УДК 681.5 О новом подходе к оценке устойчивости линейных систем Вершинин Д.В., Кулешов В.В., Се Ю., Юрасов А.О. Аннотация: Одним из ключевых вопросов теории управления является устойчивость. Для анализа устойчивости разработана особая группа методов: частотные критерии устойчивости. Базируются они на принципе аргумента, связывающем порядок характеристического уравнения исходной системы с изменения фазы комплексной функции, полученной путём перевода данного характеристического уравнения в частотную область. Универсальным среди частотных критериев является критерий Михайлова, позволяющий при построении годографа всей комплексной функции определить её устойчивость. Однако, критерий Михайлова, будучи буквально графической реализацией принципа аргумента, используется только для анализа изменения фазы, следовательно, представляется интересным сократить необходимые для анализа устойчивости расчёты. В связи с этим в данной работе была рассмотрена альтернатива критерию Михайлова – мнимо-действительная характеристика (МДХ), позволяющая проводить ровно тот же анализ изменения фазы, но уже не через построение полноценного годографа Михайлова, а лишь через построение графика отношения мнимой составляющей исходной комплексной функции к действительной. В статье приводятся доказательства, что МДХ полностью отражает каждое требование критерия Михайлова, а значит, МДХ также пригодна для оценки устойчивости. В статье приводятся границы применимости МДХ и требования, при соответствии которым систему можно определить как устойчивую. Области применения МДХ те же, что и у классического критерия Михайлова за тем лишь исключением, что МДХ при неменьшей информативности более компактна и удобна для реализации. Ключевые слова: устойчивость, критерий Михайлова, частотные методы. One of the key issues of control theory is stability. A special group of methods has been developed for stability analysis: frequency stability criteria. They are based on the principle of an argument linking the order of the characteristic equation of the initial system with the phase change of a complex function obtained by translating this characteristic equation into the frequency domain. The Mikhailov criterion is universal among frequency criteria, which allows determining its stability when constructing a hodograph of the entire complex function. However, the Mikhailov criterion, being literally a graphical implementation of the argument principle, is used only for analyzing phase change, therefore, it seems interesting to reduce the calculations necessary for stability analysis. In this regard, in this paper, an alternative to the Mikhailov criterion was considered – an imaginary-real characteristic (IRC), which allows for exactly the same analysis of phase change, but no longer through the construction of a full-fledged Mikhailov hodograph, but only through the construction of a graph of the ratio of the imaginary component of the initial complex function to the real one. The paper provides evidence that IRC is fully representative of each requirement of the Mikhailov criterion, which means that IRC is also suitable for assessing stability. The paper presents the limits of the applicability of IRC and the requirements according to which the system can be identified as stable. The fields of application of IRC are the same as those of the classical Mikhailov criterion, with the only exception that IRC, with no less information content, is more compact and convenient to implement. Keywords: stability, Mikhailov criterion, frequency methods. Введение: При анализе систем автоматического управления одним из ключевых показателей является устойчивость. Для определения устойчивости САУ можно, помимо определения сходимости её реакции на типовые воздействия, проводить анализ характеристического полинома выходного сигнала. А именно, согласно теореме Ляпунова [1], для устойчивости линейных систем требуется, чтобы характеристическое уравнение содержало лишь комплексные корни с отрицательными вещественными составляющими. К решению задачи локализации корней сначала подошли напрямую: через подсчитываемое через индексы Коши число подобных корней [2], так были разработаны критерии Рауса и Гурвица. Помимо этих критериев было разработано ещё множество алгебраических методов [3]. Но общим недостатком всех алгебраических критериев была необходимость проведения различных расчётов (от поиска определителей матриц до перемножения многочленов), что с ростом порядка системы, в общем случае, приводит к падению точности расчётов. Поэтому была разработана группа представлением исследуемого методов, пользующихся характеристического уравнения как комплексной функции от одной переменной. Данные методы принято называть «частотными», а переменную – «частотой». Базируются они на принципе аргумента, устанавливающем однозначную связь между изменением аргумента комплексных функций с вещественными коэффициентами и её корнями. Преимуществом частотных критериев являются их точность и наглядность: частотные методы рассматривают поведение комплексной функции в процессе роста переменной, что, очевидно, требует лишь построения графиков рассматриваемых функций. Одним из частотных критериев устойчивости является критерий Михайлова. На основании критерия Михайлова было написано множество трудов как отечественных авторов [4,5], так и зарубежных [6,7,8,9]. Но ранее не было рассмотрено, что применение критерия Михайлова имеет потенциал к упрощению: для применения критерия Михайлова требуется построение полноценного годографа. Однако, при его анализе рассматривается лишь изменение фазы. Исходя из этого, Михайловым было выведено следствие из его метода: критерий перемежаемости [10]. Безусловным его преимуществом является то, что для его применения требуется лишь построение графиков зависимостей мнимой и вещественной составляющих от частоты. Но и данный подход несёт издержки: в процессе применения данного критерия требуется анализ двух характеристик, что менее наглядно, чем исходный критерий, требующий анализа лишь одного годографа. Описанный же в данной статье подход является следствием идей Михайлова, ведь так же позволяет анализировать изменение фазы, но на основе графика функциональной зависимости отношения мнимой составляющей к действительной от частоты или же, проще, мнимо-действительной характеристики (МДХ). Безусловно, данный подход уступает в простоте расчётов критерию перемежаемости, однако, в отличии от последнего, требует анализа графика лишь одной характеристики. Формулировка МДХ: Предположим, что динамика выходного сигнала исследуемой линейной стационарной системы произвольного порядка выражена некоторым дифференциальным уравнением n-ного порядка: 𝑑 𝑛 𝑥(𝑡) 𝑑 𝑛−1 𝑥(𝑡) 𝑑𝑥(𝑡) 𝑎𝑛 ∗ + 𝑎 ∗ + ⋯ + 𝑎 ∗ + 𝑎0 ∗ 𝑥(𝑡) = 0 𝑛−1 1 𝑑𝑡 𝑛 𝑑𝑡 𝑛−1 𝑑𝑡 (1) Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения следующее: 𝑎𝑛 ∗ 𝑠 𝑛 + 𝑎𝑛−1 ∗ 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 ∗ 𝑠 + 𝑎0 = 0 (2) Далее, путём замены s на (iω), левая часть данного выражения уже напрямую переводится в комплексную область определения: 𝑄(𝑖𝜔) = 𝑎𝑛 ∗ (𝑖𝜔)𝑛 + 𝑎𝑛−1 ∗ (𝑖𝜔)𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 ∗ (𝑖𝜔) + 𝑎0 (3) Далее преобразуем полученную комплексную функцию в сумму мнимой и вещественной частей: 𝑄(𝑖𝜔) = 𝑅𝑒(𝜔) + 𝑖 ∗ 𝐼𝑚(𝜔), (4) где мнимая составляющая: 𝐼𝑚(𝜔) = 𝑎1 ∗ 𝜔 − 𝑎3 ∗ 𝜔3 + ⋯, а вещественная составляющая: 𝑅𝑒(𝜔) = 𝑎0 − 𝑎2 ∗ 𝜔2 + ⋯ . Модуль и фаза при разложении (3) на корни выражаются следующим образом: 𝐴(𝜔) = 𝑎0 ∗ |𝑖𝜔 − 𝑠1 | ∗ |𝑖𝜔 − 𝑠1 | ∗ … ∗ |𝑖𝜔 − 𝑠𝑛 | (5) 𝜑(𝜔) = arg(𝑖𝜔 − 𝑠1 ) + arg(𝑖𝜔 − 𝑠2 ) + ⋯ + arg(𝑖𝜔 − 𝑠𝑛 ) (6) МДХ же определяется следующим выражением: 𝐼𝑚(𝜔) 𝑎1 ∗ 𝜔 − 𝑎3 ∗ 𝜔3 + ⋯ 𝐼𝑟(𝜔) = = 𝑅𝑒(𝜔) 𝑎0 − 𝑎2 ∗ 𝜔 2 + ⋯ Критерий Михайлова базируется на принципе (7) аргумента, связывающего число корней с отрицательной вещественной частью исследуемой комплексной функции с изменением её фазы, а именно, в случае устойчивых систем, данный принцип формулируется следующим образом: число корней (то есть, порядок системы) равно количеству приращений фазы на π/2. Принцип применения критерия Михайлова таков: строится годограф исследуемой комплексной функции, и далее, если (при условии начала годографа на вещественной положительной полуоси) в процессе роста частоты ω на интервале [0;+∞) фаза годографа растёт строго и проходит то число секторов, каков порядок системы, критерий Михайлова позволяет заключить, что исследуемая система устойчива. Критерий Михайлова анализирует лишь изменение фазы, следовательно, целесообразнее ограничиться лишь её рассмотрением. В данной статье мы попытаемся доказать, что для анализа фазы достаточно построения МДХ (7). Докажем, что МДХ полностью применима для определения устойчивости, через поочерёдное выведение того, что МДХ отражает каждое требование критерия Михайлова. Доказательство применимости МДХ: Для удобства восприятия материала приведём пример МДХ устойчивой системы нечётного, 5-го порядка (рис.1): 𝑄(𝑝) = 1 𝑝5 + 2 𝑝4 + 6.7 𝑝3 + 10.5 𝑝2 + 8 𝑝 + 3 1 𝜔5 − 6.7 𝜔3 + 8 𝜔 𝐼𝑟(𝑤) = 2 𝜔 4 − 10.5 𝜔 2 + 3 Рис.1: График МДХ устойчивой системы нечётного (5) порядка. 1) Требование строгого роста фазы: Фаза - это угол, на который поворачивается вектор комплексной функции в процессе изменения её аргумента, и тангенс всегда пропорционален отражаемому им углу. Тот же принцип работает и в нашем случае за тем лишь исключением, что функция МДХ является подобием тангенса, ведь тангенс описывает вращение точки на окружности постоянного радиуса с неизменным законом изменения угла, а в нашем случае и радиус вращения (модуль) непостоянный (5), и закон изменения угла (фазы) переменный (6). Также уточним, что МДХ является подобием тангенциальной функции не на всей области определения ω [0;+∞). В процессе роста частоты ω старшие члены числителя и знаменателя функции МДХ, начиная с некоторой частоты, становятся ведущими, следовательно, при дальнейшем росте частоты ω МДХ всё больше приближается к описанию отношением старших членов числителя и знаменателя. Таким образом, в пределе частоты, стремящейся к бесконечности, МДХ будет описываться дробью старших членов. Рассмотрим два случая: когда порядок системы чётный и нечётный. Если порядок системы чётный, то дробь, к которой сведётся функция МДХ при бесконечном росте частоты ω при сокращении одинаковых степеней будет содержать частоту только в знаменателе, причём, в связи с чередованием знаков, так как любому коэффициенту с чётным индексом предшествует коэффициент с нечётным индексом противоположного знака, данная дробь будет отрицательна: 𝐼𝑚(𝜔) 𝑎1 ∗ 𝜔1 − 𝑎3 ∗ 𝜔3 + 𝑎5 ∗ 𝜔5 … 𝐼𝑟(𝜔) = = = 𝑅𝑒(𝜔) 𝑎0 − 𝑎2 ∗ 𝜔 2 + 𝑎4 ∗ 𝜔 4 … 𝑎 =|𝜔 → ∞| = − 𝑛−1 𝑎𝑛 ∗𝜔𝑛−1 ∗𝜔𝑛 (8) 𝑎 = − 𝑛−1 𝑎𝑛 ∗𝜔 Очевидно, при бесконечном росте ω данная простая дробь стремится к нулю. Причём, в связи с отрицательностью дроби стремление к нулю будет в отрицательной полуплоскости. Если старшая степень нечётная, то дробь, к которой сведётся функция МДХ при бесконечном росте частоты ω при сокращении одинаковых степеней будет содержать частоту только в числителе, причём, так как любому коэффициенту с нечётным индексом предшествует коэффициент с чётным индексом того же знака, данная дробь будет положительна: 𝐼𝑚(𝜔) 𝑎1 ∗ 𝜔1 − 𝑎3 ∗ 𝜔3 … + 𝑎5 ∗ 𝜔5 𝐼𝑟(𝜔) = = = 𝑅𝑒(𝜔) 𝑎0 − 𝑎2 ∗ 𝜔 2 + 𝑎4 ∗ 𝜔 4 … (9) 𝑎𝑛 ∗ 𝜔𝑛 𝑎𝑛 ∗ 𝜔 = |𝜔 → ∞| = = 𝑎𝑛−1 ∗ 𝜔 𝑛−1 𝑎𝑛−1 При стремлении частоты к бесконечности данная простая дробь так же стремится к бесконечности. В связи с положительностью дроби стремление к бесконечности будет в положительной полуплоскости. Когда мнимая и вещественная части сводятся к своим старшим членам, это означает, что описание комплексной функции сводится к описанию суммой данных старших членов. Следовательно, изменение аргумента становится строго однонаправленным. Подытожим: и пока МДХ ведёт себя как подобие тангенса, и когда МДХ уподобляется дроби, она полностью отражает изменение фазы. 2) Требование к числу проходимых фазой секторов: По критерию Михайлова число обходимых кривой Михайлова секторов должно быть равно порядку системы. Это требование проистекает из принципа аргумента: при изменении частоты ω от 0 до +∞ изменение (приращение) аргумента (фазы) комплексной функции (6) равно разности между числом левых корней n и числом правых корней m, умноженной на π/2: ∆𝑎𝑟𝑔𝑄(𝑖𝜔) = (𝑛 − 𝑚) ∗ 𝜋 2 Если система устойчива, число приращений фазы на π/2 равно порядку системы. Рассмотрим рост фазы для двух форм поведения МДХ: как подобия тангенциальной функции и как простой дроби старших членов. Как известно, график тангенциальной функции начинается в нуле, затем с приближением к асимптоте, проходящей через полюс тангенса, устремляется в +∞, затем претерпевает разрыв и уже из –∞ (при отдалении от прежней асимптоты) вновь устремляется в +∞ (при приближении к следующей асимптоте и вновь терпит разрыв. Рост тангенса из –∞ в +∞ соответствует росту угла на π. При разбиении данных интервалов на два полуинтервала, например: (-∞;0],(0;+∞), образуются приращения угла на π/2 в каждом полуинтервале. Следовательно, пока МДХ подобна тангенсу, каждая полуветвь МДХ соответствует приращению фазы на π/2. Последняя полуветвь МДХ, как описывалось ранее, гарантированно соответствует обращению МДХ в простую дробь. Вновь рассмотрим свойства последней полуветви для систем чётного и нечётного порядков: 1) Если старшая степень чётная, то при бесконечном росте частоты простая дробь (8) стремится к нулю. Стремление МДХ к нулю отражает стремлению фазы годографа Михайлова вещественной оси. 2) Если старшая степень нечётная, то при бесконечном росте частоты ω простая дробь (9) стремится к бесконечности. Стремление МДХ к бесконечности соответствует стремлению фазы годографа Михайлова к той или иной мнимой полуоси. Отсюда, уподобление МДХ дроби старших членов соответствует асимптотическому росту фазы до границы последнего обходимого сектора, а подобное стремление при неизменности направления вращения соответствует стремлению фазы к прохождению последних π/2. Таким образом, каждая полуветвь отражает прохождение фазой соответствующих секторов, значит, МДХ отражает число пройденных секторов. 3) Требование начала годографа Михайлова на вещественной положительной полуоси: Перефразируем данное требование: при частоте равной нулю вещественная составляющая равна положительному свободному члену. За частный случай примем равенство свободного члена нулю (в таком случае система находится на границе устойчивости). Таким образом, мы приходим к двум вопросам: если свободный член не равен нулю, можно ли по МДХ определить его знак; если свободный член равен нулю, можно ли всё ещё определить пусть и граничную, но устойчивость системы. Первый случай: свободный член не равен нулю. При нулевой частоте МДХ будет равна нулю, то есть, определить знак свободного члена по МДХ нельзя. Однако, проверка данного требования проводится на этапе формирования дифференциального уравнения, поэтому в отдельной проверке оно не нуждается. Второй случай: свободный член равен нулю. В данном случае при частоте равной нулю не только числитель, но и знаменатель будут равны нулю. То есть, нулевая частота является одним из полюсов. А так как количество как нулей, так и полюсов измениться не может, первый полюс МДХ обращается в нуль, то есть, сдвигается в начало координат. Таким образом, пропадает первая полуветвь МДХ, соответствовавшая росту частоты от первого нуля до первого полюса. Кроме смещения полюсов эти изменения качественно на остальной МДХ не отразятся. Следовательно, если свободный член исследуемого находящегося на границе устойчивости полинома равен нулю, его МДХ также будет удовлетворять описанным требованиям, кроме того, что число полуветвей будет на единицу меньше порядка системы. Приведём пример подобной системы, находящейся на границе устойчивости (рис.2): 𝑄(𝑝) = 0.2 𝑝6 + 2 𝑝5 + 9 𝑝4 + 40.5 𝑝3 + 90 𝑝2 + 100𝑝 2 𝜔5 − 40.5 𝜔3 + 100𝜔 𝐼𝑟(𝜔) = −0.2 𝜔 6 + 9 𝜔 4 − 90 𝜔 2 Рис.2: График МДХ системы чётного (6) порядка на границе устойчивости. Система на границе устойчивости содержит вертикальную асимптоту в начале координат. Число полуветвей на единицу меньше порядка системы, в нашем случае число полуветвей – 5, а порядок системы – 6-ой. Также приведём ограничения на область исследуемых функций: чтобы исследуемая функция была анализируема, числитель и знаменатель её должны содержать, как минимум, по одному члену. Требование к числителю проистекает из того что, если числитель не содержит членов, при любом значении частоты МДХ обращается ноль. Отсутствие членов в знаменателе же ведёт к невозможности построения МДХ. Для наглядности приведём пример неустойчивой по МДХ системы (рис.3): 𝑄(𝑝) = 𝑝7 + 3 𝑝6 + 1 𝑝5 + 3𝑝4 + 6.7 𝑝3 + 3 𝑝2 + 8𝑝 + 3 −𝜔7 + 𝜔5 − 6.7 𝜔3 + 8𝜔 𝐼𝑟(𝜔) = −3 𝜔 6 + 3 𝜔 4 − 3 𝜔 2 + 3 Рис.3: График МДХ неустойчивой системы. Отчётливо видно, что МДХ данной неустойчивой системы нарушает и требование строгого роста, и требование к числу полуветвей. Таким образом, показана пригодность МДХ с точки зрения определения устойчивости. Сгруппируем границы применимости и требования МДХ. Во-первых, ограничения применимости МДХ можно выразить так: МДХ позволяет анализировать лишь те системы, чьи характеристические уравнения содержат, как минимум, по одному члену в вещественной и мнимой частях. Во-вторых, система, выходной сигнал которой описывается характеристическим уравнением вида (2), устойчива, если её МДХ при изменении частоты ω от 0 до бесконечности удовлетворяет следующим требованиям: 1) Строго растёт на интервалах между частотами-полюсами; 2) Содержит столько полуветвей, каков порядок системы, если свободный член не равен нулю, либо содержит число полуветвей на единицу меньшее, чем порядок системы, если свободный член нулю равен. Заключение: Таким образом, показана применимость ещё одного подхода к анализу устойчивости линейных систем, а именно, было доказано, что отношение мнимой составляющей к вещественной (МДХ) пригодно к анализу устойчивости линейных систем, то есть, доказана применимость критерия устойчивости на основе МДХ. Также приведены ограничения применимости данного критерия устойчивости. Впрочем, отметим и перспективы развития критерия на основе МДХ. Так как МДХ устойчивых систем строго растёт, претерпевая разрывы в точках-полюсах, производная МДХ между полюсами должна быть строго больше нуля, а это требование позволяет перевести применение МДХ из графической области в алгебраическую. За неоценимую помощь на протяжении всего написания данной статьи хотелось бы выразить благодарность Вестфальскому Алексею Евгеньевичу, доценту кафедры Математического и Компьютерного Моделирования (МКМ) Национального исследовательского университета «МЭИ». Список литературы: 1. Ляпунов. А.М. Общая задача об устойчивости движения. Изд-во ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО- ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ, 1950. 2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2004. 3. Постников М.М. Устойчивые многочлены. Изд.2-е, стереотипное. – М.: Едиториал УРСС, 2004. 4. Ляшенко А.Л. Применение критерия Михайлова для оценки устойчивости нелинейных систем с распределёнными параметрами// Актуальные проблемы инфотелекоммуникаций в науке и образовании: IV Международная научно-техническая и научно-методическая конференция: сборник научных статей в 2-х томах. 2015. С. 534-538. 5.Авсиевич А.В. Модификация критерия устойчивости Михайлова для анализа моделей автоматического управления с нецелыми показателями// В сборнике: Мехатроника, автоматизация и управление на транспорте. Материалы II Всероссийской научно-практической конференции. Самарский государственный университет путей сообщения. 2020. С. 7-12. 6. Daniel Melchor-Aguilar, Jessica Mendiola-Fuentes. Mikhailov stability criterion for fractional commensurate order systems with delays //Journal of the Franklin Institute 2022. Pp. 8395-8408 7. Ha Duc Thai, Hoang The Tuan. Modified Mikhailov stability criterion for non-commensurate fractional-order neutral differential systems with delays//Journal of the Franklin Institute. 2024. 8. Шелуденко А.С., Филер З.Е. Методы финитизации критерия Михайлова //Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика. 2015. Т. 3. № 7-3 (18-3). С. 215-219. 9. Lee Keel, S.P. Bhattacharyya. A generalization of Mikhailov's criterion with applications// Proceedings of the American Control Conference. 2000. 10. А. В. Михайлов. Метод гармонического анализа в теории регулирования //Автоматика и телемеханика. 1938. №3. С. 27–81. Информация об авторах: Вершинин Д.В. – кандидат технических наук, доцент кафедры Управления и Интеллектуальных Технологий (УИТ) НИУ «МЭИ», email: [email protected]. Кулешов В.В. – студент кафедры Управления и Интеллектуальных Технологий (УИТ) НИУ «МЭИ», email: [email protected]., телефон: 8(985)243-23-57. Се Ю. – студентка кафедры Электроэнергетических Систем (ЭЭС) НИУ «МЭИ», email: [email protected]. Юрасов А.О. - студент кафедры Управления и Интеллектуальных Технологий (УИТ) НИУ «МЭИ», email: [email protected]. Information about the authors: Vershinin D.V. – Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Control and Intelligent Technologies (DCIT) NRU "MPEI", email: [email protected] . Kuleshov V.V. – student of the Department of Control and Intelligent Technologies (DCIT) NRU "MPEI", email: [email protected], phone: 8(985)243-23-57. Xie Yu. – student of the Department of Electric Power Systems (DEPS) NRU "MPEI", email: [email protected] . Yurasov A.O. - student of the Department of Control and Intelligent Technologies (DCIT) NRU "MPEI", email: [email protected].
