Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования «Дипломатическая академия
Министерства иностранных дел Российской Федерации»
Кафедра «Мировая экономика»
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
Т.А. Закаурцева
«____» _______ 20___ г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Теория вероятностей и математическая статистика
Уровень высшего образования: Бакалавриат
Направление подготовки: 38.03.01 Экономика
Направленность (профиль): Мировая экономика
Квалификация (степень) выпускника: Бакалавр
Форма обучения: очная
Год набора 2020
Москва
2020
Авторы: Фаркова Наталья Анатольевна, канд. физ.-мат. наук, доцент.
Рабочая программа дисциплины: Теория вероятностей и математическая
статистика – Москва: «Дипломатическая академия МИД Российской Федерации»,
2020 г.
Рабочая программа дисциплины составлена в соответствии с требованиями
Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования,
утвержденного приказом Министерства образования и науки Российской Федерации
№1327 от 12 ноября 2015 по направлению подготовки: 38.03.01 Экономика и
утвержденной ОПОП ВО.
Рабочая программа дисциплины (модуля) рассмотрена и одобрена на заседании
кафедры:
Заведующий кафедрой
(ФИО, ученая степень,
звание, подпись)
Толмачев П.И.,
д.э.н., проф.
Год утверждения
(переутверждения)
Номер и дата протокола
заседания кафедры
2020
2021
2022
2023
№3
от 16.10.2019
Рабочая программа согласована:
Руководитель ОПОП ВО
А.Г. Рыбинец, к.э.н., доцент
Директор библиотеки
Ю.В. Толкачева
Рабочая программа дисциплины (модуля) рекомендована на заседании УМС:
Председатель УМС
(ФИО, ученая степень,
звание, подпись)
Жильцов С.С.,
д.полит.н., проф.
Год утверждения
(переутверждения)
2020
Номер и дата протокола
заседания УМС
№3
от 12.11.2019
2021
2
2022
2023
1. Наименование дисциплины
«Теория вероятностей и математическая статистика»
2. Планируемые результаты обучения по дисциплине «Теория вероятностей и
математическая статистика», соотнесенные с планируемыми результатами освоения
образовательной программы
Цели и задачи освоения дисциплины.
Цели –
–
общематематическая подготовка бакалавров, необходимая для освоения
математических и статистических методов в управлении и экономике;
– воспитание у бакалавров навыков логического мышления и формального
обоснования принимаемых решений.
Задачами изучения дисциплины являются:
– ознакомить учащихся с теоретическими положениями теории вероятностей и ее
применения для моделирования и исследования экономических процессов;
– приобрести практические навыки статистического анализа экспериментальных
данных экономических и социальных исследований, вычисления их основных
характеристик;
– сформировать навыки проведения математических расчетов с использованием
современных компьютерных технологий;
– изучить методики представления результатов исследований в наглядной
графической форме.
В результате освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая
статистика» обучающийся должен:
Знать:
методологию решения стандартных задач профессиональной деятельности на основе
информационной и библиографической культуры с применением информационнокоммуникационных технологий и с учетом основных требований информационной
безопасности
методологию анализа и интерпретации данных для решения профессиональных
задач
методологию обоснования расчетов
Уметь:
использовать методологию решения стандартных задач профессиональной
деятельности на основе информационной и библиографической культуры с применением
информационно-коммуникационных технологий и с учетом основных требований
информационной безопасности
использовать методологию анализа и интерпретации данных для решения
профессиональных задач
использовать методологию обоснования расчетов
Владеть:
навыками решения стандартных задач профессиональной деятельности на основе
информационной и библиографической культуры с применением информационнокоммуникационных технологий и с учетом основных требований информационной
безопасности
навыками анализа и интерпретации данных для решения профессиональных задач
3
методологией обоснования расчетов.
Таблица 2.1.
Формируемые компетенции
(код компетенции, уровень освоения)
способность решать
стандартные задачи профессиональной
деятельности на основе информационной
и библиографической культуры с
применением
информационнокоммуникационных технологий и с
учетом
основных
требований
информационной безопасности
ОПК-1
(2)
–
Планируемые результаты обучения по
дисциплине «Теория вероятностей и
математическая статистика»
Знать:
методологию
решения
стандартных задач профессиональной
деятельности на основе информационной
и библиографической культуры с
применением
информационнокоммуникационных технологий и с
учетом
основных
требований
информационной безопасности
Уметь:
использовать
методологию
решения
стандартных
задач
профессиональной
деятельности
на
основе
информационной
и
библиографической
культуры
с
применением
информационнокоммуникационных технологий и с
учетом
основных
требований
информационной безопасности
Владеть навыками решения стандартных
задач профессиональной деятельности на
основе
информационной
и
библиографической
культуры
с
применением
информационнокоммуникационных технологий и с
учетом
основных
требований
информационной безопасности
ОПК-2 (2) – способность осуществлять сбор, Знать:
методологию
анализ и обработку данных, необходимых интерпретации данных
для решения профессиональных задач,
профессиональных задач
ОПК-3
(2)
–
способность
выбрать
инструментальные средства для обработки
экономических данных в соответствии с
поставленной задачей, проанализировать
результаты
расчетов
и
обосновать
полученные выводы
анализа
и
для решения
Уметь:
использовать
методологию
анализа и интерпретации данных для
решения профессиональных задач
Владеть:
навыками
анализа
и
интерпретации данных для решения
профессиональных задач
Знать:
методологию
обоснования
расчетов
Уметь:
использовать
методологию
обоснования расчетов
Владеть : методологией обоснования
расчетов
4
3. Место дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» в
структуре ОПОП ВО
Дисциплина (Б1.Б.13) «Теория вероятностей и математическая статистика»
относится к дисциплинам базовой части блока Б1-Дисциплины (модуля) по направлению
подготовки «Экономика», профиль «Мировая экономика». Содержание курса тесно
связано с рядом последующих дисциплин, читаемых кафедрой мировой экономики, в
частности:
- «Статистика»;
- «Эконометрика»;
- «Методы оптимальных решений»;
- «Теория риска»,
- «Теория игр»,
а также, дисциплин экономического профиля, требующих от бакалавра глубоких знаний
соответствующих разделов математики.
Требования к входным знаниям, умениям и владениям обучающихся:
Для освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»
обучающийся должен:
Знать:
основы математического анализа, линейной алгебры, аналитической геометрии,
необходимые для решения экономических задач;
Уметь:
применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и
экспериментального исследования для решения экономических задач;
Владеть: применения современного математического инструментария для решения
экономических задач; методикой построения, анализа и применения математических
моделей для оценки состояния, и прогноза развития экономических явлений и процессов.
Междисциплинарные связи
№
п/
п
Наименование
обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
Таблица 3.1
№ № тем(разделов) данной дисциплины,
необходимых для изучения обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
1
2
3
4
5
6
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
1.
«Статистика»
Х
2.
«Эконометрика»
Х
3.
«Методы оптимальных
решений»
Х
4.
«Теория риска»
Х
Х
Х
Х
5.
«Теория игр»
Х
Х
Х
Х
Х
5
9
10
11
12
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
7
8
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
4. Объем дисциплины в з. е. с указанием количества академических часов,
выделенных на контактную работу обучающихся с преподавателем и
самостоятельную работу обучающихся
Общая трудоемкость дисциплины (модуля) по очной форме составляет 3 зачетных
единицы, 108 часов, из которых 30,5 часа составляет контактная работа бакалавра с
преподавателем (16 часов - занятия лекционного типа, 14 часов - занятия семинарского
типа, 0,5 часа – ИКР), 42 часа составляет самостоятельная работа бакалавра, контроль
(экзамен) - 35,5 часа.
Контактная работа обучающегося с
преподавателем (при проведении учебных
занятий):
-аудиторная, в том числе:
Лекции (Л)
Семинары (С)
Научно-практические занятия (НПЗ) в
аудитории
ИКР
-внеаудиторная, в том числе:
Индивидуальная работа обучающегося с
преподавателем
Групповые консультации
-контактная работа в ЭИОС
Самостоятельная работа слушателя
(СРС)
Форма контроля - экзамен
Общая трудоемкость (в часах/ з.е.)
30,5
30,5
16
14
16
14
0,5
0,5
42
35,5
3/108
8 семестр
7 семестр
6 семестр
5 семестр
4 семестр
3 семестр
Вид учебной работы
Семестры
1 семестр
2 семестр
Трудоемкость
дисциплины
Таблица 4.1
42
Экзамен
3/108
5. Содержание дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»,
структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества
академических часов и видов учебных занятий
5.1. Содержание дисциплины
Раздел 1. События и вероятности
Тема 1. КЛАССИФИКАЦИЯ СОБЫТИЙ. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.
6
Предмет теории вероятностей и ее связь с реальностью. Различные подходы к
определению вероятности. Примеры вероятностных задач (маркетинг, контроль качества,
разработка товаров и т.п.). Событие. Случайные события как подмножества множества
простейших исходов. Основные понятия алгебры событий. Вероятность события.
Свойства вероятности.
Тема 2. КОМБИНАТОРИКА И ВЕРОЯТНОСТЬ.
Частота, или статистическая вероятность, события. Принцип практической уверенности.
Геометрическое определение вероятности. Перестановки, размещения, сочетания.
Тема 3. АЛГЕБРА СОБЫТИЙ.
Алгебра событий. Соотношения между событиями. Аксиоматическое определение
вероятности. Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения и
следствия из нее. Сложение и умножение вероятностей. Противоположные события.
Тема 4. ТЕОРЕМА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.
Теорема полной вероятности. Формула Бейеса. Формула Бернулли. Пример
использования дерева решений для проведения маркетингового исследования по продаже
нового товара фирмой.
Раздел 2. Случайные величины
Тема 5. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.
Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения дискретной
случайной величины. Функция распределения. Интегральная функция распределения
вероятностей случайной величины. Плотность распределения.
Тема 6. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.
Числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание
случайной величины, дисперсия случайной величины, среднее квадратическое
отклонение. Свойства математического ожидания и дисперсии. Вероятность попадания
случайной величины на заданный участок.
Раздел 3. Основные законы распределения случайных величин
Тема 7. БИНОМИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
Формула Бернулли. Биномиальное распределение и его параметры. Использование
биномиального распределения при решении задач, связанных с контролем качества
продукции. Нахождение числовых характеристик случайной величины с помощью
биноминального закона распределения вероятностей.
Тема 8. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА.
Распределение Пуассона и его параметры. Применение распределения Пуассона
при расчете необходимой численности персонала подразделения с заданным объемом
объектов обработки. Нахождение числовых характеристик случайной величины с
помощью закона Пуассона распределения вероятностей.
Тема 9. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЙ, НОРМАЛЬНЫЙ И РАВНОМЕРНЫЙ ЗАКОНЫ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
Равномерное распределение и его параметры. Расчет вероятности исполнения
заказа в заданное время.
Нормальное распределение и его параметры. Теоремы Муавра - Лапласа. Примеры
решения задач, связанных с гарантийным обслуживанием. Задачи о конкуренции.
7
Показательное распределение и его параметры. Решение задач по определению времени
ожидания получения ответа на запрос.
Раздел 4. Математическая статистика
Тема 10. Статистическое оценивание. Точечные и интервальные оценки.
Несмещенность, эффективность и состоятельность выборочной оценки.
Доверительная вероятность. Формула расчета доверительной вероятности. Средняя
квадратическая ошибка характеристик выборки при повторном и бесповторном отборе
членов.
Тема 11. Проверка статистических гипотез. Понятие статистической гипотезы. Критерий.
Критерии принятия гипотезы. Область принятия гипотезы, критическая область. Критерий
Колмогорова. Критерий согласия «хи-квадрат». Критерий согласия Пирсона.
Тема 12. Элементы теории корреляций. Понятие корреляционной зависимости. Основные
задачи теории корреляции: выбор связи, оценка тесноты и существенности связи.
Коэффициент корреляции. Метод наименьших квадратов.
5.2. Учебно-тематический план лекционных, семинарских и практических занятий
Таблица 5.2.1
№
п/п
№
раздела
дисциплины
(темы)
1.
1-2
2.
3-4
3.
5-6
4.
5.
7-8
9
Темы лекционных,
семинарских и практических
занятий
Трудоемкость
(в часах)
Лекции
Семинары,
практические
занятия
Классификация событий.
Классическое определение
вероятности. Комбинаторика и
вероятность. Статистическое и
геометрическое определение
вероятности.
Алгебра событий. Соотношения
между событиями. Теорема
полной вероятности. Формула
Бейеса. Формула Бернулли.
Темы 1-4
2
2
2
2
Закон распределения дискретной
случайной величины. Функция
распределения. Числовые
характеристики случайной
величины. Закон распределения
непрерывной случайной
величины. Функция
распределения, плотность
распределения. Числовые
характеристики случайной
величины.
Формула Бернулли.
Биномиальный закон
распределения. Закон
распределения Пуассона..
Геометрическое распределение.
Показательный
(экспоненциальный ) закон
распределения.
Закон равномерного
распределения вероятностей
3
2
8
Формы текущего
(рубежного)
контроля
успеваемости
Контрольные
вопросы по теме
Самостоятельная
работа
Контрольные
вопросы по теме
Самостоятельная
работа
Контрольная
работа 1
Контрольные
вопросы по теме
Самостоятельная
работа
Контрольная
работа 2
3
2
Контрольные
вопросы по теме
Самостоятельная
работа
2
2
Контрольная
работа 3
Нормальный закон
распределения
6.
7.
Тесты .Рубежный
контроль 1
Контрольные
вопросы по теме
Тема 8-9
10
Статистическое оценивание.
Точечные и интервальные
оценки.
Контрольная
работа 4
2
8.
9
11
12
2
Проверка статистических
гипотез. Критерии принятия
гипотезы. Область принятия
гипотезы, критическая область.
Элементы теории корреляций
2
2
Тесты .Рубежный
контроль 2
10
Тема 9-11
ВСЕГО ЧАСОВ
ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ
КОНТРОЛЬ
Контрольные
вопросы и
самостоятельная
работа
Самостоятельная
работа
16
14
экзамен
6. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
обучающихся по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
Полный комплект Фонда оценочных средств (ФОС) представлен в Приложении№ 1 к
Рабочей программе дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика».
7. Основная и дополнительная учебная литература, необходимая для освоения
дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»
7.1. Основная литература
1. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике [Электронный ресурс] : учебное пособие / В. Е. Гмурман. - 11-е изд.,
перераб. и доп. - Москва : Юрайт, 2019. - 406 с. - Режим доступа:
https://biblio-online.ru/bcode/431094.
2. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. [Электронный ресурс] : учебник и практикум / Н. Ш. Кремер. - 5-е изд., пер. и доп. - Москва : Юрайт,
2020. - 538 с. - Режим доступа: http://www.biblio-online.ru/bcode/456395.
3. Математика для экономистов [Электронный ресурс] : учебник / под общ. ред. О. В.
Татарникова. - Москва : Юрайт, 2019. - 593 с. - Режим доступа: https://www.biblioonline.ru/bcode/426100.
7.2. Дополнительная литература
1. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс] : учебник / В. Е. Гмурман. - 12-е изд. - Москва : Юрайт, 2018. - 479 с. - Режим
доступа: https://www.biblio-online.ru/bcode/412456.
2. Ковалев, Е. А. Теория вероятностей и математическая статистика для экономистов
[Электронный ресурс] : учебник и практикум / Е. А. Ковалев, Г. А. Медведев ; под
общ. ред. Г. А. Медведева. - 2-е изд., испр. и доп. - Москва : Юрайт, 2018. - 284 с. 9
Режим доступа: www.biblio-online.ru/book/54BF087C-1988-43C3-8D74F21A6CBA1405.
3. Попов, А. М. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс] : учебник и практикум для вузов / А. М. Попов, В. Н. Сотников ; под ред.
А. М. Попова. - 2-е изд., испр. и доп. - Москва : Юрайт, 2020. - 434 с. http://www.biblio-online.ru/bcode/449816.
8. Ресурсы информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», необходимые
для освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»
1. Федеральная служба государственной статистики [Электронный ресурс].- Режим
доступа: http://www.gks.ru/.
2. Рейтинговое Агентство RAEX "Эксперт РА" [Электронный ресурс].- Режим доступа:
http://raexpert.ru/.
3. Конференция ООН по торговле и развитию ЮНКТАД [Электронный ресурс].Режим
доступа: http://www.un.org/ru/ga/unctad/.
4. Всемирная торговая организация [Электронный ресурс].- Режим доступа:
http://wto.org.
9. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины «Теория
вероятностей и математическая статистика»
9.1 Учебно-методическое обеспечение для самостоятельной работы обучающихся по
дисциплине Теория вероятностей и математической статистике.
9.1.1. Формы внеаудиторной самостоятельной работы
Наименование
разделов и тем,
входящих в
дисциплину
Формы внеаудиторной
самостоятельной работы
Трудоемкость
в часах
Таблица 9.1.1.
Раздел
1. чтение рекомендованной литературы, 10
События
и подготовка к практическим занятиям,
подготовка к тесту, подготовка к
вероятности
письменным контрольным работам
Раздел
2. чтение рекомендованной литературы, 12
подготовка к практическим занятиям,
Случайные
подготовка к тесту, подготовка к
величины
письменным контрольным работам
Раздел
3. чтение рекомендованной литературы, 10
подготовка к практическим занятиям,
Основные
подготовка к тесту, подготовка к
законы
распределения письменным контрольным работам
случайных
величин
10
Указание разделов и
тем, отводимых на
самостоятельное
освоение
обучающимися
Гипергеометрическое
распределение.
Раздел
4. чтение рекомендованной литературы, 10
Математическа подготовка к практическим занятиям,
подготовка к тесту, подготовка к
я статистика
письменным контрольным работам
Основы
регрессионного
корреляционного
анализа.
Виды самостоятельной работы бакалавра в процессе изучения дисциплины «Теория
вероятностей и математическая статистика» следующие:
- изучении теоретического материала к лекциям и семинарским занятиям,
- проработка конспектов лекционного материала
- выполнение домашних и контрольных заданий;
- подготовка к рубежному контролю по заданным темам в форме теста;
- подготовке к экзамену.
Подготовка к лекционным занятиям
Интерактивные методы обучения, используемые на аудиторных
дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»
Семестр
Вид
занятия
3
Л
ПЗ
ИТОГО:
Используемые интерактивные
образовательные технологии
занятиях
Кол-во
часов
Обсуждение и решение задач с экономическим
содержанием, обсуждение применений в экономике
и менеджменте основных понятий и методов курса.
Обсуждение применений в экономике основных 3
понятий и методов курса.
Решение задач с экономическим содержанием.
13
16
Общее количество часов, используемых в аудиторных занятиях дисциплины в
интерактивной форме, составляет 16 часов, что составляет 46,7%
Методические рекомендации по подготовке к лекционным занятиям
С целью обеспечения успешного обучения обучающийся должен готовиться к
лекции, так как она является важнейшей формой организации учебного процесса,
поскольку:
знакомит с новым учебным материалом;
разъясняет учебные элементы, трудные для понимания;
систематизирует учебный материал;
ориентирует в учебном процессе.
С этой целью:
внимательно прочитайте материал предыдущей лекции;
ознакомьтесь с учебным материалом по учебнику и учебным пособиям с темой
прочитанной лекции;
внесите дополнения к полученным ранее знаниям по теме лекции на полях
лекционной тетради;
запишите возможные вопросы, которые вы зададите лектору на лекции по
материалу изученной лекции;
постарайтесь уяснить место изучаемой темы в своей подготовке;
узнайте тему предстоящей лекции (по тематическому плану, по информации
11
и
лектора) и запишите информацию, которой вы владеете по данному вопросу.
Методические рекомендации по работе над конспектом лекции
Основу теоретического обучения бакалавров составляют лекции. Они дают
систематизированные знания бакалаврам о наиболее сложных и актуальных проблемах
изучаемой дисциплины. На лекциях особое внимание уделяется не только усвоению
бакалаврами изучаемых проблем, но и стимулированию их активной познавательной
деятельности,
творческого
мышления,
развитию
научного
мировоззрения,
профессионально-значимых свойств и качеств.
Осуществляя учебные действия на лекционных занятиях, обучающиеся должны
внимательно воспринимать действия преподавателя, запоминать складывающиеся образы,
мыслить, добиваться понимания изучаемого предмета, применения знаний на практике,
при решении учебно-профессиональных задач. Бакалавры должны аккуратно вести
конспект. В случае недопонимания какой-либо части предмета следует задать вопрос в
установленном порядке преподавателю. В процессе работы на лекции необходимо так же
выполнять в конспектах модели изучаемого предмета (рисунки, схемы, чертежи и т.д.),
которые использует преподаватель.
Работу над конспектом следует начинать с его доработки, желательно в тот же
день, пока материал еще легко воспроизводим в памяти (через 10 часов после лекции в
памяти остается не более 30-40 % материала). С целью доработки необходимо прочитать
записи, восстановить текст в памяти, а также исправить описки, расшифровать не
принятые ранее сокращения, заполнить пропущенные места, понять текст, вникнуть в его
смысл.Подготовленный конспект и рекомендуемая литература используются при
подготовке к семинарским и практическим занятиям. Подготовка сводится к
внимательному прочтению учебного материала, к выводу с карандашом в руках всех
утверждений и формул, к решению примеров, задач, к ответам на вопросы. Примеры,
задачи, вопросы по теме являются средством самоконтроля.
Методические рекомендации по работе с рекомендованной литературой
При работе с основной и дополнительной литературой целесообразно
придерживаться такой последовательности: сначала прочитать весь заданный текст в
быстром темпе. Цель такого чтения заключается в том, чтобы создать общее
представление об изучаемом материале, понять общий смысл прочитанного. Затем
прочитать вторично, более медленно, чтобы в ходе чтения понять и запомнить смысл
каждой фразы, каждого положения и вопроса в целом.
Чтение приносит пользу и становится продуктивным, когда сопровождается
записями. Это может быть составление плана прочитанного текста, тезисы или выписки,
конспектирование и др. Выбор вида записи зависит от характера изучаемого материала и
целей работы с ним. Если содержание материала несложное, легко усваиваемое, можно
ограничиться составлением плана. Если материал содержит новую и трудно усваиваемую
информацию, целесообразно его законспектировать.
План — это схема прочитанного материала, перечень вопросов, отражающих
структуру и последовательность материала.
Конспект — это систематизированное, логичное изложение материала источника.
В процессе изучения материала источника и составления конспекта нужно
обязательно применять различные выделения, подзаголовки, создавая блочную структуру
конспекта. Это делает конспект легко воспринимаемым и удобным для работы.
Подготовка к семинарским занятиям — традиционная форма самостоятельной
работы обучающихся, включает отработку лекционного материала, изучение
рекомендованной литературы, конспектирование предложенных источников, решение не
сложных задач по теме семинара. Эффективность результатов семинарского занятия во
12
многом зависит от методического руководства подготовкой к занятию.
Методические рекомендации по подготовке к семинарским занятиям
В ходе семинарских занятий углубляются и закрепляются знания по ряду
рассмотренных на лекциях вопросов, развиваются умения аргументировать и защищать
выдвигаемые
в
них
положения.
Практические
занятия
предусматривают
совершенствование навыков вычислительной работы, применение методологии.
Следует разумно организовывать работу по подготовке к семинарскому занятию. К
теме каждого семинара даётся определённый план, состоящий из нескольких вопросов,
рекомендуется список литературы, в том числе, и обязательной. Работу следует
организовать в такой последовательности:
прочтение рекомендованных глав из различных учебников;
ознакомление с остальной рекомендованной литературой из обязательного списка;
чтение и анализ каждого источника (документа).
Прежде всего, следует ознакомиться с методическими указаниями к каждому семинару.
Подготовьте ответы на каждый вопрос плана. Каждое положение ответа подтверждается
(если форма семинара это предусматривает) выдержкой из документа. Подготовку следует
отразить в виде плана в специальной тетради подготовки к семинарам.
Результаты работы на семинаре преподаватель оценивает и учитывает в ходе
проведения рубежного контроля и промежуточной аттестации.
Подготовка к опросу, проводимому в рамках семинарского занятия: требует
уяснения вопросов, вынесенных на конкретное занятие, подготовки выступлений,
повторения основных терминов, запоминания формул и алгоритмов.
Серьезная теоретическая подготовка необходима для проведения практических и
лабораторных занятий. Самостоятельность обучающихся может быть обеспечена
разработкой методических указаний по проведению этих занятий с четким определением
цели их проведения, вопросов для определения готовности к работе. Указания по
выполнению заданий практических и лабораторных занятий будут способствовать
проявлению в ходе работы самостоятельности и творческой инициативы.
Подготовка к тестированию (рубежному контролю)
Подготовка к тестированию требует акцентирования внимания на определениях,
терминах, содержании понятий, алгоритмах.
Успешное выполнение тестовых заданий является необходимым условием
итоговой положительной оценки в соответствии с рейтинговой системой обучения.
Тестовые задания подготовлены на основе лекционного материала, учебников и учебных
пособий по дисциплине.
Выполнение тестовых заданий предоставляет обучающимся возможность
самостоятельно контролировать уровень своих знаний, обнаруживать пробелы в знаниях и
принимать меры по их ликвидации. Форма изложения тестовых заданий позволяет
закрепить и восстановить в памяти пройденный материал. Предлагаемые тестовые
задания охватывают узловые вопросы теоретических и практических основ по
дисциплине. Для формирования заданий использована закрытая форма. У обучающегося
есть возможность выбора правильного ответа или нескольких правильных ответов из
числа предложенных вариантов. Для выполнения тестовых заданий обучающиеся
должны изучить лекционный материал по теме, соответствующие разделы учебников,
учебных пособий и других литературных источников.
Контрольные тестовые задания выполняются обучающимися на семинарских
занятиях. Репетиционные тестовые задания содержатся в фонде оценочных средств. С
ними целесообразно ознакомиться при подготовке к контрольному тестированию.
13
Подготовка к аудиторной контрольной работе аналогична предыдущей форме, но
требует более тщательного изучения материала по теме или блоку тем, где акцент
делается на изучение причинно-следственных связей, раскрытию природы явлений и
событий, проблемных вопросов.
Методические рекомендации по выполнению контрольных работ
Для допуска к зачету (экзамену) бакалавры обязаны иметь (принести) конспект
лекций, тетрадь с домашними работами и выполненное индивидуальное задание
(контрольные работы).
Тетради с индивидуальными заданиями обратно бакалавру не возвращаются, они
хранятся на кафедре.
При выполнении индивидуального задания (контрольных работ) бакалавр должен
придерживаться следующих требований:
1. Работы рекомендуется выполнять в отдельной тетради (в обычной тонкой
тетради в клетку. Сдавать без прозрачных обложек)
2. В начале работы поставить дату, тему работы. Перед изложением ответа
необходимо написать полный текст вопроса. Для возможных замечаний преподавателя
нужно оставить поля.
3. Работа должна быть выполнена аккуратно, почерк не должен вызывать
затруднений при прочтении работы.
4. При оформлении задач необходимо написать краткое условие задачи, обосновать
выбранный метод решения и привести применяемые формулы. Каждое действие
необходимо пронумеровать и дать ему формулировку, выделить ответ.
На обложку тетради прикрепляется заполненная форма титульного листа
Факультет (кафедра) Мировой экономики
«Название дисциплины»
(Фамилия ,имя бакалавра)___________ ____________
группа ( год поступления )_____________ ФИО преподавателя_________
Контрольная работа 1
вариант
…№
задача
1
выполнение
Итого баллов
2
3
4
5
2
3
4
5
Контрольная работа 2
вариант
…№
задача
1
выполнение
Итого баллов
14
1)
Объем контрольной работы зависит от количества предложенных задач. В
контрольной работе должно быть отражено умение систематизировать, анализировать,
обобщать, делать выводы и связывать теоретические знания с практикой.
2)
В контрольной работе должны активно использоваться не менее 3 источников.
Выполнение домашних заданий
Домашние задания как форма регулярной самостоятельной работы целесообразны
для закрепления знаний, умений и владений, полученных в ходе практических занятий,
например, решение задач и примеров. Для выполнения домашних заданий необходимы
сборники заданий, упражнений, задачники.
Подготовка к промежуточной аттестации
Промежуточная аттестация является одним из основных механизмов оценки
качества подготовки, обучающихся и формой контроля их учебной работы. Предметом
оценивания на промежуточной аттестации является уровень сформированности
компетенций в рамках учебной дисциплины.
Для промежуточной аттестации обучающихся создается фонд оценочных средств,
включающий задания и оценочный материал ко всем формам ее проведения,
позволяющие оценить знания, умения, навыки и уровень сформированности компетенций.
При этом экзамен проводится в традиционной форме: ответ на вопросы
экзаменационного билета, решение задач.
Виды и формы проведения промежуточной аттестации сообщаются обучающимся
на первом занятии или установочной лекции. Описание системы контроля входит в
рабочую программу дисциплины.
Методические рекомендации по подготовке к экзамену
К итоговому контролю необходимо готовиться целенаправленно, регулярно,
систематически и с первых дней обучения по данной дисциплине. Попытки освоить
дисциплину в период зачтено-экзаменационной сессии, как правило, показывают не
слишком удовлетворительные результаты.
При подготовке к экзамену по теоретической части выделите в вопросе главное,
существенное (понятия, признаки, классификации и пр.), приведите примеры,
иллюстрирующие теоретические положения.
При следовании предложенным указаниям у обучающихся должно сформироваться
четкое представление об объеме и характере знаний и умений, которыми надо будет
овладеть по дисциплине.
10.Информационные
технологии,
используемые
при
осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая программное
обеспечение, современные профессиональные базы данных и информационные
справочные системы
Академия обеспечена необходимым комплектом лицензионного и свободно
распространяемого программного обеспечения, в том числе отечественного производства:
Microsoft Office - 2016 PRO (Полный комплект программ: Access, Excel, PowerPoint, Word
и т.д); программное обеспечение электронного ресурса сайта Дипломатической академии
на платформе 1С-Битрикс, включая ЭБС; 1С: Университет ПРОФ (в т.ч., личный кабинет
обучающихся и профессорско-преподавательского состава).
15
Обучающимся обеспечен доступ к современным профессиональным базам данных
и информационным справочным системам:
- Справочно-правовые системы «Консультант плюс» - www.consultant.ru.
- Справочно-правовые системы «Гарант» - www.garant.ru.
-
Электронная библиотека Дипломатической Академии МИД России http://ebiblio.dipacademy.ru.
-
ЭБС «Лань» - https://e.lanbook.com/.
-
Справочно-информационная полнотекстовая база периодических изданий
«East View» - http://dlib.eastview.com.
-
ЭБС «Университетская библиотека –online» - http://biblioclub.ru.
-
ЭБС «Юрайт» - http://www.biblio-online.ru.
-
ЭБС «Book.ru» - https://www.book.ru/.
- ЭБС «Znanium.com» - http://znanium.com/.
- ЭБС «IPRbooks» - http://www.iprbookshop.ru/.
- Архивный банк данных Института социологии Российской академии наук https://www.isras.ru/Databank.html.
- База открытых данных Минтруда России - https://rosmintrud.ru/opendata.
- База данных Минэкономразвития РФ «Информационные системы Министерства в
сети Интернет» - http://economy.gov.ru/minec/about/systems/infosystems/.
- База данных «Библиотека управления» - Корпоративный менеджмент https://www.cfin.ru/rubricator.shtml.
- База данных «Информирование граждан и работодателей о положении на рынке
труда» Минтруда РФ - https://rosmintrud.ru/ministry/programms/inform.
- База данных для IT-специалистов (крупнейший в Европе ресурс) - https://habr.com/.
- База программных средств налогового учета - https://www.nalog.ru/.
- База данных агентства по рыночным исследованиям и консалтингу - www.marketagency.ru.
- База данных Всемирного банка - Открытые данные - https://data.worldbank.org/.
- Базы данных Международного валютного фонда http://www.imf.org/external/russian/index.htm.
- База данных ResearchPapersinEconomics (самая большая в мире коллекция
электронных научных публикаций по экономике включает библиографические
описания публикаций, статей, книг и других информационных ресурсов) https://edirc.repec.org/data/derasru.html.
- База данных исследований Центра стратегических разработок https://www.csr.ru/issledovaniya/.
- База данных «Библиотека управления» - Корпоративный менеджмент https://www.cfin.ru/rubricator.shtml.
- База открытых данных Росфинмониторинга - http://www.fedsfm.ru/opendata.
- База данных «Финансовые рынки» ЦБ РФ - https://www.cbr.ru/finmarket/.
16
- База данных Института философии РАН: Философские ресурсы: Текстовые
ресурсы - https://iphras.ru/page52248384.htm.
- База данных Oxford Journals Оксфордская открытая инициатива включает полный
и факультативный открытый доступ к более, чем 100 журналам, выбранным из
каждой предметной области - https://academic.oup.com/journals/pages/social_sciences.
- База данных Аналитического центра Юрия Левады (Левада-центр) http://www.levada.ru/.
- База данных Всероссийского центра изучения общественного мнения (ВЦИОМ) https://wciom.ru/database/.
- Базы данных Фонда "Общественное мнение" (ФОМ) - http://fom.ru/.
- База данных исследований Центра стратегических разработок https://www.isras.ru/.
- База данных НП «Международное Исследовательское Агентство «Евразийский
Монитор» - http://eurasiamonitor.org/issliedovaniia.
- Единый архив экономических и социологических данных http://sophist.hse.ru/data_access.shtml.
- Информационные системы и базы данных федерального портала ИСТОРИЯ.РФ https://histrf.ru/.
- Информационная система Everyday English in Conversation http://www.focusenglish.com.
- Лингвострановедческий словарь Россия – Портал «Образование на русском» https://pushkininstitute.ru/ (рекомендуется для иностранных студентов).
- Мультидисциплинарная платформа ScienceDirect обеспечивает всесторонний
охват литературы из всех областей науки - https://www.sciencedirect.com/.
- Научная электронная библиотека - www.elibrary.ru.
- Образовательный ресурс «Российская цивилизация в пространстве, времени и
мировом контексте» - http://рос-мир.рф/.
- Официальный сайт Государственной Думы Российской Федерации
http://duma.gov.ru/.
- Официальный сайт Верховного Суда Российской Федерации - https://www.vsrf.ru/.
- Официальный сайт Конституционного Суда Российской Федерации http://www.ksrf.ru.
- Официальный сайт Правительства РФ - http://government.ru/.
- Программно-аппаратный комплекс «Профессиональные стандарты» https://profstandart.rosmintrud.ru/.
- Реферативная и справочная база данных рецензируемой литературы Scopus https://www.scopus.com.
- Сайт Института Ближнего Востока - http://www.iimes.su/.
- Сайт Министерства науки и высшего образования РФ - перечень онлайн-курсов https://minobrnauki.gov.ru/common/upload/library/2020/03/Spisok_onlaynkursov_20200315-02.pdf.
- Cпециализированный ресурс для менеджеров по персоналу и руководителей http://www.hr-life.ru/.
- Справочно-информационный портал ГРАМОТА.РУ - http://gramota.ru/.
- Федеральный образовательный портал «Единое окно доступа к образовательным
ресурсам» - http://window.edu.ru/catalog/.
- Федеральный образовательный портал «Экономика Социология Менеджмент» http://ecsocman.hse.ru.
- Федеральный правовой портал «Юридическая Россия» - http://www.law.edu.ru.
- On line словарь и тезаурус Cambridge Dictionary https://dictionary.cambridge.org/ru/.
17
11. Материально-техническая база, необходимая для осуществления образовательного процесса по дисциплине (модулю)
Академия располагает материально-технической базой, в полной мере обеспечивающей проведение всех видов учебных занятий, дисциплинарной и междисциплинарной
подготовки, практической и научно-исследовательской работы обучающихся, предусмотренной учебным планом по данной дисциплине (модулю) и соответствующей действующим санитарным и противопожарным правилам и нормам. Минимально необходимый перечень материально-технического обеспечения для данной дисциплины включает в себя:
-учебные аудитории для проведения занятий лекционного типа на 40-180 рабочих
мест, оборудованные специализированной (учебной) мебелью (столы, стулья, доска аудиторная меловая либо интерактивная), а также презентационной техникой;
-учебные аудитории для проведения занятий семинарского типа 20 - 40 рабочих
мест, оборудованные специализированной (учебной) мебелью (столы, стулья, доска аудиторная меловая либо интерактивная), а также презентационной техникой;
- учебные аудитории для проведения групповых и индивидуальных консультаций,
текущего контроля и промежуточной аттестации на 20-40 рабочих мест, оборудованные
специализированной (учебной) мебелью (столы, стулья, доска аудиторная меловая либо
интерактивная);
-помещения для самостоятельной работы обучающихся, оснащенные компьютерной техникой с возможностью подключения к сети «Интернет» и обеспечением доступа в
электронную информационно-образовательную среду Академии.
18
Приложение №1 к РПД
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования «Дипломатическая академия
Министерства иностранных дел Российской Федерации»
Кафедра «Мировая экономика»
ФОНД
ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
для проведения текущего контроля, промежуточной аттестации
по дисциплине
Теория вероятностей и математическая статистика
Уровень высшего образования: Бакалавриат
Направление подготовки: 38.03.01 Экономика
Направленность (профиль): Мировая экономика
Квалификация (степень) выпускника: Бакалавр
Форма обучения: очная
Год набора 2020
Москва
19
Цель фонда оценочных средств по дисциплине (модулю) (далее ФОС) установление соответствия уровня сформированности компетенций обучающегося,
определенных в ФГОС ВО по соответствующему направлению подготовки и ОПОП ВО.
Задачи ФОС:
– контроль и управление достижением целей реализации ОПОП, определенных в виде
набора компетенций выпускников;
– оценка достижений обучающихся в процессе изучения дисциплины с выделением
положительных/отрицательных;
– контроль и управление процессом приобретения обучающимися необходимых знаний,
умений, навыков, определенных в ФГОС ВО и ОПОП ВО;
– обеспечение соответствия результатов обучения задачам будущей профессиональной
деятельности через совершенствование традиционных и внедрение инновационных
методов обучения в образовательный процесс Академии.
1.
Перечень компетенций, формируемых в процессе освоения дисциплины
«Теория вероятностей и математическая статистика», с указанием этапов их
формирования:
Таблица 1.1
Этапы формирования компетенций
Код и расшифровка
компетенции
Начальный
(1)
ОПК-1 (2)
ОПК-2 (2)
ОПК-3 (2)
Основной
(2)
+
+
+
Завершающий
(3)
2. Показатели и критерии оценивания контролируемой компетенции на различных
этапах формирования, описание шкал оценивания
Таблица 2.1
Формируемые компетенции
Планируемые результаты обучения по дисциплине
(код компетенции, уровень
«Теория вероятностей и математическая статистика»
освоения)
ОПК-1 (2) – способность Знать:
методологию решения стандартных задач
решать стандартные задачи
профессиональной
деятельности
на
основе
информационной
и
библиографической
культуры с применением
информационнокоммуникационных
технологий и с учетом
основных
требований
информационной
безопасности
профессиональной
деятельности
на
основе
информационной и библиографической культуры с
применением
информационно-коммуникационных
технологий
и
с
учетом
основных
требований
информационной безопасности
Уметь: использовать методологию решения стандартных
задач профессиональной деятельности на основе
информационной и библиографической культуры с
применением
информационно-коммуникационных
технологий
и
с
учетом
основных
требований
информационной безопасности
Владеть
навыками
решения
стандартных
задач
профессиональной
деятельности
на
основе
информационной и библиографической культуры с
20
применением
информационно-коммуникационных
технологий
и
с
учетом
основных
требований
информационной безопасности
Знать: методологию анализа и интерпретации данных для
решения профессиональных задач
Уметь:
использовать
методологию
анализа
и
интерпретации данных для решения профессиональных
задач
Владеть: навыками анализа и интерпретации данных для
решения профессиональных задач
ОПК-3 (2) – способность Знать: методологию обоснования расчетов
выбрать
инструментальные Уметь: использовать методологию обоснования расчетов
средства
для
обработки Владеть : методологией обоснования расчетов
ОПК-2 (2) – способность
осуществлять сбор, анализ и
обработку
данных,
необходимых для решения
профессиональных задач,
экономических
данных
в
соответствии с поставленной
задачей,
проанализировать
результаты
расчетов
и
обосновать полученные выводы
Таблица
2.2.
Темы дисциплины
Теория вероятностей и математическая статистика
Наименование оценочного средства
Перечень формируемых компетенций
ОПК- 1 (2) ОПК-2 (2)
ОПК-3 (2)
Текущий контроль
Тема 1. Основные понятия алгебры событий. Вероятность
события. Свойства вероятности.
Контрольные вопросы и
самостоятельная работа
+
Тема 2. Частота, или статистическая вероятность, события
Контрольные вопросы и
самостоятельная работа
+
Перестановки, размещения, сочетания
Тема 3. Алгебра событий. Условная вероятность.
Независимость событий. Теорема умножения и следствия из
нее. Сложение и умножение вероятностей. Противоположные
события.
Тема 4. Теорема полной вероятности. Формула Бейеса.
Формула Бернулли
самостоятельная работа
Контрольные вопросы и
самостоятельная работа
Темы 1-4
Контрольная работа 1
Тема 5. Дискретные и непрерывные случайные величины.
самостоятельная работа
Закон распределения дискретной случайной величины.
Функция распределения. Плотность распределения.
Тема 6. Числовые характеристики случайной величины.
Контрольные вопросы и
самостоятельная работа
Контрольная работа 2
Темы 5-6
Тема 7. Формула Бернулли. Биномиальное распределение и Контрольные вопросы и
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Контрольная работа 3
+
+
+
Тема 8-9
Тесты - Рубежный
контроль 1
+
+
Тема 10. Статистическое оценивание. Точечные и
Контрольные вопросы
+
+
+
+
+
+
его параметры.
Тема 8. Распределение Пуассона и его параметры
самостоятельная работа
Самостоятельная работа
Тема 9. Равномерное распределение и его параметры.
Нормальное распределение и его параметры
интервальные оценки.
Контрольная работа 4
Контрольные вопросы и
самостоятельная работа
Тема 11. Проверка статистических гипотез. Критерии
21
принятия гипотезы. Область принятия гипотезы, критическая
область.
Тема 12.Элементы теории корреляций. Коэффициент
корреляции. Метод наименьших квадратов.
Самостоятельная работа
+
+
+
Темы 9-11
Тест - Рубежный
контроль 2
+
+
+
Темы 1-12
Промежуточный
контроль – Экзамен
+
+
+
3. Типовые контрольные задания или материалы, необходимые для оценки знаний,
умений, навыков и опыта деятельности, характеризующих результаты обучения в
процессе освоения
дисциплины «Теория вероятностей и математическая
статистика» методические материалы, определяющие процедуры оценивания
3.1 Вопросы для контроля самостоятельной работы
по теме 1
1. Случайное событие. Классификация событий.
2. Классическое определение вероятности события.
по теме 2
3. Статистическое определение вероятности.
4. Геометрическое определение вероятности.
5. Основные понятия комбинаторики.
6. Правила произведения и суммы.
7. Виды комбинаций элементов конечных множеств: размещения, перестановки,
сочетания и их свойства.
8. Вычисление числа возможных сочетаний, размещений и перестановок.
по теме 3
9. Операции над событиями.
10. Диаграммы Венна.
11. Теорема сложения для несовместных событий.
12. Понятие зависимости событий и условная вероятность.
13. Теорема умножения вероятностей.
по теме 4
14. Формула полной вероятности.
15. Формула Бейеса.
по теме 5
16. Понятие непрерывной и дискретной случайной величины.
17. Функция распределения дискретной случайной величины и ее график.
18. Повторные испытания, формула Бернулли.
19. Локальная теорема Лапласа.
20. Интегральная теорема Лапласа.
21 Математическое ожидание, метод вычисления и свойства.
21. Дисперсия, метод вычисления и свойства,
22. Среднее квадратическое отклонение.
23. Мода и медиана.
по теме 6
24. Непрерывные случайные величины и их вероятностные характеристики.
25. Интегральная и дифференциальная функция распределения.
по теме 7
26. Распределение Пуассона и его характеристики.
22
27. Экспоненциальное распределение и его характеристики.
по теме 8
28. Равномерное распределение и его характеристики.
29. Геометрический закон распределения и его характеристики.
30. Гипергеометрическое распределение и его характеристики.
по теме 9
31. Нормальное распределение и его характеристики.
32. Правило трех сигм.
33. Закон больших чисел.
по теме 10
34. Генеральная и выборочная совокупности, повторная и бесповторная выборки.
35.Эмпирическая функция распределения.
36. Среднее арифметическое, дисперсия, стандартное отклонение, мода, медиана, размах
вариационного ряда.
37. Графическое представление статистических данных.
38. Несмещенность и состоятельность выборочной оценки.
39. Доверительная вероятность. Формула расчета доверительной вероятности.
40. Средняя квадратическая ошибка характеристик выборки при повторном и
безповторном отборе членов.
по теме 11
41. Понятие статистической гипотезы.
42. Критерий. Критическая область. Область отвержения гипотезы.
43. Критерий Колмогорова.
44. Критерий согласия «хи-квадрат».
45. Критерий согласия Пирсона.
по теме 12
46. Понятие корреляционной зависимости.
47. Основные задачи теории корреляции: выбор связи, оценка тесноты и существенности
связи.
48. Коэффициент корреляции, методы его вычисления и свойства.
49. Метод наименьших квадратов.
3.2 Задания для самостоятельных работ.
Тема 1 « Классическое определение вероятности событий» и Тема 2 «Комбинаторика и
вероятность»
1. Сколькими различными способами можно разложить 8 карточек с цифрами от 1 до 8.
2. Слово математика составлено из букв разрезанной азбуки. Какова вероятность, что эта буква будет а?
3. Какова вероятность того, что в наудачу выбранное двузначное число делится на 10?
4. Подбрасывается три игральных кубика, подсчитывается суммы очков, выпавших на них.
Сколькими способами можно получить в сумме 5 очков?
5. В урне имеются 20 шаров: 15 белых и 5черных. Извлекли два шара. Какова вероятность того, что оба шара – белые.
6. Сколькими различными способами можно выбрать 3 лица на 3 различные должности из 8
кандидатов?
7. Сколькими различными способами можно выбрать 3 лица на 3 одинаковые должности из 8
кандидатов?
8. Сколько различных шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 1,1,2,3,3,4.
9. Сколько различных перестановок букв можно сделать в слове мануфактура.
10. При стрельбе по мишени частота попаданий W=0,75. Найти число попаданий при 40 выстрелах.
Тема 3 «Алгебра событий. Основные теоремы теории вероятностей» и Тема 4 « Полная
23
вероятность»
1.
Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при
одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, для второго 0,8, для третьего 0,9. Найти
вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков; хотя
бы один стрелок.
2.
В урне 7 черных шаров и 5 желтых шаров. Найти вероятность того, что
среди наудачу извлеченных 4-х шаров окажется более 2-х желтых.
3.
Устройство состоит из 4-х независимых узлов. Вероятность отказа 1-го узла
равна 0,1, 2-го - 0,12, 3-го - 0,15 и 4-го - 0,2. Найти вероятность надежной работы двух;
трех узлов.
4.
В двух урнах имеются шары: в первой - 7 красных и 5 желтых, во второй 10 красных и 4 желтых. Извлекаются из первой урны 2 шара, а из второй - 1 шар. Из
этих трех шаров затем наудачу извлекается один шар. Найти вероятность того, что этот
шар красный.
5.
Три станка подают детали в общий бункер. Вероятность выпуска
бракованной продукции для первого станка 0,03, для второго - 0,02 и для третьего - 0,01.
Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а
производительность третьего в два раза больше, чем у второго. Какова вероятность того,
что взятая наудачу деталь из бункера окажется годной?
6.
Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено из группы
№ 1 четыре студента, из группы № 2 - шесть и из группы № 3 - пять студентов.
Вероятность того, что выбранный студент из первой группы попадет в сборную команду,
равна 0,5, из второй- 0,4, из третьей- 0,3. Найти вероятность того, что наудачу
выбранный студент попадет в сборную.
Тема 5 и Тема 6 «Дискретные и непрерывные случайные величины».
1. В партии, содержащей 12 изделий, имеются 3 бракованных. Выбраны случайным
образом 4 изделия для проверки их качества. Найти закон распределения
случайной величины X - числа бракованных изделий среди отобранных.
Найти интегральную функцию распределения и построить ее график.
2. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения
0
F ( x) x 2
1
при
x 0,
при
при
0 x 1,
x 1.
Найти вероятность того, что в результате трех независимых испытаний величина Х
дважды примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,75).
3. Непрерывная случайная величина X задана плотностью вероятностей:
0
f ( x) a sin x
0
при
при
при
x 0,
0 x ,
x .
Найти: параметр a ; интегральную функцию распределения F(x); вероятность
попадания X на интервал ( / 3; 2 / 3) .
4. Плотность вероятностей задана графически с точностью до неизвестного параметра
b (см. рис.). Найти: полное аналитическое выражение для f(x); F(x); P(1/ 3 X 1).
24
5. Производится одно испытание. Вероятность появления события A в этом
испытании равна p. Найти математическое ожидание и дисперсию числа
появлений события A.
6. Независимые случайные величины X и Y заданы рядами распределения:
X
-2
1
3
5
Y
-1
1
2
4
P
0,1 0,3
0,2
…
P
0,3
0,4
0,2
…
Найти среднее
случайной величины Z 3 X 2Y 2 .
Случайная величина X задана рядом распределения
7.
X
P
-2
0,2
1
0,3
2
0,4
квадратичное
отклонение
3
0,1
Найти дисперсию случайной величины Z = 3X2 - 2X + 1.
Темы 7-8 «Законы распределения вероятностей случайной величины»
1. Произведено 6 выстрелов по цели. Вероятность промаха при каждом выстреле
одинакова и равна 0,4. Найти наивероятнейшее число попаданий и его вероятность; вероятность разрушения цели, если для этого требуется не менее двух попаданий. Построить
ряд распределения числа попаданий.
2. При массовом производстве шестерен вероятность изготовления годной
шестерни равна 0,9975. Найти вероятность того, что из 800 наугад взятых шестерен более
двух будут бракованными.
3. Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну
минуту, равно трем. Найти вероятность того, что за две мин. поступит: а) пять вызовов; б)
менее пяти вызовов.
4. Производится ряд попыток включить двигатель. Каждая занимает время t и
заканчивается успешно независимо от других с вероятностью
p . Построить ряд
распределения общего времени T , которое потребуется для включения двигателя, найти
его математическое ожидание и дисперсию.
5. Имеется n лампочек; каждая из них с вероятностью q 0,1 имеет дефект.
Лампочка ввинчивается в патрон и включается ток; при этом дефектная лампочка сразу
же перегорает и заменяется новой. Построить ряд распределения числа лампочек X ,
которое будет испробовано и найти вероятность того, что свет появится при третьем
включении.
6. Испытываются два независимо работающих элемента. Длительность времени
безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение
F1 (t ) 1 e 0,02 t , второго F2 (t ) 1 e 0,05t . Найти вероятность того, что за время t =
6 час. откажут оба элемента; оба элемента будут работать; откажет только один элемент.
Тема 9 «Нормальный закон распределения. Закон больших чисел»
1. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора
округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,05.
2. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена
по нормальному закону с математическим ожиданием ( проектной длиной ),
равным 60 мм. Фактическая длина изготовленных деталей не менее 58 мм и не
более 62 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше
25
61 мм; б) меньше 60,5 мм.
Тема 11 «Проверка статистических гипотез»
1. Имеются две независимые выборки с объемами n=10p1 и m=20p2, которые
извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей. Для этих выборок
найдены выборочные средние x=40p2 и y=50p3. Кроме этого, известны генеральные
дисперсии D(X)=8,5p3 и D(Y)=7,5p2. При уровне значимости α=0,01 проверьте нулевую
гипотезуH0: M(X)=M(Y), если альтернативная гипотеза H1: M(X)<M(Y).
2. Из генеральных совокупностей X и Y, распределенных по нормальному закону,
извлечены малые выборки с объемами соответственно n = p1 и m = p3, выборочными
средними
x
=
p2/2
и
y
=
p3/3
и
исправленными
дисперсиями sX2 = p1/50, sY2 = p3/80. При уровне значимости α = 0,05
проверьте нулевую гипотезу H0: M(X)=M(Y), если альтернативная гипотеза H1: M(X)
M(Y).
3. Для генеральной совокупности, заданной распределением:
xi 5
10 15 20 25 30 35 .
2
2
Ni p1
3p1 p2
2p2 p2 2p3 2 p3
Найдите генеральную среднюю, генеральную дисперсию, генеральное стандартное
отклонение, моду, медиану и размах.
4. Из генеральной совокупности сделана выборка, заданная распределением:
xi
2
4
6
8
10
12
14
.
2
p
ni
p2
2p2
p1
p3
2p3
p2+p3
1
Найдите несмещенные дисперсию и стандартное отклонение.
5.
Из партии объемом 100p1 однородных товаров
для проверки
по схеме случайной бесповторной выборки отобрано 10p3 товаров, среди которых
оказалось 8p3 небракованных. Найдите вероятность того, что доля бракованных товаров
во
всей
партии
отличается
от
полученной
доли
в выборке не более чем на 0,02 (по абсолютной величине), а также границы, в которых с
надежностью
0,96
заключена
доля
бракованных
товаров
во всей партии.
Тема 12. «Элементы теории корреляций»
1. Найдите коэффициент корреляции и определите тесноту связи двух вариантов,
заданных таблицей:
xi
0,1p1 0,3p2
0,5p3
p1
p3
.
yi
p3
p2
2p1
3p3
4p2
2. Определите выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X и постройте
его график по данным наблюдений, представленных в следующей таблице.
xi
p1
2p2
3p3
4p1
5p2
yi
3p3
2p1
p2
p1
p3
3.3. Контрольные работы
Контрольная работа №3.
1. Вероятность появления события A в каждом из 800 проведенных испытаний равна 0,4.
Определить вероятность того, что относительная частота появлений события A будет
заключена в пределах от 0,38 до 0,42.
2.Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения вероятностей:
26
Построить графики функции и плотности распределения. Записать аналитически
функцию плотности распределения. Определить числовые характеристики распределения
и вероятность события Р (Х > 1).
3.Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей
Построить графики функции и плотности распределения. Записать аналитически
функцию распределения. Определить числовые характеристики распределения и
вероятность события Р (Х < 5).
4.Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей:
Построить графики функции и плотности распределения. Записать аналитически
функцию распределения. Определить числовые характеристики распределения и
вероятность события Р (1< Х < 3).
Контрольная работа № 4.
1. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум
параметрам (в % от общего числа кредитов): по величине и срокам.
,
В рассматриваемом периоде банк выдал 100 кредитов.
Определить объем кредитного портфеля банка, если средний размер кредита
«Мелкий» был равен 100 тыс. руб., кредита «Средний» – 700 тыс. руб., кредита
«Крупный» – 2 млн руб.
2. Из генеральной совокупности X извлечена выборка объема n =100:
Построить аналитически и графически ее эмпирическую функцию распределения
вероятностей F*(x) . Определить основные числовые характеристики распределения и
вероятность Р (Х < 5).
3. Двумерный случайный вектор (X,Y) задан законом распределения
X=1
X=2
X=3
Y=1
0.12
0.23
0.17
Y=2
0.15
0.2
0.13
Событие A X 2, событие B X Y 3. Какова вероятность события А+В?
4. Уравнение регрессии имеет вид Y=5,1-1,7*х. Охарактеризовать два
коэффициента регрессии. Определить направление, тесноту связи между переменными.
27
3.4.
Фонд тестовых заданий
Тема 1.
1.События образуют полную группу если они …
являются единственно возможными и попарно несовместными.
попарно совместны
попарно несовместны
являются единственно возможными
2. Установите соответствие между событиями и их вероятностями
1)Достоверное событие
а) 0
2)Невозможное событие
б) 1
Правильный ответ:
1) => б)
2) => а)
3. Впишите недостающие слова в название событий (со строчной буквы):
1) Событие называется __________ (обозначается буквой Ω), если в результате
испытания оно обязательно должно произойти;
2) Событие называется __________ (обозначается буквой Ø), если в результате
испытания оно не может произойти;
3) Два несовместных события, из которых одно должно обязательно произойти
называются __________
Правильные ответы: 1. достоверным 2. невозможным 3. противоположными
4. Впишите недостающие слова в название событий (со строчной буквы):
1) Два события называются __________ если появление одного из них не влияет на
вероятность появления другого;
2) Два события называются __________ если появление одного из них исключает
появления другого;
3) Два несовместных события, из которых одно должно обязательно произойти
называются __________
Правильные ответы: 1. независимыми 2. несовместными 3. противоположными
5. . Вероятность достоверного события, равна
Вероятность случайного события
Вероятность невозможного события равна
Тема 2.
1. Понятие факториала. Укажите, какое из следующих выражений записано
неверно.
*7!=1+2+3+4+5+6+7
8! = 4!∙5∙6∙7∙8
(n+1)!=n!∙(n+1)
2. Расположите в порядке УБЫВАНИЯ …
а) C 53
б) A 35
с) P5
Правильный ответ:
1) c
2) b
3) a
3. Бросаются одновременно две игральные кости. Какова вероятность, что сумма
28
выпавших очков не больше 6?
а)
5/12; б)
5/6; в)
7/12; г)
4/9; д) нет правильного ответа
4. Каждая буква слова «РЕМЕСЛО» написана на отдельной карточке, затем
карточки перемешаны. Вынимаются три карточки наугад. Какова вероятность получить
слово «ЛЕС»?
а)
2/105; б)
3/7; в)
1/105; г)
11/210; д) нет правильного ответа
5.Абонент забыл последнюю цифру номера телефона своего знакомого и набрал ее
наугад. Вероятность того, что он набрал правильный номер, равна:
А) 1 б) 0 в) 0,5 г) 0,1
Тема 3.
1. Из урны в которой находятся 6 белых шаров и 4 черных шара, вынимают
одновременно 4 шара. Тогда, вероятность того, что из четырех отобранных шаров три
окажутся белыми Игральная кость бросается два раза. Тогда, вероятность того, что сумма
выпавших очков не меньше девяти равна …
*1)
8
21
2)
2
21
3)
2
1
4)
105
2
2. В коробке 4 стандартных и 2 бракованных детали. Подряд вынимают 2 детали,
при этом не возвращают их обратно в коробку. Вероятность того, что обе вынутые детали
бракованные, равна
3. В коробке 4 стандартных и 2 бракованных детали. Последовательно по одной
вынимают 2 детали, при этом каждый раз возвращают их обратно в коробку. Вероятность
того, что обе вынутые детали бракованные, равна
4. На 5 карточках разрезной азбуки написаны буквы О, П, Р, С, Т. Перемешанные
карточки вынимаются по одной и располагаются в одну линию. Вероятность прочесть
слово «СПОРТ» равна___
5. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение
недели подорожать на 4 % с вероятностью 0,9 или подешеветь на 4 % с вероятностью 0,1.
Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели.
Установите соответствие между случайными событиями и вероятностями этих событий.
- Курс ценной бумаги упадет --- 0,19
- Курс ценной бумаги вырастет --- 0,81
- Курс ценной бумаги не изменится --- 0
- нет соответствия --- 0,01
- нет соответствия --- 0,18
Тема 4.
1. Банк выдал пять кредитов. Вероятность того, что кредит не будет погашен в срок
равна 0,1. Тогда, вероятность того, что в срок не будут погашены три кредита равна …
*0,0081
0,3
0,03
0,015
2. Среди студентов второго курса 50% ни разу не пропускали занятия, 40%
пропускали занятия не более 5 дней за семестр и 10% пропускали занятия 6 и более дней.
Среди студентов, не пропускавших занятия, 40% получили высший балл, среди тех, кто
29
пропустил не больше 5 дней – 30% и среди оставшихся – 10% получили высший балл.
Студент получил на экзамене высший балл. Найти вероятность того, что он пропускал
занятия более 6 дней.
а)
1/3; б)
4/5; в)
2/33; г)
1/33; д) нет правильного ответа
3. В магазин поступили электролампы, произведенные 2 заводами. Среди них 80%
изготовленные- 1 заводом, а остальные-2-ым. Известно, что 10% ламп 1-го завода и 20%
ламп 2-го завода содержат скрытый дефект. Вероятность приобрести в этом магазине
лампу без дефекта равна ______
4. Бросаются одновременно две игральные кости. Какова вероятность, что сумма
выпавших очков не больше 6?
а)
5/12; б)
5/6; в)
7/12; г)
4/9; д) нет правильного ответа
5. Институт получает контрольные работы студентов их 3-х городов: А, В, С.
Вероятность получения контрольной работы из города А- 0,5, из города В- 0,2.
Вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С, равна _____
Тема 5.
1.
Математическое ожидание дискретной случайной величины, заданной законом распределения вероятностей:
X
3
p
p1
Тогда, значение вероятности p2 равно …
*х = 0,7
х = 0,6
х = 0,3
х = 0,4
5
p2
2. Случайная величина X имеет дисперсию D(X)=3. Установите соответствие между
случайными величинами:
Y=2X+5;
Z=3X-6;
L= X+24
и значением их дисперсий.
1)D(Y)
а) 27
2)D(Z)
б) 12
3)D(L)
в) 3
Правильный ответ:
1 => б)
2
=> а)
3 => в)
3. Известны законы распределения случайных величин X, Y и Z:
Установите соответствие случайными величинами и значением их математических
ожиданий.
30
1.
M(X)
2.
M(Y)
3.
M(Z)
Правильный ответ:
1 => a)
2 => в)
3 => б)
а) 1,5
б) 1,7
в) 1,8
4. Инвестиционная компания предлагает для инвестиций два портфеля акций,
каждый из которых содержит акции трех различных фирм. Согласно экспертной оценке,
ожидаемая годовая прибыль акций первого портфеля составит:
- 5 тыс. долл. с вероятностью 0,5 (для акций первой фирмы);
- 10 тыс. долл. с вероятностью 0,2 (для акций второй фирмы); и
- 3 тыс. долл. с вероятностью 0,3 (для акций третьей фирмы).
Для второго портфеля акций прогноз таков:
5,5 тыс. долл. — с вероятностью 0,6 (для акций первой фирмы);
5 тыс. долл. — с вероятностью 0,3 (для акций второй фирмы); и
6,5 тыс. долл. — с вероятностью 0,1 (для акций третьей фирмы).
Необходимо:
1) Построить законы распределения ожидаемого дохода акций каждого
портфеля;
2) Оценить математическое ожидание годового дохода портфельных
инвестиций;
3) Сделать вывод о направлении вложений.
Более высокий доход ожидается от акций портфеля …
Правильный ответ: 2
5. Дискретные случайные величины X и Y заданы своими законами
распределения
X
-1
1
3
Р(Х)
0.3
0.4
0.3
Y
Р(Y)
0
0.5
1
0.5
Случайная величина Z = X+Y. Найти вероятность P Z E Z Z
а)
0.7; б)
0.84; в)
0.65; г)
0.78; д) нет правильного ответа
Тема 6.
1. Непрерывная случайная величина X задана своей функцией распределения
0, x 1
F x 0.5 x 0.5, 1 x 3
Найти P X 0.5; 2
1, x 3
а)
0.5; б)
1;
в)
0;
г)
0.75; д) нет правильного ответа
2.
Непрерывная случайная величина X задана своей плотностью вероятности
0, x 1
f x C ( x 1) 2 , 1 x 2 . Найти P X 1.5; 2 .
0, x 2
31
а)0.125;
б)0.875;
в)0.625;
г)0.5; д) нет правильного
ответа
3. Интеграл от плотности распределения f(x) непрерывной случайной величины по
всей числовой оси равен _____
А) 0,5 Б) 0,1
в)
2
*г) 1
4. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения
вероятностей:
Тогда значение параметра C равно …
5. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей:
Тогда ее плотность распределения вероятностей имеет вид …
Тема 7.
1. Случайная величина задана законом распределения вероятностей
1
2
3
P
0,5
0,2
0,3
Тогда интегральная функция распределения вероятностей F (x) имеет вид
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
X
при x 1
0
0,5 при 1 x 2
F ( x)
0,7 при 2 x 3
1
при x 3
при x 1
0
3)
0,5 при 1 x 2
F ( x)
0,2 при 2 x 3
0,3
при x 3
1)
при x 1
0,5
0,7 при 1 x 2
F ( x)
1 при 2 x 3
0
при x 3
при x 1
0
4)
0,5 при 1 x 2
F ( x)
0,7 при 2 x 3
0,7
при x 3.
2)
2. Установите соответствие
математическими формулами
1) Закон распределения Пуассона
между законами
а) N ( x)
2
2) Биномиальный закон распределения б) P( X m)
3) Нормальный закон распределения
Правильный ответ:
1 => б)
32
1
распределения
x a 2
e
2 2
m e
m!
в) P( X m) C n p q
m
m
nm
и
их
2 => в)
3 => а)
3. Укажите, какие законы распределения, указанные в таблице, используются в
теории и практике для следующих:
1) статистический контроль качества продукции;
2) оценка вероятности редких явлений;
3) оценка надежности продукции.
А. Закон распределения
Б. Практическое приложение закона
Закон распределения Пуассона
Показательный закон распределения
Биномиальный закон распределения
Правильный ответ: Б – 2, 3, 1
4. Интеграл от плотности распределения f(x) непрерывной случайной величины,
распределенной по закону Пуассона, по всей числовой оси равен
А) 0,5 Б) 0,1
в)
2
*г) 1
5. Случайная величина X распределена по показательному закону с плотностью
распределения вероятностей__________
Тогда вероятность
определяется как -
Тема 8.
1. Укажите, какие законы распределения, указанные в таблице, используются в
теории и практике для следующих:
1) статистический контроль качества продукции;
2) оценка вероятности редких явлений;
3) оценка надежности продукции.
А. Закон распределения
Б. Практическое приложение закона
Закон распределения Пуассона
Показательный закон распределения
Биномиальный закон распределения
Правильный ответ: Б – 2, 3, 1
2. Независимые непрерывные случайные величины X и Y равномерно
распределены на отрезках: X на 1,6 Y на 2,8 . Случайная величина Z = 3X +3Y +2.
Найти D(Z)
а)
47.75; б)
45.75; в)
15.25;
г)
17.25;
д) нет
правильного ответа
3. Интеграл от плотности распределения f(x) непрерывной случайной величины,
распределенной по гипергеометрическому закону, по всей числовой оси равен
А) 0,5 Б) 0,1
в)
2
*г) 1
4. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения
вероятностей:
33
Тогда ее дисперсия равна …
- 25/18
5. Дан график плотности распределения вероятностей непрерывной случайной
величины X :
Тогда
график
ее
функции
распределения
вероятностей
имеет
вид
…
Тема 9.
1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50:
xi
11
12
14
15
ni
4
19
20
7
Тогда, несмещенная оценка математического ожидания равна …
13,14
13,0
13,34
13,2
2. Установите соответствие между законами распределения и их математическими
формулами
1
x a 2
1)Закон распределения Пуассона
а) N ( x)
2)Биномиальный закон распределения
б) P( X m)
3)Нормальный закон распределения
в) P( X m) C n p q
2
e
2 2
m e
m!
m
m
nm
Правильный ответ:
1) => б)
2) => в)
3) => а)
3. Расположите указанные распределения в порядке ВОЗРАСТАНИЯ их
математического ожидания
34
1
а) N ( x)
e
2
б) N ( x)
1
e
2 2
( x 3) 2
2
( x 5 ) 2
8
( x 2 )2
1
в) N ( x)
e 18
3 2
Правильный ответ:
1) а 2) в 3) б
4. Расположите указанные распределения в порядке УБЫВАНИЯ их
математического ожидания
1
а) N ( x)
e
2
б) N ( x)
( x 3) 2
2
1
e
2 2
( x 5 ) 2
8
( x 2 )2
1
в) N ( x)
e 18
3 2
Правильный ответ:
1) б 2) в 3) а
5. Вероятность появления некоторого события в каждом из 400 независимых
испытаний постоянна и равна 0,8. Тогда вероятность того, что событие появится не менее
300 и не более 328 раз, следует вычислять как …
, где Ф(t) – функция Лапласа
Тема 10.
1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 114, полигон частот
которой имеет вид:
Тогда число вариант xi = 12 в выборке равно …
*32
82
8
31
2. Точечная оценка математического ожидания нормально распределенного
количественного признака равна 6,04. Тогда его интервальная оценка с точностью 1,66
имеет вид …
*(6,38; 7,70)
(5,38; 6,38)
(1,66; 3,32)
3. Впишите недостающие слова в название применяемых на практике средних
35
величин, применяемых в статистическом анализе (со строчной буквы):
1.
Средней __________ вариационного ряда называется сумма произведений
всех вариантов на соответствующие частоты, деленная на сумму частот;
2.
__________ вариационного ряда определяет значение признака, приходящегося на середину ранжированного ряда наблюдений;
3.
__________ вариационного ряда определяет вариант, которому соответствует наибольшая частота.
Правильные ответы: 1. арифметической 2. медиана 3. мода
4. Полуширина 90% доверительного интервала, построенного для оценки
неизвестного математического ожидания нормально распределенной случайной величины
X для объема выборки n=120, выборочного среднего x =23 и известного значения =5,
есть
а)
0.89; б)
0.49 ; в) 0.75;
г)
0.98;
д) нет правильного
ответа
5. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение
недели подорожать на 5 % с вероятностью 0,8 или подешеветь на 5 % с вероятностью 0,2.
Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели.
Максимально возможный курс ценной бумаги будет принадлежать интервалам (в руб.) …
- (1101,0; 1103,4)
- (1100,4; 1103,0)
6. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум
параметрам (в % от общего числа кредитов): по величине и срокам.
,
Выдан долгосрочный кредит. Установите соответствие между видом кредита и
вероятностью его выдачи.
- «крупный» --- 4/13
- «средний» --- 3/13
- «мелкий» --- 6/13
- не имеет соответсвия --- 4/7
- не имеет соответсвия --- 2/7
Тема 11.
1. Статистической гипотезой называется …
*любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения
гипотеза, уровень значимости которой равен единице
гипотеза, уровень значимости которой - положителен
гипотеза, уровень значимости которой – отрицателен
2. Основная гипотеза имеет вид H0 : p=0,4. Тогда конкурирующей может являться
гипотеза …
H1 : p > 0,4
H1 : p < 0,4
H1 : p ≠ 0,4
*Любая из перечисленных
3. Правосторонняя критическая область может определяться из соотношения …
36
*Р(К > 5,86) = 0,05
Р(К < 5,86) = 0,1
Р(4,12 < К < 5,86) = 0,25
4. Соотношением вида Р(К < -12,09) = 0,025 можно определить …
правостороннюю критическую область
*левостороннюю критическую область
двустороннюю критическую область
5. Значимость парного коэффициента корреляции проверяется с помощью ___
Тема 12.
1. При построении выборочного уравнения парной регрессии вычислены
выборочный коэффициент корреляции rB = -0,66 и выборочные средние квадратические
отклонения σX = 2,4 и σY = 1,2. Тогда выборочный коэффициент регрессии X на Y равен …
*-1,32
1,32
0,33
-0,33
2. Статистическое распределение выборки имеет вид:
xi
wi
10
0,25
12
w2
17
0,12
19
0,05
24
0,33
19
8
24
16
Тогда значение относительной частоты w2 равно …
0,14 *0,25 0,61 072
3. Статистическое распределение выборки имеет вид:
xi
wi
10
23
12
7
17
13
Тогда объем выборки равен …
*67 100 56
40
4. Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид
y x 3,14 2,15x 2,07 . Тогда выборочное среднее признака X равно …
*– 2,07
– 3,14
2,15
5. На основании 20 наблюдений выяснено, что доля дисперсии случайной
величины Y, обусловленная вариацией Х, составляет 64%. Выборочный парный
коэффициент корреляции равен
*а) 0,8 б) 0,64 в) 0,36 г) 0,6
3.5.
Вопросы для подготовки к экзамену по « Теории вероятностей и
математической статистике».
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
1. Предмет теории вероятностей.
2. Случайные события. Пространство элементарных событий. Сложное событие.
37
3. Операции над событиями. Вероятность как мера возможности появления случайных событий. Диаграммы Эйлера.
4. Классическое определение вероятностей . Свойства вероятностей.
5. Статистическое определение вероятностей, геометрическое определение вероятности. Понятие аксиоматического определения вероятности.
6. Условная вероятность событий. Произведение событий. Зависимые и независимые события.
7. Вероятность суммы событий.
8. Схема Бернулли. Вероятность хотя бы одного успеха.
9. Полная группа событий. Формула полной вероятности.
10. Теорема гипотез (Формула Байеса).
11. Теорема о появлении ровно m событий в n испытаниях ,проведенных по схеме
Бернулли. ( Формула Бернулли).
12. Асимптотические формулы . Формулировки теорем Пуассона, локальной и интегральной теорем Лапласа.
13. Случайная величина. Законы распределения дискретной случайной величиныряд распределения, полигон распределения, функция распределения. Свойства
функции распределения дискретной случайной величины. Числовые характеристики случайных величин. Свойства математического ожидания и дисперсии.
14. Распределения Пуассона и Бернулли.
15. Непрерывные случайные величины. Центрированная и нормированная случайная величина. Интегральный и дифференциальный законы распределения непрерывной случайной величины. Свойства функции и плотности распределения.
16. Числовые характеристики непрерывной случайной величины: математическое
ожидание, дисперсия , коэффициенты асимметрии и эксцесса. Начальные и центральные моменты распределений случайных величин.
17. Формулировка центральной предельной теоремы.
18. Наиболее часто встречающиеся в практике использования теории вероятностей
законы распределения: показательный, нормальный, экспоненциальный, закон
равномерной плотности. Графики, параметры распределений. Попадание непрерывной случайной величины в заданный интервал.
19. Дискретные двумерные случайные величины.
20. Законы распределения вероятностей двумерной случайной величины – таблица
распределения и функция распределения. Свойства функции двумерного закона
распределения.
21. Условные распределения дискретной двумерной случайной величины.
22. Числовые характеристики двумерной дискретной случайной величины – условные и безусловные математическое ожидание , дисперсия, ковариационный момент и коэффициент корреляции.
23. Зависимость и коррелированность случайных величин.
24. Линейная регрессия.
25. Алгебра событий. Аксиоматическое определение вероятности.
Предельные теоремы теории вероятностей. Неравенство Чебышова. Теорема Чебышева.
Неравенство Маркова. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема.
26. Функция случайного аргумента. Закон распределения монотонной функции одного
случайного аргумента, имеющего плотность распределения f(x).
27. Случайные функции . Характеристики случайной функции одного аргумента.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.
1. Предмет математической статистики. Задачи математической статистики.
38
2. Генеральная и выборочные совокупности случайных величин. Первичная обработка выборочных данных группировка, построение гистограммы распределения случайных величин..
3. Эмпирические интегральная и дифференциальная функции распределения. Их
свойства.
4. Выборочные числовые характеристики случайных величин (точечные оценки)
дисперсии , математического ожидания, коэффициентов асимметрии , эксцесса
,корреляции.
5. Понятие о требованиях к выборочным числовым характеристикам случайной величины - несмещенность , состоятельность и эффективность выборочных числовых характеристик. Доказательства несмещенности и состоятельности среднего
арифметического выборки. Исправленная выборочная дисперсия.
6. Построение доверительных интервалов для числовых характеристик распределений. Доверительный интервал для математического ожидания в случае нормального распределения случайной величины ( случаи когда среднеквадратическое известно и неизвестно),
7. Определение доверительного интервала для математического ожидания случайной
величины распределенной по нормальному закону ( в случае когда количество
наблюдений мало).
8. Возможность использования нормального закона распределения при построении
доверительного интервала для математического ожидания случайной величины
распределенной по неизвестному для исследователя закону.
9. Понятие о статистических гипотезах. Односторонние и двусторонние критерии
проверки статистических гипотез. Ошибки первого и второго рода. Понятие о
мощности критерия.
10. Сравнение двух средних генеральных совокупностей распределенных по нормальному закону .
11. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения.
39
Приложение 1.1
Перечень оценочных средств для текущего контроля успеваемости
№
п/п
1
2
3
4
Наименование
оценочного
средства
Контрольные
вопросы по теме
Краткая характеристика оценочного
средства
Средство контроля усвоения учебного
материала темы, раздела или разделов
дисциплины,
организованное
как
учебное занятие в виде опроса
обучающихся.
Комплект заданий по темам
Самостоятельная
работа
Контрольная
работа
Тест
Комплект контрольных заданий по
вариантам
Система стандартизированных заданий,
позволяющая
автоматизировать
процедуру измерения уровня знаний и
умений обучающегося.
Представление
оценочного средства
в фонде
Вопросы по
темам/разделам
дисциплины
Задания по темам
Комплект заданий
по вариантам
Фонд
тестовых
заданий
Оценочное средство для промежуточной аттестации
№
п/п
Форма контроля
Наименование оценочного средства
Представление оценочного
средства в фонде
Экзамен
Письменный экзамен
Перечень вопросов, заданий
Полный комплект оценочных средств для текущего контроля успеваемости и для
промежуточной аттестации представлен на кафедре.
Приложение 1.2
Характеристика оценочного средства №1
Оформление контрольных вопросов по теме
Опрос является одним из средств текущего контроля. Опрос рекомендуется
использовать для проверки и оценивания знаний, умений и навыков обучающихся,
полученных в ходе занятий по освоению дисциплины. Проводится в виде письменного
или устного опроса группы обучающихся. В ходе опроса для каждого обучающегося
предусмотрено по 1 вопросу. Максимальное количество баллов, которые может получить
обучающийся, равно 10 баллам. При опросе оценивается способность обучающегося
правильно сформулировать ответ, умение выражать свою точку зрения по данному
вопросу, ориентироваться в терминологии и применять полученные в ходе лекций и
практик знания.
Критерии оценки:
Максимальный балл 10
40
9-10 баллов
6-8 баллов
3-5 баллов
0-2 балла
Правильно и развернуто ответил на вопрос;
Использовал терминологию по дисциплине;
Применил навыки обобщения и анализа информации с
использованием междисциплинарных знаний и положений;
Высказал свою точку зрения;
Продемонстрировал знание
Сжато ответил на вопрос;
Использовал терминологию по дисциплине;
Не полностью применил навыки обобщения и анализа
информации с использованием междисциплинарных знаний и
положений;
Высказал свою точку зрения;
Продемонстрировал некоторое знание
Сжато и не совсем точно ответил на вопрос;
Использовал терминологию по дисциплине;
Применил навыки обобщения и анализа информации с
использованием междисциплинарных знаний и положений;
Не высказал свою точку зрения
Не высказал свою точку зрения
Продемонстрировал отсутствие знаний по теме
Приложение 1.3
Характеристика оценочного средства №2
Пример варианта самостоятельной работы
по курсу теория вероятностей и математическая статистика
1. В поисках нужной книги студент опрашивает 3-х товарищей. Вероятности получить
нужную книгу у 1-го, 2-го, 3-го товарищей соответственно равны 0,3, 0,4, 0,5.
Определить вероятность того, что студент получит книгу у одного из товарищей.
2. Вероятность работы каждого из независимо работающих элементов электрической
цепи p 0,95. Найти вероятность работы цепи.
4. Часы изготавливаются на трех заводах и поступают в магазин. Первый завод
производит 40% всей продукции, второй - 35%, третий - 25%. Из продукции первого
завода спешат 10 % часов, у второго – 15 %, у третьего – 20 %. Какова вероятность
того, что купленные часы спешат?
5. Вероятность выхода из строя конструкции при приложении расчетной нагрузки 0,05.
Какова вероятность того, что из восьми конструкций, испытанных независимо друг от
друга, не менее шести выдержат нагрузку ?
41
6. Произведено 100 выстрелов, вероятность попадания при одном выстреле – 0,95. Найти
вероятность того, что попали 96 раз; не менее 96 раз.
Критерии оценки:
9-10 баллов
8 баллов
5-7 баллов
3-4
0-2 балла
Максимальный балл 10
Все правильные решений (100 % ответов)
Все правильные решения, допускается ошибка в вычислениях (до
75 % ответов)
¾-1/2 правильных решений (50-70 % ответов)
До ½ правильных решений (30-50% ответов)
0-18 правильных решений (менее 30% ответов)
Приложение 1.4
Характеристика оценочного средства №3
Примеры задач к контрольным работам по курсу теория вероятностей и математическая
статистика.
Контрольные работы
1.
2.
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины распределенной
с плотностью
x 1
0;
f ( x) x 0.5; 1 x 2
0
x2
По данным выборки из 50 значений составлен эмпирический ряд распределения.
Определить эмпирическую функцию распределения и построить её график. Найти
вероятность попадания случайной величины в интервал 2;4 .
Х
n
-4
2
-2
6
0
25
2
13
4
3
6
1
3. На бензозаправочную станцию поставляется топливо с трех баз. В каждый момент
времени на базе находится топливо поставленное только с одной базы. Обьем
поставленного топлива с каждой базы относятся как 2\3\.5. Вероятность поставки
бракованного топлива с первой базы 0.1, со второй 0,2, с третьей 0,3. Какова вероятность
поставки бракованного топлива? На бензозаправочную станцию поставлено бракованное
топливо. Какова вероятность , что оно поставлено с первой базы.
4. В урне 6 белых и 8 черных шаров . Из урны последовательно дважды выбирается по
два шара. Какова вероятность сложного события : при второй выборке оба шара черные
если в первую выборку попали один черный и один белый шар? ( А также задачи на
размещения и перестановки. ).
42
5..При разведочном бурении производится отбор керна. Вероятность
успешного отбора
керна при каждой попытке равна 0.6. Планируется
совершить пять попыток отбора
керна. Какова вероятность удачи.( Хотя бы
1 керн отобран). Сколько попыток подъема керна надо запланировать , чтобы с
вероятностей 0,95 керн был получен?
6. Найти доверительный интервал для математического ожидания случайной величины
Х при доверительной вероятности 0.95 . Обьем выборки n 30 . Случайная
величина Х распределена по нормальному закону. Выборочные M( х)= 2 и S =4.
7 . Измеряется диаметр- X однотипных деталей. Измерения подчиняются нормальному
закону с M(X) = 50 мм, 1 мм.. Найти вероятность того, что измерение будет сделано с
ошибкой не превосходящей (по модулю) 2,0 мм..
8. В базовом лагере альпинистов проживают 6 мужчин и 4 женщины. Для восхождения
по жребию выбрано 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных для
восхождения туристов окажутся 3 женщины и 4 мужчины..
9. Производится стрельба из винтовки В распоряжении стрелка 3 патрона. Вероятность
попадания в мишень при каждом выстреле 0.6. Выполнение упражнения заканчивается
после 1-го попадания или 3-х промахов. Составить закон распределения числа
израсходованных патронов. Определить величину математического ожидание числа
попаданий в мишень
10. На складе находятся 15 ремонтных комплекта для двигателя помещенного в
закрытые ящики. Пять комплектов не полных. Со склада отпускается одновременно 3
ящика с ремонтными комплектами. а) Какова вероятность того , что среди трех
комплектов один не полный? б) Со склада в два приема забираются три ящики с
оборудованием . В первый раз вывозится один ящик. При его вскрытии оказывается , что
в нем находится неполный комплект. Во второй раз вывозится два ящика. В них
оказываются полные комплекты. Какова вероятность этого составного события?
11. . Один раз в сутки, ежедневно, осуществляется съем намытого золота с промприбора.
В среднем из лотка при съеме извлекается 2 самородка. Найти вероятность того что, при
очередном съеме в лотке окажется три самородка. Хотя бы один самородок будет
найден.
12. По данным выборки из 50 значений составлен эмпирический ряд распределения.
Определить эмпирическую функцию распределения и построить её график. Найти
вероятность попадания случайной величины в интервал 2;4 .
Х
n
-4
2
-2
6
0
25
2
13
4
3
6
1
Объем контрольной работы зависит от количества предложенных задач. В
контрольной работе должно быть отражено умение систематизировать, анализировать,
обобщать, делать выводы и связывать теоретические знания с практикой.
В контрольной работе должны быть сформулированы теоретические обоснования
выбора методов решения задач.
Оформление контрольной работы выдержано в структуре – титул (фамилия, имя
бакалавра, номер группы , дата выполнения), содержание контрольной работы, ответы .
43
Критерии оценки:
Максимальный балл 10
Все правильные решений (100 % ответов)
Все правильные решения, допускается ошибка в вычислениях (до
75 % ответов)
¾-1/2 правильных решений (50-70 % ответов)
До ½ правильных решений (30-50% ответов)
0-18 правильных решений (менее 30% ответов)
9-10 баллов
8 баллов
5-7 баллов
3-4
0-2 балла
Приложение 1.5
Характеристика оценочного средства №4
Оформление тестов
Тест
Пример теста для текущей оценки успеваемости:
1. Сколькими способами могут разместиться в очереди 8 человек?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) 720
2) 5040
3) 40320
4) 20160.
2. Из урны, в которой находятся 8 белых и 4 черных шара, извлекают наудачу 2 шара.
Тогда вероятность того, что оба шара будут белыми, равна
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) 8 / 33
2) 7 / 33
3) 19 / 33
4) 14 / 33 .
3. Дайте определение достоверному событию.
4. Несовместные события A, B, C не образуют полную группу событий, если их вероятности равны:
1) P( A) 2 / 3, P( B) 1 / 6, P(C ) 1 / 6
3) P( A) 1 / 4, P( B) 2 / 3, P(C ) 1 / 12
2) P( A) 1 / 6, P( B) 1 / 3, P(C ) 1 / 2
4) P( A) 1 / 4, P( B) 1 / 3, P(C ) 1 / 12.
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
2)
1)
3)
4).
5. Учащийся знает 16 вопросов программы из 20. Тогда вероятность правильного ответа на 3 вопроса равна
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) 42 / 125
2) 28 / 57
3) 28 / 75 4) 10 / 19 .
6. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей
1
2
3
P
0,5
0,2
0,3
Тогда интегральная функция распределения вероятностей F (x) имеет вид
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
X
1)
0
0,5
F ( x)
0,7
1
при
x 1
при 1 x 2
при 2 x 3
при
x3
2)
при x 1
0,5
0,7 при 1 x 2
F ( x)
1 при 2 x 3
0
при x 3
44
3)
0
0,5
F ( x)
0,2
0,3
при
x 1
4)
при 1 x 2
при
2 x3
при
x3
0
0,5
F ( x)
0,7
0,7
при
x 1
при 1 x 2
при 2 x 3
при
x 3.
7. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией распределения
вероятностей
0
F ( x) x 2 / 4
1
при x 0,
при 0 x 2,
при x 2.
Тогда плотность вероятностей (x) равна_______
8. Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей
0
1
2
3
X
P
0,1
0,4
0,3
0,2
Тогда математическое ожидание X равно________
9. Закон распределения задан формулой:
для математического ожидания.
. Написать соотношение
Критерии оценки:
Максимально 10 баллов
33–40 правильных ответов (80-100 % ответов)
27-32 правильных ответов (67-79 % ответов)
19-26 правильных ответов (50-66 % ответов)
0-18 правильных ответов (менее 50% ответов)
Макс. 9-10 баллов
6-8 баллов
3-5 баллов
0-2 балла
Приложение 1.6
Форма экзаменационного билета
Экзаменационные билеты
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования «Дипломатическая академия
Министерства иностранных дел Российской Федерации»
___________________38.03.01 Экономика __________________
(код и наименование направления подготовки)
__________________ Торговая политика _________________
(наименование кафедры)
Дисциплина_____Теория вероятностей и математическая статистика______
Составитель ______________________________________Фаркова Н.А.
(подпись)
Заведующий кафедрой _____________________________ Толмачев П.И.
(подпись)
«___» ____________20__ г.
Экзаменационный билет №1
45
1. Аксиомы теории вероятностей, вероятностное пространство. Условная вероятность, формула полной вероятности, формула Байеса для систем событий.
2. Математическое ожидание непрерывной случайной величины, свойства математического ожидания. Неравенство Чебышева. Дисперсия и ее свойства.
3. Задача.
Экзаменационные билеты
Критерии оценки:
Оценка «ОТЛИЧНО» (28-30 баллов) ставится в том случае, когда обучающийся
обнаруживает систематическое и глубокое знание программного материала по
дисциплине, умеет свободно ориентироваться в вопросе. Ответ полный и правильный на
основании изученного материала. Выдвинутые положения аргументированы и
иллюстрированы примерами. Материал изложен в определенной логической
последовательности, осознанно, литературным языком, с использованием современных
научных терминов; ответ самостоятельный.
Обучающийся уверенно отвечает на
дополнительные вопросы.
Оценка «ХОРОШО» (20-27 баллов) ставится в том случае, когда обучающийся
обнаруживает полное знание учебного материала, демонстрирует систематический
характер знаний по дисциплине. Ответ полный и правильный, подтвержден примерами;
но их обоснование не аргументировано, отсутствует собственная точка зрения. Материал
изложен в определенной логической последовательности, при этом допущены 2-3
несущественные погрешности, исправленные по требованию экзаменатора. Обучающийся
испытывает незначительные трудности в ответах на дополнительные вопросы. Материал
изложен осознанно, самостоятельно, с использованием современных научных терминов,
литературным языком.
Оценка «УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО» (10-19 баллов) ставится в том случае, когда
обучающийся обнаруживает знание основного программного материала по дисциплине,
но допускает погрешности в ответе. Ответ недостаточно логически выстроен,
самостоятелен. Основные понятия употреблены правильно, но обнаруживается
недостаточное раскрытие теоретического материала. Выдвигаемые положения
недостаточно аргументированы и не подтверждены примерами; ответ носит
преимущественно описательный характер. испытывает достаточные трудности в ответах
на вопросы. Научная терминология используется недостаточно.
Оценка «НЕУДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО» (менее 10 баллов) ставится в том
случае, когда обучающийся не обнаруживает знание основного программного материала
по дисциплине, допускает погрешности в ответе. Ответ недостаточно логически выстроен,
самостоятелен. Основные понятия употреблены неправильно, обнаруживается
недостаточное раскрытие теоретического материала. Выдвигаемые положения
недостаточно аргументированы и не подтверждены примерами; испытывает достаточные
трудности в ответах на вопросы. Научная терминология используется недостаточно.
46
