Математический анализ: Индивидуальные задания для студентов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра высшей математики
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Индивидуальные задания для студентов
заочной и очно-заочной форм обучения
Курск 2005
2
Составитель Е.В. СКРИПКИНА
УДК 519.24.001.5
ББК 22.1
Рецензент
Кандидат техн. наук, доцент кафедры высшей математики
Журавлева Е.В.
Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Индивидуальные задания для студентов дистанционной и вечерней форм обучения / Курск. гос. техн.
ун-т; Сост. Е.В.Скрипкина. Курск, 2005. 28 с.
В данном пособии содержатся индивидуальные задания, предназначенные для выполнения модуля или контрольной работы по теме
«Исследование функций».
Пособие может использоваться студентами технических специальностей заочной и очно-заочной форм обучения.
Табл. 5.
Библиогр.: 2 назв.
Текст печатается в авторской редакции
ИД №06430 от 10. 12. 2001. ПЛД № 50-25 от 01. 04.97.
Подписано в печать ________ . Формат 60х84 1/16. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 0,56. Уч.-изд. л. 0,52. Тираж 50 экз. Заказ ………...
Курский государственный технический университет.
Издательско-полиграфический центр Курского государственного
технического университета. 305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94.
3
Содержание
Введение………………………………………………………………… 4
1. Индивидуальные задания……………………………………………. 5
1.1. Теоретические задания…………………………………………...5
1.2. Практические задания……………………………………………6
1.2.1. Задание 1……………………………………………………6
1.2.2. Задание 2 ………………………………………………….. 6
1.2.3. Задание 3……………………………………………………6
1.2.4. Задание 4 …………………………………………………...6
1.2.5. Задание 5……………………………………………………6
2. Контрольные вопросы……………………………………………….27
Список рекомендуемой литературы…………………………………...28
4
Введение
Цель преподавания математики в вузе – ознакомить студентов с
основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач; привить студентам умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и ее приложениям; развивать логическое мышление и повысить общий уровень
математической культуры; выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умение перевести задачу на математический язык.
Содержание настоящего пособия соответствует разделам «Пределы», «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»
курса математики. Пособие включает в себя как теоретические, так и
практические задания (50 вариантов) соответствующей тематики.
Важным фактором усвоения математики и овладения ее методами является самостоятельная работа студента.
Настоящее пособие предназначено студентам очно-заочной
формы обучения, но может использоваться также и студентамидистанционниками. Для студентов вечерней формы обучения пособие представляет собой задачник по тематическому модулю «Математический анализ функций одной переменной». Студентам дистанционной формы обучения пособие может служить собранием тренинговых упражнений обучающего характера. Студентам очной формы
обучения может быть рекомендовано для выполнения модуля.
Выбор варианта производится соответственно номеру студента
в списке группы.
5
1. Индивидуальные задания
1.1. Теоретические задания
1. Доказать теорему о сумме бесконечно-малых функций.
2. Доказать теорему о произведении бесконечно-малых функций
на ограниченную функцию.
3. Доказать теорему о пределе суммы нескольких функций.
4. Доказать теорему о пределе произведения нескольких функций.
5. Доказать теорему о пределе частного.
6. Вывод формулы I замечательного предела.
7. Доказать теорему о II замечательном пределе.
8. Определения непрерывности функции.
9. Свойства непрерывных функций.
10. Производная. Геометрический смысл производной.
11. Доказать теорему о производной степенной функции.
12. Доказать теорему о производной тригонометрических функций
y=sinx, y=cosx.
13. Доказать теорему о производной произведения двух функций.
14. Доказать теорему о производной сложной функции.
15. Доказать теорему о производной тригонометрических функций
y = tgx, y = ctgx.
16. Доказать теорему о производной обратных тригонометрических функций y = arcsin x, y = arccos x.
17. Производная функции, заданной параметрически. Пример.
18. Производная функции, заданной неявно. Пример.
19. Уравнение касательной и нормали.
20. Определение и нахождение асимптот.
21. Лемма Ферма и ее доказательства.
22. Теорема Лагранжа о среднем.
23. Теорема Коши о среднем.
24. Правило Лопиталя.
25. Формула Тейлора.
26. Метод нахождения интервалов монотонности. Точки экстремума.
27. Интервалы выпуклости (вогнутости). Точки перегиба.
6
1.2. Практические задания
1.2.1. Задание 1
Вычислить пределы функций. Задания представлены в табл.1.1.
1.2.2. Задание 2
Вычислить производные функций, заданных явно. Задания
представлены в табл.1.2.
1.2.3. Задание 3
Вычислить производные различных функций. Задания представлены в табл.1.3.
1.2.4. Задание 4
Составить уравнения касательной и нормали в точке x 0  m к
параболе
y  nx 2  n  1x  m,
где m – число гласных букв в фамилии,
n - число согласных букв в фамилии
1.2.5. Задание 5
Исследовать функцию методом дифференциального исчисления
и построить график. Задания представлены в табл.1.4.
Индивидуальные задачи к заданию 1
Таблица 1.1
№
пп
а)
б)
в)
x 2  5x  6
x  2 x 2  12 x  20
x 2  x  12
lim
x 3 x  2  4  x
1  cos 8x
lim
x 0
3x 2
 x  4
lim 

x   x  8 
3 x
1
3x 2  2 x  1
lim
x 
x3  4
x 5
x 5
3x
lim
x 0 1  x  1  x
sin 7 x  sin 3x
lim
x 0
x sin x
 x  2
lim 

x   x  1 
2 x 3
2x  1  x  6
tg 2x  sin 2x
lim
2
2x  7 x  15 x 0
x2
 2x 
lim 

x   2 x  3 
tg 3x  sin 3x
lim
x 0
2x 2
 2x  4 
lim 

x  2 x 
3 x
2x
2

x  12
lim
x 
x 1
2
lim
lim
x 5
г)
д)
3x
3
x2
lim
x   10  x x
x 2  5x  10
lim
x 5
x 2  25
x 5
4
x 2  5x  1
lim
x 
3x  7
x 2  2x
lim
x  2 x 2  4x  4
x 3 2
lim
x 7 x  2  3
5
3x 2  1
lim
x   5x 2  2 x
x2 1
lim
x 1 2 x 2  x  1
5 x 2
8 x 3
cos 2 x  cos 4x
lim
x 0
3x 2
 3x  4 
lim 

x  3x  2 
x3  1
lim
x 1 x 3  x 2  x  1
x2  2  2
 1
1 
lim 


x 0 tg x sin x 

 x 1 
lim 

x  x  4 
3x  2
6
100x
lim 2
x  x  1
x2  x
lim
x 1
x 1
arcsin 5x
lim
x0 sin 3x
 x  3
lim 

x   x 
5 x 1
7
2x 2  x  1
lim
x   x 3  8x  5
lim
lim
x 1
lim
x 2  1 1
x 2  3x  2
lim
x 2 5  x  x  1
x 0
Продолжение табл.1.1
№
пп
а)
б)
в)
8
3x  4 x  5
x 
x3  2
2 x  11x  5
x  5 3x 2  14 x  5
x 42
9
5x  12x  6
x 
3x 2  2 x
1 x
x 1 1  x
2
lim
2
lim
lim
lim
11
x 
12
5x  4 x  2
x   6 x 5  12 x 4  2
12x 3  4 x
5
4
lim
12x 2  1
13 lim
x   6x 2  6x
x 2  5x
14 lim 3
x   x  4x  4
lim
д)
x
cos 2 x  cos 2 2x
2  3x 

lim
lim 

x 0
x2
x  5  3x 
x 0
x 2  16  4
lim
x  10  4  x
cos x  cos 5x
lim
2
2 x  x  21
x 0
2x 2
 2x 
lim 

x  1  2 x 
4x  3  3
lim
x 3
x2  9
sin 5x  sin x
lim
x 0
arcsin x
 x  5
lim 

x  x 
3x
lim
x 0 5  x  5  x
arcsin 5x
lim 2
x 0 x  x
 1 x 
lim 

x  2  x 
x  4x  4x
x  2 x 2  x  6
5x  1  4
x 3 x 2  2 x  15
4 x 2
lim
cos 4x  cos 3 4x
 x 7
lim
lim


x 0
x   x  1 
3x 2
2 
 4x
lim  2


x  3 x  9
x  3
 1 x2
2 

lim 


x 1 x  x 2
1

x


2x  1  3
lim
x 4 x  2  2
1  cos 5x
lim
x 0
2x 2
 x 
lim 

x  x  3 
x 5
3  2x  x  4
lim
x 1
3x 2  4x  1
tg x  sin x
lim
x 0
3x 2
 2x  5 
lim 

x   2 x  1 
2
lim
x  3
12x 3  6 x 2  12
x 2  6x  9
lim
10 x  
lim
x 3  4x
x 3
x2  9
16x 3  7 x 2  5x
2
2
г)
4 
 1
lim 
 2

x  2 x  2
x  4
3
2
lim
4 x
3x  4
3x
5x
Продолжение табл. 1.1
№
пп
а)
б)
в)
г)
д)
 4  y2
4 
2

lim 

2

x
4
 lim
y2 2 y  y 2
2

y

 x 0
2x 2
3 2 x
 1
1 
x

2


lim 

 lim 

x 0
sin
2
x
tg
2
x

 x   x 
1  cos 4x
lim
x 0 x sin x
 3x  4 
lim 

x  3x 
15
4  5 x  3x
x  x 5  6 x  8
16
x 1
x  x 2  3x  6
 9  y2
6 

2 x
lim 

2

lim
y  3 3y  y
3  y  x 4

6x  1  5
3x  5 x  2
17 lim 3
x  2 x  5 x 2  x
 16  y 2
8 

2x  7  5
lim 

 lim
y 4 4y  y 2
4

y

 x 9 3  x
1  cos 2 2 x
lim
x 0 x arcsin x
 4x  1 
lim 

x  4 x  1 
x 5  2x 2  4
18 lim 4
x   2 x  3x 2  1
 x2  4
x 

lim  2


x 2 x  4
x

2


2x 2  9x  4
lim
x 4 5  x  x  3
7x
lim
x 0 sin x  sin 7 x
 x  3
lim 

x   x  1 
3x 2  2 x  9
19 lim
x  2 x 2  x  4
4x 3  2x 2  x
lim
x 0
3x 2  2 x
x 1  3
x  10
cos 2x  cos x
lim
x 0
2x
 3x  1 
lim 

x  3x  2 
3x 3  4 x 2  7 x
20 lim
x  2 x 2  7 x  3
x 2  3x  10
lim
x  2 3x 2  5 x  2
x2  4  2
arcsin 2 x
2x  2
lim
x 1 x  1
5x 2  4 x  2
21 lim 3
x  4 x  2 x  5
3 
 6x
lim  2


x 2 x  4 x  2 
2
5
lim
5
lim
3
2
lim
x 10
lim
lim
x 0
x 9 3
x 0
lim
x 1 1
x
lim
x 0
2
x 0
x2  x
1  cos 3x
2x 2
2 x
2x
x 4
2x
log 4 x  1
x 4
x4
lim
Продолжение табл.1.1
№
пп
а)
б)
2x 2  7 x  3
22 lim 2
x   5 x  3x  4
3 
 6x
lim  2


x 3 x  9 x  3 
в)
г)
3 4 x
lim
x 81 9  x
sin 3x  sin x
lim
x 0
2x
 1
1 
lim 


x 0 tg 2 x
sin 2x 
д)
 x 
lim 

x   2  x 
3x
x2
3x  6 x  2
x  x 4  4 x  3
3 
 6x
lim  2


x 4 x  16 x  4 
 x  2  x
x 2
11x 3  3x
24 lim 2
x  2 x  2 x  1
 x2  9
x 

lim  2

x 3 x  9 x  3 


lim
x 0
2x 3  7 x  3
25 lim
x   3x 3  x  4
4  x2
lim
x 2 x 2  2 x
5 x 2
lim
x 1 8  x  3
x 0
2x 2
 4  2x 
lim 

x   1  2 x 
2 x 3  3x 2  5
26 lim
x   3x 2  4 x  1
x3  8
lim
x 2 2 x  x
3x
lim
x 0 sin 2 x  sin 8x
 3x 
lim 

x  3x  4 
4 x 2  5x  7
27 lim
x  2 x 2  x  10
x 2  3x
lim
x 3 9  x 2
 1 1  2x 
lim   2  
x 2  4 x  x  2 

arcsin x
5 x
x 9
x 0 x 2  2 x
3 x
lim 

x   x 
3x 4  x 2  6
28 lim
x   2 x 2  3x  1
 1 1  3x 
lim   2  
x 3 9 x  x  3 

x2  2  2
 x 2  2 
lim    
x 2  2
x  x  2 
 x  2
lim 

x   x  3 
3x  3
lim
x 1 x  1
x 3
3x 2  10x  3
29 lim
x  2 x 2  5 x  3
 1
1 
lim 


x 0 sin 3x
tg3x 
1  cos 7 x
lim
x 0
2x 2
4
23
2
lim
lim
lim
x 3
lim
x 0
3x
arcsin 3x
lim
6  x  6  x x
0 sin 5x
4x  3  3
2
x2 1 1
2x  7  5
lim
x 9
3 x
lim
lim
tg 2x  sin 2x
 x  5

lim  2
x  x  5 


2
e 2 x  e 3x
lim
x 0
x
x 1
4x 2
Продолжение табл.1.1
№
пп
а)
30
2x  7 x  4
x  x 4  5 x  1
б)
в)
г)
 x 3  2 
lim    
x 3 3
x  x  3 
x 32
lim
x 7 x  2  3
x 0
 2 x  x 
lim    
x 2  x
2  2  x 
2x
lim
x 0 8  x  8  x
lim
8x  4 x  3
x  2 x 2  x  7
 4 x  x 
lim    
x 4  x
4  4  x 
x 42
5 x 4  3x 2  7
33 lim 4
x  x  2 x 3  1
 x2  4
x 

lim  2

x 2 x  4 x  2 


 x2  9
x 

lim  2

x 3 x  9 x  3 


3
2
lim
7 x 3  4x
31 lim 3
x  x  4 x  2
5
32
3
lim
3x 4  2 x  5
34 lim
x  2 x 2  x  7
8x  4 x  5
x   4 x 2  3x  2
3x  7 x  2
x
2  6x
3
8 x 2  3x  5
36 lim 3
x  4 x  2 x 2  1
5x 2  12x  4
lim
x 2
6  15x
5
2
35
lim
2
lim
x 0
lim
x 3
lim1
lim
x 0
lim
x 0
cos 2 x  cos 2 2 x
3x
2
2  2 cos 3x
tg 2 3x
x 0
x 2  25  5
sin 3x
x 0 3  2 x  9
4x  3  3
sin( x  1)
x 9
2
x3 1
lim
x 1 x  x
2
lim
д)
3x
3 x  3 x
x2  2  2
x 1 1
2
lim
log 2 x  2
x 2
x2
lim
5x  5
lim
x 1 2( x  1)
 2x  1 
lim 

x  2 x  3 
3x  2
x 1
1 x2
 x  2
lim 

x   x  4 
 1
1 
lim 


x 0 tgx
sin x 
e 4x  e 5x
lim
x 0
2x
7x
x 0 sin x  sin 2 x
 2x  4 
lim 

x   2 x  1 
lim
x 1
lim
lim
x 0
cos 2x  cos 4x
3x 2
x 2
3x
 4x  2  2
lim 

x   4 x  1 
Продолжение табл.1.1
№
пп
а)
б)
в)
г)
6  3x 2
3  x2  9
 2x 
lim 

x   2 x  3 
log 7 x  1
x 7
x7
1  4x  x 4
37 lim
x   x  3x 2  2 x 4
x 2 3x 2  3x  18
x 0
3x 2
sin 3x
lim
x 0 3  2 x  9
4  3x  2 x 2
38 lim
x   3x 4  5 x
2 x 2  2 x  24
lim
x 3
6  2x
1 4 x
lim
x 1 1  x
2x
x 0 sin x  sin 3x
2 x 3  3x  1
40 lim
x 
7x  5
lim2
24 x
lim
x 16 4  x
1  cos 5x
3x  5 x  7
x 
x  3x 2
2
41
lim
5 x 3  3x 2  7
42 lim
x   2 x 4  3x 2  1
4 x  3x  8
5
43
lim
x 
lim
x 5
10x 2  9 x  2
 1 1  2x 
lim   2  
x 2  4
x  2  x 
lim
3x 2  4 x  1
x 1 x 2  3x  2
x  x  12
lim
x 10
lim
x 4
2
2
1  2x  x 5
2  5x   6  15x 
lim
lim
x 3 x 2  5 x  6
lim
x 0
lim
lim
x 0
sin 2 5x
д)
2 x 1
lim
7x  7
lim
x 1 x  1
x 1  3
x  10
3x 2
 4x  2 
lim 
lim

x 0 cos 2 x  cos 4 x x  4 x  1 
2x 4
2x 4
2x
6x  1  5


 7x  2 

lim 
3
x  
 x 

7 
2x
8x  8 x
lim
arcsin 10x
x 0 2 x 2  2 x
lim
x 1
sin( x  1)
1 x2
2
x
7
 4  2x
lim 

x    3  2 x 
Продолжение табл.1.1
№
пп
а)
б)
4x 3  2x 2  x
44 lim
x 
3x 2  x
в)
3 4 x
lim
x 81 9  x
3x 2  4 x  2
45 lim
x  6 x 2  5 x  1
x  2 x 2  5x 4
47 lim
x   2  3x 2  x 4
x 2  3x  4
lim
x  4 x 3  64
x 2  5x  6
lim
x  2 x 2  12 x  20
x 2  4x  5
lim
x 1 2 x 2  2 x  3
x3  8
lim
x 2 2 x  x
x 1  3
lim
x 10 x  10
3x  7
48 lim 3
x  2 x  8 x 2  5
5x 2  4 x  1
lim
x 1 3x 2  x  2
24 x
lim
x 16 4  x
3x  14x
49 lim
x  1  2 x  7 x 2
3x  7 x  6
lim 2
x 3 2 x  7 x  3
x 2  x  12
lim
x 3 x  2  4  x
7  3x 4
50 lim 3
x   2 x  3x 2  5
x3  8
lim
x 2 x 2  x  6
2 x
lim
x 4 6 x  1  5
2
2
г)
д)
x 4
arcsin x
5  2x 

lim
lim 

x0 sin x
x   2 x  4 
cos 5x  cos x
e 3x  e 7 x
lim
lim
x 0
x 0
4x 2
4x
sin 5x  sin x
5x  5
lim
lim
x 0 arcsin 2 x
x 1 x  1
2 x 1
cos 3x  cos 3 3x
x  3

lim
lim 

x 0
4x 2
x  x  2 
 1
3x  2
1 
lim 


 x  5


x 0 tg 2 x
sin 2x  xlim
  x 
lim
x 1
sin( x  1)
1 x2
 3x  4 
lim 

x  3x 
4 x
Индивидуальные задачи к заданию 2
№
пп
а)
б)
1
x 2 4x
1
y
2
x
y
x ( x  2)
3


1

y  

 x (1  x ) 
4
ye
x x2
y5
3
y  3 x 2  (1  x )
x
в)
1
x2
2
y  2 x  cos x
ye
x 2  sin x
2
x
y  7 x  2 ln x
5
y4
6
y  2x  x  4x
y  e x cos 2 x
x
x2 
7
2x 2  2
3
y
3
2
x  7x 2
2
ye
1
x
y  lg ( x  5)
3
Таблица 1.2
д)
г)
2
y  cos (2 x  1) y  arcsin
2
2
2 x
2x
x
y  arctg 2
3
y  ln 2 ( x 2  4)
y  tg 2 (2x  4)
y  log 33 ( x 2  x )
y  ctg 3 (2 x 2  7) y  arcctg 2
3
x 
y  ln 

2
x

1


2x
y  ln 3
sin x
y  log 72 ( x 2  16x )
 x 
y  lg 3  2

 3x  2 
2
2x
x4
y  sin 2 (2x 2  1) y  arccos x  3
x2
x2
y  cos 3 (3x 2  4) y  arctg 2
2 x
3
x
2 x 1
2
y  tg
y  arcsin
2 x
4
2
x
3 x
y  ctg
y  arccos
x 1
x 1
2
№
пп
8
y
9
y
а)
б)
x
x2 
x  2x
3x
2
x2 3 x
3
10 y  x  2 x
11 y 
12 y 
1
3
5
2x  x 2  3
1
2x 2  4x
13 y  x  x  2
y3
ye
x2 
ye
15 y 
1
3
x2 x4
1
x
1
2
x
y  log 52 x 2 
x2
1
x x
3

y  lg 3 x 2  2 x
2
y  log 22
x2 
4
y  ln 3
x
2
y  2 x  4 ln x
4
y  e x 2x
3
x

 x 
y  lg 3 

 x  2
x
y  log 32
x  2x
x
x 4
y  3 x 7 x
y2
г)

1
y  8x x
3
14 y 
в)

y  sin
y  cos 2
y  tg 3
y  ctg
2x 2  4
x
x2  4
x
y  cos 2 2 x 2  4
y  lg 3 2x  x

y  arcsin 3 x  2
x2  4 x
1
2
y  sin 3 2x  4
x 3 x
1

y  log 32  x  
x

x2 4
y  arctg
x 1
2x
y  arcctg 2
x2
2x
x 5
x
3
 x  4x 
2

Продолжение табл.1.2
д)

y  tg 3

x
x2  2 x
x4
y  ctg 2
2 x 7
y  arccos 2
x
2 x
y  arctg 2
x
x  4x 2
x
y  arctg 3
4x
x
y  arcsin 2
x2  4
2x
y  arccos 3
x 1
№
пп
а)
16
y  3 2x 
17
5 2x 
1
3
x
19
y  3 1
2 2x  4 x
ye
3x 2 
7
x
2x 2 
22
23
y  tg 2 2x  4 x
3 x

x 3
y  4 2x  4 x
y
1
3
x4 x 2

1

y  lg 2  x 2  
x

1

y  lg 3  x  
x

y  4x  x
y3

y  cos 3 x  x
x2
4
1
y  4 2x 
x
21
г)
4 
y  2 2 x  4 cos 2 x y  log 52  x 

2

x 
2
x
y
в)
y  4 x 2x 7
7
x
18
20
б)
Продолжение табл.1.2
д)

y  ln 2 2x 4  x
3
2
y  6 3x  x
ye
x
4 x
3
y  82x  3 x
2
x

y9 x 2



x

y  lg 3  x 
4 


x

y  lg 2  x 
2 

7

y  log 37  x 2  
x

y  ln 2
 x  4
y  arctg

x4 x
2x  3
2x
y  arccos 2
x4
y  arcsin
 x 
y  ctg 3 

 x  2
x 2
y  sin 2   
2 x
y  tg
y  arctg
x
y  arccos 2
x
1 x
x 4
2x
y  arcsin 2
x 3
4 
1

y  cos 3  
x
x

3
x4
2 x  7x
 x  4x 
x
 1

2
y  ctg 2 
 23 x  y  arctg
x2  4
 x

2 x 1
y  sin 2 2x  x  1 y  arctg
x x


№
пп
24
25
26
27
28
29
30
а)
1
1 x
3

x 2
x
y
1
x
x
x
y3 2
x 4
1
y
1
4 x
x
1
y3 x
2 x
y
y
1
x 2 x 3
2
y4 x
x
б)
в)
г)
Продолжение табл.1.2
д)
4 

y  lg 3  x 

x


 2x  1 
y  cos 3 

x

4


y  2 x 4 x
1

y  ln 2  x  
x

y  tg 2
y  3 x 4x
3

y  log 24  x  
x

4 

y  lg 3  x 

x 1

x 2
y  ctg 3   
2 x
1

y  sin 3  x 2  
x

7x 

y  log 7 1 

x

1


x 5
4 

y  cos 2  x 
 y  arcctg
x  2
x  3x 2

y  e 4x 2 x
2
2
y  e sin x  4 x
y  5 sin 2 x
y3
n  x 2 sin x
3
2
y  e 2x  x
y  ln 2
x
x2  4
y  lg 2 ( x  2x 2 )
x4
x
x
x4
x 1
y  ctg 2
2 x
y  tg 3
y  arcctg 3
2x
x4
y  arcsin 2
x
2x
y  arccos 2
2
x4
y  arctg
x x
3 x  4x 2
y  arcsin 2
x2
x

y  arccos 3 x  sin 2 x

№
пп
а)
б)
в)
e  4 sin 2 x
1
y

3
31 y  5 x  2 x 
x
3x 2  4 x
1
y

e
2 x x
x
32 y 
3
33 y 
x 3 x
1
34 y 
3 2
35 y  3
x
3
x
x2
x 1
36 y  x  4  2x
37 y  x x  4
3
г)
y  sin 3
1

y  lg 2   3 x 
x

y  cos 2 x  x

1 x
y  log 22   
x 2
1

cos 2 2 x  4 x y  log 5  x  2  
ye
x


y  e x 4x
y  lg x 2  4x  x
4
x
 x
4 

y  ln

x  2
 2
y5
y3
sin 2 2 x  4
x 1
2x
5 

y  log 32  x  2


x  4
y  5 3 x sin x
x
Продолжение табл.1.2
д)


y  lg x  4  x  2

y  arctg 2
x
2x  1
y  arcctg
x
4x
 x  4
y  tg 2 

 2x 
x 2  4x  2
y  ctg
x2
x 3
x
x 2
y  arccos 2   
2 x
x 3
y  sin 2   
3 x
2 

y  arctg 2  x 

2

y  cos 3
 y  tg
y  arcsin
 x (2x  1) y  arcctg 2  2 x  x2 
2 x

2
4
x
4 

y  arcsin 2  x 

x


№
пп
а)
б)
38 y  3
x
sin 2 3x 
ye
x2  4
3
x4
39 y 
x 2
40 y 
y3
1
2x  x  2
41 y  3 x  x
2x
1
42 y  3
2 x
43 y 
4
x
17 x
x4
x
y  ln   
x 3
ln 3
x
x
 x  4
y  lg 2 

 x 
2
ye
y3
3x 2 
1
x
2x 2  x
x
44 y  2x  x  1
2
y4
 x 
y  log 32 

x

4


x
y  7 sin x  x
2x  4
3
ye
в)
sin 3 x 
x
4
2 1
Продолжение табл.1.2
д)
г)
x2
4
y  ctg 2
y  arccos 2
x4
x 2 1
2
1 
x2  4 x
y  sin  x 
 y  arctg
x

x 2
y  cos
3 x
 x
2x  1
2

y  arcctg 3
x x

y  ln 2  3
x 

x4
y  log 22
1
1
x
y  tg 2 x  ( x  1)
x x
y  ln 3
2x  4
y  sin 3 2 x  4 x
x4
x 1
 y  arcsin 2 x
2x
7
x

y  ctg 3  
x 7 
2

y  arccos 2   x 
x


 y  arctg x2xx24 7 
2 x 
 7 ( x  2

 y  cos 2 
y  log 32  
2 
 x4 
x
1
x
y  arcctg
2x  7
x
№
пп
44
а)
y  3 2
б)
1
x
1
45 y  3 2 
x
x
47 y 
3
( x  7) 2
2x  3
48 y
x
3
49 y 
50
y3
x 1
2x
x 4
x
y4
ye
ye
г)
Продолжение табл.1.2
д)
2 x 

y  cos 2 
x

4


1
x
y  arcctg
2x  7
в)
sin 3 x 
x
4
ln 7 
2 x
x2
2x 
1
3
x
 7 ( x  2

y  log 32  
x
2


x
x4
 2 x  4x  3 
1
x
 y  tg 2

y  log 24 
y  arcsin 2  
x

2
x 1


x 3 
3x  4
 x 4 3 
2
y  log 32 
 x  y  sin 2 (( x  4)  2x ) y  arctg
x  7x  1
 2

2
2
y  33x sin 3x y  ln 3  x  x  4 

x 

1 1

 3x
3 x  x 1
y

log
x
x
2
ye
2x
1
2 
ln 3x 
3
y

lg
3
x



x
y6
x


 x  4
y  cos 2 

 2x 

y  tg 2 x  x  7
y  ctg 2
x
x7

 1 4
y  arcctg 3 
 
 x x
x  sin 2 3x
y  arcsin
x
4x  x  2
y  arccos
x4
21
Таблица 1.3
Индивидуальные задачи к заданию 3
№
пп
а)
1
y  (ln x )
2
y  ( x 2  7) sin x
3
б)
x
y  (sin 2x )
2x
x
2
cos(x  y)  x  y  0
x  sin 2 t  t

 y  cos t  2
x
 0
y
x  1  t 2

 y  tg 1  t
e
xy
e x 2 y  x  y  0
x  arcsin(sin t )

 y  tg 1  t

cos(x  y)  x  y  0
x  ln t  t 2  1

 y  t t 2  1
x  2t  t 2

 y  arcsin( t  1)
4
yx
5
y  (cos x ) tgx
ln( 2x  y)  x  y  0
6
y
 x  1
x
ln( 2 x  y)   0
y
x  ln ctg t

1

y


cos 2 t
7
 x
y   ln 
 2
x
cos( x  y)   0
y
x  arctg e t / 2

 y  e t  1
8
y  (sin x ) ln tgx
9
2
cos
в)
x
2 sin 2 x
2e x
y  (ctg3x )
3x
arcsin( x 2  y)  y  0

1 t
x

ln

1 t


2
y  1  t
2

arccos( x 2  y)  xy  0 x  1  t
t

y


1 t2


22
№
пп
а)

б)

sin x
10
y  x 1
11
y  (2x ) cos x
12
y  tgx x
3
y  x 5x  5 x
14
15
17
18
2
cos ( x  y)  x  y  0
2
cos 2 ( x  y) 
e xy 
13
16
Продолжение табл.1.3
в)
e
xy
xy
y
x
2
x
0
y
0
x2

0
y
cos x
y  ln x 
2
2
y  (sin x 3 ) x
2
ctg( y  x )  x  y  0
2 2 cos x

ln x  y 2  y  0
ex
x ye

y  5x
y  (ln 5x )
yx
ex
2x 
5
 tg y  0

2

xy
0
tg x  y   xy  0
x  arcsin 1  t 2

y  arccos t 2
1 t

x  ln 1  t

y  1  t 2

1

x

arccos

t

 y  t 2  1  arcsin 1

t
x  arcsin t

 y  1  t


x  ln 1  t 2

 y  arcsin 1  t 2
x  arcsin t 2

t

y


1 t2

x  ctg 1  t

 y  2 1  t 2
x  arctgt


1 t2
 y  ln

t 1
t

x  cos
2

 y  t  sin t
23
№
пп
а)

Продолжение табл.1.3
в)
б)

ctgx
xy
 ctg ( x  y)  0
19
y  x 2
20
y  x 3  5x
21
y  arctg x 
22
y  5x  4 
23
y  sin 3x ln sin 3x tg x  x 2  y 2  0
y
24
y  arcsin x 2 x
4
e 2 x  y  tg ( x  y)  0
x
ex
arctg x




4 cos x
25
y  3 x
26
y  x arcsin x
27
y  x ln x  2 x
28
y  3 sin x 3
29
y  2x 2
x
3
ln( x  y)  tg
e
2
2 x 2 y2
xy

x
0
y
 y sin x  0
y2
x
2
0
tg ( x  y)  x  y  0
2
2 xy 

x
y2
2
0
 xy  0
ln x 2  y 
x
ctgy  2x   xy  0

 xy  0
tg y  x 2 
x  cos 2 t

 y  2 sin 3 t
x  t 3  8t

 y  t 5  2 t
x  7t  sin t 

y  71  cos t 
x  ln tg t

1

y


sin 2 t
x  3t  t 3

 y  3t 2
x  t  ln cos t

y  t  ln sin t
x  2 t  t 3

 y  2 t 2
x  ln t

1  1

y

t  

2
 t

x  t  ln t

2
3
 y  3t  2 t
x  arcsin t

3
 y  3t  t
x  2t  sin 2t

3
 y  8 sin t
24
№
пп
а)
б)


x
y x3
x y0
x  arctg3t

2
 y  ln 1  9t
2
1
y0
x
x  2sin t  t cos t 

y  2cos t  t sin t 
2 x  y2
y x 0
x  a tg 2 t

 y  b sec 2 t
x2 y

y
0
x
x  2sin t 

y  21  cos t 
y2

y0
x
x  2 cos 3 t

 y  3 sin 3 t
x  t 2  ln t

 y  3t 3  3t
30
y  sin x 3 e
31
y  (arccos x ) cos x 3 xy 
 
3 ctgx
e
3
3
32
y x
33
y  x 2 cos x
34
y  x cos x 
35
y  tg x cos x
5 xy  x 2  xy  0
 
tg x  y 2  x  y  0
e
2
2 sin x
36
y  5x
3 cos x
37
y  ln x


38
 x
y   tg 
 2
39
y  ln tgx 
2
2
ln x 2
2x
ex
2
x2 y

e
Продолжение табл.1.3
в)
x 2  y2
2

 2x  y  0
2
e x y  x  y 2  0
e 2 y sin x  y  0


x  arcsin 1  t 

2
 y  ln 1  t


x  sec 2 t

 y  ln tg t
x  1  t

 y  arctg 4 t
x  arcsin t 3

 y  arccos 1  t 2
25
№
пп
а)
б)
x
40
y2
sin x  y  
y  x 5 ln x

Продолжение табл.1.3
в)

cos x 2

x
2

sin x  y 
0
x  2  cos 2t

y  2t  sin 2t
x
x  arcsincos t 

y  arccossin t 
0
41
y  3x  2
42
y  cos ln x 
cos x y  x  y  0
x  2 cos2 t

2
 y  2 sin t
cos3 x
x
tg  x  y  y 2  0
y
x  ln arctg t 

 y  ln arcctg t 
2
5x3
43
yx
44
y  x ln sin x
2
2x
45
yx
46
y  arccos x 5 x
47

5
y  sin x
x

2 ln x
48
y  x arccos x
49
yx
50
y  5x  x 5
3 sin x
5
2
2
 
2
y2
2


sin x 2  y 2  x  y  0


x  arctgln t 

y  arcctgln t 
x  t  arctg t
tg x 2  y 2  x  y  y  0 
2
 y  ln 1  t



x
cos x  x  y   0
y
2



x  arccos 1  t 2

 y  arctg t 2  1


x  arcsin e 2 t
cos x  x y  x  y  0 
 y  arccos e 2 t
2
2
3
e x  y  2x  y  0
e
x2 y
 2x  y  y  0
5 xy  y 2  x 2  0
x  arctg e t

 y  ln 1  e 2 t

x  1  cos t

 y  t  cos t
x  e 3t sin 2 t

 y  e 3t cos 2 t

26
Таблица 1.4
Индивидуальные задачи к заданию 5
№№
f(x)
№№
f(x)
3
3
x
x
2
1
y 4
y
x 1
x 1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
y
y
x2  2
x 2
x2
2
x 1
3
y  e 2x x
y
2
x
3
y  x  e x
25
y
3
x2  9
x2
y
x 1
x2 1
6
x2 1
y  sin x  cos x
8
y
x3  4
10
y
x3
x  12
x2
12
y  x  2  e 3 x
14
y  3  x   e x  2
16
ex
y
x
18
y
20
y
22
y
24
y  x  2 2 x  1
2
1

y  1  
x

1
y 4
x 1
4x
y
x  12
4
y 2
x  2x  3
x
y 2
x 4
y  xe x
y
2
4  x3
23
27
4
26
28
8x
x2  4
2x  1
x2
3x  2
x3
x4
y  2x 
2
y  x  13 2 x  3
2
27
№№
29
y
31
y
33
35
№№
f(x)
1  2x 
1  x 
30
2
2x
32
1 x2
1
yx 3
x
1
y
x ( x  8)
34
36
37
y  x  1x  2 2
38
39
y  2 x  3x  13
40
41
43
45
x2
y
x 1
2x
y 2
x 1
x4 1
y
x3
42
44
46
y
Продолжение табл.1.4
f(x)
x
x2  4
4
yx
x2
x2  8
y
4  x2
1
y
x x  8 
3
y
9  x2
| x 1 |
y
x2
2x  1
y
x  12
x 2  2x  4
y
x2
2
x 8
y
4  x2
47
y  x 3  9 x 2  15x  3
48
y  2x 3  3x 2  36x  15
49
4  2x 2  x 4
y
2
50
y  x 3  9 x 2  15x  3
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте определение предела функции.
2. Какая величина называется бесконечно малой?
3. Сформулируйте теоремы о пределах.
4. Запишите формулу первого замечательного предела. Перечислите следствия.
28
5. Запишите формулу второго замечательного предела. Перечислите следствия.
6. Дайте определение производной функции.
7. Приведите уравнение касательной и нормали к кривой в данной
точке.
8. Какова связь между дифференцируемостью и непрерывностью
функции в точке.
9. Дайте определение дифференциала функции. Приведите связь
между дифференциалом и производной функции.
10. Сформулируйте лемму Ферма.
11. Сформулируйте теорему Лагранжа о среднем.
12. Сформулируйте теорему Коши о среднем.
13. Сформулируйте правило Лопиталя.
14. Запишите формулу Тейлора.
Список рекомендуемой литературы
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.
Т.I. – М.:Наука, 1985.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.I. – М.:Наука, 1988.