Е. А. Ширяева Задачник (ОГЭ 2022) 14. Арифметические и геометрические прогрессии Арифметические прогрессии Арифметическая прогрессия – числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом ( an+1 = an +d ). 1 +4 +d 5 +4 +d a3 a2 a1 9 +4 +d +4 +d 13 a4 17 a5 d – разность арифметической прогрессии: d = an+1 −an , т. е. d = a2 −a1 = a3 −a2 = a4 −a3 = ... an = an −1 +an+1 2 Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Формула n-го члена арифметической прогрессии: an = a1 +d(n −1). Сумма первых n членов арифметической прогрессии: Sn = a1 +an n . 2 Геометрическая прогрессии Геометрическая прогрессия – числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и тоже не равное 0 число ( bn+1 = bn q ). 2 ·3 q b1 6 b2 ·3 q 18 ·3 q 54 b3 ·3 q b4 162 b5 q – знаменатель геометрической прогрессии: b b b b q = n+1 , т. е. q = 2 = 3 = 4 = ... bn b1 b2 b3 bn = bn −1 bn+1 Если все члены геометрической прогрессии положительны, то каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Формула n-го члена геометрической прогрессии: bn = b1 q n −1 . Сумма первых n членов геометрической прогрессии ( q 1 ): Sn = (q n −1)b1 . q −1 Е. А. Ширяева Задачник (ОГЭ 2022) ПРИМЕРЫ Задание 1. В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 28 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в двенадцатом ряду амфитеатра? Дано: Решение: Проверка: a1 = 28 d =3 an = a1 + d(n −1) a12 = a1 + d 11 a12 = 28+3 11= 61 Ответ: 61 a1 = 28 a2 = 31 a3 = 34 a 4 = 37 Найти: a12 -? a5 = 40 a6 = 43 a7 = 46 a8 = 49 a9 = 52 a10 = 55 a11 = 58 a12 = 61 Задание 2. При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 7° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 4 минуты после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла −13° C . Дано: d = −7 aнач = −13 Найти: a 4 -? Решение: a1 = aнач +d a1 = −13 − 7 = −20 an = a1 + d(n −1) a4 = a1 +d 3 a4 = −20 − 7 3 = −20 − 21= −41 Проверка: aнач = −13 a1 = −20 a2 = −27 a3 = −34 a4 = −41 Ответ: –41 Задание 3. В амфитеатре 16 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 17 мест, а в девятом ряду 25 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра? Дано: n =16 a5 =17 a9 = 25 Решение: I способ Найти: a16 -? an = a1 + d(n −1) II способ a9 = a1 + d 8, a5 = a1 + d 4 a9 = a5 +4d 25 = 17+4d 4d = 25 −17 4d = 8 d =8:4 = 2 a16 = a9 +7d a16 = 25+7 2 = 25+14 = 39 25 = a1 +8d − 17 = a1 +4d 8 = 4d d =8:4 = 2 Проверка: a5 =17 a6 =19 a7 = 21 a8 = 23 a9 = 25 a10 = 27 a11 = 29 a12 = 31 a13 = 33 a14 = 35 a15 = 37 a16 = 39 17 = a1 +4 2 a1 =17 − 8 = 9 an = a1 + d(n −1) a16 = a1 + d 15 a16 = 9+2 15 = 9+30 = 39 Ответ: 39 Е. А. Ширяева Задачник (ОГЭ 2022) Задание 4. В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 24 места, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре? Дано: Решение: Проверка: n =14 a1 = 24 d =2 an = a1 + d(n −1) a14 = 24+2 13 = 24+26 = 50 a1 = 24 a 2 = 26 a 3 = 28 a 4 = 30 a5 = 32 a 6 = 34 a 7 = 36 a 8 = 38 Найти: S14 -? a1 +an n 2 a +a S14 = 1 14 14 2 24+50 S14 = 14 = 74 7 = 518 2 Ответ: 518 Sn = a9 = 40 a10 = 42 a11 = 44 a12 = 46 a13 = 48 a14 = 50 S14 =(24+50) 7 S14 = 518 Задание 5. Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 6 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые восемь секунд? Дано: a1 = 6 d =10 n =8 Найти: S 8 -? Решение: a +a an = a1 + d(n −1) Sn = 1 n n 2 a8 = 6+10 7 = 6+70 = 76 a +a S8 = 1 7 8 2 6+76 S8 = 8 = 82 4 = 328 2 Проверка: a6 = 56 a7 = 66 a8 = 76 S8 =(6+76) 4 S8 = 328 a1 = 6 a2 =16 a3 = 26 a 4 = 36 a5 = 46 Ответ: 328 Задание 6. В кафе есть только квадратные столики, за каждый из которых могут сесть 4 человека. Если сдвинуть два квадратных столика, то получится стол, за который могут сесть 6 человек. На рисунке изображён случай, когда сдвинули 3 квадратных столика вдоль одной линии. В этом случае получился стол, за который могут сесть 8 человек. Сколько человек может сесть за стол, который получится, если сдвинуть 15 квадратных столиков вдоль одной линии? Дано: Решение: a1 = 4 a2 = 6 a3 = 8 d = a2 − a1 = 6 − 4 = 2 Найти: a15 -? Проверка: a1 = 4 a2 = 6 an = a1 + d(n −1) a3 = 8 a15 = 4+2 14 = 4+28 = 32 a 4 =10 Ответ: 32 a5 =12 a6 =14 a7 =16 a8 =18 a9 = 20 a10 = 22 a11 = 24 a12 = 26 a13 = 28 a14 = 30 a15 = 32 Е. А. Ширяева Задачник (ОГЭ 2022) Задание 7. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 120. n =10 l10 =1+1+2+2+3+3+...+9+9+10+10 = =(1+2+3+...+9+10) 2 = S10 2 l120 =(1+2+3+...+119+120) 2 = S120 2 n =120 a1 +an n a1 =1 an =120 2 1+120 S120 = 120 =121 60 = 7260 2 l120 = S120 2= 7260 2=14520 Sn = n =120 Ответ: 14520 Задание 8. У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 270 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 10 см? Дано: Решение: Проверка: n −1 b1 = 270 1 q= 3 bn <10 1 bn = b1 q n −1 = 270 3 Найти: 1 3 n -? <10 n −1 1 270 3 n −1 < 10 270 < 1 27 n −1 1 3 <10 :270 b1 = 270 b2 = 90 b3 = 30 b4 =10 1 b5 = 3 <10 3 n =5 2 1 1 1 при n = 3: = > 9 27 3 3 1 1 1 при n = 4: = = 27 27 3 4 1 1 1 при n = 5 : = n =5 81 27 2 Ответ: 5 Комментарий: данную задачу проще решать подбором (см. проверку). Е. А. Ширяева Задачник (ОГЭ 2022) Задание 9. У Яны есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 320 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 6 см? Дано: b1 = 320 1 q= 2 bn <6 Найти: n -? Решение: Проверка: n −1 1 bn = b1 q n −1 = 320 2 <6 n −1 1 320 2 n −1 1 2 6 320 < 3 4 < 160 160 < 1 40 n −1 1 2 :320 < n −1 1 2 <6 b1 = 320 b2 =160 b3 = 80 b4 = 40 b5 = 20 b6 =10 b7 = 5 <6 n =7 5 1 1 1 при n = 6: = 32 40 2 6 1 1 1 при n = 7 : = n =7 64 40 2 Ответ: 7 Комментарий: данную задачу проще решать подбором (см. проверку). Задание 10. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 6 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 480 мг. Найдите массу изотопа через 36 минут. Ответ дайте в миллиграммах. Дано: Решение: 1 2 t1 = 6 bнач = 480 tn = 36 n = tn : t1 = 36:6 = 6 b1 = bнач q 1 b1 = 480 = 240 2 q= Найти: bn -? Проверка: bn = b1 q n −1 b6 = b1 q 5 5 240 1 15 75 1 b6 = 240 = = = = 7,5 1 32 2 10 2 t1 = 6: t2 =12: t3 =18 : t4 = 24: t5 = 30 : t6 = 36: bнач = 480 b1 = 240 b2 =120 b3 = 60 b4 = 30 b5 =15 b6 = 7,5 Ответ: 7,5 Комментарий: данную задачу проще решать подбором (см. проверку). Е. А. Ширяева Задачник (ОГЭ 2022) Задание 11. В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 12 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 100 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах. Дано: Решение: Проверка: bнач =12 t1 = 20 q =3 tn = 100 n = tn : t1 = 100 :20 = 5 b1 = bнач q b1 =12 3 = 36 bнач =12 t1 = 20 : b1 = 36 t2 = 40 : b2 =108 t3 = 60 : b3 = 324 t4 = 80 : b4 = 972 t5 =100 : b5 = 2916 Найти: bn -? bn = b1 q n −1 b5 = b1 q 4 b6 = 36 34 = 36 81= 2916 Ответ: 2916 Задание 12. В ходе бета-распада радиоактивного изотопа А каждые 7 минут половина его атомов без потери массы преобразуются в атомы стабильного изотопа Б. В начальный момент масса изотопа А составляла 960 мг. Найдите массу образовавшегося изотопа Б через 42 минуты. Ответ дайте в миллиграммах. Дано: Решение: Проверка: t1 = 7 1 q= 2 bнач = m А = 960 tn = 42 n = tn : t1 = 42:7 = 6 b1 = bнач q 1 b1 = 960 = 480 2 bn = b1 q n −1 Найти: b6 = b1 q 5 mБ -? 480 1 15 1 b6 = 480 = = =15 1 32 1 2 5 mБ = 960 − b6 = 960 −15 = 945 mА mБ нач t1 = 7 960 0 480 480 t2 =14 240 720 t3 = 21 120 840 t4 = 28 60 900 t5 = 35 t6 = 42 30 15 930 945 Ответ: 945
