с помощ ью
известного соотнош ен ия
Эйнш тейна
№ = М с 2, где с — скорость света, р а в н а я 3 - 1 0 8 м /сек.
Э к в и в ал ен тн ость м ассы и эн ергии р а сс м ат р и в ае т ся в
гл. 5 и 11.
И так , м ощ ность
М сг
где М = 1 0 _3 кг, ? = 6 0 x 6 0 x 2 4 с е к = 8 ,6 4 - 104 сек. П о д ­
ста в и в численны е зн ач ени я, получим
Р =
Ю "3 ■ (3 • 108)2
8 ,6 4 -1 0 4
—
Ю“ 3 ■ (9 • 101е)
8 ,6 4 • 104
вт
О тв ет в ы р ази тс я степенью д есяти , к о т о р а я р авн а
сум м е п о к а за те л ей в чи слителе за вы четом сум м ы по­
к а за т е л е й в зн ам ен ател е, т. е. (— 3 + 1 6 ) —4 = 9. И так,
9
Р = ~8 64
• Ю9 = 1 ,0 4 ■ 108 в т ,
или окол о 1 млн. кет. Т акую м ощ н ость п о тр еб л яет в
средн ем целый ш тат СШ А.
Теперь, когда мы познакомились с п р а ­
вилами обращ ения со степенями десяти,
выясним, почему половина от 10-8 не равна
ни 10-4, ни 5-8. Число 10~4 можно записать
в виде
10-* = 104 • 10"8.
Отсю да видно, что ответ 10-4 отличается от
правильного в 20 000 раз. Другой распрост­
раненный ответ, который обычно учащиеся
даю т, 5-8. Но это озн ачает
Мы видим, что этот ответ в 512 раз больше
истинного. П равильны й ответ:
Ц - • 10-8 = 0,5 • 10-8.
Это равно т а к ж е 5 - 10-9.
Совместные уравнения
Ответ 2. 10~2 : 10~6=
Мы долж ны уметь реш ать системы из
двух или большего числа совместных у р а в ­
нений. В качестве прим ера рассмотрим три
уравнения из гл. 2 (в данный момент нас
интересует не физика, а только а л геб р а).
1. Ф ормула для центростремительного
ускорения:
а’С
Я '
( 1. 1)
29
2.
дом Т :
V
С вязь м еж д у скоростью V и перио­
(1.2)
т
3. С вязь м е ж д у периодом Т и частотой
(1.3)
Н а м надо найти формулу д ля центростре­
мительного ускорения, сод ер ж ащ ую только
/ и Л1. Д л я н ач ал а ф орм ул а (1.1) содерж ит
в правой части н еж елательное о, которое
мож но исключить, подставив вместо V вели­
чину 2я/?/Г:
Н о теперь неж елательной величиной я в ­
ляется Т. Ее мож но исключить, выразив Т
из (1.3) и подставив в (1.4). Согласно (1.3),
7’= ! / / . П одстановка д ает
Дробные показатели степени
О бщ ее правило перемнож ения степеней
одного и того ж е числа состоит в следующем:
Ыа
х
N0= №+ь.
П олож и в а = 6 = У2, получим
УУ7 * х ЫЧш- = N.
Это означает, что ЛР/г = ■]/.№. Точно т а к ж е
3 ___
ЛГ/з = уу\Л В ы раж ен и е А/2/з означает (М'/з) 2,
или к в ад р ат кубического корня из N. Оно
совпадает с (М2) ,/з — кубическим корнем
из кв а д р а та N.
Значащие цифры
Допустим, что мы экспериментально и з­
меряем скорость движения. Тело прошло
10 см в точности за 3 сек. Тогда
V =
30
- = 3,33333 см/сек.
3 сек
Вопрос заклю чается в следующем: сколь­
ко нужно написать десятичных знаков, чтобы
вы разить 10/3 в виде десятичной дроби?
П ринято у д ерж и вать самое большее один
лишний десятичный зн ак сверх последнего
надежного. Пусть расстояние 10 см измерено
с точностью до 1%. Тогда результат можно
вы разить в виде V = 3 ,3 3 ± 0 ,0 3 см/сек. Итак,
поскольку истинное значение скорости лежит
где-то меж ду 3,30 и 3,36 см /сек, то первые
две тройки являю тся зн ачащ и м и цифрами.
Сотые доли ненадежны. Зап и сь результата
в виде о = 3 см/сек или у = 3,333 см/сек пред ­
ст а в л я ет собой порочную практику. П редп оч ­
тительна следую щ ая запись: V = 3,33 см/сек.
У держ ан ие большего числа десятичных з н а ­
ков не только д оставл яет лишнюю работу,
но и вводит в заблуж дение. М ож ет создаться
иллюзия, что наш результат точнее, чем это
есть на самом деле.
Д опустим, что V = 3,33 сл*/се/с'складывается с другой скоростью у ' = 4 , 5 1 х Ю 2 см/сек.
Пусть величина у' т а к ж е измерена с точно­
стью до 1 %:
у = 3,33 см/сек
V' = 451,00 см/сек
V + V' = 454,33 см/сек
Нопрос 3. Е сл и величины /4 = 1 1 2 и
/I 102 обе известны с точностью 1% ,
г» с какой точностью и звестна в ел и ­
чина (Л — В )?
Зам етьте, что если принять ответ равным
4 ,5 4 3 3 -102 см/сек, то это будет означать, что
точность нашего результата лучше, чем
10~4. О днако точность суммы не мож ет быть
больше точности любого из слагаемы х. П о ­
этому мы долж ны написать 454 ± 5 см/сек,
или 4 ,5 4 - 102 см/сек.
При перемножении или делении относи­
тельная (в процентах) точность результата
не м о ж ет превыш ать точности исходных в е­
личин. Если одна из величин измерена с точ­
ностью до 1 %, а д р у гая — с точностью до
0, 1%, то точность их произведения соста­
вит 1%.
В данной книге, если это не оговорено
особо, мы будем зап и сы вать все величины
с точностью до 1°/о- Вычисления в зад ач ах
следует проводить с такой ж е степенью точ31
ности (например, с помощью обычной лога*
рифмической линейки).
Мы сделаем одно исключение из нашего
п равила д л я скорости света. Эта скорость
с = 2,9979-108 м/сек. Она встречается столь
часто,
что мы будем
просто
писать
3 -1 0 8 м /сек или 3 -1 0 10 см/сек, допуская при
этом ошибку не более чем на 10_3.
Переход от одной системы единиц
к другой
В физических расчетах часто приходится
переходить от одной системы единиц к д р у ­
гой. В качестве примера переведем значение
скорости 60 м и ль /ч а с в метры в секунду:
60 миль/час = 60 X \ миля .
1 час
Теперь вместо 1 м и л и подставим эквивален т­
ное ей значение 1,61 км:
60 миль/час = 60 х ^ ’61 *ж- =
1 час
= 6 0 х 1,61
1 час
Вместо 1 км напишем теперь 103 м и вместо
1 час — 60 мин:
60 миль/час = 60 X 1,61 X
*
60 м и н
=
_ 60 X 1,61 X 103
м
60
60 сек
= 26,8 м/сек.
Ответ 3. А — 3 = 1 1 2 — 1 0 2 = 1 0 ± 1 . К а к
А , т а к и В им ею т ош ибку ± 1 . О ш и б­
к а р е зу л ь т ат а с о с т а в л я е т ’/ю. т. е. точ­
ность этой величины 10%.
И так, вы видите, что перевод одних еди­
ниц в другие можно осуществить, подстав­
л яя эквивалентные значения. Поскольку
к а ж д а я единица имеет свое собственное чис­
ленное значение, то очень в аж н о четко за п и ­
сывать эти единицы, к а к в приведенном
примере. Р е зу л ь т ат решения физической з а ­
дачи всегда следует приводить, снабдив чис­
ленную величину обозначением соответст­
вующих единиц,
Ф и1 4. Д н а прям оугол ьн ы х тр еу го л ь­
ники.
.*
•ИГ
рнш ш О одрснкы й;
2 -176
б —с
угл ам и
30°
и
Геометрия
Мы долж ны уметь вычислять п л о щ а ­
ди и объемы простых фигур: треугольни­
ков, прямоугольников, кругов, кубов, ци­
линдров и шаров. Н а м придется ближ е
познакомиться с так н азы ваем ы м и « з а к о н а ­
ми подобия». Р ассмотрим, например, кон­
сервные банки различных размеров, высота
которых всегда совпадает с их диаметром.
С точки зрения геометрии, все эти банки
представляю т собой подобные фигуры. Д о ­
пустим, что м аленькая б ан ка стоит 10 цен­
тов, а больш ая, «двойного разм ера» (высота
и диаметр которой вдвое б о льш е),— 50 цен­
тов. Многие хозяйки, если не большинство,
полагают, что в 5 маленьких бан ках больше
содержимого, нежели в одной «двойной».
Но, купив 8 маленьких банок, хозяйка пере­
платит 30 центов. Действительно, зак он по­
добия гласит, что объемы подобных фигур
относятся ка к кубы их линейных размеров.
Но 2 в кубе равно 8. « Д вой н ая» б ан ка вм е­
щ ает в 8 раз больше содержимого, чем одна
маленькая. Поверхность ж е «двойной» б а н ­
ки в 4 р аза превыш ает поверхность м а л е н ь ­
кой, потому что площ ади относятся как
квадраты линейных размеров. Когда вы по­
купаете плоскую лепешку, то выгоднее поку­
пать одну «двойную», чем четыре « о д и н ар ­
ные», при условии, конечно, что «двойная»
стоит дешевле, чем четыре «одинарные».
Д л я чтения этой книги необходимо з н а ­
комство с теоремой П и ф аго р а и со свойст­
вами треугольников двух типов, и зо б р а ж е н ­
ных на фиг. 4. Это знамениты е п рям оуголь­
ные треугольники: один с углом 30°, а
другой с углом 45°.
Теорема П и ф аго р а
утверж дает, что кв ад р ат гипотенузы п р я м о ­
угольного треугольника равен сумме к в а д ­
ратов катетов. Кроме того, нужно помнить,
что такое «подобные треугольники» и что
соответственные углы в них равны, а сторо­
ны пропорциональны. Ещ е одна полезная
теорема из геометрии: если стороны одного
угла
перпендикулярны соответствующим
сторонам другого угла, то такие углы равны.
33
Фиг. 5. Г раф и к д в и ж е н и я автом обиля.
§ 4. Графическое изображение
5
К А РТИ Н А С ТО И Т Д Е С Я Т К А ТЫ С Я Ч СЛО В
4
I
«Г
4 *
» * мин
2
Зкм
1
10
1 ,м и н
34
15
20
Следует научиться читать и рисовать
графики. Н ам встретятся
случаи, когда
единственный способ заф и ксиро вать инфор­
мацию — это нарисовать график. Часто
представить происходящее легче, взглянув
на график, нежели на уравнение. Н а фиг. 5
изображ ен график, на котором мы попрак«
тикуемся. Н а нем запеч атл ен а 20-минутная
история поездки на автомаш ине по прямой
дороге; 5 — расстояние от дома водителя,
а { — время, прошедшее с момента отъезда
из дому. Д а в а й т е посмотрим, какую и нф ор­
мацию можно выудить из этого графика.
Л ю б а я из точек на кривой дает нам вели­
чину 5 в определенный момент I. Н апример,
точка Р имеет координаты 3 км по ш к а л е 5
и 4 мин по ш к ал е I. Таким образом, б л а го ­
д ар я точке Р мы знаем, что автомаш ина
достигла трехкилометровой отметки спустя
4 мин после отъезда. Мы видим, что а в т о м а ­
шина проехала в первую минуту примерно
хи км, а весь первый километр за 2 мин. П о ­
скольку 1 км/ мин соответствует 60 км/час,
средняя скорость в первые две минуты состав­
л я л а половину этого значения, или 30 км/час.
Можно сделать вывод, что водитель не пы­
тался поначалу гнать машину (легковая
автомаш ина
может
развить
скорость
60 км/час примерно за 8 сек). По истечении
второй минуты водитель подд ерж ивал ско­
рость 1 км/мин, что соответствует постоян­
ной скорости 60 км/час. Однако при 1= 5 мин
он быстро остановился, примерно за х/5мин,
или 12 сек. Пришлось, конечно, пустить в ход
тормоза (чтобы заторм озить до полной о с­
тановки при скорости 60 км/час, надо по
меньшей мере 3 сек). З а т ем водитель про­
стоял около 3 ми н на расстоянии примерно
4 км от дома. При ^ = 8 ми н он двинулся
обратно к дому с меньшей поспешностью
(с меньшим ускорением), нежели вначале.
Однако спустя 2 мин он ста л постепенно
сбрасы вать скорость и продол ж ал это д е ­
л ать до остановки в момент ^ = 1 6 мин.
В конце он катился еще около 1 мин, пока
не утратил скорости. Мы приходим к выво­
ду, что у него уп ал а мощность двигателя
(вероятно, он израсходовал горючее).
К ак видите, граф ик рас ск а зал нам все,
за исключением того, почему водитель з а ­
тормозил в 4 км от дома и почему он решил
повернуть назад. Но и об этом мож но сде­
лать кое-какие предположения.
Вероятно, водитель заторм озил потому,
что внезапно об наруж и л почти полное от­
сутствие горючего. З ам ети м , что мы опре­
деляем скорость автомаш ины по наклону
кривой, так как скорость пропорциональна
этому наклону. Если кри вая идет горизон­
тально, то скорость о б ращ ается в нуль.
§ 5. Наука и общество
ОСНОВНАЯ Ц ЕЛ Ь
Конрое 4. Г де н а х о д и тс я а втом оби л ь,
гогласно фиг. 5, в момент * = 1 0 мин,
м чему приближенно р а в н а его ско1ШСТЬ?
Почти каж ды й шаг на пути познания
закономерностей физического мира находит
в конечном счете то или иное практическое
приложение. Однако физики, как правило,
не очень у ж интересуются практическим
применением своей работы. Многим, может
быть, покаж ется удивительным, что неиз­
б еж н ая польза, которую приносит человече­
ству труд физиков, обычно не является д ви ­
жущ ей силой их деятельности. Физиков
гораздо больше интересует познание секре­
тов природы, вскрытие сущности физиче­
ских явлений. Д а е т это практический «вы­
ход» или нет — дело второстепенное.
К примеру, некоторые ученые подвергли
критике проект «Аполлон» (проект полета на
Луну) на том основании, что он не вносит
большого в к л а д а в фундаментальные науки.
Д л я этих критиков полет человека на
Луну — чисто испытательный, а не чисто н а ­
учный эксперимент. Однако это испытание,
по-видимому, величайший и самый выдающийся из подвигов в истории человечества,
Л ю д и веками мечтали о нем. Сейчас, облад а я техническими возможностями и ресур35.
сами, мы долж ны достигнуть этой вершины.
СШ А достаточно богаты, чтобы вести кос­
мические исследования и в то ж е время ре­
шать свои социальные проблемы, если это
о казы вается необходимым. Если ж е иссле­
дования каж утся слишком дорогостоящими,
то средства, вероятно, можно сэкономить,
сократив темп реализации программы и в ы ­
работав новое отношение к мерам п р ед о сто ­
рожности. Р а з в е стали бы мы в о зр а ж а ть
против них, если бы космические исследо­
вания оказали сь столь ж е рискованными,
как, скажем, покорение Эвереста? Д л я ф и ­
зиков познание окруж аю щ его мира само по
себе необычайно важно. Ведь человек —
единственное существо, способное к такому
познанию. Н а ш е научное познание п р е д с т а в ­
ляет собой центральную часть современной
культуры и цивилизации.
Вторая, чаще уп ом и наем ая причина по­
требности изучения физики заклю чается в
том, что в наш век — век автоматики, и зл у­
чений, атомной энергии, космических поле­
тов, ракет и ядерных бомб — просто невоз­
можно обойтись без научных знаний. Почти
в каж дом номере газеты имеется статья, ко­
торую нельзя по-настоящему понять, не зная
физики. Возьмите любую из этих статей.
Некоторые из них имеют жизненно важ н ое
значение. В ряд ли люди, имеющие весьма
слабое представление о науке, о ка ж утся в
состоянии принимать в аж н ы е решения по
таким жизненным вопросам. А ведь, н а ­
сколько мы понимаем, от этих решений з а ­
висит сущ ествование человеческой цивили­
зации.
Ответы (см. стр. 27)
1. Я =
О твет 4. Р а с сто ян и е от д о м а в о д и те­
л я в м ом ен т 1= 10 м и н равн о 5 = 3,7 км ,
причем в од и тель в о зв р а щ а е т с я к д о ­
му со скоростью 1 и в 3 м ин, или
20 км /час.
2. (а + Ь)2 = а 2 + 2аЬ + Ь \
3 и 4. Р ад иус равен 5 • 10-6 см.
5.
АX
В
_ А У + ВХ
'
У
ВУ
6. Гипотенуза равна 2 см.
7. 4 : 1/ 2 = 8 .
8 . / 1 6 аЬ = 4 / аЬ .
9. у Т 0» = 1 0 / Т О .
10-1гЬг=<
а+
ЬУ 1-
11. (а — Ь) больше нуля.
12. 10~6.
Задачи
1. И звл ек и те корен ь кубический из 66.
2. В ы р ази те величину, об ратн ую ( 1/Л + 1 /В ), в виде
дроби, не со д ер ж а щ е й дробей ни в числителе, ни в
зн ам ен ателе.
3. В ы р ази те скорость 60 м и л ь /ч а с в ф у т ах в секунду.
4. Д л и н а световой волны , отвечаю щ ей определенной
спектрал ьн ой линии, р авн а 5,981 • 10~5 см. С колько
волн такой длин ы у л о ж и тс я на 1 м ?
5. Д и а м е т р протона равен
10-13 см, его м асса
1.6 • 10—24 г. К а к о в а плотность протона в г/с м 3?
6. Р а зр е ш и те относи тельно х равен ство;
а *—*
х — 1
| * .
х + 1
7. Н а й д и те Р из 1/(1— (32) = 1,25.
8. Ч ем у р а в н а У5 от 10-10? Ч ем у равн о 10“ '° : ‘/в?
9. Ч ем у равн о 16‘/<?
10. В 4 г гелия с о д ер ж и т с я УУ0 = 6,02- Ю23 атом ов . К а ­
к ов а м асса одн ого ато м а гелия?
11. К усок м ы ла р а зр е за л и на д в е части оди наковой
ф орм ы (подобны е ф и гу р ы ). Б ол ьш ой кусок на 50%
д лин нее м аленького. Во скол ько р а з в больш ом к у с ­
ке больш е м ы ла, чем в м аленьком ?
12. Р а зр е ш и те
в ы р аж ен и е
V = ]I2 аз
относи тельно
а.
13. П ер и о д кол еб ан и й к р и с та л л а в ген ер ато р е равен
2,5 ■ 10-6 сек. К а к о в а частота ген ер ато р а в числе к о ­
лебан ий в 1 с ек ?
14. 2 г в о д о р о д а с о д е р ж а т Л^о = 6,02 • 1023 м олекул.
К а к о в а м асса ато м а в о д о р о д а (в одной м ол ек ул е Н 2
с о д е р ж а т с я д в а а т о м а )?
15. В ы р ази те № через е и Я, в о сп о л ьзо в авш и сь с л е ­
дую щ им и соотнош ениям и:
№ =
+ 11г
37
I
и = ■
/?
я ~ я2
■
16. У простите в ы р аж ен и я
л-3 • (4л-)2
(Л'20)3
(2л-)4
’ (Л/«)я '
17. У простите дроб и
а 2 — 62
•а
лг2а — * а
л-а
д-2.
18. Р а зр е ш и те относи тельно V вы р аж ен и е
М=
/И„
19. Н ай д и те х к у:
х + У = — 2.,
х — у = 8.
20. В ы ч т и т е — (/о из — И?0- И зо б р ази т е р е зу л ь т ат гео­
метрически и вы числите д л я сл у ч ая \1''о = 2, ь,о = 7.
21. В ы сота равн остороннего треугол ьн и ка 5 см. Ч е­
му р авн а его сторона?
22. В некоторой систем е единиц м асса нейтрона р а в ­
на 939,506, а м асса протона 938,213. К а к о в а разн и ц а
м еж д у этим и м ассам и в той ж е системе едини ц и
сколько зн ач ащ и х цифр она содер ж и т?
23. Н а фиг. 6 0 = 1 м, </ = 0,1 мм, Х = 5 - 10~5 см. Н а й ­
ти X в см.
Фиг. 6. К за д а ч е 23.
38
24. П р ед м ет виден на расстоян и и 100 м под углом
1°. К а к о в а его вы сота?
( У к а з а н и е . Г равен 1/360 полного кр у га. Т а ­
ким об р азо м , вы сота предм ета с о ст ав л я е т 1/360 часть
длины о к руж н ости ради усом 100 м .)
25. К а ж д ы е 100 м дор о га п о д н и м ается на 3 м. К а к о в
угол ее н а к л о н а к горизонтали ?
26. И склю чите ^ из при веденны х уравн ен и й ;
X = Vx ^,
У = ьу( + -^~ е{2.
27. К а к о в а д л и н а волны , с о о тв етств у ю щ ая частоте
60 кол еб ан и й в секунду, если скорость зв у к а при н ята
равн ой 340 м /сек? (И ны м и сл о в ам и , на к ак о е р а с ­
стояни е п ер ем ещ ается зв у к о в а я в ол н а за 1/60 сек?)
28. В приведенной ни ж е систем е д в у х уравн ен ий х ' и
Г в ы р аж ен ы через х и I. В ы р ази те х и I через х ' и I'.
П ол уч и те в ы р аж ен и е д л я х, не с о д ер ж а щ е е I.
А теперь получите вы р аж ен и е д л я I, не с о д ер ж а щ е е х:
КИНЕМ АТИКА
§ 1. Скорость
Ч ТО П О К А ЗЫ В А Е Т С П И Д О М Е Т Р
К инем атика изучает движение. В кине­
матике мы имеем дело с положением тела
или частицы, скоростью и ускорением, но не
интересуемся ни природой движущ ихся тел
или частиц, ни силами, вы зы ваю щ ими уско­
рение. И несмотря на эти временные о гран и ­
чения, мы почти сразу ж е ока ж ем с я способ­
ными реш ать многие практические задачи.
В наш век автомобилизма с понятием
скорости сталкиваю тся уж е с детства. С пи­
дометр автомобиля п оказы вает его мгновен­
ную скорость (в к м /ч а с),
Постоянная скорость
Если автомобиль движ ется с постоянной
скоростью, то пройденное им расстояние
прямо пропорционально времени движения.
При движении с постоянной скоростью V
5 -
Фиг. 7. Г раф и к зави си м ости от врем е­
ни I пути 5, проход и м ого телом , д в и ­
ж ущ и м ся с постоян ной скоростью .
в = VI
у/,
где 5 — расстояние, пройденное за время (.
Н а фиг. 7 и зображ ен путь 5 тела, д в и ж у щ е ­
гося с постоянной скоростью, в зависимости
от времени I.
Если разделить правую и левую части
написанного выше равенства на /, то мы
получим
V —
(2 - 1)
если V постоянно.
Мгновенная скорость
Р ассмотрим теперь более общий случай,
когда скорость мож ет меняться со временем.
Пусть вначале скорость меняется только
по величине, но не по направлению . Такое
движение по прямой в заданном н а п р а в л е ­
нии носит назван ие одномерного движения.
Мы допускаем, однако, изменение н а п р а в л е ­
ния на противоположное. В этом случае V
будет отрицательно; это означает, что вели-
чина 5 уменьшается. Строго говоря, нам сл е­
до вал о бы пользоваться термином «ско­
рость», когда речь идет лиш ь о величине ско­
рости, а не о ее направлении. В нашем опи­
сании одномерного движ ения его н а п р а в л е ­
ние сохраняется б л а го д а р я использованию
отрицательных значений V .
П редполож им, что автомобиль движ ется
неравномерно (ускоряется или з а м е д л я е т ­
ся). Совершенно очевидно, что при этом
форм ула (2 . 1) не будет соответствовать «по­
казанию спидометра». Она будет д ав ать
правильный результат только в том случае,
если величина 5 очень м ала. Такие очень м а ­
лые отрезки пути мы будем обозначать си м ­
волом Ах, а через А^ обозначать время, з а ко ­
торое тело проходит этот отрезок Ах *). Тогда
мгновенная скорость определится сл ед ую ­
щим образом:
М гн о в е н н а я
скорость
Д5
у = ----- -
(2 .2 )
Д<
Б олее строго,
0- !йШ■
Это соотношение означает, что о есть предел
отношения
Аз/А(
при А^,
стремящ емся
к нулю. П еред нами математически строгое
определение мгновенной скорости 2>.
Фиг. 8. А втом обиль, дв и гавш и й ся пер­
вую «половину» пути со скоростью 0 |,
а вторую
«половину»— со с к о р о с­
тью И2,
Средняя скорость
Допустим, что автомобиль проехал 60 км
(фиг. 8 ), иричем первые 30 км он двигался
со скоростью 20 км/час, а ос______________________ ___
тальны е 30 км — со скоростью
■30км-----------“|----------- зокм------------|
()0 км/час. У вас появляется
соблазн ск азать, что средняя
скорость
автомобиля
равна
Ч
З д е с ь сим вол Д — сокращ ен н ое обозначен ие
вы читания, а именно: Д« = 52—5 ь где «1 — расстоян и е
д о авто м о б и л я в м ом ент 1\, а 52 — р асстоян и е в м о­
м ент / 2. А налогичн о, Д 1= 12— 1\.
2) Тот, кто немного зн аком с ди ф ф ерен ц и альн ы м
исчислением, с р азу ж е у зн ае т в наш ем в ы р аж ен и и
д л я мгновенной скорости оп редел ен и е прои зводной х
по <(о = ^ я / Л ) .
43
(20 + 60)/2, т. е. 40 км/час. Однако так вы ­
числять среднюю скорость было бы неверно.
Вспомните, что мы условились определять
среднее значение скорости по отношению к
прошедшему времени, а не по отношению
к пройденному пути. Если и — время, з а т р а ­
ченное автомобилем на первую половину
пути (со скоростью V]), а ^2 — время,
затраченное на вторую половину, то средняя
по времени скорость равна
Эта форм ула представляет собой пример вы ­
числения
так назы ваемого взвешенного
среднего значения. Величины
и 12 в соот­
ношении (2.3) носят название весовых мно­
жителей. Таким образом, среднюю скорость
автомобиля
мож но найти, вычислив 1\
и 12 из соотношения 1 = $/ь, которое получено
из (2. 1).
Л егко видеть, что 1\ = 30 км / (20 км/час) =
= 1,5 час; /2 = 30 к м / (60 км/час) = 0 , 5 час.
Подставив эти величины в (2.3), получим
-
20 • 1 ,5 + 60 • 0 ,5
V— — д5
,
оп
.
0 5----- км/час — 30 км/час.
И так, средняя скорость автомобиля р а в ­
на 30, а не 40 км/час.
Из (2.3) легко получить простую ф ор м у­
лу для средней скорости. Д л я этого д о с т а ­
точно вспомнить, что V1^ = 5I — расстояние,
пройденное со скоростью у х. Аналогично,
о2{2 = 82. Ф ормулу (2.3) можно, таким о б р а ­
зом, переписать в виде
или
С р е д н я я скорость
Вопрос 1. П р е д п о л о ж и м , что ж ар к и м
л етом т е м п е р ат у р а 30° С д е р ж и т с я в
течение 16 час, а 20° С — в течение
8 час. К а к о в а сред н есуточ н ая тем п е­
р а ту р а ?
(2.4)
где 5 —: полное расстояние, а I — время, за
которое проходится это расстояние. Эта ф ор­
мула автоматически учитывает все весовые
множители и поэтому д ает истинное зн ач е­
ние средней скорости в любых случаях при
самых произвольных изменениях мгновен­
ной скорости.
Тот же самый результат получится, ко ­
нечно, и для трех или большего числа ин­
тервалов времени. Л ю бое изменение ск оро ­
сти можно разбить на множество мелких
интервалов, в к аж д ом из которых скорость
будет по существу о ставаться постоянной.
Мы увидим в этом случае, что форм ула (2.4)
является совершенно общей и охваты вает
все случаи одномерного движения.
П р и м ер 1. Д оп усти м , что д в и ж у щ и й с я со с ко р о ­
стью 60 км /ч а с а втом оби л ь о с та н о в и л с я через 4 сек
после к а ч а л а т орм ож ен и я. Д о п у ст и м т а к ж е , что за
эти 4 сек скорость р авн ом ерн о п а д а л а от 60 км /ча с
до нуля. Т огда ср ед н яя скорость за в рем я т о р м о ж е ­
ния б у д ет р авн а 30 км /час. К а к о е расстоян и е п рой ­
де т авто м о б и л ь от м ом ента н а ч а л а то р м о ж е н и я до
полной остан овки ? Е сли р азр еш и т ь (2.4) отн о си тел ь­
но «, то мы получим
х=
V I.
С р е д н яя скорость ч = 30 км /час, или « 8 , 3 м /сек. Т а ­
ким о б р а зо м , 5 = 8 ,3 м /с е к у . 4 с е к = 3 3 ,2 м. Н е след у ет
ли п р и д ер ж и в а ть ся ди стан ц и и 30 м, когд а ед еш ь со
скоростью 60 к м /ч а с ? З н ан и е ф и зи ки п о звол и л о бы
в одителю лучш е у п р а в л я ть маш иной!
П р и м е р 2. В елосип еди ст ед ет по пересеченной
местности. К огда дор о га идет в гору, скорость его с о ­
с т а в л я е т 5 к м /ча с, а с горы 20 км /час. К а к о в а его
ср ед н яя скорость, если общ ий путь, пройденны й при
подъем е, такой ж е, к а к и при спуске?
П усть
— п ротяж ен н ость всех под ъем ов. Т огда
5 = 2 й — все пройденное расстоян и е. С огласн о (2.4),
ср ед н яя скорость р авн а
Д л я реш ения поставлен ной за д а ч и о стается о п р е д е ­
л и ть ( — врем я д в и ж ен и я:
*=
+ ^2.
где 1\ —- врем я п реодоления п о д ъ ем а, а
спуска. Н о из р авен ств а (2.1) имеем
О
Ответ 1. В есовой ■м н ож и тел ь д л я
30° С в д в а р а за
больш е, чем д л я
20° С; с л ед о в ател ьн о ,
1
— врем я
О
«1
С л ед ов ател ьн о,
45
П о д став и м теп ерь это в ы р аж ен и е в ф орм ул у (2.5) и
получим
—_________ 21)_______
\
2V1V2
«2 )
Н аконец, в осп ол ьзов авш и сь численны м и зн ачени ям и
скоростей (1)1=5 км /ч а с и ч2 = 20 к м /ч а с ), имеем
_
2-5-20
V = ^ . 20
км/час = 8 км/час.
З а м ет ьт е, что, р е ш а я эту за д а ч у , мы п о л ьзов ал и сь
алгебраи чески м и сим волам и, пока не получили кон еч­
ный р е зу л ьтат. В принципе это хорош ее п рави л о — не
п о д став л ять численны е зн ач ен и я д о сам ого конца.
П о д ст ан о в к а численны х значений л иш ь в конечную
ф орм ул у обы чно п о зво л яет и з б е ж а т ь больш ого к о л и ­
чества ариф м етических операц ий и с н и ж ае т в е р о я т ­
ность появл ен и я ош ибок.
§ 2. Ускорение
Н А Ж И М А Я Н А А К С Е Л Е Р А Т О Р И Л И Т О Р М О ЗЯ
По определению, тело движ ется с посто­
янным ускорением, если его скорость р а в ­
номерно возрастает со временем:
V — V,) = а(,
или
Пост оянное у ско р ен и е
М гн о ве н н о е у ско р ен и е
В опрос 2. А втом оби л ь н ах о д и тся в
точке «1 в м ом ен т врем ени
и в точ­
ке 52 в м ом ент врем ени
К а к о ва
с р е д н я я скорость дв и ж ен и я?
46
а =
V — V0
(2 .6)
где V— у0 — приращение скорости за в р е ­
мя
Н а ч а л ь н а я скорость в начальный м о­
мент интервала времени I равна V!,. В еличи­
на а н азы вается ускорением и имеет р а з ­
мерность длины, деленной на кв ад р ат в р е­
мени. Обычно ускорение измеряю т в м /сек2,
см /сек2 или фут/сек2. Если процесс ускоре­
ния происходит неравномерно, то величина
Ду
а ~
Ы
в пределе м алы х значений Ы д ает мгновен­
ное ускорение.
В этой главе мы ограничимся рассмотре­
нием лишь примеров с постоянным уско­
рением.
П р и м е р 1. Т ело вы ходит из состоян и я покоя с по­
стоянны м ускорением 9,8 м /с е к 2. С колько врем ени ему
требуется, чтобы р а зв и ть скорость, равн ую скорости
света ( 3 - 1 0 8 м /с е к )?
Р а зр е ш и в (2.6) относи тельно I, получим
V
1 ~
~а
'
или
I =
3 • 108 м /с е к
о~ о— ;-----2 — 3 ,0 6 • 107 с е к ,
9 ,8 м /с е к 2
’
т. е. почти год.
Этот пример п о ро ж д ает сомнение в п р а ­
вильности формулы (2.6). Действительно,
многие из вас уж е слы ш али о том, что ни
одно тело не мож ет двигаться со скоростью,
превыш аю щей скорость света. А форм ула
(2 .6 ) не н акл ад ы в ает никаких ограничений
на величину V. Все дело в том, что формулы
первых пяти п ар аграф ов этой главы, полу­
ченные впервые Г алилеем в самом н ачале
XVII века, представляю т собой законы так
назы ваемой классической механики.
В 1905 г. Эйнштейн предлож ил внести
изменения в эти законы, которые были бы
существенны только при очень больших ско­
ростях, сравнимы х со скоростью света. Н о ­
вая теория Эйнштейна получила название
«специальной теории относительности» и
подверглась всесторонней проверке в мно­
гочисленных экспериментах. В современной
теории относительности правильн ая ф орм у­
ла (2.6 ) д о л ж н а быть зап и сан а в виде
_
а1
где с — скорость света, а — постоянное у с ­
корение, измеренное наблю дателем, н ах о д я­
щимся на дви ж ущ ем ся теле. Из этой ф орм у­
лы видно, что когда величина (а 1) становит­
ся гораздо больше с, то зн ам енатель
стре­
мится к (а(/с) и скорость V прибли ж ается к
Ответ 2.. А втом оби л ь прош ел путь
за
в р ем я 1г— и , сл е д о в а тельно,
5 = 52—
_ _ 8а —
~
'
У =
а(
д^ с =
С.
С другой стороны, если ( а1 ) гораздо меньше с, то квадратны й корень в зн ам енателе
47
Фиг. 9. З а в и си м о сть от врем ени I
скорости V т ел а, д в и ж у щ его ся с по­
с тоянн ы м
ускорени ем и начальной
скоростью УоV
очень близок к единице уь и = а 1; с большой
степенью точности.
При «обычных» скоростях релятивистски­
ми эффектами, конечно, мож но пренебречь,
Поэтому вполне разумно, изучая классиче­
скую механику, п р о до л ж ать пользоваться
выражением (2.6). Эффекты, возникаю щие
при больших скоростях, мы обсудим в гл. 11.
П рим ер 2.
В оди тель, едущ и й
со скоростью
90 км /час, в н езап н о за м еч ае т вперед и на расстоян ии
30 м за стр яв ш и й грузовик. В о д и тел ь то рм ози т с м а к ­
сим ально
возм о ж н ы м
о три ц ател ьн ы м
ускорением
примерно — 5 м /с е к 2 (более резк ое торм о ж ен и е при ве­
д ет к скол ьж ен и ю колес и путь т о р м о ж е н и я от этого
только у в ел и ч и т ся). С колько врем ени при дется то р ­
м озить и у д а ст с я ли и зб е ж а ть стол кн овен и я с гру­
зовиком ?
Ч тобы найти в р ем я, н ад о реш ить уравн ен и е (2.6)
относительно (:
I =
где и0= 2 5 м /с е к — н а ч а л ь н а я скорость, а конечная
скорость о = 0 . У скорение а = — 5 м /с е к 2 отри ц ател ьн о,
п оскольку оно н ап р ав л ен о против д в и ж ен и я. П о д с т а ­
новка этих величин д а е т
0 — 25 м /с е к
I = ------ е— ;----- 5“ = 5 сек.
— 5 м /с е к 2
З а это врем я ср ед н яя скорость
25 м /с е к
5 = 1)1 = 1 2,5 м /с е к ■ 5 сек ~ 6 2 ,5 м.
И так , стол кн овен и е неизбеж но!
Р еш ая уравнение
получаем
V = Vй -\-а^.
Вопрос 3. А втом оби л ь тр о га ет ся с
м еста и р а зв и в а е т скорость VI за в р е ­
м я ([. Ч ем у р авн о средн ее ускорение-,
если его в ы р ази ть через
и ^1?
48
(2.6)
относительно V,
(2.7)
Г р аф и к функции V = V0 + а ^ представлен
на фиг. 9. С редняя скорость за период в р е­
мени I изобразится на этом граф ике длиной
вертикального отрезка, верхняя точка кото­
рого л еж и т посередине м еж д у
и V, т. е. на
расстоянии 7 г ( уо+ и) от оси времени. Итак,
р = Р(>+ ° .
(2 .8)
Н о поскольку средняя скорость тела равна
зЦ [формула (2.4)], то
5
+
(
' 2
V
’
или
„
+
_
5 ~
2
Теперь подставим в эту формулу вместо ск о­
рости V ее значение (2.7). Тогда получим
__
3
~
+
( « о
+
“ 0
1
2
или, окончательно,
з = и0( + - ^ .
(2.9)
Этой формулой в ы р а ж ае тся расстояние, ко­
торое проходит тело за время I, если оно
дви ж ется с постоянным ускорением а. Если
в начальный момент тело покоилось, то
8 = а{ 2/ 2 .
Ф ормулу (2.9) впервые получил Галилей.
Вопреки общепринятому мнению того в ре­
мени он показал, что если пренебречь сопро­
тивлением окруж аю щ его воздуха, то все тела
будут п ад ать с одним и тем ж е ускорением,
н аправленны м к центру Зе м л и (фиг. 10). Это
ускорение равно 9,8 м /се к 2, его принято
обозначать символом §. Галилей провел
тщ ательны е и очень точные опыты, чтобы
д оказать, что расстояние, пройденное телом,
прямо пропорционально квад рату времени.
Галилей измерял промеж уток времени по ко­
личеству воды, вытекавш ей из тоненькой
трубочки в дне большого сосуда. Это уст­
ройство похоже на песочные часы. Только
А
Фиг. 10. Ф о то гр аф и я д в у х пад аю щ и х
ш ари к ов разл и чн ой м ассы , п ол уч ен ­
н ая со стробоскопическим
ос ве щ е ­
нием.
Э ту ф о то гр аф и ю получили, о т к р ы в ая о б ъ ­
екти в и ч е р е д у я вспы ш ки света к а ж д ы е
1/30 сек. З а м е т ь т е, что м ал ен ьк и й ш ари к
д о с т и г ае т п ола одн оврем енн о с больш им .
О ба ш а р и к а н ач ин аю т п а д а т ь о д н о вр ем ен ­
но.
49
вместо песка была использована вода. Сам
эксперимент закл ю ч ал ся в следующем. По
наклонной плоскости вниз пускался шар.
Одновременно под отверстие трубочки под­
ставлялся сосуд. О казалось, что, если коли­
чество воды в сосуде возрастал о вдвое,
расстояние, пройденное шаром, увели чи ва­
лось в 4 раза в согласии с формулой (2.9).
П р и м ер 3. Т урист, стоя на к р а ю Б ол ьш ого К а н ь ­
она, бр о сает вниз кам ен ь (что весьм а легком ы сленно,
т а к к ак там м огут бы ть л ю д и ). П р е н е б р е га я со п р о ­
тивлением в о зд у х а , определить, через сколько секунд
кам ен ь дости гн ет д н а. Г лубина к ан ьо н а 1500 м.
В этой з а д а ч е нам известны 5 и а. Н у ж н о найти
В осп ол ьзуем ся д л я этой цели ф орм улой (2.9), к о то ­
р а я с в я з ы в а е т 5 , а и I и со о тв етств у ет постоян ном у
ускорению в д о л ь прям ой. П о л о ж и м в ней Оо = 0, а
Т огда
В ы рази в отсю да (, получим
или
( 2 . 10)
ё
Т аки м об р азо м , алгебраи ческ и за д а ч а д л я I у ж е ре­
ш ена. О с та е тс я
п од став и ть численны е зн ачени я;
х = 1 5 0 0 м, ^ = 9 ,8 м /с е к 2-, теп ерь
П р и м ер 4. М ал ьч и к п о д б р ас ы в ае т м яч на вы соту
20 м и л о в и т его, ко гд а он п а д а е т вниз. С колько в р е­
мени м яч н а х о д и тся в полете?
Эту за д а ч у м ож н о уп рости ть. Д е л о в том, что
в рем я п од ъ ем а м яча в точности р авн о врем ени п а д е ­
ния, поскольку изменение скорости м яча, т. е. его у с ­
корение, в обоих сл у ч аях соверш енн о о д и н ак ово, а
скорость в наивы сш ей точке р а в н а нулю. П оэтом у
д в и ж ен и е м яча при падении с вы соты 20 м яв л яет ся,
т а к с к а за ть , обращ ени ем его д в и ж е н и я при подъем е.
И з ф орм улы (2.10) нем едленн о пол уч ается врем я п а ­
дения:
О твет 3. П о д о б н о средней скорости
V= 8 \Ц \1 где 5] — при ращ ен и е _пути за
вр ем я и , сред н ее ускорени е а = и \Ц \,
где
— п р и ращ ен и е скорости за в р е ­
м я 1 \.
50
I = Т / 2 ' 20- ж 2 сек
9 .8
У
П олное в р ем я п олета м яча р авн о удвоенной в ел и чи ­
не, т. е. 4 сек.
Чему равно ускорение м яча в точке н аи ­
высшего п одъема? Больш инству покаж ется,
что нулю. Н а самом деле в этот момент
скорость равна нулю, это отнюдь не о зн а ч а ­
ет, что и ускорение равно нулю. Фактически
скорость непрерывно уменьшается. В момент,
когда скорость о б ращ ается в нуль, она м е­
няет з н ак с плюса на минус и скорость ее
изменения
по-прежнему
равна
а=
- — 9,8 м/сек.2.
П р и м е р 5. С ущ ествую т ракеты , которы е, п рой дя
расстоян и е всего 200 км , м огут р а зв и т ь скорость (при­
мерно 11 к м /с е к ), позвол яю щ ую им покинуть Зем лю .
Т а к а я скорость п о зво л яет р а к е т е о своб оди ться от
вл и ян и я зем ного п р и тяж ен и я. П р ед п о л о ж и м , что у с ко ­
рение при этом постоянно. Ч ем у оно равн о?
Д л я реш ения дан н ой за д а ч и п од ош л а бы ф о р м у ­
л а, с в я з ы в а ю щ а я 5, V и а. О д н ак о у нас так о й ф о р ­
мулы пока нет. Н ачн ем с того, что вы пиш ем ф орм ул у
(2.6), к о т о р а я с л у ж и т определ ен и ем ускорени я:
V
Н о п р а в а я часть этого р а ве н с тв а с о д ер ж и т новую не­
известную величину I. П р а в д а , ее м ож но найти из
ур авн ен и я, с вязы в а ю щ е го I с известны м и у и 5. Д л я
этой цели п од х о д и т ф о р м у л а (2 .4 ), если вспом нить,
что с р ед н я я скорость ракеты за врем я I р а в н а о /2
[см. (2.8)]. И так , величина о = и/2 д о л ж н а бы ть р а в ­
на в/{:
1
5
или
( =
25
400
= —| у - сек — 3 6 ,4 сек
П о д ст ав и в это зн ач ени е в ф о р м у л у д л я а, найдем
V
а = -у
В опрос 4. В м ом ен т врем ени 11 а в т о ­
м обиль н а х о д и л с я в точке 5ь его ско
рость р а в н а 01 и он тор м о зи т с п о сто ­
янным ускорением а. Н ай ти п о л о ж е
ние а вто м о б и л я 52 в м ом ен т 1г.
11 • 103
- —
— м /с е к а = 302 м /с е к 2,
что в 31 р а з больш е ускорени я своб одн ого п аден и я
§! О бы чно в т ак и х сл у ч аях го в о р ят , что ускорени е
р авн о 31 §.
Это ускорени е слиш ком вел и ко, чтобы к о см о н ав ­
ты могли в ы д е р ж а т ь его при стар те.
Пример, который мы только что рассм от­
рели, труднее предыдущих. Н а м потребова51
лось вычислить дополнительную величину (,
и только после этого мы смогли найти а.
М атем ати к с к а за л бы, что нам пришлось
решить д ва совместных уравнения с двумя
неизвестными а и I. В физике такие задачи
не редкость: для их решения нужно либо
дополнительно вычислить некую величину,
либо исклю чить ее из написанны х у р а в н е ­
ний. С ам выбор подходящ их уравнений и
переменных по существу пред ставл яет собой
серию попыток, причем зачастую ошибоч­
ных. В этом смысле работа физика н апом и­
нает решение кроссвордов.
П о к аж ем теперь, ка к исключить I из н а ­
ших уравнений, чтобы не тратить времени
на вычисление этой величины в дальнейшем.
Иными словами, выведем
соотношение
меж ду 5, а и у. Если тело начинает р ав н о ­
мерно ускоряться, имея скорость о0, то его
средняя скорость вы разится в виде
О0 +
2
V _
5
(
'
С другой стороны,
V — о0 = а{.
Перемнож им эти равенства меж ду собой и
получим
(Ч*)<"-’о>-Н.
V2 — у02— 2а$.
(2 . 11)
П р и м ер 6. См. пример 2 на стр. 48. С к ак ой ско ­
ростью авт о м о б и л ь в р еж е тс я в грузови к ? К а к и р а н ь­
ше, у0= 2 5 м /сек, а = — 5 м /с е к 2, а рассто ян и е д о гр у ­
зови ка х = 30 м. Р е ш а я у р авн ен и е (2.11) относительно
и и п о д с т а в л я я численны е зн ач ен и я, получаем
V = У у2 + 2аз = У (2 5 )2 + 2 ( — 5) 30 ^
18 м /с е к ~
ж 65 к м /ч а с .
М ы види м , что на первы х 30 м торм ож ен и е не
столь эф ф ек ти вн о, к ак на последую щ их.
Ответ 4. С о гласн о (2 .9 ), путь $2—
пройденны й за в р ем я <2— ^1, равен
*2—$1=^1 ((г—и) + ‘/г(—а)
—^ ) 2.
У скорение р авн о — а, п оскольку а в т о ­
м обиль торм озит,
52
П р и м е р 7. И з с ам о л ета вы пры гнул параш ю тист.
Он б уд ет с воб одн о п а д а т ь с ускорени ем , пока б л а го ­
д а р я сопроти влению в о зд у х а не дости гн ет конечной
скорости окол о 200 км /час, или примерно 60 м /сек
(при так ой скорости сопроти вление, о к азы в а ем о е в о з­
духом п а д аю щ ем у человеческом у телу, экви вал ен тн о
силе т я ж е с т и ). П р е д п о л о ж и м , что п ар аш ю т не рас-
кры лся, но п араш ю ти сту посчастл и ви л ось поп асть в
сугроб из ры хлого снега, которы й и за то р м о зи л п а д е ­
ние с постоянны м ускорением . Д о п у сти м , что п а р а ш ю ­
тист м о ж ет в ы д е р ж а т ь ускорение не более 30 д . К а ­
кой вы соты д о л ж ен бы ть снеж ны й сугроб?
В этой за д а ч е ч0= 6 0 м /сек, а к он ечн ая скорость
к = 0; ускорени е а = — 30
— 300 м /с е к 2. В ы р а ж а я «
из (2.11) и п о д с т а в л я я числовы е зн ач ен и я, получаем
и2 _ „ 2
^
2а
о _ (6 0 )2
2 (— 300)
—Ом .
Н а сам ом дел е известны случ аи , к о гд а альпинисты
п рол етал и в своб одном падении м ногие сотни м етров
и, п а д а я в м ягки й снег, о с та в ал и с ь ж ивы м и . В озм ож *
но, при соответствую щ и х у с л о в и ях пры гуну не п о н а ­
доб и тся п араш ю т. Он с м о ж е т за то р м о зи ть падение,
погрузивш ись на 6 ж или более в воду.
§ 3. Сложное движение
ВЕРТИ КА ЛЬН О Е И ГО РИ ЗО Н ТА Л ЬН О Е д в и ж е н и я
П О Р О З Н Ь И С О В М ЕС ТН О
Фиг. 11. П о л о ж ен и я
ш енного с сам о л е та ,
п ром еж утк и времени.
ш ар а ,
через
вы бро­
р авн ы е
В течени е п ервого п р о м еж у тк а
ш ар п ролетает путь 5|.
врем ени
П редставьте себе п а с с а ж и р а самолета,
роняющего какой-либо предмет. Он видит,
как тот вертикально летит вниз с уско­
рением § и пад ает на пол кабины. Теперь
предположим, что в полу есть дыра. Тогда
пассаж и р самолета увидел бы, как предмет
продол ж ает п адать по вертикальной линии
прямо вниз (фиг. 11). (В действительности
упавший предмет будет все время отставать
от самолета из-,за сопротивления воздуха.)
Ну, а что ж е увидит н аблю датель, н ах о ­
дящийся на земле? Если у 0 — высота с а м о л е ­
та, а у — высота п адаю щ его предмета, то н а ­
блю датель на зем ле увидит, что расстояние
(Уо—у) увеличивается
пропорционально
квад рату времени. В нашем примере величи­
на (г/о— У) соответствует 5 в формуле (2.9).
Таким образом,
Уо ~ У = 4 “
или
У = Уо'
-§Р.
( 2 . 12)
Обозначим через х расстояние по горизон­
тали меж ду падаю щ им телом и вертикаль53
Фиг. 12. Ф о то гр аф и я д в у х мячей дл я
го л ь ф а (брош енны х о д н оврем ен н о),
п олученн ая со стробоскопическим о с ­
вещ ением.
В н ач ал ьн ы й м ом ен т правы й мяч получил
за счет п р у ж и н ы н ач ал ьн у ю скорость в
го р и зо н тал ьн о м н ап р авл ен и и .
ной линией, соединявшей самолет с землей
в
момент
н ач ал а
падения тела (на
фиг. 11 х — это расстояние от линии О у ) .
Если пренебречь сопротивлением воздуха, то
расстояние самолета, а следовательно, и н а ­
шего предмета от этой вертикальной линии
равно
x = V0^,
(2.13)
где Уо — скорость самолета, т. е. нач ал ьн ая
скорость нашего предмета с точки зрения
н аблю дателя на земле. Уравнение т р ае к то ­
рии падаю щ его тела, видимой земным н а ­
блюдателем, можно получить, выразив ( с
помощью (2.13) и подставив это значение
в формулу (2.12):
I = — ,
У = Уо
Тот, кто зн аком с аналитической геометри­
ей, сразу узн ает в этом вы ражении у р а в н е ­
ние п араболы. Н а фиг. 12 и зображ ен а т р а ­
ектория п адаю щ его мяча, которому сооб­
щили начальную скорость в горизонтальном
направлении.
Галилей был первым, кому удалось п о ка­
зать, что траектории сн арядов — это п а р а ­
болы (если пренебречь сопротивлением воз­
д у х а). Это он заметил, что горизонтальное и
вертикальное движения можно рас см а тр и ­
вать совершенно независимо. А т а к ка к нет
причин, ускоряю щ их движ ение в горизон­
тальном направлении, то пройденное по го­
ризонтали расстояние описывается ф ор м у ­
лой
X = Ы х (Символом (уо)ж мы обозначили состав­
ляющую начальной скорости
в н а п р ав л е­
нии х. Вертикальное ж е перемещение всегда
описывается формулой (2.12). Если бы у
54
начальной скорости тела бы ла со став л яю ­
щ ая в вертикальном направлении ( у0) у, то
У = Уо + (»о)у * ----- ё ^ П рим ер.
Бом бардировщ ик
л ети т
на
вы соте
10 000 м со скоростью 1000 км /час. П р е н е б р е га я со­
противлением в о зд у х а , под сч итать, за скол ько к и л о ­
метров д о цели летчи к д о л ж ен сброси ть бом бу, что­
бы точно п о р ази ть цель?
Д л я реш ения этой за д а ч и с н а ч а л а след у ет о п р е­
д ел и ть врем я, к о торое потреб уется бомбе, чтобы д о ­
л ететь д о цели. Ч тобы найти (, в о сп ол ьзуем ся ф о р ­
м улой (2.10), п ол о ж и в 5 = 1 0 000 м:
4Ъса
З а это в р ем я сам ол ет, а с л е д о в а те л ьн о , и бо м б а п р о ­
л ет я т по го р и зо н тал и р асстоян и е
х = V0( = 278 м /с е к X 45 сек = 12 500 м = 1 2,5 к м .
§ 4. Векторы
М АТЕМ АТИКА С Т Р Е Л О К
Теперь, когда мы вслед за одномерным
движением приступили к разбору движений
в двух направлениях, очень важ н о понять,
что скорость тела является величиной, кото­
рую н азы ваю т вектором. Вектор х а р а к т е ­
ризуется одновременно величиной и н а п р а в ­
лением. Скорость не будет полностью опре­
делена, если вы зад ад и те только ее вел и ­
чину и не укаж ете, в какую сторону она н а ­
правлена. Очень часто удобно иметь дело
с составляю щ ими (компонентами) скорости
по осям х и у\ V* и Vу. Они связаны с вели*
чиной полной скорости V соотношением
2
Фиг. 13. П ерем ещ ен и е Д 5 и его со ­
став л яю щ и е по осям х и у: А х и А у.
■
2
о
Vx + Vу = У2Это видно на фиг. 13. Н а ней и зображ ен о
движ ение тела из точки Р\ в точку Р 2 в тече­
ние времени М . Р асстоян ия Ах и Ау п ред­
ставляю т собой составляю щ ие полного пе­
ремещения Ах соответственно вдоль х и у.
По теореме П и ф аго ра
(Ах)2 + (А*/)2 = (Ах)2.
55
Фиг. 14. С о став л яю щ и е в ек то р а V по
осям х н у .
Д е л я обе части этого равенства на (Д^)2, получаем
или
2
|
Х}х +
2
У</ =
о
Ь
Сложение векторов
Фиг. 15. К а к п олучить сум м у тр ех веку го л ь н и к а :ПОМОЩЫ°
ПРаВИЛа
„_ т I
I
V — ^1 Г ^2 Г ^8-
/ г
МН° Г° '
Кроме того, фиг. 13 иллюстрирует т а к ж е
простое геометрическое правило сложения
скоростей. Перенесем вектор
так, чтобы
его конец со вп ад ал с началом
(т. е. со
стрелкой) вектора Vx. Тогда вектор, соеди­
няющий конец V x с началом у у , и будет р а ­
вен результирующей скорости, ка к это по­
казан о еще раз на фиг. 14. Т а к ка к любое
перемещение тела в конечном итоге склады вается из отдельных перемещений, то указанное геометрическое правило легко о б об ­
щить на случай сложения скорос­
тей, направленны х в любые стороны.
Это общее правило сложения век­
торов известно ка к правило п а р а л ­
.А
лело грам м а, или правило много­
угольника. Н а фиг. 15 показано, как сложить
три вектора, чтобы получить вектор суммы г»:
V = V, + *>2 + «*■
Н уж н о просто начертить каж д ы й последую ­
щий вектор так, чтобы его конец совпадал
с началом (стрелкой) предыдущего. С умма
получится, если затем соединить конец
первого вектора с началом (стрелкой) по­
следнего.
Вычитание векторов
Допустим, мы
хотим найти вектор
—®1 , т. е. разность векторов, и зо б р а ­
женных на фиг. 15. Зам ети м , что вычитание
алгебраически эквивалентно прибавлению
отрицательной величины, а именно
V' = Я 2 + (— V, ) ,
Ф иг. 16. К а к п олучить разн о сть двух
векторов.
а отрицательный вектор (—
— это тот же
вектор ^ , но смотрящий в противополож ­
ную сторону (фиг. 16).
«1
{-«>)
(-« 1 )
:и 2 .
Составляющие вектора
К роме п р авил а многоугольника, для
слож ения векторов сущ ествует и иной м е­
тод, назы ваем ы й сложением составляю­
щих. Чтобы воспользоваться им, надо найти
составляю щ ие каж дого вектора по осям х
и у. К примеру, составляю щ ие вектора
на фиг. 15 по осям х и у мож но найти, п ере­
неся конец'Уг в начало нашей системы коор­
динат. З а т е м опустить из н ач ал а вектора
перпендикуляры к осям. Точки пересечения
этих перпендикуляров с осями х а р а к т е р и зу ­
ют величину составляю щ их вектора по осям
х и у. Н а фиг. 17 находим ( У г ) х = + 5 , а
Ы У= — 2.
С умма г)=г»1+г»2+ ® з получается путем
сум мирования сн ач ал а всех составляю щ их
по оси х\ это д ает составляю щ ую по оси х
вектора г»:
= Ю * + Ы х + (о»),Аналогично,
«у =
Ы у
+
Ы
, +
(Щ ) у
Результирую щ ий вектор V получается в ре­
зультате слож ения V х ц юу, ка к на фиг. 14.
Многие из величин, с которыми прихо­
дится иметь дело в физике, представляю т
собой векторы, и чтобы скл а д ы в ать любые
из них, нужно поступать описанным о б р а ­
зом. И з понятий, с которыми мы у ж е п о зн а­
комились, ясно, что векторами являю тся
перемещение (путь), скорость и ускорение.
П рим ер. Н а фиг. 18 и з о б р аж е н паром , д в и ж у ­
щ ийся под углом 30° на с е в е р о -за п а д со скоростью
8 км /ча с отн оси тел ьн о воды . Р е к а течет на восток со
скоростью 4 км /час. К ак и м б у д е т к а з а т ь с я с берега
н а п р а в л е н и е д в и ж е н и я и скорости п аром а?
П р о и зв ед ем сл о ж ен и е в екторов
паром +
Фиг. 17. О п редел ен и е со став л яю щ и х
иектора
по о сям х и у.
П р о ц ед у р а с л о ж е н и я и зо б р а ж е н а на фиг. 18, б; она
п ри вод ит к треу го л ьн и к у с у гл а м и 30° и 60°. Р езу л ь 57
Фиг. 18. П е р е п р а в а через реку.
_______________ Берег
ти рую щ ая скорость (ж и р н а я к р а с н а я с тр е л к а ) у к а ­
зы в ае т на север, а ее величина н а х о д и тс я из теорем ы
П и ф агора
6 к м /ч а с
лоЭки
увоЭы
N
'2
_
^п аром
2
__ 2
^п аром
у вода
‘'паром = 1 /8 2 — 42 = 4 1 / 3 = 6,8 км/час.
30°
И так , согл асн о п р а в и л у с л о ж е н и я векторов, 8 + 4 м о­
ж е т р ав н я ть ся 6 ,8 .
и
Берег
а
§ 5. Полет снаряда
Э ТО Д Л Я
ВОЕННЫ Х
(при ж елании можно пропустить)
улоЭ|
Фиг. 19. Т р ае к то р и я с н ар я д а, в ы п у­
щ енного под угл о м 45° с начальной
скоростью ®0,
П р е ж д е всего рассмотрим такой случай.
П у ш ка стреляет под углом 45° к горизонту
(фиг. 19). Д опустим, что н ач ал ьн ая ско­
рость сн аряда при вылете из ствола орудия
Vо— \ км/сек, и, ка к всегда, пренебрежем
сопротивлением воздуха. Н у ж н о определить,
сколько времени сн аря д будет находиться
в полете, на какую высоту он поднимется,
на какое расстояние от орудия долетит ( к а ­
ков радиус пораж ения нашего орудия). Д л я
решения этой задачи отдельно рассмотрим
горизонтальное и вертикальное движения.
Т ак как угол вылета по условию равен 45°, то
(»о)у =
= 707 м/сек.
У2
За й м е м ся сн ач ал а вер ти кал ь­
ным движением.
Соотношение (2.7) д ает
оу = Ы у — 8*>
где ускорение а = — §. З н а к минус означает,
что ускорение уменьш ает скорость. Решим
теперь уравнение относительно (, учитывая,
что в самой верхней точке полета, очевидно,
Vу = ^:
(»о)у
В
"У .
707 — 0
9 ,8
сек,
^ = 72 сек,
где
58
— время, за которое сн ар я д достигает
м аксимальной высоты подъема. Полное время полета равно удвоенному значению 1и
т. е. 144 сек. Н айд ем теперь само значение
высоты подъема Н и радиуса пораж ени я/?.
Вспомним, что средняя скорость движения
по вертикали_равна высоте Н, деленной на
72 сек, т. е. оу = /г/^; кроме того,
2
и мы имеем
Ыу к
707 • 72
М,
к = 25,4 км.
Р ад иус пораж ения Я. немедленно получает­
ся из формул:
х = ы хи
я = (»о)* • ( 144 сек)>
К -= (707 • 144) м,
/? = 102 км.
Вопрос 5. Л у ч ш и е из спорти вны х а в ­
том обилей
р а зв и в а ю т
скорость
60 к м /ч а с с п устя 10 сек после с та р та .
Ч ем у р авн о их ускорени е в е ди н и ­
цах
О братите внимание на очень интересный
факт: если стрелять под углом 45°, то д а л ь ­
ность полета сн аряда /? будет в .4 р аза п ре­
выш ать м аксимальную высоту его п одъема Н.
Теперь рассмотрим случай, когда ствол ор у­
дия наклонен под произвольным углом 0
к горизонту.
При
ЭТО М
(У о )х = И оС О 50,
(оо)„ = ао5 т 0 . П ользуясь простейшими ф о р ­
мулами тригонометрии, мож но показать, что
дальность полета сн ар я да макси м альн а при
стрельбе под углом 0 = 4 5 ° . Этот р езу л ь ­
т а т — пример одного из первых применений
физики в военном деле — был получен
т а к ж е Галилеем.
Применим полученные только что сведе­
ния к решению более современных задач.
Мы имеем в виду межконтинентальные б а л ­
листические ракеты ( М К Б Р ) . Возьмем в
качестве прим ера типичную ракету с м а к с и ­
мальной дальностью полета 8000 км. Пред59
положим, что эта ракета летит в н а п р а в л е ­
нии цели с расстояния 8000 км и что
впервые ракета обнаруж ена, когда она про­
летела уж е половину пути. Попробуем о тве­
тить на следующие вопросы. Сколько вр ем е­
ни остается для принятия необходимых мер
обороны? С какой скоростью летит ракета
в момент обнаруж ения? Какую скорость
будет иметь М К Б Р , когда она достигнет
цели? К акова м акси м ал ь н ая высота ее по дъ­
ема? Чтобы ответить на все эти вопросы,
нужно ввести некоторые упрощ аю щ ие п ред­
положения. П р е ж д е всего предположим, что
можно пренебречь кривизной поверхности
Земли на расстоянии 8000 км и считать ее
плоской. Д ал ее, будем считать, что величина
§ не меняется с высотой. Наконец, как
всегда, пренебрежем сопротивлением в о з­
духа.
Р аке та выпущена на максим альное р ас­
стояние, следовательно, она д о л ж н а войти
в стратосферу под углом 45° к горизонту.
Таким образом, мы знаем, что (по)ж= (^о)у,
К = 8000 км, ускорение в вертикальном н а ­
правлении ^ = 9,8 м /сек 2. Этих довольно
скудных сведений оказы вается вполне д о ста­
точно для ответа на все поставленные воп­
росы. Начнем с движ ения по вертикали:
Обозначим через 1\ время подъема ракеты
на м аксимальную высоту. При ^ — ^ и уу= 0
0 = Ы у — 8*1,
или
О твет 5.
а =
V
1 6 ,6
м /с е к
10 сек
= 1 ,7 м /с е к 2 , что примерно в 5 р аз
меньш е д. К р ай н и й предел, при к о то ­
ром, незави си м д о т м ощ ности д в и г а ­
тел я, начи н ается д в и ж ен и е ю зом, с о ­
о тветству ет а —ц / 2 .
Заменим (Уо)у=(ио)х в написанном
выражении. Тогда
выше
Величину («о)* можно найти, деля расстоя­
ние
на 21 \ — полное время полета. Таким
образом, заменив в последнем соотношении
(«о)ж на К/21и получим
Итак, для принятия мер обороны остается
еще около 10,5 мин. Скорость ракеты в точке
максимального подъема равна дальности
полета по горизонтали, деленной на полное
время полета:
/ \
Я
8000
_ ос
(^о)х
2^
2 • 639
6,26 км сек.
Скорость в момент поражения цели со в п а­
д ает с начальной скоростью о0 и в У2 раз
больше, чем (у0)х , т. е.
V0 = 1,41 ■6,26 км/сек = 8,85 км/сек.
С редняя вертикальная
скорость равна
просто максимальной высоте Н, деленной
на / 1, и составляет половину от ^ 0) у:
к
(Уо)у^1
2
Величина ж е («о)у совп ад ает с (Уо)* =
= 6,26 км/сек. Следовательно,
Мы получили у ж е знаком ый нам результат,
что высота подъема при стрельбе под углом
45° составляет ровно четверть от м а к с и м а л ь ­
ной дальности полета. Интересно отметить
следующее. Несмотря на упрощ аю щ ие п ред­
положения, полученные результаты н ах о ­
дятся в хорошем согласии с тем, что нам и з­
вестно о современных межконтинентальных
баллистических ракетах. Р аке ты с радиусом
действия 8000 км покрывают это расстояние
61
примерно за 20 мин, а необходимая началь
ная их скорость у0 = 8,85 км/сек сравним а сс
скоростью спутника Земли.
§ 6. Центростремительное
ускорение
У СКОРЕНИЕ,
П ЕРПЕН ДИ КУ ЛЯРН О Е
ДВИЖ ЕНИЯ
НАП РА ВЛЕН И Ю
При движении с н ар я д а в момент дости
жения им максимальной высоты ускорение^
будет направлено перпендикулярно скорости
снаряда. При этом, к а к вы уж е видели
сн аряд движ ется по кривой. В этом п а р а ­
графе мы рассмотрим особый случай д в и ­
жения, когда ускорение всегда н а п р а в ­
лено перпендикулярно скорости. П реж де
всего покаж ем, что это имеет место при р а в ­
номерном движении тела по окружности.
При этом его ускорение, оставаясь перпен­
дикулярным скорости в любой момент вре­
мени, н аправлено к центру окружности
(радиус этой окружности составляет прямой
угол со скоростью тела, поскольку скорость
н аправлена по касательной к окруж ности).
Н а фиг. 20, а показаны два последова­
тельных положения тела, равномерно д в и ж у ­
щегося по окружности. Пусть А{ — время,
необходимое, чтобы тело преодолело р ас­
стояние Д5 меж ду этими положениями. З а
это время направление скорости меняется:
©! п ревращ ается в %>г.
Д л я вычисления ускорения Аг»/А/ мы
долж ны п реж д е всего найти А®, т. е. изме­
нение скорости за время М . Вектор А©
представляет собой разность векторов о 2 и
г>х. Эту разность легко получить, если сло­
жить векторы (—Фх) и ©2 (фиг. 20, б). В ек­
тор ж е (—
— это не что иное, как вектор VV
повернутый в обратном направлении:
А© = (—
-^-V2 = V2 — V г.
Чтобы заверш ить наш расчет, заметим, что
треугольник на фиг. 20, б со сторонами До,
— и ©2 подобен треугольнику на фиг. 20, а
с соответствующими сторонами Д5, Я\ и /?2Действительно, оба треугольника равн обед­
ренные, а стороны ©! и ©2 перпендикулярны
соответственно сторонам
и
Следова­
тельно, и углы, обозначенные через 0, равны.
Д ал ее, поскольку соответствующие стороны
подобных треугольников пропорциональны,
то
До
V
До =
Аз.
Д5
Если разделить обе части последнего р а ­
венства на Л(, то мы получим
До
V
Аз
и
М
В пределе малы х Д^ д ва последователь­
ных полож ения на фиг. 20 будут близки друг
к другу и Д«/Д^ = о. Итак,
До
~д7
Центростремительное у ско р ен и е
Вопрос 6. М о ж е т ли тело д в и га тьс я
по криволинейной т р ае к то р и и без у с ­
корения?
и
V2
' У= ~7Г'
Величина До/Д^ п редставляет собой искомое
ускорение, назы ваемое центростремитель­
ным ускорением ас. К аж д ы й раз, когда тело
движ ется по криволинейной траектории, мы
имеем дело с центростремительным ускоре­
нием. Ещ е раз выпишем только что получен­
ную формулу для центростремительного у с­
корения:
V
(2.14)
Отметим, что центростремительное у скоре­
ние меняет только направление вектора ско­
рости, совершенно не влияя на его величи­
ну. С ледует т а к ж е помнить, что уск оре­
ние ас н аправлено по радиусу окружности
к ее центру. (Н а фиг. 20, б До будет тем
точнее н аправлено к центру, чем б ли ж е друг
к другу два последовательных положения.)
Д л я тех, кто знаком с термином «центро­
б еж н ая сила», мы хотим отметить,, что он
никогда не встретится в нашем обсуждении.
Это ф иктивная сила, которая возникает
только в том случае, когда наб лю д ател ь н а ­
ходится во вр ащ аю щ ей ся системе отсчета.
63
Мы ж е всегда наб лю д аем вр ащ аю щ и еся т
ла извне и никогда не о к азы в аем ся внут{
них.
П рим ер. К а к о во центрострем и тел ьн ое ускорен]
тел а на эк в а то р е , вы зв ан н о е вращ ен и ем З ем л и ? Тел
н ах о д ящ ее ся на эк в а то р е , п роход и т 40 ООО км (дл
на окр у ж н о сти зем ного э к в а т о р а ) за одни сут!
(8,64- 104 с е к ). Т аким о б р азо м , его скорость р авн а
0=
4 • 107 ж
8 ', 6 - 10 4 сек = 463 м ' с е к '
С огласно ф орм ул е (2.14), тел о д о л ж н о иметь ускор
ние V2|К., н ап р ав л ен н о е к ц ентру З ем л и ( # = 6 3 6 0 км
(463)2
м /с е к 2 = 0 ,0 3 4 м /с е к 2.
6 ,3 6 • 10е
,*«»*»»»
I
Э та величина с о с т а в л я е т
примерно 0,34% <
§ = 9 ,8 м /с е к 2. К а к мы увиди м в следую щ ей глав
именно по этой причине л ю ди на эк в а то р е в ес ят пр
мерно на 0,34% меньш е, чем на лю бом из полюсо
П о этом у на эк в а то р е легче п р о б еж ат ь 1 м и л ю :
4 м ин, н еж ел и на С еверном полю се.
§ 7. Искусственные спутники
Земли
М ОЛНИЕНОСНЫ Е СНАРЯДЫ
Фиг. 21. М од ел ь первого советского
искусственного спутника Зем ли .
О твет 6. Н ет, потом у что н ап равлен и е
скорости м ен яется, и вектор в , оче­
видно не м о ж ет бы ть равен ® 2.
64
Почему искусственный спутник Зем ли 1
«падает»
на
З ем л ю
с
ускорение
§ = 9,8 м /сек2, как это происходит со веек
телами вблизи земной поверхности? Н а с;
мом ж е деле он тож е падает. Л етящ ий ь
небольшой высоте искусственный спутн^
Земли непрерывно п ад ает на З е м л ю с уск<
рением силы тяж ести §. Больш е того, ес.г
бы спутник перестал п ад ать на Землю, т.
освободился бы от действия земного прит:
жения, то, п р о д о л ж а я двигаться без уск<
рения, он улетел бы от Зем ли по касател
ной к своей орбите. Н а б л ю д ател ю на ш
верхности Земли при этом показалось б\
что спутник взмыл вверх.
С огласно (2.14), лю бое тело, д ви ж ущ е
ся по круговой орбите вокруг Земли, долж?
иметь ускорение а с = о2/ ^ , направление
к центру нашей планеты. Спутник, вращал
щийся вблизи земной поверхности, мож?
*
а
рассм атривать как тело, свободно л а д а ю щ е е
с постоянным ускорением ас—9,8 м /сек2.
Мы можем теперь вычислить скорость и пе­
риод обращ ения первого советского искусст­
венного спутника (фиг. 21). Эта скорость ус
носит специальное назван ие первой косми­
ческой скорости. Именно такую скорость
необходимо придать спутнику, чтобы вы ве­
сти его иа орбиту. П оскольку центростреми­
тельное ускорение равно §, то
К
где /?я^6500 км — расстояние
Земли. Следовательно,
до
центра
■ус-= V&К. = V 9,8 • 6,5 • 10* м/сек =
= 8 км/сек.
Фиг. 22. З а п у с к ракеты с первым
ам ериканским искусственны м сп утн и ­
ком З ем ли «Э ксп лорер I» 31 ян в а р я
1958 г.
С такой скоростью и были запущ ены первый
советский искусственный спутник и ам ер и ­
канский спутник «Эксплорер I» (фиг. 22).
Если разделить длину орбиты на скорость,
развитую спутником, то получим время
одного оборота спутника,
летящ его на
небольшой высоте:
гр
40 ООО км
8 к м /с е к
г- л п л
1 = -з---- ;---- = 5 ООО сек — 83 мин.
Фиг. 23. П роек т за п у с к а искусствен ­
ного спутн ика Зем ли , предлож ен ны й
ещ е И с аа к о м Н ью тоном .
3— 176
Если спутник движ ется по более удаленной
орбите, то время одного оборота у в ел и ­
чится.
Впервые эти расчеты произвел И с а а к
Ньютон еще примерно в 1660 г. Н а фиг. 23
изображены различные орбиты спутников
Земли. Этот чертеж сдел ал сам Ньютон. Он
представлял себе зап уск искусственных
спутников как выстрел из огромной пушки
с вершины высокой горы. По мнению Н ь ю ­
тона, если ядру со о б щ алась н ач ал ьн ая ско­
рость 8 к м /сек, то оно становилось спутни­
ком Зем л и, что и и зображ ен о на чертеже.
Н а нем и зображ ен ы т а к ж е траектории ядер,
вылетаю щ их из ствола орудия с меньшими,
но более доступными начальны ми скоростя­
ми. И так, мы видим, что идея создания ис­
кусственных
спутников
Земли
отнюдь
65
Фиг. 24. Н а ч а л о д в у х в озм ож н ы х о р ­
бит спутников.
С путн ик со скоростью Ус д в и ж е тс я по о к ­
ру ж н о сти
о тн о си тел ьн о
ц ен тр а
Зем ли .
С путн ик с больш ей скоростью V стар ту ет
на орби те с б ольш и м радусом кривизны /?.
Место
не нова. Ещ е во времена Ньютона в о л н о в а­
л а она умы ученых.
Что ж е произойдет, если мы сообщим
снаряду
несколько
большую
скорость?
Н а этот вопрос мож но ответить, решив
уравнение (2.14) относительно Я:
V‘
(2.15)
Я =
аг
Здесь ас долж но по-прежнему р ав н я ть ­
ся
поскольку все тела, как бы быстро они
ни двигались, испытывают одно и то ж е ус­
корение силы тяжести, если только они н а ­
ходятся вблизи поверхности Земли.
Итак, подставим вместо ас в (2.15) величину ё — ~Б^ • Это даст
Из этой формулы видно, что если V превы
шает х)с на 10%, то (1>/ас) 2= 1,21 и Я буде'
на 21% больше радиуса Земли. Напомним
что Я — это радиус кривизны траекторш
сн ар яда в тот момент, когда его скорост!
равна V, а ускорение §. Фиг. 24 иллюстри
рует эту ситуацию. Подобный сн ар я д начне
уд аляться от Земли. Спустя некоторое вре
мя у скорости появится составл яю щ ая, на
правленная от центра Земли. Следователь
но, появится составл яю щ ая ускорения сил!
тяжести в направлении, противоположно]
направлению движения. В результате
будет уменьш аться и сн ар я д в конце концо
«упадет» опять на Землю . К ак следуе
из гл. 4, точная траектория представляе
собой эллипс, один из фокусов которого н;
ходится в центре Земли.
§ 8. Проверка размерности
В опрос 7. П р ав и л ьн о или л о ж н о у т ­
в ерж ден и е:
искусственны й спутник
З е м л и не м ож ет д в и га тьс я по у с то й ­
чивой орби те, если не в ы полняется
условие ц =
66
НЕБОЛЬШ ОЕ
П Р Е Д О С Т Е Р Е Ж Е Н И Е ...
При решении различных зад ач и попы
ках проверить полученные формулы весы\
полезно проверять размерность обеих част(
уравнения. Если вы допустили ошибку, то
она, как правило, проявится в том, что р а з ­
мерность правой части уравнения будет от­
личаться от размерности его левой части.
В качестве примера проверим размерность
соотношения V = У2а5 в системе С 0 5 . Р а з ­
мерность левой части — см/сек. Если уск о ре­
ние вы раж ен о правильно, т. е. в см /сек2, то
размерность правой части будет
см
сек
V
М ножитель ]/2 справа является величиной
безразмерной. Поэтому проверить его п р а ­
вильность таким методом мы, конечно, не
можем.
П р и м е р /. С туден т помнил, что путь, п рой д ен ­
ный своб одно п адаю щ и м телом , в ы р а ж а е т с я либо
ф орм улой 5 = '/г а(, либо 5 = '/г о.(2. К ак в ы б р а ть из
этих д в у х ф орм ул верную ?
Р а д и р а зн о о б р а зи я п редстави м себе, что он опе­
рирует с английским и едини цам и . Т огда пол уч ается,
что
р а зм ер н о сть
р а зм е р н о с т ь ( а12) = [ ~ У"1 ) X (сек2) = ф у т .
О тсю да видно, что п равильной о к а зы в а е т с я
ф о р м у л а д л я 5.
в то р а я
П р и м е р 2. Ц е н трострем и тел ьн ое ускорени е м ож но
в ы р ази ть через р ад и у с Н и период об ращ ен и я Т (в р е ­
м я одн ого о б о р о т а ). П ро в ер ьте р а зм ер н о сть н еск о л ь­
ких в ы раж ен и й , составл енны х из /? и Т: а) Т'2/Я;
б) Т 2Я; в) Я !Т 2-.
б) (Т2Н) = сек2 X см ,
О твет 7. Л о ж н о . С путник на фиг. 24
о б л а д а ет го р азд о больш ей скоростью
и все ж е н а х о д и тс я на устойчивой о р ­
бите. В н асто ящ ее в р ем я в округ З е м ­
ли на устойчивы х орб и тах н ах о д и тся
свыш е 1000 тел (в к л ю ч ая Л у н у ), и ни
одно из них не им еет у, которое в точ~
пости р а вн ял о сь бы УцЯе-
П ослед нее в ы р аж ен и е с о в п ад ае т по р а зм ерн ости с ус­
корением ас. Т очная ф о р м у л а с о д ер ж и т ещ е чи слен­
ный м н ож и тел ь 4 я 2 и имеет вид
ис —
К.
Ее м ож н о вы числить непосредственно. Д л я этого д о ­
статочно вспом нить, что скорость тел а р авн а длин е
67
о к руж н ости ( 2 п Н ) , деленной на период Т. П о д с т а ­
вив в соотнош ение (2.14) к = 2 л Н /Т, получим
2яЯ
4л2
(2 .1 6 )
Задачи
1. У равнен ия (2.1) и (2.4) с о д е р ж а т в правой части
одну и ту ж е величину $/{. Т ем не менее эти у р а в н е ­
ния имеют соверш енно разны й смысл. О б ъясн и те, в
чем зд есь дело.
2. Т ело, н аходи вш ееся в состоянии покоя, при ходит в
дви ж ен и е с постоянны м ускорением . Его м гн овенн ая
скорость в ы р а ж а е т с я через я и (: у = 2 з/1 . В ы ведите
эту ф орм улу.
3. К а к со гл асу ется р езу л ьт ат у = 2 5/1 з а д а ч и 2 с вы ­
раж ением (2 . 1), по котором у ь —з/(?
4. П усть тело н ачи н ает д в и га ть с я равн ом ерн о с н а ­
чальной скоростью оо- В ы вед и те ф о р м у л у д л я скорос­
ти V (за д а ч а 2 ), в ы рази в ее через о0, 5 и I,
5, ж
Фиг. 25. К за д а ч е 5.
5. А втом обиль в ы е зж а е т из точки 5 = 0 и через 4 сек
поп ад ает в точку 5 = 80 (фиг. 25).
а) К акое расстоян ие он п ро ех ал за первы е 3 с е к ?
б) Ч ем у р авн а м гн овенн ая скорость в момент
1= 1 сек?
в) Ч ем у р авн а ср ед н яя скорость за первы е 4 сек?
г) Ч ем у р авн а ср ед н яя скорость за первы е 3 сек?
д) В точке А наклон г р аф и к а резко изменился.
В озм ож н о ли это на сам ом деле?
6 . В м ом ент врем ени
тело н аходи л ось в точке Х\ и
имело скорость
а в м ом ент 12 в точке х 2 его ско ­
рость д о сти гал а о2а) К а к о ва ср ед н яя скорость тел а в этих вели чи­
нах (ускорение не п р е д п о л а га е тс я
п остоян ­
ны м )?
б) К а к о в о средн ее ускорени е тел а?
Ь, сек
7. Д в и г а те л ь ракеты м ож ет р а зв и в а т ь тягу, в точн ос­
ти равн ую весу ракеты . Ч ем у б уд ет р авн о ускорение
ракеты , если ее зап усти ть по гори зон тал ьн ом у треку
без трени я? Ч ем у будет р авн о ускорение ракеты , если
ее зап усти ть в ерти к ал ьн о с поверхности Зем ли ?
8 . В какой точке тр аек тори и
меньш ей скоростью ?
снаряд обладает наи­
9. А втом обиль прош ел р асстоян и е 5 ! со скоростью 0 \,
а
расстоян ие 52 со скоростью V2. К а к о ва
его
«средн яя» скорость по отнош ению к пройденном у
68
расстоянию? (З д е с ь весовы м и м н о ж и тел ям и я в л я ю т ­
ся 5] и 5 2.)
10. М альч ик п о д б р ас ы в ае т мяч в ер ти кал ьн о вверх, а
затем л ов и т его через 2 сек (на той ж е вы соте от зе м ­
л и ). С какой скоростью он б р о с ае т этот мяч? Н а к а ­
кую вы соту он его п од б р асы в ает?
11. П ри д в и ж ен и и по п рям олин ейн ом у ш оссе а в т о м о ­
биль прош ел 10 км с постоянной скоростью 30 км /час.
С ледую щ и е 10 км он прош ел т а к ж е с постоянной с к о ­
ростью 60 км /час. К а к о в а ср ед н яя скорость а в т о м о ­
би ля на всем пути?
12. Д л я вы хода на орби ту к о см о н ав т до л ж ен р а з о ­
гн аться из с остоян и я покоя за в р ем я Г до первой
косм ической скорости 8 км /сек. Д о п усти м , что у ско ­
рение в эт о т период с о ст ав л я е т 4 § . С колько врем ени
потреб уется ракете, чтобы д о сти гн уть первой косм и ­
ческой скорости, и какой путь прой дет она за это
врем я?
13. Тело, д в и ж у щ ее ся со скоростью 10 м /сек, н ач и ­
нает равн ом ерн о
за м е д л ят ь с я и о ста н а в л и в а ет с я ,
пройдя путь в 20 м. Ч ем у равн о его (на этот р а з о т ­
ри ц ател ьн ое) ускорени е? С к олько врем ени п о тр еб о в а­
лось тел у д л я полной остановки?
Фиг. 26. К за д а ч е 14.
14. В ы берите п равильное у тве р ж д ен и е (фиг. 26):
В ектор С равен А + В , А — В, В —А \ не раЪен ни о д ­
ной из этих ком бинаций В ектор 2 равен Л + К, X — V,
У— X', не равен ни одной из этих ком бинаций.
15. Д ети и граю т в мяч. В одящ ий н а х о д и тс я в 20 ж от
«дом ика». Он бр о сает мяч, с т а р а я с ь п о п а с т ь 'в « д о ­
мик». О д новрем енно один из участн и к ов игры беж и т
в «дом ик». У него у ходи т на это 3,5 сек. М а к си м ал ь ­
ная вы сота п олета м яча 7 м. У спеет ли участни к в о ­
врем я с п р я та т ьс я в «домике»?
16. С путник в р а щ а е т с я по орби те на вы соте 531 км.
И з с верхд ал ьн об ой н ого оруди я, н а п равлен н ого вер­
ти кал ьн о, д е л а е т с я попы тка сбить этот спутник. Б у ­
дем счи тать, что ускорение своб одн ого п аден и я §
везде постоянно (9,8 м /сек2), и прен ебреж ем со п р о ­
тивлением во зд у х а. К акой д о л ж н а бы ть н а ч ал ьн ая
скорость с н а р я д а , чтобы он хотя бы до л етел д о с п у т­
ника? С колько врем ени ем у д л я этого потребуется?
17. С тал ьн ой ш ар под п ры ги вает на стально.й плите с
периодом 1 сек. К а к о в а вы сота к а ж д о г о под скока?
18. Д в и г а я с ь со скоростью 100 к м /ча с, а втом оби л ь н а ­
л е т а е т на стену. П олученны й им у д а р равн оси лен у д а ­
ру, которы й испы тал бы а втом оби л ь, уп ав на зем лю
с некоторой вы соты . К а к о ва эта вы сота?
19. П ред п о л о ж и те, что тот ж е а вто м о б и л ь с т а л к и в а ­
ется со встречны м т я ж е л ы м грузови ком , имею щ им т а ­
кую ж е с к о р о с т ь — 100 км /час. Д о п усти м , что г р у зо ­
вик при у д а р е почти не п отерял своей скорости. К а ­
кова в этом случ ае э к в и в а л ен т н а я вы сота падения?
20. П ред п о л о ж и м , что реактивны й л ай н ер
из сооб69
раж епий уд об ств а п а сс а ж и р о в не до л ж ен р а зв и в ат ь
ускорений по гори зон тал и , превы ш аю щ их 2§. Р а с с т о я ­
ние от Н ь ю -Й о р ка д о Ф и л ад ел ьф и и равно 160 км. За
к ак ое м и ни м альное врем я наш л ай н ер п р о д ел ает этот
путь, соб л ю д ая указан н о е
условие? К акой м ак си ­
м альной скорости он дости гает во врем я полета?
21. М яч п а д а ет на плоскую поверхность с высоты
20 м и вновь п о д п ры ги вает на вы соту 5 м. Ч ем у р а в ­
на скорость м яча в мом ент п адения на плоскость?
С колько врем ени проходит от н ач ал а п адения мяча
д о м ом ента до сти ж ен и я им точки наивы сш его п о д ъ ­
ем а? К а к о ва скорость м яча в м ом ент отскока?
22. Н екоторы е ракеты , н а х о д ящ и е ся на вооруж ени и
арм ии СШ А , дости гн ув вы соты 300 м , р а зв и в аю т с к о ­
рость около 1000 км /час. К а к о во их ускорение (в е д и ­
ницах д )7
23. П ред п о л о ж и м , что д л я за п у с к а р а к е т ы -п ер е х в ат ­
чика остается 1 мин. Н а п а д а ю щ а я ракета лети т на
вы соте 200 км. Е сли дв и гател и р а кеты -п ерехватчи ка
способны р а зв и ть ускорение 10 § и если она за п у с ­
к ае т ся в ерти к ал ьн о вверх, то б уд ет ли этого времени
достаточн о, чтобы сбить ракету?
24. Р ассм отри м сам ол ет, к р ей сер ская скорость к о то ­
рого по отнош ению к в озд уху со ст ав л яе т 300 км /час.
Он регулярно соверш ает рейсы м еж д у пун ктам и А
и В на расстоян и и 400 км д р у г от д р у га. Н е учи ты ­
в а я врем я д л я с та р та , остан овки и р а зв о р о та , найти:
а) С колько врем ени за н и м а ет рейс в оба конца
в безветренны й день?
б) С колько времени он за н и м а ет , когда от В к А
д ует ветер со скоростью 50 км /ч а с ?
в) С колько врем ени он за н и м а ет , если д ует б о к о ­
вой ветер со скоростью 50 к м /ч а с ?
25. М альч ик бр о сает к ам ен ь из окна на вы соте 30 м
н ад землей. Д р у го й м альчик б росает кам ень из окна
на вы соте 24 м н а д землей в тот момент, к огд а пер­
вый кам ен ь п р о л етает мимо.
а) С какой скоростью кам н и дости гн ут зем ли?
б) С колько врем ени прой дет м еж д у м ом ентам и
п адения на Зем лю первого и второго кам ней?
26. Т ело вы ходит из состояния покоя с постоянны м
ускорением д и д в и ж е тс я т а к в течение целого года.
П о л ь зу ясь ф орм улой релятивистской м ехани ки , н а й ­
ди те его конечную скорость. Если бы тело у с к о р я ­
лось в течение 10 лет, на скол ько его скорость о т л и ­
ча л ас ь бы от скорости света?
27. Р ассто ян и е от Зем ли до Л уны с о став л яет п ри м ер­
но 385 000 км. К а к о в о ц ентрострем и тельное ускорение
Л уны при ее вращ ен ии вокруг Зем ли ?
28. Во сколько р а з ц ен трострем и тельное ускорение
спутн ика больш е ц ентрострем и тельного ускорения Л у ­
ны, если рад и у с его орбиты в 60 р а з меньш е (считая
от центра З е м л и )? М ож но ли с к а за ть , что ц ен тро­
стрем ительн ое ускорение м ен яется об ратн о проп ор­
ционально к в а д р а т у р асстоян и я от центра Зем ли ?
Фиг. 27. К за д а ч е 29.
29. Р ассм о тр и м сн ар яд , вы пущ енны й под углом 30е к
горизонту. В е р ти к а л ьн а я
с о ст ав л я ю щ ая начальной
скорости р авн а 100 м /сек. П р е н е б р е га я с о п р о ти в л е ­
нием в о зд у х а , найдите:
а) Н ач а л ьн у ю скорость.
б) П усть Т — полное врем я полета. Ч ем у равн о
ь у в м ом ент Г/2? Ч ем у р а в н о ускорени е в этот
мом ент?
в) Ч ем у р авн о
когд а ( почти р авн о Г?
г) Ч ем у р авн о
при I = 7"/4?
30. Ч асти ц а с н ач ал а покоится, а потом н ачи н ает д в и ­
гатьс я с ускорени ем , и зоб раж ен н ы м на фиг. 28.
а) Н ачерти те зави си м ость скорости частиц ы от
врем ени.
б) Н ач ер ти те за ви си м ость пути от времени.
в) К а к о ва м ак с и м а л ьн а я
скорость частицы на
п р отяж ен и и 4 сек?
г) К акой путь прой дет ч асти ц а за 4 с е к ?
Фиг. 28. К за д а ч е 30.
31. Р е к а течет на з а п а д со скоростью 5 км /час. П а ­
ром д в и ж е тс я относи тельно
воды
со скоростью
10 км /ч а с в нап равлен и и 30° на север-северо-восток.
К а к о ва величина и н ап р ав л ен и е скорости п ар о м а с
точки зр ен и я н аб л ю д а т ел я на берегу?
32. К а к о в а средн есуточ н ая т ем п е р ат у р а , если она
равн ом ерн о р а стет от 30° д о 60° Р с полуночи д о 10 ч а ­
сов у тр а, затем д о 4 часов д н я остается равн ой 60° и,
наконец, равн ом ерн о п а д а е т д о 40° до полуночи?
Фиг. 29. К за д а ч е 33.
1
I
33. Н а фиг. 29 и зо б р аж ен прибор, ско н ст р у и р о в а н ­
ный д л я изучения поведения насеком ы х при у ско р е­
ниях в 100 §. П ри бор состоит из сте р ж н я длиной 10 см
и контейнеров д л я насеком ы х на его концах. С тер ж ен ь
в р ащ ае т ся относи тельно своей середины .
а) Ч ем у р авн а скорость насеком ы х при 100 §?
б) Ч ем у р авн о число оборотов в 1 с ек?
34. Д о п усти м , что ракета проекта «А поллон» вы ш ла
на круговую орби ту около Л у н ы . Если р ад и у с о к о л о ­
лунной орбиты равен 7з р ад и у са Зем ли , а ускорение
силы т я ж е ст и на Л у н е р авн о §/1 2 , где § = 980 с м /сек2,
то к ак о в о отнош ение скорости р акеты к скорости л е ­
тящ его на небольш ой вы соте спутн ика Зем ли ? И н аче
говоря, чему р авн о отнош ение первы х космических
скоростей д л я Л у н ы и д л я Зем ли ?
к!» *
О
О
и
ГЛАВА
О
ДИНАМИКА
ДИНАМИКА
§ 1. Законы движения Ньютона
САМ ОЕ О Б Щ Е Е О П И С А Н И Е
Д и н ам и к а заним ается изучением общих
законов взаимодействия м атериальны х тел.
К ак мы увидим, широкий класс явлений
удается описать или объяснить на основе
законов движения Ньютона. Одним из ос­
новных свойств любого материального тела
является наличие у него инертной массы.
Д ругим новым для читателя понятием, ис­
пользуемым для описания взаимодействий
м атериальны х тел, является понятие силы.
Количественные представления о силе и
инертной массе были впервые даны И с а а ­
ком Ньютоном. (В этой книге термины м а с­
са и инертная масса имеют один и тот же
смысл. Мы будем пользоваться любым из
них, специально не оговаривая это в д а л ь ­
нейшем.) Определение массы и силы со­
держ ится в формулировке трех законов д ви ­
жения Ньютона. П р е ж д е всего мы кратко
сформулируем эти законы, а затем зай м е м ­
ся обсуждением содерж ащ ихся в них о п р е ­
делений массы и силы.
I
Первый закон Ньютона
Б у д у ч и предоставлено самому себе ( при
отсутствии результирую щей внеш ней силы ),
тело сохраняет состояние покоя ил и р а вн о ­
мерного движения с равным н у л ю ускоре­
нием. В математической форме это у тв ер ж ­
дение имеет вид
П ер вы й за ко н
а — 0, если Р = 0.
Второй закон Ньютона
Действую щая на тело результирую щая
сила равна п роизведению массы тела на его
ускорение:
Второй закон
Р Рез = М а .
(3.1)
Третий закон Ньютона
П ри лю бом взаимодействии д в у х тел си­
ла, с которой первое тело воздействует на
74
.
Тр е ти и закон
второе, равна по вели чи н е и н а п р а в л е н а п р о ­
тивоположно силе, с которой второе тело
воздействует на первое:
р
_ _ р
(3.2)
Ав
ва
''
Р ассмотрим сн ачала сод ерж ан ие первого
закона. Л егко видеть, что с математической
точки зрения он представляет собой частный
случай более общего второго закона. О дна
из причин, по которой этот частный случай
выделен в особый закон, заклю чается
в том, что на первый в згл яд он каж ется про­
тиворечащим всем повседневным н аб л ю д е­
ниям. Известно, что если перестать тянуть
или толкать движ ущ ееся тело, то оно, как
правило, останавливается, а не продол ж ает
двигаться с постоянной скоростью. Так,
автомобиль с выключенным мотором о с т а ­
навливается. Если верить первому закону
Ньютона, то на катящ ийся по инерции ав то ­
мобиль д о л ж н а -действовать тор м о зя щ ая
сила. И действительно, таким и внешними си
лами является сопротивление воздуха и тр е ­
ние автомобильных шин о поверхность ш ос­
се. Они-то и сообщаю т автомобилю о тр и ц а­
тельное ускорение до тех пор, пока он не
остановится. Д о Ньютона в науке б е з р а з ­
дельно господствовало мнение, основанное
на древнем учении Аристотеля. Главны м
принципом этой системы является у т в е р ж ­
дение, что при отсутствии воздействия внеш ­
них сил все тела долж ны покоиться. Другой
ошибкой Аристотеля было утверждение, что
все тела падаю т со скоростью, пропорцио­
нальной их весу. К ак мы видели, Галилей
одним из первых выступил с критикой этих
принципов.
В заключение следует сд елать еще одно
зам ечание о первом законе Ньютона. О ч е­
видно, что первый закон Нью тона н а р у ­
шается, если сам наб лю д атель движется
с ускорением. Поэтому Ньютон специально
у казал , что все эти три зак он а движения
справедливы только при условии, что н а б л ю ­
датель находится в так назы ваемой инерциальной системе отсчета. Ньютон дал оп ре­
деление инерциальной системы как любой
75
системы, которая покоится или движ ется
равномерно и прямолинейно по отношению
к неподвижным звездам.
В действительности не так-то просто,
как можно было бы думать, найти инерциальную систему отсчета. Необходимо знать
устройство Вселенной (космологию). П р о б ­
лема нахождения инерциальной системы о т­
счета будет детально о б суж даться в гл. 11.
Внимательного
читателя,
пожалуй,
может смутить второй закон Ньютона, ибо
он содерж ит два новых понятия — силу и
массу, ни одному из которых, собственно
говоря, не было дано строгого определения.
О днако второй и третий законы Нью тона
совершенно однозначно определяю т обе эти
величины.
В нашем изложении мы дадим определе­
ние инертной массы с помощью закона со­
хранения импульса, который является со­
вершенно
эквивалентным
выражением
третьего зак о н а Ньютона. Сейчас у ж е у с т а ­
новлено, что третий закон Ньютона не я в ­
ляется абсолютно справедливым; н а б л ю д а ­
лись значительные отклонения от него.
В главе, посвященной теории относительно­
сти, мы увидим, что сигналы не могут р а с ­
пространяться со скоростью, превышающей
скорость света. Поэтому третий закон Н ь ю ­
тона, вообще говоря, нельзя применять к
силе, действующей на расстоянии; в про­
тивном случае силы мож но было бы исполь­
зовать для передачи сигналов с бесконечно
большой скоростью.
Вот простой пример нарушения третьего
закона Ньютона: з а р я ж е н н а я частица у д а ­
ляется от проводника, по которому течет
электрический ток. В гл. 8 мы увидим, что
в этом случае на зар яж ен н у ю частицу дейст­
вует магнитное поле тока. В то ж е время ре­
зультирую щ ая сила, действую щ ая со сторо­
ны зар яж ен н ой частицы на проводник с то ­
ком, в точности равна нулю. Это явно
противоречит третьему закону Ньютона, у т­
верждаю щ ему, что действия двух тел друг
на друга равны по величине. С другой сто­
роны, третий закон Нью тона справедлив в
тех случаях, когда речь идет о взаимодейст­
вии покоящихся тел, а т а к ж е в случае кон­
тактных взаимодействий. Что же касается
закона сохранения импульса, то он, н аск о ль ­
ко нам известно, является точным законом
природы. Д о сих пор не обнаруж ено ни од ­
ного случая нарушения этого закона. Он
тщ ательно проверялся в самы х р а зн о о б р аз­
ных экспериментах.
В действительности законы
Ньютона
можно вывести из законов сохранения энер ­
гии и импульса, и наоборот. Д ел о вкуса —
что считать основным законом. Более того,
используя высшую математику, можно п о к а ­
зать, что законы сохранения энергии и им­
пульса следуют из принципов симметрии,
основанных на однородности пространства
и времени. Под однородностью пространства
мы понимаем тождественность законов ф и ­
зики в любой из точек пространства. О д н о­
родность во времени означает, что законы
физики не меняются со временем.
П р е ж д е чем мы сможем п родолж ать
обсуждение законов Ньютона, следует дать
определение инертной массе. Поэтому сл е­
дующий п ар аг р а ф мы посвящаем закону
сохранения импульса.
§ 2. Закон сохранения
импульса
НЕРУШ ИМ Ы Й
О п р е д елен и е и м п ул ьс а
ЗА К О Н
П РИ РО ДЫ
Импульсом тела Р н азы вается произве­
дение массы тела на его скорость:
Р = Мт.
(3.3)
З акон сохранение импульса гласит, что в от­
сутствие внешних сил сум ма импульсов
частиц остается неизменной. Пусть, н ап р и ­
мер, сталкиваю тся две частицы с м а с с а ­
ми М ± и М в . Тогда
РА + РВ = Р А +
Р В,
ИЛИ
С о х р а н е н и е и м п ул ьс а
М
В
в
МА ^ А+ М ,
(3.4)
77
где©л и©в— скорости частиц до соударения,
а
и V'в — их скорости после соударения.
Н а фиг. 30 изображ ено соударение б ил ­
лиардных шаров. Закон соударения носит
совершенно общий характер. К а к видно
из фиг. 31, он справедлив д ля элементарных
частиц в той ж е мере, что и для б и л л и ар д ­
ных шаров. Отметим, что в формулу (3.4)
входят векторы скоростей. Следовательно,
они не обязательно имеют одно и то ж е н а ­
правление.
Рассмотрим сначала случай простейшего
применения закона — два тела п ервона­
чально покоятся (фиг. 32), т. е. VА = Vв = 0.
З атем оба тела приходят во взаимодействие
благодар я высвобождению пружины или не­
большому взрыву меж ду ними. В идеале
масса пружины д о лж н а быть много меньше
М А и М в . П оскольку начальный импульс
равен нулю, левая часть (3.4) об ращ ается
в нуль и мы имеем
0 =
М А
+
М В *>В -
или
где зн ак минус означает, что векторы п а ­
раллельны, но направлены в противополож ­
ные стороны. Что касается абсолютных ве­
личин векторов, то
М А У Л>
или
М.
Вопрос 1. Б и л л и ар д н ы й ш ар со с к о ­
ростью V а в нап равлен и и х с т а л к и ­
в ается с д в у м я другим и ш арам и . Н а ­
пиш ите уравн ен и е, связы в аю щ ее с о ­
став л яю щ и е по оси у конечны х ско ­
ростей V ' , V ' и •о' .
М
(3.5)
где ь 'А и у'в — абсолютные величины век­
торов скорости.
Теперь у нас есть оперативная процедура
для определения массы. П редполож им, что
М А — известная
эталонная
масса.
Это
мож ет быть, скажем, эталон одного кило-
©
ь
о
о
о
о
о
и
х
о
1*
С
Ф иг . 30. С оударен и е д в у х б и л л и ардн ы х ш аров оди н ак овой массы.
Ш ар В д о у д а р а по ко ил ся; ш ар А п о яви л ся сверху, а п осле у д а р а п окати л ся на
право; освещ ение стробоскопическое (ч асто та 30 вспы ш ек в секунду).
Фиг. 31. П о сл ед о вател ьн ы е стол кн овен и я протона с другим и
н аходивш им ися в состоянии покоя.
протонам и,
П ротон А п о яв л яется сверху и с н а ч а л а со у д а р яе т с я с протоном В. П ротоны В, С,
й и Е до с о у д а р ен и я н ах о ди л ись в состоянии покоя (я д р а ж и д кого в од ород а). Ф о­
то гр а ф и я п олучена в пузы рьковой к а м е р е с ж и д ки м водородом в Л аб о р а т о р и и и зл у ­
чений имени Э. Л о у р е н с а К ал и ф о р н и й ск о го у н иверситета. В пузы рьковой к ам ер е
сл еды л етя щ и х протонов видны в виде цепочки м ел ьч ай ш их п узы рьков.
/Лрутина
<Щ ) о ©
Фиг. 32. Ф о то гр аф и я д в и ж е н и я двух
ш аров различн ой массы, п олученн ая
со стробоскопическим освещ ением.
Ш ары п риведен ы в д в и ж ен и е п руж иной,
помещ енной м е ж д у ними. М асса ш ар а А
вдвое больш е м ассы ш а р а В %
оо© ^
грам м а — цилиндр из платинового сплава,
хранящ ийся во Франции. Тогда любую не­
известную массу М в мож но найти, приводя
ее во взаимодействие с М А с помощью пру­
жины, н аходящ ейся м еж д у ними, и измеряя
отношение конечных скоростей.
Мы видим, что инертную массу любого
тела можно найти, просто измерив отнош е­
ние конечных скоростей. М ожет показаться,
что согласно закону сохранения импульса
отношение конечных скоростей не зависит от
силы пружины. Н а самом деле это не вполне
так. Если бы удалось найти сверхсильную
пружину, которая была бы способна сооб­
щить скорости, сравнимые со скоростью све­
та, то о казал о сь бы, что от силы пружины
не зависит величина
V '
Этот экспериментальный факт
н аряду с
(3.4) приводит нас к выводу, что масса тела
в действительности зависит от скорости
мп
(36)
М
V '
О твет 1. С огласно за к о н у со хран ен и я
им пульса, с о с т а в л я ю щ а я им пульса по
оси у д о л ж н а о с та ть ся равн ой нулю.
Следовательно.,
° = (®л)у+ (®в)у-I-(®с)у
где М 0 — масса покоящегося тела, с — ско­
рость света.
Д о гл. 11 мы будем в хорошем прибли­
жении считать, что масса представляет со­
бой постоянную величину, которая не з а в и ­
сит от скорости. Пока мы все время будем
иметь дело со скоростями, не превышающие
ми 1% от скорости света. Д а ж е при скоро­
сти 0,01с увеличение массы, согласно ф о р­
муле (3.6), составит лишь 1/20 000.
Ещ е одним экспериментальным след ст­
вием определения массы, содерж ащ им ся
в (3.5), является свойство аддитивности. Под
этим мы понимаем следующее: если соеди­
нить вместе две массы М в и М с , то, о п р е д е ­
лив описанным выше путем полную м а с ­
су М в , обнаружим, что она численно равна
сумме масс М в и М с . Свойство аддитивно­
сти массы мож ет показаться читателю оче­
видным. О днако так это или не так, но
любую гипотезу следует проверять на опыте.
Многие привычные физические величины
вовсе не аддитивны, например векторы. Д р у ­
гим примером является сложение объемов.
Если смешать литр спирта с литром воды,
то общий объем будет зам етно меньше 2 л.
П р е ж д е чем переходить к определению
силы и обсуждению второго закона Н ью то­
на, покаж ем на
примерах,
насколько
полезно применять закон сохранения и м ­
пульса при решении различных задач.
П р и м е р I. П ри вы стреле из р у ж ь я весом 3 кг
в ы л етает пуля, к о т о р а я весит 10 г (фиг. 33). Ее с ко ­
рость в м ом ент вы лета 600 м /сек. К а к о в а скорость
отдач и р у ж ья, если в м ом ент в ы стрел а п р и кл ад не
был креп ко п р и ж а т к плечу стр ел ка?
С ум м арн ы й им пульс р у ж ья и пули до вы стрел а
был равен нулю. С огласно за к о н у сохран ен и я им ­
пульса, ал ге б р аи ч е ск а я сум м а им пульсов р у ж ь я и п у­
ли после вы стрел а т а к ж е д о л ж н а бы ть р авн а нулю:
м ^>8 + м ь иь = 0 ’
Фиг. 33. С корость о тд ач и р у ж ь я т а ­
ков а, что сум м а им пульсов р у ж ь я и
пули р авн а нулю.
где М 8и% — им пульс р у ж ья,
после вы стрела,
— импульс пули
а — п еред вы стр ел о м ; б — после вы стр ел а.
^
^
• 6 ■ 104 с м /с е к ,
= ■
— 200 с м /с е к .
а
К
3
5
З н а к минус п о к а зы в ае т, что р у ж ье о т ­
с к а к и в а ет в н ап рав лен и и , п р о ти в о п о л о ж ­
ном н ап равлен и ю п олета пули.
81
П р и м е р 2. В ра к е те м ассой 20 т (20 000 кг) 80%
ее м ассы с о с т а в л я е т горю чее. К ак у ю конечную ско ­
рость м о ж ет сообщ и ть ра к е те так о й за п а с горю чего,
если все оно б у д ет вы брош ено в виде вы хлопны х г а ­
зов со средней скоростью 1 км /с е к по отнош ению к
З ем ле? В лиянием зем ного п р и тяж ен и я и соп р о ти в л е­
нием в о зд у х а пренебречь.
Э тот прим ер анал оги ч ен преды дущ ем у. О тдача
ракеты со о тв етств у ет о тд ач е р у ж ь я . А к а ж д у ю м ол е­
ку л у
в ы ходящ его г аза м ож н о
р а сс м ат р и в ат ь как
пульку, которой «стреляет» р а к е т а. П олны й им пульс
вы хлопны х газо в равен м ассе горю чего М {, у м н о ж ен ­
ной на средню ю скорость г а з а V/ (фиг. 34). К а к и в
п реды дущ ем примере, в н ачальны й момент полный
им пульс равен нулю . С л ед о в ател ь н о , и в лю бой мо­
мент врем ени сум м арны й им пульс т а к ж е равен нулю:
Р\ + Р'г = о,
или
М}
+ Мг VГ = 0,
где М г — м асса «пустой» ракеты ,
V , — ее конечная
скорость. Р а зр е ш и в это ^равенство относи тельно о г ,
найдем
Т ак к ак по услови ю м асса горю чего в 4 р а за больш е
массы «пустой» ракеты , а о ^ = 1 км /сек, то
иг => — 4 • 1 к м /с е к , или х]’г = — 4 к м /с е к .
Фиг. 34. Р а к е т а после стар та.
Выхлопные
газы
средней скоростью
во со скоростью у г
д в и ж у т ся * н алево
со
а р а к е та — н ап р а-
г
■и.-
З н а к минус о зн ач ае т, что р а к е т а д в и ж е тс я в н а п р а в ­
лении, противоп ол ож н ом н ап р ав лен и ю потока вы хлоп ­
ны х газов.
Мы видим, что конечная скорость ракеты
мож ет быть сколь угодно большой; для этого
надо соответственно увеличить отношение
масс горючего и пустой ракеты. Однако сле­
дует иметь в виду, что оболочка ракеты
д о л ж н а быть достаточно прочна, чтобы вы ­
д е р ж а т ь груз горючего. Это, естественно,
ограничивает величину отношения М ;/М т.
Впрочем, это ограничение можно обойти, ис­
пользуя многоступенчатые ракеты. П редпо­
ложим, что М г — масса второй ступени р а ­
кеты. Пусть снова 80% ее массы составляет
горючее. Тогда эта вторая ступень может
развить
дополнительно
скорость
V/^—
= 4 км/сек. Следовательно, конечная ско­
Фиг. 35. Р а к е т а
д о о своб ож д ен и я
головного конуса ( а ) и после с р а б а ­
ты ван и я пруж ины (б ),
8000м/сек
7999,9м/сек
рость «пустой» второй ступени будет уж е
8 к м /се к . А т а к а я скорость как раз необхо­
дима, чтобы вывести ракету на орбиту
вокруг Земли.
П р и м е р 3. Т ретья ступень р акеты (фиг. 35) состо­
ит из ракеты -н оси теля весом 500 к г и головного к о ­
нуса весом 10 кг. М е ж д у ними пом ещ ена
с ж а т а я п руж ина. П ри испы тани ях на зем ле
I— 8000,5м/сек п руж и н а сооб щ ал а конусу скорость 51 см /сек
-------- по отнош ению
к
ракете-носителю . К а ­
ковы б у д у т скорости конуса и ракеты , если их о т ­
делен ие прои зой дет на орби те при дви ж ен и и со ско ­
ростью 8 км /сек?
П у с ть
М а = 5 0 0 к г — м асса
ракеты -н оси теля,
М в = 10 к г — м асса конуса. П олны й им пульс д о м о­
м ента отд ел ен и я равен ( М Л + М в ) Ко- П о зак о н у с о ­
х ран ен и я им пульса
М А ° л + м в ив = ( м а + м в ) °о-
Д а л е е , из н азем ны х испы таний известно, что
Vв — VА — 51 с м /с е к ,
VА = ь в — 51 с м /с е к .
П о д с т а н о в к а в уравн ен и е им пульсов д а ет
Ма (
— 51 с м /с е к ) + М в ив — ( М а + ^ в ) а 0 ,
VВ = V ()-\-
М,
МА + М Е
51 с м /с е к ,
1>в = 8 0 0 0 ,5 м /с е к ,
о'А = (8 0 0 0 ,5 — 0 ,5 1 ) м /с е к = 7 9 9 9 ,9 9 м /с е к .
И так , п руж и н а сообщ ает головн ом у конусу ракеты
доп олн и тел ьн ую скорость 0,5 м /сек. П ри этом скорость
ракеты -н оси теля у м ен ьш ается на 0 ,0 1 - м /сек.
Вопрос 2. Е сли р а к е т а за п у с к ае тс я из
состояния покоя, то не б у д у т ли в ы ­
хлопны е газы им еть средню ю с к о ­
рость, равн ую нулю ?
П р и м е р 4. П о к а ж и те , что при упругом у д а р е би л­
л и а р д н ы х ш аров оди наковой м ассы ш ар, по котором у
бы л с д ел а н у д а р кием , и ш ар-м и ш ен ь после с о у д а р е ­
ния р а зл ет аю т с я под углом 90°, т. е. на фиг. 30 в ек то­
ры ъА и Я д в заим но п ерпенди кулярн ы . П од упругим
мы п о д р азу м е в ае м т ак о е столкновение, в р езу л ьтате
которого величина относительной скорости остается
такой ж е, к ак и до столкновения.
Н а м н ад о п о к азать , что на фиг. 36,а 0 = 9 0 ° . С о­
гласно (3 .4 ), ъ л -= г 'а -г '°вП острои м эту сумму
в екторов (фиг. 36, б ). О тн о си тел ьн ая с к о р о с т ь ® ^ — ®в
д о стол кн овен и я бы ла р авн а ©^4 . П осле столкновения
83
Ф иг. 36.
ш аров.
С оу д ар ен и е
би лл и ардн ы х
Ф-
она р авн а
(фиг. 36, в ). З ам ети м , что
угол м еж д у V А
' и V 'в равен исходном у у г л у б . П о ­
скольку столкновение упругое, ис — оА и три стороны
треугольника на фиг. 36, в равн ы трем сторон ам т р е ­
угольника на фиг. 36, б. С л ед ов ател ьн о, равн ы и с о ­
ответственн ы е углы 0 и 180°— 6, а именно
0 = 180° — 0 ,
или
20 ^
180°,
0 = 90°.
§ 3. Сила
СТЯНИ Т О Л К А Й »
В
Ф И ЗИ К Е
Теперь, когда имеется строгое определе­
ние массы и импульса, можно воспользоваться вторым законом Ньютона, чтобы дать
определение силе. П е р вон ач ал ь н а я ньюто­
новская формулировка второго закона не
совп ад ал а с приведенной в начале главы:
Р = Ма. Ньютон утверж д ал , что сила, д ей ­
ствую щ ая на тело с массой М, равна скоро­
сти изменения импульса этого тела со в ре­
менем:
Р =
АР
или Р —
М
Д (М у)
А(
(3.7)
где АР — изменение импульса тела за малый
промеж уток времени А/. При обычных ско­
ростях (гораздо меньше скорости света)
массу М можно считать постоянной. Тогда
равенство (3.7) можно переписать в виде
Р = М Ли
А(
или
Р = Ма,
О твет 2. Н ет. В этом случ ае им пульс
ракеты бы л бы равен начал ьн ой в ел и ­
чине, т. е. нулю.
84
так как Да/Л/ по определению есть уско­
рение. Конечно, Ньютон не подозревал, что
масса растет с увеличением скорости в соот­
ветствии с (3.6). Он считал, что произведе­
ние массы на ускорение математически
всегда долж но быть эквивалентно скорости
изменения импульса со временем. С точки
ж е зрения современной релятивистской ме­
ханики правильно первоначальное опреде­
ление силы (3.7). В ы раж ение Р = М а служит
очень хорошим приближением, когда мы
имеем дело с обычными скоростями. П ока
мы зан и м аем ся классической механикой, мы
будем продол ж ать пользоваться п рибли­
женным выраж ением Р = Ма. Изучение ре­
лятивистской механики отлож им до гл. 11,
О д н ако ничего предосудительного нет в том,
что у ж е в этой главе, посвященной кл асси ­
ческой теории, мы з а б е ж а л и несколько
вперед, дав строгие определения массы и
силы [см. формулы (3.6) и (3.7)], сп р ав ед ­
ливые как в классической, т а к и в рел яти ­
вистской механике.
В аж н о не заб ы вать, что где бы мы ни
встретили в этом п а р а г р а ф е символ Р, он
всегда обозначает результ ирую щ ую силу,
действующую на массу М. Чтобы проверить
важ н ость этого утверж дения, ответим на
несколько вопросов.
Вопрос. М ож ет ли тело оставаться в со­
стоянии покоя, если его тол кает внешняя
сила?
Д а . М ожет, если сущ ествует еще одна
внешняя сила, так ая, что векторная сумма
всех внешних сил об р ащ а ется в нуль,
т. е. Ррез == 0.
Вопрос. Если действую щ ая на тело ре­
зультирую щ ая сила равна нулю, долж но ли
тело находиться в состоянии покоя?
Нет. Тело мож ет дви гаться с постоянной
скоростью,
В
системе
МКЗ
сила
измеряется
в кг -м /сек2, а в системе С О З — в г -см/сек2.
Эти две единицы носят специальные н а з в а ­
ния — соответственно ньютон и дина. Сила
в 1 ньютон сообщ ает м ассе в 1 кг ускорение
1 м /сек2. Коэффициент перехода от ньютона
к дине получается следую щим образом:
,
В опрос 3.
П равильно
или л о ж н о
утверж ден и е: если тел о не н а х о д и тс я
н состоянии п окоя, то р езу л ьти р у ю ­
щ ая си л а, д е й с тв у ю щ ая на тел о, не
д о л ж н а бы ть р а в н а нулю?
1 к г X 1 м.
1 ньютон = —^ секу — .
Зам еним 1 кг равной ему величиной 103 г,
а 1 м — величиной 102 см. Тогда получим
85
Фиг. 37. Б русок,
дви ж н ой стенке.
п ри ж аты й к непо­
1 ньютон =
(103 г) X (10 2 см)
= , Пй
(1 сек)2
(1 г) X (1 см)
(1 сек)2
= 106 дин.
С ила реакции
Ш ////////Ж Ш
О твет 3. Л о ж н о . Т ело м ож ет д в и г а т ь ­
ся с постоянной скоростью и в этом
слу ч ае /7рез = 0 .
Если два тела приведены в соприкосновение друг с другом, например брусок приж а т к стене или к плите, то возникаю т силы
реакции. Существует не только сила, дейст­
вую щ ая на плиту со стороны бруска, но и
сила, действую щая на брусок со стороны
плиты. В конечном счете источником обеих
этих сил являю тся силы отталкивания,
действующие между атомами. Если элект­
ронные оболочки двух атомов начинают пе­
рекрываться, то между ними возникает от­
талкивание, и чем больше сближ аю тся
атомы, тем больше отталкивание. Эта сила
отталкивания имеет электромагнитное про­
исхождение и может значительно превосхо­
дить гравитационные силы. Если брусок
сильнее п р и ж ать к плите, то это приведет к
большему сближ ению атомов на поверхно­
сти бруска с атомами на поверхности пли­
ты, пока результирую щ ая сила о тта л к и в а ­
ния не станет равна и противоположна при­
ложенной силе. Мы назы ваем подобные силы
отталкивания поверхностей тел силам и р е­
акции.
Рассмотрим следующий «парадокс». Д е ­
ревянный брусок с массой М прижимается
к твердой неподвижной стене с силой Р
(фиг. 37). Из второго зак о н а Ньютона выте­
кает, что его ускорение равно
Это, казалось бы, говорит о том, что брусок
будет ускоряться и долж ен начать д ви гать­
ся. Однако опыт показы вает, что он не будет
двигаться. В чем здесь дело?
П ар ад о кс исчезает, если вспомнить, что
сила Р в уравнении Р = М а представляет
собой результ ирую щ ую силу. Если на одно
и то ж е тело с массой М действуют одновременно две силы Р\ и Р2, то результирую щая
сила равна Р рез= Р ^ Р ^ . В нашем примере,
кроме приложенной силы Р , на брусок д ей ­
ствует еще сила Р ' , с которой на него давит
стенка. Р езультирую щ ая сила / 7рез = Р + Р ' ■
По третьему ж е закону Ньютона сила Р'
равна и противоположна силе, с которой
брусок д авит на стенку, т. е. Р ' = — Р . Таким
образом, Р Рез = Р + (— Р) = 0 и второй закон
Ньютона д ает
=
Фиг. 38. Д в а бруска, д в и ж у щ и ес я по
поверхности без трени я.
М.
М„
П р е ж д е чем перейти к дальнейш ему из­
ложению, попытаемся проиллю стрировать
исключительную простоту и изящество з а ­
конов Ньютона. П р авд а, правильное прим е­
нение этих законов часто оказы вается делом
очень тонким. Приводимый ниже парадокс
долж ен послужить предостережением неос­
торож ному «мыслителю».
Рассмотрим два бруска с массой М А и
М в, д виж ущ ихся по плоской поверхности
без трения, как показано на фиг. 38. Сила Р
приложена к бруску А и через него пере­
дается бруску В. По третьему закону Н ь ю ­
тона брусок В долж ен с равной и противо­
положной силой (— Р) воздействовать на
брусок А. Если пренебречь трением о плос­
кость, то результирую щ ая сила, действую ­
щ ая на А, будет равна сумме приложенной
силы Р и силы реакции — Р бруска В. Таким
образом, Ррез = Р + ( —Р) = 0 и
а
Вопрос 4. В сегд а л и сила, д ей ств ую ­
щ ая на стену на фиг. 37, р а в н а силе,
действую щ ей со стороны
стены на
брусок?
0.
/> з = ^
М
Отсюда следует, что, как бы велика ни была
сила Р, п рилож енная к бруску А, он никогда
не сдвинется с места.
Ош ибка в этих рассуж дениях з а к л ю ­
чается в предположении, что сила Р пере­
дается через брусок А и, следовательно,
прилож ена т а к ж е к бруску В. В законах
Ньютона, однако, нигде не говорится, что
это долж но быть так. П оэтому правильнее
было бы предположить, что со стороны
бруска А на брусок В действует некая про­
извольная сила Р'. В этом случае результи87
рующей силой, действующей на брусок В,
будет сила Р', а на брусок А — сила Р— Р ' .
Применение второго зак о н а Ньютона к брус­
кам А и В д ает соответственно:
Р — Р' = М л а,
Р' = М в а.
С к л ад ы ва я эти равенства, получаем
Р = ( МА + М в )а
и
а =
Р
МА + Мд
Зам етьте, что этот результат получается
просто, если разделить приложенную с и л у / 7
на общую массу обоих брусков.
Оставш иеся три п а р а г р а ф а этой главы
мы посвятим приложениям законов Н ью то­
на. Они д ад у т читателю некоторое пред став­
ление о том, как применять эти законы к
решению за д а ч механики.
§ 4. Наклонная плоскость
УКРО Щ ЕН И Е СИЛЫ
Ответ 4. С огласн о 3-м у за к о н у Н ью тона это в сегда так .
88
ТЯЖ ЕСТИ
Из опыта известно, что все свободно п а ­
даю щ ие тела имеют одинаковое ускорение.
По второму закону Н ью тона сила тяжести,
действую щ ая на любое тело с массой М
у поверхности Земли, д о л ж н а быть равна
Ра = М §, где ^ = 9,8 м /сек 2.
Вопрос. Чему равно ускорение массы М,
расположенной на плите?
Поскольку скорость массы не меняется,
то ее ускорение по определению долж но
быть равно нулю.
Вопрос. Чему равна результирую щ ая си­
ла, действую щ ая на массу М, которая р а с ­
полож ена на плите?
П оскольку ускорение равно нулю, то ре­
зультирую щ ая
сила
Ррез = М а = М( 0 ) = 0 .
Сила реакции плиты Р', действую щ ая на м а с­
су, равна и противоположна силе тяж ести, д а ­
вящей на плиту. Р езул ьтир ую щ ая сила
РРез = Ро — Р' — М § — М ^ = 0. Это справедливо для в е рхикальных сил д а ж е в том слу-
Фиг. 39. Силы , действую щ ие на б р у ­
сок М , с ко л ьзящ и й вниз по н ак л о н ­
ной плоскости без трени я.
чае, если масса М скользит вдоль плиты без
трения. При отсутствии трения не будет и
горизонтальной составляю щ ей у силы.
Если мы теперь наклоним плиту без т р е­
ния, то по-прежнему составл яю щ ая вдоль
поверхности будет равна нулю; сила р е а к ­
ции плиты, единственная сила, действующая
на М, д олж н а быть перпендикулярна по­
верхности (фиг. 39). Д опустим, что угол н а ­
клона плиты составляет 0. Чему равно ус­
корение массы, соскальзы ваю щ ей по н а ­
клонной плоскости?
В этом случае с и л а / 7' , т. е. сила реакции
наклонной плоскости на тело М, д о л ж н а
быть такой, чтобы Р рез была н аправлена
вдоль плоскости. Кроме того, сила Г
д о л ж н а быть перпендикулярна наклонной
плоскости. Три вектора, Ррез, Р ' и сила т я ­
жести Р а, показаны на фиг. 39. Н а фиг. 39, б
приведена схема сложения этих векторов по
правилу многоугольника. Результирующий
вектор равен Р рез- Угол меж ду Р ' и Р 0 д о л ­
жен составлять 0, поскольку Р ' и Р 0 п ер­
пендикулярны
соответственно наклонной
плоскости и основанию.
Поскольку синус угла равен отношению
п ротиволеж ащ его катета к гипотенузе, то,
согласно фиг. 39,
. _
Ррез
81П 0 = —в----.
П о д ста вл яя М а вместо Ррез и М ц вместо Ро,
получаем
51П 0
=
Ма
М§
или
а = ^ 51П 0.
§ 5. Машина Атвуда
ЕЩ Е О Д И Н С П О С О Б У П Р А В Л Я Т Ь С И Л О Й Т Я Ж Е С Т И
М аш ина Атвуда представляет собой два
груза с массой М\ и М 2, которые подвешены
на легкой нити, перекинутой через неподвиж89
Фиг. 40. М аш и н а А твуда.
У/,
п1л
\ м 2д
\м,д
ный блок (фиг. 40). Если бы масса нити
была действительно равна нулю, то и ре­
зультирую щ ая сила, действую щ ая на нить,
т а к ж е д о л ж н а была бы обратиться в нуль.
В противном случае ее ускорение оказалось
бы бесконечно большим. Иными словами,
если один конец нити тянуть с силой Т, то
другой конец нужно тянуть с такой ж е си­
лой Т. Н а фиг. 40 сила Т обозначает реа к­
цию нити, действующую на каж д ую из двух
масс М] и М 2. Р езу л ьтиру ю щ ая сила, дейст­
вую щ ая на М \, равна
М 1§ — Т = М 1а 1.
(3.8)
Н а М 2 действует результирую щ ая сила
М 2§ — Т = М 2а2.
Так как длина нити не меняется, то
а 1= — а2 и последнее равенство принимает
вид
М 2§ — Т = — М 2а 1,
или
Т = М 2§ + М 2а 1.
Фиг. 41. П ростой м аятник.
'ш ж
Подставим теперь
в (3.8):
это
вы раж ение
для Т
— (М 2§ + М 2а г) = М д .
Р а зр е ш а я это равенство относительно а и
получаем
= л у - м,
1
М! + Ма «■
Вы видите, что, беря достаточно близкие по
величине массы, можно сделать ускорение
сколь угодно малым. При этом, конечно,
надо иметь в виду, что если в е л и ч и н а м ! —М 2
окаж ется очень малой, то массами нити и
блока нельзя будет пренебрегать,
Вопрос 5. Т р ак то р тащ и т плуг с си­
лой Р.
а) Д о л ж н а ли сила со стороны зем ли
на плуг т а к ж е р ав н я ть ся Р ?
б) Д о л ж н а ли сила; с которой плуг
тян ет тр акто р н а за д , иметь ту ж е в е ­
личину Р ?
90
§ 6. Простой гармонический маятник
ОБЫ ЧНОЕ Д ВИ Ж ЕН И Е
Простой маятник представляет собой не­
большой грузик с массой М, подвешенный
на нити длиной I К огда говорят о движении
такого маятника, то всегда предполагают,
что его отклонение х гораздо меньше Ь.
Воспользовавшись схемой, изображенной на
фиг. 41, найдем ускорение грузика М. На
фиг. 41, б приведена схема сложения векто­
ров Е а и Т. Их сумма равна Ере□. Этот век­
торный треугольник подобен треугольнику,
изображ енному на фиг. 41, а: соответствую­
щие стороны этих треугольников п а р а л л е л ь ­
ны. Следовательно,
Ррез =- - 4 - (в пределе малых 0).
“с
ь
Подставим теперь Ма вместо
вместо Е 0 и получим
Ма
х
— ~Т ’
(3.9)
Ррез, а
М§
или
Мы вводим зн ак минус, чтобы не забы вать,
что а и х направлены в противоположные
стороны.
Это первый пример, когда ускорение ме­
няется по величине. Заметьте, что в этом
примере ускорение просто связано с откл о­
нением х — оно прямо пропорционально х и
всегда направлено противоположно х. Такое
движение носит название простого гарм они­
ческого движения. Х арактерны й признак
такого дви ж ени я — постоянство отношения
величины ускорения к величине отклонения:
Это соотношение выполняется во многих
известных видах движений. Например, у п ру­
гая сила растянутой пружины обычно про­
порциональна ее удлинению х. Это прове­
ренное на опыте свойство пружин получило
название закона Гука. Следовательно, груз,
подвешенный на конце пружины, долж ен
т ак ж е соверш ать простые гармонические коФиг. 42. Ф о то гр аф и я качаний просто­
го м аятн и ка, п олученн ая со с тр о б о ­
скопическим освещ ением .
91
Фиг. 43. Х арактери сти ки
гарм онического колебани я.
простого
а — зави си м о сть см ещ ен и я от (; врем я о д ­
ного полного ко л еб ан и я п р ед с т а в л я ет со ­
бой период Г; б — зави си м о сть силы или
ускорени я от I', в — зави си м о сть скорости
о т I.
лебания. Существует множество других при­
меров таких движений — колебания любой
точки звучащей скрипичной струны, кол еб а­
ния небольшого объема воздуха в трубе о р ­
гана, колебания атома в твердом теле. П р и ­
чина, по которой огромное число движений
в природе представляет собой простое гар м о ­
ническое движение, заклю чается в следую ­
щем. Н езависимо от того, как (пусть д а ж е
очень сложно) сила зависит от расстояния,
пока она, ка к принято говорить, является
гладкой функцией расстояния, ее изменение
при достаточно малы х отклонениях долж но
быть прямо пропорционально этому откл о ­
нению. Поэтому при м алы х отклонениях
почти всех тел от их полож ения равновесия
выполняется упомянутое выше условие и
тело начинает соверш ать простые гарм он и ­
ческие колебания.
Пусть максимальное отклонение грузика
равно х 0. В этом положении в о звр а щ аю щ ая
сила максимальна, она тянет груз к п олож е­
нию равновесия х = 0 , з а с т а в л я я его проско­
чить эту точку и дойти до полож ения х = —х 0
(если пренебречь трением). З а тем весь про­
цесс повторяется. Время, которое грузик
затрачи в ает на движение из точки х = х 0
в точку х = — х 0 и обратно, назы вается пол­
ным периодом колебаний Т.
Н а фиг. 43 изображ ены графики зав и си ­
мости х , силы Р и скорости V от \ для тела,
соверш ающего простые гармонические ко­
лебания, начавшиеся в точке х = 0.
Величина Т зависит только от отноше­
ния а/х. В следующем п ар агр а ф е мы п о ка­
жем, что
а
4л2
7
О твет 5. а) Т олько в том случ ае, если
плуг д в и ж е тс я с постоянной с ко р о ­
стью. Если плуг д в и ж е тс я с ускорен и ­
ем, то сила со стороны т р ак то р а
д о л ж н а п ревы ш ать силу со стороны
земли.
б) Д а . Э то прям ое следстви е т р ет ь­
его зако н а Н ью тона.
92
г 2для простого гармонического движения л ю ­
бого вида. В случае простого гармоническо­
го маятника
8
4те2
I
или
Г2 ’
т
=
2 я
У
~
.
Фиг. 44. И с х о д н а я окруж ность.
П р о екц и я п о ло ж ен и я ш а р а на в е р т и к а л ь ­
ную плоскость со вер ш ает д в и ж ен и е по т а ­
кому ж е зако н у , к а к и грузик м ая тн и ка.
Световые
лучи
Зам етим , что период колебаний простого
гармонического маятника не зависит от м а с ­
сы грузика, а та к ж е от величины м а к с и м а л ь ­
ного отклонения хо. Именно эта независи­
мость периода колебаний от величины о т­
клонения используется во всех маятниковых
часах.
Горизонтальная
'плоскость
Исходная окружность
Н а фиг. 44 и зображ ен а
тень ш арика,
равномерно
вращ аю щ егося по о к р уж н о ­
сти радиусом Хо со скоро­
стью V. П о к аж ем , что д в и ж е ­
Вертикальная
ние тени на э к ран е пред став­
плоскость
ляет собой простое гармони­
ческое движение, т. е. что отношение а /х ос­
тается постоянным при всех значениях х.
Поскольку тень на экран е есть не что
иное, как вид на окруж ность сбоку, то
движ ение тени будет представлять собой
движение в за д и вперед по прямой (вдоль
оси х) с максимальны м смещением х 0.
Ускорение а тени равно проекции на ось х
центростремительного ускорения ш арика ас.
Н айдем а,
воспользовавшись фиг. 45.
Н а ней и зображ ен вид сверху на исходную
окружность (см. фиг. 44). И з подобия тр е­
угольников
Фиг. 45. В ид свер х у на исходную ок ­
руж ность.
а _
В ектор
а п р ед с т а в л я ет собой проекцию
ускорени я гр у зи ка о. на ось х
ас
Т ак как ас = — (Ап2/ Т 2) х 0 [см. (2.15)], то
ТС
а
-----Т2 *0
х
ИЛИ
а
х
4тс2
'р2
(3.10)
И так, мы доказали, что ускорение тени, д е­
ленное на ее смещение, всегда постоянно и
равно 4 я 2/ Р , где Т — период колебания.
Это справедливо для любого вида простого
гармонического движения. Отношение а/х
всегда равно 4л 2/ Т 2.
93
П р и м е р 1. Ч ер ез центр наш ей планеты из А м ери ­
ки в А в стр ал и ю просверлен к а н а л . П р ен еб р егая со­
противлением в о зд у х а , найти, скол ько врем ени п он а­
д об и тся кам н ю , чтобы п рол ететь по этом у к а н а л у че­
р е з весь зем ной ш ар, если д е й с тв у ю щ ая на кам ен ь
си л а т я ж е ст и м ен яется по за к о н у Р 0 = М § ( г / К ) , где
г — расстоян и е о т центра З ем л и , а # = 6 4 0 0 км — р а ­
диус Зем ли . С огласн о вто р о м у за к о н у Н ью тон а,
г
Ма = М§ -ц- .
О тсю да отнош ение ускорен и я к отклонению
Вы видите, что это отнош ение не зав и си т от п о л о ж е ­
ния к ам н я, т. е. у д о в л е тв о р я е тс я условие простого
гарм они ческого д в и ж е н и я . С другой стороны , величи­
на (§ //? ) д о л ж н а бы ть р а в н а 4 я 2/Г 2, или
8
Фиг; 46. Т ипичная сила, д ей ствую щ ая
м еж д у д в у м я ато м ам и в м олекуле.
П олож ению р а вн о веси я соответствует г= г0,
при котором
г — р ассто ян и е протона
от ц ен тра м олекулы .
Я
~
4 2
Г2 ’
т /
/Г"
Т = 2к Л / Л '
ё
Т = 5 ,1 • 103 с е к ,
Т = 85 м и н .
В рем я «пол ета» д о А встрал и и с о ст ав л я е т половину
полного пери ода, т. е. 42,5 м ин.
Р ассм отри м теперь поподробнее у т в е р ж ­
дение, что атомы при смещении из п о лож е­
ния равновесия соверш аю т простые г а р м о ­
нические колебания. Р ассмотрим молекулу
водорода, состоящую из двух атомов водоро­
да, которые у д ер ж и в аю т друг друга б л а г о д а ­
ря взаимному притяжению электронов и про­
тонов. Н а фиг. 46, а и зо бр аж ен а сила при­
тяж ен и я двух атомов водорода в зави си м о ­
сти от расстояния г одного из протонов от
центра молекулы. О д н ако м еж д у двумя про­
тонами, кроме того, действует сила о ттал к и ­
вания, и зображ ен н ая на фиг. 46, б. Сумма
этих сил д ает результирующую силу, дейст­
вующую м еж д у двумя атом ами водорода
(фиг. 46, в ). П оложению равновесия соот­
ветствует /-0 = 4* 10-9 см, при котором наклон
кривой А Р /А г = — 1,1-106 дин/см.
П р и м е р 2. И с п ол ьзуя при веденны е вы ш е данны е,
вы числим ч асто ту ко л еб ан и я д в у х атом ов в м олекуле
водо р о д а.
94
П у с ть х = г — г о — смещ ение относи тельно п о л о ж е ­
ния равн о в еси я. Т о гд а из н а к л о н а кривой при г = г0
в сл у ч ае м ал ы х смещ ений Р = — 1,1 • 106 х дин. Д е л я
обе части на м ассу протона (1,67• 10—24 г ), получаем
а = — (0 ,6 6 - 1030) х см /сек2.
О тнош ен ие а / х = — 4 я 2/7'2 р авн о 0 , 6 6 - 10м се/с- 2 . Н а ­
х о д я Т, получаем 7,74- 10~ 15 сек. Е ж есек у н д н о прои с­
ходи т 1 /(7 ,7 4 -10~15), или 1,29- 10й колебани й. Э л ек т ­
рически з а р я ж е н н а я частиц а, к о л еб л ю щ а яся с такой
частотой, б у д ет испускать эл ектром агн и тн ое и зл у ч е­
ние такой ж е частоты . Э то — и н ф р ак р асн о е и зл у ч е­
ние. Е сли бы частота бы ла в 3,5 р а за выш е, то и зл у ­
чение п р е д с та в л я л о бы собой видим ы й свет. И т ак , мы
приходим к вы вод у, что н агреты й газо о б р азн ы й в о ­
д о р о д испускает и н ф рак расн ое излучен ие с частотой
1,29- 1014 гц.
Задачи
*• М огут ли обе силы , о к оторы х говори тся в третьем за к о н е Н ью тон а, д ей с тв о в а ть на одно тело?
2. П р е д с та в ь т е себе, что вы н аходи тесь посредине
п л ощ ад ки , на которой о т су тств у ет трение, наприм ер
на ид еал ьн ом к атке. К а к бы вы вы ш ли из так о го з а ­
тр у дн и тельн ого полож ен ия?
3. М ал ьч и к е д е т на велосипеде. И х о б щ ая м асса р а в ­
на М . К а к а я в н е ш н я я сила у с к о р я е т эту м ассу? Ч то
за си л а (в н е ш н яя) торм ози т М при остан овке? (Д а в ­
л ен ие на педал и не я в л яется внеш ней силой в систе­
ме м ал ьчи к — велосипед.)
4. П у с ть си л а проп орц и он ал ьн а смещ ению Р = к х \ в
к аки х е д и н и ц ах в ы р а ж а е т с я к в систем е С 0 5 ?
5. К т р а к т о р у цепью прикреплено бревно, которое он
т ащ и т с постоянной скоростью 5 км /ча с с усилием
1000 ньютон. С ила тяж е ст и , д е й с тв у ю щ ая на бревно,
с о с т а в л я е т Р с = 2000 ньютон. В осп о л ьзо в ав ш и сь пер­
вы м зако н о м Н ью тон а, о п редел и те результирую щ ую
силу, дей ствую щ ую на бревно.
Фиг. 47. К з а д а ч е 8 .
6 . У к а ж и те , в чем ош ибочность следую щ его р а с с у ж ­
ден и я. Т р ак т о р тян ет плуг с силой Р. П о третьем у
з а к о н у Н ью тон а си л а реакци и на плуг со стороны
почвы р а в н а — Р. П оск ол ьк у су м м а этих д в у х сил
р а в н а нулю , плуг не м о ж ет д в и га тьс я.
7. С ила Р д е й с тв у е т на тело м ассой М в течение
врем ени (0- Н а ск о л ь к о увел и чи л ся им пульс тел а?
[2кг1
I
4 кг
8 . Д в а б р у с к а, с вязан н ы е м еж д у собой нитью, п о д ве­
ш ены , к а к п о к а за н о на фиг. 47.
а) К а к у ю силу Р н уж но п р и ло ж и ть к верхней
нити, чтобы оба бруска о с та в ал и с ь в с о ст о я ­
нии покоя?
95
б) К а к у ю си л у н уж н о п р и л о ж и ть к верхней ни-,
ти, чтобы привести их в д в и ж е н и е ввер х с у с ­
корением 2 м /с е к 2? К а к о в о н а тя ж е н и е с в я з ы ­
ваю щ ей нити?
Фиг. 48. К з а д а ч е 10.
'
р
■■—= >
А
В
Стол
С
9. М яч н епреры вн о п о д п ры ги вает на вы соту А без по­
тери энергии.
а) С о в ер ш а ет ли он простое гарм они ческое д в и ­
ж ение?
б) В ы чи слите ф орм ул у д л я периода колеб ани й
мяча.
10. Н а три
идентичны х
бруска
дей ств ует сила,
н а п р а в л е н н ая вд о л ь поверхности плиты без трения
(фиг. 48).
а) Ч ем у р а в н а р езу л ьт и р у ю щ а я сила, д ей ств у ю ­
щ ая на брусок А в в ерти к ал ьн ом н ап равлен и и ?
б) Ч ем у р авн а р е зу л ьти р у ю щ ая сила, д ей с тв у ю ­
щ ая на брусок В?
в) Ч ем у р авн о ускорение бруска С?
г) С к ак ой силой брусок А д ей ствует на б р у ­
сок В?
Фиг. 49. К з а д а ч е 13.
11. П у л я с м ассой 5 г , л е т я щ а я с горизонтал ьной с к о ­
ростью 500 см /сек, п оп ад а е т в деревян н ы й брусок с
массой 2 кг, которы й л еж и т на гладк ой г о р и зо н т ал ь ­
ной поверхности, и за с т р е в а е т в нем. С какой с к о р о ­
стью б уд ет д в и га ть с я брусок вм есте с пулей после
такого у д а р а ?
12. П р е д п о л о ж и м , что в ато м е в о д о р о д а эл ектрон с
массой 9 • 10~28 г в р ащ ае т ся в ок руг протона по о к ­
руж ности ди ам етр о м 10-8 см. С ила п р и тяж ен и я с о ­
с та в л я е т 10~-2 дин. К а к о ва скорость эл ек тр о н а? С к о л ь­
ко оборотов в 1 сек д е л а е т электрон ?
Фиг. 50. К за д а ч е 14.
.1,414-Ю4 дин
13. Ребенок т ащ и т за в еревочку с силой Р игруш еч­
ный поезд из четы рех вагонч иков (фиг. 49 ). М асса
к а ж д о г о вагончика р авн а М. В ы р ази ть н а тяж е н и е в е ­
ревочек Г |, Г2 и Т3 через Р и М , Ч ем у р авн о у ско р е­
ние (трением след у ет п р ен еб р еч ь)?
14. Р ебенок везет без трен и я д в е тел еж к и с силой
1,414 • 104 д ин, н а тя г и в а я
верев к у
под углом 45‘
(фиг. 50 ). Ч ем у равн о ускорени е первой тел е ж к и (ее
м асса 20 г )? К а к о в о н а тя ж е н и е нити, связы в аю щ ей т е ­
л еж к и ? К а к о в о н а тяж е н и е веревки, которую держ ит
ребенок? К а к а я сила д ей ств у ет на первую т ел е ж к у сс
стороны пола?
15. М аятн и к длиной 1 м к о л еб л ется на 5 см от пол о­
ж ени я равн овеси я.
а) К а к о ва его скорость при м ак си м ал ьн ом сме
щ ении?
Фиг. 51. К за д а ч е 16.
б) Ч ем у р авн о в этом слу ч ае ускорение?
в) Ч ем у равн ы ускорени е и ско р о сть при п р о х о ж ­
дении пол ож ен и я р авн о в еси я?
16. Г рузы М \ и М 2 подвеш ены к нити, перекинутой
через блок без трени я (фиг. 51). Г р у з М \ л е ж и т на
столе. К а к а я си л а треб уется, чтобы у д е р ж а т ь Л1] на
столе? Ч ем у р авн о н а тя ж е н и е нити в ди н ах ? Ч ем у
бы ло бы р авн о н а тя ж е н и е нити, если бы груз М \ о с в о ­
бод ился?
17. Т ело м ассой 500 г у с та н о в л ен о на одном к раю
горизонтальной плоскости без трен и я. З а те м эт о т кр ай
плоскости п од няли на 2,5 см. К а к о в а б у д ет скорость
т ел а, к о гд а оно дости гн ет д р у го го к р а я ?
18. М ал ьч и к к ач ае т ся на к ач ел ях . М ак си м ал ьн о е от­
клонение о т пол ож ен и я р авн о в еси я 2 м. М а к с и м а л ь ­
ное ускорени е 0,5 м /с е к 2. Е сли ускорени е п роп орц и о­
нально отклонению , к ак о в период колебани й?
19. К осмический к о р аб л ь м ассой 106 к г п о д н и м а ет ­
ся в ерти к ал ьн о вверх". С ила т я ги его д в и га те л ей
2,94- 107 ньютон. Ч ем у равн о ускорени е?
( У к а з а н и е . Р е зу л ь ти р у ю щ ая си л а, д е й с тв у ю щ ая
на к о р аб л ь, не р авн а тяге.)
Фиг. 52. К за д а ч е 20.
20. М альч ик в р а щ а е т в гори зон тал ьн ой плоскости
(фиг. 52) три ш ар а , п ри вязан н ы е к веревке длиной
1 м (силой т яж е ст и п ренебречь). М асса к а ж д о г о ш а ­
ра 100 г. К а к о в о н а тяж е н и е всех трех кусков в ер е в ­
ки, если внеш ний ш ар д в и ж е т с я со скоростью
6 м /с е к ? К а к а я верев к а р а зо р в ет ся в первую очередь,
если в ращ ен и е ускори ть? (В ер ев к и , конечно, о д и н а ­
ковы е.)
Фиг. 53. К за д а ч е 22.
К= 2 0 0 ныато!-
21. П у с ть скорость ш ар а на исходной окр у ж н о сти
(см. фиг. 44) р авн а V0. В ы р ази те через о0 и х 0 с л е ­
дую щ ие величины:
а) м ак си м ал ьн ое ускорени е темн;
б) период колебани й тени;
в) частоту (число колебани и н 1 сек).
22. Б русок массой 40 кг л еж и т на поверхности без т р е ­
ния. Н а него дей ствую т сила т я ж е ст и и в н еш н яя си ­
л а Р , к а к п о к а за н о на фиг. 53. Ч е м у р авн а р е зу л ь т и ­
р ую щ ая си л а и к а к она н а п р а в л е н а ? П у сть теперь
^ = 800 ньютон вм есто 200 ньютон. К а к изм ени тся в е ­
личина резул ьти рую щ ей силы ?
4—171)
97
Фиг. 54. К за д а ч е 23.
23. Н а фиг. 54 и зо б р аж е н а « д в о й н ая» м аш и н а А тв у ­
д а. С чи тая блоки невесом ы м и и п рен еб регая т р ен и ­
ем, найди те ускорени е М \. В ы р ази те его через М \, М 2.
М3 и §.
Фиг. 55. К за д а ч е 24.
24. Р ассм о тр и м
видои зм ен ен ную
м аш и н у А твуда
(фиг. 5 5 ); п р ед п ол ож и м , что блоки невесом ы и л и ­
ш ены трен и я и что М 2 с ко л ь зи т вд о л ь поверхности
без трени я. П у сть Т 1 — н а тя ж е н и е левой нити, а
Т2 — правой. П р е д п о л о ж и м , что М 3 т я ж е л е е М \.
а) Ч ем у равн ы резул ьти рую щ и е силы, д ей ств у ю ­
щ ие на М \ к М 2? (О т в ет в ы р ази те через М ь
Мз, 8 , Т , и Т2.)
б) Ч ем у р а в н я л а с ь бы р е зу л ьт и р у ю щ а я сила,
д е й с тв у ю щ ая на М 2, если бы эту м ассу мы
у д е р ж и в а л и на м есте рукой? Ч ем у в этом с л у ­
чае р авн о Т 1?
в) П у с ть тольк о М 1 у д е р ж и в а е т с я на м есте р у ­
кой. Ч ем у равн о в этом сл у ч ае Т \?
г) Ч ем у р авн о ускорени е своб одн о д в и ж у щ и х ся
трех м асс? (О твет в ы р ази те через м ассы и §.)
СЗ
Г
М2
В
'7777777777777777/7777777777777777,
м3
ГЛАВА
ТЯГОТЕНИЕ
ТЯГОТЕНИЕ
§ 1. Закон всемирного тяготения
Ньютона
источник силы
В гл. 3 мы р ассм атривали общие свойст­
ва сил, не об су ж д ая их происхождение. К а ­
ким образом возникают силы? Согласно
современным представлениям, существует
всего четыре типа различных сил, перечис­
ленные в табл. 5. В большинстве повседнев­
ных приложений физики мы имеем дело с
электромагнитными и гравитационными си­
лами. Только при рассмотрении ядерной
физики (гл. 15 и 16) нам придется иметь
дело с ядерными и слабы ми силами. Мы
начнем ф ормальное знакомство с г р ав и т а­
ционным взаимодействием в этой главе, а
с электромагнитным — в гл. 7.
Если верить Ньютону, то к открытию з а ­
кона всемирного тяготения его привело у п а в ­
шее на землю яблоко. У Нью тона возникла
мысль, что сила, за с т а в л я ю щ а я п адать на
землю яблоко, могла бы быть тождественна
силе, заставл яю щ ей Л уну «падать» в н а ­
правлении Земли. З н а я расстояние до Луны
и, таким образом, ее скорость, Ньютон р ас­
считал величину V2/ Я д ля Луны и об н а р у ­
жил, что она составляет 1/3600 часть от ус-
Таблица 5
С р а в н ен и е р а зл и ч н ы х ти п о в сил
Тип сил
Я д ер н ы е
100
— 10-38
Радиус
дей стви я
«
т
0
Э л ек т р о м агн и т н ы е
И н ер тн ая м асса
Все эл ем ен тар н ы е ч ас­
тицы
В с е, что несет э л е к т ­
р ический з а р я д
П р о то н ы ,
н ейтроны ,
п и он ы , с тр а н н ы е ч а с ­
тицы
О т н о с и те л ь ­
н ая величина
(н а м алы х
расстоян и ях)
Б ольш ой
М алы й
~ 10-2
Б ольш ой
1
М алы й
1
Г рави тац и о н н ы е
С лабы е
И сточник с и л
корения яблока. Он обратил внимание на то,
что эта величина равна кв ад р ату отношения
расстояний от яблока и Л уны до центра З е м ­
ли. Это навело его на мысль, что сила т я ­
жести меняется обратно пропорционально
квадрату расстояния.
П р и м ер 1. Ч ем у равн о на Л у н е ускорение, о б у ­
словленное зем ны м при тяж ен и ем ?
Л у н а — спутник Зем ли , которы й н ах о д и тся от
нее на расстоян ии /? т = 384 000 /сл< = 60 К е, где
—
р ад и у с
Зем ли . Л ю бой
п редм ет
на
расстоян ии
384 ООО км от Зем ли б уд ет и сп ы ты вать то ж е у ско р е­
ние зем ного п р и тяж ен и я, что и Л у н а . С огласно (2.15),
ускорение Л у н ы
в н ап равлен и и
центра
З ем л и
ат= (4л2/Т2т) Кт', где Тт — в р ем я одного полного
оборота, равн ое 27,3 дн я. П е р ев о д я Кт в м етры , а
Т т в секунды , получаем а т = 2 ,7 3 - 1 0 ~ 3 м /сек.2. О т м е ­
тим , что ускорени е спутн ика, л ет я щ е го низко н ад
поверхностью Зем ли , с о ст ав л я е т 9,8 м /с е к 2, т. е. п ри ­
мерно в 3600 р аз больш е.
Н ью тон бы л потрясен тем ф а к то м , что 3600 — это
отнош ение к в а д р а т о в расстоян ий, т. е. § / а т = К т /К е С л ед ов ател ьн о, в п р ед ел ах точности наш их вы числе­
ний ускорение силы т я ж е ст и у м ен ьш ается об ратн о
п роп орционально к в а д р а т у р а сс то ян и я от центра
Зем ли .
В окончательном виде ньютоновский з а ­
кон всемирного тяготения д ля силы, дейст­
вующей меж ду двумя телами с массой М х и
М 2} выглядит так:
Н ью т оновский за к о н всем ирного
тяготения
р __ п МгМ2
1
и
г2
»
(4.1)
где г — расстояние меж ду телами. П остоян ­
ная 0 = 6 ,6 7 -10_и ньютон-м2/к г2 в системе
М К 5 и 0 = 6 ,6 7 - 10~8 д и н - с м 2/г2 в системе
С 0 5 . Величину О следует определить из
опыта. Ньютон оценил константу О, зн ая
объем Зем ли и пред угад ы вая ее среднюю
плотность, а тем самы м и массу нашей п л а ­
неты. П ок аж ем , как можно таким способом
определить О. Применим формулу (4.1) к
телу массой М, л е ж а щ ем у на земной по­
верхности. Н а него действует сила
Вопрос 1. Е сли бы ябл он я в с а д у
Н ью тона
н а х о д и л а сь
на
вы соте
384 000 км , то с к аки м бы ускорением
п а д а л о яблоко?
К ак у казы в ал о сь в гл. 2, сила тяжести,
действую щ ая на массу М, за с та в л я е т ее п а ­
д ать с ускорением а = д . И так, в выражении
Рс = Ма величина а = §. Т аким образом,
101
Фиг. 56. И д е я
диш а.
эксперим ен та
К авен -
а — два м ал ен ьк и х
свинцовы х ш а р и к а с
м ассой
т
скреплены
го р и зо н тал ьн ы м
стерж н ем , подвеш енны м на тонкой к в а р ­
цевой нити; б — д в е больш и е свинцовы е
сф еры с массой М поднесены к ш а р и ­
кам т \ гр ави тац и о нн о е п р и тяж ен и е м е ж ­
д у М и т з а с т а в л я е т с тер ж е н ь п о во р ачи ­
ва т ьс я , за к р у ч и в а я нить; с и л а , н ео бх о д и ­
м ая д л я за к р у ч и в ан и я нити, и звестна из
п р едвар и тельн ы х изм ерений.
или, со к р а щ а я на М и реш ая относитель­
но О, найдем.
(4.3)
где М е — м асса Земли, Ке — ее радиус. Если
величина М е известна, то можно определить
и С. И обратно, зная О из прямых измерений
силы, действующей между двумя свинцовы­
ми ш ариками, можно с помощью (4.3) найти
тп
т
а
р 0 = М §.
П о д ставл яя
теперь
вы раж ения (4.2) д ля силы тяж ести Р0, мы получаем
/VI
6
Впервые прямой опыт по определению О
проделал в 1797 г. Генри Кавендиш. Схема
его опыта п оказана на фиг. 56. Теперь мы
понимаем, почему его эксперимент назван
«взвешиванием Земли», хотя сам а Зе м л я не
принимала никакого
участия в опыте.
Больш е того, опыт К авендиш а было бы
гораздо легче провести при отсутствии з е м ­
ного притяжения.
П рим ер 2. К а к о ва м ак с и м а л ьн а я сила г р а в и т а ц и ­
онного п р и тяж ен и я м еж д у д в у м я свинцовы м и ш а р а ­
ми с массой 45 кг каж д ы й и д и ам етром 20 см? С р а в ­
нить эту силу с силой п ри тяж ен и я Зем ли.
С огласно (4.1), сила грави тац и он н ого п р и т я ж е ­
ния м еж ду свинцовы м и ш ар ам и р авн а
Р =
6 ,6 7 • 10- 11
45
0, 2
нью т он = '3 ,3 7 • 10 6 нью т он.
Эта сила меньш е возни каю щ ей в больш ин стве с л у ч а ­
ев силы трени я. И м енно поэтом у ее м ож но о б н ар у ­
ж и ть лиш ь в очень тонком эксперим енте, каки м и был
опы т К авен д и ш а. З е м л я п ри тяги в ает к аж д ы й из этих
ш аров с силой (Рс = /И§ = 45-9,8 ньютон = 440 ньютон,
т. е. более чем в 100 м иллионов р а з сильнее их в з а ­
имного п ри тяж ен и я.
Ответ 1. С тем
ж е, что и ускорение
Л у н ы , которое р авн о а т = § / ( 6 0 )2.
Мы увидим в следующем п араграф е, что
опыт К авендиш а, помимо определения по
величине О массы Земли, мог бы дать массу
Солнца и массы всех планет, имеющих спут­
ники. Д л я определения массы Солнца необ­
ходимо знать величину О, расстояние от
Земли до Солнца и время, за которое Зе м л я
соверш ает один оборот вокруг Солнца.
§ 2. Законы Кеплера
ИНДУКЦИЯ
Ещ е до того, как Ньютон постулировал
свой закон всемирного тяготения, Иоганн
Кеплер обнаруж ил, что «запутанное» д в и ­
жение планет Солнечной системы можно
было бы описать с помощью трех простых
законов. Зако н ы Кеплера укрепили веру в
гипотезу Коперника о том, что планеты в р а ­
щаю тся вокруг Солнца, а не вокруг-Земли.
У тверж дать в начале XVII века, что
планеты в р ащ аю тся вокруг Солнца, а не
вокруг Земли, было величайшей ересью.
Д ж о р д а н о Бруно, открыто защ ищ авш и й ге­
лиоцентрическую систему Коперника, как
еретик, был осужден святой инквизицией и
сож ж ен на костре. Д а ж е великий Галилей,
несмотря на довольно тесную друж б у с п а ­
пой римским, был заточен в тюрьму, о с у ж ­
ден инквизицией и вынужден был публично
отречься от своих взглядов.
В те времена священными и неприкосно­
венными считались учения Аристотеля и
Птолемея, гласившие, что орбиты планет
возникают в результате сложных движений
по системе окружностей. Так, для описания
орбиты М ар с а треб овалась дю ж ина или
около того окружностей различного д и а м ет­
ра. Иоганн Кеплер поставил зад ач у « д ока­
зать», что М арс и З е м л я д олж ны о б р а щ а т ь ­
ся вокруг Солнца. Он п ытался найти орбиту
простейшей геометрической формы, которая
точно соответствовала бы многочисленным
измерениям положения планеты. Прош ли
годы утомительных вычислений, преж де чем
Кеплер смог сформулировать три простых
103
Фиг. 57. П остроени е эллип са с пом о­
щью д в у х б ул ав ок, нити и к а р а н ­
даш а.
Точки Л и В — ф о ку сы эллип са.
Карандаш
Фиг. 58. К объ ясн ен ию
кона К еплера.
второго з а ­
Закр аш ен н ы е п ло щ ад и равны ; отрезки пу­
ти
52 и 53 п л а н ета проходит за равны е
пром еж утки врем ени.
закона, очень точно описывающих движение
всех планет. И не только планет, но и их
спутников.
Первый закон Кеплера
Все планеты обращаются по эллиптиче­
ским орбитам, в фокусе которых находится
Солнце.
Эллипс об л а д а ет несколькими х а р а к т е р ­
ными геометрическими свойствами. Одним
из них можно воспользоваться для построе­
ния эллипса с помощью нити, к а р ан д а ш а и
двух булавок (фиг. 57). Д л я этой цели оба
конца нити закреп ляю т в точках А и В. З а ­
тем, поместив в точку Р каран даш , описы­
вают им эллипс. Точки А и В назы ваю тся
фокусами эллипса. Часто эллипс определяют
как кривую, сумма расстояний от любой точ­
ки которой до двух фиксированных точек
(фокусов) остается постоянной. Эллипс о б ­
л ад ает еще одним геометрическим свойст­
вом. П рям ы е А Р и В Р образую т с к а с а т е л ь ­
ной к эллипсу в точке Р одинаковые углы.
Иными словами, луч света или звуковая во л ­
на, вышедшие из точки А, обязательно п опа­
дут в результате отраж ен ия в точку В. Н а
этом принципе основано устройство «шеп­
чущей галереи», какую иногда можно о б н а­
ружить в музеях или научных выставках.
В такой галерее стены имеют форму элли п ­
са. Д в а человека, став в фокусах А и В д а ж е
на расстоянии 15 м, могут свободно р азго ­
варивать друг с другом шепотом, причем
другие посетители не услы ш ат ни единого
слова.
Второй закон Кеплера
Вопрос 2. Ч ем у равн о О на
ности Л ун ы ?
104
п оверх­
Прямая, соединяю щ ая С олнце и какую либо планету, за равные промежутки врем е­
ни описывает одинаковую площадь.
За к р аш е н н ы е участки на фиг. 58 имеют
одинаковую площадь. С огласно второму з а ­
кону К еплера, планеты долж ны затрачи вать
одинаковое время для прохождения любого
из отрезков пути 5Ь з2 и 53. Отсюда следует,
Фиг. 59. С путник связи « Р а н н я я
ш и ш к а » в косм ическом пространстве
(и в о ображ ен и и х у д о ж н и к а ).
что, когда Зе м л я ближе всего проходит
около Солнца (в начале я н в а р я ), ее скорость
максимальна. И з второго зак он а Кеплера
следует такж е, что зимний период в север­
ном полушарии долж ен быть короче, чем в
южном. В южном полуш арии зима н ачи­
нается в июле, когда З е м л я наиболее у д а ­
лена от Солнца.
Третий закон Кеплера
К убы расстояний д в у х л ю б ы х планет от
С олнца относятся как квадраты их периодов
обращения:
(4.4)
где Л) и Г) — расстояние и период о б р а щ е ­
ния планеты /, а Р.2 и Т2 — расстояние и пе­
риод обращ ения планеты 2. Кеплер устано­
вил, что в качестве расстояния К следует
брать главную полуось эллипса.
Логический метод, с помощью которого
Кеплер вывел эти три закона, носит н а з в а ­
ние индуктивного. В § 3 мы увидим, как
Ньютону удалось получить те ж е законы д е­
дуктивным методом. Ньютон сумел сф о р­
мулировать законы К еплера, исходя из з а ­
кона всемирного тяготения. В этом смысле
можно считать, что он объяснил, почему
планеты д виж утся по зак о н ам Кеплера.
О твет 2. Т ом у ж е сам ом у, что и на по­
верхности З ем ли или в лю бом д р у ­
гом месте. Э то у н и в е р с ал ьн ая посто­
янная.
П рим ер. Н а какой вы соте д о л ж е н д в и га тьс я сп ут­
ник « Р а н н я я п таш ка»? Этот ам ери кан ски й спутник
(фиг. 59) неопределенно д о л го п ари т над одной и
той ж е точкой зем ного эк в а то р а . А обусловлено это
тем, что его период об ращ ен и я равен периоду о б р а ­
щ ения Зем ли . М ы у ж е зн аем , что спутник, л етавш и й
на расстоян ии примерно 6400 км от центра Зем ли
(п е р в ы й 'со в е тс к и й искусственны й с п утн и к ), имел пе­
риод об ращ ен и я Г = 5 0 0 0 сек.
Д л я реш ения поставлен ной за д а ч и восп о л ьзу ем ­
ся 'третьим зак он ом К еплера. Б у д ем считать «п л ан е­
той» 1 спутник, «скользящ и й» н а д поверхностью З е м ­
ли. Тогда- /?| = 6400 км, Г, = 5 • 103 сек. Н ам нуж но
найти # 2 при условии, что период Т 2 равен 1 сутк ам ,
или 8 ,6 - 104 сек. Р азр еш и м (4.4) относи тельно # 2:
105
Т аким о б р азо м , спутник, пролетаю щ и й н ад э к в а т о ­
ром на вы соте прим ерно 40 ООО к м , б уд ет п ари ть над
одной и той ж е точкой зем ной поверхности (если, к о ­
нечно, он в р а щ а е т с я в ту ж е сторону, что и З е м л я ).
П р е д п о л о ж и м , что в этой з а д а ч е нуж н о найти вы ­
соту спутн ика с периодом о б р ащ ен и я 27,5 суток. П р о ­
д е л а в те ж е расчеты , получим , что вы сота р авн а
384 ООО км . Т ак о в а вы сота «первого» спутн ика З е м ­
ли. И м я его — Л у н а .
Фиг. 60. О р б и та
ной планеты .
первой искусствен ­
Д л я ср авн ен и я п риведен ы ор би ты Зем л и
и М ар са. Все три орби ты п р ед с т а вл я ю т со ­
бой эллипсы , хотя орби ты М арса и Зем л и
к а ж у тс я почти о кр у ж н о стя м и .
Орбита Марса
Афелий
искусственной
планет ы
§ 3. Вывод законов Кеплера
ДЕДУКЦИЯ
Примерно 300 лет н а з а д Ньютону у д а ­
лось д ать полный вывод законов Кеплера.
В действительности вычисления
Орбита искусственной планеты
Перигелий Ньютона превосходят математиискусотвенной ч е с к И Й ^уровень
ДЭННОЙ КНИГИ. Мы
\ планет ы
1
ж е попробуем д ать простое вычис­
ление законов Кеплера, не исполь­
Орбита Земли
IЗемля
зующее диф ф еренциального ис­
числения и отправляю щ ееся от
ньютоновского зак о н а всемирного
Марс
тяготения. Р ассмотрим сн ачала
частный случай третьего закона
'Точка выхода
Кеплера — случай, когда п лан е­
ракеты
на орбиту
ты движутся вокруг Солнца по
окружностям. В действительности
Планеты на схеме показаны о р б и т ы ВСеХ П Л Э Н в Т , З Э ИС К Л ЮЧ е в момент максимального
сближения ракеты с Луной НИ6 М Н л у Т О Н И Я , О Ч б Н Ь М Я Л О ОТЛИ-
чаются от окружностей, причем
Солнце находится в их общем
центре. Н а фиг. 60 дано точное изображ ение
(в соответствующем масш табе) орбит Земли
и М арса. Д а ж е самый придирчивый глаз не
сумеет отличить орбиты последних от ок­
ружностей. Орбита ж е первой искусственной
планеты совершенно явно вытянута.
Мы сравним периоды обращ ения п л а ­
нет 1 и 2 (фиг. 62). Исходным пунктом, как
обычно, будет второй закон Ньютона
/Г1 = /И1а 1.
(4.5)
Поскольку планета 1 дви ж ется равномерно
по окружности, ее единственным ускорением
будет центростремительное ускорение. Воет
пользуемся на свой страх и риск формулой
(2.16) для центростремительного ускорения,
которая содерж ит период Г:
4 -2
а, = - ^ 5 - Я,м
1
П од ставл яя это вы раж ение в (4.5), п олу­
чаем
4л2
(4.6)
Кг
1
Каково происхождение силы Р\? Конечно,
она обусловлена силой тяж ести, грав и тац и ­
онным притяжением планеты 1 Солнцем, ко ­
торое описывается законом всемирного т я ­
готения Нью тона (4.1). И так, мы можем
подставить
Р1 = М 1
О
Мамх
Л?
в левую часть (4.6), что даст
а
щ
=
4тс'2 р
М1
г2 1'
х т\
(4.7)
Таким образом,
4тс2
г,
-# , = 0
ОМ
4тг2
В опрос 3. И стинно или л о ж н о у т в е р ж ­
дение: р езу л ьти р у ю щ ая сила, д ей ст­
вую щ ая на Л у н у , р авн а сум м е цент­
рострем ительной
и гравитац ионной
сил?
М5
(4.8)
Заметьте, что это равенство не содерж ит
массы планеты 1. Точно такой ж е расчет
можно повторить и для планеты 2, расстоя­
ние от которой до Солнца равно Я 2:
ОМ,
4п2
(4.9)
107
в момент
^ высадки
\
на Вен
Меркурий - >
Положение!Венеры
и Земли в момент
старта ракеты
,на Венеру \
________
^ Земля^
_Земля—Венера, а о о ооо ооо ^
Положение
"
.__ .._____ З в М Л Я -М о р ^
Марса и Земли
в момент старта
ракеты на Марс
Фиг. 61. П ре д п о л а га е м ы е тр аектори и
косм ического п олета на М арс и В е­
неру.
З а м е т ь т е, что п уть косм ического к о р а б л я
всегда п р е д с т а в л я е т собой ч асть эл л и п са,
причем С олнце н ах о д и тся в одном из его
ф окусов.
П р и равн ивая левые
(4.8) и (4.9), получаем
Г?
Т1 22
или
части
выражений
А -
4
Это и есть третий закон Кеплера. Вывод
его для более общего случая эллиптической
орбиты гораздо сложнее, и мы не будем при­
водить его здесь.
П р и м ер I. Р ассто ян и е от М ар са д о С олнца на
52% больш е р ассто ян и я от З ем л и до С олнца. К ак о ва
п род о лж и тел ьн о сть года на М арсе?
Т ак к ак
К Марс
^Земля
= 1 ,5 2 ,
Т Марс = 1 ^ 3 ,5 ■ Г з е м л я =
О твет 3. Л о ж н о . О бе силы п р е д с та в ­
л яю т собой одн о и то же.
М арс
__
(1,52)3
Зем ля
1 ,87 года.
П реж де чем перейти к выводу второго
закона Кеплера, попытаемся выудить еще
кое-какие сведения из формулы (4.8). Эту
формулу можно использовать для вычис-
ления массы Солнца. В ы р а ж а я М в из (4.8),
получаем
4-2Я?
О Т2
(4-10)
где ^1 и Т] — расстояние и период для л ю ­
бой планеты (например, д ля З е м л и ) .И К а ­
вендиш, и задолго до него у ж е знали, чему
равно Г] для Земли. Это один год, или
3 ,1 5 -107 сек. Из астрономических н аб л ю д е­
ний известно расстояние от Земли до С о л н ­
ца /?1 = 1,5-1013 с м . П од ста вл яя эти данные
в (4.10), получаем М 3= 2 -1 0 33 г.
Вычисления, использованные при вы во­
де (4.10), можно применить к любому спут­
нику, вращ аю щ ем уся вокруг центрального
тела массы М а. С ледовательно, мы можем
применить (4.10) в случае одного из спут­
ников Юпитера, движ ущ егося по орбите р а ­
диусом
с периодом Т\. Конечно, М 3 надо
заменить массой Юпитера М у В этом случае
мы получим вместо (4.10)
з
М: = -— а
(4.11)
1
от2
Возьмем для наших вычислений спутник
Юпитера, назы ваемы й Ио. Галилей и зм е­
рил его период 7'1= 1 ,7 7 д н я = 1 ,5 3 - 1 0 5 се/с.
Расстояние
от
спутника до
Ю питера
^1 = 4,22-10 10 см. П од ставл яя эти величины
в (4.11), получаем
М г = 1,9 • 1030 г.
В опрос 4. И стинно или л о ж н о у т в е р ж ­
дение: если косм он авт вы клю чает д в и ­
гатель, то косм ический к о р аб л ь пе­
рестает у ско р яться?
Эти вычисления демонстрируют могущество
ньютоновского закона всемирного тяготения.
П ока мы вычислили с его помощью массы
Земли, Солнца и планет, имеющих спутники.
Мы можем т а к ж е найти расстояния до всех
планет, выразив эти расстояния через р а с ­
стояние от Земли до Солнца. Д л я этого надо
просто п онаблю дать за небом, чтобы у с т а ­
новить, за какое время планета соверш ает
один оборот.
П р и м ер 2. Ч ем у равн о отнош ение скоростей д в у х
п ланет на фиг. 62?
109
Фиг. 62. Д в и ж е н и е планет по разн ы м
круговы м орб и там (к вы воду .третьего за к о н а К е п л ер а ).
Д ля
о твета
лучш е
и с п о л ьзо ва ть
формулу
а\ = и \ ! Я \ д л я цен трострем и тел ьн ого ускорени я. Тогд а (4 5 ) при н и м ает вид
Р1= М
К*
1 *> '
или
Г 2
0?/?1 = 0 М 5.
А н ал о ги ч н о ,
/?2 = 0М5.
П р и р ав н и в а я левы е части, получаем
— ^2 ^2»
ИЛИ
°1 _ ] / _#2_
И2
Г /?1 '
Теперь приведем простой вывод второго з а ­
кона Кеплера для случая плоской геомет­
рии.
Второй закон К еплера — закон равных
площ адей — мы выведем, воспользовавш ись
фиг. 63. Рассмотрим три близких положения
Р ь Р2 и Р3 планеты на орбите. Будем счи­
тать, что планета проходит каж д ы й из о т­
резков Р\Р2 и Р2Р3 за 1 сек. Тогда р асстоя­
ние меж ду Р\ и Р2 численно равно скорости
У] планеты, а Р 2Р з — ее скорости у2 в следу­
ющую секунду. По первому закону Н ьютона
компонента скорости, п ерп ен ди кулярная л и ­
нии 8 Р 2, долж н а остаться неизменной, по­
скольку составл яю щ ая силы в этом н а п р а в ­
лении равна нулю (сила н ап р ав л ен а вдоль
З Р 2 к Солнцу) .Иными словами, (ох) х = (у2)хП л ощ адь,
которую описывает з а
пер­
вую секунду линия, соединяю щ ая планету
с
Солнцем,— это
площ ад ь
треугольни­
ка 8Р\Р2; за вторую секунду — площ адь
о н н ая сила.
ди равны. Зам етьте, что в этом выводе мы
Ф иг. 63. П о с л ед о ва тел ьн ы е п о л о ж е ­
ния Р \, Я 2 и Я3 планеты через
I сек.
П л о щ а д ь З Р 1Рг, о п и с ы в ае м а я за первую
секунду, д о л ж н а б ы ть равн а п ло щ ади
5Р гР 3, оп исы ваем ой з а вторую секунду.
совершенно не пользовались тем фактом,
что сила тяж ести обратно пропорциональ­
на кв ад рату расстояния. Вывод б а зи р о в а л ­
ся только на том, что. сила н аправлена по
Солнце
линии, соединяющей оба взаимодействую ­
щих тела г>. Таким образом, второй закон
Кеплера ока зал ся более общим, чем д ва д р у ­
гих. Он справедлив и для сил, у которых нет
зависимости,
обратно
пропорциональной
кв ад р ату расстояния.
С ам ы м трудным является вывод первого
закона К еплера. Обычно для этого' п ользу­
ются высшей математикой (д и ф ф еренц и аль­
ными уравн ен иям и ), и вывод оказы вается
довольно громоздким.
Существует вывод, не использующий
дифф еренциального исчисления. Однако он
слишком громоздкий и запутанный, чтобы
останавли ваться на нем.
П р е ж д е чем закончить этот п ар агр а ф ,
рассмотрим ошибку, которую часто д елаю т
учащиеся. Мы знаем, что д ля любой п л а н е:
ты гравитационное притяжение равно и про­
тивоположно центробежной силе. Почему ж е
тогда результирую щ ая сила не является в ек­
торной суммой обоих и, следовательно, не
об р ащ ается в нуль? Конечно, если бы ре­
зультирую щ ая действующих на планету сил
равн ял ась нулю, то согласно первому з а к о ­
ну Нью тона планета д ви гал ась бы не по о к­
ружности, а вдоль прямой. К а к указы вал о сь
на стр-. 63, центробеж ная сила — это
фиктивная сила, которая возникает только
во вр ащ аю щ ей ся системе отсчета. С другой
стороны, ка к центростремительная, т а к и
1
Т аки е силы н езависи м о от их величины и при ро­
ды н а зы в аю тся центральными. — Пр им . перев.
111
гравитационная силы существуют, однако
обе они представляю т собой одно и то же.
Согласно второму закону Ньютона, Рв =
= М ас, где Ра — сила, обусловленная тяго ­
тением, а ас — ускорение, вызванное си­
лой Ра (в случае движ ения по окружности
это центростремительное ускорение).
§ 4. Вес и невесомость
ЧЕЛОВЕК ВЕСИТ СТОЛЬКО, СКОЛЬКО ЕМУ КАЖЕТСЯ
Среди преподавателей физики нет едино­
душия, как следует определить вес. Мы вос­
пользуемся в этой книге определением, кото­
рое имеет смысл с точки зрения физиологии.
Согласно наш ему определению вес челове­
к а — это то, что он измерил бы, взвеш ивая
самого себя на пружинных (типа медицин­
ских) весах.
Весом тела мы назы ваем силу, с которой
тело давит на пол *>. В некоторых книгах вес
тела определяется как гравитационная сила,
действую щ ая на тело. Но в этом случае кос­
монавт никогда не был бы в состоянии не­
весомости. В подобных случаях оба опреде­
ления несовместимы.
К а к бы то ни было, вес тела п ред став л я­
ет собой силу и измеряется в ньютонах или
динах. Физики обычно не измеряю т вес в
граммах, т а к как это единица измерения
массы, а не с и л ы 2). Пусть Р ^ — вес тела с
■> Это определени е не яв л я е т с я полны м, т а к к ак
оно не о х в а т ы в а е т слу ч ая, ко гд а человек находи тся в
п л ав ател ьн ом бассейне. Ч тобы учесть и так у ю в о з­
м ож ность, мы д о л ж н ы подойти к определению чисто
ф изиологически и с к а за ть , что вес человека проп ор­
ционален той силе, с которой ж и д к о с ть в пол укруг­
лы х к а н а л а х внутрен него уха д ей ств у ет на нервны е
окончания.
2> А н глий ская система мер в этом отнош ении о с о ­
бенно за п у т а н а . Н ап ри м ер, единицей силы в этой сис­
тем е я в л яется фунт (ф), которы й оп ред ел яется с л е ­
дую щ им образом : сила в 1 ф со о б щ ает м ассе в 1 ф
ускорение 32 фут/сек2. О дно и то ж е слово фунт ис­
п ользуется д л я обозн ач ен и я д в у х соверш енн о р а зл и ч ­
ных понятий! Ч тобы и зб еж а ть путан ицы , мы в этой
книге не будем п о л ь зо в аться английской единицей
силы.
Фиг. 64. Т ело на поверхности зем ли,
(/гр ел ки у к а зы в а ю т точки п р и л о ж е ­
ния сит.
/Кнрмые стрелки - си л ы .
п р и л о ж ен н ы е
\ / ; Р ф д е й ству ет на п о д ставку .
к
массой М. Если тело покоится на поверхно­
сти земли (фиг. 64), то величина Р рез д о л ­
ж н а быть равна нулю (здесь мы пренебре­
гаем слабы м эффектом в ращ ения З е м л и ).
Величина Р рсз- это Р с плюс Р ' - - реакция
земной поверхности
Р рез= -Р 0 + Р '.
(4 -12)
По третьему закону Н ью тона эта реакция
всегда в точности равна и противоположна
силе, с которой тело М действует на Зем лю
(и которую мы назвали весом Рк ). Таким
образом,
Р
л ' = — лР ъи
П од ставл яя в (4.12), получаем
^*рез
^ о ~~ *«»
или
Рцо = Р (3
Ррез-
(4-13)
В нашем случае тело М покоится на поверх­
ности земли и ^ Роз долж но быть равно нулю,
т. е.
или
= М д,
п редставляет собой вес тела с массой М,
покоящегося на земной поверхности.
П редполож им теперь, что опора, на ко­
торой леж ит тело, дви ж ется вниз с ускоре­
нием а. Подобное происходит, когда тело М
находится в лифте. Тогда Ррю — М а и вес
можно найти, п одставляя в (4.13) величину
Р-ш =
или
~ М а'
=
— а),
если ускорение н аправлено вниз. Вы види­
те, что всякий раз, как только лифт н ач и н а­
ет двигаться вниз, вес человека ум еньш ает­
ся. Этот эффект ощ ущ ается не только внут­
ренним ухом, но и всеми внутренними о р г а ­
нами (например, ж елуд ком ).
113
Фиг. 66. Т ак п р е д с та в л я ет себе х у ­
д о ж н и к -к а р и к а ту р и с т
п асс а ж и р о в
л и ф та, спускаю щ егося с ускорением ,
превы ш аю щ им
Фиг. 67. С ам о л ет д в и ж е тс я с таким
гори зон тал ьн ы м ускорением , что вес
его п асс а ж и р о в у д в а и в ае т ся .
а
6
Если лифт ускоряется вверх, мы долж ны
изменить зн ак у а. Тогда РЮ= М (^ + а ) . Если
бы лиф т свободно падал, то а = § и, ка к сл е­
дует
из
написанного
выше
равенства
Р ю= —
— °)> вес был бы равен нулю. Это
состояние н азы вается состоянием невесомо­
сти. П а с с а ж и р ы лифта выглядели бы тогда
подобно испытателям на фиг. 65 или д ев у ш ­
ке, изображ енной на фотографии, откры ваю ­
щей эту главу.
Все предметы в лифте свободно парили
бы в воздухе до тех пор, пока кабина не ос­
тановится. И з гл. 2 мы знаем, что все спутни­
ки и снаряды д виж утся подобно свободно
падаю щ им телам. П оэтому пассаж и ры м е ж ­
планетного кор абл я д олж ны испытывать со­
стояние невесомости, ка к только будет и з­
расходовано все горючее или выключены
двигатели. Им будет нелегко напиться воды,
так ка к вода выльется из стакан а и будет
пл а в ать в воздухе в виде большой капли.
М ож но достигнуть состояния невесомости и
в обычном самолете. Д л я этого просто надо
вести самолет по параболической тр а е к т о ­
рии, подобной траектории сн аряда, летящ его
с такой ж е горизонтальной составляю щ ей
скорости. Во время такого полета мотор, ко­
нечно, долж ен работать. Его энергия будет
затр ачи ваться на преодоление сопротивле­
ния воздуха. При этом п ассаж и р ы смогут
находиться в состоянии невесомости более
15 сек. Н и ж е мы приводим вы держ ку из
статьи В. Ю нга в ж у р н а л е «Л айф », в кото­
рой описано ощущение невесомости.
«С вободны й полет в состоян и и невесом ости при­
д а е т л егк о сть не тольк о тел у, но и д уху. В спом инаю ,
к а к нелепо я у х м ы л ял с я, г л я д я на соседей, к о гд а мне
откр ы л ся этот новы й мир. Т ру д н о бы ло понять, где
«верх», а где «низ». К огда сам о л е т начал очередной,
третий ' р а з м ан ев р и р о в а ть , мне ничего не стоило,
энергично о ттол к н увш и сь от п ол а носкам и ног, «про­
плы ть» через всю к аб и н у с а м о л е т а . К огда я достиг
проти во п о л о ж н о й стенки каб и н ы , м айор Б р а у н пой­
м ал меня п рям о в в оздухе, иначе я влетел бы в к а ­
бину пилотов. Х отя он креп ко у х в ати л ся за непо­
д в и ж н у ю д е т а л ь о б о р у д о ва н и я к аб ины , все ж е, чтобы
остан о в и ть м еня, ем у п о тр еб о в ал о сь нем ал ое усилие,
ибо н евесом ость не у н и ч т о ж а ет им пульса т ел а . О т­
толкн увш и сь от его руки, я л егк о взл етел к потолку».
115
Если бы лиф т опускался с ускорением,
превыш ающим
то со зд а л а с ь бы ситуация,
п о казанн ая на фиг. 66. Здесь, п равда, есть
некая неправдоподобность: п ассаж и ры чув­
ствовали бы себя гораздо лучше, если бы они
на потолке стояли ногами, а не головой.
П р и м е р I. Д о п усти м , что п а с с а ж и р ы с ам о л ето в
не испы ты ваю т неприятны х ощ ущ ений, если только
их вес не ув ел и ч и в ается более чем в д в о е ( Р ю= 2 М д ) .
К ак о е м ак си м ал ьн о е ускорени е в горизонтал ьной
плоскости д о п у ск а ется этим услови ем ?
П усть
а —• иском ое
м ак си м ал ьн о е
ускорение.
К ресло с ам о л ета всегда в о зд е й с тв у е т на п а с с а ж и р а
с силой (— /^ш). Т аким о б р а зо м ,
^рез — Ро ^тю ~
М а,
р' = М а + Р т.
З н ач ен и я Рт и Р а равн ы с оответствен н о 2 М д и Мд.
О д н ак о н а п р ав л ен ы они п о -р а зн о м у : Р а — вниз, а
М а — гори зон тал ьн о. Эти д в а в ек то р а скл а д ы в аю т с я,
как п о к а за н о на фиг. 67. П о теорем е П и ф аго р а
М а = У (2М д ) 2 — (МдУ2 ,
Фиг. 68. С к а ты в ан и е вагонёток.
а =
|/ 3 >
П р и м е р 2. В агонетки а тт р а к ц и о н а «А м ериканские
горы» (фиг. 68) р а зв и в аю т м акси м ал ьн у ю скорость
где Я
р ад и у с у глуб л ен и я. К аки м б уд ет
вес п асс а ж и р о в на дн е углуб л ен и я?
Вес м о ж н о найти, вы числив Р рез и п од став и в р е ­
зу л ь т а т в (4.13). Р рея м ож н о найти из второго зак о н а
Н ью тона / ,'р е з— М а. Ч ем у р авн о а: сум м е д и ц ен тро­
стрем и тел ьн ого ускорения или просто ц е н трострем и ­
тельн ом у ускорению ? Х отя си л а т я ж е ст и и м ож ет
в л и ять на д в и ж е н и е , ускорение о п р е д е л яется к а к с к о ­
рость изм енения
скорости и, к а к бы ло видно из
фиг. 20, р авн о V2|Н■ П о д с т а в л я я о —/ 4 д Н в это в ы р а ­
ж ени е, мы получаем
- = 4*.
С л ед о в ател ь н о , Р рез1—4 М д и н а п р а в л е н а вверх.
В ектор — Р рез им еет д л и н у 4 М д и н ап рав лен
вниз. К нем у след у ет п ри б ав и ть вектор Р о длиной
М д и н ап равлен н ы й т а к ж е вн и з. В этом слу ч ае вес, с о ­
гласно (4.13), равен 4 М д + М д — 5 М д . П а с с а ж и р ы б у ­
д у т о щ у щ а ть п яти к ратн ы й вес.
116
§ 5. Гравитационная масса
Ч Т О У С К О РЯ Е ТС Я ?
В этой книге мы используем термины
масса и инертная масса на равных о сн ова­
ниях. В гл. 3 мы видели, что массу (или
инертную массу) тела мож но определить,
п риклады вая к нему силу и измеряя со­
ответствующее
ускорение.
Отношение
^рез1а и есть инертная м асса предмета. Но
нет никаких априорных оснований, по кото­
рым гравитационная сила, действую щ ая на
тело, была бы пропорциональна инертной
массе. Н асколько мы знаем, она точно т а к же
могла бы быть пропорциональна числу нейт­
ронов в теле. В действительности число нейт.
ронов в атом е пропорционально массе атома.
О днако водород, как газообразны й, т а к и
жидкий, не содерж ит нейтронов и, с л ед о в а­
тельно, сила тяж ести не д о л ж н а бы ла бы
действовать на водород. Ж и д ки й водород
был бы невесомым. О д н ако если поставить
опыт и измерить гравитационную силу, д ей ­
ствующую на водород (или что-либо ещ е),
то мы обнаруж и м в пределах ошибок и зм е­
рений, что гр авитационная сила пропорцио­
нальна инертной массе предмета. Подобное
не имеет места в случае электростатических
сил. Зд есь Р = С1\С}21г2 п редставляет собой
силу, которая действует м еж д у телами 1 и
2, а (21 и <Э2 — электрические заряды этих
тел. Таким образом, предметы с большой
массой могут иметь маленький электриче­
ский зар я д , и наоборот.
Ньютоновский закон всемирного тяго те­
ния мож но было бы зап и сать в более об ­
щем виде:
где С} 1 и С?2 — гравитационные зар я ды тел 1
и 2 (которые не надо путать с электриче­
скими з а р я д а м и ). Теперь все дело в экспе­
риментальной проверке: будет ли С} всегда
пропорционально М , каким бы ни было тело?
Н ам хотелось бы подчеркнуть, что не сущ е­
ствует априорной причины, по которой г р а ­
117
витационный з а р я д (н азы ваем ы й т а к ж е г р а ­
витационной массой) долж ен был бы быть
пропорционален инертной массе. Более того,
если гравитационная и инертная массы о к а ­
зались бы в точности одинаковы, мы о ткры ­
ли бы новый фундаментальны й физический
закон, подобный закону сохранения импуль­
са или зак он ам Ньютона. Отношение г р а ­
витационной и инертной масс было недавно
измерено с высокой точностью для самых
разнообразны х элементов и о казал ось для
всех веществ одинаковым в пределах точ­
ности эксперимента,
которая достигала
10-10. По этой причине считается, что г р а ­
витационная и инертная массы тож дествен ­
ны.
Этот основной
постулат является
отправной точкой общей теории относитель­
ности Эйнштейна. Эквивалентность г р а в и т а ­
ционной и инертной ма[СС н азы вается п р и н ­
ципом эквивалентности-, о нем говорится
более детально в гл. 11.
П рим ер. П о к а ж и те , к ак и м о б р азо м точны е и зм е­
рения периода колебани й
простого гарм они ческого
м аятн и ка за в и с я т от отнош ения грави тац и он н ой и
инертной масс.
П усть <3*. — гр ав и т ац и о н н а я м асса Зем ли , а (За —
гр ав и т ац и о н н а я м асса гр у зи к а
м аятн и к а , которы й
сдел ан из вещ ества А. Т огда гр ав и т ац и о н н а я си л а,
д е й с тв у ю щ ая на грузик, р авн а
2
Величина СС)е/Ке п р е д с та в л я ет собой ф изическую
константу, к о т о р а я зав и си т от р а зм ер о в Зем ли . О б о ­
значим ее через ^ 0:
Т огда
= 8о ®А ■
С огласно ф орм ул е (3.&), в вы числении п ериода прос*
того гарм они ческого м аятн и ка
Ррез
Вопрос 5. И сти нно или л о ж н о у т в е р ж ­
дение: если чел овек не у с ко р яется, то
он д о л ж ен бы ть в состоянии невесо­
мости?
ИЛИ
(МАа)
(ё^)
т а к что
_а___0 а_ _ёо_
х
1
~ МА
'
П ри простом гарм они ческом д в и ж ен и и эта п остоян н ая
д о л ж н а бы ть р авн а 4 я 2/7"2 (см. стр. 93 ). Т аким обра»
зом,
4д2 _
Т*
~
ёо
А
I
ИЛИ
7' = 2л 1 / ' —
'
ёо
Е сли отнош ение М а /С}а м ен яется от вещ ества к в е ­
щ еству, то изм енение в ещ ества гр у зи к а д о л ж н о со­
п р о в о ж д а ть ся изменением п ериода колебани й.
О твет 5. Л о ж н о . Ч ел ов ек, н а х о д я щ и й ­
ся на планете, м о ж ет не иметь у с к о ­
рения, но он б у д ет им еть вес, равны й
той силе тяж е ст и , с которой п л ан ета
дей ствует на него.
С огласно принципу эквивалентности, ис­
пыты ваю щ ая ускорение л аб о р ато р и я м а т е ­
матически эквивалентна покоящейся, но н а ­
ходящ ейся в эквивалентном поле силы т я ­
жести. Одно из следствий принципа э к в и в а ­
лентности состоит в том, что нельзя у с т а ­
новить результирую щую
гравитационную
силу, действующую на Солнечную систему.
Н асколько нам известно, могут сущ ество­
вать гигантские удаленны е массы (столь д а ­
лекие, что их трудно об н а р уж и ть), о к а з ы ­
ваю щ ие гравитационное притяж ение на наш
ограниченный участок Вселенной. Согласно
принципу эквивалентности, все ограничен­
ные тел а «падали» бы, находясь в условиях
невесомости, в направлении этих удаленных
масс с одинаковым ускорением и мы не об ­
н аруж и ли бы вообщ е никаких локальны х
эффектов. Мы не могли бы почувствовать,
«падаем » мы или нет, и зарегистрир овать у с ­
корение относительно окр уж аю щ и х нас
предметов. Н а ш а ограниченная система к а ­
за л а с ь бы нам инерциальной системой отсче­
та, в то время ка к с точки зрения н а б л ю д а ­
теля, находящ егося на удаленных массах,
мы двигались бы с ускорением. В этом см ы с­
ле старое определение веса ка к результиру­
ющей гравитационной силы, действующей на
предмет, стало бы бессмысленным. Д ел о
в том, что для определения точного значения
119
результирующей гравитационной силы, д ей ­
ствующей на предмет, нам надо было бы
учесть наличие всего вещества во Вселенной,
д а ж е если бы мы не могли его обнаружить.
Д альн ей ш и е следствия принципа э к в и в а ­
лентности будут об суж д аться в гл. 11. О с­
новное, что нам хотелось бы сейчас п од ­
черкнуть, это то, что согласно этому прин­
ципу мы не можем до конца понять
утверждение Р = т а или силы тяж ести, не
учитывая влияни я всего вещества во Все­
ленной.
Задачи
1. М ож но ли провести опы т К а ве н д и ш а по « в зв еш и в а .
нию Зем ли » на М арсе? П ол у ч и тся ли так ой ж е р е ­
зу л ь та т?
2. М ож ем ли мы, исходя из третьего за к о н а К еп л ера,
ср ав н и ть периоды об ращ ен и я Л у н ы и Зем ли ? М ож но
ли сравн и ть периоды о б р ащ ен и я Л у н ы и спутника
Ю пи тера? М о ж н о ли с р ав н и ть периоды об ращ ен и я
всех спутн иков Ю питера?
3. К а к о ва р азм ер н о сть О в систем е М К 5?
4. Л и ф т н ачи н ает д в и га тьс я в в ер х с начал ьны м у ско ­
рением 5 м /с е к 2.
а) Ч то п рои зойдет с к а ж у щ и м с я весом п а с с а ж и ­
ров (увеличится, ум ен ьш и тся, остан ется п р е ж ­
ним) ?
б) Ч то прои зой дет с периодом колеб ани й м а я т ­
ника в так о м л и ф те (увеличится, ум ен ьш ится,
остан ется преж н им ) ?
в) К о гд а л и ф т дости гает скорости 10 м/сек, он
п р о д о л ж а ет д в и га тьс я с так ой постоянной ско ­
ростью . Ч то п рои зойдет с к а ж у щ и м с я весом
п а сс а ж и р о в в этом слу ч ае по сравнению с их
весом в состоянии покоя (увел и ч и тся, у м ен ь­
ш ится, остан ется п р е ж н и м )?
5. Если бы д и ам е тр Зем ли бы л в двое меньш е, то ее
м асса с о с т а в л я л а бы '/в часть н астоящ ей м ассы . К а ­
к о в а бы ла бы величина § на т ак о й ум еньш енной вдвое
Зем ле?
6 . Е сли бы м асса Л у н ы бы ла вдвое больш е, а в р а ­
щ а л а с ь бы она на той ж е орбите, к ак о в бы л бы период ее об ращ ен и я?
7. М асса Л у н ы с о ст ав л я е т 0,012 от м ассы Зем ли . Ее
д и ам е тр в 4 р а за меньш е д и ам е тр а Зем ли . Ч ем у р а в ­
на величина ^ на Л уне?
120
8. Л и ф т н ачи н ает д в и ж ен и е с ускорени ем 5 м/сек2.
С колько б у д ет весить человек в так о м ли ф те, если
его м ас с а 60 кг? Л и ф т, п од н и м аясь, р а зв и л п о ­
стоянн ую скорость 10 м/сек. К а к о в при этом вес
ч еловека? С кол ько б уд ет веси ть человек, если трос
оборвется?
9. Ч ел овек весом 600 ньютон в х оди т в л и ф т на 50-м
э т а ж е 100-этаж ного зд ан и я и в ст а ет на весы. К огда
л и ф т н ач и н ает д в и га тьс я, человек видит, что весы по­
к азы в а ю т 720 ньютон в течение 5 сек, затем 600 нью­
тон в течение 20 сек и 480 ньютон в течение 5 сек,
после чего л и ф т о с та н а в л и в а е т с я на одном из к онеч­
ны х пунктов.
а) К у д а д в и г а л с я лиф т — вверх или вниз?
б) К а к о в а вы сота зд ан и я (подобны й м етод м о­
ж е т и сп о л ьзо вать ко см о н ав т, чтобы у зн ат ь , к а ­
кое р асстоян и е прош ел космический к о р а б л ь )?
10. К а к о в вес человека в косм ическом к о р аб л е из за ­
д ачи 19 гл. 3 (стр. 9 7 )? О б ы ч н ая м асса его 60 кг.
11. Ч ел о в ек м ассой 50 кг н а ч а л сп уск аться
ск о л ь зя по веревке. Его ускорени е '/т 8 а) К а к о в к аж у щ и й с я вес человека'.
б) К а к о во н а тяж е н и е веревки?
вниз,
12. Г азеты писали, что с о б ак а на втором советском
искусственном спутн ике н а х о д и л а сь в состоянии не­
весом ости. О д н ак о набл ю ден и я п о к азал и , что с п у т­
ник во в р ем я полета в р ащ ал с я . П р е д п о л о ж и м , что это
вращ ен и е прои сходи т с периодом 10 сек, а с о б ак а н а ­
ходи тся на расстоян и и 245 см от оси в ращ ен и я. К а ­
ков вес со б ак и в эти х усл о в и ях по сравнению с ее
норм альны м весом ?
13. Р а к е т а , в которой н а х о д и л а сь мы ш ь массой 0,1 кг,
с та р ту е т в ер ти к ал ьн о вверх. К о гд а она д о сти гает вы ­
соты 50 км и скорости 980 м/сек, горю чее кон ч ается.
К акой б у д ет теперь м асса мыш и?
Фиг. 69. К з а д а ч е 14.
14. Н овы й спутник д в и ж е тс я на расстоян и и д в у х зе м ­
ных р ади усов (12 600 км) н а д поверхностью З ем ли
(фиг. 69).
а) Н а й д и те период о б р а щ е н и я нового спутн ика из
у слови я, что период сп утн и к а, л етящ его на не­
больш ой вы соте, равен 90 мин.
б) Ч ем у равн о ц ентрострем и тельное ускорение
нового спутн ика в е д и н и ц ах ц?
в) Ч ем у р авн о ц ентрострем и тельное ускорение
Л у н ы в еди н и ц ах § (р ассто ян и е до Л у н ы р а в ­
но 60 зем ны м р а д и у с а м )?
15. Р а с ст о я н и е м еж д у ц ен трам и
д в у х оди н аковы х
ш аров р авн о 1 м. С ила их гр ави тац и он н ого п р и т я ж е ­
ния р а в н а 1 ньютон. К ак овы их м ассы?
16. В некоторой точке п р о стр ан ств а м еж д у З ем лей и
Л ун ой си л а т я ж е ст и , о б у с л о в л е н н ая действием о б е­
их планет, р авн а нулю. Г де н а х о д и тс я эта точк а? Р ас121
с тоян и е от З е м л и до Л ун ы р авн о 384 000 км, м асса
Л у н ы с о ст ав л я е т 1,2% от м ассы Зем ли . В ром ан е
Ж ю л я В ерна « И з пуш ки на Л у н у » ска за н о , что п а с ­
саж и р ы с н а р я д а испы тали состояние невесомости,
лиш ь п р о л етая через эту точку. О б ъясните, почему
это неверно.
Фиг. 70. К за д а ч е 17.
17. В этой з а д а ч е мы сдел аем р асч ет а ттр ак ц и о н а, в
котором ж ел а ю щ и е могут исп ы тать состояние неве­
сом ости в течение к ороткого
п р о м еж у тк а времени.
Д в е «ракеты » укреп лены на 20-м етровы х ш тан гах и
в р ащ аю тс я в в ерти кал ьн ой плоскости со скоростью V
(ф иг. 70). К а к о в а д о л ж н а бы ть величина этой ско ­
рости, чтобы п а сс а ж и р ы стал и невесом ы ми, в в е р х ­
нем п олож ен ии «ракеты »? Ч ем у б уд ет равен их вес
в ниж нем п олож ен ии «ракеты »?
18. Вы числите величину д на расстоян ии 100 км от
поверхности Зем ли .
19. З н а я величину О и рассто ян и е от З ем ли д о С ол н ­
ца (150 млн. к м ) , р ассчи тай те м ассу С олнца.
20. П о к а ж и те , зн а я р асстоян и е от Ю пи тера до о д ­
ного из его спутн иков и период об ращ ен и я п осл ед н е­
го, к ак найти м ассу Ю питера.
21. К а к о в а скорость V спутн ика Зем ли , в р ащ аю щ егося по круговой орбите, если п о сл ед н яя у д а л ен а от
земной поверхности на расстоян и е А? В ы р ази те V че ­
рез р ад и у с З ем л и Я, к, д (ускорени е силы т я ж е ст и на
поверхности З е м л и ) . У в ели чи вается или ум ен ьш ается
скорость спутн ика при его «торм ож ении » в плотны х
слоях атм осф еры ?
Фиг. 71. К за д а ч е 22,
22. Спутник д в и ж е т с я по круговой орби те на вы со­
те А н ад поверхностью З ем ли (фиг. 71).
а) В ы рази те гр ави тац и он н ую си л у через к и д р у ­
гие п од ходящ и е величины.
б) Ч ем у р а в н а ц ен трострем и тел ьн ая сила?
в) Ч ем у р а в н а р езу л ьти р у ю щ ая сила?
г) В ы рази те скорость V через О, М е, # е и к.
д) Е сли к ум ен ьш ается, то что прои сходи т со ско­
ростью (увел и ч и в ается или у м ен ьш ае тс я )?
23. Е сли бы скорость Л уны у д в о и л ась , причем Л у н а
п р о д о л ж а л а бы дви ж ен и е по круговой орбите, то к а ­
ков был бы. р ад и у с этой орбиты ? Н а й д и те новый пе­
риод обращ ени я.
24. Н ай ди те силу п р и тяж ен и я к З е м л е тел а с м ас ­
сой 1 кг, н ах о д ящ его ся в м есте р а сп о л о ж ен и я Л уны .
К а к б уд ет п р и тяги в ать С олнце это тело, н а х о д я щ е е ­
ся в м есте р а сп о л о ж ен и я Л у н ы ? Р ас ст о ян и е от Л уны
д о С олнца 150 млн. км, о т З ем л и до Л уны —
384 тыс. км. Э ту за д а ч у легко реш ить, не зн а я ни С,
ни м асс З ем л и и С олнца.
122
ГЛАВА
МОМЕНТ
К О Л И Ч Е С Т В А Д ВИ Ж ЕН ИЯ
И Э НЕРГИЯ
М О М ЕН Т КОЛИЧЕСТВА
ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИЯ
”
Существует несколько основных законов
пРи Роды, имеющих математическую форму
законов сохранения. З а ко н сохранения г л а ­
сит, что в замкнутой системе некая ф изи­
ческая величина (нап р и м ер,пол н ы й импульс
или энергия) всегда остается постоянной
(или сохр ан я ется ).
П од замкнутой системой мы понимаем
систему частиц, не подверженную никакому
внешнему воздействию. Н а нее не долж ны
действовать внешние силы. Однако это не
н акл ад ы в ает никаких ограничений на внут­
ренние силы. Частицы могут взаимодейство­
вать меж ду собой любым способом. Законы
сохранения, которые мы будем изучать в
этой главе, все считаются точными законам и.
Д о сих пор не было обнаруж ено никаких
отклонений от этих законов. С одним из з а ­
конов сохранения — законом сохранения импульса — мы у ж е познакомились в гл. 3.
Теперь рассмотрим тесно связанный с ним
закон сохранения момента количества д в и ­
ж ения,
§ 1. Закон сохранения момента
количества движения
В Е Ч Н О Е В РА Щ Е Н И Е
Фиг. 72. З аш т р и х о в ан н ы е «треугол ь­
ники» п р ед став л яю т собой площ ади,
которы е опи сы вает за 1 сек п р ям ая,
соеди н яю щ ая
пл ан ету с Солнцем,
при двух п о л ож ен и ях планеты .
В конце предыдущей главы мы отмети­
ли, что вывод закона равных площадей
вовсе не связан с ньютоновским законом
всемирного тяготения. Действительно, закон
равных площ адей-— это частный случай
более общего закона сохранения момента ко­
личества движения. Посмотрите на фиг. 72,
Заш три хованн ы е треугольники п р ед став л я­
ют собой площади, которые описываются за
1 сек прямой, соединяющей планету с С олн ­
цем. П лощ ади этих треугольников соответ’/ г ^ Ю х , где
ственно равны ‘/2^1 ( ^ 1).
-составляю щ ая у, перпендикулярная Я.
Таким образом,
#1 • М
/?2 ■ М ^ 2) ±
Величина М ( ц | ) 1 — это
составл яю щ ая им-
Фиг. 73. Д е м о н с тр а ц и я за к о н а с о х р а ­
нения м ом ента к о л и чества д в и ж ен и я.
а — опы т
с
га н те л я м и ;
б — спортсмен
держ ит
кр у тя щ ееся
колесо.
а
за т е м
о с т ан ав л и в ае т его; в — спортсм ен р аск р у ­
ч и вает колесо, а за т е м п ер е во р а ч и ва е т его
60 см
пульса (Р\) ± , перпендикулярная линии
С ледовательно,
• {Р1), —- ^ 2 ■(Р2) I
(5 .1 )
В ел и ч и н а Я - Р х называется моментом
количества движения. Р авен ство (5.1) г л а ­
сит, что величина Р - Р ± остается постоян­
ной независимо от полож ения планеты на
орбите. Иными словами, полный момент ко­
личества движ ения Солнечной системы со­
хран яется (он никогда не уменьшается и не
увеличивается). Это у тверж дение сп р ав ед ­
ливо независимо от того, измеряется расстояние Р от Солнца или о т какой-нибудь
другой точки пространства, ускорение кото­
рой равно нулю. Закон сохранения момента
количества движ ения утвер ж д ает, что пол­
ный момент количества движ ения любой
замкнутой системы долж ен всегда о ст а в а т ь ­
ся неизменным. Этот закон выполняется
независимо от х а р а к т ер а взаимодействия
частиц системы меж ду собой. Он хорошо
проверялся, и не было об наруж ен о ни одно*,
го отклонения от него.
10 см
П ри м ер. С портсм ен л егкого веса, стоя на столике,
которы й м о ж ет в р а щ а т ь с я вок руг верти кал ьн ой о с и 1),
д е р ж и т в р азв ед ен н ы х р у к ах д в е т я ж е л ы е гантели
(фиг. 73). Е го п о д та л ки в ал и , пока он не н ачал в р а­
щ аться со скоростью один о б орот в секунду. З а т е м
спортсм ен согнул руки, п р и ж а в ган тели к груди. Ч то
прои зойдет?
Д о п у сти м , что гантели п ер в о н ач ал ь н о находи л и сь
на расстоян и и 60 см от оси в р ащ ен и я, а потом — на
расстоян ии 10 см. П рен еб реж ем моментом кол и чест­
ва д в и ж е н и я сам ого спортсм ен а по сравнению с м о ­
ментом количества д в и ж е н и я гантелей.
Н а ч а л ь н а я скорость ган телей
V^ = 2я К \|Т ^, где
/?1 = 6 0 см, 7"1— 1 сек. П олны й н ачал ьн ы й м ом ент к о ­
л ичества д в и ж е н и я равен
2 /?х М о г — 4лМ
Тг
где М — м асса к а ж д о й гантели. К о гд а руки согнуты ,
то полны й м ом ент кол и чества д в и ж е н и я равен
Я?
2/?2 МVо = 4пМ —?— .
Вопрос Г. Д о л ж н о ЛИ /?1 ( Р \ ) х
планеты 1 р а в н я т ь с я Я 2 ( Р г)±
планеты 2 ?
для
для
*> Т акое устройство носит н а зв а н и е с кам ьи Ж у Прим . перев.
ковского.
125
П о за к о н у с о х р ан ен и я м ом ен та количества д в и ж е н и я
эти д в а в ы р аж ен и я д о л ж н ы бы ть равн ы м еж д у с о ­
бой; таки м обр азо м ,
Т2 ~
3600
7"*^ —
36
' 1 сек'
1
сек.
И т ак , согнув руки, спортсм ен начн ет в р а щ а т ь с я
со скоростью 36 оборотов в 1 сек.
^
О тв ет 1. Н ет. О с та е тс я постоянны м
м ом ен т кол и чества д в и ж е н и я о д н о й и
той же планеты . У разл и чн ы х п ланет
и м ом енты различн ы е.
126
Еще одна классическая дем онстрация с
использованием вращ аю щ ей ся подставки —
спортсмен с в р ащ аю щ и м ся велосипедным
колесом (утяжеленным свинцовым ободом).
Н ах одящ ем уся в покое спортсмену вручают
вращ аю щ ееся велосипедное колесо и просят
д е р ж а ть его над головой и, касаясь рукой
обода, остановить вращ ение (фиг. 73, б).
П оскольку момент количества движ ения никакими ухищрениями не мож ет быть пере­
дан земле, спортсмен придет во вращ ение и
приобретет момент количества движения,
первоначально имевшийся у колеса.
В другой
демонстрации
покоящийся
спортсмен начинает раскручивать колесо,
д ер ж а его над головой. При этом он, конеч­
но, начинает вр ащ аться в противоположном
направлении с тем ж е моментом количества
движения, но направленны м в противопо­
ложную сторону. З а тем спортсмена просят
перевернуть колесо. В ыполняя просьбу, он
резко заторм о зит вращ ение и начнет в р а ­
щ аться в противоположном направлении по
отношению к первоначальному вращению.
При этом его собственный момент количества движ ения будет равен по величине моменту колеса и направлен в противоположную сторону (полный момент количества
движ ения д олж ен оставаться равным на-
чальному значению, которое было равно
н у л ю ). Если теперь спортсмен остановит ко­
лесо, касаясь обода, он сам придет в исход­
ное состояние покоя.
§ 2. Центр масс
В З В Е Ш Е Н Н О Е С Р Е Д Н Е Е ЗН А Ч Е Н И Е
Н а фиг. 74 изображ ено движ ение за м к н у ­
той системы. Она п р едставляет собой л е т я ­
щий разводной гаечный ключ. С умма внеш ­
них сил, действующих на него, равна нулю.
Заметьте, момент количества движения клю,ча не меняется; ключ в р ащ а ется с постоян­
ной скоростью вокруг точки, которую мы
Обозначили черным крестиком.
П о к аж ем , что эта особая точка, не участ­
в ую щ ая во вращении при отсутствии внеш ­
них сил, представляет собой центр масс.
К оордината х центра масс системы N частиц
определяется следующим образом:
=
(5.2)
М
где М — полная м асса всех частиц, Х\ — про­
екция на ось х расстояния до первой ч асти ­
цы
Скорость центра масс мы получим,
разделив обе части этого равенства на I,
Тогда
мN -
МХЛ±-
I
М
м
Вопрос 2. Ч то п рои зойдет со спорте*
меном на в р ащ аю щ е й ся п од ставк е,
если ем у в р у ч а т в р ащ аю щ е ес я к о ­
лесо, которое он за те м п е р ев о р а ч и в а ­
ет «вверх ногам и»?
где Р х — проекция на ось х полного и м пуль­
са системы. Согласно закону сохранения
импульса, составляю щ ие Р х, Р у и Р 2 при о т­
сутствии внешних сил д о лж н ы оставаться
неизменными. Отсюда следует, что н езав и ­
симо от того, в р ащ ается система или нет,
все три составляю щ ие скорости центра масс
127
Фиг. 74. С вобод н о
ной гаечны й ключ.
летящ и й р а зв о д ­
Д ей ств у ю щ ая на клю ч р е зу л ьти р у ю щ а я си ­
л а р авн а нулю . Клю ч равн ом ерно в р а щ а ­
ется вокруг ц ен тр а м асс, которы й помечен
.черным крести ко м .
долж ны быть постоянными. А это в свою
очередь означает, что при отсутствии внеш­
них сил центр масс д ви ж ется по прямой.
При свободном движ ении с вращением в
отсутствие внешних сил центр масс тверд о ­
го тела (типа разводного кл ю ч а), в соответ­
ствии с определением этого понятия, не в р а ­
щается и не ускоряется. Вот почему т в е р ­
дые тела и системы частиц всегда в р а щ а ю т ­
ся вокруг своего центра масс. Согласно
закону сохранения момента количества д в и ­
ж ения, З е м л я неизменно вращ а ется вокруг
своего центра масс с постоянной скоростью
Мы пренебрегаем действием внешних сил.
таких, ка к силы, вы зы ваю щ и е приливы и от­
ливы.
П р им ер . М асса Л у н ы с о с т а в л я е т 1,2% от массы
Зем ли . Р а с ст о я н и е от З е м л и д о Л у н ы 384 000 км. Где
р асп о л о ж ен центр м асс систем ы З е м л я — Л у н а ?
И зм ерим к о о р д и н ату х от центра З ем л и по н а ­
п равлени ю к Л у н е. Ф орм ул а (5.2) зап и ш ется в виде
хе
Мт хт
где Хе— 0 — к о о р д и н ат а Зем ли ,
о р д и н ата Л ун ы ;
=384 ООО км — ко-
М„
м е + м„
хс =
0,012
х 384 000 к м ,:
х с як 4600 км от ц ен тра З е м л и .
О твет 2. С портсм ен начнет в р ащ ат ь с я
в н ап равлен и и п ервон ачальн ого в р а ­
щ ения колеса с удвоенны м мом ентом
количестра д в и ж ен и я.
128
З е м л я и Л у н а д о л ж н ы в р а щ а т ь с я относи тельно этой
точки, д е л а я один о б орот за м есяц. Т аки м образом .
З е м л я с о ве р ш а е т один о б о р о т в м есяц относительно
некоторой точки, расп о л о ж ен н о й
в нутри земногс
ш ара.
Фиг. 75. М он ета б уд ет в р ащ атьс я,
д а ж е если в ек то р н а я сум м а сил Рх и
Рг р а в н а нулю.
§ 3. Статика1'
КАК И З Б Е Ж А Т Ь В РА Щ Е Н И Я
Мы видели, что полный импульс и м о­
мент количества движения системы будут
оставаться неизменными, если на систему
не действуют внешние силы. Выясним теперь,
возможны ли случаи, когда внешние силы
приложены, а импульс и момент количества
движения все ж е не меняются. Н а этот воп­
рос нужно ответить утвердительно. Вспомни­
те пример прижатого
к стене бруска
на стр. 86. Н а него действовали две силы,
сумма которых была равна нулю. К ак с л е­
дует из законов Ньютона, если векторная
сумма всех внешних сил равна нулю, то им­
пульс системы остается неизменным. Если
начальный импульс твердого тела равен
нулю, то он будет оставаться равным нулю
при условии, что векторная сумма всех внеш ­
них сил об ращ ается в нуль.
А что можно ск азать о вращ ательном
движении? Известно, что монету можно з а ­
ставить в ращ аться, приложив к ней равные
и противоположно направленные силы
и
как показано на фиг. 75. Хотя при этом
векторная сумма обеих сил равна нулю, м о­
мент количества движения монеты не о с т а ­
ется постоянным; он равен произведению
длины некоего отрезка на составляю щую
импульса, перпендикулярную направлению
этого отрезка. Т ак как скорость изменения
импульса равна силе, то можно показать,
что скорость изменения момента количества
движения равна произведению длины упо­
мянутого отрезка на перпендикулярную ему
составляю щую скорости изменения импуль­
са, т. е. на составляю щую силы. Величина
К - Р х (расстояние, умноженное на перпен­
дикулярную составляю щую силы) носит н а ­
звание момента силы (или вращательного
момента). Скорость изменения момента ко­
личества движения равна моменту силы.
■> Э тот п ар агр а ф при ж ел ан и и м ож но опустить.
Его м атери ал не с в язан с дальнейш им излож ением .
5— 176
129
Момент силы, вызы ваю щ ий вращ ение в
направлении против часовой стрелки, счи­
тается положительным; момент, в ы зы в аю ­
щий вращ ение в обратную сторону,— отри­
цательным. Таким образом, условие посто­
янства
момента
количества
д виж ения
твердого тел а состоит в том, чтобы сумма
моментов сил о б р ащ а л а сь в нуль. Говорят,
что твердое тело находится в статическом
равновесии, если силы, действующие на
него, таковы, что оно остается в покое. Итак,
существуют два условия статического р а в ­
новесия
У с л о в и е I. С умма моментов д о л ж н а
быть равна нулю.
У с л о в и е II. Векторная
д олж н а быть равна нулю.
сумма
сил
Если к твердому телу приложены три
внешние силы (скаж ем, в точках Я\, Я 2 и
Я з), то приведенные условия запиш утся в
виде
■^1 ' ( Г г ) ± +
# 2
• ( Р г)о . +
Р з
' ( Г 3 )1 =
О,
/ ='1 + / 72 + / :'з = 0.
Р асстояния /?1, Я 2 и Яз могут измеряться от
произвольной точки.
Ф иг. 76. С ем ья на кач ел ях.
Отец
Мать
- К , ——
— )■—
Ребенок
-К з —
П р и м е р 1. С ем ья к ач ае т ся на к ач ел ях . О тец весит
70 кг, м ать — 50 кг. О ни н а х о д я т с я на п р о ти в о п о л о ж ­
ны х кон ц ах 6-м етровой доски. В к ак о м м есте им н у ж ­
но посад ить ребен ка (вес к оторого 25 к г ) , чтобы д о с ­
к а у р а вн о в еси л ась (фиг. 76)?
П у сть Р ь Р2 и Р 3 — вес о т ц а, м атери и ребенка
соответственно. Б у д ем и зм ер ять м ом енты сил отн оси ­
тельн о точки опоры . О тец с о зд а е т м ом ент Я 1Р 1 , н а ­
правленн ы й против часовой стр ел ки (#1 = 3 м ) -, м ать
и
ребенок — отри ц ател ьн ы е
мом енты : — ЯгРг
и
— К 3Р3, н ап равлен н ы е по часовой стрел ке ( # 2 = 3 м,
а расстоян и е Яз н у ж н о о п р е д е л и ть ). С огласно у с л о ­
вию I,
К1Р1 - К 2Р2- К 3Р3 = 0.
Р а зр е ш и в это равен ство
В опрос 3. Е сл и все силы л е ж а т в о д ­
ной плоскости, то скол ько уравн ен и й
д а ю т услови я I и II?
относи тельно
# з, получим
Ч К а к п о к а за н о выш е, услови е I непосредственно
след у ет из зак о н о в Н ью тон а. Э то вов се не с а м о с то я ­
тельны й за к о н природы , к а к у т в е р ж д а е т с я в р я д е
курсов ф изики.
Ф иг. 77. Силы , дей ствую щ и е на л ес т ­
ницу со стороны чел овек а, стены и
зем ли.
Яз =
Яз =
М3/>
з . 70 — з • 50
• = 2 ,4 м .
25
П р и м е р 2. Л естн и ц а длин ой /- = 4 м п р и ставл ен а к
стене без трен и я, к а к п о к азан о на фиг. 77. М а к с и ­
м ал ь н а я сила трен и я м еж д у лестницей и полом
/ г/ = 200 ньютон. Н а к акую вы соту м о ж ет п од н ять ся
по л естнице человек весом 600 ньютон, п р е ж д е чем
лестница начн ет скользить? В есом лестницы по с р а в ­
нению с весом человека пренебречь.
П усть х — полож ен ие чел о в ек а на лестнице. Б у ­
дем и зм ер ять м ом енты сил относи тельно точки опоры
лестницы о пол. Учтем д в а м ом ен та: п олож ительн ы й ,
обусловленны й реакци ей стены Р и,, и отри ц ател ьн ы й ,
вы зван ны й весом Р с человека. К ом поненты Р т н Р а ,
перпенди кулярн ы е лестнице,
равн ы соответственно
(УЗ/2) Р,„ и Р о/2 . С огласно услови ю I, сум м а этих
м ом ентов р авн а
= 0,
.1 .
У словие II требует, чтобы сум м а го ри зон тал ьн ы х сил,
действую щ их на лестницу, бы л а р а в н а нулю , т. е.
Р( = Ри- О тсю да
У зр
1— 1 =
у* з -
-С
2П
00
П . • 4 = 2 ,3
* м.
600
В з а д а ч а х статики иногда возникает не­
обходимость найти две или три силы или
расстояния. Условия I и II д аю т три н е з а ­
висимых уравнения, которых достаточно д ля
нахож дения трех неизвестных величин. Р е ­
шение такой задачи обычно упрощается,
если вычислять в ращ ательны е моменты о т­
носительно точки, к которой прилож ена одна
или несколько сил.
§ 4. Энергия
ДЖ ОУЛИ И ЭРГИ
О твет 3. Три. У слови е II д а е т д в а
у р а вн ен и я, по одн о м у д л я к а ж д о й состав ляю щ ей силы .
5
Энергия в системе М К 5 определяется
следующим образом: телу сообщается единица энергии, если сила в 1 ньютон воздей131
ствует на него на расстоянии 1 м в н а п р а в ­
лении действия силы. Энергия в этой систе­
ме измеряется в к г - м 2/сек2. Т ак ж е к а к и в
случае силы, единица энергии получила спе­
циальное название — джоуль (дж ). В систе­
ме С 0 5 единица энергии н азы вается эргом.
С ила в 1 дин, воздействую щ ая на тело на
расстоянии 1 см, сообщ ает ему энергию в
1 эрг. Л егко найти связь между джоулем
и эр го м :
1 дж — 1 ньютон X 1 м —
= 106 д и н X 102 см =
= 107 эрг.
Кинетическая энергия
Рассмотрим
такой идеализированный
случай: тело с массой М свободно «парит» в
космическом пространстве. Пусть в некото­
рый момент времени к телу приклады вается
сила Р. С огласно второму закону Нью тона,
тело сразу ж е начнет двигаться с ускоре­
нием а = Р/М. Согласно формуле (2 .1 1 ),тело,
пройдя расстояние 5 , приобретет скорость V.
V2 = 2аз,
или
и
- у М и2 — Рз.
Вы видите, что величина */2 МV2 числен­
но равна сообщенной телу энергии.
П о л о в и н а пр оизведен ия массы тела не
квадрат его скорости называется кинеги
ческой энергией (Е кин) этого тела:
О п р е д е л е н и е кинетической эн ер гии
Если тело имело начальную скорость V0, то
согласно (2.11),
В о п р о с 4. М о ж е т ли
ки н ети ческая
эн ергия бы ть отриц ател ьн ой ?
или
4 - Л Ь 2 ---- у
М ь \ = Р
■5.
В этом случае вся энергия /г -5, сообщенная
телу, идет на увеличение его кинетической
энергии. Эта энергия, сообщенная т е л у с
массой М , служ ит мерой работы, произве­
денной над телом внешней силой. « Р а б о ­
та» — это просто другое слово для об о зн а­
чения энергии, сообщенной телу внешним
агентом или силой. Итак, мы видим, что в
идеальном случае вся произведенная над
телом работа проявляется в виде кинетиче­
ской энергии тела.
§ 5. Потенциальная энергия
П ОТЕНЦИАЛЬНО
В О ЗМ О Ж Н А Я
ЭН ЕРГИЯ
Мы увидим, что понятие потенциальной
энергии имеет буквальный смысл. П р е ж д е
всего рассмотрим случай, когда тело с м а с ­
сой М находилось на поверхности земли, а
затем под действием приложенной силы
Р = — Ра стало медленно подниматься на
высоту к. Произведенная работа равна
IV = Р ■к,
или
иу= м % к .
Кинетическая энергия тела в данном сл у ­
чае не изменилась. Куда ж е девал ась энер­
гия М §к? Эта энергия превратилась в по­
тенциальную, способную в свою очередь пе­
рейти в кинетическую энергию. Таков ответ
на поставленный вопрос. Чтобы перевести ее
в кинетическую энергию, надо позволить
телу падать. Когда тело пролетит вниз
путь к, то его скорость достигнет величины,
определяемой соотношением V2= 2 § к . Д а ­
вайте вычислим его кинетическую энергию:
^к„н =
Ответ 4. Н ет, ибо и м асса, и V2 в сег­
д а п олож ительн ы .
4
М °2 =
{2 ё к) =
М еН .
Мы видим, что затраченн ая
ранее
-\ :М
работа
133
(1Х/ = М §Н ) мож ет быть снова п ревращ ена в
кинетическую энергию.
Определение.
Энергия, за пасенна я
телом М б лагодаря полож ению его массы ,
называется его потенциальной энергией V.
С огласно другому определению, потен­
циальн ая энергия — это работа, которую
нужно совершить н ад телом М, чтобы пере­
местить его в направлении, противополож­
ном направлению действия «консерватив­
ной» силы. П од консервативными мы будем
понимать силы, которые зав и ся т только от
положения тела. В приведенном выше при­
мере Ц — М § к. Всякий раз, когда тело о к а ­
зы вается на высоте к, его потенциальную
энергию мож но превратить в кинетическую,
позволив ему п ад ать вниз. П отенциальная
энергия — это, буквально, потенциально в о з­
м ож ная энергия.
Заметьте, что для того, чтобы медленно
перемещ ать тело в горизонтальной плоскос­
ти, не требуется вообще никакой силы (если
пренебречь силой трения). Поэтому при д в и ­
жении тела по горизонтали никакой работы
не производится. Если тело с массой М под­
ним аю т на высоту к по самому зам ы с л о в ато ­
му пути, то вертикальная составляю щ ая
силы производит работу М § к , работа ж е
горизонтальной составляю щей равна нулю.
С ледовательно, работа по подъему тела с
массой М на высоту к равна М § к незави си ­
мо от формы пройденного пути.
Тело приобретает потенциальную энер­
гию всякий раз, когда на него воздействует
сила Рс, зав и ся щ ая только от его положения.
П одобная сила н азы вается консерватив­
ной. Сила сопротивления воздуха, которая
зависит от скорости, не является консерва­
тивной. Н аиб о л ее общее определение потен­
циальной энергии дается выражением
О п р е д е л е н и е пот енциальной эн ерги и
«г?пР°С о' Если Две массы пРивес™ Б
более тесное соприкосновение, не увел ич ится ля их гр ав и т ац и о н н а я потенц и ал ьн ая эн ерги я?
134
=
— ^ Д х с о з О , (5 -
где 0 — угол меж ду направлением Р с и пе­
ремещением А в . Если первоначально покоившееся тело начинает двигаться, то сила Р с»9
переместит его на расстояние Д$ в направлении своего действия, и в соответствии со
знаком минус в (5.3), потенциальная энер­
гия тела уменьшится. По мере того как сила
ускоряет тело, его кинетическая энергия
соответственно увеличивается. В следующем
п а р а г р а ф е мы покаж ем, что прирост кине­
тической энергии долж ен быть в точности
равен уменьшению потенциальной.
§ 6. Закон сохранения энергии
У М Е Н Ь Ш Е Н И Е РА В Н О У В Е Л И Ч Е Н И Ю
Фиг. 78. П ри м ер сохранени я энергии.
В еличина
ной.
(’/гМ ьг+М&к) о стается
н еи зм ен ­
Р ассмотрим замкнутую систему из двух
частиц с массой т и М. В общем случае м е ж ­
ду частицами действует сила Рс. Д ей ств и ­
тельно, все тела (включая д а ж е свет) состо­
ят из элементарных частиц. М еж ду любыми
двумя элементарными частицами действуют
либо электрические, либо гравитационные
силы (если частицы подойдут друг к другу
ближ е чем на 1СН2 см, то б ла го д а р я си л ь­
ному и (или) слабому взаимодействию
могут появиться дополнительные коротко­
действующие силы). Подсчитаем увеличение
кинетической энергии наших двух свободно
движ ущ ихся тел. Р ассмотрим массу т и для
простоты будем считать, что она дбижется в
том ж е направлении, в каком на нее со сто­
роны тела М действует сила. Ускорение
массы т, после того к а к она пройдет
путь Аз, будет равно а = Рс/т.' Используя
(2.11), согласно которому а = ( у 2— V20)/2/^5,
мы получаем
2Д5
или
■ти2 — ~2~ т1>о = р с А5-
О твет. 5. Н ет. В этом случае Рс = Ра
— си л е тяж е ст и , и Д« н ап рав лен о
оди н ак ово с Р с. С л ед ов ател ьн о, п р о ­
изведение Р СД5 СО5 0 в (5.3) п о л о ж и ­
тельно.
Но, согласно (5.3), п р а в а я
—А (У; следовательно,
часть
равна
= — (II — {/„),
135
или
З а к о н с о х р а н е н и я м еха ни ч еской
э нергии
~2~т 1 > 2 ^ — ~ 2 ~ ^ о -
(5-4)
Мы видим, что увеличение кинетической
энергии в точности равно уменьшению по­
тенциальной. Иной способ вы раж ения этого
закона: сумма кинетической и потенциаль­
ной энергий остается постоянной, что бы ни
происходило с частицей. То ж е справедливо
и для второй частицы М. Если имеется 3 или
большее число частиц, аналогичные р а с с у ж ­
дения приведут нас к выводу, что сумма
полной кинетической и полной потенциаль­
ной энергий системы остается постоянной,
если нет внешних сил.
Эти слова передают содерж ание того, что
мы назы ваем законом сохранения энергии.
Он представляет собой исключительно в а ж ­
ное соотношение. Каким бы сложным ни
было движение частиц, если мы знаем в к а ­
кой-то момент времени положения всех ч ас­
тиц, то это позволит нам найти их полную
кинетическую энергию, поскольку потенци­
ал ьная энергия зависит только от располо­
жения частиц. Приводимый ниже пример
показывает, ка к можно определить кинети­
ческую энергию или скорость тела, не зная
уравнений, которыми описывается его д ви ­
жение.
Фиг. 79. М аятн и к, отпущ енны й в го ­
ризон тал ьн ом полож ении.
П рим ер. Г р у зи к м аятн и ка М (ф иг. 79) отвели в
сторону (до гори зон тал ьн ого п о л ож ен и я н и ти ), а з а ­
тем отпустили. Е сли длин а нити р а в н а
то к ак о в а
скорость грузи ка и к ак о в а сила н а тя ж е н и я нити в
тот момент, к о гд а нить проход и т через верти кал ьн ое
полож ен ие?
Н ач ал ьн ы е услови я: у0= 0 и 11о=М§Ь. К о гд а нить
д о сти гает в ерти кал ьн ого п о л ож ен и я и грузик тем с а ­
мым о п уск ается на вы соту
в этом полож ен ии
I] = 0. И з ф орм ул ы (5.3) л егк о най ти скорость у гр у ­
зи ка в низш ем полож ен ии
1
- у Л Ъ 2 + 0 = 0 + /И§/.,
или
V2 = 2§ Ь ,
у = 1 / 2яГ.
136
(5.5)
П у сть Т — сила н а тя ж е н и я нити. Т огд а резу л ьти р у ю ­
щ а я сила, дей ств у ю щ ая на грузик, р авн а
/^рез = 7' — Р о — М а с ,
где а с = У2/ /. — ц ентрострем и тельное ускорени е гру­
зи ка.
П оскол ьку Р с = М д , то Т— М % = М ^ 211*). П о д с т а ­
вим в п равую часть значение о2, д а в ае м о е (5.4):
Г = Ж §.
Определим теперь полную механическую
энергию как сумму кинетической и потенци­
альной энергий. Мы будем обозначать ее
символом №. Таким образом,
№
=
( ^ ’к и н )п о л н +
^полн-
Закон сохранения энергии имеет вид
для двух любых моментов 1\ и / 2 при отсут­
ствии внешних сил.
Д о сих пор наше рассмотрение о гран и ­
чивалось только случаем консервативных
сил. О днако с микроскопической точки з р е ­
ния (т. е. учитывая наличие элементарных
частиц) все силы будут консервативными,
поскольку всего имеется четыре типа сил
(электрические, гравитационные, сильные и
сл аб ы е), и все они консервативны. С опро­
тивление воздуха станет консервативной
силой, если мы в явном виде будем учиты­
вать потенциальную и кинетическую энер­
гии каж дой молекулы воздуха. Таким о б р а ­
зом, с микроскопической точки зрения закон
сохранения энергии является совершенно
общим и применим ко всем явлениям.
Однако иногда удобно не рассматривать
кинетическую и потенциальную энергии
каждой из молекул воздуха. Тогда мы см о­
ж ем свалить в одну кучу все кинетические
и потенциальные энергии молекул воздуха
и назвать с утилитарных позиций эту энер­
гию хаотически движущ ихся частиц тепло­
вой энергией.
137
Фиг. 80. З а в и си м о сть силы , н еобхо­
ди м ой д л я р а с т я ж е н и я п руж ины , от
ее длины .
Этот макроскопический подход к закону
сохранения энергии рассматривается в § 10
настоящей главы.
§ 7. Кривые потенциальной энергии
К Р А С Н О Р Е Ч И В Е Е ТЫ С Я Ч И
СЛО В
Вычислим и изобразим на графике потен­
циальную энергию массы т, прикрепленной
к концу пружины.
Согласно закону Гука, Рс = —кх. К он­
станта к назы вается уп р у го й постоянной
пружины. Согласно определению потенци­
альной энергии II, она равна работе по р а с ­
тяж ению этой пружины, умноженной на д л и ­
ну пружины х. По мере растяж ения п р у ж и ­
ны сила Р постепенно растет от нуля до кх.
П роизведенная работа равна величине си­
лы Р, усредненной по расстоянию х, ум н о­
женной на х. Зависимость Р от х и зо б р а ж е ­
на на фиг. 80. Мы видим, что ее среднее
значение на расстоянии х равно к х /2. С л е ­
довательно,
работа, или потенциальная
энергия, пружины равна
II = _1_ к х2.
Фиг. 81. Г раф и к потенциальной эн ер ­
гии О пруж ины , растян утой на д л и ­
ну х0.
УИ
Предположим, что м асса т , прикреплен­
ная к пружине, растягивает (или сж им ает)
пружину до длины х 0. В этом случае м асса пг
соверш ает работу № = к х 02/2. Эта работа
зап асается в форме потенциальной энергии
11 = к х 02/ 2. Если мы в отсутствие трения ос­
вободим пружину, груз пг начнет соверш ать
простые гармонические колебания вверх и
вниз. По м ере.ум еньш ения х по сравнению
с максимальным значением х 0 потенциаль­
ная энергия уменьшается, а кинетическая
увеличивается.
Т ак как энергия Е кин+11 в замкнутой
системе всегда остается постоянной, то вели­
чину Е кин можно просто получить, восполь­
зовавш ись т ак назы ваемой кривой потен-,
циальной энергии. Н а фиг. 81 и зображ ен а
зависимость 0 от х для случая растяж ения
Фиг. 82. Г раф и к потен циальной эн ер ­
гии (фиг. 81) со смещ енны м начал ом
отсч ета по ш кал е энергий.
пружины.
К расная
линия,
помеченная
и^0 = &х02/2, соответствует энергии пружины,
растянутой на длину Хо. С огласно закону со­
хранения энергии,
^ки„ +
Ц ^
Г 0,
или
^кин —
В опрос 6. Е сли н ач ал о отсчета по оси
энергий на фиг. 81 в ы брать так , ч то­
бы к р а с н а я лини я с т а л а новой осью х,,
то какой бы ла бы величина полной
энергии?
— и
=
С О рдината ]
( О рдината ]
< к р ас н о й ' — ^ п ар аб о л ы [
( линии
|
1
)
,
откуда следует, что расстояние по вертикали
от кривой потенциальной энергии до красной
линии до лж но соответствовать кинетической
энергии при данном значении х.
Заметьте, что эта величина плюс V (р а с­
стояние от кривой до оси х) равна 1^0 —
полной энергии системы, которая й д о л ж н а
сохраняться. Таким образом, пользуясь кри­
вой потенциальной энергии, можно мгновен­
но определять Е шн для любой точки х. М е ­
тод кривых потенциальной энергии окаж ется
д ля нас чрезвычайно полезным в следующих
главах, где мы встретимся с более сложными
силами, чем сила н атяж ен ия пружины.
Действительно, во всех зад ач ах мы с т а л ­
киваемся лишь с разностью потенциальных
энергий. Следовательно, нулевой уровень,
от которого отсчитывается энергия,— произ­
волен. Это легко показать, изменив уровень
нулевой энергии на фиг. 81 и оставив все ос­
тальное по-прежнему (фиг 82). Н айд ем
теперь кинетическую
энергию
в точке
х = Х\. П равило осталось прежним; надо
просто измерить расстояние по вертикали от
кривой до красной линии. Н а фиг. 82 этот
отрезок обозначен а. Зам ети м , что р ассто я­
ние по вертикальной оси не зависит от выбо­
ра полож ения нуля. В данном случае нуль
выбран с таким расчетом, чтобы и потенци­
альная энергия и д а ж е полная энергия были
отрицательными. Если а и Ь — полож итель­
ные числа, то потенциальная энергия в точ­
ке Х = Х[ равна
V =• _ (о + Ь),
а полная энергия
№0 = - Ь .
139
т. е. совпадает с кинетической энергией, как
и долж но быть.
§ 8. Потенциальная энергия
силы тяжести
РА БО ТА , Н Е О Б Х О Д И М А Я , Ч Т О БЫ
П О К И Н У Т Ь ЗЕ М Л Ю
Д о сих пор мы говорили о потенциальной
энергии растянутой пружины (11= кх212) или
тела с массой т, поднятого на высоту к
над поверхностью Земли
(С1 = т § к ) . Р а с ­
смотрим теперь более общий случай, когда
тело удаляется на большое расстояние от н а ­
шей планеты. В этом случае сила т я ж е ­
сти Ра будет уменьшаться обратно пропор­
ционально квадрату расстояния от центра
Земли: /7С = О М Рт /г2, где М е — масса Земли.
Д а в а й т е вычислим работу, которую нужно
совершить для перемещения тела с массой т
из точки Я (радиус Земли) в точку г (р а с ­
стояние измеряется от центра Зе м л и ). Такой
расчет уже не так прост, как прежние, ибо
сила здесь не постоянна, а меняется рав н о­
мерно с расстоянием, как в случае пружины.
Поэтому мы принуждены разбить весь
путь от точки Я до точки г на большое число
малых интервалов, таких, чтобы в каж дом из
них силу Рс, можно было считать почти пос­
тоянной. При этом мы можем вычислить р а ­
боту на каж дом из таких участков пути.
П олная работа, которую нужно совершить
на всем пути, равна сумме элементарных р а ­
бот. В начале первого участка сила Р0 равна
О М Рт /Я 2, а в конце его О М ^ т /г^ (фиг. 83).
Эти две величины почти одинаковы. Возьмем
для удобства вычислений их среднее зн ач е­
ние Ра = СМ,,гп/Яг|. Р аб ота на этом участке
равна
О твет 6 . Р авной нулю.
140
Ф иг. 83. Ч тобы вы числить р а б о ту по
поднятию некоторой массы с Зем ли ,
н уж н о р азби ть р асстоян и е (г— /?) на
м аленьки е отрезки .
ИЛИ
Н а втором участке средняя сила будет
_ СМет
р
с ~
^2 = ^
Г1Г2
(Гг
~ г 4) = СМет (-1---- .
V' 1
'2 /
Подобным же образом на третьем участке
работа
*, = о м „ ( ± - ± ) .
С лож им теперь работы, которые нужно
совершить на этих трех участках:
+ Г 2 + «73 = 0/И ет [ ( - ^ - -
-1 -) +
+ ( т г ~ 7г) + ( ^ ~ 7 г ) ] =
= ОМет ( - ^ - - ± ) .
Заметьте, что промежуточные значения
г 1 и г2 взаимно уничтожились и остались
только координаты крайних точек (/? и г3).
Это справедливо и в случае, когда мы с л о ­
жим все оставшиеся интервалы от г3 до г.
В результате получим
Г = О М ,т (-^ - 4 - ) .
Итак, мы нашли работу, которую нужно со­
вершить против силы земного притяжения,
чтобы удалить тело т с З ем л и на расстоя­
ние г. Это, по определению, и есть потенци­
ал ьная энергия силы тяж ести тела с м а с ­
сой т в поле Земли:
П от енциальная эн ер г и я
силы тяжести
1 ).
Ц = С М е т ( ± - ----- Г
(5.6)
Г раф и к потенциальной энергии силы т я ж е ­
сти и зображ ен на фиг. 84.
141
Ф иг. 84. З а ви си м ость потенциальной
энергии силы тяж ести от расстоян и я
н а д поверхностью Зем ли.
11= 0 при
П у н к ти р н ая лин и я со о твет­
с т в у е т п рибли ж ен ию И —т ф , которое с п р а ­
ведливо вб ли зи поверхности Зем л и .
П ример. П о к а ж е м , что д л я
(г— Я ) , м ал ы х по
сравнению с Я. величина V стрем и тся к т§Н, где
Л = (г— Я ) . С огласно (4.3),
С М е = ё Я 2.
П о д с т а в л я я это значение в (5 .6 ), имеем
"
(
4
—
( 5 .7 )
г) -
т § Я (г -
и = •
Е сли г в зн ам ен ател е почти не отли чается от Я, то
I/ =
т § Я (г — Я)
= т § (г — Я ) = т@Н.
§ 9. Вторая космическая
скорость
К АК
ПОКИНУТЬ
В СЕ
НА
С ВЕТЕ
После выключения двигателей ракеты
сумма ее кинетической и потенциальной
энергий д о л ж н а оставаться
постоянной.
В начальный момент ее потенциальная
энергия равна нулю, а кинетическая Е т н =
= т ь 212, где V — скорость сообщенная д ви ­
гателями последней ступени ракеты. Если
ракета стартовала в вертикальном н а п р а в ­
лении, она будет, зам ед ляясь, у д ал яться от
земной поверхности, пока не достигнет м а к ­
симальной высоты Тмакс, после чего начнет
п адать вниз. В этой точке максимального
подъема вся кинетическая энергия ракеты
переходит в потенциальную энергию силы
тяжести. Согласно формуле (5.7), нач ал ьн ая
кинетическая энергия ракеты равна
2
Если нач ал ьн ая скорость V ракеты известна,
то из этого соотношения легко найти м акси ­
мальную высоту подъема ракеты.
В опрос 7. В ы р ази те величину
фиг. 84 через т , (*, Я.
ХРо на
П р и м е р 1. Р а к е т а с та р ту е т верти кал ьн о со ско­
ростью ,
равной
первой
косм ической
скорости
(к с = 8
к м /се к ). Н аск ол ько
у д а л и т с я р а к е т а от
Зем ли ?
П е р в а я косм и ческая скорость р акеты н ах о д и тся
из р а ве н с тв а о г /К = 8 (см - СТР- 65).. П о этом у ее н а ­
ч а л ьн ая ки н ети ческ ая эн ергия р а в н а
1
~2~
тис2 =
1
П оскол ьку н а ч а л ь н а я п отен ц и ал ьн ая эн ергия р а в ­
на нулю, пол н ая эн ергия р авн а начал ьн ой к инетиче­
ской энергии
Г.
Э то зн ачени е со ответствует красн ой линии на ф иг. 84.
П ри г = г м акс 5кин = 0, и, используя (5.8), получаем
') ,
Г 0 = 0 + т §& (~±- - —
\
1
'м а к с /
/
1
1
\
Т > п 8 К = т8* ■ ( - * — —
_1_____/? _
2
К
г макс =
2^.
К
г макс
Т аким об р азо м ,
6400 км.
м ак с и м а л ьн а я
вы сота
д о с ти га ет
Р ассмотрим интересный случай, когда
н ач ал ьн ая кинетическая энергия ракеты р а в ­
на или превыш ает т §К . Подставив это з н а ­
чение в левую часть
(5.8), получим
1//м акс = 0, ИЛИ Гмакс = 0 0 . ФиЗНЧеСКИ ЭТО 0 3 -
начает, что ракета никогда не возвратится
н а з а д — ее скорость никогда не обратится
в нуль. Эта особая скорость, при которой к и ­
нетическая энергия ракеты равна т § К , н а ­
зы вается второй космической скоростью Vя .
Н ай д ем ее величину:
4 т ь \ = тцН,
Вторая
ко с м и ч е с к а я скорость
О т в ет 7.П ри г — 2 И, Ч7а=11\
тельн о,
1 ~ 4- =
у /\
ИХ.
2 / ?/
сл е д о в а 2
1) ^ =
у 2§Р .
Заметьте, что эта скорость ровно в У2 раз
больше
первой
космической
скорости.
Иными словами, вторая космическая
ско??оТЬ Р/аВНЗ 8-1,414 КМ,СвК’
11
КМ ]С-61 С.
Т‘ е'п РимеРно
143
П р и м е р 2. К ак у ю скорость (в едини цах Vя ) н у ж ­
но сообщ и ть ракете, чтобы она дости гл а Л ун ы ?
Р а с сто ян и е д о Л у н ы р авн о ш естидесяти зем ны м
рад и у сам . П о д ст ав и в / ' М а к с = 6 0 /? в (5.8), получим
-4 - ти г = тдК2 (
=
ЩИ
V
1
К
1 \
60Я )
1-
59“
60 "«■
и = 0,99ал .
И так , скорость, н еобходи м ая д л я до сти ж ен и я Л у н ы ,
с о ст ав л я е т 99% от второй космической скорости.
§ 10. Трение и тепло
Э Н Е Р Г И Я М И К РО М И РА
Существует множество сил, которые з а ­
висят не только от полож ения тел. Один
из примеров — сопротивление воздуха. Сила
сопротивления воздуха и других видов т р е­
ния всегда нап равлен а против движения.
Эти силы трения зависят, вообще говоря, ка к
от направления, так и от величины скоро­
сти. П редполож им, что деревянный брусок
медленно перемещается по шероховатой по­
верхности стола на расстояние х. Пусть сила
трения, с которой стол воздействует на б р у ­
сок, равна Р). Тогда работа V/ по преодоле­
нию этой силы и перемещению бруска на
пути х равна № = Рг х. Несмотря на этот
значительный расход энергии, ни кинетиче­
ская энергия бруска, ни его потенциальная
энергия не увеличиваются. Куда ж е она д е­
вается? О казы вается, при движении бруска
всегда выделяется некоторое количество
тепла. К огда физики впервые научились и з­
мерять тепло, они обнаружили, что количе­
ство выделяю щегося тепла всегда пропор­
ционально работе, затраченной на преодоВ опрос 8. Е сли кинетическая эн ергия
ление сил
трения. М нож итель пропорциосп утн и ка, л ет я щ е го на небольш ой
вы- нальности получил назван ие механического
соте, удвои тся, не с м о ж е т ли он по^
Тт
ки н уть С олнечную систем у?
эквивалента теплоты. И з следующей главы
читатель узнает, что тепловая энергия в д ей ­
ствительности есть не что иное, как все те
ж е известные из механики кинетическая и
потенциальная энергии. Только теперь это
будет кинетическая и потенциальная энергии
отдельных молекул, из которых построены
все физические тела. Поэтому тепловая энер­
гия не столь наглядна, как кинетическая и
потенциальная энергии макроскопических
тел.
Тепловую энергию следует представлять
себе как микроскопические потенциаль­
ную и кинетическую энергии, хотя обычно
понятия кинетической и потенциальной энер­
гий употребляются как макроскопические.
Поскольку закон сохранения энергии д о л ­
жен выполняться для микрочастиц т а к же,
как и для макротел, в него д олж на быть
включена тепловая энергия. Иными словами,
сумма кинетической, потенциальной и теп ­
ловой энергий любой замкнутой системы
д олж н а оставаться неизменной. Если на т е ­
ло на пути Ах действует внешняя сила Р, то
закон сохранения энергии приобретает вид
З а к о н со хр а н ен и я энерги и
Г - д* = ( 4
Мь* -
4
Ш 1 ) + ^ ~ и о) +
-)- Р; ■Ах, (5.9)
или
З а т р а ч е н н а я работа = (У вели чен и е Е КИн) -(-|- (У вели чен и е V ) +
-)- (У вели чен и е тепловой эн ер ги и ).
О твет 8. Т олько-только, ибо удвоение
кинетической энергии о зн ач ает у д в о е ­
ние V 2, или увеличение V в ) 2 р а з, что
в точности р авн о второй космической
скорости.
Заметим, что с точки зрения математики
уменьшение какой-либо величины равно ее
приращению, взятому с обратным знаком.
Р авенство (5.9) легко получить, применив
второй закон Ньютона к малом у перемещ е­
нию А х тела с массой М. Результирую щ ая
сила равна сумме приложенной силы Р и
некоторой силы Рс, приводящей к увеличе­
нию потенциальной энергии, за вычетом
силы трения Р1:
Р р ез — Р + Рс — Р/’
{Р + Рс — Ру) ■Ах — Ма ■ Ах.
145
В соответствии с (2.11) заменим
(а-Аде) на '/ г ( у2— ^о) и получим
Р ■Ах + Рс-Ах — Рг
Р ■А х = ~
величину
Ах = М
— ^о) .
М ь 2 ----- -- МV20 — Рс ■А х -{+ Р{ • Ах.
Величина ~ Р С-Ах, согласно (5.3), равна
уменьшению потенциальной энергии. З а м е ­
няя ее на и — 110, получаем
р - д * = , ( - 1 - л ^ - 4 - л Ч 2 ) + ( ^ — ^о) +
+ Р; • Ах.
Р асс м атр и в ая энергию, мы до сих пор
имели дело со случаями, когда силы были
п араллельны перемещению. Однако только
что проделанный вывод можно легко обоб­
щить и на случай, когда Р и А х не п а р а л ­
лельны. Д л я этого достаточно заменить к а ж ­
дую силу ее составляю щей в направлении
перемещения Дл\ И так, в общем случае р а ­
бота равна произведению перемещения на
составляю щую силы в направлении переме­
щения, т. е.
Р аб ота = Р - А х- С05 б.
Зам етим , что направление перемещения
тела совпадает с направлением скорости.
Если сила перпендикулярна перемещению,
ка к в случае центростремительной силы, то
соз9 = 0 и работа этой силы равна нулю.
Ф иг. 85. П ри под ъем е сан о к п рои зво­
ди тся р а б о т а против сил трени я и
тяж ести .
П р и м е р 1. М асса ребен ка вм есте с сан кам и
(фиг. 85) р а в н а 20 кг. С ила трен и я п олозьев о снег
р а в н а 50 ньютон.
а) К ак у ю р а б о ту н а д о соверш и ть, чтобы в т а ­
щ ить сан ки по наклонной плоскости длиной
100 м и углом н а к л о н а 30°?
б) Д о сти гн у в верш ины , м ал ьчи к с к а т ы в а ет ся на
с ан к а х вниз. К а к о в а б у д ет его скорость и к и ­
н ети ческ ая эн ергия у под н ож и я?
Р а б о т а по под ъем у сан о к на горку р авн а сумм е
прироста кинетической эн ергии ^ Кин (эта величина
р авн а н у л ю ), увели чения II, равн о го М § к , и с и л ы /7/,
ум нож енной на д л и н у пройденного пути. Ф орм ула
(5.9) д а е т
П р о и зв ед ен н ая раб о та = 0 + М д к + Р / ■ 5 ,
146
где х = 100 м ,
к = 50 м
и
Р / = 50 н ь ю т о н ,
т. е
П р о и зв ед ен н ая работа = (20 • 9 ,8 • 50 + 5 0-100) дж =
= (9 8 0 0 + 5 0 0 0 ) дж = 14 800 дж
П ри спуске с горки п р о и зв ед ен н ая р а б о та р а в н а н у­
лю; изменение потенциальной энергии о с тается п р е ж ­
ним, но м ен яет зн а к на обратн ы й. В ы деленн ое тепло
(5000 дж) оди н ак ово в обоих с л у ч аях . Т аким о б р а ­
зом , имеем
0 = -‘2 ~ МVг — 9800 дж + 5000 дж,
1
~2 ~ М и г = 4800 дж.
Т ак о в а кинетическая энергия сан о к у п од н ож и я гор­
ки. С корость их р авн а
1 Г 2 • 4800 дж
V — I / = ,2 1 , 9 м /с е к .
0
М
-
г
П р и м е р 2. С путник З ем ли массой 1 кг в о з в р а ­
щ ается с вы соты 30 км в плотны е слои атм осф еры .
С колько тепла вы дели тся в р е зу л ь т а т е т орм ож ен и я?
В этом примере у0 — о р б и та л ь н а я скорость, р а в ­
н ая 8 км /сек, (II— 110) —— М § к , где к = 30 км. Ф о р м у ­
ла (5.9) д а ет
0 =» ^0 — Мид | — М дН -\- (Т е п л о в а я эн е р г и я ),
илй
Т еп л о в а я эн е р г и я =
1
2
М 45 +
М дк.
К а к и сл е д о в а л о о ж и д а ть , с огл асн о закон у с о х р а н е ­
ния энергии, кинетическая и п отен ц и ал ьн ая энергии
п ереход ят -в тепло. П о д с т а в л я я численны е зн ач ен и я,
получаем
Т еп л о в а я эн ер ги я =
(8 • 103)- + 9 ,8 ■ 3 • 104 дж =
= 32 ■ 10“ + 0 , 2 9 • 106 дж =
= 3 2 ,3 -1 0 ° дж.
Э тот пример иллю стрирует главную проблем у,
возни каю щ ую при возвращ ен и и спутн ика в а тм о с ф е ­
ру,— его нагрев. Н априм ер, 1 к г алю м и ния н а г р е в а ­
ется на Г С, если ему сообщ и ть тепловую энергию ,
равн ую 103 дж. М ы видим, что если только 1% вы ­
дел яю щ егося тепла пойдет на н агрев алю м иниевого
спутн ика, то его т ем п ер ату р а во зр астет примерно на
300° С.
147
I
§ 11. Эквивалентность массы
и энергии
Г РО М А Д Н А Я , Н О Н Е Д О С Т У П Н А Я Э Н Е Р Г И Я
ЗА К Л Ю Ч Е Н А В ГО РС ТИ ПЕСКА
В заключительных п а р а г р а ф а х этой г л а ­
вы мы увидим, что вокруг нас имеются неис­
черпаемые зап асы энергии. Однако мы вряд
ли сможем ее когда-либо использовать.
О б су ж д ая соотношение (3.6), мы отмети­
ли, что, согласно теории относительности,
с ростом скорости или энергии частицы в оз­
растает ее масса. Соотношение между уве­
личением массы и увеличением энергии о к а ­
зы вается весьма простым. Эйнштейн п о к а ­
зал, что из теории относительности следует
где ДМ — увеличение массы, соответствую­
щее увеличению энергии на Дй7. Эйнштейн
предположил, что полная энергия, сопостав­
л я е м а я массе М,
Соотношение меж ду массой
и эн ер гией
Г = Мс2,
(5.10)
где с = 3,0 -108 м/сек — скорость света. Это
означает, что 1 кг песка долж ен сод ерж ать
1 к г Х ( 3 ,0 - 1 0 8 м /с е к ) 2, т. е. 9 -1 0 16 дж энер­
гии, иначе говоря, почти вдвое больше е ж е ­
недельного
потребления
электроэнергии
в США.
О днако вся эта огромная энергия, з а ­
ключенная в песке или любом другом вещ е­
стве, недоступна. Д ав н о известный закон
сохранения массы н ал аг ае т строгий запрет
на получение полезной энергии из массы.
Этот закон гласит, что вещество нельзя ни
уничтожить, ни создать вновь. П равд а, сей­
час мы знаем, что это не совсем так. С овре­
менный вар и ан т закона сохранения массы,
зап рещ аю щ и й получение энергии из песка,
мы рассмотрим в следующем п араграф е.
О днако существуют примеры превращ ения
массы покоя в энергию и обратно. (М асса
покоя частицы — это ее масса при скорости,
равной нулю.) Так, при бомбардировке ве­
148
щества протонами высокой энергии в б оль­
шом количестве образую тся новые элем ен ­
тарны е частицы (см. гл. 16). В подобном
процессе кинетическая энергия протонов в ы ­
сокой энергии непосредственно п р ев р ащ а ет ­
ся в массу покоя этих новых частиц. П р и ­
мером обратного процесса является с а м о ­
произвольный распад некоторых из этих
частиц. При этом их масса покоя снова п ре­
в ращ ается в кинетическую энергию продук­
тов распада. Следует, однако, заметить, что,
согласно ф ормуле (5.10), кинетическая энер­
гия немыслима без массы. Поэтому по сущ е­
ству нельзя говорить о превращении массы
в энергию или энергии в массу. Поскольку
полная энергия Вселенной д о л ж н а о ст а в а т ь ­
ся неизменной, то, согласно (5.10), д о л ж н а
быть постоянной и ее полная инертная м а с­
са. Не сохраняется ж е масса покоя. Именно
она мож ет превращ аться в кинетическую
энергию и обратно. Но д а ж е здесь имеется
жесткое ограничение. Мы поговорим о нем
в следующем параграфе.
§ 1 2 . Закон сохранения тяжелых
частиц
П РОТОНЫ
И Н ЕЙ ТРО Н Ы
Н ЕУ НИЧТОЖ ИМ Ы
Обычное вещество состоит из атомов.
Атомы в свою очередь построены из атомных
ядер, которые окружены вращ аю щ и м и ся во­
круг них электронами. К аж д о е ядро состоит
из протонов и нейтронов, приблизительно в
1800 раз более тяж елы х, чем электроны.
Именно поэтому протоны и нейтроны н а з ы ­
ваются тяж елы м и частицами. З а к о н сох­
ранения тяж ел ы х частиц утверж дает, что
полное число протонов и нейтронов в любой
замкнутой системе долж но оставаться посто­
янным. В гл. 15 и 16 мы узнаем, что протоны
и нейтроны тем не менее могут интенсивно
взаимодействовать друг с другом в таких
процессах, ка к синтез, деление и ядерные
превращения. В реальных процессах нейтро­
ны могут превращ аться в протоны и обратно.
149
Однако при всевозможных ядерных взаимо
действиях полное число протонов и нейтро
нов всегда оказы вается постоянной величи
н о й ' \ Еще никто никогда не наблю дал, что
бы масса покоя протона или нейтронг
превратилась в другие виды энергии. Заког
сохранения тяж елы х частиц основан на ог
ромном количестве экспериментальных ф а к ­
тов. И, как у тв ерж д ае т этот закон, нам
никогда не удастся воспользоваться колос­
сальной энергией, заключенной в горсти
песка.
С другой стороны, имеется возможность
извлекать некоторое ограниченное количе­
ство ядерной энергии. Внутри яд ра нейтроны
и протоны взаимодействуют между собой с
чудовищными силами. Эти ядерные силы
создаю т огромную потенциальную энергию
ядер. В таких процессах, как деление и син­
тез ядер, часть этой потенциальной энергии
может превратиться в кинетическую. Это
превращение и служит источником энергии
ядерных реакторов и атомных бомб. З а т р о ­
нутые сейчас вопросы, а т а к ж е приложение
закона сохранения тяж елы х частиц к анти­
веществу и другим тяж ел ы м элементарным
частицам мы обсудим в гл. 15 и 16.
1. Д оп устим , что гаечный клю ч, изображ ен н ы й на
фиг. 74, брош ен под углом 45° к горизонтали . К а к о ва
при этом б у д ет т р аек то р и я его центра масс?
2. Т еория стацион арной В селенной у т в е р ж д ае т , что
происходит сам оп рои звол ьн ое (очень м едленное) в о з ­
никновение нейтронов. К ак и е законы сохранени я при
этом н ар у ш аю тся?
3. Вы, наверн ое, зам етили, что кош ка всегда п а д а ет
на лапы . Н а р у ш а е тс я ли зд есь закон сохранени я м о­
м ента количества д ви ж ен и я?
4. В ращ аю щ и й ся волчок м ож н о остан ови ть рукой. К у ­
д а д е в ае тс я то гд а момент количества д ви ж ен и я?
■> А нтипротон — это т я ж е л а я анти частица. Иными
словам и, протон плюс антипротон в сумм е соотв ет­
ствует отсутствию т яж е л ы х частиц. П оэтом у, пере­
считы вая т я ж е л ы е частицы , мы приписы ваем к а ж д о ­
му протону или нейтрону 4- 1, а к а ж д о м у ан ти п рото­
ну или а н ти н е й тр о н у — 1.
( У к а з а н и е . П р е д п о л о ж и м , что это д е л а е т че­
л овек, стоящ ий на скам ье Ж у к о в с к о го .)
Фиг. 86. К за д а ч е 5.
5. С путник д в и ж е тс я по эллиптической орбите в округ
З ем л и (фиг. 86). С р а вн и в ая д в а п олож ен ия А и В,
с ка ж и те , в как о м из них больш е
а) ки н ети ческая энергия?
б) п о тен ц и ал ьн ая энергия?
в) п о л н а я эн ергия?
г) м ом ент количества д в и ж е н и я ?
6 . О днородны й стер ж ен ь длин ой 1 м имеет м ассу
100 г. Н а один конец п о д веш и ваю т груз массой
50 г. Н ай ти полож ен ие центра масс.
Фиг. 87. К за д а ч е 7.
7. К уби к из л ь д а со ск а л ь зы в ае т без трени я по в н у т­
ренней стороне чаш и в ф орм е полусф еры и д в и ж е тс я
в з а д и вперед от к р а я д о к р а я (ф иг. 87 ); м асса к у б и ­
к а 30 г, р ад и у с чаш и 20 см.
а) С к акой скоростью куби к п р о ск ак и в ает через
ниж ню ю точку дн а?
б) С к ак о й силой он д а в и т на ч аш у в этой точке?
в) К а к о в период м алы х кол еб ан и й кубика в о к ­
рестности дн а?
8 . О б од велосипедн ого колеса им еет ди ам етр 0,8 м и
м ассу 1,5 кг. К а к о в м ом ент кол и чества д в и ж е н и я эт о ­
го кол еса при скорости вел осипеда 3 м /с е к ? М ассой
спиц пренебречь.
9. А втом обиль д в и ж е тс я со скоростью 60 км/час. Во
сколько р а з н уж но увеличить его скорость, чтобы его
кинетическая эн ергия увел и чи л ась вдвое?
10. Т яж ел ы й груз укреплен на верхн ем конце л егк о ­
го м етрового с те р ж н я . Н и ж н ий его конец я в л я е т с я
центром в ращ ен и я. О свободи вш ись, груз оп и сы вает
о к руж н ость ди ам етр о м 2 м. Н ай ти м ак си м ал ьн ую с к о ­
рость и м ак си м ал ьн ое ц ентрострем и тельное у ско р е­
ние груза.
Фиг. 88. К за д а ч е 11.
5г
2 дины
-150см-
11. Ш ари к массой 5 г д в и ж е тс я от точки А к т о ч ­
ке В (фиг. 88). П ред п о л о ж и м , что во всей этой о б ­
л асти на него д ей ствует п о сто ян н ая эл ек тр о стати ч е­
с к а я сила в 2 д и н , н а п р а в л е н н ая влево. К акую р а б о ту
надо соверш ить, чтобы п еред винуть ш арик от Л к
В? Ч то п р ои зой дет с его потен циальной энергией: у в е ­
личится л и она, ум ен ьш ится или остан ется н еи з­
менной?
12. а) К ак у ю р а б о ту н ад о соверш и ть, чтобы под н ять
тело м ассой 10 г по н аклонной плоскости без
трен и я длиной З л и вы сотой 0,5 м ?
б) П р ед п о л о ж и м , что м еж д у телом и плоскостью
д ей ствует сила трени я, р а в н а я 700 дин. К ак у ю т е ­
перь н ад о соверш и ть р а б о ту при подъем е т ел а по
плоскости?
в) Д оп усти м ,
что тело
п од ним ается
силой
3000 дин. С ила трения п р ед п о л агается равн ой
700 дин. К а к о в а б у д ет скорость тел а, к о гд а оно
дости гн ет верхней точки?
151
Фиг. 89. К з а д а ч е 14.
'//////////{У///////////У.
\
В
■^777777777777^ 7 ^ 7777777777777/ ,
13. Ш ути ха (х л оп уш ка) л ет и т со скоростью 3 м /сек.
Д о п усти м , что она р а зр ы в а е т с я на д в е ч асти равн ой
м ассы . Е сл и од н а из частей им еет нулевую скорость,
то чему р авн о отнош ение кинетической эн ергии в к о н ­
це к начал ьн ой кинетической эн ергии ш утихи?
14.
Б русок В (ф иг. 89) п о
трени я. Т акой ж е брусок А при креплен к концу с т е р ж ­
н я длиной Я. Э тот брусок о с в о б о ж д аю т в горизонт ал ьн о м полож ен и и и он с о у д а р я е т с я с В. П о сл е у д а ­
ра оба б р у ск а д в и ж у т с я к а к одн о целое.
а) Ч ем у р а в н а скорость обои х брусков с р а зу же
после у д а р а ?
б) Н а к ак у ю вы соту под н и м утся они н а д п оверх­
ностью ?
Фиг. 90. К з а д а ч е 16.
15. И груш ечн ы й п оезд м ассой 800 г д в и ж е т с я под
действием постоян ной силы в 100 дин. С н а ч а л а по­
езд н а х о д и л ся в состоянии п окоя, а за те м р а зв и л п о­
стоянн ую ско р о сть Vо. К а к о в а б у д ет эт а скорость при
условии, что к а ж д у ю сек у н д у на ускорени е п о езд а
з а т р а ч и в а е т с я 2 • 103 э р г ? К а к о е р ассто ян и е проходит
п оезд к а ж д ы й р а з, к о гд а при этом со ве р ш а е тс я р а ­
б ота в 2000 эрг?
16. Т ел е ж к а с п у ск ается с горы вы сотой 50 м (фиг. 90 ).
П р о й д я 120 м, она сн ова о к а з ы в а е т с я на верш ине
вы сотой 40 м. М асса тел е ж к и 500 кг. К а к о в а м а к с и ­
м ал ьн о д о п у ст и м ая си л а тр ен и я? (Е сли бы с и л а Г)
бы л а хотя бы нем ного больш е, то т е л е ж к а не в ъ е х а ­
л а бы на вто р у ю верш ину.)
17. Б р у со к м ассой 1 к г п ерв он ачальн о покоился у в е р ­
ш ины н аклонной плоскости, а потом за ск о л ь зи л вниз
(фиг. 9 1 ). Е го
скорость у о сн ован и я д о сти гл а
100 см/сек.
Фиг. 91. К задаче 17.
а ) К а к у ю р а б о ту п р о д е л а л а си л а трени я?
б) Ч ем у р а в н а п о сто ян н ая си л а трени я?
в) Е сли н аклонную плоскость покры ть смазкой
и тем сам ы м ум ен ьш ить трени е в 10 р а з, то
к ак о й б у д ет скорость б руска у основан ия
плоскости?
18. К а к а я эн ер ги я Е КИн т е р я е т с я при столкновении
пули с бруском (см. за д а ч у 11 гл. 3, стр. 9 6 )? К удг
она д е в ае тс я ?
19. К а к о в а б уд ет скорость гр у за М \, к о гд а он пройдет
путь 50 см (см. за д а ч у 14 гл. 3, стр. 9 6 )?
( У к а з а н и е . О п редел и те н ач ал ьн у ю и к он еч­
ную потен циальны е энергии обои х грузов.)
20. В опы те с ган телям и на стр. 125 н ай д и те н а ч а л ь ­
ную и конечную кинетически е эн ергии ган телей ? О т ­
к у д а берется д о б ав о ч н ая ки н ети ческ ая эн ергия? М а с ­
са к а ж д о й ган тели 20 кг.
Ф иг. 92. К за д а ч е 21.
21. Р екл ам н ы й п л а к а т массой 15 кг подвеш ен н а п р о ­
волоке, к а к п о к азан о на фиг. 92. Ч ем у равн о н а т я ­
ж ен и е проволоки? С какой силой п л а к а т д а в и т на
стену?
22. Р ассм отри м авто м о б и л ь м ассой 1000 кг. Ч тобы
д в и га ть с я по ровной дороге с небольш ой постоянной
скоростью , ем у тр еб у ется усилие 500 ньютон.
а ) Ч е м у р а в н а сила трен и я в нью тонах?
б) Е сл и усилие с о став и т 1000 ньютон, то к аки м
б у д ет ускорени е а вто м о б и л я?
в) А втом оби л ь стои т на скл он е х о л м а на в ы со ­
те 10 м н а д уровнем дороги . Е сл и у него о т ­
к а ж у т то р м о за, то к а к д а л е к о он у ед ет до
остановки?
23. П ри лю бом простом
гарм они ческом д в и ж ен и и
V ~ 7 2 к х 2, где к — Р /х. В ы р ази те м ак си м ал ьн у ю по­
тен ц и альн ую энергию простого м ая т н и к а через М , §,
Ь. и х 0. К а к о в а м ак с и м а л ь н а я ско р о сть грузи к а в п е­
рем енны х
Ь и х 0 (Хо — м ак си м ал ьн о е откл о н ен и е)?
24. П у с ть м асса лестницы в § 3, пример 2 (на
стр. 131) р а в н а 15 кг. Н а к ак у ю вы соту см о ж ет п о д ­
н яться человек в этом случае?
25. Л ес тн и ц а м ассой 10 кг п р и став л ен а п о д углом
45° к стене без трени я. С к ак о й силой л естн и ц а д а ­
вит на стену?
Фиг. 93. К за д а ч е 27.
А
26. Я д р о у р а н а, с о д ер ж а щ е е 92 протона и 143 ней­
трон а, п о гл о щ ает нейтрон и за те м
р а с п а д а е т с я на
2 о скол к а и 4 нейтрона. О дин из прод уктов д ел ен и я
С з 137 (55 протонов и 82 н е й т р о н а ). С колько п рото­
нов и нейтронов б уд ет во втором осколке?
27. Н а фиг. 93 и зо б р аж е н а д е т с к а я игруш ка. Е сли
слегка п о д тол к н уть т ел е ж к у , сто ящ у ю в полож ении А ,
то она начн ет д в и га ть с я п ракти чески с нулевой с ко ­
ростью . О н а соскол ьзн ет вниз б ез тр ен и я по т р ек у и
опиш ет петлю р ад и у с а К. В ы сота Н т а к о в а , что т е ­
л еж к е е д в а у д а ет с я соверш и ть м ертвую петлю , не т е ­
р я я соприкосновен ия с треком . В ы р ази те Н через К.
К а к а я с и л а дей ств ует на т ел е ж к у со стороны т р ек а
в точке В?
Фиг. 94. К за д а ч е 28.
28. Р ассм о тр и м ш ар , которы й с н а ч а л а покоился, а
за те м с к а т ы в а е т с я по наклонной плоскости (ф иг. 94 ).
Д о п усти м , что ки н ети ческая эн ер ги я вращ ен и я всегда
р а в н а кинетической энергии п оступ ательного д в и ж е ­
ния М о2/2, где V — скорость ц ен тр а м асс. М о ж н о по­
к а з а т ь , что п о л н ая кинетическая эн ерги я с к л а д ы в а е т ­
ся из эти х д в у х энергий.
а ) Ч ем у р а в н а п ол н ая к и н ети ческ ая эн ер ги я ш а ­
ра у осн о в ан и я н аклонной плоскости? (В ы р а ­
зи те р е зу л ь т ат через М ,
и Н.)
153
б) Ч ем у р авн о о у о сн ован и я наклонной пл ос­
кости?
в) Ч ем у р авн о ускорени е
ж ен н ое через V и 1 ?
Ф иг. 95. К за д а ч е 29.
центра м асс, в ы р а ­
29. Н а фиг. 95 и зо б р аж е н граф и к потенциальной эн ер ­
гии а то м а, в ход ящ его в с о став м олекулы . О трезки а,
Ь и с х а р ак т ер и зу ю т величины энергии (они п о л о ж и ­
тел ьн ы ). У' 0 = Е кпн + и . В ы р ази те через а, 6 и с с л е ­
дую щ и е величины (атом н аходи тся в точке Х\\ не з а ­
бы вайте про зн ак м инус):
а) потен циальную энергию ,
б) кинетическую энергию ,
в) полную энергию (за вы четом энергии п о к о я ),
г) энергию ди ссоциации , т. е. количество энергии,
которое н а д о д о б ав и ть, чтобы у д а л и т ь атом
из м олекулы .
■
ГЛАВА
6
КИ НЕТИЧЕСКАЯ
ТЕО РИ Я
КИНЕТИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ
Кинетическая теория описывает макро
скопические свойства газов на основе приме
нения законов механики к газовым молеку
лам. П р е ж д е чем перейти к изложению кине
тической теории, введем некоторые макро
скопические понятия, как, например, плот
ность и давление.
§ 1. Плотность
В О ДА -
Таблица 6
П лотности р а зл и ч н ы х в е щ е с т в
Вещество
Я дерное вещ ество . . .
В ещ ество в ц е н т р е С о л н ­
ца
......................................
П л а ти н а
............................
.................................
З о л о то
Р т у т ь .....................................
С винец
.................................
Ж е л е з о .................................
Зем ля
.................................
А лю миний ............................
В ода
...................
Л ед
.....................................
В а л ь са (дерево) . . . .
В о зд у х
.................................
Н аи л у ч ш и й и с к у с с тв е н ­
ный вакуум
...................
М е ж зв езд н а я с р е д а
. .
М е ж га л а к т и ч е с к а я среда
В ЕЩ Е С Т В О Н О М Е Р О Д И Н
Плотность тела равна отношению М/У.
где М — его масса, а V — объем:
Плотность,
г/см*
11,3
Напомним, что одновременно с созданием
метрической системы
возникла необхо­
димость вы брать и ста н д ар т массы. В ка ч е­
стве стан д арта грамм а бы ла в зята масса
1 см3 воды. Таким образом, плотность воды
в ы р а ж ае тся очень
удобной
величиной
1 г/см 3. В системе М К 5 плотность воды
равна
7 ,8
5
О
2 - 1014
100
2 1 ,4
19,3
13,6
2 ,7
1,0
0 ,9 2
0,1 3
воды
~ _? г . —
1 см3
10 3 к г
( 1 0 -8 м )3
_
1ЛЗ к г / м з
кг/м ■
В табл. 6 приведены плотности р азл и ч ­
ных веществ.
0,0 0 1 3
10-*»
10-24
10-2»
§ 2. Давление
С И ЛА , Д ЕЙ С ТВ У Ю Щ А Я
НА Е Д И Н И Ц У
ПЛОЩ АДИ
Если жидкость или газ поместить в ре­
зервуар, то на каж ды й элемент поверхности
резервуара будет действовать некоторая си­
ла. Р ассмотрим в качестве примера воздух,
н акачанны й в резиновую камеру. Если п р о­
д о л ж ать н акачивать в камеру воздух, то
давление в ней будет повышаться, пока не
возрастет настолько, что кам ер а лопнет.
156
Д а в л е н и е м Р в газе ( и л и жидкости) н а ­
зывается сила, с которой он воздействует на
един иц у п л о щ а д и поверхности сосуда:
Давление
Ф иг. 96. Силы , действую щ ие на к у ­
бик, погруж енн ы й в ж и дк ость под
д ав л ен и ем Р.
Фиг. 97. Силы , действую щ ие
на
порш ни в ги дравли ческ ом до м кр ате.
Р = т •
<6 -2>
В системе С 0 5 давление измеряется в
дин/см 2, а в системе М К 5 — в ньютон/м2.
Н аправлен и е этой силы всегда перпендику­
лярно поверхности сосуда независимо от ее
ориентации. Опустим в жидкость, н ах о д ящ у ­
юся под давлением Р, полый кубик с тонки­
ми металлическими стенками и площ адью
грани А (фиг. 96).
Н а каж дую грань этого кубика будет
действовать сила Р = РА независимо от его
ориентации. Если жидкость покоится, то в
любой ее малой по р азм ер ам части д а в л е ­
ние будет одинаково во всех направлениях.
В противном случае на небольшой кубик
жидкости действовала бы отличная от нуля
результирую щ ая сила и он пришел бы в д в и ­
жение. Если пренебречь силой тяжести, то
давление во всех точках сосуда долж но
быть одинаковым, независимо от формы по­
следнего.
П рим ер. А втом обиль
п од н и м ается ги д р а в л и ч е ­
ским д о м к р ато м , состоящ им из д в у х сообщ аю щ и хся
ци ли ндров с порш ням и (фиг. 97 ). Д и а м е тр больш ого
порш ня 1 м, м аленького — 10 см. В ес авто м о б и л я р а ­
вен Р а . С какой силой надо д а в и т ь на м аленьки й
порш ень, чтобы п од н ять автом оби л ь?
О ба порш ня п р е д с та в л яю т собой стенки одн ого
р е зер в у а р а. П о этом у дав л ен и е на них оди н аково.
П усть
Р\ — Р \!А \ — д ав л ен и е на м алы й порш ень,
Р г = р 2 !Аг — дав л ен и е на больш ой порш ень.
Т ак к ак Р\ — Р 2, то
Рх
Рг
А1
А2
А1
^ С о ­
от н о ш е н и е Л |Д 42 равн о 1/ 100, п оскольку пл ощ ад и о т ­
носятся к а к к в а д р а т ы д и ам етр о в . Т аки м об р азо м , си ­
л а Р[ д о л ж н а с о ст ав л я т ь всего 1% веса а втом оби л я.
157
Фиг. 98. С толб и к ж идкости
И. и п лощ ад ью А .
§ 3. Гидростатика
Ж ИДКОСТЬ
В П О КО Е
Если на ж идкость действует сила т я ж е ­
сти, то б ла го д а р я своему весу верхние слои
жидкости оказы ваю т д авление на нижние
слои. П оэтому давление в жидкости растет
с глубиной. Р ассмотрим цилиндр с пло­
щ адью основания А, наполненный ж и д к о ­
стью плотностью О и высотой Н (фиг. 98).
Н а дно цилиндра действует сила, равн ая
массе жидкости М жидк, умноженной на
Р = (Мжидк)
Согласно (6.1),
И- ( АН) . Отсюда
масса
жидкости
равна
Р — О (АН) §.
Чтобы найти давление, нужно разделить обе
части этого равенства на А':
Р
А
ЭАН§
Итак,
Р = ОН§.
(6.3)
Вы видите, что д авление на дно не з а в и ­
сит ни от величины А , ни от формы сосуда.
Формула (6.3) в ы р а ж а е т давление на глу­
бине к, обусловленное весом жидкости. Оно
одинаково в любых двух точках, н ахо д ящ и х ­
ся на одном и том ж е уровне, и не зависит
от формы сосуда.
Атмосферное давление
Высота земной атмосферы — несколько
сот километров. С огласно (6.3), давление Р 0
у поверхности Земли равно высоте атм осф е­
ры, умноженной на § и на среднюю по в ы ­
соте плотность воздуха.
Численный результат таков:
Атмосферное д а в л е н и е
Р 0 = 1,01 • 106 дин!см 1.
Фиг. 99. Ртутны й баром етр.
Барометр
Возьмем небольшую трубочку с ртутью
( 0 = 1 3 , 6 г/см 3) и, перевернув ее, опустим в
наполненный ртутью сосуд, ка к показано
на фиг. 99. Д ав ле н и е ртути в точках А и В
будет одинаковым, ибо обе эти точки н ах о ­
дятся на одной высоте. Согласно ф орм у­
ле (6.3), Р А = ОдН, где И — высота столбика
ртути. Д ав л е н и е на поверхности разд ела
ртуть — воздух Р в долж но быть равно Р 0—
атмосферному давлению. Отсюда
= Л>.
н =
Л>
08 ’
1,01 • 10°
1 3 ,6 • 980
см = 76,0 см.
(6.4)
Высота столбика ртути пропорциональна
атмосферному давлению. Подобное устрой­
ство, названное барометром, применяется
для измерения величины атмосферного д а в ­
ления.
Фнг. 100. И л л ю стр ац и я того, к ак
нельзя поднять воду из глубокого к о ­
л о д ц а.
П рим ер. В ода в колодце н ах о д и тся на 15 м ни ж е
у ро в н я зем ной поверхности. В воду опущ ена т р у б к а,
из которой насос, н ах о д ящ и й ся на поверхности, о т ­
к ач ал весь в оздух (фиг. 100). П од н и м ется ли в о д а д о
н асоса?
С точки зрен и я ф изики си ту ац и я зд есь точно т а ­
к а я ж е, к ак в слу ч ае ртутного б а р о м ет р а на фиг. 99.
П оэтом у д л я реш ения п оставлен ной за д а ч и м ож н о
во сп о л ьзо в аться ф орм улой (6.4). И з нее с р а зу п о­
л у ч ается м акси м ал ьн о в о зм о ж н а я вы сота подъем а
воды
к = Ро
08
1,01 • 106
1 • 980
= 1 ,0 3 • 103 см.
И так , вода подним ется только на 10,3 м. Те, кто в и ­
дел глубокие колодцы , зн аю т, что в ы ход из п о л о ж е ­
ния в том, чтобы пом естить насос на дн о к ол одц а.
В этом случ ае насос к а ч а е т воду, а не воздух.
Закон Архимеда
Погрузим брусок высотой Ь и площ адью
основания А в ж идкость на глубину к, ка к
показано на фиг. 101. Плотность жидко159
Фиг. 101. Б р у со к объ ем ом АЬ. п огру­
ж ен в ж и д к о сть плотностью Г>.
сти I). Сила, с которой жидкость действует
на нижнюю поверхность бруска, будет н а ­
правлена вверх и равна по величине
Р 1 = Р А = О ё (Н + Ь ) - А.
Сила, действую щ ая на верхнюю
ность, нап равлен а вниз и равна
поверх­
Р 2 = (0§Н) ■А.
Резул ьтир ую щ ая сила, действую щ ая со сто­
роны жидкости на брусок, равна
? 1 — Рг =
■ А = ( М ж и д к ) 8,
где М жидк = .0/*Л — масса жидкости, вытес­
ненная бруском. Итак, на брусок действует
сила, н аправленная вертикально вверх и
равн ая весу вытесненной жидкости.
З а к о н А р хи м ед а гласит, что на тело,
погруженное в жидкость и л и газ, действует
вы т алкивающ ая сила, р а вн а я весу жидкости
и л и газа в объеме тела.
Если этот принцип применить к частному
случаю плаваю щ его тела, то мы получим,
что п лаваю щ ее тело вытесняет ка к раз
столько жидкости, сколько весит само тело.
Прим ер. В от очень п о п у л яр н ая за д а ч а : что прои­
зой дет с уровнем воды в с та к ан е , где п л а в а е т кусок
л ь д а, к огд а л е д р астает? П овы си тся он или пони­
зи тся?
О к а зы в ае тс я , что уровен ь воды остан ется п р е ж ­
ним, если, конечно, л ед и д о т а я н и я п л а в а л в этом
стакан е. П оск ол ьк у кусок л ь д а вы тесн ял количество
воды , р авн о е его собствен ном у весу, то, р а с т а я в , он
зап о л н и т в точности тот объ ем , которы й раньш е з а ­
нимал.
§ 4. Атомы и молекулы
«Н Е В И Д И М Ы Е » К И Р П И Ч И М И Р О З Д А Н И Я
Вопрос 1. Д о п у сти м , что в с те к л ян ­
ную тр у б к у ртутн ого б ар о м етр а на
ф иг. 99 поп ал п узы рек в о зд у х а . Если
д ав л ен и е в о зд у х а в тр у б ке н а д ртутью
равн о 0,1 от атм осф ерн ого, то какой
б уд ет вы сота ртутн ого столба?
160
Строение вещества будет рассмотрено д е ­
тально в гл. 13 и 14. О днако прежде ^ем по­
знакомиться с кинетической теорией, нам
следует зад е р ж а ть с я на понятиях атома и
молекулы.
Еще за 400 лет до н ач ал а нашей эры гре­
ческий философ Д ем окри т пред пол агал ,ч то
все вещества состоят из частиц, кото­
рые он н азы вал атомами, а простран­
ство между ними является совершенно
пустым
(вакуум ). Греческое слово
«атом» о зн ачает неделимый. Теперь
мы знаем, что на З е м л е встречаются
атомы 92 различных видов. Вещества,
построенные из атомов только одного
вида, назы ваю тся элементами. В о до ­
род, углерод, кислород, медь — вот
примеры некоторых из этих 92 э л е м ен ­
тов. В приложении (стр. 549) приведе­
на табли ца (табл. III) всех элементов.
Элементы перечислены в порядке уве­
личения массы их атомов (за двум я ис­
клю чениями). Первый элемент в этом
списке — водород, второй — гелий, а
третий — литий. Номер элемента 2 в
этом списке н азы вается атомным ном е­
ром. Таким образом, 2 = 1 у водорода
и 2 = 3 у лития.
Объяснение строения различных
веществ основано на том, что при тес­
ном сближении атомов, когда они поч­
ти соприкасаю тся д руг с другом, м еж д у
ними действуют огромные силы в за и м ­
ного притяжения. Н екоторы е д а ж е со­
вершенно различные атомы сильно при­
тягиваю тся друг к другу. Так, атом
кислорода о б ладает большим сродст­
вом к одному или д а ж е двум атом ам
водорода. П рочная комбинация двух
атомов водорода и одного атом а кис­
лорода носит назван ие молекулы воды.
Вода целиком состоит из таких м ол е­
кул Н 20 . Если раздели ть водяной пар
на мельчайшие частицы, сохраняю щ ие
еще химические свойства водяного п а ­
ра, то это и будут молекулы Н 20 . Ве-
Фнг. 102. « Ф отограф и я»
* гексам ети л б ен зол а.
м олекулы
П о д ф о тограф и ей п о к а з а н а стр у к ту р н а я ф о р м у л а .
«Ф о то гр аф и я» получена косвен ны м путем з а счет
п р ео б р а зо в а н и я ди ф р акц и о н н о го рентген овского и зо­
б р а ж е н и я в видим ое, п одобно п рео б р азо в ан и ю в т е ­
леви ден и и ви д ео си гн ал а
в
ви ди м ое
и зо б р а ж ен и е .
У величение 108.
6— 176
161
Ч
. » •*.; V ли ■ •' ,!'*
•^а,г
л *.
.
♦••.••:>/*./
. •- х : . С .
•'* 10^:.::■■■■<>.
-^
.
■•
; ; • •.•я-л• -л\'** •
.*
/ Я .V - .
*
га
-л -Р * ;
•.•* ь
л. . *.
-
Фиг. 103. И онны й микроскоп.
а — сильн о у п р о щ ен н ая схем а м икроскопа. П о л ож и тел ьн о з а р я ж е н н а я око­
нечность во л ьф р ам о во й иглы о т т ал к и в а е т п о лож и тельно за р я ж е н н ы е атом ы
гел и я (ионы ге л и я ), н ах о д я щ и еся вблизи, него. И з окрестности атом а на
п оверхность у т е к а е т больш е ионов, н еж ел и из окрестности двух атомов.
И оны д в и ж у т ся в р а д и а л ьн о м н ап р авл ен и и к ф л уоресц и рую щ ем у экр ан у ,
где с о зд а е тс я к а р т и н а , в о сп р о и зво д я щ ая по своей освещ енности карти н у
р а сп о л о ж ен и я а то м о в н а оконечности;
б — ф о то гр аф и я ф лу о р есци р у ю щ его э к р а н а , н а которой к а ж д а я с в е т ящ а я с я
то ч к а соответствует отдел ьно м у ато м у н а оконечности иглы (и ли, возм ож но,
в некоторы х с л у ч а я х груп пам из д в у х 'и л и трех атом ов); в — м одель о к о ­
нечности иглы из м озаи ки пробковы х, ш ариков, к а ж д ы й из которы х соот­
ветств у ет атом у во л ь ф р ам а. М о д ел и р о ван н ая и гл а см отрит п рям о в а п п а ­
р а т и ее оконечность — в ц ен тре ф о то гр аф и и. К орковы е ш арики, п р ед с т а в­
ляю щ и е те ато м ы , которы е особенно эф ф екти вн о о ттал к и ваю т ионы, бы ли
п окры ты лю м и несцен тн ой кр аско й и с ф о то гр аф и рован ы в тем ноте;
г — ф о то гр аф и я м одели в. С ходство этой ф о то граф и и с п редставленн ой на
ф и г. б п о д т в е р ж д ае т ги потезу о том , что мы ви ди м отдельны е атом ы .
" *
*
кч > . * ,
-ч* *с*
»
* ■‘ •
-...
щество, состоящее из одинаковых молекул,
построенных из различных атомов, н а зы в а ­
ется соединением.
Строение атомов и расчет их размеров
являю тся предметом рассмотрения гл. 13
(см. фиг. 290, стр. 424). В большинстве сво­
ем атомы составляю т в попереченике 10- 8 сл.
Д л и н а световой волны составляет примерно
5-10-5 см, т. е. в 1000 раз больше. Таким
образом,
отдельные атомы и молекулы
нельзя
видеть
невооруженным глазом.
Н ельзя их увидеть д а ж е в оптический мик­
роскоп с очень большим увеличением.
Однако молекулярную структуру можно
«разглядеть» с помощью современных мето­
дов рентгеновского анализа. Н а фиг. 102 по­
казан а «фотография» молекулы гексаметилбензола, полученная методом рентгеновско­
го анализа. М юллер изобрел новый метод,
позволяющий получать изображ ения от­
дельных атомов,— так назы ваемы й ион­
ный микроскоп. Устройство этого микроско­
па поясняет фиг. 103. Атомы острия создаю т
точки на флуоресцирующем экране.
Молекулы твердых тел и жидкостей н а ­
ходятся в довольно тесном контакте друг с
другом. Именно поэтому твердые тела и
жидкости почти несжимаемы. С другой сто­
роны, плотность газов примерно в 100 раз
меньше. Таким образом, средние расстояния
меж ду молекулами газов велики. В газа х
молекула до столкновения с другой м олеку­
лой проходит расстояние, равное многим мо­
лекулярным диаметрам.
§ 5. Уравнение состояния
идеального газа
Н Е П Р Е Р Ы В Н А Я Б О М Б А Р Д И Р О В К А М О Л ЕК У ЛА М И
Ответ 1. С толб ртути до л ж ен обеспе­
чить давл ен и е Р = Ь , 9 Р 0. С л ед о в ател ь­
но, Л = 68,4 см.
6*
Опыт показывает, что если уменьшать
объем, заполненный определенным количест­
вом газа, то давление в нем будет в о зр ас­
тать при условии, что температура остается
неизменной.
Примерно 300 лет н а за д Бойль о б нару ­
жил, что для большинства газов изменение
163
РТ
д авления связано с изменением объема прос­
тым соотношением. Если в начале д авление
и объем были соответственно равны Р\ и
а в конце Р 2 и У2, то закон Бойля у т в е р ж д а ­
ет, что
Р1У1 —Р 2У 2,
(6.5)
если температура поддерж ивается постоян­
ной, а количество газа остается тем же.
П ример. О бъем пузы рька в о зд у х а по м ере всп л ы ­
вания его со д н а озера на поверхность у в ел и чи вается
в 3 р аза. К а к о в а глубина озера?
П усть Р [ — д ав л ен и е в о зд у х а в пузы рьке, а V 1—
его объем у дн а озера. Д а в л е н и е Р$ равн о Р 0 — а т ­
м осф ерном у давл ен и ю , а К2 = 3 У\. П о за к о н у Б ой л я
Р ^ г = Рг • У2 = Л, ' 3 ^ .
Л = ЗР0.
И так , увеличение д ав л ен и я у дна озера б л а го д а р я в е ­
су воды равн о Р \ — Р а, или 2 Р 0. С огласно (6.3), гл у ­
бина к о зер а находи тся из соотнош ения
2 Р„ = ^ Л ,
Фиг. 104. О тд ел ьн ая частиц а с массой т , зак л ю чен н ая в ящ и ке объемом АР.
Площадь А
164
,
2Р»
к
2 0 ,6 м .
Теперь, узнав, что газ состоит из частиц,
соударяю щ ихся со стенками сосуда, мы
долж ны научиться выводить закон Бойля,
исходя из принципов ньютоновской м е х а­
ники. Мы знаем, что, каж д ы й раз у д аряя сь
о стенку, частица оказы в ает на нее некото­
рое силовое воздействие. Следовательно,
давление газа долж но быть обусловлено
многочисленными уд ар ам и молекул о стен­
ки. Поскольку газ — это разреж енное скоп­
ление молекул, ясно, что такой механизм
будет единственным возможным источником
его воздействия на стенки сосуда.
Вычислим сначала среднее давление на
стенку, обусловленное у дарам и только одной
молекулы с массой т, составляю щ ая скоро­
сти которой в направлении х равна
(фиг. 104). Допустим, что эта молекула н а ­
ходится в ящ ике длиной I (в направлении
оси х ) , причем стенки, перпендикулярные х,
имеют площ адь А. И н тервал времени меж ду
двум я последовательными соударениями о
стенку равен
21
I
И зменение импульса АР х частицы при к а ж ­
дом соударении составляет
Д Рх = тюх — т (— ох) = 2 т у х.
Согласно второму закону Нью тона, средняя
сила, с которой м олекула воздействует на
стенку, равна
Р — АР,
М
И скл ю чая АР х и Д 1 с помощью написанных
выше соотношений, мы получаем
тV"
^стV у
а среднее давление, которое м олекула о к а ­
зы вает на стенку,
т ох
Л/.
тох
V
где У = Л / , — объем ящ ика.
Д авление, создаваем ое N частицами, б у ­
дет, следовательно,
(6 .6)
Р =
где V\ — среднее значение ьх д л я этих N м о­
лекул. Газы, которые подчиняются у р а в н е ­
нию (6.6), назы ваю тся идеальны ми газами.
Лю бой газ при достаточном разреж ен и и
(/V не очень велико) ведет себя ка к и д е ал ь ­
ный.
В опрос 2. М о ж н о л и и сп о л ьзо вать з а ­
кон Б о й л я д л я сравн ен и я д в у х р а з ­
личны х и д еал ьн ы х газов?
Среднее значение у2 хмож но легко связать
с V2 . Д л я этого заметим, что V2= ^ + ^ + ^ 2
(теорема П и ф аго р а в трех измерениях).
Взяв среднее значение от обеих частей этого
равенства, получим
*
=
+
V I
+
V:
165
1
Т ак ка к молекулы беспорядочно движут2
ся во всех направлениях, то Vx =
Значит,
2
2
Vу = сг .
V2 = З и 2 ,
X
ИЛИ
—о
1)2
~
3 •
П одставив это соотношение в формулу
(6.6 ), получим
РУ = Ш - у - .
(6.7)
Заметьте, что левая часть полученного у р а в ­
нения совпадает с комбинацией, входящей в
закон Бойля. Рассмотрим теперь одно и то
ж е количество газа (./V молекул) в двух р а з ­
личных состояниях. С огласно (6.7),
Р У Х=
V2 (состояние 1)
и
Р 2У2 = - у - V2 (состояние 2).
В следующем п ар агр а ф е мы п окаж ем ,
что
1
2
если температуры Т\ и Т2 равны. И так, л е ­
вые части обоих равенств равны одной и той
ж е величине [(N т /3 )V 2^], если температуры
в обоих состояниях одинаковы. Иными сло­
вами,
Р ,У г =
Р У г-
§ 6. Температура
КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ МИКРОЧАСТИЦ
Ответ 2. Н ет, к а к у к а за н о на стр. 164.
Г о Г и ^Т » 1 ^ р ," ^ ™ о « Т р "
ж а т одно и то ж е число м олекул, то,
к а к мы увиди м , Р)У\=РгУг-
166
С понятием температуры знакомы все.
Обычно мы измеряем температуру, наблюрасширение ртути или окрашенного
спирта в термометре. Температуру м ож но
измерять т а к ж е по расширению газа, хотя
Фиг. 105.
П ростейш ий
газов ы й
тер­
мом етр.
Заш трихован н ая
ч асть тр у бки за п о л н е н а
газо м при постоянн ом д а в л е н и и . В ысота
п о д ъ ем а капл и ртути п р о по р ц ио н альна т е м ­
п ер а т у р е га за .
/
'
Воздух под
давлением
1 атм
- Капля ртути
'Газ
это и не так удобно. Простейший газовый
термометр и зображ ен на фиг. 105. « П р о б ­
кой» сл уж и т м аленькая капелька ртути у
верхнего края столба газа. Д ав лен и е в ог­
раниченном объеме газа все время будет
равно атмосферному давлению Р0. Объем
его, согласно (6.7),
,,
NтV^
~ “Ж - '
Учтем далее, что ти2= 2Е кпн, где Екки —
п риходящ аяся на одну молекулу средняя
кинетическая энергия поступательного д в и ­
жения. Символ Екни мы будем применять
д ля обозначения кинетической энергии лишь
поступательного движ ения молекулы. Сю да
не д о л ж н а входить кинетическая энергия ко­
лебательного и вращ ательного движений.
П одставим в написанное выше вы ражение
2 Е кин вместо т о 2
2
3
N -р
Р0
(6 .8)
Итак, показания газового термометра
пропорциональны приходящейся на одну мо­
лекулу средней кинетической энергии по­
ступательного движения. В случае и д е а л ь ­
ного газа температура Т прямо пропорцио­
нальна /Г к ,ш с коэффициентом
3
(6.9)
^КНН = ~2~ к Т .
Учитывая (6 .8 ), имеем
Т = - Р>
>- V
N11
Н аш е о п ределение температуры будет осно­
вываться на этом соотношении. М ножитель
пропорциональности к н азы вается постоян­
ной Больцмана. Его можно получить, и з ­
меряя Р и V при известной температуре Т.
Он равен
П ост оянная Б о л ьц м а н а
Вопрос 3. Е сли с р ед н я я скорость мо­
л ек у л в ящ и ке уд в ои тся, то что п ро­
и зойдет с дав л ен и ем ?
к = 1,38 • Ю -16 эргГС .
В метрической системе за единицу т е м ­
пературы принят один градус по ш кале
Цельсия. Последнюю определяю т сл ед у ю ­
щим образом. З а 0°С принимается темпера167
Фиг. 106. С р авн ен и е тем п ературн ы х
ш кал Ф арен гей та, Ц ел ьси я и а б со ­
лю тной (К е л ь в и н а ).
Шкала
Фаренгейта
Шкала
Цельсия
Абсолютная
шкала
(Кельвина)
- 4- 400° К
Точка кипения
воды
-- 4 - 2 /2 “ Г — -Н--Ш°С — - .
-3 0 0
—О-----------273
-3 2
Точка замерзания воды
-Н- 0
-■-200
-..-1 0 0
---100
—
Абсолютный нуль— и_-=453-
—200
■— 2 1 3 -
Ответ 3. С редний к в а д р а т скорости и
д а в л ен и е в о зр а ст у т в 4 р а за , п оскол ь­
к у д а в л ен и е п роп орционально у2.
108
тура таяни я льда, за 100° С — температура
кипения воды (при атмосферном давлен ии ).
В Англии и СШ А пользуются шкалой Ф а ­
ренгейта (Р ), по которой температура т а я ­
ния льда равна 3 2 °Р, а тем пература кипе­
ния воды 212° Р. Таким образом, разность
температур в 1°С
соответствует 1,8° Р.
Н а фиг. 106 приведено сравнение т ем п ера­
турных шкал.
Абсолютный нуль
Зам етим , что, согласно (6.9), равн ая ну­
лю температура не соответствует 0°С.
Уравнение (6.9) утверждает, что Г = 0 в том
случае, когда в нуль об ращ ается кинетиче­
ская энергия всех молекул. А это происхо­
дит при гораздо более низкой температуре,
чем температура зам ерзан и я воды. П оэто­
му, чтобы пользоваться уравнением (6.9),
нужно «переопределить» нулевую точку.
Н ов ая ш к ал а температур, 1° которой равен
1°С , назы вается абсолютной шкалой, или
шкалой Кельвина. Эксперимент показывает,
что вода зам ер зае т при 7 = 273° К. С л е д о в а ­
тельно, нулевая точка по ш кале К ельвина
соответствует — 273° С. При этой тем п е р а­
туре долж но прекратиться всякое механиче­
ское движение молекул. (Согласно кван то­
вой теории, ещ е сохраняется «нулевая энер­
гия».) Эта нулевая температура получила
наименование абсолютного нуля. Из такого
определения температуры как меры моле­
кулярного движения следует, что не могут
сущ ествовать температуры ниже абсолю тно­
го нуля. В настоящ ее время в лабораторны х
опытах достигнуты
температуры
ниж е
0,0001° К- Отметим, что разность температур
в 1° по ш кале Кельвина и Цельсия со в п а д а ­
ет. Ш к ал а К ельвина совпадает со ш калой
Цельсия, у которой нуль смещен на 273°.
Теперь, мож но зап и сать уравнение со­
стояния идеального газа в самой общей ф о р ­
ме. Д л я этого подставим (6.9) в (6 .8), и
тогда
или
У р а в н е н и е с о с то я ния ид е а л ьн о г о газа
(6 . 10)
РУ — М кТ.
В реальных условиях при тем пературах,
близких к абсолютному нулю, газ конден­
сируется и сж иж ается. Очевидно, что у р а в ­
нение (6. 10). несправедливо при таких
тем пературах, когда газ п ревращ ается в
жидкость. Строго говоря, оно является точ­
ным лишь для так назы ваемого идеального
газа, в котором суммарный объем молекул
много меньше V. Кроме того, молекулы
долж ны вести себя подобно твердым ш а р и ­
кам, т. е. взаимодействовать лиш ь непосред­
ственно при столкновениях.
Д о сих пор температура имела лиш ь ф о р ­
мально математическое определение. Это
понятие не будет практически полезным,
пока мы не д о каж ем , что любые два вещ ест­
ва, находящ иеся в статистическом (тепло­
вом) равновесии, не находятся при одной и
той же температуре. Это означает, что если
перемешать в одном объеме д ва идеальны х
газа, молекулы которых имеют массу т { и
т 2, то оба газа окаж у тся при одинаковой
температуре в результате такого контакта.
С огласно (6.9), тем пература газа_ 1 р авн а
Г. = 2 (Е К И Н ) 1/Зк, а газа 2 Т 2= 2 (Е КИ Н ) 2/36.
Чтобы д о каза ть сформ улированное выше
утверждение, мы долж ны, используя нью то­
новскую механику, показать, что
{ Е ю т ) 1= ( Е к и н ) 2,
т. е.
т1^\
2
2
’
или
т2
/Лх
Строгое доказательство требует примене­
ния сложного математического ап п ар ата и
выходит за рамки этой книги. Однако мы
мож ем получить некоторое представление о
ходе д оказательства, рассмотрев, что про­
исходит при лобовом соударении молекул с
массами т { и т 2, летевших п ерв о н ачаль н ое
169
В о п р о с 4. П ри как ой т ем п ер ату р е к и ­
нети ческая эн ер ги я м олекул состав и т
половину их эн ергии при ком натной
тем п ературе? Т = __________° С.
170
одинаковой скоростью. Допустим, что
больше т 2. В этом случае молекула т,\ при
соударении зам едлится, а скорость м олеку­
лы т 2 увеличится.
К артина соударения т 2 с более тяж ел о й
движ ущ ейся молекулой аналогична той, ко ­
торая возникает при соударении теннисного
мяча с движ ущ ейся ракеткой. В результате
большого числа соударений среднее зн ач е­
ние величины т ^ ! 2 о каж ется равным т?р22И так, любые два вещества, находящ иеся
при одной и той ж е температуре, будут о б л а ­
д ат ь одинаковыми средними значениями ки­
нетической энергии поступательного д в и ж е ­
ния. Это явление природы носит назван ие
за кона р а вн о р а сп р ед елен и я энергии.
За ко н равнораспределения энергии сп р а ­
ведлив не только для и деальны х газов, но
и для всех других веществ. Д ва идеальных
газа с м олекулами массы т х и т 2 не о б я з а ­
тельно долж ны перемеш иваться в одном
сосуде. Они могут находиться в отдельных
сосудах с общей перегородкой. Допустим,
что вначале газ 1 горячее окр уж аю щ ей сре­
ды. М олекулы газа 1 при соударении с ат о ­
мами стенки будут пер ед авать им энергию,
пока не установится равновесие. Но теперь
атомы перегородки будут двигаться быстрее
и передавать энергию молекулам г а за 2,
пока последние не приобретут ту ж е ср е д ­
нюю кинетическую энергию, что и в газе 1.
Н а ш газовый термометр будет п оказы в ать
одно и то ж е и в газе 1, и в газе 2, и в сл у ­
чае перегородки.
В заклю чение нашего обсуждения поня­
тия тем пературы зад ад и м еще один вопрос.
В сосуде находится N одинаковых молекул
при температуре Т. Если число молекул у д ­
воится, средняя кинетическая энергня, при­
хо д ящ а яся на каж д ую молекулу, останется
той же, то какова будет температура? Если
у кого-нибудь этот вопрос вы звал затр у д н е­
ния, то это значит, что он не вполне понял,
что такое тем пература. Д л я того чтобы по­
лучить ответ, взгляните на наш е определе­
ние температуры (6.9) и обратите внимание
на то, что оно не зависит от N.
П рим ер. И звестн о, что м асса а то м а в о д о р о д а р а в ­
на 1,67 • 10~24 г. К а к о в а плотность г азо о б р азн о го в о ­
д о р о д а при атм осф ерн ом д а в л ен и и и 0° С?
П лотн ость И р а в н а м ассе Ы т, деленной на о б ъ ­
ем V:
Ыт
0 = -тг~ .
В ы рази м V из уравн ен и я (6.10) и под ставим сю да
Л'т
Ы к Т /Р
тР
о =
кТ
М асса ш р авн а удвоенной м ассе ато м а в о д о р о д а,
т а к к а к м ол екул а в о д о р о д а состои т из д в у х атом ов.
Д а в л е н и е Р р авн о 1,01 • 10е дин/см2, тем п ер ату р а
7’= 2 7 3 ° К . П од став и м эти зн ач ен и я в написанную
ф о р м у л у и получим
2 • 1 ,67 • 1 0 -г* . 1,01 . 10е
1 ,3 8 • 1 0 -1* • 273
г ,с м
=
= 8 ,9 • 10-5 г/см3.
§ 7. Закон Авогадро
ЭТО П Е Р Е С Ч И Т А Н Н Ы Е М О Л ЕК У Л Ы
З а ко н Авогадро гласит, что в р а вн ы х
об ъем ах л ю б ы х д в у х газов, н а ход ящ ихся
при одном и том же д а в ле н и и и температуре,
содержится одинаковое число м о лекул.
П окаж ем , что закон Авогадро является
следствием кинетической теории. Выразим
N из уравнения (6.10).
Д л я газа 1:
Д л я газа 2:
Ответ 4. К о м н а тн ая тем п е р ат у р а по
абсолю тной ш кал е р а в н а прим ерно
300° К; половина со ст ав л яе т 150° К ,
или — 123° С.
< ели теперь
N \ = N 2.
Р\ — Р 2 , 1Л — Кг
И
— Гг,
ТО
Итак, в 1 л любого газа при комнаттемпературе и атмосферном давлении
ной
171
содержится ровно столько ж е молекул,
сколько в 1 л другого газа при тех ж е у сл о ­
виях. Отношение масс двух газов, сл ед о в а­
тельно, равно отношению их молекулярных
весов Ц.1/(Х2П рим ер. С колько м олекул
в о зд у х а при Г = 0 °С ?
С огласно уравн ен ию (6.10),
РУ
кТ
со д ер ж и тся в 1 см 3
1.01 ■ 10е ■ 1
1 ,3 8 - 10~1в • 273 ~
Л / _________ - ____________________________- __ 9 6 8 . 1 0 19
~
1и '
Грамм-молекула, или моль
Отношение масс атомов кислорода и во­
дорода равно 16/1,008. Чтобы иметь стан ­
дартную таблицу относительных атомных
масс, химики договорились считать атомный
«вес» кислорода в точности равным 16
Тогда молекулярный «вес» молекулы кисло­
рода ( 0 2) равен 32, а молекулы водоро­
да (Н 2) — 2,016.
М олем , и ли грам м -м олекулой, называется
количество вещества, численно равное м о ле­
к ул я р н о м у «весу», вы раж енному в грам м ах.
Следовательно, один моль Н 2 равен
2.016 г водорода, один моль
Н 20 равен
18.016 г воды. Число молекул в одной грамммолекуле, или одном моле, носит н азван ие
числа Авогадро Л^0. Его можно вычислить,
зная массу отдельной молекулы. Методы
рентгеноструктурного ан ал и за позволяют
очень точно определить расстояние меж ду
атомами в твердых кристаллах. М асса атома
водорода известна: 1,67-10~24 г. Число моле­
кул в 1 м оле водорода равно частному от
деления 2,016 г газообразного водорода на
В опрос 5. Ч ем у р авн о отнош ение чис­
л а ч асти ц в д в у х с о су д а х Л'г/Л^, если
об ъ ем сосуда 2 в двое превы ш ает о б ъ ­
ем сосуда 1 и г а з в нем н ах о д и тся при
в д в о е больш их тем п ер ату р е и д а в ­
лении?
Ф изикам не нрави тся это определение, т а к к а к
в природе имею тся три изотопа ки сл орода, из к о то ­
рых н аиболее распространен О 16. В 1961 г. ф и зи ки и
химики с о б р ал и сь все вм есте и договори л и сь относи­
тельно ш калы атом ны х масс, в основу которой был
полож ен атом ны й вес единственного изотопа угл ер о д а
С 12. И так , вес ато м а С 12 равен в точности 12 едини­
цам м ассы . С т а р а я ш кал а и зм ен и лась м енее чем на
10~4, т ак что мы не будем об этом бесп окоиться в
наш ей книге.
Ч исло А в о га д р о
2-1,67-10 24 г (масса одной молекулы Н 2).
Р езу л ь тат таков:
/\[0 — 6,02 • 1023.
С огласно закону Авогадро, 1 м оль л ю бо­
го газа при атмосферном давлении и тем пе­
ратуре 0°С зан и м ает один и тот же объем.
Его легко вычислить из уравнения (6.10):
у
_
ЛГ0ЙГ
Р0 ~
(6 ,0 2 • 1023) • (1 ,3 8 • 10~16) • 273
1,01 • 106
“
= 22,4 • 103 сж3 = 22,4 л.
П рим ер. А том ны й вес у гл е р о д а 12. С кол ько а т о ­
мов с о д ер ж и т с я в 1 г у гл ер о д а?
1
м о ль, или 12 г, угл ер о д а с о д ер ж и т
атом ов
углерода. С л ед ов ател ьн о, в 1 г угл ер о д а Ы0112, или
5• 1022 электрон ов.
§ 8. Кинетическая теория тепла
М А К РО С К О П И Ч Е С К А Я Э Н Е Р Г И Я С Т О Ч К И З Р Е Н И Я
М И К РО М И РА
З а единицу количества тепла в метриче­
ской системе принята ка ло р и я. К ал о ри я оп ­
ределяется ка к количество тепла, необходи­
мое д ля нагрева 1 г воды на Г С. В § 10 гл. 5
мы у ж е говорили, что данное количество теп ­
л а можно получить, з атрати в эквивалентное
количество механической энергии. Н а п р и ­
мер, в р а щ а я в воде гребной винт, мож но со­
вершить над ней известную работу. Опыт
показывает, что тем пература воды при
этом будет возрастать пропорционально про­
деланной работе. Всевозмож ные экспери­
менты такого типа показали, что 1 ка л тепла
эквивалентна 4,18 дж энергии:
М е ха н и ч е ск и й эквивалент тепла
О т в ет 5.
П оскольку
Р 2 У2
Т2
= 2
~ Л
то N ^ = 2 N 1.
7\
1 к а л = 4,18 • 107 эрг.
Вместо нагревания воды будем н агре­
вать 1 м оль одноатомного (один атом в о д ­
ной молекуле) газа. Количество тепла, не­
обходимое, чтобы увеличить тем пературу
моля одноатомного газа на 1°С , если объем
газа поддерж ивается постоянным, н азы в а ет ­
ся удельной теплоемкостью С„ (индекс ука173
!
зывает, что это теплоемкость при постоян­
ном объеме). Опыты показали, что у д ел ь ­
ная теплоемкость гелия равна 2,98 кал\
иными словами, чтобы увеличить тем перату­
ру 4 г гелия на Г С , требуется 2,98 ка л, или
12,5-107 эрг. Н а что идет эта энергия? Есте­
ственно предположить, что энергия целиком
идет на повышение кинетической энергии
молекул гелия. Посмотрим, совпадает ли это
экспериментальное значение 12,5-107 эрг
с тем, что п редсказывает кинетическая тео­
рия. Согласно этой теории, кинетическая
энергия, зап асен ная в 1 м оле гелия, равна
[см. (6.9)]
м о ль
= н
3 67.
0 2
Увеличение кинетической
гревании на Г С составит
----- Ек""
м оль • гр а д
Су =
энергии при н а ­
= 4 - Н 0Ь,
2
и
• 6,02 • 1023- 1 ,3 8 -10-16эрг!моль-град,
Су = 12,5 • 107 эрг!моль • град.
Вопрос 6. С колько литров водорода
У н 2 и к и сл орода У о ,п р и 0° С и а т ­
м осф ерном дав л ен и и о б разую т 18 г
(1 м о ль) воды ?
174
|||
Таким образом, кинетическая теория пол­
ностью раскры вает «таинственное» с о д е р ж а ­
ние понятия тепла.
В случае двухатомных газов (два атома
в одной м олекуле), таких, ка к Н 2, 0 2 и N2,
тепло идет не только на увеличение кинети­
ческой энергии поступательного движения,
но повышает т а к ж е кинетическую энергию
вращ ательного и колебательного движений.
Поэтому для нагревания 1 м оля двухатомно­
го газа на Г С потребуется несколько б оль­
ше тепла, чем для той ж е цели в случае о д ­
ноатомного газа. Нью тоновская классиче­
ская механика дает определенный ответ на
вопрос, сколько энергии потребляют в р а щ а ­
тельное и колебательное движения молекул.
Вообще говоря, измеренные значения у д ел ь ­
ных теплоемкостей газов не согласуются с
теоретическими значениями. Однако совре­
менная квантовая теория удельных теплоем ­
костей блестящ е объясняет эксперимент
(см. гл. 12).
В качестве примера неправильных пред­
сказаний классической механики рассмот­
рим только в ращ ательное движение мо­
лекул одноатомного газа. У каж дого ато­
ма помимо трех степеней свободы, отвеча­
ющих поступательному движению, д олж ны
быть еще три вращ ательны е степени сво­
боды. Н а основе законов Нью тона и исполь­
зуя высшую математику, можно п оказать,
что на к аж д у ю степень свободы молекулы
приходится средняя кинетическая энергия
кТ/2. Следовательно, на каж ды й атом одно­
атомного газа д олж н а приходиться энергия
6 -к Т /2 = ЗкТ. В то ж е время эксперим енталь­
ное. значение при комнатной температуре
близко к 3/гкТ.
Это расхождение объясняется тем, что
атомы оказал и сь столь «гладкими» (симмет­
ричными), что никакие соударения не в со­
стоянии привести их во вращение. Но этого
аргумента оказывается недостаточно, чтобы
объяснить расхождение в случае д вух атом ­
ных молекул. Такие молекулы имеют две
в р ащ ательны е степени свободы и одну коле­
бательную степень свободы. В таком случае
средняя кинетическая энергия, п р и х о д ящ ая­
ся на одну молекулу, составит г!т.кТ д ля по­
ступательного движения плюс 2/ 2к Т для в р а ­
щательного движения и плюс ЧокТ д л я ки­
нетической энергии колебаний. Но посколь­
ку средняя потенциальная энергия при
простом гармоническом колебании равна
средней кинетической энергии, надо д о б а ­
вить еще кТ /2, которое идет на потенциаль­
ную энергию колебаний.
Следовательно,
О твет 6. Х и м ическая реакци я зап и сы ­
в ае т ся в виде
м оль ■ град
6,02 ■ 10м • \
- 1,38 • 10-16,
Н 2 + — 0 2 ->- н 2о ,
или 1 м оль м о л ек ул ярн ого в о д о р о д а
плюс У2 м о л я м ол ек ул ярн ого к и с л о р о ­
д а д а е т 1 м о ль воды ; след овател ьн о,
V
= 2 2 ,4 л, V о , = 1 1 ,2 л .
= 29,1 • 107 эрг!моль ■град.
Но при комнатной температуре эта теп­
лоемкость составляет 20,8 - 107 эр г/м о ль-гр а д .
175
Д вухатом н ы е молекулы ведут себя так,
как если бы в них возбуж дались только две
вращ ател ьны е степени свободы и не проис­
ходило колебательных движений. О днако
при гораздо более высоких тем пературах
в конце концов проявляю тся и к о л е б а ­
ния. Т а к а я «странная» зависимость у д е л ь ­
ной теплоемкости от температуры очень точ­
но описывается квантовой теорией. В р а м ­
ках классических представлений удельн ая
теплоемкость от температуры зависеть не
долж на.
§ 9. Изменение состояния
МОЛЕКУЛЫ в ЗАТОЧЕНИИ И НА СВОБОДЕ
Вопрос 7. Ч ем у б у д ет р авн а у д е л ьн а я
м о л я р н а я теп л оем кость твердого тел а,
к а ж д ы й а то м которого им еет 3 к о л е ­
б а т е л ь н ы е -с т е п е н и свободы ?
Скопление молекул мож ет находиться в
твердом, ж идком или газообразном состоя­
нии в зависимости от величины межмолекулярного взаимодействия и средней кинети­
ческой энергии, приходящ ейся на одну м о­
лекулу, т. е. температуры. В твердом теле
при комнатной тем пературе все молекулы
колеблются относительно их полож ения р а в ­
новесия со средней кинетической энергией
3/2&7' (мы пренебрегаем здесь квантовыми
э ф ф е к т а м и ). Однако м еж м ол ек улярны е силы
столь велики, что, для того чтобы оторвать
одну молекулу от твердого тела, нужно
затрати ть энергию, значительно п ревосходя­
щую 3/2&7\ С ростом температуры в конце
концов достигается так ое состояние, когда
относительные положения молекулы у ж е не
фиксированы, но сил еще достаточно, чтобы
уд ерж а ть молекулы друг с другом. Эта т е м ­
пература назы вается точкой п л а вл е н и я . С о ­
стояние, при котором относительные п оло­
жения молекулы не закреплены, а молекулы
все ж е уд ерж и ваю тся вместе, представляет
собой микроскопическую структуру ж и д к о ­
сти. В случае жидкости отдельной молекуле
еще очень трудно вырваться з а пределы в е­
щества.
При еще более высокой температуре (н а ­
пример, при точке кипения) энергии боль-
Фиг. 107. К р и в а я д а в л ен и я п ар о в в о ­
ды в и н тер в ал е т ем п ер ату р 0 — 150° С.
т, °с
шинства молекул оказы вается достаточно,
чтобы полностью преодолеть меж молекулярные силы. Д а ж е при тем пературах ниже
точки кипения с поверхности жидкости могут
вы летать находящ иеся вблизи нее м олеку­
лы, кинетическая энергия которых достаточ­
но превыш ает среднюю кинетическую энер­
гию. Процесс, при котором самые быстрые
молекулы отрываются с поверхности ж и д к о ­
сти, носит название
испарения. Потеря
самы х быстрых молекул, конечно, п онижает
среднюю кинетическую энергию, или тем пе­
ратуру, остающихся молекул. Поэтому, что­
бы перевести данное количество жидкости в
газообразн ое состояние при той ж е тем п е р а­
туре, ей нужно сообщить определенное коли­
чество тепла. Количество тепла, необходи­
мое д ля испарения 1 г жидкости, назы вается
скрытой теплотой испарения. С кры тая тепло­
та испарения воды при 100° С составляет
540 к а л /г. Вы видите, что для испарения
чаш ки воды нужно затрати ть значительное
количество энергии. По тем ж е причинам на
плавление 1 г льда при 0°С расходуется
80 к а л тепла. Эта величина н азы вается
скрытой теплотой п л а в л е н и я . Вообще с из­
менением состояния любого вещества с в я з а ­
на определенная скры тая тепловая энергия.
Д а в л е н и е паров
О тв ет 7. Н а к а ж д у ю к ол еб ател ьн ую
степень своб оды у а то м а б у д ет при хо­
д и ться эн ер ги я
2 (&Г/2 ) ;
всего на
атом при ходи тся 6 (к Т /2 ), а н а м оль
3 Ы0кТ .
С л ед о в ател ь н о ,
м олярная
у д е л ьн а я теп л оем к ость т вер д о го тел а
С = З Л Г06 . Э то п р ав и л о хорош о п о д ­
т в е р ж д а е т с я н а опы те, особенно при
вы соких т ем п е р ат у р а х . О но н а з ы в а е т ­
ся за ко н о м Д ю л о н г а — Пти.
Допустим, что мы поместили определен­
ное количество воды в откачанный сосуд.
В ода будет продол ж ать испаряться, пока
число молекул, покидаю щ их ежесекундно
поверхность жидкости, не станет равным
числу молекул, во звращ аю щ ихся обратно.
Это условие равновесия совершенно одно­
значно определяет д авление га за Р при д а н ­
ной температуре Т. Величина Р, строго соот­
ветствую щ ая данной тем пературе Т, н а зы ­
вается д авлением паров. А сам газ, н а х о д я ­
щийся в равновесии с жидкостью, обычно
н азы ваю т паром. Н а фиг. 107 и зо бр аж ен а
зависимость давления паров воды Р от те м ­
п ературы Т. Заметьте, что Р = 1 атм при
Т = 100° С. Именно поэтому на уровне моря
177
вода кипит при 100° С. Холодная вода сразу
ж е закипит, если ее поместить в вакуумную
камеру.
П рим ер. Н а верш ине горы вы сотой 4000 м д а в ­
ление в о зд у х а на 40% ниж е, чем на* уровне м оря. П ри
к ак ой тем п ер ату р е зак и п и т зд есь в ода?
И з фиг. 107 видно, что д а в л ен и е 0,6 атм о т веч ает
т ем п ер ату р е 86° С. П ри этой т ем п ер ату р е д а в л ен и е
п аров воды б у д ет р авн о а тм осф ерн ом у и в о д а з а ­
кипит.
Если давление паров воды превысит з н а ­
чение, соответствующее точке на кривой
фиг. 107, то весь пар перейдет в жидкость.
Если давление окаж ется меньше равновес­
ного значения, то вся вода будет находиться
в газообразном состоянии. И только при
давлении Р, и зображ аем ом точкой на кр и ­
вой, могут одновременно сущ ествовать и н а ­
ходиться в равновесии жидкость и газ.
§ 10. Пузырьковая камера
Ж ИДКОСТЬ
Фиг. 108. К р и в а я д а в л ен и я
пузы рьковой кам ере.
паров в
П е р е д р асш ир ени ем ж и д к о ст ь н ах о ди тся
в у слови ях, соответствую щ их точке А . Т оч­
к а В со ответствует т ем п ер ату р е и д а в л е ­
нию ж ид ко сти п осле р асш ирени я.
178
П Ы ТА ЕТС Я ЗА К И П Е Т Ь
Ч Е М ЭТО В О ЗМ О Ж Н О
БЫ СТРЕЙ .
Допустим, что мы сж ал и поршнем неко­
торое количество жидкости. Пусть сила, дей­
ствую щ ая на поршень, такова, что давление
в жидкости равно Я ь а тем пература Т\ соот­
ветствует точке А на фиг. 108. Теперь быстро
освободим поршень. Д ав л е н и е в жидкости
упадет до атмосферного давлен ия Р 0, соот­
ветствующего точке В. Ж и д ко сть внезапно
окаж ется в условиях, при которых она
д о л ж н а бы ла бы быть газом. Ж и дкость в
таком состоянии назы ваю т перегретой. Это
состояние неустойчиво. К а к только сб р асы ­
вается д авление на поршень, многие ж и д к о ­
сти начинаю т кипеть вблизи металлических
поверхностей, однако вблизи поверхности
стекла кипения не н аблю дается. П р е д с т а ­
вим, что через перегретую жидкость п роле­
тела за р я ж е н н а я частица, например элект­
рон или протон. Ж и дкость закипит в разл и ч ­
ных точках вдоль следа. Теоретически,
правда, еще до конца не ясно, где в первую
Ф иг. 109. Ф отограф и я первой п узы рь­
ковой кам еры , изготовленной ц ел и ­
ком из м еталл а.
Фнг. 110. Ф отограф и я «сар к о ф ага» из
нерж авею щ ей ста л и д л я 72-дю йм о­
вой п узы рьковой кам еры с ж и д ки м
водородом .
очередь долж но начаться кипение жидкости.
Если взять жидкость, которая начинает з а ­
кипать не у поверхности стекла, а вдоль
следа заряж енной частицы,
прошедшей
через жидкость, то этот след можно увидеть
на фотографии, сделанной через стеклянное
окно камеры. Такие фотографии следов в
пузырьковой камере вы видите на фиг. 31,
152, 329, 331 и 332.
П ервая пузырьковая кам ера с м еталличе­
скими стенками была создан а в 1954 г. Ее
изобретателем был Д. Глезер. Н а фиг. 109
приводится фотограф ия этой первой пузырь­
ковой камеры. Ее диаметр составлял 50 мм.
В 1959 г. группой под руководством Л. А л ь­
вареса в Л аб о ратор и и излучений им. Э. Л о у ­
ренса К алифорнийского университета была
построена пузырьковая кам ера в виде с а р ­
коф ага длиной 6 фут (около
180 см)
(фиг. 110). Эта кам ера наполнялась ж и д ­
ким водородом. Фотограф ия этой камеры с
вспомогательным оборудованием п о казана
на фиг. 111. Вес этой камеры настолько в е­
лик, что сдвинуть ее с места оказал о сь не-
179
возможно. П риш лось сконстру­
ировать специальные приспо­
собления, и ка м ер а п ередвига­
ется наподобие ш агаю щ его э к с­
каватора. В настоящ ее время
в Брукхэйвенской Н а ц и о н ал ь ­
ной лаборатори и конструирует­
ся пузы рьковая кам ера с ж и д ­
ким
водородом,
диаметром
14 футов.
§ 11. Статистическая механика
Ф иг. 111. 72-дю й м овая п у зы рьковая
к ам е р а , о б о р у д о в а н н ая «ш агаю щ им »
приспособлением.
Фиг. 112. Н ео б р ати м о е
г а з а в вакуум .
расш ирение
С тоит лиш ь о ткр ы ть о тверсти е в п ер его ­
р о д ке, к а к г а з и з со су д а 1 н ач н е т р а сш и ­
р я т ь с я в сосуд 2.
«гВ с я к о р о л е в с к а я ко н н и ц а , в с я к о р о л е в с к а я рать
Н е могут Ш алтая, не могут Болтая,
Ш алт ая-Болт ая собрать» ').
Л ю бое вещество содерж ит столь большое
число молекул, что для описания его фи зи ­
ческих свойств необходимы специальные м а ­
тематические методы, носящие название ста­
тистики. Р ассм отри м в качестве примера два
сосуда, к а ж д ы й объемом в 1 см3, разд ел ен ­
ных перегородкой с отверстием (фиг. 112).
Пусть давлен ие в сосуде 1 равно 1 атм.
Тогда число частиц в нем равно 6,02 -1023,
деленному на число кубических сантиметров
в 22,4 л , т. е. 2 , 7 - 1019 частиц в 1 см3. Пусть
в сосуде 2 вн а ч а ле нет ни одной молекулы.
Откроем теперь отверстие в перегородке.
Ч ерез довольно короткое время мы о б н а р у ­
ж и м в сосуде 2 ка к раз половину молекул.
Газ расш ирился в вакуум. Сколько бы вре­
мени мы ни ж д ал и , обратного процесса не
произойдет никогда.
В действительности, конечно, число ч ас­
тиц в сосуде 2 будет несколько меняться,
или, ка к говорят, флуктуировать. М ате м ати ­
ческая статистика утверж дает, что прим ер­
но 70% времени число частиц в зад ан н ом
объеме будет находиться в пределах от
N — УЛ/ до Ы +
где N — среднее число
Ч П е р ев о д С. Я. М а р ш а к а.
180
молекул. В приведенном здесь случае это
(1,35- 1019± У 1 ,3 5 -1 0 19) =
= (1,35±0,00000000037) • 1019 частиц.
Вы видите, что эти флуктуации столь
малы, что обнаруж ить их нет никакой в о з­
можности. С другой стороны, столь огром­
ные флуктуации, чтобы в сосуде 2 не оста­
лось ни одной частицы, по существу невоз­
можны.
Теперь допустим, что, открыв отверстие в
перегородке и выпустив половину частиц из
сосуда 1 в сосуд 2, мы внезапно остановили
бег времени и заставили его идти в обратную
сторону. Физически время, конечно, никогда
не мож ет изменить своего направления. О д ­
нако мож но познакомиться с тем, к а к это
в ыглядело бы, если воспользоваться кино­
пленкой и пустить ее в обратном н а п р а в ­
лении. В этом случае сосуд 2 опустел бы сам
по себе и там о б разов ал ся бы вакуум. Итак,
мы столкнулись с парадоксом. Мы знаем,
что в реальных условиях открытый сосуд
никогда сам не опустошается и вакуум с а м о ­
произвольно не создается. И все ж е в кино­
фильме «шиворот-навыворот» не наруш ается
ни один из законов Нью тона. Д ействитель­
но, в кинофильме мы увидели такое распо­
лож ение частиц и направление их скоростей
в сосуде 2, б л а го д а р я которым частицы
будут д вигаться и соударяться так, что все
покинут этот сосуд. При этом не наруш ится
ни один из законов физики.
П а р а д о к с устраняется следующим о б р а ­
зом. Зам ети м , что одной специальной кон­
фигурации частиц в сосуде 2 соответствует,
в сущности, бесчисленное множество конфи­
гураций, при которых частицы примерно
поровну распределяю тся м еж д у сосудами.
Таким образом , хотя эта конфигурация,
позво л яю щ ая частицам покинуть сосуд 2 ,
принципиально возм ож на, практически ж е
она никогда не осуществляется. Поэтому
процесс расш ирения г а з а в вакуум нео б ра­
тим, несмотря на то что в принципе в о з м о ж ­
на т а к а я ситуация, когда вакуум «создается
самопроизвольно».
18)
Д ругим примером основанной на статис­
тике необратимости является переход тепла
от тела с большей температурой к телу с
меньшей температурой. Если соединить го­
рячий и холодный куски м еталла, то тепло
никогда не потечет от холодного куска к го­
рячему. Если бы это было возможно, то мы
были бы способны отбирать тепло у куска
м е талла или у океана и использовать его в
паровых
машинах. В ' океане запасено
столько тепловой энергии, что она смогла бы
удовлетворить все потребности человечества
на протяжении миллионов лет. Однако с т а ­
тистические
закономерности
зап рещ аю т
превращ ать эту кинетическую энергию х а о ­
тического движ ения молекул воды в у п о ря­
доченное движ ение машины. Машину, р а ­
ботающую за счет получения тепловой энер­
гии от единственного теплового, резервуара,
н азы ваю т вечны м двигателем второго родй.
Р а б о т а такой машины не н а р у ш а л а бы закон
сбхранения энергии. З а к о н сохранения энер­
гии в даннОм случае требует только умень­
шения температуры теплового резервуара
при работе машины. В применении к про­
цессам передачи тепла закон сохранения
энергии носит назван ие первого на ч а ла тер­
модинам ики.
Второе начало термодинамики
Д о л ж ен сущ ествовать еще какой-то з а ­
кон, который препятствовал бы получению
полезной энергии из тепла, содерж ащ егося
в мировом океане, и самопроизвольному о б ­
разованию вакуума. Это видно из рассмот­
ренных выше, правда, всего лиш ь двух при­
меров. Третий прим ер— « Ш ал тай -Б ол тай » 1>.
Таким законом является второе начало т е р ­
модинамики, представляю щ ее собой не что
иное, ка к прямое следствие статистики, или
закона больших чисе.л. В этом смысле это
•) А втор им еет в виду следую щ ее: « Ш ал тай -Б о л тай » — это яйцо. Н еобы чайн о просто сд ел а ть из яйца
яичницу. А вот попробуйте с д е л а т ь н аоборот — из
яичницы яйцо.— П рим . перев.
182
нач ал о не содерж ит новых ф у н д а м ен тал ь ­
ных физических принципов; оно является
математическим следствием наличия о гром ­
ного числа частиц.
Вот две формулировки второго н ач ал а
термодинамики: 1) невозможно практически
осуществить вечный двигатель второго рода;
2 ) беспорядок (назы ваем ы й та к ж е энтро­
пией) во Вселенной м ож ет только в о зр а с ­
тать, но не мож ет уменьшаться.
Обратимость времени
Мы видели, что второе нач ал о терм оди н а­
мики, вы раж енное в форме математического
закона, приводит к разны м физическим
результатам в зависимости от направления
течения времени. В предшествующ ем р а с ­
смотрении мы попытались выявить, что это
обстоятельство является прямы м следстви­
ем статистики и что в этом смысле второе
нач ал о термодинамики вообщ е не является
новым законом или фундам ентальны м ф и ­
зическим принципом. Мы имеем здесь дело
просто с основанным на статистике м а к р о ­
скопическим описанием, которое сп р ав ед л и ­
во лишь при наличии большого числа ч ас­
тиц. Оно мож ет быть получено из законов
Нью тона и кинетической теории с помощью
статистики. С другой стороны, применение
методов математической статистики к з а к о ­
нам Нью тона откры вает целый новый р а з ­
дел физики и д ает нам полезные физические
понятия, например такие, ка к температура.
Все встречавшиеся нам до сих пор д ей ­
ствительно фундам ентальны е законы п риро­
ды были обратимы во времени. Это значит,
что если поменять нап равл ен ия дви ж ени я
всех частиц (в том числе и вращ ения) на
обратные, то уравнения и законы физики
останутся справедливыми (если время будет
п р о до л ж ать течь в прежнем н аправлении).
Этот очень важ ны й принцип симметрии
природы был недавно проверен в сп ец и ал ь­
ном опыте, поставленном с целью вы яви ть
возм ож ны е отклонения. В 1964 г. было о б н а ­
ружено нарушение этого зак он а в слабы х
183
взаимодействиях. Если это нарушение про­
исходит только в слабы х взаимодействиях,
то оно не повлияет на сильные и э л е к тр о ­
магнитные взаимодействия, ответственные
з а ядерные и атомные явления. К роме того,
было установлено наруш ение двух других
очень важ н ы х принципов симметрии (с охр а­
нения четности и симметрии античастиц).
Их проверка б ы л а предпринята с той ж е
целью, что и проверка обратимости врем е­
ни. О недавнем падении этих трех «неруши­
мых» принципов симметрии мы поговорим
в гл. 16.
З ад ач и
1. Н а как ую глуб ину в озере н у ж н о ны рнуть, чтобы
поп асть в о б л асть, где д а в л ен и е б у д ет в д в о е вы ш е,
чем у поверхности?
2. С р е д н яя скорость м олекул в о д о р о д а при т ем п е р а ­
т у р е 0°С и д а в л ен и и 1 атм р а в н а 1,8- 105 см /сек. Д о ­
пустим, что в о д о р о д нагрев аю т при эти х усл о в и ях при
постоянном д а в л ен и и , пока его об ъ ем не увели чится
в 3 р а за .
а) Ч ем у р а в н а тем п е р ат у р а г а з а при так о м о б ъ ­
еме?
б) Ч ем у р а в н а ср ед н яя скорость в эти х у с л о ­
виях?
Ф иг. 113. К з а д а ч е 3.
3. М ол еку л а м ассой М п а д а е т на поверхность под у г­
лом 30° и под т ак и м ж е углом о т ск а к и в а е т о т нее с
преж н ей скоростью (фиг. 113). Ч е м у равн о и зм ен е­
ние им пульса м олекулы ?
4. М ол ек ул ярн ы й в ес г а з а р а ве н 39. Ч ем у р а в н а м а с ­
са 6,02 • 1023 м ол екул этого г а за ?
5. К о гд а в ш та те Н ью -Й орк су щ е ст в о ва л а систем а
искусственны х к а н а л о в , то бы л к а н а л , п ересекавш и й
р еку по мосту. К а к ув ел и ч и в а л а с ь н а гр у зк а н а мост,
к о гд а по нем у п роп лы в ало судн о м ассой 105 /сг? С р е д ­
н я я плотность су д н а 0,8 г/с м 3.
6. М о ж н о ли получить теп л о о т воды , т ем п е р ат у р а
которой р а в н а
чем у.
абсолю тном у
нулю ?
О б ъ ясн и те по­
7. П л о щ ад ь к о н т а к т а п атеф онн ой иглы и пластинки
р а в н а п л о щ ад и к р у га д и ам е тр о м 25 • 10_3 мм. И гл а
д а в и т на п л асти н ку с силой 5 д ин. Н а й ти д а в л ен и е
в д и н /с м 2.
8 . Г идравл и чески й д о м к р а т состоит из д в у х порш ней
д и ам етр о м 1 и 5 см.
а ) К ак у ю силу н уж но п р и л о ж и ть к м ал о м у порш 184
ню, чтобы п о д н ять больш им порш нем груз в е ­
сом 10 ньют он?
б) Н а к ак у ю вы соту под ним ется груз, если м а ­
лы й порш ен ь перем ести тся на 0,1 м ?
9. М а с са ш а р а зо н д а 50 к г (в к л ю ч а я м ассу г а з а в
н е м ), а о б ъ ем 110 м 3. Ш ар с в я з а н с зем лей веревкой.
П л о тн о сть в о зд у х а 1,3 к г/м 3.
а) К а к о в о н а тя ж е н и е веревки , ко гд а она н а х о д и т ­
ся в верти к ал ьн ом п олож ен ии?
б) К а к о в о н а т я ж е н и е веревки , если она п од д е й ­
ствием в ет р а о ткл о н и л ас ь на 30° от в ер ти ­
кал и ?
10. Вес т е л а в норм ал ьн ы х у с л о в и ях о к а з а л с я р а в ­
ным 300 ньютон. В воде его вес со став и л 200 ньютон.
а ) К а к о в о б ъ ем тел а ?
б) К а к о в а его плотность?
11. Т ем п е р а ту р а некоторого к о л и чества г а за при д а в ­
лении 1 атм у м ен ьш и л ась о т 100 д о 0 °С . Н а скол ько
атм о сф ер н у ж н о изм енить д а в л ен и е, чтобы объ ем г а ­
за о с та л ся преж н им ?
12. П л о тн о сть 1 см3 л ь д а о к а з а л а с ь равной 0,90 г/с м 3.
Н а к ак о й вы соте н ад поверхностью б у д ет н а ­
хо д и ться в ер х н яя гр ан ь к у б и к а , если его опусти ть в
воду?
13. К у со к сви н ц а плотностью 11,5 г/с м 3 п л а в а е т в р т у ­
ти плотностью 13,6 г/с м 3.
а ) К а к а я д о л я куска п огрузи тся в ртуть?
б) Е сл и м ас с а сви нца 2 к г, то как ую си л у н ад о
п ри лож и ть, чтобы свинец погрузи л ся полно­
стью ?
14. М а с с а 1 л г а з а при д а в л ен и и 1 атм и т е м п е р ат у ­
ре 0 ° С р а в н а 0,1 г. Ч то это за г аз?
Ф иг. 114. К з а д а ч е 16.
15. Б р у с о к д е р е в а
плотностью 0,8 г/см 3 п л а в а е т в
ж и д к о с ти плотностью 1,2 г/с м 3. О б ъем бруска 36 см3.
а) К а к о в а м асса бруска?
б) К а к о в а м асса вы тесненной ж идкости ?
в) К ак о й об ъ ем бруска б у д ет н ах о д и ться н а д
поверхностью ж и д к о сти ?
16. Г а з в ци ли н дре с ж а т порш нем , которы й м о ж ет
д в и га ть с я без тр ен и я (фиг. 114). О бъем г а з а 0,5 м 3,
вы сота с то л б а г а з а Н= 1,0 м. В ес порш ня 5 - 104 ньютон.
А тм осф ерн ое д а в л ен и е 105 нью т он/м2.
а ) К а к о в о д а в л ен и е в газе?
б) К а к у ю силу н а д о п р и л о ж и ть к порш ню , чтобы
ум ен ьш и ть Н д о 0,6 м при той ж е т е м п е р а ­
ту р е?
17. К у б и к с ребром 1 см и плотностью 0,8 г/с м 3 п л а ­
вает в воде. Т ем п ер ату р а воды п овы ш ается на 50° С,
отчего к а ж д о е ребро к уби ка ув ел и чи в ается на 10% .
Н а скол ьк о увел и чится объ ем вы тесненной ж и д к о с ­
ти? (П л о тн о с ть воды п р е д п о л а га е тс я неизм енной и
равн ой 1 г/с м 3.)
185
18. П о д водой н аходи тся в одородн ы й пузы рь о б ъ е ­
мом 5,6 • 103 см 3, со д ер ж а щ и й 1 г .Н ? при к ом натной
тем п е р ат у р е (21° С ).
а ) К а к о в о д а в л ен и е г а за в пузы ре?
б) Н а к ак ой глубине н а х о д и тс я этот пузы рь?
А тм осф ерное дав л ен и е н а д поверхностью воды
р авн о 106 д и н /с м 2.
19. В объ ем е V им еется N частиц, причем с р ед н яя
ки н ети ческая эн ерги я к а ж д о й частиц ы е.
а) Ч ем у р а в н а п ол н ая ки н ети ческ ая эн ергия всех
частиц?
б) Ч ем у р а в н а т ем п ер ату р а?
в) Ч ем у р а в н о дав л ен и е?
г) Е сли об ъ ем уд в о и тся за счет соединения с т а ­
ким ж е пусты м объ ем ом , то что п рои зойдет с
тем п ер ату р о й и давл ен и ем ?
О тветы в ы р ази те через V, N , е и к.
20. Н аил учш и й полученны й в л аб о р ат о р и и вакуум
с о ст ав л я е т прим ерно 10~ 14 см рт. ст. С кол ько м ол е­
кул о с тается в 1 см3 при этом «вакуум е»? В акуум
м еж зв е зд н о го п ростран ства
со ответствует одном у
протону в 1 см 3.
2 1 . П ри в зры ве водородн ой бом бы т ем п ер ату р а д о ­
сти гает 108 ° С. В этом очень горячем газе о б р а зу ю т ­
ся свободны е я д р а в о д о р о д а — протоны , а т а к ж е м но­
ж ес тв о дей трон ов (с массой, в двое превы ш аю щ ей
м ассу п р о то н а).
а) К а к о ва ср ед н яя скорость протонов?
б) К а к о во отнош ение средн ей кинетической эн ер ­
гии протонов и дей трон ов, если счи тать, что
они н а х о д я т с я в теп л овом равн овесии?
22. И д еал ьн ы й газ при т ем п ер ату р е Т и д а в л ен и и Р
за н и м а ет объ ем У. М асса одной м олекулы г а за р а в ­
на т . К а к о е из написанны х н и ж е в ы раж ен и й х а р а к ­
т ер и зу ет число м олекул г а за в объ ем е: Р У /т , к /Р У Т ,
т /к , к Т /У или У Р /к Т ? К а к о е из в ы раж ен и й описы ­
в ае т плотность г а за : т к Т , гп/У , Р т /к Т , Р /к Т У или
Р /кТ ?
23. И д еал ьн ы й г а з н ах о д и тся в сосуде при т ем п е р а ­
т уре 0° С и атм осф ерн ом дав л ен и и .
а ) Ч ем у б у д ет р авн а т ем п е р ат у р а , если ср ед н яя
скорость к а ж д о й
м ол екул ы
увели чится в
2 р а за ?
б) Ч ем у б у д ет р авн о в этом случ ае давл ен и е?
в) Е сли об ъ ем равен 1 л, то сколько в нем м о­
л екул?
24. Р а ссм отри м д в а г а за , причем м олекулы г а за 2 в
д в а р а за легче м олекул г а з а 1 (гп2— т \/2 ). П ри т е м ­
п ер ату р е 27° С ср ед н яя скорость м ол екул г а за / р а в ­
на 105 см /сек. Ч ем у р а в н а т ем п е р ат у р а г а за 2, если
ср ед н яя скорость м олекул этого г а за 2 - 105 см /сек?
25. А томны й вес кисл орода 16; 8 г 0 2 н аходи тся в со­
суде объем ом 8 л (1 л = 1 0 э см 3). Д а в л е н и е г аза
1 атм= 10б д и н /с м 2.
а)
б)
в)
г)
С колько молей г азо о б р азн о го 0 2 в сосуде?
С колько м олекул 0 2 в сосуде?
Ч ем у р авн а т ем п ер ату р а?
П р е д п о л а га я , что 0 2 в ед ет себя при всех т ем ­
п ер ату р ах к а к идеальны й газ, найди те полную
кинетическую энергию п оступ ательного д в и ж е ­
ния м ол екул в сосуде.
26. В объ ем е им еется N м ол екул
идеального г а за .
П усть число м олекул в этом о б ъ ем е удвоилось, а с р ед ­
н яя кинетическая или т еп л о в ая эн ергия г а за о с т а л а с ь
преж н ей (п о л н а я эн ергия
нового количества г а за
т а к а я ж е, к а к и у п ервон ачальн ого к о л и ч еств а).
а) Ч ем у равн о отнош ение дав л ен и й в обоих с л у ­
ч аях ?
б) Ч ем у р авн о отнош ение тем п ер ату р в обоих
с луч аях?
ГЛАВА
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
§ 1. Электронное строение
вещества
Э Л Е К Т Р О Н Ы П О ВС Ю ДУ
Фиг. 115. С троени е атом а
гласн о модели Б о р а.
л ития с о ­
Три эл ек тр о н а, к а ж д ы й с за р я д о м —е, в р а ­
щ аю тся по п лан етн ы м о рби там вокруг
я д р а с зар я д о м + 3 е.
190
Изучение явлений электричества и его
многочисленных
приложений
составляет
значительную часть современной физики.
Одно из них, как мы увидим позднее,— это
электромагнитная теория света. Таким о б р а ­
зом, всю оптику можно рассм атривать как
один из разделов теории электричества. Д р у ­
гой исключительно важ ны й раздел — теория
относительности — дедуктивно вытекает из
теории электричества, если мы предполо­
жим, что уравнения, описывающие электри ­
ческие явления, должны иметь один и тот
ж е вид во всех системах отсчета. При изу­
чении атомной физики, физики твердого те­
ла, молекулярной теории и химии мы с т а л ­
киваемся с электромагнитными взаим одей­
ствиями электронов с электронами и ядрами.
Силы меж ду атомами и молекулами т а к ­
ж е обусловлены электромагнитным в заи м о ­
действием. Таким образом, почти вся о став­
ш аяся часть этой книги посвящена в той или
иной форме изучению обширной области я в ­
лений электричества.
Мы предполагаем, что читатель имеет
у ж е общее представление о строении атома.
Символические изображения атомов в виде
яд ра с вращ аю щ имися вокруг него электро­
нами ежедневно встречаются в газетах, ж у р ­
налах, передачах телевидения, на детских
игрушках и т. д. Атом в поперечнике состав­
ляет около 10~8 см и состоит из меньшего по
разм ерам тяж елого ядра, несущего п олож и ­
тельный заряд, и движущ ихся вокруг него
по орбитам более легких электронов, несу­
щих отрицательные заряды . Заметьте, что
мы пользуемся терминами «положительный»
и «отрицательный» заряды , еще не д ав им
определения. Весь следующий п ар агр аф
посвящен разбору нового важного понятия
электрического заряда.
Знаком ое нам изображение атома осно­
вано на теории его строения, предложенной
в 1914 г. Нильсом Бором. Н а фиг. 115 пока-
В опрос I. Ч то больш е: э л е к тр о с та ти ­
ч еская сила, д е й с тв у ю щ ая м еж д у д в у ­
мя эл ек трон ам и , или эл е к тр о с та ти ч е ­
с к а я сила, д е й с тв у ю щ ая м еж д у д в у м я
протонам и?
зан а боровская модель атом а лития. Атом­
ный вес лития равен 7, а его атомный номер
2 = 3. Ядро атом а лития содерж ит три п оло­
жительно зар я ж ен н ы х протона и четыре ней­
тральны х нейтрона. П редполож им, что э л е к ­
троны притягиваю тся к яд ру силой, обратно
пропорциональной
к в ад р ату
расстояния.
Тогда в соответствии с механикой Нью тона
каж ды й атом был бы похож на миниатю р­
ную солнечную систему, где каж ды й элект­
рон в ращ ается вокруг я д р а по планетной
орбите. Н а первый в згл яд могло бы п о к а ­
заться, что сущ ествование атомов обуслов­
лено гравитационными силами. Однако, если
бы это было так, то атомы всегда притяги­
вались бы друг к другу, независимо от того,
на каком расстоянии д р у г от друга они н а ­
ходятся.
В этом случае вещество можно
было бы сж им ать до тех пор, пока все оно
не слилось бы в одно гигантское ядро, со­
стоящее из протонов, нейтронов и н еп одви ж ­
ных электронов. Но мы знаем, что жидкости
и тверды е тела очень плохо поддаются с ж а ­
тию. Это означает, что при сжатии вещества
между атом ами долж ны возникать большие
силы отталкивания. Следовательно, долж ны
сущ ествовать некие силы отталкивания, пре­
восходящие по своей величине силы п р и тя­
жения.
Чтобы объяснить это свойство вещества,
надо ввести силы нового типа, так н а зы в а е ­
мые электростатические, или кулоновские,
силы. Эти силы меняются т а к ж е обратно
пропорционально
к в ад р ату
расстояния.
М еж ду силой тяжести и электростатиче­
ской силой имеется одно различие: м еж д у
телами с протибоположным заря дом дей ст­
вует электростатическая сила притяжения,
а меж ду телами с одинаковы м зар я д о м —
электростатическая
сила
отталкивания.
Б л а г о д а р я электростатической силе яд ра
отталкиваю т протоны и притягиваю т э л е к т­
роны. Кроме того, оказалось, что эле ктр о ­
статическое отталкивание
между двумя
электронами в 4,17-1042 раз превыш ает г р а ­
витационное притяжение меж ду ними!
Причина, по которой гравитационные си191
лы большинству людей к а ж у тся более м о щ ­
ными, чем электрические силы, состоит в том,
что мы и о к р уж аю щ и е нас предметы содер­
ж а т равное число полож ительны х и о тр и ц а­
тельных зарядов. Если у кого-либо о к а з ал ся
бы избыток электрического за р я д а одного
зн ака, он был бы мгновенно пораж ен ударом
молнии. И после этого, безусловно, со гл а­
сился бы, что электричество значительно мо­
гущественнее гравитации.
Н а самом деле картина, в которой элект­
роны в р ащ а ю т ся по планетным орбитам во­
круг яд ра, не соответствует действительно­
сти. Она противоречит современной тео­
рии — квантовой механике, с которой мы
познаком им ся начиная с гл. 12. Однако,
согласно квантовой теории, роль электр оста­
тической силы сводится к обеспечению связи
«орбитальных» электронов с ядром. И з о б р а ­
ж ение атом а лития, соответствующее совре­
менным представлениям о волновой природе
электрона и зам ен яю щ ее фиг. 115, приведе­
но на фиг. 288 (стр. 420).
§ 2. Понятие заряда
ЭТО
НАШ Е
ПРЕДСТА ВЛЕНИ Е
Мы не м ож ем дать количественного опре­
д еления з а р я д а , пока не познакомимся с з а ­
коном К улона, который описывает все элек­
тростатические силы. Н о п реж д е чем это сде­
лать, было бы полезно рассмотреть некото­
рые свойства з а р я д а . Н априм ер, является ли
з а р я д аддитивной величиной? М ож ет ли он
быть уничтожен?
Эффекты, связан ны е с электрическим з а ­
рядом, были замечены еще древним челове­
ком; мы то ж е повседневно зам ечаем э л е к т ­
рические разр яды , когда, скаж ем , в сухую
погоду идем по ковру или слышим легкое
потрескивание, снимая п и д ж а к или р у б аш ­
ку. Эти эф ф екты н азы ваю тся элект ризаци­
ей и возникаю т в результате соприкоснове­
ния д в у х 1 разнородны х веществ. Эффекты
электризации исследовались еще древними
греками.
«опрос 2. И м еется ли п роп орц и он ал ь­
ность м еж д у электри ческим за р я д о м
•ггомного я д р а и его массой?
176
Предположим, что вещество А трется о
вещество В. Тогда орбитальны е электроны
из А будут взаимодействовать с электронами
из В. Некоторые из них покинут вещество Л
и останутся на В , и наоборот. Если внешние
орбитальны е электроны атомов вещества Л
связаны с ядром не так прочно, как в ато ­
мах В, то после того, ка к мы отделим одно
тело от другого, в атом ах Л будет не х в атать
некоторого числа электронов. В результате
на теле А окаж ется избыточный полож итель­
ный зар я д , а на теле В — соответствующий
отрицательный зар яд. Термины «полож и­
тельный» и «отрицательный» вводятся при­
менительно к за р я д а м совершенно п роиз­
вольно. Тому, что в настоящее время
условились считать з а р я д электрона «отри­
цательным»,
мы
обязаны
Б ен д ж ам ен у
Франклину. Именно он произвольно н азв ал
«положительным» заряд, остающийся на
стекле, натертом шелком. Позднее, по знако­
мившись с электрическим током в п ровод­
никах и электровакуумны х лампах, мы по­
ж алеем , что Франклин в свое время не в ы ­
брал для з а р я д а противоположный знак.
Согласно определению Ф ранклина, п оло­
жительное направление тока противопо­
ложно истинному направлению движения
зарядов. Действительно, ток в проводниках
и электровакуумных л а м п а х обусловлен
движением отрицательных электронов. Н о
мы не долж ны винить Ф ранклина за эту пу­
таницу, т а к ка к его теория электрического
за р я д а примерно на 100 лет опередила о т­
крытие электрона.
С амо понятие за р я д а сходно с понятием
массы. Подобно тому как к а ж д о е тело или
частица о б ладаю т отвлеченным свойством,
которое мы назы ваем массой, каж д ом у телу
или частице присущ т а к ж е заря д , который
мож ет быть положительным, отрицательным
или равным нулю. Введение отвлеченного
понятия массы очень сильно упрощ ает р а с ­
четы, относящиеся к взаимодействую щим
телам (т. е. их относительные ускорения
и т. п.). Точно т а к ж е представление о з а р я ­
де позволяет получить простое описание сил
193
нового типа, уд ерж и ваю щ и х электрон)
вблизи яд р а и в то ж е время препятствук
щих сближ ению двух атомов. Мы приведе:
высказывание, взятое из книги Бертран
Р асс ел а «Азбука атомов», которое поможе
нам уяснить сущность зар я д а :
«Когда я говорю, что электрон обладае
определенным количеством отрицательног
зар я д а , то я подразум еваю под этим тольк
то, что электрон ведет себя определенны
образом. З а р я д — это не красн ая краск;
т. е. вещество, которое можно нанести н
электрон и снова смыть с него. Он попрост
в ы р а ж ае т определенный физический закон:
Возникает вопрос: к какого рода велич1
нам относится электрический зар я д ? Есл
телу сообщить сн ач ал а з а р я д (Зь а затем з;
ряд <2 2, будет ли результирующий з а р я д р;
вен С?1-1- О 2? Существуют ли способы созд;
ния или уничтожения з а р я д а ? Н апр и м е
массу покоя можно создать при образов:
нии из фотона с нулевой массой покоя пар
электрон и позитрон (положительный элек
рон). Ответ на эти вопросы следующи!
закон сохранения з а р я д а считается строги
законом физики. К а к и другие основные з,
коны физики, закон сохранения з а р я д а I
имеет строгого д оказательства. Единстве]
ным д оказательством законов сохранеш
или других законов природы служит то, 4'
они всегда вы д ер ж иваю т проверку на ош
те. Д о сих пор мы имели дело в этой кни:
с пятью законам и сохранения. Эти закон
считаются абсолютно строгими (т. е. не д
пускается никаких отклонений от этих з а к
нов). Теперь наш перечень законов сохр
нения следующий:
1. З а к о н сохранения по лно й энергии.
Речь идет о релятивистской энерги
вклю чаю щей и энергию покоя Ш'о= М 0с2.
2. З а к о н сохранения полного им пульса.
О тв ет 2. Н ет. Р азл и ч н ы е атом ны е я д ­
р а с о д е р ж а т р а зн о е число нейтронов,
у ко то р ы х нет электри ческого за р я д а .
194
Строго говоря, здесь речь идет о релят
вистском импульсе, т. е. о релятивистск(
массе, умноженной на скорость.
3. З а к о н сохранения полного момента к о л и ­
чества движ ения.
4. З а к о н сохранения тяжелых частиц.
М асса покоя мож ет п ревращ аться в
энергию, но при том условии, что суммарное
число тяж елы х частиц (протонов, нейтронов
и некоторых других, см. более подробно в
гл. 16) долж но всегда оставаться постоян­
ным.
5. З а к о н сохранения элект рического заряд а.
В опрос 3. П р ав и л ьн о или л о ж н о у т ­
верж дение: ф о р м у л а (7.2) опи сы вает
электри ческую
силу, действую щ ую
м еж д у лю бы м и тел а м и с за р я д а м и
С?1
7*
И С?2?
А лгебраическая сумма заря до в в за м к н у ­
той системе всегда д о л ж н а оставаться посто­
янной.
З а р я д ы электронов и протонов имеют
одну и ту ж е величину, но противоположны
по знаку. Такой за р я д н азы вается зар я д о м
электрона е и представляет собой наим ень­
ший заряд, какой может нести на себе тело
или частица. Мы говорим, что з а р я д кв ан ­
туется; иными словами, он м ож ет принимать
только определенные значения 0, ± е , ± 2 е ,
± 3 е и т. д. (где е — з а р я д электрон а). Н а с а ­
мом деле, согласно квантовой теории, так и е
физические величины, ка к энергия, импульс
и момент количества движения, т а к ж е к в а н ­
туются. В дальнейшем при рассмотрении
электрических явлений мы будем считать
энергию, импульс и момент количества д в и ­
жения непрерывно изменяющимися величи­
нами. Такое приближение н азы вается к л а с ­
сической элект родинамикой. Оно вполне
справедливо, когда мы имеем дело с элект­
рическим взаимодействием макроскопиче­
ских тел. Д л я рассмотрения взаимодействий
микроскопических тел (размером п орядка
размеров атом а) совершенно необходимо
применять квантовую теорию.
Ф ун дам ен тальн ая теория носит н азван ие
квантовой элект родинам ики. К лассическая
электродинам ика является ее предельным
случаем; иными словами, если квантовую
электродинам ику применять к макроскопи­
ческим телам, то она будет д ав ать те ж е
самые результаты, что и классическая э л е к ­
тродинамика.
195
Фиг.
116.
Зав и си м о сть
электростати ческой
зар яд ов.
н ап р ав лен и я
силы
от
§
3 . ЗдК О Н К уЛ О Н Э
зн ака
*
«н о в а я » с и л а
р
р
©— ► -— 0
Очень точные эксперименты показывают
что сила электростатического взаимодейст
• вия двух зарядов прямо пропорциональн
-------------------------произведению этих зар я д о в и обратно прс
р
г
порциональна кв ад рату расстояния м еж д
©—
ними, т. е. электростатические силы аналс
гичны гравитационным. Эти свойства элект
ростатических сил в ы раж аю тся законо]
г
г
Кулона, который гласит, что сила, действук
*—© © — * щ ая меж ду д вум я неподвиж ны ми д р у г отнс
^
г
^
сительно друга точечными заряд ам и
0.
равн а
Г =
О твет 3. Л о ж н о . Ф орм ул а (7.2) при­
м ен им а к лю бой п аре точечны х з а р я ­
дов. Р е зу л ь ти р у ю щ ая сила, д ей ств ую ­
щ а я на тело, п р е д с та в л я ет собой
векторную сум м у сил, действую щ их
н а к а ж д ы й точечны й з а р я д эти х тел.
(7.1
где г — расстояние меж ду двумя зарядам !
а
К — коэффициент
пропорциональност
(больш е н у л я ) , зависящ ий от выбора едини
измерения зар яда. Если СК и Ог имею
противоположные знаки, то их произведени
отрицательно и Р н аправлено в сторон;
противоположную г, т. е. Р является сило
притяжения. Фиг. 116 иллюстрирует соотнс
шение м еж д у направлением силы Р и з ш
ками зарядов. Таким образом, электростат!
ческая сила может быть либо силой отта;
кивания,
либо
силой
притяжения,
зависимости от того, одинаковы или прот!
воположны знаки зарядов.
В системе С 0 5 единицами измерения
и Р с л у ж а т соответственно сантиметр
дина. Если бы в качестве единицы измер*
ния (2 мы выбрали з а р я д электрона, то тогд
величина К, оп ределяем ая из эксперимент;
была бы очень неудобной, она р авн ял ась б
2 ,3 -10-19. Но поскольку мы свободны в вь
боре единицы зар я д а , то ее удобно выбрат
такой, чтобы коэффициент / ( = 1 . Т а к а я ед1
ница и в зят а в системе С О З. Она получаете
из формулы (7.1), в которой К = 1. Эта ед]
ница з а р я д а получила назван ие одна элек.
ростатическая
единица
заряд а,
ил
1 С С 5 Е ((2 ).
Чтобы и збеж ать путаницы и облегчить
понимание изложения, в дальнейшем в к а ­
честве единицы за р я д а будет использоваться
единица С О З Е (<3). При этом закон Кулона
принимает вид
За к о н К у л о н а
р
(7.2)
где ф измеряется в единицах С 0 5 Е ( ( 2 ) . М ы
видим, что за единичны й элект рический з а ­
р я д [1СС5Е(С?)] принят такой заряд, кото­
ры й отталкивается от за р яд а той же ве л и ч и ­
ны и того же знака, пом ещ енного на расстоя­
нии 1 см, электростатической силой в 1 дину.
В этих единицах з а р я д электрона
е = 4,8 • 10-10СС5Е(С?).
(7.3)
П р и м ер 1. М асса небольш ого ш ари ка из у гл я
р авн а 1 г. С колько электрон ов с о д ер ж и т с я в нем?
П о р яд ко вы й номер углерода 2 = 6 , а атом ны й
вес 12. С л ед овател ьн о, 12 г угл ер о д а
со став л яю т
1 м о ль и с о д е р ж а т 6,02 • 1023 атом ов, или в 6 р а з б о л ь­
ш е эл ектрон ов. Ч исло электронов в 1 г у глерода р а в ­
но 7,2 (6 -6 ,0 2 -1023) = 3 , 0 ! -1023.
Фиг. 117. Д в а за р я ж е н н ы х ш арика.
П р и м ер 2. Д в у м ш арикам с м ассой по 1 г к а ж ­
ды й (фиг. 117) сообщ или отрицательны й за р я д . Ш а ­
рики подвеш ены на 10-сантим етровы х нитках, и пос­
ле при лож ен и я з а р я д а нитки р азош л и сь на угол 60°.
а) Ч ем у р авн а эл ек тр о стати ч еская сила, д е й с т ­
вую щ ая м еж д у д в у м я ш ари к ам и ?
б) С колько электрон ов сообщ и ли к аж д о м у ш а ­
рику?
Мд
в) Ч ем у равн о отнош ение числа электрон ов и про­
тонов в к а ж д о м ш арике?
г) Ч ем у р авн а сила гравитац ионного п р и тяж ен и я
д в у х ш ариков?
В екто р н ая сум м а всех действую щ их на ш арик
сил — электростати ческой Р , н а тя ж е н и я нити Т и
зем ного п р и тяж ен и я (980 д ин) — д о л ж н а бы ть р авн а
нулю (см. фиг. 117, б ). П оскольку в прям оугольном
треугольнике с остры м углом 60° отнош ение м еньш е­
го к ат е та к больш ем у равн о 1/УЗ, то / 7/9 8 0 = 1 /у з , или
Р = 565 дин.
Ч тобы ответи ть на вопрос, скол ько электрон ов со­
общ или к а ж д о м у ш ари к у, н ад о вы числить з а р я д к а ж ­
дого ш ари к а. Э то м ож но с д е л а т ь ,в о с п о л ь з о в а в ш и с ь
законом К ул он а: Р = 0 2/г 2 и С )= у р г 2. П о д с т а в л я я в
эту ф орм ул у ,Р = 565 д и н и г = 10 см, получаем
С '=У 565 • IО2= 2 3 8 С О З Е (()). Ч тобы найти число
эл ектрон ов, н ад о р азд ел и ть « эт о т з а р я д на за р я д
эл ектрон а 4,8 • 10~ 10 С О З Е ( р ) , о тку д а число электронов равн о 4 ,9 5 -1 0 ".
197
О тнош ение числа доб ав л ен н ы х электроно!
в о н ачал ьн ом у числу электрон ов (или протоно
но 4 ,9 5 - 10й эл ектрон ов, делен ном у на 3,01 10:
ронов из прим ера 1. Э то отнош ение р авн о 1,6!
Т аким образом , отнош ение числа электрон ов и
нов равн о 1,000 000 000 001 65. О тм етим , что ь
ный избы ток з а р я д а п ри вод ит к больш им эфе
И з за к о н а всем ирного тяготен и я Н ью тон а с
что сила п ри тяж ен и я м еж д у д в у м я ш арикам и
Р = О
М2
I2
— = 6 ,67 • 10-» • - ^ - = 6 ,6 7 • 10~10
О тм етим , что эл е к тр о стати ч еск ая си л а, дей
щ ая м еж д у ш ари кам и , в 8,5 ■ 1011 р а з больш е.
Фиг. 118.
вод о р о д а.
Боровская
м одель
атом а
П р и м ер 3. С огласно теории Б о р а, атом во;
состоит из протона и эл ек трон а, в ращ аю щ егося
протона по круговой орби те (фиг. 118). Р а д и
ровской орбиты эл ек трон а в атом е в о дорода
0,53 • 10- 8 см.
а) К а к а я сила д ей ствует м еж д у электрс
протоном?
б) К а к о в а скорость д в и ж е н и я эл ек трон а?
в) К а к о ва кинетическая эн ергия электро!
С ила, дей ств у ю щ ая м еж д у электрон ом и 1
ном, о п редел яется из за к о н а К улона:
( 4 ,8 • 10-10)2
2 = 8 ,2 • \0 ~ 3 д и н .
(0 ,5 3 • 10-8)2
П оскол ьк у эта сила и есть ц ен трострем и тел ьн ая
у д е р ж и в аю щ ая эл ектрон на его орбите, то т ( к 2/(
где т = 9,1 - 10“ 28 г — м асса электрон а;
0 ,5 3 • 10-8 • 8 ,2 • 10-3
9 ,1 • 10-28
= 2 ,1 8 - 108 с м /с е к .
К и н етическая энергия
ту2
^к.,н =
1
— ~2~ (9 .1 • Ю -28) (2 ,1 8 ■ 108)2 =
= 2 ,1 6 • 10-11 эр г.
Еще одной общепринятой единицей
ряда, которая встретится нам в следую
двух главах, является кулон. Кулон св!
с единицей СОЗЕ(С2) через величину ск<
сти света:
1 кулон = ~
С 0 5 Е (О),
г д е с = 3 - 1 0 10 см /сек — скорость света,
обусловлено очень важ ны ми причинам
198
которых будет сказано в следующей главе.
Фактически в настоящее время использует­
ся несколько различных систем электриче­
ских единиц. Р аспространенной системой,
применяемой в определенных инженерных
областях и в некоторых учебниках физики,
является рациональная система М К З.
В этой системе Р измеряется в ньютонах,
г — в метрах, <? — в кулонах; коэффициент
К в законе Кулона равен с2/107, причем
с = 3 -1 08 м/сек. В этой системе вместо коэф ­
фициента К в законе К улона пишут ко эф ф и ­
циент 1/4яео, т а к что е о = 1 0 7/ 4 я с 2. Таким о б ­
разом, в системе М К 5 закон Кулона прини­
мает вид
ньютон,
г = ----е0 4л/-2
’
где
е0 = 8,85 • 10-12 кулон2-сек2!кг • м2.
О днако в этой книге нам нет необходи­
мости вводить дополнительные усложнения.
Ещ е одно преимущество используемой
нами системы единиц в том, что мы увидим,
когда, как и почему появляется в ф о рм улах
теории электричества скорость света.
§ 4. Электростатическая индукция
Н Е О Г Р А Н И Ч Е Н Н О Е «П Р О И ЗВ О Д С Т В О » З А Р Я Д О В
Один из самых простых способов з а р я ­
дить стеклянную или пластмассовую п алоч­
к у — натереть ее шерстью. Ч асть з а р я д а
можно передать другим предметам, н ап р и ­
мер ш арикам бузины, коснувшись их з а р я ­
женной палочкой.
О днако с помощью
электростатической индукции можно много­
кратно з а р я ж а т ь проводники, не п ередавая
им при этом первоначального з а р я д а стек­
лянной палочки. Проводники о б л а д а ю т осо­
бым свойством: внешние электроны их ато­
мов не связаны с каким-либо определенным
атомом, а свободно передвигаются по про­
воднику или переходят из одного провод­
ника в другой.
199
Фиг. 119. З а р я д к а п роводящ ей сферы
с помощ ью индукции.
Изолятор
Проводни
Фиг. 120. З а р я д к а больш ой п р о в о д я­
щ ей сферы .
З а р я д п ерен оси тся на внутренню ю п о вер х ­
ность сф еры . П ринцип устройства ге н ер а ­
то р а В ан д е Г р а а ф а .
200
П оэтому если к сферическому проводив
ку приблизить отрицательно заряженну]
палочку, то электроны, отталкиваясь отрь
цательным зарядо м палочки, переместятс
на удаленную часть сферы (фиг. 119). Есл
теперь коснуться сферы рукой (человеческо
тело проводит электрический ток), то этопс
зволит электронам еще более удалиться о
отрицательно заряж ен н ой палочки и он
совсем покинут сферу. Если убрать пале:
то на сфере остается избыточный п о л о ж р
тельный зар яд. Таким способом можно зг
рядить сколько угодно сфер, нисколько н
уменьшив первоначальный з а р я д палочкь
В принципе с помощью такой зар яж еь
ной палочки можно создать на большо
полой сфере огромный з а р я д с потенциало]
в миллионы вольт (определение электриче
ского потенциала будет дано в § 9). В слс
дующем п ар агр а ф е будет показано, что вес
з а р я д проводника долж ен располагаться н
его внешней поверхности, а внутри провод
ника не долж но оставаться никаких заря
дов. К ак видно из фиг. 120, маленькую заря
женную сферу, изображенную на фиг. Ш
можно поместить внутрь полой сферы боль
шего диаметра, просунув ее через отверсти
в этой сфере, и коснуться ею внутренней пс
верхности большой сферы. Электроны
большой сферы немедленно перейдут на ма
ленькую сферу. Это значит, что первоначаль
ный положительный з а р я д маленькой сфе
ры окаж ется на внешней поверхности боль
шой сферы. После многократного повторе
ния этой операции суммарный з а р я д н
внешней поверхности большой полой сфер!
будет превыш ать первоначальный з а р я д ма
ленькой сферы во столько раз, сколько ра
мы повторяем эту операцию. Н а этом прин
ципе основан современный генератор высокс
го н апряж ения Ван де Г р аа ф а, который ис
пользуется для получения напряж ения
миллионы вольт. В генераторе Ван де Гра
аф а з а р я д передается на внутреннюю пс
верхность большой полой сферы не вруч
ную отдельными порциями, а непрерывно
помощью ленты.
§ 5. Электрическое поле
С И Л А , КО ТО РА Я Д Е Й С Т В У Е Т П О ВС Ю ДУ
И спользование понятий «электрическое и .
магнитное поле» позволяет нам и збеж ать
концепции «действие на расстоянии». С о­
гласно закону Кулона, на электрический з а ­
ряд, находящ ийся в точке Р, действуют все
прочие заряды , каж ды й со своего расстоя­
ния. Иными словами, сила передается на
расстоянии.
Но,
используя
понятие
электрического поля, мы мож ем сказать, что
все эти зар я д ы создаю т в окрестности точ­
ки Р определенные условия, а именно — не­
которое электрическое поле в этой точке.
Если мы знаем электрическое поле в точ­
ке Р, то мож ем вычислить силу, действую­
щую на заряд, который помещен в эту точку,
совершенно не заботясь о происхождении
поля. В этом смысле электрическое и магн и т­
ное поля представляю т собой м а тем атиче­
ские понятия, упрощ аю щ ие вычисления и об ­
легчающие понимание многих физических
явлений. Н апряженностью электрического
поля в какой-либо точке пространства н а зы ­
вается сила, действующая на небольшой
пробный з а р я д ^ и деленная на величину
этого з а р я д а :
О пред елен ие напряж енности
элект рического п о л я
где Р — электростатическая сила, действую ­
щ ая на з а р я д <7. Единицей измерения Е я в ­
ляется дин/СС5>Е(С}). Следовательно, н а ­
пряженность электрического поля в данной
точке численно равна силе, которая действо­
в ал а бы на 1СС5Е(<2) положительного з а ­
ряда, помещенного в эту точку. Иными сло­
вами, она характеризует силу, которая д ей ­
ствовала бы на единичный зар я д , если бы
мы располагали пробным зар я дом д ля из­
мерения этой силы. Электрическое поле со з­
дается всеми остальными зарядам и . Хотя
пробный за р я д и сам создает электрическое
поле, его не надо учитывать при вычислении
силы, действующей на пробный заряд.
201
Н айдем теперь напряженность электри
ческого поля Е , создаваемого одним из «ос
тальных» зарядов, а именно отдельным изс
лированным точечным заря дом С}. Согласи
закону Кулона, на пробный з а р я д <7, пом*
щенный на расстоянии г от з а р я д а С?, дейст
вует сила Р = д(С}/г2). Н апряж ен н ость пс
ля Е в точке, где находится за р я д <7, мы пс
лучим, поделив силу Р на
П о л е , создаваем ое точечным
зарядом
Фиг. 121. Э лектрическое поле, с о з д а ­
ваем ое электри ческим диполем .
Е =
«
(7.!
Это и есть величина напряженности элекч
рического поля, создаваемого изолирова!
ным точечным зар я дом (2 на расстоянии
Во многих физических з а д а ч а х мы ста.)
киваемся с несколькими точечными зар;
дами или с непрерывным распределением з;
рядов. В этом случае напряженность элекг
рического поля Е в любой данной точке б]
дет п редставлять собой алгебраическу]
сумму напряженностей полей, создаваемы
каж д ы м зар я дом в отдельности.
П р и м е р . Электрический диполь представляет с
бой два одинаковых по величине и противоположнь
по знаку заря д а (?, помещенных на расстоянии
друг от друга (фиг. 121). К акова напряженное
электрического поля Е в точке, одинаково удаление
от обоих заряд ов, образую щ и х электрический дипол
Расстояние до этой точки от каж д ого из заряд ов ра
но г.
Пусть Е I — напряженность поля, создаваем ого з
рядом 1. Тогда Е \ = СЦг2. Если рассмотреть подобш
треугольники на фиг. 121, то получим
I
и Е =
или Е =
г
г
Отметим, что создаваем ое диполем эле
трическое поле меняется обратно пропорции
нально кубу расстояния в отличие от 01
ратной пропорциональности кв ад рату ра
стояния в случае единичного зар я д а .
Е
Ех
§ 6. Силовые линии
ДЛЯ ТЕХ, КТО НЕ ЗНАЕТ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Н апр авл ен и я векторов напряженное'
электрического поля Е во всем пространст]
202
Фиг. 122. С иловы е линии двух р а зн о ­
именны х з а р я д о в оди наковой в ел и ­
чины (а ), д в у х идентичны х за р я д о в
(6) и д в у х за р я д о в — С? и + 2<2 (в ).
II
I)
<
1
можно изобразить с помощью непрерывных
линий (фиг. 122). Эти линии н азы ваю тся си­
ловыми линиями. Силовые линии в э л ектро ­
статике (когда ничего не движ ется) могут
служить мощным и вполне надеж ны м о ру д и ­
ем количественного математического а н а ­
лиза. И спользуя силовые линии, можно в ы ­
вести и д о к а за т ь ряд положений электр оста­
тики, которые иначе потребовали бы прим е­
нения интегрального исчисления. Например,
с помощью силовых линий можно почти без
труда показать, что поле силы тяж ести З е м ­
ли таково, как если бы вся ее масса была
сконцентрирована в центре.
Мы перечислим ряд положений, которые
можно д оказать, воспользовавшись силовы ­
ми линиями.
1. Н апряж ен н ость электрического п о л я Е ,
создаваем ого равномерно заряж ен н ой сф е­
рой вне ее, равна <3/г2.
2. Н апряж ен н ость электрического п о л я /:
внутри равномерно зар яж ен н ой сферической
или цилиндрической оболочки равна нулю.
3. Н ап ря ж ен н о сть электрического поля
внутри проводника повсюду рав н а нулю.
4. Избы точны е заря ды могут р а с п о л а ­
гаться только на внешней поверхности про­
водника.
5. Н ап ря ж ен н о сть электрического поля Е,
создаваемого цилиндрическим или линейным
распределением за р я д а с плотностью р
С С 5 Е (<3)/см, равна 2д/л.
6. Н ап р я ж ен н ость электрического поля Е ,
создаваем ого равномерно заряж ен н ой плос­
костью с плотностью зар ядов стСОЗЕ (С?) /см 2,
равна 2лст.
7. Н а п ря ж ен н о сть электрического поля Е
между двум я пластинами конденсатора с
площ адью А и зар ядом +<3 и — С? равна
4 я ((2/А)..
При использовании силовых линий для
количественных вычислений необходимо,
чтобы число силовых линий, проходящих
через к а ж д ы й квадратны й сантиметр, чис­
ленно р авн ялось напряженности электриче203
Фиг. 123. С иловы е линии эл е к тр о с та ­
тического
поля
нап ряж ен н остью
Е = 5 ди н /С О $ Е (С } ) , н ап равлен н ого
вверх.
Ч ер ез к а ж д ы й к в ад р а тн ы й сан ти м етр д о л ж ­
но п роходить п ять силовы х линий.
!■
ского поля Е (фиг. 123)
Если N — числ
силовых линий, проходящих через площад
ку А см2, а вектор напряженности электрр
ческого поля Е перпендикулярен площах
ке А , то
Е =
А
и
N = Е ■А .
1см~
1 см
(7.(
Если вектор Е не перпендикулярен А , т
N = Е ± -А, где Е ±. — составляю щ ая Е, пе]
пендикулярная поверхности А.
П р и м ер 1. Ч ерез п л о щ ад ку 3 смг п роходит 15 с:
л овы х линий. К а к о ва н ап р яж ен н о сть электрическо]
поля, если эта п л о щ ад ка перп ен ди кул ярн а силовы
линиям ?
В ы р а ж а я Е из (7.6), получаем
N
Е — ■^ - =
15
д = 5 д и н /С 0 5 Е (<2).
П р и м ер 2. П л о щ ад к а 3 см2 н аходи тся в одн оро
ном поле Е = 1 0 0 д и н /С О З Е (С)). С колько линий п
р есекает эту п л ощ ад ку, если угол м еж д у силовы»
линиям и и п лощ адкой со ст ав л яе т 30°? К а к видно
фиг. 124, Е ± = Е з т 3 0 ° = 5 0 д и н /С С З Е (<2). СоглаС]
(7.6), А, = 5 х -/4 = 5 0 - 3 = 150 линий.
Фиг. 124. К примеру 2.
30°
Вычислим теперь полное число сил
вых линий на расстоянии Я от точечно
зар я д а С?. П л ощ адь сферы радиусом Я, о
ружаю щ ей наш зар я д , равна А = АлЬ
Из формулы (7.6) следует, что полное чис:
силовых линий Ы, выходящих из точечно
за р я д а <2 , составляет:
N = Е ■(4тгЯ2).
N = -% г • 4 ^ 2,
N = 4тг(2.
(7.
Зам етим , что полученный результат
зависит от величины К. Итак, силовые л
Ч
Е сли Е = 1,5 д и к /С С 5 Е ( С?), то через оди
будет п роход ить одна с и л о в ая линия, а через д[
гой — две. Ч тобы
и зб е ж а ть
подобны х т р у д н о е ^
м ож но ввести больш ой переходной м нож итель, С1
ж ем п р еврати ть к аж д у ю линию в 10° линий.
204
нии, выходящ ие из точечного зар я д а , непре­
рывны в пространстве и расходятся по
радиусу в бесконечность. Если за р я д (2 от­
рицателен, направление силовых линий о к а ­
зы вается обратным: они начинаются в беско­
нечности и оканчиваются на з ар я д е ф .
Останутся ли силовые линии непрерыв­
ными в случае двух или нескольких з а р я ­
дов, ка к изображено на фиг. 122? Ответ у т­
вердительный, но его надо еще доказать,
воспользовавшись количественным соотно­
шением (7.6). Мы проведем доказательство
для случая двух точечных зарядов, но эти
ж е рассуждения можно применить и для
любого числа точечных зарядов, распреде­
ленных произвольным образом. Н а п р я ж е н ­
ность электрического поля двух точечных
зарядов равна
Е = Е 1 -{- Е 2,
а составл яю щ ая вектора Е вдоль оси х
Е х = (Е1)х + {Е2)х .
(7.8)
Теперь рассмотрим произвольную малую
площ адку А и выберем в качестве оси х н а ­
правление, перпендикулярное площ адке А.
Пусть N — число силовых линий, п роходя­
щих через площ адку А и отвечающих Е , а
N 1 И N 2 — число силовых линий, проходящих
через площ адку А и отвечающих соответст­
венно Е \ и Е 2. Тогда
N 1 = ( Е ^ А , N . = (Е 2)хА и N = Е ХА .
(7.9)
Если обе части (7.8) умножить на А , то по­
лучим
Е ХА = (Е 1)ХА + (Е 2)ХА.
П одставив теперь в это вы раж ение (7.9),
придем к ож идаем ому результату:
N = N 1 + Ы2.
Вопрос 4. М огут ли несколько точеч­
ны х электри ческих за р я д о в одного
зн ак а д а т ь эл ектри ческое поле, равн ое
нулю ?
П оскольку обе величины, N 1 и N 2, непрерыв­
ны, то их сумма т а к ж е д о л ж н а быть непре­
рывной. Таким образом, мы показали, что,
во-первых, силовые линии нигде не могут
внезапно начинаться или обрываться, з а ис­
ключением самих зарядов, и, во-вторых,
205
полное число силовых линии, проходящих
через замкнутую поверхность, внутри кото­
рой находятся д ва з а р я д а <3 ] и <32, равно
4я ((31 + (22).
Следовательно, для любого тела произ­
вольной формы с полным зарядо м
Теорем а Г аусса
N — 4тс(2П0ЛН.
Это соотношение, как мы увидим, столь по­
лезно, что засл у ж и л о специальное название.
Его н азы ваю т теоремой Гаусса. Н апример,
если заря ды (3 ) и <32 находятся внутри куба
объемом (Ь с м )3, то число силовых линий,
выходящих из боковых граней, не зависит от
их площади, равной 6 ^ . Не зависит оно
так ж е и от положения зар я д о в С?1 и С?2- Они
могут быть где угодно внутри куба. Д о п у ­
стим, что вне куба находится третий з а ­
ряд <3з. Некоторые силовые линии, вы х од я­
щие из этого зар я д а , войдут внутрь куба,
однако столько ж е линий выйдет из него, и
в результате эффект обратится в нуль (к а ж ­
д ая вхо дящ ая линия взаимно уничтожается
в ы х о д я щ ей ).
Что бы мы ни предпринимали, результи­
рующее число силовых линий, выходящ их из
куба, долж но быть равно 4я(<31 + (?2).
В итоге мы приходим к выводу, что для
заряж ен н ы х тел любой формы и любого р а с ­
пределения заря до в силовые линии долж ны
удовлетворять следующим трем правилам:
1. Полное число силовых линий, начи­
нающихся на теле с суммарным зарядом (?,
равно 4я<3.
2. Силовые линии непрерывны. Они н а ­
чинаются или обрываются только на з а р я ­
дах. Если ж е зарядов нет, то силовые линии
уходят в бесконечность.
3. Силовые линии никогда не пересе­
каются. Если бы они пересеклись, то в точке
их пересечения вектор напряженности э л е к ­
трического поля Е имел бы два различных
направления.
О тв ет 4. Д а . П ри м ер — за р я д ы , р а в ­
ном ерно распределен ны е по кругу.
В этом случ ае поле в центре круга
р авн о нулю.
206
Эти три правила для силовых линий м а ­
тематически эквивалентны закону Кулона.
И спользовав эти п равила и принципы сим-
метрии, можно д о казать все семь п оло ж е­
ний, перечисленных на стр. 203.
Это будет сделано в следующем п а р а г р а ­
фе. Д л я тех, кому доступно чтение других
книг по теории электричества, у каж ем , что
наш е определение силовых линий с о в п а д а ­
ет с определением потока вектора н а п р я ­
женности электрического поля. Оба терм ина
могут использоваться на равных основаниях.
§ 7. Распределение зарядов
БЫ СТРЫ Й
СПОСОБ
СЛОЖ ИТЬ БЕСКОНЕЧНОЕ
В ЕК ТО РО В
ЧИСЛО
Качественную картину располож ения си­
ловых линий в случае различных з а р я ж е н ­
ных тел мож но получить с помощью взвеси
семян травы в жидком изоляторе (фиг. 125,
стр. 208), Электрическое поле наводит на
концах каж дого семечка противоположные
по зн аку и одинаковые по величине заря ды ,
и б лагодар я этому зернышки ориентируют­
ся вдоль силовых линий.
Электрическое поле, создаваемое
заряженной сферой
С н а ч а л а мы расправимся с задачей, д о ­
ставившей так много волнений Ньютону.
Р ассмотрим равномерно заряж ен н ую сферу
с полным заря дом 0 . Вследствие сфериче­
ской симметрии начинаю щ иеся на сфере си­
ловые линии долж ны иметь на ней о д и н а­
ковую плотность и проходить через центр
сферы.
И з (7.6) следует, что напряженность
электрического поля в точке Р (фиг. 126,
стр. 210)
равна 5 = МполнА4полн, причем
^ПОЛН = 4п г2 это площ адь сферической по­
верхности радиусом г. Согласно теореме
Гаусса, Л^ПОлн = 4я(2. П оэтому Е = 4 я С }/4 лг2,
или Е = С}/г2. С равнивая с формулой (7.5),
мы убеж даемся, что получили в точности т а ­
кой ж е результат, ка к если бы весь з а р я д <2
был сконцентрирован в одной точке в цент207
Фиг. 125. Ф отограф и и силовы х линий около з а р я ж е н ­
ных проводн и ков различн ой ф орм ы (получены с п о­
м ощ ью сем ян, насы панн ы х в ж и д к и й и зо л я т о р ).
а — д в а с т ер ж н я с од и н ако в ы м за р я д о м ; б — два с т ер ж н я с
п роти во п о л о ж ны м и по зн а к у и р а вн ы м и по вели чин е з а р я д ам и ; в — з а р я ж е н н ы й цили ндр (п ол е вн утри ц и л и н д р а р а в ­
но н улю ); г — за р я ж ен н ы й п роводн и к произвольн ой ф орм ы
(п оле внутри
р а вн о
н улю );
д — за р я ж е н н а я
п лоскость;
е — две п лоскости с о ди н аковы м и по вели чин е и п роти воп о­
л о ж н ы м и по зн а к у за р я д а м и (к о н д е н с а то р ).
Ф иг. 126. С иловы е линии в случае
сф еры ради усом Я с за р я д о м С.
ре сферы. При исследовании тяготения
вместо напряженности электрического поля
(т. е. электростатической силы, действующей
на единичный зар я д ) используется понятие
напряж енности поля тяготения (т. е. силы
тяж ести, действующей на единицу массы ).
П оскольку сила тяжести, к а к и электроста­
тическая сила, обратно пропорциональна
к в ад рату расстояния, то приведенные выше
п равила д ля силовых линий электрического
поля мож но применять т а к ж е и к полям т я ­
готения, и мы заверш им тем самым вычис­
ления, предпринятые Ньютоном т а к давно.
П редполож им, что весь з а р я д сферы не
распределен равномерно по всему объему, а
сосредоточен на ее поверхности. Тогда сило­
вые линии будут иметь вид, изображенный
на фиг. 126. Если бы силовые линии прохо­
дили внутрь сферы, то они либо пересека­
лись бы друг с другом, либо н аруш али бы
условие сферической симметрии (все н а ­
правления из центра д о лж н ы быть совер­
шенно равн оправн ы ). Т аким образом, ясно,
что поле внутри сферы или цилиндра с р а в ­
номерным распределением з а р я д а по по­
верхности долж но быть равно нулю.
Электрическое поле внутри проводника
Внутри твердого проводника, по кото­
рому не течет ток, не м ож ет существовать
электрическое поле. Это мож но д о каза ть от
противного, рассмотрев случай, при кото­
ром внутри такого проводника имелось бы
электрическое поле напряженностью Е.
Тогда на свободные электроны внутри про­
водника д ействовала бы сила — еЕ, под дей­
ствием которой электроны пришли бы в д в и ­
жение. О днако дви ж ущ иеся электроны —
это электрический ток, ф ак т существования
которого противоречит наш ему условию
(электростатика — это н аука о покоящихся
з а р я д а х ).
В действительности, когда з а р я д сн ач ал а
сообщ ается твердому проводнику, внутри
имеется поле и зар я д ы быстро разбегаю тся,
210
перераспределяясь, пока не будет достигну­
то статическое равновесие.
П о к аж ем теперь, что все избыточные з а ­
ряды в проводнике долж ны располагаться
на его поверхности. Предположим, что гделибо внутри проводника находится и збы ­
точный з а р я д <7. Поскольку на этом за р я д е
долж ны начинаться 4л(? силовых линий, то
эти линии окаж утся внутри проводника, что
противоречит прежнему, условию, согласно
которому внутри проводника, содерж ащ его
неподвижные заряды , не до лж но быть сило­
вых линий.
Электрическое поле, создаваемое
однородно заряженным цилиндром
Фиг. 127. С иловы е линии в случ ае
равн ом ерн о за р я ж е н н о й ц и ли ндри че­
ской поверхности.
Н а фиг. 127 изображ ен цилиндр, по по­
верхности которого равномерно распределен
з а р я д с плотностью (>С05Е(С2) на 1 см д л и ­
ны вдоль оси цилиндра. Поскольку оба н а ­
правления вверх и вниз вдоль оси соверш ен­
но равноправны, то силовые линии долж ны
быть перпендикулярны оси цилиндра и р а с ­
ходиться вдоль радиусов. Рассмотрим у ч а ­
сток длиной Ь см вдоль оси. Этот участок
содерж ит з а р я д
Поэтому из него выхо­
дит Л^ = 4я()2. силовых линий. Н а п р я ж е н ­
ность электрического поля Е вне цилиндра
на расстоянии г от его оси, согласно (7.6),
равна
Р __
N
__ 4ярЛ
~ ~Т ~
Е=^~.
2пг1* ’
(7.10)
Этот результат справедлив и для з а р я ж е н ­
ного провода, или, иначе говоря, для линей­
ного распределения з а р я д а с плотностью
д С О ЗЕ (С})/см.
П рим ер. Н ай дем вы р аж ен и е д л я при ходящ ейся
на единицу длины силы, к о то р а я дей ствует м еж д у
д в у м я линейны м и за р я д а м и с плотностью с о о тв е тс т­
венно §1 и
С 0 5 Е (<Э)/сж, н аходящ и м и ся на р а с ­
стояни и Н см д р у г от д р у га. С огласно третьем у з а к о ­
ну Н ью тон а, сила, дей ств ую щ ая на 1 см первого з а ­
р я д а , р а в н а силе, действую щ ей на 1 см второго з а ­
р яд а.
211
Силу, действую щ ую на 1 см первого з а р я д а со
стороны второго, м ож но найти, написав вы р аж ен и е
д л я н ап р яж ен н о сти электри ческого поля, с о зд а в а е м о ­
го за р я д о м / в том месте, где н ах о д и тся з а р я д 2:
Ф иг. 128. С иловы е линии в случ ае
р авн ом ерн о за р я ж е н н о й бесконечной
плоскости (в и д с б о к у ).
Е 1 (в д о л ь за р я д а 2) Т огда д е й с тв у ю щ ая на едини цу длины з а р я д а 2 сила
р авн а его плотности, п р и ходящ ей ся на единицу д л и ­
ны, ум нож ен ной на Е^.
Р*
г,
Ьг - Р 2 й 1 - Р 2
2Р1
я
~
2Р1 р2
/?
'
З а р яж е н н ы е плоскости
Р ассмотрим равномерно заряж ен н ую п ло­
скость с плотностью з а р я д а о С О З Е (С})/см2
(фиг. 128). Полное число силовых линий, вы ­
ходящих с 1 см2 поверхности, равно 4ло.
П оскольку у плоскости правое и левое н а ­
правления совершенно равноправны, число
силовых линий, выходящих налево и н а п р а ­
во, в точности одинаково. А т а к к а к н а п р я ­
женность электрического поля численно
равна количеству силовых линий, приходя­
щихся на 1 см2, то во всем пространстве
Е = 2па.
Ф иг. 129. С иловы е линии в случае
двух
п а р ал л ел ьн ы х
бесконечны х
плоскостей с оди наковы м и по в ел и ­
чине и п ротивополож ны м и по зн ак у
за р я д а м и .
(7.11)
Теперь рассмотрим случай двух п а р а л ­
лельных плоскостей с одинаковыми по вели­
чине и противоположными по зн аку плотно­
стями зар ядов (фиг. 129).
П оскольку Е — векторная величина, то
результирующее поле во всем пространстве
будет представлять собой сумму полей, со з­
д ав аем ы х каж д ой плоскостью в отдельности.
Во внешней от плоскостей области н а п р я ­
женность поля д о л ж н а быть
Е = 2ка -(- 2к (— а) = 0.
М еж ду плоскостями поле долж но слагаться
из поля величиной Е = 2 ло , направленного
от левой плоскости, и поля величиной
Е = 2ла, направленного к правой плоскости.
Таким образом,
Е
—
2 к а
-(- 2 п а
и направлено вправо;
стями:
или меж ду плоско­
Е = 4*з.
(7.12)
Распространенны м
элементом многих
электрических схем является емкость, или
конденсатор. О ба эти н азван ия совершенно
эквивалентны. Конденсатор состоит из двух
пластин площ адью А к а ж д а я , помещенных
на небольшом расстоянии с1 друг от друга.
В большинстве случаев одна из пластин кон­
денсатора имеет за р я д + ( 2 , а д ругая — С}.
В этом случае плотность зарядов в = С}/А.
И з формулы (7.12) следует, что для плос­
кого конденсатора
Е =
(7.13)
Во многих конденсаторах, используе­
мых на практике, пространство между п л а ­
стинами заполняется веществом — диэл ект­
риком. Если диэлектрик поместить в элект­
рическое поле, то на его поверхности
индуцируются электрические заряды , о с л а б ­
ляю щ ие напряженность электрического поля
внутри диэлектрика. В этом случае вели­
чина, С} в формуле (7.13) д о л ж н а пред став­
лять собой сумму первоначального за р я д а и
индуцированного зар я д а , который имеет про­
тивоположный зн а к и меньшую величину.
Отношение напряженности электриче­
ского поля в вакууме к напряженности поля
в диэлектрике назы вается диэлект рической
постоянной и обозначается р.
§ 8. Потенциальная энергия
электрического поля
РАССТОЯНИЕ
В опрос 5. К а к о е электри ческое поле
сущ ествует вне и внутри плоского
к о н д ен сато р а (фиг. 129), если на п л а с ­
т и н ах нанесен оди н аковы й з а р я д о д ­
ного зн ак а?
Б Е С К О Н Е Ч Н О — РА БО ТА
КОНЕЧНА
В гл. 5 указывалось, что существует мно­
го различных видов потенциальной энергии.
Потенциальную энергию мож но представ­
лять ка к запасенную энергию, которую в
дальнейш ем можно использовать для п роиз­
ведения работы. Запасти энергию можно,
213
поднимая массу на некую высоту (преодоле­
вая силу тяж ести) или растяги вая п р у ж и ­
ну (преодолевая силу упругости). А налогич­
но энергию можно запасти, п ерем ещ ая
з а р я д против действия электрической силы.
Если затем з а р я д освободить, то электриче­
ская сила сообщит ему ускорение и тем с а ­
мым возвратит ту работу, которая была з а ­
трачена нами на преодоление электрической
силы. Определение потенциальной энергии
было дано на стр. 133. И з него следует, что
если за р я д ^ переместится из точки А в
точку В, то его потенциальная энергия в о з­
растет на величину
V в — V А = — ~РХ • Ах.
(7.14)
Зд есь Р.х — средняя составл яю щ ая по оси х
электростатической силы, а Ах — расстояние
от А до В. Эта потенциальная энергия, обус­
ловленная электростатическими силами, н а ­
зы вается пот енциальной энергией электриче­
ского поля.
В качестве примера рассмотрим потенци­
альную энергию положительного пробного
зар я д а , помещенного меж ду заряж ен н ы м и
п араллельны м и плоскостями (фиг. 129).
Д ей ству ю щ ая на ц сила н аправлена слева
нап раво и равна цЕ. Чтобы произвести над <7
положительную работу, мы долж ны пере­
местить з а р я д влево: С ледовательно, у левой
плоскости потенциальная энергия з а р я д а ^
больше, чем у правой плоскости. Разность
потенциальных энергий равна <7Ес1, где с1 —
расстояние м еж д у плоскостями. Если предо­
ставить зар я д у возможность двигаться, то он
будет двигаться с ускорением к правой п л а с ­
тине, по пути п р ев ращ ая свою электриче­
скую потенциальную энергию в кинетиче­
скую.
Потенциальная энергия сферы
и точечного заряда
Ответ 5. В нутри поля от к а ж д о й из
пластин н а п р ав л ен ы в п р о ти в о п о л о ж ­
ные стороны , т а к что ^ в н у т р = 0 . С н а ­
р уж и
они с к л а д ы в аю т с я , т а к что
^внеш = 4 ЯО.
214
!
I
Предположим, что на з а р я д ^ действует
сила Р, обусловленная электрическим по­
лем, созданным зар яж ен н ой сферой с пол­
ным зарядом С} (фиг. 130). Тогда Е = (2 д /г 2.
Фиг. 130. Точечны й з а р я д <7 вблизи
за р я ж е н н о й сф еры с полны м з а р я ­
д ом <2 .
Найдем вы раж ен и е для потенциальной энер­
гии этого з а р я д а . М атематически эта з а д а ­
ча аналогична нахождению потенциальной
энергии тела с массой т в поле силы т я ж е ­
сти, созданном сферой с массой М. В этом
случае сила тяж ести Рс = — С М т /г2. Элек___ тростатическая сила, так ж е как и
сила тяжести, обратно пропорцио­
нальна кв ад рату расстояния. Поэтому оба
в ы р аж ен и я мож но преобразовать одно в
другое, зам енив (С М т ) на (-—(?<7). Нужны й
нам результат получится, если в ф ор м у ­
ле (5.6) д л я потенциальной энергии силы т я ­
жести зам енить постоянную (С М т ) на
(— (3<7). Это даст
Напомним, что эта величина хар а ктер и ­
зует работу, которую следует проделать, что­
бы переместить точечный з а р я д ц с поверх­
ности сферы на расстояние г от ее центра
(фиг. 130). Если действует сила притяжения
(произведение <3<7 отрицательно), то, к а к и
в случае силы тяжести, эта разность по­
тенциальных энергий положительна. Если
электростатическая сила представляет собой
силу отталкивания (С?<7 — п о лож и тел ьн о ), то
величина 1)г— 1!ц будет отрицательна.
Потенциальная энергия двух
точечных зарядов
П оскольку напряженность
электриче­
ского поля Е вне сферы с полным заря дом <3
равна напряженности электрического поля,
создаваемого точечным зар я д о м С}, то при­
ращение потенциальной энергии при пере­
мещении за р я д а из точки А в точку В равно
"в - и л=Чч(-^- т Г ) .
Вопрос 6. П р ав и л ьн о или л о ж н о у т ­
в ерж д ен и е: п отен ц и ал ьн ая
эн ергия
V Т— Ц н п р е д с та в л я ет собой раб о ту
по перем ещ ению точечного з а р я д а <7
из г в Я?
<™ >
где гА и гв — соответственно расстояния от
точечного з а р я д а С}. Это приращение потен­
циальной энергии равно работе, затраченной
на преодоление электрической силы при пе­
ремещении за р я д а из одной точки в другую.
215
р
Любопытно, что эта работа не д олж на з а в и ­
сеть от пути, пройденного зар ядом из А в
В. Действительно, если бы перемещение по
одному пути требовало затраты большей
работы, чем перемещение по другому пути,
то, переводя з а р я д из Л в б по пути, треб у ­
ющему меньшей работы, и во звр а щ ая его
н азад из В в А всегда по пути, требующему
большей работы, мы получили бы в о зм о ж ­
ность создать вечный двигатель. Д ей ств и ­
тельно, работа, соверш аем ая электростати­
ческой силой на обратном пути, п р ев р ащ а ет ­
ся в кинетическую энергию движущ егося
зар яда, что позволило бы получить в конце
каждого замкнутого цикла выигрыш в энер­
гии.
Во всех наших расчетах превращений
энергии речь ш ла до сих пор лишь об изм е­
нении потенциальной энергии. Однако у д об ­
нее было бы говорить о самой потенциаль­
ной энергии пробного з а р я д а
нахо д ящ его­
ся на расстоянии г от за р я д а <2. Такое
определение «абсолютного» значения потен­
циальной энергии долж но содерж ать произ­
вол. Оно основано на выборе произвольного
положения (или начального уровня), от ко­
торого будет отсчитываться величина потен­
циальной энергии. Условимся измерять по­
тенциальную энергию от уровня, соответст­
вующего г — оо. Пусть в формуле (7.15) IIА и
будет этим начальным уровнем отсчета
( г А = о о ) . Тогда
Уя = 0
1
ОО
).
или
Обычная запись такова:
П от енциальная эн ер ги я д в у х
точечных з а р я д о в
О твет 6. Л о ж н о . Это р а б о та по пере­
мещ ению ^ из Я в г.
216
V =
<3?
(7.16)
(V — потенциальная энергия двух точечных
зарядов, находящихся друг от друга на рас-
Ф иг, 131. П о тен ц и а л ьн а я
эн ергия
эл ек трон а в функции р ассто ян и я г до
протона.
ад;
стоянии г). Физический смысл этого в ы р а ­
жения следующий: электрическая потенци­
ал ьная энергия I) двух точечных зарядов, н а ­
ходящихся на расстоянии г, равна работе,
затраченной на сближение этих заря до в из
бесконечности до такого расстояния.
Если заря ды одноименные, то действует
электростатическое отталкивание, и чтобы
переместить заря ды из бесконечности на р а с ­
стояние г друг от друга, надо затратить по­
ложительную работу. Если ж е заряды р а з ­
ноименные, то п роделан ная работа или по­
тенциальная энергия будет отрицательна.
В качестве примера рассмотрим потенци­
альную энергию электрона, находящ егося в
электрическом поле протона. В этом случае
<2 = е (за р я д протона), а ц = — е (за р я д
электрона) и И = — е2/г. Эта функция изо­
б р аж е н а на фиг. 131.
Пусть электрон в начале покоится и н ах о­
дится на расстоянии г0 от протона. В этом
случае его полная механическая энергия
УРо = Е к т + I I , где ЯКИн = 0, а У = — е2/г0 и
и^о —— е2/г0. Если электрон предоставлен с а ­
мому себе, то он начнет ускоренно д ви гать ­
ся по направлению к протону, н абирая ки­
нетическую энергию и теряя соответствую­
щее количество потенциальной энергии.
Зако н сохранения энергии утверж дает, что
сумма (Е шш+ [ / ) д о л ж н а оставаться посто­
янной, равной начальному значению и?0Соотношение № о= Екпп-\-11 удобно п редста­
вить в виде граф ика
(см. фиг. 81).
Н а фиг. 131 сумма №0= Е к т + И, сохраняю ­
щ а я постоянное значение, и зо бр а ж ен а к р а с ­
ной горизонтальной прямой. Поскольку
^ к и н = ^ о — V , то кинетическая энергия равна
разности ординаты этой линии и ординаты
217
точки на кривой потенциальной энергии II.
При г = г0 эта разность равна нулю. Итак,
г0 — это максимально возможное рассто я­
ние, на которое электрон с полной энерги­
ей Г 0 мож ет удалиться от протона. О б р а ­
тите внимание, что на этой д и аграм м е и Г 0
и II всегда отрицательны; однако разность
Г 0— V положительна, если только г < г 0.
Энергия связи
Э н ер ги я с в я зи
Энергия связи электрона определяется
ка к количество энергии, которую надо со­
общить электрону для того, чтобы перевести
его на бесконечность. Физически —- это коли­
чество энергии, необходимое для полного
отрыва электрона от протона. Д л я того что­
бы электрон только-только попал на беско­
нечность, его Е кп„ = 0 при г= о о . Подставив
Е КИН= 0 и г= о о в формулу ЧР=Ект +11, по­
лучим Г 0 = 0 + 0. Если Г 0 отрицательно, то
энергия электрона будет меньше Г 0= 0 и мы
долж ны сообщить электрону дополнительно
положительную энергию (— Г 0) с тем, что­
бы получить Г 0= 0 и электрон мог попасть
на бесконечность. По определению эта энер­
гия и представляет собой энергию связи,
а именно
Е,СВЯЗИ
ИЛИ
Е,связи
г
'о
Энергия связи всегда д олж н а быть поло­
жительной.
П р и м ер 1.
Э лектрон
им еет
на
расстоян ии
2 ,4 - 10-9 см от
протона
кинетическую энергию
1 ,6 1 0 ~ и эрг. Ч ем у р авн а его эн ергия связи ? Н а п и ­
ш ем
— ^кнн + и —
В опрос 7. П р а в и л ьн о или л о ж н о у т ­
в ерж ден и е: п о тен ц и ал ьн ая
энергия
(7.16) п р е д с та в л я ет собой раб о ту по
перем ещ ению з а р я д а ^ с р асстоян и я г
на бесконечность?
Г„ = — 8- 10-11 9рг.
И так , энергия связи р а в н а 8 - 10~п эрг.
П р и м е р 2. В воровской м одели атом а в о д о р о д а
электрон д в и ж е т с я по круговой орби те с р ади усом
Я = 5,3 - 10- 9 см.
а) В ы вести ф о р м у л у д л я эн ергии связи, с о д е р ж а ­
щ ую только величины е н Я.
б) Ч ем у р а в н а величина энергии с вязи в эр гах ?
Энергия с в язи р авн а
1
е‘
2- т^ ~ ~
Е сли п р и р ав н ят ь ц ентрострем и тельную силу эл е к тр о ­
стати ческой, то мы получим ещ е одно вы р аж ен и е д л я
скорости эл ек трон а V.
Я
~
Я2 '
или
т°
2 _
~
в2
Я.
'
П о д с т а в л я я это вы р аж ен и е в в ы р аж ен и е д л я энергии
связи, н аходим
Н4 -)
1 / е2 \
= ~2 ~ 1 —
I (ответ на в опрос « а » ),
1 ( 4 ,8 • 10~10)2
= ~2~ 5 ,3 • 10-9 =
= 2 1 ,8 • 10-12 эрг (ответ на в опрос «б»)
§ 9. Электрический потенциал
ОТКУДА Б Е РУ Т С Я В О Л ЬТ Ы
Подобно тому как раньш е из со о б р аж е­
ний удобства мы оперировали с электриче­
ской силой, действующей на единицу з а р я д а ,
удобно ввести и электрическую потенциаль­
ную энергию, приходящуюся на единичный
заряд. Сила, действую щая на единицу з а ­
ряда, была н азв ан а напряженностью элек­
трического поля. Электрическая потенциаль­
ная энергия, п риходящ аяся на единицу
зар я д а , н азы вается электрическим потен­
циалом.
О твет 7. Л о ж н о . Э то р а б о та по п ере­
носу з а р я д а 9 из бесконечности на
расстоян и е г.
По определению , элект рическии потенциал в лю б о й точке пространства представляет
219
собой работу, которую надо затратить, что­
бы переместить единичны й полож ительный
за р яд из бесконечности в эту точку.
В системе С 0 5 Е
единицей измере­
ния электрического потенциала служит
э р г/С 0 5 Е (< 2 ). В системе М К З соответству­
ющей единицей является дж /кулон. Она
имеет специальное название вольт (в). С о­
отношение меж ду единицами в обеих систе­
мах таково:
1 С 0 5 Е (У) = 300 б.
Если электрическая потенциальная энергия
пробного з а р я д а ^ в данной точке п ростран ­
ства равна Ц, то потенциал V в этой точке
равен
Э лект рический потенциал
у = ~ -
(7.17)
Р аб о та, произведенная над зар я д о м <7
при его перемещении на расстояние А х
против сил электрического поля с н ап р я ­
женностью Е, равна произведению силы
—<7Е х и расстояния Ах.
Таким образом,
АС/ = — цЕ хА х
есть приращение электрической потенциаль­
ной энергии. Р азд ел и в обе части этого р ав ен ­
ства на ц, получим
Д V = — Е хА х.
(7.18)
П р и м е р 1. Э л ек три ч еск ая п отен ц и ал ьн ая эн ергия
эл ек трон а р а в н а 2 1 ,8 -10-12 эрг. Ч ем у равен п о тен ­
циал
а ) в еди н и ц ах С 0 8 Е ?
б) в во л ьтах ?
V
V —
^
2 1 , 8 - 10-12
—
4 , 8 - 10-10 — 0 ,0 4 5 3 С 0 5 Е (I7).
П оскол ьк у 1 С 0 8 Е ( К ) = 3 0 0 в , то, чтобы перевести
полученный р е зу л ь т а т в вол ьты , ум нож им его на 300:
1 = 300 • 0 , 0 4 5 3 = 1 3 ,6 в.
Емкость
В опрос 8. Д о п у сти м , что при перем е­
щ ении в д о л ь оси х электрический по­
тен ц и ал увел и ч и в ается. К а к о в о н а ­
правл ен и е Е ,х?
Простым примером применения формулы
(7.18) является вычисление разности потен­
циалов V м еж д у пластинами конденсатора.
Фиг. 132. С ф ерический к онденсатор,
состоящ ий из д в у х концентрических
оболочек е р а д и у с ам и Ял и Кв.
Поскольку напряженность электрического
поля Е меж ду пластинами конденсатора по­
стоянна, то разность потенциалов меж ду
пластинами У = — Ей, где ^ — расстояние
между ними. П од ставляя сюда вы ражение
для Е из (7.13), получаем величину V :
(7.19)
Ш
Заметим, что разность потенциалов прямо
пропорциональна величине за р я д а С}. Отно­
шение за р я д а к разности потенциалов п ред­
ставляет собой величину С, носящую н а з в а ­
ние емкости и весьма полезную для п рило­
жений:
С = _0_
V
(7.20)
Емкость плоского конденсатора легко
получить, подставив правую часть (7.19) в
формулу (7.20), откуда д ля плоского конден­
сатора
Если м еж д у пластинами имеется диэлект­
рик, то при том ж е зар я д е С? поле Е, а следо­
вательно, и V уменьшится в е раз. Емкость
плоского конденсатора с диэлектрической по­
стоянной е равна
О тв ет 8. Е х н ап р а в л е н о в сторону
ум еньш ения * и р авн о - Д У / Д х .
П р и м е р 2. В н утрен н яя о б к л а д к а сф ерического
ко н д ен сато р а, и зо б раж ен н ого н а фиг. 132, им еет з а р я д
+ <3, а в н еш н яя о б к л а д к а — з а р я д — С. Ч ем у р авн а
н ап р яж ен н о сть электри ческого п ол я в о б л а ст я х I, I I
и III? К а к о в а ем кость кон д ен сато р а?
В этой за д а ч е силовы е линии электри ческого по­
л я буд ут су щ еств о вать только в об л асти II. С в н у т­
ренней поверхности в ы х о д я т и ок ан ч и в аю тся на вн еш ­
ней поверхности к о н д ен сато р а 4я<2 силовы е линии.
Т аким об р азо м , Е : и Е ц равн ы нулю . Н а п р яж ен н о с ть
электри ческого поля в обл асти I I р а в н а 4я<2 (полное число сил ° в ы х л и н и й ), делен ном у на 4я г 2 (полн а я п л о щ ад ь через которую п р о х о д ят силовы е лин и и ). И т ак , Е ц — (Иг*. П оскол ьк у это поле с о в п ад ае т
221
с полем точечного з а р я д а С?, то д л я определени я р а з
ности п отен циалов м еж д у о б к л а д к ам и конденсатор;
м ож но и сп о л ьзо вать ф о р м у л у (7.15):
О
<?
Ув ~ УА
О
1
1
Я,
С
=
Ка
Я,
■емкость к о н д е н с ат о р а .
Электроскоп
Фиг. 133. З а р я ж е н н ы й электроскоп.
Металлы чески й
шарик
и стержень
222
Изолирующая
втулка
Одним из первых приборов, применяв
шихся для обнаруж ения з а р я д а и измерени;
электрического потенциала, был электро
скоп, изображ енны й на фиг. 133. Если зар я
ж енным проводником коснуться металличе
ского ш арик а электроскопа, то тонкие ме
таллические листочки
(из золотой ил!
алюминиевой фольги) приобретут тот Ж(
потенциал, что и наш проводник. З а р я д
который приобретут листочки, будет пропор
ционален разности потенциалов меж ду лис
точками и корпусом электроскопа. Вследст
вие того что листочки приобретают одно
именный зар я д , меж ду ними возникает сил;
отталкивания, которую можно измерить пс
углу отклонения листочков на ш кале элект
роскопа.
Электроскоп мож но заря ди ть индуктив
но, аналогично шару на фиг. 119. З а р я ж е н
ный электроскоп можно использовать длг
обнаруж ен и я зарядов, а т а к ж е для опреде
ления их зн ака. П редполож им, что к отри­
цательно зар я ж ен н о м у электроскопу подне
сен отрицательно заряж ен н ы й стержень
С тержень заставит часть электронов с ша
рика перейти на листочки, которые разой
дутся еще больше. П олож ительно зар я ж ен
ный стержень притянет к ш арику некоторое
количество электронов, и листочки несколько
опадут.
З а р яж е н н ы й электроскоп на протяжении
нескольких дней постепенно теряет свой з а ­
ряд, т а к как небольшое количество моле­
кул воздуха непрерывно ионизуется косми­
ческими лучами. Некоторые из этих ионов
могут нейтрализовать избыточный з а р я д
электроскопа. Скорость р а зр я д а электр о­
скопа пропорциональна величине фонового
излучения (радиоактивности).
Кстати, для измерения дозы излучения,
получаемой человеком, обычно применяют
маленький электроскоп размером с к а р а н ­
даш. Степень р а зр я д а такого карманного
дозим етра легко узнать, посмотрев через
него на свет.
Резюме
И так, мы наполовину изучили теорию
электричества. Мы умеем в принципе вычис­
л ять силы и энергии для случая покоящихся
зар я ж ен н ы х тел.
В гл. 8 мы познакомимся с силами иной
природы, которые возникают только при д в и ­
жении зарядов. Они называются, магнит­
ными с и л а м и , и мы увидим, что эти силы
мож но рассматривать как «релятивистские
поправки» к закону Кулона. Мы увидим д а ­
лее, что эти магнитные силы позволяют о б ъ ­
яснить явление магнетизма и принцип дейст­
вия электродвигателей. З а т ем мы изучим
еще один класс явлений — электромагнит­
ную индукцию, происходящую только тогда,
когда электрический ток меняется по величи­
не. И, наконец, законы электричества будут
использованы все вместе д ля д о казател ь ст­
ва того, что при изменении электрического
тока долж ны излучаться электромагнитные
волны, распространяю щ иеся со скоростью
и = с.
Кульминационным пунктом гл. 8 явится
изложение последнего выдаю щ егося дости­
ж ени я классической физики — создания тео­
рии света на основе теории электричества.
223
Задачи
2. З а р я д в — 40 С О З Е (С ) помещ ен на расстояни]
10 см от з а р я д а в + 9 0 С О З Е (С ).
а) К а к а я сила д ей ствует м еж д у ними?
б) С колько силовы х линий уходи т в бесконеч
ность, если считать, что больш е за р я д о в нет
Фиг. 134. К за д а ч е 3.
/
&
/
/
/
\
\
\
-а
+ 6!
\
\
ъ
СХ—2 см — ►о
I
\
1. М етал л и ч еском у ш ар у со о б щ ается полож ительны ]
за р я д . Ч то прои зой дет при этом с его м ассой: воз
р а стет ли она, ум ен ьш ится или остан ется той ж
сам ой?
I
>
/
\
3. Э лектрический ди поль состоит из д в у х зарядо]
+ 0 и — (2 величиной 100 С О З Е (С?) на расстояни]
2 см д р у г от друга.
а) С колько силовы х линий вы ходит за предел!
сф еры , обозначенной пунктиром на фиг. 134
б) Ч ем у равен электрический потенциал в цент
ре сф еры ?
в) Ч ем у равн о электри ческое
поле в центр
сф еры ?
4. О трицательн ы й
электрический з а р я д величино]
— 10 С О З Е (С)) помещ ен в центре полой м еталли че
ской сферы , на поверхности которой н ах о д и тся з а р я ;
+ 15 С О З Е ( 0 ) .
а) Н ари суй те д и агр ам м у силовы х линий, пред
став л яю щ и х р езул ьти рую щ ее силовое поле.
б) С колько силовы х линий вы ходит за предель
сферы ?
5. З а р я д величиной 6 -Ю 3 С О З Е ( С}) р асп ол ож ен н;
расстоян ии 1 м от ш ари ка с массой З г и зарядо»
300 С О З Е ((?). К акое п ервоначальное ускорение полу
чит ш арик?
6. В одном углу к в а д р а т а со стороной 10 см помещ е
з а р я д в + 4 0 0 С О З Е (<3), а в противополож ном уг
лу — з а р я д в + 3 0 0 С О З Е ( 0 ) . Н айти полную сил>
действую щ ую на за р я д в + 1 0 С О З Е (<2), помещен
ный в третьем углу к в а д р а т а .
Фиг. 135. К за д а ч е 7.
9,
Г
02
-10 см — ю
10 см
7. Во всех четы рех углах к в а д р а т а со стороной Ю с;
пом ещ ены за р я д ы по 100 С О З Е (<Э) к аж д ы й . Н а й т
величину и н ап рав лен и е н а п ряж ен н ости электриче
ского поля Е в центре к в а д р а т а , если зн ак и за р я д о
Фь
з и
(фиг. 135) следую щ ие:
а) + + + +
б) + — + —
в) +
+
--------
8 . В ы числить потенциалы в центре этого к в а д р а т
д л я случ аев «а», «б» и «в», им ея в виду, что результи
рующ ий потенциал равен алгебраи ческой сумм е сс
с тав ляю щ и х его потенциалов.
9. К а к а я из приведенны х ниж е ф изических величи
имеет разм ерн ость электри ческого поля: В (гаусс)
д /г\ <7/г2; вольт /см\ Г/(?; С<у?
224
10. П учок протонов из у скори тел я с кинетической
энергией 1,6 • 10_6 эр г н а п р а в л я е т с я в газооб разн ы й
водород.
а) Ч ем у р авн а
эл ек тр и ч еск ая
потен ц и ал ьн ая
эн ерги я (в э р га х) протонов пучка и яд ер в о ­
д о р о д а при их м ак си м ал ьн о в озм ож н ом сб л и ­
ж ении?
б) П о л о ж и т ел ьн а или о т р и ц ател ьн а эта потен ци­
а л ь н а я эн ергия?
в) К а к о во расстоян и е м ак си м ал ьн о го с б л и ж ен и я
(в см )?
11. С колько эл ектрон ов закл ю чен о в 1 г в о д о р о д а,
углерода и урана-238?
12. К н е за р я ж е н н о м у эл ектроскоп у мы поднесли о т ­
риц ательно за р я ж е н н ы й стерж ен ь. П ри этом листочки
р асх о д ятся. К акой з а р я д п ояви тся на л и сточ ках? З а ­
тем мы бы стро д о т р аги в а ем с я рукой д о ш ари к а, пос­
ле чего о тодви гаем стер ж ен ь о т эл ек троск оп а. К акой
теперь з а р я д на листоч ках?
13. Э лектроскоп з а р я ж е н п осредством индукции с по­
мощ ью стеклян ной палочки, н атертой ш елком. З а те м
к эл ек троск оп у поднесен неизвестны й за р я д , в р е зу л ь ­
т ате чего листочки сош лись. К а к о в зн ак неизвестного
заряда?
14. П р е д п о л о ж и м , что в яд ре гелия им ею тся д в а протона на расстоян и и 1,5- 10-13 см д р у г от друга.
а) К а к о в а величина эл ектростати ческой силы,
д ействую щ ей м е ж д у ними?
б) К ак у ю р а б о ту надо за т р а т и т ь , чтобы сбл и зи ть
протоны до так о го р ассто ян и я?
15. Э лектрон н ах о д и тся на р асстоян и и 5,3 • 10-9 см
от протона. К а к о в а д о л ж н а бы ть скорость, чтобы он
смог покинуть протон?
16. К ак о во отнош ение эл ектростати ческой силы и си­
лы тяготен и я д в у х протонов?
17. Р а ссм отри м эл ектрон с электри ческим за р я д о м
■—е и нейтрон с нулевы м за р я д о м на расстоян ии Я
д р у г от д р у га. П усть т — м асса эл ек тр о н а, а М —■
м асса нейтрона.
а) В ы р ази те силу, действую щ ую м еж д у ними, че­
рез Я и лю бы е д ругие у н и версал ьн ы е ф и зи че­
ские постоянны е.
б) П р е д п о л о ж и м , что эл ектрон д в и ж е тс я по к р у ­
говой орби те в ок руг нейтрона. В ы р ази те силу
их в за и м о д ей ств и я через т , Я а V (угловую
скорость э л е к т р о н а ).
в) В ы р ази те кинетическую энергию эл ек трон а че­
рез О, т , М и К.
г) Ч ем у р авн а п отен ц и ал ьн ая эн ергия э л е к тр о ­
на? (П р е д п о л а га я , что /7 = 0 при Н = °° )
18. Р а с сто ян и е м еж д у д в у м я п ар ал л ел ьн ы м и п л а ст и ­
нами 2 см. Н а п р я ж ен н о с ть электри ческого поля м е ж ­
д у п ласти н ам и 20 д и н !С С 5 Е ( С}). К а к о в а разн ость
потенциалов м еж д у пластинам и?
8— 176
225
19. Э лектрон у ско р яется р азн остью потен циал ов в 1
К а к о в при рост его кинетической энергии? Реш и те
ж е за д а ч у д л я протона.
20. Э лектроны
п ри тяги в аю тся
за р я ж е н н о й
сф е[
В ан д е Г р а а ф а с п отен циалом в 1 млн. в. К акс
б у д ет их ки н ети ческая эн ерги я (в э р г а х ), к о гд а с
дости гн ут сф еры ?
21. Р ассм о тр и м д в е п ар ал л е л ьн ы е бесконечны е пл'
кости, р ассто ян и е м еж д у которы м и 8 см. Плотно<
з а р я д а на обеих п л оскостях 5 С 0 5 Е (0 )/см 2.
а) Ч ем у р авн а н а п р яж ен н о ст ь электрическс
поля м еж д у п лоскостям и?
б) Ч ем у р авн а н а п р яж ен н о сть электри ческого I
л я на расстоян ии 3 см слева от л евой пл<
кости?
22. П р ед п о л о ж и м , что ш арик из угля д и ам етр о м 1
имеет один избы точны й эл ек трон на м иллион п]
тонов.
а) Ч ем у равен з а р я д ш ар и к а , если его пл!
ность 0 = 1 , 7 г /см3}
б) Ч ем у р авн а н а п р яж ен н о ст ь электри ческого I
л я на поверхности ш ар и ка?
23. Н ачерти те на гр аф и ке потен циальную энерг
плоского к о н д ен сато р а, и зо б р аж ен н о го на фиг. 1
(стр. 212).
24. Н а фиг. 136 и зо б р аж ен а д и агр ам м а потенциа.
ной энергии з а р я д а ^ вблизи нескольких покоящ их
Ч(х)
х
за р я д о в . З а р я д <7 п р едоставл ен сам о м у себе (вне
ние силы о т су тств у ю т). П о л н а я энергия
(не счит
энергии покоя) р авн а №0= .Екин + {Л
а) Ч ем у р авн а Е к„„ при х = х { и х — х^>
б) Ч ем у р авн а V при х = х 1?
в) Ч ем у р авн а №<> при х = х 3?
25. Э лектрон в р ащ ае т ся вокруг протона. Ч ем у раЕ
отнош ение потенциальной и кинетической эн ер 1
эл ек тр о н а? П о л о ж и тел ьн о или отри ц ател ьн о это
нош ение? Ч ем у р авн о отнош ение энергии с вязи к 1
нетической энергии?
26. Н ач ер ти те на гр аф и ке потен циальную энер)
сф ери ческого к о н д ен сато р а, и зо б раж ен н ого на фиг.
(стр. 221).
27. Р а с ст о я н и е
м еж д у
двум я
м еталл и чесю
п л асти н ам и п л о щ ад ью 100 см 2 к а ж д а я р авн о 2
З а р я д л евой пластины равен — 5 С О З Е (<2), а за
правой пл астины с о ст ав л я е т — 1 0 С 0 5 Е ( < 2 ) .
а ) К а к о в а н а п р яж ен н о ст ь электри ческого ш
непосред ственн о слев а от левой пластины ?
19. Э лектрон у ско р яется р азн остью п отен циалов в 1 в.
К а к о в при рост его кинетической энергии? Р еш и те ту
ж е за д а ч у д л я протона.
20. Э лектроны п ри тяги в аю тся
за р я ж е н н о й
сф ерой
В ан д е Г р а а ф а с потен циалом в 1 млн. в. К а к о в а
б у д ет их ки н ети ческая эн ер ги я (в э р г а х ), к о гд а они
дости гн ут сф еры ?
21. Р ассм о тр и м д в е п ар ал л е л ьн ы е бесконечны е плос­
кости, р ассто ян и е м еж д у которы м и 8 см. П л отн ость
з а р я д а на обеих п л оскостях 5 С 0 5 Е (С})1см2.
а) Ч ем у р авн а н а п р яж ен н о сть электри ческого
поля м еж д у п лоскостям и?
б) Ч ем у р авн а н а п р яж ен н о сть электри ческого по­
л я на расстоян ии 3 см слева от левой плос­
кости?
22. П р е д п о л о ж и м , что ш ари к из угля д и ам етр о м 1 см
имеет один избы точны й эл ек трон на м иллион п ро­
тонов.
а) Ч ем у равен з а р я д ш ар и к а , если его п л от­
ность 0 = 1 , 7 г!см3?
б) Ч ем у р авн а н а п р яж ен н о ст ь электри ческого по­
л я на поверхности ш ар и ка?
23. Н ачерти те на гр аф и ке потен циальную энергию
плоского к о н д ен сато р а, и зо б р аж ен н о го на фиг. 129
(стр. 212).
24. Н а фиг. 136 и зо б р аж е н а д и агр ам м а п о тен ц и ал ь­
ной энергии з а р я д а ц вблизи нескольких п окоящ ихся
им
х
за р я д о в . З а р я д ^ п р едоставл ен сам ом у себе (вн еш ­
ние силы отсу тств у ю т). П о л н а я эн ергия
(не считая
энергии п окоя) р авн а №о = -Екил + 11.
а ) Ч ем у р авн а Е ИИ„ при х = х , и х = х 2?
б) Ч ем у р а в н а I! при х = х \?
в) Ч ем у р авн а №0 при х = х 3?
25. Э л ек трон в р ащ ае т ся вок руг протона. Ч ем у равн о
отнош ение потенциальной и кинетической энергий
эл ек тр о н а? П о л о ж и тел ьн о или отри ц ател ьн о это от­
нош ение? Ч ем у равн о отнош ение энергии с вязи к ки­
нетической эн ергии?
26. Н а ч е р ти те на гр аф и ке п отен циальную энергию
сф ери ческого ко н д е н с ат о р а , и зо б раж ен н ого на фиг. 132
(стр. 221).
27. Р а с с т о я н и е
м еж ду
двум я
м еталлическим и
п ласти н ам и п л о щ ад ью 100 см 2 к а ж д а я р авн о 2 см.
З а р я д л евой пластины равен — 5 С 0 5 Е ( С ), а за р я д
правой пл астины с о ст ав л я е т — 1 0 С 0 8 Е ( ( 2 ) .
а ) К а к о в а н а п р яж ен н о ст ь электри ческого поля
непосред ственн о слева от левой пластины ?
б) К а к о в а н а п р яж ен н о сть эл ектри ческого поля
м еж д у пластинам и?
в) К а к о в а н а п р яж ен н о сть это го п ол я н еп осред ­
ственно с п р ав а от правой пластины ?
г) К а к о в а р а зн о с ть п отен ц и ал ов м еж д у п л а ст и ­
нам и?
28. П р е д п о л о ж и м , что З е м л я им еет постоян ную п л от­
ность.
а) Е сли бы ее д и ам е тр ум ен ьш и л ся вдвое, то к а ­
кой о к а з а л а с ь бы ее м асса, если н а ч а л ь н а я
м асса М 0?
б) Ч ем у р а в н я л а с ь бы вели чин а § на п оверхн ос­
ти этой м аленькой Зем ли ?
в) П р е д п о л о ж и м , что мы проры ли по н а п р а в л е ­
нию к центру ям у глубиной в половину р а д и ­
уса Зем ли . Ч ем у р а в н а вели чин а § на дне
этой ямы ?
Фиг. 137. К за д а ч е 30.
НЙ
—О
Параллельно
Фиг. 138. К за д а ч е 31.
°— II—1|— °
С, с2
Последовательно
29. П р е д п о л о ж и м , что на поверхности Зем ли п л о т­
ность избы точного з а р я д а 1 элект рон/см 2.
а) Ч ем у р а в н я л а с ь бы н а п р яж ен н о ст ь эл ек тр и ч е­
ского поля н епосредственн о под поверхностью
Зем ли ?
б) Ч ем у р а в н я л ас ь бы н а п р яж ен н о сть эл ектр и ч е­
ского поля непосредственн о н а д поверхностью
Зем ли ?
в) Ч ем у р а в н я л с я бы электри ческий потен циал
Зем ли ?
30. Д в а к о н д ен сато р а, С 1 и Сг, соединены п а р а л л е л ь ­
но (фиг. 137). Ч ем у р авн а п о л н а я ем кость С такой
системы ?
[ У к а з а н и е . С = (<21 + <32)/У.]
31. Ч ем у р авн а ем кость д в у х кон д ен сато р о в , с о ед и ­
ненных п осл ед овател ьн о (фиг. 138)?
[ У к а з а н и е . П оскол ьку з а р я д () на обоих к о н д ен ­
сат о р ах один и то т ж е, то С = ()1 (У \+ У ^ ).]
32. Р а д и у сы д в у х концентрических за р я ж е н н ы х ц и ­
линд ров равн ы /?1 и /?2. С оответствую щ ие плотности
за р я д о в 0 ! и дг С О З Е (<2) на 1 см длин ы образую щ ей
ци ли ндра. Н ай ти н а п р яж ен н о сть электри ческого по­
ля Е на расстоян и и г от общ ей оси цили ндров, если:
а) г >
б)
У ?2 >
,
Г >
/? !•
В ы р ази те о твет через г, К \, К г, бг и 6гФиг. 139. К з а д а ч е 33.
33. Р а с см о тр и м три за р я ж е н н ы е плоскости, и зо б р а ­
ж енны е на фиг. 139. П о тен ц и ал плоскости А равен
нулю.
а ) Ч ем у равен п отен циал плоскости В?
б) Ч ем у равен потен циал плоскости С?
в) К ак о вы плотности з а р я д о в на к а ж д о й из трех
плоскостей?
34. Ч ем у равен потен циал на оси электри ческого д и ­
поля на расстоян и и г от его ц ен тр а? О тв ет в ы р ази те
через г, ф и Ь.
А
Е ,= 2 0
8*
-З м м -
- 5 м м -
227
35. Мы оп редел яем н а п р яж ен н о сть поля силы т я ж е ­
сти к ак силу тяж ести , действую щ ую на едини цу м ае
сы. Е сли число силовы х линий поля тяго тен и я, п р о х о ­
д ящ и х через 1 см2, численно р авн о н ап р яж ен н о сти по­
л я силы тяж е ст и , то сколько грави тац и он н ы х силовы х
линий вы ходит из тела с м ассой М ?
36. В водородоп одобн ом ато м е отдельны й эл ектрон с
за р я д о м — е в р ащ ае т ся на расстоян ии Я от покоя~
щ егося яд р а с за р я д о м 1е.
а) В ы числите эл ек тростати ческ ую силу, д е й с т ­
вую щ ую м еж д у эл ектрон ом и ядром ?
б) П усть Т — период об ращ ен и я эл ек трон а. Ч е ­
му р авн о ускорени е эл ек тр о н а, в ы р аж ен н о е
через Я и Г?
в) В ы р ази те Т через е, т , 1 и Я.
Фиг. 140. К за д а ч е 37.
37. П усть М эе о б о зн ач ае т новую единицу энергии
(1 М э в = \,& - 10-6 э р г ). П р ед став и м себе, что протон,
при близи вш ись к некоем у а том н ом у яд р у , поп адает
в обл асть, где п о тен ц и ал ьн ая
энергия V (г) имеет
вид, и зображ ен н ы й на фиг. 140. П усть протон с п о л ­
ной энергией и?0= 2 М эе « за х в ат ы в а е тс я » ядром (р а ­
ди ус я д р а Я ).
а) Ч ем у р а в н а п отен ц и ал ьн ая и кинетическая
энергии протона внутри яд ра?
б) К ак ую доп олн и тел ьн ую
энергию , согл асн о
класси ческой ф изике, надо сообщ и ть протону,
чтобы он покинул ядро?
в) Е сли протоны н а л ет аю т на ядро извне, то к а ­
кую начал ьн ую кинетическую энергию д ол ж н ы
они им еть согласно класси ческой ф изике, что­
бы прон икнуть в н утрь яд р а (п ред п ол ож и те,
что протон д в и ж е тс я из бескон ечности)?
V •*'•" чЧ.>'■* Г’.
**•
■
ГЛАВА
> *
ч *
* '
” ч
>
*
» • ;.
*- * ' ^ х ' % У : с г *
* ■ > *•-
у'
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Д а н н а я глава з ав ер ш ает наше изучение
теории электричества. В гл. 9 более подроб­
но рассматриваю тся некоторые приложения
этой теории, такие, как электроника и тео­
рия электрических цепей.
В этой главе мы впервые столкнемся с
двумя «новыми» электрическими явлениями:
взаимодействием токов (движ ущ ихся з а р я ­
дов) и возникновением электрического поля
при изменении величины электрического то ­
ка. Соответствующие силы называю тся м а г­
нитными, а процесс генерации электрическо­
го поля носит название электромагнитной
индукции. Ц ентральным моментом и зл о ж е ­
ния этой главы явится д оказательство того,
что изменяющийся электрический ток д о л ­
жен излучать электромагнитные волны, р а с ­
пространяющиеся со скоростью о = с.
§ 1. Электрический ток
ЭЛЕКТРИ ЧЕСТВО
П р е ж д е чем приступить к рассмотрению
взаимодействия токов, надо дать определе­
ние понятию тока. Сила тока / определяется
выражением
С и ла тока
/ =
>
(8 -1 )
где <2 — суммарное количество з ар я д а , про­
ходящего через данную площ адку за время 1:.
Единицей силы тока, назы ваемой 1 С О З Е ( / )
силы тока, служит 1 С О З Е ((3 ) за р я д а в 1 сек.
В системе М К 5 единицей силы тока служит
ампер (а ), равный 1 к у л о н в 1 сек. Таким
образом,
1а —
С С 5Е (0)/сек = 3- 10вС С 5 Е (/). (8.2)
В металлическом проводнике п олож итель­
ные з аря ды (атомные я д р а) неподвижны;
они закреплены в кристаллической решетке.
Но внешние электроны, или электроны про­
водимости, могут свободно передвигаться
вдоль проводника. Этот ф акт противоречит
230
всем представлениям классической физики и
может быть объяснен лишь на основе к в а н ­
товой механики (см. гл. 14). Если данное
поперечное сечение проводника ежесекундно
пересекают N электронов, то сила тока р а в ­
на А^е, где е — з а р я д электрона.
К аково ж е направление электрического
тока? С огласно правилу, установленному
Франклином, считается, что ток, текущий по
на п р а в л ен и ю к пластине конденсатора, д о л ­
жен приносить к ней положительный заряд.
Теперь мы знаем, что пластина конденсато-.
ра за р я ж а е т с я положительно, если ее по к и ­
дают электроны. Следовательно, электроны
проводимости всегда движ утся в н ап р ав л е­
нии, противоположном направлению тока.
Если бы з а р я д электрона считался п о лож и ­
тельным, а не отрицательным, тогда эта пу­
таница не возникла бы.
П р и м е р 1. К ак у ю силу тока с о зд а е т электрон ,
вращ аю щ и й ся в ок руг протона, в боровской м одели
а то м а в о д о р о д а?
С ила тока р а в н а величине з а р я д а эл ектрон а е,
ум нож ен ной на число прохож ден и й электроном в
1 сек дан н ой точки орбиты ; иначе говоря, 1 = (е, где
/ = в / 2 п Н — частота об ращ ен и я эл е к тр о н а по орбите.
Т аким об р азо м , сила тока / = е » / 2 я Л .
Н а стр. 198 у ж е говорилось, что скорость д в и ж е ­
ния эл ектрон а у = 2 ,1 8 -1 0 8 см /сек, а р ади ус орбиты
= 5,3 - 10 -' 9 см. П осле проведения численны х в ы к л а ­
д о к сила тока о к азы в а ет с я равной
/ = 3 ,1 4 -10е С С 5 Е
В опрос 1. В ы берите правильны й о т ­
вет: электри ческий то к имеет р а зм е р ­
ность:
а ) з а р я д а в 1 см3, ум н ож ен н ого на
скорость; б) з а р я д а на I см2, ум н о ­
ж ен н ого н а скорость; в) ни то, ни
другое.
(/) = 1,05-10~3 а.
Электрический ток можно т а к ж е создать,
перем ещ ая вдоль своей оси со скоростью V
линейный з а р я д с плотностью д С 0 8 Е ( ( 2 )
на 1 см. В этом случае количество зар я д а ,
проходящего ежесекундно через данную
точку, равно плотности з а р я д а д, у м н ож ен ­
ной на длину проводника, проходящего
через эту точку за 1 сек. С ледовательно,
сила тока, создаваемого дви ж ущ им ся линей­
ным зар я д ом с плотностью д С О З Е (С})/см,
есть
/ = р • о С а 8Е (/).
(8.3)
П р и м ер 2. Ток силой 1 а течет по м едном у п р о в о ­
ду сечением 1 м м 2. К а к о ва с р ед н яя скорость д р е й ­
фа V эл ектрон ов проводим ости?
231
С н а ч а л а н ад о вы числить число эл ектрон ов п рово­
дим ости 3?. п ри х о д ящ и х ся на 1 см п ров од а. Т огда
р = 9 ? « и V м о ж н о найти из в ы р аж ен и я / = 5 0 . П р е д ­
п о л а га я , что на к аж д ы й атом приходится один эл е к т ­
рон проводи м ости, мы придем к вы воду, что число
так и х эл ектрон ов в 1 см3 р авн о прои зведени ю числа
молей в 1 см 3 на число А во гад р о , а именно ф /А ) /У 0,
где О - - плотность, Л -г -а т о м н ы й
вес, Д^0 — число
А вогадро:
О
8 , 9 г /с м 3
— т~ N . = 25- с — 7---------• 6 ,0 2 • 1023 атом ов на м о ль =
А
"
0 0 ,0 г !м о л ь
= 8 ,4 5 • 1022 атом ов на 1 с м 3.
О бъем 1 см длины п ровода равен 10-2 см3; с л е д о в а ­
тельно, п р о в о д со д ер ж и т 3 7 = 8 ,4 5 -10го эл ектрон ов п р о ­
водим ости на к аж д ы й 1 см длины . И так,
р .=
= 8 ,4 5 • 102» ■ 4 ,8 ■ Ю” 10 =
= 4 ,0 6 • Ю И С а З Е ^ ) / ™ .
С огласн о ( 8 .3 ) , с к о р о с т ь дрейф а
3 • 10вСа5Е(<2)/сек
I
р =
4 ,0 6 • 1011 С 0 5 Е (<Э)/сж ~
= 0 ,7 4 • 10-2 с м /с е к .
О твет 1.
в) Н еп рави л ьн о ни то, ни д ругое, ибо
разм ерн ость силы тока <2/7\
232
Токи могут течь т а к ж е в газах и ж и д к о ­
стях. Примером тока в газе могут служить
неоновые трубки и люминесцентные лампы.
В этих л а м п а х ток создается не только э л е к ­
тронами, но и движ ущ им ися п олож ительны ­
ми ионами. Однако электроны гораздо под­
вижнее ионов, и поэтому именно они вносят
основной в кл ад в силу тока в газах. При
столкновении электрона с ионом или атомом
газа кинетическая энергия мож ет пойти на
возбуж дение последнего, а затем снова в ы ­
делиться как видимое глазом э л ектр ом аг­
нитное излучение, т. е. свет.
Большинство жидкостей содерж ит сво­
бодные ионы и поэтому может проводить
электричество. Подключим две м еталличе­
ские пластины (электроды) к источнику н а ­
пряж ения и погрузим их в такую жидкость.
Через жидкость потечет ток, который будет
состоять из положительных и отрицательных
ионов, движущ ихся в противоположных н а ­
правлениях, каж ды й к своему электроду.
Достигнув электродов, ионы нейтрализую т­
ся. Н апример, если растворить в воде столо­
вую соль (ЫаС1), то ионы Ыа+ будут д ви гать ­
ся к отрицательному электроду, а ионы С1~
— к положительному электроду. Н е й тр а л и зу ­
ясь, ионы С1~ вступают в химическую связь
и образую т молекулу С12 (газообразны й
хлор), который выделяется в виде пузы рь­
ков. Такой процесс химического разлож ени я
н азы вается электролизом и имеет большое
промышленное значение.
Элемент тока
Элемент тока определяется как произве­
дение силы тока в проводнике / на элемент
длины проводника А/. Итак,
Элемент тока
А/ = 1 . М = ро ■М = (рД/)о.
Но (эД/ представляет собой величину зар я д а ,
движ ущ егося в элементе Д/. Обозначим ее
через
Тогда
А/ = /А / = <р.
(8.4)
Мы видим, что движущ ийся з а р я д <7 м а т е м а ­
тически эквивалентен элементу тока. П о это­
му силы, действующие на токи, долж ны быть
в действительности не чем иным, как с и л а ­
ми, действующими на движ ущ иеся заряды .
§ 2. Силы, действующие между
токами
релятивистская
Вопрос 2. В к а к и х е д и н и ц а х и з м е р я ется э л е м е н т с и л ы то к а?.
поправка
к
ЗАКОНУ КУЛОНА
Д о сих пор, изучая электричество, мы
имели дело только с одним новым ф ун дам ен ­
тальным законом природы — законом К у ­
л о н а — и строго оговаривались, что все з а ­
ряды долж ны покоиться. Д л я этого имелись
веские основания. О казы вается, что если
зар я ды начинают двигаться, то возникает
новое явление: к кулоновским силам добавляю тся силы новой природы, т а к называемые магнитные силы. В некоторых слу233
Фиг. 141. С ила, дей ств ую щ ая м еж ду
д в и ж у щ и м ся з а р я д о м ф и токон есу­
щ им проводником .
V
<2
Фиг. 142. Э л ектри ч еская цепь д л я д е ­
монстрации
взаи м од ей ств и я п а р а л ­
лельны х токов.
чаях, когда по закону Кулона сила д о л ж н а
быть равна нулю, на самом деле могут
действовать большие магнитные силы. Один
из примеров приведен на фиг. 141.
Н а движ ущ ийся з а р я д С} в присутствии
электрического тока 1 будет действовать
больш ая сила, пропорциональная силе тока
в проводе и, кроме того, пропорциональная
скорости V за р я д а С?. Эта сила действует и
в том случае, когда результирующий з а р я д
проводника равен нулю, т. е. когда электри ­
ческое поле, действующее на (2 , обращ ается
в нуль! И тем не менее будет сущ ествовать
сила Рт ~С}У11г. Именно эта сила вызы вает
отклонение движущ ихся электронов в кине­
скопе телевизора. Меняя силу тока в обмот­
ке, находящейся на кинескопе, мы меняем
силу, действующую на электронный пучок,
и тем самым перемещаем световое пятно,
возникаю щее при попадании электронов на
экран (см. фиг. 155, стр. 249). Ещ е одним
примером появления этой «необычной» м а г ­
нитной силы служит притяжение п а р а л л е л ь ­
ных токов (фиг. 142).
Принцип действия электрического мотора
основан на использовании магнитной силы,
действующей между двумя незаряженным и
п араллельны м и проводниками, по которым
течет ток. Чтобы наб лю д ать это ф ун дам ен ­
тальное явление, необходимы лишь б а т а ­
рея, выклю чатель и провод (фиг. 142). Когда
цепь зам кн ута, видно, как провода о тт ал к и ­
ваются друг от друга. Помните, что нельзя
долго д е р ж а ть цепь замкнутой, поскольку
т а к а я электрическая цепь — пример хорошо
известного «короткого замыкания». При ко­
ротком зам ы кании ток оказы вается очень
большим, провода нагреваю тся, а б атарея
быстро выходит из строя.
Объяснение существования магнитных сил
на основе закона Кулона
и теории относительности
Выключа­
тель
234
Батарея
К азал ось бы, эти новые силы, действую ­
щие между незаряж енны м и проводниками,
не имеют ничего общего с кулоновскими си-
лами, которые действуют только между з а р я ­
женными телами. Именно поэтому им и д али
другое имя — магнитные силы — чтобы отли­
чить их от электростатических сил. Но д ей ­
ствительно ли независимы эти д ва типа сил?
М ожет быть, в дополнение к грави тац ион ­
ным и ядерным силам нам придется иметь
дело еще с двумя основными видами э л е к т­
рических сил — электростатическими и м а г ­
нитными? Нет, к счастью, это^ не так.
Обычно природа оказы вается устрое­
на проще, нежели можно было ожидать.
В своей теории относительности, созданной
в 1905 г., Эйнштейн предположил, что оба
типа сил представляю т собой одно и то же.
Многочисленные эксперименты показали, что
Эйнштейн был прав, и теперь мы называем
эти силы электромагнитными. Эйнштейн счи­
тал, что магнитные силы — это просто р ел я ­
тивистские поправки к закону Кулона. Н и ж е
будет показано, как получить формулу для
магнитного взаимодействия двух токов,
исходя из закона Кулона и известного э ф ­
фекта теории относительности — лоренцева
сокращ ения (лоренцево сокращ ение описы­
вает уменьшение длины движ ущ ихся тел;
оно подробно обсуж дается в гл. 11).
Согласно закону Кулона результирую ­
щ ая электростатическая сила, действую щ ая
на з а р я д С} в примере, изображ енном на
фиг. 141, д о л ж н а обратиться в нуль н езав и ­
симо от того, движутся электроны проводи­
мости в проводнике или нет. Если, однако,
мы воспользуемся теорией относительности,
то среднее расстояние м еж д у электронами
проводимости при их движении со к р а щ а е т ­
ся на лоренцев фактор, т. е. в У1— у 2/ с 2 раз,
/ д е V — скорость дрейфа этих электронов.
В результате плотность з а р я д а электронов
проводимости увеличится согласно теории
относительности в 1/у1— V2|с2 раз; в то ж е
время плотность за р я д а положительных
ионов, заним аю щ их фиксированное п о лож е­
ние, останется той же ( д + = д 0). С л ед о ва­
тельно, результирующий з а р я д у ж е не будет
равен нулю. Фиг. 143 иллюстрирует, как вы-
глядит эта ситуация в лабораторной систе­
ме координат. Мы знаем, что если бы з а р я ­
ды <2 покоились, то для вычисления резул ь­
С корость д р е й ф а эл ек тр о н о в проводим ости
тирующей силы, действующей на них, мы
равн а V. П о л о ж и тел ьн ы е за р я д ы п о ко ятся.
воспользовались бы законом Кулона. В этом
случае у к а за н н а я сила Р =С}Е, где Е — ре­
© '4
зультирую щее электрическое поле, с о з д а в а ­
Элемент _
емое проводником. Хотя заря ды
и д ви ­
тпока
<±)е ж утся в лабораторной системе, мы можем
привести их в состояние покоя, если будем
© ?
двигаться вместе с ними (наблю датель, дви ­
жущ ийся вверх со скоростью V, увидит к а р ­
тину, которая и зображ ен а на фиг. 144). При
этом
Фиг. 143. З а р я д <2, д в и ж у щ и й ся со
скоростью V , и проводн ик с током
в л аб о р ато р н о й системе координ ат.
Р+ =
------ р0
......
и
р- =
Ро
V
У '~ 1 Г
Результирую щ ий з а р я д д = д+ + е_ , а согл ас­
но (7.10), результирую щее поле в том месте,
где находится (2, имеет вид
Е =
2Р
2 (р + +
г
г
Р~ )
_
1
1
2р0
(8,5)
у 1 — 1/ 2/ с 2
Фиг. 144. То ж е, что и на фиг. 143, с
точки зрения н аб л ю д ател я, д в и ж у ­
щ егося вм есте с з а р я д о м С2З а р я д (3 в д ан н о м сл у ч ае покоится, п о ло ­
ж и тел ьн ы е з а р я д ы д в и ж у т с я вниз со с к о ­
ростью V, а электрон ы проводим ости — со
скоростью У + и.
(V )
0
Напомним, что, как видно из примера 2 в § 1
данной главы, скорость дрейфа электронов
проводимости в металле составляет не более
1 мм/сек. С ледовательно, ю/с много меньше
единицы и мы вполне можем использовать
разлож ение бинома и написать (1 + а ) ” яз
« 1 + па при условии, что а<с1. Итак,
(1 + а ) —1/2» 1— а / 2 ,
или
(1 — У2/с2)~'1гж
« 1 + У2/2с2. Таким образом, (8.5) приобре­
тает вид
Е
^Ро
(У + и)
2ро
1+
V2
2с 2
V2 — (у + V )2
2 с2
1+
(V + к)2
2с2
РрЦ {2У + о)
Н ас интересуют случаи, когда V превышает
1 см/сек или когда
так что можно
пренебречь V по сравнению с 2У в н ап исан ­
ной выше формуле. Тогда
Е да —
2р0иУ
где / = д 0и — сила тока в проводнике. З н а к
сил свидетельствует, что имеет место п р и тя­
жение. Н а самом деле в теории относитель­
ности силы с точки зрения движ ущ егося и
покоящегося наблю дателей не совсем о д и н а­
ковы. О казы вается, что если провести подоб­
ные расчеты, используя теорию относитель­
ности и не вводя никаких приближений, то
точный результат д аст следующую силу при­
тяж ения (фиг. 141) в лабораторной системе
координат:
ЧУ 2/
р т = — ---- т г -
ч п „о™
~
Вопрос 3. о како м н ап равлен и и относительн о покоящ егося в л аб о р ат о р н о й
систем е п роводн ика д в и га л с я бы наб л ю л а те л ь на фиг. 144?
(8.6)
Это и есть ф ормула для магнитных сил, дей­
ствующих меж ду дви ж ущ им ся зар я дом и
током в прямолинейном проводнике.
Но каким образом магнитные силы могут
оказаться столь большими, если они пред ­
ставляю т собой просто м алы е поправки к з а ­
кону Кулона? Из приведенной выше ф о рм у ­
лы мы действительно видим, что релятиви­
стский эффект по порядку величины равен
произведению V У/с2 на электростатическую
силу, действующую на электроны проводи­
мости. При этом скорость д рей ф а о н астоль­
ко м ала, что ь / с ~ 10~ 12 Р а з г а д к а п а р а д о к ­
с а — в огромной величине з а р я д а , перем е­
щающегося в проводнике. В том же
примере 2 мы видели, что в типичном про­
воднике з а р я д электронов проводимости
превыш
ает 1012 С. .0 5 Е (С})/см. Эта величина,>
г
как правило, в 10 раз превы ш ает тот заряд,
который удалось бы сообщить проводнику
ПрИ создании электростатического поля.
237
§ 3. Магнитное поле
С И Л А , Д ЕЙ С ТВ У Ю Щ А Я Н А Е Д И Н И Ч Н Ы Й
Д ВИ Ж У Щ И Й СЯ ЗА РЯ Д
Обычно общее вы раж ен и е для электро­
магнитных сил, действующих на з а р я д <7,
р азб и ваю т на две части:
Р э л ек тром аг —
где Р е — электростатическая сила, действую­
щ а я на заряды , когда они покоятся, а Р т —
м агнитная сила, за в и с я щ а я от скорости.
Электрическое поле определяется, как и
прежде,
Е =
Аналогично полезно ввести понятие поля,
которое описывало бы зависящ ую от скоро­
сти часть электромагнитных сил. Это поле
н азы вается магнитным и определяется так:
или
5 =
;
<8 -7)
В — напряж енность магнитного поля, дейст­
вующего на пробный з а р я д
при условии,
что этот з а р я д движ ется в направлении,
обеспечивающем наибольшую магнитную
силу. В заимны е ориентации векторов V , В
и Р т обсуж даю тся в следующем п ар агр а ф е
и могут п оказаться читателю странными.
Они редко встречались ему в его повседнев­
ной жизни только вследствие своего реляти­
вистского происхождения. И спользуя поля,
мы можем записать полную электром агни т­
ную силу в следующем виде:
р = дЕ + -2-В.
Ответ 3. О н д в и г а л с я бы в в ер х в д о л ь
п р оводн и ка.
238
Исторически напряж енность магнитного по­
ля была определена как сила, действую щая
на единичный магнитный заряд. О днако мы
знаем теперь, что в действительности свобод­
ных магнитных зар я д о в не существует и что
все магнитные силы обусловлены взаимодействием токов или дви ж ущ ихся зарядов.
В дальнейш ем мы будем п ридерж иваться
более ф ормальной точки зрения и р ас см а т ­
ривать магнитные явления к а к в заи м о д ей ­
ствие токов. Лишенную ж е физического
смысла (хотя математически и эквивал ен т­
ную) концепцию свободного магнитного з а ­
ряда мы отбросим. Однако теория м агнетиз­
ма будет д ан а в § 6. И з формулы (8.7)
видно, что В вы р а ж ае тся в тех ж е единицах,
что и Е, т. е. в д « я / С 0 5 Е ( ( 2 ) . В системе
С С 5 единица измерения В имеет сп ец и аль­
ное назван ие — гаусс К
Сила взаимодействия двух
параллельных токов
П одставив (8 .6 ) в ф ормулу (8.7), мы по­
лучим
сг
(8 .8)
Это напряж енность магнитного поля, с о з д а ­
ваемого прямолинейным током /. Заметьте,
что это вы раж ен и е по своему виду сходно с
вы раж ением для напряж енности электриче­
ского поля, создаваемого бесконечно д л и н ­
ным зар я ж ен н ы м проводником. Если з а м е ­
нить / /с на д в (8.8 ), то мы получим
2д/г, т. е. формулу для напряженности э л е к ­
трического поля линейного распределения
зар я д а .
П р и м е р I. Л и н ей н ое р а сп р ед ел ен и е з а р я д о в с
плотностью р С О З Е (0)1см д в и ж е т с я вд о л ь своей оси
со скоростью V. Н ай ти В, Е и их отнош ение.
И з ф орм ул ы (8.3) следует, что / = {№ .и поэтом у
В = 2 р к /г с ; из ф орм улы (7.10) н ах о д и м Е = 2 д / г , о т ­
куда п ол у ч ается отнош ение В |Е = V |с .
Чтобы получить силу взаимодействия
двух парал л ел ьны х токов (фиг. 145), з а м е ­
ним ^V в ф ормуле (8.7) эквивалентным
/А/ (8.4). Тогда
Р,т
(8.9)
представляет собой силу, которая действует
на элемент тока, помещенный в магнитное
Вопрос 4. К а к бы вы и зм еряли силу.
Р т , действую щ ую на з а р я д <7 при н а ­
личии электри ческого поля?
•> С трого говоря, вели чин а В н а зы в а е т с я м агн и т ­
ной индукцией. О д н ак о н а п р я ж ен н о ст ь м агни тного п о­
л я в в ак у у м е (или в о зд у х е ) р а в н а В. В этой книге
мы р а сс м атр и в ае м только поля в вак уум е.
239
Фиг. 145. С и л а, дей ств у ю щ ая на эл е ­
м ент то к а / 2/2 со стороны бесконечно
длин ного т о к а Л .
Н2
поле В, созданное другими токами. В прим е­
ре, изображенном на фиг. 145, поле В с о зд а­
ется током ~Т\. Величина напряженности
поля В в том месте, где находится элемент
тока / 2/2, равна В = 2/ 1/ 0 -. Согласно (8.9),
магнитная сила, действующая на проводник
длиной /2, равна
2/!/,/„
^2 — г* г
П р и м ер 2. П о двум п ар ал л ел ьн ы м п роводн икам ,
н аход ящ и м ся на расстоян ии 1 см один от другого, т е ­
чет ток в 1 а. К а к а я сила д ей ств у ет на участок о д н о ­
го из п роводн иков длиной 1 см?
П о д став и в в ф орм ул у (8 .6 ) /1 = / 2= с/Ю С 0 5 Е (/)
и 1%=г= I см , получим
с /1 0
Фиг. 146. Н а п р ав л ен и е м агнитной си­
лы Рт при р азл и чн ы х о р и ен тац и ях V .
2 ( с / 10)
= 0 ,0 2 д и н .
Вычисляя на основе теории относительно­
сти силу взаимодействия токов, мы обнаруж и л и 4 что эта сила перпендикулярна скоро­
сти V. И спользуя теорию относительности,
можно показать, что это всегда долж но быть
так. Магнитные силы всегда перпендикуляр­
ны элементу тока. Н а фиг. 146 показаны н а ­
правления магнитных сил в случае р азл и ч ­
ных направлений скорости движущ егося з а ­
ряда. Следует отметить дополнительный
результат в случае ( в ) , а именно результи­
рую щая сила, с которой движущ ийся за р я д
воздействует на проводник, равна нулю, в то
время как проводник действует на з а р я д ^
с силой /7= 2 /^и /с2г, направленной вниз. Это
серьезное нарушение третьего закона Н ь ю ­
тона, которое у казы в ает на то, что магн и т­
ная сила представляет собой чисто р еляти­
вистский эффект. Но, несмотря на то, что
Фиг. 147. П ервое п рави л о правой р у ­
ки и силовы е линии м агнитного по­
ля, с о зд а в ае м о го бесконечно длинны м
прям олинейны м током .
в любой момент времени действие не равно
противодействию, после того, как з а р я д у д а ­
лится от проводника, величина импульса,
переданного д ви ж ущ ем уся заряду, будет
р ав н а и противоположна величине импульса,
переданного проводнику. К а к выяснилось
в гл. 3, закон сохранения импульса является
современным эквивалентом третьего закона
Ньютона. Последним мож но пользоваться
только в том случае, когда нет релятивист­
ских эффектов. Вследствие своей р елятиви­
стской природы магнитная сила каж ется не­
обычной всем тем, чья ж и зн ь не связан а с
миром релятивизма. Мы мож ем описать эти
необычные свойства с помощью так н а з ы в а ­
емых двух правил правой руки.
Первое правило правой руки
Фиг. 148. В лияни е т о к а на р а сп о л о ­
ж енную под ним стр ел ку ком паса.
П ока то к не вклю чен, с т р ел к а ориентиров а н а, к а к п о к азан о на ф и гуре. П осле в к л ю ­
чения то ка она п овернется в н ап р авл ен и и ,
у к а за н н о м стрелкой В.
П ока мы определили только величину В ,
создаваемого бесконечно длинным линейным
током. Но поскольку В есть вектор, то надо
установить и его направление. Оно опреде­
л яется направлением, в котором действует
магнитная сила. Н аправл ен и е В о к а зы в ае т ­
ся таким, что силовые линии представляю т
собой концентрические окружности вокруг
тока, создаю щ его это поле (фиг. 147).
О днако направление стрелок на этих лини­
ях еще остается произвольным. Д л я опреде­
ления направления принято пользоваться
правилом, которое н азы ваю т первым п р а в и ­
лом правой руки. Это правило иллю стри­
руется фиг. 147. Если большой палец правой
руки н аправлен по току, то остальные че­
тыре пальц а в согнутом положении будут
у казы в ать направление В. Р езультат, п олу­
ченный с помощью этого правила,, совпадает
с направлением намагниченной стрелки, под­
несенной близко к току. Н априм ер, стрелка
компаса ориентируется вдоль силовых л и ­
ний, причем ее северный конец указы в ает в
положительном направлении В.
Если стрелка компаса первоначально
бы ла ориентирована в направлении п ровод­
ника, то при включении тока она сразу ж е
поворачивается на 90°. Ж е ле зн ы е опилки
241
т а к ж е распол агаю тся вдоль силовых линий
магнитного поля. Н а фиг. 149 показана к а р ­
тина располож ения ж елезны х опилок в м а г ­
нитном поле, созданном проводом, по кото­
рому течет ток.
П р и м е р 3. Н а фиг. 148 и зо б р аж е н а стрел ка к о м ­
п аса, к о т о р а я под действием м агни тного п оля З е м ­
ли, р авн ого 0,2 гс, у к а зы в а е т на север. Н а д стрелкой
к о м п аса, на вы соте \ см с севера на юг п ротянут
длинны й провод. П осл е вклю чения тока стрел ка вм ес­
то н ап р а в л е н и я на север у к а з ы в а е т на северо-восток.
К ак о вы величина и н ап рав лен и е электри ческого тока?
П оск ол ьк у н ап р ав л ен и е м агни тного поля (сов ­
п а д а ю щ е е с н ап равлен и ем стрел ки ком п аса) с о с т а в ­
л я е т с осью х угол 45°, то его с оставл яю щ и е по осям
х и у д о л ж н ы бы ть равны : В Х = В У. Н о В у = 0,2 гс, т. е.
н ап р яж ен н о сти м агнитного поля Зем ли , а В х = 21/сг,
с огл асн о (8 .8 ).
П р и р ав н я в эти величины, получим 2//с г = 0,2 гс,
/ = 0 ,1 сг С 0 5 Е (1 ) =
= 0 ,1 - 3 - 10 10•4 С 0 5 Е (/) = 1 ,2 -1010 С 0 5 Е (/) = 4 а.
П ри м ени в первое п рави л о правой руки, находим ,
что ток течет с сев ер а на юг.
§ 4. Сила, действующая на
проводник, по которому
течет ток
ВСЕ
В ЗА И М Н О
П ЕРПЕН ДИ КУ ЛЯРН О
И спользуя теорию относительности или
о б р ащ а я сь к эксперименту, можно показать,
что наиболее общее вы раж ен и е для силы,
действующей на элемент тока, совпадает с
(8.9), за тем исключением, что правую
часть (8.9) надо еще умножить на синус
угла, заключенного меж ду I и В (или между
V н В, если речь идет о дви ж ущ ем ся з а р я д е ) :
р т = 1 А ± - в зш б ,
или
Р т - —с
(8 . 10)
В
8Ш 0.
А
Фиг. 149. К а р ти н а силовы х линий м агнитного поля,
создан н ого длинны м прям олинейны м током.
Ж е л е зн ы е опилки ведут себя п одобно миниатю рны м
нитам и ори ен тирую тся вд оль сил овы х линий В.
м а г­
Фиг. 150. В торое п р ав и л о п равой р у ­
ки д л я определени я н ап р ав лен и я си­
лы Р, действую щ ей на ток / в м аг­
нитном поле В ,
О твет 4. С н ач ал а найдем Р е, у д е р ж и ­
в а я з а р я д ^ в покое, а затем вы чтем
Р е из результирую щ ей э л е к т р о м а г ­
нитной силы.
Второе правило правой руки
П р е ды д у щ ая формула позволяет найти
только величину силы Р. Помимо этого, нам
надо еще иметь правило, определяю щ ее ее
направление. Известно, что в случае п а р а л ­
лельных токов сила Р д о л ж н а быть перпен­
д ик уляр н а В. В действительности о к а з ы ­
вается, что в общем случае при любой п роиз­
вольной конфигурации токов направление. Р
всегда долж но быть перпендикулярно В и
элементу тока. Итак, магн и тн ая сила п ер­
пендикулярна в одно и то ж е время и В и
А/. Это однозначно определяет н а п р а в л е ­
ние Р т и в нашей книге правило, у ста н а вл и ­
ваю щ ее направление Р т, мы будем н а зы ­
вать вторым п р а ви лом право й руки. Оно г л а ­
сит (фиг. 150), что если, ка к и раньше,
большой палец
раскрытой правой руки
ориентирован вдоль тока /, а остальные
пальцы — вдоль направления В, то сила Р
будет н ап р ав л ен а от ладони.
Н а первый взгл яд мож ет показаться, что
электромагнитные явления могут помочь р ас­
сеянному профессору определить, где у него
пр ав ая рука, если бы он вдруг забы л это.
К азал о с ь бы, это можно сделать, установив
направление силы, действующей на ток, а
затем проверив с помощью п равил а правой
руки, к а к а я рука д ает правильный ответ.
Однако при этом надо зн ать направление
магнитного поля В. А чтобы определить это
направление, потребуется все ж е знать, где
у вас п р ав ая рука. Если ж е профессор при­
менит по ошибке оба п равил а к левой руке,
то и в этом случае он получит правильное н а ­
правление силы Р. Таким образом, э л е к т­
ромагнитные явления не позволяю т отличить
правую сторону от левой. Иными словами,
зеркальное отображ ение любого экспери­
мента с электромагнетизм ом представляет
собой т а к ж е реальный эксперимент, не про­
тиворечащий зак он а м физики.
Вплоть до
1956 г. большинство физиков твердо верило,
что в природе нет такого эксперимента, с по­
мощью которого можно было бы отличить
правую сторону от левой. Этот принцип сим243
Фиг.
151. Т р ае к то р и я за р я ж е н н о й
.частицы, д в и ж у щ ей с я п е р п ен д и ку л яр ­
но н ап равлен и ю о д н ород н ого м агни т­
ного поля.
метрии носит название за ко н а сохранения
четности.
Этот закон считался столь ж е твердо ус­
тановленным, как и пять других законов со­
хранения, перечисленных на стр. 194 и 195.
Но, как мы узнаем в гл. 16, в 1957 г. были
открыты фундаментальны е физические я в л е ­
ния, которые ниспровергли закон сохране­
ния четности, и рассеянный профессор узнал
наконец несколько способов нахождения
своей правой руки.
П р и м ер 1. П о к а ж е м , что силы , и зоб раж ен н ы е на
фиг. 146, согл асую тся с п р ав и л ам и правой руки.
Во всех четы рех сл у ч аях м агни тное поле, д ей ст­
вую щ ее на
оди н ако в о и н ап р ав л ен о за стран и ц у
(это легко усм отреть с пом ощ ью первого п рави л а
правой р у к и ). Д л я определ ен и я н ап р ав лен и я Р вос­
пользуем ся вторы м п равилом п равой руки. П ал ьц ы ,
кром е больш ого, все врем я д о л ж н ы бы ть в сегда н а ­
правлены к странице.
В случ ае а больш ой палец, у к азы ваю щ и й н а п р а в ­
ление /, см отрит вверх, т а к что л ад о н ь повернута
влево; б — больш ой палец см отрит вниз, л ад о н ь по­
в ер н ута вп р ав о ; в — больш ой п ал ец см отрит влево,
л ад о н ь п овернута вниз; г — си л а р авн а нулю, по­
скол ьку з а р я д д в и ж е тс я в н ап равлен и и В; ( з т в = 0 ) .
Сила, действую щая на движущ ийся
за р я д
П редположим, что з а р я д
движется в
однородном магнитном поле, первоначально
по нормали к направлению В. Поскольку
магнитная сила н аправлена всегда перпен­
дикулярно V , она представляет собой цент­
ростремительную силу, которая застав л яет
частицу двигаться по окружности:
Рт = та,
дьВ
/
у 2 \
“ 7 “ - т р Г ]'
Радиус круговой
равен
траектории
при
этом
(8 -Н )
В опрос 5. К а к о в о н а п р ав л ен и е Р на
фиг. 146, к о гд а V н ап р а в л е н о от про­
водни ка?
244
П р и м ер 2. П ротон д в и ж е тс я со скоростью
108 см!сек п ерпенди кулярн о одн ородн ом у м агнитном у
полю с н ап р яж ен н о стью В = 1 0 000 гс , к а к п о к а за н о на
фиг. 151.
а) Н ай д и те величину и н а п р ав л ен и е силы, д е й с т ­
вую щ ей на протон.
б) О пиш ите
траек тори ю
д в и ж е н и я протона.
И з ф орм улы (8.10) н аходим силу
е ьВ
^
Ет
—
4 ,8 • 10" 10 • 108 • 104
3 • Ю10
г ' 1 , 6 - 10 8 д и н .
В соответствии со вторы м прави л ом правой руки эта
сила д о л ж н а бы ть н ап р ав л ен а на фиг. 151 влево и
всегда о с та в ат ь с я перп ен ди кул ярн ой скорости V. Т а ­
ким о б р азо м , Р т — ц ен трострем и тел ьн ая сила, к о т о ­
рая з а с т а в л я е т протон д в и га тьс я все врем я по одной и
той ж е о к р уж н ости радиусом /?. В еличину Н м ож но
найти, и спользуя ф орм ул у (8.11). В данном случ ае
м асса п р о т о н а т = 1 ,6 7 ■ 10-24 г. П оэтом у
К ~
1,67 • 10" 24 • Ю8 • 3 • 101»
4 ,8 • 10-10 • Ю4
СМ}
или /? = 1 ,0 4 см .
Ответ 5. Р н а п р а в л е н а в в е р х , п а р а л лсльно току.
Н а фиг. 152 (стр. 246) приведена фото­
графия следа, оставленного электроном, д ви ­
гавш имся в однородном магнитном поле.
Это поле направлено вверх от плоскости ф о­
тографии.
Т ак как электрон дви ж ется в пузы рько­
вой камере, наполненной ж идким водородом,
то радиус кривизны его траектории непре­
рывно уменьшается, поскольку при д в и ж е ­
нии через вещество электрон, как и лю бая
д ру гая з а р я ж е н н а я частица, постепенно те­
ряет свою энергию. З н а я величину В, можно
определить импульс электрона в любой
точке его орбиты, если измерить радиус кри­
визны последней.
Из
приведенного
выше примера и
фиг. 152 видно, что зар я ж ен н ы е частицы
могут «захваты ваться» магнитным полем.
Этот принцип используется во всех ускори ­
телях частиц высоких энергий, в кото­
рых применяются магниты. В таком уско­
рителе магнит создает поле, которое заставляет пучок частиц двигаться по окружНОСТИ
245
Фиг. 152. С л ед эл ек тр о н а, полученны й в пу­
зы рьковой кам ере с ж и д ки м водородом .
С лед и скри вл яется под действи ем одн ородного
магн итн ого поля, н ап равл ен н о го из п лоскости р и ­
сунка. Р а д и у с кри ви зн ы у м ен ьш ается и з-за т о р ­
м ож ени я эл ек тр о н а в ж и д ком водороде.
§ 5. Закон Ампера ’>
КАК Н А Й ТИ В
В электростатике мы научились вычис­
лять напряженность электрического поля,
создаваемого заря дам и , равномерно р ас­
пределенными по сфере, цилиндру или плос­
кости. Подобно этому, нужно иметь метод,
который позволил бы находить не только н а ­
пряженность магнитного поля, создаваемого
бесконечным линейным током (8 .8). С ущ ест­
вует более общее вы раж ен и е для В , которое
позволяет в принципе вычислить н а п р я ж е н ­
ность магнитного поля, созданного токами
любой заданной конфигурации. Это общее
в ы ражение справедливо д ля любого за м к н у ­
того контура, охваты ваю щ его р ас см а тр и в а­
емый ток. У тверждается, что произведение
длины контура Ь на среднее значение со­
ставляю щ ей напряженности магнитного по­
ля В вдоль него равно сум марному току, з а ­
ключенному внутри этого контура, ум н ож ен ­
ному на 4л/с. Общее вы раж ен и е для В имеет
вид
Закон Ам пера
( В 1 . - Ц по зам ки .
кон туру
=
~
-
,
( 8 .1 2 )
где I — сум м арн ая сила тока внутри з а м к ­
нутого контура 2)
Эта формула, в ы р а ж а ю щ а я закон А мпе­
ра, используется д ля вычисления н а п р я ж е н ­
ности магнитного поля В, создаваемого то­
ком /, в произвольной точке пространства.
Мы воспользуемся ею, чтобы рассчитать В в
трех случаях: 1) прямолинейный ток, 2 ) со л е­
ноид, 3) поверхностный ток. Мы увидим, что
закон Ампера можно использовать в первом
примере для получения правильного в ы р а ­
жения для напряженности магнитного поля,
создаваемого бесконечным линейным током.
О став ш ую ся часть этой главы м ож но опустить,
поскольку она не н еобходи м а д л я поним ания д а л ь ­
нейш его м ат е р и ал а . П ри ж ел а н и и м ож но с р азу пе­
рейти к § 3 гл. 9.
2> К а к видно из (8.12)-, зако н А м п ера м ож н о за п и ­
сать т а к ж е в виде
В (-Ь ; = 4я1 /с. З н а к с у м м и р о в а ­
ния 2 о зн а ч а е т
В , ■1, = В 1/ .| + В 2/ ' 2+
+ В К/- » , если весь к онтур Ь р а зб и т ь на о тр езк и Ь \,
2,.., Ь п .
247
Фиг. 153. Зам к н у ты й
2 л Я в округ тока /.
контур
I/
длиной
1=2яК
Выберем на фиг. 153 в качестве замкнутого
контура вокруг тока окруж ность с рад и у­
сом
Тогда Ь = 2лК и В ь -Ь = 2пЯВ.
По закону Ампера это равно 4я//с. Таким
образом,
В =
1
1л
'
\
2п Я
2/
Яс
что совпадает с выражением (8.8).
В дополнение к (8.12) можно показать,
что силовые линии долж ны быть непрерыв­
ны. Поскольку ж е магнитных заря дов в
природе не существует, то силовые линии
магнитного поля нигде не начинаются и не
кончаются. Они образую т зам кнутые линии.
Соленоид
Фиг. 154. С оленоид.
П рям о у го л ьн ы й зам кн у ты й контур испольн ап р яж ен но сти
зу е т с я
для
вы чи слен ия
м агн итн ого поля В внутри соленоида.
Теперь применим закон Ампера к соле­
ноиду. Соленоид — это витая цилиндриче­
ская обмотка, или спираль, намотанная по
п витков на 1 см. Силовые линии магнитного
поля, создаваемого соленоидом, изображены
на фиг. 154. В качестве замкнутого контура
рассмотрим
прямоугольник,
показанный
на фигуре. Выберем Ь2 и
настолько боль­
шими, чтобы дальний конец прямоугольника
ок а зал ся в_области очень слабого поля В.
Величина В ь в законе Ампера — это взве­
шенное среднее значение В ь вдоль зам кн уто­
го контура. По определению взвешенного
среднего значения (см. стр. 44):
1 = ------1Г+1ГМТ+1Г
'
(
>
С оставляю щ ие магнитного поля вдоль у ч а ­
стков пути Ь2 и
(В 2 и В 4) равны нулю,
так как магнитное поле перпендикулярно
/-2 и
Кроме того, В 3 близко к нулю, так
как участок /,3 находится дал еко от соленои­
да. В таком случае вы раж ен и е (8.13) при­
нимает вид
Вь =
и
ВХЦ + 0 + 0 + 0
Вь • Ь = В1Ь 1.
248
( 8 . 14 )
С уммарны й ток, заключенный внутри з а м к ­
нутого контура, равен силе тока /, ум н о ­
женной на число витков п Ь х. Таким образом,
п р ав ая часть (8.12) имеет вид 4я / п / ^ / с . П р и ­
равняв ее правой части (8.14), получим ве­
личину напряженности магнитного поля
внутри соленоида:
о
, _ \т.1пЬ1
или
в = ± ^п
(8 15)
Зам етим , что вывод совершенно не зависит
от того, в каком месте внутри соленоида по­
мещен отрезок Ь\. Таким образом, В посто­
янно повсюду внутри соленоида, и полное
число магнитных силовых линий, вы ход я­
щих из соленоида, долж но быть равно ВА,
где А — п лощ адь поперечного сечения соле­
ноида. Количество магнитных силовых л и ­
ний определяется аналогично количеству
электрических силовых линий. Н а п р я ж е н ­
ность магнитного поля В равна числу м а г ­
нитных силовых линий на единицу площ ади
(В = Мв / А ) . С ледовательно, полное число
магнитных силовых линий В, выходящ их из
соленоида, равно
Мв =
4 п /п А
(8 1б)
Фиг. 155. Т ел еви зи он н ая тр у б к а (ви д
с б о к у ).
Видны катуш ки
отклонен ия.
систем ы
гори зон тальн ого
экран
Полное число магнитных силовых линий В
назы вается т а к ж е полным магнитным пото­
ком.
П рим ер. Т ел еви зи он н ая эл е к тр о н н о л у ч евая т р у б ­
ка пом ещ ается м е ж д у д в у м я к ат у ш к а м и , п р е д н а зн а ­
ченными д л я гори зон тал ьн ого отклон ени я эл ек тр о н н о ­
го л уча (фиг. 155). К аким д о л ж н о бы ть н ап равлен и е
тока в обм отке верхней к ату ш ки , чтобы пятно см е­
стилось на эк р а н е в п р ав о (если см отреть со стороны
эк р а н а )?
Э тот пример м о ж ет п о сл у ж и ть у п р аж н ен и ем в
применении обоих п равил п равой руки. С н ач ал а вос­
п ол ьзуем ся вторы м правилом д л я определ ен и я н а ­
п равл ен и я В. П ри этом н ад о бы ть осторож ны м и учи­
ты вать, что на фиг. 155 ток н ап р ав л ен с п р ав а налево,
хотя электрон ы д в и ж у т с я слев а н ап рав о. Н ам надо,
чтобы на этот пучок д е й с тв о в а л а сила, п ерп ен ди ку­
л я р н а я плоскости рисунка и н а п р а в л е н н а я от нас.
249
П ри м ен яя в торое прави л о, кл ад ем л ад о н ь п равой р у ­
ки на стран и ц у так , чтобы больш ой п ал ец был н а ­
правлен влево. Т огда о стал ьн ы е пальцы правой руки
у к азы в а ю т н ап р ав л ен и е В. Т еперь применим правило
правой руки к эл ем ен ту тока /. Е сли больш ой палец
правой руки н ап р ав л ен в п р ав о вд о л ь элем ен та т о ­
ка I, то о стал ьн ы е пальцы в согнутом полож ен ии б у ­
д у т у к азы в ать , что В внутри соленои да н ап рав лен о
вверх, к ак мы и хотели. С л ед ов ател ьн о, ток течет
вдОль элем ен та / слев а н ап рав о. Т аким об р азо м , мы
получим ответ на поставленны й вопрос: ток входит в
обм отку верхней кату ш ки и вы ходит из обм отки ниж*
ней катуш ки.
Магнитное поле, со здаваем ое током,
текущим по плоскости
Фиг. 156. М агн итное поле, с о з д а в а ­
ем ое током , текущ и м по проводящ ей
плоскости.
В заключение применим закон Ампера
д ля определения напряженности магн и т­
ного поля, создаваемого током, текущим по
бесконечной плоскости. Н а фиг. 156 п о ка­
зан прямоугольный участок бесконечной
плоскости, по которой сверху вниз течет ток.
П риблизительно т а к а я з а д а ч а возникает,
когда ток течет по металлическому листу.
Пусть г — сила тока, п риходящ аяся на 1 см
по горизонтали. Р ассмотрим прямоугольник
со сторонами а и 2Ь, внутри которого течет
ток ш. П оскольку плоскость бесконечна, то
магнитные силовые линии долж ны идти в
горизонтальном направлении, ка к показано
на фигуре. П ри вычислении величины Вь
по такому зам кнутому контуру стороны д л и ­
ной 2Ь не будут вносить вкл ад а, так как В
перпендикулярна стороне 2Ь. Таким о б р а ­
зом,
В а + 0 тН В а + 0
Вь
_
2Ва
Ь
а
В ь ■Ь = 2Ва.
Сила тока, заключенного в пределах нашего
контура,
равна / = ш,
поэтому
ф орм у­
ла (8 . 12) принимает вид
28а =
С
или
В=
250
2.(4
(8.17)
Эта форм ула опять-таки аналогична соответ­
ствующей формуле (Е = 2 п а ) для электриче­
ского поля, создаваемого бесконечной з а ­
ряженной плоскостью.
§ 6. Теория магнетизма
Н И К О Г Д А Н Е ЗА М И Р А Ю Щ И Е К Р О Ш Е Ч Н Ы Е
ЗА М К Н У Т Ы Е ТО К И
Вопрос 6 . В как и х еди н и ц ах изм еряется I на фиг. 1 ?
Ещ е в древности нашим предкам н аряду
с электростатическими явлениями были из­
вестны и некоторые магнитные явления. Р я д
встречающихся в природе ж елезны х руд
оказы вается намагниченным и притягивает
к себе образцы, сделанные из других ф ер р о ­
магнетиков. Д ревние греки считали, что м а г ­
нитные и электрические силы имеют общую
природу. Но к XVI веку ученые научились
выводить законы природы в большей степе­
ни из результатов своих экспериментов, чем
из простого миросозерцания. И поскольку
никому не удавал ось о бнаруж ить какое-либо
взаимодействие заряж ен н ого тела с м а гн и ­
том, они пришли к выводу, что магнитные
и электрические явления не связаны меж ду
собой. Н аличие взаимодействия меж ду д в и ­
ж ущимся заря дом и магнитом случайно о т­
крыл в 1820 г. учитель физики датчанин
Ханс Кристиан Эрстед. В конце лекции по
физике он пы тался продемонстрировать сво­
им ученикам отсутствие связи меж ду э л е к т­
ричеством и магнетизмом, включив электри ­
ческий ток поблизости от намагниченной
стрелки. По словам одного из его учеников,
«он был буквально ош араш ен, увидев, как
стрелка н ач ал а соверш ать большие к о л е б а ­
ния». Таким образом, внезапно возродилось
к жизни представление древних ученых о
связи магнетизм а и электричества.
З а д а ч а настоящего п а р а г р а ф а — о б ъ я с ­
нить магнитные явления исключительно на
основе взаимодействия токов. К ак ведет себя
намагниченный стержень, помещенный в однородное внешнее магнитное поле? К ак
указы валось в § 4 , при этом возникает вра251
Фиг. 157.
С илы , действую щ ие на
магнитны й с тер ж ен ь в однородном
м агнитном поле.
щательный момент, который стремится по­
вернуть магнит так, чтобы он ориентировал­
ся вдоль магнитного поля (фиг. 157).
Р ан ьш е физики объясняли этот эффект,
предполагая, что кусочек магнита имеет два
полюса (северный + т и южный — т) и что
на магнитный полюс действует сила
Р = тВ.
О твет 6. Р а зм е р н о с ть [1\ = (}/Т1,, так
к ак это сила
т о к а , п р и х о д ящ а яс я
на 1 см длины .
252
В заимодействие двух магнитов объясняли
следующим образом: магнитный полюс т х
создает магнитное поле с напряженностью
В = гп\1г2, которое воздействует на другой
магнитный полюс т 2. При этом Р = т 1т 2/г2.
Читатель мож ет заметить, что это м атем ати ­
ческое описание магнитных явлений в точ­
ности аналогично математическому оп иса­
нию электростатических явлений. Д ал ее,
полное число магнитных силовых линий, вы ­
ходящ их из магнитного з а р я д а (полюса) т,
равно Л^в = 4 я т.
К артина расположения силовых линий,
созданных намагниченным стержнем, д о л ж ­
на напоминать изображенную на фиг. 122, а
(стр 203) картину силовых линий электриче­
ского поля, созданного двум я зар я д а м и про­
тивоположного знака. Н а фиг. 158 приво­
дится фотограф ия расположения железных
опилок около намагниченного стержня, кото­
рые стремятся ориентироваться вдоль н а ­
правления В. Н а фиг. 159, а изображены
магнитные силовые линии поля, созданного
намагниченным стержнем, а на фиг. 159,6 —
магнитные силовые линии поля, созданного
соленоидом. Из сопоставления этих фигур
ясно, что оба поля тождественны. Это н ав о ­
дит на мысль, что намагниченный стержень,
вероятно, представляет собой не что иное,
как соленоид, сод ерж ащ и й «таинственные»,
никогда не исчезающие внутренние токи.
Действительно, если соленоид поместить
во внешнее магнитное поле, то он, т а к ж е как
и намагниченный стержень, стремится ори­
ентироваться вдоль силовых линий поля.
Это легко показать, если применить к соле­
ноиду, и зображ енному на фиг. 160, фор-
Фиг. 158. С иловы е линии м агнитного
поля,
создан н ого
нам агниченны м
стерж н ем , полученны е с пом ощ ью
ж ел езн ы х опилок.
Фиг. 159. С иловы е линии поля В , с о ­
зд ан н ого
нам агничен ны м
стерж н ем
( а ) и соленоидом такой ж е ф орм ы (б ).
Ф иг. 160. Силы , действую щ ие на о т ­
дельны й виток со л ен о и д а в о д н о р о д ­
ном магнитном поле.
Фиг. 161. П р я м о у го л ьн а я р ам к а в о д ­
нородном м агни тном поле.
мулу (8.9). И з второго п рав и л а правой руки
следует, что сила, действую щ ая на нижнюю
часть витка, нап равлен а вниз, а сила, дейст­
вую щ ая на верхнюю часть, направлена
вверх. Боковые силы равны по величине и
действуют вдоль одной прямой в противопо­
лож ны е стороны. Таким образом, на любой
виток действует момент силы, стремящийся
повернуть катушку,
изображенную на
фиг. 160, против часовой стрелки, так чтобы
ее ось совместилась с направлением В.
Именно вращ ательны й момент и откры ­
вает возможность создания электромоторов.
Принцип устройства мотора постоянного то­
ка иллюстрируется фиг. 161. Используя вто­
рое правило правой руки, можно показать,
что возникаю т силы, в ращ аю щ и е рамку от­
носительно пунктирной линии против часо­
вой стрелки. После поворота рамки на 180°
в рам ке снова появится ток, создающ ий си­
лы, которые действуют в том ж е н ап р ав л е­
нии. Н а ч ав двигаться, эта прямоугольная
р ам ка в дальнейш ем в силу инерции будет
в ращ аться против часовой стрелки.
Если к р ам ке на фиг. 161 прикрепить
длинную стрелку и пружинку, то отклоне­
ние стрелки будет тем больше, чем больше
ток. Н а этом основан принцип действия а м ­
перметра.
В 1836 г. Ампер, чтобы объяснить пове­
дение намагниченного стержня, предполо­
жил, что он в действительности представ­
ляет собой соленоид, в который «вделан»
ток, текущий по его внешней поверхности.
Ампер говорил: «...из простого сопоставле­
ния фактов мне п редставляется н евозм о ж ­
ным сомневаться в том, что такие токи дей­
ствительно текут вокруг оси магнита». Пусть
величина
этого
ам перова
тока
равна
Г С О З Е (/) на 1 см длины намагниченного
стерж ня (фиг. 162). Тогда, согласно (8.16),
полное число магнитных силовых линий
равно
Но если считать, что поле создается магнит­
ным полюсом т, то
254
Фиг. 162. А м перовы токи
ниченном стерж н е.
Г в нам аг­
N в = 4* т.
Следовательно, 4 тс т = 4 ш 'А /с ,
3
V
N
1'А
тс
С
Л
т — — , или I — —г-
Фиг. 163. З а м к н у ты е ам п еровы токи
в нам агниченном с тер ж н е (в и д со
стороны п о л ю с а ).
В нутренние токи взаи м н о
ком пенсирую т
д р у га. П ункти рн ой линией п о к азан
результи рую щ ий поверхностны й ток. К а ж ­
ды й за м к н у ты й то к со о тветству ет току, т е ­
кущ ем у в м олекуле.
ДРУГ
с й э
■ е8р
В опрос 7. Д о п усти м , что м агни тное
поле В на фиг. 161 п рон и зы вает в и ­
ток свер х у вниз. В к ак о м нап равлен и и
он б у д ет д в и га тьс я?
( 8 . 18 )
Мы только что вывели формулу, в ы р а ­
ж аю щ ую величину полюса магнита или со­
леноида через циркулирующий в нем ток У.
Но откуда берется этот непрерывно текущий
ток? Ампер объяснял это следующим о б р а ­
зом. Он сопоставлял каж д ой молекуле ф ер ­
ромагнитного м атери ала некий круговой
ток, текущий по замкнутой электрической
цепи с нулевым сопротивлением. Он п ред­
полож ил так ж е, что внешнее магнитное поле
может выстраивать эти молекулы п а р а л ­
лельно друг другу, так что их элементарные
магнитные поля склады ваю тся. Н а фиг. 163
показано, как склады ваю тся эти эле м ен тар ­
ные токи, чтобы в результате получался ток,
текущий по поверхности. Зам етьте, что при
этом все внутренние токи взаимно ком пен­
сируются.
Это объяснение магнетизма, более чем
на шестьдесят лет опередивш ее открытие
электрона, блестящ е предвосхитило наши
современные представления об атомной
структуре вещества и природе магнетизма.
Цепи амперовых токов с нулевым сопро­
тивлением точно соответствуют движению
боровских электронов в атоме. В боровской
модели атома каж ды й электрон п ред став л я­
ет собой непрерывный ток, подобно отдель­
ному витку соленоида. В большинстве ато­
мов эти электронные орбиты, или круговые
токи, ориентированы таким образом, что они
взаимно компенсируются. О д н ако ф ер ром аг­
нитные вещества, такие, ка к железо, ко­
б ал ьт и никель, об ладаю т следующими д ву ­
мя свойствами:
1) у атомов этих веществ взаимно к о м ­
пенсируются не все электронны е орбиты и
спины электронов (обусловленные вр ащ ен и ­
ем з а р я д а ) ;
2 ) силы, действующие м еж д у соседними
атомами, таковы, что все зам кнуты е токи
255
ориентируются в одном и том ж е н а п р ав л е­
нии.
Д л я полного
объяснения этих фактов
требуется квантовая механика. Изучение по­
добных явлений на основе квантовой м е х а­
ники является задачей ф изики твердого тела
(см. гл. 14).
В настоящ ее время нам известно, что л ю ­
бой о б разец ферромагнитного м атер и ал а
при комнатной тем пературе состоит из м а к ­
роскопических доменов — областей р а з м е ­
ром порядка тысячных долей сантиметра,—
внутри которых все атомы ориентированы
одинаковым образом. В ненамагниченном
образце сами домены ориентированы случай­
ным образом. Н о в процессе намагничивания
они ориентируются в одном направлении
б лагодаря движению границ доменов. Р а з ­
меры доменов, ориентация которых была
близка к направлению поля, увеличиваются
за счет уменьшения других доменов.
§ 7. Закон индукции Фарадея
Е ПОРОЖДАЕТСЯ В
Фиг. 164. П р я м о у го л ьн а я р а м к а , в р а ­
щ ае м ая в одн ородном
м агнитном
поле.
Это устройство я в л я е тс я простейш им
нератором п ерем енного тока.
256
ге ­
Мы не рассмотрели еще один последний
фундаментальный закон теории электриче­
ства, так назы ваемы й закон Ф арадея. Д о сих
пор мы имели дело лишь с постоянными т о ­
ками, фиксированными
в пространстве.
А поскольку закон Ф ар а д е я рассматривает
только изменяющиеся токи, мы пока не д е­
лали никакой ошибки, не принимая его
во внимание. П р е ж д е чем привести общее
вы раж ение закона Ф ар адея, рассмотрим
сн ачала его основное применение — элект­
рический генератор. Н а фиг. 164 снова изо­
б р аж е н а прямоугольная рам ка в однород­
ном магнитном поле.
Напомним
(см.
фиг. 161), что если по р ам ке пропустить ток,
то она начнет вращ аться. П редполож им, что
мы не включаем ток, а в р ащ аем рамку ру­
кой. Пусть скорость движения противопо­
ложных сторон рамки, Ь~\ и
, будет V.
Тогда из (8.10) следует, что на каж ды й
Фиг. 165. Зав и си м о сть от времени
э. д. с., возни каю щ ей во в р ащ аю щ е й ­
ся рам ке.
э.д.с.
'
Рамка в горизонт альном
положении
электрон проводимости на участках
и Ь3
будет действовать сила Р= ею В /с. При пе­
ремещении каж дого такого электрона на
расстояние Ь\ эта сила соверш ит работу
'М\ — еьВЬ\!с. П риращ ение энергии электр о­
на, проделавш его весь путь вдоль п р ям о ­
угольной рамки, будет вдвое больше, т. е.
У /= 2еьВ Е \!с. Эта энергия, приходящ аяся
на единицу з а р я д а , н азы вается электродви­
жущей силой (сокращенно э . д . с . ) . Э лектро­
д в и ж у щ ая сила на один оборот рамки будет
равна
э.д.с. =
О твет 7. В иток не б уд ет д в и гаться,
поскольку и р езу л ьти р у ю щ ая си л а и
в р ащ ательн ы й м ом ен т б у д у т равны
нулю.
9— 176
2VВ^Л
(8.19)
Заметьте, что э. д. с. измеряется в тех ж е
единицах, что и электрический потенциал.
Если к обоим концам рамки подключить
электрическую цепь, то ускорение, которое
электроны приобретаю т на участках
и
1 з, будет гнать их через всю внешнюю цепь.
Энергию, накопленную на участках Ь\ и
Ь з , электроны
проводимости о т д а д у т . во
внешней цепи. Таким образом, эта в р а щ а ю ­
щ аяся прямоугольная рам ка, подобно б а т а ­
рее, служ ит источником разности потенциа­
лов. Если рам ка содерж ит не один, а N вит­
ков, то индуцированная разность потенциа­
лов, или э. д. с., будет в N раз больше.
В этом и заклю чается принцип работы э л е к ­
трогенератора. При повороте рамки на 90°
(см. фиг. 164) V и В становятся п а р а л л е л ь ­
ными и в этот момент э. д. с. об ращ ается
в нуль. При повороте рамки на 180° сила и
э. д. с. меняют направление. Н а фиг. 165 по­
к азан а зависимость э. д. с. такого генератора
от времени. Эта колеблю щ аяся э. д. с. н а ­
зы вается напряжением переменного тока.
В электрических линиях, подводящих энер ­
гию в ж и лы е дома, н апряж ение переменного
тока колеблется с частотой 60 герц (г ц )
Посмотрим теперь, к а к а я существует
связь меж ду выраж ением (8.19) и законом
Ф арадея. Пусть Ау —-расстояние по верти’> Т а к а я ч а сто та сети при н ята в СШ А . В С ов ет­
ском С ою зе и Е вроп е частота пром ы ш ленного тока
с о ст ав л я е т 50 гц. — П рим . ред.
257
кали, которое сторона
проходит за время
А? (начиная с горизонтального положения
рамки, соответствующего углу поворота 0°).
Тогда у = Ау!А1 и форм ула (8.19) п р ео б ра­
зуется к виду
Э.Д.С. = 2Ч1^
У- ■
(8.20)
Спустя в р е м я 'А / магнитный поток, или чис­
ло силовых линий В, пересекающих нашу
рам ку, составит
N 3 — В- (Площадь).
П л о щ адь равна основанию
соту 2Ау. Поэтому
Агв = В -
на полную вы ­
{Ь1 х 2 А у ) = 2 В Ь 1Ау.
В н ачале интервала
магнитный поток
через рам ку был равен нулю. С л ед о вател ь­
но, изменение магнитного потока за вре­
мя А^ равно
А N 3 = (2 В Ь г А у) — 0.
Поэтому формулу (8.20) можно записать в
виде
1
А Л ,В
э -д-с - = — - д г -
В опрос 8. К а к а я
пом еченны х э. д.
ж и тел ьн ой ?
258
из клем м на фиг. 164,
с.,б у д ет более поло-
/О
О 1\
(8' 21)
Эта ф ормула и есть закон Ф арадея. Мы пока
показали, что эта форм ула применима лишь
к случаю, когда проводник движется в по­
стоянном магнитном поле. Но оказывается,
что, согласно принципу относительности, з а ­
кон применим та к ж е и к покоящемуся про­
воднику в движ ущ емся магнитном поле.
Иными словами, (8.21) справедлива для не­
подвижной рамки при изменении Л^в (м ен я­
ется В ). З а ко н Ф ар а д е я гласит, что измене­
ние тока в одной неподвижной цепи инду­
цирует н апряж ение в другой неподвижной
цепи. Это возникновение э. д. с. в неподвижной цепи при изменении тока в какой-либо
другой цепи было открыто в 1830 г. Ф арадеем и Генри независимо друг от друга.
Фиг, 166. Т ран сф о р м ато р .
Вторичная
обмотка
Трансформатор
Одним из распространенных приборов,
основанных на законе Ф ар а д е я, является
трансформатор. В тран сф о рм атор е первич­
ная и вторичная обмотки обычно н а м а т ы ­
ваются на один и тот ж е сердечник так, что
обе они охваты ваю т почти одинаковое число
силовых линий В (фиг. 166). Поэтому вели­
чина АЫВ/А( одинакова для обеих обмоток.
Пусть число витков первичной обмотки р а в ­
но N 1, а число витков вторичной обмотки
равно N 2- Тогда э. д. с., или нап ряж ени е ин­
дукции У2, во вторичной обмотке будет
[см. (8 .21)]
1 Л
У* = < М - 7 Г - Т Г Точно так же э. д. с. в первичнои обмотке
1
^ = М
ДN а .
-Г-АГ-
Отношение этих напряж ений будет
равно
тогда
V, = Л^_
1/ х
■
Мы видим, что если к первичной обмотке
тран сф о рм атор а приложить переменное н а ­
пряжение, то соответствующим подбором
соотношения чисел витков можно получить
либо большее, либо меньшее н ап ряж ени е во
вторичной обмотке. Этот удобный способ пе­
рехода от малы х напряж ений к большим и
наоборот является одним из преимуществ
использования переменного тока по сравне?
нию с постоянным,
§ 8. Уравнения Максвелла
О твет 8 . С огласно в тором у п рави л у
правой руки, сила, дей ств у ю щ ая на>
полож ительн ы й з а р я д в левой части
рам ки, н ап р ав л ен а
п ерпенди кулярн о
плоскости рисунка к читателю . Она
будет, так и м о б р а зо м , сгонять пол о­
ж ительн ы е за р я д ы к левой клемме.
9*
В Д ВУ Х СЛОВАХ ВСЯ Т Е О Р И Я Э Л Е К Т Р И Ч Е С Т В А
Всю совокупность основных законов э л е к ­
тричества (законы Кулона, Ампера и Ф а р а ­
дея) можно представить в виде системы
уравнений, известной под названием у р а в н е ­
ний М аксвелла.
259
Н апиш ем в левой части зак он а Ф ар а д е я
(8.21) ( Е ь - Ь ) п о з а м к н . вместо э. д. с. Это выконтуру
раж ение п редставляет собой работу внеш ­
ней силы при перемещении электрическо­
го за р я д а вдоль электрической цепи.
Но поскольку сила, действую щ ая на еди­
ницу з а р я д а , по определению равна н а п р я ­
женности электрического поля Е, то закон
Ф ар адея утверж дает, что изменение м агн и т­
ного поля всегда до лж но сопровождаться
возникновением индуцированного электри ­
ческого поля. Таким образом, в ы р а ж е ­
ние (8.21) приобретает вид
З а к о н Ф арад ея
(Е I
- Ь ) п о зам кн .
контуру
Вопрос 9. Р ассм отри м эл ектрон про­
водим ости во вр ащ аю щ ей ся рам ке
(фиг. 164). М ы м ож ем вы числить ре­
зультирую щ ую силу, действую щ ую на
электрон в л аб о р ат о р н о й системе к о ­
орди н ат. Н е б уд ет ли эта сила части ч­
но электри ческим полем?
260
=
-----
—— — .
С
Д Г
(8 .2 2 )
Зако н Ф ар а д е я утверж дает, что и зм ен я­
ющееся магнитное поле до лж но п орож дать
электрическое поле. Простой иллюстрацией
служит д виж ение частицы с зар я д о м ^ и
скоростью V в постоянном магнитном поле В.
Д о сих пор мы считали, что результирующ ая
сила равна Р = ^VВ/ с и, согласно закону Ф а ­
радея, электрическое поле равно нулю. Но
что с к аж е т д виж ущ ийся наблю датель? Он
обнаруж и т движ ущ ееся магнитное поле и
согласно закону Ф а р а д е я долж ен об н а р у ­
жить и электрическое поле. Р ассмотрим сл у­
чай, когда наб лю д атель движ ется вместе с
зарядом . П оскольку скорость за р я д а по от­
ношению к нему равна нулю, он не о б н а р у ­
жит магнитной силы; однако п ер в оначаль­
ная сила Р = ^VВ/ с (где V — п ервоначальная
скорость) все ж е будет. Д ви ж ущ и й ся н аб л ю ­
датель скаж ет, что сила (какую бы величину
она ни имела) равна цЕ. Итак, имеется сила
^VВ|с = ^Е, причем электрическое поле, о б н а ­
руженное
дви ж ущ им ся
наблю дателем,
В = уВ/с; иными словами, движ ущ ееся м а г ­
нитное поле п орож д ает электрическое поле.
У М ак св ел л а возникла мысль, не будет
ли иметь место т а к ж е и обратное явление?
Не долж но ли изменяю щ ееся электрическое
поле индуцировать магнитное поле? Если
бы это было так, то сущ ествовало бы урав-
нение типа (8.22), в котором Е и В поменя­
лись бы местами, а именно
(Вь - I ) по замкн.
контуру
1
Л NЕ
Т~1— .
^ 1
— ~~~
с
Но, согласно закону Ампера,
(В
• / . ) по замкн.
контуру
=
~— •
с
( 8 .2 3 )
М аксвелл предположил, что в полной записи
эта форм ула имеет вид
(я
I\
_
4я
/ 1
1
'^ ^ п о замкн. — — ----- “Г ~~Г
контуру
“
*
ЛЛ^
Д(
М аксвелл н азв ал новый добавленный им в
закон Ампера член током емещения. При
этом он у к а за л на один пример, из которого
видно, что вы раж ен и е (8.23) в своей п р е ж ­
ней записи оказы вается неправильным. Этот
пример и рассуждения, которые заставили
М аксвел л а ввести ток смещения, приведены
в приложении к главе.
В итоге уравнения М ак св ел л а (мы при­
водим их в виде, неудобном для дальнейших
расчетов)
Л ^= 4тс(Э
(8.24)
— это полное число силовых линий, выхо­
дящ их из з а р я д а <2 ;
(В Ь - 1 ) по замкн.
=
— 4 и / +
с
[ Е ь - Ь ) „о замкн.
контуру
=
-------г А г # - с
А*
контуру
1
О твет 9. Нет. В лабораторной систе­
ме отсчета
О во всем пространстве
и, следовательно, электростатическая
сила Р е**еЕ такж е равна нулю. Н а
электрон действует только магнитная
сила, обусловленная его скоростью.
Если бы наблюдатель двигался вмес­
те с электроном, ситуация была бы о б ­
ратной.
4 -
V
<8 2 5 )
ДА^г
<8 -2 6 )
Величины, стоящие в правы х частях двух
последних уравнений, заклю чены в пределах
замкнутого контура. Эти уравнения долж ны
выполняться для всех возможны х замкнутых
контуров.
Ч В действительности уравнения Максвелла с о ­
держ ат еще одно равенство, аналогичное (8.24), ф и ­
зический смысл которого заключается в отсутствии
в природе свободных магнитных заряд ов.™ П р и м . ред.
261
§ 9. Электромагнитное излучение
Т Е О Р И Я СВЕТА
Вооруженный наконец правильными з а ­
конами электричества, М аксвелл присту­
пил к р азр аботк е теории света. В ч аст­
ности, он показал, что изменяющийся ток
излучает электромагнитные волны, которые
распространяю тся со скоростью о = с, при­
чем с — экспериментальный коэффициент
пропорциональности, входящий в формулы
теории электричества (уравнения М а к с в е л ­
л а ) . П остоянная 1/с2 в формуле (8.6 ) была
найдена из опыта путем измерения силы
взаимодействия токов. В то время еще ни­
кто не подозревал, что этот коэффициент
пропорциональности имеет что-либо общее
со скоростью света. М аксвелл п оказал т а к ­
же, что векторы Е и В в излучаемой электро­
магнитной волне перпендикулярны друг д р у ­
гу, а т а к ж е направлению распространения
волн. Кроме того, он п оказал, что Е и В име­
ют одну и ту ж е величину. В 1864 г. эта тео­
рия действительно яви лась выдаю щ им ся д о ­
стижением теоретической физики. П ростая
система основных уравнений
[формулы
(8.24) — (8.26)] д а в а л а объяснение всем
электрическим, магнитным и оптическим я в ­
лениям. Помимо этого, теория М аксвелла
п р ед сказы вал а, что электромагнитные волны
любой, д а ж е очень низкой, частоты долж ны
распространяться со скоростью света. В пер­
вые эта теория была экспериментально под­
твер ж д ен а в 1888 г. Герцем; к 1901 г. Маркони удалось передать электромагнитные
волны через Атлантический океан. Эти э л е к :
тромагнитные волны более низкой частоты,
чем свет и и нф ракрасны е волны, стали н а ­
зы вать радиоволнами.
Обычно д ля д о казател ь ств а сущ ествова­
ния электромагнитного излучения требуются
математические вычисления с применением
дифф еренциальных уравнений. Однако те­
перь, после того как мы в последних двух
главах затр атил и столько усилий на получе­
ние системы уравнений М аксвелла, было
бы стыдно отступить перед самым концом.
Фиг. 167. Э лектрическое и м агнитное
поле волны , испускаем ой п оверхност­
ным током плотностью 1'С О З Е ( 1 ) / см .
Э л ек тр о м агн и тн ая
ние х.
волна
прош ла
расстоя­
Поэтому с помощью профессора физики К а ­
лифорнийского технологического институ­
та Р. Ф ейнмана для этой книги было р а з р а ­
ботано следующее объяснение эл е к т р о м а г­
нитного излучения, не требую щее м а т е м а ­
тических вычислений.
Р ассмотрим в качестве источника и зл у ­
чения бесконечный плоский ток. Н а стр. 250
было показано, что напряж енность магн и т­
ного поля, созданного током г'СОЗЕ (1)/см,
текущим по плоскости, равна [см. (8.17)]
В=
с
Теперь рассмотрим случай, когда сначала
ток отсутствовал, а затем был внезапно
включен (фиг. 167). Мы предположим, что
поле В = 2 м / с распространяется в обе сторо­
ны от плоскости со скоростью V, а т а к ж е что
магнитному полю В сопутствует однород­
ное электрическое поле Е, перпендикуляр­
ное В. Иными словами, мы предполагаем,
что от бесконечной плоскости со скоростью V
распространяется волна, имею щ ая вид «сту­
пенчатой» функции Е и В. Тогда величи­
ны Е, В и V можно найти из уравнений (8.25)
и (8.26). Мы получим Е = В = 2л1/с и V = с.
Следовательно, эта р асх одящ аяся электро ­
магнитная волна, д в и ж у щ ая с я со скоро­
стью у = с, действительно удовлетворяет
уравнениям М ак св ел л а и, таким образом,
является правильным решением нашей з а д а ­
чи при внезапном включении тока I.
Рассмотрим ситуацию, показанную на
фиг. 156 (стр. 250) и возникаю щ ую вскоре
после включения тока, когда волна б = 2яг/с
успела распространиться только на расстоя­
ние х < Ь . В этом случае В на концах п р ям о ­
угольного контура остается еще равной
нулю
и уравнение
(8.25)
принимает
вид
0 =
4 д ( ~ /а) + ±
с
' с
Ы
.
(8.27)
4
’
З н а к минус обусловлен тем, что в качестве
положительного мы вы брали направление
вверх. П оток напряж енности электрического
поля
равен величине Е, умноженной на
263
Фиг. 168. Э лектром агн и тн ы е им пуль­
сы длительностью 1 • 10~ в сек, во зн и ­
каю щ ие в р езу л ьт ат е вклю чения и
вы клю чения т о ка по бесконечной п ло­
скости.
Показаны квадратный элемент бесконеч­
ной плоскости и электромагнитная волна.
Магнитные силовые линии изображены
красным цветом, а электрические силовые
линии — черным.
а - / —0 (ток I только что включен); б —
/=«1 • 1 0 сек (ток I только что выключен);
в ~ - 7 “ 3*10- в сек (ток I только что вклю­
чен); г — ^—4 • 10 “• сек (ток I только что
выключен).
площ адь прямоугольника 2ах. Таким о б р а ­
зом,
ДЛ/Я
а Дх
== 2 ЕаV
2Е
~~КТ
м
есть скорость изменения во времени потока
напряженности электрического поля через
наш прямоугольник.
П одставляя это выраж ение в ур авн е­
ние (8.27), получаем
4я
с
.
. г, Е аи
'
с ’
-----ш + 2 — ,
0 =
или
Е =
2 7Г I
Но поскольку множитель (2я 1/с) равен вели­
чине В, то, следовательно,
с
В
1-ый импульс
(8.28)
V
Чтобы найти отсюда скорость V , необходимо
еще одно уравнение. Оно получается, если
воспользоваться вертикальным п рямоуголь­
ником на фиг. 167._ В кл ад электрического
поля в величину ( Е ь - Ц по замкн. отличен от
/
контуру
нуля только вдоль левой стороны этого п р я ­
моугольника. Таким образом,
( Е ь ' Е ) п о замкн. — Е - а .
1-ый импульс
контуру
Уравнение (8.26) принимает вид
-Г
■ь= с
Еа — ~
с
1-ый импульс
2-ой импульс
/•
/
/
УУ
✓
300
600
900
г
А
/
----- » У - С
/
ДI
,
но
Ыв = В а х ,
ДМ в/ М = В а ( А х / М ) = В а ь ,
поэтому написанное выше соотношение пре­
образуется в
Вт
Еа
= с ’
или
Е = В — .
.
1
т о
1500м
с
............................ ...
Разд ели в это уравнение на (8.28), получим
V = С.
Точно таким ж е способом можно д о к а ­
зать, что если внезапно выключить, а затем
264
внезапно включить ток, то излучается п р я ­
моугольная электромагнитная волна, или
импульс. Процесс испускания таких и м пуль­
сов проиллюстрирован на фиг. 168. В самом
деле, поскольку Е пропорционально г, то при
синусоидальном изменении г будет и злучать­
ся синусоидальная волна. М аксвелл предпо­
ложил, что видимый свет представляет собой
электромагнитные волны с соответствующи­
ми длинами волн. Д о того времени (1864 г.),
вероятно, самой центральной проблемой ф и ­
зики была как раз природа световых волн.
Б л аг о д ар я М аксвеллу мы теперь знаем, что
световые волны — это колеблющиеся э л е к т­
рические и магнитные поля. Обсуждение
этих вопросов будет продолжено в гл. 10.
Приложение
Фиг. 169. Ток, текущ ий «через» кон ­
д ен сато р с кругл ы м и п ластинам и р а ­
д и усом Я.
Р ассмотрим вопрос о необходимости д о ­
бавления члена [1/с(ДЛ^е /А 0 ] к уравнению
(8.23). Мы покаж ем, что при применении
уравнения (8.23) к плоскому конденсатору
с круглыми пластинами возникаю т м а т е м а ­
тические противоречия, тогда ка к исп рав­
ленное уравнение (8.25) д ает правильный
результат.
Р ассмотрим ток /, текущий к конденсато­
ру (фиг. 169). З а р я д , покидающий правую
пластину конденсатора, н акапли вается на
левой его пластине. К а к показано на стр. 248,
выбрав охваты ваю щ ие ток окружности рад и ­
усом Я и применив уравнение (8.23), п олу­
чим магнитное поле в точках С и Е, равное
В с = В е = 2 1 / с К . Н о внутри окружности Я ,
проходящей через точку Д нет тока и, со­
гласно (8.23), В 0 = 0. Противоречие получит­
ся, если мы применим уравнение (8.23) к
прямоугольнику, одна сторона которого р а в ­
на С Д две другие более короткие стороны
длиной 5 перпендикулярны плоскости фигу­
ры, а четвертая сторона соединяет концы ко­
ротких сторон 5 и п ар ал л ел ь н а СБ.
_ Д л я такого прямоугольника
( Вь- Ь) по з а м к н , = В с ' $ — -Вр-8.
контуру
265
Но поскольку внутри этого прямоугольника
ток равен нулю, из уравнения (8.23) следует
Вс
-5 — В 0
-5 =
0
и вместо В 0 = О
В с - В с М аксвелл обнаруж и л это противоречие и
предлож ил следующее уравнение, которое
устраняет его и, кроме того, согласуется с
экспериментом:
(Я
т\
_ 4те/
, 1 АNЕ
\ 1->Ь ’ ^ ^ п о з а м к н . —
“
~1----с
Д /
*
кон туру
где
— поток, или число силовых линий В,
заключенных внутри рассматриваемого кон­
тура.
Это уравнение можно проверить на
нашем примере конденсатора с круглыми
пластинами, если в качестве замкнутого кон­
тура снова выбрать окруж ность радиусом Я,
проходящую через точку О. Полное чи­
сло силовых линий Е меж ду пластинами кон­
денсатора равно Л^е = 4я<2 [см. (7.13)]. Тогда
АЫЕ/А (= 4лА С }1 Ы = 4л1.
Подставим теперь в уравнение
4 я / вместо АЫЕ!А1. В этом случае
В о 2 тс Я = 0 +
и
д.
Б°
=
(8.25)
— (4 тс /)
2/
5Г-
Полученное значение В в согласуется с вели­
чиной В с , и, таким образом, противоречие
устраняется.
266
Задачи
1. Б у д е т ли н аб л ю д ател ь, д в и ж у щ и й с я вдол ь з а р я ­
ж енн ого п ров од а, и зм ер ять то т ж е сам ы й ток, что и
неподви ж ны й н аб л ю д ател ь, или нет?
2. П о д в у м длинны м п ар ал л ел ьн ы м проводам т еч ет '
оди наковы й ток 4 а. Р ассто ян и е м еж д у проводам и
16 см. О п редел и ть н ап р яж ен н о сть м агни тного поля В
в середин е м еж д у проводам и:
а) если токи текут в оди н ак о в о м нап равлен и и ,
б) если токи теку т в проти воп ол ож н ы х н а п р а в ­
л ен иях.
3. С олен оид длиной 1 м и д и ам етр о м 8 см состоит из
500 витков п ровода.
а) Ч ем у р авн а н ап р яж ен н о сть м агнитного поля
В внутри солен ои да, если по нему течет ток
6 а?
б) К а к о в о полное число м агни тны х сил овы х ли­
ний?
4. Н ап и ш и те за к о н Ф ар а д е я в так о й ф орм е, чтобы
э. д. с. в ы р а ж а л а с ь в в о л ьтах, а о стал ьн ы е единицы
остал и сь преж ним и.
5. Э лектрон, д в и г а я с ь го р и зон тал ьн о с востока на з а ­
п ад в м агнитном поле, о т к л о н яется вниз. К а к о во
н ап р ав л ен и е м агни тного поля?
6. К а ту ш к а, им ею щ ая 300 витков и п л ощ ад ь попе­
речного сечения 100 см2, в р а щ а е т с я в м агни тном поле
н ап р яж ен н о стью 5000 гс со скоростью 1800 об/м ин.
К а к о в а ам п л и ту д а индуцируем ой в кату ш ке э. д. с.?
7. Э лектрон д в и ж е тс я в д о л ь оси солен ои да. О пиш ите
д в и ж ен и е эл ек тр о н а.
8. К а ту ш к а, им ею щ ая 1000 витков и п л ощ ад ь попе­
речного сечения 100 см 2, под действием м агнитного
поля Зем ли , перп ен ди кул ярн ого ее поперечном у сече­
нию, о ткл о н яется на 90° в течение 1 сек. П ри этом
среднее зн ачени е э. д. с., и зм еренное за это врем я,
о к азал о с ь равн ы м 0,6 м в ( 0 ,6 -Ю " 3 в ). Ч ем у р авн а
н а п р яж ен н о сть м агни тного поля Зем л и ?9. П учок эл ек трон ов, л етящ и х со скоростью 108 см /сек,
откл о н яется м агнитны м полем на 90°, к ак п о к а за н о
на фиг. 170.
Фиг. 170. К за д а ч е 9.
30 см
Пучок
электронов
10 см
Полюсный
наконечник
20 см
а) К аким д о л ж н о бы ть н а п р ав л ен и е м агни тного
поля В, чтобы пучок эл ек трон ов откл он и л ся
вниз?
б) Ч ем у равен
р ади ус
кри ви зн ы т р ае к то р и и
эл ек трон ов м еж д у полю сам и м агни та?
в) Ч ем у р авн а сила в д и н ах , дей ств у ю щ ая на
электрон ы в м агнитном поле?
г) Ч ем у р авн а величина В в гау ссах ?
10. Э лектрон с м ассой т д в и ж е т с я
м еж д у п а р а л ­
лельны м и за р я ж е н н ы м и п л оскостям и (фиг. 171) со
скоростью о0; сила т яж е сти отсутствует. О д нородн ое
электри ческое поле равн о Е.
267
Фиг. 171. К за д а ч е 10.
а) Т р аекто р и я эл ектр о н а
п р е д с та в л яет собой
часть (окруж н ости , синусоиды , п ар аб о л ы , э л ­
л и п с а )?
б) К у д а н ап р ав л ен о ускорение? В ы р ази те его в е ­
личину через е, Е и т.
в) Ч ер ез скол ько врем ени эл ек трон п о п ад ет на
одн у из пластин?
г) Д оп усти м , что силовы е линии соответствую т
не электри ческом у, а м агни тном у полю (ко то ­
рое н ап р а в л е н о т а к ж е, к ак и Е ) . В к ак о м н а ­
п равлени и б уд ет д е й с тв о в а ть сила на эл е к т ­
рон?
+ + + + + + + +
2(^)==>Т>0
11. В ы ведите ф о р м у л у д л я п ери ода о б р ащ ен и я п р о ­
тон а в м агни тном поле В.
12. П о тонкой медной трубк е ди ам етр о м 2 см течет
ток величиной 8 а. Ч ем у р авн о В
а) на р асстоян и и 4 см от оси трубки?
б) на расстоян и и 0,5 см? (Э та точка р а с п о л о ж е ­
на внутри цилиндрической поверхности, по
которой течет ток.)
( У к а з а н и е . П роверьте, есть ли внутри за м к н у ­
того контура ради усом 0,5 см к ак ой -н и буд ь т о к . )
Фиг. 172. К з а д а ч е 13.
13. П учок протонов д в и ж е тс я со скоростью
= 0,1 с
в обл асти скрещ енн ы х м агни тного и электри ческого
полей (фиг. 172). П ротоны д в и ж у т с я п ерпенди ку­
л я рн о плоскости ф игуры . Э л ек тр о ста ти ч ес к ая сила,
д ей ств ую щ ая на протон, с о с т а в л я е т 3 - 10-8 дин.
а) П ри к ак ом отнош ении Е /В резул ьти рую щ ая
сила б у д ет р авн а нулю ?
б) Ч ем у • р авн а н ап р яж ен н о сть м агни тного по­
л я В , гаусс?
в) Е сли отнош ение Е /В
со ответствует ( а ), то
к ак о в о н ап равлен и е и величина резу л ьти р у ю ­
щей силы , действую щ ей на частиц у с з а р я ­
дом + е и скоростью V = 0 ,2 с? (Т а к а я система
скрещ енны х полей п р е д с та в л яет собой сел ек­
тор скоростей — устройство, вы деляю щ ее ч а с ­
тицы с дан н ой скоростью .)
14. К оакси ал ьн ы й к аб ел ь состоит из внутреннего и
внеш него ци ли ндров с рад и усам и К 1 и Кг. В д ол ь к а ж ­
дого из ци линдров в п роти вополож ны х н ап р ав л ен и ях
течет ток I С 0 5 Е ( I ) . Ч ем у р авн о В на расстоян ии г
от общ ей оси цилиндров:
Фиг. 173. К з а д а ч е 15.
га
т
$
а) К огда точка г н ах о д и тся м еж д у ц и ли ндрам и?
б) К огда точка г н аходи тся с н ар у ж и внеш него
цилиндра?
15. П о двум соленои дам , А и В, течет ток, к ак п о к а ­
зан о на фиг. 173.
а) К акой конец соленои да В я в л я ет ся северны м
полюсом?
б) К ак о во н ап рав лен и е результирую щ ей силы,
действую щ ей на соленои д В?
268
( У к а з а н и е . С читайте, что соленоиды э к в и в а ­
лентны м агни тны м стерж н ям .)
в) Д е й с тв у е т ли на соленои д В как ой -ли бо м о­
м ент силы ? Е сли д ей ствует, то в к ак о м н а ­
п равлени и б у д ет в р а щ а т ь с я этот соленоид?
Фиг. 174. К за д а ч е 16.
16. П ер в и ч н ая
обм отка
т р ан с ф о р м а то р а
им еет
103 витков, а в тори чн ая — 104 витков. К первичной
обм отке при лож ен о перем енное н а п р яж ен и е с ч а с то ­
той 60 гц. В р езу л ьт ат е с о зд а ет ся м агни тное поле,
причем через обе обм отки т р ан с ф о р м а то р а проходит
м акси м ал ьн о 104 м агни тны х сил овы х линий В. Н а
гр аф и ке (фиг. 174) построена зав и си м о сть потока че­
рез обм отки от врем ени.
А/„
а) З а как о е врем я поток В изм еняется от 0 до
м акси м ум а ( 104)?
б) К а к а я с р ед н я я э. д. с. и н дуцируется за это
врем я во вторичной обм отке?
в) Ч ем у р авн о средн ее н а п р яж ен и е на концах
первичной обм отки за это врем я?
17. Р еакти вн ы й с а м о л е т с р а зм ах о м к ры льев 20 м л е ­
тит прям о на север со скоростью 960 км /час и на т а ­
кой вы соте, где в ер т и к а л ьн а я с о ст ав л я ю щ ая н а п р я ­
ж енн ости м агнитного поля З ем л и р а в н а 0,6 гс.
а) Ч ем у р а в н а р азн ость п отен циалов м еж д у к о н ­
цам и кры льев?
б) Н а как о м к ры ле более вы сокий потен циал?
18. М асса эл ектрон а
бы стро в о зр а ст ае т по мере
при бл и ж ен и я его скорости к скорости света. Ч ем у
р авн а м асса эл ектрон а, д в и ж у щ его ся по ок руж н ости
радиусом 10 см в м агнитном поле 10 000 гс?
[ У к а з а н и е . П о л о ж и те в ф орм ул е ( 8 -1 1 ) и = с .]
Во скол ько р а з м асса эл е к тр о н а п ревы ш ает его
массу покоя?
Фиг. 175. К за д а ч е 19.
I1'
19. П о внутрен нем у проводн ику к о ак си ал ьн о го к аб ел я
п ротекает то к Л = 3 а и по внеш нем у ци ли ндри ческо­
му проводн ику в противоп ол ож н ом
н аправлени и
/ 2= 2 а. Ч ем у р а в н а н ап р яж ен н о сть м агни тного поля В
(фиг. 175):
а) Н а расстоян и и 5 см от оси?
б) В нутри к а б е л я на
(в точке Я )?
расстоян и и
0,5 см от оси
20. Н а Б ев ат р о н е в Б еркли (К а л и ф о р н и я, СШ А )
м асса протонов в 7 р а з прев ы ш ает их м ассу покоя,
а скорость о = 0 ,9 9 с. К акой д и ам етр до л ж ен иметь
Б е в атр о н , если его верти кал ьн ое м агни тное поле
6 = 1 0 000 гс по всей орби те протонов?
21. С колько оборотов в 1 сек д е л а е т протон в ц и кл о­
троне с м агнитны м полем В = 1 8 000 гс? О б р ати те
вним ание на то, что ответ не за в и с и т от скорости
протона или р ад и у с а его орбиты .
269
22. Т ок в виде ш ирокой полосы к ол еб лется по си н у ­
сои д ал ьн ом у за к о н у с частотой 100 М гц ( 108 к о л е б а ­
ний в сек у н д у ). А м п ли туд а н ап р яж ен н о сти и зл у ч ае м о ­
го электри ческого поля р а в н а 5 в/см .
а) Ч ем у
равна
а м п л и ту д а
силы
тока в
С 0 5 Е (/) /см?
б) Ч ем у р а в н а ам п л и ту д а н а п р яж ен н о сти м аг­
нитного поля В в гау с са х ?
23. П о стерж н ю ради усом
т еч ет постоянны й ток I.
Ч ем у р авн а н а п р яж ен н о сть поля В внутри с те р ж н я на
расстоян ии г от его оси ( г < # ) ?
24. П р е д п о л о ж и м , что т р а е к т о р и я
на
фиг. 152
(стр. 246) и зо б р а ж е н а в н а ту р а л ьн у ю величину и н а ­
п р яж ен н ость м агни тного поля В = 1 2 000 гс. В ы чи сли­
те м ассу эл ектрон ов, вл етаю щ и х в п узы рьковую к а ­
м еру (счи тая, что их скорость почти р авн а скорости
с в е т а ). Во скол ько р а з ваш р е зу л ь т а т п р евы ш ает м а с ­
су покоя эл ек тр о н а?
З а те м , в осп ол ьзов авш и сь ф орм ул ой (3.6), н а й д и ­
те, н аскол ько скорость эл ектрон ов бл и зк а к скорос­
ти света.
ГЛАВА
9
ПРИЛОЖЕНИЯ
ТЕОРИИ Э Л Е К Т Р И Ч Е С Т В А
ПРИЛОЖ ЕНИЯ
ТЕОРИИ
ЭЛЕКТРИЧЕСТВА
§ 1. Практическая система единиц
В О Л ЬТ Ы И А М П Е РЫ
Обычные электрические единицы, исполь­
зуемые электротехниками и инж енерами в их
повседневной практике,— это к ул о н для з а ­
ряда, ампер — для тока, вольт — для элект­
рического потенциала, дж/сек, или ватт,—
для мощности. В гл. 7 мы определили вели­
чину
кулона:
1 к у л о н = с/ \ 0СС5Е( С, }),
причем коэффициент с равен скорости света
и имеет размерность см/сек.
Таким образом, практические единицы
з а р я д а и тока в 3 - 109 раз больше соответ­
ствующих электростатических единиц. П р а к ­
тические единицы были введены, по-видимо­
му, из-за того, что они имеют более «удоб­
ный» масштаб. Однако они были бы еще
удобнее и практичнее, если бы в качестве
переводного множителя был выбран к оэф ­
фициент с, а не с/10. Согласно (7.17), п р а к ­
тическая единица потенциала определяется
единицами, выбранными д ля з а р я д а (кулон)
и энергии (дж оуль):
,л
1 дж
1 кулон
=
300
~
Ю7 эрг
3 1 0 е С 0 5 Е ((?)
С С 5 Е (<2)
=
300 С 0 5 Е
00-
Таким образом, электростатическая еди­
ница потенциала в 300 раз больше соответ­
ствующей практической единицы.
§ 2. Закон Ома
П РО С Т О Е С Л Е Д С Т В И Е С Т Р О Е Н И Я В ЕЩ ЕСТВА
Если к проводнику приложить разность
потенциалов V , то через него потечет некото­
рый ток /. Еще в начале XIX столетия Георг
Ом обнаружил, что если температура м е т а л ­
лического проводника остается постоянной,
то сила текущего по нему тока пропорцио­
нальна приложенному напряжению. З а м еч а-
тельно, что это не просто некоторое п риб л и ­
жение, наподобие закона Гука, а строгое
соотношение в пределах ошибок измерений.
Ом н а зв а л коэффициент про п о р ц и о н а л ь­
ности между напряжением и силой тока
сопротивлением проводника.
З а к о н Ома
% =
~
в случае металлов не зависит от I.
В практической системе единиц V и зм е­
ряется в вольтах, а / — в амперах. Поэтому
единицей измерения сопротивления служит
отношение в/а. Эта единица имеет сп ец и аль­
ное название — ом.
Но в какой степени закон Ома является
основным? Имеем ли мы дело с новым ф ун ­
дам ентальны м законом природы или это
просто следствие строения вещества и основ­
ных законов взаимодействия, как, например,
кинетическая теория? К а к и можно было
ожидать, верно последнее. Сопротивление
различных м атериалов в различных услови­
ях очень хорошо объясняется с помощью
квантовой теории твердого тела (см. гл. 14).
В следующем разделе мы выведем закон
Ома, опираясь на теорию металлов.
Вывод зак он а Ома из теории металлов
В квантовой теории м еталлов п о к азы ­
вается, что вследствие своей волновой п риро­
ды внешние электроны атомов не связаны с
отдельными -атомами кристаллической ре­
шетки. Это утверждение противоречит идеям
классической физики; оно будет объяснено
в гл. 14. Электроны проводимости до столк­
новения с каким-нибудь атомом могут про­
ходить расстояния, равные многим атомным
д иам етрам . Пусть ^ — длина свободного
пробега электрона меж ду двум я столкнове­
ниями. Время между двумя столкновениями
Д^ = 1 /и, где и — средняя скорость э л ектро­
нов проводимости (и у различных э л ектр о­
нов нап равлен а хаотически в разные сторо­
ны, поэтому и не возникает результирую щ е­
го то к а ). Если к куску м е тал л а приложить
273
разность потенциалов, то на каж ды й элект­
рон проводимости будет действовать си­
л а еЕ. В результате за время А( каж ды й
электрон проводимости приобретает ско­
рость д рей ф а ^й = Аы, которая определяется
с помощью второго зак о н а Ньютона:
Ди
~
т ~д7 =
или
Аи =
’
еЕ
А(.
П од ста вл яя сю да вместо АI эквивалентную
ему величину Ь/и, получаем
а
= А и = - - Е\
(9.1)
ти
'
'
А и у всех электронов н ап равлен о одинаково
и поэтому приводит к появлению результи­
рующего тока. Электроны теряю т свою ско­
рость дрейфа после каж д о го столкновения.
Д л и н а свободного пробега электронов Ь н а ­
столько м ала, что VII всегда остается много
меньше и. Обычно скорость дрейфа не пре­
вы ш ает 1 мм /сек (стр. 232). Сила тока пред­
ставляет собой произведение за р я д а элект­
рона на полное число электронов проводи­
мости 3? , приходящ ееся на 1 см длины про­
водника, и на среднюю скорость дрейфа VII'.
I = е й ь л.
С редняя скорость д рей ф а равна половине
максимального значения (9.1). Таким о б р а ­
зом,
/ = еШ ( 4 - —
\ 2
Вопрос 1. П р е д с т а в л я е т ли собой п р а ­
в ая
часть (9.1) средню ю скорость
д р е й ф а эл ек трон ов проводим ости?
274
ти
Е ) = е2
/
2т и
Е.
Мы видим, что, согласно
(9.1), скорость
дрейфа (а следовательно, и сила тока) про­
порциональна
напряженности
электриче­
ского поля Е, которая в свою очередь про­
порциональна приложенной разности потен­
циалов. Таким образом, пока скорость и
(или тем пература) остается постоянной,
сила тока пропорциональна приложенному
напряжению, что и н аб л ю д ал Ом в своих
экспериментах. Ф ормулу д ля сопротивления
участка проводника длиной х нетрудно по­
лучить, заметив, что приложенное к нему н а ­
пряж ение равно V = Ех. П о д ставл яя У/х
вместо Е в приведенное выше вы раж ен и е
для /, получаем
_
/V \
2т и
\ х ) '
С ледовательно, сопротивление
п
2т и х
= "дат-
§ 3. Теория электрических цепей
ЭЛЕКТРОНЫ
Фиг. 176. П о сл ед о в а т ел ьн о е (а) и
п ар ал л ел ьн о е (б) соеди нения со п р о ­
тивлений /?I,
и /?3.
Батарея |
И
ч—-т
П Р Е Д П О Ч И Т А Ю Т П У ТЬ Н А И М Е Н Ь Ш Е Г О
СОПРОТИВЛЕНИЯ
В повседневной практике мы на каж д ом
ш агу сталкиваем ся с последовательными и
п араллельны м и соединениями сопротивле­
ний. Полное сопротивление
цепи полу­
чится, если разделить напряжение, п рило­
женное к цепи, на протекающий через нее
полный ток.
Д л я каж дого из соединений на фиг. 176
полное сопротивление равно
При последовательном соединении через
все сопротивления течет один и тот ж е ток.
При п араллельном соединении полный ток
равен сумме токов, текущих через каж д ое
сопротивление. При последовательном сое­
динении полная разность потенциалов V
равна
V = V, + У2 + У3Р азд ел и м обе части этого равенства на /:
О твет I. Нет. Э то скорость, п р е д ш е ­
с тв ую щ ая очередном у столкновению .
С р ед н яя скорость д р е й ф а р авн а пол о­
вине этого зн ач ен и я (н ачал ьн ое з н а ­
чение скорости р авн о нул ю ).
ИЛИ
Я!, = Л?! +
+ Яз (последовательное
соединение).
(9.2)
275
Фиг. 177. С л о ж н о е соединение сопротивлений.
Мы видим, что полное сопротивление после­
довательной цепи равно сумме отдельных
сопротивлений. При п араллельном соедине­
нии (фиг. 176, б)
I = ^1 + /г +
Р азд ел и м обе части уравнения на V :
1 - А
V
± А
V
± А
V
"Г"
V ’
или
1
Фиг. 178. Та ж е цепь.
Последовательные и параллельные соеди­
нения представлены в более явном виде.
= — + — +
1
2
(параллельное
3 соединение).
(9.3)
О братн ая величина полного сопротивления
параллельной цепи равна сумме обратных
сопротивлений отдельных ветвей.
Сопротивление любой сложной электри ­
ческой цепи можно найти, представив ее
в виде комбинации простых последователь­
ных и п араллельны х соединений. Решение
подобной зад ач и иллюстрируется следую ­
щим примером.
П р и м е р 1. Н ай д ем д л я цепи, изображ ен н ой на
фиг. 177: а) полны й ток, отбираем ы й от б атар еи ;
б) ток, текущ ий через сопроти вление 6 ом.
Ч тобы определ ить /, н ад о с н а ч а л а найти #<. Н а ­
ш а за д а ч а облегчится, если п ерери сов ать эту цепь
(фиг. 178) так , чтобы посл ед овател ьн ы е и п а р а л л е л ь ­
ные соеди нения сопротивлений с тал и более очевидн ы ­
ми. Н ачнем с п а р ал л ел ьн о го соеди нения с оп роти вле­
ний 2 и 6 ом. П у с ть Я — сопроти вление этого с о ед и ­
нения. Т огда
_1______ 2_
_1______ 1_
Я ~ 2 + 6 = 3 '
Я = 1 ,5 о м .
Э та цепь п о сл ед овател ьн о соеди нена с соп роти влен и ­
ем в 1,5 ом\ след овател ьн о, полное сопроти вление Я '
всей левой ветви равн о.
Я ' = Я + 1 ,5 = 3 ом .
Н аконец, л е в а я ветвь (Я ') соеди нена в п а р а л л е л ь с
сопротивлением 3 ом. Т аким об р азо м ,
__1_______ 1_
_ 1_
_2_
Я, ~ К' +
3 -
3 •
Я( =
276
1 ,5 ом
Фиг. 179. И л л ю с тр а ц и я к о р о тк о зам к ­
нутой цепи.
Точка А н ако р о тко соед ин ен а с зем лей.
6 ом
1=
V
1 ,5
Т аков полны й ток, текущ ий от б атар еи .
Ч тобы найти ток, текущ ий через сопроти вление
6 ом, н а д о о п редел и ть с н ач ал а ток / ' через левую
ветвь. Он равен
6в
/ ' = ~ ц г = 2 а.
Э тот ток р а сп р е д е л яет ся так и м об р азо м , что н а п р я ­
ж ени е на сопроти влении 6 о л и на сопротивлении
2 ом б у д ет оди наковы м . Т аки м о б р азо м , 75% то к а Г
течет через сопроти вление 2 ом и 25% то к а / ',
или 0,5 а,— через сопроти вление 6 ом.
Короткое замыкание
Н а фиг. 179 и зо бр аж ен а электрическая
цепь, в которой один полюс источника н а ­
пряж ения подключен к зем ле (имеет потен­
циал зем ли ). В теории электрических цепей
потенциал земли принято считать равным
нулю. Если соединить с землей одну точку
цепи, то через это соединение ток не потечет.
Спраш ивается, чему равен потенциал точ­
ки А цепи, изображенной на фиг. 179? З а ­
метьте, что эту точку цепи можно соединить
с землей зигзагообразны м проводом, кото­
рый, однако, минует все сопротивления. Мы
считаем, что соединительные провода имеют
нулевое сопротивление. П адение н а п р я ж е ­
ния вдоль проводника, согласно закону Ома,
равно
У =
=
^^?проводн>
1x0,
= 0 в.
Таким образом, потенциал точки А т а к ж е
равен нулю. Л ю бы е две точки, соединенные
проводником, не имеющим сопротивления,
всегда будут находиться при одном и том
ж е потенциале. А поскольку разность потен­
циалов на концах сопротивлений 2 и 4 ом
равна нулю, то через эти сопротивления ток
не будет течь.
Мы говорим, что эти сопротивления з а м ­
кнуты накоротко.
277
Если бы вы дома зам кн ули накоротко
два конца с н апряж ением 115 в, то по про­
воднику потек бы ток
,
115 в
V
/ = ~п= -к----= оо а.
И
0 ом
Практически этот ток не будет бесконечным,
поскольку проводник долж ен об ла д а ть м а ­
лым сопротивлением. О днако ток будет д о ­
статочно большим, чтобы посыпались искры
и перегорели пробки.
Мощность электрического тока
Мощность электрического тока равна ко­
личеству потенциальной энергии электриче­
ского поля, рассеиваемой в единицу вре­
мени:
М ощ ность =
V '■
-у— .
П отенциальная энергия з а р я д а
равна
^ = <2К. К огда за р я д С? протекает по провод­
нику, то его потенциальная энергия прев­
ращ ается в тепловую. При этом электриче­
ская мощность, или скорость выделения теп­
ла, равна
М ощ ность =
.
Величина С}/( по определению есть сила
тока /. Следовательно,
(9.4)
М ощ ность = / - V ■
П р и м ер 2. Л ам п о ч к а 75 вт вклю чена в сеть с н а ­
п ряж ен ием 115 в. К акой силы ток она проп ускает че­
рез себя и к ак о в о ее сопротивление?
П о ф орм ул е (9.4) находим
М ощ ность
75 вт
/ = ----------у--------- = _П"5в~ = 0,65 а.
Т еперь, и спользуя закон О м а, м ож но определить ее
сопротивление:
V
Я=
278
/
=
115
о,65 = 177 ом-
§ 4. Радио и телевидение
П О ВСЕДН ЕВН А Я ЭЛЕКТРО Н ИКА
Фиг. 180. Д и о д н ы й вы прям итель.
К входной клем м е А п р и лож ено п ерем ен ­
ное н ап р я ж е н и е . У вы ходного н ап р я ж е н и я
на клем м е В все о тр и ц ател ьн ы е полупериоды « срезан ы ».
Напряжение
на нлемме А
Диодный детектор
Н еотъемлемой частью каж дого радио- и
телевизионного приемника является диод ­
ный детектор. Обычный диодный детектор
представляет собой последо­
вательное соединение сопро­
Напряжение
тивления
и диода на р — пна нлем м е В
переходе (фиг. 180). К ак б у ­
дет видно из гл. 14, р — ппереход о б л а д а ет з а м е ч а ­
тельным свойством: его со­
противление зависит от з н а ­
ка приложенной
разности
Фиг. 181. Д и одн ы й в ы прям итель с ем ­
потенциалов. В одном направлении сопро­
костью С.
тивление почти равно нулю, в другом очень
В отсутствие ем кости С вы ходное н а п р я ж е ­
велико. Любой элемент схемы, о б л а д а ю ­
ние имело бы вид, и зо бр аж ен н ы й красной
пунктирной кривой.
щий подобным свойством, назы вается д и­
Переменное
одом.
напряжение
К ак видно из фиг. 180, если к соеди­
на входе
нению диода с сопротивлением п р и к лады ­
Постоянное
вается положительное н а ­
напряжение
на выходе
пряжение, то диод по сущ е­
ству эквивалентен короткозам кн утом у участку цепи и
положительное напряж ение
выделяется на сопротивле­
нии /?. Если ж е п р и к л а д ы в а ­
ется отрицательное напряж ение, то сопро­
тивление диода оказы вается много больш е/?
Фиг. 182. З а в и си м о сть в ы сок очастот­
ного н ап р яж ен и я от времени (черн ая
и б ольш ая часть отрицательного н а п р я ж е ­
к р и в а я ).
ния пад ает не на сопротивлении, а на д и о ­
В ы сокочастотн ая э л ек тр о м агн и т н а я волн а
де. Зам етьте, что, хотя н ап ряж ени е на к л е м ­
п р ом о ду л и р о в ан а на ф и гу р е чисто син усо­
и дал ьно й волной или м у зы кал ьн ы м тоном
ме А отрицательно на протяжении 50% все­
с частотой 1000 г ц (к р а с н а я к р и в а я ). Д л я
го времени, на клемме В оно никогда не б ы ­
н аглядн о сти часто та несущ ей волны з н а ­
чи тельно ум ен ьш ена.
вает отрицательным. Н а п ря ж ен и е в этой
точке можно использовать д ля зар я д к и кон ­
денсатора. Т а к а я схема включения диода
н азы вается диодным выпрямителем (фиг.
181). Д иодный вы прям итель мож ет п р е в р а ­
щ ать переменное нап ряж ени е в постоянное.
Во всех действующих радио- и телеустрой­
ствах имеются диодные выпрямители, пре­
вращ аю щ и е переменный ток в постоянный.
279
Радио
Ф иг. 183. Н а п р я ж ен и е , сним аем ое с
ди одного д е те к то р а (сп л ош н ая к р ас ­
н ая к р и в а я ).
Р адиостанция с амплитудной модуляцией
передает электромагнитные волны опреде­
ленной частоты, л еж ащ ей в рад и овещ ател ь­
Это вы ходное н ап р я ж е н и е п овторяет пер­
вон ачальны й зву ко во й сигн ал с н еб о л ь­
ном диапазоне. Радиовещ ательны й диапазон
ш ими
вы сокочастотн ы м и
п у льсац иям и .
включает частоты от 0,5 до 1,6 М гц (1 М гц =
Т о н к ая черн ая к р и в а я ,— вы сокочастотны й
сигн ал с отсеченны м и отр иц ател ьн ы м и по= 10е колебаний в 1 сек). Амплитуда элект­
л у п ери одам и.
ромагнитной волны модулируется, или изм е­
няется, передаваемы м звуковым сигналом.
В качестве примера на фиг. 182 и зо б р а­
ж ена электромагнитная волна, см одулиро­
ванная чистым музы кальным тоном с часто­
той 1000 гц. В радиоприемнике этот слабый
сигнал улавливается антенной, усиливается
высокочастотным усилителем
(У В Ч ), а
затем подается на диодный детектор. Н а п р я ­
жение на выходе диода повторяет п ервона­
чальный звуковой сигнал с частотой 1000 гц
Фиг. 184.
Б л о к -сх е м а радиоприем (фиг. 183). Этот звуковой сигнал у си ли вает­
ника.
ся усилителем низкой частоты (УНЧ) и по­
дается на динамик. Блок-схема радиоприем­
ника с амплитудной модуляцией показана
Усилитель
Усилитель
Антенна
низкой
высокой
Д ет ек­
на фиг. 184.
частоты
частоты
тор
Динамик
(УНЧ)
(УВЧ)
В телевидении видеосигнал т а к ж е моду­
лирует амплитуду передаваемы х радиоволн.
Номера
Поэтому телевизионный приемник очень по­
т рок
хож на радиоприемник. Только видеосигнал
1—»
2 —>
в конечном счете используется для м о д ул я­
3—
ции
интенсивности электронного луча, ко­
4—
ш
—
торый попадает на экран электроннолуче­
5—
6 —•
вой трубки. Н а п ря ж ен и е выходного видео­
7 -сигнала
пропорционально яркости п ер ед а­
8—
—
9 —*■
ваемого изображ ения. В интервалы времени
Л
Н5
Видеосигнал
Белое —
изображение
Строка1
Черное — .
изображение
ипл апл Ш1пл ПЛПЛ (1ППП ППЛЛ [ИЛ
Строка2
Ж
СтрокаЗ
1Е
Строка4
1Е.
Импульс синхронизации
горизонтальной развертки
Фиг.
185. П е р ед ач а
и зо б р аж ен и я
буквы «Ы» с пом ощ ью 9 строк р а з ­
вертки.
а — и зо б р а ж ен и е
на
экране
кинескопа;
б — ф о р м а в и д е о си гн а л а, со зд аю щ его и зо б ­
р а ж ен и е (этот си гн ал у п р а в л я е т интен ­
сивностью эл ек тр о н н о го л у ч а ).
280
СтрокаЗ
Строка 6
1Е._____Д^___
Строка 7
1С.
Строкав
1Г
СтрокаЭ
ДЕ
Фиг. 186. Б л о к-сх ем а
приемника.
Антенна
V
телеви зионн ого
между двумя последовательными строками
развертки видеосигнал содерж ит импульсы,
у правляю щ ие схемой развертки, которая
Упраелмща* генерирует следующую строку. На
сетка
Странной
Фиг; 185- а п оказана развертка
,
электр(
■ПТ/п пушки
уш ки
изображ ения_ буквы «N1», а соот'
/л « »»А *11т п я л и л м
Горизонтальная
отклоняющая ветствующии
видеосигнал — на
сист ема
фиг.
185,
б.
Блок-схема
телевизиВертикальная
отклонШщая онного приемника, включая разсистема
,
,
Г..
вертки, п оказана на фиг. 186. Шиэлектронов роковещ ательное телевидение в
СШ А работает на 525 строках при
30 полных к а драх в секунду 0.
§ 5. Электрон-вольт
ЕЩЕ ОДНА ЕДИНИЦА
Электрон-вольт (э в ) — еще одна единица
измерения энергии н аряду с эргом и д ж о у ­
лем. Она достаточно м ала по величине и
удобна для измерения энергии отдельных
элементарных частиц:
1 эв = 1,6 - 10_1а эрг.
Эта единица вы брана в соответствии с к о л и ­
чеством энергии, приобретаемым отдельным
электроном при его уско р ени и разностью по­
тенциалов в 1 в.
Это утверждение можно проверить, вос­
пользовавш ись выражением (7.17):
Г
= < 2 -У,
1 э в = (е)-(1в) =
- 4 , 8 - 1 0 ' 10 С 0 5 Е ( 15)■ ( з ^ С О З Е ( К ) ) =
= 1,6 - 10~1а эрг.
Кинетическая энергия, которую элемен­
тарные частицы приобретают в ускорителях
частиц высоких энергий, обычно измеряется
>) В С С С Р при нят иной с т а н д а р т — 625 строк и
24 к а д р а в секун д у,—• П рим . ред.
281
в эв или М эе (миллион электрон-вольт). Ге­
нератор Ван де Г р а а ф а
(см. фиг. 120,
стр. 200), который создает разность потен­
циалов в 3 млн. в, может сообщ ать электро­
нам или протонам кинетическую энергию до
3 М эе. Генератор Ван де Г р а а ф а можно ис­
пользовать т а к ж е для ускорения ядер гелия
с зар ядо м <2 = 2е. В этом случае приобретен­
ная частицами энергия будет в 2 раза б оль­
ше, так как энергия
пропорциональ­
на зар яду частицы. Я дра гелия, ускоряемые
разностью потенциалов в 3 млн. в , приобре­
тут кинетическую энергию 6 М эе.
Интересно отметить, что масса электрона
с энергией 3 М эе в озрастает в 7 раз. В гл. 3
у ж е говорилось о том, что м асса частицы
увеличивается по мере приближения ско­
рости частицы к скорости света. Энергия
покоя электрона равна [см. (5.10)]
Г 0 = т 0с2,
где т 0= 9,1 • 10~28 г — масса покоя э л ектро ­
на. Тогда
Г о = ( 9 , М 0 - 28)-(3 -1 0 10)2 эрг =
= 8,2 - 10"7 эрг =
8.2-10-7
1,6 -Ю- 12 Эв ~
= 5 , 1 1 0 5 зб==0,51 Мэе.
Следовательно, кинетическая энергия эл е к т ­
рона, равн ая 3 М эе, почти в 6 раз больше
его энергии покоя. П о л н ая энергия электро­
на Ш7 равна сумме энергии покоя и кинети­
ческой энергии. Следовательно, она равна
Г = 7 т 0с2.
Согласно формуле (5.10),
масса электрона равна
релятивистская
Если теперь вместо № подставить величину
7 т 0с2, то мы получим
1тпсг
-
т = —^ — , или т = /т о 282
§ 6. Циклотрон
Д В И Ж Е Н И Е П О К РУ ГУ М О Ж Е Т О К АЗАТЬСЯ
ВЫ ГОДНЫ М
Н а стр. 245 мы говорили, что с помощью
однородного магнитного поля пучок з а р я ­
М агни тны е
силовы е
линии
обо зн ачен ы
женных частиц мож но заставит ь двигаться
красны м и стр ел кам и ; О -образн ы е э л е к т р о ­
д ы и зо б р а ж ен ы сплош ны м и черны ми л и н и ­
по окружности. В циклотроне это однород­
ям и. Тонким черны м п унктиром п о казан ы
ное магнитное поле создается большим э л е к ­
полю са циклотрон ного м агн ита. Ж и рны й
пунктир (сп и р а л ьн ая л ин и я) п о к азы в ае т
тромагнитом. Кроме того, циклотрон устро ­
п уть протонов, н ач и н аю щ и х д в и га т ь с я из
ц ен тр а.
ен таким образом, что после каж д ой
полуокружности з а ­
ряж енны е
частицы
Генератор
переменной)-ч
п
роходят
через
элек­
напряжения
трическое поле. И
Верхний
если это поле имеет
ПОЛЮС
п
одходящ ее н а п р а в ­
магнита
ление, то частицы ус­
Д-образный
В-образный
коряются. На фиг. 187
электрод X
электрод
показано, что э л е к т­
рическое поле со­
зд ается меж ду д в у ­
мя полыми э л е к т­
родами Э-образной
формы. К этим э л е к ­
тродам
приложено
полюс
__переменное
напря­
жение, которое м еня­
ет нап равлен ие в с я ­
кий раз, когда частица д ел ает пол-обаротаБ л а г о д а р я этому электрическое поле всегда
направлено так, что ускоряет частицы. О д н а ­
ко эту идею нельзя было бы осуществить,
если бы частицы с разными энергиями имели
разные периоды обращ ения. С помощью ф о р ­
мулы (8.11) мож но показать, что период об ­
ращ ения не зависит от энергии частицы или
радиуса ее круговой орбиты. Из этой ф ор ­
мулы следует, что радиус орбиты
Фиг. 187. С хем а
трона.
устрой ства
цикло­
Вместо V в это соотношение можно п одста­
вить величину 2пЩ Т [см. (2.16)]. Тогда
Фиг. 188. Т ак ш ло разв и ти е
ци клотронов.
техники
В в е р х у — ваку у м н ы е к ам ер ы п ервого ц и к­
л о тр о н а;
в н и з у — один
из
крупнейш их
соврем енны х син хроци клотронов (Б ер кл и ,
СШ А ),
или
Т -
(9 .5)
т. е. период не зависит от # и у.
Синхроциклотрон
Н а самом деле период Т [определяемый
формулой (9.5)], не зависит от V только при
скоростях частиц, малы х по сравнению со
скоростью света. Это связано с тем, что по
мере роста скорости увеличивается масса
частиц:
По этой причине обычные циклотроны могут
ускорять протоны только до энергий п ри м ер­
но 20 М эе. Но если по мере возрастания
релятивистской массы частиц увеличивать
и период Т ускоряющего напряж ения, то не
будет предела (кроме размеров магнита)
достижимой энергии. Циклотрон, у которого
по мере ускорения изменяется период Т,
н азы вается синхроциклотроном (или ф а з о ­
троном) .
П рим ер. Магнитное поле синхроциклотрона с о ­
ставляет 18 000 гс. Какова будет частота колебаний
ускоряю щ его напряжения, если скорость протонов
равна о = 0,01 с и ч = 0,6 с?
Подставим в (9.5) значения М р = 1,67 • 10~24 г и
В = 1,8 • 104 гс. Тогда
2п • 1 ,6 7 • 1 0 '24 • 3 • 101»
4 ,8 • 10-1(> ■1,8 • 104
сек’
Т = 3 ,6 4 • 10"8 с е к ,
или
/ =
Вопрос 2. Протонный циклотрон пере­
страивается для ускорения
ядер ге­
лия. Увеличится или уменьшится час­
тота ускоряю щ его напряжения и во
сколько раз?
—уг- — 2 7 ,5 М г ц .
Если скорость равна 0,6 с, то м ассу протона на­
до вычислить по формуле (3.6) •
М„ =
1,67 • 10“ **
- :............= 1,25 ■1,67 • 10~24 г.
1^1 — (0 ,6)2
285
.1
‘
■
■■
«■
*
! * си з* с Г о *
Фиг. 189. Э лектронны й синхротрон в
К орнелле перед устан овк ой в а к у у м ­
ной кам еры .
С права
видны
уско р яю щ и е эл ектр о ды .
М ы видим , что м ас с а протона в о зр о с л а на 25 % С ле­
д о в а те л ьн о , период Т т а к ж е д о л ж е н в озрасти на 25%
[см. ф о р м у л у (9.5)]. К и н ети ческая эн ерги я так о го про­
тона с о ст а в л я е т 25% от его эн ергии покоя, или 25%
от 938 М эе, т. е. 234 М эе.
Н а фиг. 188 вверху п о к аза н а вакуум ная
кам ер а первого циклотрона, построенного
в 1930 г. Э. Лоуренсом и М. Ливингстоном.
Внизу показан гигантский синхроциклотрон
в Беркли (С Ш А ), т а к ж е построенныйЭ. Л о ­
уренсом; он вступил в строй сразу ж е после
конца второй мировой войны. После некото­
рых усовершенствований он мож ет ускорять
протоны до энергии 730 М эе.
§ 7. Ускорители частиц высоких
энергий
П РЕД ЕЛ А ЕЩ Е Н Е ВИД НО
Фиг. 190. П у л ь т о в а я советского синх­
р о ф а зо тр о н а на 10 Г эв,
Б л а г о д а р я достижениям в области р а з ­
вития техники ускорителей зар яж ен н ы х ч ас­
тиц удалось достигнуть ещ е больших энер­
гий, используя значительно менее массивные
магниты,
чем
у
синхроциклотрона
в
Беркли. Основная идея заклю чается в том,
что магнит сооруж ается только в той области,
где проходит
внешняя орбита частиц.
Вместо циклотронной вакуумной камеры
для частиц в них используется вакуум ная
кам ер а в форме баранки, В таком ускорите­
ле, т а к ж е как и в циклотроне, частицы у с­
коряются, проходя через область, где имеется
электрическое поле. В то ж е время напряженность магнитного поля д о лж н а у в ел и ­
чиваться пропорционально росту импульса
частиц; тогда в соответствии с (8. 11) радиус
круговой орбиты останется неизменным. Ус­
корители такого типа назы ваю тся син хро­
тронами. Н а фиг. 189 п оказан кольцевой
магнит электронного синхротрона в К орнел­
ле. К ольцевая вакуу м ная кам ера имеет
эллиптическое поперечное сечение размером
1 ,4 x 3 дю йм и располож ена внутри магнита.
Величины Я и В Макс у синхротрона в К ор­
нелле таковы, что электроны могут ускорять287
Фиг. 191. В ид с в о зд у х а на с т р о ­
и тельство Б р укхэй вен ск ого п ротон ­
ного синхротрона на 30 Гэв.
М агни т дли ной в п олм или н ах о ди тся
кольц евом подзем н ом туннеле.
в
Фиг. 192. В нутренний вид подзем н ого
тун н ел я Б р ук хэй вен ского протонного
синхротрон а на 30 Г эв перед м о н т а ­
ж ом м агни та,
В о тсеке слева
тонов.
н ах о д и тся и нж ектор п ро­
ся в нем до энергий 2,4 Г эв (м ил л иар д э л е к т ­
рон-вольт) .
Зн ач и тел ьн ая часть работ по изучению
новых элементарны х частиц бы ла выполнена
на протонном синхротроне (его назвал и
Космотроном) с энергией 3 Г эв в Брукхэйвенской национальной лаборатории, а т ак ж е
на протонном синхротроне с энергией 6,2 Гэв
в Беркли (названном Беватроном ) *>. Беватрон показан на фиг. 328 (стр. 517). Такого
ж е типа синхротрон на энергию 10 Гэв
построен под Москвой, в Д убне. Ч асть п уль­
та управления этой громадной машины по­
к а зан а на фиг. 190.
Один из наиболее современных синхро­
тронов на высокие энергии находится в
Брукхэйвенской национальной лаборатори и
(С Ш А ). К ак видно из фиг. 191 и 192, он со­
ставл яет в д иам етре 840 фут и мож ет уск о­
рять протоны до энергий п орядка 30 Гэв.
Подобный ж е ускоритель имеется в м е ж д у ­
народной лаборатории Ц Е Р Н а в Ж ен еве
(Ш в ей ц ари я ). В 1967 г. в Советском Союзе
вступил в строй ускоритель, энергия которо­
го примерно в 2 раза больше.
В С Ш А начато строительство протонного
ускорителя на энергию 200 Г эв и изучается
возможность создания еще большего уск ор и ­
теля на 1000 Г э в 2\
до
П рим ер. К а к о в д о л ж ен бы ть д и ам е тр протонного
син хротрон а на энергию 30 Г э в , если В Макс = 8 0 0 0 гс?
С огласн о ф о р м у л е (8.11),
Мне
(9 -6 )
С н ач ал а по ф о р м у л е № = М с г най дем р еляти ви стскую
м ассу протонов с кинетической эн ергией 30 Г э в . П о л ­
н ая эн ерги я Г протона с кинетической энергией
30 Г э в р а в н а 30 Г э в плюс эн ер ги я покоя 938 М э е , или
О твет 2. С огласно (9 .5 ), период о б р а ­
щ ения п роп орц и он ал ен
отнош ению
массы к за р я д у , кото р о е д л я яд ер ге­
ли я в д в а р а за больш е, чем д л я про­
тонов. С л ед о в ател ь н о , частота б уд ет
1/г частоты в сл у ч ае ускорени я п р о ­
тонов.
10— 176
■> В протонном синхротроне, в отличие от э л е к т ­
ронного, в процессе ускорени я и зм ен яется пери од у с­
коряю щ его н а п р я ж ен и я . П о это м у эти ускори тели п р а ­
вильн ее н а зы в а т ь си н х р о ф а зо т р о н а м и , т. е. о б ъ е д и ­
няю щ им и в себе особенности си н хротрон а и ф а з о т р о ­
н а .— П рим . ред.
2) В С С С Р т а к ж е р а зр а б о т а н проект у скори тел я
на энергию до 1000 Г эв. В так ом ускори тел е д в и ж е н и ­
ем частиц д о л ж н ы б у д у т у п р а в л я т ь эл ек трон н о-в ы ч и ­
сли тельны е м аш ины . П оэтом у его со зд а те л и н а зв а л и
этот у скори тел ь кибернети ческим .— П рим . ред.
289
всего 30,938 Г эв . О тсю да
3 0 ,9 3 8 Гэв
М = -------- -з--------- = 5 ,5 ■ 10-
Э то значение М н ад о теперь п од став и ть в ф орм ул у
(9 .6 ). К ром е того, в к ач естве скорости V под стави м
величину с = 3 - 1 0 10 см /сек, п оскольку так и е край н е
р еляти ви стски е протоны д в и ж у т с я почти со с к о р о ­
стью света. Т огда из (9.6) получится р ади ус орбиты :
(5 ,5 • 10"23)(3 • Ю10)2
(4,8 ■ 10"10) (8 • 103) = !.2 9 • Ю4 с.и =
= 390 ф ут = 129 м .
Ясно, что нет предела той энергии, кото­
рой можно достигнуть на синхротроне, если
не учитывать, конечно, ограниченных р а з ­
меров Земли. Читатель лучш е поймет, для
чего нужны такие ускорители частиц высо­
ких энергий, когда познакомится с гл. 15 и 16.
Без этих ускорителей было бы невозможно
изучить основные свойства и законы в заи м о ­
действия элементарны х частиц вещества.
В самом деле, некоторые элементарны е ч ас­
тицы были открыты с помощью ускорителей
частиц высоких энергий. И именно на этих
ф ундаментальных свойствах элементарных
частиц в конечном счете основана вся фи зи ­
ческая наука.
Задачи
1. Ч то происходит с сопроти влением м етал л а (у в е ­
л и ч и вается, ум ен ьш ается, о с та ет ся преж н и м ) при
увеличении длин ы свободного пробега электрон ов
проводи м ости?
2. Э л ек три ч еск ая плитка в ы д е л яе т больш е теп л а, чем
эл ек три ческая л ам п о ч к а, если их соединить п а р а л ­
лельно. У кого из них больш ее сопротивление?
3. Н а п р яж ен н о с ть электри ческого поля м ож но в ы р а ­
зи ть в в/см . Ч ем у р а в н а н а п р яж ен н о сть поля Е = 1 в/см
в д и н /С 0 5 Е (< 3 )?
4. Р а д и у с кривизны м агни та действую щ его К орнеллского эл ектрон ного синхротрона равен 10 м. М а к си ­
м ал ь н а я эн ергия 2,4 Г эв соотв етств ует н а п ряж ен н ости
м агни тного поля 8000 гс. С троящ и й ся К орнеллский
электрон ны й синхротрон на энергию 10 Г эв будет
обесп ечивать эту энергию при величине н а п р я ж е н н о ­
сти м агнитного п ол я 3000 гс.
290
Фиг. 193. К з а д а ч е 9.
К а к о в д и ам етр нового К орн ел л ского синхротрона?
Во сколько р аз увели чится м асса эл ектрон ов при
ускорении их из состоян и я пбкоя д о энергии
10 Гэе?,
5. К а к а я из следую щ их единиц п отен циала яв л я ет ся
неправильной : э р г /С С 5 Е (С}), С С & Е ( V ) , д ж /а -с е к ,
д ин ■см/С О З Е (0>) или С О З Е ( Я ) /с м 2?
6. Р ас ст о ян и е м еж д у д в у м я п ар ал л ел ьн ы м и п л а сти ­
нам и 3 см. Н а п р яж ен н о с ть электри ческого п ол я м е ж ­
д у ними 20 д и н /С О З Е («Э).
Ч ем у р а в н а р азн ость потен циал ов м еж д у п л а с т и ­
нами?
7. К а к а я частота горизонтал ьной р азв ер тк и в а м е р и ­
кан ском телеви дении?
8. Р ад и оп ри ем н и к с частотной м одуляци ей п р и н и м а­
ет р ад и оси гн ал ы в 1 м к в (10~ 6 в) и уси л и в ает их до
10 в т р ех к а ск а д н ы м усилителем с идентичны ми к а с ­
кад ам и .
Ч ем у равен коэф ф ициент усиления к а ж д о г о
каскад а?
Фиг. 194. К за д а ч е 10:
9. Ток, п отребляем ы й «черны м ящ и ком » (фиг. 193),
равен 0,5 а.
Ч ем у равен потен циал в точке А ? Ч ем у р авн о с о ­
противлен ие «черного ящ и к а»?
10. Ч ем у р авн о сопроти вление цепи м еж д у клемм а*
ми А и В на фиг. 194?
Фиг. 195. К за д а ч е 11.
11. Е сли # = 1 2 ом, то чему р авн о полное с о п р о ти в ­
ление цепи м еж д у к л ем м ам и А и В на фиг. 195?
Ч ем у б у д ет равн о это сопроти вление в слу ч ае раз*
С ры ва в точке С?
Г
I о—\АД—
гА А / У ^ —<\М/
Фиг. 196. К за д а ч е 12.
Г
-г
10*
\ААЛ
12ом
I—м/'/— |
1—
АА
—
учА
\Л
ЛЛ
^---- пт
6 ом
3 ол
б
ом
гЛ\\*
I----1—
\АЛЛ
мл/—
6 ом
: 6 ом
-о В
'12. Б а т а р е я на 6 в подклю чена к цепи с полны м со­
противлением 12 ом (фиг. 196).
а) Ч ем у равен потен циал клем м ы А?
б) Е сли р азо м к н у ть цепь в точке, у к азан н о й
стрелкой , каки м будет т о гд а потен циал к л ем ­
мы А ?
291
Фиг. 197. К з а д а ч е 13.
13. Э лектроны ускоряю тся н а п р яж ен и ем с ген е р а то ­
ра В ан д е Г р а а ф а , равн ы м 2 - 10е в.
а) Ч ем у р а в н а эн ергия ускоренны х эл ектрон ов
в М эе?
б) Э лектроны в в о д ятся за те м в синхротрон и
Высокочастотный
соверш аю т 104 оборотов. Е сли вы сокочастотрезонатор
нь'й р езон атор о бесп еч и вает ускоряю щ ее по­
ле 100 в/см на отр езк е 10 см, то чему будет
р авн а конечная эн ерги я эл ектрон ного пучка
в М эе?
Ф и г.
198. К з а д а ч е 14.
зд
Ф и г . 199. К з а д а ч е 15.
1 = гА
.14. К клем м е А при лож ено перем енное н а п р яж ен и е
(ф иг. 198). Н ач ер ти те кри вую н а п р я ж ен и я на клем ме В к ак ф ункц ию времени.
15. Ч ерез ци линдрическое сопроти вление сечением
А = 2 см2 и длин ой 1*=8 см течет ток
(фиг. 199);
плотность то к а 1 = 3 а/см 2 при н ап р яж ен н о сти эл е к т ­
рического поля Е= 6 в/см ; Е постоян но в нутри соп ро­
тивлени я.
а) Ч ем у р авн о сопроти вление Я в ом?
б) Э л ек троп роводн ость м ет а л л а а=1/Е, где I —
плотность тока в а /см 2. О н а не за в и си т от
ф орм ы или силы то ка в м еталл е. В ы р ази те
сопроти вление Я через а, А и I .
€
Ф и г . 200. К за д а ч е 16.
16. К аким д о л ж н о бы ть сопроти вление X (в ы р а ж е н ­
ное через Я ь Яг и Яз на фиг. 20 0 ), чтобы через при­
бор О не тек ток?
Я» 1| ^2
II---Ф и г. 201. К з а д а ч е 17.
17. Р а ссм отри м схем у (фиг. 201),
противлен ия и и д еал ьн ы е ди оды .
а) Ч ем у р а в н а
292
сила
т о ка ,
со д ер ж а щ у ю
со;
протекаю щ его через
Фиг. 202. К з а д а ч е 18.
Пучон пионов
<—720см ^Ь ^
Магнит
/
/
/
з!°
/
/
30°/
/
/
/
18. В опы те, проводи м ом на протонном синхротроне
в Б рук хэй вен е, т р еб о в ал о сь о ткл он и ть на угол 30°
пучок пионов с энергией 1 Г э в . Э то бы ло с д ел а н о с
помощ ью м агн и та с р а зм ер о м полю сов 120X 120 см.
Вне полю сов В = 0 , м еж д у п олю сам и поле В п остоян ­
но. Д л я к а ж д о г о пиона в пучке Р с = 1 Г э в =
= 1,6• 10—3 эрг. С л ед ов ател ьн о, Р = 1,6 -1 0 "3/3 - 1 0 |0=
= 5 ,3 3 ■ 10~14 г -с м /с е к (фиг. 20 2 ). Н ай д и те:
а) р ад и у с кривизны т р ае к то р и и пионов в м а г ­
нитном поле;
б) величину н ап р яж ен н о сти п оля В (в г а у с с а х ),
необходи м ую д л я о ткл он ен и я пучка.
19. Ч а с то т а электри ческого пол я, у скоряю щ его п ро­
тоны в м ал ен ьком ц и клотроне с постоянны м полем Вг
р авн а 107 гц.
а ) К а к а я ч а сто та т р еб у е тся д л я у скорен и я д е й ­
трон ов ( М в = 2 М в , 2 в = 1)?
б) К а к а я ч а сто та тр еб у ется д л я ускорен и я одноза р я д н ы х ионов гелия Н е+ ( М не = 4 М н ) ?
в) К а к а я частота т р еб у е тся д л я ускорен и я д в а ж ­
ды ион изован ны х ионов гелия Н е + + ? (Э то
голы е я д р а гелия, они н а зы в аю т ся т а к ж е
а-ч а ст и ц а м и .)
Фиг. 203. К з а д а ч е 20.
20. В м асс-сп ектром етре ион изован ны й атом с з а р я ­
дом е, м ассой М и скоростью ч д в и ж е т с я по о к р у ж ­
ности в одн ородн ом м агни тном поле В (ф иг. 203).
К а к в ы р а ж а е т с я м асса иона М через величины е, V,
с, В и О (д и ам етр о к р у ж н о ст и )?
Пучок
ионов
Область
нулевого
магнитного
поля
Область
однородного
магнитного
поля/
ГЛАВА
10
ВОЛНЫ
И
СВЕТ
ВОЛНЫ И СВЕТ
§ 1. Электромагнитные волны
К О Л Е Б А Н И Я Е И В В П Р О С Т Р А Н С Т В Е И В РЕ М Е Н И
В этой главе мы продолжим рассмотре­
ние вопроса, который о б суж д ал ся в конце
гл. 8 . В § 9 гл. 8 было показано, что любое
периодическое движение зар я д о в приводит
к излучению электромагнитной волны той ж е
частоты. Там ж е говорилось, что электро ­
магнитная волна представляет собой в за и м ­
но перпендикулярные электрическое и м а г ­
нитное поля и распространяется в н а п р а в л е ­
нии, перпендикулярном Е и В, со скоростью
с = 3 - Ш 10 см/сек. Кроме того, ам плитуда
напряженности электрического поля д о л ж н а
быть равна амплитуде напряженности м а г ­
нитного поля.
Фиг. 204. В е р ти к а л ьн а я антенна.
П о к а за н ы силовы е линии и А ^ ч а е м о го м а г­
нитного поля.
П р и м е р 1. П е р е д а ю щ а я
ан тен н а р ади остан ц и и
с м он ти рован а верти кал ьн о. Н а расстоян и и 10 км к с е ­
веру от антенны ам п л и ту д а н ап р яж ен н о сти эл е к тр и ­
ческого поля р а в н а 10_3 е/см . К ак овы величина а м ­
плитуды н ап р яж ен н о сти (в г ау с са х ) и н ап рав лен и е
излуч аем ого м агни тного поля?
П о п рави л у правой руки м агни тны е силовы е л и ­
нии п р е д с та в л яю т собой зам кн у ты е концентрические
ок руж н ости в о к р у г тока в антенне. И з фиг. 204 в и д ­
но, что на севере от антенны м агни тны е силовы е л и ­
нии н ап р ав л ен ы с востока на за п а д . В еличина В
(в гс) р авн а величине Е (в эл.-стат. ед.):
10~3 в /с м =
10-3
” 300“ - С 0 5 Е ( К ) / с л =
Верх
Приемник
Передатчик—~
—*о
= 3 ,3 3 • 10_в С О З Е (У )/с м .
С л ед овател ьн о, В = 3 ,3 3 - 1 0 _6 гс.
Д л и н а волны
Ф иг. 205. И зм енение во времени эл е к ­
трического поля в некоторой ф икси­
рован н ой точке п ростран ства.
296
Если начертить на граф ике зависимость
силы тока в передающей антенне от времени,
то обычно она будет иметь вид синусоидаль­
ной волны (к ак на фиг. 205). В произвольной
фиксированной точке пространства зав и си ­
мость от времени величины Е д олж н а иметь
такой ж е вид, как на фиг. 205. Периодом Т
назы вается промеж уток времени между
двумя последовательными колебаниями. Но
напряженность электрического поля Е ко­
леблется не только во времени, но и в про-
Фиг. 206. И зм ен ен и е электри ческого
ноля вдол ь н ап р ав л ен и я р а сп р о с т р а ­
нения волны в зад а н н ы й мом ент в р е­
мени.
странстве, а именно в данный момент в ре­
мени величина напряж енности электри че­
ского поля меняется вдоль нап равл ен ия р ас­
пространения волны так, ка к п оказано на
фиг. 206. К ри в ая зависимости Е от г (р а с­
стояние до антенны) т а к ж е представляет
собой синусоидальную волну. Д линой в о л ­
ны к н азы вается расстояние м еж д у двум я
последовательными колебаниями.
Общее
свойство волнового движения, будь то э л е к ­
тромагнитные волны, волны на поверхности
воды или звуковые волны, состоит в том, что
расстояние, на которое распространяется
волна за 1 сек, равно длине волны (А), у м ­
ноженной на число колебаний, соверш аемых
з а 1 сек (частота / ) . Т аким образом,
X/ = Расстояние, пройденное
волной за 1 сек.
Но расстояние, проходимое за 1 сек ,— это
скорость распространения волны V . С л е д о в а ­
тельно,
X/ = V (скорость распространения
волны).
(Ю .1)
Д л я электромагнитных волн
X/ = с.
( 10.2)
П р и м е р 2. П ол оса частот р ади остан ц и й С Ш А с
частотной м одуляци ей р а сп о л о ж ен а в окрестности
100 М гц. К ак ой д о л ж н а бы ть д л и н а антенны д л я при е­
ма так и х станци й, если к а ж д о е плечо антенн ы д о л ж ­
но с о ст ав л я т ь четверть длин ы волны ?
И з (10.2) находим
с
3 • 10»
/ = 100 • 10е =
X
см’
= 75 см.
С л ед о в ател ь н о , к а ж д о е плечо антенны д о л ж н о им еть
д л и н у 75 см.
Период колебаний Т св язан с частотой [
простой формулой
Вопрос 1. С к олько длин волн и зо б р а ­
ж ен о на фиг. 206?
Эту формулу легко получить, написав число
колебаний N за время /: N = {/1, С ледова297
тельно, число колебаний в единицу времени,
равное по определению частоте колебаний,
есть N /{ = 1 /1 . Эта величина измеряется
в сект1. Одно колебание в 1 сек сокращенно
обозначается 1 гц (1 ге р ц ), а 106 колебаний
в 1 сек обозначается 1 М гц.
§ 2. Электромагнитный спектр
ВСЕ В И Д Ы СВЕТА
Фиг. 207.
10ч
10ь
Электромагнитные волны в принципе мо^
гут иметь любую частоту от нуля до беско-.
нечно большой. К лассиф и каци я электромаГ’
нитных волн
по частотам
н азы вается
спектром электромагнитных волн. Такой
электромагнитный
спектр
показан
на
фиг. 207. Электромагнитны е волны с очень
низкими частотами (всего несколько герц)
не имеют практического значения и поэтому
генерируются сравнительно редко. Н е и з­
бежно, однако, излучение электромагнитных
волн линиями электропередач переменного
тока (обычно с частотой 60 г ц ) . Это излуче*
ние рассматривается ка к потеря энергии, но
эти потери чрезвычайно малы по сравнению
с потерями, обусловленными наличием со­
противления линий 12Я.
Электромагнитные волны с частотой, пре­
выш ающей несколько тысяч герц, н азы ваю т
радиоволнам и. Ш ироковещ ательная полоса
частот леж и т в окрестности 1 М гц. Телеви­
зионная полоса (видеочастоты) начинается
примерно при 50 М гц. З а тем идут УВЧ
(ультравысокие частоты ), за которыми сл е­
дуют С В Ч (сверхвысокие частоты).
Электромагнитные волны с самыми высо­
кими частотами, излучаемые электронными
Э л ектром агнитны й спектр.
генераторами, н азы ваю тся м икроволнам и,
Г, гц
г,го
г.12
ю '■ 10м ЮК 1016 ю '7 Ю1‘ 10
10ь 10'
Ю8 10*
Ю‘и 10" 10
н— ‘г-I4 Коротко: К /
М икр о во лн о вы й
Ш ироко-! Ц
=
^ пазон
Эиапаз° Н
вдеи ^ т з т ЬНЬ'и
видеочастот
------------------------- Радиоволны-------------------------- -
298
Инфракрасный
диапазон
Красный-
Ультрафиолетовый
диапазон
—Ф иолетовый
Видимый
свет
у-излучение
Рентгеновское
излучение
И х длина волны составляет всего несколько
сантиметров или д а ж е миллиметров.
Электромагнитны е волны с еще более
высокими частотами могут излучаться моле­
кулярными и атомными генераторами. Н а ­
пример, если нагреть газообразны й водород
до достаточно высокой температуры, то оба
атом а в молекуле водорода начинаю т по су­
ществу соверш ать простые гармонические
колебания друг относительно друга и испу­
скаю т электромагнитное излучение той же
частоты. Эту частоту мож но вычислить из
данных, приведенных на стр. 94 в примере 2
(гл. 3). Ответ таков: / = 4 , 9 - 1013 гц. Если об ­
ратиться к электромагнитному спектру на
фиг. 207, то видно, что т а к а я частота соот­
ветствует инф ракрасном у излучению. Э л ект­
ромагнитное излучение в диапазоне частот
от 4 , 3 - 1014 до 7 • 10й гц л еж и т в области чув­
ствительности человеческого гл аза; это види­
мый свет. Н аиболее низкие частоты этого
д и ап азо н а соответствуют красному свету,
наиболее высокие — фиолетовому. Э л ектро ­
магнитные волны с еще более высокими ч ас­
тотами невидимы человеческим глазом и на*
зы ваю тся ультрафиолетовым излучением .
Д и а п а зо н ультраф иолетовы х частот про­
стирается вплоть до 5 - 1 0 17 гц. Н ачи ная с
этих частот и кончая частотами 1019 гц леж ит
область рентгеновского излучения. Э л ектро ­
магнитное излучение с ещ е более высокими
частотами н азы вается гам м а-излучением .
Гамма-излучение, имеющее самую высо*
кую из н аблю давш ихся когда-либо энер­
гий, встречается в космических лучах. О б ­
разование рентгеновского и гам м а-и зл уче­
ний будет обсуж даться в гл. 12, 13 и 15.
§ 3. Интерференция
О ТРИЦАТЕЛЬНОЕ
О твет
1. Две.
В С Т РЕ Ч А ЕТ С Я
С ПОЛОЖ ИТЕЛЬНЫ М
Мы изучим общие свойства волнового
д вижения на примере натянутой струны,
поскольку волны вдоль такой струны значительно нагляднее невидимых электромагнит299
ных волн. Скорость распространения волны
вдоль струны V зависит только от силы н а т я ­
жения струны Т и массы единицы длины
струны .
Она в ы р аж ается через эти вели­
чины формулой
Скорость распрост ранения в о л н ы
в д о ль струны
(10.3)
Р
В системе С 0 5 величина Т измеряется в
динах, а р — в г/см. Эту формулу проще
всего вывести, если использовать систему от­
счета, д виж ущ ую ся вдоль струны вместе с
волной. Н абл ю д ател ю в этой системе отсче­
та волна будет казаться неподвижной, а
струна будет перемещ аться в противопо­
ложную сторону со скоростью V. Гребень
волны с точки зрения такого н аблю дателя
будет выглядеть таким, ка к показано на
фиг. 208. Участок струны длиной I будет пе­
ремещ аться со скоростью волны V налево по
кривой с радиусом кривизны 7?. Р езул ьти ру ­
ющую силу Р, действующую на этот участок
струны, мож но найти, ск л а д ы в ая векторы Т\
и Г 2, как показано на фиг. 208, б. Согласно,
второму закону Ньютона,
Р = М -а ,
Фиг. 208. Э л ем ен т струны с
@/ (гребень в о л н ы ).
массой
где М = ^^ — масса рассм атриваем ого участ­
ка струны. Ускорение этой массы а пред став­
ляет собой центростремительное ускорение,
т. е. а = V2|Я. Таким образом,
а — то, что ви д и т н аб л ю д ат е л ь, д в и ж у ­
щ и й ся вд о ль струны с той ж е скоростью ,
что и волн а; б — т р еу го л ьн и к сил, д е й с т ­
вую щ их на эл ем ен т струны .
С т руна
(10.4)
Заметьте, что, если I мало, треугольник
сил на фиг. 208, б подобен треугольнику на
фиг. 208, а. Следовательно,
Р
Т
Я
и
а
300
Р= —
Т
Р
Г
Фиг. 209. Д в а в стречаю щ и хся им пульса оди наковой
полярности, д в и ж у щ и х ся н а встреч у д р у г д р у гу по н а ­
тян утой струне.
а — в о б л асти интерф ерен ци и волн а, д в и ж у щ а я с я н а л е в о , по­
к а з а н а ш триховой лин и ей , а вол н а, д в и ж у щ а я с я н ап р а в о , —
п унктирной линией; б — ф о т о гр а ф и я двух т а к и х в с т р е ч а ­
ю щ ихся импульсов.
с= / Г
Ф иг. 210. Д в а им пульса проти воп ол ож н ой пол ярности,
дв и ж у щ и х ся
н а в стр еч у д р у г д ругу по н атян утой
струне.
а — в обл асти интерф ерен ци и они ком пенсирую т д р у г д руга:
б — ф о т о гр а ф и я двух т а к и х встречаю щ и хся и м п ул ьсов п ро ти ­
воп олож ной полярности.
Фиг. 211. П осл ед о вател ьн ы е по вре­
мени картины расп р о стр ан ен и я двух
синусоидальны х волн с проти воп о­
л ож н ы х концов струны .
Если бы по струне р а с п р о с тр а н я л а с ь т о л ь ­
ко одн а с и н у с о и д а л ьн ая волна в левую
Сторону, то она и м ела бы тако й вид, как
к р а с н а я кр и вая. П осле того к а к син усои ­
д ал ьн ы е волны встр етятся, точки струны
Л и С все вр ем я ' о стаю тся неп одви ж ны м и .
Т аки е точки н азы ва ю т с я у злам и .
Подставив это вы раж ен и е в левую
(10.4), получим
/
гр _
Я
АН
\ Л
^
\С
\ У
Фиг. 212. Ч еты ре возм ож н ы е стоячие
волны на струне длин ой
за к р е п ­
ленной с обоих концов.
Д вой ны е линии
п о к азы в аю т
полож ен ие
струны в м ом ент ее м акси м ал ьн о го с м ещ е­
ния. О б л асть. в которой д в и ж е тс я струна,
за ш т р и х о ва н а .
/У= 1
302
N=2
. V2
р
К ’
Т = ро 2
V =
/\ /^ Ч /\
часть
V -
что и требовалось доказать.
Если струну быстро дернуть за один ко­
нец (наподобие щелчка хлыстом), то вдоль
струны со скоростью V побежит одиночный
импульс. Предположим, что в тот ж е самый
момент кто-то создал импульс и на другом
конце струны. Что будет, когда эти д ва им­
пульса встретятся посредине струны? Оба
импульса пройдут «друг через друга» и
будут продол ж ать двигаться каж д ы й в сво­
ем направлении, как показано на фиг. 209 и
210 (стр. 301). Эта независимость движения
волн н азы вается принципом суперпозиции.
Согласно этому принципу, ам плитуда ре­
зультирующей волны равна сумме амплитуд
отдельных волн. Этот принцип есть простое
следствие того, что результирующие см ещ е­
ния, ускорения и силы равны суммам о тд ел ь­
ных смещений, ускорений и сил. Принцип
суперпозиции следует применять т а к ж е и к
электромагнитным волнам, поскольку ре­
зультирую щие электрические и магнитные
поля равны суммам
отдельных
полей.
Из фиг. 210 можно видеть, что если волны
имеют противоположные знаки, то при
встрече они компенсируют друг друга. К о м ­
пенсируют друг друга не только импульсы,
но и непрерывные синусоидальные волны.
Н а фиг. 211 показаны в последовательные
моменты времени две синусоидальные вол ­
ны, движ ущ иеся с противоположных концов
струны и встречающ иеся друг с другом.
Н адо заметить, что после того, как обе
волны встретятся и н ал о ж атс я друг на
Ф исг. 213. Ф отограф и я с тояч и х волн на струне.
По мере увели чени я
волн ум ен ьш ается.
н а т я ж ен и я
струны
чи сл о
стоячих
Фиг. 214. М и к ровол н овы й генератор
и зл у ч ае т эл ек тр о м агн и тн ы е волны .
В олны р асп р о с тр а н я ю тс я вп р аво и о т р а ж а ­
ю тся о б р атн о . У злы н аб л ю д аю тся в Р\
и Р г.
друга, на струне возникнет стоячая волна
с типичными д ля нее у зл ам и и пучностями.
Точки струны А и С, назы ваем ы е у з л а м и ,
остаются всегда неподвижными. Точка В,
н азы ва ем а я пучностью, колеблется с м а к ­
симальной амплитудой. П ри этом расстояние
м еж д у двум я соседними у зл ам и или пучно­
стями равно половине длины волны.
Если заставить колебаться натянутую
струну, закрепленную на обоих концах, то
возникнут стоячие волны типа изображенных
на фиг. 212 и 213. Волны, в озбуж даем ы е
в струне, будут о т р а ж а т ь с я от ее обоих кон­
цов. О траж ен н ы е волны имеют противопо­
ложную полярность, б л а го д а р я чему уд ов­
летворяется условие об разо в ан ия узлов на
обоих закрепленны х концах.
П р и м е р I. П ри увеличении н а т я ж е н и я струны на
фиг. 213 у в ел и ч и в ается или ум ен ьш ается число у з­
лов?
С огласно (10.3), при этом ув ел и ч и в ается V в
ф ор м ул е X — V|^. С л ед о в ател ь н о , д л и н а волны в о зр а с ­
т ае т, а число у зл о в ум ен ьш ается.
П рим ер 2. С тр у н а ги тар ы им еет д лин у 30 см и
м ассу 100 г. К ак и м д о л ж н о бы ть н а тя ж е н и е струны ,
чтобы она зв у ч а л а к а к «до» средн ей о к тавы (256 гц) ?
И з ф орм улы (10.3) следует, что н а тяж ен и е
Т — ро2,
(10.5),
где 6 = 1 0 0 г/30 сл<=3,33 г/см . Ч тобы найти V, вос­
п о л ьзу ем ся соотнош ением V =
И з фиг. 212 видно,
что д л и н а волны основного тон а с в я за н а с длиной
струны соотнош ен ием А./2= / . , А ,=60 см. Т аким об­
разом ,
V — 60 см ■ 256 гц — 1,5 3 6 • 104 с м /с е к .
П о д ст ав и в это зн ач ени е скорости в уравн ен и е (10.5),
н ай дем величину н а т я ж е н и я струны
Т = 3 ,3 3 (1 ,5 3 6 • 104)2 = 7 ,8 5 • 108 д и н .
Э то довол ьн о б о л ь ш а я сила д л я так о й легкой струны .
П о этом у струны м узы кал ьн ы х ин струм ентов .обы чно
и зготовл яю т из прочны х м еталл и чески х сп л авов.
В опрос 2. П р а в и л ьн о
фиг. 208, б
Р = Т 2 — Т Х?
304
ли,
что
на
В духовых инструментах в качестве
резонатора используется закры ты й или ч а ­
стично зак ры ты й столб воздуха. Стоячие
волны создаю тся в ограниченном объеме
воздуха обычно б ла го д а р я дутью, в ы зы в аю ­
щему изменение плотности. В простейшем
случае замкнутого я щ и к а длиной Ь могут
в о зб у ж д а тьс я стоячие волны того ж е типа,
что и на фиг. 212. Только в этом случае
кривые, и зображ енны е на фиг. 212, будут
описывать смещение молекул воздуха, а не
частиц струны. Общее условие возникнове­
ния стоячих волн гласит, что на длине Ь
д о л ж н о ум ещ аться целое число полуволн
N
= Ь (условие, налагаемое на X (10.6)
д ля возникновения стоячей
волны),
где N — лю бое целое число больше нуля.
П р и м е р 3. М и кровол н овы й ген ератор на фиг. 214
ген ери рует плоскую эл ек тром агн и тн ую волну, к о т о р а я
р а сп р о с т р а н я е т с я в п р ав о и о т р а ж а е т с я н а за д , влево;
Р \ и Р% — п о л о ж ен и я д в у х п осл ед о вател ьн ы х м ини м у­
м ов и н тенсивности, отсто ящ и х д р у г о т д р у га на 5 см.
Н а й д е м ч а с то т у ген ератора.
П о с к о л ьк у д в а п осл ед о вател ьн ы х у зл а о тстоят
д р у г от д р у г а на половину дл и н ы волны , А, = 10 см.
с
3 • 1010
Ч а с т о т а / = - у - • = ------^ ------= 3 • 109 гц = 3000 М г ц .
Волны на поверхности
О твет 2. Н ет,
7 \ + Т 2.
Интерференционны е эффекты могут в о з­
никать не только в одномерной струне, но и в
двухмерной среде. Обычный пример д вух­
мерного волнового д ви ж ени я — это волны
на поверхности воды. Н а фиг. 215 (стр. 306)
п о казаны волны на поверхности воды, в о з­
б у ж д а е м ы е двум я синхронизованными ис­
точниками колебаний. Волны от этих источ­
ников н ал аг аю тс я друг на друга, о б разуя
типичную интерференционную картину. Н а
ф отограф ии видно, что ам плитуда колебаний
р авн а нулю вдоль фиксированных кривых,
н азы ваем ы х ли н и я м и у зл о в . К а к и в случае
натянутой струны, узлы будут возникать в
тех местах, где гребень одной волны в стре­
чается со впадиной другой волны. Ясно, что
это условие выполняется в тех точках, р а з ­
ность расстояний от которых до обоих источ­
ников колебаний равна половине длины во л ­
ны. Если две синусоидальные волны смещены
305
Фиг. 215. И н терф ерен ц и я волн на понерхности воды .
Полны в о зб у ж д а ю тс я
нлнпыми ви бр ато р ам и .
двумя
синхронизо-
Фиг. 216. Д в е синусоидальны е волны ,
сдвинуты е д р у г относи тельно д р у га
на половину длин ы волны .
При лю бом х в о б л а сти п ер екр ы ти я волн
сум м а их а м п л и ту д б у д ет р авн а нулю
друг относительно друга на полволны, то,
как видно из фиг. 216, их сум ма будет р а в ­
на нулю. Если разность расстояний от д а н ­
ной точки до обоих источников колебаний
(так н азы ва ем а я разность хода) равна Л/А,
где N — любое целое число, то волны будут
усиливать друг друга и в этой точке будет
н аблю даться м а кси м ал ь н ая интенсивность
колебаний, или так н азы в а ем а я конструк­
тивная интерференция. Н а фиг. 217 п о к а з а ­
ны линии узлов при интерференции на по­
верхности воды (см. фиг. 215). О бщ ее усло­
вие максимума интенсивностей имеет вид
^ 1 —- ^ ъ — N'к (условие максимума),
(10.7)
а общее условие минимума интенсивности,
или линии узлов, имеет вид
Фиг. 217. Л и н и и у зл ов на фиг. 215.
Т очке Р со о тветству ет
р а в н а я { й \—й 2 ) =42 к-
р а зн о сть
х ода,
0 ,- 0 ,=
(условие
л/ +
( 10.8 )
минимума).
П р и м е р 4. Ч ел о в ек н ах о д и тся на о д и н аковом рас^
стояни и от д в у х ди н ам и ков стереоф он ической систе­
мы вы сокого к ач ес тва и с л у ш а ет чистый м у зы к а л ь ­
ный тон. З а те м он начи н ает д в и г а ть с я в сторон у до
тех пор, пока тон не б уд ет приглуш ен д о м иним ум а.
В этот м ом ент он н ах о д и тся на расстоян ии 10 фут
от л евого ди н ам и к а и 8 фут от п равого д и н ам и к а.
К а к а я частота со ответствует д а н н о м у тону, если ско ­
рость зв у к а р авн а 1100 фут/се!с?
И з ф орм улы (10.8) мы п олучаем условие первого
м иним ум а
^1 -- ^2 = ~9~ X,
причем (/>1— Д 2) = 2 фут. Т аки м об р азо м , Х = 4 фут.
Ч а с то т а колеб ани й о п р ед ел яется по ф орм ул е (10.1):
Фиг. 218. У слови я, при к оторы х в
точке Р н абл ю дается узел.
1100
275 г ц .
-•Р
П р и м е р 5. К ак овы услови я д л я м иним ум а интен*
сивности в точке Р на фиг. 218?
В дан н ом слу ч ае разн о сть х о д а р авн а не И \— Дг,
а разн ости м еж д у йъ + й \ и
+
Эта п ол н ая р а з ­
ность хода
долж на
со ст ав л я т ь
(Л'+1/2)Х или
Сз + ^1— О*—Д г= (Л/ + Уг)Х.
307
§ 4. Интерференционная картина
от двух щелей
Д О К А ЗА Т Е Л Ь С Т В О В О Л Н О В О Й П Р И Р О Д Ы СВЕТА
В 1800 г. господствовала корпускулярная
теория света, р азр а б о т а н н а я И сааком Н ь ю ­
тоном. Том ас Юнг был одним из немногих
ученых того времени, осмелившихся усом ­
ниться в учении Ньютона. Он считал, что
свет, т а к ж е к а к и звук, долж ен п редстав­
л ять собой волны. П ри этом он рассуж д ал
следую щим образом: если это так, то свет
д олж ен д а в а т ь интерференционную картину,
аналогичную картине волн на поверхности
воды, изображ енной на фиг. 215. В качестве
двойного источника Юнг использовал две
узкие щели, освещенные одним источником
света. В 1803 г. он впервые получил на экране ряд интерференционных полос, хотя
ко рп ускулярн ая теория света у тв ерж д ал а,
что на э к ран е долж но быть видно только
и зображ ен и е двух щелей. Знамениты й экс­
перимент Ю нга схематически изображен
на фиг. 219. Н а б л ю д а в ш а я с я на экране ин­
терференционная картин а приведена
на
фиг. 220.
Ц ентры полос совпадаю т с максимумами
интенсивности, которые соответствуют р а з ­
=
Э та разность хода
ности хода ( 0 \ —
А О п редставляет собой одну из сторон м а ­
ленького
прямоугольного
треугольника,
изображ енного на фиг. 219. Условие м акси ­
м ум а интенсивности мож но записать в виде
ДО
N1
а
~ а •
С огласно определению синуса, л ев ая часть
этого в ы р а ж ен и я представляет собой си­
нус 0 маленького прямоугольного треуголь­
ника. Таким образом, условие, определяю ­
щ ее угол 0 , под которым располагается ин­
терференционный максимум, имеет вид
У словие инт ерф еренционны х
м аксим ум ов
51П 0 =
(10.9)
П рим ер. Н а тр и й (или просто с то л о в а я соль) .при
н агр ев ан и и и сп ускает ж ел ты й свет с длиной волны
Х = 5 ,8 9 - 1 0 -5 см. П р ед п о л о ж и м , что это свечение
/!
Фиг. 219. С хем а оп ы та Ю нга с д в у м я
щ ел ям и в сильно увели ченном м ас ­
ш табе.
Р а с ст о я н и е м е ж д у щ ел ям и й обы чно м е н ь­
ше 1 мм , а р ассто я н и е д о э к р а н а до л ж н о
б ы ло бы во много р а з превы сить р а зм е р
этой стран и ц ы .
Фиг. 220. И н тер ф ер ен ц и о н н ая к а р т и ­
на, н а б л ю д а е м а я в опы те Ю нга с
д в у м я щ елям и.
Такая картина получается, если на место
экрана на фиг. 219 поместить фотопленку.
Фотографии соответствуют последователь­
ному уменьшению расстояния между ще­
лями й.
//Щели
Фиг. 221. Р ас п р ед ел е н и е интенсивности на экран е, р а сп о л о ж ен н о м на
расстоян и и 1 м от д в у х щ елей.
Фиг. 222. Р асп р ед ел ен и е ин тен си вн о­
сти света в дан н ы й момент - врем ени
ПО обе стороны д в у х щ елей.
Полны и интерференционная картина рас­
пространяются слева направо.
н атри я проход и т через д в е у зк и е щ ели, н ах о д ящ и еся
на расстоян ии 0,1 м м д р у г от д р у га. Е сли экран р а с ­
полож ен в 1 м от щ ели (фиг. 221), то каки м б уд ет на
экран е р асстоян и е м еж д у интерф еренционны м и пол о­
сам и?
Р ассто ян и е а м е ж д у интерф еренционны м и п о л о с а ­
ми равн о расстоян ию м еж д у ц ентральны м и первы м
м аксим ум ом , соответствую щ им N = 1 . С огласно (10.9),
м аксим ум с N = 1 р а с п о л а га е тс я под углом 0, д л я к о ­
торого
61П0 =
X
5 ,8 9 • 10_б
^ =
0д
10_!
_
= 5 , 8 9 • 10
.
,
0
И з фиг. 221 видно, что
С л ед о в ател ь н о ,
= 5 , 8 9 • 10-3
и
а = 0 ,5 8 9 см.
А
Фиг. 223. У средненное по времени
распределен ие
ин тенсивности света
от д в у х щ елей.
Картина в точности такая же, что и на
фиг. 222, за исключением того, что она
наблюдается на протяжении интервала
времени, большего по сравнению с перио­
дом колебаний.
Интенсивность волны определяется как
энергия, приходящ аяся на единицу объем а
волны. Мы покаж ем, что эта величина про­
порциональна кв ад рату амплитуды волны.
Н а фиг. 222 и зображ ен о распределение
интенсивности света в данный момент в р е­
мени при интерференции от двух щелей.
При этом волны света распространяю тся
слева направо. Распределение в пространст­
ве средней по времени интенсивности света
для этого случая показано на фиг. 223.
Теперь покаж ем, что интенсивность, или
энергия, волны пропорциональна кв ад р ату
ее амплитуды. Рассмотрим сн ачала волну
с м аксимальной амплитудой у 0, бегущую по
струне. Это значит, что любой элемент стру­
ны с массой Ат соверш ает простое гарм он и ­
ческое колебание в перпендикулярном н а ­
правлении с амплитудой у 0. Если период
волны равен Т, то, согласно (3.10), ускоре­
ние элемента
массы А т будет
равно
а = (4 л 2/Т 2)у . Тогда сила, действую щ ая на
элемент массы Ат , будет Р = (4 л 2А т /Т 2)у , а
энергия
элемента
массы
Ат
равна
1/гамаке • Уо, или (2 л 2А т /Т 2) у 02 (емч стр. 138).
Таким образом, мы видим, что интенсивность
311
волны пропорциональна г/о2, т. е. кв ад рату ее
амплитуды.
Теперь покаж ем, что энергия электро ­
магнитной волны пропорциональна к в а д ­
рату амплитуды напряж енности электриче­
ского поля Е. Энергия волны п ропорциональ­
на энергии, в ы деляю щ ей ся в приемной а н ­
тенне длиной I. В свою очередь энергия, в ы ­
д ел яю щ а яс я в антенне в единицу времени,
равна мощности электрического тока V2//?,
где Н — еопротивление проводника. Р а з ­
ность потенциалов на концах проводника V
равна произведению Е на I. С ледовательно,
интенсивность волны пропорциональна в е­
личине (Е1)2/ # или Е 2.
§ 5. Дифракционная решетка
ТРИ И Л И БО Л ЬШ Е Щ Е Л ЕЙ ЛУЧШ Е, ЧЕМ ДВЕ
Д иф ракционную реш етку мож но р ас­
см атривать к а к последовательность двойных
щелей, расположенны х одна за другой. Н а
фиг. 224 схематически п редставлена д и ­
фракционная решетка с расстоянием меж ду
щелями й см.
Пусть вначале на решетку пад ает моно­
хроматический свет с длиной волны X.
Если разности хода на фиг. 224, б соот­
ветственно равны а 1= Ы \, а2= 2Л / \ а3= З N \,
то волны от всех щелей будут усиливать
друг друга и д а в а т ь максимум интенсивно­
сти. С ледовательно, условие максимума ин­
тенсивности имеет вид
а,
_ N X
~Т ~ ~Т ’
или
31П0 =
Вопрос 3. П ри м ени м о ли соотнош е­
ние (10.10) к ин терф еренции на двух
щ елях?
312
(10.10)
В любом другом направлении к а ж д а я по­
следую щ ая волна не будет совпадать по ф а ­
зе с предыдущей волной, и в результате в
этом направлении произойдет почти полное
гашение волн.
Таким образом, из формулы (10.10) сл е­
дует, что каж д ой длине волны А. соответст­
вует определенное нап равлен ие 0 . Д л я голу­
бого света 5Ш 0 будет почти вдвое меньше,
Фиг. 224. Р а зл о ж е н и е пуч ка белого
спета в непреры вны й
спектр
ди­
ф ракционн ой реш еткой (а) и с х ем а ­
тическое
и зо б р аж е н и е
части
ди­
ф ракционн ой реш етки (б ).
чем для красного. Если реш етку осветить
пучком белого света, то на экран е получит­
ся непрерывный спектр. Мы увидим в гл. 13,
что возбуж денны е атомы (получающиеся
либо в электрическом р азряде, либо при н а ­
гревании) излучаю т свет только определен­
ных длин волн. У атомов каж дого сорта или
элемента имеется свой характерны й набор
длин волн, назы ваемы й спектром.
П рим ер. С ам ой интенсивной линией в спектре
н атр и я я в л я е т с я , безусловн о, лини я О. Ей со о тв етст­
вует д л и н а волны 1 = 5 8 9 0 А [1 А (ан гстрем ) равен
10-8 см]. К а к о м у угл у соо тв етств у ет линия О в сп ек т­
ре первого п о р яд ка ( N = 1 ) н а тр и я в случ ае д и ф р а к ­
ционной реш етки с 104 линий на 1 см?
Е сли им еется 104 линий на 1 см, то р асстоян и е
м еж д у щ ел ям и ^ = 1 0 -4 см. П о д с т а в л я я это зн ачени е
в (1 0 .1 0 ), пол уч аем у гол 0:
5890 • 10~8
51п 0 — ------- ------------- = 0 ,5 8 9 .
С пом ощ ью тригон ом етрически х т аб л и ц или .счетной
линейки находи м , что зн ачени ю синуса 0,589 со о т ­
в етств ует угол 36°. С л ед о в ател ь н о , лини я И н а тр и я по­
яви тся под углом 36° по отнош ению норм ал и к р е ­
ш етке.
О твет 3. Д а , см.
(10.9). О д н ак о в
с л у ч ае д и ф р ак ц и и н а одной щ ели
это услови е о т в е ч а е т м иним ум у ин тен ­
сивности (см. з а д а ч у 26 ).
С пектрограф с дифракционной реш ет­
кой, несомненно, п редставляет собой м о щ ­
ное средство д л я изучения строения м а т е­
риалов и химического ан ал и за. Д и ф р а к ­
ционные решетки могут быть выполнены п у­
тем нанесения тонких линий на поверхность
стекла.
313
§ 6. Геометрическая оптика 15
М АТЕМ АТИКА Л У Ч Е Й
Д ли н ы световых волн настолько малы по
сравнению с разм ерам и большинства опти­
ческих приборов, что интерференционные
эффекты в них обычно не проявляются.
Волновой пакет, или цуг световых волн, р а с ­
пространяется вперед по прямой. Л ю б а я
т а к а я прям ая, у к а з ы в а ю щ а я направление
распространения световых волн, н азы вается
световым лучом . К ак мы увидим далее, све­
товые лучи подчиняются зак о н ам отраж ен ия
(от зеркальной поверхности) и преломления
(в прозрачных средах, например л ин зах).
Н а основе этих двух законов, используя
обычную евклидову геометрию, мож но по­
строить всю математическую теорию, или
геометрию, световых лучей. Эта м а тем ат и ­
ческая теория лучей носит название геомет­
рической оптики. Закон ы отраж ен ия и п ре­
ломления света — единственные новые фи зи ­
ческие принципы, сод ерж ащ и еся в этой
теории. Поэтому мы сконцентрируем свое
внимание только на двух этих законах, а о с­
тальную часть геометрической оптики р ас­
смотрим весьма поверхностно,
Отраж енный пучок
|
|
|
|
.
Зако н отраж ен ия
З акон отраж ен ия света утверж дает, что
если световой луч п ад ает на о траж аю щ ую
поверхность, то угол падения равен углу
отраж ения. Этот закон иллюстрируется на
фиг. 225 волнами на поверхности воды.
Заметьте, что о тр аж ен н а я волна д о л ж н а
покидать о траж аю щ ую поверхность п одтем
ж е углом, что и п ад аю щ а я волна. В качестве
приложения закона отраж ен ия света мы
покаж ем, что вогнутое зер к ал о ведет себя
подобно фокусирующей линзе. Хорошо и зве­
стно, что простейш ая линза (или увеличи­
тельное стекло) собирает
параллельны й
I
ь52
Фиг. 225. И л л ю с тр а ц и я за к о н а о т р а ­
ж ени я с пом ощ ью волн на п оверх­
ности воды ,
314
>> Э тот п а р а г р а ф м ож ет бы ть пропущ ен без у щ ер ­
ба д л я дальнейш его.
Фиг. 226. П ар ал л ел ьн ы й пучок света,
подаю щ ий на вогн утое зе р к ал о р а ­
диусом СР
пучок лучей в одну точку, н а зы в а е ­
мую фокусом. Таким ж е свойством
об л а д а ет и вогнутое зеркало. Н а ­
пример, с помощью вогнутого з е р ­
кала д ля бритья мож но прожечь
дыру в кусочке бумаги, если н а п р а ­
вить зеркало на солнце, а бумагу
Центр
кривизны
Вогнутое
поместить в фокусе. К а к видно из
зер к а л о
фиг. 226, фокусное расстояние т а к о ­
го зер к а л а равно половине его р а ­
Фиг. 227. П остроени е и зо б р аж е н и я в
диуса кривизны. Н а этой фигуре
погнутом зеркал е.
из пучка парал л ел ьны х лучей в ы ­
Лучи I и 2, иллю стри рую т гр аф и ческо е иа«
бран произвольный луч А Р. Пусть
хож дение п о ло ж ен ия и зо б р а ж ен и я .
0 — угол между этим лучом и нор­
малью к поверхности зерк ал а {С Р ).
Заметьте, что СР — это радиус кри­
визны зеркала. С огласно закону от­
раж ения, угол А Р С долж ен быть
равен углу РРС и, следовательно,
Предмет
треугольник Р Р С д о лж ен быть р а в ­
Изображение
нобедренным. Стороны этого т р е­
угольника СР и Р Р равны между
собой и очень близки по величине к
половине расстояния от С до Р, или
половине
радиуса кривизны.
Фиг. 228. П остроени е и зо б р аж ен и я в
Н а фиг. 227 показано, как г р а ф и ­
собираю щ ей линзе.
чески построить и зображ ен и е п ред­
Изображение
мета (стрелки), если известно п оло­
жение фокуса Р. Луч 1 проведем от
вершины стрелки п арал л ел ьн о оси
Предмет
зерк ал а, а луч 2 — из вершины стр ел ­
ки к центру зерк ал а. Точка пересече­
ния этих двух лучей и будет изображением
вершины стрелки. Все другие лучи, вы х о д я­
щие из вершины стрелки, т а к ж е пройдут
(или почти пройдут) через эту ж е точку. В о­
гнутое зер к ал о можно использовать для по­
лучения изображений отдаленных п редм е­
тов. Полученное изображ ение можно затем
увеличить с помощью увеличительного стек­
ла, или окуляра. В астрономических телеско­
пах фотопластинка помещ ается непосредст­
венно в фокусе большого вогнутого зеркала.
Этот распространенный тип астрономических
телескопов, разработанны й И сааком Н ь ю т о ­
ном, назы вается телескопом-рефлектором.
Преломление
Ход лучей в случае собирающей линзы
или увеличительного стекла имеет почти т а ­
кой ж е вид, ка к и у вогнутого зерк ал а. С о ­
б ираю щ ая линза о б л а д а е т способностью
п реломлять п арал л ел ь н ы е лучи таким о б р а ­
зом, чтобы они фокусировались в одной точ­
ке — фокусе Р.
Н а фиг. 228 п оказано построение и зо б р а­
жения стрелки в такой линзе •>. Проведем
п арал л ел ьн о горизонтальной оси луч 1. Он
п реломляется линзой -таким образом, что
проходит через ее фокус Р. Затем непосред­
ственно через центр линзы проведем луч 2.
Там, где пересекутся эти д в а луча, и будет
находиться точечное изображение. Это и зо ­
браж ение снова мож но рассм атривать в
окуляр; прибор этот н азы вается телескопомрефрактором. Если ж е маленький предмет
поместить там, где на фиг. 228 находится
изображение, то и зображ ен и е этого предмет а .о к а ж ется на месте первоначальной стрел­
ки. Это увеличенное и зображ ен и е можно
рассм атривать через окуляр; такой прибор
н азы вается микроскопом.
П рим ер. П роекционны й м икроскоп состоит из м а ­
тового с тек лян н ого э к р а н а , пом ещ енного на р а с с т о я ­
нии 1 м за О бъективом с ф окусны м расстоян ием 1 мм.
Во сколько р а з ув ел и ч и в ает так о й микроскоп?
К оэф ф ици ент увел и чен и я м икроскопа равен отноч
шению А В / й Е на фиг. 228. И з р ассм отрен и я п од об­
ных треугол ьников Л В С и Е П С след у ет, что это о тн о ­
ш ение р авн о отнош ению р а сс то ян и я В С д о и зо б р а ­
ж ен и я к расстоян и ю О С д о п редм ета. Р ассто ян и е Д С
д о предм ета очень б лизко к ф окусн ом у расстоян ию
о б ъ ек ти в а; р авн о м у 1 мм. Т ак и м обр азо м , к о эф ф и ц и ­
ент увели чения равен
АВ
ОЕ
100 см
; = 1000.
0 ,1 см
Законы преломления
Последнее, что нам осталось обсудить,
это вопрос о том, почему лучи света искрив') В при лож ении
п о к а за н о ,
найти пол ож ен и е и зо б р аж ен и я.
316
к ак алгебраи чески
Фиг. 229. Д в а п осл ед о вател ьн ы х по­
л ож ен и я ф р о н та волны , п ересекаю ­
щей границу стекло — воздух.
П оказат ель п р е л о м л е н и я
л яю тся или преломляются при переходе из
воздуха в стекло и наоборот. К а к мы увидим,
это свойство световых лучей является п р я ­
мым следствием волновой природы света,
при условии, что скорость света в стекле
меньше, чем в воздухе. Н а первый взгляд
мож ет показаться, что этот ф акт противоре­
чит следую щ ему утверждению М аксвелла:
электромагнитные волны распространяю тся
со скоростью ь = с. О днако если измерить
скорость электромагнитных волн в стекле,
то г; = 0,66с. Этот парадокс легко р азр еш ает­
ся, если принять во внимание, что волна,
скорость которой измеряется, на самом деле
пред ставл яет собой суперпозицию огромного
числа отдельных волн, к а ж д а я из которых
распространяется со скоростью V = с, как
того и требует теория М аксвелла. К аж д ы й
атомный электрон в стекле представляет со­
бой отдельный источник электромагнитных
волн, подобно каж дом у штриху д и ф р а к ц и ­
онной решетки. Электрическое поле п а д а ю ­
щей электромагнитной волны — это сила, но­
с я щ а я колебательный х ара ктер и действую ­
щая
на
каж д ы й
атомный
электрон.
Вследствие инерции электрона его к о л еб а­
ния будут зап азд ы в а т ь по сравнению с к о л е­
банием поля п адаю щ ей электромагнитной
волны. И нтегральное исчисление позволяет
слож ить электрические поля, излучаемые
зап азд ы в а ю щ и м и электронами, с электри ­
ческим полем п адаю щ ей волны. К а к и сле­
довал о о ж идать, результирующие колебания
электрического поля распространяю тся со
скоростью а = 0,66 с (в стекле). Отношение с
к скорости распространения света в стекле
н азы ваю т показателем п р ело м ле н и я стек­
л а п:
п =
Воспользовавш ись фиг. 229, покаж ем теперь,
почему на границе стекло — воздух и зм е­
няется нап равлен ие распространения волны.
Н а фигуре п оказан участок двух последова­
тельных положений фронта А В и А 'В '.
317
ш
Пусть А/ — ум еньш енная
в стекле
\/
•.
V
7
И
длина
волны
С
7
'
( 10. 11)
Из прямоугольного треугольника А В В ' сл е­
дует, что
Из прямоугольного треугольника А 'А В '
Поделив одно вы раж ен и е на другое, п олу­
чим
81П 0! _ X
81П02
А/ '
Подставим теперь вместо X и У их Значения
согласно (10.11):
81П 01 __ С
51*п 02
и ’
ИЛИ
31П 0,
Закон С неллиуса
. д- = п.
51П 0 2
С помощью этого основного вы раж ения, ко­
торое н азы вается т а к ж е законом п р елом ле­
ния, можно рассчитать оптические свойства
объективов.
Приложение
Уравнение тонкой линзы
П опы таемся найти алгебраическое соот­
ношение м еж д у расстояниями до предмета 5
и и зображ ен и я з ' (фиг. 230). Т реуголь­
ник А В О подобен треугольнику А 'В 'О . О т­
сюда
4 ^ = 4 -
(1012)
Д а л е е треугольник Р О Р подобен треуголь­
нику А ’В 'Р и
со->з)
318
Поскольку Р О = А В , правы е части формул
(10.12) и (10.13) одинаковы. П ри равн ивая
эти правые части, получаем
*'
*
или
Фиг. 230.
ш аров.
П остроени е
—/
I
'
и зо б р аж ен и я
П редм ет А В н ах о д и тся на р асстояни и я
от л и н зы с ф окусны м расстояни ем /. Р а с ­
стоян ие д о и зо б р а ж ен и я А 'В ' р авн о
Это соотношение, связы ваю щ ее расстояние
до предмета и изображение, назы ваю т у р а в ­
нением тонкой линзы . Существует условный
А
4
В
---------------
г
—
,
р
в
--------------------- *
1
А'
обычай для выбора знаков 5, $' и
С о глас­
но этому правилу, система д о л ж н а быть
расположена таким образом,
чтобы свет
проходил через линзу слева направо. Тогда
5/ положительно, если и зображ ение распо­
ложено справа от линзы, и отрицательно,
если слева от линзы. Величина \ о три цатель­
на, если линза рассеиваю щ ая. Если после
прохождения линзы лучи сходятся к вирту­
альному предмету (это мож ет быть и зо б р а ­
жение, созданное предшествующей слева
линзой), то 5 отрицательно.
Задачи
Фиг. 231. К за д а ч е 2.
*• Ч ем у р авн о расстоян и е (в ы р аж ен н о е в дл и н ах
волн) м еж д у д в у м я соседним и точкам и , с о о тв етств у ­
ющ ими нулевой а м п л и туд е, в лю бом периодическом
волновом дви ж ен и и ?
2. Н а струне длиной 150 см в о зн и к ла с то яч ая волна
(фиг. 231).
а) С к олько всего узлов на струне?
б) С колько длин волн у к л а д ы в а е т с я на струне?
в) С корость расп р о стр ан ен и я волны по струне
V
= 20 м/сек-, н айди те ч астоту колебаний.
319
Фиг. 232. К за д а ч е 3,
3. С вет п р о х о д и т из ж и д к о с ти X в стекло У и снова
в ж и д к о с т ь X . В к акой из сред, X или У, скорость
света больш е?
4. Ч е м у р а в н о расстоян и е м е ж д у д в у м я п о с л ед о в а ­
тел ьн ы м и м ак си м у м ам и интенсивности эл е к тр о м а гн и т ­
ной волны ?
У
5. Е ди н и ц а и зм ерения 1 А (один ан гстрем ) р авн а
10-8 см. Ч ем у равн ы грани чны е длин ы волн в и д и м о ­
го света в ан гстр ем ах ?
X
Пучок света
6. И зо б р а зи т е схем атич ески стоячую волну, с о д е р ­
ж а щ у ю 4 у зл а и 3 пучности в момент, к о гд а о т к л о ­
нения в п учностях м акси м ал ьн ы . Н ари суй те, к а к в ы ­
гл я д и т вол н а с п устя '/2 и У4 'п е р и о д а . П о д к аж д ы м
из тр ех рисунков и зо б р ази т е интенсивность волны .
Н а одн ом из рисунков о б о зн ач ьте д л и н у волны .
7. В сегда ли д в и ж у щ и й с я з а р я д
м агни тны е волны ?
и злу ч ает эл е к тр о ­
8. Д в а м у зы кал ьн ы х тон а р а зл и ч а ю тся на октав у , ес­
ли их часто ты отн о сятся к а к 2 : 1 . Е сли «до» средней
о к та в ы со о тв е тс тв у е т частоте 256 гц, а верхн ее «до»
н а х о д и т с я н а д в е о к тав ы вы ш е, то к а к а я ч асто та с о ­
отве т ст в у е т верхн ем у «до»?
9. С ам ы е низкие и вы сокие частоты , восп риним аем ы е
человеческим ухом, с о ст ав л я ю т соответственно 20 и
15 ООО гц. Ч ем у равн ы в в о зд у х е соответствую щ ие
длин ы волн?
10. Р а с см о тр и м отдел ьн ую синусои дал ьн ую волну,
р а сп р о с тр ан яю щ у ю с я в д о л ь струны со скоростью о;
д л и н а вол н ы Л., о т р аж ен н ы е волны отсутствую т.
С к олько р а з еж есек у н д н о струн а ц е ли ко м не будет
им еть см ещ ений?
11. Е сли бы им пульсы на ф иг. 210 бы ли точщз о д и ­
наковой величины , то они бы полностью ском п енси­
р ов ал и д р у г д р у га (струн а им ела бы вид п р ям о й ).
С о х р а н и тся л и в д ал ьн ей ш ем эта в за и м н а я ком пен­
сац и я и м пульсов? О б ъясните.
Фиг. 233. К за д а ч е 12.
12. 5 ] и 5 2 — источники к ол еб ан и й оди н ак о в о й ч а с то ­
ты; о д н а к о 5 1 о п е р еж а ет 5 2 на
'/4 периода.
П ри к ак и х усл о в и ях в точке Р (фиг. 233) буд ет н а ­
бл ю д аться ин терф еренц ионны й м аксим ум ? м инимум?
13. С корость р асп р о стр ан ен и я волны в д о л ь струны с
зак р еп лен н ы м и концам и 2 м /сек. Н а струне создан ы
стояч ие волны с р асстоян и ем м еж д у у зл а м и 3 см.
а) Ч ем у р а в н а частота колебани й?
б) С к о л ьк о р а з еж есек у н д н о струн а приним ает
э
ф о р м у прям ой линии без каки х -ли б о видим ы х
волн?
14. С пектры в торого и тр етьего п оряд ков в видим ой
обл асти о т д и ф рак ц и он н ой реш етки частично п ере­
320
к р ы ваю тся д р у г с другом . К а к о й длин е волны в
спектре с Л /= 3 соотв етств ует А,=7000 А в сп ектре с
УУ= 2?
15. • -<— 8 ф ут — с • <— 18 ф ут —* •
^1
52
р
и 5а — си н усои дал ьн ы е источники
щ иеся в ф азе.
зв у к а, н а х о д я ­
а) П ри к ак и х тр ех д л и н ах вол н в точке Р б уд ет
н а б л ю д а т ьс я к о н с тр у к ти в н а я и г а с я щ а я ин­
т ерф ерен ц и я?
б) Ч ем у р а в н а н а и н и зш а я ч а с то т а (в г ц ), обес­
п еч и ваю щ ая гасящ у ю интерф еренцию в то ч ­
ке Р? С корость зв у к а 1100 фут/сек.
16. Д в а источника волн на п оверхности воды (см.
фиг. 215) ко л еб л ю тся с разн остью ф а з 180° (к огд а
один источник д в и ж е т с я вверх, д ругой д в и ж е тс я
в н и з). К а к о м у услови ю у д о в л е тв о р я ю т разн ости х о д а
(Д [— / ) 2) на линии узл ов?
Фиг. 234. К за д а ч е 17.
17. П а р ал л е л ьн ы й пучок света п а д а е т
под углом на д и ф ракц и он н ую реш етк у и
откл о н яется ею, к а к на фиг. 234. Р е ­
ш етка с о д ер ж и т 104 ш три хов на 1 см.
а) В ы р ази те р а зн о с ть х о д а лучей
1 и 2 через Л 1 и Д2.
б) Н ай д и те р а зн о с ть
хода
лучей
1 и 3.
в) К а к о м у услови ю д о л ж н ы у д о в ­
л ет в о р я ть Л 1 и Л2 д л я н а б л ю д е ­
ния п-го м ак си м у м а в случ ае
длин ы волны X?
18. К аки м у слови ям д о л ж н а у д о в л е т в о р я т ь разн о сть
хода (Г>1— Ог) на фиг. 235, чтобы в точке Р возни к
интерф еренционны й м аксим ум ? м иним ум ?
Фиг. 235. К за д а ч е
О,
Р
Источник
Фиг. 236. К з а д а ч е 19.
19. П р ед м ет н а х о д и тс я м еж д у ф окусом и центром
кривизны вогн утого зе р к а л а (фиг. 236).
а) Н а й д и те п ол ож ен и е и з о б р аж е н и я , п ров ед я по
край ней м ере д в а луча.
б) Б у д е т ли и зо б р аж е н и е п еревернуты м ?
в) Б у д е т ли и зо б р аж ен и е бол ьш е предм ета?
Зеркало
Предмет
_ л _
20. Ф окусное
расстоян и е
собираю щ ей
линзы
(фиг. 237) 5 см. В к а ж д о м из перечисленны х ни ж е
условий оп ределите, где н а х о д и тс я
и зоб р аж ен и е
Фиг. 237. К з а д а ч е 20.
/|\
-10
11— 176
У
Ю
с
-+----10 см
321
м еж д у А и В , в точке В , м е ж д у В и С, в точке С,
м еж д у С и оо, на бесконечности, и зо б р аж ен и е м ни­
мое (слева о т л и н зы ). П р е д м е т н аходи тся
а) при х = — 5 см,
б) м е ж д у 0 и —5 см,
в) м еж д у — 5 и — 10 см,
г) при х = — 10 см,
д) слев а от — 10 см.
21. Точечный источник света пом ещ ен в центр к р и ­
визны в огн утого зе р к ал а . Г де б у д ет и зо б р аж ен и е э т о ­
го источника? (С о о тветству ю щ ая си туац и я и л л ю ст­
рируется на ф игуре в н ач ал е главы .)
22. Точечный источник света помещ ен в ф окусе. Где
будет и зоб раж ен и е?
23. Р а с ст о я н и е от п р едм ета д о вогнутого зе р к а л а
м еньш е его ф окусного р ассто ян и я. У видите ли вы
и зо б р аж ен и е, за гл я н у в в зе р к ал о ? Е сли д а , то б уд ет
ли оно бол ьш е или меньш е п ред м ета? Н е б у д ет ли
оно п еревернуты м ? (Г де н ах о д и тся ф окус вогнутого
зе р к а л а д л я бри тья?)
24. Р а ссм отри м д и ф рак ц и он н ую реш етку, на к о то ­
рую свет с длин ой волны X п а д а е т под углом ^
(фиг. 238).
Н апиш ите услови я д л я м акси м ум а интенсивно­
сти через а) Д 1 и Д2; б) 01, в 2,, Я и й.
25. Д л и н а волны света, п роход ящ его щ ель ш ириной
й, р авн а X, П усть 8—- угол, д л я к оторого р асстоян и е
д о середины щ ели на полдли ны волны больш е, чем
д о к р а я щ ели. Ч ем у равен з т 6? (П о д этим углом
н а б л ю д а е тс я м инимум интенсивности. Этот эф ф ек т
н а зы в ае тс я ди ф ракц и ей на одной щ ели.)
26. Л у ч света пересекает гран и ц у д в у х сред м асл о —
стекло. Е сли скорость света в м асл е р авн а V\, а в
стекле о2, то к а к в ы р ази тся через
и
отнош ение
5 1 П 0 1/ЗШ 02?
27. Н а д и ф ракц и он н ую реш етку, имею щ ую 2000 л и ­
ний на 1 см, п а д а е т свет с дл ин ой волны Я = 5 - 1 0 - 5 сл.
Э кран р асп о л о ж ен на расстоян и и 3 см от реш етки.
Н ай ди те расстоян и е на эк р а н е м еж д у и зо б р аж ен и ям и
нулевого и первого п оряд ка.
28. Л у ч света п а д а е т на плоскую стеклян ную п л ас­
тинку под углом 60° к норм ал и . П о д к ак и м углом
этот луч вы й дет с другой стороны пластины , если
п о к а за те л ь прелом лени я я = 1 ,5 ? П оверхности п л а с ­
тинки п арал л ел ьн ы .
29. Р а ссм отри м о т р а ж а т е л ь н у ю ди ф ракц и он н ую р е ­
ш етку (линии, проведенны е на зе р к а л е ). П усть п а д а ­
ющий свет п ерпенди кулярен реш етке, а о тр аж ен н ы й
с о ст ав л яе т угол 0 с ее поверхностью .
а) В ы р ази те разн о сть х о д а через 0 и й.
б) Ч ем у р авн о 0 в с л у ч ае м акси м ум а интенсив­
ности?
ГЛАВА
ТЕОРИЯ
О ТН О С И ТЕ Л Ь Н О С ТИ
ТЕОРИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Фиг. 240. Точечны й з а р я д <2 на р а с ­
стоянии Я от за р я ж е н н о го проводн и ­
ка с плотностью з а р я д а
О С 0 5 Е (С})/см.
'©<?
§ 1. Принцип относительности
СКОРОСТЬ О ТН О СИ ТЕЛ ЬН А
Г алилей предположил, что принцип о б ­
щей симметрии заклю чается в следующем:
законы физики долж ны быть одинаковыми
с точки зрения любого н аблю дателя, д ви ­
ж ущ егося с постоянной скоростью, независи­
мо от величины и направления этой скоро­
сти. Д ругим и словами, не долж но сущ ество­
вать привилегированной системы отсчета,
или, что то ж е самое, способов определения
абсолютной скорости. Этот принцип общ ей
симметрии и н азы вается принципом относи­
тельности. Конечно, и Галилей и Ньютон
были уверены в том, что их законы кл асси ­
ческой механики подчиняются принципу от­
носительности.
О днако пока мы не внесем некоторые су­
щественные изменения, законы электриче­
ства, несомненно, будут противоречить прин­
ципу относительности. «Покоящ ийся» и Дви­
жущ ийся н аблю датели будут получать два
разных результата из одного и того ж е экс­
перимента. Д л я иллю страции рассмотрим
простой пример: точечный з а р я д С} располо­
жен на расстоянии 7? от проводника с п лот­
ностью з а р я д а д С 0 5 Е (0)/сл* (фиг. 240).
Н а з а р я д С? действует сила Р = (^Е, где
Е = 2 д /к [см. формулу (7.10)]. Таким о б р а ­
зом, с точки зрения покоящегося н а б л ю д а ­
теля
Р =
Фиг. 241. Та ж е кар ти н а с точки зр е ­
ния н а б л ю д а тел я, д в и ж у щ его ся вверх
со скоростью V.
1=
©<?
* V
324
2<3р
Я
( 11 . 1)
Теперь представим себе второго н аб л ю д ате­
ля, движ ущ егося п ар ал л ел ьн о проводнику
со скоростью V (фиг. 241). Этот н а б л ю д а ­
тель обнаруж ит, что на з а р я д С), кроме
электростатической силы, действует т а к ж е
магнитная сила. С точки зрения д ви ж у щ его ­
ся наб лю д ателя вдоль проводника
течет
электрический ток 1 = ()и, а з а р я д С} так ж е
движ ется парал л ел ьно проводнику со ско­
ростью V . И з формулы (8.10) можно найти
действующую на з а р я д <2 магнитную си­
лу Р т ~ С^Ви/с, причем напряженность маг-
нитного поля В, создаваемого прямолиней­
ным током, равна В = 2^V/сЯ. Таким о б р а ­
зом,
р.
(2V
т ~~ ~ с
2ро
_
с*Г ~
2(}р
ч2
К
с2
есть м агнитная сила, действую щ ая на заряд.
Эта м агнитная сила притяжения д о л ж н а
склады ваться с электростатической силой
отталкивания. Н абл ю д ател ь, д виж ущ ийся со
скоростью V , обнаружит, что результирую ­
щ ая сила, действую щ ая на з а р я д С?, д о л ж н а
быть равна
Р = _?Ф. _ - Ш - _?!_
К
с2 ’
или
Вопрос 1. К у д а
(Ч-2)?
направлена сила Р
Количественно этот результат меньше
результата, полученного покоящ имся н а б л ю ­
дателем [см. (11.1)], в 1/[1 — ( у2/ с2)] раз.
И так, из рассмотренного примера ясно, что
законы электричества п риводят к различным
результатам в разных системах отсчета. Но,
согласно принципу относительности Г а л и ­
лея, сила, действую щ ая на з а р я д <3, и его ус­
корение не д олж ны зависеть от скорости н а ­
блю дателя
Ясно, что принцип относительности Г а л и ­
лея, справедливый в р ам ках классической
механики, несовместим с уравнениями М а к с ­
велла. Чтобы устранить это противоречие,
надо пересмотреть либо принцип относитель­
ности, либо уравнения М аксвелла, либо
классическую механику. Р ассмотрим три
возмож ны х способа устранения противоре­
чия:
1. Принцип относительности пригоден
д ля механики и непригоден для электрод и ­
намики. З а кон ы электричества справедливы
только д ля одной привилегированной сис­
темы отсчета. Только в этой системе свет
распространяется со скоростью у = с.
2. Принцип относительности выполняется
ка к в механике, т а к и в электродинамике,
но законы электричества сформулированы
325
в гл. 7 и 8 непоследовательно. Эти законы
можно последовательно видоизменить с тем,
чтобы получить требуемый результат, сог­
ласно которому свет всегда р аспростран яет­
ся с постоянной скоростью с относительно
источника. Это видоизменение уравнений
М ак св ел л а н азы вается теорией и злуч ен ия.
3.
Принцип относительности справедлив
и в механике и в электродинамике, а видо­
изменить следует законы и принципы м ех а­
ники. Именно эту возможность и вы брал
Эйнштейн. Он видоизменил определения
массы, энергии, импульса и свойства прост­
ранства и времени. Б л а г о д а р я этому з а к о ­
ны механики н аряду с зак о н ам и электриче­
ства стали удовлетворять принципу относи­
тельности.
Законы теории электричества не н у ж д а ­
ются в видоизменении. К а к у ж е указы валось
в гл. 8, магнитную силу можно п редставлять
себе как релятивистскую поправку к закону
Кулона. Н а протяжении примерно 50 лет
сущ ествовала почва для появления теории
относительности в рам ках теории электриче­
ства, но до Эйнштейна (1905 г.) этого никто
до конца не понимал.
§ 2. Проблема эфира
<гЗ д р а в ы й см ы сл — это те п р е д р а с с уд ки , кото­
рые склады ваю т ся в возрасте до восем надцат и
лет».
А. Э й н ш т е й н
О твет 1. Это р е зу л ьти р у ю щ ая сила отт ал к и в а н и я.
326
Рассмотрим сн ач ал а первую в о зм о ж ­
ность и покаж ем, как она была опровергну­
та экспериментом. В привилегированной
системе отсчета свет распространялся бы со
скоростью с. Д л я н аблю дателя, д ви ж ущ его ­
ся со скоростью V относительно этой системы
отсчета, скорость света была бы равна
(с + V), если н аблю датель движ ется по н а ­
правлению к источнику света. Именно такой
результат долж ен был бы получиться, если
бы свет п еред авал ся некой «физической», но
невесомой средой. Эта среда была назван а
Фиг. 242. П уть с в е т а от источника к
зе р к а л у и о братн о.
- п -
Источник.
свет а
/З е р к
М
Фиг. 243. П уть света, когд а источник
и зе р к а л о д в и ж у т с я со скоростью V
вправо.
З М — п о лож ен ие в н ач ал ьн ы й м ом ент в р е ­
мени; 5 'М ' — полож ен ие в м ом ент в р е м е ­
ни /'/2 ; 5 " М " — п оло ж ен и е в м ом ент
эфиром. П ривилегированной системой отсче­
та, в которой, йо предположению, справед л и ­
вы уравнения М аксвелла, яви л ась бы систе­
ма, поко ящ аяся относительно эфира. Итак,
все скорости можно было бы считать аб со ­
лютными — их мож но было бы измерять от­
носительно покоящегося эфира.
Сейчас мы увидим, ка к это п ред полож е­
ние было опровергнуто знаменитыми экспе­
риментами М айкельсона и М орли, вы пол­
ненными в 1880 г. Поскольку З е м л я д в и ж е т ­
ся вокруг Солнца со скоростью и = 30 км /сек,
то сторонники теории эф и ра полагали, что
на протяжении года долж ен сущ ествовать
такой период, когда З е м л я имеет скорость
по отношению к эфиру по крайней мере
30 км /сек (или скорость эф ира по отношению
к З ем л е составляет 30 км /се к). Тогда ско­
рость света, движ ущ егося в ту ж е сторону,
что и эфир, измеренная по отношению к
З е м л е наблю дателем, находящ имся на З е м ­
ле, будет равна (с + о), а скорость света,
д виж ущ егося в противоположную сторону,
по измерениям того ж е н аб лю д ател я будет
равна (с— V), где V равно по крайней мере
30 км /сек. Таким образом, промеж уток в р е­
мени, за который свет пройдет расстояние О
до з е р к а л а и вернется обратно, будет равен
(=
О
+
О
2 Ос
2Р
. (11.3)
с
П редполож им, что на жесткой подставке
длиной й укреплены источник света и з е р к а ­
ло (фиг. 242). Тогда время, за которое свет
пройдет расстояние до зе р к а л а и вернется
обратно, определится из (11.3) если только
подставка установлена п арал л ел ьн о скоро­
сти эф и ра V. Если подставку повернуть
на 90° так, что она станет перпендикулярно
скорости э ф и р а V, то с точки зрения н а б л ю ­
д ателя, покоящ егося относительно эфира,
свет долж ен будет пройти расстояние 2 й '
(фиг. 243). В этом случае п ромеж уток вре­
мени, за который свет дойдет до з е р к а л а и
327
Иовами4' КаТбР курсирует между ос-
вернется обратно, будет равен
20'
(' =
или
сГ
И '=
[V
( И - 4)
Рассмотрев прямоугольный треугольник на
фиг. 243, находим
60 км
V I'
Теперь, подставляя сюда вместо О 1 правую
часть (11.4), получаем
С г / '2
— - с= Д 2+
я 2/ '2
,
1 ----- — \ П = О 2
и
20
(11.5)
/■
Следовательно, отношение {'/( = у \ — ц2/с2.
Это значит, что когда свет движ ется перпен­
дикулярно скорости эфира, то он проходит
замкнутый путь за более короткое время.
Разность времен хорошо аппроксимируется
соотношением (с помощью биномиального
разлож ения)
1— 1'
2Р
с
В опрос 2. К а к а я из ф орм ул д а е т боль*
ший и н тервал врем ени,
(11.3) или
(11.5)?
328
2 с2
П р и м ер I. Р а ссм отри м д в а небольш их острова
на расстоян и и 60 км друг от д р у га. М е ж д у о с т р о в а ­
ми к урси рует к ат е р , д в и ж у щ и й с я
со скоростью
10 км /час относи тельно воды (фиг. 244, а ). О дин из
островов л е ж и т в восточном нап равлен и и отн оси тел ь­
но другого. С колько врем ени за н и м а ет п оездк а туда
и обратн о
а) в спокойной воде?
б) при наличии течения со скоростью 5 км /час в
восточном н аправлени и?
в) при наличии течения со скоростью 5 км /ч а с в
ю ж ном н аправлени и?
Фиг. 245.
сона.
И н терф ером етр
М айкель-
С вет от источника 5 р асщ еп л яется с по­
мощ ью п олу п р о зр ачн о го сер ебр ян о го з е р ­
к а л а М | на д в а л у ч а , встречаю щ ихся на
экране.
В вопросе (а) врем я р авн о пути т у д а и обратн о
( 2 Д = 1 2 0 к м ), делен ном у на ско р о сть ( с = 10 к м /ч а с ) :
I=
2Р
120 км
= 12 час.
10 к м /ч а с
В вопросе (б) р езу л ьти р у ю щ ая скорость при д в и ­
ж ении на восток р авн а 15 км /ча с, а об ратн о 5 км /час.
Т аким образом ,
Р
Р
( = "пГ + ~5~
мя
■4 час + 12 час = 16 час.
Тот ж е р е зу л ь т ат получится, если п о д стави ть в (11.3)
зн ачени я с = 1 0 км /ча с и V = 5 км /час. М ы видим , что
течение при водит к удлинению поездки на 4 час.
В вопросе (в) рулевой д о л ж ен см естить к урс к се­
веро-востоку (фиг. 244, б) с тем, чтобы р е зу л ьти р у к ь
щ ая скорость к ат е р а с' бы ла н а п р а в л е н а к востоку.
В этом случае
с ' = | / Ю 2 — 52 = / 7 5 = 5 / 3
I=
2Р
120 км
5,66 к м /ч а с
= - 8 ,6 6 к м /ч а с г
13,86 час.
С нова этот р е зу л ь т ат м ож но получить, п од стави в
с = 1 0 км /ч а с и \ с = 5 км /ча с в (11.5). М ы видим, что по
ан ал оги и с распростран ен и ем света в д в и ж у щ ем с я
эф ире при о д и н ак овом н ап равлен и и течения и д в и ­
ж ен и я врем я о к азы в а ет с я больш е, чем в случ ае, к о г­
д а течение перп ен ди кул ярн о движ ению .
Фиг. 246. О рб ита Зем ли .
Если в п олож ении А скорость относительно
эф и ра р а вн а нулю , то в полож ении В э ф ­
ф ект до л ж ен бы ть удвоенны м .
Майкельсон и 'М орли считали, что они
смогут измерить эту небольшую разницу во
времени (менее 10~16 сек), воспользовавшись
интерферометрами, имеющими д ва взаимно
перпендикулярных плеча. Такой интерферо­
метр схематически показан на фиг. 245.
В интерферометре свет от источ­
ника 5 расщ епляется полупрозрачным серебряным зеркалом М\
на два луча, которые затем снова
встречаются на экране. Если для
прохождения света по обоим пу­
■'Эфира
тям требуется одинаковое время,
то на экране д о л ж н а возникнуть
конструктивная
интерференция.
Эксперимент состоит в подборе
соответствующего положения з е р ­
кала. Затем прибор п оворачивает­
ся на 90°, и б лагодаря вращению
Зем ли на экране будет наблю329
О твет 2. Ф орм ул а (11.3)
330
даться иная картина. Изменение времени
прохождения светом всего пути, обусловлен­
ное движением эфира, долж но было бы про­
явиться в виде изменения интерференцион­
ной картины на экране. Д а ж е столь неболь­
ш ая скорость V (30 км /сек) мож ет дать весь­
ма заметный эффект.
Несмотря на все старания, Майкельсону
и Морли вообще не удалось н аблю дать
никакого эффекта. Одно из объяснений от­
рицательного результата заклю чалось в том,
что в момент опыта эфир случайно имел
относительно Солнечной системы скорость,
равную 30 км/час. В этом случае скорость
Зем ли в положении А на фиг. 246 относи­
тельно эфира д о лж н а быть равна нулю.
Однако М айкельсон и Морли повторили
свой опыт шесть месяцев спустя, когда
З е м л я за н я л а положение В. В этом случае
они долж ны были бы наб лю д ать удвоенный
по сравнению с ож и даем ы м эффект, но
снова ничего не получили.
Д ругое возможное объяснение за к л ю ч а ­
лось в том, что Зе м л я у влекает за собой
прилегающий к ней эфир. А это долж но
привести к тому, что видимое положение
звезд будет каж ды й год см ещ аться в зад и
вперед, но не так, ка к это наблю дается в
действительности. Поэтому и второе о б ъ яс­
нение исключалось астрономическими н а ­
блюдениями.
С ледующую попытку объяснить получен­
ный М айкельсоном и М орли нулевой ре­
зул ьтат предприняли Ф и тцд ж ерал ьд и н е з а ­
висимо от него Лоренц, которые предполо­
жили, что длины всех физических тел,
движущ ихся со скоростью V по отношению к
эфиру, сокращ аю тся в 1/У 1— ( у 2/ с 2 ) раз.
Поэтому когда интерферометр поворачи­
вается на 90°, то длина его плеча меняется
как раз в нужное число раз, чтобы скомпен­
сировать ож и даем ы й эффект.
Чтобы опровергнуть этот довод, был по­
строен интерферометр с различными плеча­
ми. В этом случае предложенное Лоренцем
и Ф и тцдж еральдом сокращение привело бы
к различным р езультатам при разных скоро-
стях интерферометра относительно эфира.
О днако при всевозмож ны х полож ениях З е м ­
ли на своей орбите всегда получался нулевой
результат.
Р езул ьтаты всех исчерпывающ их эксп е­
риментов привели к выводу, что свет из
источника всегда д ви ж ется со скоростью с
относительно интерферометра.
В озможен еще один вар и ан т объяснения
результатов М айкельсона и Морли (второй
способ, стр. 325). Н а д о п ереформ улировать
законы электричества, с тем чтобы свет
всегда испускался со скоростью с относи­
тельно источника. О днако такое объяснение
т а к ж е было отвергнуто на основании астр о­
номических наблюдений. Если бы эта теория
излучения бы ла справедлива, то движение
двойных звезд казал о сь бы нам возм ущ ен ­
ным и противоречащим зак онам
К еп­
лера.
Это происходило бы потому, что при д в и ­
жении одной из звезд в направлении Зем ли
со скоростью V ее свет проходил бы весь путь
со скоростью (относительно Зем ли) с + о
и п опадал бы на Зем лю раньше, чем свет,
испускаемый звездой, дви ж ущ ей ся от Земли.
Скорость последнего составл ял а бы с— V, и
он п опадал бы на Зем лю позднее.
Мы видим, что всякие попытки объяснить
нулевой результат М айкельсона и Морли
отвергались дополнительными эксперимен­
тами и наблюдениями.
И
наконец, о ставш аяся возможность
(третий способ, стр. 326) была серьезно ис­
следована Альбертом Эйнштейном в 1905 г.
В действительности опыты М айкельсона —
Морли не очень волновали Эйнштейна. Его
больше беспокоило наличие несовместимо­
сти уравнений М ак св ел л а с классической
физикой. Основной вопрос состоял в том, что
произойдет, если наб лю д атель будет д в и ­
гаться вместе со световой волной о —с. Т а ­
ким образом, Эйнштейн исследовал вопрос
о том. какие изменения надо произвести в
классической механике, чтобы совместить
уравнения М аксвелла с принципом относи­
тельности. К счастью, эта за д а ч а м а тем ат и ­
331
чески о к а за л а с ь вполне определенной, имею ­
щей единственное решение. Действительно,
чисто математическая часть задачи была
в сущности решена несколькими годами
раньше Лоренцем.
О днако д ля многих (вклю чая в то время
и Л ор ен ц а) физическая интерпретация м а те­
матических результатов о к а за л а с ь з а т р у д ­
нительной, поскольку казалось, что эти ре­
зультаты противоречат зд р ав ом у смыслу.
Именно эта физическая интерпретация и ее
распространение на все разделы физики
составили тот основной вклад, который был
внесен Эйнштейном и который отодвинул на
второй план математические парадоксы, об ­
наруж енны е Лоренцем.
Один из основных математических ре­
зультатов теории Эйнштейна гласит: ско­
рость света всегда равна с = 3 - 1010 см/сек
независимо от скорости н аб лю д ател я или ис­
точника. Таким образом, д ва наблю дателя,
один из которых покоится по отношению к
удаленной звезде, а другой очень быстро
движется к ней, измеряю т одно и то же
значение
скорости
света,
идущего
от
звезды.
Этот результат, конечно, совместим с
измерениями М айкельсона и Морли, но
он ка ж етс я
противоречащим здравом у
смыслу. Эйнштейн объяснил этот «стран­
ный» результат, приписав его «необычным»
свойствам пространства и времени. Он п ред­
положил, что с точки зрения движущ егося
н аблю дателя пространство испытывает со­
кращение в направлении движения, а время
неодинаково для различных наблюдателей.
События, одновременные с точки зрения од ­
ного из них, не обязательно будут одновре­
менными для других. Эти эффекты описы­
ваются с помощью соотношений, полученных
Л оренцем и н азы ваем ы х преобразованиям и
Лоренца. П р еобразо вани я Л оренца у с т а н а в ­
ливают связь между временем и коо рд и на­
тами, измеренными двумя наблю дателями,
движущ им ися друг относительно друга со
скоростью V . Они имеют следующий вид:
,
х 4- VI
( 1 1 .6 )
V
П р е о б р а зо ва н и я Л о р е н ц а
У = Уг' = г.
*+
V =
(11.7)
У
Ш трихованные координаты относятся к од ­
ному наблю дателю , а нештрихованные — к
другому.
Соответствующие
классические
п реобразован ия имеют вид
X' = х -+- VI,
/ ' = *.
Они означаю т, что если в нештрихованной
системе отсчета тело имеет координату
х = х 0, то в штрихованной системе отсчета
оно будет иметь координату х ' = х 0+ Ы , т. е.
будет представляться нам дви ж ущ им ся
вправо со скоростью V. Ф ормулы (11.6) и
(11.7) мож но получить, если предположить,
что скорость света д о л ж н а быть одна и та
ж е с точки зрения всех н аблю дателей. С оот­
ветствующий вывод дан в приложении.
§ 3. Лоренцево сокращение
Ф ехт овал у м е л о Ф иск.
Р аз, п р е зр е в возм ож ны й риск,
С д е л а л вы п а д он м гн о вен н ы й ,
Л о р ен ц евы м с о кращ еньем
Обратив р а п и р у в диск.
В опрос 3. Е сли тело н ах о д и тся по­
стоянн о в точке х '= 0 , ув ел и чи в ается
или ум ен ьш ается его ко о р д и н ата х с
течением врем ени с огл асн о (11.6)?
Все дви ж ущ иеся предметы будут к а з а т ь ­
ся нам короче в 1 /У 1 — ( у 2/ с 2 ) раз в н а п р а в ­
лении движения. Этот результат — про­
стое следствие п р еобразований Л оренца, что
почти непосредственно видно из ф ор м у­
лы (11.6). В частности, если в начале у двух
н аблю дателей имелись идентичные метровые
стержни и если затем н аб лю д ател ь В н ачи­
нает д вигаться со скоростью V по отнош е­
нию к н аблю дателю А, то по измерениям на333
Фиг. 247. Л о р ен ц ев о сокращ ен и е д в у х
идентичны х стерж н ей ,
д в и ж у щ и х ся,
д р у г относи тел ьно д р у г а со с ко р о ­
стью у = 0,6 с.
а — с точки зр е н и я н аб л ю д ат е л я А \ б — с
точки зр ен и я н аб л ю д ател я* В .
Наблюдатель В
Стержень В
блю д ател я А длина стерж н я н аб лю д ател я В
составляет У1— (у2/с2) м (фиг. 247). Из
принципа относительности вытекает, что
д олж но быть справедливо и обратное: н а ­
блю дателю В метровый стерж ень н а б л ю д а ­
теля А будет казаться укороченным в такой
ж е пропорции.
П рим ер. П р е д п о л о ж и м , что мимо нас д в и ж е тс я
м етровы й с те р ж е н ь со скоростью V = 0,6 с. К а к о в а бу«
д е т его д л и н а по наш им и зм ерениям ?
Стержень А I ' 1 ' ‘ I ' ' 1 ' I
а
< 1 1 1 1 1 1 ' ' ' I Стержень В
Наблюдатель А
1 11 1 1 1 11Стержень А
5
I/ = У
1 — 0 ,6 2 м = 1 /0 ,6 4 м — 80 см.
В предыдущем п а р а г р а ф е мы видели, что
одного лоренцева сокращ ения недостаточно,
чтобы объяснить экспериментальные р езу л ь ­
таты, полученные на интерферометре с пле­
чами разной длины. Эту трудность можно
преодолеть, пересмотрев наш е пред ставл е­
ние не только о пространстве, но и о вре­
мени.
§ 4. Замедление течения времени
С е го д н я в п о лд е н ь п у щ е н а ракета,
О на летит к у д а быстрее света,
И в ц е ль прибудет р о вн о в семь у т р а вчера.
С. Я. М а р ш а к
Ответ 3. У м ен ьш ается. Ф орм ул а, вы ­
р а ж а ю щ а я х через х ' и I ', им еет вид
х ' — VI'
У
334
1 — 02/с 2
Д л я иллюстрации причин, которые при­
вели Эйнштейна к необходимости изменить
наши представления о времени, рассмотрим
«световые часы». К онструкция их очень
проста: это д ва парал л ел ьны х зер к ал а, у д а ­
ленных друг от друга на расстояние О.
Пусть х — время, которое световой им­
пульс затрачи в ает на путь от нижнего з е р ­
к а л а до верхнего. Часы «тикают» каж ды й
раз, когда свет попадает на зеркало. Р а с ­
смотрим пару таких тождественно тикаю щ их
часов. П ром еж уток времени м еж д у двумя
тиканиями т = /)/с. Пусть теперь часы В д ви ­
ж утся вправо со скоростью о (фиг. 248, б).
Их длина д о л ж н а к а зат ь ся прежней
*> Е сли бы они о к а за л и с ь короче, чем А , то при
прохож ден и и д р у г около д р у г а оба
н аб л ю д а т ел я
(один на А , а д ругой на В ) о б н ар у ж и л и бы, что све-
Фиг. 248. И дентичны е
в м ом ент ( = 0.
световы е часы
а — часы В д в и ж у т с я вп р аво со скоростью
V, б — световы е ч асы сп у стя х сек с точки
зр ен и я н аб л ю д ат е л я А . О б а световы х им­
п ульса
прош ли р ассто я н и е ст. И м п ульс
в ч а с ах А достиг верхн его з е р к а л а , импуль*
су в ч а с ах В п р едсто и т ещ е дал ьн и й путь.
Световые
импульсы
Будучи «наблюдателем», связанны м с ч а с а ­
ми А, мы увидим, что в световых ч асах В
свету теперь придется пройти больший путь
от з е р к а л а до зеркала. К а к видно из
фиг. 248, б, световой импульс в ч асах В
движ ется по диагонали, но с той ж е скоро­
стью и = с, что и наш световой импульс
(здесь на сцену выступает теория относи­
тельности) . Следовательно, световому им­
пульсу в ч асах В потребуется больше в р е­
мени, нежели нашему световому импульсу
в часах А. Обозначим этот п ромеж уток в р е­
мени через х'. Применяя теорему П и ф агора
к фиг. 248, б, получаем
(с т ') 2 =
( о т ') 2 +
( с 2 — о 2) т ' 2
( с т ) 2,
с 2т 2,
Световые импульсы
X.
( 11.8)
1/
И н тервал времени х' м еж д у тиканием д в и ­
ж ущ ихся часов по нашим наблю дениям о к а ­
зы вается больше чем х. Л ю бой н а б л ю д а ­
тель долж ен обнаружить, что дви ж ущ иеся
часы тикаю т медленнее точно таких ж е по­
коящихся часов.
Но не происходит ли это со световыми ч а ­
сами из-за специфических свойств света?
А обычные механические часы, детали кото­
рых д виж утся куда медленнее, чем свет,
будут ли они т а к ж е з а м е д л я т ь свой ход в
1/У 1— о2/с2 раз? Эйнштейн отвечает на этот
вопрос утвердительно, ибо это свойство не
имеет никакого отношения к устройству тех
или иных часов, а п редставляет собой свой­
ство, присущее самому времени. Чтобы д о ­
казать это, предположим, что мы скрепили
световые и ручные часы с одинаковым хотовы е часы В короче, чем А . Э то д а л о бы нам с р е д ­
ство д л я о б н ар у ж ен и я абсол ю тн ого д ш ж е н и я, что
наруш и ло бы принцип относительности.
335
дом. З а тем они стали двигаться со ско­
ростью V и световые часы стали отставать,
как им и подобает, а ручные — нет. Тогда у
нас появится простой способ регистрировать
абсолютное движение: если часы идут оди­
наково — значит, они покоятся, если свето­
вые часы отстают, то все знают, что они д ви ­
жутся. Тем самым, конечно, наруш ается
принцип относительности, на котором осно­
вывалось наш е обсуждение.
Поскольку зам едление течения времени
есть свойство, приеущее самому времени, то
зам ед ляется ход не только всех д в и ж у щ и х ­
ся часов, но и всех физических процессов.
Например, зам ед ля етс я скорость химических
реакций, протекаю щих в движении. П о ­
скольку ж и зн ь состоит из сложны х химиче­
ских превращений, ее течение т а к ж е д о л ж ­
но зам ед ля ть ся в том ж е самом соотноше­
нии. Д а ж е физические процессы, вклю чая
распад радиоактивны х образцов, долж ны
зам ед ля ть ся в 1/У 1— и2/с2 раз. П роявление
этого эф ф екта в увеличении периода полу ­
распада н аблю далось непосредственно на
пучке нестабильных частиц. я-М езон (или
пион) п р едставляет собой нестабильную ч а с ­
тицу с периодом полу расп ад а 1,8 - 10-8 сек.
Пучок пионов можно получать на ускорите­
ле. На фиг. 249 показан такой типичный пу­
чок от синхроноциклотрона.
П рим ер. С корость пионов в пучке р а в н а о = 0,6 с.
З а к ак ое врем я р а сп а д е тс я половина пионов? К акой
путь они успею т пройти за это врем я?
Н аб л ю д а е м о е значение п ериода п о л у р а сп ад а V
б у д ет р авн о 1,8- 10~8 сек, у м н ож ен н ое на
У 1 — 0 , 62
/0 ,6 4
Т аким о б р а зо м , период п о л у р а сп ад а увели чится на
25 % , т. е. Т ' б уд ет равн о 2,25- 10-8 сек. З а это врем я
пионы успею т пройти расстоян и е
В = х>Т' = 0 ,6 ■ 3 • 1010 • 2 ,2 5 • 10-8 см = 4 ]05 м .
Вопрос 4. Б у д у т ли световы е им п ул ь­
сы на фиг. 248, б р а сп р о с т р ан я т ьс я по
мнению п окоящ егося н а б л ю д а т ел я с
одной и той ж е скоростью?.
336
З ам ед л ен и е течения времени н а б л ю д а ­
лось не только у «микроскопических» часов
в виде нестабильных элементарны х частиц.
Фиг. 249. П уч ок пионов, созданны й
пучком протонов на внутрен ней ми­
ш ени си н хроц и к лотрон а.
я -М езо н ы р о ж д а ю т ся в р е зу л ь т а т е с т о л к ­
новений протонов с миш енью , о ткл о н яю тся
м агнитны м полем и н ап р а в л я ю т ся в л а б о ­
р ато р но е пом ещ ен ие.
В 1960 г. этот эффект впервые н аб лю д ал ся
у макроскопических часов. Н аиб олее точ­
ным ходом о б л а д а ю т часы, основанные на
так
н азы ваемом
э ф ф екте
М ёссбауера.
В мёссбауеровских «часах» используются
фотоны, испускаемые радиоактивны м изото­
пом ж елеза, входящим в состав кри сталл а
ж елеза. Одинаковые мёссбауеровские часы
показы ваю т одно и то ж е время с точно­
стью 10~16. Изменение времени на такую
долю приводит к резкому увеличению скоро­
сти счета фотонов. В опыте по проверке з а ­
медления хода времени мёссбауеровские
часы приводились в быстрое вращение и,
как оказалось, шли медленнее в 1/У 1— о2/с2
раз идентичных покоящ ихся часов. Таким
образом, теория вновь бы ла подтверждена.
§ 5. Парадокс близнецов
В ЕЧ Н А Я
О твет 4. Д а , но световой им пульс В
д в и ж е тс я м едлен нее относи тельно св о ­
их с ве то зы х часов, к оторы е т а к ж е д в и ­
ж утся.
М ОЛОДОСТЬ?
В преддверии исследования космоса с т а ­
ло общеизвестно, что космические путешест­
венники не будут стареть т а к быстро, к а к их
братья на Земле. В самом деле, если бы пу­
тешественник в космосе мог двигаться со
скоростью света, то он не старел бы вообще.
Этот вывод о зам едлении хода времени
для космических путешественников я в л я ­
ется прямы м следствием вы раж ен и я ( 11.8).
337
Д л я земного н аб лю д ател я часы и все ф и ­
зические процессы на космическом ко р а б ­
ле, летящ ем со скоростью V, вклю чая саму
жизнь, д о лж н ы зам едли ться в 1/У 1— а 2/с2
раз.
П рим ер. Р ассм о тр и м д в у х б лизнецов Л и В в в о з­
р асте 20 лет. О дин из них (В ) о т п р ав л я е тс я в к ос­
м ическое п утеш естви е к зв е зд е А рк тур на к о р аб л е,
л етящ ем со скоростью ч = 0 ,9 9 с. Д л я ж и тел ей З ем ли
р асстоян и е д о зв е зд ы А рктур с о с т а в л я е т 40 световы х
лет. С к олько л ет б у д ет б л и зн ец ам А и В , к о гд а В , з а ­
кончив свое п утеш естви е, вер н ется о б р а тн о на Зем лю ?
С точки зр ен и я близнеца А путеш естви е за й м е т
на 1% бол ьш е врем ени, чем тр еб у ется свету, чтобы
д о л е те ть д о зв е зд ы и о б р атн о (80 л е т ), т. е. когд а
В верн ется, в о зр а с т А б у д ет р а ве н 2 0 + 8 0 ,8 , или
100,8 лет.
С точки зр ен и я близнеца В ч а с ы на космическом
к о р аб л е б у д у т идти м едлен нее в 1/У 1— 0,992= 1 /|0 ,0 2 =
= 1/0,141 р а за . Э то зн ач и т, что за врем я путеш ест­
вия на к о р аб л е п р ой дет 80,8 го д а, ум нож ен ны е на 0,141,
или 11,4 года. И т а к , к к онцу путеш естви я близнец В
б у д ет в в о зр а ст е 2 0 + 1 1 ,4 = 3 1 ,4 го д а. С л ед овател ьн о,
он о к а ж е т с я м о л о ж е своего б р а т а , остав ш его ся на
З е м л е , на 69,4 года.
Космический путешественник не чувству­
ет, что его время идет медленнее. В приве­
денном выше примере расстояние до звезды
Арктур ка ж ет с я близнецу В укороченным
б ла го д а р я лоренцеву сокращению. По его
измерениям расстояние от Зем ли до звезды
Арктур составл яет У1— 0,992 Х 40 световых
лет, или 5,64 световых лет. Кроме того, ему
каж ется, что Зе м л я у д ал яется с той же
относительной скоростью « = 0,99 с. Итак,
согласно расчетам близнеца, летящ его в кос­
мическом корабле, чтобы достигнуть звезды
Арктур, ему понадобится на 1 % больше
времени, чем свету (5,64 световых лет),
т. е. 5,7 лет, а чтобы долететь до Арктура
и вернуться о б р а т н о — 11,4 года. Этот ре­
зул ьтат согласуется с вычислениями б ли з­
неца А, оставш егося на Земле.
О днако возникает к аж у щ и й ся парадокс,
а именно если космонавт взглянет на З е м ­
лю, то он увидит, что земные часы идут м ед ­
леннее, чем его часы. К а зал о с ь бы, б ли з­
нец А в конце путешествия о каж ется моло­
же
В,
что противоречит
предыдущим
аргументам. В самом деле, если скорость
действительно относительна, то как вообще
мож но прийти к асимметричному р е зу л ь та­
ту? Р а з в е из симметрии не следует, что оба
б р ата д олж ны остаться в одинаковом в о з р а ­
сте?
Н а первый в згл яд ка ж етс я, что теория
Эйнштейна ведет к противоречию. Н о п а р а ­
докс устраняется, если учесть, что з а д а ч а
несимметрична по своей природе. Близнец
на З е м л е все время остается в одной и той
ж е инерциальной системе отсчета, тогда как
его брат — космонавт — переходит из одной
системы отсчета в другую. П рави л ьн ое при­
менение уравнений Эйнштейна т а к ж е при­
водит к выводу, что с точки зрения космо­
навта его брат, оставшийся на Земле, к кон­
цу путешествия о ка ж ет с я старше.
Споры вокруг п ар ад о к с а близнецов (н а ­
зы ваемого т а к ж е парадоксом часов) имеют
свою долгую историю
В настоящ ее время
почти все физики приемлю т приведенную
нами интерпретацию. О д н ако есть ряд ф и ­
лософов и д а ж е несколько м атематиков, ко­
торые во всеуслыш ание утверж даю т, что ф и ­
зический возраст у близнецов на самом деле
будет один и тот же. Э. М ак м и л л ан п оказал,
что лю дям не удастся использовать на
практике зам едление хода времени в косми­
ческих путешествиях. Эф фекты будут п ре­
небрежимо малы, если не считать случая,
когда
скорости
близки
к
скорости
света,
В § 8 мы увидим, что д ля достижения
столь больших скоростей потребуется кине­
тическая энергия, сравн и м ая с энергией по­
коя космического корабля. Д а ж е если бы
энергию, вы свобож даю щ ую ся при делении
ядер, удалось использовать со 100-процент­
ной эффективностью, то все равно ее о к а з а ­
лось бы в 1000 раз меньше, чем требуется.
Вопрос 5. Н е о к а ж е т с я ли к о см он авт,
соверш аю щ ий просто о рби тал ьн ы й п о­
л ет вокруг
Зем ли, м олож е
своих
сверстни ков?
1 См., нап ри м ер, книгу: Д . В. С к о б е л ь ц ы н ,
П а р а д о к с часов, и зд-во « Н а у к а» , 1967. — П рим . ред.
339
§ 6. Релятивистское сложение
скоростей
О -(- С — С
Лоренцево сокращ ение и зам едление те­
чения времени представляю т собой прямые
следствия преобразований Л оренца. Из этих
С точки зр ен и я н а б л ю д а т е л я на п равом
уравнений п реобразован ия мож но получить
сам о л ете , левы й с ам о л ет п р и б л и ж ае тся к
нем у со скоростью
и
ко то р ая м еньш е
т а к ж е формулу п реобразован ия скоростей.
сум м ы ( и + у ).
Пусть, к примеру, в некоторой системе отсчеНадлюдатель та тело дви ж ется со скоростью и (реактив■й ж
ный самолет на фиг. 250). К акую скорость и'
самолета измерит н аблю датель, д ви ж у щ и й ­
ся со скоростью о? Если применять классическую физику, то и' = и + у. Однако, согласно
Эйнштейну,
Зем ля
Фиг. 250. Д в а реакти в н ы х сам о л ета,
л ет ящ и е соответствен н о со ско р о с т я­
ми и и у относи тел ьно Зем ли.
Релят ивист ское слож ение
скоростей
и =
(11.9)
их
1 + —.
Это вы р аж ен и е легко получить из п р ео б р а­
зований Л оренца, разделив уравнение для
х ' (11.6) на уравнение для I' (11.7):,
х'
X -{ -V I
Поделив числитель и зн ам енател ь правой
части на I, мы получим
х
С точки зрения покоящегося н аблю дателя
тело дви ж ется со скоростью и = х Ц , а с точки
зрения движ ущ егося н аб лю д ател я то ж е тело
движется со скоростью и' = х'/У. П о д ставл яя
эти значения хЦ и х'Ц', мы получаем формулу (11.9).
О тв ет 5. Д а , но вели чин а У1— V2/с 2
стол ь бл и зка к единице, что эф ф ек т не
б у д ет зам етен .
340
П р и м ер 1. П у с ть скорости д в у х р е акти вн ы х с а ­
м олетов на фиг. 250 по отнош ению к Зе м л е равн ы
соответственно « = 2 0 0 0 км /час
и и = 1000 км !час.
Ч ем у р а в н а скорость л евого с ам о л е та , и зм ер ен н ая с
б орта п равого сам о л е та ?
и
~
2 0 0 0 + 1000
2 • 10е =
3000
1 + 2 , 2 • 1 0 "12 =
»+ —
= 2999,999999995 к м /с е к .
П р и м е р 2. Н ейтрон — н ест а б и л ьн ая части ц а; он
р а с п а д а е т с я на протон, эл ек трон и анти нейтри но
N — > -Р + е _ + V . Д о п у сти м , что если нейтрон покоится,
то скорость в озн и к аю щ его при р а с п а д е эл ектр о н а р а в ­
на 0,8 скорости света. К акой б у д ет скорость э л е к т ­
рона, если р а с п а д а е т с я нейтрон, д в и ж у щ и й с я в том
ж е н ап равлен и и со скоростью 0,9 скорости света?
Н а ш а систем а отсчета, в которой эл ек трон вы ­
л е т а е т со скоростью « = 0,8 с, сам а д в и ж е т с я со с к о ­
ростью у = 0 ,9 с. П о д с т а в л я я эти зн ач ен и я в (11.9),
получаем
0 ,8 с + 0 ,9 с
“ — 1 + 0 ,8 • 0 ,9 =
1 ,7 0
1 ,72
с’
П р и м е р 3. Э л ем е н т ар н ая части ц а под н азв ан и ем
нейтрино д в и ж е т с я со скоростью света ( и = с ) . Н а ­
б л ю д ат ел ь д в и ж е т с я со скоростью о по н ап равлен и ю
к нейтрино. К а к о в а скорость нейтрино с точки зр е ­
ния д в и ж у щ его ся н аб л ю д а т ел я?
и' =
С+ V
—
1+
Вопрос 6. Б у д у т ЛИ, по мнению тр етьего н а б л ю д а т е л я на ф иг. 247, а, дв и ж у щ е го с я со скоростью о/2, оба метровнх? с те р ж н я
им еть о д и н ак о в у ю
длину'
с2
= —
С +
V
— = с.
с (с + ^
И з прим ера 3 мы видим, что свет (или
вообщ е лю б а я части ц а), дви ж ущ ий ся со ско­
ростью с, долж ен иметь эту ж е скорость с
точки зрения любого наб лю д ател я, н езав и ­
симо от скорости его движения. К а к утверж ­
далось выше,
п реоб разован ия Л орен ц а
тран сф орм ирую т пространство и время ка к
раз таким образом, что свет всегда р аспрост­
раняется с одной и той ж е скоростью с с точ­
ки зрения всех наблю дателей.
Мы д о к аза л и сейчас справедливость
этого, ибо результат прим ера 3 является
прямым следствием формулы ( 1 1 . 9 ) , которая
в свою очередь п редставляет собой прямое
следствие преобразований Л оренца. Одно из
основных следствий уравнения ( 1 1 .9 ) Эйнштейна зак л ю ч ается в том, что никакое тело
н е м о ж е т д ВИгаться СО скоростью, превышаю щей скорость света. Действительно,
341
если скорость тела п риб л и ж ается к скоро­
сти света, то его объем вследствие лоренцева сокращ ения стремится к нулю. Кроме
того, из формулы (11.9) следует, что какую
бы скорость мы ни сообщ али наш ему телу,
его скорость не мож ет превысить скорости
света и '= с . С другой стороны, законы
Ньютона допускаю т, чтобы тела двигались
со скоростями, превыш аю щ ими скорость све­
та. В § 8 мы увидим, какие изменения необ­
ходимы, чтобы привести классическую м е х а­
нику в соответствие с уравнением Эйн­
штейна.
§ 7. Одновременность
БУДУЩ ЕЕ
О тв ет 6. Н ет. П о мнению этого н а ­
бл ю д ат ел я, с те р ж е н ь -Л д в и ж е т с я в л е ­
во со скоростью у = 0,3 с, а согласно
эй н ш тей н овском у слож ен и ю с ко р о с­
тей, стер ж ен ь В д в и ж е т с я в п р а в о с
V = 0,366 с.
342
М ОЖ ЕТ
ОПЕРЕДИТЬ
ПРО Ш ЕД Ш ЕЕ
Физическая причина, по которой один
н аб лю д ател ь полагает, что метровый стер­
жень короче, нежели считает другой н аб л ю ­
датель, состоит в следующем. Д ел о в том,
что события, одновременные д ля одного из
них, не будут одновременными для другого.
Д л я того чтобы измерить длину метрового
стержня, надо одновременно измерить по­
лож ение обоих его концов. Воспользобавшись в качестве примера фургоном, мы про­
демонстрируем, что д ва события, одно­
временные
по
мнению
покоящегося
н аб лю д ателя, не будут одновременными для
н аб лю д ател я в дви ж ущ ем ся фургоне. Р а с ­
смотрим фургон длиной Ь (измеренной в со­
стоянии покоя). Н а б л ю д ател ь В в середине
фургона и зм еряет длину и получает величи­
ну Ь (фиг. 251). П ридум аем теперь д ля н а ­
блю дателя А способ измерить длину д в и ж у ­
щегося фургона и тем самы м подтвердить
наличие лоренцева сокращ ения. Пусть в тот
момент, когда В п роезж ает мимо А, в оба
конца фургона одновременно, по мнению А,
уд ар яю т молнии. Изм ерив расстояние между
следами, которые оставят молнии на колее,
А получит следующий результат:
Ь' = ЬУ 1— V 2 | с 2 .
Фиг. 251. О тносительн ость
менности.
одн овре-
Н а б л ю д а т е л ь А ви ди т, что молнии о д н о ­
врем ен но у д а р я ю т в кон цы ф ургона. Н а б л ю д а т ел ь В д в и ж е тс я н австр ечу световой
всп ы ш ке с п р а в а и первой «встречает» ее.
П о его мнению , с н а ч а л а у д а р и л а молния:
Справа.
О днако не менее удивительно, что по у т ­
верждению В сн ач ал а молния у д ар и л а
справа. Безусловно, с точки зрения А чело­
век в фургоне дви ж ется навстречу вспышке
света от правой молнии и сн ач ал а увидит ее.
Но если В сн ач ал а видит вспышку справа,
У
то этот свет достигает его первым, н езав и ­
симо от того, кто является наблю дателем.
Но по мнению В , обе молнии ударили на од и ­
наковом расстоянии от него и коль скоро он
собственными
г л азам и
видел
сн ач ал а
вспышку справа, то, по его мнению, первой
уд ар и л а молния справа. С тоящий там же,
но д виж ущ ийся влево н аб лю д ател ь С бу­
дет утверж д ать, что первой уд ари ла левая
молния. Мы приходим к следующему вы во­
ду. Коль скоро два события происходят в
пределах п ром еж утка времени, необходи­
мого для распространения света от места,
где произошло одно, к месту, где произошло
другое, порядок, в котором они происходи­
ли,— не определен. Он зави си т от скорости
н аблю дателя. В такой ситуации, выбрав под­
ходящим образом дви ж ущ егося н аб л ю д а т е ­
ля, можно заставить события будущего пред ­
шествовать событиям прошлого.
§ 8. Релятивистская механика
МАССА Е С Т Ь Э Н Е Р Г И Я , Э Н Е Р Г И Я
ЕС ТЬ МАССА
Эйнштейн об нару ж и л, что классические
законы сохранения энергии и импульса не­
совместимы с п реобразован иям и Л оренца.
Например, пусть происходит упругое сто л к­
новение двух тел одинаковой массы М 0 (уп­
ругое столкновение означает, что меняются
343
лишь н ап равлен ия, но не величины относи*
тельных с к о р о стей ). В этом случае величина
М0
+ Мо ©а неодинакова до и после столк­
новения (это легко продемонстрировать, ис­
пользуя п реоб разован ия Л орен ц а д ля пере­
хода из системы центра масс в л а б о р а т о р ­
ную систему). И так, полный импульс в
классической физике не об язательн о с о х р а­
няется. О д н ако в той ж е ситуации величина
( _____ **_____ «, + ______ ^ _____ « Л
( |/1 - «*/*
1 + ]Л1 - 41*
)
не меняется в результате упругого столкно­
вения. И так, Эйнштейн предположил, что
если ввести новое определение импульса, как
М у , где
Р елят ивист ская м асса
М =
° =■ ,
1Г 1—ц2/ с а
(11.10)
'
то импульс будет сохраняться. Эйнштейн
предположил так ж е, что этот новый закон
сохранения долж ен то ж е выполняться и
для систем частиц с неодинаковыми м а с с а ­
ми, участвующим'и в неупругих соударениях.
Подобное д ал ек о идущ ее предположение
следовало всесторонне проверить на опыте.
Были проведены многочисленные точные
проверки, и новый закон сохранения массы,
энергии и импульса в формулировке Эйн­
штейна о к а з а л с я справедливы м и получил
всеобщее признание.
Одна из экспериментальных проверок со­
стоит в измерении импульса и скорости
электронов в электронных синхротронах на
высокие энергии. С точностью до ошибок
эксперимента измерения скорости электро­
нов на К ем бри дж ском электронном ускори ­
теле (СШ А) д а л и значение и = с. Импульс
можно измерить с точностью до долей про­
цента. Изм ерение отношения импульса к
скорости (по определению это инертная м а с ­
са) д ал о величину, которая в 12 000 раз
больше массы покоя электрона. Эти кем­
бридж ские электроны, достигнув полной
энергии, о казы ваю тся в действительности в
6 раз тяж ел ее протонов! О днако обычные
344
Фиг. 252. З а в и си м о сть массы от ско ­
рости.
З а м е т ь т е, что при а = 0 ,5 с м асса увели чив а е т ся л иш ь на 15,5%,
Масса
т = -
ТПо
V'
1
,2
с*
//
макроскопические тела, такие, как р еакти в ­
ные самолеты и космические ракеты, д в и ­
ж утся со скоростями много меньше скорости
света. Поэтому их масса с точки зрения всех
практических н уж д остается равной массе
покоя. Увеличение массы со скоростью изо­
б раж ено на фиг. 252.
П р и м е р 1. Э лектроны К орн ел л ск ого у н и верси те­
та дости гли скорости 0 = 0 ,999999955 с. Ч ем у р авн а
м асса этих эл ектрон ов?
М ■
Мп
V
1 — (0,999999955)2
у
0,00000009
Мп
~
3 • 10-1 -
М = 3300 м 0.
т0
Масса покоя
—'
И так , эл ек трон ы в К орн ел л е
т я ж е л е е п окоящ ихся.
о к а за л и с ь
в 3300 р аз
Часто мы сталкиваем ся с обратной з а д а ­
чей: масса возрастает в зад ан н ое число раз;
требуется вычислить скорость. Д л я этого
возведем в кв ад р ат обе части ( 11. 10):
1
0,5 с
С корост ь V
,л2
М 2=
1
М0
м
м„
м
т-У<-
Мо
м
( 11. 11)
Ещ е одно следствие преобразований Л о ­
ренца: полная релятивистская масса, а с л е­
довательно, и величина ( М ^ + МгС2) о ста­
ются неизменными при взаимодействии двух
частиц. Эйнштейн отождествил это у т в е р ж ­
дение с законом сохранения энергии и по­
ка зал , что в пределе малы х скоростей напи­
санное выше вы раж ен и е стремится к к л а с ­
сической записи закона сохранения энергии.
Эйнштейн предположил, что величина
Соот нош ение Э йнш т ейна м еж ду
м а ссо й и эн ер ги ей
Г =
(11.12)
345
представляет собой энергию частицы. Э н ер ­
гию можно в явном виде зап и сать как ф ун к­
цию скорости, подставив в формулу ( 11. 12)
правую часть (11.10). При этом получим
(11.13)
П ока это в ы раж ение совсем не похоже на
классическую формулу № = М ь 2/ 2. С вязь
между (11.13) и классической формулой
1/ 2М ь 2 м ы
продемонстрируем на стр. 347.
П редполож им, что у = 0. Тогда из (11.13)
следует, что масса будет о б л а д а ть энергией
(11.14)
Эйнштейн интерпретировал эту величину
ка к собственную энергию, или энергию покоя.
Он утв ер ж д ал , что если исчезает некоторое
количество массы покоя М 0, то при этом
д о л ж н а выделяться энергия, р авн ая М 0с2.
Мы имеем здесь дело с прямым превращ ени ­
ем части энергии покоя, которое служ и т ис­
точником громадного количества энергии,
в ыделяю щ егося в атомных бомбах.
В действительности количество энергии,
которое мож но получить таким путем, строго
ограничено. Закон сохранения тяж ел ы х
частиц (гл. 5) утверж дает, что при любом
взаимодействии полное число протонов и
нейтронов долж но оставаться постоянным.
По этой причине мы никогда не сможем по­
лучить энергию в 9 - 1020 эрг из 1 г песка.
П рим ер 2. К а к а я эн ергия с о д ер ж и т с я в 1 г пес­
к а? С равн и те ее с 7000 к а л , которы е в ы деляю тся при
сж и ган и и 1 г угля.
Э нерги я покоя 1 г вещ ества р а в н а
Г =■ I г • (3 • 1010 с м /с е к )2 = 9 • 10го эрг.
П ри сж и ган и и 1 г угля в ы д е л яе тс я
Вопрос 7. Ч то о зн ач ае т терм ин м а с­
са: м асса покоя, и н ертн ая м асса или
гр ав и тац и о н н ая м асса?
346
7000 ка л ■ 4 , 1 8 - 107 э р г /к а л — 2 ,9 • 1011 эрг.
Т аким образом , эн ерги я покоя
скую энергию в 3,1 • 109 раз.
превы ш ает
хим иче­
П р и м е р 3. Е сл и при в зр ы в е 1 т т р и н и тротол уол а
(Т Н Т ) в ы д е л яе тс я 109 к а л , то к а к о е количество м ас ­
сы д о л ж н о п рев р ати ться в энергию при в зры ве б о м ­
бы мощ ностью в 1 Мт?
М =
И?
с2
109 ■ 4 ,1 8 • № эрг
= 4 , 6 • 10-6 г.
9 - 1020 с м 2!с ек 2
Это д е ф е к т м ассы , соответствую щ ий взры ву 1 т
ТН Т. П ри в зр ы в е бом бы м ощ н остью в 1 Мт в эн ер ­
гию д о л ж н а п рев р ати ться в м иллион р а з б о л ь ш ая
м асса, или 46 г. Н а сам ом д ел е д л я такой бомбы
тр еб у ется в 1000 р а з больш е д е л я щ е го с я вещ ества.
П олное число протонов и нейтронов при ядерном
в зры ве остан ется постоянны м . Б о л е е подробно этот
вопрос б у д ет р а зб и р а т ь с я в гЛ. 15.
Определение кинетической энергии о с т а ­
ется прежним: кинетическая энергия — это
энергия движения. Эту энергию можно по­
лучить, если из полной энергии вычесть
энергию покоя
Як„н = И ? - И ? о -
( 1115)
Эту величину мож но непосредственно в ы р а ­
зить через скорость, воспользовавшись ф ор ­
мулами ( 11. 10) и ( 11. 12):
^кин = М с2 — М 0с2,
' \ М 0с2,
ИЛИ
М 0с2.
П о к аж ем теперь, что при малы х скоростях
полученное в ы раж ение стремится к 1/2М 0у 2.
В соответствии с формулой бинома Н ь ю ­
тона *> величину [1 — ( у 2/ с 2 ) ] ~ '/2 при о / с < § ; 1
можно зам енить величиной [ 1Н- х/2 (г^2/с2) ].
Таким
образом мы получим известное
из классической механики выражение:
Е к„ О тв ет 7. В этой книге м асса о б о зн а ­
чает
инертную
м ассу, а согл асн о
принципу эк в и в ал ен тн о сти , и н ертн ая
и г р а в и т ац и о н н а я
м ассы — одно и
то ж е.
[(1 + - 1 - - 2 1 ) _ 1 ] л ^ = . - 1 - М лЛ
*> Ф ор м у л а д л я р а зл о ж е н и я
(1 + а )п = 1 -|- па -\-
бином а им еет вид
п ( п — 1)
|"Т"2
а "Ь • ■•
347
Первое экспериментальное п о дтв ерж де­
ние соотношения Эйнштейна меж ду массой
и энергией было получено в результате с р а в ­
нения энергии, выделившейся при р а д и о а к ­
тивном распаде, и разности масс исходного
яд ра и конечных продуктов. В качестве
примера возможной проверки соотношения
№ = М с 2 в лаб о рато рн ы х условиях р ассм от­
рим простейший случай р -распада — р-рас­
пад свободного нейтрона. Свободный ней­
трон р асп адается на протон, электрон и а н ­
тинейтрино (масса покоя антинейтрино V
равна нулю)
N -* Р + ег + V .
При
этом
высвобож дается
энергия
1,25-10_6 эрг. И зм ерен н ая на опыте м асса
покоя нейтрона больше суммы масс протона
и электрона на 13,9 -10-28 г. Этому коли­
честву
массы
соответствует
энергия
13,9- 10“ 28-с2 = 1,25-10~6 эрг. Эта энергия,
соответствующ ая изменению массы, со в п а­
дает с измеренной кинетической энергией
продуктов р аспада, которая в пределах точ­
ности измерений т а к ж е равна 1,25-10_6 эрг.
П р и м е р 4. К и н ети ческая эн ер ги я некоторой ч ас­
тицы р авн а ее энергии покоя. Ч ем у р авн а скорость
частиц ы ?
Г
=
Е к и н
+
М
0с 2 ,
М с2 = М 0с2 + М 0с 2 , п о с к о л ь к у Е кин = М 0 с 2 ,
М„
М
1
~
2
'
П о д с т а в л я я это отнош ение в (11.11), находим
я = _ У З _ с = 0, 866с.
2
Вопрос 8. Ч то больш е:
Е кш = ( М - М 0)с *
или
к л асси ч еск ая вели чин а М а о2/ 2?
348
П р и м ер 5. У скоритель протонов Б е в ат р о н с о о б ­
щ ает протонам кинетическую энергию 10-2 эрг. Во
скол ько р а з в о зр а с т а е т м асса т ак и х протонов? М асса
покоя протона р а в н а 1,67 • 10-24 г.
Фиг. 253. И скри в л ен и е световы х л у ­
чей в поле силы т я ж е ст и С олнца.
Н а й д е м с н а ч а л а энергию пок оя п ротона:
М 0с* = 1 ,67 - 10-24 ■ (3 • Ю1")2 — 1 , 5 - 10"3 эр г,
Г - 'Ъ
- - ^ е е ся
^кин +
О2
10-2 + 1 ,5 ■ 10_3
1 ,5 • Ю -з
М ы видим , что протоны на
т я ж е л е е обы чны х протонов.
= 7 ,6 8 .
Б е в а т р о н е в 7,68 р а за
В заклю чение отметим, что любой форме
энергии д о л ж н а соответствовать определен­
ная м асса М =У Р/с2. Н априм ер, световые
волны, несущие энергию й? и не имеющие
массы покоя, о б ладаю т массой №/с2. В прин­
ципе массу света можно измерить, у л а в л и ­
вая его ящ иком с абсолютно отраж аю щ и м и
стенками. С одер ж ащ ий свет ящ ик будет ве­
сить больше ящ ика, в котором света нет.
Но эта разн и ца настолько м ала, что ее не­
возможно измерить д а ж е самыми точными
приборами. Впрочем, имеется один изм ерен­
ный эффект, связанны й с наличием у света
массы. Если световые волны о б ладаю т м а с ­
сой, то б л а го д а р я силе тяж ести они д о л ж ­
ны притягиваться Солнцем. Это искривление
световых лучей в направлении С олнца п ри ­
водит к зам етному смещению каж ущ егося
полож ения звезд, наб лю д аем ы х вблизи
С олнца во время затм ения (фиг. 253). К ак
мы увидим в следующем п араграф е, наличие
инертной массы у света находится в ком пе­
тенции специальной теории относительности,
тогда ка к гравитационное отклонение све­
та — эф ф ект общей теории относительности,
§ 9. Общ ая теория относительности
РЕЛЯТИ ВИСТСКО Е ТЯГО ТЕН И Е
Ответ 8. К л ас с и ч е с к а я величина м ень­
ше. Э то хорош о в идн о в пределе, к о г ­
д а V п р и б л и ж ае тс я к с. В этом с л у ч ае
р е л ят и в и с тс к а я Е кив с трем и тся к б ес­
конечности, а М 0и2/2 к М 0с2/ 2.
То, что мы до сих пор н азы вали теорией
относительности Эйнштейна, иногда н а зы ­
вают специальной теорией относительности
в отличие от общей теории относительности,
п ервая часть которой б ы л а р а зр а б о та н а
Эйнштейном в 1911 г., спустя шесть лет после
опубликования его специальной теории от349
Вопрос 9. Е сли эн ер ги я светового имп ульса р авн а 9 эрг, то чем у р авн а его
м асса в г.
350
носительности. О б щ а я теория относительности на самом деле п р ед став л яе т собой со­
временную релятивистскую теорию тяготе­
ния.
В теории тяготения Н ью тона п о др азум е­
вается, что си ла Р = С М \ М 21г2 действует
мгновенно. Это означает, что сигнал или
энергия могут п ер ед аваться мгновенно. Т а ­
кое у тверж дение противоречит одному из ос­
новных принципов относительности, а имен­
но: ни энергия, ни сигнал не могут распро­
страняться быстрее света.
Таким образом , Эйнштейн столкнулся с
проблемой релятивистской теории тяготения.
Он считал, что его новая теория д олж н а
удовлетворять принципу относительности и
в то ж е время автоматически содерж ать
тождество гравитационной и инертной масс.
Это условие привело Эйнштейна к постули­
рованию так назы ваем ого принципа э к в и в а­
лентности. Этот принцип утверж дает, что
поле силы тяж ести эквивалентно у скоряю ­
щейся системе отсчета. Н апри м ер, п а с с а ж и ­
рам при старте ракеты с ускорением вверх
каж ется, что сила тяж ести внезапно у в ел и ­
чилась. Если ускорение ракеты относительно
Зе м л и а = 2§, то вес п ассаж и р ов и всего со­
держ им ого ракеты увеличится в 3 р аза по
сравнению с их нормальны м весом. Эта
«псевдогравитационная» сила в точности
пропорциональна инертной массе. Ни один
физический эксперимент внутри ракеты не
поможет п ас с а ж и р а м выяснить, внезапно ли
увеличилось в 3 р а за земное притяжение или
просто р акета приобрела ускорение относи­
тельно Земли.
М атематические приемы, которыми п оль­
зо в ал ся Эйнштейн для формулировки прин­
ципа эквивалентности в общей теории отно­
сительности, выходят за рамки данной книги.
С мысл этого описания сводится к тому, что
л ю б а я м асса «возмущ ает» прилегающее
пространство так, что траектории всех сво­
бодно дви ж ущ ихся тел оказы ваю тся одинаковым образом искривленными в направлении массы> вызы ваю щ ей это возмущение,
Уравнения Эйнштейна связы ваю т кривизну
Ответ 9. М асса р а в н а
_ Е _ = _ ? _ = 10-го г
°г
9 • 1020
с силой источника (массой). С точки зрения
классической физики любое тело, д в и ж у щ е ­
еся по криволинейной траектории, уско­
ряется и, следовательно, долж но находиться
под действием некоторой силы. В общей тео­
рии относительности именно это ускорение
и является тем общим свойством простран­
ства, которое л еж и т в основе тяготения. П о ­
скольку возмущение присуще самому про­
странству, его эф ф ект будет одинаковым для
любой инертной массы и, следовательно,
принцип
эквивалентности
автоматически
удовлетворяется.
Одно из следствий общей теории отно­
сительности состоит в том, что свет, о б л а ­
д ая инертной массой, теряет энергию на
преодоление гравитационного притяж ения
испускающего его тела. В гл. 12 мы увидим,
что потеря светом энергии о зн ачает увел и че­
ние его длины волны. Этот э ф ф ект н а з ы в а е т ­
ся гравитационным кра сны м смещением.
Такое смещение н аб л ю д ае тся в сп ек тр ал ь ­
ных линиях С олнца и т я ж е л ы х звезд. Таким
образом, атомные часы на поверхности
Солнца идут медленнее тех ж е самых часов
у нас, на Земле. К а к и след овал о ож идать,
о б щ ая теория относительности п р ед ск а зы в а­
ет, что все часы в поле силы тяжести д о л ж ­
ны за м е д л я т ь свой ход. Если д ва совершенно
идентичных э к зе м п л я р а часов на З ем л е по­
местить друг от д руга на расстоянии 1 м по
высоте, то ниж ние часы будут ежесекундно
отставать на 10“ 16 сек. В первые.эталоны ч ас­
тоты, о б л а д а ю щ и е такой точностью, были
созданы в 1960 г. на основе явления испус­
кания фотонов радиоактивны ми ядрам и в
кри сталле (см. гл. 15). Это явление, позво^
л яю щ ее достичь такой точности измерения
частоты, получило н азван ие эффекта Мёссбауера.
Д о последнего времени в лаборатории не
у д ав ал о сь провести эксперимент по провер­
ке общей теории относительности. Однако
теперь с помощью новых эталонов частоты
в л аб ор атор н ы х условиях наконец было показано, что сила тяж ести действительно зам ед л яе т время. Впервые так ие эксперименты
351
были выполнены в 1960 г. в 70-футовой
б аш не Г ар вардского университета.
Кроме этого, имелось всего три экспери­
ментальных результата, подтверж давш их,
казал о сь бы, общую теорию относительности
и полученных несколько десятилетий назад.
Это — искривление звездного света около
С олнца (см. фиг. 253), красное смещение в
спектрах т яж ел ы х звезд и движение периге­
лия М еркурия. Точность этих результатов
бы ла столь низкой, что до последнего в р е­
мени об щ ая теория относительности счита­
л ась недостаточно обоснованной. С другой
стороны, специальная теория относитель­
ности была четко п одтверж дена на опыте.
§ 10. Принцип Маха
АБСОЛЮ ТНО
ЛИ
УСКОРЕНИЕ?
Мы установили, что абсолютной скорости
не существует. С другой стороны, ускорение
абсолютно д а ж е с точки зрения самой совре­
менной теории относительности. Величину
абсолютного ускорения мож но измерить с
помощью прибора, назы ваем ого аксел еро­
метром. В качестве простейшего ак сел ер о­
метра мож но использовать пружину с гру­
зом на конце. Если упругость пружины не­
изменна и масса известна, то величину
ускорения мож но определить по натяж ению
пружины. Рассмотрим несколько н аб л ю д ате­
лей, д виж ущ ихся с ускорением друг относи­
тельно друга. Тогда среди бесконечного
числа возможны х систем отсчета найдется
т а к а я система, в которой измеренное ускоре­
ние о каж ется равным нулю. Т а к а я система
отсчета н азы вается
инерциальной.
Еще
Ньютон у ка зы в ал , что его законы сп равед л и ­
вы только в инерциальных системах отсчета.
Он н азы вал инерциальной систему, не имею ­
щую ускорения по отношению к «неподвиж ­
ным» звездам.
Эта концепция абсолютности и нерци аль­
ной системы осп ари в ал ась некоторыми ф и ­
лософами, в том числе Эрнстом Махом. М ах
п редполагал, что в общем случае у скоре­
ние не абсолютно, а определяется распреде­
лением вещества во Вселенной. Согласно
принципу М аха, если бы распределение в е­
щества во Вселенной внезапно изменилось,
то изменились бы и величины ускорений, и
система координат, бы вш ая до того инерциальной, с этого момента могла бы и не о к а ­
заться такой. М ах п редполагал, что в ел и ­
чина инертной массы любого тела опреде­
ляется всем остальным, веществом Вселен­
ной.
В теории, включающей принцип М а ­
ха, Инертная м асса отдельного тела, н ах о­
дящегося в лишенной вещества Вселенной,
д олж на была бы обратиться в нуль. При
этом все системы отсчета были бы инерциальными.
С ущ ествует довольно специфическая тео­
рия, в кл ю чаю щ ая принцип М аха. В ней ис^
пользуется факт, полученный из общей тео­
рии относительности и состоящий в том, что
испыты ваю щ ая ускорение масса, помимо
обычного гравитационного поля, обратно
пропорционального кв ад р ату расстояния,
создает поле, пропорциональное 1/г. П р и б л и ­
ж енн ая ф орм ула для силы, действующей по
закону 1/г меж ду двумя испытывающими
ускорение массами, имеет вид
где а — относительное ускорение. Если мы
находимся на ускоряю щейся массе т, то все
галактики во Вселенной ускоряю тся относи­
тельно нас в противоположном направлении.
Р езул ьтир ую щ ая гр авитационная сила, д ей ­
ствую щ ая на т , равна
- 2 0 (^ -)(“
В опрос 10. К ак вы дум аете, не будет
ли д в и ж у щ и й с я с ускорением з а р я д
с о зд а в а т ь помимо обы чного кулоновского поля эл ек три ческ ое поле, п р о ­
п орц иональное 1/г?
12— 176
)•
где суммирование производится по всем г а ­
л акти кам
на расстояниях г,-. Д е л а я п р ед ­
положение относительно средней плотности
353
■
вещества И во Вселенной и максимальной
величине радиуса Я, мы получаем ■>
П редполагается, что эта гравитационная
сила полностью объясняет инертную массу.
Тогда Р0 д о л ж н а равняться та. Мы видим,
что это будет так, если СОН2/с2= 1. И з трех
чисел в числителе точно известно лиш ь О.
П о оценкам средняя плотность вещества во
Вселенной / ) « 1 0 -28 г/см 3, но мож ет о к а ­
заться на порядок больше или меньше. К ак
будет видно из следующего п а р аг р а ф а, э ф ­
фективный радиус Вселенной
млрд.
световых лет, или / ? / с * 3 - 1 0 17 сек.
Итак,
СИ
)2 = 6 , 7 - 10-8-10-28 ( 3 - 1017)2 = 0,6 * 1.
Мы видим, что теория вы д ерж ивает провер­
ку в пределах точности эксперимента. Тео­
рия не только дает физическое объяснение
инертной массы, но и говорит о том, какую
величину инертной массы следует приписать
данному количеству вещества. Иными сло­
вами, теория требует, чтобы С = с2/О К 2.
(Вспомним, что О характери зует отношение
инертной массы к гравитационной.) Мы в и ­
дим, что в этой теории О перестает быть фун­
даментальной константой, а вы р а ж ае тся
через другие «более ф ундаментальные» ф и ­
зические константы.
П ри н ятая здесь точка зрения состоит
в том, что центром Вселенной, находящим1
О бъем 1-го концентрического ш арового слоя р а ­
вен 4 яг? ДГ|, а м асса М 1 = Ь п О г \ \ г \ . С ум м и рован и е
д а ет
'о-- 0 -1 Г -1 ^
н о
5
>
,
-
*
и
С л ед о в ат ел ь н о ,
О твет 10. Д а . Э то поле излучен ия;
оно проп орционально 1/г.
354
__
Ра ~
0 0 /? 2
Гг— т а.
- - 4- ^
X
2
= г ■% ~ ~2~ Я-
ся в вечном покое, служ и т ваш а голова.
Когда вы стукаетесь головой о стену, это
означает, что у удаленных гал ак ти к возни ­
кает внезапное ускорение и они действуют
на вашу голову громадной гравитационной
силой. Чтобы у д ер ж а ть ваш у голову «в по­
кое», стена д о л ж н а о к а зать равную по в е­
личине и противоположно направленную
реакцию. Т ак что в следующий раз, стукнув­
шись головой или ударив, споткнувшись, п а ­
лец на ноге, шлите проклятия за это д а л е ­
ким галактикам .
В заключение у каж ем , что в настоящ ее
время все это представляется противоречи­
вым, а принцип М аха сам по себе не получил
общего признания физиков.
§ 11. Космология
В Н ЕЗА П Н О
ИЛИ
Н ЕП РЕРЫ ВН О
С О ЗД А В А Л С Я
М И Р?
Вопросы, поднимаемые принципом э к ­
вивалентности, общей теорией относитель­
ности и принципом М аха, тесно связаны с
проблемой происхождения, разм ер а и строе­
ния Вселенной. Бесконечна или конечна
Вселенная? К аков в о зр а с т нашей Солнечной
системы и Г алактики? К а к они о б р а з о в а ­
лись? Сколько сущ ествует других гал ак ти к
и как они распределены? К а к они п роизо­
шли? Что п р ед став л ял а собой В селенная до
того, ка к образовал и сь эти галактики?
О бласть физики, З а н и м аю щ аяс я этими н аи ­
более фундаментальны ми проблемами, н а ­
зы вается космологией и переж ивает в н а ­
стоящее время •бурное развитие. Например,
возраст нашей Т-алактики за последние пять
лет « ув ел и чи л ся#-бл аго д аря появлению б о ­
лее точных теорий не на пять лет, а при­
мерно на десять ^миллиардов лет. По послед­
ним оценкам, М лечному Пути почти 20 м и л­
лиардов лет, а во зр аст З ем л и — 4,5 м и л­
л и а р д а лет.
Теории
происхождения
и
разм еров
Вселенной в н астоящ ее время непрерывно
изменяются, причем конкурирующие между
355
Фиг. 254. Б о л ь ш а я тум ан н о сть в со ­
зв е зд и и А ндром еды .
Б л и ж а й ш а я к нам б о л ьш а я га л а к т и к а , по­
х о ж а я на М лечный П у ть в н аш ей Г а л а к ­
ти к е, у д а л е н а от н ас почти на д в а м и л ­
л и о н а световы х лет.
<«
собой теории не имеют под собой твердой
экспериментальной основы. О днако ведущие
космологи считают, что в настоящ ее время
наши знания в этой области н акапливаю тся
столь быстро, что у ж е в б ли ж ай ш ее д есяти ­
летие новые открытия позволят нам принять
одну из теорий и отвергнуть все остальные.
Конец этого п а р а г р а ф а мы посвятим
в основном обзору имеющихся в этой о б л а ­
сти данных. С помощью 200-дюймового тел е­
скопа на горе П а л о м ар мож но увидеть около
десяти миллиардов галактик, равномерно
распределенных в пространстве вплоть до
расстояний примерно в восемь миллиардов
световых лет. Свет, приходящий с больших
расстояний, настолько ослаблен, что его
нельзя обнаружить. Н а ш а Г ал ак ти к а д и а ­
метром примерно 60 000 световых лет со­
д ерж и т около 100 миллиардов звезд, одной
из которых является Солнце. Б л и ж а й ш а я
к нам галактика, Туманность Андромеды,
сходна по разм ер ам и строению с нашей Г а ­
лактикой (фиг. 254).
Последние достижения в области терм о­
ядерных реакций позволяют оценить возраст
некоторых типов звезд. Эти оценки свиде­
тельствую т о том, что наша Г ал ак ти к а о б р а ­
зо в а л а с ь примерно д вадц ать миллиардов лет
назад, хотя образование зв езд в ней происхо­
дит и по сей день (возраст некоторых звезд
составляет всего один миллион лет). П р и ­
чина, за с т а в л я ю щ а я маленькие частички ве­
щ ества скопляться в огромные звезды,— это
сила всемирного тяготения.
Процессы, происходящие в недрах звезд,
и основные черты звездной эволюции, н а ­
блю даемой астрономами, достаточно хорошо
объясняю тся ядерной физикой.
Кроме гал актик имеются еще недавно
открытые объекты, названны е квазарам и.
Хотя в телескоп квазары каж у тся скорее
звездами, нежели галактикам и , их яркость
в 10— 100 раз превыш ает яркость типичных
гал ак ти к на том ж е расстоянии. Кроме того,
некоторые из них являются мощными источ­
никами радиоизлучения по сравнению с д р у ­
гими звездам и или галактикам и . Многие
357
л
Вопрос 11. Ч ем у р авн о см ещ ени е д л и ­
ны волны д л я к в а з а р а , у д а л яю щ е го с я
со скоростью о = с ?
358
квазары были открыты с помощью радиоте­
лескопов и лиш ь впоследствии обнаруж ены
в оптических наблюдениях. П о к а физическая
природа кв аза р о в неясна. Возможно, что это
проявление каких-то особых эффектов о б ­
щей теории относительности или ж е новых,
еще не открытых законов физики.
Бы ть может, самым в аж н ы м эксперимен­
тальным фактом является установление того
обстоятельства, что все галактики у д а л я ю т ­
ся от нас со скоростями, пропорциональными
их расстояниям до нашей Галактики. К о эф ­
фициент пропорциональности таков, что г а ­
лактики, находящ иеся на пределе видимости,
т. е. на расстоянии примерно пяти м и л л и а р ­
дов световых лет, у д ал яю тся от нас со ско­
ростью, составляю щ ей около половины ско­
рости света. Скорость удаления определяет­
ся по смещению длины волны света,
испускаемого этими галактикам и . Если ис­
точник света у д ал яется от нас, то длина
волны в о зрастает (так н азы ваем ое красное
смещение, или эффект Д о п п л е р а ). М ак си ­
мальное смещение длины волны, н а б л ю д а в ­
шееся до сих пор у удаленного к в аза р а, в
три р аза превыш ает величину самой длины
волны. С помощью формулы для допплеров­
ского сдвига можно получить, что этот к в а ­
з ар у д ал яется от нас со скоростью у = 0,8 с.
Если провести вычисления, то окаж ется,
что около десяти миллиардов лет н а з а д все
галактики Вселенной группировались в н а ­
шей области пространства. Действительно,
в одной из ведущих космологических теорий
предполагается, что десять миллиардов лет
н а з а д все вещество Вселенной находилось
в одном месте и имело такую ж е плотность,
что и атомные ядра. Это означает, что все
находящ иеся в пределах видимости г а л а к ­
тики могли р асполагаться внутри сферы
диаметром, меньшим по своим разм ерам , чем
орбита Юпитера. П осле «таинственного»
акта создания в мире стали действовать
обычные законы физики, которые и привели
к гигантскому взрыву первоначального ядра.
С ледовательно, уд ал яю щ и еся галактики по­
хожи на осколки взорвавш ейся «ручной гра-
наты». Это объяснение расш иряю щ ейся
Вселенной н азы вается теорией «большого
взрыва»
Вероятно, более удовлетворительной в ер ­
сией подобного подхода является теория
пульсирующей Вселенной. В этой теории
галактики зам едляю тся, возвращ аю тся, р ас­
ширение обращ ается, пока все галактики не
сливаю тся, что затем приводит к новому
«большому взрыву».
Основным конкурентом этой теории была
теория стационарного состояния, в основу
которой положен обобщенный принцип одно­
родности. Принцип однородности гласит, что
Вселенная д о л ж н а выглядеть одинаково из
любой точки пространства.
Этот принцип трудно совместить с н аш и ­
ми последними наблю дениями. Но, кроме
этого, принцип однородности утверж дает,
что Вселенная выглядит одинаково в любой
момент времени, т. е. она имела тот ж е вид
в прошлом и всегда будет т а к ж е выглядеть
в будущем. В теории стационарного состоя­
ния этот принцип однородности справедлив
вследствие допущения, что вещество во В се­
ленной создается непрерывно и равномерно,
при этом скорость о б разо в ан и я вещества
совпадает со скоростью уменьшения средней
плотности вещества в расш иряю щ ейся В се­
ленной. Согласно измерениям, скорость р ас­
ширения Вселенной такова, что полная плот­
ность вещества в ней останется постоянной,
если в объеме, равном 1015 см3 (или 1 к м 3),
будет самопроизвольно еж егодно возникать
один нейтрон (или атом в одор од а). М ожно
возразить, что самопроизвольное проявление
нейтронов противоречит за к о н а м сохранения
энергии, количества д ви ж ени я и тяж ел ы х
частиц. Но речь идет о ничтожно слабом н а ­
рушении этих «законов сохранения».
В гл. 16 мы увидим, что некоторые з а к о ­
О твет 11. Все дл и н ы волн в э т о й
слу ч ае о б рати л и сь бы в бесконечность
и мы бы ничего не увидели.'
') О сновы теории р асш и ряю щ ей ся В селенной б ы ­
ли за л о ж е н ы ещ е в 1922 г. работой А. А. Ф ри д м ан а.
В н асто ящ ее врем я ф р и д м ан о в с к ая м одель м ира по­
лучи ла ш ирокое при знание, ибо д а е т , по-видим ом у,
н аиболее а д ек в а тн о е описание соврем ен ного с о с т о я ­
ния В селенной.— П рим . ред.
359
ны сохранения наруш аю тся не столь слабо.
Теория стационарного состояния позво­
ляет сд ел ать несколько предсказаний, ко­
торые поддаю тся проверке. Например, одно
из предсказаний состоит в том, что распре­
деление в озраста гал ак ти к долж но быть
равномерным не только для ближних г а л а к ­
тик, но и для удаленных. Д р угое п р ед ск а за­
ние этой теории состоит в том, что в резуль­
тате терм оядерных реакций в обычных з в е з­
дах из первоначального водорода возникают
тяж ел ы е элементы, такие, как уран.
Приложение
Вычисление преобразований Лоренца
Мы намереваем ся получить п р еоб р азов а­
ния Л о р ен ц а исходя из принципа относи­
тельности и инвариантности скорости света.
Д ел о наполовину сделано, если воспользо­
ваться расчетом формулы (11.8), стр. 335.
Начнем с общ его вы раж ен и я
х ' = А х + В (,
(11.16)
Г = Е ( + Рх.
(П .17 )
Н ам надо найти коэффициенты А, В, Е, Р,
которые могут зависеть от скорости V отно­
сительного движ ения двух систем отсчета.
Будем для определенности н азы вать нештри­
хованную систему покоящейся, а штрихо­
в а н н у ю — движ ущ ейся.
Согласно (11.17),
для часов, покоящихся в точке х = 0 , ( '= Е ( .
Но, согласно (11.8), движущ ийся н а б л ю д а ­
тель измерял 1'=у1, где по определению
у = (1— у2/с2)-'/2. Следовательно,
Е = т.
Если наб лю д атель движ ется влево со
скоростью V , то, по его мнению, положение
часов х ' = и1'. П одставив это в (11.16) и по­
лож ив х — 0, мы получим
V = 0 + В1,
или
360
или
В = VI ,
т. е. мы нашли коэффициент В.
Чтобы найти А, поместим часы в начало
системы отсчета движ ущ егося н аблю дателя
(теперь х ' = 0 ) и применим принцип относи­
тельности с учетом того, что, по мнению по­
коящегося н аблю дателя, часы движ утся от
него влево с той же скоростью V; иными сло­
вами, х = — VI. Подставим теперь эти вели­
чины в (11.16)
(0) = А ( - Ы ) + В1,
или
V
Формулы (11.16) и (11.17) приобретают
вид
х ' ~
~[Х
-[ V I,
( ' = -[I + Рх.
(11.18)
(11.19)
Чтобы получить последний коэф ф ици­
ент Р , мы используем инвариантность скоро­
сти света. Пусть в момент / = 0 в начале
координат возникает световой импульс. По
мнению обоих наблю дателей, он движется
со скоростью с; иными словами, х = с ( и
х ’— с1'. Итак, подставляя эти величины
в (11.18) и (11.19), получаем
с1' = 7с1 + -[VI,
V = -[( + Рс1.
Д е л я верхнее вы раж ен и е на нижнее, по­
лучаем
с =
7С + -ту
7 + Гс
361
Решая относительно Р, найдем
Конечный результат получится, если мы под­
ставим это значение в (11.19) и вспомним,
что у = 1/У 1— у 2/ с2.
Зад ачи
*• К и н ети ческая эн ергия протона 47 М эе, а эн ергия
покоя 938 М эе. Н а сколько процентов увел и чи л ась
м асса протона?
2. « Р азб еган и е» гал а к т и к к а ж е т с я несовм естим ы м с
обобщ енны м принципом одн ородности . К а к теория
стацион арной В селенной р еш ает эту проблем у?
3. Во сколько р а з увели чится плотность т ел а, если
оно д в и ж е тс я со скоростью V ? (Р а зм е р ы , п ерпенди­
кул ярны е н ап равлен и ю д в и ж е н и я, не со кр ащ аю тся.)
4. В к акую сторону см ещ ается види м ое полож ен ие
зв е зд при искривлении световы х лучей вблизи С олн­
ца: по н ап равлен и ю к С олнцу или от С олнца?
5. М едленнее или бы стрее б у д у т идти часы на вер­
ш ине горы по сравнению с так и м и ж е часам и у п од­
нож ия?
6. Р ассм отри м искусственны й спутник Зем ли , д в и ж у ­
щ ийся по орби те на вы соте 100 км н ад поверхностью
Зем ли . К а к б у д у т идти часы на борту этого спутн и­
ка, бы стрее или м едленнее п окоящ ихся
часов на
той ж е вы соте?
7. В ы р ази те скорость через Р, № и с. (Ф орм ул а д о л ­
ж н а бы ть реляти ви стски п рави л ьн ой ; Р — импульс,
№ — п олная эн ерги я, вк л ю чая энергию покоя.)
8. С колько м и к рограм м ов т ер я е т б л а го д а р я и сп уска­
нию света за год л ам п о ч к а в 100 вг?
9. С корость тел а т ак о в а , что его м асса в озросл а
на 10%.
а) К а к ум ен ьш ится его д л и н а в нап равлен и и
дв и ж ен и я?
б) Е сли его энергия покоя р авн а П70, то чему
р авн а его кинетическая энергия?
10. Э нерги я покоя протона р авн а 938 М эе. Р а с с м о т ­
рим протон, д в и ж у щ и й с я со скоростью , в двое м ень­
шей скорости света.
а) К а к о в а его ки н ети ческ ая эн ергия (в М эе) с
точки зрен и я класси ческой м еханики?
б) К а к о в а его ки н ети ческая эн ергия (в М эе) с
точки зрен и я реляти ви стской м еханики?
362
11. П о то к солнечной энергии на З ем л ю с о став л яет
2 к а л /с м 2 в 1 м ин. К а к о е кол и чество солнечной м ас ­
сы в гр ам м а х д о сти гает поверхности Зем ли за год?
М ож но ли отсю д а с д е л а т ь вы вод , что З е м л я с т а н о ­
вится т я ж е л ее ?
12. К ин етическая эн ерги я эл е к тр о н а
М асса покоя 0,5 М эе. Ч ем у р а в н о
инертной м ассы к его м ассе покоя?
р авн а 1 М эе.
отнош ение его
13. П р е д с та в ь т е себе ракетны й д в и га те л ь, которы й
с ообщ ал бы к о р аб л ю постоян ное ускорени е 2 § (по
изм ерениям п а сс а ж и р о в ) в течение одн ого го д а. Р е ­
л я ти в и ст ск а я ф о р м у л а, с о о тв етств у ю щ ая к л ас си ч е ­
ской и = а?, имеет вид
V
К аким б уд ет коэф ф и ц и ен т за м ед л ен и я хода
д л я п а сс а ж и р о в этой р акеты к к онцу года?
часов
14. Н а б л ю д а тел ю , п окоящ ем уся относи тельно части ­
цы А , к а ж е т с я , что эта части ц а р а с п а д а е т с я , испус­
к а я в п р а в о со. скоростью о = 0,5 с части ц у В. Д о п у с ­
тим, что мы н аб л ю д аем то ж е собы тие, к о гд а ч а с ти ­
ца А д в и ж е т с я в п р а в о со скоростью V а = 0 ,4 с. К акую
то гд а скорость мы изм ерим у частиц ы В? (М ы в и ­
дим , что части ц а А в м ом ент р а с п а д а д в и ж е тс я
вп раво.)
15. С колько тр еб у ется расщ еп ляю щ егося
д л я 20-килотонной атом ной бом бы ?
м ат е р и ал а
16. К и н ети ческая эн ерги я пиона с о ст а в л я е т 35 Мэе.
Во сколько р а з увел и чится его п ери од п о л у р а сп ад а ?
Э нерги я покоя пиона р авн а 140 Мэе.
17. Р е л я ти в и с т с к а я ф о р м у л а д л я им пульса имеет
вид Р = Мх). И с п о л ьзу я ф о р м у л у (11.11), п о к аж и те,
что с2Я = Г 2— (М 0с2) 2.
18. Э нерги я покоя /(-м е зо н а (к а о н а ) р авн а 495 М эе.
Р а ссм отри м пучок к аон ов с энергией 330 Мэе. Н а й ­
дите:
а) полную эн ергию к ао н а;
б) м ассу покоя в г;
в) скорость;
г ) отнош ение М/М0\
д) н аб л ю д аем ы й п ери од п о л у р а сп ад а эти х к а о ­
нов, если период п о л у р а с п а д а
покоящ и хся
као н о в р а ве н 10-8 сек.
19. Р ассм о тр и м пучок пионов, д в и ж у щ и х с я с одной
и той ж е скоростью . С редний пери од п о л у р а сп ад а
пионов в пучке на 67% прев ы ш ает пери од п о л у р а с п а ­
да покоящ и хся пионов; иными сл о в ам и , Т /Т = 5/3.
Э нерги я покоя пионов р а в н а 140 Мэе. Н ай д и те;
а) кинетическую энергию к а ж д о г о пиона в пучке;
363
б) скорость пионов;
в) отнош ение массы пиона в пучке к его м ассе
покоя;
г) чем у р авн о Р /М 0с (Р — импульс, М 0 — м асса
п о к о я).
20. В эксп ери м ен те М ай к ел ьсо н а— М орли смещ ению
на одн у интерф еренц ионную полосу соотв етств ует
р азн о сть х о д а 4 • 10-5 см. К а к о е н а б л ю д ал о сь бы
см ещ ение при повороте п ри бора на 90°, если длин а
плеча и н тер ф ер о м етр а 10 м, а скорость относи тельно
эф ира 30 км /сек?
21. Д л я частиц ы с м ассой покоя М 0 и скоростью о
у к а ж и т е н аи бол ьш ую из следую щ их величин: '/г М 0у 2,
7г М V2, или к и н ети ческая эн ерги я частицы .
22. К осм ический к о р аб л ь 5 ' д в и ж е т с я со скоростью
V = 0,6 с в д о л ь оси х в п олож ительн ом н аправлени и
(фиг. 255). Н а расстоян ии 5 л о т оси х н а х о д я т ся
д в а черни льны х пи столета. О б а пи столета стрел яю т
одн оврем ен н о по часам Л и В, н ах о д ящ и м ся в точ­
к ах х А и х „ . З а р я д ы пистолетов А и В д ел аю т к л я к ­
сы соо тв етств ен н о на последнем и первом о к н ах , А '
и В ', к о р а б л я . Н а б л ю д а т ел и на З е м л е у т в е р ж д аю т,
что м еж д у ок н ам и Л ' и В ' 5 м.
а) Ч ем у р авн о р асстоян и е м еж д у о кнам и А ' и
В ' по изм ерениям на косм ическом ко р аб л е
(с использовани ем ста н д а р тн о й м етровой л и ­
н ей ки )?
б) У н аб л ю д ател ей на косм ическом к о р аб л е 5 '
им ею тся часы , си н хрони зован ны е на кораб л е.
Ч то о б н а р у ж а т по своим часам н абл ю дател и
А ' и В ', если:
В с т р е л я е т ран ьш е А ?
В и А стр ел яю т одн оврем ен но?
А с т р е л я ет раньш е В (они, конечно, у ч и ­
ты в а ю т
врем я
р а сп ростран ен и я
света
в д о л ь косм ического к о р а б л я )?
в) Н а б л ю д а т ел и на 5 ' п р о и зв о д ят точны е изм е­
рения р ассто ян и я м еж д у пи столетам и А и В.
К ак и м б у д ет по изм ерениям на 5 ' это расстояни е?'
л
осс гг
пп
Фиг. 255.К з а д а ч е 22.
Т^. У
1ль 1 ГдЛ
1авн I
Iл 1
I а11
7Т-8'
&
Л ? ОХ*л
364
23. Д о п у сти м , что В сел ен н ая
п р е д с та в л я ет собой
сф еру ради усом Я и им еет средню ю плотность
10~29 г/с м 3. К а к о ва скорость р а зл е т а из этой сф еры ?
(И н тересн о отм етить, что о твет на эту за д а ч у бл и ­
зок к н аб л ю д аем ой скорости р а зб е га и и я гал а к т и к на
расстоян и и Я.)
24. М ож н о п ок азать, что если источник света с ч ас­
тотой ( у д а л я е т с я со скоростью V от с тац и он арн ого
н а б л ю д а т ел я, то этот н аб л ю д а т ел ь изм ерит более
низкую частоту [' (красн ое смещ ение)
У 1— 1»®/С2
а) Е сли н а б л ю д а тел ь у д а л я е т с я со скоростью V
от покоящ егося источника света, то к ак о й б у ­
д е т в этом слу ч ае ф о р м у л а д л я частоты ['?
б) Е сли источник света д в и ж е т с я со с ко р о ­
стью V в н ап равлен и и к н абл ю дател ю , то к а ­
кой б уд ет в этом слу ч ае ф о р м у л а д л я ч а с то ­
ты / '? ( V в сегда п о л о ж и т ел ьн ая вели чин а.)
ГЛ А В А
12
КВАНТОВАЯ
ТЕОРИЯ
§ 1. Основные результаты
классической физики
Н О В Е Й Ш Е Е С Е Г О Д Н Я С ТА Н ЕТ К Л А С С И Ч ЕС К И М
ЗА В ТРА
Д о сих пор в нашем изложении не встре­
чалась ф ун дам ен тал ьн ая постоянная /г =
= 6 ,6 2 -10~27 э р г-с ек (постоянная П л а н к а ),
которая входит почти во все физические з а ­
коны. Единственная причина, по которой
нам удавал о сь столь искусно ее избегать,
заклю чается в том, что эта постоянная не
была известна до 1900 г., а изложение м а те­
риала в книге до сих пор соответствовало
в основном состоянию физики до начала
XX века. Физика этого раннего периода
носит назван ие классической физики.
П реж де чем ввести совершенно новые
представления квантовой теории, вернемся
н а за д и обратимся к достижениям и в о зм о ж ­
ным недостаткам классической ф и зи к и .С по­
мощью законов Ньютона нам удалось опи­
сать падение тел, полет снарядов и спутни­
ков Земли, Солнечную систему и другие
макроскопические движения. Кроме того,
ньютоновская механика д а л а нам законы со­
хранения энергии, импульса и момента ко­
личества движения.
Химия XIX столетия провозгласила, что
вещество построено из молекул и атомов.
Н а основе этого представления и законов
Ньютона была создана так н азы ва ем а я ки­
нетическая теория тепла, сбросившая таи н ­
ственный покров с этого явления.
«Необычные» явления электричества и
магнетизма нашли свое объяснение в кон­
цепции з а р я д а и зак он ах электричества,
открытых сто лет н а за д и позволивших
описать «необычные» взаимодействия д ви ­
жущ ихся и покоящихся зарядов. Мы н азы ­
ваем эти законы электричества уравнениями
М аксвелла. Венцом достижений классиче­
ской физики явилось создание в 1870 г. тео­
рии света, которая была получена М ак св ел ­
лом как математическое следствие его у р а в ­
нений. Это, конечно, привело к трудностям
в объяснении эфира, а т а к ж е в решении
368
проблемы, почему влияние эфира не с к а з ы ­
валось в опыте М айкельсона — Морли. О б ъ ­
яснение было получено в 1905 г. Эйнш тей­
ном, пересмотревшим сущ ествовавшие пред ­
ставления о пространстве и времени. При
первом ознакомлении теория относительно­
сти может показаться выходящ ей за рамки
обычного и посягающей на «здравый смысл».
Однако изучающих физику ож и д ает еще
больший удар при знаком стве с корпуску­
лярно-волновым
дуализмом в квантовой
теории.
В 1890 г. был открыт электрон, а т а к ж е
фотоэффект, о котором говорится в след ую ­
щем параграф е. В 1910 г. Р езерф орд о б н а ­
ружил, что весь положительный зар я д атома
долж ен быть сконцентрирован в небольшом
тяж елом ядре. Это было убедительно д о к а ­
зано бомбардировкой тонких металлических
ф о л ы а-частицами (т. е. ядрам и гелия).
О казалось, что значительное число этих
частиц отлетает в обратном направлении
с очень небольшой потерей энергии. Число
а-частиц, рассеянных н азад, у ка зы в ал о на
то, что за р я д рассеивающих центров (а то м ­
ных ядер) равен атомному номеру исполь­
зованного элемента, умноженному на з а р я д
электрона е. К ак видно из примера, энергия
рассеянных
а-частиц
свидетельствовала
о том, что в ядрах сосредоточена почти вся
масса атомов мишени.
„ ..
„
Ф и г. 256. Л о б о в о е соударен и е а -ч а тицы с массой т I атом ного я д р а с
массой М.
До
ст олкновения
После
ст олкновения
^
™
О
' о
О
П рим ер. Р е зе р ф о р д н аб л ю д ал , что при лобовом
соударен и и с яд р а м и меди а -ч а ст и ц с энергией 5 М эе
они отл етаю т н а з а д с энергией 3,9 М эе. В ы числите
отнош ение м асс яд р а меди и а-части ц ы .
О бозначим массы а-ч асти ц ы и яд р а меди соответствен но через т и М. П у сть V б уд ет н ачальной ,
— конечной скоростью
а-ч асти ц ы . а V — конечно^ СКОрОСТЬЮ яд р а (фиг. 256). И с п ол ьзуя законы
со хран ен и я энергии и им пульса, м ож н о получить систгм у двух совм естны х уравн ен ий, с о д ер ж а щ и х эти
величины. В соответствии с зак о н о м сохран ен и я
энергии п е р е д а в а е м а я ядру меди энергня р авн а
У ~ Т м ' /2= ~ 2
-4 -
т
У *=-Л Г ( » * - » ') •
(>2-1)
369
П оск ол ьку у ' и V н ап равлен ы в п ротивополож ны е
стороны , конечны й им пульс равен М У — т у '. С о гл а с ­
но за к о н у сох р ан ен и я им пульса, эта величина д о л ж ­
на бы ть р авн а н а чал ьн ом у им пульсу т у :
МУ — т у ' = т у .
Н а х о д я отсю да V, получаем
( 12. 2)
В о зв о д я п равую часть в к в а д р а т и п р и р ав н и в а я ее
правой части у равн ен и я (12.1), получаем
или
П оск ол ьку отнош ение у ' / у р авн о корню к в ад р атн о м у
из отнош ения конечной и н ачал ьн ой кинетических
энергий, то
И так , т / М = (1— 0,8 8 2 )/1 ,882 = 0,0625, или М = 1 6 т .
Э т о о зн ач ает, что м асса яд р а м еди д о л ж н а бы ть в
16 р а з больш е массы а-ч асти ц ы , или яд р а гелия. П о ­
лученны й р е зу л ь т ат с о в п ад ае т с известны м отн ош е­
нием атом н ы х весов, р авн ы х 64 д л я м еди и 4 д л я
гелия.
В опрос 1. К ак о го ти п а силы в ы зы в а ют рассеян и е а-ч а ст и ц , н а б л ю д а в ш е еся
ся Р
Р езерф
езер ф орд
о р д ом
о м ??
370
Физики пришли к выводу, что нельзя
представить себе устойчивый атом, картина
строения которого была бы совместима как
с уравнениями М аксвелла, так и с опытами
Р езерф орда. П о их мнению, «большие» р а з ­
меры атома следовало бы приписать ор б и ­
там электронов, окру ж аю щ и х положительно
заряж ен н ое ядро. Эти электроны о б ладал и
бы центростремительным
ускорением, а
согласно уравнениям М аксвелла, любой з а ­
ряд, д виж ущ ийся с ускорением, должен
излучать энергию. Однако если бы это было
так, то электроны непрерывно теряли бы
энергию и вскоре упали бы на ядро. Д р у г ая
трудность состояла в том, что, согласно
классической теории, излучение атомов дол-
жно было бы характери зоваться непрерыв­
ным спектром. М еж ду тем было известно,
что возбуж денны е атомы обычно излучают
лишь определенные дискретные частоты
(т. е. линейчатый спектр). Последнее, что
н уж далось в объяснении, это полная т о ж д е ­
ственность атомов одного элемента. Что з а ­
ставляет электроны во всех атом ах углерода
двигаться в точности по одним и тем ж е о р ­
битам? Подобной ситуации н аверняка нет
в нашей Солнечной системе и других солнеч­
ных системах.
В заклю чение перечислим некоторые я в ­
ления, не наш едш ие своего объяснения в
р ам ках классической физики на рубеже н а ­
шего века.
1. Удельные теплоемкости газов и тв ер­
дых тел, а т а к ж е зависимость удельной
теплоемкости от температуры (согласно д а н ­
ным гл. 6, § 8, удельные теплоемкости о к а ­
зы ваю тся ниже предсказанны х кинетической
тео ри ей ).
2. Фотоэлектрический эффект.
3. Строение устойчивого атома.
4. Излучение и поглощение света а т о м а ­
ми. Линейчаты е спектры.
5. Тождественность всех атомов одного
и того ж е элемента,
6 . С пектральное распределение излуче­
ния, испускаемого нагретым телом (так н а ­
зы ваемое излучение абсолютно черного
тела).
7. Радиоактивность.
§ 2. Фотоэлектрический эффект
ВСЕ И Л И Н И Ч Е Г О
О твет
1. Э л ектростати ч ески е силы.
Вскоре после открытия электрона было
обнаружено, что при освещении некоторых
металлических поверхностей с них вылетают
отрицательные заряды , или электроны. Это
явление получило название фотоэлектриче­
ского эффекта. Н а фиг. 257 показано, каким
образом впервые был обнаруж ен этот эффект. К разряж ен н ом у электроскопу при371
Фиг. 257. Э лектроскоп , соединенны й с
металлической пластинкой.
При п о падани и света на п ласти н ку п роис­
ходит исп ускан и е
ф ото эл ек тр о н о в и л и с ­
точки эл ек тр о ско п а п р ио бр етаю т п о л о ж и ­
тельны й за р я д .
Вопрос 2. Д о п у сти м , что ф о то эл ект­
роны на фиг. 257 покид аю т м ет а л л и ­
ческую
п л асти н ку с кинетической
энергией 3 эв. К а к о в окончательны й
электри ческий потен циал м еталл и че­
ской пластинки?
372
креплялась металлическая пластинка. С те­
нание отрицательного з а р я д а с пластинки
н аблю далось только при включенном осве­
щении; в этом случае электроскоп приобре­
тал избыточный положительный заряд. П р и ­
мерами современного применения этого э ф ­
ф екта могут служ ить турникеты, сторожевые
сигналы, телевизионные камеры и экспоно­
метры.
С огласно классической теории, свет п р ед ­
ставляет собой по существу переменное э л е к ­
трическое поле, возбуж даю щ ее колебания
электрона. М ож но было бы ож идать, что под
его воздействием некоторые электроны будут
вылетать из металла. Поскольку н а п р я ж е н ­
ность электрического поля увеличивается
с ростом интенсивности света, можно п о л а ­
гать, что с увеличением интенсивности будет
расти м а кси м ал ь н ая энергия испускаемых
электронов. Если же интенсивность п оддер­
ж и вать постоянной, но увеличивать частоту,
то при достаточно высоких частотах элект­
роны долж ны вылетать с меньшей энергией,
так как б л а го д а р я своей инерции, или массе,
электрон сл аб ее реагирует на более высокие
частоты. Таким образом, классическая ф и ­
зика п р ед сказы вал а, что энергия электронов
увеличивается с увеличением интенсивности
света и ум еньш ается с ростом его частоты.
Опыты, проведенные в 1900 г., обнаруж или
отсутствие изменений энергии электрона с
интенсивностью и увеличение энергии элект­
ронов с ростом частоты! Единственным ре­
зультатом увеличения интенсивности света
явилось увеличение числа испускаемых е ж е ­
секундно электронов.
К 1905 г. Эйнштейн д а л правильное о б ъ ­
яснение фотоэлектрического эффекта. Это
объяснение, кроме того, явилось дополни­
тельной физической интерпретацией предло­
женной ранее Максом П ланком гипотезы.
Чтобы получить математическое описание
формы спектра излучения нагретых тел (из­
лучения черного т е л а ), П л ан к постулировал,
что лучистая энергия переносится определен­
ными порциями, или «квантами». П л ан к
предположил, что энергия, переносимая све-
товои волной, д о л ж н а соответствовать цело­
му числу квантов, причем энергия каж дого
из квантов равна некоторой новой ф и зи че­
ской постоянной к, умноженной на частоту
световой волны \\
Э н ергия фотона
(12.3)
И7 = Л/,
где п/г =
= ь6,62-10"27
, Ъ ' г - э р г - с е к — постоянная
П лан ка, а № — энергия отдельного светово­
го кванта. Эти световые «частицы» были н а­
званы фотонами. П ланку удалось опреде­
лить величину постоянной Н, которая с точ­
ностью до 1% совпадает с ее современным
значением.
П р и м е р 1. Д л я д ал ьн ей ш его край н е полезно
иметь в своем расп о р яж ен и и ф о рм ул у, связы в аю щ у ю
д лину волны ф отон а в а н гстр ем ах с его энергией
Ц7 = Л/, вы раж ен н ой в эл ек тр о н -в о л ьтах :
с
Не
6 ,6 2 • 10~27 • 3 ■ 1010
Л/ (эрг)
19,86 • 10-17
1 , 6 - Ю "12 Н /(эв)
12,3 9 • 10~5
А = ------ ;.г , . ----- с м ,
М (эв)
1 2 ,3 9 • 103
Л? (эв)
(1 2 .4 )
П р е д у п р е ж д а ем : эти ф орм улы неприменимы дл я
электрон ов и д руги х части ц с м ассой покоя, отличной
от нуля. О д н а из опасностей, с в я зан н ы х с п о п ы т к а ­
ми «вы учить» ф и зи ку на п ам ять, зак л ю ч а ет ся в том,
что при этом у п у ск ается из виду, к аки м о б р азо м по­
лучено то или иное уравн ен и е и к к ак о м у к л ас су
явлений оно применим о.
О твет 2. V ~ + 3 в. Э то озн ач ает, что
эл ектрон с энергией 3 э в за м ед л и тс я
до полной о стан о в к и при вы лете из
м еталли ческой пластинки.
Эйнштейн предположил, что при ф ото­
электрическом эф фекте отдельный электрон
полностью поглощ ает в элементарном акте
один фотон. Процесс происходит мгновенно,
подобно столкновению двух частиц. Энергия
электрона в металле в результате этого в оз­
растает на величину /1/. Смысл этого см ело­
го предположения состоит в том, что свет в
конечном итоге оказы вается состоящим из
частиц. Эти частицы света, или фотоны, мо­
гут поглощ аться только поодиночке, и гово373
Фиг. 258. З а в и си м о сть ( Е Кжв)манс от
частоты д л я м ет а л л а с работой вы ­
хода Ж " •
!
^кин
частота
рить о доле фотона не имеет смысла. Р а з в и ­
тая Эйнштейном теория правильно п р ед ска­
зал а,
что
энергия
электрона
д о лж н а
возрастать с увеличением частоты света и не
зависеть от интенсивности света. Н а первый
взгляд мож ет показаться, что кинетическая
энергия вылетаю щ их электронов д о л ж н а
быть равна Л/. Однако есть два затр у д н е­
ния. Во-первых, большинство электронов,
поглотивших фотоны, растеряю т свой избы ­
ток кинетической энергии при столкновени­
ях и не выйдут из металла. Но д а ж е если
— ----- они выйдут наружу, их оставш аяся
кинетическая энергия будет, как п р а ­
вило, меньше Л/. Во-вторых, чтобы вылететь
с поверхности металла, электронам, нужна
определенная миним альная энергия вследст­
вие притяж ения со стороны соседних ато м ­
ных ядер. Мы будем назы вать эту энергию
«работой в ы х о д а » ^ '. Д л я чистого цезия р а ­
бота выхода равна 1,8 эв, д ля меди она со­
ставляет 4,3 эв. В наиболее благоприятном
случае п еред ав аем ая электрону энергия (Л/)
идет на компенсацию необходимой для вы ­
лета энергии ( ’ЛГ) и то, что остается,— на ки­
нетическую энергию; иными словами,
Л / — 'ЩГ ""Ь (^ к и н ) м а к с )
или
(^ к и н )м а к с =
Вопрос 3. Е сли частота п адаю щ его на
п ластинку света уд в ои тся, не у д в о и т ­
ся л и и Е кин эл ектрон ов?
374
Л/ —
еЩГ.
(1 2 .5 )
Мы назы ваем эту кинетическую энергию
(^кин)макс, ибо в менее благоприятных сл у­
чаях электроны вылетают с меньшей Е КтЕсли монохроматический свет пад ает на
чистую поверхность металла, скаж ем цезия,
то электроны будут вылетать с энергиями
вплоть до (Якин)макс. С увеличением часто­
ты
света
наблю дается
и
увеличение
(^кин)макс- Если нанести результаты измере­
ний в зависимости от /, то получится линия,
и зображ ен н ая на фиг. 258. Измерив наклон
этой линии, можно определить постоянную
П ланка.
П р и м ер 2. Ф отоэл ектрон
кинетической энергией 2 эв.
вы би в ается из цезия- с
К а к о в а м ак с и м а л ьн а я
д л и н а волны
электрон?
— ^кин ”1“
с ве та,
к оторы й
м о ж ет
вы бить этот
I
Л / = 2 з в + 1 ,8 э в = 3 , 8 з в .
В соответстви и с ф о р м у л а м и (12.4)
12 390 ,
X = - д - д - А = 3240 А.
§ 3. Корпускулярно-волновой
дуализм
ЧА С ТИ Ц Ы С У ТЬ
волны, волны СУТЬ Ч А С ТИ Ц Ы
Явления, подобные фотоэлектрическому
эффекту, показы ваю т, что свет н аряду с хо­
рошо известными волновыми качествами
долж ен об н а р у ж и ва ть свойства, х а р а к т е р ­
ные д ля частиц. Эти свойства света каж утся
удивительными при рассмотрении интерфе­
ренционного опыта Ю нга на двух щ елях
с очень слабы м источником света, который
единовременно посылает в прибор лишь от­
дельный фотон. Отдельны е фотоны могут
регистрироваться фотоумножителем, работа
которого основана на использовании ф ото­
электрического
эффекта.
Воспользуемся
таким фотоумножителем вместо экран а (см.
фиг. 221, стр. 309). Р асстоян ие от источника
до э к р ан а по порядку величины равно
100 см, так что каж д ы й фотон «проводит»
в приборе
100 см
V
Фиг. 259. И д еал и зи р о в ан н ы й экспери­
мент,
иллю стрирую щ ий
волновы е
свой ства эл ектрон ов.
Препятствие
Электронная
пушка
►П у ч о к ’ |
Щель В
Щель А
= 3 - 10~9 сек.
3 -1 0 10 см /с е к
Если время м еж д у отсчетами ф отоумнож ите­
ля превыш ает это значение, то на двойную
щель фотоны попадаю т поодиночке. Такой
эксперимент мож но провести, и интерферен­
ционная
картина оказы вается прежней.
Каким ж е образом один фотон мож ет прой­
ти через две щели? Если переф орм улиро­
вать этот вопрос, то каким образом в одном
и том же эксперименте свет может обнаруСчетчик
Гейгера
375
■
Фиг. 260. Р асп ред ел ен и е электрон ов
согл асн о классической ф изике.
ж и в ать и корпускулярные и волновые свой­
ства? Этот вопрос едва ли не самый в а ж ­
а — о ткр ы та т о л ько щ ель А;
6 — о ткр ы та
ный во всей физике, и мы попытаемся отве­
то л ько щ ель В; в — откры ты обе щ ели.
тить на него в последующих парагр аф ах.
Распреде­
В н астоящ ее время мы знаем, что эта в за и ­
ление
Пучок
электронов
мосвязь частиц и волн, или корпускулярно­
электронов
волновой д у ал изм , существует у всех частиц
Зкран
и волн и представляет собой основной прин­
цип современной квантовой теории. Требо­
вание того, чтобы материальны е частицы
имели такие ж е волновые свойства, что и
фотоны, поначалу может показаться весьма
неестественным. П реж де чем разъяснить,
что мы понимаем под волнами, сопоставляе­
мыми любой частице, рассмотрим мы слен­
ный эксперимент (фиг. 259).
Пучок электронов испускается электрон­
ной
пушкой в направлении препятствия
с двумя щ елями А и В. По другую сторону
А Л В препятствия находится счетчик Гейгера, ко­
торый регистрирует ежеминутно 100 элект­
ронов, проходящих через щ ель А (щель В
за к р ы т а ). Скорость счета от щели В т а к ж е
равна 100 отсчетам в 1 мин. Если сн ачала
открыть только щель А, а затем постепенно
открывать щель В, то следует ожидать, что
(в соответствии со здравы м смыслом и всем,
что нам было до сих пор известно) скорость
счета по мере открывания щели В будет
постепенно увеличиваться от 100 до 200 о т­
счетов в 1 мин. О днако в зависимости от
положения счетчика мож ет получиться по­
степенное ум еньш ен и е от 100 отсчетов в
1 мин до нуля! Каким образом открывание
Фиг. 261. Р асп р ед ел ен и е электрон ов
щели В может повлиять на те электроны,
согл асн о кв ан тов ой теории.
которые, к а зал ось бы, прошли через щель Л?
К р ас н ая кр и вая — н абл ю д аем о е
р а сп р е ­
З д равы й смысл терпит поражение еще
дел ен и е;
п у н кти р н ая
кр и вая — к л асси ч е­
ское р асп р еделен ие.
в одном: можно найти такое положение
376
262. Э к сп ери м ен тальн ая у с т а ­
новка д л я получения ин терф еренц и­
онной картины от д в у х щ елей в с л у ­
чае электронов.
Фиг.
Элентройная пушка
Двойная щель
Электростатические
линзы Эля
увеличения
изображения
Г
счетчика, в котором скорость счета при открывании щели В увеличивается от 100 до
400 отсчетов в 1 мин. Таким образом, элект­
ронов оказы вается как бы в 2 раза больше,
чем при непосредственном сложении отд ел ь­
, 40 кв
ных эффектов обеих щелей.
Н а фиг. 260 изображ ено ож идаем ое р ас­
пределение электронов в месте распол о ж е­
ния счетчика в соответствии с классической
механикой, а на фиг. 261 — истинное экспе­
риментальное распределение. Отметим, что
это экспериментальное распределение интен­
сивности электронов носит тот ж е характер,
что и картина интерференции световых волн
от двух щелей. При Ь \— ^ 2 = NX р ас п о л а­
гается интерференционный
максимум, а
Г) 1—0 2= ( Л ^ + 1М ) соответствует минимуму
интенсивности. К ак мы вскоре увидим, д л и ­
на волны электронов значительно меньше
длины волны видимого света. Поэтому про­
вести опыт Юнга с электронами удается не
без труда. Э ксперим ентальная установка
изображ ен а на фиг. 262, а на фиг. 263, а
и зображ ен результат. К аж д ы й электрон в
месте попадания на пленку создает черную
точку. Ф отограф ия двойной щели получена
в результате попадания на пленку многих
—о Световой экран тысяч
электронов.
Д л я сравнения на
Фотопластинка
фиг. 263, б приведена типичная картина ин­
терференции света от двух щелей.
Каким ж е образом электрон, который мы
представляем себе как частицу с определен­
ной массой и зарядом , мож ет в то ж е самое
время быть волной? Н а эту возможность
в действительности впервые у к а за л в 1924 г.
Л уи де-Бройль в своей диссертации на
соискание ученой степени доктора филосо­
фии. Д е-Б р о й л ь предположил, что все части­
цы долж ны об ла д а ть волновыми свойствами,
подобными волновым свойствам света.
О твет 3. Н ет.
(^кин)г
(^КИн) 1
щ — <щг
А/ —
'
Ф изическая интерпретация к о р п у с к у л я р ­
но-волнового д уа л и зм а заключается в том,
что интенсивность сопоставляемой частице
волны в л ю б о й заданн ой точке оказывается
пр опо рциональной вероятности найти части­
цу в этой точке.
377
Это и есть то, что мы понимаем под
корпускулярно-волновым д уализмом. Т ер ­
мин д уа л и зм , по-видимому, очень'"4 н еу д а­
чен. Смысл его зак л ю ч ается в том, что
м е ж д у корпускулярными и волновыми х а ­
рактеристикам и любой частицы (или волны)
сущ ествует определенная связь, отмеченная
выше курсивом. Д е-Б р о й л ь ввел количест­
венное соотношение м еж д у длиной сопостав­
л яемой частице волны и импульсом частицы:
С оот нош ение д е -Б р о й л я
х =
-у-
( 12.6)
Это соотношение справедливо для любой
частицы с импульсом Р.
Фиг. 263. И н терф ерен ц и он н ая к а р т и ­
на от двух щ елей: электрон ы (а ) и
свет (б ).
К аж д о е зер н о на ф о то гр аф и и о б р а зо в ан о
отдельны м эл ек тр о н о м или о тдел ьн ы м ф о ­
тоном.
П р и м е р 1. И с х о д я из соотнош ен ия д е -Б р о й л я , по­
лучи те ф орм ул у ИР=Л/ д л я части ц с м ассой покоя,
равной нулю (подчеркнем , что эта ф о р м у л а с п р а ­
в ед л и в а только д л я частиц с нулевой массой п о к о я ).
В р еляти ви стском слу ч ае Р = М о и М=и 7/с2.
П о этом у Р = № о / с 2. Д л я частиц ы с м ассой покоя, р а в ­
ной нулю , о = с и поэтом у Р = № /с . П о д с т а в л я я в
(12.6), получаем
Л
~Щс '
с
или ^ =
=^-
Ф ормула (12.6) непосредственно и одно­
значно связы вает волновую характеристику
в левой части с корпускулярной х ар а к т е р и ­
стикой в правой части. М нож итель п ропор­
циональности к представляет собой постоян­
ную П л ан ка . Она уж е встречалась ранее
в таких явлениях, ка к излучение черного
тела, фотоэлектрический эф ф ект и спектр
атома водорода.
Корпускулярно-волновой дуализм поро­
дил ряд недоуменных вопросов. Допустим,
что электроны вылетаю т из пушки пооди­
ночке. Тогда, согласно волновым пред став­
лениям, ка ж д о м у электрону сопоставляется
цуг волн, или волновой пакет, распределяю ­
щийся равным образом м еж д у обеими щ е­
лями. Однако, поместив за щелью А счетчик
Гейгера, камеру Вильсона или какой-либо
иной детектор частиц, мы убедимся, что
в природе никогда не реализуется половина
электрона. Мы регистрируем либо всю ч а ­
стицу целиком, либо не регистрируем ее
378
Вопрос 4. П р е д п о л о ж и м ,
что за
щ елью А помещ ен тонкостенны й счет­
чик
Г ей гера. К а к только электрон
проходит щ ель А , детек тор д а е т о т ­
счет, а электрон п р о л етает через счет­
чик на экран. Е сли счетчик вы клю чен
{но не у б р а н ), к ак ой будет к ар ти н а
на экране?.
вообще. В этом сущность атомизма, который
совместим с гипотезой о том, что интенсив­
ность волны за щелью А характеризует
вероятность найти один (целый) электрон
в этом месте. Более того, если детектор поме­
стить за щелью А, то интерференционная
картина сгладится и получится классиче­
ский результат. Чтобы детектор зарегистри ­
ровал электрон, последний долж ен провзаимодействовать с ним. С огласно квантовой
теории, в этом случае мы будем иметь новую
электронную волну, исходящую из точки
взаимодействия и создаю щ ую картину, х а ­
рактерную как р аз для отдельной щели.
С другой стороны, если электрон появляется
на экране, не будучи зарегистрирован д ет ек ­
тором за щелью А, то в этом случае мы з н а ­
ем, что соответствующ ая волна д о лж н а была
пройти только через щель В. Таким образом,
наличие детектора изменяет результат, пре­
в р а щ а я интерференционную картину (см.
фиг. 261) в классическую (см. фиг. 260).
Многие физики, в том числе и Эйнштейн, пы­
тались придумать такой опыт, в котором
откры вание щели д ля отдельных электронов
не н аруш ало бы интерференционной к а р т и ­
ны. О днако все попытки потерпели неудачу.
Но все-таки, что ж е это такое, электрон­
ные волны? Н а м следует ответить подобно
тому, как мы это дел ал и в случае фотонов.
Электромагнитны е волны свободно р асп ро­
страняю тся в пустом пространстве. В отли ­
чие от механических волн в этом случае не
существует среды, в которой происходило бы
волновое движение. Физики обозначаю т а м ­
плитуду волны, соответствующей частице,
буквой гр. Интенсивность пропорциональна
квад рату абсолютной величины амплитуды,
или |г|>|2. Следовательно, величина |г|> (* )|2
пропорциональна вероятности найти частицу
в точке х. Амплитуда г|)(*) не имеет непо­
средственного физического смысла. В этом
смысле того, в чем происходит волновое д ви ­
жение, не существует. С точки зрения м а т е ­
матики проблемы квантовой механики р еш а­
ются совершенно аналогично тому, ка к ре­
шаются зад ач и о волнах на поверхности
379
Фиг. 264. Р а с п р ед ел е н и е ин тенсивно­
сти электрон ов на эк ран е в прим ере 2.
Пучок
электронов
воды или другие классические волновые
проблемы. Классические волны и волны ч ас­
тиц описываются математически у равн ен ия­
ми одного и того же вида. Но в классическом
случае ам плитуда волны непосредственно н а ­
блюдается, тогда как ф нет (за исключением
некоторых специальных случаев для ф ото­
н а). Еще одна ч уж дая классике особенность
квантовомеханических волн состоит в следу­
ющем. Хотя интенсивность волны всегда вы ­
раж ается действительным положительным
числом, иногда амплитуда волны д олж н а
п р ед ставлять собой комплексное число, со­
д ер ж ащ ее У— 1. В нашей книге мы не встре­
тимся с примерами, которые потребовали
бы использования комплексных чисел. П р о ­
иллюстрируем теперь математическую сто­
рону несколькими простыми примерами.
П рим ер 2. Н а фиг. 264 в точке Р н аходи тся счет­
чик Гейгера. А м п ли туд а волны , прош едш ей через
щ ель А и достигш ей точки Я, в условн ы х едини цах
р авн а Ф а = 2 , а в слу ч ае щ ели В ф в = 6. Е сли о т к р ы ­
та только щ ель А , то в точке Р регистрируется е ж е ­
секундно 100 эл ектрон ов. С к олько эл ектрон ов регист­
рируется еж есекун дн о:
а) если откры та только щ ель В?
б) если откры ты обе щ ели и волны усиливаю т
д руг д р у га?
в) если волны о сл аб л яю т д р у г д р у га?
И так, 100 эл ек трон ам в 1 сек со ответствует ин2
2
тенсивность Ф ^ = 4. С л ед овател ьн о, ф в = 3 6 б уд ет с о ­
о т ветство в ать в 9 р а з больш е частиц , т. е. 900 эл е к т ­
ронов в 1 сек. В вопросе (б) п ол н ая ам п л и туд а в о л ­
ны Ф = Ф а + Ф в, или ф = 8. П оск ол ьку ф 2= 64 в 16 раз
больш е
то в точке Р д о л ж н о р еги стри роваться
еж есекун дн о 1600 электрон ов. В вопросе (в) Ф а и ф в
д о л ж н ы иметь проти воп ол ож н ы е зн аки , чтобы о с л а б ­
л я т ь д р у г д р у га.
С л ед овател ьн о,
ф = ф л + ф в = 2 — 6 = — 4.
Т еперь
ф 2= 16, т. е. в 4 р а за больш е ф ^ . Это соответствует
регистраци и 400 эл ек трон ов в 1 сек.
О твет 4. Н а эк р а н е б уд ет н а б л ю д а т ь ­
ся класси ческ ая кар ти н а. Э лектроны
бу д у т в за и м о д е й с тв о в ат ь в счетчике
Г ей гера независи м о от того, регист­
рируем мы эти акты или нет.
380
П рим ер 3. К акой будет к ар т и н а расп редел ен и я
интенсивности в интерф еренционном опы те с д в ум я
щ елям и, если щ ель В будет в 4 р а за ш ире щ ели Л?
О чевидно, что через щ ель В пройдет в 4 р а за
больш е эл ектрон ов и интенсивность ф ^ - = 4 ф /5, или
ф в = 2 ф д . П олная
интенсивность, н а б л ю д а е м а я в
м акси м у м ах на экран е,, п роп орциональна ( Ф а + Ф в ) 2,
т. е.
^макс = (Ф л + 2фл ) 2 = 9фд .
Фиг. 265. Р асп р ед ел ен и е ин тенсивно­
сти электрон ов на эк ран е в при м е­
ре 3.
В м инимум е интенсивности ам п л и туд ы буд ут вы чи­
т ат ьс я, а именно
^мин =
( Ъ А — 2 ф л )2 =
О тнош ение
.
^макс______ 9
^мин
К арти н а р асп редел ен и я
на фиг. 265.
ин тенсивности
и зо б р аж ен а
П р и м ер 4. В ернем ся теперь к д в у м щ елям о д и ­
н акового р а зм ер а . П ри этом сдел аем попы тку о п р е д е ­
лить, через к акую из щ елей пролетел электрон , д л я
чего поместим за щ елью А тоненький д етектор. О д ­
нако доп устим , что детек тор несоверш енен, а им ен­
но он н астол ько тонок, что у эл ек трон а им еется
1 ш анс из 4 проскочить его, не д а в о себе зн ать. К а ­
кой б уд ет в этом случае и н терф еренц ионная к а р ­
тина?
О бозначим через ф А ту часть пучка, к о то р а я
проск ак и в ает через щ ель А , о с т а в а я с ь незам еченной,
И поэтом у м о ж ет и н терф ери ровать с электронной
волной, прош едш ей через щ ель В. П оск ол ьку через
Фиг. 266. Р асп р ед ел ен и е ин тенсивно­
сти электрон ов на экран е в примере 4.
детектор проходит лиш ь у 4 эл ек трон ов, ф ^ = % ф в
П усть интенсивность эл ектрон ов, зареги стр и р о ван н ы х
з а ’ щ елью А и не участвую щ их в интерф еренции,
р авн а ф ^ .,п р и ч е м ф ^ » = 3Д ф | , ; ф А- следует р а с с м а т ­
р и в ать к ак новый л окал и зо в ан н ы й источник эл е к т ­
ронных волн, у которы х нет определенн ы х ф азо в ы х
соотнош ений с ф в . В подобны х сл у ч аях н еза в и си ­
мых источников (н азы в аем ы х т а к ж е некогерен тн ы ­
ми) скл а д ы в аю т с я не ам п литуд ы , а интенсивности:
1 — (Фл + +в)2+ 'Ьг
П о д с т а в л я я ф в /2 вм есто
ф д и 3 ф д / 4 вм есто ф ^ -
(1/.Фа+Фв)а+ ,/.Й
л.2
е / з Ф в — ы 2 + 3^4 Vв
•и & + ши&
1' 4
+ зи ^в
Р асп р ед ел ен и е интенсивности в этой ин терф еренц ион­
ной к арти н е п о к а за н о на фиг. 266. Е сли у б р а ть д е ­
тектор, то интенсивность в м ини м ум ах у п ад ет д о н у­
л я и мы получим чистую ин терф еренционную к арти н у
от д в у х щ елей.
Ф и г. 267. П ри бор д л я
наблю дени я
ди ф ракц и и от поверхности к р и с т а л ­
ла (а ) и та ж е поверхность, си л ьн о ,
увели ченная (б ).
Электронная пушка
Поверхность кристалла
Фронт
волны
§ 4. Дифракция электронов
С Л У ЧА И
Гипотеза д е-Б р ой л я впервые
бы ла подтверж дена на опыте д ву ­
мя американскими физиками —
Девиссоном и Д ж ер м ером , н аб л ю ­
давш ими в 1927 г. дифракцию
электронов. Любопытно, что в
этом опыте, ка к и в других, имев­
ших исключительно большое з н а ­
чение для физики, великое о т к р ы ­
тие произошло случайно. Девисо
о сон и Д ж е р м е р не интересовались
дифракцией электронов.
П она­
чалу они д а ж е не имели представо
о ления об этом явлении. В 1926 г.
Кристалл Девиссон повез в Англию (в О к с­
форде в это время происходила
°
° м е ж д у н ар одн ая конференция) не­
которые полученные им п р ед вар и ­
тельные результаты. Европейские
0
° ученые обратили его внимание на
то, что полученные им результаты
скорее мож но интерпретировать
° как дифракцию электронов, не­
жели как классическое рассеяние,
которое он изучал. Спустя несколько меся­
цев Девиссон и Д ж е р м е р получили р езу л ь та­
ты, убедительно д оказавш и е волновую при­
роду электронов и позволившие определить
величину постоянной П л а н к а с точностью
примерно до 1%. Они исследовали р ас с е я ­
ние медленных электронов от монокристалла
м еталла, правильные ряды атомов на по­
верхности которого действовали подобно
штрихам очень тонкой дифракционной ре­
шетки. Д л и н а волны электронов находилась
из известного расстояния м еж д у атомами.
Кристалл
П рим ер. П уч ок эл ектрон ов у ско р яется потен ци­
алом 100 а. К а к о в а при этом д л и н а волны эл е к т ­
ронов?
Е КИИ =
= еУ , где еУ = 100 эв = 1,6 • 10"1» э р г ,
Р •= У 2т еУ = 5 ,4 ■ 10-1в г ■ с м /с е к ,
382
X=
к
р
=
6 ,6 2 ■ 10-27
5 4 - 10~1в — ^ ^
о
• 10 8 см — 1 ,23 А
Н а фиг. 267 и зо бр аж ен а установка для
наблюдения дифракции электронов от по­
верхности кристалла. В качестве детектора
может использоваться сцинтилляционный
экран. Определив угол 6 , под которым н а ­
блю дается максимум, мож но найти постоян­
ную П л ан ка . К а к видно из фиг. 267, б, р а з ­
ность хода Д/3 = а!5т 6 д о л ж н а быть равна
в первом максимуме интенсивности Н/Р.
Следовательно,
—
=
й 51П 6
Р
и
Ь = Р& 81П 6.
Вопрос 5. Н а эк р ан п ад а ю т д в а с ве ­
товы х пучка. В пучке- 1 еж есек ун дн о
п а д а е т в 3 р а за больш е ф отонов, не­
ж ел и в пучке 2. О п редел и те отн ош е­
ние электри чески х полей в обоих
пучках.
Вскоре после появления в 1924 г. идеи
д е-Брой ля английский физик Томпсон при­
ступил к систематическому исследованию
дифракции электронов. Его метод исследо­
вания зак л ю ч ал ся в следующем: электроны
с высокой энергией пропускались через
тонкую металлическую фольгу. Поскольку
рентгеновские лучи и электроны имеют почти
одинаковую длину волны, Томпсон надеялся
получить картину диф ракции электронов,
сходную по внешнему виду с известной ранее
дифракционной картиной рентгеновских л у ­
чей. В 1928 г. в распоряж ении Томпсона
имелась диф ракц ион н ая картина электро­
нов, вы гл ядевш ая почти т а к же, как картина
дифракции
рентгеновских лучей. Л ю б о ­
пытно, что «случайные» обстоятельства дал и
результаты раньше, нежели тщ ательное и зу­
чение и обдуманный подход. Это, конечно, не
может служить для читателя концепцией
научного метода, однако таков истинный
путь развития науки. Опыт Д евиссона и
Д ж е р м е р а являет собой хороший пример
правильного научного метода. Если экспе­
риментатор, пусть д а ж е случайно, о б н а р у ­
ж ил непонятный эффект, его долг т щ а т е л ь ­
но зан ять ся этим эффектом, пока не будет
достигнута полная ясность.
383
Нет необходимости говорить, что к н а ­
стоящему времени волновые свойства элект­
ронов, нейтронов, протонов, атомов и т. д.
изучены очень подробно. Волновая природа
вещества сейчас твердо установлена, причем
никаких отклонений от теории о бнаруж ить
не удалось.
§ 5. Принцип неопределенности
ДАЖЕ
М А Т Ь -П Р И Р О Д А
ЗН А Т Ь
В С Е ГО
НЕ
М О Ж ЕТ
К вантовая теория привела к этому инте­
ресному следствию, которое заклю чается
в том, что нельзя для одного и того ж е мо­
мента времени п редсказать точные значения
координаты и скорости любой частицы. Это
«странное» следствие теории известно под
названием п ринц ип а неопределенности. С д е­
лаем крайнее предположение, что известен
точный импульс частицы; это означает, что
частице соответствует одна-единственная
длина волны к’ = Н/Р и бесконечная плоская
волна. П оскольку интенсивность этой волны
постоянна во всем пространстве, то такую
частицу с равной вероятностью можно о б н а ­
ружить в любой его точке. Н аоборот, если
мы знаем, что частица л окал и зован а в малой
области пространства, то ее волновая ф унк­
ция будет п редставлять собой волновой п а ­
кет небольших размеров, которому не соот­
ветствует единственное значение X (или Р ) .
Таким образом , невозможно одновременно
знать точные значения координаты и ско­
рости любой частицы. Гейзенберг показал,
что неопределенность импульса АР и вели­
чина области, в которой л о кал и зов ан а ч а ­
стица Ах, д олж ны быть связаны соотноше­
нием
П р и н ц и п неопределенност и
О твет 5. П о ск ол ьк у отнош ение интенснвностеи
р авн о 3/1, то отнош ение
а м п л и ту д б уд ет
2= 13/ 1.
384
(Дх)(АР) а* к.
(12.7)
Формулу (12.7) мож но получить, з а м е ­
тив, что л о к ал и зо в ан н а я частица или волно­
вой пакет в действительности представляю т
собой сумму большого числа ЧИ С ТО синусоидальных (бесконечно длинных) волн примерно с одной и той ж е длиной волны.
Фиг. 268. П ри м ер волнового п акета,
п р едставл яю щ его
собой су п ер п о зи ­
цию д в у х чисто
синусоидальны х
волн.
С у м м а волн 7 и 2
Н а фиг. 268, а жирной кривой изображ ен т и ­
пичный волновой пакет длиной
Отметим,
что он составлен всего лиш ь из двух чисто
синусоидальных волн с длиной волны А,) и
Х2. Число периодов волны 1 на длине Ь п ре­
выш ает на единицу число периодов волны 2.
Итак,
( 12 .8 )
— = N + 1
где N —целое число. Если обе волны н ахо ­
дятся в противофазе при х = 0, то они будут
в ф азе при х = Ь/2 и снова о каж утся в про­
ти воф азе при х — Ь. С умма двух таких волн,
и зображ енны х на фиг. 268, б. представляет
собой типичный волновой пакет длиной Ь.
Вычитая из первого соотношения (12.8) вто-
или
(Ах)(Л Р) = к,
где Ах = Ь — разм еры области, в которой
можно об наруж и ть частицу.
Если г|) = г|)1+т|)2, где
и 1|э2 — Две чисто
синусоидальные волны с дли н ам и волн >ч и
то вероятность найти частицу с момен­
том Р 1 равна
('К + 'Ы 2
а с моментом Р 2
В опрос 6. Ч то п рои зой д ет с д и ф р а к ­
ционной к арти н ой при увеличении н а­
п р яж ен и я
на эл ектрон ной
пуш ке,
фиг. 267? Б у д е т эт а к ар ти н а р а сш и ­
р ятьс я или с ж и м а т ьс я?
13— 176
равна
1 2
('Ь + Фг)2
В нимательный читатель мож ет возразить
385
что влево и вправо от картины, и зо б р а ж ен ­
ной на фиг. 268, так ж е н аблю дается усили­
в аю щ ая волну интерференция. Однако эти
внешние волновые пакеты можно подавить,
добавив большее количество волн, причем
значения длин этих волн будут близки к
среднему м еж д у А,| и
Подобные волны не
в состоянии оказаться в противофазе с цент­
ральным пакетом. О днако они будут в про­
тивоф азе с более удаленными пакетами и
при н ад леж ащ ей подгонке могут их скомпен­
сировать. П одобная математическая про­
цедура, носящ ая наименование фурье-разложения, требует бесконечного числа чисто
синусоидальных волн и вклю чает вычисле­
ние интегралов.
Проверим теперь принцип неопределен­
ности, попробовав ло кал и зо вать положение
частицы с помощью оптического микроскопа.
В этом случае положение частицы в лучшем
случае можно определить с точностью до
длины волны используемого света. Итак,
А х х Х . Но если теперь частица покоится,
то АР = 0 и мы приходим к нарушению
(12.7)! Так ли это? Посмотрим некоторые
квантовомеханические эффекты. Мы поль­
зуемся светом, а квантовая теория учит
нас, что свет состоит из фотонов — частиц с
импульсом Р = к/Х. Чтобы обнаруж илось На­
личие частицы, она д о л ж н а рассеять или по­
глотить по крайней мере один из фотонов в
п адаю щ ем световом пучке. Следовательно,
п ередаваемы й частице импульс может дости­
гать к/Х. В результате в тот момент, когда
частица наблю дается с неопределенностью
А х х Х , она приобретает неопределенность
импульса АР х к / Х . П ерем н о ж ая эти неопре­
деленности, мы получаем
Л Р ■А х ~ — • X = к,
\
О твет 6. П ри увеличении н ап р яж ен и я
длина
волны , а след о в ател ьн о , и б
ум ен ьш аю тся. Т ак и м об р азо м , пятно
б у д ет п р и б л и ж ат ьс я к электронной
пуш ке.
386
что подтверж дает (12.7). Этот пример ил­
люстрирует непротиворечивость квантовой
механики. Физики усердно искали противо­
речий, но о бнаруж ить ничего не удалось.
П рим ер. Д о п у сти м , что в м ом ент
свободны й
эл ектрон
н а б л ю д ается
врем ени 1= 0
в
области
\ х 0 яв 10-8 см. К ак с течением врем ени будет р а сп л ы ­
в аться волновой пакет? Ч ем у б у д ет равн о А х спустя
0,1 с е к ? 1 сек?
Р а зб р о с им пульсов в волновом пакете равен
Д р « А/Ахо, а р азб р о с скоростей Ду = Д р / т я» Л /т Д х 0.
С пустя врем я I с о о тв етств у ю щ ая неопределенн ость
полож ен ия дости гн ет
Н
Дл- = Ду • ( = -- г —
т Ддг0
(.
Д л я ? = 0 ,1 сек
6,6
Д.1Г=
д |
10—28 . ю -8
• Ю~27
■ 0 ,1 я ; 700 к м .
М ы видим , что спустя 1 сек электрон «расп л ы л ся»
бы по всей территории СШ А . С оди наковы м успехом
его м ож но бы ло бы найти в лю бом пункте СШ А.
Очень бы стро он бы л бы б е зв о зв р а тн о потерян.
В опрос 7. И м еет ли место р авен ств о
Д* = ДА на фиг. 268?
13*
Из приведенного примера
видно, что
д а ж е при наличии по возможности полных
сведений о положении и импульсе отдельной
частицы эти сведения быстро тают со вре­
менем. В принципе совреме+шая квантовая
теория позволяет точно вычислить волновую
функцию для любого последующего момен­
та времени, коль скоро известны начальные
значения Ах и Ар для всех частиц. Но это
мало помогает в предсказании будущего,
поскольку очень быстро волновая функция
равномерно распространяется на весь мир.
И мы мгновенно теряем всякую информацию
о местонахождении частиц.
Мы видим, что современная квантовая
теория обеспечивает выход из созданного
классической физикой затруднения ф ило­
софского хар актера. Во времена господства
классической физики родилось мнение, что,
зн ая точные значения координат и скоростей
всех частиц во Вселенной в момент врем е­
ни (0, в принципе можно было бы на осн ова­
нии точных физических законов предсказать
будущее (и описать прош лое). Вселенная
при этом п редставлялась единым гигантским
механизмом. О сновы ваясь на подобных ар г у ­
ментах, философы могли бы прийти к выво­
ду, что все действия человека (ведь в основе ег0 бытия л е ж а т протоны, нейтроны И
ч
электроны) могли бы быть полностью пред ­
387
Ответ 7. Нет, Дл: — это неопределенность по л ож ен ия, к о т о р а я р а вн а I .
388
определены. При этом, конечно, люди о тд а­
вали себе отчет, что подобные расчеты бу­
дущего или прошедшего никогда не смогут
быть осуществлены из-за бесконечно б оль­
шого числа частиц во Вселенной. И тем не
менее подобные аргументы лиш али покоя
тех, кто верил в свободу воли..
К ак п оказы вает анализ принципа неопре­
деленности, имеются более серьезные п ре­
пятствия д ля осуществления подобных р ас­
четов. Таким образом, физики выходят
из-под власти классического детерминизма.
С другой стороны, современная теория не
мож ет служить основой для д о казательства
свободы воли.
Н ам встречались и другие примеры, в т а ­
кой ж е степени опровергаю щ ие классический
детерминизм. К примеру, согласно общ епри­
нятой интерпретации квантовой теории, нет
способа установить, каким из электронов
был поглощен фотон при фотоэлектрическом
эффекте. В наших силах только вычислить
вероятность поглощения фотона данным
электроном. Аналогичная ситуация х а р а к ­
терна и для места попадания отдельного
электрона на экран (см. фиг, 261). И н т е р ­
ференционная картина д ает нам лишь ве­
роятность обнаруж ить электрон в данной
точке экрана. То ж е самое справедливо и
д ля р аспада радиоактивного ядра, нап ри ­
мер, урана. Нет способа у казать момент,
когда произойдет распад отдельного ядра
урана. Согласно квантовой теории, все, что
нам вообще мож ет быть известно,— это
только вероятность, с которой в данный ин­
тервал времени мож ет произойти распад.
И так, мы видим, что представления кван ­
товой теории о микромире коренным о б р а ­
зом отличаются от классических п редставле­
ний. Если, ка к мы полагаем, квантовая тео­
рия верна, то нет н адеж ды изучить явления
микромира и строение вещества на основе
классической физики. П оэтому в последую­
щих главах, где речь будет Идти о строении
атома и связанны х с ним явлениях, мы расстанемся с классической физикой и используем новые представления, введенные здесь.
З ад ачи
*• В ы р аз и те полную эн ергию ф от он а
2. К а к о в а д л и н а волны
1 М эе?
через к, к и с.
(в А) протона
с
энергией
3. Фотон с энергией 2 М эе п р е в р а щ а е т с я в э л е к т ; о н позитронную пару. Ч ему р а в н а к инетическая энергия
электрона и позитрона, если они имеют оди нак о вы е
энергии?.
4. К а к о в а к инетическая энергия фо то на? (Его масса
покоя р а в н а нулю.)
5. В ы р аз и те инертную или ре лятивистскую м ассу ф о ­
тона через к, к и с.
6. П ус ть р е л я т и в и с тс к а я масса ф от он а равн а 10~ 15 г.
Вычислите его импульс в системе С 0 5 и дл ин у в о л ­
ны.
7. К а к о в импульс электрона с эн ергией 1 э в ? К а к о ­
ва его дл и н а волны (в А) ?
8. Фотон и эл ек тро н имеют кинетическую энергию,
р а вн у ю 1 эв. К а к а я из частиц имеет большую длину
ВОЛНЫ:’
9. Н а п и ш и т е в ы р а ж е н и е д л я кинетической энергии
нерелятивистского электрона, с о д е р ж а щ е е его массу,
дл ин у волны и постоянную П л а н к а .
10. К а ж д ы й
м ет а л л
характеризуется
фотоэлект­
рического э ф ф ек т а Я,0. Излучен ие с длиной в о л ­
ны бол ьш е Я0 не м о ж е т в ы р в а т ь электрон. К а к о в а
Я0 д л я меди 0 = 4 , 3 эв)?
11. Фотон вы би в а ет из м е т а л л а с работой в ы хода
2 эв эл ек трон с энергией 2 эв. К а к о в а м ин и м ал ь н ая
энергия так о г о ф отона?
12. П о р о г о в а я чувствительность сетчатки человече­
ского г л а за к ж е л т о м у свету (6000 А) с о с т а в л я е т
1,7 ■ 10-18 вт. Сколько фотонов п а д а е т е ж есек ундн о
на сетчатку?
13. Интенсивность волны р а вн а к в а д р а т у ее а м п л и ­
туды. Это ут в е р ж д е н и е с п р а в е д л и в о и д л я волн деБ р о й л я в к в ан тов ой теории. Д о п у ст и м , что в опыте
с д в у м я щ ел я м и в некоторой точке эк р а н а а м п л и т у ­
ды волн, п рош едш их через щ ель А и щ ель В , равны
соответственно + 3 и + 5 , а скорость счета, если о т ­
к ры та только щ ель А , 60 отсчетов в 1 сек.
а) К а к о в а скорость счета, если откр ы та только
щ ел ь В?
б) К а к о в а скорость счета, если откры ты обе
щели?
14. Р е ш ить пр е д ы д у щ у ю з а д а ч у д л я случая, когда
ам п л и ту д ы от щелей А и В р а в н ы соответственно
+ 3 и — 5.
15. Д оп у ст и м , что в опыте по д и ф р ак ц и и э л е к т р о ­
нов на т рех идентичных щ ел ях д етектор электронов
н а х оди т с я в точке, к у д а все волны п ри х одят в фазе.
389
а) К а к о в а скорость счета от трех щелей, если
к а ж д а я из них в отдельности д а е т скорость
счета 100 отсчетов в 1 сек?
б) Если интенсивность пучка, с о зд а в а е м о го э л е к т ­
ронной пушкой, удвоится, во сколько р а з уве­
личится преды дущ ий ре зул ьтат?
16. Тепловые нейтроны н а х о д ят ся в т ем пе ратурном
равновесии с п редм етами при комнатной т е м п е р а т у ­
ре. В этом случае к Т = 1/40 эв. М а с са нейтрона со­
с т а в л я е т 1,67 - 10 24 г. К а к о в а с р едн яя кинетическая
энергия теплового нейтрона и длин а волны нейтрона
с такой энергией?
Фиг. 269. К з а д а ч е 18.
17. Д в е очень тонкие щели р а зд в и н у ты на 0,01 мм.
На эти щели п а д а е т пучок эл ектрон ов с энергией
1 эв. Э кран ото дв инут от щелей на 10 м. К а к о в о р а с ­
с тояние м е ж д у соседними мини м ум ам и на экране?
18. На фиг. 269 из о б р аж е н а а м п л и т у д а электронной
волны (случай нерелятивистской скорости). Н айди те
импульс, кинетическую энергию, неопределенность в
полож ении им пульса электрон а, длину волны
х
электрона.
19. В те времена, когда автор впервые узн ал о ней­
троне, считалось, что нейтрон состоит из эл ек трон а
и протона, с в я з а н н ы х электростатическим притяжег
нием. Д о п уст и м , что р адиус нейтрона равен 10~13 см.
а) К а к о в а величина Л Р так ого эл ек тро н а с о ­
гласно принципу неопределенности? Электрон
д о л ж е н быть л о к а л и з о в а н внутри нейтрона.
б) Наим еньш ий средний импульс, который мог
бы иметь электрон, р авен '/г &Р- Чем у р а в н я ­
л ас ь бы эн ергия так о го электрона в М э е ?
И спользуйте р елятивистское соотношен ие
«7 = /
(т 0с2У + Я*с2.
в) К а к а я энергия (в эв) необходима д л я пре­
о доления электростати ческого п р и тя ж ен и я и
у д а л ен и я эл ектрона с р а сстоян ия 10-13 см на
бесконечность?
г) И с х одя из ответов на вопросы «б» и «в», о х а ­
ра кт е р изу йт е эту теорию нейтрона.
20. Фотон и отдельный свободны й эл ектрон могут
с та л к и в ат ьс я подобно би лл и ардн ы м ш арам . Это я в ­
ление впервые н а б л ю д а л о сь в 1923 г. Комптоном и
носит название, ком птон-эф ф екта. П ос к о л ьк у эл е к т ­
рон отдачи уносит некоторую эн ергию тс/2/2, энергия
фотона у м ен ьш ается от величины к{ до Н
где
[ '< } . Д о п устим , что происходит лобово е соу дар ени е
( на пра вл е ние дв и ж е н и я фотона м еняется на 180°).
а) Н а п и ш и т е уравнение д л я
и V, о с н о в а н ­
ное на за к о н е сохранени я импульса.
б) Н а пиш ите второе уравн ен ие д л я I, [' и V, ос­
нованное на законе с ох ранени я энергии.
Г Л А ВА
13
ТЕОРИЯ
АТОМА
ТЕОРИЯ АТОМА
§ 1. Электронные волны в ящике
СВОБОДНЫ Й
Фиг, 270. Три эл ек тр он ны е стоячие
волны низшего п о р я д к а в «ящ ике»
разм ер ом Ь.
О тм етим сходство со стоячим и волн ам и на
струне (см. ф и г. 212).
ТА/
392
N=1
А ,= 21.
ЭЛЕКТРО Н
В
ЗА Т О Ч Е Н И И
Очень грубо мы можем представить себе
атом или молекулу в виде крошечного
ящ ика, в котором заточены электроны. С у­
щественной особенностью всех атомов и
молекул является их способность у д ер ж и ­
вать электроны в ограниченной области
пространства. Ящик такого рода н езав и ­
симо от его природы об л а д а ет рядом
общих квантовомеханических свойств, кото­
рые даю т объяснение классическим п а р а ­
доксам: почему атом излучает лишь дискрет­
ные частоты и почему электроны в атоме не
падаю т на ядро. Р ассмотрим сн ач ал а про­
стейший случай, когда в ящ ике имеется
один электрон; затем перейдем к случаю,
когда отдельный электрон удерж ивается
электростатическим притяжением протона.
Это не что иное, как атом водорода.
Вследствие волновой природы частиц сво­
бодный электрон, движ ение которого о г р а ­
ничено ящиком длиной Ь, долж ен вести себя
подобно звуковой волне, распространяю ­
щейся то в одну, то в другую сторону в поме­
щении с абсолютно отр аж аю щ и м и стенками.
В гл. 10 мы познакомились с картиной, воз­
никающей при отраж ении бесконечной вол­
ны от конца струны или от стены. Напомним,
что при отраж ении чисто синусоидальной
волны от закрепленного конца струны в о з­
никает стоячая волна с узлом на о т р а ж а ю ­
щей границе (см. фиг. 212, стр. 302). П о ­
скольку вероятность об наруж и ть электрон
за пределами ящ ика равна нулю, волновая
функция электрона на стенке ящ ика д олж н а
об ращ аться в нуль. Амплитуда волны нахо­
дится из условия, что полная вероятность
обнаруж ить электрон в ящ ике равна еди­
нице.
Н а фиг. 270 показано, ка к в ы глядят вол ­
новые функции электронов, движущ ихся
вдоль оси х. В соответствии с условием об ­
ращения в нуль волновой функции электро­
на на стенках ящ ика допустимы лишь во л ­
ны, у которых на отрезке длиной Ь уклады-
вается целое число полуволн. Таким о б р а ­
зом, N (Хк/2 ) = / , , или Алг = 2Ь/Ы, где N —
целое число больше нуля. Мы видим, что
допустимы лишь определенные волновые
функции, или, иначе, определенные состоя­
ния электрона. Эти условия совпадаю т
с ( 10.6 ) для случая стоячих волн на струне.
Согласно соотношению д е-Брой ля (12.6),
электрон мож ет иметь только определенные
значения импульса Р ЛГ= /гДЛг. И спользуя по­
лученное выше вы раж ение для
найдем
набор значений Р п = МН/2Ь. Соответствую­
щие этим импульсагг энергии равны
или
Энергет ические у р о в н и в я щ и к е
И ? Л ,=
ы
1Л
8тЬ*
(13.1)
Здесь N — квантовое число, которое может
быть любым целым числом, кроме нуля. Т а ­
ким образом, наинизшему энергетическому
состоянию, которое мож ет зан и м ать элект­
рон, соответствует №) = /12/ 8т Ь 2. Эта энер­
гия н азы вается нулевой. Электрон не мож ет
иметь энергию меньше нулевой ввиду отсут­
ствия состояний с более низкими энергиями.
(Единственное состояние с меньшей энерги­
ей на фиг. 270, волновая функция которого
об р ащ ается в нуль на стенках,— это состоя­
ние с волновой функцией, равной нулю в
любой точке ящ ика. Она соответствует сл у­
чаю, когда электронов нет.)
В классической физике при отскоке элек­
трона от стенок (т. е. при его ускорении)
происходило бы излучение электромагнит­
ных волн, продолж аю щ ееся до тех пор, пока
кинетическая энергия не обрати лась бы
в нуль. Таким образом, мы начинаем пони­
мать особенности квантовой механики, об е­
спечивающие устойчивость низшего энерге­
тического состояния атома водорода (элект­
рон не мож ет упасть на ядро из-за отсут­
ствия состояний с более низкой энергией).
При применении к квантовомеханическим
явлениям законов электродинамики было
393
Фиг. 271. Д и а г р а м м а
уровней
эл е к тр о н а
ящике.
энергетических
в одномерном
П риведен ы четы ре н иж них уровня и ш есть
в озм ож ны х переходов.
УУ)у нг \
811(Л/
-И',
-76
установлено, что з а р я ж е н н а я частица может
испускать отдельные фотоны. Поскольку,
однако, в ящ ике энергия электрона может
принимать лишь определенные дискретные
значения, энергии фотонов, которые будут
испускаться электроном, т а к ж е должны
п редставлять собой набор дискретных зн ач е­
ний. В соответствии с законом сохранения
энергии частоты этого излучения даются
формулой
- У ы,
-УК,
----- 9
-V /,
~
1
--И',
о
.
Вопрос 1. О п реде л ит е дл ин у стоячей
волны с Лг = 4, фиг. 271.
394
(13.2)
где ЛГ>АЛ
Электрон с энергией
может внезапно
перейти в состояние с меньшей энерги­
ей 1^ ,
и при этом испустится фотон
с энергией (№лг<—
На приме р, электрон
в состоянии с N = 4 может испустить фотон
одной из следующих трех энергий: №4— Ц731
Г 4— Г 2 или
В первом случае после
этого может произойти испускание фотона с
энергией и^3— №1 или 1^ 3— 1У2 (за которым
последует переход \ ^ 2— ^ \ ) ■ Во втором слу­
чае затем последует испускание фотона с
энергией №2—
Мы видим, что всего су­
ществует шесть различных возможностей
или энергий фотонов, которым соответствует
шесть различных частот. И так, если в я щ и ­
ке первоначально находились электроны в
состоянии с /V= 4, то будет испускаться
спектр, содерж ащ ий шесть различных линий.
Эти шесть возможны х переходов и зо б р а ж е­
ны вертикальными стрелками на фиг. 271.
Теперь мы видим, почему атомы излучают
спектр только дискретных частот, а не не­
прерывный спектр. Это т а к ж е обусловлено
волновой природой вещества, согласно кото­
рой электронам можно сопоставить только
определенные стоячие волны, ограниченные
либо ящиком, либо областью пространства
вокруг атомного ядра.
П рим ер. Д в и ж е н и е эл ек трон а в направлени и
оси х ограничено р а зм е р а м и я щ и к а 10-8 см. К а к овы
в этом случае
а) н у л е в а я эн ергия в зв?
длин а волны «света», испускаемого при переходе из состояния с N '= 2 в состояние с
1?
С огласно ф ор м ул е (13.1), н у л е в а я энергия
8 т /,2
-
6 ,0 2 • 10 1 ' эрг
37,5 эв.
Э н е р ги я фотона
/г/ = 3 • 3 7 ,5 = 112,5 эв.
В оспользуем ся форм улой (12.4), к отора я с в я з ы ­
в ае т энергию фотона в эв с длиной волны в А:
Х = 12 3 90/112,5 = 110 А. Это излучен ие л е ж и т за п р е ­
де л а м и видимого спектра, в у л ьт раф и ол ет о в о й о б ­
ласти.
§ 2. Атом водорода
ЯЩ ИК
С
РЫ Х Л Ы М И
СТЕНКА М И
Д о сих пор мы рассм атривали лишь спе­
циальный случай, когда кинетическая энер­
гия электрона остается постоянной в любой
точке ящика. Теперь приступим к о б суж д е­
нию- более общего случая, когда кинетиче­
ская энергия частицы мож ет изменяться
в зависимости
от ее'
местоположения
в ящике.
По мере «падения» электрона на протон
его кинетическая энергия возрастает. К ак
при этом ведет себя волновая функция
электрона? Согласно де-Бройлю , с увеличе­
нием импульса уменьш ается длина волны.
В общем случае
Р
'
или
X=
к
V 2т (^кин)
Д л я системы, состоящей из электрона и про­
тона
сумма кинетической и потенциаль­
ной энергий остается постоянной. Таким
образом, Е т н = ЧР— V и
О твет 1.
Л-4 = /-/2.
(1 3 . 3 )
] / 2 т ( Г —и )
395
Фиг. 272.
Г р аф и к
потен циальной
эн ергии II ( х ) д л я слу ч ая я щ и к а д л и ­
ной I. и в о л н о в а я функция, соотв е т ­
с тв у ю щ ая низшей стоячей волне.
В случае атома водорода
Энергия
Д л и н а волны электрона
дается выражением
г
у
Энергия
Фиг. 273.
Г р аф и к
потен циальной
энергии, сходной с потен циальной
энергией эл ек трон а в атом е водоро да
(а), м эл ек тро н ная волна, с оотв е т ­
ств ую щ ая низшей энергии (б).
в этом
случае
2т ( г + ^ |
Таким образом, в общем случае, когда на
частицу действует сила, мы получаем волно­
вую функцию с непрерывно изменяющейся
длиной волны. В 1925 г. Ш редингер п ред ло­
ж ил уравнение, позволяю щ ее найти такую
волну
В области больших длин волн (м а ­
лые кинетические энергии) решением у р а в ­
нения Ш редингера является волна, выгнутая
в направлении оси х. При увеличении кине­
тической энергии изогнутость волны в о зр а ­
стает. При фиксированном значении кинети­
ческой энергии т а к а я волна является чисто
синусоидальной.
Уравнение
Ш редингера
включает т а к ж е ф ормальный случай отри ­
цательных значений кинетической энергии
№— V (что невозможно в классической ф и ­
зике). В этом случае волновая функция
выгнута от оси х.
Н а фиг. 272, а изображ ен граф ик потенци­
альной энергии для случая ящ ика длиной I .
В идеальном ящ ике с непроницаемыми стенками^7(л:) д олж н а была бы об ращ аться в
бесконечность на стенках. Это случай п р я ­
моугольной ямы с бесконечно высокими
стенками, который мы р ассм атривали в § 1.
Сейчас ж е мы рассмотрим прямоугольную
яму со стенками конечной высоты, которая
соответствует более реальной модели атома.
Красной
горизонтальной
линией
на
фиг. 272, а и зображ ен а энергия низшей сто я­
чей волны. Обратите внимание на то, что
теперь волновая функция
не об ращ ается
в нуль на границах. При х = х 0 резко м еняет­
ся кривизна. Вне ямы, т. е. в области
«Вы вод» уравн ен ия
прилож ении.
Ш ре ди н ге ра
приведен в
Фиг. 274. Три в олновы е ф у нкции с
низшей энергией, отвечаю щ ие п о тен­
циальной энергии, из о б р аж е н н о й на
фиг. 273, а.
П ункти ром и зо б р а ж ен а г|) д л я энерги и , н е­
ско л ько п ревы ш аю щ ей
4ч
ЛГ
/7=
N
\
\
\
Фг
N = 2
л0
Фз
\ л
\
= з
хо
Вопрос 2. Если I на фиг. 272 ум ен ь
ш ается, а глубина ямы остается п р е ж ­
ней, то что прои зойдет с 4^ 1, у в ел и ­
чится или ум ен ьш ится?
х > х 0, величина №— (У отрицательна и ^ из­
гибается в направлении от оси х. Внутри
ямы №— V постоянно 'и положительно, что
соответствует постоянной кинетической энер­
гии. Поэтому
представляет собой в этой
области чистую синусоидальную волну.
С делаем еще одно приближение к р еа л ь ­
ному атому водорода и рассмотрим потенци­
альную энергию, изображ енную на фиг. 273;
V (х) похожа на потенциальную энергию
взаимодействия электрона с протоном или
потенциальную энергию электрона в б оль­
шом атоме, содерж ащ ем другие электроны.
Мы будем следовать общепринятому ус­
ловию, согласно которому потенциальная
энергия II равна нулю при очень больших х\
итак, Ц = 0 при х — оо. С ледовательно, если
полная энергия
отрицательна, то электрон
будет связан с протоном. Н а графике отри­
цательн ая энергия IV и зображ ен а красной
горизонтальной линией. Р асстояние по вер­
тикали от этой линии до кривой равно
№— и , или кинетической энергии. Заметим,
что при х = х 0 кинетическая энергия равна
нулю. При движении электрона в н а п р а в л е ­
нии х = 0 его кинетическая энергия в о зр а с т а ­
ет. Согласно классическим представлениям,
область х > х 0 является запрещенной, ибо в
этой области №— 1/, или кинетическая энер­
гия, становится отрицательной. Соответству­
ю щ ая волновая функция и зображ ен а на
фиг. 273, б. Отметим, что при х = х 0 изменяет­
ся зн ак кривизны и имеется отличная от
нуля вероятность найти электрон в з а п р е ­
щенной (согласно классической физике) о б ­
ласти х > х 0.
Увеличение V/ (красн ая горизонтальная
линия на фиг. 273, а) сопровождается у вели ­
чением кривизны соответствующей волновой
функции. Н абор дискретных значений №
будет определять требуемые стоячие волны,
которые долж ны спадать до нуля при боль­
ших значениях х. Н а фиг. 274 изображены
три стоячие волны с низшей энергией. Они
соответствуют различным энергиям
\^2
и №3. Отметим, что с увеличением N растет
и х 0. Это проявление общего свойства ато397
мов — чем больше квантовое число Ы, тем
д альш е простирается электронная волна.
Р ассмотрим, наконец, точную потенци­
альную яму, в которой электрон движется
в атоме водорода. Потенциал имеет вид
11 (г) = — е2/г и изображен на фиг. 275. На
фиг. 275 изображ ены энергии
№2 и
и?3, соответствующие первым трем стоячим
волнам, а так ж е сами эти волновые ф унк­
ции \|). Чтобы получить точное зн ач е­
ние энергии уровня, надо решить у р ав н е­
ние Ш редингера, сод ерж ащ ее кулоновский
потенциал. Эта зад ач а требует знания выс­
шей математики
Мы приведем точное ре­
шение:
Энергет ические у р о в н и во д о р о д а
= __ | - т'-
*_| _____ )
(1 3 .4 )
где N — любое целое число больше нуля.
Обычно принимают, что потенциальная энер­
гия обращ ается в нуль при бесконечном у д а ­
лении друг от друга двух зарядов, и в соот­
ветствии с этим разрешенные значения энер­
гии считают отрицательными. Волновая
функция
электрона
в атоме водорода
несколько отличается от изображенной на
фиг. 274 по следующим причинам.
В действительности эта функция д олж на
быть трехмерной, а вид V (г) долж ен не­
сколько отличаться от изображенного на
фиг. 273. Фиг. 276 представляет собой
попытку показать, каким «выглядел» бы
атом водорода, если бы можно было его уви­
деть 2>.
1( П р и б л и ж ен н о е решение при вод ится в п ри ло­
жении.
2* И н огда м о ж н о услы ш ать, что кар т и н у а том а не­
в о зм о ж н о н а р и с о в а т ь или что эти электронны е о б л а ­
ка не соответствую т действительности в том смысле,
что они никогда не на блю дались. Н а самом деле при
наблюдении эл ек тро н а он п р о я в л я е т себя не р а с п л ы в ­
чатым, а л о к а л и з о в а н н ы м
объ ек том .
О д н а к о эти
электронны е о б л а к а могут н а б л ю д а т ьс я и, с л е д о в а ­
тельно, реальны. В принципе распределение з а р я д а в
атоме определенного типа м о ж н о бы ло бы измерить
подобно тому, к ак измеряется распределение з а р я д а
внутри протона или нейтрона. К а к будет видно из
гл. 15, это д е л а е т с я путем р а сс еян ия пучка электО т в ет 2. Г , 6 у д „
398
Р -"* —
Р“ '
Фиг. 275. Граф ик
потенциальной
энергии электрона в атоме водорода.
Показаны
первые три энергетиче­
ских уровня и три волновые функции
вод ород а, соответствующие этим у ров ­
ням (для 1 = 0 ),
П о к азан а плотность з а р я д а электрона или
квад р ат амплитуды волны. Вспомним, что
вероятность найти частицу равна квад рату
амплитуды сопоставляемой ей волны. Н а
фиг. 276 электроны изображ ены в виде
облака, плотность которого пропорциональ­
на интенсивности волны. Они вы глядят по­
добно клубам табачного дыма. К ак будет
видно из § 6, фотографии, отвечающие N = 2
и Л7 —3, близки к распределениям внешних
электронов в атомах от лития до натрия.
Орбитальный момент количества
движения
В классической физике п лан етар н ая ор­
бита с данной энергией мож ет иметь л ю ­
бой момент количества движения от нуг ля до т уг, где V — скорость кругового
движения, а г — радиус круговой орбиты с
определенной энергией [см. формулу (5. 1)].
Однако вследствие квантовой природы вещ е­
ства момент количества движения микрочас­
тицы, подобно ее энергии, может принимать
только определенные дискретные значения.
о
г Строгое вычисление квантованных значений
момента количества движ ения потребует ис­
пользования уравнения Ш редингера и выс­
Фз
шей математики. Мы можем, однако, полу­
чить некоторое представление о происходяг щем с помощью следующих рассуждений.
Фиксируем некоторое значение г и просле­
дим стоячую электронную волну по мере
того, ка к соверш ается полный оборот по о к­
ружности 2лг. Вдоль этого пути я)} мож ет
увеличиваться и уменьш аться наподобие си­
нусоидальной волны. Н о если г|) д олж н а при­
обретать прежнее значение при возвращении
в исходную точку, то на этом пути долж но
уложиться целое число длин волн.
Обозначим это число I. Тогда 2 яг = /Я,;.
Вопрос 3. Допустим, что пунктирная
Но Я.;=/г/Р(, или 2лг = /(/г/Рг) и гР г= /(/г/2я),
линия на фиг. 274 проведена для энер­
гии, несколько меньшей №\. Как вы­
причем гР { — момент количества движения.
глядела бы в этом
случае г|), если
Мы получили чрезвычайно общий р езуль­
при х = — оо она равна О?
тат: орбитальный момент количества движе399
1д
----- ч
Вид сверху
у=\ио, тг~0
Вид сбоку
N = 2 , 2* 0 , т. = О
Вид сбону
1
%
и----- ч
Вид с в е р х у
N=2,1=1,14=0
Вид сбоку
Вид сверху
N = 2 , 1= 1, т = ± 1
Вид сбоку
Фиг. 276. Интенсивности волн (плотности з а р я д а ), отвечающие
низшим состояниям электрона в атоме вод ород а.
Эти ф о то гр аф и и п р ед ставл я ю т собой проекции на п лоскость и нтенсивно­
стей волн, полученны е при реш ении трехм ерн ого у р а вн ен и я Ш реди нгера.
Д а н вид сбоку и сверху д л я состояний с р азл и ч н ы м и зн ачен и ям и /V,
/ и т вплоть д о N = 3.
Фиг. 277. П р ос тра нс тв е нно е к в а н т о ­
вание вектора мом ента количества
д в и ж е н и я в т ер м и н ах к в ан тов ы х чи­
сел I и т.[.
ния может принимать л и ш ь значения 1Н/2л,
где I — лю б о е положительное целое ч исло,
в к л ю ч а я нуль. М аксим ально допустимое з н а ­
чение I определяется соотношением / = 2ягДг
или минимальной длиной волны
послед­
няя в свою очередь определяется м а к с и м а л ь ­
ной кривизной, которую может иметь волна.
Кривизна ж е зависит от того, насколько
большой
может оказаться кинетическая
энергия (см. фиг. 274, 275). К ак и следовало
ожидать, число колебаний этих «круговых
волн» с длиной волны
не мож ет превыш ать
числа колебаний «радиальны х волн», изо­
браж енны х на фиг. 275. Таким образом, м а к ­
симально возможное значение I равно
(Л/— 1).
Д о сих пор речь ш ла лишь о величине
вектора момента количества движения. К ак
можно предположить, квантуется не только
величина, но и направление момента коли­
чества движения. Н аправл ен и е зад ается д р у ­
гим квантовым числом, т и которое может
принимать любое целочисленное значение
в интервале от — I до + / . Физический смысл
т 1 заклю чается в' том, что т /Л /2я п ред став ­
ляет собой величину проекции вектора мо­
мента количества движения на задан н ое
направление (обычно назы ваем ое осью г).
На фиг. 276 в качестве такого н а п р а в л е ­
ния выбрано направление вверх по верти­
кали. Н а фиг. 277 показано, как выглядел
бы вектор момента количества движения
в классической физике (6 — угол между
вектором момента и осью г ) . Квантованные
значения угла д определяю тся из соотноше­
ния
Н
I—
2п
О твет 3. Она ни когда бы не пересек­
ла ось х и при пр и бл иж ени и х к
+ оо с трем ил ась бы т а к ж е к + о о .
Таким образом, трехмерная волновая ф у н к­
ция (или орбита) электрона в атоме водоро­
да полностью зад ается всего тремя кван то ­
выми числами М, I и т г. Н а фиг. 276 и з о б р а­
жено электронное облако, соответствующее
403
различным возможны м значениям М, ; и т ;
вплоть до N = 3.
Мы видим, что стоячие волны, соответст­
вующие N = 2, 1= 0 и N = 2, 1=1, в ы глядят
совершенно по-разйому; в общем случае
этим состояниям соответствует различная
энергия. О д н ако специфическая особенность
кулоновского потенциала I I = — е2/г состоит
в том, что энергия зависит только от N и не
зависит от I. Следовательно, (13.4) годится
д ля всех значений I, соответствующих одно­
му и тому же*Л/. П ерейдя к рассмотрению
многоэлектронных атомов, мы увидим, что
потенциальная энергия внешнего электрона
вовсе не так ая, как у з а р я д а в поле точеч­
ного за р я д а ядра, и поэтому энергия поми­
мо N д о л ж н а т а к ж е зависеть и от /.
П рим ер. Ск о л ьк о р а зл и чн ы х волновы х функций
эл ек тро н а им еется д л я N = 2 ?
N = 2 о зн а ч а е т лиш ь д в а в о зм о ж н ы х зн ач ени я I
(1= 0 и / = 1 ) . П р и 1= 0 единственно в о зм о ж н ы м я в ­
л я е т с я гп1 = 0. П р и 1=1 им еется три в о зм о ж н ы х з н а ­
чения тг. + 1 , 0 и — 1. Т аким о б ра зом , при N = 2 им е ­
ется три ( / = 1) плюс одна ( ^ = 0 ) волновы е функции
или всего четыре в о зм о ж н ы е орбиты.
§ 3. Спектр водорода
М ЕТОД
П РОБ И
ОШ ИБОК
В этом п ар а г р а ф е мы займемся изучени­
ем атомного спектра водорода. О теории и
конструкции спектрографа см. стр. 314.
Согласно закону сохранения энергии
(13.2), все линии в спектре водорода долж ны
удовлетворять соотношению
А/ =
-
И7„, где ЛГ > N.
Согласно (13.4),
И7 , — Г „ =
1' т?-те'
Л2
Таким образом,
к\ =
13,6
( - -------- Ш2
ЛГ
------ -дра—) эв.
(13.5)
Численный коэффициент 13,6 эв получен из
известных значений т, е и к.
В газообразном водороде при комнатной
температуре все атомы находятся ф актиче­
ски в основном состоянии и не испускают
света. Однако если мы нагреем газ до очень
высокой температуры, то некоторые атомы
окаж утся возбужденными и будут находить­
ся на уровнях с более высокой энергией.
Электроны будут соверш ать переходы с бо­
лее высоких уровней на более низкие с ис­
пусканием фотона, соответствующего р а з ­
ности энергий. Атом или электрон с кинети­
ческой энергией, превыш аю щей 10,2 эв,
может в процессе столкновения с атомом
водорода передать ему в точности 10,2 эв
из зап ас а своей кинетической энергии и пе­
ревести атом водорода из состояния с энер­
гией \^1 в состояние с энергией и?2. О тм е­
тим, что Г 2— 1^ 1= 10,2 эв.
П р и м ер 1. К а к о в а
м а к с и м а л ь н а я дл и н а волны
света д л я п ерехода в основное состояние? П р и х о д и т ­
ся ли она на види м у ю глазом часть спектра?
Согла с но (13.5),
/г/ =
13, 6
I2
Л' ' 2
Д л я получения наим еньш его / или наибольш ей X
выберем N ' = 2:
Л / = 13, 6
1—
4
1 0,2 эв,
12 390
X=
ю ,2 = 1210 А ‘
П о с к о л ьк у в и д и м а я о б л а с т ь спектра п р о с т и р а ­
ется от 4000 до 7500 А, эт у линию г л а з не увидит.
Фиг. 278. Л ини и спектра испускания
водоро да,
принадлежащ ие
серии
Лаймана.
N'=5,4, 3,
500
ЮОО
2
П олн ая серия линий, отвечающих N = 1 ,
о бразует спектр, изображ енный на фиг. 278.
Она носит название серии Л а й м а н а и была
открыта в 1906 г. с помощью ул ьтр а ф и о л е­
товой спектроскопии. Зам ети м , что спектр
п редставляет собой бесконечную п оследова­
тельность линий, сходящ ую ся к длине волны
908 А , которая соответствует Л Г = о о . С ог­
ласно ф ормуле (13.4), бесконечно большому
квантовому числу соответствует нулевая
Н-----1--1500
А,Д
405
энергия, т. е. ионизованный атом водорода
(свободный электрон и протон на больших
расстояниях друг от д руга). Следовательно,
если атому водорода, находящ емуся в основ­
ном состоянии, сообщить энергию, равную
13.6 эв, то у электрона окаж ется достаточно
энергии, чтобы покинуть протон. Величина
13.6 в назы вается ионизационны м потенциа­
лом водорода.
Фиг. 279. Все в о зм о ж н ы е линии
спектре во д о р о д а д о Х = 7000 А.
Серия Бальмера (N=2)
Серия Лаймана (N=1)
7000
При N = 2 четыре наименьших значения Ы'
(Л;/ = 3, 4, 5, 6 )
соответствуют линиям,
л еж а щ и м в видимой
области спектра
(фиг. 279 и 280). Л и ш ь эти четыре линии в
спектре водорода и были известны в 1885 г.,
когда
швейцарский
школьный
учитель
Иоганн Бальмер, использовав подбор чисел,
обнаруж ил следующее численное соотноше­
ние между указанны ми линиями:
/
Фиг. 280. Ф отог раф и я
в одородного
спектра, полученная с помощ ью у л ь ­
т р аф и оле т ово г о спектрометра.
Ультрафиолетовая
■Шб
Фиолетовая
=
с
где С
( 22
Ы'г~) ’
постоянная, равная 3 ,2 8 -1015 гц.
Бал ьм ер
немедленно
предсказал
существование
Краснал
пятой линии с длиной волны
Зеленая
3969,65 Л, соответствующей
N ' = 7, которая д олж на была
находиться
у фиолетовой
границы видимого спектра.
Кроме этой линии, очень
скоро были обнаружены т а к ­
же другие линии, отвечаю ­
щие N '> 7 . Б ал ь м ер пред­
положил, что член 1/22 в его
формуле можно заменить на
1/12 или 1/32, что позволило бы пред­
ск азать дополнительные линии соответствен­
но в ультрафиолетовой и инфракрасной об ­
ластях. Обе эти серии линий, обнаруженные
Фиг. 281. Ш есть в о зм о ж н ы х п ерехо­
дов м еж ду четырьм я эн ергетически­
ми уровням и (к примеру 2).
3,0 г
-Г3
-Ь
1,0
И*
Из
в 1906 и 1908 гг., были названы соответствен­
но сериями Л а й м а н а и П аш ена. Таким о б р а ­
зом, к н ачалу нашего века был установлен
численный вид формулы (13.5) и ож и д алось
создание теории, на основе кото­
-И'п
рой это соотношение удалось бы
в ыразить через такие ф ун дам ен ­
-щ.
тальны е физические постоянные,
как з а р я д и м а сса электрона. П е р ­
вым это сделал в 1913 г. Нильс
Бор.
П рим ер 2. В спектре поглощ ения не ­
известного элем ента, который мы будем
н а зы в а т ь элем ентом X, н а б л ю д а ю т ся три
линии
с
ча с то т ам и /1 = 1,2 - 1015 гц,
/2 ==2,0 -10 15 гц и / з = 2 , 5 -10 15 гц. Н а д о найти шесть
линий, котор ы е д о л ж н ы появиться в спектре испус­
к ан и я этого гипотетического элемента.
Д л я получения спектра поглощ ения через г а з о ­
обр азны й элем ент X, атом ы которого н а х о д я т с я в о с ­
новном состоянии, пропускается сплош ной спектр, в
котором д о л ж н ы появиться тем ны е линии. П р о и с х о ­
ди т поглощение только таких частот, которые с о о т ­
ветствуют п ереход ам из основного состояния на у р о в ­
ни с более высокой энергией. П усть № А — энергия
основного состояния, а М'в, И7с и
— энергии трех
более высоких уровней, переходы на которы е да ю т
н а б л ю д а е м ы е частоты
/ 2 и / 3 (фиг. 281). П ерехо д ы
е № „ на 117д , с
с на № А и с ХР в на УУл бу д у т п р о ­
я в л я т ь с я к ак в спек т рах поглощения, т ак и в с п е к т ­
рах испускания. В трех пер ех од ах с № г, на М7С, с
Г в на
и с И/с на № в не у ча с тв у е т основное со­
стояние, и они могут п р о я в л ять ся только в спектрах
испускания. Вследствие того что МС' = Н.}, энергии п р я ­
мо про п орциональны
с оответствую щ им частотам.
М о ж н о провести вертик ал ьную ш к а л у частот и тогда
д л я перехода и70 — * № с получим / 3— / 2= 0 , 5 -10 15 гц.
Д в е другие частоты
/о в = / з - / г =
1 пв — /2
1 , 3 - Ю15 гц
/1 — 0 ,8 • 1015 г ц .
§ 4. Модель Бора
М ОСТ
Вопрос 4. Ск ол ьк о различн ы х волновых Функций им еется у эл ек трон а с
^ =3?
от К ЛА С С И К И К С О В Р Е М Е Н Н О С Т И
Переворот в физике произошел примерно
в 1926 г. в связи с быстрым развитием квантовой механики. Однако еще за тринадцать
лет до этого Н ильс Бор созд ал теорию, кото407
Ф и г. 282. П я т ь
ни зш и х эн ергетиче­
ских уровней а т о м а в о д о р о д а ( и з о ­
бражены
к р асны м и го р и зо н т ал ь н ы ­
ми л и н и ям и ).
Ч асто ты соответствую щ их кв ан то вы х п ер е­
ходов, или с п е к т р а л ьн ы х линий, пропорц ио­
н ал ьн ы дли не в е р ти к ал ьн ы х стрелок.
=5г и5
---- И',
Серия
Пашена
N =3
3
рая очень хорошо о б ъяснял а весь спектр
водорода, а т а к ж е легла в основу физиче­
ской модели строения устойчивого атома.
Бор связал формулу Б ал ь м ер а с концепци­
ей фотонов, прин ад леж авш ей Эйнштейну и
Планку. Он пришел к выводу, что у атома
водорода д олж ны сущ ествовать определен­
ные энергетические уровни, и в соответствии
с представлением о фотонах разность энер­
гий этих уровней будет равна энергии фото­
на А/. Если формулу Б а л ь м е р а умножить
на постоянную П л ан ка , то получим
А/ =
Серия
Бальмера
-1 0
-13,6Серия
Лаймана
13,6 (— ---------- — ) эв.
\ Ы*
Это навело Б ора на мысль, что энергии
уровней водорода долж ны быть равны 1^ =
= — 13,6 ( \/М 2) эв. Эти энергетические уро в ­
ни и соответствующие квантовые переходы,
или спектральные
линии, изображены
на фиг. 282. З а тем Бор столкнулся с пробле­
мой вычисления энергий этих уровней цели­
ком в р ам ках теории. Хотя в настоящее вре­
мя ясна неправомерность теории Бора, она
столь проста, а ее исторические заслуги
столь велики, что мы остановимся на ней в
нашей книге. Возможны е орбиты электронов
Бор считал аналогичными классическим кру­
говым орбитам планет и пытался найти
правило, которое допускало бы лишь опре­
деленные энергии или радиусы орбит. П р и ­
думанное им правило гласит, что момент ко­
личества движения равен
=
О твет 4. П о с рав не нию с N = 2 д о б а в ­
л я е т с я 1=2, б л а г о д а р я котор ом у п о я в ­
л я е т с я 5 в о зм о ж н ы х значений ш (. Т а ­
ким о бразом, всего 5 + 4 = 9 различных
в ол нов ы х функций.
408
N'2 )
(13.6)
Отметим, что боровский постулат отли­
чался от наших современных представлений
об атоме водорода в двух отношениях. Вопервых, мы знаем теперь, что концепция
классических орбит несправедлива и э л е к ­
трон следует описывать ка к волну. Во-вторых, нам известно, что момент количества
движения равен не М(А/2я), а /(А /2я), т. е.
всегда меньше боровского значения. Таким
образом, то обстоятельство, что теория Бора
правильно описывала энергетические уровни
водорода, следует считать счастливой сл у­
чайностью.
К ак уж е известно большинству из нас по
собственному опыту, правильный ответ не
так уж редко удается получить на основе не­
правильных рассуждений. Такое случается и
с великими мира сего.
Теперь мы проследим вычисления, п роиз­
веденные Бором для нахож дения энергети­
ческих уровней электрона в поле яд ра с з а ­
рядом Ъе. С огласно постулату Бора (13.6),
радиус А^-й орбиты равен
=
2
(13-7)
-т у
П оскольку центробеж ная сила уравн овеш и ­
вается
электрическим
притяжением,
то
ту*
1ег
'/V
'Л /
или
1е2
тхг =
= ~ и
(13.8)
( V — потенциальная энергия) и
2е2
тЯ>
Если подставить правую часть ф орм у­
лы (13.7) в приведенное выше уравнение, то
получим
2е2
=
Ык
2кту
и
V =
2л 2 е2
(13.9)
Nк
Энергетические уровни
дующим образом:
находятся сл е­
№ ц — Е кин + и .
Вопрос 5. С п р а в е д л и в о или л о ж н о у т ­
верж дение: в с л у ч ае круговой в о р о в ­
ской орбиты величина потенциальной
эн ергии р а вн а кинетической?
Согласно формуле (13.8), 11=— /пу2, т а к ч т о
Ц7
№N
=
1
—
т оГ|22 ----— тт пу 22 =
—
-----
т 1 )2
(13.10)
409
Окончательный результат получается возве­
дением в квад рат правой части (13.9) и под­
становкой полученной функции в правую
часть (13.10):
Энергет ические у р о в н и от дельного
элект рона в п о ле я д р а
с за р я д о м 2 е
__ 2ъгт2ге*
Л2
1
№■
— 13,6 —=— эв. (13.11)
Точно такой ж е результат получается и в со­
временной квантовой теории [см. (13.4)].
М одель Б ора д ает т а к ж е простой ответ и на
вопрос о р азм ер ах атомов. Формула для
Я к получается путем подстановки в ы р а ж е ­
ния (13.9) в (13.7). В результате
Б о р о в ск и й р а д и у с атома
у =
/V2
4~22 т е 2
(13.12)
В случае основного состояния водорода
(N = 1, 2 = 1 )
= /г2/4 л 2т в 2= 0,53А. Этот ре­
зультат хорошо согласуется с разм ерам и
электронного
облака, п редсказываемы ми
квантовой механикой (см. фиг. 276). Д л я
состояния с N = 2 ф ормула Б ор а пред сказы ­
вает в 4 раза больший д иам етр орбиты, что
т а к ж е хорошо согласуется с фиг. 276.
Приближ енное вычисление на основе со­
временной волновой теории приведено в при­
ложении.
П р и м ер 1. К а к о в а скорость эл ек трон а (в едини­
ц а х скорости с ве т а) в основном состоянии атом а
Бора?
Д е л я (13.9) на с и п о д с т а в л я я N = 1 , получаем
V
с
2я 2 е 2
Не
Д л я а том а в о д о р о д а 2 = 1 и и/с = 2 я е 2/ й с = 1/137.
П рим ер 2. К а к о в а с вя зь спектров Н е + и в о д о ­
рода?
О д н о к р ат н о ионизованный гелий ( Н е + ) состоит
из ядра гелия (2 = 2) и одного о рби тального э л е к т ­
рона. П о д с т а н о в к а 2 2= 4 в ф о р м у л у (13.11) д а е т
О т в ет 5. Л о ж н о .
ношение:
1
V
П р а в и л ьн о е
соот­
Т аким о бразо м , энергия фотонов, испускаем ых Н е + ,
Фиг. 283. М а с ш т аб н ы й че ртеж пяти
низш их боровских орбит водоро да,
иллюстрирую щий в озм о ж н ы е перехо­
ды электрона.
Фиг. 284. Нильс Б о р на л ы ж н о й п р о ­
гулке в Л ос-А лам осе.
бу д ет точно в 4 р а за больше, чем в случае в о ­
д о р о д а. Аналогичным обр а зо м , у м н о ж а я все
частоты спектра
водорода
на м н ож и т ел ь
2 2= 9, м ож н о из спектра в одо рода получить
спектр Ы ++ .
Бор р ассм атривал излучение атома
как внезапный переход электрона с
внешней круговой орбиты на внутрен­
нюю. На фиг. 283 изображ ены в м а с­
штабе пять низших борозских орбит
водорода.
С трелками обозначены переходы,
соответствующие линиям серий Л а й м а ­
на, Б ал ь м ер а и П аш ен а в спектре во­
дорода. Отметим, что между длиной
этих стрелок и энергией фотонов нет
соответствия, как на фиг. 282.
П редлож енная Бором модель о к а ­
зал а с ь весьма удачной. Она п р ед сказы ­
вает размеры атома, и эти п р е д с к а за ­
ния очень хорошо совпадаю т с р езул ь ­
татами экспериментальных измерений.
Модель позволяет получить вы ражение
для длин волн всех линий спектра
водорода (форм ула Б а л ь м е р а ), и это
вы раж ение очень точно совпадает с
экспериментом. С помощью этой модели
удалось выразить численное значение
постоянной в формуле Б ал ь м ер а через
постоянные т, е, с и Н\ кроме того,
физики получили в свое распоряжение
наглядную модель (которая, как теперь
нам известно, н еправильна). М одель
Бора позволяет установить, что ато м ­
ное излучение возникает при переходе
с одной орбиты на другую как в случае
известных спектральных линий, так и
в случае, когда они л е ж а т за п р ед ел а­
ми области, доступной для регистрации
существующими приборами.
Кроме
того, эта модель правильно п ред сказы ­
вает, что спектры Не+, Ы++, Ве+++
и т. д. по х арактеру аналогичны спектру
водорода. Согласно формуле (13.11),
соответствующие частоты в 2 2 раз пре­
вышают частоты в спектре водорода.
411
►
Фиг. 285. М а с ш т а б н ы й чертеж эл е к ­
т ронны х орбит некоторых атомов,
выполненный в соответствии с т е о р и ­
ей Б о р а (1923 г.).
Радий
ф
Ю~8см
Водород
Гелий
Углерод
Аргон
Этот результат подтверж дается экспери­
ментом и современной теорией. О днако серь­
езным недостатком модели Бора явилось то,
что на ее основе не удалось объяснить спектр
неионизованного
гелия,
ядро
которого
(2 = 2) окруж ено двумя электронами. Н е ­
смотря на сложность проблемы трех в за и ­
модействующих частиц, квантовая механика
позволяет решить зад ач у атома гелия. С по­
мощью современной теории и электронных
вычислительных машин спектр гелия был
вычислен в последнее время с большой точ­
ностью и совпал с измеренным эксперимен­
тально. Физики и химики уверены, что совре­
менная квантовая механика способна в прин­
ципе объяснить все атомные спектры и все
химические свойства.
§ 5. Строение атомов
«•О сновны е ф изические предст авления, н е о б х о ­
д им ы е д л я со зд а н и я математического аппарата
значит ельной части ф и зи ки и всей х и м и и [в н а ­
стоящее врем я], полност ью известны».
П. Д и р а к
(1929 г.)
Бор постулировал, что в многоэлектрон­
ном атоме на оболочке с N = 1 могут нахо­
диться лишь два электрона, на оболочке
с N = 2 и на оболочке с N = 3 — по 8 электро­
нов, на оболочке с N = 4 и с N = 5 — по
18 электронов и на оболочке с N = 6 —
32 электрона. Тем самым удалось объяснить
периодичность, имеющую место в химиче­
ских и физических свойствах элементов и
связанную с числами 2, 8, 8, 18, 18, 32 (см.
фиг. 287 и 290, а так ж е табл. IV, стр. 551).
Н а фиг. 285 изображ ены схемы этих атомов,
построенные в соответствии с теорией Бора.
Количество электронов на каж д ой оболочке
было «произвольно» установлено Бором, что­
бы объяснить химические свойства и иони­
зационные потенциалы различных элем ен ­
тов. К ак мы вскоре увидим, Бор неправиль­
но предсказал число электронов на оболоч­
ках с N = 3 и N = 4. Теория, основанная на
слишком большом числе «произвольных»
постулатов (например, создан н ая Бором
теория строения ато м а), не пользуется д ове­
рием у физиков. По мнению большинства
физиков и философов, д ля природы х а р а к ­
терна простота, и чем меньше число посту­
латов или ф ундаментальных принципов тео­
рии, тем ближ е она к действительности.
Наивы сш ее достижение нашей науки — со­
временная квантовая теория, в основе кото­
рой л еж и т очень небольшое число п осту л а­
тов,
дает объяснение всем
явлениям,
относящимся к строению атом а и всей хи ­
мии. Поскольку в состав атом а входит много
электронов, мы долж ны первоначально в ы ­
яснить, что произойдет, согласно квантовой
механике, если на одно и то ж е место в про­
странстве в один и тот ж е момент времени
претендует несколько тождественных частиц.
В классической физике никакие два тела не
могут зан и м ать одновременно одно и то же
пространство. Однако эта классическая кон­
цепция совершенно чуж да квантовой м е х а­
нике.' Р а з электромагнитные волны могут
проходить через тела, то это означает, что
фотоны наверняка могут зан и м ать то ж е про­
странство, что и другие частицы. В действи­
тельности в одном и том же кван то­
вом состоянии мож ет находиться л ю ­
бое число фотонов. Почему ж е тогда
не все электроны в атомах находятся
нормально в состоянии с УУ= 1? Ведь
это, без сомнения,— низшее энерге­
тическое состояние атома.
Принцип зап р ета
В 1925 г. В. П аули обнаруж ил, что
электронная структура атомов п олу­
чает
автоматическое
объяснение,
если постулировать, что одно состоя­
ние или электронная орбита могут
быть заняты не более чем двумя
электронами. К примеру, в случае
оболочки с N = 2 квантовое число мо­
мента количества движения I может
Фиг. 286. Вольф ганг П а ул и.
принимать значения 0 или 1. О днако числу
I — 1 отвечают три возмож ны х состояния, со­
ответствующие значениям квантового числа
т-1= — 1, 0 и + 1 . Таким образом, всего име­
ется четыре состояния, которые при условии
заполнения каж дого состояния двумя элект­
ронами составляю т «оболочку», с о д е р ж а ­
щую всего 8 электронов. В 1925 г. принцип
зап рета П аули явился ещ е одним «произ­
вольным» постулатом.
Спин электрона
Вопрос 6. Я д р о с за р я д о м 2 о к р у ж е ­
но 2. — 1 о д н о к р а т н о з а р я ж е н н ы м и
отрицател ьны м и частицам и. К а к и м б у ­
дет спектр, испускаем ый е динс т ве н­
ным о рби тал ьны м эл ектроном?
416
Однако в 1926 г. было установлено, что
у каждого электрона имеется врожденный
момент
количества
движения,
равный
7 2 ( Л / 2 я ) . Е г о можно наглядно представить
себе, вообразив электрон ш арообразной
массой, в р ащ аю щ ей ся вокруг оси с постоян­
ным
моментом
количества
движения
!/2 (Л/2я ) . Этот врожденный спин не может
ни увеличиваться, ни уменьшаться. Он один
и тот ж е у всех элементарны х частиц д а н ­
ного типа. Вскоре после открытия спина
электрона Д и р а к , П аули и другие о б н а р у ж и ­
ли возможность создать удовлетворительную
теорию частиц со спином '/г- Одно из требо­
ваний такой теории состояло в том, что кв ан ­
товомеханические уравнения долж ны были
предсказы вать одни и те ж е физические ре­
зультаты независимо от скорости н а б л ю д а ­
теля. Когда были найдены релятивистские
уравнения, удовлетворяю щ ие этим, тр еб о в а­
ниям, то оказалось, что они, кроме того, а в ­
томатически подчиняются принципу запрета
Паули. Таким образом обнаружилось, что
принцип зап рета — не дополнительный, в з я ­
тый с потолка постулат, а прямое следствие
сущ ествования у электрона врожденного
спина. Что ж е касается объяснения значений
массы, спина и зар я д а , присущих электрону,
то эта проблема пока остается открытой.
Теперь мы совершим небольшую экскур­
сию по периодической системе и рассмотрим
элемент за элементом.
§ 6. Периодическая система
элементов
Х И М И Ч ЕС К А Я Ф И ЗИ К А
Ц ель данного п ар а г р а ф а состоит в том,
чтобы продемонстрировать читателю, каким
образом
можно установить химические
свойства всех элементов, не производя
химических опытов. В' принципе всю химию
можно получить в качестве следствия теории
электрона со спином У2. Однако в действи­
тельности химические свойства элементов
устанавливаю тся опытным путем; расчеты
оказы ваю тся слишком сложными.
Вооруживш ись теперь принципом з а п ­
рета, мы в состоянии установить место к а ж ­
дого электрона в атоме. Рассмотрим, к при­
меру, лишенное электронов ядро неона
( 2 = 1 0 ) . Если оно приобретает один элект­
рон, то последний сразу ж е переходит на о р ­
биту с N = 1. То' ж е утверждение сп р ав ед л и ­
во и для второго электрона. Оба эти электр о­
на целиком заполняю т орбиту с N = 1 . Если
ядро неона с двумя электронами на орбите
с N = 1 приобретет восемь недостающих э л е к ­
тронов, то эти электроны целиком зап олн ят
четыре возможны е орбиты с N = 2, т. е. 1=0;
1= 1 и т ; = — 1; 1= 1 и
О и, наконец, 1= 1
и т ; = + 1. Теперь мы последовательно опи­
шем строение атомов согласно квантовой
теории, начиная с водорода. Мы увидим, что,
не производя подробных вычислений, можно
получить численные оценки валентности и
ионизационного потенциала каждого из э ле­
ментов.
2 = 1 (водород)
О твет 6. П о с к о л ь к у р е з у л ь т и р у ю щ и й
з а р я д э к р а н и р о в а н н о г о я д р а 2 = 1 , то
спектр буд ет со в п а д а ть со спектром
водорода.
14— 176
Мы заверш им рассмотрение этого сл у­
чая. Единственный электрон находится в со­
стоянии с N = 1 , энергия которого равна
— 13,6 эв. Таким образом, энергия связи в
данном случае равна 13,6эе. Поскольку ио­
низационный потенциал представляет собой
минимальное напряжение, необходимое для
ионизации атома, в случае водорода он со­
ставляет т а к ж е 13,6-эв.
417
10
20
10
25
1 Н
2 Не
гг
3Ц
4 Ве
5 В
6С
VN
8 0
9 Р
10 ые
( + 8 + 18 + 1Е
2+8
И N3
12 м д
13 А1
14 51
15 Р
16 8
17 С1
ШАГ
19 К
20 Са
21 8С
22 Т
С
23 V
24 С г
25 Мп
26 Ре
27 Со
28 N1
29 Си
30 2п
31 6 а
32 Се
33 А5
34 З е
35 Вг
36 Кг
37 КЬ
38 5 г
39 V
40 2 г
41 МЬ
4 2 МО
43 ТС
44 Ки
45 КЬ
Неизвестен
Н ш ^веспе
Нии^веспе
Неизвесте
Неизвесте
2 + 8 + 8 + 18 + 18 + 32
и'
11
1еизI
Неизвестен
Неизвестен
\виз
11111
Неизвестен
' 11I
Неизвестен
46 ра
11
Ф и г . 287. И о н и за ц и он н ы е потен циалы
элем ентов вплоть д о урана.
(К р асн ы м
п о к азан ы
б л аго р о дн ы е
газы .)
2 +6 + В
N
8
Н а фиг. 287
и зображ ен а зависимость
ионизационных потенциалов элементов от 2.
Отметим периодичность, отвечающую чис­
лам 2, 8, 8, 18, 18, 32.
2. = 2 (гелий)
Мы у ж е отмечали, что у Не+, имеющего
один электрон, долж ны быть в четы рехкрат­
ном м асш табе те же энергетические уровни,
что и у водорода. Это обусловлено м н о ж и ­
телем 2 2 в формуле (13.11). Ионизационный
потенциал гелия составляет 4-13,6 = 54,5 в,
что совпадает с данными эксперимента.
Если поместить вблизи Не+ второй э л е к т­
рон, то вначале ему «покажется», что за р я д
равен 2 — 1. Однако после того, как этот
электрон попадет на оболочку с М = 1, п оло­
вину времени он будет находиться к ядру
ближе, чем первый электрон, и при этом
«ощущать» з а р я д ядра 2. Если прямо уср ед ­
нить по этим величинам, то мы получим
1 — '/г- Таким образом, д ля электрона э ф ­
фективный за р я д ядра гелия будет равен
2 Эфф=1,5е. Мы можем обобщить ф орм у­
лу (13.4), а именно
72
ЧРЫ
эв,
N.1. = — 13,6
где 2 Эфф зависит и от №, и от /.
На основании этой оценки следует о ж и ­
дать, что ионизационный потенциал гелия
составит около (1,5)2- 13,6, или 30 в. В дей­
ствительности следует ож и д ать более слабой
связи из-за вкл ад а положительной потенци­
альной энергии, обусловленной оттал к и в ан и ­
ем двух электронов. Экспериментальное
значение ионизационного потенциала состав­
ляет 24,6 в. Это наивысший ионизационный
потенциал среди всех элементов.
И з-за большого ионизационного потенци­
ала, а т а к ж е вследствие отсутствия места
для третьего электрона на оболочке с N = 1
гелий чрезвычайно инертен химически. Хи­
мических сил недостаточно, чтобы обеспе­
чить компенсацию энергии в 24,6 эв. Если
мы попытаемся создать отрицательный ион
гелия Не~, то дополнительный электрон
14
419
долж ен будет находиться в состоянии, с
N = 2. Соответствующая стоячая волна д о ­
статочно уд ален а от ядра с зар ядо м + 2 е и
обоих электронов с отрицательным зарядо м
в состоянии с Л/ = 1. Следовательно, резуль­
тирующий з а р я д в центре атома для волны
С N = 2 будет равен нулю. Сил притяжения,
удерж иваю щ их электрон в этом состоянии,
не будет; иными словами, 2 Эфф~ 0 для N = 2 .
Итак, гелий не образует молекул ни с одним
из элементов. Его и другие атомы- с за п о л ­
ненными оболочками н азы ваю т б лагор од ны ­
ми газами. Некоторые из более тяж елы х б л а ­
городных газов образую т ряд соединений.
2 = 3 (литий)
Фиг. 288. С оврем енное
а то м а лития.
и зображ ение
Э лектронное о б л а к о с М = \ и зо б р аж ен о
красны м
цветом ; внеш ний эл ектр о н
с
Л/= 2 — светлы м .
420
Д в а ж д ы ионизованный литий, Ы++, имеет
водородоподобный спектр, в котором энер­
гии в (3) 2= 9 раз больше, чем в спектре во­
дорода. Спектр однократно ионизованного
лития подобен спектру гелия с 2 эфф, прим ер­
но равным 3— 72 вместо 2— '/г в случае ге­
лия. В нейтральном атоме лития третий
электрон, согласно принципу з а ­
прета,
долж ен
находиться на
оболочке с N = 2. Д л я этого э л е к ­
трона 2 Эфф будет несколько б о л ь ­
ше единицы. Таким образом, мы
ожидаем , что ионизационный по­
тенциал лития несколько превысит
13,6/УУ2= 13,6/22 = 3,4 в. Экспери­
ментальное значение сеставляет
5,4 в, что соответствует 2 0фф = 1,25.
Второй ионизационный потенциал
(соответствующий освобождению
второго электрона) равен 75,6 в.
И так, литий в соединениях всегда
долж ен
обнар уж и вать
вал ен т­
ность + 1 (что соответствует поте­
ре одного электрона) и никогда
не будет о б наруж и вать вал ен т ­
ность + 2 (соответствующую по­
тере двух э л е к т р о н о в ). Н а фиг. 288
изображено, как «выглядело» бы
электронное облако лития, если
бы его можно было увидеть.
(■"—/ А —Н
Т а б л и ц а
Э л е к т р о н н а я с т р у к т у р а атом о в
Главное квантовое число N
О рбитальное
квантовое
О бозначение
состояний
Элемент
'
2
У; »о1Н
1
2
Н
Не
Водород
Гелий
13.60
24 .5 8
3
4
5
6
7
8
9
10
II
Ве
В
С
N
О
Р
Ые
Литий
Бериллий
Бор
Углерод
А зот
Кислород
Ф тор
Неон
5.39
9.32
8.30
11.26
14.54
13.61
17.42
2 1 .5 6
11
12
13
14
15
16
17
18
Мд
А1
$1
Р
5
С1
А
Натрий
Магний
Алюминий
Кремний
Ф осф ор
Сера
Хлор
Аргон
5.14
7.64
5.98
8.15
10.55
10.36
13.01
15.76
Калий
Кальций
Скандий
Титан
Ванадий
Х ром
М арганец
Ж елезо
Кобальт
Никель
М едь
Цинк
Галлий
Германий
М ы ш ьяк
Селен
Бром
Криптон
4 .3 4
6.11
6 .5 6
6.83
6 .74
6 .76
7 .43
7 .9 0
7 .86
7.63
7.72
9 .39
6.0 0
7.88
9.81
9.75
11.84
14.00
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
Ма
К
Со
5с
Л
V
Сг
Мп
Ре
Со
N1
Сц
2п
Са
Се
А»
5е
Вг
ня
1
4
3
2
число /
0
0
1
0
1
2
0
1
ь
25
2Р
3$ З р
3(/
45
4р
Фиг. 289. В одор од ны е волновы е ф у н к ­
ции д л я состояний с N = 3 и / = 0 , 1
и 2.
Т олько в сл у ч ае 1=0 во л н о вая ф у н кц и я не
о б р а щ а е т с я в н уль в н ач ал е коорди нат.
Фз,2
1=г
Согласно сказанному выше, состояния
с N = 2 , 1= 0 и Ы = 2 , / = 1 долж ны иметь одну
и ту ж е энергию. Однако, как видно из
фиг. 289, состоянию с / = 0 д о л ж н а отвечать
более сильная связь, нежели состоянию с
1— 1. Это обусловлено тем, что электронная
волновая функция с меньшим моментом ко­
личества движения (1=0) в большей степени
сосредоточена вблизи ядра, чем волновая
функция состояния с более высоким момен­
том количества движения. Действительно,
для всех электронов с 1> О волновая ф ун к­
ция г)) = 0 при г = 0. Это видно т а к ж е из
фиг. 289, на которой изображ ены для с р а в ­
нения волны с 1= 0, 1 и 2 и одним и тем
ж е N. Д л я электронной волны, сосредоточен­
ной вблизи ядра, 2 Эфф достигает почти 2 ,
тогда как для удаленной от яд ра части во л ­
ны 2 эфф примерно равно единице. С л ед о ва­
тельно, для волны с 1= 0 2 эфф больше,
нежели для волны с / = 1 . В этом и леж ит
причина, по которой 2 Эфф зависит не только
от Ы, но и от /. Подобное обстоятельство
может явиться причиной значительного р а з ­
личия по энергии «подоболочек» с 1= 0
и 1=1 или 2. Действительно,
при 2 = 1 9
(калий) эф ф ект оказы вается настолько си ль­
ным, что энергетический уровень с N = 4,
1= 0 располагается ниже уровня с N = 3 ,
1=2. В табл. 7 приведен порядок следования
энергетических уровней. Д р у г а я интерпрета­
ция этого эф фекта основана на том, что ор­
биты с более высокими моментами количе­
ства движения оказы ваю тся более у д а л е н ­
ными от ядра, чем орбиты с меньшими мо­
ментами количества движения. Таким о б р а ­
зом, состояния с меньшим I связаны более
сильно.
2, = 4 (бериллий)
Согласно принципу запрета, в состоянии
с N = 2, 1= 0 имеются места для двух элект­
ронов. Поскольку 2 Эфф д ля близкой к ядру
части электронной волны оказы вается в д а н ­
ном случае больше, чем в случае лития,
422
большим долж ен быть и ионизационный по­
тенциал. Экспериментальное значение равно
9,32 в по сравнению с 5,39 в в случае лития.
О днако второй ионизационный потенциал
оказы вается в случае бериллия ненамного
больше, поскольку этот электрон т а к ж е
находится в состоянии с Ы = 2. Таким о б р а ­
зом, в соединениях бериллий имеет вал ен т ­
ность + 2 .
2 = 5 (б о р ), 2 = 6 (углерод), 2 = 1 (а зо т ),
2 = 8 (кислород), 2 = 9 (ф то р ), 2 = 1 0 (неон)
Эти атомы образую тся при заполнении
состояний с N = 2 , 1= 1. Поскольку / = 1
встречается в трех различных состояниях
(/П( = — 1, 0, + 1), то на подоболочке с N = 2,
1= 1 могут разместиться 6 электронов. У
бора в состояниях с N = 2 находится 3 э л е к т­
рона, и, следовательно, его валентность + 3 ‘>.
У кислорода и фтора наблю дается новое
явление, назы ваем ое сродством к электрону.
Отдельный атом фтора мож ет приобрести
дополнительный электрон и превратиться
в стабильный ион Р- . Соответствую щая
этому дополнительному электрону волна ч а ­
стично «ощущает» большой эффективный з а ­
ряд, и энергия связи электрона становится
равной 4,2 эв. Таким образом, фтор имеет
валентность — 1. Сродство к электрону при
образовании О- соответствует 2,2 в. К исло­
род и азот в химических соединениях обычно
имеют валентности соответственно — 2 и
— 3. У неона все состояния с N = 2 заняты,
и мы имеем дело с так назы ваемой зап олн ен ­
ной оболочкой. Поскольку все электронные
волны, отвечающие N = 2, сосредоточиваются
вблизи ядра, где 2 Эфф достигает 10, иони за­
ционный потенциал оказы вается очень б оль­
шим и составляет 21,6 в. Таким образом,
неон, подобно гелию, т а к ж е химически
весьма инертен,
•> Вопрос о том, почему в ал ентно сть бора р а в н а 3,
углерода 4 и т. д., р а с с м а т р и в а е т с я более д е та л ьн о в
гл. 14, стр. 436.
423
Фип 290. З а в и си м о ст ь о б ъ ем а
атома
От 2 = \ \ (натрий) ДС>2Г=18 (аргон)
ОТ
0
10
20
30
АО
50 60
Атомный номер
Принцип зап рета вы нуж дает
одиннадцатый электрон у натрия
зан ять состояние с N = 3, для ко­
торого 2 ЭффЯа 1 и которое имеет
гораздо, большие размеры, нежели
состояние с N = 2 . у предшествую­
щего неона. Итак, теория пред­
сказы вает, что каждый раз, когда
внешний электрон будет попадать
на орбиту с более высоким кв ан ­
товым числом УУ, размер атома
будет значительно увеличиваться.
Подобное резкое увеличение р а з ­
меров действительно наблю дается
для 2 = 3, 11, 19, ... (фиг. 290).
70
80 90 92
В ряду из восьми элементов от
натрия до аргона происходит з а ­
полнение состояний с N = 3, 1= 0 и с Л/ = 3,
1= 1 совершенно аналогично предшествую­
щим восьми элементам. Поэтому химические
свойства этих элементов оказы ваю тся весь­
ма сходными со свойствами соответствую­
щих элементов предыдущей восьмерки.
В этом и заклю чается объяснение «периоди­
ческой системы» химических элементов.
П ока мы объяснили наличие периодов, соот­
ветствующих числам 2, 8, 8. Посмотрим
теперь, почему для следующего периода х а ­
рактерна цифра не 8, а 18.
.2 = 19 (калий) и далее
Мы могли предполагать, что у следую ­
щего элемента внешний электрон окаж ется
в состоянии с Ы = 3, / = 2. Но, как у к а з ы в а ­
лось при обсуждении лития (2 = 3), 2 эффдля
волн, отвечающих N = 4, 1= 0, значительно
превышает эту величину для волн с N = 3,
1=2, так ка к волна с 1= 0 наиболее концент­
рирована в области г = 0, где эффективный
зар я д максимален. В случае этой волны
{N = 4,
1=0)
2 Эфф = 2,26,
а
энергия
13,6 2 Эфф2/42= 4,34 эв\ в то ж е время в случае
волны с N = 3, 1= 2 2 Эфф несколько мень­
ше 1,7, что соответствует энергии менее
424
4,34 эв. Если бы д евятнадцаты й электрон
о к азал ся в состоянии с ^ = 3 , 1= 2, то он
очень скоро перешел бы в состояние с N = 4,
1=0, которому отвечает меньшая энергия.
При этом переходе будет испущен фотон с
энергией, равной разности энергий обоих
состояний.
Если перейти к 2 = 21 (скандий), то со­
стояние с N = 4, 1= 0 все будет заполнено и
при размещении д вадц ать первого электро­
на с состоянием N = 3, 1= 2 будет конкури­
ровать состояние с N = 4, 1= 1. К а к и следо^
вало ож идать, более низким по энергии
оказы вается состояние с Ы = 3, так что со
скандия начинают заполняться состояния с
1=2 оболочки N = 3. В табл. 7 приведена
электронная структура элементов вплоть до
2 = 36. Н а основе квантовой механики, химии
и спектроскопии была установлена электрон­
ная структура всех элементов вплоть до
2 = 1 0 5 . В действительности теория настоль­
ко совершенна, что позволяет заранее пред­
ск азать химические свойства
элементов
с 2 = 1 0 6 и т. д. до того, как эти элементы
будут созданы искусственно.
Вычисление точных значений ионизаци­
онных потенциалов и сродства к электрону
оказы вается крайне трудоемким. Однако
в нашем распоряжении имеется теория и
подобные вычисления в принципе выпол­
нимы.
Таким
образом,
вся
химия
может
быть получена на основе простой теории —
квантовой механики электронов со спи­
ном 1/2.
§ 7. Рентгеновское излучение
З А П О Л Н Е Н И Е П Р О Б Е Л А В С П Е К Т РЕ
К аж д о м у атому присуще характери сти ­
ческое излучение, которое испускается, когда
небольшой образец элемента ионизуется
в электрической дуге или разряде. Неизвест­
ные образцы на З ем л е или в звездах можно
проанализировать, воспользовавшись мето­
дами спектроскопии. К ак и в случае водо­
425
рода, спектральные линии соответствуют
квантовым переходам одного или двух внеш ­
них электронов на различные энергетические
уровни. Поскольку энергия этих уровней по
порядку величины составляет несколько
электрон-вольт,
то
характеристический
спектр состоит из линий, приходящихся на
видимую, ультрафиолетовую и и н ф р а к р ас­
ную области.
В случае тяж елы х атомов возможно т а к ­
же испускание гораздо более жестких к в ан ­
тов с энергией в сотни и д а ж е тысячи элект­
рон-вольт. Такие фотоны высокой энергии н а ­
зы ваю тся рентгеновским излучением (или
Х-лучами). Рентгеновское излучение испус­
кается в результате потери атомом внутрен­
него электрона. При этом внешний электрон
быстро переходит в более низкие состоя­
ния с тем, чтобы заместить потерянный внут­
ренний электрон. Атомы могут терять элект­
роны при их бомбардировке пучком элект­
ронов, ускоренных до нескольких тысяч
вольт. Некоторые из этих ускоренных элект­
ронов будут сталкиваться с электронами
на внутренней оболочке и выбивать их из
атомов.
Энергия связи электрона на оболочке
с N = \ (/С-оболочка, по терминологии рентгенофизиков) равна 13,6 2 Эфф2 эв. В данном
случае 2 эфф очень близко к 2 — */2.
П рим ер. К а к о в а м а к с и м а л ь н а я эн ергия рентге­
новского излучен ия, ис пускаемого из меди и у р а н а?
Вычислите энергии и длины волн.
М а к с и м а л ь н а я энергия рентгеновского излуче­
ния о твечает переходу с вободного электрона (нуле­
в ая энергия) на свободное место на /(-оболочке
(Ы=\).
Д л я меди 2 = 29 и Н}= 13,6 • (28,5)2= 11 ООО эв ■
12 390
11 ООО = 1 ' 12А '
Д л я у р а н а 2 = 92 и Л / = 1 3 , 6 - (91,5)2= 112 ООО эв
12 390
,,о
112 000 = ° ’11АПриведенный пример иллюстрирует чрез­
вычайно надежный метод определения 2
426
вновь открытых элементов. Он заклю чается
просто в измерении длины волны жесткого
рентгеновского излучения, испускаемого не­
известным образом.
Рентгеновское излучение является так ж е
чрезвычайно действенным средством опреде­
ления структуры твердых тел вследствие
того, что длина волны этого излучения
сравнима с межатомными расстояниями в
твердых телах. К ак указы валось в п редыду­
щих главах, повторяющиеся периодически
атомные плоскости в кри сталлах действуют
подобно штрихам дифракционной решетки.
Поэтому если известна длина волны рент­
геновского излучения, то, измеряя углы его
дифракции, можно определить м е ж а т о м ­
ные расстояния [см. ( 10. 10) и фиг. 268].
Приложение 1
Уравнение Ш редингера можно получить
следующим образом. О б р а щ а я с ь к ф о рм у ­
ле (3.10), мы видим, что чисто синусоидаль­
ная волна как функция времени обладает
следующим свойством:
<1гу1а1г
у
4г.2
Г2
”
’
где с12у/<И2 вторая производная по врем е­
ни (ускорение), а Т — время одного полного
колебания синусоидальной волны (период).
З а м ен яя время I на координату х, мы видим,
что чисто синусоидальная волна как ф ун к­
ция координат подчиняется соотношению
Лгу !д .х г __
~У
. 4л2
“
’
или
й 2у
4тг2
— — = ---------- УТаким образом, частица с длиной волны X
д о л ж н а описываться уравнением
__
йхг _
4тс2
.
^
427
П од ставл яя в правую часть вы раж ение
(13.3) д ля к, получаем уравнение Ш редин­
гера
В дифференциальном исчислении вторая
производная с12^/с1х2 является мерой кривиз­
ны. Если она отрицательна, это означает, что
наклон уменьшается, или что я|) изгибается
к оси х. Если с12\^/с1х2 полож ительна, то
и з­
гибается от оси х. М атематически решение
уравнения Ш редингера всегда существует,
независимо от того, полож ительна или отри­
цательна п р ав ая часть. Это означает, что
г|) может существовать д а ж е в том случае,
когда №— 11, т. е. кинетическая энергия отри ­
цательна.
Приложение 2
Проведем приближенное вычисление р а ­
диуса и энергии атома водорода, воспользо*
вавшись для этого вместо старой полуклассической теории Б ора современной волновой
теорией электрона. Начнем с зам ечания о
том, что волновая функция электрона пред­
ставляет собой стоячую волну с максимумом
в центре атома и спадаю щ ую на границе.
Хотя эта стоячая волна и не имеет опреде­
ленной длины волны, мы припишем ей сред­
нюю длину волны Хср и заметим, что стоячая
волна низшего порядка вытянется на про­
тяжении ящ ика или атома на А,ср/2. С л ед о­
вательно,
= 2 Р ср,
или
^ср = 4 Р ср,
(13.13)
где 2 Р Ср —средний диаметр атома. Переход
к квантовой теории мы совершим, восполь­
зовавшись соотношением де-Бройля (13.3):
X
л ср —
428
Н
_______________
Л/ 2 т ( Е к и н )ср
Обе части этого соотношения можно в ы р а ­
зить через Р Ср- В левую часть п одста­
вим (13.13), а в правую
(^ к и н ) ср =
2 % ср
’
согласно (13.8). В результате получим
4 Р Ср =
------- -------------- •
У 2т1е2/2Я ср
Возводя обе части в квадрат, имеем
16#2 =
Нг
ср
т 2 е 2/ Я ср
Решение относительно Р ср дает
<| 3 | 4 >
Отметим, что этот приближенный результат
близок к результату, полученному в теории
Бора, Н2/ 4 л 2т 1 е 2 [см. (13.12)].
Д л я получения энергии связи воспользу­
емся соотношением
117 ----— ^рК И Н 4-/7—
г и ----- Р К И Н
2е*
Г------
-------
и снова используем приближенное в ы р а ж е ­
ние
(Е*и“)ср =
2е2
2/?Ср
что дает
V/
1ег
2Яср
П од ставл яя вы ражение (13.14) для Р ср, по­
лучаем
Г =
8т Г -е *
Л2
С точностью до множителя 2,5 этот резу л ь­
тат согласуется с точным
_
2тс2т 22е4
Д л я приближенных расчетов такого со г л а­
сия вполне достаточно.
429
Задачи
1. К а к у ю мини м альную энергию м о ж ет п огл ощ ать
атом Н, н а х о д я щ и й с я в основном состоянии?
2. К а к о в боровский радиус Н е+ в
янии?
основном состо­
3. Одном ерн ы й ящ и к имеет п р от я ж е н н о ст ь Ю~ 8 см.
К ак овы длины электронны х стоячих волн, с о отв етст­
вующих трем низшим в о зм о ж н ы м значениям и м ­
пульса?
4. И з о б р аз и т е (в общ их че ртах ) на г раф и ке поведе­
ние
и г|>5 д л я потенциальной энергии на фиг. 271.
5. И спол ьзу я пр е дс та в л ени я теории относительности
и квант овой м ех а н и к и , вы числите дл ин у волны э л е к т ­
рона, д в и ж у щ е г о с я с о -с к о р о с ть ю о = 4с/5.
6. Н а й д и те в с луч ае основного состояния а т о м а в о ­
д о р о д а по боровской модели кинетическую эн ергию в
э в , потенциальную эн ергию в э в , энергию с вяз и в эв.
Если бы эл ектрон покоился в ато м е во д о р о д а на
расстоянии /? = Л2/ 4 я 2т е 2, то к а к а я энергия пот реб о­
в а л а с ь бы д л я его у д а л ен и я из а том а ?
7. Чем у равн о число эл ектрон ов на за полненной об о ­
лочке
а) с N = 2 ?
б) с N = 3 ?
в) с N = 4?
8. Ч ему р авн о м ак с им а л ьное
подоболочке с N = 6 , 1 = 2 ?
число
эл ектрон ов на
9. К а к а я из абсол ю тны х величин о к а з ы в а е т с я в б о ­
ровской
модели
а то м а
во д о р о д а
наибольшей:
Е „ „ „ + 1/, ^нин или Ш
10. П ри 2 = 56 (барий) целиком з а п о л н я е тс я подоболочка с N = 6 , 1=0. У с ле ду ю щ ег о эл емента л а н ­
т ан а ( 2 = 57) начи нает з а п о л н я т ь с я подоболочка с
N = 4 , 1= 3. С к ол ьк о эл ектрон ов м о ж е т находиться
на этой подоболочке? [Эти элем ен ты н а зы в аю т ся
редкозем ельными. Все они о б л а д а ю т оди нак овы м и
химическими свойствами, поскольку у них имеется
дв а внешних эл ек тро н а в одном и том ж е состоянии
N = 6 , 1=0.]
11. Г аз о о б р аз н ы й в одор од в о з б у ж д а е т с я так, что его
а том ы п ер ех од ят в состояние с N = 5. С колько линий
м о ж е т появиться в спектре испускания этого газа ?
12. П р е д п о л о ж и м , что в определенном атом е основ­
ным состоянием внешнего эл е к тро н а яв л я е т с я N = 3,
1= 0 с 2 Эфф= 3,2, а следую щ им уровнем с более вы со ­
кой энергией состояние N = 3 , / = 1 с 2 Э
фф= 1,6. К а ­
кую энергию б уд ут иметь фотоны, испускаемые при
переходе с этого уро вня в основное состояние?
430
13. В спектре поглощения эл ем ен та X н а б л ю д а ю т ся
следую щ ие три линии: /1 = 2,2- 1015 г ц , (2= 3 ,0 ■ 1015 гц
и [з = 3 ,5-1 0 15 гц. (См. пример 2 на стр. 407.)
а) Б у д у т ли эти три линии п ри су тств о вать в
спектре испускания эл ем ен та X?
б) Вычислите частоты трех д р угих линий, к о т о ­
рые п о яв ят ся в спектре испускания э л е м е н ­
та X.
14. Спектр поглощения во д о р о д а с ним ается путем
пропускания излучения с непрерывным спектром че­
рез газ, а то м ы которого н а х о д я т с я в основном сост о­
янии. К а к о в ы энергии фотонов в этом спектре? Ч ем у
равн ы длины волн, соо тветству ю щ ие темным лини ям ?
15. М а к с и м а л ь н а я энергия рентгеновского излучен ия,
испускаемого неизвестным обр а зц о м , соответствует
длин е волны 2,16 А. Ч то за эл ем ен т с о д е р ж и т с я в
образце?
16. Энергия полной ионизации гелия р авн а 79 эв.
а) К а к а я энергия расх о д у е т ся на у дал ен ие в т о ­
рого эл ектр он а, после того к а к первый у ж е
у дал ен ?
б) К а к а я энергия требуется д л я у д а л ен и я од н о ­
го из дв у х электронов?
17. У а том а в оболочке не х в а т а е т одн ого внешнего
электрона. П р е д п о л о ж и м , что единственно в о з м о ж ­
ные уровни этого электрона имеют энергии — 1, —4,
— 7 и — 10 эв.
а) Ч е м у р авен ионизационный потен циал?
б) С колько разл ичн ы х линий появится в спектре
испускания? (Одни и те ж е частоты с ч и т аю т ­
ся то льк о один раз.)
в) Ч е м у равн ы длины волн в спектре испускания?
18. И онизационны й потенциал а т о м а равен 9 в. П е р ­
вые д в а в о зб у ж д е н н ы х состояния этого атом а имеют
энергии Е 2= —8 эв и Е 3 = — 6 эв.
а) Ч е м у р а вн а эн ергия основного состояния
Е 1 в эв?
б) Вычислите энергии фотонов (в эв) д л я трех
линий в спектре этого эле м ен та с дл и н ам и
волн X, пр ев ы ш аю щ им и 3000 А.
19. Р а с п о л о ж и т е состояния в п о р я д ке в о зр а с т а н и я
энергии (первым выпиш ите низший уровень с н а и ­
большей энергией с вя з и ). Внутренние оболочки пр е д ­
пол а га ю тс я заполненны м и N = 3, 1= 1; М = 3, 1= 2;
N = 4, 1= 0; Ы = 4, 1=1.
20. Ч а с ти ц а с массой т и пол ож и т ел ьн ы м эл е к т р и ­
ческим з а р я д о м ц д в и ж е т с я по круговой орбите р а ­
ди усом
около т я ж е л о й частицы с массой М и з а р я ­
дом — <3. М е ж д у ними действую т только силы э л е к ­
тростатического при тя ж ен и я . Найди те:
а) в ы р а ж е н и е д л я силы, действую щ ей м е ж д у
ч астицам и;
б) потенциальную эн ергию з а р я д а
в зависимо­
сти от его массы т и скорости V;
431
■
в) полную энергию Е кяа + 11 к а к функцию т и п ;
г) в ы р а ж е н и е д л я V через К, т , к и кван товое
число N на основе боровского п о сту л ата о
к в ан тов а нии момен та
количества д в и ж е н и я;
д) к в ан тов анны й р адиус к а к функцию т , к , <3 , ^
и
е) полную энергию к ак ф у нкцию т, к, О, с7 и N.
21. Н айти линию в спектре Не+ с той ж е длиной
волны, что и линия в спектре во доро да. Чем у р авн а
эта длин а .волны?
22. ц -М езо а т ом состоит из я д р а с з а р я д о м 2 и (х_ -мезона в основном состоянии (р,-мезон — частица в
207 ра з т я ж е л е е э л е к тр он а).
а) К а к о в а эн ергия с вязи ц - - м е з о н а ,за х в а ч е н н о г о
протоном?
б) К а к о в радиу с боровской орбиты д л я N = 1
в п. ( а )?
в) С какой энергией испускается фотон при пе­
реходе (х~-мезона из со стояния с N = 2 в ос­
новное состояние?
23. Ра с см от рим |1-м езоатом свинца ( 2 = 88). Где р а с ­
п о л ож ен а в о р о в с к а я орбита ц-м езона с Л ^ = 1, вне
или внутри я д р а ?
Д и а м е т р я д р а свинца р авен 1,6 • 10—12 см.
24. Ра с см о т рим элемент X, а том ы которого имеют
валентность + 1 . П усть эн ергия связи внешнего э л е к ­
трона р а вн а 3,2 эв, а энергии трех во зб у ж д е н н ы х
уровней эт ого эл ек тр он а ра вн ы — 1,0, — 1,4 и — 2,0 эв.
а) Ч е м у р а вн а эн ергия основного состояния в э в ?
б) Перечислите линии в спектре испускания эт о ­
го эле м ен та и вычислите энергии фотонов в эв.
25. Н а и бол е е интенсивная л иния рентгеновского из­
лучения отвечает переходу эл ек тр он а с оболочки с
N = 2 на пустое место в оболочке с N = 1. Д о п устим ,
что 2 Эфф = 2 — 3 д л я состояния с N = 2. К а к о в а длина
волны соответствую щ ей линии в случае меди?
26. Сила п р и т я ж е н и я м е ж д у нейтроном с массой М
и электроном
с массой
т
д а ет с я
вы раж ен ие м
Г = С М т /К 2. Ра с см о т р и м низш ую боровскую орбиту
д л я д в и ж е н и я электрона вок ру г протона. Вы разите:
а) центрострем ительную силу через т , К и V,
где V — скорость о б р а щ е н и я эл ектрона,
б) кинетическую,
п отен циальную
и полную
энергии через О, М , т и Я.
Н а п и ш и т е уравнение, в ы р а ж а ю щ е е постулат Бора
д л я к в а н т о в а н и я орбит, и вы рази те р адиус дл я
Л/"= 1 через к, О, М и т. Ч е м у равн о численное з н а ­
чение р а диуса?
ГЛАВА
14
С ТРОЕНИ Е
СТРОЕНИЕ
В Е Щ Е СТ В А
Д л я объяснения строения и свойств в е­
щества необходимо зн ать законы в заи м од ей ­
ствия атомов, электронов и молекул на м а ­
лых расстояниях. К ак мы видели, подобные
взаимодействия уж е получили свое о б ъ яс­
нение в р ам ках квантовой теории. Таким о б ­
разом, мы вправе ож идать, что при изучении
строения вещества вы явятся специфические
аспекты квантовой теории. В этой главе мы
обнаруж им, конечно, примеры специфически
квантовых явлений, проявляю щ ихся как в
макро-, так и в микромире.
§ 1. Теория строения молекул
О ТЧ У Ж Д ЕН И Е И О БО БЩ ЕС ТВ Л ЕН И Е ЭЛ ЕКТРО Н О В
Мы рассмотрим д ва различных м ех ан из­
ма, обеспечивающих связь атомов в м олеку­
лах: ионную и ковалентную связи.
Ионная связь
В основе ионнои связи лежит закон
Кулона. Так, меж ду ионами с п олож итель­
ным и отрицательным единичными зар я д а м и
будет сущ ествовать притяжение. Если энер­
гия электростатического притяжения е2Щ
превыш ает энергию, которую надо затратить
д ля об разован ия пары ионов, то о казы вается
возможны м о б разован ие устойчивой (с та­
бильной) молекулы. Рассмотрим в качестве
примера молекулу хлористого калия КС1.
Энергия, необходимая д ля об разован ия п а ­
ры ионов, К+ и С1~, составляет 0,52 эв. Это
объясняется тем, что ионизационный потен­
циал калия равен 4,34 в, а сродство хлора к
электрону составляет 3,82 эв. П од сродством
к электрону понимается следующее: если к
атому хлора добавить электрон, то выделит­
ся энергия, р авн ая 3,82 эв. Таким образом,
сум м ар н ая энергия, треб уем ая для о б р а зо ­
вания пары ионов, в данном случае равна
4,34— 3,82 = 0,52 эв. Если удастся достаточно
сблизить оба иона, т а к что е2//? превысит
0,52 эв, то произойдет об разован ие стабиль434
Фиг. 291. П л отность электронного за-
Ряда н 2И нтенсивность светло го
оттен ка пропорц ио н ал ьна
к в ад р а т у
волновой
ф ун кц ии
эл ек тр о н а , спр о екти р о ванн о м у на п лоскость.
н о й молекулы. Электростатическую энергию
мож но оценить, подставив
в приведенное
м п я ж р н м р
р п и ц и н у
/?
п я п н у ю
м р
выше пв ы
р а ж е н и е пв еличину
р
а вн ую сг лу/мм м
е
раДИуСОВ И О Н О В . РаДИуСЫ К + И С1~ рЭВНЫ
и ы ш р
примерно 1,5 А. Таким образом,
е2/К составляет 4,8 эв, и мы о ж и ­
даем, что выделение энергии при
образовании молекулы КС1 будет
равно примерно 4,8— 0,52 эв. И з ­
меренное на опыте значение 4,4 эв
довольно хорошо согласуется с
нашей грубой оценкой. Связь
большинства неорганических со­
единений является ионной. Эту
связь можно п редставлять как
результат отчуждения электрона.
Ковалентная связь
Д ругой очень распространен­
ный
тип молекулярной
связи,
встречающийся у большинства
органических соединений, носит
название ковалентной связи. К о ­
вален тн ая связь представляет со­
бой результат
обобществления
двум я атомами двух электронов.
Простейшим примером ковалентной связи
служит молекула водорода. Рассмотрим
сн ач ал а ионизованную молекулу водорода
Н 2+. Она содерж ит два протона, о кр у ж ен ­
ных электронным облаком. Энергия с в я ­
зи электрона при наличии двух протонов
оказы вается, конечно, больше, чем при н а ­
личии только одного протона. С другой сто­
роны, электростатическое отталкивание про­
тонов действует в противоположном н а ­
правлении. О днако вследствие тенденции
электронной волны к концентрации между
протонами
п реобладаю щ им
оказы вается
электростатическое притяжение электрона к
обоим протонам. Энергия связи двух прото­
нов и электрона в Н 2+ составляет 2,65 эа;
это означает, что для полной диссоциации
иона Н 2+ на два протона и электрон необ­
ходима энергия (2,65 + 1 3,6) эв.
С огласно принципу зап р ет а П аули, на
орбите, где находится первый электрон,
435
Фиг. 292. Качественны й рисунок, и л ­
л ю стриру ю щ ий электронную с тр у к т у ­
ру метана.
Я др а вод орода р асп о л о ж ен ы у верш ин п р а ­
вильн ого
т е т р а э д р а или у четы рех
из
восьм и верш ин к у б а . Э лектрон ы кон цен т­
р и рую тся вд о л ь линий у гл ер о д — водород.
имеется место еще для одного электрона.
Так ая система из двух электронов и прото­
нов представляет собой нейтральную моле­
кулу водорода. И з-за электростатического
отталкивания двух электронов их волновая
функция оказы вается несколько более р а з ­
мытой, нежели волновая функция единст­
венного электрона в Н 2+. П олная энергия
связи нейтральной молекулы Н 2 составляет
4,48 эв. Если бы мы могли видеть облако,
образованное двумя электронами в м олеку­
ле Н 2 (описываемое квадратом волновой
функции), то оно выглядело бы подобно
тому, ка к это и зображ ен о на фиг. 291.
Атомы углерода обычно образую т соеди­
нения с ковалентной связью. У атом а у гл е­
рода имеется тенденция к обобществлению
четырех дополнительных электронов', с тем
чтобы заполнить ими оболочку с N = 2 ,
1=1. Простейшим примером является м ол е­
кула метана С Н 4, и зображ ен н ая на фиг. 292.
К ак и в молекуле водорода, электронные
волны концентрируются главным образом
меж ду положительными заря дам и , где они
вносят наибольший в кл ад в энергию связи.
Поскольку эти четыре электронных облака
взаимно отталкиваю тся, конфигурация с
наименьшей энергией реализуется в том сл у­
чае, когда они максим ально уд аляю тся друг
от друга, подобно тому, как это изображ ено
на фиг. 292. К онф игурация электронных волн
в молекулах определяется из решения у р а в ­
нения Ш редингера с условием минимума
энергии уровней.
Гибридизация
Мы видим, что при образовании молекул
четыре электрона атома углерода с N = 2
способны «растекаться» и играть равноцен­
ную роль, б лаго даря чему углерод имеет в а ­
лентность, равную 4. Н о как это может
быть, если первые два электрона с N = 2
более сильно связаны на подоболочке с
1= 0? Точно т ак же, почему бор (2 = 5) с о д ­
ним электроном в состоянии с / = 1 имеет в а ­
лентность не 1, а 3? Ответ заклю чается
436
Ф и г. 293. С х е м атическое и зобр аж е н и е
суперпозиции во л н о в ы х
функций с
/ = 0 и / = 1 (проекция на плоскость
плотности электронного о б л а к а ) .
а — сф ер и ч еская во л н о ва я ф у н кц ия, о т в е ч а ­
ю щ ая N = 2, 1=0; б — в о л н о вая ф у н кц и я в
виде ган тели , о т в е ч а ю щ а я N = 2 , 1= 1; в —
сум м а приведен ны х вы ш е дв у х волновы х
ф ун кц ий ; ниж ний леп есто к 11)21 ко м п енси ­
руется в зн ачи тел ьн о й
степени я^го, по­
с ко л ьку эти ф ун кц ии имею т п р о ти во п о л о ж ­
ные зн аки .
в том, что атомы в м олекулах отнюдь не
тождественны
изолированным
атомам.
У изолированного атома существует р а зл и ­
чие меж ду электронами в состояниях с
1 = 0 и 1=1. К ак подчеркивалось в гл. 13,
электроны с / = 0 в действительности с в я з а ­
ны более сильно, нежели электроны с / = 1.
О днако молекулы — это не просто сумма
атомов. Н апример, в молекуле С Н 4, кроме
яд ра углерода, имеется еще 4 других центра
распределения положительного зар я д а . Р е ­
шение уравнения Ш редингера в виде стоя­
чих волн для системы из пяти атомных ядер
оказы вается более сложны м и приводит к
результатам, которые в случае основного со­
стояния
схематически
изображены
на
фиг. 292. Это явление уравн иван и я электр о­
нов с / = 0 и / = 1 при образовании молекул
н азы вается гибридизацией.
Н етрудно показать, ка к из обычных ре­
шений уравнений Ш редингера получается
электронная стоячая волна, « р ас тек а ю щ ая ­
ся» в одном направлении, подобно и зо б р а­
женной на фиг. 292. В случае четырех э л е к т­
ронов углерода с N = 2 это можно сделать,
используя для описания каж д о го из внешних
электронов волновую функцию, п р ед став л я­
ющую собой смесь
электронных
волн
с 1= 0 и 1=1. Н а фиг. 293, а схематически
и зображ ен а волновая функция, отвечаю щ ая
только 1= 0. В этом случае я|з д олж н а иметь
во всей центральной области один и тот же
зн ак (мы выбрали зн ак + ) . Волновая ф унк­
ция, отвечаю щ ая N = 2, 1=1, будет иметь
противоположные знаки по обоим концам
«гантели», как видно из фиг. 293, б. П остро­
ив
суперпозицию
обеих
функций
(фиг. 293, в), мы видим, что в верхней части
рисунка они склады ваю тся, а в нижней части
имеют тенденцию к взаимной компенсации.
В результате получается лепесток, вытяну­
тый в одном направлении относительно
яд р а углерода. Химики назы ваю т это р ас­
пределение зр-орбиталью (з обозначает
1=0, р обозначает / = 1).
О рганическая химия изучает молекулы,
со д ерж ащ и е атомы углерода, и ковалентные
437
связи. Специфическая особенность атомов
углерода заклю чается в том, что они не
избегают обобществления электронов и друг
с другом. Б л а г о д а р я этому многочисленные
органические молекулы содерж ат длинные
цепочки атомов углерода, часто вклю чаю щие
тысячи атомов. Н а рисунке, откры ваю щ ем
эту главу, изображ ен небольшой отрезок
подобной молекулы. Многие из таких моле­
кул встречаются в природе в виде продуктов
жизнедеятельности различных организмов.
С помощью квантовой механики и усовер­
шенствованной физической и химической
методик сейчас имеется возможность у с т а ­
новить точное строение гигантских белковых
молекул, л е ж а щ и х в основе жизни. Сейчас
нам легче выяснить, каким образом некото­
рые из этих сложных молекул могут воспро­
изводить самих себя. Реш ение ж е более
сложной «загадки» жизни, конечно, дело
будущего. Возможно, что в один прекрасный
день ученым удастся синтезировать из не­
живой природы и новые формы жизни.
§ 2. Кристаллические тела
С В Е РХ М О Л Е К У Л Ы
Атомы большинства веществ, н ах о д я­
щихся в твердом состоянии, образую т перио­
дическую решетку, которую мы восприни­
маем ка к идеальный кристалл. Механизм,
связы ваю щ ий атомы в молекулы, может
соединять их в неограниченную периодиче­
скую структуру, или в сверхмолекулу. М но­
гие из таких веществ внешне не похожи на
кристаллы, ибо они построены из множества
мельчайших кристалликов (поликристаллическая структура). Некоторы е твердые тела
и жидкости, особенно при низких тем перату­
рах, об наруж и ваю т специфические кв ан то­
вые свойства.
Н аука, и зучаю щ ая свойства твердых тел
и жидкостей и происходящие в них явления,
носит название физики твердого тела и
в настоящ ее время представляет собой
438
Фиг. 294.
ра ЫаС1.
К р и с та л л и ч е с ка я
структу­
М аленькие круж ки о б о зн ач аю т п оло ж ен и е
центров атом ов Ыа и С1, а — р а сп о л о ж е ­
ние центров ато м о в, б — р асп о л о ж ен и е с а ­
мих а томов.
одну из основных областей физических
исследований.
Подобно молекулам, в кристаллах т а к ж е
возм ож н а ионная и ковалентная связь. На
фиг. 294 и зображ ен а структура ионного кри­
стал ла ЫаС1. Отметим, что ближ айш им и со­
седями у каж дого иона Ыа+ являю тся шесть
ионов С1~. Подобному расположению
в пространстве ионов Ыа+ и С1~ отвечает н аи ­
меньшая из всех возмож ны х конфигураций
энергия. При образовании данной конфигу­
рации выделяется наибольш ее количество
тепла. Этим и объясняется тенденция у ЫаС1
и многих других веществ к образованию чи­
стых кристаллов при охлаж дении ниже точ­
ки плавления. При увеличении температуры
тепловая кинетическая энергия в конце кон­
цов о казы вается достаточной д ля пре­
одоления связи в правильном кр и ста л ­
ле, и кристалл расплавляется.
Связь в металле
0,95 А
С уществует еще один тип связи, носящий
назван ие металлической и встречающийся
у элементов с малым числом электронов во
внешней оболочке. Этот тип связи р еа л и зу ­
ется в тех случаях, когда атомы сближены
до расстояний, меньших размеров о блака,
обусловленного внешними электронами.
Б л а г о д а р я принципу зап рета осущ ест­
вление подобной конфигурации сопряж ено
с увеличением энергии внешних электронов.
О днако у веществ, н азы ваем ы х м еталлами,
такой конфигурации отвечает все ж е мень­
ш ая энергия, чем конфигурации с уд ал ен н ы ­
ми друг от друга атомами. Р ассмотрим ве­
щества типа лития, калия или натрия, атомы
которых о б ладаю т только одним внешним
электроном. Н а фиг. 295 изображ ено облако,
обусловленное внешним электроном свобод­
ного атома лития. Р асп ол о ж ен и я соседних
атомов в решетке лития помечены кр ести ка­
ми. Если атомы сб лиж аю тся настолько, что
их внутренние заполненные оболочки сопри­
касаю тся, то соседние я д р а попадаю т в п ре­
439
Фиг. 295. О б л а к о внешнего эл ек трон а
с вободного а то м а лития.
К рестикам и помечены р а сп о л о ж ен и я с о се д ­
них я д е р ли ти я в м етал л е. О тм етим , что
соседн ие я д р а л и ти я о к а зы в а ю т ся внутри
о б л а к а , с о зд а ва е м о го внеш ним электрон ом .
Фиг. 296. П р и б л и ж ен н ы й вид потен­
ци альн ой энергии эл е к тро н а при пе­
реходе через поверхность металла.
Энергия
З а п о л н ен - г
ны е уровни I
вн у т р и
]
м ет алла
I
440
делы области, занимаемой внешним
электронным облаком в случае сво­
бодного атома. В результате внеш ­
ний электрон будет притягиваться
соседними ядрами. Это приведет к
возрастанию его энергии связи и еще
больше увеличит разм еры соответст­
вующего облака. Последнее обстоя­
тельство позволяет электрону при­
бли ж аться к более далеким соседям,
которые в свою очередь еще больше
«разм аж ут»
электронное
облако.
К ак можно было ожидать, волновая
функция каждого из внешних элек­
тронов в конечном итоге о к а зы в ае т­
ся равномерно распределенной по
всему кристаллу! Таким образом, от­
дельное электронное облако может
достигать размеров огромного небо­
скреба или ж е вытягиваться вдоль
всего д а ж е очень длинного провода.
В первом приближении п р и тя ж е­
ние электрона ядрам и можно усред ­
нить и представить его в виде посто­
янного потенциала притяжения вели­
чиной О0. График, и зображ аю щ ий
эту
усредненную
потенциальную
энергию (ее принято н азы вать п о ­
тенциальной ям о й ), приведен на
фиг. 296. К аж д ы й электрон описы­
вается стоячей волной, ограниченной
разм ерам и этой потенциальной ямы.
Мы видим теперь, что приведенный
в предыдущей главе гипотетический
пример электрона в ящ ике после
всего сказанного не выглядит столь
надуманным.
П ок аж ем , что квантовая теория
дает разумный ответ на вопрос,
почему металлы проводят электри ­
чество, а другие вещества не про­
водят или почти не проводят 'его.
Н аличие в м етал л ах по крайней
мере одного свободного электрона
на каж ды й атом обусловлено волно­
вым характером электронов. Эти
свободные электроны, или электро-
ны проводимости, не имеют связи с какимлибо определенным атомом и могут свобод­
но перемещ аться в любом направлении по
металлу, как у казы в ал ось на стр. 273.
В ионных и ковалентных кри сталлах внеш ­
ние электроны связаны с определенными
атомами; поэтому такие кристаллы обычно
не проводят электричества. Их н азы ваю т
изоляторами. Тот факт, что чистые м е тал ­
лические кристаллы могут иметь свободные
электроны, следует рассм атривать как кв ан ­
товомеханическое явление в большом м а с­
штабе. С точки зрения классической физики
каж ды й электрон прин адлеж и т своему соб­
ственному атому.
§ 3. Электронный ферми-газ
Н Е О Б Ы Ч Н Ы Й ГА З, ЗА М У РО В А Н Н Ы Й
В Т В Е Р Д О М В ЕЩ ЕСТВЕ
Мы установили, что металл объемом V
можно рассм атривать к а к ящ ик того же
объема V, содерж ащ ий электроны. Согласно
принципу запрета, в к а ж д о м из состояний,
характеризуем ы х
формулой
(13.1),
мо­
гут находиться только д ва электрона. Все
эти электроны стремятся заполнить низ­
шие энергетические состояния, о б р азу я так
назы ваемы й ферми-газ. Такой газ о б ладает
интересными особенностями, необычными
с точки зрения классической физики, на ко­
торые впервые обратил внимание Энрико
Ферми. Электроны заполняю т все энергети­
ческие состояния от низшего до состояния с
кинетической энергией (^'Кин)о, называемой
уровнем (или границей) Ферми. Д л я н а х о ж ­
дения (-Екин)о необходимо знать N — число
свободных электронов в 1 смъ. Р асчет вели­
чины (^кин)о по известному значению N
приведен в приложении к данной главе. Р е ­
зультат имеет вид
У ровень Ф ерм и
(14.1)
К ак и можно было о ж и дать, результат не
зависит ни от формы, ни от объема куска
441
металла. Он зависит
только
насколько
плотно
«набиты»
электроны.
от того,
свободные
П рим ер. П л от н ос ть лития с о с т а в л я е т 0,534 г/с м 3.
К а к о в а величина уро вня Ф ерми в эв д л я электронов
проводим ости лития?
В данно м с л у ч ае сЛГ равно числу атом ов в 1 см 3.
П о с к о л ьк у атом ны й вес лития 6,94, то в 6,94 г лития
б у д ет с о д е р ж а т ь с я
Л^0= 6,О 2-1023 атомов. Тогда
№ = (0,534/6,94)-6,0 2-1023= 4 , 6 3 - 1022 с вободны х э л е к т ­
ронов в 1 см 3 и
3 • 4 , 6 3 • 102а у/:
(Е
) —
^КИН/О
(^ к и н )о — 4 ,7
я
= 7 , 5 5 ■ 10-12 эр г,
эв.
Н а фиг. 296 (стр. 440) и зображ ен п ри ­
ближенный потенциал, в котором находится
электрон у поверхности металла. В качестве
нулевой вы бран а энергия покоящегося сво­
бодного электрона вне м еталла. Энергетиче­
ские уровни электронов ферм и-газа об о зн а­
чены тонкими горизонтальными линиями,
начинаю щ имися при — 1/0 и заполняю щ ими
интервал энергий (Е кин)о от дна потенциаль­
ной ямы. М иним альная энергия, необходи­
м ая для удаления электрона из металла, в
этом случае равна V 0— (5,КИн)о. По опреде­
лению эта величина п редставляет собой р а ­
боту выхода 35Г, введенную в п ар агр а ф е о
фотоэлектрическом эф фекте
(стр. 374).
Уровню Ферми соответствует кинетическая
энергия электрона (Е КИн ) о , а полная энергия
=
Вопрос 1. З а в и с и т ли дл и н а волны
эл ек трон а проводим ости с н а им е нь­
шей энергией от р а зм е р о в м еталла?
442
( ^ к и н ) о + ( — с/о) I
С ледовательно, по энергетической ш кале
уровень Ферми соответствует — у . В дейст­
вительности строго определенное значение
работы выхода имеется только при тем пе­
ратуре абсолютного нуля. При температуре
Т° К электроны будут находиться в тепло­
вом равновесии. П о этой причине к энергии
значительной части электронов прибавится
еще тепловая энергия. К ак было показано
в гл. 6, средняя тепловая энергия, приходя­
щ а яся на одну частицу идеального газа, со-
Фиг. 297. При соединении д в у х р а з ­
личных металлов электроны п е р ет е к а ­
ют д о в ы р а в н и в а н и я уровней Ферми.
IУ, эв
О
-1
-2
-3
ставляет 3/ 2к Т . В ферми-газе тепловую энер­
гию могут иметь лишь частицы с кинетиче­
ской энергией, близкой к (-Екин)о. Таким
образом, некоторые электроны будут иметь
кинетическую энергию, несколько п р ев ы ш а­
ющую (^кин)о При комнатной температуре
кТ = 0,025 эв, в то время как (Е кин)о и ^ЦГ
составляю т по порядку величины несколько
электрон-вольт.
-4
Контактная разность потенциалов
-5
-6
ДУ
0
-1
-
-
в
-6
О тв ет 1. Д а ; в одном ер но м случ ае мы
имеем соотнош ение N С к ^ /2 ) — I., где
I — р а зм ер ы ( д л и н а) ящика.,
Стоит только соединить два разных ме­
тал л а, ка к меж ду ними возникнет разность
потенциалов. З н ая , что такое уровень Ф ер ­
ми, мы можем объяснить это явление с по*
мощью графиков потенциальных ям. Р а с ­
смотрим два различных м еталла А и В
(фиг. 297, а). Уровни Ферми у них соответ­
ственно равны — 2 и — 3 эв, а потенциальные
энергии электронов в м е талле — 4 и — 6 эв
(все относительно энергии электрона вне ме­
т а л л а ) . Н а фиг. 297, б и зображ ен а ситуация,
когда два м е талла только-только приведены
в соприкосновение. Электроны из м етал л а А
теперь могут перейти в металл В, где имею т­
ся свободные состояния с более низкой энер­
гией. Но по мере перехода электронов в ме­
талл В он приобретает отрицательный зар я д
по отношению к А. Теперь для переноса о т­
рицательного электрона в отрицательно з а ­
ряженный металл В требуется совершить
большую работу. Иными словами, вся д и а ­
грам м а потенциальной энергии м етал л а В
сместится вверх относительно потенциальной
энергии м етал л а А. Это смещение будет про­
исходить до тех пор, пока не сравняю тся
уровни Ферми (фиг. 297, в ). Такое р ав н о­
весие достигается после того, как небольшая
часть электронов проводимости переместит­
ся из А в В. К ак видно из фиг. 297, в, р а з ­
ность потенциальных энергий А Н равна п ер­
воначальному различию уровней Ферми; т а ­
ким образом, если уровни Ферми двух ме­
таллов различаю тся на 1 в, то при соедине*
нии этих металлов между ними возникнет
разность потенциалов 1 в.
443
§ 4. Электропроводность
КВА НТОВАЯ М ЕХ А Н И КА В Б О Л Ь Ш И Х МАСШ ТАБАХ
Мы видели, что в идеальной кри сталл и ­
ческой решетке м еталла внешние электроны
ведут себя подобно свободным электронам
в ящике. Поскольку эти электроны являю тся
носителями электрического тока, следует
ожидать, что сопротивление идеального ме­
та л л а будет равно нулю. О днако в реальных
м еталлах присутствуют примеси и имеются
дефекты решетки. Условием того, что элект­
роны становятся свободными, было отсут­
ствие примесей и правильность решетки.
Поэтому свободные электроны начинают
взаимодействовать с примесями и д еф е к т а ­
ми и терять на них энергию. Сопротивление
(в омах) зависит от длины свободного про­
бега электронов до столкновения с при­
месью или дефектом. Основываясь на этой
теории электрического сопротивления, м о ж ­
но легко получить закон Ома, подобно тому
как это было сделано в гл. 9 (стр. 273). Закон
Ома утверж дает, что сопротивление не з а ­
висит от величины тока и зависит лишь от
температуры. На основе этой теории электро­
проводности легко
д о каза ть увеличение
электрического сопротивления с ростом тем ­
пературы. Неустранимые дефекты решетки
создаю тся колебательным движением ато­
мов из-за того, что кристалл не находится
при температуре абсолютного нуля. Поэтому
мы и предсказали, что сопротивление чистого
м е талла долж но расти по мере усиления теп ­
лового движения атомов. Теория у т в е р ж д а ­
ет, что по мере приближения температуры
к абсолютному нулю сопротивление так ж е
долж но стремиться к нулю. Опыт подтверж ­
дает это предсказание.
Сверхпроводимость
В оп рос _2. К акая
фиг. 297, а более
или б?
444
из
частей на
положительна, А
То обстоятельство, что чистый металл
мож ет иметь равное нулю сопротивление
или бесконечно большую проводимость при
температуре абсолютного нуля, не следует
смешивать с иным квантовомеханическим
явлением, носящим название свер хпр оводи­
мости. Сверхпроводимость представляет со­
бой бесконечно большую проводимость при
тем пературах, на несколько градусов п ревы ­
шаю щих абсолютный нуль. Л иш ь очень
немногочисленные металлы об ладаю т этим
:
удивительным свойством. Если в сверхпро­
воднике возникнет круговой ток, то он будет
течь до тех пор, пока не нарушится о х л а ж д е ­
ние системы. Известны случаи, когда в л а б о ­
ратории такие токи п р одол ж ал и сущ ество­
вать сами по себе на протяжении нескольких
лет.
Квантовомеханическое объяснение сверх­
проводимости представляет одну из совре­
менных зад ач физики твердого тела. В по­
следнее время в понимании этого чрезвы ­
чайно своеобразного явления были достигну­
ты значительные успехи.
В двух словах теория заклю чается в сл е­
дующем. Н и ж е определенной температуры
возмущение решетки электронами проводи­
мости оказы вается существеннее теплового
движения решетки, которое в свою очередь
возмущ ает электроны. Возмущение решетки
электроном А скаж ется на движении э л е к т­
рона В. В итоге между электронами Л и В
возникнет эф ф ективная си ла притяжения,
которая у некоторых веществ может о к а з а т ь ­
ся больше электростатического о т т а л к и в а ­
ния.
Итак, если оба электрона приведены в
движение в одном направлении (т. е. создан
результирующий ток), то этому будет отве­
чать состояние с наинизшей энергией, кото­
рую могут иметь электроны, и они не долж ны
покидать это состояние, поскольку состояния
с более низкой энергией отсутствуют. СлеОтвет 2. Э л ектрон ы
покид аю т медовательно, в направлении движения электт а л л А, д е л а я эт у ч а с ть более полоронов будет сущ ествовать вечный результиж ительн ой.
' рующий ток.
445
§ 5. Полупроводники
С РО С ТО М ТЕ М П Е РА Т У Р Ы РА С ТЕТ С В О Б О Д А
В оп рос 3. М о ж е т ли сверхп роводн и к
иметь в точности равн ое нулю сопротивлени е д а ж е при наличии небольш их примесей.
446
У некоторых неметаллических ковален т­
ных кристаллов, таких, к а к кремний и гер­
маний, волновые функции внешних электр о­
нов не распространяю тся на весь кристалл,
а достигаю т лишь бли ж айш их соседей.
О днако в случае первого возбужденного со­
стояния внешнего электрона атомов крем ­
ния и германия разм еры электронного о б ­
л ак а оказы ваю тся столь большими, что
охваты ваю т несколько ядер и волновая
функция распространяется на весь кристалл.
Если все электроны кремния и германия н а ­
ходятся в низших энергетических состояни­
ях, то эти элементы п редставляю т собой ко­
валентные
кристаллы,
или
изоляторы.
Однако если некоторые из внешних электро­
нов переходят в первое возбуж денное состоя­
ние с более высокой энергией (назы ваем ое
полосой проводимости), то эти электроны
оказы ваю тся свободными и у кри сталла по­
является способность проводить электриче­
ство. В случае германия д ля перевода внеш<
него электрона в полосу проводимости тре­
буется 0,72 эв. При комнатной температуре
(к Т = 0 ,0 2 5 эв) лишь ничтожная доля э л е к ­
тронов об л а д а ет таким зап асом тепловой
энергии. Но, несмотря на это, имеется неко­
торое количество электронов проводимости,
вследствие чего проводимость германия во
много раз превыш ает проводимость изол ято­
ра или того ж е германия при температуре
абсолютного нуля. Этим
и объясняется,
почему германий н азы ваю т полупровод­
ником.
Проводимость полупроводника может
сильно возрасти б лагодаря наличию неболь­
шого количества примесей. Например, не­
сколько миллионных долей м ы ш ьяка могут
привести к увеличению проводимости г ер м а­
ния при комнатной тем пературе в 1000 раз.
Этот результат можно понять, сравнивая
строение электронных оболочек мы ш ьяка и
германия (см. табл. 7, стр. 421). М ыш ьяк
имеет один лишний электрон по сравнению
Ответ 3. Д а , м ож ет. В противном с л у ­
чае токи в свер х п р о в о д н и к ах не м огли
бы течь, не о с л а б е в а я , многие годы ,
к а к то н а б л ю д а е тс я. В лю бом л а б о р а ­
торном о б р а зц е им ею тся примеси. Н а ­
личие небольш их примесей не н а р у ­
ш ает кв ан тов ом ехан и ческ ого о б ъ я с ­
нения.
с германием, и, согласно принципу Паули,
этот электрон долж ен находиться в б л и ж а й ­
шем состоянии с более высокой энергией.
Таким образом, внешний электрон атома
мышьяка, вкрапленного в кристалл г е р м а ­
ния, долж ен по существу находиться в по­
лосе проводимости. Германий специально
изготовляют с контролируемой примесью
мышьяка. Это так назы ваемы й п-германий
(от пе§а{ш е — отрицательны й). Кроме того,
вы ращ и ваю т кристаллы германия с при­
месью галлия. Атом гал л и я захв аты в ает
электрон у соседнего атома германия, о ст а в ­
л яя «дырку», или вакансию, которая мож ет
«перемещаться» от одного атом а германия к
другому, Эта ды рка ведет себя подобно по­
ложительно заряж ен н ом у носителю тока.
Германий с примесью галли я н азы ваю т
/7-германием (от розШ ье — п олож ительны й).
Н аходящ и еся в контакте две области
полупроводника с р- и п-примесями п ред­
ставляю т собой р — /г-переход. В этом случае
полупроводник о б ладает необычным свойст­
вом — е г о . электрическое сопротивление в
одном направлении оказы вается в сотни
раз больше, чем в противоположном. П о д о б ­
ное устройство назы вается кристаллическим
диодом, причем его электрические х а р а к т е ­
ристики сходны с характеристиками в ак у у м ­
ного диода. Это означает, что если п оло ж и ­
тельное н ап ряж ени е приложено к /7-гер м а­
нию в р— п-переходе, то потечет большой
ток, в то время как при отрицательном н а ­
пряжении течет маленький ток. Подобно
вакуумному диоду, р — п-переход имеет не­
большое сопротивление в одном н а п р а в л е ­
нии и большое сопротивление в другом н а ­
правлении. Это явление можно пояснить с
помощью фиг. 298. Н а фиг. 298, а и зо б р а­
жены д ва о б р азц а германия, один из кото­
рых содерж ит донорные атомы сурьмы
(п-германий), а другой — акцепторные ато ­
мы галли я (р -ге р м ан и й ). В зависимости от
количества примесей появляется различие в
уровнях Ферми. Рассмотрим, например, сл у­
чай, когда разность м еж д у уровнями Ферми
составляет 0,2 эв. Фиг. 298, б иллюстрирует
447
Дон ори ые
электроны
Полоса
проводимости
Полоса
проводимости
(пустая)
" 0 6 0 0
Уровни
Ферми "
Дырки
4 3
0 -
ТТ'Й
Заполненная
полоса
1п
тз о
о
о
Уровень
Ферми
У
п
р
Заполненная
полоса
у
1п
:е> 0
о
0
_У
.
--- 0
Ч
0
0
Заполненная
полоса
6
Прямое
напряжение
©
Большой тон
Т
2
гЧ П Зн
1Н
Обратное
напряжение
Маленький
ток
Фиг. 298. Токи в п — р-переходе.
а и б — н ап р я ж е н и е отсутствует; « — п р я ­
мое н ап р я ж е н и е ; г — об р атн о е н ап ряж ен ие.
П рил ож енн ое н ап р я ж е н и е р а зд в и га е т уров­
ни Ф ерми на р асстоян и е еУ Р е зу л ь ти р у ю ­
щ ий ток / — обы чны й п олож и тельны й ток.
В опрос 4. О бы чно д и о д с р — я-переходом и зо б р аж а ю т стрелкой, к о то р а я
о б о зн ач ает н ап равлен и е, куд а току
«легче» течь. С какой стороны наход ят ся р- и п-герм ан и и ?
15— 176
соединение двух образцов, у которых в ы р а в ­
ниваются уровни Ферми, в результате чего,
как указы вал о сь в § 3, возникает контактная
разность потенциалов 0,2 в. Если оба о б р а з ­
ца соединить проводником, то появится
противоположно направленны й одинаковый
ток, / р и / „ . Величина / р чрезвычайно м ала,
поскольку крайне мало число электронов с
тепловой энергией 0,72 эв, которая необхо­
дима для того, чтобы попасть в полосу про­
видимости. В м-германии в полосе проводи­
мости много электронов б ла го д а р я донорным атом ам мышьяка, однако лишь у немно­
гих имеется кинетическая энергия, р авн ая
0,2 эв, необходимая для преодоления потен­
циальной возвышенности такой высоты. Но
если опустить правую часть диаграм м ы , при­
ложив положительное напряжение, то уж е
у. большего числа электронов п р о в о д и м о сти ,
Хватит энергии, чтобы «взобраться» на более
низкую потенциальную возвышенность. В е­
личина / п сильно возрастет и появится б оль­
шой результирующий ток (фиг. 298, в). Если,
однако, п р ав ая сторона приподнимется
(фиг. 298, г ), то высота возвышенности будет
больше 0,2 эв и преодолеть ее см ожет еще
меньшее число электронов. В итоге резуль­
тирующий ток окаж ется малым.
Теория полупроводников была настолько
развита еще в 1949 г., что это позволило
Бардину, Бреттэну и Ш окли изобрести кри­
сталл, действующий подобно вакуумному
триоду. З а тем они приступили к изготовле­
нию таких полупроводниковых кристаллов,
н азы ваем ы х теперь транзисторами. Это изо­
бретение, имевшее огромное техническое з н а ­
чение, было бы невозможно при отсутствии
теории
проводников и полупроводников.
Транзистор состоит из р — п — р- или п— р — ппереходов с трем я электрическими к о н так та­
ми. Мы не имеем возможности подробно
рассм атривать теорию транзисторов. О днако
некоторое представление об их принципах
действия читатель может получить, если
вновь обратится к фиг. 298 и вообразит третий образец германия справа, причем ко
в с е м Т р е м об р азц ам приложено определен449
О твет 4. р-герм аний сп р ав а, а л-германий слева.
450
ное напряжение. К ак видно из фиг. 298, в,
при наложении дополнительного п о лож и ­
тельного нап ряж ени я к среднему образцу
может возникнуть значительный ток вправо,
тогда как при отрицательном напряжении
вправо потечет лишь небольшой ток. Таким
образом, мы об наруж и ваем , ка к и в триоде,
что небольшие изменения н апряж ения си гн а­
ла могут вызвать большие изменения тока во
внешней цепи. В этом случае н апряж ение
сигнала п риклады вается к центральному
образц у п —р — п-транзистора, а в вакуумном
триоде оно подавалось на управляю щ ую сет­
ку. В настоящ ее время транзисторы зам ен и ­
ли вакуумные триоды во многих электр он ­
ных схемах. Их преимуществом является
отсутствие подогревных катодов и в о зм о ж ­
ность работать при низких н ап ряж ени ях от
маленьких батарей.
Еще одним важ ны м свойством полупро­
водников является фотопроводимость. Это
явление можно представить себе как фото­
эффект, происходящий целиком внутри тв ер ­
дого тела. Фотоны в видимой области спект­
ра (или д а ж е в инфракрасной области) мо­
гут поглощ аться внешними электронами,
находящ имися в основном состоянии. Э л ект­
рону при этом сообщается дополнительная
энергия, рав н ая энергии фотона и достаточ­
ная для перевода его в полосу проводимо­
сти. При освещении фотоэлемента с внутрен­
ним фотоэффектом его электрическое сопро­
тивление резко уменьшается.
Среди многочисленных применений полу­
проводников мы встречаем т а к ж е солнечные
батареи. При освещении кристаллического
диода образую тся как дырки, т ак и свобод­
ные электроны. И з-за огромного различия
сопротивления токам, текущим через р — ппереход в противоположных направлениях,
дырочный и электронный токи оказываю тся
несимметричными. В одном направлении
имеется избыточный поток отрицательного
зар я д а , в другом — положительного зар я д а ,
в результате чего и возникает разность л о ­
тенциалов.
§ 6. Сверхтекучесть
КАК П Р О Щ Е Н А П О Л Н И Т Ь СТАКАН
П оверхность, д ей ств ую щ ая
подобно сифону.
Ф и г. 299.
С тр ел кам и п о к а з а н а п о вер х но стная п ленка
ж и д ко го гелия, за п о л н я ю щ е го пустой сосуд.
15*
Сверхтекучесть жидкого гелия пред став­
ляет собой еще одно необычное квантово­
механическое явление, происходящее при
температуре, близкой к абсолютному нулю.
Если о х л а ж д а ть газообразны й гелий, то при
тем пературе 4,2° К он будет сж иж аться.
Если этот жидкий гелий п родолж ать о х л а ж ­
дать, то при температуре 2,2° К его свойства
внезапно изменятся. При этом происходят
макроскопические явления, совершенно не
уклад ы ваю щ и еся в рам ки обычных пред­
ставлений. К примеру, сосуд, частично з а ­
полненный этой странной модификацией
жидкого гелия (назы ваемой гелием-П) и
оставленный незакрытым, вскоре о п о р о ж ­
нится сам собой. О бъясняется это тем, что
жидкий гелий поднимается по внутренней
стенке сосуда (независимо от ее высоты) и
переливается через край наружу. По той ж е
причине мож ет происходить и обратное я в ­
ление (фиг. 299). Если пустой стакан частич­
но погрузить в жидкий гелий, то он быстро
заполнит стакан до уровня жидкости сн ар у ­
жи. По мере уменьшения температуры ниже
2,2° К количество ж идкого гелия-11 увеличи­
вается. При температуре абсолютного нуля
весь гелий превратился бы в гелий-11. Еще
одним странным свойством чистого жидкого
гел и я-11 является то, что он не передает уси­
лия на другие тела. Выходящий из б ран дс­
пойта под большим давлением поток такой
жидкости не мог бы опрокинуть д а ж е постав­
ленную на ребро монету. Ж и дки й гелий сво­
бодно обтекал бы монету, не о к а зы в ая на нее
никакого усилия. А смогла ли бы рыба п л а ­
вать в жидком гелии-П? Естественно, нет,
потому что она з а м е р зл а бы. Н о д а ж е вооб­
р а ж а е м а я н езам ер заю щ ая рыба не смогла
бы плыть, потому что ей не от чего было бы
отталкиваться. Ей о ставалось бы п о л а г а ть ­
ся на первый закон Ньютона.
Формулируя эти удивительные свойства
ж идкого гелия-П на язы ке математики, ф и ­
зики говорят, что его вязкость равна нулю.
451
Остается загадкой, почему вязкость равна
нулю. К ак и сверхпроводимость, удивитель­
ные свойства жидкого гелия сейчас интен­
сивно исследуются. Значительны х успехов
удалось достичь в направлении теоретиче­
ского объяснения сверхтекучести жидкого
гелия-П *).
§ 7. Лазеры
П О О Щ РЯ Е М Ы Е
АТОМЫ
РА БО ТА Ю Т
С О В М ЕС ТН О
Д о открытия лазеров в 1960 г. мы были
не в состоянии осветить пучком света Л уну
и обнаружить это световое пятно или (д ру ­
гая крайность) сконцентрировать свет в
крошечном пятне разм ером не более длины
волны. Сейчас удается получать лазерны е
пучки мощностью 5 ■IО8 вт на протяжении
очень короткого промеж утка в рем е н и .И по­
скольку эту энергию мож но сконцентриро­
вать в области размером с длину световой
волны, удается получать гигантские тем п ера­
туры, при которых мгновенно испаряется
любое вещество. В обычных источниках
света происходит независимое испускание
фотонов отдельными атомами. С помощью
линз нельзя сфокусировать всю энергию ис­
точника в области разм ером меньше самого
источника. Однако если бы имелся источник
чисто синусоидальной бесконечной волны, то
с помощью простой линзы свет удалось бы
сфокусировать в пятно размером примерно
в одну длину волны. Подобный источник
света можно осуществить, используя т а к н а ­
зы ваемое индуцированное излучение. С ущ е­
ствуют два механизма Излучения фотонов
возбужденным атомом. Один представляет
собой обычный хаотический процесс, н а зы ­
ваемый
самопроизвольным
испусканием,
другой — индуцированное испускание. При*> Н еобы чны е свой ства гел и я-П были откры ты и
исследованы П. Л . К апицей. З асл у ги в р а зр аб о тк е
теории этой к в ан то в о й
ж и д к о сти
п р и н ад л еж ат
Л . Д . Л а н д а у . — П ри м . ред.
сутствие внешнего излучения от других ато­
мов м ож ет вынудить возбуж ден ны й атом и с­
пустить свой фотон в фазе с внешним и зл у­
чением.
Д ругим и
словам и,
если
на
возбуж денны й атом п адает фотон, сходный
с фотоном, который м ож ет быть испущен
атомом, то атом испускает его и притом в
ф а зе с «родительским» фотоном.
И так, если м еж д у двум я параллельны ми
зеркалам и создать неистощ имый источник
возбуж ден ны х атомов, количество фотонов
в ф а зе др уг с другом б удет накапливаться
по м ере того, как свет будет бл уж дать туда
и сю да. Это значит, что возникнет синусои­
дальная электром агнитная волна с частотой,
характерной для излучения атом а. На прак­
тике использую тся частично отр аж аю щ ие
зер к ал а и происходит непрерывная утечка
чисто синусоидальной световой волны. О с­
тается единственная п роблем а — как о б ес п е­
чить неистощимый источник возбуж ден ны х
атомов. Это м ож н о сделать, использовав так
назы ваем ую оптическую накачку. Свет от
внеш него источника с бол ее высокой частоФ и г. 300.
Д и а г р а м м а эн ергетических
той непреры вно направляется на атомы,
уровней у типичного л а з е р а .
которые имеют схем у уровней, сходную
с изображ енн ой на фиг. 300. Б олее высо.
кая частота соответствует п ер еходу из о с ­
новного состояния \Ра на уровень №с.
м
Затем возбуж ден ны е
атомы ис------ --------------------------------- УУС (Короткотивущве состояние) ПуСКЗЮ Т
Либо ф 0 Т 0 Н С ТОЙ ж е
"
Спонтанное излучение
ЧЭСТОТОЙ, ВО ЗВ раЩ Э Я С Ь
П р и ЭТОМ
-------*—------------ ;—:-----И'б (Долгоживущее состояние)
Либо фоВ ОСНОВНОв СОСТОЯНИв,
Индуцированное излучение
Т0Н С МеНЬШеЙ ЧЭСТОТОЙ, Переходя на уровень ЧРЪ. У некоторых
----------------------------------------------- Ж а (Основное состояние)
веществ сущ ествует больш ая ве­
—
—
роятность, что атомы быстро перейдут на
уровень
неж ели любым способом в о с ­
новное состояние. Уровень ж е №ъ харак те­
ризуется относительно малой вероятностью
спонтанного п ерехода на уровень №а. П о д о б ­
ным свойством обл а да ет кристалл рубина
(окись алюминия с примесью ионов х р о м а ).
С помощью быстрой
оптической накачки
удается
получить
больш е
атомов
на
уровне №&, неж ели в основном состоянии.
В таком случае первые несколько спонтанно
453
испущенных фотонов, соответствующих пере­
ходу ЧРъ— УРа, быстро индуцируют И С П у С К Э ние в ф азе фотонов остальными в озбуж ден ­
ными атомами.
Частота [ = ( \ Р ь — №а)1Н у ионов хрома
соответствует красному свету. С 1960 г. было
найдено много других веществ, как твердых,
так и газообразных, которые использовались
для получения лазерны х пучков в широком
интервале частот инфракрасной и видимой
частей спектра. Возбуж денны е состояния
можно создать электрически и химически,
точно т ак же, как и с помощью оптической
накачки. Д а ж е некоторые типы р — м-переходов испускают лазерное излучение при у сло­
вии, что противоположные поверхности кри­
с та л л а сделаны отраж аю щ им и. Основным
механизмом испускания фотонов в этом сл у­
чае является переход электронов из зоны
проводимости в щель в валентной зоне. Т а ­
кой переход с излучением может быть и
индуцированным и спонтанным.
§ 8. Проникновение сквозь барьер
П РО С А Ч И В А Н И Е
С К В О ЗЬ
С ТЕ Н К У
Термоэлектронная эмиссия
Фиг. 301. То ж е, что и на фиг. 296, при
наличии
внеш него
электри ческого
поля.
Внутри
Снаружи
Если н алож и ть электрическое поле, стре­
мящееся вы рвать электроны из металла, то
появляется постоянный ток, обусловленный
покидающими металл электронами. П отен­
циальная энергия в случае постоянного по­
ля В равна 0 = — еЕх. Н а фиг. 301 и зо б р а­
жен комбинированный потенциал, в кото­
ром движется электрон проводи­
мости. Мы видим, что и збеж ать
«заточения» в м е талле могут лишь
Потен иальная
энергиТво внешнем
элептричесном
поле
Т е
Н
е м н о г о ч и с л е н н ы е
э н е р г и я
Т в П Л О В О Г О
Э Л е К Т р О Н Ы ,
Д В И Ж еН И Я
К О -
Это Я В *
ление носит название
термоэлектронной
эмиссии. М ож н о ож идать, что небольшое
увеличение температуры будет сопровож ­
даться значительным увеличением эмиссии
454
Т О р Ы Х
П
р е в ы
ш
а е т
Фиг. 302. П отен ц и ал (а ) и с о о тв ет­
ств у ю щ ая в о л н о в ая
ф ункц ия
(б)
внутреннего
эл е к тр о н а с уровнем
Ф ерм и (—^ У ) .
электронов. Вот почему подогреваются к а ­
тоды электронных ламп. Но д а ж е если к а ­
тоды охладить до температуры абсолю т­
ного нуля, по-прежнему будет происходить
эмиссия электронов! Это — совер­
шенно иное явление; оно р ас см а т­
ривается ниже.
Автоэлектронная эмиссия
Установлено, что слабы й э лек­
тронный ток п р одол ж ает течь с
катода д а ж е при очень низких
температурах, когда отсутствуют
электроны с тепловыми энергия­
ми, достигающими УР'. Это я в л е ­
ние носит название автоэлектронной эмиссии и представляет собой
важ н ое следствие квантовой м ех а­
ники, ниспровергающее классиче­
ские представления. Упомянутое
необычное явление есть не что
иное, как квантовомеханическое проникнове­
ние сквозь потенциальный барьер. В р а с ­
смотренном примере мы имеем дело с потен­
циальным барьером высотой
(фиг. 302).
Согласно классической физике, электрон с
кинетической энергией (Е шн) 0 внутри м е т ал ­
ла будет иметь в точке Х\ нулевую кинети­
ческую энергию. Б л а го д а р я тому что он при­
тягивается металлом, ему придется в о зв р а ­
титься из этой точки обратно. Классическая
физика зап рещ ает электронам проникать
д а ж е на небольшие расстояния внутрь б а р ь ­
ера. В области м еж д у Х\ и х 2 кинетическая
энергия электрона о к а зал ас ь бы отрицатель­
ной, что недопустимо с точки зрения к л а с ­
сики. Однако из уравнения Ш редингера сл е­
дует, что в этой области могла бы находить­
ся электронная волна.
К ак видно из фиг. 302, она д о л ж н а изги­
баться в направлении от оси х. Заметим, что
с некоторой вероятностью электрон можно
обнаруж ить и вне металла. Согласно к в а н ­
товой механике, вероятность проникновения
сквозь барьер при каж дом столкновении
455
Фиг. 303. П рон икновен ие света через
барьер.
Если в то р а я с т ек л я н н а я п ласти н ка п р и д в и ­
гается к первой, часть света п о ки д ает п ер ­
вую и п роходит во вторую .
в
Фиг. 304. Д е м о н с тр а ц и я проникновения
через барьер в ван не с вибратором .
а — волны полностью о т р а ж а ю т с я от глубокой
щ ели; б и в — по мере су ж ен и я щ ели п о я в л я ­
ется п р о ш ед ш ая во л н а, и нтенсивность которой
у ве л и ч и в а етс я с ум ен ьш ени ем щ ели.
данного электрона с ним д о л ж н а составлять
ф 2внеш /Ч >2внутр-
Классическим примером потенциального
б арьера мог бы служить шарик, катящ ийся
внутри чаши. Если выпустить ш арик у края
чаши, то он будет кататься вверх и вниз,
никогда не перекаты ваясь через край. Тем
не менее квантовая механика предсказывает,
что ш арик мож ет выскочить из чаши,
п равда, с крайне малой вероятностью [при­
мерно 1СН10М>].
В действительности пример проникнове­
ния через барьер имеется и в классической
физике. Уравнение Ш редингера имеет тот
ж е вид, что и уравнение для световых волн
или волн на воде. Поэтому мож но ож и д ать
примеров проникновения через барьер в о п ­
тике. Поверхность стеклянной пластинки
п редставляет собой барьер д л я света, п ы та­
ющегося выйти из стекла. Если свет п ад ает
на поверхность под углом больш е критиче­
ского угла (такие углы запрещ ены законом
С неллиуса), то свет не см ож ет пройти
сквозь барьер и, следовательно, полностью
отразится н а за д в стекло (фиг. 303, а).
О днако если вблизи поместить другую стек­
лянную пластинку (в пределах одной или
двух длин волн, как на фиг. 303, б), то часть
света преодолеет барьер и будет распр остр а­
няться во второй пластинке. Н а фиг. 304
п оказано аналогичное явление, наблю даемое
в ванне с вибратором.
Фиг. 305. П о тен ц и а л ьн а я
энергия
а-ч асти ц ы внутри я д р а ради усом К.
А льф а-р асп ад
Тот ж е механизм проникновения сквозь
барьер леж и т в основе объяснения естествен­
ного радиоактивного р аспада некоторых т я ­
желы х элементов на а-частицу (ядро гелия)
и конечное ядро. Известно, что а-частица
прочно св яза н а с ядром. Потенциал, х а р а к ­
теризующий эту связь, имеет х арактер глубокой
«ямы»,
изображенной
на
и ~ ^ г ~ фиг. 305. Н а расстояниях, лревы ш аю ~г щих радиус ядра Я, потенциальная
энергия представляет собой электроста­
тическую
потенциальную
энергию
П осле вы л ета из я д р а ки н ети ч еская э н е р ­
ги я со ст а в л я е т №а .
Энергия
457
(Э&г /г, где С?! — за р я д а-частицы, а С}2— з а ­
ряд конечного ядра. Однако, несмотря на
высокий барьер, а-частице в конце концов
удается проникнуть наружу. Например,
вероятность проникновения сквозь барьер,
или вероятность радиоактивного распада,
на протяжении 4,5 млрд. лет в случае я д ­
ра II238 составляет 0,5. Таким образом, пери­
од полураспада составляет 4 , 5 - 109 лет.
Поскольку примерно таким ж е является
возраст Земли, то О 238 встречается еще в
достаточном количестве. У всех изотопов с 2,
превыш аю щим 92, энергия а-частиц о к а з ы ­
вается больше, а барьер соответственно
меньше, б лагодаря чему эти изотопы имеют
значительно более короткие периоды полу­
распада. Именно поэтому ни один из них не
встречается в природе.
Мы имеем теперь простое кван товом еха­
ническое объяснение явления радиоактивно­
сти. Мы видим, почему нельзя предсказать
момент, когда произойдет распад данного
яд ра II238, какие бы точные измерения мы ни
производили.
По той ж е причине нельзя предсказать, в
каком месте следующий электрон попадет
на экран при наблюдении дифракционных
электронов. Вопросы, связанны е с явлением
радиоактивности, более подробно и з л а г а ю т ­
ся в следующей главе.
П рим ер. Р а д и у с я д р а 1 Р 3 8 равен 8 , 6 • 10 ~ 1 3 см.
П ри его р а с п а д е исп ускается а -ч а ст и ц а с энергией
4,2 М эе. К а к о в а вы сота п отен циального б ар ьер а
(в М э е ) д л я а-ч асти ц ы , н а х о д ящ ей ся внутри яд р а ?
К а к след у ет из фиг. 305, вы сота б а р ь е р а р авн а
<31<22/Я за вы четом энергии а-части ц ы . Т аким образом ,
— 4 ,2 М я в
(Ч ^ге,
С> 2 = 90е,
Я =
8 , 6
• 10" 1 3 с м ),
4 ,8 2 • 10- 5 эрг = 30,1 М эе ,
Г ' = 2 5 ,9
М э е .
Приложение
Вычисление уровня Ферми
Рассмотрим пустой кубический ящ ик р а з ­
мером
находящийся при тем пера­
туре абсолютного нуля. Если в этот ящ ик
поместить электрон, то вскоре он, излучая,
перейдет на низший энергетический уровень.
Второй электрон т а к ж е перейдет на низший
уровень. Согласно принципу Паули, тр е ­
тий электрон будет вынужден зан ять более
высокий, или второй, энергетический у р о ­
вень. Пятый электрон займет третий энер­
гетический уровень и т. д. Если в ящике име­
ется всего N электронов, то уровень Ферми
будет просто п редставлять собой энергию
уровня с номером Ы/2. Рассмотрим электрон­
ные волны, соответствующие каж д ом у энер­
гетическому уровню, подобно тому как это
мы делали в случае одномерного ящ ика на
стр. 392. В нашем трехмерном случае д анная
электронная волна будет х арактери зоваться
тремя
квантовыми числами Ых, Nу и Л/г.
К ак у казы вал о сь на стр. 394, квантовое чис­
ло
представляет собой число стоячих
волн по оси х и равно
Фиг. 306. Верхний к в а д р а н т
рад и усом /?== — Р 0.
н
сф еры
где Рх — проекция на ось х импульса элект­
рона. Если (Е кин)о = Ро2/2т — уровень Ф ер­
ми, то Р 0 — максимально возможное зн ач е­
ние Рх любого из N электронов в ящике.
М аксим альное значение Ых, соответствую­
щее заполненному состоянию, в этом сл у­
чае равно (Мх) 0 = 21.Ро/Ь.. Такие ж е соотно­
шения имеют место и для Ыу и Мг. Чтобы
получить полное число зан яты х состояний,
нам надо сосчитать все возмож ны е комби­
нации из трех чисел ЛЛ*,
и ЛУг в пределах
верхней границы 2 Г Р 01Н. Такой подсчет бу­
дет крайне утомительным, если мы не вос­
пользуемся фиг. 306, на которой для у д о б ­
ства вдоль оси х через каж ды й сантиметр мы
отметили
вдоль оси у отметили УУу, а
вдоль оси г отметили Мг. В этом случае каж 459
дое возможное состояние (или комбинация
трех целых чисел) п редставляется единст­
венной точкой в пространстве. Эти точки
образую т кубики со стороной 1 см. З а м е ­
тим, что число таких кубиков равно числу
точек. Теперь воспользуемся тем, что за п о л ­
ненные состояния л е ж а т внутри радиуса
К = 2 Ь Р 0/Н. Полное число зан яты х состояний
в этом случае численно равно числу кубиков
в пространстве, ограниченном сферической
поверхностью на фиг. 306. Поскольку на фи­
гуре и зо бр аж ен а '/в всего объема сферы, то
полное число состояний равно
-1 . .
8
.
3
6
\
А /
ЗЛ3
Поскольку в каж д ом состоянии имеется два
электрона, то полное число электронов
где V
— объем ящ ика.
тельно Ро, получаем
П од ставляя этот результат
(Екин) 0= Р 0212т, имеем
где
Л Г -±
^
V
460
Реш ая
относи­
в вы раж ение
Задачи
1. Ч то д о л ж н о сильнее зав и сеть от тем п ературы —
сопроти вление чистого м етал л а или сопроти вление
полупроводника?
2. К а к м ен яется с тем п ературой сопроти вление п о л у ­
проводн ика — у в ел и чи вается или ум ен ьш ается?
3. Г лубина потенциальной ямы у в о л ьф р а м а р а в н а .
9 эв, а м ак с и м а л ьн а я кинетическая эн ерги я эл е к тр о ­
нов проводи м ости с о ст ав л я е т 5 эв. Ч ем у равн ы р а б о ­
та вы хода и уровен ь Ф ерми в эв?
4. С осуд ди ам етр о м 1 см с о д ер ж и т ж и д к и й гелий -П ,
причем вы сота стол ба ж и д к о сти 5 см. Ч ер ез сколько
врем ени после у д а л ен и я кры ш ки в ся ж и д к о сть в ы ­
течет из сосу д а? С корость вы тек ан и я 50 см/сек, т о л ­
щ ина пленки 1 0 - 5 см.
5. Глубина потенциальной ямы м ет а л л а р авн а 11 эв,
а раб о та вы х о д а 4 эв. Н айди те:
а) полную энергию ( Е кии + С1) эл ектрон ов п р о ­
водим ости, соответствую щ ую уровню Ф ерми
(с п равильны м з н а к о м ) ;
б) увеличение кинетической энергии при п р о х о ж ­
дении эл ектрон а через п оверхность внутрь
м еталл а.
. С колько электрон ов проводи м ости п ри ходится на
1 г н атри я? С колько эл ектрон ов проводи м ости в 1 г
герм ан и я с примесью м ы ш ьяка 4 • 10 _ 6 г?
6
7. К оличество солнечной энергии, п адаю щ ей в виде
излучения
на
поверхность
З ем л и ,
с о ст ав л я е т
2 к а л /с м 2 в 1 мин. К акую п л ощ ад ь д о л ж н а им еть
солн ечная б а т а р е я с эф ф ективностью 2 0 % и м ощ н о­
стью 1 0 0 вг?
. Э лектрон с Е к ин= 3 эв п о п ад ает в м етал л и Е КИИ
у вел и чи вается д о 8 эв. Ч ем у р а в н а глуб ина потен­
циальной ям ы ?
8
9. М етал л А им еет С10 = 4, а ( Е к ин) о = 3 эв. М етал л В
имеет 1/0=3,5, а ( Е кин) о = 2 эв. Е сли соеди нить оба
м ета л л а , то электрон ы бу д у т п ереход ить из одного в
другой, пока уровни Ф ерм и не ср ав н яю тся. К акой
из м еталл ов п ри обретет п олож ительн ы й потенциал
относительно другого?
10. К а к о ва теплота о б р а зо в а н и я (в к а л )
зо об разн ого КС1 из атом ов К и С1?
1 м о л я га­
11. Р а б о т а вы хода д л я м еталли ческого л ития р авн а
2,36 эв. К а к о в а величина 11а д л я ли ти я?
12. Р ассто ян и е -м еж ду д в у м я п ротонам и в Н + равн о
1,06 А. К аким б уд ет р асстоян и е м еж д у протонам и,
связан н ы м и ц~ -м езон ом ( ц _ -мезон в 207 р а з т я ж е ­
лее эл е к т р о н а )?
461
13. В гипотетическом т я ж е л о м ядре а-ч а ст и ц а испы ­
т ы в а ет 1 0 2 2 столкновений в 1 сек с потенциальны м
барьером , а г|)ВнешЛ1>внутр = Ю ~15. К а к о ва в ероятность
того, что это ядро р а сп ад ется на п ротяж ени и одного
года?
14. У двух разл и чн ы х м етал л о в оди н ак овы е потен­
ци альн ы е ямы , а уровни Ф ерм и р азл и ч аю тся на 3 эв.
а) Ч ем у р а в н а к о н т ак т н а я р азн ость потен циалов
в слу ч ае соеди нения этих м еталл ов?
б) К аким б уд ет зн ак м ет а л л а с более низким
уровнем Ф ерми по отнош ению к другом у ме­
т ал л у , п олож ительн ы м или отри ц ател ьн ы м ?
15. Р ассм отри м гипотетический м еталл А. П ри п огло­
щ ении м еталл ом ф отона с энергией 7 эв испускается
ф отоэлектрон с энергией 3 эв. П лотн ость электрон ов
проводим ости т ак о в а , что внутри м еталл а они имеют
кинетические энергии вплоть д о 5 эв (без учета теп ­
ловой эн ергии).
а) Ч ем у равен уровен ь Ф ерм и м ет а л л а А?
б) Ч ем у р а в н а раб о та в ы ход а м еталл а А ?
в) Ч ем у р авн а глубина потенциальной ямы м е­
талла А?
г) К ак у ю кинетическую энергию тер яе т эл е к т ­
рон, в ы л е т ая с поверхности м етал л а А ?
д) Ч ем у равен порог ф отоэф ф ек та в эв? (П о ­
р о г — м и н и м ал ьн ая эн ергия ф отона, способ­
ного вы бить эл ектрон из м етал л а А.)
16. П отен ц и ал п р и тяж ен и я эл ектрон ов д л я некоего
м етал л а равен 110. Д л и н а волны X эл ек трон а вне м е­
т а л л а с о ст а в л я е т 10 А. В м еталл е д л и н а волны
электрон а с тан ови тся равн ой 4 А. Ч ем у р авн о Но
(в эв) ?
Фиг. 307. К за д а ч е 17.
17. П ри соединении д в у х м етал л о в 1 и II потенци­
ал ь н а я эн ерги я при обретает вид, и зображ ен н ы й на
фиг. 307. Н ай ди те:
а) М акси м ал ьн ую кинетическую энергию эл е к т ­
ронов проводи м ости в обл асти II.
б) Р а б о т у вы хода в обл асти II.
в) П отен ц и ал ьн ую эн ергию в об л асти
II.
г) О тнош ение электрон н ы х длин волн на уровне
Ф ерм и, Я1 Д 1 1 .
18. К ван тов ы е числа эл ектрон а
в кубическом ящ ике
со стороной ^ равны Ых , Ыу и
Ыг.
а) Н апиш ите ур авн ен и я, в ы р аж аю щ и е проекции
им пульса эл ек трон а на оси х, у и г через Ь,
т, Н и к в ан то в ы е числа.
б) В ы р ази те энергию эл ектрон а через Н, т,
Ых , Му и Ыг.
( У к а з а н и е . Р 2= Р г -{-Р -\-Р .)
х
у
г
19. Р еш ени е за д а ч и 18, б:
И 7 = (й 2 / 8 т / . 2) (Ы г + Ы г + Л ? ’ ).
X
у
2
Вы числите пять низш их энергетических
(в эв) в ящ и ке с 1 = 1 0 ~ 7 см.
462
уровней
. П овтори те реш ение за д а ч и 18 д л я п р ям оугол ьн о­
го ящ и к а со сторон ам и I.*,
и 1*г.
2 0
21. П ред п о л о ж и м , что к р и в а я потенциальной энергии
в заи м о д ей ств и я эл ек трон а и о т ри ц ател ьн о з а р я ж е н ­
ной пы линки
ради усом
1 0 - 4
см
п о к а за н а на
фиг. 308, а. П усть эл ектрон внутри пы линки имеет
волновую ф ункцию , приведенную на фиг. 308, б.
Н айди те:
а) Д л и н у волны эл ек трон а внутри пылинки.
б) С корость эл ектрон а внутри пылинки.
в) В ер о ятн ^ сть вы лета эл ектр о н а н а р у ж у при
к а ж д о м столкновении с поверхностью .
г) С реднее в рем я ж изни эл е к тр о н а д о вы лета из
пы линки (в п редполож ении, что потери энергии отсу тств у ю т).
Фиг. 308. К за д а ч е 21.
6
Г Л АВ А
15
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
§ 1. Свойства ядер
АТОМ Ы В М И Н И А Т Ю РЕ
Радиус ядра
Эта гл ав а посвящена в основном описа­
нию свойств и строения атомных ядер. К ак
мы увидим, протоны и нейтроны очень сход­
ны меж ду собой. Поэтому для обозначения
обеих частиц используют один термин «нук­
лон». Мы хотели бы объяснить строение яд р а
по аналогии со строением атома, а именно
представить ядро ка к систему нуклонов,
движ ущ ихся по определенным орбитам, по­
добным электронным орбитам в атоме.
В идеале хотелось бы иметь возможность в
принципе вычислять массу данного ядра,
его спин, магнитный момент, энергии связи
нуклонов, входящих в его состав, и энергии
возбужденных состояний. Д л я достижения
этой цели необходимо в точности зн ать силы,
действующие
между двум я
нуклонами.
К сожалению , эти силы оказы ваю тся отнюдь
не столь простыми, как электрические силы,
и до сих пор неизвестны с достаточно высо­
кой точностью. И тем не менее в объяснении
строения яд р а достигнуты значительные ус­
пехи, и многие из свойств ядер можно пред­
сказать, по крайней мере приближенно.
П реж де чем приступить к обсуждению
современного состояния данных о силах,
действующих между нуклонами, и строении
ядер, мы перечислим некоторые свойства
ядер, известные из опыта. П р еж де всего,
насколько мало ядро? Р азм ер ы яд р а можно
определить следующим образом. Будем бом­
бардировать атом электронами высокой
энергии и отмечать, сколько из них испыты­
вают прямое попадание ■>. О казы вается, что
в ядре с массовым числом А (т. е. суммой
чисел нейтр.онов и протонов) почти все нук­
лоны плотно упакованы в пределах радиуса
/? = 1,2-10
А'!> с м .
(15.1)
Это соотношение, как показы ваю т опыты,
выполняется достаточно точно для всех ядер,
•) О тносительн о детал ей определ ен и я р азм ер о в
яд ер см. § 6 и п ри лож ен и я 1 и 2 в н астоящ ей главе.
466
за исключением самы х легких. Отметим, что
поскольку объем пропорционален Я 3, он
пропорционален числу нуклонов А в первой
степени. Таким образом, согласно ф орм у­
ле (15.1), все я д р а независимо от их разм ера
долж ны иметь одинаковую плотность.
П ри м ер. К а к о в а плотность яд ер н о го вещ ества,
в ы р аж ен н а я числом нуклонов в 1 см 3 и в г/с м 3? Ч и с­
ло частиц в 1 см3 Л ^= Л /У ; согл асн о (15.1), объ ем
яд р а
4п
4тс
V = - д - Я 3 =- —
( 1 ,2 • К Г 1 3 ) 3 Л .
Т ак и м о б р а зо м ,
N=
4п
—
•(1,2)3 • 10- 3М
= 1 ,3 8 • 103 8 н ук л о н о в в 1 с м 3 .
У м н о ж а я это число на м ассу
1 ,6 7 -1 0 -24 г, получаем плотность
—Г
*#*Са
I
Ге
2п
I
I
|
I
одн ого
нуклона
вещ ества
весил бы
0 = 2 ,3 • 10 1 4 г / с м 3.
Фиг. 309. Зав и си м о сть эксперим ен­
тал ьн ы х значений удельной энергии
связи от м ассового ч и сл а А.
1 Мд
к >| ‘
(1 5 .2 )
Т аким об р азо м , 1 см3 ядерного
230 млн. т.
1
1
1
г
|
I
1
Г"
|
1
1
1
Кг
Зт
- о |6« Г
Ьи
р12 %т/
К а * "”
Н е /
1
/ в"
а"
<
06
I
с 5
Ли7
_ш в
-
=
3
СО
&
„
па: 4
§
-
5 3
I
Не3
55 2
Н2
•
1
50
1
1
1
1
1
1
1
1
.
1
150
100
.
|
|
,
1
,
|
1
200
А
467
Подобно электронам в атоме, нуклоны
удерж иваю тся в ядре силами притяжения.
Эти силы д олж ны быть достаточно больш и­
ми, чтобы преодолеть кулоновское оттал ки ­
вание протонов. Они назы ваю тся ядерными
и будут рассмотрены в § 2. И з опыта и зве­
стно, что у легких ядер энергия связи, при­
ходящ аяся на один нуклон, или удельная
энергия связи, в озрастает с увеличением А
(фиг. 309). Мы могли ож и д ать подобного
эф фекта как следствия сложения сил; связь
отдельного нуклона оказы вается более силь­
ной, если он притягивается не одним или
двумя, а сразу несколькими нуклонами.
Однако в области за Л = 80 удельная энергия
связи постепенно ум еньш ается с ростом А.
Это обстоятельство говорит о том, что силы
ядерного притяжения имеют малый радиус
действия (порядка поперечника отдельного
н уклона). З а пределами этого радиуса гос­
подствуют силы электростатического оттал­
кивания-, это значит, что если два протона
уд аляю тся друг от друга более чем на
2,5 • 10~ 13 см, силы из притяжения п р ев р а­
щ аются в отталкивание. Ядра, распо л о ж ен ­
ные в области Л = 8 0 , оказы ваю тся наиболее
прочными.
Следствием такой зависимости удельной
энергии связи от А являю тся процессы син­
теза и деления ядер. Р ассмотрим сначала,
что происходит при соединении электрона
с протоном. В этом случае выделяется энер­
гия, р авн ая 13,6 эв, а масса атома водорода
оказы вается на 13,6 эв ’> меньше суммы масс
свободного электрона и протона. Аналогич­
но м асса или энергия покоя двух легких
ядер будет больше суммарной массы этих
ядер. Если эти яд ра удастся соединить, то
они «сольются» и при этом выделится энер­
гия, соответствующая разности масс. Такой
процесс н азы ваю т синтезом ядер. В § 5 мы
увидим, что уп ом и навш аяся разность масс
может превысить 0,5%. С другой стороны,
Вопрос 1. П ол уч и те ф о р м у л у д л я по­
перечного сечения яд р а с м ассовы м
числом А.
468
■> В ф изике принято и сп о л ьзо вать энергию в к а ч е ­
ств е единицы массы. В еличину массы м ож н о всегда
найти с помощ ью соотнош ен ия М = 1Х'/с2.
если тяжелое ядро расщ епляется на д ва бо­
лее легких ядра, то масса двух осколков
будет меньше массы родительского ядра на
0,1%. Таким образом, у тя ж ел ы х ядер су­
ществует тенденция к делению на два более
легких яд ра с выделением энергии. Энергия
атомной бомбы и ядерного реактора есть не
что иное, ка к энергия, в ы сво б ож д аю щ аяся
при делении ядер. Энергия водородной бом­
бы представляет собой энергию, вы своб ож ­
даю щ ую ся при синтезе.
А льф а-р асп ад (см. гл. 14, § 8 ) можно упо­
добить крайне асимметричному делению,
при котором родительское ядро М расщ еп­
ляется на небольшую а-частицу и большое
конечное ядро М'. А л ь ф а-р асп ад возможен
лиш ь при условии, что в реакции
М -» АГ + а
О твет 1. П л о щ а д ь р а в н а
*/?* = п (1 ,2 • 10-13 Л 1/ ’ )2 с м 2
= 4 ,5 2 ■ 10~ 2 6 Л 2/з с л < 2 .
масса М превыш ает сумму м асс ./И' и а-ч а с ­
тицы. В этом случае ядро оказы вается р а ­
диоактивным и может претерпевать а-распад. О казы вается, что М~>М' + М для всех
ядер с 2 > 8 2 (свинец).
К ак у ж е отмечалось, при 2 ^ 9 2 (уран)
времена жизни относительно а-р асп ад а с т а ­
новятся существенно меньше возраста З е м ­
ли. Этим объясняется отсутствие подобных
элементов в природе. Но такие элементы
могут быть искусственно созданы человеком.
Например, плутоний (2 = 94) можно п олу­
чить из урана в ядерном реакторе. Подобная
процедура сейчас стала общепринятой, и об ­
ходится она в 15 долл ар ов за 1 г. Д о послед­
него времени были получены элементы
вплоть до 2 = 1 0 5 , однако стоит это очень
дорого и получают их обычно в совершенно
ничтожных количествах. М ож но ожидать,
что радиохимикам в конце концов удастся
создать очень малы е количества новых эл е­
ментов и с 2 > 105.
Электроны в атоме могут переходить на
«орбиты» с более высокой энергией или на
возбуж денные энергетические уровни. Точно
т а к ж е нуклоны в ядре могут переходить на
«орбиты» с более высокой энергией. Таким
образом, каж д ое ядро характеризуется на469
■
Энергия, Мэе
8,26
Фиг. 310. Э нергетически е уровни я д ­
р а Р 3 1 и у п е р е х о д ы в этом ядре.
К а ж д а я го р и зо н т ал ьн а я л и н и я и з о б р а ж а ­
ет во збуж ден н ое состоян ие я д р а Р 31.
бором энергетических уровней, располож ен ­
ных над основным уровнем.
Н а фиг. 310 изображ ены энергетические
уровни я д р а фосфора ( Р 31) и у-переходы в
этом ядре. Схема энергетических уровней
яд ра о б н ару ж и вает те ж е особенности, что
и схема энергетических уровней атома, и зо­
б раж ен н ая на фиг. 282 (стр. 408). В о зб у ж ­
денное ядро мож ет переходить на более н из­
кие энергетические уровни, испуская при
этом фотон (назы ваемый в ядерной физике
у-квантом). Например, если нейтрон попа­
д ает в ядро У 238 (индекс указывает, что
Л = 2 3 8 ) , то образуется ядро (1_!239)*, причем
звездочка означает возбуж денное состояние
изотопа Н 239. Затем
(Ц 2 3 9 )*
Ц 239 +
т>
где у — испускаемый у-квант. К аж д о е в о з­
бужденное состояние ядра, конечно, х а р а к ­
теризуется своей энергией, спином и м а г ­
нитным моментом. Измерение этих, а т а к ж е
других величин для огромного количества
возбужденных состояний более чем 1000
различных изотопов и составляет занятие
физиков-экспериментаторов и радиохими­
ков. Р езультаты подобных измерений имеют
практическое значение, а т а к ж е расширяют
наши представления о строении ядер и ядерных силах.
§ 2. Радиоактивный распад
н и к т о Н Е ПОРУЧИТСЯ. КОГДА э т о с л у ч и т с я
Широкий класс физических явлений об ­
н ар уж и в ает свойство, назы ваем ое экспонен­
циа льн ы м распадом. Д о сих пор мы о стан ав ­
ливались на двух явлениях подобного рода:
а-р асп ад е тяж елого яд ра и испускании
у-кванта или фотона возбуж денны м атомом
(см. гл. 13) или ядром (§ 1 настоящей г л а ­
вы). В каж д ом из этих случаев существует
определенная вероятность распада в едини­
цу времени.
471
Из § 4 гл. 14 мы помним, что р аспад я д ­
ра II238 по закону случая обусловлен волно­
вой природой вещества. Вероятность о б н а­
ружить а-частицу вне яд ра пропорциональна
(■фвнеш) 2 (ем. фиг. 302). П рирода вероятно­
сти такова, что если данное ядро б лагодаря
редкой случайности не испытало распада на
протяжении большого числа периодов полу­
распада, то эта предыстория ни в коей мере
не скаж ется на вероятности распада в б уду­
щем. Это ж е справедливо и для бросания
монеты. Если у вас пять раз подряд выпала
решетка, то вероятность выпадания снова
решетки при шестом бросании останется р а в ­
ной У2. Мы не можем предсказать, когда
произойдет распад данного ядра. В ероят­
ность распада для ядер одного сорта всегда
одна и та же, независимо от их возраста. Н а ­
пример, половина всех ядер радиоактивного
изотопа с периодом полурасп ад а 1 год р ас­
п адается на протяжении года, однако у от­
дельного ядра, не распавш егося в первый
год, будет по-прежнему 50 шансов из 100
распасться во второй. Если оно сохранится
на протяжении двух лет, вероятность р а с п а ­
да в третьем году снова будет У2.
Р ассмотрим более детально р ас п а д С 238.
Вероятность р аспада любого выбранного
ядра II238 на протяжении одного года равна
1/(6,5-Ю 9). Д л я промеж утка
лет вер оят­
ность р аспада составит
В ер о ятн о сть =
"д'
•
( 1 5 .3 )
Воспользовавшись этой вероятностью,
можно вычислить среднюю п родолж итель­
ность жизни яд ра П 238. Она дается величи­
ной, стоящей в зн ам енателе (15.3), т. е.
6 , 5 - 109 лет. Это, по определению, и есть сред­
нее время жизни т. Вероятность р аспада за
время
в ы раж ается через среднее время
жизни (лет) следующим образом:
В ер о ятн о сть = ----- .
( 1 5 .4 )
Т
Прим ер. Н ай д ем п ри ближ енн ое вы р аж ен и е д л я
среднего времени ж изни относи тельно а -р а с п а д а че­
рез ф в н е ш Л ^ в н у тр-
В § 8 гл. 14 п о к азан о , что вер о ятн о сть вы лета
а-ч асти ц ы из я д р а при к а ж д о м столкновении с б а р ь ­
ером р авн а (ф внеш /ф внут)2. Ч и сло столкновений за
врем я Л/ р авн о отнош ению п роход им ого за это в р е­
м я р ассто ян и я V^.I к д и ам е тр у я д р а 2 Я:
VА(
2Й '
П ер ем н о ж а я
оба
В е р о я тн о с т ь т
М
вы р аж ен и я,
2/?
_2Я_
твнутр
V
Ф внеш
мы получаем
( ^внеш 2
и 'вн утр
С огласно (15.4), Л(/ш> = г. С л ед о в ател ь н о , эта в е ­
личина х а р ак т е р и зу е т средн ее врем я ж и зн и , а именно
I Т в н у т р \2
\Фв Г •
Фиг. 311.
р а сп а д а .
К ривая
ради о акти в н о го
П о вер ти к ал ьн о й оси о тл о ж ен о число р а ­
ди оак ти вн ы х
атом ов №, не и спы тавш их
р а с п а д а з а вр ем я I, а по го р и зо н тал ьн о й
оси
вр ем я I в е д и н и ц а х среднего в р е ­
мени ж и зн и х ,
0 ,1 т
0 ,2
Это соотношение показывает, как можно ис­
пользовать квантовую механику для расчета
времени жизни и других свойств атомов, и
ядер. С овременная квантовая теория дает
столь ж е полное описание радиоактивного
распада, как и всего остального.
К ак мы сейчас увидим, ф ормула (15.4)
справедлива только в том случае, когда ДI
много меньше т. Согласно ей, если Л /= т /1 0 ,
то распаду каж дого ядра отвечает один шанс
из десяти. Если первоначально имелось
1000 атомов и 238, то примерно 100 из них
распадутся за т / 10 = 650 млн. лет. В следую ­
щие 650 млн. лет распадутся примерно 90
из оставшихся 900 атомов. В третьем интер­
вале длительностью 650 млн. лет распадется
примерно 81 атом из оставш ихся 810 и т.д.
Число атомов, не претерпевших распада на
протяжении времени I, графически и зо б р а­
жается кривой на фиг. 311.
т
473
Д л я точного расчета этой кривой вы бе­
рем А/ бесконечно малым. Тогда число ато­
мов спустя время М будет
где
— н ачальное число нестабильных ч ас­
тиц со средним временем жизни т. Спустя
п интервалов времени Д^, т. е. спустя время
{= пА 1,
Положим х = — Д^/т, тогда
N « К 0 ( 1 + х )-* /х'- « ЛГ0[(1+ * )'/*
.
В пределе при Д^ (или х ) , стремящ емся к
нулю, это соотношение становится точным.
Предел ( 1 + х ) 1/х при х —«-О— известное в
м атематике число
Н т [(1 + х)'!х ] = е,
*-*-0
где е = 2,718 ... Итак,
N = Ы0е~ ‘/'-.
(15.5)
К а к а я величина //т соответствует р а с п а ­
ду половины частиц? Это значение {, н а зв а н ­
ное нами ранее периодом полураспада, мы
будем обозначать через Т. Согласно (15.5),
имеем
р -Т /1
_
2
По таблице логарифмов находим е-0’693= 1/2Таким образом, Т/т = 0,693, или период
полураспада равен
Т — 0,693 т.
(15.6)
Отметим, что период полурасп ад а 1Р38 р а ­
вен 7 = 0,693-6,5-109 лет = 4,5 млрд. лет.
Если подставить величину т = 7"/0,693 в ф ор­
мулу (15.5), то получим
^
или
474
_
е ~ °-693 1/Т _ _ ^ _ о , 6 9 3 у / Т '
Фиг. 312.
расп ад а.
К ривая
ради о акти в н о го
К концу промеж утка времени, равного двум
периодам п олурасп ада ({ = 2 Т ), останется
И зо б р а ж е н а зави си м о сть числа не испы ­
!Д частиц; к концу трех периодов п олурас­
тавш и х р а с п а д а атом ов от времени на п ро­
т яж ен и и четы рех п ери одов п о лу р асп ад а Т.
п а д а — '/в, и т. д. К ривая, описываемая
(15.7), и зображ ен а на фиг. 312. Кривые р ас­
N
пада, изображ енны е на фиг. 311 и 312, носят
название э ксп оне н ц и а л ьн ы х к р и в ы х распада.
Вероятность испускания фотона ядром,
н аходящ имся в возбуж денном состоянии,
можно вычислить с помощью квантовой ме­
ханики. Таким образом, к а ж д о м у в о зб у ж ­
денному состоянию яд р а фосфора (см.
фиг. 310) сопоставляется определенный пе­
риод полураспада. Аналогичный расчет по­
зволяет получить период и вероятность « р ас­
пада» атома водорода в состоянии N = 2,
1=1. В данном случае атом «распадается»,
испуская фотон и переходя в свое основное
состояние.
О казы вается, что вероятность испуска? ния фотона равна Д^/1,6 - 10-9 при условии,
что А/ вы раж ено в секундах. Таким о б р а ­
зом, период п олураспада газообразного во­
дорода, все атомы которого находятся в воз­
бужденном состоянии с N = 2, 1= 1, равен
4 ,1 -1 0~~9 сек.
§ 3. Радиоизотопы
«РУ К О Т В О РН Ы Е » Я Д Р А
Вопрос 2 . К а к о ва вероятн ость, что ра
д и о ак т и в н о е яд р о в ы ж и в е т на протя
ж ени и 1 0 периодов п о л у р а сп ад а ?
Не встречающиеся в природе новые изо­
топы можно получить, б ом бардируя п рирод­
ные изотопы нейтронами. В противополож ­
ность заряж ен н ы м частицам нейтроны при
прохождении через вещество теряю т н езн а­
чительную энергию и могут легко проникать
в атомные ядра. Д овольно часто при соуд а­
рении с ядром нейтрон поглощ ается им. При
этом образуется новый изотоп, содерж ащ ий
один лишний нейтрон и находящийся на
возбужденном энергетическом уровне. О б ­
разовавш ееся возбуж денное ядро испыты ва­
ет затем обычно ■у-распад и переходит в ос­
новное состояние. Д овольно часто основное
состояние т а к ж е оказы вается рад и о акти в­
ным.
475
Изотопы, основные состояния которых
радиоактивны, назы ваю тся радиоизотопами.
В качестве примера рассмотрим б ом б ар д и ­
ровку нейтронами 1Р38. При поглощении
нейтрона ядром У 238 образуется ради оизо­
топ 1_1239 в возбужденном состоянии, которое
мы обозначаем звездочкой ( и 239) *:
N -\- Ц238 -> (I]239)*.
Впоследствии возбуж денное ядро мож ет ис­
пытать у-распад, переходя в основное состоя­
ние
у239^*
у 2 3 9 _ |_ - р
Новый радиоизотоп II239 в природе не встре­
чается. Он испытывает р-распад с периодом
в 24 мин и п ревращ ается в конечное ядро с
2 = 93 (нептуний):
ц * » _ ^ р 230 + е ~ - + 7.
Обозначение е~ + х и механизм р-распада
будут обсуж даться в гл. 16. Конечное ядро
Ыр239 т а к ж е о казы вается неустойчивым по
отношению к р-распаду. Оно превращ ается
с периодом 2,3 дня в плутоний (2 = 94):
N р2Э9
° ТВ?024 ° На равна
или 1 шанс
р и 2 8 » _ |_ е - _(_ ”
В ян варе 1934 г. у Энрико Ферми возник­
ла мысль, что искусственную рад и оакти в­
ность можно было бы получить, б ом б ар д и ­
руя различные вещества нейтронами. Вмес­
те со своей римской группой Ферми провел
систематическое облучение всех элементов,
которые им удалось достать, в порядке воз­
растания атомного номера. К маю 1934 г.
они добрались до урана. Но обнаруж или они
не только период р-распада II239, но и с л о ж ­
ную смесь, других периодов полураспада. Им
казалось, что они, вероятно, получили один
или несколько трансурановы х элементов при
превращении 1_1239 в ядро с 2 = 93 за счет
р-распада и что, по-видимому, этот элемент
т а к ж е испытывает р-распад, превращ аясь в
В опрос 3. С о в п а д а ет ли среднее в р е ­
мя ж изни р ад и о ак ти в н о го яд р а с пе­
риодом п о л у р а сп ад а этого изотопа?
элемент с 2 = 94, и т. д. В то ж е время Ферми
говорил, что он не вполне понимает п олу­
ченные результаты.
Ферми не знал, что причиной за п у т а н ­
ности его результатов было следующее о б ­
стоятельство. Некоторые из в озбу ж ден ­
ных ядер У 239 испытывали деление, и мно­
гочисленные
продукты
этого
процесса
являлись причиной появления большого чис­
ла разнообразны х периодов полураспада.
Если бы Ферми удалось полностью о б ъ я с ­
нить свои результаты, весь мир, вклю чая и
Гитлера, у ж е тогда, в 1934 г., зн ал бы о в оз­
можности создания атомной бомбы.
В д екабре 1938 г. Ферми была присуж д е­
на Н обелевская премия за работу, сод ер ­
ж авш ую открытие этих новых изотопов и
методов их получения. П оскольку семья
л ау реата обычно сопровож дает его в Ш в е ­
цию, Ферми представилась блестящ ая в о з­
можность вывезти близких из фашистской
Италии.
После получения премии Ферми н а п р а ­
вился в США. Вскоре по прибытии в СШ А
ему стало известно об открытии деления, и
он выполнил одну из первых работ, привед­
ших впоследствии к созданию атомной
бомбы.
В аж ность работы Ферми отмечается в
знаменитом письме Эйнштейна президенту
Рузвельту (фиг. 313).
Использование радиоизотопов в промы ш ­
ленности, медицине, сельском хозяйстве и
исследовательской работе получило широкое
распространение и приобрело большое эко­
номическое значение. Радиоизотопы позво­
ляю т «метить» небольшие образцы биологи­
ческих и искусственных материалов. Это
дает возможность изучать биологические и
промышленные процессы, следя за мечеными
веществами с помощью детекторов излуче­
ния.
Можно, к примеру, пометить гены в хро ­
мосоме. Получаю щ иеся в результате этого
данные о расположении генов, расщеплении
и слиянии хромосом имеют неоценимое з н а ­
чение для генетики.
477
I
А и & ие!
Г .В . Н о о з е у е И ,
Р гез1с1еп 1 оТ 1Ье
Ц п11ей
2аЛ ,
1930
5га1ев,
Ч Ъ И е Ноизе
ШаеЫпе^оп, Б.С.
31г;
Зопе
ш и п 1 с а !е < 1
1ит
тау
гесеп *
1о т е
Ъе
тгогк Ъ у
1и гпе< 1
1п1о
а
т е а 1 а !е
Г и1и ге.
1о
са11
Г о г ю а!с Н Г и 1 п езз
оГ
1 Н е А й т 1 п .1 э 1 ;г а 1 1 о п .
С ег*а1п
1о у о и г а Н е п И о п
1п
1Ье ж >гк
А тег1са
-
а
апй,
оГ
оГ
1азЪ
Л о11о1
ТМ в
п е*
вои гсв
оГ
оГ
*Ъ е
Г ас^з
вК иаМ оп
ап(1
ав
р08з1Ъ 1е
* Н 1 с )1
1Ье
11 Ь а в Ъ ееп т а й е
зе!
ир
а
ат о и п !з
с о и 1 (1
асМ еуей
а1во
оп
Р егт!
*ои11
рН епогаепоп чгои Ы
аг1веп
йи1у
и гап -
1Ье
1твеет
раг!
1о Ъ г1 п в
гесотгаеп й аН оп з *
е1етеп^з
Ье
Ьаз
1п
1в т у
аз
1о
соо-
е1етеп!
ас11оп
11
\у е 1 1
таз!
(Н е
еп егвУ
*Ы сЬ
^и^ск
1Ъ а1
Г о и г гаоп Ъ Н в
1п Р г а п с е
Ъ есоте
11118
1трог1ап 1
Ъ Ъ егеГ оге
о Г и г а п ! и т ,Ъ у
1Н а1
Ъ Ь аг
п есеэзагу ,
11 т а у
сег*а1п
*Н 1сЪ Ъ ав Ъ е е п
ехрес!
1Г
1Ье
гас 1 1 ш п -1 1 к е
ЗгИ агД »
1о
Ъ еН еУ в
тазз
оТ пе«
а1тоз!
аврес1в
гИ а!
1агде
Ш ев
пеу/ а п й
I
апЛ Ь .
1еас1в т е
11ге Г о 1 1 о * 1 п б
ЪЪе с о и г в е
1Ь гои дЬ
1п
Е .Р е г г а !
1п т а п и з с г ! р 1 ,
ап й
пис1еаг
оГ
1 еа с1
1п
1о
1Ъ е
П ае
сН а1п
ро^ег
Ъе зе п е г а Ъ е й .
ргоЪ аЫ е
ЗгЦ агй
ап й
Номг
-
1п
геасИ оп
1агве
ч и а п !-
11 а р р е а г з
1тгаеЛ 1а1е
Г и1и ге.
со п з!ги с1 1 о п
оГ Ъ о тЪ з»
ап Л
11 1 з с о п с е 1 у а Ъ 1 е - 1 Ъ о и в Ь т и с Н 1 е з в с е г ! а 1 п - 1 1 1 а! е х ! г е т е 1 у р о м / е г -
Ги1
ЬотЪ з
1 -у р е ,
оГ
а
сагг1еЛ
пе*
1 Ь е ™ Ъ о1е р о г !
I
1уре
Ъу Ъ оа!
1ове1Н ег
и п й е гв 1 а п (1
тау
ап й
1Ъ а1
С гесЬ ов1оуак1ап
1Н ив Ь е
е х р 1 о с 1 е< 1
*11Ь
воте
со п в !ги с 1 е (1 .
1п а
рог1,
А з1пз1е
га!в Ы
уегу
Ъ отЪ
ш е11
оГ
11118
А ев1гоу
о ? 1Ъ е э и г г о ш м И п в 1 в г г 1 1 о г у . Н о ч г е у е г ,
О егтапу
Н ав
т1пев
угЫ сЬ
ас !и а 1 1 у
Т Ь а!
вЬе
1акеп
1Ьа1
1Ь е з о п о ? 1 Ь е О е г г а а п 1 1 п ( 1 е г - 3 е с г е 1 а г у о ? 3 1 а 1 е , т о п Ф е 128а с к е г » 1 а
аН асН ей
1о
А тег1сап
угогк
га!б Н 1 р е г Ь а р в
1 Ь е К а1 в е г-^ 1 1 1 1 е1 т -1 п в 1 1 1 и 1
оп и г а п 1 и т
1в
п охг Ъ е 1 п в
оусг.
о? и гап1и т
1Н е
ас11оп
Ъ акеп
ва1е
Г гот
еаг1у
Ьав
1Ье
Ьауе
висЬ
вЬе
в1орре1
Ъе и пй егвЪ оой
оп
!Ь е
1 п В е г 1 1 п > »Ь егв з о т е
оГ
зЪ ои1й
вгои пЛ
11ге
ге р е а !е « 1 .
У оигв
уегу
1ги1у*
У
(А 1 Ъ о г1 2 1 п а « е 1 п )
Ф и г . 313. П и сьм о А л ьб ерта Э йнш тей­
на п рези д ен ту Ф р ан кл и н у Р у зв ел ьту .
§ 4. Биологическое воздействие
излучения
М О Ж Н О П О Г И Б Н У Т Ь ОТ Н Е В И Д И М О Г О
Проходя через вещество, з аря ж ен н ы е
частицы сталкиваю тся с атомными электро­
нами и оставляю т за собой ш лейф из ионов.
Происходит разруш ение или повреждение
молекул живой ткани. Х арактер и последст­
вия этих явлений представляю т больший ин­
терес для биологов, нежели для физиков.
О днако из-за всеобщего интереса и в а ж н о ­
сти вопроса мы приведем некоторые основ­
ные данные. Вопросы, относящиеся к биоло­
гическому воздействию излучения, важ ны
д ля всех, кто интересуется проблемами
граж данской обороны, военной стратегией,
внешней политикой, ядерной энергетикой,
испытаниями ядерного оружия, применением
радиоизотопов, ядерными исследованиями
и т. д.
Н а практике при контроле уровня и зл у ­
чения в качестве единицы дозы излучения
принят рад. Эта единица определяется сл е­
дующим образом: если 1 г биологической
ткани сообщается доза излучения в 1 рад,
то при этом в ткани поглощ ается энергия
(в форме энергетических потерь ионизующих
частиц), равн ая 100 эрг:
1
рад соотв етств ует поглощ ению
1 0 0
э р г /г .
Р а д представляет собой видоизменение с т а ­
рой единицы, названной рентгеном (р)
1 р со ответствует поглощ ению 83 э р г /г .
О твет 3. Нет. С реднее врем я ж изни
ГГ.ПИННАА п
опиппо п
г толл
пу
л грпаосп
л пад
опа
о.
длиннее
периода
Оценим теперь дозу излучения, создаваемую
космическими лучами на протяжении года.
Из опыта известно, что быстрая зар я ж е н н а я
частица при. прохождении 1 см воды теряет
около 2 Мэе. П оток космических лучей на
уровне моря выделяет ежегодно около 4 эрг
на 1 г воды. Таким образом, естественный
уровень излучения, соответствующий косми­
ческим лучам, составляет около 0,04 рад
в год, или 3 рад на протяжении жизни человека (70 л е т ) . С равнимое количество излуче4
'
1
ния создается естественными радиоактив479
ными изотопами, которые со держ атся в поч­
ве и горных породах. Таким образом,
полная фоновая доза, обусловленная при­
родными источниками, составляет около
0,1 рад в год, или 7 рад на протяжении
жизни.
Смертельная доза
Если человек за короткий промежуток
времени получит дозу в 400 р а д , распреде­
ленную по всему телу, то ее биологическая
опасность оказы вается столь высокой, что
имеется примерно 50% шансов за то, что ин­
дивидуум погибнет. Это количество и зл у ­
чения н азы вается смертельной, или л е т а л ь ­
ной, дозой:
С м е р те л ьн а я доза = 4 0 0 рад.
Д оза, составл яю щ ая примерно 200 рад,
вызы вает лучевую болезнь. Поскольку неко­
торые ткани способны восстанавливаться,
индивидуум, получивший дозу в 400 рад на
протяжении нескольких лет, по всей в еро­
ятности, останется в живых, хотя состояние
его здоровья может значительно ухудшиться.
«Д опустим ая» доза
Р азличны е промышленные и исследова­
тельские работы связаны с применением
радиоактивных материалов. В 1957 г. М е ж ­
д ународн ая Комиссия • по радиологической
защ ите установила в качестве предельно
допустимой дозы для работаю щ их с излуче­
нием 5 рад в год, или 100 мрад в неделю:
Вопрос 4. О б р азе ц Ц 2 3 8 б о м б ар д и р у ­
ется
нейтронам и
на
п ротяж ени и
80 мин. З а это врем я количество 1Я3 9
увел и чи вается. Б уд ет ли I I 2 3 9 после
облучения с л е д о в а ть чисто экспонен­
циальной кривой р а сп а д а ? Б у д е т ли
Р и 2 3 9 в о б р а зц е сл ед о в ать чисто эк с ­
поненциальной кривой р а сп а д а ?
480
П р е д е л ьн о д о п усти м ая доза
_
дл я работаю щ и х, с и зл у ч ен и ем
,
5
0
”
Отметим, что при 50-летнем периоде работы
предельно допустимая доза почти в 40 раз
превысит дозу, получаемую от естественного
излучения.
Предельно допустимая доза для основ­
ного населения принимается равной 10%
дозы для лиц, подвергаю щихся профессио­
нальному облучению
Предельно допустим ая д оза 0,5 р ад в
год, или д ля населения 30 ра д на п р о тяж е­
нии всей жизни. Э та величина почти в 4 р а ­
за превыш ает дозу, создаваем ую естествен­
ным излучением. В СШ А основным излуче­
нием, сравнимы м с естественным фоновым
излучением, является рентгеновское и зл у ­
чение, применяемое в медицине. Уровень и з­
лучения, обусловленный испытаниями ядерного оружия, остается ниже уровня естест­
венного излучения, пока ядерны е д ер ж а в ы
воздерж иваю тся от испытаний в атмосфере.
Распространено лож ное мнение о том,
что уровень излучения ниже предельно д о ­
пустимой дозы не вы зы вает поражений.
В действительности ж е любой уровень и зл у­
чения сопряж ен с биологической опасно­
стью. Подвергшиеся мутациям под действи­
ем излучения хромосомы будут воспроизво­
диться в у ж е измененной форме. В генетике
много неопределенного, однако твердо у с т а ­
новлено, что скорость естественных мутаций
определяется естественной радиоактивно­
стью, и любое увеличение интенсивности из­
лучения, каким бы незначительным оно ни
было, ск аж ется в увеличении этой скорости.
Скорость естественных мутаций у людей н а ­
столько велика, что приводит к серьезным
аномалиям в 3% случаев рождений. Поэтому
следует опасаться ядерного вооружения не
только из-за огромного ущ ерба, который
терм оядерная война мож ет нанести вою ю ­
щим сторонам, но и вследствие сопутствую­
щего ей увеличения уровня излучения на
всем земном шаре, которое отразится на всех
н ародах мира.
О твет 4. 1_ ) 2 3 9 сл ед у ет чисто эксп он ен ­
циальной кривой р а с п а д а . О д н ак о по
мере р а сп а д а 1Я 3 9 количество Р и 2 3 9
с н а ч а л а будет в о зр а с т а т ь , а не у б ы ­
вать.
16— 176
Ч В соответствии с реком ен д ац и ям и М е ж д у н а р о д ­
ной К ом иссии по радиологической защ и те (М ю нхен,
1959 г.) в С С С Р сан и тарн ы м и п р а в и л ам и у с та н о в л е ­
на предельно до п у сти м ая д о за облуч ени я д л я о с н о в ­
ного н а с е л е н и я — 1 % от д озы п роф ессион ального о б ­
л учения.— Пр им . ред.
481
Фиг. 314. Д и ф р а к ц и о н н а я
картин а
(а ) и к р и в ая зависим ости интенсив­
ности от угла д и ф ракц и и (б ).
§ 5. Дифракционное рассеяние
САМ Ы Й М О Щ Н Ы Й М И К РО С К О П
Если представление о волновой природе
вещества правильно, то следует ожидать, что
в тех случаях, когда пучок частиц с достаточ­
но малой длиной волны падает на атомные
ядра, появится классическая диф ракционная
картина. Пусть пучок света с длиной вол ­
ны А падает на черный диск радиусом Р.
В этом случае получится круговая д и ф р а к ­
ционная картина (фиг. 314), на которой по­
ложение первого минимума описывается со­
отношением
31пб„и„ = 0,61
(15.8)
КО
Явление в сущности совпадает с дифракцией
на щели (см. зад ач у 26, гл. 10). Фотоны, по­
падаю щ ие в темный диск, выбы ваю т из пуч­
ка. Аналогичным образом если пучок прото­
нов падает на ядра большого разм ера (типа
ядер свинца), то протоны, испытавшие п р я ­
мое соударение с ядрами, будут выбывать
из пучка. Следовательно, с точки зрения
математического описания ядро свинца э к ­
вивалентно черному диску радиусом Р, кото­
рый освещается п адаю щ им пучком с длиной
волны А,=Н/Р, где Р — импульс протона.
Какими бы ни были частицы, фотонами или
протонами, решение волнового уравнения
будет в точности таким же, как и в кл асси ­
ческой зад ач е о дифракции световой волны
на черном диске. Это означает, что ф орм у­
ла (15.8) д олж н а быть справедлива и для
протонов с высокой энергией. Необходимо
лишь заменить А на Н/Р, что дает
0,01
0,00 7
Расстояние от центра
6
51П 01(
0,61
(15.9)
РР
Вопрос 5. К ак ов б уд ет центральны й
ди ф ракц ионны й м аксим ум от п ротон­
ной сердцевины — у ж е или ш ире пи­
ка от п ол упрозрач ного ди ск а?
482
Д и ф р а к ц и я протонов н аб лю д ал а сь при из­
мерении зависимости от угла 0 числа упруго
рассеянных протонов. Н а фиг. 315 и зо б р а­
жены результаты исследования рассеяния
протонов с энергией 19 Гэв на свинце. Точ­
к и — это результаты измерений, выполнен­
ных при 30 различных углах в интервале от
Фиг. 315. Р е зу л ь т а т ы
р а ссеян и я
протонов
19 Г э в на свинце.
иссл едования
с
энергией
Н а гр а ф и к е и з о б р а ж е н а зави си м о сть ч и с ­
ла рассея н н ы х протонов (в относительны х
еди н и ц ах ) от у гл а р а с с е я н и я 0.
С п л о ш н ая л и н и я — к л а сс и ч е ск ая кар ти н а
при д и ф р а к ц и и све та с той ж е длиной
волны на д и ск е р а д и у с о м 7,5 • 10” 13 см.
0,11 до 1,03°. С плош ная линия и зо­
б р а ж а е т обычное распределение
интенсивности при диф ракции све­
та с той ж е длиной волны, что и
у протонов, на черном диске. Р а с ­
хождение меж ду
точками
и
сплошной линией не связано
с
каким-либо нарушением волновой
природы вещества. Оно об услов­
лено тем, что ядро свинца
не
вполне похоже на черный диск с
резким краем. Р асч ет для черного
циска с частично прозрачным к р а ­
ем д ал бы плавную кривую, кото­
рая хорошо с о в п ад ал а бы с э к с­
периментальными точками.
Формулу (15.9) мож но исполь-.
зовать д ля определения разм еров
ядер, а именно
Я = 0,61 р . \
■
Р51П 9МИН
коо
*
о
О твет 5. С огласно (15.9), при ум ен ь­
ш ении
величина 0 МИн в о зр астает,
след о в ател ьн о , пик б у д ет шире.
16*
(15.10)
Н а фиг. 315 0 Мин соответствует
углу 0,24°, который при п одста­
новке в (15.10) д ает для свинца
/? = 7,5 -10-13 см. Д и ф ракц и он н ая
картина н аблю дается д а ж е при
рассеянии протонов протонами.
О днако в этом случае она еще
больше непохожа на картину от
черного диска с резким краем, по­
скольку протон по мере удаления
от его центра к краю становится
все более прозрачным. В д и ф р а к ­
ционной картине протон-протонного рассеяния не появляется вто­
рой максимум. О днако эф ф екти в­
ный радиус протона можно получить из измерения ширины цент­
рального пика. В результате оп­
тический радиус протона равен 1,1 • 10-13 см.
А что известно относительно возможного
«устройства» протона? Нет ли у него т в ер­
дой, «непрозрачной» сердцевины, как у ато­
ма? Н а ло ж ен и е маленького черного диска
(сердцевины) на большой полупрозрачный
диск д ает сложную дифракционную карти483
ну: центральный максимум п ревращ ается в
наложение двух центральны х максимумов
соответственно различной ширины. Д о сих
пор этот эф ф ект не у д ав ал о сь ясно р а з л и ­
чить. Верхнюю границу разм еров возможной
сердцевины можно получить из формулы
(15.10), вводя в нее м акси м ал ьн ое значение
Р з т 0 , наблю давш ееся до сих пор. Опыты по
рассеянию протонов на протонах при высо­
кой энергии были проведены на Брукхэйвенском ускорителе. С о д е р ж а щ а я водород ми­
шень бом б ард иро вал ась пучком протонов с
энергией 32 Гэв. Р ассеянны й протон и про­
тон отдачи вылетали под углом 15° к н а ­
правлению пучка, унося при этом по полови­
не энергии. Тогда
/ ЭС 5 1 П 0 = 4
Г э в , или
.Рзш 0 = 2,13* 10~ 13 г-см /сек. Если ввести это
значение в (15.10), то получим 0 ,1 9 -10-13 см.
Сердцевина д а ж е вдвое меньшего р азм ера
д о л ж н а была бы дать заметный цен тр ал ь­
ный пик. С ледовательно, протон не имеет
сердцевины размером более 0,1 • 10- '3 см.
Мы видим, что ускорители на большие
энергии вполне засл уж ил и н азван ия супер­
микроскопов, позволяющих измерять р ас­
стояния до долей ферма (ф ерм ы —.единица
длины, 1 ф е р м и = 10~ 13 см). Это в м иллиард
раз превыш ает разреш аю щ ую силу лучших
оптических микроскопов. Чтобы зам етить
наличие внутренней структуры протона с
разрешением, превыш ающим 0,1 10-13 см,
надо построить ускорители на еще более вы ­
сокие энергии.
§ 6. Силы, действующие между
двумя нуклонами
ЭЛЕМ ЕН ТА РН О Е В ЗА И М О ДЕЙ СТВИ Е В ЯДЕРН О М
«АТОМЕ».
Основной целью физики является о б ъ яс­
нение всех физических явлений на основе
небольшого числа простейших основных з а ­
конов. Т а к как материальны е тела построе­
ны из электронов и ядер, то до сих пор мы
шли по пути изучения основных типов взаи-
„
Фиг. 316. Г раф и к потенциальной энергии В слу ч ае сил, действую щ их м еж д у д в ум я нуклонам и.
и, Мэе
20 " Отталкивание
10
е
г
модействия электронов, ядер и фотонов. Мы
видели, что такой подход позволяет достиг­
нуть значительных успехов. Он д ал полное
(хотя и слож ное в описании) объяснение
строения вещества и соответствующих в з а и ­
модействий. Н а самом деле, современная
квантовая электродинам ика настолько со­
вершенна, что в приложении к атомной ф и ­
зике предсказы ваем ы е ею результаты о к а ­
зы ваю тся значительно точнее эксперимен­
тальных данных. Д о последнего времени не
удавал ось установить расхождение теории с
опытом, несмотря на то что точность неко­
торых экспериментальных результатов п ре­
в ы ш ал а одну десятимиллионную (Ю-7).
С другой стороны, квантовой электроди­
намике не удается объяснить строение ато м ­
ного ядра, которое, как известно, состоит
из протонов и нейтронов. Чтобы объяснить,
что так прочно связы вает протоны внутри
ядра, необходимо ввести силы нового типа.
Д л я преодоления электростатического о т т а л ­
кивания протонов эти силы д олж ны превос­
ходить по своей величине электростатичес­
кие силы. Эти новые силы, н азы ваем ы е ядерными силами (или сильным взаимодействи­
ем), грубо говоря, в сотни раз превыш аю т
электростатические.
Если не учитывать слабое электростатическое отталкивание, то сильное взаимодействие протона с протоном, протона с нейтро­
ном и нейтрона с нейтроном будет одним и
тем ж е во всех трех случаях. Оно носит н а ­
звание нуклон-нуклонных сил. П отенц и аль­
ную энергию взаимодействия двух нуклонов
можно грубо изобразить в виде граф и ка на
фиг. 316, хотя детальный вид этого в заи м о ­
действия пока еще неизвестен. Д л я сра вн е­
ния на фигуре п о казана е2/г— потенциальная
энергия электростатического взаимодействия
двух протонов (пунктирная линия). Специ­
фической особенностью ядерных сил я в л я е т ­
ся то обстоятельство, что они и зображ аю тся
графиком на фиг. 316 только при п а р а л л е л ь ­
ных спинах нуклонов. Если ж е спины антипараллельны , то ядерные силы оказы ваю тся
значительно более слабыми. К ак будет вид­
но из следующего п а р а г р а ф а , глубину по­
тенциала, изображенного на фиг. 316, можно
определить из величины энергии связи дей­
трона. Б олее подробные сведения о форме
этого потенциала даю т опыты по рассеянию
протонов и нейтронов на протонах. Р а с с е я ­
ние протонов на протонах показано на фиг. 31
(стр. 79).
§ 7. Строение ядра
НУКЛО Н НЫ Е О РБИ ТЫ
В атомной физике единственным атомом,
легко поддаю щ имся анализу, является атом
с одним протоном и одним электроном, т. е.
атом водорода. С аналогичной ситуацией мы
сталкиваем ся и при изучении строения ядра:
простейшим является анализ, ядра, содер­
ж ащ его один протон и один нейтрон, т. е.
дейтрон. Протон и нейтрон связаны друг с
другом в дейтроне с энергией 2,22 Мэе.
П р и м е р 1. М ассы дей тр о н а, протона и нейтрона
равн ы соответственно 1875,49, 938,21 и 939,50 Мэе.
К а к о в а эн ерги я связи я д р а дей тери я?
П о л н а я эн ер ги я с вязи р а в н а сум м е м асс о т д ел ь­
ны х нуклонов за вы четом м ассы я д р а . Т аким о б р а ­
зом , эн ерги я с вязи равн а
М р + М п — М в = 2 ,2 2 М эе.
К ак и в случае атома водорода, эту энер­
гию связи можно было бы подсчитать, если
бы были известны силы, действующие между
двумя частицами. Все сводится к н ах о ж д е­
нию волновой функции низшего порядка, со­
ответствующей потенциалу, изображенному
на фиг. 316. В первом приближении потен­
циальную энергию мож но представить в виде
«прямоугольной ямы», имеющей
радиус
го = 2,5-10-13 см. Т а к а я ям а и зображ ен а на
фиг. 317, а. Красной горизонтальной чертой
Фиг. 317. П ри б л и ж ен н о е и з о б р а ж е ­
ние потен циальной ям ы , отвечаю щ ей
взаи м одей стви ю нейтрона
с п рото­
ном ( а ), н и зш ая в о л н о в а я ф ункция,
эн ергия, о твеч аю щ ая этом у с о ст о я ­
нию, Г = — 2,22 Мэе (б), и р а сп р е д е ­
ление ядерн ого в ещ ества в яд ре д е й ­
тери я (в ).
И нтен си вн ость светлого о ттен ка п ропо р ц и ­
о н ал ьн а к в а д р а т у волновой ф ункции н ук­
лонов, сп р о екти р о ван н о м у на плоскость.
Энергия, Мэе
показана энергия 1У7, соответствующая стоя­
чей волне низшего порядка (фиг. 317, б).
Проведем теперь вычисления. Мы можем
в ыбрать д л я расчета положение низшего
энергетического уровня I?7, исходя из глуби­
ны потенциала, или вычислить глубину ямы
по
(энергии связи ). Впервые было в д ей ­
ствительности сделано последнее и мы по­
ступим т а к же. Начнем с того, что нам и з­
вестны энергия связи и радиус действия
ядерных сил г0. Н а м надо получить из этих
данных сведения о глубине потенциальной
ямы, которая характери зу ет величину я д е р ­
ных сил.
Заметим, что размеры дейтрона прим ер­
но в два раза меньше длины волны, отвеча*
ющей низшей стоячей волне, т. е.
у = 2 Го, или Х = 4 г0
Импульс протона или нейтрона р = /гД.
Таким образом,
внутри ямы импульс
р = Н/4г0, а кинетическая энергия
Е
КИН
-
р2 -2М
к*
32Мгд
’
П о л н ая кинетическая энергия
больше
в два
р аза
2
(^ к и н )п о л н
== ,
..
2 '
16 МГд
Подставив г0= 2,3-10~13 см, получим
(^кин)полн =
3 , 0 0 - 10 ~ 5
эрг =
1 8 ,7
Мэе.
Если /70 — глубина ямы, то, ка к видно
фиг. 317, а,
из
Ц, = ( ^ к„„)полн + Е СВЯЗИ = 1 8 ,7 + 2 ,2 = 20,9 Мэе.
Д л я нахож дения сил, действующих между
нуклонами (см. фиг. 316), в действительно*
сти использовались результаты многочис­
ленных экспериментов, таких, ка к рассеяние
нейтронов протонами и энергия связи дей т­
рона. Отметим, что волновая функция дей т­
рона простирается за пределы г = 5 ■10-13 см.
Таким образом, дейтрон оказы вается рых­
лее более тяж ел ы х ядер.
487
Тяжелые ядра
Большую плотность нуклонов в тяж ел ы х
яд р ах мож но объяснить следующим о б р а ­
зом. Пусть сн ачала имеется множество сво­
бодных нуклонов и расстояние между сосед­
ними частицами равно 5. Будем теперь посте­
пенно сб л и ж ать частицы (уменьшать 5). К ак
только 5 станет меньше 2,5-10-13 см, нукло­
ны внезапно почувствуют сильное п р и тя ж е­
ние со стороны своих соседей, и их энергия
связи соответственно возрастет. Однако мы
видели в гл. 14, что, когда свободные элект­
роны сб лиж аю тся друг с другом, их средняя
кинетическая энергия д о л ж н а увеличиваться
согласно принципу П аули [см. (14.1)]. Т ак
как протоны и нейтроны являю тся ч асти ц а­
ми со спином У2, они тож е подчиняются
принципу Паули. Таким образом, вследствие
действия принципа П аули с уменьшением 5
происходит уменьшение
энергии
связи.
К счастью, силы притяжения между нукло­
нами оказы ваю тся ка к раз настолько силь­
ными, насколько это необходимо, чтобы обес­
печить «золотую середину», отвечающую
максимуму энергии связи. Если бы силы,
действующие между нуклонами, оказали сь
на 30% слабее, то п рео б ладал о бы влияние
принципа П аули и ядер вообще не сущ ест­
вовало бы. Величина 5, соответствующая
максимуму энергии связи, определяет р а з ­
мер ядра.
Из опыта получается 5 = 1 ,9 - 1 0 -13 см, в
согласии с (15.2).
Д а в а й т е рассмотрим отдельный нейтрон,
находящийся внутри тяж елого ядра. Н ей т­
рон испытывает усредненное притяжение со
стороны всех остальных нуклонов ядра.
В гл. 14 аналогичное положение имело место
с потенциалом, в котором находится свобод­
ный электрон внутри металла. Н а фиг. 318
изображ ен усредненный потенциал, в кото­
ром находится рассматриваемы й нами нейт­
рон. Его глубина достигает около 42 М эе
для всех ядер среднего веса и тяж ел ы х ядер.
Д обавлен и е нуклонов не увеличит результи­
рующую силу, которая действует на данный
Фиг. 318. У средненны й ядерны й по­
тенц иал д л я н ейтрона в я д р е р а д и ­
усом
С плош ны е
красны е линии соответствую т
за н ят ы м состоян иям , а пункти рны е — н е з а ­
няты м , или во зб у ж д ен н ы м , состоян иям
Энергия, Мэе
нуклон, поскольку он притягивается, как отмечалось раньше, лишь ближ айш им и сосе­
дями. В действительности в этот потенциал
«набито» Л /2 нейтронов. По принципу П аули
они зан и м аю т различные состояния, или
энергетические уровни, вплоть до уровня
Ферми.
П р и м е р 2. К а к о в а величина ур о в н я Ф ерми д л я
сл у ч ая нейтронов в потенциале, и зо браж ен н ом на
фиг. 318?
С огласно ф орм уле (14.1), м ак с и м а л ьн а я кинети­
ческая эн ерги я нейтрона р авн а
й2
(^ к и н )о =
8 Д4
-н
где АР— число нейтронов в 1 см3, равн ое примерно
половине зн ач ени я, полученного по ф орм ул е (15.2).
Т аким об р азо м ,
(^ к и „ )о
=
/I2 / 3
Ш
"5Т Г I —
■0 ,6 9 .
(6 ,6 2 • 1 0 - 2 7 ) 2
• 1,67 • 10 ~ 3 4
8
(Як
у/э
1038 ]
„
(6 6
'
!/» — 5 4 . 1 0 — 6 э р г ,
3 3 ,7 М эе.
Из этого примера следует, что наивы с­
ший заняты й нейтронами энергетический
уровень располагается примерно на 34 М эе
выше дна потенциальной ямы, или около
8 М эе ниже нулевой энергии. Таким о б р а ­
зом, требуется по меньшей мере 8 Мэе, что­
бы удалить отдельный нейтрон из типичного
ядра. Это согласуется с данными, приведен­
ными на фиг. 309. Мы рассматривали только
нейтроны; протоны находятся почти в таком
ж е потенциале и имеют почти те ж е энерге­
тические уровни.
Используя упрощенную модель «прямо­
угольной ямы», можно п редсказать ряд х а ­
рактеристик, таких, ка к энергии в озбуж ден ­
ных состояний
(пунктирные линии
на
фиг. 318). При этом для я д р а типа фосфора
(Л = 31) мы получили бы среднее расстояние
между низшими возбуж денными уровнями
равным примерно 1 Мэе. Это совпадает с
экспериментальными данными (см. фиг. 310).
С увеличением д иам етра я д р а или потенци­
альной ямы в ней смогут разм ещ аться стоя489
Число
нуклонов
в оболочке
N
4
5
3/2
6
5
7/2
2
4
8
5/2
6
. 7
6
11/2
9/2
12
10
1/2
5/2
6
7/2
2
14
4
8
9/2
10
1/2
11/2
12
3/2
4
5/2
6
7/2
8
9/2
1/2
10
3/2
5/2
4
1/2
13/2
3/2
2
чие волны с той ж е длиной волны (или
^кин), но более высоких порядков; это о зн а ­
чает, что у более тяж ел ы х ядер имеется
больше возможны х энергетических уровней.
А поскольку глубина ямы остается постоян­
ной, среднее расстояние м еж д у уровнями
уменьш ается с увеличением разм еров ядра.
Д л я ядер типа свинца п редсказы ваем ое р ас­
стояние м еж д у уровнями значительно мень­
ше 1 Мэе. Это тоже согласуется с экспери­
ментом. У тяж ел ы х ядер имеется большое
число тесно расположенных уровней, тогда
как у легких ядер число уровней невелико,
а расстояния между ними значительны.
Можно получить грубые предсказания не
только относительно значений энергий в о з­
бужденных уровней, но и моментов количе­
ства движения. Эти вопросы рассмотрены в
следующем разделе на основе важ ного уточ­
нения нашей модели потенциальной ямы.
Модель оболочек
5
3
3
4
2
6
7/2
7/2
3/2
5/2
2
4
>50
К аж д о м у энергетическому уровню нейт­
ронов на фиг. 318 соответствует определен­
ная волновая функция, или «орбита», с опре­
деленной энергией и моментом количества
движения. Это утверждение имеет смысл как
для зан яты х уровней, т а к и для уровней с
более высокой энергией, т е. возбужденных
состояний. Энергии и моменты количества
движения уровней мож но вычислить теоре­
тически, и результат расчета достаточно хо­
рошо согласуется с данны ми опыта. Н а
фиг. 319 приведены результаты расчетов
7/2
3/2
7/2
Энергетические
уровни
490
Фиг. 319. О тносительное р а сп о л о ж е ­
ние эн ергетических уровней в я д р а х
с учетом спин-орб итальн ого в за и м о ­
действия.
В заим одей ствие о к а зы в а ет с я бол ьш е при
п ар ал л ел ь н о й о ри ен тац и и спи на и о рб и ­
тальн ого мом ента
коли чества
д в и ж ен и я.
К ак и в атом е вод о р о д а, к а ж д ы й эн ергети ­
ческий уровен ь, или обол очк а, со д ер ж и т
подоболочки, отвечаю щ и е различ ны м к в а н ­
товы м чи сл ам т . С п рава у к а за н о полное
число нуклонов, требуем ое д л я зап о лн ен и я
этих п одоболочек.
указанны х характеристик каж дого из состоя­
ний. Энергетические уровни соответствуют
потенциальной
яме,
изображенной
на
фиг. 318 и видоизмененной с учетом того, что
действующие на нуклон силы оказы ваю тся
более сильными, если его спин и о р б итал ь­
ный момент количества движ ения н ап р ав л е­
ны в одну сторону. Сумма спина и о рб и ­
тального момента количества движения есть
не что иное, ка к полный момент количества
движения /. Мы видим, что ядро с зап олн ен ­
ной оболочкой Л/= 5, / = 4, / = 9/2 содерж ит
50 нейтронов (или 50 протонов). И з фиг. 319
видно такж е, что между этой оболочкой и
следующей в порядке возрастани я энергией
имеется большой энергетический интервал.
Поэтому следует ожидать, что яд ра с 50 ней­
тронами ( А —2 = 50) или 50 протонами
(2==50) будут сильно связаны и особенно
устойчивы. Опыт подтверж дает этот вывод.
Например, у олова (2 = 50) имеется 10 с т а ­
бильных изотопов (больше, чем у какоголибо другого из элементов). Кроме того,
яд р а с 50 нейтронами или протонами значи*
тельно шире распространены в природе,
нежели яд р а с 51 протоном или нейтроном.
По этой причине число 50 н аряду с чис­
лами 2, 8, 20, 82 и 126 н азы ваю т м агическими. В своем современном виде модель обо­
лочек не дает объяснения всем известным
свойствам ядер. Однако эта модель о к а з а ­
лась довольно удачной в предсказании среди
прочих свойств значений моментов количе­
ства движения большинства ядер и мно­
гообещающей при своем дальнейшем р а з ­
витии.
§ 8. Деление ядер
«П о существу, д ел ен и е н е имеет иного значе ни я ,
к ром е с о ц и а льн о го
Д. У и л к и н с о н
Вопрос в. Е сли в т я ж е л о м ядре р а с ­
стояни е м еж д у н ук лонам и 5 уменьш ится вдвое, как изм ени тся при этом
м ак с и м а л ь н а я эн ерги я нуклонов?
В этой цитате утверж дается, что исследование деления не может принести принципиально новых данных. Мы видели в § 1,
491
О твет 6 . Е сли « ум ен ьш ится вдвое, то
плотность части ц ^ в о з р а с т е т в 8 раз,
а уровень Ф ерм и — в 8 I я = 4 р а за.
492
что увеличение роли кулоновского о т т а л ­
кивания в очень тяж елы х я д р ах д ел ает эти
яд ра более слабо связанными, нежели яд ра
среднего веса. Таким образом, если бы у д а ­
лось разделить массивное ядро ур ан а на две
части, то получившиеся в результате этого
две группы нуклонов перестроились бы в
яд ра с более сильной связью, причем про­
цесс перестройки сопровож дался бы вы д ел е­
нием энергии. Таким образом, закон с о х р а­
нения энергии допускает самопроизвольное
(спонтанное) деление. Однако у ядер, встре­
чающихся в природе, потенциальный барьер
(см. § 8 гл. 14) настолько высок, что вер о ят­
ность самопроизвольного деления о к а зы в а е т ­
ся меньше д а ж е вероятности а-р асп ад а.
К примеру, период п олурасп ада и 238, обус­
ловленный только самопроизвольным д е л е ­
нием, равен 8 * 1015 лет. Это более чем в м и л­
лион раз превыш ает возраст Земли. С д р у ­
гой стороны, если такое ядро испытает
соударение с нейтроном, то оно может воз­
будиться и перейти на более высокий энер­
гетический уровень, расположенный ближ е
к вершине электростатического потенциаль­
ного барьера. При этом увеличится и веро­
ятность деления.
Кроме того, ядро в возбужденном состоя­
нии мож ет приобрести большой момент ко­
личества движения и овальную форму. У д а­
ленные участки могут легче проникнуть через
барьер, поскольку они частично у ж е нахо­
дятся за барьером; следовательно, если ядро
принимает овальную форму, барьер умень­
шается еще больше. В результате зах в ата
ядром II238 нейтрона образуется 1_1239 в воз­
бужденных состояниях и периоды п олурас­
пада некоторых из этих состояний относи­
тельно спонтанного деления составляю т д о ­
ли секунды.
При зах в ате медленного нейтрона в 1_1235
и Р и 239 образую тся состояния, имеющие
крайне малые времена жизни относительно
деления Р азн ость масс яд ра уран а и типич­
ных продуктов деления такова, что при д ел е­
нии урана в среднем высвобож дается энер­
гия, равн ая 200 Мэе.
П ри м е р . С кол ько энергии (в эрг) в ы д ел яется
при делен ии 1 г ур ан о в о го горю чего? М асса покоя я д ­
ра у р а н а р а в н а 2,2 • Ю5 Мэе.
Д о л я м ассы , п р ев р ащ аю щ ей ся в энергию , р а в н а
в этом с л у ч ае отнош ению 200 М э е к 2 ,2 -1 0 5 М эе , т. е.
9 - 10~4. Т аки м об р азо м , в полезную энергию п р е в р а ­
щ ае тс я около 0,1% м ассы у р а н а. П о ск о л ьк у 1 г л ю ­
бого вещ ества экв и в ал ен тен М с 2= 9 • 10 2 0 эрг, то д е л е ­
ние 1 г у р а н а соответствует.
Г = 9 • 10~ 4 • 9 • 102 0 эрг = 8 ,1 • 10 1 7 э р г .
(1 5 .1 1 )
С рав н и в ая полученный выш е результат
с 2,9- 10й эрг, которые выделяю тся при сго­
рании 1 г угля, мы видим, что урановое го­
рючее оказы вается почти в 3 млн. раз более
«эффективным». С другой стороны, 1 г у р а ­
на значительно д орож е 1 г угля. О днако
стоимость 1 эрг, полученного с помощью
угля, оказы вается в 400 раз большей, чем от
уранового горючего. Этим объясняется б ы ­
стрый рост применения ядерны х реакторов
для производства энергии.
Б л а г о д а р я цепной реакции процесс д е ­
ления ядер мож ет быть сделан самоподдерживаю щ имся. При к аж д о м делении ос­
в обож дается 2 или 3 нейтрона. Если одному
из этих нейтронов удастся вы звать деление
другого я д р а урана, то процесс будет самоподдерж иваю щ им ся. С борка делящ егося в е­
щества, уд овлетворяю щ ая этому тр еб о в а­
нию, н азы вается критической. П е р ва я т а к а я
сборка, н азв ан н а я ядерным котлом, была по­
строена Энрико Ферми на корте для игры в
сквош Ч Чикагского университета. Б р о н зо ­
в ая доска, укрепленная снару ж и корта, г л а ­
сит: «Здесь 2 д ек а б р я 1942 года человек
впервые осуществил самоподдерж иваю щ ую ся цепную реакцию и этим полож ил начало
овладению освобожденной ядерной энер ­
гией».
М ассу Е1235 или Р и 239 мож но т а к ж е сде­
л ать надкритической. При этом нейтроны,
образую щ иеся при делении, будут вызывать
несколько вторичных делений. Поскольку
Ч С к в о ш •— п о п у л яр н ая в С Ш А игра в м яч с р а ­
кеткой (сх о д н а я с тенн исом ). К о р т д л я игры п р е д ­
с т а в л я е т собой бетон ную к оробку, лиш енную потолка
и одной из стен.— П рим . ред.
493
нейтроны д ви ж утся со скоростями свыше
108 см/сек, н адкритическая сборка может
полностью и зрасходоваться (или р азл ететь­
ся) менее чем за тысячную долю секунды.
Такое устройство н азы вается атомной бо м ­
бой. Обычный метод превращ ения плуто­
ниевой сферы в надкритическую систему ос­
нован на использовании взрыва. Подкритическая сф ера из плутония
окруж ается
химической взрывчаткой. При ее взрыве
происходит мгновенное сж ати е сферы. П о ­
скольку плотность сферы при этом сущ ест­
венно увеличивается, скорость поглощения
нейтронов оказы вается больше скорости по­
тери нейтронов при их вылете наружу. Это
и есть условие надкритичности. Взрыв ато м ­
ной бомбы, по-видимому, может быть сделан
достаточно эффективным (больш ая часть
плутония израсходуется до того, как бомба
разлетится). Энергии химических п р ев ращ е­
ний таковы, что из 1 т тротила (тринитрото­
луола)
высвобож дается
109 к а л , или
4 - 1016 эрг. Из фиг. 318 видно, что в атомной
бомбе, в которой расходуется 1 кг Р и и л и
1Я 35, высвобож дается 8 -1020 эрг, и л и в
20 000 раз больше энергии. Т ак ая атомная
бомба назы вается 20-килотонной бомбой.
Таким образом, современные мегатонные
бомбы, грубо говоря, в миллион раз мощнее
обычных тротиловых. Скверно не только в
миллион раз более мощное выделение энер­
гии, но и то, что каж ды й грамм израсходо­
ванного плутония или П 235 п ревращ ается в
грамм продуктов деления, первоначально
радиоактивных. А это исключительно бо ль­
шое количество радиоактивности.
§ 9. Синтез ядер
2 + 2 = 3 ,9 7 5
Вопрос 7. К ак ое количество плутония
р а сх о д у е тся в ядерном взры ве мощ ностью 1 Мт?
494
По шкале, где масса дейтерия равна 2,
измеренное значение массы гелия равно
3,975. Таким образом, при соединении двух
дейтронов в гелий 0,6 % их первоначальной
массы превращ ается в энергию. Если бы
удалось использовать этот процесс синтеза
для производства энергии, то он ока зал ся
бы в 6 раз эффективнее деления урана.
Более того, в воде озер и океанов имеются
неограниченные запасы дешевого дейтерия,
чего нельзя ск азать о других видах топлива.
Мировые зап асы природного г а за и нефти
будут исчерпаны в несколько десятилетий.
Д а ж е запасов угля и урана хватит в лучшем
случае на несколько веков. Серьезным к а м ­
нем преткновения на пути к получению
энергии в неограниченных м а сш та б а х из
морской воды является закон Кулона. Д ел о
в том, что электростатическое отталкивание
двух дейтронов, находящ ихся при ком нат­
ной температуре, не позволяет им сб л и ж а т ь ­
ся друг с другом на расстояния, на которых
сказы ваю тся
короткодействующие
силы
ядерного притяжения.
П р и м е р 1. П редп ол ож и м , что д л я того, чтобы
ядерн ы е силы преодолели эл ек тростати ческ ое о т т а л ­
кивание, д в а
дей трон а
долж ны
сбл и зи ться до
10_ 12 см. К а к о в а при этом вы сота (в М э е ) эл е к тр о ­
стати ческого потен циального б а р ье р а?
о2
( 4 ,8 • 10- ! » ) 2
Тй~Т2—
=
2 - 3
‘ 1 0 " 7 эрг = 0 ,1 4 М э е .
П р и м е р 2. Д о как ой тем п ературы до л ж ен бы ть
нагрет дейтери й, чтобы ср ед н яя ки н ети ческая эн ер ­
гия, п р и х о д ящ а яс я на дейтрон, со ст ав и л а 0,14 М эе?
Е к т — ~2 к Т = ~2
' ' - 3 8 ' Ю_1в Г = 2 ,3 • 10^ эрг,
Т = 1 , Ы 0 9 оС.
Ответ 7. Э то количество в 50 р а з
больш е, чем во в зр ы в е мощ ностью
2 0
кт, а именно 50 кг.
Из этого примера видно, что если бы д ей ­
терий удалось нагреть до температуры в м и л­
ли а р д градусов, то произошел бы синтез
ядер. Б л а г о д а р я возможности проникнове­
ния через барьер нет необходимости в столь
высокой температуре. Ядерные реакции, тре­
бующие для своего осуществления тем пера­
туры порядка миллионов градусов, н а з ы в а ­
ются термоядерными реакциями. Т ем п ера­
туры, возникаю щ ие мгновенно при взрыве
атомной бомбы, оказы ваю тся достаточно вы ­
сокими, чтобы поджечь смесь дейтерия,
трития и Ы 6. Если терм оядерн ая реакция
началась, то в ы своб о ж д аю щ аяся при этом
495
энергия мож ет п оддерж ивать высокую тем ­
пературу, пока не «выгорит» больш ая часть
вещества. Это то, что мы назы ваем водород­
ной бомбой. Термоядерное горючее для во­
дородной бомбы крайне дешево, а его коли­
чество, которое можно использовать в одной
бомбе, неограниченно. Водородная бомба
мощностью примерно 20 мегатонн (экв и ва­
лентная взрыву 2- 107 т троти ла) обходится
около 1 млн. долларов.
Управляемый синтез
Чтобы извлечь из процесса синтеза по­
лезную энергию, необходимо осуществить
контроль над термоядерными реакциями.
Необходимо найти способы создания и под­
держ ани я температур во много миллионов
градусов. Одна из технических зад ач за к л ю ­
чается в том, чтобы у д е р ж а ть нагретый до
высокой температуры газ или п лазм у и при
этом не дать расплавиться стенкам сосуда.
Н а решение этой проблемы были затрачены
большие усилия, но пока с незначительным
успехом. Ионы плазмы пытаются уд ерж а ть
от попадания на стенки с помощью сильных
магнитных полей. Н а современной стадии
развития трудно предсказать, о каж ется ли
это направление в будущем удовлетвори­
тельным с экономической точки зрения.
По мнению экспертов в этой области, пробле­
ма будет решена к концу нашего столетия.
Возможен и иной подход к проблеме по­
лучения термоядерной энергии; он з а к л ю ­
чается в поисках практических путей о б у з­
дания энергии, вы деляю щ ейся в водород­
ной бомбе.
Энергия звезд
Вопрос 8 . М огут л и дейтроны в г а зо ­
образн ом дейтерии, нагретом до тем ­
п ературы 1 , 1 - 1 0 я град, иметь кинети­
ческую
энергию ,
превы ш аю щ ую
0,14 Мэе?
496
Н аш е Солнце по своим р азм ерам не пре­
восходит разм ер а средней звезды. Оно не­
прерывно излучает энергию в 4 -10 23 кет в
окр уж аю щ ее пространство у ж е на п р о тяж е­
нии миллиардов лет. Столь огромное коли­
чество энергии мож ет возникать только при
превращении массы в энергию, подобном
процессу синтеза. Считается, что основным
источником энергии Солнца служ и т п р ев р а­
щение водорода в гелий в следующей после­
довательности процессов синтеза:
Н 1+ Н1
Н 2 + е+ + ч.
Символ Н 1 обозначает водород, а V — нейт­
рино, нейтральную частицу с массой покоя,
равной нулю. Н апи санн ая выше реакция с
участием нейтрино относится к классу с л а ­
бых взаимодействий, которые обсуж даю тся
в следующей главе. З а этой реакцией сл е­
дуют
Н2 + Н 1
Н е 3 + 7,
Н е 3 + Н е 3 -> Н е 4 + Н 1 + Н 1.
В этих реакциях три атома водорода пре­
вращ аю тся в Н е3. З а тем два атом а Н е3 в кон­
це концов образую т Н е4 и д в а атома водо­
рода. В итоге четыре атома водорода пре­
вращ аю тся в один атом Н е 4 с общим
выделением энергии 28,5 Мэв.
§ 10. Космические лучи
М А Л О М О Щ Н Ы Й У С К О Р И Т Е Л Ь НА В Ы С О К И Е
Э Н ЕРГИ И
О твет 8. М огут. Э нергетическое р а с ­
пределение опи сы вается экспоненц и­
альной функцией с
=-0,014 М эв.
Н ебол ьш ая доля частиц м ож ет о б л а ­
д а т ь в 1 0 раз больш ей энергией (п о ­
доб но том у как ядро м ож ет в ы ж и ть
на протяж ени и 1 0 времен ж и зн и ).
Н а земную поверхность п ад ает свет от
звезд, приносящий с собой ежесекундно
энергию около 30 эрг/м 2. К роме того, из
космического пространства ежесекундно по­
ступают еще 40 эрг/м 2, несомые невидимым
излучением. Этот поток энергии, несколько
превосходящий видимый свет, представляет
собой частицы высокой энергии, в основном
протоны и а-частицы. Упомянутые первич­
ные частицы и образованны е ими в земной
атмосфере вторичные продукты н азы ваю т
космическими лучам и. Число первичных ч ас­
тиц в верхних слоях атмосферы с энергией,
превыш аю щей 5 Гэв, падаю щ и х на 1 м 2, сос­
тавл яет примерно 1500 в 1 сек. В действи­
тельности энергия большинства этих первич­
ных частиц оказы вается меньше 10 Гэв,
хотя наб лю д али сь случаи, когда энергия
достигала 109 Гэв. Космические лучи служи497
ли и продолж аю т служ ить средством для
изучения взаимодействий при высоких энер­
гиях. Однако на современных ускорителях
частиц высоких энергий удается проводить
гораздо более гибкие и точные измерения,
нежели в большинстве опытов с мало интен­
сивным и не п оддаю щ им ся управлению кос­
мическим излучением. И тем не менее мно­
гие из недавно открытых элементарны х час­
тиц (см. гл. 16) впервые наблю дались
в космических лучах. В настоящ ее время их
удается получать на ускорителях частиц в ы ­
соких энергий, и они могут быть изучены
значительно более детально.
Имеются две проблемы, которые требуют
объяснения. 1) Откуда приходят к нам
космические лучи? 2) К аки м образом эти
частицы ускоряются до столь высоких энер­
гий?
В 1949 г. Ферми выдвинул гипотезу, кото­
рую считают основным механизмом ускоре­
ния космических частиц. Н аблю дения гово­
рят о том, что существуют движ ущ иеся о б л а ­
ка меж звездного газа и связанны е с ними
магнитные поля (которые создаю тся д ви ­
жущ имися з а р я д а м и ). Ферми предположил,
что «столкновения» быстро движущ ихся
космических частиц с этими областями м а г ­
нитного поля в среднем будут приводить к
ускорению космических частиц. Д в и ж у щ и е ­
ся хаотически зар я ж ен н ы е частицы н а т а л к и ­
ваются на магнитные поля, создаваемы е
б луж даю щ им и газовыми облакам и, и «отра­
ж аю тся» ими с возросшей энергией, если
первоначально облако двигалось навстречу
частице, и с меньшей энергией, если
облако двигалось в направлении от ч ас­
тицы.
Т ак ка к число соударений в единицу вре­
мени с облакам и, движ ущ им ися навстречу
частице, превыш ает число соударений с о б ­
лакам и , дви ж ущ им ися в противоположном
направлении, то в среднем частица долж на
приобретать энергию. Этот механизм т о ж ­
дествен механизму, приводящему к равн о­
мерному распределению энергии и о б су ж ­
давш ем уся на стр. 175.
Фиг. 320. Д в а сним ка К рабовидн ой тум анн ости.
а — сделан н ы й в свете с н епреры вны м спектром , и сп ускае­
мым части ц ам и вы сокой энергии, которы е у скоряю тся в м а г ­
нитных п олях; б — сделан ны й
в свете,
соответствую щ ем
спектру и сп ускан и я вод орода; этот сни м ок
х а р ак те р и зу е т
р асп о л о ж ен и е не косм ических частиц , а
га зо в ы х облаков.
Совсем недавно были получены сведения
относительно источников космических ч ас­
тиц, которые, хаотически перем ещ аясь в ми­
ровом пространстве, ускоряю т в соответст­
вии с механизмом Ферми.
С помощью современных радиотелеско­
пов было установлено, что К раб ови д ная ту ­
манность (фиг. 320) характери зуется высо­
кой интенсивностью космических частиц, вы ­
ходящих из этой области в мировое прост­
ранство. Число таких частиц, по оценкам,
настолько велико, что ими можно объяснить
треть интенсивности космического излуче­
ния. В действительности эти частицы все же
не попадаю т к нам. И з-за повторяющихся
столкновений с областям и магнитного поля
в распоряжении этих частиц не оказы вается
достаточно времени, чтобы покрыть расстоя­
ние до Зем ли в 3500 световых лет. Мы знаем,
что больш ая часть из них была испущена
на протяжении нескольких лет, ибо К р а б о ­
видная туманность есть не что иное, ка к ви­
димые остатки гигантской сверхновой, н а ­
блю давш ейся 4 июля 1054 г. К атастроф а
была столь значительной, что впервые была
зам ечена днем. Этот грандиозный ядерный
взрыв подробно описан китайцами и яп он ц а­
ми. Имеются т а к ж е очень примитивные опи­
сания, п р и н ад л еж ащ и е индейцам в Каньоне
Аризона. Ни в одной из европейских хроник
нет никаких упоминаний о нем. Вероятно,
это обусловлено затяж н о й непогодой в Е в ­
ропе в дни максим ум а взрыва.
По мере того как расходуется водород
изменяется плотность звезды, и терм ояд ер­
ный процесс мож ет стать нестационарным,
подобно процессу в водородной бомбе. Вспы­
ш ка сверхновой представляет собой гигант­
ский неуправляемый термоядерный взрыв
всей звезды, В нашей Г ал ак ти к е сверхновые
вспыхивают к а ж д ы е несколько сотен лет.
Очень мож ет быть, что источником большей
части современного космического излучения
являю тся древние сверхновые звезды. Источ­
никами космических лучей со сверхвысокой
энергией и небольшой интенсивностью могут
быть недавно открытые квазары .
§ 11. Ответственность ученых перед
обществом
МОРАЛЬНЫЙ д о л г
Н рави тся нам это или нет, но результаты
ф ундаментальных физических исследований
существенно изменяют наш е представление
о физическом мире. К примеру, влияние деления и синтеза на нашу культуру о казалось
столь значительным, что, по мнению многих
из нас, само сохранение цивилизации о к а з а ­
лось висящим на волоске.
С момента создания атомной бомбы в
1945 г. небольш ая, но довольно авторитетная
часть мировых ученых почувствовала о т­
ветственность перед обществом по меньшей
мере в отношении информации широких
слоев населения и политических кругов о
том огромном риске, с которым сопряж ена
политика, могущ ая привести к ядерной вой­
не. Это чувство ответственности за свою роль
помогает объяснить необычную политиче­
скую активность ряд а ученых. М ожно было
бы ож идать, что инициаторами кампании за
прекращ ение испытаний ядерного оруж ия
будут скорее социологи или общественные
деятели, нежели сами ученые-атомники.
То, что ученые «суют свой нос» в поли­
тику, в ы зы вает у некоторых людей негодо­
вание. Существует веское возраж ение, что
ученый, пользующийся всеобщим п р и зн а­
нием за свои научные достижения, способен
на опрометчивые необъективные вы с к азы ­
вания по вопросам, в которых он не компе­
тентен, тем самы м путая и вводя в з а б л у ж ­
дение людей. Публично говоря о вопросах,
связанных с политикой, ученый долж ен быть
крайне осторожным, ибо его престиж и репу­
тация зиж дутся на обоснованности его вы ­
сказываний. Подобно научным выводам уче­
ного, его мнение по вопросам политики д о л ­
жно б азироваться на тщ ательном обдум ы ­
вании и изучении соответствующих вопро­
сов. И если это так, то ученый, углубивш ий­
ся в связь м еж д у наукой и политикой, зан ят
важ ны м общественным делом.
Приложение 1
Фиг. 321. П учок нейтронов п а д а ет на
пластинку п л ощ ад ью 0
Определение ядерных размеров с помощью
нейтронных пучков
Д о соударения с атомным ядром нейтро­
ны движ утся по прямой. Затем они испыты­
вают взаимодействие и вы бы ваю т из исход­
ного пучка нейтронов. И зм ер яя количество
выбываю щих нейтронов, т. е. величину
N —ЛГ (фиг. 321), мож но определить э ф ф е к ­
тивную п лощ адь атомных ядер в слое вещ е­
ства типа медной пластинки.
Вероятность до потери нейтрона равна
отношению полной площ ади ядер к площ ади
пластинки
а
’
где N а — полное число атомов в пластинке,
о — эф ф ективная п лощ адь каж дого атом но­
го ядра, $ — площ адь пластинки. Число вы ­
бываю щ их нейтронов равно этой вероятно­
сти, умноженной на число нейтронов, п а д а ­
ющих на пластинку:
Ы— №
N.
а
Р еш а я относительно а, получаем
А/-М ' п
о = ------- (Я — площадь ядра.
ЫХЫа
У
Величины N н N ' мож но измерить сп ец и аль­
ными счетчиками нейтронов, типа счетчиков
Гейгера. Полное число атомов N с, находится
путем взвеш ивания пластинки
N = — N
где М — м асса пластинки, А — атомный но­
мер, а Л^о — число Авогадро. Величину о н а­
зы ваю т поперечным сечением ядра. Д л я ней­
тронов с большой энергией а = я / ? 2, где /? —
радиус ядра.
Приложение 2
Определение ядерных размеров с помощью
быстрых электронов
П роходя на расстоянии Ь от я д р а с з а р я ­
дом 2 е, быстрый электрон отклоняется от
первоначального пути на угол 0. Согласно
502
закону Кулона, чем ближ е к ядру, тем б о л ь ­
ше сила, а стало быть, и отклонение. М ожно
вычислить зависимость 0 от Ь. Однако если
электрон проникает внутрь ядра, то на него
перестает действовать б ольш ая кулоновская
сила (напомним, что электрическое поле
внутри сферической оболочки с равномерно
распределенным зарядом об ращ ается
в
нуль). С ледовательно, отклонение на м а к си ­
мальный угол н аблю дается в том случае,
когда Ь = к , радиусу яд р а Ч Таким образом,
измеряя 6 макс, можно определить радиус
ядра. Н еобходима лишь ф орм ула, с в я зы в а ­
ю щ ая Ь с 0. Н и ж е приводится приб л и ж ен ­
ный вывод такой формулы.
Пусть А р —-изменение импульса электр о­
на, обусловленное кулоновским в заи м одей ­
ствием. Согласно ньютоновскому оп ределе­
нию силы,
А р — РА( =
Фиг. 322. Э лектрон с им пульсом р
р ассеи вается атом ны м я д р о м с з а р я дом 2е.
Ь2
А(.
С делаем допущение, что сила действует в
полной мере, лиш ь пока электрон находится
в пределах расстояния от точки максимального сближ ения, равного Ь, т е
2Ь
д*=— •
Р
-
Тогда
А,-
Ь
2
»
V
К а к видно из фиг. 322, А/? = р !§ 0 . П о д ста в ­
л яя это значение в левую часть написанного
выше вы раж ен и я, получаем
2 2е2
об
’> В дей стви тельн ости д а ж е в нутри я д р а на эл е к т ­
рон д ей ств у ет н е к о то р а я сила, о б у с л о в л е н н ая з а р я ­
дом внутри я д р а . С л ед овател ьн о, эл ектрон о ткл о н яет ­
ся на угол, несколько превы ш аю щ ий 0 макс. Т аким
образом , грани ца
м а к с о к а з ы в а е т с я расплы вчатой .
О д н ак о если изм ерить ф орм у и р а зм ер этой области
разм ы ти я, то с пом ощ ью р асч ета м ож н о установить,
к ак р асп редел ен электри ческий з а р я д внутри я д р а .
Э то и бы ло п род ел ан о в опы тах по рассеян ию эл е к т ­
ронов больш их энергий на протонах, и у протона не
о к а за л о с ь за р я ж е н н о й сердцевины .
503
И Л И
, _
2ег
ри(1§0/2) '
Н а ш е приближение оказал о сь вполне хоро­
шим, ибо точная ф ормула имеет вид
р у !§ (0 /2 )
'
Радиус ядра вы р а ж ае тся через
ющим образом:
Я =
0 Ма к с
следу­
1е'
«7 < б (0 м а к с /2 )
где
Задачи
— энергия электрона.
1 . Ч то больш е — м асса атом н ого я д р а или м асса ч ас­
тиц, в х о д ящ и х в его состав?
2. И м еется р ад и о ак ти в н ы й изотоп с периодом пол у­
р а с п а д а 1 год, и отдел ьн ое яд р о не р а сп а д а е т с я на
п р отяж ен и и первого года. К а к о в а вероятность, что
это яд р о р а с п а д е тс я на п р отяж ен и и второго года?
Е сли это ядро не р а сп ал о сь в течение первы х двух
лет, то с к ак ой вероятн остью оно м ож ет р асп асться
на П ротяж ении третьего года?
3. К а к а я д о л я о б р а зц а р а д и я б у д ет р а с п а д а т ь с я
спустя 3200 л ет, если период п о л у р а сп ад а р а д и я р а ­
вен 1600 лет?
Число отсчетов /с е к
Фиг. 323. К з а д а ч е 4.
4. Ч ем у равен период п о л у р а сп ад а и зотопа, к р и в а я
р а сп а д а которого и зо б р аж е н а на фиг. 323?
5. Ч то п р о д олж и тел ьн ее — три периода
или д в а средн их врем ени ж изни ?
п о л у р а сп ад а
. К а к а я часть (в % ) р а д и о а к ти в н о го о б р а зц а р а с ­
п а д а е т с я на п р отяж ен и и одн ого средн его врем ени
ж изни ? Н а п р отяж ен и и д в у х средн их времен ж изни ?
6
7. В тяж е л о м яд р е а -ч а ст и ц а с о у д ар я е т ся с потен­
ци альн ы м
б ар ье р о м
еж есеку н д н о
1 0 22
раз
и
(фвнеш/'фвнутр) = Ю
а) К а к о в а вер о ятн о сть р а с п а д а этого я д р а на
п ротяж ен и и 1 сек?
б) К а к о в а при бл иж енн о ср ед н яя п р о д о л ж и т ел ь­
ность ж и зн и яд р а этого типа?
504
8. Рассмотрим образец, содержащий 1000 рад и оак ­
тивных ядер с периодом
полураспада Т. Сколько
(приблизительно) ядер останется через промежуток
времени Г/2?
( У к а з а н и е . Н а протяжении первой половины
периода полураспада расп адается та ж е доля, что и
во второй половине периода полураспада.)
Фиг, 324. К за д а ч е 9.
IV, м э в
а
О
-к -
9. Н а фиг. 324
и зображ ен а потенциальная яма, в
которой протон находится в ядре железа ( 2 = 2 6 ) .
В основном
состоянии заполнены
все протонные
уровни до Ц70а) Чем у равна кинетическая энергия у уровня
Ферми?
___ б) Если протону с энергией №0 внутри ядра со*■
общ ается дополнительная энергия ( а + к ) , то
чему будет равна его кинетическая энергия
•И',
вне ядра на больших расстояни ях от него?
в) Выразите величину а через Я и другие вели­
чины, которые будут необходимы.
г) Если взять меньшее ядро, например углерод,
то какой будет величина й, той ж е, большей
или меньшей?
д) Если взять яд ро с удвоенным числом нукло­
нов по сравнению с железом, то как увели­
чится /??
е) Допустим, что у ядра удвоенного разм ера
плотность ядерного вещества осталась п реж ­
ней. Какой будет величина е в этом случае,
такой ж е, большей или меньшей?
10. Диаметр Солнца 1,38 млн. к м , а средняя плот­
ность 1,41. Каким был бы диаметр Солнца, если бы
при той ж е м ассе его плотность равнялась плотности
ядерного вещества?
11. В водородной бомбе 18 к г взрывчатого вещества
могут обеспечить выделение энергии, эквивалентное
взрыву 1 млн. т тринитротолуола. П ри взрыве 1 т
тринитротолуола вы свобождается 109 кал. Сколько
граммов термоядерной взрывчатки превращ ается в
энергию?
12. Я д ро X содержит 204 нуклона и имеет удельную
энергию связи Е связи/ А = 8 М э в . Пусть энергия покоя
свободного протона или свободного нейтрона равна
940 М эв.
а) Найдите энергию (или м ассу) покоя ядра X .
б) Я д ро X испускает а-частицу с энергией связи
Е связиА4 = 7 М э в и превращ ается в ядро У с
Я Св я зи М = 8,1 М эв . К акое количество энергии
(в ф орм е Е кин а-частицы и ядра К) выделяет­
ся в этом процессе?
13. Согласно данным, приведенным на фиг. 319, о с о ­
бенно устойчивым будет ядро с 2 = 50 (ол ово). Най­
дите с помощью этой фигуры другие элементы, к о­
торые должны быть особенно устойчивыми.
505
14. О бразец
радиоактивного
вещества
содержит
1012 радиоактивных атомов. Сколько атомов р асп а­
дается ежесекундно, если период полураспада равен
1 час?( В с п о м н и т е . К аково соотношение между веро­
ятностью расп ад а атома в 1 сек и его средним вре­
менем жизни? К аково соотношение между средним
временем жизни и периодом полураспада?)
15. Один р а д соответствует образован и ю в 1 см 3 воз­
духа положительных и отрицательных ионов с з а ­
рядом 1,2 С О ЗЕ (< 2 ) каждый. Сколько электрон-вольт
расходуется на образован ие одной пары ионов, если
плотность воздуха 1,3-10-3 г]см 3?
16. Рассмотрим следующую фотоядерную реакцию:
у + С и 63_>'(С и 69)*, за которой следует (С и 63) * “>№ 62+ Р .
П ротон в ядре меди движется с максимальной энер­
гией в потенциальной яме, изображенной на фиг. 325,
причем у этого протона
^кин + V = — 8 М э е .
а) Чему равна кинетическая энергия этого п ро­
тона?
б) Если этот протон поглощает гамма-квант с
энергией 16 М э е , то какой будет для него
высота барьера? (К акую энергию ему надо
еще сообщить, чтобы он мог «перейти» через
край барьера?)
в) Чему равна потенциальная энергия протона
внутри ядра?
г) Чему равна энергия связи этого протона?
д) Допустим, что величина г|зВнешЛ|Ьнутр для
этого возбужденного протона равна 10~8 и
протон испытывает ежесекундно 1022 соу д а­
рений с барьером .
Чему равно среднее время жизни относительно
расп ад а (С и бз) * “-№бг+ Р ?
е) Чему равна Ё КИП протона после вылета из
ядра на большом расстоянии от него?
ж ) Допустим, что протон поглотил гамма-квант
с энергией не 15. М э е , а несколько меньше.
Каким будет в этом случае время жизни,
прежним, большим или меньшим?
з) Чему равен порог этой' фотоядерной реакции,
т. е. какой должна быть минимальная энер­
гия гамма-квантов, чтобы протоны еще мог­
ли вылетать из ядра?
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ЧАСТИЦЫ
§ 1. Введение
Ш ЕЛУШ ЕНИЕ ЛУКОВИЦЫ
Основная
зад ач а физики — объяснить
все физические явления на основе не­
большого числа простых, ф ундаментальных
принципов. П оскольку вещество построено
из элементарны х частиц всего нескольких
типов, бесчисленные физические явления и
свойства вещества можно в принципе о б ъ я с­
нить с помощью немногочисленных и прос­
тых свойств небольшого числа элементарных
частиц.
В поисках элементов, из которых построе­
но вещество, человек сн ач ал а обнаружил,
что соединения состоят из «элементарных»
молекул. З а тем оказалось, что молекулы по­
строены из «элементарных» атомов. Много
лет спустя было установлено, что в состав
этих «элементарных» атомов входят «эле­
ментарные» я д р а и орбитальны е электроны,
Эти последовательные попытки узнать, что
ж е в действительности является э лем ен тар­
ным, очень походят на снятие одного за д р у ­
гим слоев луковичной шелухи. Последним
этапом этого «шелушения» обычного вещ е­
ства явилось открытие того, что все я д р а со­
стоят из нейтронов и протонов.
Достигли ли мы наконец сердцевины
луковицы? Н е окаж ется ли, что протоны и
нейтроны построены из еще меньших элемен­
тарны х частиц? Согласно современным представленйям, протон, нейтрон, электрон и
фотон — все считаются элементарны ми ч ас­
тицами. З а кл ю чи тел ь н ая часть книги, повидимому, является наиболее подходящим
местом для того, чтобы разобраться, что ж е
является основным строительным м а тер и а­
лом обычного вещества и ка к объясняю тся
его строение и свойства на основе ф у н д а­
ментальных принципов. Поскольку, однако,
эта книга посвящ ена изложению основ фи­
зики, преж де чем заверш ить ее, следует
зад ать вопрос: не существует ли каких-либо
иных физически реальных элементарных ч ас­
тиц, которые не встречались бы в о к р у ж а ю ­
щем нас веществе? Н а него следует ответить
508
утвердительно! С 1933 г. физики открыли
свыше 190 новых элементарны х частиц. Н а ­
сколько нам известно, ни одну из этих э л е ­
ментарных частиц нельзя р азл ож и ть на
более мелкие составные части *>. Все они счи­
таются элементарными, причем под этим
понимают отсутствие у них структуры. И н ы ­
ми словами, эти частицы нельзя представить
как систему, состоящую из других элемен­
тарных
частиц.
Имеется,
к примеру,
несколько причин, по которым нельзя счи­
тать, что нейтрон построен из связанных
друг с другом электрона и протона. Одна из
них заклю чается в том, что м асса нейтрона
превыш ает сумму масс протона и электрона
примерно на 1,5 электронные массы. П ол н ая
масса системы, состоящей из протона и э л е к ­
трона, связанны х друг с другом, как и в
случае атом а водорода, д о л ж н а быть меньше
суммы обеих масс. Д р у г а я причина с в я з а ­
на с тем, что спины протона, нейтрона и
электрона все равны '/г- В квантовой м е х а­
нике д ля двух частиц со спином 7 г нельзя
получить результирующий момент количест­
ва движения, равный '/2- Ещ е одна причина,
по которой электрон не м ож ет входить в
состав ни одной «элементарной частицы»,
св язан а с принципом неопределенности.
В соответствии с этим принципом импульс
электрона долж ен быть не меньше постоян­
ной П л ан ка , деленной на разм еры «элемен­
тарной» частицы. Поскольку эти разм еры со­
ставляю т около 10“ 13 см, электрон, вхо дя­
щий в состав элементарной частицы, д о л ­
жен иметь импульс
Р = — -— = 6 • 10-14 г - см!сек.
10-»з
Кинетическая энергия электрона с таким
импульсом составила бы около 100 М эе, и
он немедленно покинул бы своего партнера.
Многие из еще не рассмотренных нами
новых элементарны х частиц нестабильны.
Вопрос 1. Каким был бы минималь­
ный импульс нуклона, заключенного
внутри элементарной частицы?
■
> Од нако ряд физиков выдвинули предположение,
что протоны, нейтроны и все прочие сильно взаим о­
действующие частицы построены из еще более ф ун да­
ментальных частиц —; так называемых к варков.
509
Они испытывают распад, т. е. превращ аю тся
в другие элементарны е частицы с меньшей
массой. П р е ж д е чем приступить к рассмот­
рению этих новых частиц, необходимо более
подробно ознакомиться с р-распадом и с так
назы ваемы ми слабыми взаимодействиями.
§ 2. Бета-распад и слабые
взаимодействия
МЕДЛЕННЫ Й РАСПАД
л
Ответ 1. г я* &Р т п/к не зав и си т от
массы частицы . И м п ульс нуклона был
бы таким ж е, к а к и у эл ектрон а, заклю ченного в п ред ел ах / ? = 1 0 “ 1 3 см.
О д н ак о энергия нуклона была^ бы в
1837 р аз меньш е, ибо Е „ „ н= я 2 /2М .
510
Напомним, что, как говорилось в гл. 4,
существует всего четыре типа ф у н д а м ен тал ь ­
ных взаимодействий: сильное, или ядерное,
электромагнитное, гравитационное и слабое.
С сильным взаимодействием мы имели дело
в гл. 15. Гл. 7 и 8 были посвящены электромагнитному, а гл. 4 — гравитационному
взаимодействию. В этом п ар агр а ф е мы, н а ­
конец, займемся слабы м взаимодействием.
Если бы не сущ ествовало закона с о х р а­
нения тяж ел ы х частиц, то менее чем за тысячную долю секунды все вещество Вселен­
ной распалось бы на электроны и нейтрино.
Причиной этому явились бы т а к назы ваемы е
слабы е взаимодействия. С л аб ы е в заи м одей ­
ствия представляю т собой своего рода эпи­
демию, поразивш ую в одинаковой степени
все элементарны е частицы. Эти взаимодейст­
вия стремятся превратить элементарны е ч ас­
тицы в конечном итоге в электроны и ней­
трино. Исторически электроны распада полу­
чили наименование |3-лучей.
Поскольку в (3-распаде всегда участвуют
нейтрино, их описание является весьма в а ж ­
ным. Нейтрино представляет собой эл е­
ментарную частицу, не имеющую ни зар я д а ,
ни массы покоя. Более того, нейтрино н а ­
столько сл аб о взаимодействует со всем
окруж аю щ и м веществом, что о казы вается
^
т^
п04™ ненаблюдаемым. Если вообразить, что
на Зем лю п адает 1012 неитрино,. то все они,
за исключением одного, прошли бы через
земной ш ар без всяких превращений. До
сих ПОр эта частица к а жется плодом вообра-
Фиг. 326. Р. Ф ейн м ан за «работой».
Р. Ф ейнм ан — один из с о зд а т ел е й с о в р е ­
менной кван товой эл ек тр о д и н ам и ки и уни­
в ерсал ьн о го в заи м о д е й ств и я Ф ерми.
жения. О днако нейтрино отнюдь не приду­
м анная теоретиками мистификация. П о л у ­
ченные за последние годы ка к теоретические,
так и экспериментальные д оказател ьств а
оказали сь настолько убедительными, что ни
один из компетентных ученых не сом нева­
ется в существовании нейтрино.
К ак элем ен тарн ая частица нейтрино в
некоторых отношениях сходно с фотоном.
Поскольку м асса покоя фотона равна нулю,
его энергия № = Рс, где Р — импульс фотона.
Согласно теории относительности, такое ж е
соотношение долж но быть справедливо и в
случае нейтрино (см. стр. 378). Более того,
подобно электронам, протонам и нейтронам,
спин нейтрино равен 7 г, т. е. его в р о ж д ен ­
ный момент количества дви ж ени я равен
!/ а ( Л / 2 я ) .
1958 г. ознам еновался значительным про­
грессом наших представлений о слабых в з а и ­
модействиях. Б ы ло сделано предположение
о существовании специфического в заи м о ­
действия, способного п рев ращ ать частицы в
электроны и нейтрино. Оно получило н а з в а ­
ние универсального взаимодействия Ферми.
Н о в ая теория, к примеру, точно п ред сказы ­
вает время жизни мюона (новой частицы,
обсуж даемой в § 4).
Одним из примеров слабого в заи м од ей ­
ствия является |3-распад свободного нейт­
рона:
1V -> Р -4- е~ + V,
происходящий со временем жизни 12 м ин
и сопровож даю щ ийся выделением энергии
1,3 М эв. П оскольку масса покоя электрона
составляет 0,5 М эв, то избыток в 0,8 М эв
превращ ается в кинетическую энергию элек­
трона и антинейтрино (символ V использует­
ся для обозначения антинейтрино). Р а з л и ­
чие меж ду нейтрино и антинейтрино мы о б ъ ­
ясним в следующем п ар агр аф е. Отметим,
что кинетическая энергия 0,8 М эв может р ас­
пределяться меж ду электроном и нейтрино
любым способом. Таким образом, при р а с ­
паде большого числа нейтронов можно обна511
Вопрос 2. Допустим, что при бета-рас­
паде нейтрона электрон и протон име­
ют одинаковые импульсы. Чему рав­
но, согласно классической механике,
отношение их энергий?
512
ружить электроны с любыми значениями
кинетической энергии от нуля до 0,8 М эе.
Если бы нейтрон рас п а д а л с я только на
протон и электрон, то последний всегда уно­
сил бы всю кинетическую энергию 0,8 Мэе.
Н а опыте энергию электрона мож но опре­
делить, и зм еряя радиус кривизны его т р а е к ­
тории в магнитном поле (см. фиг. 152). К ак
п оказы вает эксперимент, р-частицы д оволь­
но редко имеют м акси м альн о допустимую
кинетическую энергию. Исторически дело
обстояло так, что именно «исчезновение»
кинетической энергии послужило поводом
для «изобретения» нейтрино.
Чтобы и збеж ать наруш ения зак о н а со­
хранения энергии, В. П а у ли предположил в
1930 г., что недостаю щ ая кинетическая энер­
гия могла бы уноситься нерегистрируемой,
легкой нейтральной частицей. Вскоре после
этого Э. Ферми д ал такой частице наимено­
вание нейтрино (м ал ен ьк ая, нейтральная) и
создал теорию ^-расп ада, сходную с совре­
менной, более общей теорией слабы х в з а и ­
модействий, названной теорией ун иверсаль­
ного взаимодействия Ферми. Д ругим под­
тверждением сущ ествования нейтрино яв и ­
лось бы измерение его импульса. С помощью
камеры Вильсона мож но измерить энергию
электрона в отдельном акте ^-распада. Такое
измерение хар актери зу ет не только энергию
нейтрино, но, в соответствии с соотношением
Р = '№ /с, и его импульс. И мпульс нейтрино
можно, кроме того, определить независимым
образом, измеряя импульсы электрона и
конечного ядра. Подобные данные об энер­
гии и импульсе нейтрино всегда у к л а д ы в а ­
ются в п р едсказы ваем ую теорией формулу
Р = УР/с. Введение нейтрино спасло не только
закон сохранения энергии и импульса, но и
закон сохранения момента количества д в и ­
жения. К ак мы видели в § 1, в квантовой ме­
ханике две частицы со спином '/г (такие, как
Р + е~) не могут иметь такой ж е момент ко­
личества движения, ка к нейтрон, спин которо­
го т а к ж е равен У2. Однако, ск лады в ая спины
трех продуктов распада нейтрона, которые
все имеют спин ‘/г, мож но получить полный
момент
количества
движения,
равный
7а(Л/2я).
Д о к аза тел ь с тв а участия нейтрино в про­
цессах распада были вполне удовлетвори­
тельными. О днако физикам хотелось иметь
дополнительные аргументы, основанные на
наблюдении непосредственного взаим одей­
ствия пучка нейтрино. Теория Ферми п ред­
сказы вает, что если энергия антинейтрино
достаточна для компенсации разности масс,
они долж ны вызы вать следующую реакцию:
V + Р -> N
Фиг. 327. Схематический разрез ней­
тринного детектора в защите ядер­
ного реактора.
Б аки /, I I и I I I с о д е р ж а т по 370 галлонов
ж и д ко го сц и н ти л л ято р а, у к а ж д о го и м е­
ется 110 ф о тоэлектрон н ы х
у м н ож ителей ,
^о зи тр о н ы ,
во зн и каю щ и е
в
реакци и
* + Р -*■ Ы + е + , с о зд а ю т в ж и д ко м с ц и н ти л ­
л я то р е х ар ак тер н ы е световы е вспы ш ки.
е+.
Здесь е+ — позитрон (электрон с полож и­
тельным з а р я д о м ). Однако п р ед сказы ваем ая
вероятность прямого взаимодействия нейт­
рино близка к нулю. Единственная в о зм о ж ­
ность наблю дения этой реакции з ак л ю ч ал ась
в использовании исключительно интенсив­
ного пучка антинейтрино. Современные дос­
тижения в области развития ядерных реакто­
ров д ел а ю т это реальным. З а каж д ы м про­
цессом деления, происходящим в ядерном
реакторе, следует несколько [3-распадов, т. е.
испускается несколько антинейтрино. Д л я
осуществления подобного эксперимента по­
требовался бы мощный реактор
и уникальный детектор огромных
размеров. Этот опыт был проведен
группой физиков в Лос-Аламосе.
Там использовался детектор, изо­
браж енны й на фиг. 327. И в 1956 г.
ученым впервые у д алось поймать
неуловимое нейтрино.
По закону сохранения т я ж е ­
лых частиц протон устойчив по от­
ношению к слабы м взаим одей­
ствиям. Протону не во что р а с п а ­
даться, так ка к в природе нет
тяж ел ы х частиц легче протона.
Б ета-распад
В озникает вопрос: каким образом нейтро­
ну удается оставаться стабильным внутри
ядра, если период полураспада свободного
нейтрона составляет 12 м и н ? Один из спо-
17— 176
513
собов разреш ения этого «парадокса» осно­
ван на том, что энергия связи нейтрона в
ядре настолько ум еньш ает его массу, что
последняя оказы вается меньше массы про­
тона в соответствующей ситуации. Если м а с ­
са атомного ядра б лаго даря его энергии
связи оказы вается меньше массы любой
возможной комбинации продуктов распада,
то такое ядро будет стабильным по закону
сохранения энергии. В этом и кроется при­
чина того, что лиш ь определенные и зо­
топы оказы ваю тся стабильными, а все ос­
тальные радиоактивны. К примеру, водород
и дейтерий стабильны, а тритий (с о д е р ж а ­
щий один протон и д ва нейтрона) нестаби­
лен.
Пример. Массы ядер трития и Не3 равны
М н , = 2805,205 М эв
и
МНе» — 2804,676 М эв.
Масса электрона М е- =0,511 Мэв. Будет ли три­
тий испытывать Р-распад? И если это так, то какова
максимально возможная энергия р-лучей?
Если масса трития окажется больше массы Не3 и
электрона, то в этом случае закон сохранения энер­
гии не будет запрещать реакцию
Н3 —►Не3 -)-
-|—V.
Кинетическая энергия, приобретенная е~ и ч, оп­
ределяется разностью масс
м н> — ( м Не> + м е~) = 2805,205 —
— (2804,676 + 0,511) = 0,018 М эв .
Следовательно, электроны, образующиеся при рас­
паде трития, будут иметь любые энергии от нуля до
0,018 Мэв.
Ответ 2.
Мр
= ~Щ
514
гии) е
(^кин)р
_ 1837
Р2
е
2М е
. Рр _
' 2М р ~
Тритий мож но получить, бомбардируя
нейтронами тяж елую воду. К ак показали
измерения, электроны распада, или р-лучи
трития, испускаются с кинетическими энер­
гиями вплоть до 0,018 М эв, а период полураспада равен 12 лет.
Б ета -р ас п а д можно проиллюстрировать
так ж е на примере изотопа С 14, который
встречается в природе в небольших количе-
ствах. Он образуется б лаго даря поглощ е­
нию в атмосфере нейтронов космического из­
лучения, а т а к ж е нейтронов, возникающих
при взры вах водородных бомб. М асса яд р а
С 14 несколько превыш ает массу яд ра Ы14 и
электрона. Поэтому б ла го д а р я слабым в з а и ­
модействиям долж ен происходить следую ­
щий распад:
С 14 -> Ы14 + е- + >“;
В данном случае период п олураспада
Г = 5000 лет. С другой стороны, масса с т а ­
бильного изотопа С 12 оказы вается меньше
массы любой возможной комбинации про­
дуктов, содер ж ащ и х 12 нуклонов. Согласно
закону сохранения энергии, ядру С 12 не во
что распадаться, и поэтому оно избавлено
от слабы х взаимодействий. Большинство
искусственно радиоактивны х изотопов пре­
терпевает (3-распад, испуская либо позитрон
и нейтрино, либо электрон и антинейтрино.
§ 3. Антивещество
АНТИМИР
Вопрос 3. Б у д е т ли ядро С и стаби л ьным, если оно т я ж е л е е N 14 на 0,4 М эе?
17*
Из релятивистской квантовой теории час*
тиц со спином х/2 следует не только принцип
запрета, но и существование т а к назы ваемы х
античастиц. Античастица д о л ж й а иметь в
точности ту ж е массу, что и частица, но
противоположный заряд. Кроме того, анти­
частица мож ет аннигилировать с соответст­
вующей ей частицей. При этом происходит
непосредственное превращ ение двух масс по­
коя в энергию в форме других частиц, таких,
как фотоны. Первой
ставш ей известной
человеку античастицей о к а зал ся позитрон,
открытый в 1933 г. в камере Вильсона, о б л у ­
чавшейся космическими лучами. Первый по­
зитрон обнаруж и ли случайно, несмотря на
то что его существование у ж е было п ред­
сказано релятивистской квантовой теорией.
Позитрон, или положительный электрон,
имеет ту ж е массу, что и электрон, но противоположный заряд. Если позитрон останав515
ливается в веществе, то он вскоре аннигили­
рует с электроном, п рев р ащ аясь обычно в
два фотона:
е+ + ег -> 2 ^.
При этом энергия каж дого фотона д олж на
составлять 0,51 М э е, т. е. д о л ж н а быть р а в ­
на массе покоя электрона. Позитрон легко
создать с помощью процесса, носящего н а ­
звание рож дения пар. Этот процесс за к л ю ­
чается в том, что фотон высокой энергии
соударяется с ядром и нацело превращ ается
в пару частиц — электрон и позитрон:
е+ + «“ ■
Это один из многочисленных примеров п р я ­
мого превращ ения энергии в массу покоя.
К ак упоминалось в предыдущем параграфе,
электрон и позитрон могут возникать при
р-распаде. Но при этом н аряд у с позитроном
всегда рож дается и нейтрино.
Античастица протона носит наименование
антипротона, или отрицательного протона Р.
Обычно античастица обозначается тем же
символом, что и частица, но с черточкой н а ­
верху. Так, Я обозначает антипротон, N —
антинейтрон. Антиэлектрон (позитрон) д ол ­
жен был бы обозначаться е~,
однако
обычно его обозначаю т е+. После откры ­
тия позитрона в 1933 г. многие физики стали
считать, что долж ен сущ ествовать и анти­
протон. Теория у казы в ал а, что антипротоны
можно было бы создать, бомбардируя ядра
протонами с кинетической энергией 6 Гэв.
Одна из реакций рождения антипротонов
д олж н а была иметь следующий вид:
Р + Р
О твет 3. Д а , поскольку в этом случае
оно не могло бы испы ты вать бетапревращ ен и я в М 14 + е _ , которы е бы ли
бы т я ж е л ее его на 0,1 М эе.
516
Р + Р + Р + Р.
В данном случае энергия 6 Гэв непосредст­
венно превращ ается в массу покоя и кинети­
ческую энергию пары протон и антипротон.
Возможность открытия антипротона явилась
одним из главных аргументов, заставивших
Комиссию по атомной энергии СШ А соору­
дить в Беркли (штат К алиф орния) гигант­
ский ускоритель протонов — Беватрон. Этот
Фиг. 328. Беватрон Калифорнийско­
го университета (Беркли, США).
▼
ускоритель, изображенный на фиг. 328, сооб­
щает
протонам
кинетическую
энергию
6,2 Гэв, которой только-только хватает для
образован ия пары протон и антипротон.
Антипротон был открыт в 1955 г., на вто­
ром году работы Беватрона. Год спустя был
открыт антинейтрон N. П оскольку нейтрон —
это частица, лиш енная з а р я д а , то антинейт­
рон т а к ж е долж ен быть нейтральным. О д ­
нако антинейтрон быстро аннигилирует л и ­
бо с нейтроном, либо с протоном. П р о д у к ­
тами аннигиляции антинуклонов обычно я в ­
ляю тся пионы (см. § 6). Н а фиг. 329 изоб­
раж ен а следую щ ая цепочка событий: анти­
протон попадает в пузырьковую камеру с
ж идким водородом, зам ед ля етс я до полной
остановки и аннигилирует с одним из ядер
водорода.
Н а фиг. 329 массы покоя протона и анти­
протона превращ аю тся в пять пионов:
Р + Р ->
тг +
+ я 0.
Возникает вопрос, почему все атомы во­
дорода построены из положительных прото­
нов и отрицательных электронов, а не из
отрицательных
протонов
(антипротонов)
и положительных электронов (позитронов)?
Подобный «обращенный» атом водорода но­
сит название антиводорода, а вещество,
построенное из антинуклонов и орбитальных
позитронов, н азы ваю т антивеществом. Из
общих соображений, основанных на свойст­
вах симметрии, следует ож идать, что поло­
вина всех атомов во Вселенной будет п ред­
ставлять собой антивещество. Трудно по­
нять, почему положительный з а р я д долж ен
преобладать над отрицательным. С другой
стороны, если бы на З ем л е или д а ж е в нашей
Г алактике имелось антивещество, то оно не
смогло бы долго просуществовать. Д о в о л ь ­
но скоро оно проаннигилировало бы с вы ­
делением энергии, более чем в 1000 раз э ф ­
фективным, нежели при взрыве водородной
бомбы. В настоящ ее время существуют ги­
потезы о том, что некоторые галактики, в оз­
можно, состоят из антивещества, однако
убедительных д оказательств их спр авед л и ­
вости пока нет.
К ак уж е упоминалось, античастицей ней.трино является антинейтрино V. Согласно
теории, фотон д олж ен совп адать со своей
античастицей. Таким образом, наш список
элементарных частиц с учетом античастиц
увеличился до девяти наименований (•у, V,
V, е~, е+, Р, Р , М, ДО.
м
Ф и г. 329. Случай
остановки анти­
протона в пузырьковой камере с
жидким водородом.
§ 4. Симметрия античастиц
Антипротон аннигилирует с протоном. Про­
дуктами аннигиляции являются пять пио­
нов: два положительных, два отрицатель­
ных и один нейтральный. Один из поло­
жительных пионов также останавливается
и затем распадается на ц+-мезон, который
в свою очередь останавливается и распа­
дается на позитрон.
Допустим, что в процессе какого-либо
физического опыта все частицы внезапно
превратились в соответствующие античас-
ОКАЖЕТСЯ ЛИ АНТИМИР ИНЫМ?
519
тицы. П р и в ед ет ли опыт в этом случае к
прежним результатам ?
Вплоть до 1957 г. физики считали, что
античастицы долж ны подчиняться в точно­
сти тем ж е законам, что и их двойники.
В принципе не долж но сущ ествовать спосо­
бов, позволяю щих установить, из чего пост­
роена определенная физическая система —
из обычного вещества или антивещества.
Этот фундаментальный принцип симметрии
мы будем назы вать симметрией античастиц.
Теоретики обычно н азы ваю т его инвариант­
ностью относительно заряд ового сопряж е­
ния.
З а р яд о во е сопряж ение представляет со­
бой математическую операцию, п р ев р ащ а ю ­
щую все частицы в их античастицы и о ст а в ­
ляю щую все остальное неизменным. С оп ря­
женным по зар я д у д ля атом а водорода
является антиводород. И з симметрии ан ти ча­
стиц следует, что спектр, испускаемый г а ­
зообразным антиводородом, долж ен в точ­
ности совпадать со спектром обычного водо­
рода. П оскольку создание античастиц пред­
ставляет собой нелегкую зад ач у (еще не
удалось создать антиводород), то некото­
рые следствия симметрии античастиц тру д ­
но проверить на опыте.
В 1957 г. физики были потрясены, узнав,
что слабы е взаимодействия наруш аю т сим­
метрию античастиц. Х арактер этого н ар уш е­
ния будет обсуж даться в § 6 .
§ 5. Закон сохранения пептонов
СЛАБЫЕ ЧАСТИЦЫ
С лабы е взаимодействия приводят к р ас­
паду тяж ел ы х частиц не только на электрон
и нейтрино, но в некоторых случаях вместо
этого на мюон и нейтрино. Мюон п ред став л я­
ет собой элементарную частицу, тож дествен­
ную электрону во всем, исклю чая массу по­
коя. Масса мюона о к а за л а с ь в 207 раз боль­
ше массы электрона. Мюон можно считать
тяж елы м электроном, однако в природе нет
других тяж ел ы х электронов. Никто не знает,
почему долж но быть два сорта «электронов».
Одна из текущих зад ач теоретической ф и ­
зики и закл ю ч ается в том, чтобы объяснить,
почему природа снабдила нас двумя
и
только двум я типами электронов. Загадочно
и то, почему мюон такой тяж елы й.
Мюоны не так у ж е необычны. Они были
открыты в составе космического и зл у­
чения в 1936 г. Космические лучи на уровне
моря состоят главным образом из мюонов
и электронов, причем мюонов в 4 раза б оль­
ше, чем электронов. Подобно тому как е+
есть античастица е~, ц+ есть античасти­
ца |Я“ .
Причина, по которой обычно вещество не
содерж ит мюонов, подобно электронам, з а ­
ключается в том, что мюоны распадаю тся
б лагодаря слабы м взаимодействиям на э л е к ­
троны с периодом полур асп ад а 1,5-10~6сек:
= V + е~ + V
Вопрос 4. С учетом всех в озм ож н ы х
за р я д о в , сколько всего сейчас и звест­
но лептонов?
Заметьте, что мы приписали нейтрино индек­
сы е и |я. Это обусловлено наличием двух
различных видов нейтрино и было о б н ар у­
жено в 1963 г. на Брукхэйвенском ускорите­
ле: V,! связано с мюоном, и V*. связано с
электроном. М ож но рассм атривать V как
нейтральный мюон, а V*. — к а к нейтральный
электрон. Мы могли бы обозначать их соот­
ветственно ц° и е°. Мюоны, электроны и со­
ответствующие им нейтрино образую т семей­
ство частиц — лептонов. Лептоны — уч аст­
ники слабы х взаимодействий. Б ы ло у станов­
лено, что лептоны рож даю тся парами. Этот
ф акт привел к формулировке нового зак он а
сохранения, назы ваемого законом сохране­
ния лептонов. Н а самом деле существуют
два независимых закона сохранения лепто­
нов, один для электронов и один для мю о­
нов. Электрону е~ и его нейтрино Vе припи­
сывается электронный лептонный зар я д + 1,
а их античастицам е+ и Vе •— электронный
лептонный з а р я д — 1. В зам кнутой системе
полный электронный лептонный з а р я д д о л ­
жен сохраняться. Н апример, при распаде
521
нейтрона дг -* Р + е~ + V,
Электронный лептонный зар я д :
0
0
1 + (— 1),
т. е. полный лептонный з а р я д до р аспада р а ­
вен нулю. С ледовательно, полный лептонный
з а р я д в правой части уравнения_ т а к ж е д о л ­
жен быть равен нулю. Мы видим, что он
равен 1 + ( — 1 ) = 0 . Аналогично, при
бетараспаде с испусканием позитрона нейтрино
долж но иметь противоположный лептонный
заряд. П оскольку лептонный з а р я д позитро­
на равен — 1, испускаемое нейтрино долж но
иметь лептонный з а р я д + 1; следовательно,
это долж но быть \ е> а не \ е.
Заклю чительны м примером зак о н а с о х р а­
нения лептонов служит распад мюона:
(А- -> ^
Мюонный лептон­
ный заряд:
Электронный л еп ­
тонный зар я д:
1 ->
е- + 7е
1+ 0 + 0
0 ->• 0 + 1 + ( — 1)
Н ачальны й мюонный лептонный з а р я д р а ­
вен + 1. Эта величина сохраняется, если
мюон р аспадается на нейтральный мюон V .
Электрический за р я д сохраняется б лагодаря
испусканию электрона, но для сохранения
электронного лептонного з а р я д а при этом
долж но испускаться и антинейтрино V,,.
Итак, имеется 8 лептонов: ц,,
е~, че и
их античастицы (х+, \у, е+, у е, и эти частицы
парам и участвуют в слабы х взаимодейст­
виях.
§ 6. Адроны
СИЛЬНЫ Е ЧАСТИЦЫ
О твет 4. Восемь.
522
Подобно тому как лептоны п р ед ставл я­
ют собой частицы, участвую щие в слабы х
взаимодействиях,
адроны — это частицы,
участвующие в сильных, или ядерных, в за и ­
модействиях. Электромагнитны е взаим одей­
ствия лом аю т эти барьеры и присущи любым
электрически заряж ен н ы м частицам, а такж е фотонам. Они одинаковы как для з а р я ­
женных лептонов, так и для зар я ж ен н ы х а д ­
ронов.
Н аиболее известные адроны — это наши
старые знаком ы е протоны и нейтроны. О д ­
нако начиная с 1947 г. было открыто еще
много других нестабильных адронов. Из них
21 адрон (см. фиг. 333, стр. 532) имеет д о ­
статочно большие периоды п олурасп ада, так
что их следы мож но наб лю д ать в ядерных
эмульсиях или пузырьковых камерах. Б о л ь ­
шинство из этих 21 адрона имеют периоды
п олурасп ада порядка 10~10 сек.
З а время 10“ 10 сек частица, д ви ж у щ аяс я
со скоростью о = с, успевает пройти 3 сл* пути.
Хотя было установлено, что эти частицы о б ­
л ад аю т рядом общих свойств и образую т
подклассы, их количество мож ет показаться
несметным и заставить нас усомниться, не
существует ли что-либо более элементарное
и простое, нежели элементарны е частицы.
Это, безусловно, центральный вопрос, на ко­
торый натолкнулась сегодня физика. Мы д о­
стигли в нашем изложении переднего фронта
человеческих знаний о физическом устройст­
ве м и р а. В оставшейся части книги мы по­
пытаемся дать читателю некоторое п редстав­
ление о современных «пионерских» исследованиях окруж аю щ его нас мира.
Существует два типа адронов: мезоны и
барионы. Мезоны имеют спин О, 1, 2, или
равный целому числу. Барионы имеют полуцелый спин, а именно 7г, 3/г, 5/г и т. п. Б а ­
рионы подчиняются закону сохранения барионного з а р я д а и в качестве конечных про­
дуктов
распада
имеют
протон
или
антипротон.
Все барионы, такие, как протон и нейт­
рон, имеют барионный з а р я д + 1, а все антибарионы, такие, ка к Р и Ы, имеют барион­
ный з а р я д — 1. В замкнутой системе полное
число барионов долж но оставаться постоян­
ным. Барионный з а р я д мезонов равен нулю.
Вопрос 5. М юон часто н азы в аю т ц-м езоном. Я в л яет ся ли мюон мезоном с о ­
гласно дан н о м у н ам и определению
м езонов?
Мезоны
Существует два типа долгож ивущ их мезонов: пионы и каоны (/С-мезоны). М асса
523
пиона равна приблизительно 1/ 7 массы про­
тона, а масса каона — примерно половине
массы протона.
Спин пионов равен нулю, и встреча­
ются
отрицательные,
положительные и
нейтральные разновидности этих мезонов
(я - , я+, я 0) . Античастицей по отношению к
я+ является я~-мезон. Подобно фотону, я°мезон тождествен со своей античастицей.
Теоретически легче обосновать «причину» су­
ществования
пионов,
нежели
мюонов.
Действительно, пион п редсказал Ю кава
в 1936 г., з а одиннадцать лет до его об н а р у ­
жения. Ю кава пытался объяснить ядерные
силы по аналогии с квантовоэлектродинами­
ческим объяснением электромагнитного в з а ­
имодействия. К вантовая электродинам ика
объясняет появление электрической силы
как следствие непрерывного испускания и
поглощения электрическим зар ядом вирту­
альных квантов (фотонов). Д л я объяснения
больших, короткодействующих ядерных сил
Ю кава ввел виртуальные кванты нового
типа. К вантовая теория позволяет связать
массу частицы нового типа (кванта) с рад и у ­
сом действия ядерных сил. Это можно грубо
сделать, используя принцип неопределенно­
сти. Если радиус действия этих виртуальных
квантов равен /?, то принцип неопределен­
ности утверж дает, что
АрК^к,
где Ар
неопределенность импульса, кото­
рая будет порядка т^ю. Следовательно,
яг* V) К г» к ,
или
к
XV
Эта неопределенность минимальна при и = с.
Таким образом,
к
т л ~ ------ .
тж
Пс
О твет 5. Н ет. М езоны п р и н ад л еж ат
к а д р о н ам , т. е. сильно в за и м о д е й с т­
вую щ им части ц ам . Мюон ж е не у ч а ­
ствует в сильны х в заи м од ей ств и ях.
524
Более точные вычисления Юкавы, основан­
ные на квантовой теории поля, дали
к
т * = ------- ,
2-кКс
и предсказанное таким путем значение м а с­
сы хорошо согласуется с измеренной массой
пиона. Помимо правильного значения массы,
Ю кава пр ед сказал такж е, что пионы будут
сильно взаимодействовать с нуклонами.
К примеру, пионы легко получить путем со­
ударения нуклонов. В этом случае происхо­
дит прямое превращение кинетической энер­
гии нуклонов в массу покоя пиона. Н и ж е
перечислены некоторые реакции о б р а зо в а ­
ния пионов:
Р+ Р
р + ,у + * +,
Р + N -V
Р + Р + К~,
т+ р
N + т:+,
Т + Р -> Р + к°,
у
Фиг. 330. С лед, оставленн ы й в ядерной эм ульсии остан ови вш и м ся пио­
ном.
В идны р а с п а д я + -*-^+ -И р . и следую щ ий за
ним процесс |Л+ -*-в+-И - } - ^ ( з а и склю чени ­
ем ней трин о). С о у д ар ен и я с зар я ж ен н о й
частиц ей
могут, подобно свету, с д е л а т ь
зер н а ф о тограф и ческой эм ульсии способн ы ­
ми к проявлению .
N —>- Р -\- 7Г~.
Д л я об разован ия пионов необходимы про­
тоны с энергией в несколько сотен М эе.
Пучки таких протонов мож но получить с
помощью синхроциклотронов (см. фиг. 188).
Впервые пион был обнаруж ен в 1947 г.
в космических лучах по следу, оставл яем о­
му им в ядерной эмульсии (фиг. 330). Год
спустя на синхроциклотроне в Беркли были
зарегистрированы первые созданные челове­
ком пионы. Б л а г о д а р я слабы м в заи м о ­
действиям заря ж ен н ы е пионы
распада­
ются по следующим схемам:
Iх++ V,
<{ или
V
+
V ,,
Iх" + V
или
е~ + V,
с периодом полураспада 1,8 - 10~8 сек.
л°-Мезон распадается гораздо быстрее
на два фотона за счет электромагнитных, а
не слабых взаимодействий. П ериод п о лур ас­
пада л;°-мезона составляет около 10~16 сек.
Р а с п а д я+-мезона, подобно распаду ц+-мезо525
на, можно н аблю дать на снимке, выполнен­
ном в пузырьковой камере (см. фиг. 329,
стр. 518). Один из двух я+-мезонов о ста н а в ­
ливается в жидком водороде, затем он р ас­
падается, д а в а я видимый след ц+-мезона и
невидимое нейтрино. П осле прохождения
1,1 см [х+-мезон т а к ж е останавливается и
распадается, созд ав ая видимый след е+ и
два невидимых нейтрино.
В действительности мюон был открыт
почти тогда же, когда Ю кава п редсказал
существование пиона. Поскольку массы
мюона и пиона близки, физики долгое вре­
мя принимали мюон за частицу Юкавы. Н е ­
задолго до открытия пиона большинство ф и ­
зиков отказал о сь от мюона, так ка к он
никогда не проявлял сильного взаимодейст­
вия, которое п редсказы вал Ю кава. Пион
послужил средством д ля объяснения си ль­
ных и короткодействующих ядерных сил.
Что же касается мюона, то его единственное
назначение состоит в том, чтобы д ать П р и ­
роде еще одну возможность ввести в з а б л у ж ­
дение людей.
Каоны
Одним из новых мезонов является каон.
Его спин равен нулю; известны п олож итель­
ные и нейтральные каоны (К + и К0) с соот­
ветствующими античастицами К~ и /С°Б л а г о д а р я большой массе, каон имеет
больше различных возможностей р аспада за
счет слабых взаимодействий. Н аблю дались
следующие типы р аспада /С+-мезона:
тт+ + 7г°
(6-распад),
тг+ —
(- *+ + я-
(т-распад),
1Г+ +
2тГ0 ,
к +
Iх* + V 1
|Х+ +
V,, +
е + + че + 1г°.
В опрос 6 . П оч ем у каон не р асп а д а ет ся на 4 пиона?
526
Период полураспада заряж ен н ого каона р а ­
вен 0,85-10-8 сек. Аналогичные типы рас-
пада присущи нейтральному каону, период
полураспада которого равен 7-10-11 сек.
Почему время жизни /( “-мезона оказы вается
настолько меньше времени жизни /С+-мезона и каково соотношение меж ду распадом
каона и универсальным взаимодействием
Ферми? Все эти вопросы представляю т собой
современные проблемы теоретической ф изи­
ки. О б разован и е каонов об суж дается в сле­
дующем параграф е.
Гипероны (странные барионы)
Таблица 8
К лассификация элем ентарны х частиц
Г ипероны А ,
А дроны (с и л ь ­
ны е в заи м о ­
д ей стви я)
Б арионы
М езоны
Г, Е , 0.
(с тр а н н ы е )
Н ук л он ы N , Р
(н е стр а н н ы е)
/ (С тРанные) К
|(Н е с т р а н н ы е ) п
Л еп тон ы ( с л а ­
бы е в заи м о­
действия)
М ю онное сем ейство р.,
V
Э л ек т р о н н о е семейство
е1
Ф отон (э л е к т ­
ром агни тны е
в заи м одей ст­
в и я) 7
О твет 6 . П отом у что его м асса м ен ь­
ше м ассы 4 пионов,
Некоторые из барионов по причинам, ко­
торые мы объясним позднее, назы ваю т ги ­
перонам и (табл. 8 ). Гипероны р а с п а д а ­
ются б ла го д а р я слабы м взаимодействиям и,
следовательно, ж и вут достаточно долго, что­
бы оставить следы в пузырьковых камерах.
Существуют 4 различных сорта элем ен ­
тарных частиц тяж ел ее протона. Они о б о зн а­
чаются загл авн ы м и греческими буквами
А (л а м б д а ), 2 (сигм а), Е (кси) и й (ом ега).
Все они распадаю тся б ла го д а р я слабы м
взаимодействиям на нуклоны и, таким о б р а ­
зом, подчиняются закону сохранения т я ж е ­
лых частиц.
Д о сих пор мы встречались с двумя при­
мерами того, что н азы вается сильным в з а и ­
модействием: 1) силы, действующие м е ж ­
ду двумя нуклонами, и 2 ) взаимодействие
пиона с нуклоном (например, рождение пио­
нов). Точно так ж е взаимодействия гиперо­
нов и каонов с нуклонами и мезонами сл у­
ж а т примерами сильных взаимодействий.
Одним из многочисленных примеров таких
взаимодействий являю тся процессы о б р а зо ­
вания гиперонов и каонов. Н аиболее изуче­
на следую щ ая реакция об разован ия гиперо­
нов:
1Г + Р
Л + К °.
Н а фиг. 331 п оказан а ф отограф ия этого
процесса, полученная в пузырьковой к а м е ­
ре с жидким водородом. Необходимые пучки
пионов высокой энергии легко получить на
ускорителях протонов на энергии в несколь­
ко Гэв.
527
-+р-*л+к
331. А ссоц иативн ое
р ож ден и е
Л -гип ерон а и / ( “-м езона в п у зы р ь к о ­
вой к ам ере с ж и д к и м водородом .
Ф иг.
и — М езон с эн ерги ей 1 Г эв от Б ев ат р о н а
п о п а д а ет в к а м е р у и о б р а зу е т при с т о л к ­
новении с протоном Л и К0
Отметим, что Л-гиперон рож дается со­
вместно с каоном.
В действительности Л, 2 , Е или й всегда
рож даю тся совместно с каонами, если н а ­
чальной частицей были пион или нуклон.
И з-за этой специфической особенности сов­
местного (ассоциативного) рождения у к а ­
занные четыре бариона и каоны были н а з в а ­
ны странными частицами, т а к их н азы ваю т
и сейчас. Четыре странных бариона н а зы ­
вают гиперонами. Странным у этих частиц
является то, что они распадаю тся примерно
в 1014 раз медленнее, чем ожидалось. П о ­
скольку они легко рож даю тся при сильных
взаимодействиях и могут р асп адаться на
сильно взаимодействую щие частицы, то о ж и ­
далось, что они будут распадаться столь ж е
быстро, как и рождаю тся, т. е. примерно за
10-23 сек. Чтобы объяснить н аблю даем ы е
факты, было необходимо изобрести еще один
закон сохранения, который за м е д л я л бы р а с ­
пад странных частиц примерно в 1014 раз.
Этот новый закон назвали законом сохране­
ния странности. К+- и /(“-мезонам приписы­
вается странность + 1, а гиперонам — отри­
цательные значения странности, приведен­
ные на фиг. 333 (стр. 532). З а ко н сохране­
ния странности утверж дает, что в замкнутой
системе полное значение странности о стает­
ся неизменным. Этому закону строго подчи­
няются сильные и электромагнитные в з а и ­
модействия. О днако слабы е взаимодействия
совершенно игнорируют его. С тран ная ч ас­
тица распадается б лагодаря слабы м в заи м о ­
действиям на частицы с нулевой странно­
стью. И поскольку слабы е взаимодействия в
1014 раз слабее сильных, эти странные час­
тицы ж ивут в 1014 раз дольш е обычного.
Л-частица на 37 М эе тяж ел ее протона и
пиона, вместе взятых. Она нейтральна, а
ее спин равен '/г- Основные способы р а с п а ­
да Л-частицы таковы:
Р +
II-
N + -.т°
18— 176
529
Ф и г . 332. О б р а зо в а н и е а н ти л ам б д аги -
перона в реакц и и Р + Я ^ - Л + Л .
Л -Г ип ерон р а с п а д а е т с я на Я " = м езон и
антипротон. А нтипротон за т е м о с т а н а в л и ­
ва е т ся и а н н и ги л и рует с протоном в ж и д ­
ком водороде.
2 -ч асти ц а на 78 М эе тя ж е л е е Л-частицы;
ее спин равен '/2- 2 -частица может быть
положительной, нейтральной или о тр и ц а­
тельной. Ее основные способы р ас п а д а
таковы:
1г -+ N + к-,
2° - > Л + т .
Р а с п а д 2°-частиц происходит значительно
быстрее распадов 2 + или 2 ~ потому, что он
обусловлен электромагнитными взаи м од ей ­
ствиями, которые примерно в 1012 раз интен­
сивнее слабого взаимодействия.
Е-гиперон на 205 М эе т яж ел ее Л-частицы
и имеет отрицательную и нейтральные р а з ­
новидности. Н аб л ю д ал и с ь следующие типы
распада:
Н- —► Л —
)—и-,
3° _► Л + 1Г°.
У
каж дого гиперона д о л ж н а сущ ество­
вать античастица с противоположным з н а ­
ком. Н а фиг. 332 показано рождение Л -ч ас­
тицы в реакции Р + Р -> Л + Л.
Список известных в настоящ ее время
долгож ивущ их элементарны х частиц в ы г л я ­
дит следующим образом (в порядке в о з р а ­
стания м ассы ); фотон у; лептоны
V» е
и [г; мезоны л и К; нуклоны Р и
гипероны
Л, 2 , Е и О. Если учесть частицы с р азл и ч ­
ным зар я д о м и античастицы, то полное число
частиц окаж ется равным 34. Все они в к л ю ­
чены в табли цу на фиг. 333. Частицы и зо б р а­
жены слева, а соответствующие им ан ти час­
тицы « отраж аю тся» на противоположной
правой стороне фигуры.
Резонансы
В последние годы был откры т целый ряд
новых мезонов и барионов, которые р а с п а ­
даю тся непосредственно б л а го д а р я сильным
18*
531
взаимодействиям. Первый барион был о б н а ­
ружен Ферми в начале 50-х годов. Его н а з в а ­
ли Д; он на 160 М эе тяж ел ее в сумме прото­
на и пиона и распадается за время прим ер­
но 10~23 сек на протон и пион:
Д —► Р -1—тс.
333.
частиц.
Ф и г.
Т аб л и ц а
эл ем ен тарны х
Ч асти ц ы п риведен ы в левой части ри сун ка.
О тр аж е н и е с п р а в а п р ед с т а в л я ет собой н а ­
бор соответствую щ их анти части ц. К р у ж к а ­
ми обведен ы ст аб и л ьн ы е частиц ы . В т а б ­
л и ц е у к а за н а м а с са за р я ж ен н ы х пионов;
м асса я°-м езон ов со ст а в л я е т 264,2 (в е д и ­
н ицах м ассы эл е к тр о н а ).
532
Сильные взаимодействия столь велики, что
стоит одной сильно взаимодействую щей ч ас­
тице вступить в соприкосновение с другой,
как с большой вероятностью происходит
превращение. Время, на протяжении кото^
рого частицы находятся в соприкосновении,
равно поперечнику элементарной частицы,
деленному на скорость:
^ = - ^ - - 3 - 1 0 -13 см /3 - 1 0 10 см /сек = 10“23 сек.
С ледовательно, чтобы в игру включилось
сильное взаимодействие, требуется около
10-23 сек. П о зж е были обнаруж ены дю жины
новых адронов с периодами п олурасп ада от
10~22 до 10~23 сек. Все они р аспадаю тся б л а ­
годаря сильным взаимодействиям и по при­
чинам исторического х а р а к тер а были н а з в а ­
ны резонансам и. Имеется несколько адронов
с периодами полур асп ад а от 10-21 до
10-16 сек, которые распадаю тся б лаго даря
электромагнитным взаимодействиям. Б о л ь ­
шинство этих новых частиц в соответствии
с их квантовыми числами группируются в
восьмерки и десятки. О дна из восьмерок
включает протон и нейтрон. Д р у г а я восьмер­
ка содерж ит три пиона. Эту классификацию
назы ваю т «Восьмеричным Путем».
Возможно, что протон или пион — не в
большей степени элементарные частицы, не­
жели любой другой адрон. К аж д ы й из а д р о ­
нов— это просто определенное состояние или
энергетический уровень сильно взаимодейст­
вующей материи. Д о сих пор обнаружено
свыше 200 элементарных частиц. Почти к а ж ­
дый месяц приносит открытие новой части­
цы. Одна из последних теоретических н а ­
д е ж д основана на сведении всех адронов к
трем или четырем кирпичам мироздания, н а ­
зы ваемы м кварками. Однако пока кварки не
были найдены. Чтобы обнаруж ить кварки,
если они существуют, по-видимому, потре­
буются ускорители
на более высокие
энергии.
Поскольку слабы е взаимодействия по
своей величине уступают сильным примерно
в 1014 раз, времена жизни частиц, р ас п а д а ю ­
щихся б лагодар я слабы м взаимодействиям,
составляю т примерно 10й - 10~23 сек, или
10-9 сек. Все зар я ж ен н ы е частицы, перечис­
ленные на фиг. 333, либо распадаю тся за
счет слабы х взаимодействий, либо стаби л ь­
ны. Причина, по которой некоторые адроны
распадаю тся б лаго даря слабы м, а не силь­
ным взаимодействиям, заклю чается в з а п р е ­
те р аспада за счет сильных взаимодействий
законам и сохранения типа зак он а сохране­
ния странности.
533
§ 7. Несохранение четности
Н у ка к, хочеш ь жить в зе р к а л е , Китти? И н ­
тересно, дадут л и тебе там м олоко? В прочем ,
не знаю , можяо л и пить зер к а л ь н о е м олоко? 1
В этом п ар агр а ф е мы узнаем, что Льюис
К эролл
был
прав — зеркальное
молоко
если не отвратительно, то уж, во всяком слу­
чае, невкусно. Кроме того, мы увидим, что
слабы е взаимодействия приводят к нар уш е­
нию не только закона сохранения четности,
но и симметрии античастиц, которая о б су ж ­
д а л а с ь в § 4. Сохранение четности представ­
ляет собой математическую формулировку
свойства симметрии, назы ваемого и нвари­
антностью относительно отражений. И н в а р и ­
антность относительно отраж ений означает,
что зеркальное отображение любого ф изи­
ческого явления само по себе является ре­
альным физическим явлением. Принцип со­
хранения четности говорит, что если некто
н аблю дает в зер к ал е любой физический экс­
перимент и не знает, что он видит все это в
зеркале, то нет способа, который позволил
бы наблю дателю , исходя из результатов
опыта, установить, действительно ли он см от­
рел в зеркало. И наче говоря, все основные
законы физики должны одинаково описы­
ваться математически в левовинтовой и в
правовинтовой системах координат. Одно из
следствий сохранения
четности состоит
в том, что опыты не помогут рассеянному
ученому определить, к а к ая из его рук я в л я ­
ется правой. Определение, основанное на
том, с какой стороны расположено сердце,
было бы сплошным надувательством. Оно
эквивалентно надеванию перчатки с н а д ­
писью «левая».
В действительности ж е молекулы его
тела и в этом смысле все живое на З ем л е
•> И з книги Л ью и са К эр о л л а « З а зерк ал ом и что
там у ви дел а А лиса», С оф ия, 1967, п еревод Н. Д ем уровой.— П рим . ред.
Фиг. 334. В инт с п равой резьбой (а)
и его зе р к ал ь н о е о тр аж ен и е ( б ) (винт
с левой резьб ой ).
Зеркало
Изображение
эквивалентно помеченным перчаткам (см.
н ачало гл. 14). С оздаваем ы е организмами
белковые молекулы построены из ам ин о­
кислот — все они целиком п р и н ад л еж а т к
веществам с левовинтовым строением. (И с ­
ключение составляю т антибиотики, такие,
как пенициллин, которые со д ерж ат опреде­
ленный процент правовинтовых аминокис­
лот. Считают, что подобная структура д е л а ­
ет их смертоносными д ля бактерий и
обусловливает их использование ка к анти­
биотиков.) С другой стороны, химики могут
синтезировать правовинтовые белки, и, как
следует ож идать, исходя из сохранения чет­
ности, эти белки имеют в точности те ж е
свойства, что и естественные разновидности.
Единственное различие состоит в том, что
одни являю тся зеркальны м изображением
других (фиг. 334).
Тот факт, что на З ем л е в биологической
среде молекулы всегда воспроизводятся с
одной и той ж е зеркальной симметрией, тог­
да как те ж е самы е молекулы, синтезируе­
мые химиками, всегда образую тся в виде
смеси левовинтовых и правовинтовых р а з н о ­
видностей в отношении 1 : 1, мож ет п о к аза т ь ­
ся загадочным. Объяснение, возможно, з а ­
ключается в том, что первоначальные формы
жизни на З ем л е были как левовинтовыми,
т а к и правовинтовыми. При этом животные
и растения одного вида могли быть несовме­
стимы и, возможно, губительны по отноше­
нию к животным и растениям другого вида.
В конце концов в борьбе за сущ ество­
вание одна форма о д е р ж а л а победу над
другой.
Д л я проверки сообразительности ч и т а­
теля мы на фиг. 335 приводим фотографию
профессора Л и из Принстонского института.
Есть ли на ней какие-либо признаки, позво­
ляю щ и е уверенно сказать, ка к получена эта
ф отограф ия-— непосредственно или по о т р а ­
жению в зеркале? Н а первый взгляд может
показаться, что это зеркальн ое отраж ение
Л и. Обозначения на доске перевернуты, а
Ли, по-видимому, пишет левой рукой. С ооб­
разительный читатель мож ет заподозрить
535
Т+
|з } л |
ял »
Фиг. 335. Ф о то гр аф и я проф ессора Л и ,
чье исследование в сотрудн ичестве с
Я нгом привело к ниспроверж ению з а ­
кона сохранени я четности.
К акое и зо б р аж ен и е вы видите на ф о т о гр а ­
ф ии, истинное и л и .зе р к а л ь н о е ?
обман, а именно что Ли ради шутки н арот
но писал обозначения наоборот.
Более внимательное рассмотрение о б ­
наруж ивает, что пуговицы на его п идж аке
находятся на правой стороне. Основываясь
на твердо распространенном во всем мире
обычае приш ивать пуговицы на мужской
одеж д е справа, а на женской одеж де — сл е­
ва, читатель может прийти к правильному
выводу, что ф отограф ия д ает истинное изо­
бражение. (Мы не пошли на такую к р а й ­
ность, чтобы зак азы в а т ь у портного специ­
альный п и д ж а к с пуговицами на левой поле
и петлями на правой.)
По причинам, изложение которых вы ­
ходит за рамки данной книги, сохранение
четности зап р ещ ает распад каонов как на
два, так и на три пиона. К аонам р а зр е ­
шается распадаться либо одним, либо д р у ­
гим способом, но не обоими. Однако на опы­
те н аблю дались оба способа распада. Это
заставило Л и и Янга в 1956 г. всерьез усо­
мниться в «самоочевидной истине», что при­
рода не д о л ж н а отдавать предпочтение п р а ­
вому по сравнению с левым или наоборот.
Л и и Янг выдвинули предположение, что
слабы е взаимодействия действительно н ар у­
шают «священный» принцип сохранения чет­
ности. Кроме того, они предложили поста­
вить некоторые конкретные опыты для про­
верки своей гипотезы. Мы сейчас и займемся
более подробным рассмотрением одного из
этих экспериментов.
Например,
распад
л+-мезона, возникающий как следствие с л а ­
бых взаимодействий;
■к*
В опрос 7. Если
рассеянны й ученый
зн ает н ап равлен и е на север, см о ж ет
ли он определить, к а к а я из его рук —
п р а в ая ?
536
—У
(Л +
- ) - V.
Л и и Янг считали, что спины возникаю ­
щих при распаде мюона и нейтрино, в о з м о ж ­
но, будут ориентированы преимущественно
вдоль направления их движения.
Мы покаж ем теперь, что если это так, то
инвариантность относительно отраж ений бу­
дет наруш аться. Мы схематически сопоста­
вили спину движение в экваториальной
плоскости в ращ аю щ ей ся частицы. Частицы
Фиг. 336. Р а с п а д я + -м е зо н а (а) и его
зер кал ьн о е о тр аж ен и е (б ).
- ф
Зерк
О твет 7. С м ож ет. Н а б л ю д а я за С о л н ­
цем или зв е зд а м и , он м о ж ет н а п р а ­
вить п альцы по вращ ен и ю Зем ли . Е с­
ли при этом больш ой п ал ец см отрит
на север, то это п р а в а я рука.
будут и зображ аться в виде вращ аю щ и хся
сфер.
Согласно предположению этих ученых,
распад я+-мезона долж ен выглядеть так, как
это изображ ено на фиг. 336: {а+ и V долж ны
в р ащ аться в противоположных н ап рав л ен и ­
ях, с тем чтобы их спины при сложении да’ вали спин пиона, равный нулю.
Н а фиг. 336, б и зображ ен о о т р а ж е ­
ние в зер к ал е частиц, возникаю щих при р ас­
паде. Отметим, что в зер к ал е сферы будут
казаться вращ аю щ им ися в противополож­
ных направлениях. Участок экватора ц+-мезона или V на исходном граф и ке (фиг. 336, а)
описывал бы левовинтовую линию, а иа изо­
бражении в зерк ал е (фиг. 336, б ) — п р ав о ­
винтовую линию. К артина, и зображ ен н ая на
фиг. 336, а , впервые н аб лю д ал а сь в 1957 г.
группой, работаю щ ей на циклотроне К олум ­
бийского университета. Зер кал ь н о о т р а ж е н ­
ный вари ан т (фиг. 336, б) никогда не встре­
чался в природе. Таким образом, четность не
сохраняется. Нейтрино всегда о б ладаю т
свойством левого винта. Несохранение чет­
ности впервые н аблю далось в опыте по
р-распаду, который выполнила Ву в К ол ум ­
бийском университете и группа физиков Н а ­
ционального бюро стандартов в Вашингтоне.
Теперь мы знаем, что нейтрино всегда в р а ­
щаются подобно левым винтам, а антиней­
т р и н о — подобно правым.
Все еще трудно поверить, что структура
пространства д ел ает левое предпочтитель­
ным по сравнению с правым. О днако д о к а з а ­
тельство настолько просто и ясно, что к а ж ­
дый почти немедленно у б еж д ается в его
справедливости.
Таким образом, чтобы
найти свою левую руку, рассеянному учено­
му достаточно просто обратиться к любому
нейтрино или ц+-мезону, образую щ имся
при р аспаде я +-мезона, когда мы с та л к и в а­
емся с отсутствием симметрии в законе при­
роды. Причиной всех волнений явилось то,
что это был первый случай, когда о б н а р у ж и ­
лось нарушение основного принципа симмет­
рии.
537
Фиг. 337. Р а с п а д , с оп ряж ен н ы й по
з а р я д у р а сп а д у я + -м е зо н а , т. е. с з а ­
меной частиц ан ти части ц ам и ( а ), и
р езу л ьтат, н абл ю даем ы й на опы те,—
р а с п а д я ~ -м е зо н а (б ).
ф
©-
Л
V-
В опрос 8 . К акой получится опы т, ес­
ли фиг. 336 о т р ази ть в зе р к ал е и п ро­
извести за р я д о в о е соп ряж ен и е? (Это
обратн ы й п о р яд о к операций, и зо б р а ­
ж енн ы х на фиг. 337.)
538
Нарушение симметрии античастиц
Если к фиг. 336, а применить операцию
зарядового сопряжения, то мы получим р а с ­
пад, изображенный на фиг. 337, а. Заметим,
что при этом антинейтрино о казы вается л е ­
вовинтовым. О днако из опыта теперь извест­
но, что антинейтрино всегда является п рав о­
винтовым, как показано на фиг. 337, б.
Н а этой фигуре распад я _ -мезона изображен
таким, каким он получается на опыте. Итак,
мы здесь сталкиваем ся со случаем, когда
зам ен а частиц соответствующими античасти­
цами приводит к ситуации, которая не встре­
чается в природе, что является очевидным
нарушением симметрии античастиц.
Отметим, что если отразить распад я+-мезона в зер к ал е (см. фиг. 336, а) и заменить
частицы соответствующими античастицами,
то мы получим правильный результат для
распада я _ -мезона (см. фиг. 337, б ). Таким
образом, об щ ая симметрия сохраняется.
В распоряжении рассеянного профессора,
попавшего в удаленную галактику, по-преж ­
нему не будет способа, который позволил бы
ему определить, какая рука правая, т а к как
мы не знаем, построена ли его галактика из
вещества или из антивещества, и не можем
предлож ить ему способ, позволяющий отли­
чать ц+- от ^--м езон а. И наоборот, пока он
не научится отличать правое от левого, он
не см ожет установить, построены ли его ато ­
мы из электронов или позитронов. Эту о б ­
щую симметрию теоретики н азы ваю т СР-инвариантностью. В период написания этой
книги считалось, что слабы е взаимодействия
не н аруш аю т СР-инвариантности. В о зм о ж ­
ность сущ ествования подобной общей сим­
метрии удовлетворительна с методологиче­
ской точки зрения и облегчает примирение
с несохранением четности и нарушением сим­
метрии античастиц.
Однако в 1964 г. брукхэйвенская группа
физиков, проведя тщательное изучение спо­
собов распада /(“-мезонов, о б н а ру ж и ла не­
большое нарушение СЯ-инвариантности. Д о
этих опытов считалось, что кривые р аспада
К 0- и /(“-мезонов в точности одинаковы.
Теперь эксперимент п оказал, что обе кривые
несколько различаю тся и что в принципе
можно отличить пучок /С°-мезонов от пуч­
ка /(“-мезонов. Итак, мы, наконец, имеем
эффект, помогающий отличить правое от л е ­
вого. Попросим теперь ученого в удаленной
от нас галактике построить ускоритель, по­
лучить на нем то, что мы считаем /(°-мезонами, и измерить их кривую распада. В за в и ­
симости от того, к а к ая получится кривая, мы
сможем ск азать ему, из чего построен его
ускоритель, из вещества или антивещества.
В настоящ ее время проводятся интенсивные
поиски нарушения С Р -инвариантности в д р у ­
гих
процессах и проверки
нарушения
СР-инвариантности в сильных и э ле ктр ом а г­
нитных взаимодействиях.
§ 8. Сводка законов сохранения
ЗАПРЕТЫ
Ответ 8. П ол уч и тся н аблю даем ы й на
опы те р а сп а д я - - м е з о н а , к а к на
фиг. 337, б.
Основные законы сохранения в опреде­
ленном смысле представляю т собой более
сильные утверж дения, нежели прочие з а к о ­
ны. Это обусловлено тем, что все, что мож ет
происходить, действительно происходит, если
только нет запрета, налагаем о го законам и
сохранения. Исходя из законов сохранения,
нельзя сказать, как часто происходит то или
иное событие, хотя хорошим указанием сл у­
жит относительная величина четырех ф у н д а­
ментальных взаимодействий. Напомним, что
электромагнитные взаимодействия прим ер­
но в 100 раз, а слабы е в 1014 раз менее веро­
ятны, чем сильные. В аж н о отметить, что
лю бая м ы слимая реакция или тип распада
долж ны происходить в природе, если только
нет запретов, н алагаем ы х одним из законов
сохранения.
Некоторы е из приводимых ниже 13 з а к о ­
нов сохранения формулирую тся в виде прин­
ципов симметрии. О днако в квантовой механике всегда можно найти математически экБивалентный к а ж д ом у из принципов симметр ИИ закон сохранения.
539
В незапная недавняя утрата закона с о х р а­
нения четности и симметрии античастиц сл у­
ж ит еще одним предостережением ученым и
философам в отношении справедливости
других «неприкосновенных» законов физики.
К примеру, никогда не у д ав ал ось в общем
виде д о к аза ть справедливость закона с о х р а­
нения энергии. О днако если бы о б н а р у ж и ­
лось хоть одно-единственное нарушение это­
го закона, то это явилось бы абсолютным д о ­
казательством того, что закон сохранения
энергии несправедлив. С делав эти предосте­
режения, мы приведем окончательную свод­
ку законов сохранения. Д л я полноты приве­
дены и те законы, которые не упоминались
в нашем изложении.
1. С охранение полной э н ер ги и , вклю чая
массу покоя.
2. С охранение полного им пульса.
3. С охранение полного момента количест­
ва движ ения.
4. С охранение элект рического заряда.
5. С охранение тяжелых частиц (и л и бари о н о в). Н уклонам и гиперонам соответст­
вует барионный заряд, равный + 1 . И х анти­
частицам соответствует барионный заряд,
равный — 1. Этот закон утверж дает, что пол­
ное число барионов долж но оставаться по­
стоянным.
6. С охранение лептонов. Этот закон м о ж ­
но рассм атривать как ан алог предыдущего
закона в случае легких частиц; уе и е~ имеют
электронный лептонный з а р я д + 1, а лептон­
ный з а р я д их античастиц равен — 1. С оглас­
но этому закону, полное число лептонов
электронного семейства до и после в заи м о ­
действия д о лж н о быть одинаковым. Имеется
аналогичный и независимый закон сохране­
ния мюонного лептонного зар я д а .
7. З а р я д о в а я независимость (часто н а з ы ­
вается сохранением изотопического с п и н а ).
Этот закон справедлив лиш ь для сильных
взаимодействий. Вследствие существования
электромагнитных взаимодействий точность
полученных на основе этого зак он а пред­
сказаний л еж и т в пределах 1%. З а р я д о в а я
независимость предсказы вает тождествен-
Вопрос 9. С ущ ествую т ли законы сохран ен и я, которы е огран и чи вал и бы
с л а б ы е в за и м о д е й с тв и я, но н ар у ш ались бы сильны м и взаи м о д ей ств и ям и ?
ность сил, действующих м еж д у двумя про­
тонами, силам, действующим меж ду нейтро­
ном и протоном.
8 . С охранение странности ( ассоциатив­
ное рож дение странных частиц). Этот з а ­
кон справедлив д ля всех сильных и эле ктр о ­
магнитных взаимодействий, но наруш ается
слабыми взаимодействиями. Именно б л а г о ­
д ар я этому закону гипероны и каоны р а с п а ­
даю тся достаточно медленно и оставляю т з а ­
метные следы.
9. Симметрия античастиц. Этот закон
так ж е справедлив для всех сильных и эл е к т­
ромагнитных взаимодействий, но н ар у ш а ет­
ся слабы ми взаимодействиями.
10. С охранение четности. Этот закон т а к ­
ж е справедлив д ля всех сильных и электр о­
магнитных взаимодействий, но наруш ается
слабыми взаимодействиями.
11. СР-инвариантность. Этот закон у тв ер ­
ждает, что если любой эксперимент отразить
в зер к ал е и заменить все частицы соответ­
ствующими античастицами, то этот новый
эксперимент будет т а к ж е «зак онор ож ден ­
ным». Д ан н ы й закон, по-видимому, сп р ав ед ­
лив д ля сильных и электромагнитных в з а и ­
модействий, но небольшие нарушения его н а ­
блю дались при распаде нейтральных каонов.
12. СР'Г-инвариантность. Этот закон у т ­
верж дает, что если любой эксперимент о т р а ­
зить в зер к ал е и заменить все частицы соот­
ветствующими античастицами, обратить н а ­
правления всех скоростей и вращений, то
этот новый эксперимент будет « зак о н ор ож ­
денным». Считается, что этот закон сп р ав ед ­
лив д ля всех взаимодействий.
13. Инвариантность относительно о б р а ­
щ ения врем ени. Этот закон утверж дает, что
если в любом эксперименте обратить н а ­
правления всех скоростей и вращений, то
этот новый эксперимент будет « зак он о рож ­
денным». Он, по-видимому, справедлив для
сильных и электромагнитных взаимодействий, но долж ен несколько н аруш аться в слабых взаимодействиях, поскольку слегка нарушается СР-инвариантность, а СРГ-инвариантность незыблема.
541
§ 9. Задачи на будущ ее
ЭТО ТОЛЬКО НАЧАЛО
О т в ет 9. Нет.
542
Нелепо пользоваться терм инам и «элемен­
тарный», говоря о более чем 200 элем ен тар ­
ных частицах. Более целесообразно иметь
дело с различными типами частиц: фотоном,
электронными лептонами, мюонными лептонами и адронами. Р азу м н о надеяться, что в
будущем число истинно элементарны х ч ас­
тиц сократится. Возможность взаимных пре­
вращений (совместных с законам и сохране­
ния) всех элементарных частиц укрепляет
над еж д у на сущ ествование единого поля,
для которого эти частицы будут различными
«квантовыми состояниями». П одобная еди­
ная теория д о л ж н а была бы предсказать
массы существующих «элементарных» ч ас­
тиц. Кроме того, эта окончательная теория
д о л ж н а обеспечить вычисление за р я д а э л е к ­
трона и всех прочих физических констант.
В настоящ ее время все физические констан­
ты типа с, е, Н, т е, т Р и т. п. являю тся пол­
ностью независимыми. Вообщ е говоря, по
мере нашего продвижения к окончательной
истине у нас д о л ж н а появиться возможность
вычисления некоторых из этих констант на
основе других констант. Например, сейчас
мы можем выразить энергию связи атома во­
дорода через е, к и т е. Д ругой пример: со­
временная теория универсального в заи м о ­
действия Ферми позволяет выразить время
жизни мюона через время жизни нейтрона.
Окончательная теория д о л ж н а будет не
только предоставить нам способ вычисления
з а р я д а электрона (или силы электром агнит­
ного взаимодействия), но и объяснить силь­
ное, слабое и гравитационное взаим одейст­
вия. Последнее
оказы вается значительно
меньше слабого взаимодействия. Д ел ал и сь
безуспешные попытки объяснить тяготение
с помощью нейтрино. В озможно, что о д н а ж ­
ды тяготение будет объяснено на основе
иных, казалось бы, не св язанны х с ним я в ­
лений. Кроме того, в число нерешенных
проблем входят происхождение, разм еры и
эволюция Вселенной. С оздается ли вещество
из «ничего»? Н е существуют ли галактики,
построенные из антивещества и равночислен­
ные обычным гал актикам ?
Н аш и представления о строении физиче­
ского мира подвергались длительной э во л ю ­
ции со времен Аристотеля, когда все о б ъ я с ­
нялось комбинацией четырех основных э л е ­
ментов: огня, воды, воздуха и земли. Сейчас
в нашем распоряжении имеется полное и
удовлетворительное объяснение строения
обычного вещества, основанное на кв ан то ­
вой электродинамике. О д н ако в своих
попытках понять, что из многообразия э л е ­
ментарных частиц и их взаимодействий я в ­
ляется действительно ф ундаментальным, мы
выглядим пока довольно беспомощными.
Задачи
1. Е _ -гиперон р а с п а д а е т с я следую щ им о бразом :
3 ” -—►п~
А 0.
а ) К ак о вы п род укты р а с п а д а а н т и -3 _ -ги перона?
б) К а к о в электрический
зар яд
анти-Н ~-гиперона?
2. Ч то я в л я ет ся анти частицей антинейтрино?
3. К ако в период п о л у р а сп ад а анти нейтри но и к а к о ­
вы п род укты его р а сп а д а ?
4. Н е б у д ет ли полное количество массы при р а с п а ­
д е пиона я — ».
после р а с п а д а меньш е, чем до
р а с п а д а ? (Н ап ом н и м , что м асса д в и ж у щ ей с я ч а с ти ­
цы больш е, чем м асса п окоящ ейся.)
5. В к а ж д о м из приведенны х н и ж е зап рещ ен н ы х ти ­
пов р а с п а д а у к аж и т е, с н аруш ением как ого зак о н а
сохран ен и я он с вязан ?
А -—*■7С+ -(г те- ,
К+ —►те+ + те” + те?
N — >- е“ + Р + 7,
Р —* А + е+ + ч,
N — * е~ + е + + V.
6
. К а к о в з а р я д анти -Е + -гиперона?
7. К аки е из приведенны х реакци й запрещ ены и к а ­
кие при этом н а р у ш а ю тся зак он ы сохранени я:
а) А ° — *• Р -(- те» ,
543
б)
Р
+
|Х+ -I- е г .
Р
в) N — »- Р + е~ + че ,
г ) Р — »- N + е + + че ,
Д) Е + —
л ° + *+.
. З а а -р а с п а д о м Ц 2 3 8 п р о и сх о д ят д в а п о с л ед о в а ­
тельны х Р_ -р а сп а д а . Ч ем у равн ы величины 2 и А
конечного п р о д у кта?
9. Я д ро Р и 2 3 9 (2 = 94 испы ты вает а -р а с п а д . Д оч ерн ее
ядро и спы ты вает д в а п осл ед овател ьн ы х 3 -р а сп а д а .
З а те м о б р а зо в а в ш ее с я ядро б о м б ар д и р у ется нейтро­
нам и и поглощ ает 4 нейтрона. Ч ем у равн ы вели чи­
ны 2 и А конечного п род укта?
10. К акие из четы рех типов нейтронов (\е, V е , V (х,
V,!) м огут в ы зы ва ть следую щ ие реакции:
8
а) ? + Р — >-Л^+е+,
б) ?+ЛГ—
в) ? + N — ь р + е - ?
11. Д о п усти м , что все прод укты аннигиляци и, и зоб­
раж ен н ы е на фиг. 329, не испы ты ваю т в д а л ь н е й ­
шем взаи м о д ей ств и я, а р асп а д а ю т ся. Д оп усти м т а к ­
ж е, что за р я ж е н н ы е пионы п р ев р ащ аю тся в мюоны,
которы е затем р асп а д а ю т ся. Е динственн ы м и конеч­
ными п род уктам и буд ут е ~, е+, V , V и ф отоны . С к о л ь­
ко о б р а зу е тс я частиц к а ж д о г о со р та?
12. И зо б р аж е н и е правого ви н та, сп роектированное
на м атовы й стеклян ны й эк р ан , им еет вид п р ав о го ж е
винта. К аким б уд ет к а з а т ь с я винт — правы м или л е ­
вым, если посм отреть на эк р а н с д ругой стороны ?
13. А нтипротон о с та н а в л и в а ет с я и аннигилирует с про­
тоном. В р е зу л ь т ат е о б р а зу ю тся три пиона равной
энергии. К а к о в а кинетическая эн ергия к а ж д о г о пиона
(в М э в)?
14. «Атом», представл яю щ и й собой эл ектрон , с в я з а н ­
ный с позитроном , м о ж ет п р о су щ еств о в ать некоторы й
п ром еж уток врем ени — 1 0 ~ 6 сек, по истечении к о то р о ­
го он ан н и ги л и рует. П о д о б н а я систем а н а зы в ае тс я
позитронием . К а к а я система б уд ет соп ряж ен н ой по
за р я д у с позитронием ?
15. П равы й винт ввинчивается в отверстие с резьбой.
К аким будет к а з а т ь с я винт, если см отреть со стороны
отверстия, — правы м или л евы м ?
16. Д оп усти м , что зер к ал о на фиг. 336, а р а сп о л о ж е ­
но не го р и зон тал ьн о внизу, а в ерти к ал ьн о сп р ав а.
Н арисуйте и зоб р аж ен и е в этом зе р к ал е . К аким б уд ет
изображ ен и е ц + -м езо н а — правови н товы м или л е в о ­
винтовы м?
17. П ри за х в а т е ц,~-мезона протоном эти частицы б л а ­
го д ар я ун и версальн ом у взаи м о д ей ств и ю Ф ерми могут
544
п р ев р ати ться в нейтрон и другую частиц у. Ч то это за
частиц а? (О на д о л ж н а у д о в л е тв о р я ть за к о н у с о х р а ­
нения леп тон ов.)
18. И зо б р ази т е на рисунке, к ак в ы гл я д е л а бы в пу­
зы рьковой к ам ер е р еак ц и я К ~ + Р —* 2 - + я + , п ред п о ­
л а г а я при этом , что ./(“ -мезон о с та н а в л и в а ет с я , а
2 ~-гиперон
р а с п а д а е т с я на лету.
19. Е сли я д р а С о 6 0 ориентирован ы так , что их спины
« см отрят» вверх, то р-частицы б у д у т испускаться п р е­
им ущ ественно вниз. Н ари суй те зер к ал ь н о е о т р а ж е ­
ние этого р а с п а д а .
а ) К а к будет н ап р ав л ен спин отр аж ен н о го в з е р ­
к ал е я д р а С о 60, если зе р к ал о р асп о л о ж ен о го ­
р и зон тал ьн о (восп ользуй тесь тем ж е о б о зн ач е ­
нием н ап р ав л ен и я спина, к а к и на фиг. 338)?
б) К а к б уд ет н ап рав лен спин о т р аж ен н о го в зе р ­
к ал е яд р а Со60, если зе р к а л о р асп ол ож ен о
в ерти кал ьн о?
в) В к а ж д о м из полученны х в р езу л ьт ат е з е р ­
кал ь н о го о т р а ж е н и я состояний вы ясни те н а ­
правл ен и е вы лета эл ек тр о н а (п а р ал л е л ьн о или
а н ти п а р ал л ел ь н о сп и н у).
20. Н а п р ак ти ке при о стан овке л ев ови н товы х ц+ -м езонов их позитрон ы р а сп а д а испускаю тся преим ущ е­
ственно в обратн ом нап равлен и и . Р ассм о тр и м случай,
к огд а позитрон в ы л етает в точности н а за д , а че и
в ы летаю т точно в нап равлен и и вперед. К аким будет
позитрон — л евовин товы м или п равови н товы м ?
21. П ри р а сп а д е п + — "
+
эн ер ги я нейтрино с и м ­
пульсом Р и кинетическая эн ергия (х-мезона (Р 2/2 М ц )
ч ерпаю тся из р азн ости м асс. Н ай ти Р и кинетическую
энергию ц-м езон а (в М э е ).
. О п редел и те м акси м ал ьн ую энергию эл ек тр о н а при
распаде
— >-е~ + ^ + ^ е , с чи тая эл ектрон настолько
реляти ви стски м , что его импульс Р = Ш '/с .
2 2
П Р И Л О Ж ЕН И Е
ТАБЛИЦЫ
I.
П олезны е переводны е множители
1 дю йм
2 ,5 4 см
м иля
1,61 к м , и л и 5280 ф ут
1м
3 9 ,3 7 д ю й м
1 м и л я !ч а с
4 4 ,7 с м /с е к
60 м и л ь /ч а с
8 8
ф у т /с е к
1 кг
2 ,2 0 4 ф у н т
1 нью т он
1 0 6 дин
1
дж
1 0 7 эрг
1 кал
4 ,1 8 дж
1 к у л о н 3 - 10е С О З Е (О)
1 СО ЗЕ (V )
300 в
1
эв
1 ,6
1 0 ~12 эрг
1 М эе
1 , 6 1 0_в эрг
1
1
А
1 0 ~ 8
см
Н . Некоторые физические константы
С к о р о сть света с
З а р я д эл е к тр о н а е
У с к о р ен и е силы т я ж е с т и на
поверхности зем л и §
Г р ав и та ц и о н н ая
постоян­
ная О
П о с то я н н а я П л а н к а к
П о с то ян н а я Б о л ь ц м а н а к
М асса эл е к т р о н а т е
М асса п ротон а М р
М Р / т е = 1837
Э н е р ги я
п о к о я эл е к тр о н а
тес 2
Э н е р ги я
покоя
протона
М р с2
Ч и сл о А вогад ро Л^0
А тм осф ерное д а в л ен и е Р 0
А бсолю тны й н у л ь Т = 0°К
Р а д и у с Зем ли
Р а с ст о я н и е от Зем ли
до
Луны
Расстояние
от З е м л и до
С олнца
3• 1 0 1 0 с м /с е к
4 ,8 -1 0 -!» С О З Е ((?)
980 с м /с е к 2
6 .6 7 - 1 0-8 см 3/ г - с е к 2
6 , 6 2 - 10-27 э р г -с е к
1 ,38 • 1 0 —
1 8 э р г /г р а д .
9, 11 10-28 г
1 .6 7 - Ю"24 г
0 ,5 1 Мэе
938 М эе
1 0 2з
1 , 0 1 ■1 0 е д и н /с м 2
— 273СС
6378 км
6 , 0 2
384 400 км
149 500 000
км
[II.
А зот
А ктини й
А лю миний
А м ериций
А ргон
А стат
N
Ас
А1
Ат
Аг
А1
7
89
13
95
18
85
14,0067
227
2 6 ,9 8 1 5
(243)
3 9 ,9 4 8
Барий
Б ериллий
Берклий
Бор
Бром
Ва
Ве
Вк
В
Вг
56
4
97
5
35
1 37 ,3 4
9 ,0 1 2 2
(249)
10,811
7 9 ,9 0 9
В ан ад и й
В исм ут
В одород
В ольф рам
V
В1
Н
№
23
83
5 0 ,9 4 2
20 9 ,9 8 0
1,00797
183 ,8 5
Г ад оли н и й
Г аллий
Г аф ний
Г елий
Г ерм аний
Гольмий
Ой
Оа
НГ
Не
Ое
Но
64
31
72
32
67
157 ,2 5
6 9 ,7 2
178,49
4 ,0 0 2 6
7 2 ,5 9
164,930
Д и сп р о зи й
оу
6 6
162,50
Е вроп ий
Ей
63
151,96
Ж елезо
Ре
26
5 5 ,8 4 7
Зол ото
Аи
79
196,967
Элем ент
номер
С им вол
А том н ы й
Элементы
1
74
2
С редний
атомный
вес
И н дий
Иод
И ридий
И ттерби й
И ттри й
п
I
1г
УЬ
V
49
53
77
70
39
114,82
126,9044
1 9 2 ,2
173,04
8 8 ,9 0 5
К ад м и й
К алий
К ал и ф о р н и й
К альций
К ислород
К обальт
К рем н и й
К р и п то н
К сенон
К урчатови й
К ю рий
Сс1
К
сг
Са
О
Со
51
Кг
Хе
Ки
Ст
48
19
98
112,40
3 9 ,1 0 2
(249)
4 0 ,0 8
15,9994
58,9 3 3 2
2 8 ,0 8 6
8 3 ,8 0
131,30
Л ан та н
Л о у р ен си й
Ьа
1
2 0
8
27
14
36
54
104
96
57
103
(245)
138,91
Элемент
С редний
атомный
вес
С им вол
Л итий
Л ю теций
и
з
Ьи
71
6 ,6 3 9
1 7 4 ,9 7
М агний
М арган ец
М едь
М енделевий
М олибден
М ы ш ьяк
м§
Мп
Си
Му
Мо
Аз
12
25
29
101
42
33
2 4 ,3 1 2
5 4 ,9 3 8 0
6 3 ,5 4
(256)
9 5 ,9 4
7 4 ,9 2 1 6
Н атри й
Н еодим
Н еон
Н еп ту н и й
Н и кел ь
Н иобий
N3
N(1
11
60
102
2 2 ,9 8 9 8
1 4 4 ,2 4
2 0 ,1 8 3
(237)
58,71
9 2 ,9 0 6
(253)
Ые
10
Ыр
N1
ЫЬ
93
28
41
О лово
О сьм ий
Оз
50
76
118,69
190.2
П а л л ад и й
П л ати н а
П л утон и й
П олоний
П р а зе о д и м
П ром ети й
П р о т ак т и н и й
Рс1
Р1
Ри
Ро
Рг
Ргп
Ра
46
78
94
84
59
61
91
106 ,4
195,09
(242)
210
140,907
(145)
231
Р ади й
Р адон
Рени й
Р од ий
Ртуть
Р уб иди й
Р утен и й
Ра
Рп
Ре
88
86
222
75
45
80
37
44
186.2
102,905
2 0 0 .5 9
8 5 ,4 7
101,07
150,35
20 7 ,1 9
7 8 ,9 6
32 ,0 6 4
107,870
4 4 ,9 5 6
8 7 ,6 2
121,75
2 0 4 ,3 7
180,948
127.60
158,924
5п
РН
Н§
РЬ
Ри
С ам арий
С винец
С елен
С ера
С ереб ро
С кандий
С тронций
С урьм а
5с
5г
5Ь
62
82
34
16
47
21
38
51
Т ал л и й
Т ан тал
Т ел л у р
Т ербий
Т1
Та
Те
ТЬ
81
73
52
65
5т
РЬ
5е
5
Аб
226
С им вол
Т ехнеций
Т итан
Т ори й
Т ули й
Тс
Т1
ТЬ
Тгп
У гл ер о д
У р ан
С
II
Ф ерм ий
Ф осф ор
Ф ранц ий
Ф тор
Ет
Р
Рг
Р
43
2 2
90
69
6
92
1 0 0
15
87
9
Средний
атомный
вес
Э лем ент
С им вол
Атомный
номер
Э лем ент
Атомный
номер
П родолжение
Средний
атомный
вес
С1
Сг
17
24
3 5 ,4 5 3
5 1 ,9 9 6
(99)
4 7 ,9 0
23 2 ,0 3 8
168,934
Х лор
Хром
Ц ези й
Ц ерий
12,01115 Ц и н к
238 ,0 3
Ц ирконий
Сз
Се
2 п
2 г
55
58
30
40
132,905
140 ,1 2
6 5 ,3 7
9 1 ,2 2
(255)
30,9 7 3 8
223
18,9984
Э рбий
Э йнш тейний
Ег
Ез
6 8
99
167,26
(255)
IV.
П ериодическая табли ца элементов
[8 9 90 91 92 93 94 95 96 97 98
[А с ТН Ра
V Ыр Ры А т С т Вк а
шт
81 82 83 84 85 86
Т1 РЬ В) Ро А» Рп
6с/ И
5*-
Г
74 75 76 77 78 79 80 I
72
71 73
К и Ж Та УУ Ке 0 5 1г Р* Аи Нд|
-6р-
-56-
57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
1а Се
49 50 51
52 53
1п 5п 5Ь
Те
5 18
— 5р —
\
Г
34 35 3 6
II О31с С32е 33
А& 5е Вг Кг
.1
Г
39 4 0 41 4 2 43 44 45 4 6 4 7 48
У
1/
Р 5
<»
2 р МЬ М о Тс Ки КЬ Рв А д Сс!
21 22 23 2 4 25 26 27 28 29 30
5с
13 14 15 16 17
1А1 51
Ег Т т УЬ
---------- 4 * —
-4с/ -
-
Г
4 18
Рг N 1) Р т 5 т Ей О й ТЬ Оу Но
<-----
54 ■
1 Хе |
18
С1 А
И
V
Сг М п Ре Со N 1 Сы 2п
36-
V
>■
5
В
В
6
7
8
9
10
С
N
О
Р
Ме
З 4
II
Ве
I 2*
551
ОГЛАВЛЕНИЕ
° т Редакции.........................................................
5
П реди сл ови е а в т о р а ко в тором у ам ер и кан ск о м у
издан ию
................................................................................. 7
П ред и сл ов и е а в т о р а к первом у русском у издан ию
ю
П реди сл ови е к первом у и з д а н и ю .............................1 2
О бращ ен и е а в т о р а к у ч а щ и м с я ...................................)§
Г лава
1
В ведение
. Ч то т ак о е ф и зи к а?
.................................................... 19
§ 2. Е диницы изм ерения
§
...............................................22
1
§ 3. М атем атический а п п а р а т ф изики
. . . .
§ 4. Г раф и ческое и зо бр аж ен и е
.
§ 5. Н а у к а и общ ество
Глава 2
Кинематика
^ |
§ 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
26
.
34
.
35
С корость . . . . .
. .........................................4 2
у с к о р е н и е ...................................................................... 46
§ 3. С ло ж н о е дв и ж ен и е
.
.
.. . . . . . .
§
4. В екторы
§
5. П о л е т с н а р я д а .................................. ............
5 3
............................................. ................5 5
58
§ 6 . Ц е н трострем и тел ьн ое ускорени е
. . . . .
62
§ 7. И скусственны е спутники З е м л и
,
64
§ 8 . П р о в е р к а разм ерн ости
. . . .
........................................ 6 6
Глава 3
§ 1 . З а к о н ы д в и ж е н и я Н ью тон а
. * . . . .
7 4
Динамика
§ 2. З а к о н сох р ан ен и я им пульса
. . . . . .
7 7
.
8 8
§ 3. С ила
84
§ 4. Н а к л о н н а я плоскость
.
.
.
.
.
.
.
.
§ 5. М аш и н а А т в у д а ................. * ..... ............................89
§ 6 . П ростой гармонический м аятн и к
Глава 4
Тяготение
§ 1 . З а к о н всем ирного тяготени я Н ью тона
§ 2. З ак о н ы К еплера
.
.
.
< ...........................ю б
.................................Ц 2
5 §
1
9 0
.
юо
.
.
................................ Ц 7
. З а к о н сох р ан ен и я м ом ента кол и чества движ ен и я
§
,
........................................................... ЮЗ
§ 4. Вес и невесом ость
Момент количества
движ ения и энергия
,
§ 3. В ы вод зако н о в К еплера
§ 5. Г р ав и т а ц и о н н ая м асса
Глава
.
.
.
2. Ц ен тр м асс
.
.
. . . . .
.
.
...............................129
§ 3. С тати к а
............... 124
.....................127
§ 4. Э нергия
§ 5. П о тен ц и ал ьн ая энергия
131
................................ 133
553
§ 6.
З а к о н сох р ан ен и я энергии
§ 7.
К ривы е потен циальной э н е р г и и .................... 138
.
................ .......... 135
§ 8 . П о т ен ц и а л ьн а я эн ергия силы т я ж е ст и
§ 9.
.
.
140
В т о р а я к осм и ческ ая с ко р о сть
142
§ 10. Т рение и тепл о
Г лава
6
К и н етическая теори я
144
§ 11. Э к в и в ал ен тн о сть массы и эн ергии
,
.
§ 12. З а к о н сох р ан ен и я т я ж е л ы х части ц
.
.
.
.
148
1 4 9
§ 1- П л о т н о с т ь ............................. ........................................156
§ 2. Д а в л ен и е
.
.
§ 3. Г и д р о с та т и к а
.
.
.
.........................................156
..................................
. .
. .
158
§ 4. А томы и м о л е к у л ы ................................................. 160
§ 5. У равнение с остоян и я и д еал ьн ого г а за
§ 6 . Т ем п ер ату р а
.
.
.
.
.
.
§ 7. З а к о н А в о гад р о
.
.
.
.
.
.
§ 8 . К ин етическая теория теп л а
.
.
163
.
.
.
.
.
166
.
.
.
.
.
171
. . . . . .
173
§ 9. И зм енение с о с т о я н и я ............................................... 176
§ 10. П у зы р ь к о в а я к а м е р а ............................................... 178
§ 11. С татистич еская м еханика
Г л ав а
7
Э л ектр о стати ка
180
/ § 1- Э лектронное строение в е щ е с т в а ....................190
§ 2- П он ятие з а р я д а
/
. . . . . . . .
§ 3. З а к о н К ул он а
§ 4.
..........................................................192
.
..........................................................196
Э л ек тр о ста ти ч ес к ая ин дукция
§ 5. Э лектрическое поле
§ 6 . С иловы е линии
......................199
^
. 201
..............................................
.
. 202
§ 7. Р а с п р ед ел е н и е з а р я д о в ......................................207
§ 8 . П о т ен ц и а л ьн а я энергия электри ческого поля
§ 9.
Э лектрический потен циал
. .
.
• •
213
■ -219
ООП
Г л ав а 8
Э л ектром агн ети зм
М
Г § Ь Э лектрическии ток
..............................................
§ 2. Силы , действую щ ие м еж д у токам и
.
•
. . .
233
§ 3. М агн итное п о л е .......................................................... 238
§ 4. С ила, д е й с тв у ю щ ая на проводн ик, по к о то ­
ром у течет т о к ..........................................................242
§ 5.
/
З а к о н А м п ера
............................................................ 247
§ 6 . Т еория м а г н е т и з м а .....................................................251
^ § 7. З а к о н ин дукции Ф а р а д е я ....................................256
§ 8 . У равнен ия М а к с в е л л а ...................................... ......
259
§ 9. Э л ек тром агн и тн ое и з л у ч е н и е .......................... 262
Г лава 9
П ри лож ения теории
эл ектри чества
§
1
. П р а к ти ч е ск а я систем а е д и н и ц ...................................272
§ 2. З а к о н О м а ...........................................................................272
§ 3.
Т еория электри ческих цепей
§ 4.
Р а д и о и тел еви ден и е
§ 5.
Э л ектр о н -в о л ьт
§ 6 . Ц и кл отрон
§ 7.
Г л ав а 10
Волны и свет
§
1
,
.
........................... 275
........ .............................. 279
...................................................281
.............................................................. 283
У скорители частиц вы соких энергий
. Э лектром агнитны е волны
. .
. 287
.....................................296
§ 2. Э лектром агнитны й с п е к т р ......................................298
§ 3. И н т е р ф е р е н ц и я ........................................................... 299
§ 4. И н терф еренц ионная к ар ти н а от д в у х щ елей 308
§ 5. Д и ф р ак ц и о н н ая
р е ш е т к а ..................................312
§ 6 . Г еом етри ческая о п т и к а .......................................... 314
Г л ав а 11
§ 1. П ринцип о т н о с и т е л ь н о с т и .................................... 324
Теория относительности
§ 2. П роб лем а э ф и р а ............................................................326
§ 3. Л о р ен ц ево с о к р а щ е н и е .......................................... 333
§ 4. З ам ед л ен и е течения в р е м е н и .............................. 334
§ 5. П а р а д о к с б л и з н е ц о в ................................................337
§ 6 . Р ел яти ви стск о е сл о ж ен и е скоростей
.
.
. 340
§ 7. О дноврем ен н ость
......................................................342
§ 8 . Р е л я ти в и ст ск а я
м е х а н и к а ................................... 343
§ 9. О б щ а я тео р и я о т н о с и т е л ь н о с т и ........................349
§ 10. П ринцип М а х а ..........................................................352
§ 11. К о с м о л о г и я ....................................................
Г л а в а 12
К в ан то в а я теория
§
1
.
. 355
. О сновны е р езу л ьтаты класси ческой ф изики
368
§ 2. Ф отоэлектри ческий э ф ф е к т ....................................371
§ 3. К о рп ускул ярн о-вол н овой д у а л и зм
. . . .
3 7 5
§ 4. Д и ф р ак ц и я э л е к т р о н о в ..........................................382
§ 5. П ринцип н е о п р е д е л е н н о с т и ................................... 384
Г л ав а 13
Т еория а т о м а
§ 1. Э лектронны е волны в я щ и к е ..............................392
§ 2 Атом
в о д о р о д а .......................................................... 395
§ 3. С пектр в о д о р о д а .................................................... 404
§ 4. М од ель Б о р а ..........................................................407
§ 5. С троение а т о м о в ....................................................414
§ 6 . П ериоди ческая система элем ен тов
§ 7. Р ен тгеновское излучение .
.
.
.
. . . .
.
.
.
417
425
555
Глава
14 § 1. Т еория строен и я м о л е к у л ................................... 434
Строение вещества
§ 2. К ри стал л и чески е т ел а
......................................... 438
§ 3. Электронны й ф е р м и - г а з .........................................441
§ 4. Э лектропроводн ость
...............................................444
§ 5. П о л у п ров од н и ки
........................ ............................446
§ 6 . С верхтекуч есть
.....................................................451
§ 7. Л а з е р ы ............................. ............................................. 452
§ 8 . П рон икновен ие сквозь б а р ь е р ..............................454
Глава
15 § 1. С войства я д е р ............................................................... 466
Ядерная физика
§ 2. Р ад и о ак т и в н ы й
§ 3. Р ад и о и зо то п ы
распад
.
.
.
.
.
.
.
.
471
..........................................................475
§ 4. Б иологическое воздей стви е излучения
..
. 479
§ 5. Д и ф р ак ц и о н н о е р а с с е я н и е .................................... 482
§ 6 . Силы , действую щ ие м еж д у д в у м я нуклонам и 484
§ 7. С троение я д р а
..........................................................486
§ 8 . Д ел ен и е я д е р ................................................................491
§ 9. С ин тез ядер
............................................................... 494
§ 10. К осмические л у ч и .................................................... 497
§ 11. О тветствен ность учены х п еред общ еством
Глава
16 § •• В ведение
Элементарные частицы
501
......................................................................508
§ 2. Б е та -р а с п а д и слабы е взаи м о дей стви я
§ 3. А нтивещ ество
.
. 510
.......................................................... 515
§ 4. С им м етрия ан ти частиц
.
§ 5. З а к о н со хран ен и я л еп тон ов
................................... 519
.............................. 520
§ 6 . А д р о н ы .............................................................................522
§ 7. Н есохран ен и е четности
......................................... 534
§ 8 . С в од к а зак о н о в сох р ан ен и я
§ 9. З а д а ч и на б у д ущ ее
П ри лож ение
Т аблицы
............................... 539
................................................542
547
Д ж . О рир
ПОПУЛЯРНАЯ Ф ИЗИКА
Х у д о ж ествен н ы й р е д а к т о р П . Ф. Н е ку н д з
Т ех н и ч ески й р ед акто р М . П . Грибова
К о р р ек то р Н . В . С п и ч ки на
С дан о в п р о и зв о д ство 13/ХП 1968 г .
П о дп исано к п ечати 16/Х 1969 г.
Б у м а га оф сетн ая 7 0 х 9 0 1/1в*17»5 бум. л .
40,95 у ел . п еч . л .
У ч .-и з д . л . 29,70. И зд . № 2/5029
Ц ена 1 р. 67 к . З а к . 176
И ЗД А Т Е Л ЬС Т В О «М ИР»
М о скв а, 1-й Р и ж ск и й п е р ., 2
Я р о сл а вс к и й поли граф ком бин ат Г л авп ол и графпрома Комитета по печати при Совете
М инистров С С С Р . Я р о с л а в л ь , у л . С вободы ,97.