Федеральное агентство морского и речного транспорта Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет водного транспорта» структурное подразделение СПО ЯКУТСКИЙ ИНСТИТУТ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА (филиал) ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ТЕМАМ: «РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ», «ПРАВИЛЬНЫЕ ПРИЗМЫ И ПИРАМИДЫ», «ЦИЛИНДР, КОНУС, СФЕРА И ШАР» Слепцова Мария Ивановна, преподаватель математики высшей квалификационной категории г. Якутск, 2024 г. СОДЕРЖАНИЕ 1. Пояснительная записка 2. Введение 3. Решение треугольников 4. Призмы и пирамиды 5. Цилиндр, конус, сфера и шар 6. Заключение 7. Литература Пояснительная записка Методическая разработка по темам: «Решение треугольников», «Правильные призмы и пирамиды», «Цилиндр, конус, сфера и шар» предназначена для проведения практических занятий по дисциплине «Математика». В методической разработке даны обоснования развивающего обучения, способствующие формированию у студентов общих компетенций. На практических занятиях используются приемы, средства и методы обучения, активизирующие мыслительную деятельность, вычислительные навыки, воспитывающие у студентов устойчивый познавательный интерес, а также умение применять имеющиеся знания в практической деятельности. Методическая разработка может быть полезна: - для преподавателя; - для самостоятельной работы студентов заочного отделения. Введение Практические занятия служат связующим звеном между теорией и практикой. Они необходимы для закрепления теоретических знаний, полученных на уроках теоретического обучения, а также для получения практических знаний. Практические задания выполняются студентами самостоятельно, с применением знаний и умений, полученных на уроках, а также с использованием необходимых пояснений, полученных от преподавателя. Проверка ответов задач повышает мотивацию студентов, а также повышает качество обученности, особенно слабоуспевающих студентов, так как создает дополнительные возможности закрепления материала и работы в индивидуальном порядке. Такие практические занятия создают наилучшие условия для передачи студентам знаний, умений, навыков, способствуют их закреплению, включают всех в активную работу. Практическая работа №1 «Решение треугольников» Цель: способствовать формированию умений и навыков по вычислению элементов треугольника. Продолжительность: 2 академических часа. Студент должен знать: - основные элементы треугольника; - формулы вычисления элементов треугольника. Студент должен уметь: - вычислять элементы треугольника и его площадь. Рекомендации по выполнению практической работы: 1. Прочтите задание. 2. Запишите условие задачи. 3. Сделайте чертеж фигур. 4. Выполните работу и запишите ответы. Теоретические сведения к практической работе Определение: Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек и трех отрезков, попарно их соединяющих. В любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника можно описать окружность. Радиусы вписанной и описанной окружностей r– радиус вписанной окружности; R– радиус описанной окружности. Формула Герона: S=√𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐), где p – полупериметр, p= а+в+с 2 ; S=pr, где p – полупериметр, r– радиус вписанной окружности; авс S= 4𝑅 , R– радиус описанной окружности. Определение: медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. √𝟐(в𝟐 +с𝟐 )−а𝟐 √𝟐(а𝟐 +с𝟐 )−в𝟐 √𝟐(а𝟐 +в𝟐 )−с 𝒎𝒂 = 𝒎в = 𝒎с = 𝟐 𝟐 𝟐 Определение: биссектрисой угла треугольника называется луч, исходящий из вершины треугольника и делящий его пополам. 𝟐 𝒃𝒊𝒄𝒂 =𝒃+𝒄 √𝒃𝒄𝒑(𝒑 − 𝒂) 𝟐 𝒃𝒊𝒄𝒃 =𝒂+𝒄 √𝒂𝒄𝒑(𝒑 − 𝒃) 𝟐 𝒃𝒊𝒄𝒄 =𝒂+𝒃 √𝒂𝒃𝒑(𝒑 − 𝒄) Определение: высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или ее продолжение). 𝟐 𝒉𝒂 =𝒂 √𝒑(𝒑 − 𝒂)(𝒑 − 𝒃)(𝒑 − 𝒄) 𝟐 𝟐 𝒉𝒃 =𝒃 √𝒑(𝒑 − 𝒂)(𝒑 − 𝒃)(𝒑 − 𝒄) 𝒉𝒄 =𝒄 √𝒑(𝒑 − 𝒂)(𝒑 − 𝒃)(𝒑 − 𝒄) Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: а2 =в2 +с2 - 2вс*cosА в2 =а2 +с2 - 2ас*cosВ с2 =а2 +в2 - 2ав*cosC Содержание практической работы Решить треугольник. Дан треугольник со сторонами а, в, с. Найти: R- радиус описанной окружности; r- радиус вписанной окружности; ℎ𝑎 - высоту к стороне a; ℎ𝑏 - высоту к стороне в; ℎ𝑐 - высоту к стороне с; 𝑏𝑖𝑠𝑎 - биссектрису угла А; 𝑏𝑖𝑠𝑏 - биссектрису угла В; 𝑏𝑖𝑠𝑐 - биссектрису угла С; 𝑚𝑎 - медиану к стороне а; 𝑚𝑏 - медиану к стороне в; 𝑚𝑐 - медиану к стороне с; S- площадь треугольника; А, В, С- величины углов треугольника в градусах. После проведенных расчетов сделать чертеж. Все размеры в задании даны в миллиметрах. а 170 155 75 131 115 60 91 85 69 93 73 111 97 182 161 90 132 153 75 67 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 в 175 163 132 84 93 67 162 67 73 101 151 74 101 57 87 120 158 112 157 83 с 90 85 158 121 141 65 105 53 87 125 121 135 127 92 124 134 75 97 110 95 Ответы к практической работе №1 «Решение треугольников» 1 № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 а 170 155 75 131 115 60 91 85 69 93 73 111 97 132 161 90 132 153 75 67 3 в 175 163 132 84 93 67 162 67 73 101 151 74 101 87 87 120 158 112 157 83 4 с 90 85 158 121 141 65 105 53 87 125 121 135 127 78 124 134 75 97 110 95 5 ℎ𝑎 88 83 131 75 92 58 97 42 70 99 119 73 99 49 66 117 74 70 99 81 6 ℎ𝑏 85 79 74 117 114 52 54 52 66 91 57 110 95 74 122 87 62 96 47 65 7 ℎ𝑐 165 152 62 81 75 54 84 66 56 74 72 60 75 83 86 78 131 111 68 57 8 𝑚𝑎 110 104 140 80 104 58 128 42 72 103 131 93 103 49 70 118 104 71 130 82 9 𝑚𝑏 104 94 104 118 119 52 55 62 69 97 65 117 101 99 136 97 72 115 51 70 10 𝑚𝑐 165 153 72 86 77 54 120 71 56 74 102 65 75 104 113 82 140 124 110 58 11 𝑏𝑖𝑠𝑎 96 91 139 77 99 58 12 42 71 102 130 84 102 49 67 118 89 71 126 82 12 𝑏𝑖𝑠𝑏 91 84 89 118 118 52 55 58 68 95 59 116 99 92 134 97 64 108 48 68 13 𝑏𝑖𝑠𝑐 166 153 64 86 76 54 110 70 56 74 88 61 75 100 102 82 139 121 95 57 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15 R 89 82 79 67 70 37 86 42 44 63 76 67 64 68 81 68 79 76 86 48 16 r 34 32 26 29 30 18 24 17 21 29 25 25 29 21 28 30 26 29 21 22 17 S 7482 6482 4926 4953 5228 1762 4451 1775 2438 4626 4359 4105 4820 3259 5342 5279 4926 5419 3744 2717 18 А 71 69 40 77 54 54 75 89 50 47 28 48 48 73 82 41 56 86 25 43 19 В 78 79 56 39 42 64 68 52 55 52 80 80 51 41 32 61 84 46 65 58 20 С 31 32 84 64 84 55 37 38 75 81 52 52 81 66 66 77 40 48 90 79 Практическая работа №2 «Правильные призмы и пирамиды» Цель практических занятий: способствовать формированию умений и навыков по вычислению площади поверхности, объема и элементов призм и пирамид. Продолжительность: 2 академических часа. Студент должен знать: - основные элементы призмы, пирамиды; - формулы вычисления элементов призмы, пирамиды. Студент должен уметь: - вычислять площадь боковой поверхности призмы, пирамиды; - вычислять площадь поверхности призмы, пирамиды; - вычислять объем призмы, пирамиды. Рекомендации по выполнению практической работы: 1. Прочтите задание. 2. Запишите условие задачи. 3. Сделайте чертеж фигур. 4. Выполните работу и запишите ответы. Теоретические сведения к практической работе. Определение: тело, ограниченное плоскими многоугольниками, называется многогранником. Многоугольники, ограничивающие многогранник, называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины – вершинами многоранника. Определение: призмой называется многогранник, у которого две грани – равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами ( основаниями призмы), а все остальные грани (боковые) пересекаются по параллельным прямым. Определение: призму называют прямой, если плоскости боковых граней перпендикулярны к плоскостям основания. Непрямая призма называется наклонной. Определение: прямую призму называют правильной, если основанием ее служит правильный многоугольник. 𝒂𝟐 √𝟑 Площадь равностороннего треугольника: S= 𝟒 Площадь квадрата: S=𝒂𝟐 Площадь одной грани: 𝑺гр =aH Площадь боковой поверхности: 𝑺бок =PH Площадь полной поверхности: 𝑺пол =𝑺бок +2𝑺осн Объем: V=𝑺осн H Определение: пирамидой называется многогранник, одной из граней которого служит многоугольник (основание пирамиды), а остальные грани (боковые) суть треугольники с общей вершиной (вершина пирамиды). Определение: пирамида, основанием которой является правильный многоугольник и вершина проектируется в центр основания, называется правильной. 𝒂𝟐 √𝟑 Площадь равностороннего треугольника: S= 𝟒 Площадь квадрата: S=𝒂𝟐 𝟏 Площадь одной грани: 𝑺гр =𝟐a𝒉бок , где 𝒉бок -апофема Площадь боковой поверхности: 𝑺бок =p𝒉бок Площадь полной поверхности: 𝑺пол =𝑺бок +𝑺осн 𝟏 Объем: V=𝟑 𝑺осн H Содержание практической работы Даны: а) Правильные призмы: треугольная и четырехугольная; б) Правильные пирамиды: треугольная и четырехугольная; Найти: Площадь основания тела, площадь одной грани, боковую поверхность тела, полную поверхность тела, объем тела. Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Сторона в основании 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 Высота призмы, пирамиды 25 30 35 40 45 50 25 30 35 40 45 50 25 30 35 40 45 50 25 30 Ответы к практической работе №2 «Правильные призмы» (3-угольные, 4-угольные) 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 № 1 2 3 23−4 а 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 33−4 H 25 30 35 40 45 50 25 30 35 40 45 50 25 30 35 40 45 50 25 30 43 𝑆𝑜 97 110 125 140 156 173 190 209 229 249 270 292 315 339 364 389 416 443 471 500 53 𝑆1гр 375 480 595 720 855 1000 525 660 805 960 1125 1300 675 840 1015 1200 1395 1600 825 1020 63 𝑆бг 1125 1440 1785 2160 2565 3000 1575 1980 2415 2880 3375 3900 2025 2520 3045 3600 4185 4800 2475 3060 73 S 1319 1660 2035 2440 2877 3346 1955 2398 2873 3378 3915 4484 2655 3198 3773 4378 5017 5686 3417 4060 83 V 2425 3300 4375 5600 7020 8650 4750 6270 8015 9960 12150 14600 7875 10170 12740 15560 18770 22150 11775 15000 94 𝑆𝑜 225 256 289 324 361 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 900 961 1024 1089 1156 104 𝑆1гр 375 480 595 720 855 1000 525 660 805 960 1125 1300 675 840 1015 1200 1395 1600 825 1020 114 𝑆бг 1500 1920 2380 2880 3120 4000 2100 2640 3220 3840 4500 5200 2700 3360 4050 4800 5580 6400 3300 4080 124 S 1930 2432 2630 3160 3732 4356 2480 3058 3678 4335 5040 6552 3330 4038 5727 5578 6412 7286 4242 6392 134 V 5625 7680 10115 12960 16245 20000 11025 14520 18515 23040 28125 33800 18225 23520 29435 36000 43245 51200 27225 34680 Ответы к практической работе №2 «Правильные пирамиды» (3-угольные, 4-угольные) 23−4 33−4 43 53 63 73 83 93 104 114 124 134 144 а H S V S 𝑆𝑜 𝐻бг 𝑆1гр 𝑆бг 𝑆𝑜 𝐻бг 𝑆1гр 𝑆бг 15 25 97 25 190 570 668 811 225 26 195 783 1008 16 30 110 30 242 728 839 1108 256 31 248 993 1249 17 35 125 35 300 901 1026 1459 289 36 306 1224 1513 154 V 1875 2560 3372 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 40 45 50 25 30 35 40 45 50 25 30 35 40 45 50 25 30 140 156 173 190 209 229 249 270 292 315 339 364 389 416 443 471 500 40 45 50 25 30 35 40 45 50 26 31 35 40 45 50 26 31 363 430 503 270 337 409 487 569 657 353 434 521 613 711 813 429 536 1089 1291 1509 810 1011 1229 1461 1709 1950 1060 1304 1565 1841 2133 2440 1324 1609 1229 1448 1683 1001 1221 1458 1710 1975 2264 1376 1644 1929 32231 2549 2884 1795 2110 1870 2344 2886 1591 2095 2672 3325 4059 4878 2630 3394 4248 5196 6241 7390 3923 5005 324 361 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 900 961 1024 1089 1156 41 45 50 27 31 36 41 46 51 28 33 37 42 47 52 29 34 369 436 509 284 351 423 501 583 671 383 463 549 640 737 839 494 586 1476 1746 2039 1138 1405 1694 2004 2335 2686 1534 1853 2197 2563 2950 3359 1976 2312 1800 2508 2439 1579 1889 2223 2253 2960 3362 2364 2637 3038 3463 3911 4383 3065 3468 4320 5415 6666 3675 4839 6171 7680 9375 11266 6075 7839 9811 12000 14415 17066 9075 11560 Практическая работа №3 «Цилиндр, конус, шар и сфера» Цель практических занятий: способствовать формированию умений и навыков по вычислению элементов цилиндра, конуса, шара и сферы. Продолжительность: 2 академических часа. Студент должен знать: - основные элементы цлиндра, конуса, шара и сферы; - формулы вычисления элементов цилиндра, конуса, шара и сферы. Студент должен уметь: - вычислять площадь боковой поверхности цилиндра и конуса; - вычислять площадь поверхности цилиндра, конуса и сферы; - вычислять объем цилиндра, конуса и шара. Рекомендации по выполнению практической работы: 1. Прочтите задание. 2. Запишите условие задачи. 3. Сделайте чертеж фигур. 4. Выполните работу и запишите ответы. Теоретические сведения к практической работе Определение: фигуры вращения – это объемные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости. Определение: круговым цилиндром называется фигура, образованная вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Площадь круга: S=π𝑹𝟐 Площадь боковой поверхности: 𝑺бок =2πRH Площадь полной поверхности: 𝑺пол =𝑺бок +𝟐𝑺осн Объем: V=π𝑹𝟐 H Определение: конусом называется фигура, образованная при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Площадь круга: S=π𝑹𝟐 Площадь боковой поверхности: 𝑺бок =πRL, где L-образующая. Площадь полной поверхности: 𝑺пол =𝑺бок +𝑺осн 𝟏 Объем: V=𝟑π𝑹𝟐 H Определение: поверхность, образованная вращением полуокружности вокруг ее диаметра, называется сферой. Сфера – это геометрическое место точек пространства, равноудаленных от одной точки (центра) и образующих поверхность, называемую сферой или шаровой поверхностью. Определение: шаром называется тело, ограниченное шаровой поверхностью. Площадь круга: S=π𝑹𝟐 Площадь сферы: 𝑺сф =4π𝑹𝟐 𝟒 Объем шара: V=𝟑π𝑹𝟑 Содержание практической работы Произвести расчет цилиндра, конуса, шара. Найти: а) Площадь основания, боковую поверхность, полную поверхность и объем цилиндра и конуса, сделать чертеж; б) Поверхность и объем шара. Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Радиус основания 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 Высота тела вращения 50 45 40 35 30 25 30 35 40 45 50 45 40 35 30 25 30 35 40 Радиус шара 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 20 40 45 40 Ответы к практической работе №3 “Цилиндр, конус, сфера и шар” 1 вари ант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 R 3 H 4 𝑆оц 5 𝑆бц 6 𝑆пц 7 𝑉ц 8 𝑆ок 9 𝑆бк 10 𝑆пк 11 𝑉к 12 𝑅ш 13 𝑆сф 14 𝑉ш 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 50 45 40 35 30 25 30 35 40 45 50 45 40 35 30 25 30 35 40 45 1398 1520 1661 1809 1936 2123 2290 2463 2642 2827 3019 3216 3421 3631 3848 4071 4300 4536 4778 5026 6592 6220 5780 5276 4712 4084 5088 6156 7288 8482 9738 9046 8292 7476 6596 5654 6974 8356 9800 11308 9366 9260 9102 8894 8638 8330 9668 11082 12572 14176 15776 15478 15134 14738 14292 13796 15574 17428 19356 21360 69250 68400 66440 63315 58890 53075 68700 86205 105680 127215 150950 144720 136840 127085 115440 101775 129000 158760 191120 226170 1385 1520 1661 1809 1936 2123 2290 2463 2642 2827 3019 3216 5375 3631 3848 4071 4300 4536 4778 5026 3577 3461 3333 3199 3067 2946 3423 3942 4501 5097 5729 5551 8796 5212 5068 4956 5536 6167 6844 7565 4962 4981 4994 5008 5030 5069 5713 6405 7143 7924 8748 8767 1140 8843 8916 9027 9836 10703 11622 12591 23079 22796 22147 21101 19625 17689 22891 28721 35210 42390 50292 48230 45593 42348 38465 33912 42987 52899 63679 75360 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 5541 6082 6647 7238 7853 8494 9160 9852 10568 11309 12076 12867 13684 14526 15393 16286 17230 18145 19115 20106 38792 44602 50965 57905 65449 73662 82447 91992 102160 113097 124788 137258 150532 164636 179594 195432 212174 229847 248474 268082 Заключение Данный материал позволяет осуществить применение знаний по темам «Решение треугольников», «Правильные призмы и пирамиды», «Цилиндр, конус, сфера и шар» для приобретения практического навыка при решении задач. Список использованной литературы: 1. Математика: учебник для СПО/Богомолов Н.В, Самойленко П.И. – 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2018. – 396 с. – Серия: Профессиональное образование. 2. Планимерия на вступительном экзамене: учебно-методическое пособие/Черкасов О.Ю, Якушев А.Г. Издательство «Московский лицей», 1996.
