Преобразование Лапласа: теория, формулы и решение дифференциальных уравнений

Преобразование Лапласа
Во многих задачах математического анализа рассматриваются ситуации, в которых
каждая точка одного пространства ставится в соответствие некоторой точке другого (или
того же) пространства. Соответствие между двумя точками устанавливается с помощью
преобразования или оператора. В задачу теории операторов входит подробное описание
и классификация различных видов преобразований и их свойств, а также разработка
символических
методов,
позволяющих
минимизировать
и упростить
вычисления.
Применение операционного метода можно сравнить с логарифмированием, когда: 1) от
чисел
переходят
к
логарифмам,
2)
над
логарифмами
производят
действия,
соответствующие действиям над числами, причем умножению чисел соответствует более
простая операция сложения логарифмов и т. д., 3) от найденного логарифма снова
возвращаются к числу. В операционном методе широко используется преобразование
Лапласа, которое преобразовывает определённый класс функций-оригиналов f(t)
действительного переменного t в функцию-изображения F(p) комплексного переменного p.
Функцией-оригиналом
называется
функция
f (x)
для
которой
справедливо:
f (x) непрерывна при неотрицательных x, за исключением, быть может конечного числа
x
точек, f (x) = 0 при x<0, существуют такие постоянные M и  , что | f ( x) |  Me при всех
неотрицательных x.
Преобразованием Лапласа функции f (x) называется функция

F ( p )   e  px f ( x ) dx
(1.1)
0
Функция F (p) называется изображением функции f (x), а функция f (x) - оригиналом
для F (p).
Изображение функции
Изображением функции f(t) (пo Лапласу) называют функцию комплексного
переменного p  s  i , определяемую соотношением

F ( p )   f (t ) e  pt dt
0
,
(1.2)
где интеграл берется по положительной полуоси. Фразу: «функция f(t) имеет своим
изображением F(p)» мы будем записывать символами:
f (t )  F ( p ) ; F ( p )  f (t ) .
Смысл этого обозначения: оригиналу f сопоставлено изображение F, а
изображение F имеет своим оригиналом f.
Таблица преобразования Лапласа
Пример 1
С помощью операционного исчисления найти частное решение дифференциального
уравнения при заданных начальных условиях.
,
,
, учитывая начальное условие
,
По табличной формуле превращаем функцию:
По формуле №2
превращаем производную:
По формуле №3
условия
, учитывая начальные
, превращаем вторую производную:
Теперь разбираемся с правой частью, в которой находится многочлен
. В силу того
используя пункт таблицы, выполняем преобразование:
Смотрим на второе слагаемое: –5. Когда константа находится одна-одинёшенька, то
пропускать её уже нельзя. С одиночной константой поступают так: для наглядности её
можно представить в виде произведения:
, а к единице применить преобразование:
Таким образом, для всех элементов (оригиналов) дифференциального
уравнения
с помощью таблицы найдены соответствующие
изображения:
Подставим найденные изображения в исходное уравнение
Дальнейшая задача состоит в том, чтобы выразить операторное решение
остальное, а именно – через одну дробь
Приводим подобные слагаемые в левой части (если они есть).
:
через всё
В левой части выносим за скобки операторное решение
, в правой части приводим в
Действие второе. Используя метод неопределенных коэффициентов, операторное
решение уравнения следует разложить в сумму элементарных дробей:
Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях и решим систему:
Итак, коэффициенты найдены:
, и операторное решение будет
;
.
Заключительный этап задачи состоит в том, чтобы с помощью обратного преобразования
Лапласа перейти от изображений к соответствующим оригиналам.
Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:
Ответ: частное решение:
.