Задача K4-15: Определение скорости и ускорения точки

ЗАДАНИЕ К4-15
Дано: OM  5 (t 2  2) м,   2(t 2  t ) рад, R  20 м, t  1 с
Найти: v M , a M .
РЕШЕНИЕ:
z
M
R
O
C
α
R
x
O'
arτ
O
ane
vr
anr
y
acor
τ
M
ve
ae
φ
ω
ε
φ
Определим положение точки М при t  1 с:
OM  5 (12  2)  5 (м)
OM  5



  (рад)
R
20
4
OM  R cos   20  0,707  14,14 (м)
1. Определение скорости точки М.
Так как точка М совершает сложное движение, то абсолютная скорость складывается из относительной
скорости и переносной:
v  vr  ve
Относительная скорость точки:
dsr
 (5 (t 2  2))  10t
dt
При t  1 с:
vr  10  3,14 1  31,4 (м/с)
vr 
Угловая скорость вращающегося тела:
d
 (2(t 2  t ))  4t  2
dt
При t  1 с:
  4 1  2  2 (рад/с)

Переносная скорость точки:
ve    OM  2 14,14  28,28 (м/с)
Так как векторы относительной и переносной скоростей взаимоперпендикулярны, то модуль скорости
точки М:
v  vr2  ve2  31,4 2  28,282  42,26 (м/с)
2. Определение ускорения точки М.
Согласно теореме Кориолиса:
a  ar  ae  acor ,
или учитывая, что относительное и переносное движения вращательные:
a  arn  ar  aen  ae  acor
Относительное тангенциальное ускорение:
ar 
dvr
 (10t )  10  10  3,14  31,4 (м/с2)
dt
Относительное нормальное ускорение:
arn 
vr2 31,4 2

 49,3 (м/с2)
R
20
Угловое ускорение вращающегося тела:

d
 (4t  2)  4 (рад/с2)
dt
Переносное нормальное ускорение:
aen   2  OM  2 2 14,14  56,56 (м/с2)
Переносное тангенциальное ускорение (модуль):
ae    OM  4 14,14  56,56 (м/с2)
Кориолисово ускорение:
acor  2vr e
Численно:
acor  2 vr  sin(vr ,  )  2  31,4  2  sin 45  88,8 (м/с2)
Проектируем уравнение (*) на координатные оси х и у:
a x  ae  acor  56,56  88,8  145,36 (м/с2)
a y  arn cos 45  ar sin 45  aen  49,3  0,707  31,4  0,707  56,56  69,22 (м/с2)
a z  arn sin 45  ar cos 45  49,3  0,707  31,4  0,707  57,05 (м/с2)
Модуль ускорения точки М:
a  a x2  a 2y  a z2  145,36 2  69,22 2  57,052  170,81 (м/с2)
Ответ: v  42,26 м/с, a  170,81 м/с2
(*)