Тема 4. Магнетизм Занятие 14. Магнитное поле Сегодня вы изучите вопросы: 1. Магнитное поле и его характеристики. 2. Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету магнитного поля. 3. Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов. 4. Магнитная постоянная. Единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля. 5. Магнитное поле движущегося заряда. Изучив эту тему, вы будете: Знать: · закон Био-Савара-Лапласа; · взаимосвязь между вектором магнитной индукции и напряженностью магнитного поля; · единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля; · закон Ампера для силы взаимодействия двух токов; · формулу Лоренца. Уметь: · рассчитывать силы и моменты, действующие на рамку с током в магнитном поле; · определять параметры магнитного поля, создаваемого прямым и кольцевым проводником с током; · вычислять силу, воздействующую на электрически заряженное тело в магнитном поле. Изучая эту тему, следует акцентировать внимание на следующих понятиях: · магнитное поле; · магнитная индукция; · магнитный момент; · вектор магнитного момента; · линии магнитной индукции; · магнитная проницаемость среды; · магнитная постоянная; · напряженность магнитного поля. Теоретический материал 1. Магнитное поле и его характеристики. Опыт показывает, что, подобно тому, как в пространстве, окружающем электрические заряды, возникает электростатическое поле, так и в пространстве, окружающем токи и постоянные магниты, возникает силовое поле, называемое магнитным. Наличие магнитного поля обнаруживается по силовому действию на внесенные в него проводники с током или постоянные магниты. Название «магнитное поле» связывают с ориентацией магнитной стрелки под действием поля, создаваемого током (это явление впервые обнаружено датским физиком X. Эрстедом. Электрическое поле действует как на неподвижные, так и на движущиеся в нем электрические заряды. Важнейшая особенность магнитного поля состоит в том, что оно действует только на движущиеся в этом поле электрические заряды. Опыт показывает, что характер воздействия магнитного поля на ток различен в зависимости от формы проводника, по которому течет ток, от расположения проводника и от направления тока. Подобно тому, как при исследовании электростатического поля использовались точечные заряды, при исследовании магнитного поля используется замкнутый плоский контур с током (рамка с током), линейные размеры которого малы по сравнению с расстоянием до токов, образующих магнитное поле. Ориентация контура в пространстве определяется направлением нормали к контуру. Направление нормали определяется правилом правого винта: за положительное направление нормали принимается направление поступательного движения винта, головка которого вращается в направлении тока, текущего в рамке (рис. 1). Рис. 1. Рис. 2. Опыты показывают, что магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие, поворачивая ее определенным образом. Этот результат используется для выбора направления магнитного поля. За направление магнитного поля в данной точке принимается направление, вдоль которого располагается положительная нормаль к рамке (рис. 2). За направление магнитного поля может быть также принято направление, совпадающее с направлением силы, которая действует на северный полюс магнитной стрелки, пометенной в данную точку. Так как оба полюса магнитной стрелки лежат в близких точках поля, то силы, действующие на оба полюса, равны друг другу. Следовательно, на магнитную стрелку действует пара сил, поворачивающая ее так, чтобы ось стрелки, соединяющая южный полюс с северным, совпадала с направлением поля. Рамкой с током можно воспользоваться также и для количественного описания магнитного поля. Так как рамка с током испытывает ориентирующее действие поля, то на нее в магнитном поле действует пара сил. Вращающий момент сил зависит как от свойств поля в данной точке, так и от свойств рамки и определяется формулой (1) где pm - вектор магнитного момента рамки с током (В - вектор магнитной индукции, количественная характеристика магнитного поля). Для плоского контура с током I (2) где S - площадь поверхности контура (рамки), n - единичный вектор нормали к поверхности рамки. Направление pm совпадает, таким образом, с направлением положительной нормали. Если в данную точку магнитного поля помещать рамки с различными магнитными моментами, то на них действуют различные вращающие моменты, однако отношение Mmax/pm (Mmax - максимальный вращающий момент) для всех контуров одно н то же и поэтому может служить характеристикой магнитного поля, называемой магнитной индукцией: Магнитная индукция в данной точке однородного магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом, действующим на рамку с магнитным моментом, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля. Так как магнитное поле является силовым, то его, по аналогии с электрическим, изображают с помощью линий магнитной индукции - линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора В. Их направление задается правилом правого винта: головка винта, ввинчиваемого по направлению тока, вращается в направлении линий магнитной индукции. Линии магнитной индукции можно «проявить» с помощью железных опилок, намагничивающихся в исследуемом поле и ведущих себя подобно маленьким магнитным стрелкам. Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводники с током. Этим они отличаются от линий напряженности электростатического поля, которые являются разомкнутыми (начинаются на положительных зарядах и кончаются на отрицательных). Рис. 3. На рис. 3 изображены линии магнитной индукции полосового магнита; они выходят из северного полюса и входят в южный. Вначале казалось, что здесь наблюдается полная аналоги с линиями напряженности электростатического поля, и полюсы магнитов играют роль магнитных «зарядов» (магнитных монополей). Опыты показали, что, разрезая магнит на части, его полюсы разделить нельзя, т. е. в отличие от электрических зарядов свободные магнитные «заряды» не существуют, поэтому линии магнитной индукции не могут обрываться на полюсах. В дальнейшем было установлено, что внутри полосовых магнитов имеется магнитное поле, аналогичное полю внутри соленоида, и линии магнитной индукции этого магнитного поля являются продолжением линий магнитной индукции вне магнита. До сих пор мы рассматривали макроскопические токи, текущие в проводниках. Однако, согласно предположению французского физика А. Ампера, в любом теле существуют микроскопические токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах. Эти микроскопические молекулярные токи создают свое магнитное поле и могут поворачиваться в магнитных полях макротоков. Например, если вблизи какого-то тела поместить проводник с током (макроток), то под действием его магнитного поля микротоки во всех атомах определенным образом ориентируются, создавая в теле дополнительное магнитное поле. Вектор магнитной индукции В характеризует результирующее магнитное поле, создаваемое всеми макро- и микротоками, т. е. при одном и том же токе и прочих равных условиях вектор В в различных средах будет иметь разные значения. Магнитное поле макротоков описывается вектором напряженности Н. Для однородной изотропной среды вектор магнитной индукции связан с вектором напряженности следующим соотношением: (3) где m0 - магнитная постоянная, m - безразмерная величина - магнитная проницаемость среды, показывающая, во сколько раз магнитное поле макротоков Н усиливается за счет поля микротоков среды. Сравнивая векторные характеристики электростатического (Е и D) и магнитного (В и Н) полей, укажем, что аналогом вектора напряженности электростатического поля Е является вектор магнитной индукции В, так как векторы Е и В определяют силовые действия этих полей и зависят от свойств среды. Аналогом вектора электрического смещения D является вектор напряженности Н магнитного поля. 2. Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету магнитного поля. Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж. Био и Ф. Саваром. Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и физиком П. Лапласом. Закон Био - Савара - Лапласа для проводника с током I, элемент dl которого создает в некоторой точке А (рис. 4) индукцию поля dB, записывается в виде (4) где dI - вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током, r - радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку А поля, r - модуль радиуса-вектора r. Направление dB перпендикулярно dl и r, т. е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление dB, если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе. Модуль вектора dB определяется выражением (5) где a - угол между векторами dl и r. Рис. 4. Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности: (6) Расчет характеристик магнитного поля (В и Н) по приведенным формулам в общем случае сложен. Однако если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био - Савара - Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет просто рассчитать конкретные поля. Рассмотрим два примера. 1. Магнитное поле прямого тока - тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 5). В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол a (угол между векторами dl и r), выразив через него все остальные величины. Рис. 5. Из рис. 5 следует, что (радиус дуги CD вследствие малости dl равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив эти выражения в (5), получим, что магнитная индукция, создаваемая одним элементом проводника, равна (7) Так как угол а для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до p, то, согласно (6) и (7), Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока (8) 2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 6). Как следует из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления - вдоль нормали от витка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Рис. 6. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sina = l) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (5) Тогда Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током 3. Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов. Магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие. Следовательно, вращающий момент, испытываемый рамкой, есть результат действия сил на отдельные ее элементы. Обобщая результаты исследования действия магнитного поля на различные проводники с током, Ампер установил, что сила dF, с которой магнитное поле действует на элемент проводника dl с током, находящегося в магнитном поле, равна (9) где dl - вектор, по модулю равный dl и совпадающий по направлению с током, В - вектор магнитной индукции. Направление вектора dF может быть найдено, согласно (9), по общим правилам векторного произведения, откуда следует правило левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток. Рис. 7. Модуль силы Ампера вычисляется по формуле (10) где a - угол между векторами dl и В. Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двух токов. Рассмотрим два бесконечных прямолинейных параллельных тока I1 и I2 (направления токов указаны на рис. 7), расстояние между которыми равно R. Каждый из проводников создает магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой проводник с током. Рассмотрим, с какой силой действует магнитное поле тока I1 на элемент dl второго проводника с током I2. Ток I1 создает вокруг себя магнитное поле, линии магнитной индукции которого представляют собой концентрические окружности. Направление вектора B1 определяется правилом правого винта, его модуль по формуле (8) равен Направление силы dF1 с которой поле B1 действует на участок dl второго тока, определяется по правилу левой руки и указано на рисунке. Модуль силы, согласно (10), с учетом того, что угол a между элементами тока I2 и вектором B1 прямой, равен подставляя значение для В1, получим (11) Рассуждая аналогично, можно показать, что сила dF2, с которой магнитное поле тока I2 действует на элемент dl первого проводника с током I1, направлена в противоположную сторону и по модулю равна (12) Сравнение выражений (11) и (12) показывает, что dF1 = dF2, т. е. два параллельных тока одинакового направления притягиваются друг к другу с силой (13) Если токи имеют противоположные направления, то, используя правило левой руки, можно показать, что между ними действует сила отталкивания. 4. Магнитная постоянная. Единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля. Если два параллельных проводника с током находятся в вакууме (m = 1), то сила взаимодействия на единицу длины проводника, согласно (13), равна (14) Для нахождения числового значения μ0 воспользуемся определением ампера, согласно которому dF/dl = 2·10-7 Н/м при I1 = I2 = 1 А и R= 1 м. Подставив это значение в формулу (14), получим где генри (Гн = Н·м/A2) - единица индуктивности. Закон Ампера позволяет определить единицу магнитной индукции В. Предположим, что элемент проводника dl с током I перпендикулярен направлению магнитного поля. Тогда закон Ампера запишется в виде dF = I·B·dl, откуда Единица магнитной индукции - тесла (Тл): 1 Тл - магнитная индукция такого однородного магнитного поля, которое действует с силой 1 Н на каждый метр длины прямолинейного проводника, расположенного перпендикулярно направлению поля, если по этому проводнику проходит ток 1 А: . Так как m0 = 4p 10-7 Н/А2, а в случае вакуума (m = 1), В = m0 H, то для данного случая Единица напряженности магнитного поля - ампер на метр (А/м): 1 А/м напряженность такого поля, магнитная индукция которого в вакууме равна 4p·10-7 Тл. 5. Магнитное поле движущегося заряда. Каждый проводник с током создает в окружающем пространстве магнитное поле. Электрический же ток представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов. Поэтому можно сказать, что любой движущийся в вакууме или среде заряд создает вокруг себя магнитное поле. В результате обобщения опытных данных был установлен закон, определяющий поле В точечного заряда Q, свободно движущегося с нерелятивистской скоростью v. Под свободным движением заряда понимается его движение с постоянной скоростью. Этот закон выражается формулой (15) где r - радиус-вектор, проведенный от заряда Q к точке наблюдения М (рис. 8). Рис. 8. Согласно выражению (15), вектор В направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы v и r, а именно: его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от v к r. Модуль магнитной индукции (15) вычисляется по формуле (16) где a - угол между векторами v и r. Сравнивая выражения (4) и (16), видим, что движущийся заряд по своим магнитным свойствам эквивалентен элементу тока: Приведенные закономерности (15) и (16) справедливы лишь при малых скоростях (v << с) движущихся зарядов, когда электрическое поле свободно движущегося заряда можно считать электростатическим, т. е. создаваемым неподвижным зарядом, находящимся в той точке, где в данный момент времени расположен движущийся заряд. Формула (15) определяет магнитную индукцию положительного заряда, движущегося со скоростью v. Если движется отрицательный заряд, то Q надо заменить на -Q. Скорость v - относительная скорость, т. е. скорость относительно наблюдателя. Вектор В в рассматриваемой системе отсчета зависит как от времени, так и от положения точки М наблюдения. Поэтому следует подчеркнуть относительный характер магнитного поля движущегося заряда. 6. Действие магнитного поля на движущийся заряд. Опыт показывает, что магнитное поле действует не только на проводники с током, но и на отдельные заряды, движущиеся в магнитном поле. Сила, действующая на электрический заряд Q, движущийся в магнитном поле со скоростью v, называется силой Лоренца и выражается формулой (17) где В - индукция магнитного поля, в котором заряд движется. Направление силы Лоренца определяется с помощью правила левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В, а четыре вытянутых пальца направить вдоль вектора v (для Q > 0 направления I и v совпадают, для Q < 0 - противоположны), то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на положительный заряд. На рис. 9 показана взаимная ориентация векторов v, В (поле направлено к нам, на рисунке показано точками) и F для положительного заряда. На отрицательный заряд сила действует в противоположном направлении. Модуль силы Лоренца равен где a - угол между v и В. Отметим еще раз, что магнитное поле не действует на покоящийся электрический заряд. В этом существенное отличие магнитного поля от электрического. Магнитное поле действует только на движущиеся в нем заряды. Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости движения заряженной частицы, поэтому она изменяет только направление этой скорости, не изменяя ее модуля. Следовательно, сила Лоренца работы не совершает. Иными словами, постоянное магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заряженной частицей и кинетическая энергия этой частицы при движении в магнитном поле не изменяется. Рис. 9. Если на движущийся электрический заряд помимо магнитного поля с индукцией В действует и электрическое поле с напряженностью Е, то результирующая сила F, приложенная к заряду, равна векторной сумме сил - силы, действующей со стороны электрического поля, и силы Лоренца: Это выражение называется формулой Лоренца. Скорость v в этой формуле есть скорость заряда относительно магнитного поля. Вопросы для самопроверки 1. Как, пользуясь магнитной стрелкой, можно определить знаки полюсов источников постоянного тока? 2. Чему равен и как направлен магнитный момент рамки с током? 3. Что называют индукцией магнитного поля? Каково направление вектора В? 4. Нарисуйте и покажите, как ориентированы линии магнитной индукции поля прямого тока. 5. Записав закон Био-Савара-Лапласа, объясните его физический смысл. 6. Рассчитайте, применяя закон Био-Савара-Лапласа, магнитное поле: 1) прямого тока; 2) в центре кругового проводника с током. 7. Найдите выражение для силы взаимодействия двух бесконечных прямолинейных одинаковых токов противоположного направления. Начертите рисунок с указанием сил. 8. Назовите единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля. Дайте их определения. 9. Почему движущийся заряд по своим магнитным свойствам эквивалентен элементу тока? Практическое занятие по решению задач 1. По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам, находящимся на расстоянии 10 см друг от друга, текут токи силой 5 А в каждом. Определить индукцию магнитного поля, создаваемого точками в точке, лежащей посередине между проводниками в случаях, когда: 1) проводники параллельны и токи текут в одном направлении; 2) проводники перпендикулярны. Дано: d = 0,1 м; I1 = I2 = I = 5 A. Найти: Bпар Bнерп. Решение: Результирующая индукция магнитного поля в данной точке равна векторной сумме индукций полей, создаваемых каждым током в отдельности: Где и - индукции полей, создаваемых соответственно точками I1 и I2. Если токи текут по параллельным проводникам в одном направлении, то, применив правило правого винта, определяем направление и и . Как видно направлены в противоположные стороны, поэтому векторная сумма в данном случае может быть заменена алгебраической: Индукции полей, создаваемых бесконечно длинными проводниками, находим по формуле: где r1 и r2 – соответственно расстояния от проводников до точки, в которой определяется индукция магнитного поля. Согласно условию задачи r1 =r2=r и тогда В случае, когда проводники перпендикулярны результирующая индукция в точке, лежащей посредине между проводниками, равна: Подставляя числовые значения, получаем 2. Изолированный проводник изогнут в виде прямого угла со сторонами 20 см каждая. В плоскости угла помещен кольцевой проводник радиусом 10 см так, что стороны угла являются касательными кольцу. Найти индукцию в центре кольца. Силы токов в проводнике равны 2 А. Влияние подводящих проводов не учитывать. Дано: l=0,2м; r0=0,1м; I1=I2=I=2A. Найти: B. Решение: Индукция dB в точке поля от элемента в точку, где определяется индукция; - угол, составленный векторами dl и r; - магнитная постоянная. Направление вектора индукции перпендикулярно плоскости, содержащей dl и r, и определяется правилом правого винта. Например, в точке окружности векторы индукции от всех элементов перпендикулярен плоскости окружности и направлены на нас. Интегрируя выражения, получаем индукцию в центре окружности радиуса r0: Индукция, создаваемая в точке M конечным отрезком AB прямого проводника на расстоянии r0 от него, равна . Вектор индукции в точке М перпендикулярен плоскости, в которой лежат проводник АВ и r0, и совпадает по направлению с B1. По условию задачи , и индукция от каждой стороны угла составляет: Так как направление векторов индукции полей, создаваемых проводниками, совпадают, то результирующая индукция в центре кольца равна сумме , или ; 3. Два бесконечно длинных прямых проводника, сила тока в которых 6 А и 8 А, расположены перпендикулярно друг другу. Определить индукцию и напряженность магнитного поля на середине кратчайшего расстояния между проводниками, равного 2 см. Дано: I1=6A; I2=8A; d=0,02м. Найти: H, B. Решение: Направление векторов взаимно перпендикулярно ( ), следовательно, . Напряженность магнитного поля H, созданного бесконечно длинным проводником с током на расстоянии r от него, определяется по формуле По условию задачи , следовательно, Индукция B и напряженность H связаны соотношением 4. По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам, находящимся на расстоянии 50 см друг от друга, в одном направлении текут токи I1 и I2 силой по 5 А. Между проводниками на расстоянии 30 см от первого расположен кольцевой проводник, сила тока I3 в котором равна 5 А. Радиус кольца 20 см. Определить индукцию и напряженность магнитного поля, создаваемого токами в центре кольцевого проводника. Дано: I1=I2=I3=I=5A; r1=0,3м; r2=0,2м; r3=0,2м. Найти: B, H. Решение: В соответствии с принципом суперпозиции индукция результирующего магнитного поля в точке А равна: Где и - индукция полей, создаваемых соответственно токами: I1 и I2, направленными параллельно плоскости кольца; кольцевым током. Векторы и – индукция поля, создаваемая направлены по одной прямой в противоположные стороны, поэтому их сумма равна модулю Индукция поля, создаваемого бесконечно длинным проводником с током, ; где воздуха - магнитная постоянная; - магнитная проницаемость среды (для ); r1, r2 – расстояние от проводников до центра кольца. Подставляя: Индукция поля, создаваемого кольцевым проводником с током, ; где r3 – радиус кольца. Как видно векторы и взаимно перпендикулярны, поэтому или, с учетом выражений Напряженность магнитного поля ; Задания для самопроверки 1. Тонкое кольцо массой 15 г и радиусом 12 см несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью 10 нКл/м. Кольцо равномерно вращается с частотой 8 с-1 относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через ее центр. Определить отношение магнитного момента кругового тока, создаваемого кольцом, к его моменту импульса. 2. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной, равной 60 см, течет постоянный ток 3 А. Определить индукцию магнитного поля в центре квадрата. 3. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние между которыми равно 25 см, текут токи 20 и 30 А в противоположных направлениях. Определить магнитную индукцию В в точке, удаленной на r1 = 30 см от первого и r2 = 40 см от второго проводника. 4. Определить магнитную индукцию на оси тонкого проволочного кольца радиусом 10 см, по которому течет ток 10 А, в точке, расположенной на расстоянии 15 см от центра кольца. 5. Определить напряженность поля, создаваемого прямолинейно равномерно движущимся со скоростью 500 км/с электроном в точке, находящейся от него на расстоянии 20 нм и лежащей на перпендикуляре к скорости, проходящем через мгновенное положение электрона. Занятие 15. Движение заряженных частиц в магнитном поле Сегодня вы изучите вопросы: 1. Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В). 2. Магнитные поля соленоида и тороида. 3. Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса для магнитного поля. 4. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле. Изучив эту тему, вы будете: Знать: · выражение для силы Лоренца; · закон полного тока для магнитного поля в вакууме; · выражение для величины магнитной индукции внутри соленоида и тороида. Уметь: · рассчитывать период обращения заряженной частицы в магнитном поле; · определять шаг винтовой линии, описываемой частицей; · рассчитывать величину работы по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле. Изучая эту тему, следует акцентировать внимание на следующих понятиях: · циркуляция вектора; · вихревое поле; · потенциальное поле; · соленоид; · тороид; · период вращения частицы; · магнитный поток; · потокосцепление; · работа в магнитном поле. Теоретический материал Выражение для силы Лоренца позволяет найти ряд закономерностей движения заряженных частиц в магнитном поле. Направление силы Лоренца и направление вызываемого ею отклонения заряженной частицы в магнитном поле зависят от знака заряда Q частицы. (1) На этом основано определение знака заряда частиц, движущихся в магнитных полях. Для вывода общих закономерностей будем считать, что магнитное поле однородно и на частицы электрические поля не действуют. Если заряженная частица движется в магнитном поле со скоростью v вдоль линий магнитной индукции, то угол а между векторами v и В равен 0 или. Тогда по формуле (1) сила Лоренца равна нулю, т. е. магнитное поле на частицу не действует и она движется равномерно и прямолинейно. Если заряженная частица движется в магнитном поле со скоростью v, перпендикулярной вектору В, то сила Лоренца F = Q[v·B] постоянна по модулю и нормальна к траектории частицы. Согласно второму закону Ньютона, эта сила создает центростремительное ускорение. Отсюда следует, что частица будет двигаться по окружности, радиус r которой определяется из условия Q·v·B = m·v2/r, откуда (2) Период вращения частицы, т. е. время Т, за которое она совершает один полный оборот, . Подставив сюда выражение (1), получим (3) т. е. период вращения частицы в однородном магнитном поле определяется только величиной, обратной удельному заряду (Q/m) частицы, и магнитной индукцией поля, но не зависит от ее скорости (при v << c). Если скорость v заряженной частицы направлена под углом a к вектору В, то ее движение можно представить в виде суперпозиции: 1) равномерного прямолинейного движения вдоль поля со скоростью v1 = v·cosa; 2) равномерного движения со скоростью v2 = v·sina по окружности в плоскости, перпендикулярной полю. Радиус окружности определяется формулой (2) (в данном случае надо заменить v на v2 = v·sina). В результате сложения обоих движений возникает движение по спирали, ось которой параллельна магнитному полю. Шаг винтовой линии Подставив в последнее выражение (3), получим Направление, в котором закручивается спираль, зависит от знака заряда частицы. Если скорость v заряженной частицы составляет угол a с направлением вектора В неоднородного магнитного поля, индукция которого возрастает в направлении движения частицы, то r и h уменьшаются с ростом В. На этом основана фокусировка заряженных частиц в магнитном поле. 1. Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В). Циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной m0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром: (4) где n - число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным. Например, для системы токов, изображенных на рис. 1. Выражение (4) справедливо только для поля в вакууме, поскольку, для поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи. Рис. 1. Продемонстрируем справедливость теоремы о циркуляции вектора В на примере магнитного поля прямого тока I, перпендикулярного плоскости чертежа и направленного к нам (рис. 2). Рис. 2. Представим себе замкнутый контур в виде окружности радиуса r. В каждой точке этого контура вектор В одинаков по модулю и направлен по касательной к окружности (она является и линией магнитной индукции). Следовательно, циркуляция вектора В равна Согласно выражению (4), получим В·2·p ·r = m0·I (в вакууме), откуда Таким образом, исходя из теоремы о циркуляции вектора В получили выражение дня магнитной индукции поля прямого тока, выведенное ранее. Сравнивая выражения для циркуляции векторов Е и В, можно заметить, что между ними существует принципиальное различие. Циркуляция вектора Е электростатического поля всегда равна нулю, т. е. электростатическое поле является потенциальным. Циркуляция вектора В магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым. Теорема о циркуляции вектора В имеет в учении о магнитном поле такое же значение, как теорема Гаусса в электростатике, так как позволяет находить магнитную индукцию поля без применения закона Био-Савара-Лапласа. 2. Магнитные поля соленоида и тороида. Рассчитаем, применяя теорему о циркуляции, индукцию магнитного поля внутри соленоида. Рассмотрим соленоид длиной l, имеющий N витков, по которому течет ток (рис. 3). Рис. 3. Длину соленоида считаем во много раз больше, чем диаметр его витков, т. е. рассматриваемый соленоид бесконечно длинный. Экспериментальное изучение магнитного поля соленоида показывает, что внутри соленоида поле является однородным, вне соленоида - неоднородным и очень слабым. На рис. 3 представлены линии магнитной индукции внутри и вне соленоида. Чем соленоид длиннее, тем меньше магнитная индукция вне его. Поэтому приближенно можно считать, что поле бесконечно длинного соленоида сосредоточено целиком внутри него, а полем вне соленоида можно пренебречь. Для нахождения магнитной индукции В выберем замкнутый прямоугольный контур ABCDA, как показано на рис. 3. Циркуляция вектора В по замкнутому контуру ABCDA, охватывающему все N витков, согласно (4), равна Интеграл по ABCDA можно представить в виде четырех интегралов: по АВ, ВС, CD и DA. На участках АВ в CD контур перпендикулярен линиям магнитной индукции и Вl = 0. На участке вне соленоида B = 0. На участке DA циркуляция вектора В равна В·l (контур совпадает с линией магнитной индукции); следовательно, (5) Из (5) приходим к выражению для магнитной индукции поля внутри соленоида (в вакууме): (6) Получили, что поле внутри соленоида однородно (краевыми эффектами в областях, прилегающих к торцам соленоида, при расчетах пренебрегают). Большое значение для практики имеет также магнитное поле тороида кольцевой катушки, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора (рис. 4). Магнитное поле, как показывает опыт, сосредоточено внутри тороида, вне его поле отсутствует. Рис. 4. Линии магнитной индукции в данном случае, как следует из соображений симметрии, есть окружности, центры которых расположены по оси тороида. В качестве контура выберем одну такую окружность радиуса r. Тогда, по теореме о циркуляции (15.4), B·2p r= m0 N·I, откуда следует, что магнитная индукция внутри тороида (в вакууме) где N - число витков тороида. Если контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает и B·2p·r = 0. Это означает, что поле вне тороида отсутствует. 3. Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса для магнитного поля. Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку dS называется скалярная физическая величина, равная (7) где Bn = B·cosa - проекция вектора В на направление нормали к площадке dS (a - угол между векторами n и В), dS = dS·n - вектор, модуль которого равен dS, а направление его совпадает с направлением нормали к площадке. Поток вектора В может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака cos a (определяется выбором положительного направления нормали n). Поток вектора В связывают с контуром, по которому течет ток. В таком случае положительное направление связывается с током правилом правого винта. Таким образом, магнитный поток, создаваемый контуром через поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен. Поток вектора магнитной индукции ФB через произвольную поверхность S равен (8) Для однородного поля и плоской перпендикулярно вектору В, Вn = В = const и поверхности, расположенной Из этой формулы определяется единица магнитного потока вебер (Вб): 1 Вб - магнитный поток, проходящий сквозь плоскую поверхность площадью 1 м2, расположенную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1 Тл (1 Вб = 1 Тл·м2). Теорема Гаусса для поля В: поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю: (9) Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми. Итак, для потоков векторов В и Е сквозь замкнутую поверхность в вихревом и потенциальном полях получаются различные выражения. В качестве примера рассчитаем поток вектора В сквозь соленоид. Магнитная индукция однородного поля внутри соленоида с сердечником с магнитной проницаемостью m, согласно (6), равна Магнитный поток сквозь один виток соленоида площадью S равен а полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида и называемый потокосцеплением, (10) 4. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле. На проводник с током в магнитном поле действуют силы, определяемые законом Ампера. Если проводник не закреплен (например, одна из сторон контура изготовлена в виде подвижной перемычки, рис. 5), то под действием силы Ампера он будет в магнитном поле перемещаться. Следовательно, магнитное поле совершает работу по перемещению проводника с током. Рис. 5. Для определения этой работы рассмотрим проводник длиной l с током I (он может свободно перемешаться), помещенный в однородное внешнее магнитное поле, перпендикулярное плоскости контура. Сила, направление которой определяется по правилу левой руки, а значение - по закону Ампера, равна, Под действием этой силы проводник переместится параллельно самому себе на отрезок dx из положения 1 в положение 2. Работа, совершаемая магнитным полем, равна так как ldx = dS - площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле, B·dS = dФ - поток вектора магнитной индукции, пронизывающий эту площадь. Таким образом, (11) т. е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником. Полученная формула справедлива и для произвольного направления вектора В. Рис 6. Вычислим работу по перемещению замкнутого контура с постоянным током I в магнитном поле. Предположим, что контур М перемещается в плоскости чертежа и в результате бесконечно малого перемещения займет положение М', изображенное на рис. 6 штриховой линией. Направление тока в контуре (по часовой стрелке) и магнитного поля (перпендикулярно плоскости чертежа - за чертеж) указано на рисунке. Контур М разобьем на два соединенных своими концами проводника: АВС и CDА. Работа dA, совершаемая силами Ампера при рассматриваемом перемещении контура в магнитном поле, равна алгебраической сумме работ по перемещению проводников ABC (dA1) и CDA (dA2), т. е. (12) Силы, приложенные к участку CDА контура, образуют с направлением перемещения острые углы, поэтому совершаемая ими работа dA2 > 0. Согласно (12), эта работа равна произведению силы тока I в контуре на пересеченный проводником CDA магнитный поток. Проводник CDА пересекает при своем движении поток dФ0 сквозь поверхность, выполненную в цвете, и поток dФ2, пронизывающий контур в его конечном положении. Следовательно, (13) Силы, действующие на участок AВС контура, образуют с направлением перемещения тупые углы, поэтому совершаемая ими работа dA1 < 0. Проводник AВС пересекает при своем движении поток dФ0 сквозь заштрихованную поверхность, и поток dФ1 пронизывающий контур в начальном положении. Следовательно, (14) Подставляя (13) и (14) в (12), получим выражение для элементарной работы: где dФ2 - Ф1 = dФ' - изменение магнитного потока сквозь площадь, ограниченную контуром с током. Таким образом, (15) Проинтегрировав выражение (15), определим работу, совершаемую силами Ампера, при конечном произвольном перемещении контура в магнитном поле: (16) т. е. работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром. Формула (16) остается справедливой для контура любой формы в произвольном магнитном поле. Вопросы для самопроверки 1. Как будет двигаться заряженная частица, влетевшая в однородное магнитное поле под углом p/2 к вектору В? 2. Когда заряженная частица движется в магнитном поле по спирали? От чего зависит шаг спирали? 3. Какая теорема доказывает вихревой характер магнитного поля? Как она формулируется? 4. Почему магнитное поле является вихревым? 5. Что называют потоком вектора магнитной индукции? Запишите теорему Гаусса для магнитного поля, объяснив ее физический смысл. 6. Какая физическая величина измеряется в веберах? Дайте определение вебера. Практическое занятие по решению задач 1. Виток радиусом 5 см помещен в однородное магнитное поле напряженностью 5000 А/м так, что нормаль к витку составляет угол с направлением поля. Сила тока в витке 1 А. Какую работу совершат силы поля при повороте витка в устойчивое положение? Дано: r = 0,05 м; I = 1 А; H = 5000 А/м; . Найти: А. Решение: Работа А при повороте витка с током I в магнитном поле равна: Здесь - изменение магнитного потока сквозь площадь витка ; - магнитный поток, пронизывающий виток в начальном положении, где - угол между векторами и . Устойчивым положением витка в магнитном поле является такое, при котором направление нормали к нему совпадает с вектором индукции, т.е. cos a = 1. Следовательно Таким образом, Учитывая, что Подставляя (2) в (1), получаем . . 2. Виток радиусом 2см, сила тока в котором 10 А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией 1,5 Тл. Линии индукции перпендикулярны плоскости витка. Определить работу, совершаемую внешними силами при повороте витка на угол 90° вокруг оси, совпадающей с диаметром витка. Считать, что при повороте витка сила тока в нём поддерживается неизменной. Дано: I=10A, B =1,5Тл; r=0,02м; Найти: A. Решение: На виток с током, помещенный в магнитное поле, действует вращающий момент (17) где – магнитный момент витка; B – индукция магнитного поля, - угол между векторами pm и B. В начальном положении, согласно условию задачи, виток свободно установился в магнитном поле, следовательно, векторы Pm и B совпадают по направлению, т.е. a = 0, M = 0. При действии внешних сил виток выходит из положение равновесия, при этом возникает момент сил, определяемый формулой (17). Момент сил стремиться возвратить виток в исходное положение. При повороте витка внешние силы совершают работу против этого момента, который является переменным и зависит от угла поворота a: Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу, совершаемую при повороте витка на конечный угол: Подставляя числовые значения, находим 3. Квадратная рамка со стороной 4 см содержит 100 витков и помещена в однородное магнитное поле напряженностью 100 А/м. Направление поля составляет с нормалью к рамке угол 30°. Какая работа совершается при повороте рамки на 30° в одну и другую сторону если сила тока в ней 1 А? Дано: a=0,04м; N=100; H=100A/м; =30°; I=1A. Найти: A1, A2. Решение: При повороте рамки на 30° по часовой стрелке угол между и будет = 0; т.е. рамка расположиться перпендикулярно полю. При повороте рамки на 30° в другую сторону угол между и будет = 60°. Работа при повороте рамки Где I сила тока; N - количество витков; - изменение магнитного потока, пронизывающего плоскость рамки, – площадь рамки, – индукция магнитного поля, H - напряженность. ; ; ; Тогда Задания для самопроверки 1. Циклотрон ускоряет протоны до энергии 10 МэВ. Определить радиус дуантов циклотрона при индукции магнитного поля 1 Тл. 2. Через сечение медной пластинки толщиной 0,1 мм пропускается ток 5 А. Пластинка перемещается в однородное магнитное поле с индукцией 0,5 Тл, перпендикулярное ребру пластинки и направлению тока. Считая концентрацию электронов проводимости равной концентрации атомов, определить возникающую в пластине поперечную (холловскую) разность потенциалов. Плотность меди 8,93 г/см3. 3. Поток магнитной индукции сквозь площадь поперечного сечения соленоида (без сердечника) Ф = 5 мкВб. Длина соленоида l = 25 см. Определить магнитный момент pm этого соленоида. 4. Круглая рамка с током площадью 20 см2 закреплена параллельно магнитному полю (В = 0,2 Тл), и на нее действует вращающийся момент 0,6 мН×м. Рамку освободили, после поворота на 90° ее угловая скорость стала 20 с-1. Определить: 1) силу тока, текущего в рамке; 2) момент инерции рамки относительно ее диаметра. 5. Определить, пользуясь теоремой о циркуляции вектора В, индукцию и напряженность магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей 300 витков, протекает ток 1 А. Внешний диаметр тороида равен 60 см, внутренний – 40 см. Занятие 16. Явление магнитной индукции Сегодня вы изучите вопросы: 1. Индуктивность контура. Самоиндукция. 2. Токи при размыкании и замыкании цепи. 3. Взаимная индукция. 4. Трансформаторы. 5. Энергия магнитного поля. Изучив эту тему, вы будете: Знать: · взаимосвязь между магнитным потоком, индуктивностью и током в контуре; · закон изменения ЭДС самоиндукции при изменении тока в контуре; · понятие «взаимная индуктивность» двух (нескольких) катушек с токами. Уметь: · рассчитывать величину ЭДС самоиндукции; · определять взаимную индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный сердечник; · рассчитывать коэффициент трансформации. Изучая эту тему, следует акцентировать внимание на следующих понятиях: · индукционный ток; · индуктивность контура; · самоиндукция; · экстратоки самоиндукции; · время релаксации; · взаимная индукция; · взаимная индуктивность контуров; · коэффициент трансформации; · повышающий трансформатор; · понижающий трансформатор; · автотрансформатор. Теоретический материал 1. Индуктивность контура. Самоиндукция. Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле, индукция которого, по закону Био-Савара-Лапласа, пропорциональна току. Сцепленный с контуром магнитный поток Ф поэтому пропорционален току I в контуре: (1) где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура. При изменении силы тока в контуре будет изменяться также и сцепленный с ним магнитный поток; следовательно, в контуре будет индуцироваться э.д.с. Возникновение э.д.с. индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией. Из выражения (1) определяется единица индуктивности генри (Гн): 1 Гн индуктивность такого контура, магнитный поток самоиндукции которого при токе в 1 А равен 1 Вб: 1 Гн = 1 Вб/А = 1 В·с/А. Рассчитаем индуктивность бесконечно длинного соленоида. Как известно, полный магнитный поток сквозь соленоид (потокосцепление) равен Подставив это выражение в формулу (1), получим (2) т. е. индуктивность соленоида зависит от числа витков соленоида N, его длины l, площади S и магнитной проницаемости m вещества, из которого изготовлен сердечник соленоида. Можно показать, что индуктивность контура в общем случае зависит только от геометрической формы контура, его размеров и магнитной проницаемости той среды, в которой он находится. В этом смысле индуктивность контура - аналог электрической емкости уединенного проводника, которая также зависит только от формы проводника, его размеров и диэлектрической проницаемости среды. Применяя к явлению самоиндукции закон Фарадея, получим, что э. д. с. самоиндукции Если контур не деформируется и магнитная проницаемость среды не изменяется тo L = const и (3) где знак минус, обусловленный правилом Ленца, показывает, что наличие индуктивности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем. Если ток со временем возрастает, то dI/dt > 0 и εs < 0, т. е. ток самоиндукции направлен навстречу току, обусловленному внешним источником, и замедляет его возрастание. Если ток со временем убывает, то dI/dt < 0 и εs > 0, т. е. индукционный ток имеет такое же направление, как и убывающий ток в контуре, и замедляет его убывание. Таким образом, контур, обладая определенной индуктивностью, приобретает электрическую инертность, заключающуюся в том, что любое изменение тока тормозится тем сильнее, чем больше индуктивность контура. 2. Токи при размыкании и замыкании цепи. При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает э. д. с. самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, согласно правилу Ленца, всегда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи, т. е. направлены противоположно току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Следовательно, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи. Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. Е, резистор сопротивлением R и катушку индуктивностью L. Под действием внешней э. д. с. в цепи течет постоянный ток (внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем). В момент времени t = 0 отключим источник тока. Ток в катушке индуктивностью L начнет уменьшаться, что приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции препятствующей, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи определяется законом Ома I =E / R, или (4) Разделив в выражении (4) переменные, получим Интегрируя это уравнение, находим (5) где t = L/R - постоянная, называемая временем релаксации. Из (5) следует, что t есть время, в течение которого сила тока уменьшается в e раз. Таким образом, в процессе отключения источника тока сила тока убывает по экспоненциальному закону (5) и определяется кривой 1 на рис. 1. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше t и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании. Рис. 1. При замыкании цепи помимо внешней э. д. с. Е возникает э. д. с. самоиндукции препятствующая, согласно правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома, или . Введя новую переменную u = I·R - E, преобразуем это уравнение к виду где t - время релаксации. В момент замыкания (t = 0) сила тока I = 0 и и = -E. Следовательно, интегрируя по и (от -E до I·R - Е ) и t (от 0 до t), находим ln [(IR - E)]/(-E) = -t/t, или (6) где I0 = E/R - установившийся ток (при t ® ¥). Таким образом, в процессе включения источника тока нарастание силы тока в цепи задается функцией (6) и определяется кривой 2 на рис. 1. Сила тока возрастает от начального значения I = 0 и асимптотически стремится к установившемуся значению I0 = E/R. Скорость нарастания тока определяется тем же временем релаксации t = L/R, что и убывание тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопротивление. Оценим значение э.д.с. самоиндукции ES, возникающей при мгновенном увеличении сопротивления цепи постоянного тока от R0 до R. Предположим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток I0 = Е/R0. При размыкании цепи ток изменяется по формуле (5). Подставив в нее выражение для I0 и t, получим Э.д.с. самоиндукции т. е. при значительном увеличении сопротивления цепи (R/R0 >> 1), обладающей большой индуктивностью, э.д.с. самоиндукции может во много раз превышать э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Таким образом, необходимо учитывать, что контур, содержащий индуктивность, нельзя резко размыкать, так как это (возникновение значительных э.д.с. самоиндукции) может привести к пробою изоляции и выводу из строя измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндукции не достигнет больших значений. 3. Взаимная индукция. Рассмотрим два неподвижных контура (1 и 2), расположенных достаточно близко друг от друга (рис. 2). Если в контуре 1 течет ток I1, то магнитный поток, создаваемый этим током (поле, создающее этот поток, на рисунке изображено сплошными линиями), пропорционален I1. Рис. 2. Обозначим через Ф21 ту часть потока, которая пронизывает контур 2. Тогда (7) где L21 - коэффициент пропорциональности. Если ток I1 изменяется, то в контуре 2 индуцируется э.д.с. Ei2, которая по закону Фарадея равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф21, созданного током в первом контуре и пронизывающего второй: Аналогично, при протекании в контуре 2 тока I2 магнитный поток (его поле изображено на рис. 2 штриховыми линиями) пронизывает первый контур. Если Ф12 - часть этого потока, пронизывающего контур 1, то Если ток I2 изменяется, то в контуре 1 индуцируется э.д.с. Ei1 которая равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф12, созданного током во втором контуре и пронизывающего первый: Явление возникновения э.д.с. в одном из контуров при изменении силы тока в другом называется взаимной индукцией. Коэффициенты пропорциональности L12 и L21 называются взаимной индуктивностью контуров. Расчеты, подтверждаемые опытом, показывают, что L12 и L21 равны друг другу, т. е. (8) Коэффициенты L12 и L21 зависят от геометрической формы, размеров, взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости окружающей контуры среды. Единица взаимной индуктивности та же, что и для индуктивности, - генри (Гн). Рассчитаем взаимную индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный сердечник. Этот случай имеет большое практическое значение (рис. 3). Рис. 3. Магнитная индукция поля, создаваемого первой катушкой с числом витков N1, током I1 и магнитной проницаемостью m сердечника, как известно, равна где l - длина сердечника по средней линии. Магнитный поток сквозь один виток второй катушки Тогда полный магнитный поток (потокосцепление) сквозь вторичную обмотку, содержащую N2 витков, Поток Y создается током I1, поэтому, согласно (7), получаем (9) Если вычислить магнитный поток, создаваемый катушкой 2 сквозь катушку 1, то для L12 получим выражение в соответствии с формулой (9). Таким образом, взаимная индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный сердечник, 4. Трансформаторы. Принципиальная схема трансформатора показана на рис. 4. Рис. 4. Первичная и вторичная катушки (обмотки), имеющие соответственно N1 и N2 витков, укреплены на замкнутом железном сердечнике. Так как концы первичной обмотки присоединены к источнику переменного напряжения с э.д.с. E1 то в ней возникает переменный ток I1 создающий в сердечнике трансформатора переменный магнитный поток Ф, который практически полностью локализован в железном сердечнике и, следовательно, почти целиком пронизывает витки вторичной обмотки. Изменение этого потока вызывает во вторичной обмотке появление э.д.с. взаимной индукции, а в первичной - э.д.с. самоиндукции. Ток I1 первичной обмотки определяется согласно закону Ома: где R1 - сопротивление первичной обмотки. Падение напряжения I1R1 на сопротивлении R1 при быстропеременных полях мало по сравнению с каждой из двух э.д.с., поэтому (10) Э.д.с. взаимной индукции, возникающая во вторичной обмотке, (11) Сравнивая выражения (10) и (11), получим, что э.д.с., возникающая во вторичной обмотке, (12) где знак минус показывает, что э.д.с. в первичной и вторичной обмотках противоположны по фазе. Отношение числа витков N2/N1, показывающее, во сколько раз э.д.с. во вторичной обмотке трансформатора больше (или меньше), чем в первичной, называется коэффициентом трансформации. Пренебрегая потерями энергии, которые в современных трансформаторах не превышают 2 % и связаны в основном с выделением в обмотках джоулевой теплоты и появлением вихревых токов, и, применяя закон сохранения энергии, можем записать, что мощности тока в обеих обмотках трансформатора практически одинаковы: откуда, учитывая соотношение (12), найдем т. е. токи в обмотках обратно пропорциональны числу витков в этих обмотках. Если N2/N1 > 1, то имеем дело с повышающим трансформатором, увеличивающим переменную э.д.с. и понижающим ток (применяются, например, для передачи электроэнергии на большие расстояния, так как в данном случае потери на джоулеву теплоту, пропорциональные квадрату силы тока, снижаются); если N2/N1 < 1, то имеем дело с понижающим трансформатором, уменьшающим э.д.с. и повышающим ток (применяются, например, при электросварке, так как для нее требуется большой ток при низком напряжении). Мы рассматривали трансформаторы, имеющие только две обмотки. Однако трансформаторы, используемые в радиоустройствах, имеют 4-5 обмоток, обладающих разными рабочими напряжениями. Трансформатор, состоящий из одной обмотки, называется автотрансформатором. В случае повышающего автотрансформатора э.д.с. подводится к части обмотки, а вторичная э.д.с. снимается со всей обмотки. В понижающем автотрансформаторе напряжение сети подается на всю обмотку, а вторичная э.д.с. снимается с части обмотки. 5. Энергия магнитного поля. Проводник, по которому протекает электрический ток, всегда окружен магнитным полем, причем магнитное поле появляется и исчезает вместе с появлением и исчезновением тока. Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии. Естественно предположить, что энергия магнитного поля равна работе, которая затрачивается током на создание этого поля. Рассмотрим контур индуктивностью L, по которому течет ток I. С данным контуром сцеплен магнитный поток Ф = L·I, причем при изменении тока на dI магнитный поток изменяется на dФ = L·dI. Однако для изменения магнитного потока на величину dФ необходимо совершить работу dA = I·dФ = L·I·dI. Тогда работа по созданию магнитного потока Ф будет равна Следовательно, энергия магнитного поля, связанного с контуром, (13) Исследование свойств переменных магнитных полей, в частности распространения электромагнитных волн, явилось доказательством того, что энергия магнитного поля локализована в пространстве. Это соответствует представлениям теории поля. Энергию магнитного поля можно представить как функцию величин, характеризующих это поле в окружающем пространстве. Для этого рассмотрим частный случай - однородное магнитное поле внутри длинного соленоида. Подставив в формулу (13) выражение (2), получим Так как и , то (15) где S·l = V - объем соленоида. Магнитное поле соленоида однородно и сосредоточено внутри него, поэтому энергия заключена в объеме соленоида и распределена в нем с постоянной объемной плотностью (16) Выражение (16) справедливо только для сред, для которых зависимость В от Н линейная, т. е. оно относится только к пара- и диамагнетикам. Вопросы для самопроверки 1. Что такое вихревые токи? Вредны они или полезны? 2. Почему сердечники трансформаторов не делают сплошными? 3. Когда э.д.с. самоиндукции больше – при замыкании или размыкании цепи постоянного тока? 4. В чем заключается физический смысл индуктивности контура? взаимной индуктивности двух контуров? От чего они зависят? 5. В чем заключается физический смысл времени релаксации t = L/R? Докажите, что оно имеет размерность времени. 6. Напряженность магнитного поля возросла в два раза. Как изменилась объемная плотность энергии магнитного поля? 7. Приведите соотношение между токами в первичной и вторичной обмотках повышающего трансформатора. Практическое занятие по решению задач 1. Квадратная рамка со стороной 4 см содержит 100 витков и помещена в однородное магнитное поле напряженностью 100 А/м. Направление поля составляет угол 30о с нормалью к рамке. Какая работа совершает при повороте рамки в положение, когда ее плоскость совпадает с направлением линий индукции поля? Дано: м; ; А/м; ; . Найти: . Решение: Когда плоскость рамки совпадает с направлением поля, угол между и равен 90о. Работа поворота рамки с током равна , где - изменение магнитного патока , пронизывающего плоскость рамки, , где - площадь рамки. Поток , пронизывающий рамку в исходном положении, будет , а после поворота . (Дж). 2. Проводник, сила тока в котором 1 А, длиной 0,3 м равномерно вращается вокруг оси, проходящей через его конец, в плоскости, перпендикулярной линиям индукции магнитного поля напряженностью 1 кА/м. За 1 мин вращения совершается работа 0,1 Дж. Определить угловую скорость вращения проводника. Дано: ; м; А/м; с; Дж. Найти: Решение. Работа, совершаемая силами магнитного поля при перемещении проводника с током , равна: , Где - изменение магнитного потока, т.е. магнитный поток, пересекаемый проводником при его вращении. - площадь, которую пересечет проводник при вращении с угловой скоростью напряженность. за время , - длина проводника, - индукция, - Отсюда 3. На расстоянии 5 см параллельно прямолинейному длинному проводнику движется электрон с кинетической энергией 1 кэВ. Какая сила будет действовать на электрон, если по проводнику пустить ток 1 А? Дано: Найти: эВ Дж; 1А; м. Решение. Электрон, обладающий кинетической энергией со скоростью Прямолинейный проводник с током поле, индукция которого , движется создает магнитное на расстоянии от него определяется по формуле На движущийся электрон со стороны поля действует сила Лоренца : ; (Н). 4. Однослойный соленоид без сердечника длиной 20 см и диаметром 4 см имеет плотную намотку медным проводом диаметром 0,1 мм. За 0,1 с сила тока в нем равномерно убывает с 5А до 0. Определить ЭДС самоиндукции в солеониде. Дано: м; м; м; с; А; Найти: Решение. ЭДС самоиндукции, возникающая при изменении тока в соленоиде за время или Индуктивность соленоида равна: , где - магнитная постоянная, (при плотной намотке сечения солеонида, - число витков на единице длины соленоида , - длина соленоида, - площадь поперечного - диаметр соленоида, (В). 5. В плоскости, перпендикулярной магнитному полю напряженностью А/м, вращается стержень длиной 0,4 м относительно оси, проходящей через его сердцевину. В стержне индуцируется ЭДС 0,2 В. Определить угловую скорость стержня. Дано: А/м; м; В; Найти: . Решение. ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока Ф, пересекаемого стержнем при вращении: где - индукция поля, вращении с угловой скоростью . Половина стержня, имея радиус площадь - площадь, пересекаемая стержнем при при повороте на угол пересечет , а весь стержень пересечет площадь Тогда Откуда ; Задания для самопроверки 1. Кольцо из алюминиевого провода (r = 26 нОм×м) помещено в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Диаметр кольца 20 см, диаметр провода 1 мм. Определить скорость изменения магнитного поля, если сила тока в кольце 0,5 А. 2. Определить, сколько витков проволоки, вплотную прилегающих друг к другу, диаметром 0,3 мм с изоляцией ничтожно малой толщины надо намотать на картонный цилиндр диаметром 1 см, чтобы получить однослойную катушку с индуктивностью 1 мГн. 3. Определить, через сколько времени сила тока замыкания достигнет 0,98 предельного значения, если источник тока замыкают на катушку сопротивлением 10 Ом и индуктивностью 0,4 Гн. 4. Два соленоида (индуктивность одного L1 = 0,36, второго L2 = 0,64 Гн) одинаковой длины и практически равного сечения вставлены один в другой. Определить взаимную индуктивность соленоидов. 5. Автотрансформатор, понижающий напряжение с U1 = 5,5 кВ до U2 = 220 В, содержит в первичной обмотке N1 = 1500 витков. Сопротивление вторичной обмотки R2 = 2 Ом. Сопротивление внешней цепи (в сети пониженного напряжения) R = 13 Ом. Пренебрегая сопротивлением первичной обмотки, определить число витков во вторичной обмотке трансформатора.
