Математика ЕГЭ: Теория вероятностей. Учебное пособие 2024

Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С Ю. Кулабухова
МАТЕМАТИКА
ЕГЭ
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Издание четвёртое
Учебно-методическое пособие
тм
ЛЕГИОН
Ростов-на-Дону
2024
УДК 372.851
ББК22.1я721
М34
Рецензенты:
С. В. Дерезин, кандидат физико-математических наук;
Е. М. Фридман, учитель математики
Авторы:
С. О. Иванов, Е. Г. Коннова, Д. И. Ханин
Математика. ЕГЭ. Теория вероятностей
учебноМ34 методическое пособие / С. О. Иванов, Е.Г. Коннова,
Д. И. Ханин; под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. —
4-е изд. — Ростов н/Д: Легион, 2024. — 176с. — (ЕГЭ).
ISBN 978-5-9966-1847-7
Пособие предназначено для формирования устойчивых навыков ре­
шения задач по теории вероятностей. Материал охватывает все темы за­
даний по теории вероятностей из открытого банка ЕГЭ.
В книге представлены 8 модулей, выделенных в соответствии со сте­
пенью сложности и тематикой предлагаемых задач. Модули содержат ди­
агностическую работу, теоретический материал, примеры выполнения за­
даний, варианты для самостоятельной работы. Пособие включает в себя
также краткий справочник и ответы.
Книга предназначена выпускникам старшей школы и учителям мате­
матики.
УДК 372.851
ББК22.ІЯ721
ISBN 978-5-9966-1847-7
(с) ООО «Легион», 2024
Оглавление
От авторов...................................................................................
6
Модуль 1. Классическое определение вероятности..
7
Диагностическая работа...................................................
7
Теоретическая часть...........................................................
9
Задачи о выборе объектов из набора.............................
10
Задачи о подбрасывании монеты.....................................
21
Задачи о бросании кубика ................................................
23
Задачи о противоположном событии.............................
27
Варианты для самостоятельного выполнения.............
29
Модуль 2. Простейшие формулы теории
вероятностей. Частота..............................................
36
Диагностическая работа...................................................
36
Теоретическая часть...........................................................
38
Задачи о пересечении независимых событий...............
40
Задачи об объединении несовместных событий.........
47
Задачи об объединении пересечений событий.............
50
Частота и вероятность.......................................................
Варианты для самостоятельного выполнения.............
57
58
Модуль 3. Зависимые события.......................................... 65
Диагностическая работа....................................................
Теоретическая часть...........................................................
Задачи о зависимых событиях .........................................
Задачи на проценты.............................................................
Разные задачи......................................................................
Варианты для самостоятельного выполнения.............
65
66
67
69
70
76
4
Оглавление
Модуль 4. Условная и полная вероятность...................
81
Диагностическая работа...................................................... 81
Теоретическая часть........................................................... 82
Задачи на классическое определение
вероятности ..........................................................................
83
Задачи на условную вероятность ...................................
88
Задачи на полную вероятность .......................................
93
Задачи на формулу Байеса ..............................................
97
Варианты для самостоятельного выполнения............. 103
Модуль 5. Использование комбинаторных формул.
Схема Бернулли.................................................................... 110
Диагностическая работа.................................................... НО
Теоретическая часть........................................................... 111
Комбинаторные формулы.................................................. 112
Схема Бернулли................................................................... 116
Варианты для самостоятельного выполнения............. 119
Модуль 6. Решение сложных задач................................... 123
Варианты для самостоятельного выполнения............. 129
Модуль 7. Случайные величины. Математическое
ожидание.......................................................................... 132
Диагностическая работа.................................................... 132
Теоретическая часть........................................................... 133
Условное математическое ожидание.
Полное математическое ожидание................................. 134
Задачи на случайные величины ....................................... 135
Задачи на определение математического
ожидания................................................................................ 137
Варианты для самостоятельного выполнения............. 154
Оглавление
5
Модуль 8. Элементы статистики........................................ 158
Диагностическая работа................................................... 158
Теоретическая часть........................................................... 158
Варианты для самостоятельного выполнения............. 164
Основные формулы теории вероятностей....................... 166
Приложение (к задаче о последовательности)............. 169
Ответы........................................................................................... 171
От авторов
Книга «Математика. ЕГЭ. Теория вероятностей» предна­
значена учащимся выпускных классов общеобразовательных
учреждений и учителям. Пособие будет полезно всем вы­
пускникам — как претендующим на высокий экзаменацион­
ный балл, так и желающим только преодолеть минимальный
порог.
Книга содержит восемь модулей, семь из которых — те­
матические, а один направлен на отработку навыков реше­
ния сложных задач. При этом практически все предлагаемые
задания аналогичны заданиям открытого банка ЕГЭ
.
*
Кни­
га включает в себя также краткий справочник (все основные
формулы).
Каждый модуль, кроме 6-го, содержит диагностическую
работу, необходимые теоретические сведения, примеры вы­
полнения заданий, варианты для самостоятельной работы.
Каждый вариант мы рекомендуем выполнять в течение
30—40 минут, а затем проверять правильность решения с по­
мощью ответов, данных в конце пособия. Если ответы не сов­
падут, попробуйте ещё раз решить задачу, а при необходимо­
сти найдите подобную среди разобранных примеров.
В четвёртое издание добавлен модуль 8 «Элементы стати­
стики» и расширен круг задач для отдельных тем, что отра­
жает изменения в открытом банке заданий ЕГЭ.
Желаем успеха на экзамене!
Замечания и предложения, касающиеся данной книги, мож­
но присылать на адрес электронной почты издательства:
1е§іоптиз@]^іопги5 .сот.
*См. сайт http://mathege.ru.
Модуль 1. Классическое определение
вероятности
В этом модуле рассматриваются задачи, для решения
которых достаточно применения определения вероятности.
Иногда здесь мы будем применять также формулу для вычис­
ления вероятности противоположного события. Хотя без этой
формулы здесь можно обойтись, она всё равно понадобится
при решении задач следующих модулей.
Диагностическая работа
1. На стоянке находится 56 автомобилей, из них в 42 есть
кондиционер. Найдите вероятность того, что в случайно вы­
бранном на стоянке автомобиле есть кондиционер.
2. В среднем из 1000 садовых шлангов, поступивших в про­
дажу, 16 подтекают. Найдите вероятность того, что один слу­
чайно выбранный для контроля шланг не подтекает.
3. Фабрика выпускает рюкзаки. В среднем на 100 каче­
ственных рюкзаков приходится восемнадцать рюкзаков со
скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что куплен­
ный рюкзак окажется качественным. Результат округлите до
сотых.
8
Модуль 1. Классическое определение вероятности
4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают
трижды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадет
орёл, во второй и третий — решка.
5. В случайном эксперименте бросают две игральные кости.
Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Ре­
зультат округлите до сотых.
6. На клавиатуре телефона 10 цифр — от 0 до 9. Какова ве­
роятность того, что случайно нажатая цифра будет нечётной и
меньше 8?
7. На экзамене участников рассаживают по семи аудитори­
ям. В первых шести — по 15 человек, оставшихся проводят
в запасную аудиторию на другом этаже. При подсчёте выяс­
нилось, что всего было 100 участников. Найдите вероятность
того, что случайно выбранный участник писал экзаменацион­
ную работу в запасной аудитории.
8. Телефон передаёт СМС-сообщение. В случае неудачи он
делает следующую попытку. Вероятность того, что СМСсообщение удастся передать без ошибок, в каждой отдельной
попытке равна 0,88. Найдите вероятность того, что для пере­
дачи сообщения потребуется не больше двух попыток.
Теоретическая часть
9
Теоретическая часть
Случайным называют событие, которое может произойти
или не произойти (заранее предсказать невозможно) во время
наблюдения или испытания.
Пусть при проведении испытания (бросание монеты или
кубика, вытягивание экзаменационного билета и т. д.) насту­
пает один из п равновозможных исходов. Например, при под­
брасывании монеты число всех исходов п равно 2, так как
кроме выпадения «решки» или «орла» других исходов быть не
может. При броске игрального кубика возможны 6 исходов,
так как на верхней грани кубика равновозможно появление
любого из чисел от 1 до 6. Пусть также некоторому событию
А благоприятствуют т исходов.
Вероятностью события А называется отношение числа
благоприятных для этого события исходов к общему числу
равновозможных исходов*. Пишем Р(А) = —.
п
Например, пусть событие А состоит в выпадении нечётно­
го числа очков при бросании кубика. Всего возможны 6 ис­
ходов: выпадение на верхней грани кубика 1, 2, 3, 4, 5, 6.
При этом благоприятными для события А являются исходы
3
с выпадением 1, 3, 5. Таким образом, Р(А) = - = 0,5.
6
*Это так называемое классическое определение вероятности. Су­
ществуют и другие определения (например, геометрическое), однако в
школьном курсе они не рассматриваются.
10
Модуль 1. Классическое определение вероятности
Заметим, что всегда выполняется двойное неравенство
0 ^ т ^ п, поэтому вероятность любого события А лежит
на отрезке [0; 1], то есть 0 ^ Р(А) ^ 1. Если у вас в отве­
те вероятность получается больше единицы, значит, вы где-то
ошиблись и решение нужно перепроверить.
События А к В называются противоположными друг
другу, если любой исход благоприятен ровно для одного из
них. Например, при бросании кубика событие «выпало нечёт­
ное число» является противоположным событию «выпало
чётное число».
Событие, противоположное событию А, обозначают А.
Из определения противоположных событий следует, что
Р(А) + Р(А) = 1, значит, Р(А) = 1 - Р(А).
Задачи о выборе объектов из набора
В этих задачах нужно подсчитать общее число объектов
(равно общему числу исходов) и число подходящих объектов
(равно числу благоприятных исходов). После этого следует
воспользоваться определением вероятности.
Задача 1. Антон, Боря, Вова и Гриша бросили жребий — кому
начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру
должен будет Вова.
Задачи о выборе объектов из набора
11
Решение.
Общее число исходов равно 4 (число ребят, бросав­
ших жребий). Благоприятный исход один — выиграл Вова.
По определению искомая вероятность равна - = 0,25.
4
Ответ: 0,25.
Задача 2. В чемпионате мира участвуют 24 команды. С помо­
щью жребия их нужно разделить на четыре группы по шесть
команд в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с но­
мерами групп:
1, 1,1,1, 1,1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова веро­
ятность того, что команда России окажется в третьей группе?
Решение.
Общее число исходов равно числу карточек — их 24. Бла­
гоприятных исходов 6 (так как номер 3 написан на шести кар­
точках). Искомая вероятность равна — = - = 0,25.
Ответ: 0,25.
Задача 3. В урне 14 красных, 9 жёлтых и 7 зелёных шаров.
Из урны наугад достают один шар. Какова вероятность того,
что этот шар окажется жёлтым?
Модуль 1. Классическое определение вероятности
І2
Решение.
Общее число исходов равно числу шаров: 14 + 9 + 7 = 30.
Число исходов, благоприятствующих данному событию, рав9
3
но 9. Искомая вероятность равна — = — = 0,3.
30
10
Ответ: 0,3.
Задача 4. На клавиатуре телефона 10 цифр — от 0 до 9. Како­
ва вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чёт­
ной и больше 5?
Решение.
Исходом здесь является нажатие определённой клавиши,
поэтому всего имеется 10 равновозможных исходов. Указан­
ному событию благоприятствуют исходы, означающие нажа­
тие клавиши 6 или 8. Таких исходов два. Искомая вероятность
2
равна — — 0,2.
10
Ответ: 0,2.
Задача 5. Какова вероятность того, что случайно выбранное
натуральное число от 4 до 23 делится на три?
Решение.
На отрезке от 4 до 23 имеется 23 — 4 + 1 = 20 натуральных
чисел, значит, всего возможны 20 исходов. На этом отрезке
кратны трём следующие числа: 6, 9,12,15,18, 21. Всего таких
Задачи о выборе объектов из набора
13
чисел 6, поэтому рассматриваемому событию благоприят6
3
ствуют 6 исходов. Искомая вероятность равна ^ = ^ “ 0,3.
Ответ: 0,3.
Задача 6. Из 20 билетов, предлагаемых на экзамене, школь­
ник может ответить только на 17. Какова вероятность то­
го, что школьник не сможет ответить на выбранный наугад
билет?
Решение.
1-й способ.
Так как школьник может ответить на 17 билетов, то
на 3 билета он ответить не может.
лучить
из
один
этих
билетов
по
Вероятность по­
определению
равна
1 = І1£ = 21 =
20
20-5
100
2-й способ.
Обозначим через А событие «школьник может ответить
на билет». Тогда Р(А) = — = ——- — — = 0,85. Вероят20
20-5
100
ность противоположного события равна
Р(А) = 1 - р(А) = 1 - 0,85 = 0,15.
Ответ: 0,15.
Задача 7. В чемпионате по художественной гимнастике
участвуют 20 спортсменок: 6 — из России, 5 — из Герма­
нии, остальные — из Франции. Порядок, в котором выступа­
ют гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность
Модуль 1. Классическое определение вероятности
14
того, что спортсменка, выступающая седьмой, окажется из
Франции.
Решение.
Всего 20 спортсменок, у всех равные шансы высту­
пать седьмой. Поэтому имеются 20 равновероятных исходов.
Из Франции 20 — 6 — 5 = 9 спортсменок, поэтому имеются
9 благоприятных для указанного события исходов. Искомая
9
9-5
45
п
вероятность равна — =------- = — = 0,45.
20 20-5
100
Ответ: 0,45.
Задача 8. Научная конференция проводится в течение 5 дней.
Всего запланировано 50 докладов — первые три дня по 12 до­
кладов, остальные распределены поровну между четвёртым и
пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой.
Какова вероятность того, что доклад профессора Н. окажется
запланированным на последний день конференции?
Решение.
Сначала найдём, сколько докладов запланировано на по­
следний день. На первые три дня запланировано 12-3 = 36 до­
кладов. Остаются ещё 50 — 36 = 14 докладов, которые рас­
пределяются поровну между оставшимися двумя днями, по-
14
_
этому в последний день запланировано — = 7 докладов.
Будем считать исходом порядковый номер доклада про­
фессора Н. Всего таких равновозможных исходов 50. Бла­
гоприятствуют указанному событию 7 исходов (последние
Задачи о выборе объектов из набора
15
7 номеров в списке докладов). Искомая вероятность равна
1 = 2^ = 11 = 0,і4.
50
50-2
100
Ответ: 0,14.
Задача 9. На борту самолёта 10 мест рядом с запасными вы­
ходами и 15 мест за перегородками, разделяющими салоны.
Остальные места неудобны для пассажиров высокого роста.
Пассажир К. высокого роста. Найдите вероятность того, что
на регистрации при случайном выборе места пассажиру К.
достанется удобное место, если всего в самолёте 200 мест.
Решение.
Исход в этой задаче — выбор места. Всего имеется
200 равновозможных исходов. Благоприятствуют событию
«выбранное место удобное» 15 + 10 = 25 исходов. Искомая
25
25-5
125
вероятность равна — =-------- =------- = 0,125.
200 200 • 5
1000
Ответ: 0,125.
Задача 10. Из 1000 собранных на заводе кофемолок 7 штук —
бракованные. Эксперт проверяет одну наугад выбранную ко­
фемолку из этой 1000. Найдите вероятность того, что прове­
ряемая кофемолка окажется бракованной.
Решение.
При выборе кофемолки наугад возможны 1000 исхо­
дов, событию А «выбранная кофемолка бракованная» бла-
Модуль 1. Классическое определение вероятности
16
гоприятствуют 7 исходов. По определению вероятности
7
= —^— = 0,007.
1000
Ответ: 0,007.
Задача 11. Механические часы с двенадцатичасовым цифер­
блатом в какой-то момент сломались и перестали ходить.
Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, до­
стигнув отметки 11, но не дойдя до отметки 2 часа.
Решение.
Условно циферблат можно разделить на 12 секторов, рас­
полагающихся между отметками соседних чисел (между 12 и
1, 1 и 2, 2 и 3, ..., И и 12). Исходом мы будем считать оста­
новку часовой стрелки в одном из указанных секторов. Всего
есть 12 равновозможных исходов. Указанному событию бла­
гоприятствуют три исхода (сектора между 11 и 12, 12 и 1,
3
1
1 и 2). Искомая вероятность равна “ ~ ~ 0,25.
Ответ: 0,25.
Задача 12. Завод производит холодильники. В среднем на
100 качественных холодильников приходится 15 холодильни­
ков со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что
купленный холодильник окажется качественным. Результат
округлите до сотых.
Решение.
Эта задача похожа на предыдущую. Однако формули­
ровка «на 100 качественных холодильников приходится 15 с
Задачи о выборе объектов из набора
17
дефектами» указывает нам, что дефектные 15 штук не вхо­
дят в 100 качественных. Поэтому общее число исходов равно
100 + 15 = 115 (равно общему числу холодильников), бла-
100
гоприятных исходов 100. Искомая вероятность равна —.
п
, 100
Для подсчета приближенного значения дроби — удобно
воспользоваться делением уголком:
_1 00,000 115
9 20
0,869...
_800
690
_1100
1035
т
100
п
Іаким образом,---- « 0,87.
115
Ответ: 0,87.
Задача 13. Перед началом первого тура чемпионата по тенни­
су участников разбивают на игровые пары случайным обра­
зом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 тен­
нисистов, среди которых 7 участников из России, в том числе
Максим Зайцев. Найдите вероятность того, что в первом ту­
ре Максим Зайцев будет играть с каким-либо теннисистом из
России.
Модуль 1. Классическое определение вероятности
18
Решение.
Как и в предыдущей задаче, необходимо внимательно про­
читать условие и понять, что является исходом, а что — бла­
гоприятным исходом (так, неосмысленное применение фор7 .
мулы вероятности приводит к неправильному ответу —).
16
Здесь исход — это соперник Максима Зайцева. Так как
всего теннисистов 16, а сам с собой Максим играть не может,
то имеется 16 — 1 = 15 равновероятных исходов. Благопри­
ятный исход — соперник из России. Таких благоприятных
исходов 7 — 1 = 6 (из числа россиян исключаем самого Маки
6
2
п ,
сима). Искомая вероятность равна — = - = 0,4.
15
5
Ответ: 0,4.
Задача 14. Антон, Борис, Вадим и Гриша заселяются в гости­
ницу в два двухместных номера. Администратор гостиницы
случайным образом распределяет их по номерам. Найдите ве­
роятность того, что Антон и Борис окажутся в одном номере.
Ответ округлите до сотых.
Решение.
Пусть администратор уже определил номер, в который бу­
дет заселён Антон. Тогда в этом номере остаётся одно свобод­
ное место. С равной вероятностью его могут занять Борис,
Вадим или Гриша (3 исхода). Благоприятный исход один —
свободное место занял Борис. Искомая вероятность равна -.
Задачи о выборе объектов из набора
19
Для подсчёта приближённого значения дроби ^ удобно воспользоваться делением уголком :
_1,000 3
9
0,333...
10
9
_10
9
Таким образом, - « 0,33.
3
Ответ: 0,33.
Задача 15. Футбольную секцию посещают 33 человека, сре­
ди них два брата — Антон и Дмитрий. Посещающих секцию
случайным образом делят на три команды по И человек в
каждой. Найдите вероятность того, что Антон и Дмитрий ока­
жутся в одной команде.
Решение.
Сформируем команды, последовательно помещая фут­
болистов на свободные места, при этом начнём с Анто­
на и Дмитрия. Сначала поместим Антона на случайно вы­
бранное место из свободных 33. Теперь помещаем на сво*3десь можно обойтись без деления уголком. Достаточно вспомнить,
что 1 = 0,(9). Поэтому - =
3
3
= 0,(3) и 0,33.
20
Модуль 1. Классическое определение вероятности
бодное место Дмитрия (исходом будем считать выбор ме­
ста для него). Всего имеется 32 свободных места (одно уже
занял Антон), поэтому всего возможны 32 исхода. В од­
ной команде с Антоном остаётся 10 свободных мест, поэто­
му событию «Антон и Дмитрий в одной команде» благо­
приятствуют 10 исходов. Вероятность этого события равна
10
$
5-54
3125
32
16
24 • 54
10 000
0,3125,
Ответ: 0,3125.
'■
Задача 16, На детском утреннике за круглый стол на 33 стула
в случайном порядке рассаживаются 31 мальчик и 2 девоч­
ки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть
рядом.
Решение.
Предположим, одна девочка уже села за стол. Экспери­
мент заключается в выборе места для второй девочки. Всего
этот эксперимент имеет 32 равновозможных исхода (по числу
оставшихся свободных мест), из которых 2 благоприятствуют
событию «девочки будут сидеть рядом» — это места по левую
и по правую руку от уже сидящей девочки. Искомая вероят­
ность равна — = — = 0,0625.
32
16
Ответ: 0,0625.
Задача 17. Вероника в салоне сотовой связи выбирает наугад
номер мобильного телефона. Какова вероятность того, что его
последние три цифры различны?
Задачи о подбрасывании монеты
21
Решение.
Последней может быть любая цифра от 0 до 9 (всего 10 ва­
риантов). Столько же вариантов и для выбора как предпо­
следней, так и третьей с конца цифры. Общее число вариан­
тов для трёх последних цифр равно 10 • 10 • 10 = 1000. Все
эти варианты равновозможны в эксперименте по выбору трёх
последних цифр.
Найдём количество вариантов, при которых три послед­
ние цифры различны. Последней по-прежнему может быть
любая цифра от 0 до 9 (всего 10 вариантов). Если последняя
цифра выбрана, то для предпоследней остаётся 9 вариантов
(любая цифра, не равная предпоследней), а для третьей с кон­
ца цифры остаётся 8 вариантов. Общее число благоприятных
вариантов составляет 10-9-8 = 720. Искомая вероятность
равна
= 0,72.
100
Ответ: 0,72.
Задачи о подбрасывании монеты
Задача 18. Симметричную монету бросают дважды. Найдите
вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.
Решение.
В таких задачах удобно выписать все возможные исхо­
ды, записывая их при помощи букв Р (решка) и О (орёл).
Так, исход ОР означает, что при первом броске выпал орёл,
а при втором — решка. В рассматриваемой задаче возмож-
22
Модуль 1. Классическое определение вероятности
ны 4 исхода
:
*
РР, РО, ОР, ОО. Благоприятствуют событию
«решка выпадет ровно один раз» 2 исхода: РО и ОР. Искомая
вероятность равна - = 0,5.
4
Ответ: 0,5.
Задача 19. Симметричную монету бросают трижды. Найдите
вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Решение.
Всего возможны 8 исходов: PPP, РРО, POP, POO, OPP,
ОРО, OOP,ООО. Благоприятствуют событию «орёл выпа­
дет ровно два раза» 3 исхода: РОО, ОРО, OOP. Искомая
3
3-125
375
вероятность равна - =-------- =------- = 0,375.
8
8-125
1000
Ответ: 0,375.
Задача 20. Перед началом футбольного матча судья бросает
монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мя­
чом. Команда «Изумруд» играет три матча с разными коман­
дами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Изумруд»
выиграет жребий ровно один раз.
Решение.
Эта задача аналогична предыдущей. Пусть каждый раз
выпадение решки означает выигрыш жребия «Изумрудом»
(такое предположение не влияет на вычисление вероятно­
стей). Тогда возможны 8 исходов: РРР, РРО, POP, РОО,
* Вообще, если монету бросают п раз, то имеются 2П равновозможных
исходов.
Задачи о бросании кубика
23
OPP, ОРО, OOP, ООО. Благоприятствуют событию «решка
выпадет ровно один раз» 3 исхода: РОО, ОРО, OOP. Иско3
3-125
375
мая вероятность равна - =-------- =------- = 0,375.
8
8-125
1000
Ответ: 0,375.
Задача 21. Симметричную монету бросают трижды. Найди­
те вероятность того, что наступит исход РОО (в первый раз
выпадает решка, во второй и третий — орёл).
Решение.
Как и в предыдущих задачах, здесь имеется 8 исходов:
PPP, РРО, POP, РОО, ОРР, ОРО, OOP, ООО. Вероятность
1
125
125
наступления исхода РОО равна - =-------- =------- = 0,125.
8
8-125
1000
Ответ: 0,125.
Задачи о бросании кубика
Задача 22. Игральный кубик бросают дважды. Сколько эле­
ментарных исходов опыта благоприятствуют событию «сум­
ма очков равна 8»?
Решение.
Исходом будем считать пару чисел: очки при первом и вто­
ром бросках. Тогда указанному событию благоприятствуют
следующие исходы: 2 — 6, 3 — 5, 4 — 4, 5 — 3, 6 —2. Их ко­
личество равно 5.
Ответ: 5.
Модуль 1. Классическое определение вероятности
24
Задача 23. Одновременно бросают две игральные кости.
Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Ре­
зультат округлите до сотых.
Решение.
Исходом будем считать пару чисел: очки, выпавшие на
первой и второй игральных костях. Всего имеется 36 равно­
возможных исходов
*
(на первой кости число от 1 до 6, на вто­
рой — также число от 1 до 6). Событию «в сумме выпало 4»
благоприятствуют следующие исходы: 1 — 3, 2 — 2, 3 — 1. Их
о и
3
1
количество равно 3. Искомая вероятность равна
Для подсчёта приближённого значения дроби
~
удобно вос­
пользоваться делением уголком:
_1,000 12
96
0,083...
_40
36
Таким образом, — « 0,08.
12
Ответ: 0,08.
*Вообще, если бросают п игральных костей (кубиков), то имеются 6П
равновозможных исходов. Столько же исходов получается, если один и
тот же кубик бросают п раз подряд.
Задачи о бросании кубика
25
Задача 24. Одновременно бросают три игральные кости.
Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Ре­
зультат округлите до сотых.
Решение.
Исходом будем считать тройку чисел: очки, выпавшие на
первой, второй и третьей игральных костях. Всего имеет­
ся 63 = 216 равновозможных исходов. Событию «в сум­
ме выпало 5» благоприятствуют следующие исходы: 1—1 — 3,
1-3-1, 3-1-1, 1-2-2, 2-1-2, 2-2-1. Их количество
6
1
равно 6. Искомая вероятность равна — = —.Для подсчёта
216
36
приближенного значения дроби — удобно воспользоваться
36
делением уголком:
1,000 36
72
0,027...
_280
252
Таким образом, — % 0,03.
36
Ответ: 0,03.
Задача 25. Двое игроков по одному разу бросают игральный
кубик. Выигрывает тот, у кого выпало больше очков (при ра­
венстве очков — ничья). Первый бросил кубик, у него выпа-
Модуль 1. Классическое определение вероятности
26
ло 3 очка. Найдите вероятность того, что он выиграет. Ответ
округлите до сотых.
Решение.
Исходом будем считать число, выпавшее у второго игро­
ка. Всего имеется 6 исходов. Победе первого игрока благо­
приятствуют два исхода: «1» и «2». По определению искомая
2
1
вероятность равна - = - « 0,33.
6
3
Ответ: 0,33.
Задача 26. Иван бросал игральную кость до тех пор, пока
сумма очков не превысила число 9. Найдите вероятность того,
что потребовалось ровно 2 броска. Ответ округлите до сотых.
Решение.
За один бросок невозможно выбросить более 9 очков.
Значит, надо найти вероятность того, что сумма очков за два
броска превысит 9. В результате двух бросков наступает один
из 36 равновозможных исходов (каждый исход представляет
собой упорядоченную пару, в которой на первом месте сто­
ит число выпавших при первом броске очков, а на втором —
число очков, выпавших при втором броске). Ровно 6 исходов
благоприятствуют событию «сумма выпавших очков за два
броска превысила 9» — это исходы (4; 6), (5; 5), (6; 4),
(5; 6), (6; 5), (6; 6). Следовательно, искомая вероятность
равна — = - = 0,166« 0,17.
36
6
Ответ: 0,17.
27
Задачи о противоположном событии
Задачи о противоположном событии
Задача 27. При изготовлении подшипников диаметром 55 мм
вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного
не более, чем на 0,01 мм, равна 0,925. Найдите вероятность
того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше,
чем 54,99 мм, или больше, чем 55,01 мм.
Решение.
Обозначим через А событие «диаметр подшипника от­
личается от заданного более чем на 0,01 мм». Тогда
Р(А) — искомая величина. В условии нам дана вероят­
ность противоположного события Р(А)
=
0,925. Тогда
Р(А) = 1 - Р(А) = 1 - 0,925 = 0,075.
Ответ: 0,075.
Задача 28. Света в салоне сотовой связи выбирает наугад но­
мер мобильного телефона. Какова вероятность того, что его
последние две цифры различны?
Решение.
Предпоследней может быть любая цифра от 0 до 9 (всего
10 вариантов). Столько же вариантов и для выбора послед­
ней цифры. Общее число вариантов для двух последних цифр
равно 10 • 10 = 100. Все эти варианты равновозможны в экс­
перименте по выбору двух последних цифр.
Найдём количество вариантов, при которых две последние
цифры одинаковы. Предпоследней по-прежнему может быть
любая цифра от 0 до 9 (всего 10 вариантов). Если предпо-
Модуль 1. Классическое определение вероятности
28
следняя цифра выбрана, то для последней остаётся 1 вариант
(цифра, равная предпоследней). Общее число благоприятных
вариантов составляет 10 • 1 = 10. Вероятность того, что две
последние цифры одинаковы, равна — = 0,1.
100
Нужно найти вероятность противоположного события:
«последние две цифры различны». Искомая вероятность рав­
на 1 - 0,1 = 0,9.
Ответ: 0,9.
Задача 29. Телефон передаёт СМС-сообщение. В случае
неудачи он делает следующую попытку. Вероятность того,
что СМС-сообщение удастся передать без ошибок, в каж­
дой отдельной попытке равна 0,95. Найдите вероятность того,
что для передачи сообщения потребуется не больше двух по­
пыток.
Решение.
Найдём вероятность противоположного события: «потре­
бовалось более двух попыток» или, что то же самое, «первые
две попытки были неудачными». Вероятность этого события
равна 0,05 • 0,05 = 0,0025. Тогда искомая вероятность равна
1 - 0,0025 = 0,9975.
Ответ: 0,9975.
Задача 30. В кафе «Рулетик» администратор предлагает го­
стям сыграть в следующую игру: за одну попытку гость бро­
сает одновременно две игральные кости. Всего есть две по­
пытки. Если в результате хотя бы одной из попыток на обеих
Варианты для самостоятельного выполнения
29
костях оказывается одно и то же число очков, клиент получа­
ет рулетик с черничным повидлом в подарок. Какова вероят­
ность выиграть рулетик? Ответ округлите до сотых.
Решение.
Найдём вероятность противоположного события: «в обе­
их попытках нужная комбинация не выпала». При одной
попытке вероятность выпадения нужной комбинации рав6 1
на — =
-, так как из 36 упорядоченных пар, соответ­
ствующих очкам на кубиках, ровно шесть удовлетворяют
требованию: (1; 1), (2; 2) и так далее. Значит, вероятность
невыпадения нужной комбинации в каждой попытке равна
1
5
1----- = -. Оба раза нужная комбинация не выпадет с веб
б
5 5
25
роятностью - • - = —. Отсюда искомая вероятность равна
б 6
36
=
= 0,305... «0,31.
36
36
Ответ: 0,31.
© Варианты для самостоятельного выполнения
Вариант 1
1. В сборнике билетов по геометрии всего 35 билетов, в 14 из
них встречается вопрос по свойствам окружности. Найдите
вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене би­
лете школьнику достанется вопрос по свойствам окружности.
30
Модуль 1. Классическое определение вероятности
2. В некоторой школе 500 учащихся, среди них 257 мальчиков.
Найдите вероятность того, что выбранный наугад учащийся
этой школы окажется девочкой.
3. Завод выпускает часы. В среднем на 1000 качественных
часов приходится пятнадцать со скрытыми дефектами. Вася
купил себе часы этого завода. Найдите вероятность того, что
купленные часы окажутся качественными. Результат округ­
лите до сотых.
4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают
дважды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадет
орёл, во второй — решка.
5. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных
исходов опыта благоприятствуют событию А — «сумма очков
равна 3»?
6. Какова вероятность того, что случайно выбранное нату­
ральное число от 20 до 59 делится на шесть?
7. В фирме перевозок «Букет» в наличии 80 грузовиков: 74
из них — с изображениями красного цветка на жёлтом фоне,
остальные — с изображениями жёлтого цветка на красном
фоне. Найдите вероятность того, что на случайный вызов
приедет машина с изображением жёлтого цветка на красном
фоне.
8. На детском празднике за круглый стол на 41 стул в случай­
ном порядке рассаживаются 39 мальчиков и 2 девочки. Най­
дите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.
Варианты для самостоятельного выполнения
31
Вариант 2
1. Миша, Оля, Коля и Лена бросили жребий — кому первому
рассказывать стихотворение. Найдите вероятность того, что
первым рассказывать стихотворение должен будет Коля.
2. В сборнике заданий по математике всего 280 заданий,
в 21 из них встречается вопрос по процентам. Найдите ве­
роятность того, что в случайно выбранном на уроке задании
школьнику не достанется вопрос по процентам.
3.
В
соревнованиях
по
прыжкам
в длину участвуют
200 спортсменок: 85 — из России, 65 — из Канады,
остальные — из Украины. Порядок, в котором выступают
спортсменки, определяется жребием. Найдите вероятность
того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из
Украины.
4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают
дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно
один раз.
5. В чемпионате России по регби участвуют 20 команд. С по­
мощью жребия их нужно разделить на пять групп по четы­
ре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки
с номерами групп:
1,1,1,1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова веро­
ятность того, что команда Ростовской области, участвующая
в чемпионате, окажется во второй группе?
32
Модуль 1. Классическое определение вероятности
6. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных
исходов опыта благоприятствуют событию А — «сумма очков
равна 6»?
7. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участ­
ников разбивают на игровые пары случайным образом с по­
мощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 теннисистов,
среди которых 13 участников из России, в том числе Роман
Исаев. Найдите вероятность того, что в первом туре Роман
Исаев будет играть с каким-либо теннисистом из России.
8. На детском утреннике за круглый стол на 21 стул в случай­
ном порядке рассаживаются 2 мальчика и 19 девочек. Найди­
те вероятность того, что оба мальчика будут сидеть рядом.
Вариант 3
1. В некоторой спортивной школе 400 спортсменов, из них в
конце года 384 человека получили грамоты. Найдите веро­
ятность того, что выбранный наугад спортсмен этой школы
получил грамоту в конце года.
2. Маша, Даша, Света, Оля и Наташа бросили жребий — ко­
му первой петь песню. Найдите вероятность того, что первая
петь песню должна будет не Маша.
3. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в
какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите ве­
роятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув от­
метки 7 часов, но не дойдя до отметки 4 часов.
Варианты для самостоятельного выполнения
33
4. В случайном эксперименте бросают две игральные кости.
Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Ре­
зультат округлите до сотых.
5. Перед началом волейбольного матча судья бросает монет­
ку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру. Команда
«Тигры» играет три матча с разными командами. Найдите ве­
роятность того, что в этих играх команда «Тигры» выиграет
жеребьёвку ровно два раза.
6. Конкурс исполнителей проводится в течение 4 дней.
Всего заявлено 65 выступлений — по одному от каж­
дого города. В первый день запланировано 26 выступле­
ний, остальные распределены поровну между оставшими­
ся днями. Порядок выступлений определяется жеребьёв­
кой. Какова вероятность того, что выступление представи­
теля Таганрога, который участвует в конкурсе, состоится
в третий день конкурса?
7. В группе сотрудников МЧС 60 человек. Их вертолётом в
несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по
12 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит
сотрудников МЧС, случаен. Найдите вероятность того, что
сотрудники МЧС Кирилл Петров и Пётр Кириллов полетят
одним и тем же рейсом вертолёта. Результат округлите до
сотых.
8. Альбина в салоне сотовой связи выбирает наугад номер мо­
бильного телефона. Какова вероятность того, что среди трёх
последних цифр номера есть хотя бы две одинаковые?
34
Модуль 1. Классическое определение вероятности
Вариант 4
1. В кармане у Светы было пять конфет — «Пчёлка», «Бе­
лочка», «Суфле», «Лето» и «Сказка», а также мобильный
телефон. Вынимая телефон, Света случайно выронила из кар­
мана одну конфету. Найдите вероятность того, что упала кон­
фета «Сказка».
2. На полке лежит 180 тетрадей, из них 63 — в линейку,
а остальные — в клетку. Найдите вероятность того, что слу­
чайно выбранная тетрадь будет в клетку.
3. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в
какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите ве­
роятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув от­
метки И часов, но не дойдя до отметки 5 часов.
4. Перед началом партии в шашки Вася бросает монетку, что­
бы определить, кто из игроков начнёт игру. Вася играет четы­
ре партии с разными игроками. Найдите вероятность того, что
в этих партиях Вася выиграет жеребьёвку ровно один раз.
5. В случайном эксперименте бросают две игральные кости.
Найдите вероятность того, что в сумме выпадет менее 11 оч­
ков. Результат округлите до сотых.
6. В олимпиаде по программированию участвуют 150 студен­
тов: 45 — из МИФИ, 65 — из МФТИ, остальные — из других
вузов. Номера, под которыми участвуют студенты, опреде­
ляются жребием. Найдите вероятность того, что студент под
Варианты для самостоятельного выполнения
35
номером 8 окажется не из МФТИ и не из МИФИ. Результат
округлите до сотых.
7. В группе 51 человек, среди них две сестры — Маша и Даша.
Группу случайным образом делят на три звена по 17 человек
в каждом. Найдите вероятность того, что Маша и Даша ока­
жутся в одном звене.
8. Артур в салоне сотовой связи выбирает наугад номер мо­
бильного телефона. Какова вероятность того, что три его по­
следние цифры одинаковы?
Модуль 2. Простейшие формулы
теории вероятностей. Частота
При решении задач этого модуля необходимы формулы
вероятности для объединения несовместных событий и пере­
сечения независимых событий. Также мы разберём неслож­
ные задачи, связанные с частотой и процентами.
Диагностическая работа
1. Из районного центра в деревню ежедневно ходит авто­
бус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажет­
ся меньше 24 пассажиров, равна 0,57. Вероятность того, что
окажется меньше 17 пассажиров, равна 0,28. Найдите веро­
ятность того, что число пассажиров будет от 17 до 23.
2. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них
может быть неисправен с вероятностью 0,13 независимо от
другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один
автомат исправен.
3. Вероятность того, что на тесте по географии учащийся Р.
верно решит больше 12 задач, равна 0,45. Вероятность того,
что Р. верно решит больше 11 задач, равна 0,51. Найдите ве­
роятность того, что Р. верно решит ровно 12 задач.
Диагностическая работа
37
4. По отзывам покупателей Владислав Юрьевич оценил на­
дёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что
нужный товар доставят из магазина А, равна 0,71. Вероят­
ность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,8.
Владислав Юрьевич заказал товар сразу в обоих магазинах.
Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от
друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не до­
ставит товар.
5. В некотором городе из 2500 появившихся на свет младен­
цев 1235 — девочки. Найдите частоту рождения мальчиков
в этом городе. Результат округлите до сотых.
6. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футболь­
ной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если
команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей —
1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность
того, что команде удастся выйти в следующий круг соревно­
ваний. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и
проигрыша одинаковы и равны 0,27.
7. Две фабрики выпускают одинаковые авторучки. Первая
фабрика выпускает 90% этих авторучек, а вторая — 10%.
При этом первая фабрика выпускает 4% бракованных авто­
ручек, а вторая — 8%. Найдите вероятность того, что случай­
но купленная авторучка окажется бракованной.
38 Модуль 2. Простейшие формулы теории вероятностей. Частота
Теоретическая часть
Два события А и В называют несовместными, если от­
сутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как
событию А, так и событию В. Например, при бросании кубика
события «выпало число 3» и «выпало чётное число» несов­
местны. При этом события «выпало число больше 3» и «вы­
пало чётное число» совместны.
Пусть событие С означает, что произошло хотя бы одно из
событий А и В. Тогда С называют объединением событий*
А и В, пишут С = Аи В.
Если события Ап В несовместны, то вероятность их объ­
единения равна сумме вероятностей событий А и В:
Р(АиВ) = Р(А) + Р(В).
Два события Аи В называют независимыми, если веро­
ятность каждого из них не зависит от появления или непояв­
ления другого события.
Например, выполним последовательно два подбрасыва­
ния монеты. Тогда события «при первом подбрасывании вы­
пала решка» и «при втором подбрасывании выпал орёл» яв-
1
ляются независимыми: вероятность каждого из них равна независимо от того, что произошло при другом подбрасы­
вании.
* Также объединение событий иногда называют суммой событий и
обозначают А + В.
Теоретическая часть
39
Рассмотрим другой пример. Пусть в урне находятся два
чёрных и два белых шара. Сперва из урны наугад извлека­
ют один шар. Затем из той же урны наугад извлекают ещё
один шар. Обозначим через А событие «первый извлечённый
шар — белый», а через В — «второй извлечённый шар —
чёрный». Тогда события А и В являются зависимыми. Дей­
ствительно, если событие А произошло, то в урне из трёх
2
оставшихся шаров два чёрных и Р(В) = -. Если же собы3
тие А не произошло, то в урне из трёх оставшихся шаров один
чёрный и Р(В) = -.
Пусть событие С означает, что произошло как событие А,
так и В. Тогда С называют пересечением событий
*
А и В,
пишут С = АП В.
Если события АиВ независимы, то вероятность их пере­
сечения равна произведению вероятностей событий А и В:
Р(АПВ) = Р(А)-Р(В).
Также в условиях задач могут присутствовать проценты.
Следует вспомнить, что 1% — это — часть. Например, 30%
100
от числа х — это 0,Зх.
*Также пересечение событий иногда называют произведением собы­
тий и обозначают А • В.
40 Модуль 2. Простейшие формулы теории вероятностей. Частота
Частотой события А называют отношение —, где п —
п
общее число испытаний, т — число появлений события А.
Например, пусть мы подбросили монету 100 раз, орёл выпал
47 раз. Тогда частота выпадения орла в нашем эксперименте
47
равна---- --- 0,47.
100
Задачи о пересечении независимых событий
Задача 31. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он вы­
игрывает у гроссмейстера Н. с вероятностью 0,45. Если А.
играет чёрными, то А. выигрывает у Н. с вероятностью 0,4.
Гроссмейстеры А. и Н. играют две шахматные партии, причём
во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность
того, что А. выиграет оба раза.
Решение.
Обозначим
события:
W
=
«А.
выиграл
белыми»,
В = «А. выиграл чёрными». По условию, Р(\Ѵ) = 0,45,
Р(В) = 0,4. Необходимо найти вероятность пересечения со­
бытий РЕ и В, то есть Р{уѴ П В). События \Ѵ и В независимы
(результат одной партии не зависит от результата другой),
поэтому Р{у^ П В) — Р(№) • Р(В) = 0,45 • 0,4 = 0,18.
Ответ: 0,18.
Задача 32. По отзывам покупателей Пётр Петрович оценил
надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что
нужный товар доставят из магазина А, равна 0,85. Вероят-
41
Задачи о пересечении независимых событий
ность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,96.
Пётр Петрович заказал товар сразу в обоих магазинах. Счи­
тая, что интернет-магазины работают независимо друг от дру­
га, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит
товар.
Решение.
1-й способ.
Обозначим через А событие «товар доставили из магази­
на А», через В — «товар доставили из магазина Б». Тогда
Р(А О В) — искомая величина. По условию Р(А) = 0,85,
Р(В)
=
0,96. Поэтому Р(А)
=
1 - 0,85
=
0,15,
Р(В) = 1 — 0,96 = 0,04. События А и В по условию неза­
висимы, поэтому события А и В также независимы. По фор­
муле вероятности пересечения независимых событий находим
Р(А ОВ) = Р(А) • Р(В) = 0,15 • 0,04 = 0,006.
2-й способ*.
Вероятность того, что из магазина А не доставят товар,
равна 1 — 0,85 = 0,15. Вероятность того, что из магазина Б не
доставят товар, равна 1 — 0,96 = 0,04. Так как магазины рабо­
тают независимо, то вероятность отсутствия доставки из обо­
их магазинов сразу (то есть, пересечение вероятностей отсут­
ствия доставки из каждого магазина) равна 0,15-0,04 = 0,006.
Ответ: 0,006.
То же самое решение, что и в первом способе, но без обозначений.
42 Модуль 2. Простейшие формулы теории вероятностей. Частота
Задача 33. В магазине три продавца. Каждый из них занят с
клиентом с вероятностью 0,4. Найдите вероятность того, что
в случайный момент времени все три продавца заняты (счи­
тайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
Решение.
Обозначим через 4Ь А2, Аз события, означающие, что в
выбранный момент времени соответствующий продавец за­
нят. По условию Р(4і) = Р(А2) = Р(4з) = 0,4. Искомая
вероятность равна
Р(А1ПА2ПА3) = Р(Аі)-Р(А2)-Р(А3) = 0,4-0,4-0,4 = 0,064.
Ответ: 0,064.
Задача 34. Найдите вероятность того, что при бросании трёх
кубиков на каждом выпадет более 3 очков.
Решение.
Сначала решим такую же задачу для одного кубика.
При броске одного кубика возможны 6 исходов, при этом
благоприятными являются исходы «4», «5», «6». Следова­
тельно, для одного кубика вероятность выпадения более 3 очков равна - = 0,5.
6
Вернёмся к исходной задаче. Здесь три кубика бросают­
ся независимо друг от друга. Вероятность выпадения более
3 очков на каждом равна произведению соответствующих ве­
роятностей: Р = 0,5 • 0,5 • 0,5 = 0,125.
Ответ: 0,125.
Задачи о пересечении независимых событий
43
Задача 35. В магазине стоят два платёжных автомата. Каж­
дый из них может быть неисправен с вероятностью 0,1 неза­
висимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что
хотя бы один автомат исправен.
Решение.
Здесь удобно сначала найти вероятность события «оба
автомата неисправны», противоположного событию из усло­
вия задачи. Обозначим через А и В события «первый авто­
мат неисправен» и «второй автомат неисправен». По условию
Р(А) = Р(В) = 0,1. Событие «оба автомата неисправны» —
это АГ\ В, его вероятность равна
Р(А А В) = Р(А) • Р(В) = 0,1 • 0,1 = 0,01.
Искомая вероятность равна
Р(АЙВ) = 1 - Р(А А В) = 1 - 0,01 = 0,99.
Ответ: 0,99.
Задача 36. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Веро­
ятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6.
Найдите вероятность того, что биатлонист первые два раза
попал в мишени, а последние три — промахнулся. Результат
округлите до сотых.
Решение.
Обозначим через Аь А2, А3, Л4, Л5 события, означаю­
щие попадание в мишень при соответствующем выстреле.
По условию Р(Аі) = Р(А2) = Р(А3) = Р(А4) = Р(А5) = 0,6.
Нам необходимо найти вероятность Р(А4 А А2Г\ А3 АА4 АЛ5).
Так как рассматриваемые события независимы, то эта веро-
44 Модуль 2. Простейшие формулы теории вероятностей. Частота
ятность равна Р^А^ • Р(А2) ■ Р(А^ • Р(Л4) • Р(Л5) =
= 0,6 • 0,6 • (1 - 0,6) • (1 - 0,6) • (1 - 0,6) = 0,62 • 0,43 =
= 0,36 • 0,064 = 0,02304 « 0,02.
Ответ: 0,02.
Задача 37. Яков в тире стреляет по мишени из лука до тех
пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель
с вероятностью 0,3 при каждом отдельном выстреле. Какое
наименьшее число стрел нужно дать Якову, чтобы он поразил
цель с вероятностью не менее 0,75?
Решение.
Найдём вероятность Рп того, что цель останется непо­
ражённой в результате п выстрелов. Это событие противо­
положно оговорённому в условии, поэтому его вероятность
должна быть не более 1 - 0,75 = 0,25. Заметим, что вероят­
ность промаха при каждом отдельно взятом выстреле равна
1 - 0,3 = 0,7.
п = 1. А = 0,7.
п = 2.Р2 = 0,7 • 0,7 = 0,49 > 0,25.
п = З.Р3 = 0,49 • 0,7 = 0,343 > 0,25.
п = 4. Р4 = 0,343 • 0,7 = 0,2401 ^ 0,25.
Значит, наименьшее число стрел равно 4.
Ответ: 4.
Задача 38. На рисунке 1 (см. с. 45) изображён лабиринт.
Мышка заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и
идти назад мышка не может, поэтому на каждом разветвлении
она выбирает один из путей, по которому ещё не шла. Считая,
Задачи о пересечении независимых событий
45
что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с
какой вероятностью мышка придёт к выходу В.
Выход В
Рис. 1
Решение.
Расставим на перекрёстках стрелки в направлениях, по
которым может двигаться мышка (см. рис. 2 на с. 46).
Выберем на каждом из перекрёстков одно направление из
двух возможных и будем считать, что при попадании на пере­
крёсток мышка будет двигаться по выбранному нами направ­
лению.
Чтобы мышка достигла выхода В, нужно, чтобы на каж­
дом перекрёстке было выбрано направление, обозначенное
46 Модуль 2. Простейшие формулы теории вероятностей. Частота
Выход В
Рис. 2
сплошной линией. Всего выбор направления делается 4 ра­
за, каждый раз независимо от предыдущего выбора. Вероят­
ность того, что каждый раз выбрана сплошная стрелка, равна
1.1.1.1 = о,54 = 0,252 = 0,0625.
2 2 2 2
Ответ: 0,0625.
Задача 39. В классе 16 мальчиков и 9 девочек. Для подготов­
ки классной комнаты к занятиям случайным образом выбира­
ют двух дежурных. Найдите вероятность того, что дежурить
будут два мальчика.
Решение.
Представим себе, что все 25 учеников выстроены в ряд,
причём первыми стоят 16 мальчиков. Будем дважды выбирать
47
Задачи об объединении несовместных событий
из этого ряда по одному дежурному, каждый раз случайным
образом. Обозначим через А событие «в первый раз выбран
один из числа первых шестнадцати (в ряду из 25 учеников)»,
через В — событие «во второй раз выбран один из числа пер­
вых пятнадцати (в ряду из оставшихся 24 учеников)». Тогда
АГ\В — это событие «будут дежурить два мальчика», его ве­
роятность нам нужно найти.
События А и В независимы, так как номер выбранного
ученика в ряду не зависит от того, кто был выбран до или по­
сле. По формуле вероятности пересечения независимых со­
бытий
Р(А П В) = Р(А) • Р(В) = — - — = 2 ~ 8 ~ 3 ~ 5 = ? = 0 4
25
24
5-5-3-8
5
Ответ: 0,4.
Задачи об объединении несовместных событий
Задача 40. На экзамене по геометрии школьнику достаётся
один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероят­
ность того, что это вопрос на тему «Ромб», равна 0,1. Ве­
роятность того, что это вопрос на тему «Описанная окруж­
ность», равна 0,15. Вопросов, относящихся одновременно к
этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экза­
мене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение.
Пусть событие А означает, что школьнику достался во­
прос по теме «Ромб», событие В — вопрос по теме «Опи-
48 Модуль 2. Простейшие формулы теории вероятностей. Частота
санная окружность». По условию Р(А) = 0,1, Р(В) = 0,15.
По условию события А и В несовместны. Искомая вероят­
ность равна Р(А и В) = Р(А) + Р(В) = 0,1 + 0,15 = 0,25.
Ответ: 0,25.
Задача 41. Вероятность того, что новая кофемолка прослу­
жит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что она про­
служит больше двух лет, равна 0,81. Найдите вероятность
того, что кофемолка прослужит меньше двух лет, но больше
года.
Решение.
1-й способ.
Обозначим через А событие «кофемолка прослужит
больше года, но меньше двух лет», через В — событие «ко­
фемолка прослужит больше двух лет». События АнВ несов­
местны (кофемолка не может прослужить меньше двух лет и
одновременно больше двух лет). Объединением событий А и
В является событие Ап В «кофемолка прослужит больше го­
да». По условию Р(А П В) = 0,93, Р(В) = 0,81. Так как
А и В несовместны, то Р(А и В) — Р(А) + Р(В), откуда
Р(А) = Р(А П В)- Р(В) = 0,93 - 0,81 = 0,12.
2-й способ.
Будем рассуждать о том, когда может сломаться кофе­
молка. Она может сломаться уже на первом году работы, мо­
жет сломаться на втором году работы, а может проработать
более двух лет и сломаться потом. Будем заполнять следую­
щую таблицу.
49
Задачи об объединении несовместных событий
Событие
Сломалась на Сломалась на Сломалась после
первом году
втором году
двух лет работы
Вероятность
Так как вероятность события «кофемолка прослужит
больше года» равна 0,93, то вероятность противоположно­
го события «кофемолка сломалась на первом году» равна
1 — 0,93 = 0,07. Вероятность события «кофемолка слома­
лась после первых двух лет работы» по условию равна 0,81.
Вносим найденные значения в таблицу.
Событие
Сломалась на Сломалась на Сломалась после
первом году
Вероятность
0,07
втором году
двух лет работы
0,81
В таблице перечислены три несовместных события, од­
но из которых обязательно произойдёт. Поэтому сумма ве­
роятностей в таблице должна быть равна 1. Следователь­
но, незаполненное искомое значение можно вычислить как
1-0,07-0,81 = 0,12.
Ответ: 0,12.
Задача 42. Из районного центра в деревню ежедневно ходит
автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе ока­
жется меньше 25 пассажиров, равна 0,91. Вероятность того,
что окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,39. Найдите ве­
роятность того, что число пассажиров будет от 18 до 24.
Решение.
Обозначим через А событие «в автобусе менее 18 пасса­
жиров», через В — событие «в автобусе от 18 до 24 пассажи-
50 Модуль 2. Простейшие формулы теории вероятностей. Частота
ров». Тогда АО В — это событие «в автобусе менее 25 пас­
сажиров». По условию Р(А и В) = 0,91, Р(А) = 0,39. Так
как события А и В несовместны, то Р(А ОВ) ~ Р(А) + Р(В),
откуда 0,91 = 0,39 +Р(В), Р(В) = 0,52.
Ответ: 0,52.
Задачи об объединении пересечений событий
Задача 43. Ковбой Билл попадает в муху на стене с вероятно­
стью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если
Билл стреляет из непристрелянного револьвера, то он попа­
дает в муху с вероятностью 0,25. На столе лежит 5 револьве­
ров, из них только 2 пристрелянных. Ковбой Билл видит на
стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и
стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Билл попадёт
в муху.
Решение.
Так как из 5 револьверов 2 пристреляны, то вероятность
2
схватить пристрелянный револьвер равна - = 0,4. Вероят5
ность схватить один из трёх непристрелянных револьверов
равна - = 0,6.
Обозначим через А событие «Билл схватит пристрелян­
ный револьвер и попадёт из него в муху». Так как собы­
тия «Билл схватит пристрелянный револьвер» и «Билл по­
падёт из пристрелянного револьвера в муху» независимы, то
Задачи об объединении пересечений событий
51
Р(А) = 0,4 • 0,8 = 0,32. Аналогично вероятность события В
«Билл схватит непристрелянный револьвер и попадёт из него
в муху» равна Р(В) = 0,6 • 0,25 = 0,15. События А и В
несовместны (Билл не может одновременно стрелять как из
пристрелянного, так и из непристрелянного револьвера). Ис­
комая вероятность равна
Р(А иВ) = Р(А) + Р(В) = 0,32 + 0,15 = 0,47.
Ответ: 0,47.
Задача 44. Автоматическая линия изготавливает батарейки.
Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна
0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему
контроля. Вероятность того, что система забракует неисправ­
ную батарейку, равна 0,98. Вероятность того, что система по
ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,08. Найди­
те вероятность того, что случайно выбранная изготовленная
батарейка будет забракована системой контроля.
Решение.
Для отбраковки неисправной батарейки должны произой­
ти два независимых события: «линия произвела неисправную
батарейку» и «неисправная батарейка забракована». Веро­
ятность события А «произведена и забракована неисправная
батарейка» равна Р(А) = 0,05 • 0,98 = 0,049.
Исправную батарейку линия производит с вероятностью
1 — 0,05 = 0,95. Для отбраковки исправной батарейки должны
произойти два независимых события: «линия произвела ис­
правную батарейку» и «исправная батарейка забракована».
52 Модуль 2. Простейшие формулы теории вероятностей. Частота
Вероятность события В «произведена и забракована исправ­
ная батарейка» равна Р(В) = 0,95 • 0,08 = 0,076.
События Л и В несовместны. Искомая вероятность равна
Р(А и В) = Р(А) + Р(В) = 0,049 + 0,076 = 0,125.
Ответ: 0,125.
Задача 45. Чтобы пройти в следующий круг соревнований,
футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух иг­
рах. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае
ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите ве­
роятность того, что команде удастся выйти в следующий круг
соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности вы­
игрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.
Решение.
1-й способ.
Так как вероятности выигрыша и проигрыша равны 0,3, то
вероятность ничьей равна 1 - 0,3 - 0,3 = 0,4. Команда выхо­
дит в следующий круг либо после двух выигрышей, либо после
выигрыша и ничьей.
1. Вероятность события А «команда выиграла оба матча» по
формуле пересечения независимых событий равна
Р(А) = 0,3 • 0,3 = 0,09.
2. Вероятность события В «команда выиграла первый матч,
закончила вничью второй матч» равна Р(В) = 0,3-0,4 = 0,12.
3. Вероятность события С «команда закончила вничью пер­
вый матч, выиграла второй матч» равна
Р(В) = 0,4-0,3 = 0,12.
Задачи об объединении пересечений событий
53
События А, В, С попарно несовместны, вероятность их
объединения равна
Р(АиВиС) = Р(А) + Р(В) + Р(С) =
= 0,09 + 0,12 + 0,12 = 0,33.
2-й способ.
Составим таблицу возможных результатов матчей и веро­
ятностей этих результатов.
___________________________
Второй матч
победа
ничья поражение
Р = 0,3 Р = 0,4
Р = 0,3
Первый
победа Р = 0,3
0,09
0,12
0,09
матч
ничья Р = 0,4
0,12
0,16
0,12
поражение Р = 0,3
0,09
0,12
0,09
Числа в ячейках получаются по принципу таблицы умно­
жения (умножение вероятностей соответствующих результа­
тов первого и второго матчей), так как вероятности результа­
тов первого и второго матчей не зависят друг от друга. Жир­
ным шрифтом в таблице выделены вероятности тех результа­
тов, при которых команда выходит в следующий круг. Иско­
мая вероятность равна 0,09 + 0,12 + 0,12 = 0,33.
Ответ: 0,33.
Задача 46. На рисунке 3 (см. с. 54) изображено растение, по
которому начал ползти жук. На каждом разветвлении жук с
равной вероятностью выбирает одну из веточек для дальней­
шего движения. Найдите вероятность того, что жук доползёт
до одного из листьев.
54 Модуль 2. Простейшие формулы теории вероятностей. Частота
Решение.
Обозначим через А, В, С события, означающие, что жук
доберётся до соответствующих листьев (см. рис. 4). Кроме то­
го, мы заранее на каждой развилке случайным образом выбе­
рем одну из представленных на рисунке стрелок. Будем счи­
тать, что при попадании на развилку жук будет двигаться в
направлении, на которое указывает выбранная стрелка.
Рис. 4
Подсчитаем вероятности событий А, В, С.
Р(А) = - («вправо» на первой развилке).
55
Задачи об объединении пересечений событий
Р(В) “ 2
2 ~ 6 («влево» на первой развилке, «влево»
на второй).
Р(С) = -■-•- = — («влево» на первой развилке, «пря2 3 2
12
мо» на второй, «влево» на третьей).
События
А,
В,
С
попарно
несовместны,
поэтому
Р(Л и В и С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) = І + І + — =
2
б
12
= 6Ш1 = 3 =
12 4
Ответ: 0,75.
Задача 47. Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для
автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих
стёкол, вторая — 40%. Первая фабрика выпускает 4% бра­
кованных стёкол, а вторая — 3%. Найдите вероятность того,
что случайно купленное в магазине стекло окажется брако­
ванным.
Реіиение.
Вероятность купить стекло первой фабрики равна 0,6. Ве­
роятность брака в стекле первой фабрики равна 0,04. Ве­
роятность события А «куплено бракованное стекло первой
фабрики» находим по формуле для пересечения независимых
событий: Р(А) = 0,6 • 0,04 = 0,024.
Вероятность купить стекло второй фабрики равна 0,4. Ве­
роятность брака в стекле второй фабрики равна 0,03. Вероят-
56 Модуль 2. Простейшие формулы теории вероятностей. Частота
ность события В «куплено бракованное стекло второй фаб­
рики» равна Р(В) = 0,4 • 0,03 = 0,012.
Искомая вероятность равна вероятности объединения
несовместных событий А и В.
Р(А ОВ) = Р(А) + Р(В) = 0,024 + 0,012 = 0,036.
Ответ: 0,036.
Задача 48. Федя коллекционирует бегемотиков из шоколад­
ных яиц. Всего в коллекции 10 бегемотиков, они равномерно
распределены, то есть в каждом очередном шоколадном яйце
может с равной вероятностью оказаться любой из 10 бегемо­
тиков. У Феди уже есть 4 разных бегемотика из коллекции.
Какова вероятность того,' что для получения следующего бе­
гемотика Феде придётся купить ещё 3 или 4 яйца?
Решение.
Присвоим бегемотикам номера от 1 до 10. Пусть у Феди в
коллекции бегемотики с номерами от 1 до 4.
Событие А — «Феде придётся купить ещё 3 или 4 шо­
коладных яйца». Событие В — «Феде придётся купить ещё
3 шоколадных яйца». Событие С — «Феде придётся купить
ещё 4 шоколадных яйца».
Тогда А = В -\- С. События В и С несовместны, значит,
Р(В + С) = Р(В) + Р(С).
4
4
6
Р(В) = — • — • — = 0,096. (Два раза купили один из
10 10 10
4 видов, которые уже есть в коллекции, и третий раз — один
из 6 видов, которых в коллекции нет.)
Частота и вероятность
57
4
4
4
6
Аналогично Р(С) - — • — • — • — = 0,0384.
10 10 10 10
Р(В + С) = Р(В) + Р(С) = 0,1344.
Ответ: 0,1344.
Частота и вероятность
Задача 49. Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель
в течение года поступит в гарантийный ремонт, рав­
на 0,05. В некотором городе из 2000 проданных DVDпроигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую
поступило 130 штук. Насколько отличается частота события
«гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
Решение.
Частота события «гарантийный ремонт» равна
130
------ = 0,065. От вероятности она отличается на
2000
0,065 - 0,05 = 0,015.
Ответ: 0,015.
58 Модуль 2. Простейшие формулы теории вероятностей. Частота
© Варианты для самостоятельного выполнения
Вариант 1
1. На экзамене по биологии школьнику достаётся один вопрос
из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что
это вопрос на тему «Млекопитающие», равна 0,15. Вероят­
ность того, что это вопрос на тему «Грибы», равна 0,23. Во­
просов, относящихся одновременно к этим двум темам, нет.
Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику доста­
нется вопрос по одной из этих двух тем.
2. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них
может быть неисправен с вероятностью 0,08 независимо от
другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один
автомат исправен.
3. Вероятность того, что новый мобильный телефон прослу­
жит больше двух лет, равна 0,62. Вероятность того, что он
прослужит больше пяти лет, равна 0,43. Найдите вероятность
того, что он прослужит меньше пяти лет, но больше двух.
4. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,07.
Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в ко­
торой две батарейки. Найдите вероятность того, что обе ба­
тарейки окажутся исправными.
5. В некотором городе из 8000 появившихся на свет младен­
цев 4888 — мальчики. Найдите частоту рождения девочек в
этом городе. Результат округлите до сотых.
Варианты для самостоятельного выполнения
59
6. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероят­
ность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,04. Пе­
ред упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля.
Вероятность того, что система забракует неисправную бата­
рейку, равна 0,98. Вероятность того, что система по ошибке
забракует исправную батарейку, равна 0,02. Найдите вероят­
ность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка
будет забракована системой контроля.
7. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футболь­
ной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если
команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей —
1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность
того, что команде удастся выйти в следующий круг соревно­
ваний. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и
проигрыша одинаковы и равны 0,34.
Вариант 2
1. Из районного центра в деревню ежедневно ходит авто­
бус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажет­
ся меньше 19 пассажиров, равна 0,26. Вероятность того, что
окажется меньше 6 пассажиров, равна 0,009. Найдите веро­
ятность того, что число пассажиров будет от 6 до 18.
2. В магазине четыре продавца. Каждый из них занят с клиен­
том с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в слу­
чайный момент времени все четыре продавца заняты одно-
60 Модуль 2. Простейшие формулы теории вероятностей. Частота
временно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от
друга).
3. Биатлонист шесть раз стреляет по мишеням. Вероятность
попадания в мишень при одном выстреле равна 0,2. Найдите
вероятность того, что биатлонист первые четыре раза попал в
мишени, а последние два — промахнулся. Результат округли­
те до тысячных.
4. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Веро­
ятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,6.
Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна
лампа не перегорит.
5. На рисунке 5 изображён лабиринт. Жук заползает в ла­
биринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад жук не
может, поэтому на каждом разветвлении жук выбирает один
из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор даль­
нейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероят­
ностью жук придёт к выходу Е.
Выход А
Выход Д
Рис. 5
Выход Б
Варианты для самостоятельного выполнения
61
6. Вероятность того, что новый ноутбук в течение года посту­
пит в гарантийный ремонт, равна 0,08. В некотором городе из
4000 проданных таких ноутбуков в течение года в гарантий­
ную мастерскую поступило 408 штук. Насколько отличается
частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в
этом городе?
7. Ковбой Джо попадает в муху на стене с вероятностью 0,72,
если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джо стре­
ляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху
с вероятностью 0,16. На столе лежат 12 револьверов, из них
только 3 — пристрелянных. Ковбой Джо видит на стене му­
ху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет
в муху. Найдите вероятность того, что Джо промахнётся.
Вариант 3
1. На экзамене по истории школьнику достаётся один вопрос
из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что
это вопрос на тему «Иван Грозный», равна 0,26. Вероятность
того, что это вопрос на тему «Екатерина II», равна 0,11. Во­
просов, одновременно относящихся к этим двум темам, нет.
Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику доста­
нется вопрос по одной из этих двух тем.
2. Профессиональный игрок в шашки А., играя белыми, выиг­
рывает у профессионального игрока Б. с вероятностью 0,42.
Если же он играет чёрными, то выигрывает с вероятностью
62 Модуль 2. Простейшие формулы теории вероятностей. Частота
0,2. А. и Б. играют две партии, меняя при этом цвет фигур.
Найдите вероятность того, что А. выиграет обе партии.
3. Вероятность того, что новый фен прослужит больше трёх
лет, равна 0,71. Вероятность того, что он прослужит больше
десяти лет, равна 0,24. Найдите вероятность того, что он про­
служит меньше десяти лет, но больше трёх.
4. По отзывам покупателей Николай Петрович оценил на­
дёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что
нужный товар доставят из магазина А, равна 0,68. Вероят­
ность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,75.
Николай Петрович заказал товар сразу в обоих магазинах.
Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от
друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не до­
ставит товар.
5. В некотором городе из 5000 появившихся на свет младен­
цев 2420 — девочки. Найдите частоту рождения мальчиков в
этом городе. Результат округлите до сотых.
6. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футболь­
ной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если
команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей —
1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность
того, что команде удастся выйти в следующий круг соревно­
ваний. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и
проигрыша одинаковы и равны 0,21.
7. Две фабрики выпускают одинаковые шариковые авторуч­
ки. При этом первая фабрика выпускает 80% этих авторучек,
Варианты для самостоятельного выполнения
63
а вторая — 20%. Первая фабрика выпускает 6% бракован­
ных авторучек, а вторая — 2%. Найдите вероятность того, что
случайно купленная авторучка окажется бракованной.
Вариант 4
1. Из районного центра в деревню ежедневно ходит авто­
бус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажет­
ся меньше 43 пассажиров, равна 0,91. Вероятность того, что
окажется меньше 16 пассажиров, равна 0,12. Найдите веро­
ятность того, что число пассажиров будет от 16 до 42.
2. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом
с вероятностью 0,2. Найдите вероятность того, что в случай­
ный момент времени все три продавца заняты одновременно
(считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
3. Вероятность того, что на тестировании по немецкому языку
учащийся Р. верно решит больше 19 задач, равна 0,71. Веро­
ятность того, что Р. верно решит больше 18 задач, равна 0,76.
Найдите вероятность того, что Р. верно решит ровно 19 задач.
4. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Веро­
ятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,18.
Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна
лампа не перегорит.
5. Вероятность того, что новый ОѴП-проигрыватель в тече­
ние года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,032. В неко­
тором городе из 3000 проданных ОѴО-проигрывателей в те-
64 Модуль 2. Простейшие формулы теории вероятностей. Частота
чение года в гарантийную мастерскую поступило 105 штук.
Насколько отличается частота события «гарантийный ре­
монт» от его вероятности в этом городе?
6. На рисунке 6 изображён лабиринт. Жук заползает в ла­
биринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад жук не
может, поэтому на каждом разветвлении жук выбирает один
из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор даль­
нейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероят­
ностью жук придёт к выходу В.
Выход В
Выход Б
Выход А
Рис. 6
7. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,85,
если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон
стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в
муху с вероятностью 0,34. На столе лежат 17 револьверов,
из них только 7 — пристрелянных. Ковбой Джон видит на
стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и
стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промах­
нётся.
Модуль 3. Зависимые события
В этом модуле собраны задачи на проценты, вероятности
зависимых событий, а также задачи, требующие последова­
тельного подсчёта разных вероятностей.
Диагностическая работа
1. На фабрике керамической посуды 5% произведённых кув­
шинов имеют дефект. При контроле качества продукции вы­
является 90% дефектных кувшинов. Остальные кувшины по­
ступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно
выбранный при покупке кувшин не имеет дефектов. Ответ
округлите до тысячных.
2. В Сказочной стране бывает два типа погоды: хорошая и от­
личная, причём погода, установившись утром, держится неиз­
менной весь день. Известно, что с вероятностью 0,6 погода
завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня, 12 февраля,
погода в Сказочной стране хорошая. Найдите вероятность
того, что 14 февраля в Сказочной стране будет отличная по­
года.
Модуль 3. Зависимые события
66
3. Чтобы поступить в институт на специальность «туризм»,
абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 55 баллов по
каждому из трёх предметов — математике, русскому языку
и обществознанию. Чтобы поступить на специальность «ме­
ханизмы», нужно набрать не менее 55 баллов по каждому из
трёх предметов — математике, русскому языку и физике. Ве­
роятность того, что абитуриент А. получит не менее 55 баллов
по математике, равна 0,5, по русскому языку — 0,7, по физи­
ке — 0,4 и по обществознанию — 0,6. Найдите вероятность
того, что А. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомя­
нутых специальностей.
4. На эстафете выступают команды — по одной от каждой из
заявленных школ. Порядок выступления определяется жре­
бием. Какова вероятность того, что команда из школы № 12
будет выступать после команды из школы № 15, но перед ко­
мандой из школы № 1? Результат округлите до сотых.
Теоретическая часть
Если имеются события А и В, то
Р(А и В) = Р(А) + Р(В) - Р(А А В),
Р(А ПВ) = Р(А) + Р(В) - Р(А и В).
Эти формулы следуют применять, когда АиВ — зависи­
мые совместные события (более простые случаи рассмотрены
в предыдущем модуле).
Задачи о зависимых событиях
67
Задачи о зависимых событиях
Задача 50. В торговом центре два одинаковых автомата про­
дают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате
закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе за­
кончится в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность
того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Решение.
1-й способ.
Так как 0,4 • 0,4 / 0,22, то события «кофе закончился
в первом автомате» и «кофе закончился во втором автома­
те» зависимые. Обозначим через А событие «кофе остался
в первом автомате», через В — «кофе остался во втором ав­
томате». Тогда Р(А) = Р(В) = 1 — 0,4 = 0,6. Событие «кофе
остался хотя бы в одном автомате» — это А и В, его веро­
ятность равна Р(А 3 В) = 1 — 0,22 = 0,78, так как оно
противоположно событию «кофе закончился в обоих автома­
тах». По формуле для пересечения событий
Р(АПВ) = В(А) + Р(В)-В(АиВ) = 0,6 + 0,6-0,78 = 0,42.
2-й способ.
Обозначим через X событие «кофе закончился в первом
автомате», через У — «кофе закончился во втором автома­
те». Тогда по условию Р(Х) = Р(У) = 0,4, Р(Х ПУ) = 0,22.
Так как Р(Х ПУ)
Р(Х) ’ РХ)^ то события X и У зависи­
мые. По формуле для объединения событий
Р(ХЗУ) = Р(Х)уР(У)-Р(ХПУ) = 0,4 + 0,4-0,22 = 0,58.
Модуль 3. Зависимые события
68
Мы нашли вероятность события X и У «кофе закончился хо­
тя бы в одном автомате». Противоположным событием будет
X и У «кофе остался в обоих автоматах», его вероятность
равна Р(ХиУ)
1 — Р(Х и У) = 1 - 0,58 = 0,42.
3-й способ.
Составим таблицу вероятностей возможных результатов в
конце дня.
Второй автомат
кофе закончился
Первый
кофе закончился
автомат
кофе остался
кофе остался
0,22
По условию вероятность события «кофе закончился в
обоих автоматах» равна 0,22. Это число мы сразу записали
в соответствующую ячейку таблицы.
В первом автомате кофе закончится с вероятностью 0,4,
поэтому сумма чисел в верхних ячейках таблицы должна быть
равна 0,4. Значит, в правой верхней ячейке должно быть чис­
ло 0,4 — 0,22 = 0,18.
Второй автомат
кофе закончился кофе остался
Первый кофе закончился
автомат
кофе остался
0,22
0,18
Во втором автомате кофе закончится с вероятностью 0,4,
поэтому сумма чисел в левых ячейках таблицы также должна
быть равна 0,4. Значит, в левой нижней ячейке должно быть
число 0,4 - 0,22 = 0,18.
69
Задачи иа проценты
Второй автомат
кофе закончился кофе остался
Первый кофе закончился
автомат кофе остался
0,22
0,18
0,18
Так как сумма чисел во всех четырёх ячейках должна быть
равна 1, то искомое число в правой нижней ячейке равно
1 -0,22-0,18-0,18 = 0,42.
Второй автомат
кофе закончился
кофе остался
0,22
0,18
0,18
0,42
Первый кофе закончился
автомат
кофе остался
Ответ: 0,42.
Задачи на проценты
Задача 51. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домаш­
них хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства — яйца выс­
шей категории, а из второго хозяйства — 40% яиц высшей
категории. Всего высшую категорию получает 48% яиц. Най­
дите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы,
окажется из первого хозяйства.
Решение.
Пусть х — искомая вероятность и всего закуплено п яиц.
Тогда в первом хозяйстве закуплено х • п яиц, из них 0,6х • п
высшей категории. Во втором хозяйстве закуплено (1 — х) - п
яиц, из них 0,4 • (1 — ж) • п высшей категории. Всего высшую
категорию имеют 0,48п яиц. Отсюда
Модуль 3. Зависимые события
70
0,6т • п + 0,4 • (1 — т) ♦ п = 0,48п,
0,6т -I- 0,4 • (1 — т) = 0,48,
0,6т + 0,4 — 0,4т = 0,48,
0,2т = 0,08,
т — 0,4.
Ответ: 0,4.
Задача 52. На фабрике керамической посуды 20% произве­
дённых тарелок имеют дефект. При контроле качества про­
дукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные та­
релки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что
случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов.
Ответ округлите до сотых.
Решение.
Пусть всего произведено т тарелок. Качественных таре­
лок 0,8т (80% от общего числа), они поступают в прода­
жу. Дефектных тарелок 0,2т, из них в продажу поступает
30%, то есть 0,3 • 0,2т = 0,06т. Всего в продажу поступило
0,8т -|- 0,06т = 0,86т тарелок. Вероятность купить тарелку
ж
0,8:г
40
без дефектов равна —— — — « 0,93.
0,86т
43
Ответ: 0,93.
а
Разные задачи
Задача 53. На рок-фестивале выступают группы — по од­
ной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления
определяется жребием. Какова вероятность того, что группа
Разные зада чи
71
из Финляндии будет выступать после группы из Бельгии, но
перед группой из Греции? Результат округлите до сотых.
Решение.
1-й способ.
Будем считать исходом порядок выступления групп на фе­
стивале. Разобьём множество исходов на подмножества сле­
дующим образом: в одно подмножество будем включать ис­
ходы, полученные перестановками рок-групп из Финляндии,
Бельгии и Греции (с сохранением мест всех остальных рокгрупп). Тогда в каждом подмножестве будет 6 исходов: ФБГ,
ФГБ, БГФ, БФГ, ГБФ, ГФБ. Из этих шести исходов бла­
гоприятным будет только БФГ. Следовательно, благоприят-
1
ными являются - всех исходов. Искомая вероятность равна
І «0,17.
6
2-й способ
*
Так как в условии не указано общее число рок-групп,
будем считать, что их всего три: из Финляндии, Бельгии и
Греции. Будем считать исходом порядок выступлений, всего
6 исходов: ФБГ, ФГБ, БГФ, БФГ, ГБФ, ГФБ. Благоприят-
*2-й способ не является математически верным, но при решении на эк­
замене может помочь, если первый способ непонятен.
Модуль 3. Зависимые события
72
ным является только исход БФГ. Искомая вероятность равна
І
6
0,17.
Ответ: 0,17.
Задача 54. При артиллерийской стрельбе автоматическая
система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена,
то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяют­
ся до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность
уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,2,
а при каждом последующем — 0,7. Сколько выстрелов потре­
буется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была
не менее 0,98?
Решение.
1-й способ.
Вероятность
промаха
при
первом
выстреле
равна
1 — 0,2 = 0,8. Вероятность промаха при каждом после­
дующем выстреле равна 0,3. Подсчитаем число выстрелов,
при котором цель остаётся непоражённой с вероятностью
не более 1 — 0,98 = 0,02.
Вероятность непоражения после второго выстрела равна
0,8 • 0,3 = 0,24;
после третьего — 0,24 • 0,3 = 0,072;
после четвёртого — 0,072 • 0,3 = 0,0216;
после пятого — 0,0216 ♦ 0,3 = 0,00648.
Следовательно, необходимо 5 выстрелов.
73
Разные задачи
2-й способ
*
Вероятность непоражения после п выстрелов равна
0,8 • 0,Зп-1, так как при первом выстреле вероятность промаха
0,8, а при каждом последующем 0,3. По условию необходимо,
чтобы 1 — 0,8 • 0,Зп-1
0,98,
0,8 • О^-1 ^ 0,02,
О^-1
0,025,
я-1
log0 з 0,025,
и
1 + log0 з 0,025 ~ 1 + 3,06, откуда п
5.
Ответ: 5.
Задача 55. Чтобы поступить в институт на специальность
«архитектура», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее
60 баллов по каждому из трёх предметов — математике, рус­
скому языку и истории. Чтобы поступить на специальность
«живопись», нужно набрать не менее 60 баллов по каждому
из трёх предметов — русскому языку, истории и литературе.
Вероятность того, что абитуриент Н. получит не менее
60 баллов по истории, равна 0,8, по русскому языку — 0,5,
по литературе — 0,6 и по математике — 0,9.
Найдите вероятность того, что Н. сможет поступить хотя
бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Решение.
Вероятность
того,
что
Н.
не
сможет
набрать
60 баллов ни по литературе, ни по математике, равна
*2-й способ имеет математическое значение, но непригоден на экза­
мене из-за необходимости приближённого вычисления логарифма.
74
Модуль 3. Зависимые события
(1 — 0,6) • (1 - 0,9) = 0,4 • 0,1 = 0,04. Следовательно, хотя бы
по одному из этих двух предметов он получит 60 баллов с ве­
роятностью 1 — 0,04 = 0,96. Для поступления нужно набрать
требуемый балл по русскому языку, истории и хотя бы по
одному предмету из литературы и математики. Вероятность
поступления равна 0,5 • 0,8 • 0,96 = 0,384.
Ответ: 0,384.
Задача 56. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хо­
рошая и отличная, причём погода, установившись утром, дер­
жится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью
0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня,
11 марта, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите ве­
роятность того, что 14 марта в Волшебной стране будет от­
личная погода.
Решение.
Составим таблицу вероятностей для погоды в Волшебной
стране.
___________________________________
11 марта 12 марта 13 марта 14 марта
Хорошая
1
Отличная
0
Погода 12 марта с вероятностью 0,9 останется хорошей,
с вероятностью 0,1 станет отличной. Занесём эти данные
в таблицу.
11 марта 12 марта 13 марта 14 марта
Хорошая
1
0,9
Отличная
0
0,1
75
Разные задачи
Хорошая погода 13 марта может быть в двух случаях.
1) Погода 12 марта была хорошей и не изменилась. Вероят­
ность этого равна 0,9 • 0,9 = 0,81.
2) Погода 12 марта была отличной и изменилась. Вероятность
этого равна 0,1 ♦ 0,1 = 0,01.
Таким образом, вероятность хорошей погоды 13 марта
равна 0,81 -I- 0,01
= 0,82. Вероятность отличной погоды
13 марта равна 1 - 0,82 = 0,18. Заносим эти данные в таб­
лицу.
И марта 12 марта 13 марта 14 марта
Хорошая
1
0,9
0,82
Отличная
0
0,1
0,18
Отличная погода 14 марта может быть в двух случаях.
1) Погода 13 марта была хорошей и изменилась. Вероятность
этого равна 0,82 • 0,1 = 0,082.
2) Погода 13 марта была отличной и не изменилась. Вероят­
ность этого равна 0,18 • 0,9 = 0,162.
Таким образом, вероятность отличной погоды 14 марта
равна 0,082 4- 0,162 = 0,244.
11 марта 12 марта 13 марта 14 марта
Хорошая
1
0,9
0,82
Отличная
0
0,1
0,18
Ответ: 0,244.
0,244
76
Модуль 3. Зависимые события
© Варианты для самостоятельного выполнения
Вариант 1
1. Чтобы поступить в институт на специальность «авто­
матизация», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее
60 баллов по каждому из трёх предметов — математике, рус­
скому языку и физике. Чтобы поступить на специальность
«мехатроника», нужно набрать не менее 60 баллов по каж­
дому из трёх предметов — математике, русскому языку и ин­
форматике. Вероятность того, что абитуриент У. получит не
менее 60 баллов по математике, равна 0,4, по русскому язы­
ку — 0,5, по физике — 0,3 и по информатике — 0,2. Найдите
вероятность того, что У. сможет поступить хотя бы на одну из
двух упомянутых специальностей.
2. На спартакиаде выступают группы — по одной от каждо­
го из заявленных городов. Порядок выступления определяет­
ся жребием. Какова вероятность того, что группа из Ростова
будет выступать после группы из Казани и после группы из
Уфы? Результат округлите до сотых.
3. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяй­
ствах. 60% яиц из первого хозяйства — яйца высшей кате­
гории, а из второго хозяйства — 30% яиц высшей категории.
Всего высшую категорию получает 45% яиц. Найдите вероят­
ность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется
из первого хозяйства.
Варианты для самостоятельного выполнения
77
4. В торговом центре два одинаковых автомата продают шо­
коладки. Вероятность того, что к концу дня в автомате закон­
чится шоколад, равна 0,8. Вероятность того, что шоколад за­
кончится в обоих автоматах, равна 0,62. Найдите вероятность
того, что к концу дня шоколад останется в обоих автоматах.
Вариант 2
1. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяй­
ствах. 18% яиц из первого хозяйства — яйца высшей кате­
гории, а из второго хозяйства — 23% яиц высшей категории.
Всего высшую категорию получает 22% яиц. Найдите вероят­
ность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется
из первого хозяйства.
2. Чтобы поступить в институт на специальность «биотехни­
ка», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 80 баллов
по каждому из трёх предметов — математике, русскому язы­
ку и химии. Чтобы поступить на специальность «управление»,
нужно набрать не менее 80 баллов по каждому из трёх пред­
метов — математике, русскому языку и обществознанию. Ве­
роятность того, что абитуриент 3. получит не менее 80 баллов
по математике, равна 0,3, по русскому языку — 0,4, по хи­
мии — 0,7 и по обществознанию — 0,6. Найдите вероятность
того, что 3. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомя­
нутых специальностей.
78
Модуль 3. Зависимые события
3. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каж­
дой из заявленных стран. Порядок выступления определяет­
ся жребием. Какова вероятность того, что группа из России
будет выступать перед группой из Чехии и перед группой из
Дании? Результат округлите до сотых.
4. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе.
Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится ко­
фе, равна 0,7. Вероятность того, что кофе закончится в обоих
автоматах, равна 0,56. Найдите вероятность того, что к концу
дня кофе останется в обоих автоматах.
Вариант 3
1. При артиллерийской стрельбе автоматическая система де­
лает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то систе­
ма делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех
пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтоже­
ния некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при
каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется
для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не ме­
нее 0,9?
2. В гончарной мастерской 20% произведённых чашек имеют
дефект. При контроле качества продукции выявляется 85%
дефектных чашек. Остальные чашки поступают в продажу.
Найдите вероятность того, что случайно выбранная при по­
купке чашка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.
Варианты для самостоятельного выполнения
79
3. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каж­
дой из заявленных стран. Порядок выступления определяется
жребием. Какова вероятность того, что группа из России бу­
дет выступать после группы из Италии, но перед группой из
Грузии? Результат округлите до сотых.
4. Агрофирма закупает огурцы в двух теплицах. 70% огурцов
из первой теплицы — огурцы высшей категории, а из второй
теплицы — 80% огурцов высшей категории. Всего высшую
категорию получает 72% огурцов. Найдите вероятность того,
что огурец, купленный у этой агрофирмы, окажется из первой
теплицы.
Вариант 4
1. При артиллерийской стрельбе автоматическая система де­
лает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то систе­
ма делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех
пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтоже­
ния некоторой цели при первом выстреле равна 0,2, а при
каждом последующем — 0,8. Сколько выстрелов потребуется
для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не ме­
нее 0,95?
2. На фабрике керамической посуды 20% произведённых пи­
ал имеют дефект. При контроле качества продукции выяв­
ляется 90% дефектных пиал. Остальные пиалы поступают в
продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбран-
80
Модуль 3. Зависимые события
ная при покупке пиала не имеет дефектов. Ответ округлите
до сотых.
3. Автофирма закупает для последующей перепродажи шины
в двух магазинах. 10% шин из первого магазина — импорт­
ные, а из второго магазина 2% шин — импортные. Всего 3%
закупленных шин являются импортными. Найдите вероят­
ность того, что шина, купленная у этой автофирмы, окажется
из первого магазина.
4. В Волшебной стране бывает два типа погоды: ясная
и пасмурная, причём погода, установившись утром, держится
неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 по­
года завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня, 7 августа,
погода в Волшебной стране ясная. Найдите вероятность того,
что 10 августа в Волшебной стране будет пасмурная погода.
Модуль 4. Условная и полная
вероятность
Диагностическая работа
1. В ящике лежат 40 яблок: 15 — красных, 11 — жёлтых и
14 — зелёных. Яблоки достают из корзины в случайном по­
рядке. Какова вероятность того, что в первый раз зелёное
яблоко достанут вторым по счёту? Ответ округлите до сотых.
2. Оксана подбросила игральную кость 3 раза. Известно,
что в сумме выпало 16 очков. Какова вероятность события
«в первый раз выпало шесть очков»?
3. У Дарьи есть два игральных кубика. Первый из них обыч­
ный, а на гранях второго кубика числа 1, 5 и 6 встречаются по
два раза. В остальном кубики одинаковые. Дарья наудачу вы­
брала один из двух кубиков и бросила его два раза. Известно,
что оба раза выпало 5 очков. Какова вероятность того, что она
бросила первый кубик?
4. В городе 40% взрослого населения — мужчины. Рабо­
тающие составляют 85,2% взрослого населения, при этом
доля работающих среди взрослых женщин составляет 82%.
Для проведения исследования случайным образом выбрали
взрослого мужчину. Какова вероятность того, что выбранный
мужчина не относится к числу работающих?
Модуль 4. Условная и полная вероятность
82
5. На диаграмме Эйлера (см. рис. 7) показаны события А и
В в некотором случайном эксперименте, в котором 10 равно­
возможных элементарных событий. Элементарные события
показаны точками. Найдите Р(А\В) — условную вероятность
события А при условии В.
Рис. 7
Теоретическая часть
Пусть в результате некоторого эксперимента возможно
наступление событий Аи В, причём Р(В) ^ 0.
Вероятностью события А при условии события В (обозна-
эту вероятность часто можно найти как вероятность события
А, посчитанную при предположении, что событие В насту­
пило.
Если события Аи В независимые,то Р(А\В) = Р(А).
Предположим, что в результате эксперимента обязатель­
но наступает ровно одно из событий Ні, Н2, ..., Нт, причём
вероятность каждого из них не равна 0 (между собой они
могут различаться). Тогда для произвольного события А
Задачи на классическое определение
вероятности
83
справедлива формула
Р(А)^Р(АІН1)Р(Н1)+Р(А\Н2)Р(Н2)+.. лР(А\Нт)Р(Нт).
Эту формулу называют формулой полной вероятности.
События Ні, Н2,..., Нт называют гипотезами.
Предположим,
известно, что событие А наступило,
и необходимо найти вероятность наступления одной из
гипотез (Нк). Для этого применяется формула Байеса:
Р(Нк\А) =
где Р(А)
0.
Задачи на классическое определение
вероятности
Задача 57. Зина бросила игральную кость 2 раза. Извест­
но, что в сумме выпало 9 очков. Какова вероятность события
«при втором броске выпало два очка»?
Решение.
Согласно условию игральную кость бросили 2 раза и
в сумме выпало 9 очков. При таких условиях, если при втором
броске выпало два очка, то при первом должно было выпасть
семь очков, что невозможно (не может выпасть более 6 очков
за раз). Вероятность равна нулю.
Ответ: 0.
Задача 58. У Берты есть два игральных кубика. Первый из
них обычный, а на гранях второго кубика числа 2 и 4 встре­
чаются по три раза. В остальном кубики одинаковые. Берта
наудачу выбрала один из двух кубиков и бросила его два раза.
Модуль 4, Условная и полная вероятность
84
Известно, что в каком-то порядке выпали 2 и 4 очка. Какова
вероятность того, что она бросила второй кубик?
Решение,
Согласно условию рассматривается эксперимент, состо­
ящий в том, что бросают один из двух выбранных кубиков
дважды и при этом выпадает 2 или 4 в каком-то порядке.
Рассмотрим событие А, состоящее в том, что 2 и 4 вы­
падают при бросании второго кубика. Общее число исходов
эксперимента является суммой указанных исходов при бро­
сании первого и второго кубиков. При бросании первого стан­
дартного кубика получаем два указанных исхода: (2; 4) — 2
при первом бросании и 4 при втором; (4; 2) — 4 при первом
бросании и 2 при втором. При бросании второго нестандарт­
ного кубика получаем 18 указанных исходов. Действительно,
если каждое из трёх чисел 2, расположенных на трёх различ­
ных гранях и выпавших при первом бросании, объединить с
каждым из трёх чисел 4, также расположенных на различных
гранях и выпавших при втором бросании, получим 9 исходов.
Если же при первом бросании выпадает число 4, а при вто­
ром — 2, то получим ещё 9 исходов. Общее число исходов
равно 2 + 18 = 20, а число событий, благоприятствующих со18
бытию Л, равно 18. Поэтому Р(А) = — =
Ответ: 0,9.
Задача 59. В городе 52% взрослого населения — жен­
щины. Работающие составляют 79,3% взрослого населения.
Задачи на классическое определение вероятности
85
При этом доля работающих среди взрослых мужчин состав­
ляет 65%. Для проведения исследования случайным образом
выбрали взрослую женщину. Какова вероятность того, что
выбранная женщина окажется работающей?
Решение.
Пусть всего в городе п взрослых жителей. Тогда жен­
щин — 0,52п, мужчин — п-0,52п = 0,48п. Доля работающих
среди взрослых мужчин по условию равна 0,65. Долю рабо­
тающих среди взрослых женщин обозначим через х, причём
0
х ^1, число х равно искомой вероятности (отношение
числа работающих женщин к общему числу взрослых жен­
щин). Тогда 0,65 • 0,48п + х • 0,52п = 0,793п.
Отсюда 0,65 • 0,48 + х • 0,52 = 0,793;
0,52х = 0,481;
х = 0,925.
Ответ: 0,925
Задача 60. В городе N 31% взрослых жителей имеют води­
тельские удостоверения. При этом водительские удостовере­
ния имеют 37% взрослых мужчин и 26% взрослых женщин.
Мэрия проводит розыгрыш автомобиля среди всех жителей
города, имеющих права. Какова вероятность того, что авто­
мобиль выиграет мужчина? Ответ округлите до сотых.
Решение.
Пусть всего в городе х мужчин и у женщин. Тогда
0,37т + 0,26т/ = 0,31(т + у).
0,06ж — 0,05т/, у = -х.
86
Модуль 4. Условная и полная вероятность
Всего в розыгрыше участвуют 0,31 (я + у) жителей, из них
мужчин — 0,37а;.
Искомая вероятность равна
0,37а;
=
0,31(1 + у) ~
0,37а:
_
0,37а;
_ 37 -5 _
7
6 \ “
/11 X “31-11“
0,31 а; + -а;
0,31 • —х
V
5 /
V 5 /
= 1^ = 0,542... « 0,54.
341
Ответ: 0,54.
Задача 61. При подозрении на наличие некоторого заболе­
вания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание
действительно есть, то тест подтверждает его в 88% случа­
ев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие забо­
левания в среднем в 92% случаев. Известно, что в среднем
тест оказывается положительным у 11% пациентов некоторой
поликлиники, направленных на тестирование. При обследо­
вании пациента А. врач направил его на ПЦР-тест, который
оказался положительным. Какова вероятность того, что па­
циент А. действительно имеет это заболевание?
Решение.
Пусть всего направлено на тестирование п пациентов, из
них к больных и (п - Ц не больных.
Тогда
0,11п — пациентов с положительным тестом;
0,88^ — больных с положительным тестом;
0,92(п — к} — не больных с отрицательным тестом;
Задачи на классическое определение вероятности
87
0,08(п - к) — не больных с положительным тестом.
п — всего направленных на тестирование
Получим уравнение
к
Т
к\
ОЖ + 0,08(п -к) = ОДЫ; 0,88- + 0,08(1 - - = 0,11.
п
'
п'
п
к
3 ,
3
Отсюда — = —, к = —п.
п
80
80
Тогда больных с положительным тестом
0,88к = 0,88 • —п = 0,033п.
80
Искомая вероятность того, что наугад выбранный пациент
с положительным тестом действительно болен,
0,033п _
оды
— и. О.
Ответ: 0,3.
Модуль 4. Условная и полная вероятность
88
Задачи на условную вероятность
Задача 62. В плейлисте Савелия 50 песен: 18 — в стиле хард-
боп, 25 — в стиле джаз-рок и 7 — в стиле фри-джаз. Песни
воспроизводятся в случайном порядке, не повторяясь. Какова
вероятность того, что в первый раз песня в стиле фри-джаз
прозвучит третьей по счёту?
Решение.
Вероятность того, что первой прозвучит песня, не относя-
,
50 - 7
43 с
щаяся к фри-джазу, равна -------- = —. Вели это событие
50
50
наступит, то вероятность прозвучать снова песне не в стиле
42
фри-джаз станет равна — (так как останется 42 песни не
49
в стиле фри-джаз из 49). Таким образом, вероятность того,
что первые две песни не относятся к фри-джазу, равна
43 42
Вероятность того, что следующая после них песня окажет 7
ся в стиле фри-джаз, равна —. Тогда искомая вероятность
43 42 7
43
равна — • — • — —---- = 0,1075.
50 49 48 400
Ответ: 0,1075.
Задача 63. Фарида подбросила игральную кость 2 раза. Из­
вестно, что в сумме выпало 10 очков. Какова вероятность со­
бытия «во второй раз выпало шесть очков»? Ответ округлите
до сотых.
Задачи на условную вероятность
89
Решение.
Десять очков в сумме могло выпасть в следующих случаях
(в каждой «паре» перечислены последовательные результаты
двух бросков): (4; 6), (5; 5), (6; 4) — всего 3 равновозмож­
ных случая. Событию «во второй раз выпало шесть очков»
благоприятствует 1 из них: (4; 6). Искомая вероятность рав­
на - = 0,333... ~ 0,33.
3
Ответ: 0,33.
Задача 64. Вера бросила игральную кость 3 раза. Извест­
но, что в сумме выпало 9 очков. Какова вероятность события
«хотя бы один раз выпало два очка»?
Решение.
Девять очков в сумме могло выпасть в следующих случаях
(в каждой «тройке» перечислены результаты трёх бросков):
1) Числа 6, 1 и 2 в различном порядке — всего 6 случаев.
2) Числа 5, 1 и 3 в различном порядке — всего 6 случаев.
3) Числа 5, 2 и 2 в различном порядке — всего 3 случая.
4) Числа 4, 3 и 2 в различном порядке — всего 6 случаев.
5) Числа 4, 4 и 1 в различном порядке — всего 3 случая.
6) Числа 3, 3 и 3.
Всего 25 равновозможных случаев. Событию «хотя бы
один раз выпало два очка» благоприятствуют 15 из них. Ис15
комая вероятность равна — = 0,6.
Ответ: 0,6.
Модуль 4. Условная и полная вероятность
90
Задача 65. Анна бросила одновременно две игральные кости,
и ни на одной из них не выпало два очка. Какова вероятность
при этом условии, что в сумме выпало 12 очков?
Решение.
Эксперимент заключается в бросании двух игральных ко­
стей, исходом является упорядоченная пара чисел, в которой
на первом месте стоит число очков, выпавшее на первом ку­
бике, а на втором месте — число очков, выпавшее на вто­
ром кубике. Эксперимент имеет 6 • 6 = 36 равновозможных
исходов. Пусть событие А — «ни разу не выпало два очка»,
это событие наступит, если при первом броске выпадет лю­
бое число очков, кроме 2 (всего 5 вариантов), и аналогично
при втором броске. Всего 5 • 5 = 25 исходов благоприятству-
25
ют событию А, отсюда Р(А) = —.
36
Пусть событие В — «в сумме выпало 12 очков».
Тогда А Г\ В — «в сумме выпало 12 очков и ни ра­
зу не выпало 2».
Событию А Г\ В благоприятствует
единственный исход (6; 6). Р{А П В)
Р(ад = М = 1^
Р(В)
36
36
1
=
—. Тогда
36
= 0,04.
25
Можно рассуждать немного иначе. Посчитаем вероят­
ность события В при условии, что А наступило. Если А
наступило, то возможен любой из 25 исходов, из которых
Задачи на условную вероятность
91
1 благоприятствует событию А. Искомая вероятность равна
— = 0,04.
25
Ответ: 0,04.
Задача 66. На рисунке 9 показано дерево некоторого слу­
чайного эксперимента. Событию А благоприятствуют эле­
ментарные события
*
гѵ, х и у, событию В благоприятствуют
элементарные события х,уи г. Найдите Р(А\В) — условную
вероятность события А при условии В.
* Элементарное событие можно рассматривать как обобщение поня­
тия исхода. В отличие от классической схемы, здесь отсутствует равно-
возможность, то есть разные элементарные события могут иметь разные
вероятности. При этом по-прежнему в результате эксперимента насту­
пает ровно одно элементарное событие из возможных. Событием А при
этом называется подмножество множества элементарных событий (гово­
рят, что эти элементарные события благоприятствуют событию А). Ве­
роятность события А — это сумма вероятностей элементарных событий,
благоприятствующих событию А.
92
Модуль 4. Условная и полная вероятность
Решение.
Р({ю}) = 0,1 ■ 0,4 = 0,4, Р(,{х}} = 0,1 ■ 0,6 = 0,06,
Р({у}] = 0.9 ■ 0,2 = 0,18, Р^г}) = 0,9 • 0,8 = 0,72.
Тогда Р(В) = 0,06 + 0,18 + 0,72 = 0,96.
Р(А ПВ) = 0,6 4- 0,18 = 0,24.
Р(А\В) =
Р(В)
= ^ = 0,25.
0,96
Ответ: 0,25.
Задача 67. На диаграмме Эйлера (см. рис. 10) показаны со­
бытия А и В в некотором случайном эксперименте, в котором
12 равновозможных элементарных событий. Элементарные
события показаны точками. Найдите Р(А\В) — условную ве­
роятность события А при условии В.
Решение.
1-й способ.
Событию В удовлетворяет 6 равновозможных исходов, из
них 3 удовлетворяют и событию А (лежат в пересечении со3
бытий). Тогда искомая вероятность равна - = 0,5.
Задачи на полную вероятность
93
2-й способ.
Р(А\В) = ^ДИДі,
Р(В)
Р(В) = —, так как 6 точек из 12 относятся к событию В.
12
3
Р(А Г\В) = —, так как 3 точки из 12 относятся к событию
12
А Г\ В (лежат в общей части событий Ан В).
Р(А\В) = А : А = 5 = 0,5.
12 12
6
Ответ: 0,5.
Задачи на полную вероятность
Задача 68. В кафе «Рулетик» администратор предлагает гостям сыграть в следующую игру: за одну попытку гость броса­
ет одновременно две игральные кости. Всего есть две попыт­
ки. Если в результате хотя бы одной из попыток на обеих ко­
стях оказывается одно и то же число очков, клиент получает
рулетик с черничным повидлом в подарок. Какова вероят­
ность выиграть рулетик? Ответ округлите до сотых.
Решение.
1-й способ.
Рассмотрим две гипотезы: Н^ — при первом броске выпа­
ла нужная комбинация и Н2 — при первом броске не выпала
6
1
нужная комбинация. Заметим, что Р(НА = — = -, так как
36
6
Модуль 4. Условная и полная вероятность
94
из 36 упорядоченных пар, соответствующих очкам на кубиках,
ровно шесть удовлетворяют требованию: (1; 1), (2; 2), (3; 3)
1
5
и так далее. Р(Н2) = 1---- = -.
6
6
Событие
летик».
А
По
—
«клиент
формуле
получил
полной
бесплатный
вероятности
ру­
получим:
Р(А) = Р^Н.) • Р^ + Р(А\Н2) • Р(Н2).
Ясно, что Р^Ні) = 1, так как если выполнено Н^, то
клиент получит рулетик.
Ясно, что Р(А\Н2) = і, так как если выполнено Н2, то
клиент выиграет рулетик, если он получит нужную комбина­
цию вторым броском, то есть Р(А\Н2) = Р(Ні).
Тогда РІА) = 1.1 + 1- - = — = о,ЗО5... й 0,31.
6
б 6
36
2-й способ.
Подсчитаем
вероятность противоположного события:
клиент остался без рулетика. Для этого оба раза клиент дол­
жен выбросить разное число очков на костях. Вероятность
выбросить разное число очков на костях при однократном
5
броске двух костей равна - (какое бы значение ни выпало на
6
первой кости, вероятность выпадения другого числа очков на
5
второй кости равна -). Броски проводятся независимо друг от
6
Задачи на полную вероятность
95
друга, поэтому вероятность выбросить оба раза разное число
5 5
25
очков равна - • - = —.
6 6 36
25
11
Вероятность получить рулетик равна 1------ = — « 0,31.
36
36
Ответ: 0,31.
Задача 69. Телефон передаёт СМС-сообщение. В случае
неудачи он делает следующую попытку. Вероятность того,
что СМС-сообщение удастся передать без ошибок, в каж­
дой отдельной попытке равна 0,95. Найдите вероятность того,
что для передачи сообщения потребуется не больше двух по­
пыток.
Решение.
Вероятность неудачи в случае каждой отдельно взятой по­
пытки равна 1 - 0,95 = 0,05. По условию должна потребо­
ваться одна или две попытки. Пусть событие Аі — «потребо­
валась ровно одна попытка». По условию Р(А^ = 0,95.
Пусть событие Л2 — «потребовалось ровно две попытки».
Это означает, что первая попытка должна была быть неудач­
ной, а вторая — удачной. Тогда Р(А2) = 0,05 • 0,95 = 0,0475.
Так как события Аі и Л2 несовместны, то искомая вероят­
ность Р(Аі и Л2) = Р(А) + Р(А2) = 0,9975.
Ответ: 0,9975.
Задача 70. Иван бросал игральную кость до тех пор, пока
сумма очков не превысила число 9. Найдите вероятность того,
что потребовалось 2 броска. Ответ округлите до сотых.
Модуль 4. Условная и полная вероятность
96
Решение.
Пусть Ні — событие, заключающееся в том, что при пер­
вом броске выпало і очков. Тогда Р(Ні) = - для любого
6
целого г от 1 до 6. Пусть событие А — «сумма очков превы­
сила 9 при втором броске».
Р(А) = Р{А\Нг)Р(Нг) + Р(А\Н2)Р(Н^ + Р(А\Н3)Р(Н3) +
+ ... + Р(А|Н6)Р(Н6) = Р(А|Я,) • і + Р(А\Н2) ■ - +
6
6
+Р(Л|Я3)
Р(А|Я6) ■ і.
6
6
Ясно, что Р(Л|Н4) = - (если при первом броске выпа6
ло 4 очка, то при втором броске должно выпасть б очков —
единственный вариант из шести).
2
Аналогично Р(А\Нь) = - (если при первом броске вы6
пало 5 очков, то при втором броске должно выпасть 5 или
б очков — два варианта из шести).
3
Р(А|Я6) = - (если при первом броске выпало 6 очков, то
6
при втором броске должно выпасть 4, 5 или 6 очков — три
варианта из шести).
Р(А\Ні) = 0 при г ^ 3 (если при первом броске выпало 3
или меньше, то сумма очков за первые два броска не превысит
9, то есть событие А при таких условиях невозможно).
97
Задачи на формулу Байеса
Отсюда Р(А) =
6 6
+іА+
6 6 6 6
і = 0,166... ^ 0,17.
6
Ответ: 0,17.
Задачи на формулу Байеса
Задача 71. У Берты есть два игральных кубика. Первый из
них обычный, а на гранях второго кубика числа 2 и 4 встре­
чаются по три раза. В остальном кубики одинаковые. Берта
наудачу выбрала один из двух кубиков и бросила его два раза.
Известно, что в каком-то порядке выпали 2 и 4 очка. Какова
вероятность того, что она бросила второй кубик?
Решение.
Рассмотрим две гипотезы:
Ні
—
«был взят пер­
вый кубик», Н^ — «был взят второй кубик». По усло­
вию обязательно наступает ровно одна из этих гипотез и
Р^Н^ = Р(Н2) = -. Пусть событие А — «в каком-то по2
рядке выпали числа 2 и 4». Тогда Р(А\НА = — у — = —.
36
36
18
(Вероятность того, что сначала выпало 2, а затем 4, равна
11 = —
1 . Аналогично
Л
----вероятность того, что сначала выпало
б 6-----36
4, а затем 2, тоже равна —.) Р(А\Н2) = - + - =
(Вероят36
4
4
2
п а затем 4,
л равна -1 • -1 = 1
ность того, что сначала выпало 2,
2 2
4
Модуль 4. Условная и полная вероятность
98
Аналогично вероятность того, что сначала выпало 4, а затем
2, тоже равна -.)
По
формуле
полной
вероятности
получаем,
что
Р(А) = Р(АІН1) • Р^) + Р(А\Н2) • Р(Н2) =
_± 1 +1 1 _ А
~ 18
2
2
2 ~ 18'
Искомая вероятность
р(я2|а) = ^УЛДУДД = ^1,1Г А = од
РІА)
^2
2'
18
Ответ: 0,9.
Задача 72. Кристина бросает кубик один или несколько
раз — до тех пор, пока сумма очков при всех бросках не пре­
высит 3. Вышло так, что сумма всех очков в результате равня­
лась 6. Какова вероятность того, что Кристина сделала ровно
3 броска? Ответ округлите до сотых.
Решение.
Рассмотрим событие А — сумма всех очков равнялась 6.
Представим это событие как объединение нескольких несов­
местных событий.
1) Лі — «1 бросок и сумма 6 очков». 6 очков выпало при
,
1
первом броске с вероятностью -.
2) А2 — «2 броска и сумма 6 очков». 6 очков в сумме
выпадет при двух бросках с вероятностью — — это исходы
Задачи на формулу Байеса
99
(1; 5), (2; 4), (3; 3) — три из 36 равновозможных исходов
двух бросков.
3) Л3 — «3 броска и сумма 6 очков». 6 очков в сумме выпадет при трех бросках с вероятностью — — это исходы
(1; 2; 3), (1; 1; 4), (2; 1; 3) —три из 216 равновозможных
исходов трёх бросков.
4) А4 — «4 броска и сумма 6 очков». 6 очков в сумме
выпадет при четырёх бросках, если три раза подряд выпа­
дет единица (1; 1; 1; 3). Вероятность такого события равна
ИИ- 1
6 6 6 6 ~ 1296'
Р(Л) = 1 + 1 + 1 + ± = Д
6
36
Тогда Р(А3\А) =
216
1296
1296
Р(А3 П А) = Р(А3)
Р(А)
РЩ
= — = 0,052... ^ 0,05.
343
Ответ: 0,05.
Задача 73. Петя бросил игральный кубик несколько десятков
раз. Известно, что в какой-то момент сумма выпавших при
бросаниях очков оказалась равна 3. Какова вероятность того,
100
Модуль 4. Условная и полная вероятность
что к этому моменту был сделан ровно один бросок? Ответ
округлите до сотых.
Решение.
Рассмотрим событие А — сумма всех очков равна 3.
Представим это событие как объединение нескольких несов­
местных событий.
1) Лі — «1 бросок и сумма 3 очка». 3 очка выпало при
Л
1
одном броске с вероятностью -.
2)А2 — «2 броска и сумма 3 очка». 3 очка в сумме выпадет
2
при двух бросках с вероятностью — — это исходы (1; 2) и
36
(2; 1) — два из 36 равновозможных исходов двух бросков.
3) Лз — «3 броска и сумма 3 очка». 3 очка в сумме выпа. ,
1
дет при трех бросках с вероятностью — — это единственный
исход (1; 1; 1) из 216 равновозможных исходов трёх бросков.
Р(Л) = !Д + ± = Д
6
36
216
216
Р(А|Л) = Н^І = Ні) = 1 Д = “ я 0,73.
Р(А)
Р(А)
6
216
49
Ответ: 0,73.
Задача 74. При подозрении на наличие некоторого забо­
левания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболе­
вание действительно есть, то тест подтверждает его в 88%
случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие
Задачи на формулу Байеса
101
заболевания в среднем в 92% случаев. Известно, что в сред­
нем тест оказывается положительным у 11% пациентов неко­
торой поликлиники, направленных на тестирование. При об­
следовании пациента А. врач направил его на ПЦР-тест, ко­
торый оказался положительным. Какова вероятность того,
что пациент А. действительно имеет это заболевание?
1-й способ.
Решение.
Пусть эксперимент заключается в выборе одного случай­
ного пациента, направленного на анализ. Рассмотрим две ги­
потезы, являющиеся противоположными событиями: Ні —
«этот пациент болен», Н2 — «этот пациент не болен». Собы­
тие А — «у наудачу взятого пациента тест дал положительный
результат». По условию Р(А) = 0,11. Вероятность положи­
тельного теста у больного пациента равна Р(А|Яі) = 0,88,
а у здорового — Р(А|Я2) = 1 - 0,92 = 0,08.
Пусть х — это Р^Н^, то есть х — это вероятность того,
что наудачу взятый пациент болен (тогда Р(Н2) = 1 — т — это
вероятность того, что наудачу взятый пациент здоров).
По формуле полной вероятности получим, что
Р(А) = Р(А\Ну) • Р(НГ) + Р(А\Н2) • Р(Н2) =
= 0,88т + 0,08(1 — х).
Получим уравнение 0,88т + 0,08(1 — т) = 0,11.
Модуль 4. Условная и полная вероятность
102
0,8^ = 0,03, х = —. Искомая вероятность
80
0,88 • —
2-й способ.
Пусть эксперимент заключается в выборе одного случай­
ного пациента, направленного на анализ.
1. Пусть А — событие «у наудачу выбранного пациента
тест дал положительный результат», Р(А) = 0,11;
Н^ — событие «этот пациент болен»;
Н2 — событие «этот пациент не болен».
Пусть Р(Н\) = х, тогда Р(Н2) = 1 — х.
Рис. 11
Изобразим
роятностей
эксперимент
(см.
рис.
графически
11).
Р(А) = 0,88а; 4- 0,08(1 - х) = 0,11;
Из
деревом
рисунка
ве­
получаем
Варианты для самостоятельного выполнения
2. Необходимо найти Р(Ні I А) = ^^^
103
^),
Пусть всего направлено на тестирование п пациентов.
Тогда: 0,11п пациентов получили положительный резуль-
3
3
тат теста; —п пациентов больны; 0,88—п = 0,033п больных
80
80
пациентов, результат теста которых положительный.
По классическому определению вероятности
Р(Н1 П А) = ^ = 0,033.
п
Т
<
I
РІНіПА)
0,033
Таким образом, Р(Ні А) = —------------ = —----- = 0,3.
Р(А)
0,11
Ответ: 0,3.
© Варианты для самостоятельного выполнения
Вариант 1
1. В ящике лежат 10 носков: 7 белых и три розовых. Рита
достаёт носки по очереди в случайном порядке. Какова ве­
роятность того, что в первый раз она достанет розовый носок
четвёртым по счёту?
2. Борис бросил игральную кость 2 раза. Известно, что в сум­
ме выпало 8 очков. Какова вероятность события «при втором
броске выпало пять очков»?
104
Модуль 4. Условная и полная вероятность
3. Борис бросил игральную кость 2 раза. Известно, что в сум­
ме выпало 12 очков. Какова вероятность события «при вто­
ром броске выпало шесть очков»?
4. В городе N 32,2% взрослых жителей имеют водительские
удостоверения. При этом водительские удостоверения име­
ют 38% взрослых мужчин и 30% взрослых женщин. Мэрия
проводит розыгрыш автомобиля среди всех жителей горо­
да, имеющих права. Какова вероятность того, что автомобиль
выиграет женщина? Ответ округлите до сотых.
5. На рисунке 12 показано дерево некоторого случайного экс­
перимента. Событию А благоприятствуют элементарные со­
бытия а, Ь и с, событию В благоприятствуют элементарные
события Ь, с и (1. Найдите Р(А\В) — условную вероятность
события А при условии В.
Рис. 12
Варианты для самостоятельного выполнения
105
Вариант 2
1. В коробке лежат 100 шнурков: 49 белых и 51 зелёный. Лин­
да достаёт шнурки по очереди в случайном порядке. Какова
вероятность того, что в первый раз она достанет зелёный шну­
рок третьим по счёту? Ответ округлите до сотых.
2. В городе N 47% взрослых жителей имеют водительские
удостоверения. При этом водительские удостоверения име­
ют 55% взрослых мужчин и 35% взрослых женщин. Мэрия
проводит розыгрыш автомобиля среди всех жителей горо­
да, имеющих права. Какова вероятность того, что автомобиль
выиграет женщина? Ответ округлите до десятых.
3. Матвей бросал игральную кость до тех пор, пока сумма
очков не превысила число 2. Найдите вероятность того, что
потребовалось ровно 2 броска. Ответ округлите до сотых.
4. Борис подбросил игральную кость 2 раза. Известно, что
в сумме выпало 5 очков. Какова вероятность события «при
втором броске выпало шесть очков»?
106
Модуль 4. Условная и полная вероятность
5. На рисунке 13 показано дерево некоторого случайного экс­
перимента. Событию А благоприятствуют элементарные со­
бытия а, Ь н с, событию В благоприятствуют элементарные
события Ь, с и (1. Найдите Р(В\А) — условную вероятность
события В при условии А. Ответ округлите до сотых.
Вариант 3
1. При подозрении на наличие некоторого заболевания па­
циента отправляют на специальный тест. Если заболевание
действительно есть, то тест подтверждает его в 93% случаев.
Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболе­
вания в среднем в 97% случаев. Известно, что в среднем тест
оказывается положительным у 12% пациентов некоторой по­
ликлиники, направленных на тестирование. При обследова­
нии пациента А. врач направил его на соответствующий тест,
который оказался положительным. Какова вероятность того,
что пациент А. действительно имеет это заболевание?
Варианты для самостоятельного выполнения
107
2. Святослав бросает кубик один или несколько раз — до тех
пор пока сумма очков при всех бросках не превысит 2. Вышло
так, что сумма всех очков в результате равнялась 5. Какова
вероятность того, что Святослав сделал ровно 2 броска? От­
вет округлите до сотых.
3. Борис подбросил игральную кость 2 раза. Известно, что
в сумме выпало 10 очков. Какова вероятность события «при
втором броске выпало два очка»?
4. В кемпинге администратор предлагает гостям сыграть
в следующую игру: гость бросает одновременно две играль­
ные кости. Если он бросит комбинацию «2 и 6» очков хотя бы
один раз из двух попыток, то получит бесплатное парковочное
место. Какова вероятность получить бесплатное парковочное
место? Ответ округлите до сотых.
5. На диаграмме Эйлера (см. рис. 14) показаны события АиВ
в некотором случайном эксперименте, в котором 16 равно­
возможных элементарных событий. Элементарные события
показаны точками. Найдите Р(В\А) — условную вероятность
события В при условии А.
Рис. 14
108
Модуль 4. Условная и полная вероятность
Вариант 4
1. При подозрении на наличие некоторого заболевания паци­
ента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действи­
тельно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если
заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания
в среднем в 89% случаев. Известно, что в среднем тест ока­
зывается отрицательным у 70% пациентов некоторой поли­
клиники, направленных на тестирование. При обследовании
пациента В. врач направил его на ПЦР-тест, который оказал­
ся отрицательным. Какова вероятность того, что пациент В.
не имеет этого заболевания? Ответ округлите до сотых.
2. Алёна бросила одновременно две игральные кости и ни на
одной из них не выпало четыре очка. Какова при этом условии
вероятность того, что в сумме выпало 6 очков?
3. Алёна бросила одновременно две игральные кости и ни на
одной из них не выпало шесть очков. Какова при этом условии
вероятность того, что в сумме выпало 12 очков?
4. В кофейне администратор предлагает каждому гостю сыг­
рать в следующую игру: гость бросает одновременно две иг­
ральные кости. Если он выбросит комбинацию «3 и 3 очка»
хотя бы один раз из двух попыток, то получит бесплатное пи­
рожное. Какова вероятность получить бесплатное пирожное?
Ответ округлите до сотых.
Варианты для самостоятельного выполнения
109
5. На диаграмме Эйлера (см. рис. 15) показаны события АиВ
в некотором случайном эксперименте, в котором 16 равно­
возможных элементарных событий. Элементарные события
показаны точками. Найдите Р(А\В) — условную вероятность
события А при условии В.
Рис. 15
Модуль 5. Использование
комбинаторных формул. Схема
Бернулли
Диагностическая работа
1. В классе 20 мальчиков и 5 девочек. Для подготовки класс­
ной комнаты к занятиям случайным образом выбирают двух
дежурных. Найдите вероятность того, что дежурить будут две
девочки. Результат округлите до сотых.
2. На фестивале выступают группы — по одной от каждой из
заявленных стран, в том числе из Швеции, Дании, Чехии и
Греции. Порядок выступления определяется жребием. Како­
ва вероятность того, что группа из Швеции будет выступать
после группы из Дании, но перед группой из Греции, а группа
из Греции будет выступать перед группой из Чехии? Результат
округлите до сотых.
3. В группе туристов 7 человек. С помощью жребия они выби­
рают трёх человек, которые должны разводить костёр. Какова
вероятность того, что турист Давид, входящий в состав груп­
пы, будет разводить костёр? Результат округлите до сотых.
Теоретическая часть
111
4. Регина бросает симметричную монету 63 раза. Найдите от­
ношение вероятности события «решка выпадет ровно 23 ра­
за» к вероятности события «решка выпадет ровно 24 раза»?
Теоретическая часть
Факториалом натурального числа п называется резуль­
тат произведения п • (п — 1)... 2 • 1. Факториал числа п обо­
значается каки!. Факториал числа ноль: 0! = 1.
Например, 5! = 5 • 4 • 3 ♦ 2 • 1 = 120. Заметим, что
Перестановкой п различных элементов называется по­
следовательность длины п этих элементов. Количество пере­
становок длины п равно п\.
Размещением из п элементов по к называют любой вы­
бор к элементов, взятых в определённом порядке из п эле­
ментов. Число размещений из п элементов по к обозначают
А*. Справедлива формула А^ = ———.
(п — к)\
Сочетанием из п элементов по к называют любой выбор к
элементов, взятых из п элементов (без учёта порядка). Число
сочетаний из п элементов по к обозначают С^. Справедлива
формула
=------ —------ .
к\-(п-к)\
112
Модуль 5. Использование комбинаторных формул...
Схема Бернулли
Предположим, что проводится серия из п идентичных
независимых экспериментов. В каждом из них вероятность
наступления случайного события А равна р. Тогда вероят­
ность того, что в указанной серии экспериментов событие
А наступит ровно к раз (к ^ п\ вычисляется по формуле
С^рк(1-р)п~к.
Комбинаторные формулы
Задача 75. В коробке лежат чайные пакетики: 8 — чёрного
чая, 6 — зелёного и 7 — белого. Арсений достаёт случайным
образом два пакетика. Какова вероятность, что он достанет
один пакетик белого и один пакетик зелёного чая?
Решение.
Будем
татом
считать
все
эксперимента
пакетиков,
которые
пакетики
различными.
Резуль­
является
неупорядоченная
пара
достанет
Арсений.
есть
Всего
21!
21 -2°
= -------- — -------- = 10-21 = 210 равновозмож19!-2!
2!
ных способов выбрать два пакетика. Пару из пакетиков
белого и зелёного чая можно составить б • 7 = 42 способами.
42
Следовательно, искомая вероятность равна — = 0,2.
Ответ: 0,2.
Комбинаторные формулы
113
Задача 76. В коробочке лежит 21 скрепка: 5 белых, 9 жёл­
тых, остальные — синие. Яша достаёт случайным образом две
скрепки. Какова вероятность того, что обе они синие?
Решение.
Заметим, что синих скрепок 21 — 5 — 9 = 7. Будем считать
все скрепки различными. Результатом эксперимента явля­
ется неупорядоченная пара скрепок, которые достанет Яша.
21!
21-20
= -------- = -------- = 210 равновозможных
19! • 2!
2
способов выбрать две скрепки. Пару из скрепок синего цвеп
Всего есть
7!
7-6
,
тов можно составить С7 = ------- = ----- = 21 способом.
5!-2!
2
21
Следовательно, искомая вероятность равна — = 0,1.
Ответ: 0,1.
Задача 77. В коробочке лежит 20 маркеров: 5 красных, 8 жёл­
тых, остальные — синие. Роман достаёт случайным образом
четыре маркера. Какова вероятность того, что он достал два
синих и два красных маркера? Результат округлите до сотых.
Решение.
Заметим, что синих маркеров 20 — 8 — 5 = 7. Будем считать
все маркеры различными. Результатом эксперимента явля­
ется неупорядоченная четвёрка маркеров, которые достанет
20!
20-19-18-17
к
17
=-------- =--------------------- = 15-19-17
4! • 16!
4-3-2
равновозможных способов выбрать четыре маркера. Четвёр-
Роман. Всего есть
Модуль 5. Использование комбинаторных формул...
114
ку из 2 маркеров синего и 2 маркеров красного цвета можно
составить Су - С% =------- - -------- =---------------= 7-6-5 спо5!-2! 2!-3!
2-2
собами. Следовательно, искомая вероятность равна
—
= 0,043...» 0,04.
15-19-17
Ответ: 0,04.
Задача 78. В классе 16 мальчиков и 9 девочек. Для подготов­
ки классной комнаты к занятиям случайным образом выбира­
ют двух дежурных. Найдите вероятность того, что дежурить
будут два мальчика.
Решение.
Результатом эксперимента является неупорядоченная пап
25!
25 • 24
ра дежурных. Всего есть С25 = 2зГ"2! = —2— =
равновозможных
ных.
способов
Пару дежурных из
выбрать
двоих
дежур­
мальчиков
можно
составить
16!
16-15
г
= --------- = -------- = 120 способами. Следователь14! • 2!
2
120
п .
но, искомая вероятность равна — = 0,4.
300
Ответ: 0,4.
Задача 79. На рок-фестивале выступают группы — по од­
ной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления
определяется жребием. Какова вероятность того, что группа
115
Комбинаторные формулы
из Финляндии будет выступать после группы из Бельгии, но
перед группой из Греции? Результат округлите до сотых.
Решение.
Результатом эксперимента является относительный по­
рядок выступлений групп из Финляндии, Бельгии и Греции.
Всего вариантов 3! = 6, благоприятным исходом является
единственный.
Искомая вероятность равна і = 0,166« 0,17.
Ответ: 0,17.
Задача 80. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия
они выбирают пятерых человек, которые должны идти на реч­
ку ловить рыбу. Какова вероятность того, что турист Аркадий,
входящий в состав группы, пойдёт ловить рыбу?
Решение.
Результатом эксперимента является неупорядоченная
группа из 5 туристов, входящих в состав группы из 8 человек1.
Всего есть С^ =
[
8!
'
I
равновозможных способов выбрать
пять человек. Группу из 5 туристов, один из которых Аркадий,
Задача допускает более простое решение. Пусть имеется 8 бумажек,
на 5 из которых нарисована рыба. Пятеро человек, вытянувших наугад
бумажки с рыбой, идут рыбачить. Вероятность вытянуть наугад бумаж5
ку с рыбой для Аркадия равна - = 0,625.
Модуль 5. Использование комбинаторных формул...
116
можно составить С? = —— способами. Следовательно, ис4! • 3!
71
8!
5!-31-7!
комая вероятность равна------- :-------- =------------- = 0,625.
4ЬЗ! 5!*3!
8!-41-3!
Ответ: 0,625.
Схема Бернулли
Задача 81. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Веро­
ятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8.
Найдите вероятность того, что биатлонист ровно три раза по­
пал в мишени, а два — промахнулся.
Решение.
Вероятность того, что биатлонист ровно три раза попал
в мишени в серии испытаний из 5 выстрелов (используем схе­
му Бернулли), равна С3 • (0,8)3 • (1 — 0,8)5-3 =
= СІ • (0,8)3 • (0,2)2 = -^ • (0,8)3 • (0,2)2 = 0(2048.
Ответ: 0,2048.
Задача 82. Мария бросает симметричную монету 113 раз.
Во сколько раз вероятность события «орёл выпадет ровно
ПО раз» меньше вероятности события «орёл выпадет ровно
109 раз»?
117
Схема Бернулли
Решение.
Вероятность того, что орёл выпадет ровно 110 раз в серии
испытаний из ИЗ бросков (используем схему Бернулли), рав-
/1\110
/IV
ИЗ!
\2/
'2/
110!-3!
/1\113
Вероятность того, что орёл выпадет ровно 109 раз в серии
испытаний из 113 бросков, равна
гю9 /Ц109
\2/
ГЦ4-
'2'
113!
ГЦ113
109!-4!
Ѵ2/
ИЗ!
/1\113
109! • 4! '2'
110’-3’
Искомое отношение равно----------------------- =---------- =
ИЗ!
/1\113
109!-4!
110!-3! У
= ^.і = 27,5.
1
4
Ответ: 27,5.
Задача 83. Стрелок Олег стреляет по шести одинаковым ми­
шеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов,
и известно, что вероятность поразить мишень каждым от­
дельным выстрелом равна 0,3. Чему равно отношение веро­
ятности события «Олег поразит ровно три мишени» к вероят­
ности события «Олег поразит ровно четыре мишени»? Ответ
округлите до сотых.
Модуль 5. Использование комбинаторных формул...
118
Решение.
Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле
равна 0,3, а вероятность промаха составляет 1 — 0,3 = 0,7.
Тогда вероятность непопадания в цель за два выстрела рав­
на 0,7 • 0,7 = 0,49, а вероятность поражения отдельно взятой
мишени равна 1 — 0,49 = 0,51.
Найдём вероятность события А — «Олег поразит ров­
но 3 мишени». 3 мишени из 6 можно выбрать СІ способами.
Вероятность каждого такого способа равна (0,51)3 • (0,49)3
(вероятность того, что будет 3 попадания по конкретным ми­
шеням и 3 промаха). Значит, Р(А) = С^ • (0,51)3 • (0,49)3
(схема Бернулли).
Найдём вероятность события В — «Олег поразит ров­
но 4 мишени». 4 мишени из 6 можно выбрать Сб способами.
Вероятность каждого такого способа равна (0,51)4 • (0,49)2
(вероятность того, что будет 4 попадания по конкретным ми­
шеням и 2 промаха). Значит, Р(В) = С^ • (0,51)4 • (0,49)2.
Искомая величина
6!
Р(А) _ СІ • (0,51)3 • (0,49)3
Р(В) “ С4 • (0,51)4 • (0,49)2
0,49
3! -3!
4!
6!
3!
0,51
4! • 2!
Ответ: 1,28.
3!
0,49 _ 4
0,51 ~ 1
1
3
— = 1,281... » 1,28.
51
Варианты для самостоятельного выполнения
119
© Варианты для самостоятельного выполнения
Вариант 1
1. В коробке лежат 40 резинок для волос: 12 — фиолетовых,
13 — красных, остальные — зелёные. Света достаёт случай­
ным образом две резинки. Какова вероятность того, что она
достанет одну красную и одну зелёную резинки?
2. В коробке лежат 40 резинок для волос: 12 — фиолетовых,
13 — красных, остальные — зелёные. Света достаёт случай­
ным образом три резинки. Какова вероятность того, что она
достанет три зелёные резинки? Ответ округлите до сотых.
3. В группе туристов 10 человек. С помощью жребия они вы­
бирают пятерых человек, которые должны ставить палатки.
Какова вероятность того, что турист Семён, входящий в со­
став группы, будет ставить палатки?
4. Стрелок Фёдор стреляет по шести одинаковым мишеням.
На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и извест­
но, что вероятность поразить мишень каждым отдельным вы­
стрелом равна 0,2. Найдите отношение вероятности события
«Фёдор поразит все шесть мишеней» к вероятности события
«Фёдор поразит ровно четыре мишени». Ответ округлите до
сотых.
120
Модуль 5. Использование комбинаторных формул...
Вариант 2
1. В коробке лежат платочки: 7 белых, 6 зелёных и 3 синих.
Виктория достаёт случайным образом два платочка. Како­
ва вероятность того, что она достала два платочка зелёного
цвета?
2. В коробке лежат платочки: 7 белых, 6 зелёных и 3 синих.
Виктория достаёт случайным образом три платочка. Какова
вероятность того, что она достала белый, зелёный и синий
платки?
3. В группе туристов 10 человек. С помощью жребия они вы­
бирают троих человек, которые должны готовить ужин. Како­
ва вероятность того, что туристка Глаша, входящая в состав
группы, будет готовить ужин?
4. Стрелок Никита стреляет по семи одинаковым мишеням.
На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и извест­
но, что вероятность поразить мишень каждым отдельным вы­
стрелом равна 0,1. Найдите отношение вероятности события
«Никита поразит все семь мишеней» к вероятности события
«Никита поразит ровно шесть мишеней». Ответ округлите до
сотых.
Варианты для самостоятельного выполнения
121
Вариант 3
1. В классе 14 мальчиков и 16 девочек. Для подготовки класс­
ной комнаты к празднику случайным образом выбирают двух
человек. Найдите вероятность того, что готовить комнату
к празднику будут две девочки. Ответ округлите до сотых.
2. В классе 14 мальчиков и 16 девочек. Для подготовки
классной комнаты к празднику случайным образом выбирают
двух человек. Найдите вероятность того, что готовить ком­
нату к празднику будут мальчик и девочка. Ответ округлите
до сотых.
3. На конференции выступают докладчики — по одному от
каждой из заявленных стран. Порядок выступления опреде­
ляется жребием. Какова вероятность того, что докладчик из
Китая будет выступать после докладчика из Японии, но перед
докладчиком из Сингапура? Результат округлите до сотых.
4. Никанор бросает симметричную монету 101 раз. Во сколь­
ко раз вероятность события «орёл выпадет ровно 84 ра­
за» превосходит вероятность события «решка выпадет ровно
16 раз»?
122
Модуль 5. Использование комбинаторных формул...
Вариант 4
1. В классе 12 мальчиков и 14 девочек. Для подготовки класс­
ной комнаты к празднику случайным образом выбирают двух
человек. Найдите вероятность того, что готовить комнату
к празднику будут мальчик и девочка. Ответ округлите до
сотых.
2. В классе 12 мальчиков и 14 девочек. Для подготовки класс­
ной комнаты к празднику случайным образом выбирают двух
человек. Найдите вероятность того, что готовить комнату
к празднику будут две девочки.
3. На фестивале выступают группы — по одной от каждой из
заявленных стран. Порядок выступления определяется жре­
бием. Какова вероятность того, что группа из Франции будет
выступать после группы из Польши, но перед группой из Кон­
го? Результат округлите до сотых.
4. Полина бросает симметричную монету 90 раз. Во сколь­
ко раз вероятность события «решка выпадет ровно 77 раз»
превосходит вероятность события «решка выпадет ровно
12 раз»?
Модуль 6. Решение сложных задач
Задача 84. Турнир по бадминтону проводится по олимпий­
ской системе в несколько туров: если в туре участвует чёт­
ное число игроков, то они разбиваются на случайные игровые
пары. Если число игроков нечётно, то с помощью жребия вы­
бираются случайные игровые пары, а один игрок остаётся без
пары и не участвует в туре. Проигравший в каждой паре игрок
(ничья невозможна) выбывает из турнира, а победители и иг­
рок без пары, если он есть, выходят в следующий тур, который
проводится по таким же правилам. Так продолжается до тех
пор, пока не останутся два игрока, которые играют между со­
бой финальный тур, выявляющий победителя турнира. Всего
в турнире 80 участников, все они играют одинаково хорошо,
поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и пораже­
ния у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два брата —
Леонид и Матвей. Определите вероятность того, что в каком-
то туре им придётся сыграть друг с другом.
Модуль 6. Решение сложных задач
124
Решение.
Рассмотрим два события: А — «Леонид прекратил уча­
стие в турнире, проиграв Матвею»; В — «Матвей прекратил
участие в турнире, проиграв Леониду».
Эти два события несовместны, их объединение равно­
сильно событию «Леонид и Матвей встретились в рамках
турнира».
Искомая вероятность равна Р(А и В) = Р(А) + Р(В).
Найдём Р(А). Рассмотрим две гипотезы: Ні — «Лео­
нид выиграл турнир», Н2 — «Леонид не выиграл тур­
нир» (эти гипотезы являются противоположными событи­
—, так как каждый из 80 игроков име80
ет по условию равные шансы на победу в турнире. Отсюда
ями). Р(Ні)
=
1
Р(Н2) = 1 - — = —.
80
80
Очевидно, что Р(А\Нг) = 0 (в этом случае событие А
невозможно) и Р(А\Н2) = — (если Леонид кому-то проиг79
рал, то в силу одинаковых начальных шансов игроков Лео­
нид с одинаковой вероятностью мог проиграть любому из них,
кроме себя).
По
формуле
полной
вероятности, получаем,
что
1 79
1
Р(А) = Р(АІН1)^Р(Н1) + Р(А\Н2)-Р(Н2) = 0+ — - = -.
79 80
80
Модуль 6. Решение сложных задач
125
Заметим, что Р(В) = Р(А) = —, так как все игроки в на­
чале турнира находятся в одинаковой ситуации.
Искомая вероятность равна — + — = 0,025.
80
80
Ответ: 0,025.
Задача 85. В некотором турнире участвуют 180 команд. Все
команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та ко­
манда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две
случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проиг­
равшая команда выбывает из турнира, а победившая команда
играет со следующим случайно выбранным соперником. Из­
вестно, что в первых двадцати трёх играх победила команда
«Самокат». Какова вероятность того, что эта команда выиг­
рает двадцать четвёртый раунд?
Решение,
В первом раунде в турнир вступают две команды, а в каж­
дом из последующих раундов — по одной из числа ранее не
участвовавших. Можно считать, что одна из команд, выступа­
ющих в первом раунде, заходит в помещение для игры раньше
другой. Тогда все команды вступают в турнир в определённом
порядке. За время первых к игр в турнир вступит (к + 1) ко­
манд.
Пусть событие А — «Команда „Самокат44 выиграла пер­
вые двадцать три раунда турнира», событие В — «Команда
„Самокат44 выиграла двадцать четвёртый раунд турнира».
Модуль 6. Решение сложных задач
126
Тогда В Г\ А — «Команда „Самокат“ выиграла первые
двадцать четыре раунда турнира».
Искомую
Р(В\А) =
вероятность
Р(В\А)
найдём
по
формуле
Р(В(ЛА}
Р^Х)
1. Найдём Р(А). Для наступления события А необходимо,
чтобы команда «Самокат» вступила в турнир в первом раунде
и оказалась самой сильной командой среди первых двадцати
четырёх, которые участвуют в этих двадцати трёх раундах.
Вероятность того, что «Самокат» вступит в турнир в перл
о
2
вом раунде, то есть под номером 1 или 2, равна —, так как
«Самокат» имеет одинаковые шансы вступить под любым но­
мером от 1 до 180. Вероятность того, что «Самокат» будет
самой сильной командой, при этом условии равна —, так как
мы с одинаковой вероятностью можем предполагать любую
силу команды «Самокат», а всего в первых двадцати трёх ра­
ундах участвуют двадцать четыре команды.
о
Тогда Р(А) =---180
24'
2. Найдём Р(В П А). Событие В А А полностью аналогич­
но событию А, только вместо двадцати трёх первых раундов
2
1
рассматриваются двадцать четыре. Р(В П А) =---- - —.
180 25
Модуль 6. Решение сложных задач
2
127
1
/П
z
х
Р(ВГ]А}
180 25
'25'
24
Р(ВА) =
=----------- =--------- = — = 0,96.
Р^
180 24
Ш
^24'
25
Ответ: 0,96
Задача 86. Первый член последовательности целых чисел ра­
вен 0. Каждый следующий член последовательности с веро­
ятностью р = 0,64 на единицу больше предыдущего и с ве­
роятностью 1 — р на единицу меньше предыдущего. Какова
вероятность того, что какой-то член этой последовательности
окажется равен —1?
Решение.
Рис. 16
Пусть Ро — вероятность попасть в точку —1, если вначале
мы находимся в точке 0.
Так как из точки 0 можно пойти вверх с вероятностью р
или вниз с вероятностью д = 1—/? и эти события несовместны,
Модуль 6. Решение сложных задач
128
то Ро = q + р • Р^ где Рг — вероятность попасть в точку —1,
находясь в точке 1 (см. рис. 16 на с. 127).
Так как Р^ — это фактически вероятность из дан­
ной начальной точки достигнуть точку на единицу ниже, то
Р1 = Р^Р0 = РІ
Получим квадратное уравнение Ро = Я + Р • Pq- Перепи­
шем уравнение в виде р • Pq — Ро + q = 0, его дискриминант
D = 1 — 4pq = 1 — 4(1 — q)q = 4g2 — 4g + 1 = (2g — l)2.
T
D
1 ± (2g - 1)
Тогда Pq =-----—------.
o
i + 2g -1
g
Отсюда первый корень P$ =------------- = -.
P
о
D
l-(2g-l)
2(1-g)
1
Второй корень То = ----- —------- = —----- — — 12p
2p
При q ^ p, так как Po ^ 1, то Po = 1.
Пусть Pi — вероятность достигнуть точку —1 находясь в
точке і, і = 0,1, 2,... Так как То — это вероятность из дан­
ной начальной точки достигнуть точку на единицу ниже, то
Рі = Pq, Р2 = Pq, ... Таким образом, ТЬ, Л, Р2, . . . — это гео­
метрическая прогрессия со знаменателем Tq.
Если q < р (то есть вероятность приблизиться к —1 мень­
ше, чем вероятность отдалиться от неё), то интуитивно по­
,
*
нятно
что чем дальше мы находимся от —1 в точке і, тем
* Строгое доказательство равенства Pq
= - при q < р приведено
Р
в приложении на с. 169.
Варианты для самостоятельного выполнения
129
вероятность достигнуть ТОЧКИ —1 меньше. Значит, {Рі} —
убывающая геометрическая прогрессия и Ро = ~ < 1-
Р
В нашем случае д < р.
Следовательно, Ро = - = -—— = 0,5625.
р
0,64
Ответ: 0,5625.
© Варианты для самостоятельного выполнения
Вариант 1
1. Турнир по бадминтону проводится по олимпийской систе­
ме в несколько туров: в каждом туре игроки разбиваются на
случайные игровые пары. Проигравший в каждой паре иг­
рок (ничья невозможна) выбывает из турнира, а победитель
выходит в следующий тур, который проводится по таким же
правилам. Так продолжается до тех пор, пока не останутся
два игрока, которые играют между собой финальный тур, вы­
являющий победителя турнира. Всего в турнире 32 участника,
все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече
вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна
-. Среди игроков два брата — Тигран и Ренат. Определите
2
вероятность того, что в каком-то туре им придётся сыграть
друг с другом.
130
Модуль 6. Решение сложных задач
2. В некотором турнире участвует ПО команд. Все коман­
ды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та коман­
да, которая сильнее. В первом раунде встречаются две слу­
чайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая
команда выбывает из турнира, а победившая команда играет
со следующим случайно выбранным соперником. Известно,
что в первых сорока восьми играх победила команда «Весло».
Какова вероятность того, что эта команда выиграет сорок де­
вятый раунд?
3. Первый член последовательности целых чисел равен 0.
Каждый следующий член последовательности с вероятностьюр = - на единицу больше предыдущего и с вероятностью
1 — р на единицу меньше предыдущего. Какова вероятность
того, что какой-то член этой последовательности окажется
равен —1?
Вариант 2
1. Турнир по морскому бою среди отдыхающих в лагере про­
водится по олимпийской системе в несколько туров: в каждом
туре игроки разбиваются на случайные игровые пары. Про­
игравший в каждой паре игрок (ничья невозможна) выбывает
из турнира, а победитель выходит в следующий тур, который
проводится по таким же правилам. Так продолжается до тех
пор, пока не останутся два игрока, которое играют между со­
бой финальный тур, выявляющий победителя турнира. Всего
Варианты для самостоятельного выполнения
131
в турнире 160 участников, все они играют одинаково хорошо,
поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и пораже­
ния у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков две сестры —
Полина и Рита. Определите вероятность того, что в каком-то
туре им придётся сыграть друг с другом.
2. В некотором турнире участвует 68 команд. Все команды
разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, ко­
торая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно
выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая ко­
манда выбывает из турнира, а победившая команда играет со
следующим случайно выбранным соперником. Известно, что
в первых четырнадцати играх победила команда «Фонарь».
Какова вероятность того, что эта команда выиграет пятнадца­
тый раунд?
3. Первый член последовательности целых чисел равен 0.
Каждый следующий член последовательности с вероятно4
стью р = - на пять больше предыдущего и с вероятностью
1 - р на пять меньше предыдущего. Какова вероятность то­
го, что какой-то член этой последовательности окажется ра­
вен — 1?
Модуль 7. Случайные величины.
Математическое ожидание
Диагностическая работа
1. На диаграмме Эйлера (см. рис. 17) схематически показан
случайный опыт 3, с которым связана случайная величина X.
Около каждого элементарного события указана вероятность
этого события и соответствующее значение случайной вели­
чины X. Найдите вероятность события (X = 7).
3
од
7
од
2
6
9
ОД
0Л
6 °’'
ол
7
0Л
8
Рис. 17
2. В таблице показано распределение случайной величины.
Найдите ЕХ — математическое ожидание этой случайной
величины.
Значения X
5
6
4
-2
Вероятности
0,2
0,7
0,05
0,05
Теоретическая часть
133
3. Валерия подбрасывает монету до тех пор, пока орёл и реш­
ка не выпадут по разу. Найдите математическое ожидание
числа бросков.
4. Марина подбрасывает монету до тех пор, пока орёл или
решка не выпадет 2 раза подряд. Найдите математическое
ожидание числа бросков.
Теоретическая часть
Пусть в результате эксперимента обязательно наступает
ровно одно из событий Аь Л2, ..., Ат. При этом Р(Аі) = рх,
р(А2) — Р2, ■ ■ ч р(Ат) = рт. И пусть есть некоторая функ­
ция Г, которая каждому событию Аі ставит в соответствие
некоторое ЧИСЛО Хі, ТО ЄСТЬ Р(Аі) = Хі, Е(А2) = х2, ...,
Г(Ат) = хт. Тогда Р называется случайной величиной, а её
математическим ожиданием называется число Е(Р), которое
выражается формулой
Е(Г) = ргХі + р2х2 + ... + ртхт.
Часто вместо буквы Р для обозначения случайной ве­
личины используют другие обозначения, например X или £.
При этом скобки после буквы Е часто опускают, то есть за­
писи Е(Х) и ЕХ обозначают одно и то же — математическое
ожидание случайной величины X.
Пример. Предположим, что подбрасывают игральный ку­
бик 1 раз. Случайная величина X — число выпавших очков.
134
Модуль 7. Случайные величины. Математическое ожидание
Она принимает 6 возможных значений (от 1 до 6), каждое
1
с вероятностью -.
Тогда* Е(Х}
= 1-- + 2--+з.'+4.1 + 5.1 + 6.1 = 3 5.
6
6
6
6
6
6
Математическое ожидание характеризует, какое значение
«в среднем» принимает случайная величина.
Известно, что Е(Х + У) = Е(Х) + Е(У).
Условное математическое ожидание.
Полное математическое ожидание**
Если X — случайная величина, а В — некоторое событие,
то математическое ожидание X при условии В будем обозна­
чать Е(Х\В).
Пример. Василий подбрасывает монету несколько раз —
до тех пор, пока в первый раз не выпадет орёл. X — потребо­
вавшееся количество бросков (случайная величина, значени­
ем которой может быть любое натуральное число).
Пусть событие В^ — «при первом броске выпал орёл»,
В2 — «при первом броске выпала решка». Тогда Е(Х\Ві) = 1
(если при первом броске выпал орёл (событие В^, то вели­
чина X приняла значение 1 (потребовался 1 бросок)). Кроме
’Вообще, если случайная величина принимает все свои возможные
значения с равными вероятностями, то её математическое ожидание про­
сто равно среднему арифметическому всех этих значений.
’’При решении задач мы можем явно не использовать материал, при­
ведённый ниже, ограничившись интуитивным пониманием.
Зада чи на случайные величины
135
того, Е(Х\В2) = Е(Х) +1 (после первого броска орёл не вы­
пал, Василий начал всю процедуру сначала, при этом сделал
один дополнительный бросок).
Если в результате эксперимента обязательно наступа­
ет ровно одно событие из числа событий Ні, Н2, ..., Нт,
то Е(Х) = Е{Х\Н^ . Р^) + Е(Х\Н2) • Р(Н2) + ... +
+ Е(Х\Нт)-Р(Нт).
Эта формула носит название формулы полного матема­
тического ожидания.
Задачи на случайные величины
Задача 87. На диаграмме Эйлера (см. рис. 18) схематиче­
ски показан случайный опыт 3, с которым связана случайная
величина X. Около каждого элементарного события указана
вероятность этого события и соответствующее значение слу­
чайной величины X. Найдите вероятность события (X ^6).
6
од
6
?
9
04
°-2
04
8
04
о,1
0,1
Рис. 18
5
136
Модуль 7. Случайные величины. Математическое ожидание
Решение.
Обведём на диаграмме элементарные события, благопри­
ятствующие событию (X ^ 6). Всего таких элементарных
событий три (см. рис. 19), Р(Х ^ 6) = 0,1 -I- 0,2 + 0,1 = 0,4.
Рис. 19
Ответ: 0,4.
Задача 88. На диаграмме Эйлера (см. рис. 20) схематиче­
ски показан случайный опыт 5, с которым связана случайная
величина X. Все элементарные события равновозможны, и
около каждого указано соответствующее значение случайной
величины X. Найдите вероятность события (3 < X ^7).
Рис. 20
137
Задачи на определение математического ожидания
Решение.
Всего имеется 10 равновозможных элементарных собы­
тий, поэтому вероятность каждого из них равна ^ = 0,1.
Обведём на диаграмме элементарные события, благоприят­
ствующие событию (3 < X ^7). Всего таких элементарных
событий шесть (см. рис. 21), Р(3 < X ^ 7) =0,1 - 6 = 0,6.
Рис. 21
Ответ: 0,6.
Задачи на определение математического
ожидания
Задача 89. В таблице показано количество билетов и воз­
можные выигрыши беспроигрышной лотереи (в рублях).
Цена одного билета лотереи равна 200 рублей, всего выпуще­
но 5000 билетов. Участник А. покупает один случайный билет.
На сколько рублей цена билета выше, чем математическое
ожидание выигрыша?
Выигрыш
20
100
500
10000
Количество
2500
2000
498
2
Модуль 7. Математическое ожидание
138
Решение.
1-й способ.
Найдём общую сумму выигрышей.
2500 • 20 + 2000 • 100 + 498 ■ 500 + 2 • 10 000 = 519 000 (руб­
лей). Средний выигрыш равен---------- = 103,8 (рубля). Это
на 200 — 103,8 = 96,2 рубля меньше цены билета.
2-й способ.
Случайная величина — это размер выигрыша. Она при­
нимает значение 20 с вероятностью------ = -, значение 100
5000
2
с вероятностью
2000
5000
и 10 000 с вероятностью
5000
1
2
2
Тогда Е(Х) = 20 — + 100 —+ 500--^- + 10 000-—=- =
2
5
5000
5000
= 10 + 40 + 49,8 + 4 = 103,8. Это на 200 - 103,8 = 96,2 рубля
меньше цены билета.
Ответ: 96,2.
Задача 90. В таблице показано распределение случайной ве­
личины. Найдите ЕХ — математическое ожидание этой слу­
чайной величины.
Значения X
-3
Вероятности
0,2
0,4
0,35
0,05
Задачина определение математического ожидания
139
Решение.
По определению математического ожидания
Е(Х) = -3 • 0,2 + 3 • 0,4 + 6 • 0,35 + 8 • 0,05 = 3,1.
Ответ: 3,1.
Задача 91. Монету подбрасывают 13 раз. Найдите математи­
ческое ожидание количества выпавших орлов.
Решение.
1-й способ.
Рассмотрим один любой бросок монеты. С вероятностью
і выпадает 1 орёл, с вероятностью і выпадает 0 орлов. Ма­
тематическое ожидание количества орлов при одном броске
равно - • 1 4 - • 0 = -. Следовательно, при 13 бросках ма2
22
тематическое ожидание количества орлов равно 13 • ^ = 6,5.
(Так как математическое ожидание суммы случайных величин
равно сумме математических ожиданий этих величин, то для
получения ответа достаточно 13 раз просуммировать матема­
тическое ожидание числа орлов при однократном броске.)
2-й способ.
Пусть Xj — это случайная величина, равная количе­
ству выпавших орлов при ^-м броске монеты. Величина
Модуль 7. Математическое ожидание
140
Ху принимает значения 0 и 1 с вероятностью -. Тогда
2
Е(Х^ = о • і + 1 • і = і.
2
2
2
X — это случайная величина, равная количеству орлов при 13 бросках монеты. X
=
Хі
13-
Е(Х) = Е^) + ... + Е(Х13) = 13 - - = 6,5.
2
Ответ: 6,5.
Задача 92. Маша подбрасывает монету до тех пор, пока орёл
и решка не выпадут по разу Найдите математическое ожида­
ние числа бросков.
х
Решение.
Решим вспомогательную задачу.
Монету бросают до тех пор, пока не выпадет орёл (1 раз).
Найдём математическое ожидание Ег необходимого числа
бросков.
С вероятностью і с первой же попытки выпадет орёл, то
есть потребуется ровно 1 бросок. С вероятностью - при пер-
вом броске выпадет решка, то есть игрок окажется в той же
ситуации, что изначально, но при этом сделает один «лиш­
ний» бросок.
Тогда Еі = 1 • - + (Еі + 1) • -. Отсюда Еі = 2.
2
2
Зада чи на определение ма тема тического ожидания
141
Аналогично математическое ожидание числа бросков до
первой выпавшей решки тоже равно 2.
Вернёмся к исходной задаче. Если в результате пер­
вого броска выпадет орёл, то потребуется в среднем ещё
Еі — 2 броска для выпадения решки. Если в результате пер­
вого броска выпадет решка, то потребуется в среднем ещё
Ех — 2 броска для выпадения орла. Таким образом, в лю­
бом случае после первого броска потребуется в среднем ещё
2 броска, то есть всего в среднем нужно 3 броска.
Ответ: 3.
Задача 93. Юра подбрасывает монету до тех пор, пока орёл
не выпадет 2 раза (не обязательно подряд). Найдите матема­
тическое ожидание числа бросков, сделанных Юрой.
Решение.
1-й способ.
Рассмотрим вспомогательную задачу. Пусть Юра броса­
ет монету до первого выпадения орла. Найдём Еі — мате­
матическое ожидание числа бросков в этом случае (другими
словами, Еі — величина, показывающая, сколько в сред­
нем необходимо сделать бросков монеты). При первом броске с вероятностью - выпадет орел, тогда будет произведен
ровно один бросок. С вероятностью І при первом броске
выпадет решка, тогда мы возвращаемся к исходной ситуа­
ции с той разницей, что уже произведён один «лишний» бро-
142
Модуль 7. Математическое ожидание
сок. Следовательно, в последнем случае в среднем понадо­
бится Еі + 1 бросков (см. рис. 22а). Получаем уравнение
^і = - • 1 + - ■ (Еі + 1), откуда Е1 = 2.
Рис. 22
Вернёмся к исходной задаче (бросаем монету, пока два­
жды не выпадет орёл). Пусть Е2 — математическое ожи­
дание числа бросков. Если при первом броске выпадет
орел (вероятность этого -), то в среднем необходимо еще
2
Еі = 2 броска (по результату вспомогательной задачи), ито­
го Еі + 1 = 3 броска (с учётом первого броска). Если же
при первом броске выпадет решка (вероятность этого -),
2
то мы возвращаемся к исходной ситуации с той разницей,
что уже произведён один «лишний» бросок. Следовательно,
в последнем случае в среднем понадобится Е2 + 1 бросков
(см. рис. 226). Получаем уравнение Е2 = - '3 + - • (Е2 + 1),
2
2
откуда Е2 = 4.
Задачи на определение математического ожидания
143
2-й способ.
Рассмотрим 2 гипотезы. Ві — при первом броске вы­
пал орёл, В2 — при первом броске выпала решка. Это
два несовместных события, объединение которых достоверно. Р^) = Р(В2) = -.
2
X — случайная величина, равная числу бросков, сделан­
ных Юрой.
Е(Х) = Е(Х\В1) • Р(В1) + Е(Х\В2) • Р(В2).
Ясно, что Е(Х|В2) = Е(Х) + 1 (один бросок уже сделан,
а ситуация та же, что и до него).
Е(Х|Ві) = 1+Е(У), где У — случайная величина, равная
числу бросков при подбрасывании монеты до первого выпа­
дения орла.
Тогда, аналогично сказанному выше,
Е(У) = і • І + (1 + МП) •
МП = 2.
Е(Х) = 3 • | + (Ж) + 1) • |Е(Х) = 4.
Ответ: 4.
Задача 94. Валерий подбрасывает монету до тех пор, пока
решка не выпадет 3 раза (не обязательно подряд). Найдите
математическое ожидание числа бросков, которые потребу­
ются Валерию.
144
Модуль 7. Математическое ожидание
Решение.
Пусть Е — искомое математическое ожидание.
С вероятностью - при первом броске выпадет решка,
а для того чтобы выпали ещё 2 решки, в среднем потребу­
ется ещё 4 броска (см. предыдущую задачу), то есть всего
5 бросков.
С вероятностью і при первом броске выпадет орёл, Вале2
рий окажется в том же положении, что и в начале, но сделав
один дополнительный бросок. В среднем ему останется ещё
Е бросков, а всего — (Е + 1) бросок.
Тогда Е = 5 - - +
2
+ 1) • -, отсюда Е — 6.
2
Ответ: 6.
Задача 95. Коля подбрасывает монету до тех пор, пока орёл
или решка не выпадет два раза подряд. Найдите математиче­
ское ожидание числа бросков, сделанных Колей.
Решение.
1-й способ.
Можно переформулировать задачу. Будем бросать моне­
ту до тех пор, пока в некоторый момент не выпадет та же
самая сторона, что и при прошлом броске. Пусть Е — ис­
комое математическое ожидание (то есть, сколько в среднем
надо сделать бросков до выпадения двух одинаковых сто­
рон подряд). Рассмотрим ситуацию перед вторым броском
Задачи на определение математического ожидания
145
монеты. С вероятностью - сейчас выпадет та же сторона,
что и при первом броске. В этом случае понадобится ровно
2 броска монеты. С вероятностью і при втором броске вы­
падет сторона, противоположная результату первого броска.
Здесь мы возвращаемся к исходной ситуации перед вторым
броском с той разницей, что уже произведён один «лишний»
бросок. Следовательно, в последнем случае в среднем пона­
добится Е -\- 1 бросков (см. рис. 23). Получаем уравнение
Е = — • 2 + - • (Е + 1), откуда Е = 3.
2
2
Рис. 23
2-й способ.
Рассмотрим 2 гипотезы. Ві — при первом броске вы­
пал орёл, В2 — при первом броске выпала решка. Это
два несовместных события, объединение которых достоверно. Р^) = Р(В2) = і.
X — случайная величина, равная числу бросков, сделан­
ных Колей.
Е(Х) = Е^Х^) • Р(В1) + Е(Х\В2) • Р(В2).
Модуль 7. Математическое ожидание
146
Ясно, что Е(Х|Ві) = Е(Х\В2). Найдём Е(ХІВ1). Если
при втором броске выпадет орёл, то будет 2 орла подряд, то
есть окажется достаточным два броска (при условии В^ ве­
роятность такого расклада равна -). Если при втором броске
2
выпадет решка, то Коля окажется в той же ситуации, как если
бы при первом броске у него выпала решка, но при этом Коля
сделает на один ход больше. Тогда
Е(Х|В1) = 2-і + (1 + Е(Х|В2))-і = 1 + ^ + Е(Х|В2)Л
С учётом того, что Е(Х\В2) = Е(Х\Ві), получим
Е(х|Ві) = і + ^ + адві)^.
Е^В^ = 3.
Е(Х) = В(Х|Ві) • Р^ + Е(Х\В2) • Р(В2) = 3.
Ответ: 3.
Задача 96. Боря подбрасывает монету до тех пор, пока орёл
не выпадет два раза подряд. Найдите математическое ожида­
ние числа бросков, сделанных Борей.
Решение.
Пусть Е — искомое математическое ожидание (то есть,
сколько в среднем надо сделать бросков до выпадения двух
орлов подряд). Рассмотрим первый бросок монеты. С веро1
ятностью - выпадет решка, и мы возвращаемся к исходной
ситуации с той разницей, что уже произведён один «лишний»
Задачи на определение математического ожидания
147
бросок. Следовательно, здесь в среднем понадобится Е 4- 1
бросков.
С вероятностью - при первом броске выпадет орёл. Рас-
смотрим тогда второй бросок. С вероятностью - при втором
броске выпадет орёл, тогда второй бросок был последним
(и всего понадобилось 2 броска). Если же при втором брос­
ке выпадет решка, то мы возвращаемся к исходной ситуации
с той разницей, что уже произведено два «лишних» броска.
Следовательно, здесь в среднем понадобится Е + 2 броска
(см. рис. 24).
решка, Р = ^
•ешка
Рис. 24
Получаем уравнение Е = ^(Е + 1) + |(| -2+ '(^ + 2
4Е = 2Е + 2 + 2 + Е + 2; Е = 6.
Ответ: 6.
148
Модуль 7. Математическое ожидание
Задача 97, Алиса подбрасывает монету до тех пор, пока орёл
и решка не выпадут по 2 раза (не обязательно подряд). Най­
дите математическое ожидание числа бросков.
Решение.
Решим две вспомогательные задачи.
1. Монету бросают до тех пор, пока не выпадет орёл
(1 раз). Найдём математическое ожидание Е\ необходимого
числа бросков.
С вероятностью — с первой же попытки выпадет орёл, то
есть потребуется ровно 1 бросок, С вероятностью - при пер2
вом броске выпадет решка, то есть игрок окажется в той же
ситуации, что изначально, но при этом сделает один «лиш­
ний» бросок.
Тогда Еі = 1 • - + (£і 4-1) * -. Отсюда Еі = 2.
2
2
Аналогично математическое ожидание числа бросков до
первой выпавшей решки тоже равно 2.
2. Монету бросают до тех пор, пока орёл не выпадет два
раза (не обязательно подряд). Найдём математическое ожи­
дание Е2 необходимого числа бросков (по сути это уже рас­
смотренная задача 93, но приведём ниже краткое решение).
С вероятностью - при первом броске выпадет орел, тогда
2
монету продолжат бросать до первого выпавшего орла после
Задачи на определение математического ожидания
149
этого. Тогда в среднем потребуется ещё два броска (как вы­
яснили выше), то есть всего 3 броска.
С вероятностью - при первом броске выпадет решка, то
есть игрок окажется в той же ситуации, что изначально, но
при этом сделав один лишний бросок.
Отсюда Е2 = 3 • - + (Е2 + 1) • -. Получим, что Е2 = 4.
2
2
Аналогично математическое ожидание числа бросков до
двух выпавших решек тоже равно 4.
Вернёмся к исходной задаче. Ясно, что Алисе потребу­
ется не менее 4 бросков. Для большей определённости, но
при этом обозримости числа вариантов, рассмотрим первые
3 броска. Возможны 8 случаев, вероятность каждого равна -:
ООО, РРР, ОРО, POO, OOP, РРО, POP, OPP.
В первых двух случаях потребуется бросать до выпаде­
ния ещё двух решек или двух орлов соответственно, то есть
в среднем потребуется ещё 4 броска (вспомогательная задача
2), а всего 3 + 4 = 7 бросков.
В остальных случаях Алиса продолжит бросать монету
до первого выпадения решки (случаи ОРО, POO, OOP) или
орла (случаи РРО, POP, OPP), то есть в среднем понадо­
бится ещё 2 броска (см. вспомогательную задачу 1), а всего
3 + 2 = 5 бросков (см. рис. 25 на с. 150).
150
Модуль 7. Математическое ожидание
Рис. 25
Следовательно, искомая величина Е находится по форму2
6
леЕ = 7- - + 5- - = 5,5.
8
8
Ответ: 5,5.
Задача 98. Алиса подбрасывает монету до тех пор, пока орёл
и решка не выпадут по три раза (не обязательно подряд). Най­
дите математическое ожидание числа бросков.
Решение.
Найдём сначала математическое ожидание Е^ необходи­
мого числа бросков, чтобы орёл выпал 3 раза. С вероятностью
1
- при первом броске выпадет орел, тогда монету продолжат
бросать, пока орёл не выпадет ещё дважды. Тогда в среднем
потребуется ещё 4 броска (см. вспомогательную задачу 2 из
предыдущего решения), то есть всего 1 + 4 = 5 бросков.
С вероятностью - при первом броске выпадет решка, то
есть игрок окажется в той же ситуации, что изначально, но
при этом сделав один лишний бросок.
Отсюда Ез = 5 • - + {Е^ + !)•-. Получим, что Е^ = 6.
Задачи на определение математического ожидания
151
Аналогично математическое ожидание числа бросков до
трёх выпавших решек тоже равно 6.
Также для решения потребуются числа Еі и Е2 из преды­
дущей задачи.
Вернёмся к исходной задаче. Ясно, что потребуется не ме­
нее 6 бросков.
1-й способ.
Обязательно результаты первых бросков образуют одну
из следующих последовательностей (см. рис. 26).
Рис. 26
1. ОР, РО — вероятность каждого из таких вариантов
равна -, после в среднем потребуется 5,5 броска (см. преды4
дущую задачу), то есть всего 7,5.
Модуль 7. Математическое ожидание
152
2. 000, РРР — вероятность каждого из таких вариантов
равна і, после в среднем потребуется б бросков (Ез), то есть
8
всего 9.
3. ООРО, РРОР — вероятность каждого из таких вари­
антов равна —, после в среднем потребуется 4 броска (Е2 из
16
предыдущей задачи), то есть всего 8 бросков.
4. ООРР, РРОО — вероятность каждого из таких вариан­
тов равна ^, после в среднем потребуется 3 броска, то есть
всего 7 бросков.
Искомое матожидание равно
2
2
2
2
7,5--+9-- + 8- — + 7- — = 7,875.
4
8
16
16
2-й способ.
Рассмотрим первые 5 бросков (см. рис. 27 на с. 153).
1. Вероятность того, что все 5 раз выпадало одно и то же
(или только орел, или только решка), равна----- 1----- = —.
32
32
16
В этом случае потребуется в среднем ещё Е3 — 6 бросков,
а всего 5 + 6 = И бросков в среднем.
2. Вероятность того, что четыре раза выпадет орёл, а один
л\5
/1\5
5
- + Cj • I - I = —.
'2^
^2'
16
В этом случае потребуется в среднем ещё Е2 = 4 броска, а
раз решка или наоборот, равна С] •
всего 5 + 4 = 9 бросков в среднем.
Задачи на определение математического ожидания
153
3. Вероятность того, что три раза выпадет орёл, а два раза
1
решка или наоборот, равна С^ •
2
+ С) = -(можно
^
8
было получить как 1 - —----- -). В этом случае потребует­
ся в среднем ещё Е^ = 2 броска, а всего 5 + 2 = 7 бросков
в среднем.
ООООР, ОООРО, ООРОО, ОРООО,
РОООО, РРРРО,
РРРОР, РРОРР,
00000,
РОРРР, ОРРРР
10
32
ррррр
Р
2
32
20
32
Е
ОООРР, ООРОР, ОРООР,
РОООР, ООРРО, ОРОРО,
РООРО, ОРРОО, РОРОО,
РРООО, РРРОО, РРОРО,
РОРРО, ОРРРО, РРООР,
РОРОР, ОРРОР, РООРР,
ОРОРР, ООРРР
Рис. 27
Искомое математическое ожидание равно
11- —+ 9- —+ 7-- = 7,875.
16
16
8
Ответ: 7,875.
Модуль 7. Математическое ожидание
154
© Варианты для самостоятельного выполнения
Вариант 1
1. На диаграмме Эйлера (см.
рис. 28) схематически показан
случайный опыт 5, с которым
с
5
связана случайная величина X.
од
Около каждого
события
элементарного
указана
о;
•
0,3
$
9
ОД
о
;
1
0,1
°4
5
вероятность
этого события и соответствую-
Рис. 28
щее значение случайной величины X. Найдите вероятность
события (2 < X ^6).
2. В таблице показано количество билетов и возможные вы­
игрыши беспроигрышной лотереи (в рублях). Цена одного би­
лета лотереи равна 400 рублей, всего выпущено 4 000 билетов.
Участник Сергей покупает один случайный билет. На сколь­
ко рублей цена билета выше, чем математическое ожидание
выигрыша?
Выигрыш
100
200
500
50000
Количество
2000
1600
396
4
3. Пётр подбрасывает монету до тех пор, пока орёл и решка
не выпадут по два раза. Найдите математическое ожидание
числа бросков.
4. Монету подбрасывают 25 раз. Найдите математическое
ожидание количества выпавших орлов.
Варианты для самостоятельного выполнения
155
Вариант 2
1. На диаграмме Эйлера (см. рис. 29) схематически показан
случайный опыт 3, с которым связана случайная величина X.
Около каждого элементарного события указана вероятность
этого события и соответствующее значение случайной вели­
чины X. Найдите вероятность события (X >6).
г
?
5
0;,
о>2
°’'
,
2
$
од
?
о’і
з
5
0,3
О’1
Рис. 29
2. В таблице показано количество билетов и возможные вы­
игрыши беспроигрышной лотереи (в рублях). Цена одного би­
лета лотереи равна 250 рублей, всего выпущено 1000 билетов.
Участник Сергей покупает один случайный билет. На сколь­
ко рублей цена билета выше, чем математическое ожидание
выигрыша?
Выигрыш
100
200
500
2 000
Количество
700
250
45
5
3. Василий подбрасывает монету до тех пор, пока орёл или
решка не выпадет 3 раза подряд. Найдите математическое
ожидание числа бросков.
4. Монету подбрасывают 36 раз. Найдите математическое
ожидание количества выпавших решек.
Модуль 7. Математическое ожидание
156
Вариант 3
1. На диаграмме Эйлера (см. рис. 30) схематически показан
случайный опыт 5, с которым связана случайная величина X.
Все элементарные события равновозможны, и около каждо­
го указано соответствующее значение случайной величины X.
Найдите вероятность события (X > 5).
Рис. 30
2. В таблице показано распределение случайной величины.
Найдите ЕХ — математическое ожидание этой случайной
величины.
Значения X
4
-4
2
-10
Вероятности
0,15
0,6
0,15
од
3« Никита подбрасывает монету до тех пор, пока решка не
выпадет 2 раза (не обязательно подряд). Найдите математи­
ческое ожидание числа бросков.
4. Владислав подбрасывает монету до тех пор, пока орёл и
решка не выпадут по 3 раза (не обязательно подряд). Найдите
математическое ожидание числа бросков.
157
Варианты для самостоятельного выполнения
Вариант 4
1. На диаграмме Эйлера (см. рис. 31) схематически показан
случайный опыт 5, с которым связана случайная величина X.
Все элементарные события равновозможны, и около каждо­
го указано соответствующее значение случайной величины X.
Найдите вероятность события (X < 6).
Рис. 31
2. В таблице показано распределение случайной величины.
Найдите ЕХ — математическое ожидание этой случайной
величины.
Значения X
16
12
0
-2
Вероятности
0,3
0,2
0,4
0,1
3. Алексей подбрасывает монету до тех пор, пока орёл или
решка не выпадет два раза (не обязательно подряд). Найдите
математическое ожидание числа бросков.
4. Оксана подбрасывает монету до тех пор, пока орёл или
решка не выпадет три раза (не обязательно подряд). Найдите
математическое ожидание числа бросков.
Модуль 8. Элементы статистики
Диагностическая работа
1. Средняя масса упаковки наполнителя для игрушек рав­
на 1700 г, а стандартное отклонение равно 30 г. При помощи
неравенства Чебышёва найдите верхнюю оценку вероятности
события «масса наполнителя в случайно выбранной упаковке
отклоняется от средней более чем на 40 г».
2. С помощью выборочного исследования изучают цены на
принтеры определённой модели. По данным из пяти незави­
симых магазинов получена следующая выборка:
8000, 8200, 8700, 9000 и 8600 рублей.
По этой выборке сделайте несмещённую оценку диспер­
сии цен на эту модель принтера.
Теоретическая часть
Пусть X — случайная величина, ЕХ — её математи­
ческое ожидание. Часто нужно понимать, насколько сильно
значения случайной величины разбросаны вокруг её матема­
тического ожидания. Для этой цели используется ещё одна
Теоретическая часть
159
характеристика случайной величины — дисперсия. Диспер­
сия величины X обозначается Е(Х) (иногда пишут просто
ИХ) и определяется формулой Е(Х) = Е((X - ЕХ)2). Дру­
гими словами, мы на основе случайной величины X построили
новую случайную величину (X — ЕХ)2 (где математическое
ожидание ЕХ — это некоторое число, которое может быть
подсчитано). Дисперсией величины X мы называем матема­
тическое ожидание новой величины (X — ЕХ)2.
Так как величина (X — ЕХ)2 не может принимать отри­
цательные значения, то и Е(Х) = Е((Х — ЕХ)2) также не
может быть отрицательной.
Если мы знаем, что случайная величина X может прини­
мать всего п различных значений х^, х2,..., хп с вероятностя­
ми рі, р2, ...,рп соответственно, то её математическое ожида­
ние равно
ЕХ = РіХ! + р2х2 + ... + рпхп.
Дисперсия величины X тогда равна
ЕХ = рДх. - ЕХ)2 + р2(х2 - ЕХ)2 + ... + рп(хп - ЕХ)2.
В качестве примера найдём дисперсию случайной вели­
чины X из задачи 90 на с. 138. Так как уже было найдено
ЕХ = 3,1, то по формуле для нахождения дисперсии полу­
чаем: Е(Х) = 0,2 • (-3 - 3,1)2 + 0,4 • (3 - 3,1)2 +
+ 0,35 • (6 - 3,1)2 + 0,05 • (8 - 3,1)2 = 11,59.
Кроме дисперсии случайной величины X часто рассмат­
ривают её стандартное отклонение. Оно обозначается о и
160
Модуль 8. Элементы статистики
по определению равно квадратному корню из дисперсии. Та­
ким образом, (т(Х) = ^Е(Х\ В только что рассмотренном
примере сг(Х) = 01,59 « 3,4.
Часто бывает нужно знать вероятность того, что величина
отклонится от своего математического ожидания «не слиш­
ком сильно». Для этого применяется неравенство Чебыше­
ва. Для случайной величины X и любого числа а > 0 выпол­
няется:
Р(\Х-ЕХ\ ^а)
РХ
Другими словами, вероятность того, что случайная вели­
чина X отклонится от своего математического ожидания на а
ох
*
или более, не превосходит дроби----- .
а2
Также неравенство Чебышёва может быть записано в виде
Р(\Х-ЕХ\ < а) > 1 - —.
а2
Так как Р(Х) = а2 (дисперсия равна квадрату стан­
дартного отклонения), то неравенство Чебышёва можно
2
ещё записать в виде Р(|Х — ЕХ\
^
а)
^
—
или
2
Р(|Х-М|<а)>1-^.
При исследовании большого количества объектов ча­
сто выбирают лишь их небольшое количество. Вся боль­
шая совокупность объектов при этом называется генералъ-
161
Теоретическая часть
ной совокупностью, а набор выбранных объектов — вы­
боркой. Пусть в выборке случайной величины X име­
ется всего X значений Х^, Х2, ..., XN (некоторые из
них могут совпадать между собой). Выборочным сред­
ним X называется среднее арифметическое этих значений:
. Значение X является несмещён-
X =
ной оценкой математического ожидания всей генеральной со­
вокупности. Упрощённо говоря, Е(Х) ^ X. Выборочной
дисперсией З2 для указанной выше выборки называется вес2
(Х1-Х)2 + (Х2-Х)2 + ... + (Хк-Х)2
п
личина 31 = -— ------ ------ —-------------------- —--------—. Для
X
получения несмещённой оценки генеральной совокупности
нужно величину З2 домножить на поправочный коэффициент
———. Таким образом, величина 8^ = ——— • З2 является
Х-1
—1
несмещённой оценкой дисперсии генеральной совокупности.
Задача 99. Про случайную величину X известно, что ЕХ = 3
и ЕХ = 10. Найдите оценку вероятности события «X ^ —2
или X ^ 8», которую даёт неравенство Чебышёва.
Решение.
Событие «X ^ —2 или X ^ 8» — это то же самое, что и
событие «|Х — 3| ^ 5». Так как ЕХ = 3, то по неравенству
Чебышёва Р(|Х -3| >5) ^ ^ = 0,4.
Ответ: 0,4.
Модуль 8. Элементы статистики
162
Задача 100. Сторона квадратной керамической плитки равна
25 см, а стандартное отклонение равно 0,3 мм. При помо­
щи неравенства Чебышёва найдите нижнюю оценку события
«сторона случайно выбранной керамической плитки отклоня­
ется от среднего значения менее чем на 0,75 мм».
Решение.
В нашем случае среднее значение — это матема­
тическое
ожидание
ЕХ.
Дисперсия
стандартного отклонения: О
Отсюда
по
неравенству
=
равна
0,32
=
0,09 (мм2).
получаем
Чебышёва
квадрату
оценку
Р(|Х - ЕХ| < 0,75) > 1 - ^ = 0,84.
Ответ: 0,84.
Задача 101. Случайная выборка из некоторой генеральной
совокупности содержит шесть значений:
25, 20, 22, 27, 23, и 21.
По этой выборке найдите несмещённую оценку дисперсии
генеральной совокупности.
Решение.
Найдём выборочное среднее:
25 + 20 + 22 + 27 + 23 + 2Г_„
6
Найдём выборочную дисперсию:
Э2 = [(25 - 23)2 + (20 - 23)2 + (22 - 23)2 + (27 - 23)2 +
+(23-23)2+(21-23)2] : 6 = 22 + 32 + 12 + 42 + °2 + 22 = 34
6
6
163
Теоретическая часть
По формуле для несмещённой оценки дисперсии получаем
^ = 6-^=6,8.
5 6
Ответ: 6,8.
Задача 102. С помощью выборочного исследования изучают
цены на кофемолки определённой модели. По данным из пяти
независимых магазинов получена следующая выборка:
4250, 3830, 3810, 4220 и 4990 рублей.
По этой выборке сделайте несмещённую оценку диспер­
сии цен на эту модель кофемолки.
Решение.
Найдём выборочное среднее:
ѵ
4250 + 3830 + 3810 + 4220 + 4990
Л
X =------------------------------------------- --- 4220 (рублей).
5
Найдём выборочную дисперсию
:
*
2
302 + 3902 + 4102 + О2 + 7702
. „ йт
5
По формуле для несмещённой оценки дисперсии получаем
с;
• 182 800 = 228 500.
4
Ответ: 228 500.
*Так как случайная величина измеряется в рублях, то её дисперсия из­
меряется в квадратных рублях.
Модуль 8. Элементы статистики
164
® Варианты для самостоятельного выполнения
Вариант 1
1. Про случайную величину X известно, что ЕХ = 3 и
ЕХ = 10. Найдите оценку вероятности события «X ^ -1
или X > 7», которую даёт неравенство Чебышева.
2. С помощью выборочного исследования изучают цены на
телевизоры определённой модели. По данным из шести неза­
висимых магазинов получена следующая выборка:
32 500, 32 700, 33 000, 32 400, 32100 и 32 900 рублей.
По этой выборке сделайте несмещённую оценку диспер­
сии цен на эту модель телевизора.
Вариант 2
1. Про случайную величину X известно, что ЕХ
и
ЕХ
“
9.
=
8
Найдите оценку вероятности события
«2 < X < 14», которую даёт неравенство Чебышева.
2. С помощью выборочного исследования изучают цены на
фонарики определённой модели. По данным из одиннадцати
независимых магазинов получена следующая выборка:
450, 500, 510, 420, 430, 410, 460, 430, 420, 490 и
430 рублей.
По этой выборке сделайте несмещённую оценку диспер­
сии цен на эту модель фонариков.
165
Варианты для самостоятельного выполнения
Вариант 3
1. Средняя длина нити в мотке пряжи равна 400 м, а стандарт­
ное отклонение равно 20 м. При помощи неравенства Чебышёва найдите верхнюю оценку вероятности события «длина
нити в случайно выбранном мотке отличается от средней бо­
лее чем на 50 м».
2. Случайная выборка из некоторой генеральной совокупно­
сти содержит пять значений:
15, 12, 7, 10 и И.
По этой выборке найдите несмещённую оценку дисперсии
генеральной совокупности.
'
Вариант 4
1. При изготовлении подшипников с номинальным внутрен­
ним диаметром 25 мм стандартное отклонение внутреннего
диаметра равно 0,003 мм. При помощи неравенства Чебышёва найдите нижнюю оценку вероятности события «диа­
метр случайно выбранного подшипника отличается от сред­
него значения менее чем на 0,005 мм».
2. Случайная выборка из некоторой генеральной совокупно­
сти содержит семь значений:
35, 38, 39, 38, 32, 32 и 38.
По этой выборке найдите несмещённую оценку дисперсии
генеральной совокупности.
Основные формулы теории вероятностей
166
Основные формулы теории вероятностей
1. Определение вероятности события.
-, где п — общее число равновероятп
ных исходов, т — число исходов, благоприятствующих
Р(А)
=
событию А.
2. Вероятность противоположного события.
Р(А) = 1-Р(А) и Р(А) + Р(А) = 1.
3. Вероятность объединения несовместных событий.
Р(А и В) = Р(А) + Р(В),
где события А и В несовместны (то есть не могут про­
изойти одновременно*).
4. Вероятность пересечения независимых событий.
Р(АОВ) = Р(А) - Р(В),
где события А^В независимы (то есть вероятность одно­
го события не меняется в зависимости от того, произошло
или нет другое событие).
5. Общие формулы для вероятностей событий.
Р(А ОВ) = Р(А) 4- Р(В) - Р(А П В),
Р(А ОВ) = Р(А) + Р(В) - Р(А и В).
6. Вероятность
Р(А\В) =
события
А при условии события В
где Р(В) / 0.
’Точнее, отсутствуют исходы, благоприятствующие сразу обоим собы­
тиям А и В.
Основные формулы теории вероятностей
167
7. Р(А) = Р(А\Н1)Р(Н1) + Р(А\Н2)Р(Н2) + ... +
+Р(АІНт)Р(Нт), если в результате эксперимента на­
ступает ровно одной из событий Ну, Н2, . •., Нт и ве­
роятность каждого из них не равна нулю. Эту формулу
называют формулой полной вероятности. События Ну,
Н2,..., Нт называют гипотезами.
8. Формула Байеса: Р(Н^|А) = —-—----- > где
Р(А) / 0.
9. Сочетанием из п элементов по к называют любой выбор
к элементов, взятых из п элементов (без учёта порядка).
ск =
п'
"
к\-(п- к)!
10. Формула Бернулли. Предположим, проводится серия из
п идентичных независимых экспериментов. В каждом из
них вероятность наступления случайного события А рав­
на р. Тогда вероятность того, что в указанной серии экс­
периментов событие А наступит ровно к раз (к ^ п),
вычисляется по формуле Скрк(1 — р)п~к.
11. Если в результате эксперимента обязательно наступает
ровно одно событие из числа событий Ну, Н2, ..., Нт, то
Е(Х) = Е(Х\Ну) • Р(Ну) + Е(Х\Н2) • Р(Н2) +
+... + Е^Х^т) • Р(Нт). Эту формулу называют
формулой полного математического ожидания.
Основные формулы теории вероятностей
168
12. Если случайная величина X принимает всего п различ­
ных значений #1, х2, ..., хп с вероятностями рх, р2, ...,
рп соответственно, то её математическое ожидание рав­
но ЕХ = рі®і + р2х2 + ... + рпхп, а дисперсия равна
ИХ = Р1(Х1 - ЕХ)2 + р2(х2 - ЕХ)2 + ... +
+ рп(хп - ЕХ)2.
13. Неравенство Чебышева. Для случайной величины X и
любого числа а > 0 выполняется:
Р(\Х-ЕХ\^а) «
а
Г) V
Р(\Х - ЕХ\ < а) > 1 - —.
а2
14. Для выборки Ль Л2, ..., Лта выборочным средним назы­
2 + • • • + ^. Несмещённой оценкой
X
дисперсии генеральной совокупности является
вается Л =
Приложение (к задаче о последовательности)
169
Приложение (к задаче о последовательности)
Докажем «интуитивно понятное» утверждение в задаче но­
мер 86 на с. 127.
Рассмотрим искомую величину Ро как функцию от переменной
р, заданной в условии (напомним, в нашем примере было р = 0,64).
Получаем функцию Ро(р), определённую на отрезке [0; 1]. По уже
доказанному имеем Ро(р) = 1 при р ^ 0,5 (так как в этом случае
я^р)-
Назовём начальный кусок исходной последовательности целых
чисел из 2п + 1 членов подходящим, если одновременно:
а) все члены куска последовательности неотрицательны;
б) член номер 2п + 1 равен нулю.
Обозначим через Тп (где п неотрицательное целое число) коли­
чество подходящих кусков из 2п + 1 членов. Например, То = 1,
так как единственный возможный кусок состоит из одного члена 0.
Т^ = 1, так как единственный подходящий кусок — это (0,1,0).
Тъ = 2, так как подходящими будут два куска: (0,1,2,1,0) и
(0,1,0,1,0).
Вероятность того, что последовательность начнётся с одного из
подходящих кусков длиной 2п -I-1, равна Тпрп(1 — р)п. Действи­
тельно, вероятность появления каждого отдельного подходящего
куска равна рп(1 — р)п, так как в нужных местах п раз должно
сработать увеличение числа последовательности и п раз — умень­
шение, причём вероятность каждого увеличения равна р, а каждого
уменьшения — (1 — р).
Чтобы в последовательности отрицательное число впервые по­
явилось на месте номер 2п + 2 (где п — неотрицательное целое
170
Приложение (к задаче о последовательности)
число), необходимо чтобы одновременно:
а) начальный кусок длиной 2п + 1 был подходящим (вероятность
Тпрп(1-р)п);
б) член номер 2п + 2 был меньше предыдущего (вероятность 1 — р).
Следовательно,
впервые
вательности появляется
на
отрицательный
член
месте 2п + 2
с
последо­
вероятностью
(1 - р)Тпрп(\ — р)п. А искомая вероятность Ро(р) равна бес­
конечной сумме ^(1 — р)Тпрп(1 - р)п = (1 - р) ^ ТпРп(1 — р)п.
п=0
п=0
При р ^ 0,5 имеем Ро(р) = 1, то есть
ОО
ОО
С1 ~ РІ^ѴІ1 - рГ =
1
откуда ^Ѵ(1 - р)п =
п=0
------ •
1 —Р
п=0
Если для удобства поменять переменную р на х, то получим:
00
1
п=0
1 — X
^^Тпхп{1 — х)п =------ при 0 < х
(*)
0,5.
Теперь перейдём к случаю р > 0,5. По доказанному выше
Ро(р) = (1 —р) ^ Тпрп(1 -р)п. Так как 1 —р < 0,5, то при х = 1-р
п=0
°°
по формуле (*) получаем Утп(1 — р)прп =
11
------------- = -,
1-(1-р)
р
откуда Р0(р) = (1 - Р)^Ѵ(1 -р)п = (1 - р) • - = -——,
п=0
Р
Р
то есть Ро = - при д < р. Этим доказательство «интуитивно понят-
Р
ного» утверждения завершается.
171
Ответы
Ответы
Модуль 1. Классическое определение вероятности
1
3
2
№ задания
4
5
6
7
8
0,9856
Диагн. р. 0,75 0,984 0,85 0,125 0,17 0,4
0,1
Вар. 1
2
0,15 0,075 0,05
0,4 0,486 0,99 0,25
Вар. 2
0,16
0,25 0,925 0,25 0,5
5
0,2
0,1
Вар. 3
0,28
0,96 0,8 0,75 0,08 0,375 0,2 0,19
Вар. 4
0,01
0,2 0,65 0,5 0,25 0,92 0,27 0,32
Модуль 2. Простейшие формулы теории вероятностей
1
2
№ задания
4
5
3
6
7
Диагн. р. 0,29 0,9831 0,06 0,058 0,51 0,3213 0,044
Вар. 1
0,38 0,9936 0,19 0,8649 0,39 0,0584 0,3332
Вар. 2
0,64 0,125 0,022
0,251 0,0081 0,001
0,7
Вар. 3
0,37 0,084 0,47
0,52 0,2877 0,052
0,08
Вар. 4
0,79 0,008 0,05 0,9676 0,003 0,0625 0,45
Модуль 3. Зависимые события
1
Диагн. р.
Вар. 1
Вар. 2
Вар. 3
Вар. 4
№ задания
2
3
4
0,995
0,48
0,266
0,17
0,088
0,33
0,5
0,02
0,2
0,1056
0,33
0,16
4
0,96
0,17
0,8
3
0,98
0,125
0,392
172
Ответы
Модуль 4. Условная и полная вероятность
Диагн. р.
Вар. 1
Вар. 2
Вар. 3
Вар. 4
1
2
Кв задания
3
0,23
0,5
0,2
0,1
0,2
0,125
0,2
1
0,68
0,5
0,12
0,3
0,31
0
0,32
0,775
0,24
0
0,11
0,375
0,95
0,12
0
0,05
0,4
4
5
Модуль 5. Использование комбинаторных формул.
Схема Бернулли.
1
Кв задания
3
2
4
Диагн. р.
0,03
0,04
0,43
0,6
Вар. 1
Вар. 2
Вар. 3
0,25
0,05
0,5
0,02
0,125
0,225
0,3
0,03
0,28
0,51
0,17
5
Вар. 4
0,52
0,28
0,17
6
Модуль 6. Решение сложных задач
Вар. 1
Вар. 2
1
Кв задания
2
3
0,0625
0,98
0,8
0,0125
0,9375
0,75
173
Ответы
Модуль 7. Случайные величины.
Математическое ожидание
1
№ задания
3
2
4
Диагн. р.
0,3
5,3
3
3
Вар. 1
Вар, 2
Вар. 3
Вар. 4
0,5
170,5
5,5
12,5
0,3
97,5
7
18
0,6
-2,5
4
7,875
0,625
7
2,5
4,125
Модуль 8. Элементы статистики
№ задания
Диагн. р.
Вар. 1
Вар. 2
Вар, 3
Вар. 4
1
2
0,5625
160000
0,625
112000
0,75
1240
0,16
8,5
0,64
9
ЕГЭ
Учебное издание
Иванов Сергей Олегович,
Коннова Елена Генриевна,
Ханин Дмитрий Игоревич
МАТЕМАТИКА. ЕГЭ.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Издание четвёртое
Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова
Обложка М. Сафиуллина
Компьютерная вёрстка С. Иванов
Корректор М. Мороз
Налоговая льгота: издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)
Подписано в печать с оригинал-макета 20.05.2024.
Формат 60х84'/16. Бумага типографская.
Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Усл. печ. л. 10,23.
Тираж 6 000 экз. Заказ № 9677.
ООО «ЛЕГИОН»
Для писем: 344000, г. Ростов-на-Дону, а/я 550.
Адрес редакции: 344082, г. Ростов-на-Дону, ул. Согласия, 7-9/20.
www.legionr.ru e-mail: legionrus@legionrus.com
Отпечатано с готового оригинал-макета
ООО «Принт-М», 142300, М.О., г.Чехов, ул. Полиграфистов, д.1