Контрольная работа: Кратные интегралы, теория поля

Контрольная работа № 8
Кратные и криволинейные
интегралы.
Элементы теории поля.
ТЕМА 8. Кратные и криволинейные интегралы.
Элементы теории поля.
1. Двойные интегралы.
2. Тройные интегралы.
3. Криволинейные интегралы.
4. Теория поля.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов:в 3т.-5-е
изд.,стер.-М.:Дрофа .- (Высшее образование. Современный учебник).т.2.
Дифференциальное и интегральное исчисление.-2003.-509 с.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие:
в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс.Т.1. -2001.- 415 с.
3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
Учеб. для вузов: в 3-х томах. – 8-е изд.-М.: Физматлит. т.1 – 2001. -697 с.
4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. 22-е изд., перераб.- СПб: Профессия, 2003.-432 с.
5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Учеб. для вузов: В 3-х томах. –
5-е изд., перераб. и доп. –М.: Дрофа. Т.1. – 2003.-703 с.
6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Учеб. для вузов в
2-х частях. – 6-е изд. стер. –М. Физматлит, 2002, -646 с.
7. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в
2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд..-М.: ОНИКС 21 век,
ч.2. -2002.-416 с.
Решение типового варианта контрольной работы.
Задача 8.1. Записать двойной интеграл в виде повторного и изменить
порядок
интегрирования,
если
область
интегрирования
2
D : y  x ; y  2  x; x  0 .
Решение. Область интегрирования D является правильной (простой) в
направлении оси ОУ, т.к. любая прямая, параллельная оси ОУ, пересекает
границу области D не более чем двух точках. Первую точку пересечения с
линией у=х2 назовем точкой входа, а линию - линией входа, ее уравнение
у=х2. Вторую точку пересечения с линией у=2-х назовем точкой выхода, а
линию – линией выхода. Тогда повторный интеграл в правой части составлен
из двух определенных: первый берется по переменному у, оси которого ОУ
параллельны секущие прямые, он называется внутренним. Пределы
интегрирования в нем зависят от х и совпадают с ординатами точек
пересечения секущих с линией входа (нижний предел) и линией выхода
(верхний предел интегрирования). При
внутреннем интегрировании
переменное х считается постоянным, поэтому его результатом является
функция, которая после подстановки пределов интегрирования зависит от х.
Второй интеграл по х берется от этой функции по переменному х, а пределы
интегрирования в нем равны наименьшему (для нижнего) и наибольшему (для
верхнего) значению проекций точек области D на ось ОХ:
1
2 x
0
x2
 f ( x, y)dxdy   dx  f ( x, y)dy
D
При изменении порядка интегрирования линия входа в область D имеет
уравнение х=0, а линия выхода разбивается на две части, одна из которых
õ  ó , а вторая – уравнение õ  2  ó . По свойству
имеет уравнение
аддитивности двойного интеграла он разбивается на два, в каждом их которых
сделана замена на повторный с внутренним интегрированием по переменному
х, а внешним интегрированием по переменному у:
1
y
2
2 y
0
0
1
0
 f ( x, y)dxdy   dy  f ( x, y)dx   dy  f ( x, y)dx
D
Задача 8.2. Вычислить двойной интеграл по области D , ограниченной
графиками данных функций
 x  xy dxdy; y  x ; y  2 x.
2
1
D
Решение. Область интегрирования D является правильной (простой) в
направлении оси ОУ, поэтому заменяем двойной интеграл повторным с
внутренним интегралом по
у,
а внешним – по х. Линией входа в D
является прямая
ó
1
õ,
2
линией выхода – парабола ó  õ . Вычисляем
внутренний интеграл при постоянном
Лейбница с нижним пределом
х, применяя
1
õ и верхним пределом
2
формулу Ньютонаõ.
Находим точки
пересечения параболы и прямой из решения системы
ó
õ
õ
1
ó õ
2
1
õ, õ 2  4 õ  0,
2
õ1  0, õ2  4
Полученные абсциссы точек пересечения и дают пределы интегрирования во
внутреннем интеграле.
Процесс сведения двойного интеграла к двухкратному сводится к следующему:
x
 2
y2 

 dx 
x

xy
dxdy

dx
x

xy
dy

x
y

x
D
0 1
0 
2  1 x
x

2


4
x
2

4
2
2


 2
x  21
1 1 2 
 x  1 x 2  3 x3 dx 


x
x

x

x
x

x
x
dx



0 
0  2 8 
2  2
2 4  


4
4
5
2
4
 2 72 1 3 3 4 
 x  x  x  dx  2 128  1 64  3 256  40 .
7
6
32 
7
6
32
21

0
Задача 8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных координат к
полярным:
0
16  x 2
2 y  3x
dy .
2
2
x

y
2
 16  x
 dx 
4
Решение.
координатах.
Преобразуем
Преобразуем
Найдем границы области интегрирования в декартовых
 y 2  x 2  16
y   16  x 2 : 
y  0
 y 2  x 2  16
2
y  16  x : 
y  0
Изобразим область интегрирования:
Для расстановки пределов интегрирования в полярных координатах
учтем, что область D – круговой сектор, ограниченный дугой окружности
õ2  ó 2  16 , уравнение которой с учетом связи декартовых и полярных
координат
õ   cos 
y   sin 
примет вид
 2 cos 2    2 sin 2   16,
т.е.   4 .
D ограничена также лучами  

2
è 
3
.
2
Поэтому требуемый интеграл
I в полярных координатах получится из исходного с помощью связи
декартовых и полярных координат и домножения на  подынтегральной
функции внутреннего интеграла по  , учитывающего искажение элемента
площади в полярных координатах. В других примерах для расстановки
пределов интегрирования, использовать, по аналогии с декартовыми
координатами, рассечение D лучами, выходящими из центра полярной
системы координат. Если они пересекутся с границей D не более чем в двух
точках, то эта область - правильная по  , и пределы в повторном интеграле с
внутренним интегралом по  и внешним по  расставляются аналогично
расстановке по у и х в случае декартовых координат.
Процесс вычисления двухкратного интеграла в полярных координатах
после замены пределов интегрирования и подинтегральных выражений
сведется к следующему:
3
2
3
2
2  sin   3 cos
 d 0  cos 2   sin  2 d   d 0 2 sin   3 cos d 
4
2
4
2
3
2
3
2
3
2
 2 sin   3 cos  d  4  2 sin   3 cos d  4 2 cos  3sin    
4
0

2
2
2
3


 4  3 sin
 3 sin   24 .
2
2

Задача 8.4. Вычислить объем тела, ограниченного заданными
поверхностями:


z  4  x 2  y 2 ; 2 x  3 y  1; x  0;
y  0; z  0.
Решение. При сведении тройного интеграла к трехкратному и в
расстановке пределов в каждом из трех определенных интегралов действуем
по аналогии со случаем двойного интеграла. Область интегрирования V в
примере считаем правильной в направлении оси OZ, т.к. любая прямая,
параллельная оси OZ, пересекает границу области не более чем в двух точках.
Учитывая, что объем области V выражается в декартовых координатах
формулой
V   dxdydz,
V
а область V ограничена снизу плоскостью z=0, а сверху – поверхностью
параболоида вращения z=4-(x2+y2) можно свести тройной интеграл к
вычислению двойного интеграла от однократного:
 z  4  x  y  
V   dxdydz   
dz dxdy.



V
D 
z 0

2
2
Сначала вычисляется внутренний интеграл по переменному z с нижним
пределом z=0 и верхним пределом z=4-(x2+y2). Областью интегрирования D во
внешнем двойном интеграле является проекция тела V на плоскость XOY,
имеющая вид:
y
1/3
D
O
x
1/2
y=0, линия выхода y  1  2 x  . Проекцией
1
3
Линия входа в эту область
области D
на ось OX
1
служит отрезок 0,  .

2
Отсюда
следует, что во
1
1  2 õ , а во
3
1
внутреннем интеграле по х нижний предел 0, а верхний предел . В итоге
2
внутреннем интеграле по у нижний предел 0, верхний предел
объем V вычисляется с помощью трехкратного интеграла следующим образом:
1
2
V   dxdydz   dx
V
0
1
(1 2 x )
4 x 2  y 2
3


1
2
1
(1 2 x )
3
 dy  dz   dx  z
0
0
0
0

4 x  y
0
2
2

1
2
dy   dx
0
1
(1 2 x )
3
 4  x  y dy =
2
0
2
1
2
1

y3  3
   4  x 2 y  
3 0
0

1
2

1 2 x 
3

1
11
 
dx    4  x 2 1  2 x    1  2 x  dx 

3
3 3
 



1
2

1
1
x
x
x 
107  210 x  39 x 2  62 x3 dx  107 x  210  39  62  

81 0
81 
2
3
4 0

1
1
1
1 31 1  851
.
107  105  13 

81 
2
4
8 2 16  2592


2
3
4
Задача 8.5. 1) Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:
3
 x  y dl, где L : y  x ;0  x  1.
3
L
Решение. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода может быть
сведено к вычислению определенного интеграла, причем способ такого
сведения зависит от представления кривой интегрирования L. Если L задана
уравнением
y   x , a  x  b, где функция y   x  имеет непрерывную
производную  ' x  для õ  à, b , то
 f x, y dl   f x, x  1   ' x  dx
b
2
L
a
задана параметрически: õ  õt , y  yt ,   t   , где функции
xt  è yt  имеют непрерывные производные õ' t , y' t  , для x   ,   то
Если
L

 f x, y dl   f xt , yt 
x' t 2   y' t 2 dt

L
Если L задана в полярных координатах уравнением     ,     
функция    имеет непрерывную производную  '   для    ,   , то
и

 f x, y dl   f  cos ,  sin        '   d
2
2
L
В рассмотренном примере используется явное задание кривой L уравнением
y  x 3 . Поэтому, используя первый способ сведения интеграла по длине дуги к
определенному, получим:




 x  y dl  x  x  1   x   dx  2 x  y dl 1   x   dx 
2
1
3
3
L
3
3

0
t  1  9x
2
2
1
3

0
4
2tdt  36 x 3dx
 2 x 1  9 x dx 
x1 0  t  1
0
1
3

4
x2  1  t  10
10
10
1
1
1 t3
2
t t 2 dt   t 2 dt 
9 1
931
1 18
10

1
27
 1000  1.
3


2) Вычислить работу силы F  x 2i  x  y  j при перемещении
материальной точки по кривой y  x 2 от точки А(0;0) до точки В(1;1).

Решение. Работа переменной силы F Px, y , Qx, y  по перемещению
материальной точки по плоской кривой L c уравнением y   x  вычисляется с
помощью криволинейного интеграла 2-го рода по координатам
A   Px, y dx  Qx, y dy,
L
который сводится к определенному интегралу с учетом способа задания кривой
L. В приведенном примере кривая L задана явно уравнением y  x 2 , 0  x  1 .
Поэтому, по аналогии с переходом к определенному интегралу в предыдущем
примере, достаточно заменить:
y  x 2 , dy  2 xdx . Получим:
1


A   P( x, y )dx  Q( x, y )dy   x 2 dx  ( x  y )dy   x 2 dx  x  x 2 2 xdx 
L

L
0
1

1 
1 1

  3x  2 x dx   x 3  x 4   1   .
2 0
2 2

0
1
2
3
Задача 8.6. а) Вычислить площадь части сферы x 2  y 2  z 2  16 ,
вырезанной цилиндром x 2  y 2  4 y и плоскостью x  0, x  0, z  0
Решение. Область D является кругом (рис.2), поэтому решаем задачу в
полярных координатах. Тогда
z
x
z  16  x  y ,

,
x
16  x 2  y 2
2

4
16  z 2
2
z
y

,
y
16  x 2  y 2
2
4
 z   z 
1       

 x   y 
16  x 2  y 2
2
.
Элемент площади плоской области dS выражается в полярных координатах в
виде: dS  dd . Полярное уравнение окружности, ограничивающей область
интегрирования, будет иметь вид:
  4 sin  . Так как область интегрирования содержит начало полярной системы
точку О на своей границе, то вычисляем площадь поверхности  с помощью
поверхностного интеграла 1-го рода:

   1  d  

D
2

2
 16  1  cos  d  8  2
0
2
4 sin 
2
4
 z   z 
1       dS  
dd  4  d 
 x   y 
16   2
D
0
0

d
2
4 sin 


 4   16   2
d
0


16   2
0
Рис. 1
Рис. 2
б) Найти поверхностный интеграл 2-го рода I   z 2 dydz  xzdydz  ydxdy, где

замкнутая поверхность  состоит из внешней стороны части поверхности
параболоида  1 : x 2  y 2  4  z, z  0, а также из части плоскости  2 : z  0.
Решение. Применяем формулу Остроградского-Гаусса к
поверхностному интегралу 2-го рода I:
 P Q R 
dxdydz
I   Pdydz  Qdxdz  Rdxdy   



x

y

z



V
.
В векторной форме формула Остроградского-Гаусса имеет вид:


Ï   a n d   divadV ,

V

где в левой части – поток П векторного поля a через замкнутую поверхность
, а

 P Q R
diva 


x y z

Но тогда I   diva M dV , где векторное поле a M  имеет вид:
V




z 2   xz  y 2



 0.
a  M   z 2 i  xzj  yk . Но diva M  
x
y
z
Рис. 3.
Следовательно, I   0dV  0.
V
Задача 8.7. а) Найти координаты центра тяжести плоской однородной
пластины D, ограниченной линиями y  x 2 , x  2, y  0
Решение. Считаем плотность однородной пластины   1. Тогда ее
статические моменты относительно осей ОХ и ОУ определяются формулами:
M x   ydS , M y   xdS , а координаты ее центра тяжести Ñ xc ; y c 
D
D
определяются формулами: xc 
My
m
,
yc 
Mx
, где m  1  dS - масса
m
D
однородной пластины D с плотностью   1. Применяя эти формулы,
получаем:
2
x2
2
1
16
M x   ydxdy   dx  ydy   x 4 dx  ,
20
5
D
0
0
2
x2
2
m   dS   dxdy   dx  dy   x 2 dx 
D
D
0
0
0

2
x2
2
0
0
0
M y   xdxdy   xdx  dy   x 3 dx  4 ,
D
8
3.
Тогда xc 
My
m

3
,
2
yc 
My
m

6
.
5

 

y
x
 1i  
 10  j зависит только
2 2
2 2
1 x y
 1 x y

б) Доказать, что работа силы F  
от начального и конечного положения точки ее приложения и не зависит от
формы пути. Вычислить работу при перемещении точки приложения силы из
M 1 0,0 в M 2 1,1,.
Решение. Проверяем условие, достаточное для того, чтобы работа силы

F по перемещению точки по дуге  M 1 M 2 не зависела от формы пути:
 1  x 2 y 2  2x 2 y 2
P  
y
1 x2 y2

,
 

1



y y  1  x 2 y 2
1  x 2 y 2 2
1  x 2 y 2 2

 1  x 2 y 2  2x 2 y 2
P Q
Q  
x
1 x2 y2


,
то
есть
.
 

10


2 2
2
2

y x
x x  1  x y
1  x 2 y 2 
1  x 2 y 2 

P
x, y , Q x, y  непрерывны в любой
y
x
односвязной области D, содержащей  M 1 M 2
При этом функции Px, y , Qx, y ,
Тогда, для вычисления работы А =  Px, y dx  Qx, y dy находим криволинейный
Ä
интеграл 2-го рода

A

y


x
  1  x y  1dx   1  x y  10 dy.
2
2
2
2
В силу независимости этого интеграла
 M 1M 2
от пути интегрирования вычислим его вдоль ломаной M 1 NM 2 , где точка
N 1,0 :
M2(1; 1)
M1(0; 0)
N(1; 0)








y
x
y
x
 1dx  
 10 dy   
 1dx  
 10 dy 
2 2
2 2
2 2
2 2

1 x y


1 x y

M1N  1  x y
NM 2  1  x y
Тогда A   
1
1
1
1
 1





   1dx   

10
dy


x

arctgy

10
y
 1  arctg1  10   11
2

4
0
0

0
0 1 y
При вычислении криволинейного интеграла 2-го рода по M 1 N x меняется от 0
до 1, y  0, dy  0, а при вычислении аналогичного интеграла по
NM 2 x  1, dx  0, а y меняется от 0 до 1.
Задача 8.8 а) Найти величину и направление наибольшего изменения
поля U M   5x 2 yz  7 xy 2 z  5xyz 2 в точке M 0 1,1,1.
Решение. Доказано (см. [1], [2], [5], [6]), что скалярное поле U(M)
имеет в данной точке М0 максимальную производную по направлению
U
M 0  ,
l
которая равна модулю градиента поля U в этой точке:
max

U
M 0   gradU M 0  ,
l
если за вектор l , указывающий направление дифференцирования, взять
направление вектора gradU(M0). Поэтому в задаче требуется найти сам вектор
gradU M 0  



U
M 0 i  U M 0  j  U M 0 k .
x
y
z
Приведем соответствующие вычисления:
U
M   10 xyz  7 y 2 z  5 yz 2 ,
x
U
M 0   10  7  5  8 ,
x
U
M   5 x 2 z  14 xyz  5 xz 2 ,
y
U
M 0   5  14  5  4 ,
y
U
M   5 x 2 y  7 xy 2  10 xyz,
z
U
M 0   5  7  10  8 ,
z



gradU M 0   8i  4 j  8k
U
M 0   max U M 0   gradU M 0   8 2   42  8 2  12
gradU
l




б) Выяснить, является ли векторное поле a M   x  y i  z  y  j  2x  z k
потенциальным.

Решение. Векторное поле a M   потенциально, если в каждой точке М


из области определения поля rot a M   0. Находим

i



rot a M   , a  
x
P

j

y
Q

k
  R Q    P R    Q P  
i  
k ,




 j  
z  y z   z x 
 x y 
R
В этой формуле для удобства запоминания метода вычисления ротора
использован формальный оператор Гамильтона «набла»:

     
i
j k,
x
y
z
действующий по правилу нахождения векторного
произведения в
прямоугольных декартовых координатах.
Для других типов полей, исследуемых в задании 8, приведем их
определения:

Соленоидальное поле aPx, y, z , Qx, y, z , Rx, y, z  в каждой точке М области V
удовлетворяет условию

P
M   Q M   R M   0 .
diva M  
x
y
z

Гармоническое поле a M  является в каждой точке области V одновременно



потенциальным и соленоидальным, то есть rota M   0 и divaM   0
P
P
Q
Q
R
R
 1,
 0,
 0,
 1,
 2,
 0.
В нашем случае
Тогда
y
z
x
z
x
y




  

rot a M   0  1i  0  2 j  0  1k  i  2 j  k  0,
является потенциальным.

следовательно, поле a M  не
8.1.
Контрольная работа №8.
Вариант 1.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и сделать
0
2 x  6
1
8 x 2
чертеж области интегрирования  dx  f x, y dy
8.2. Вычислить двойной интеграл по области D  xy 2 dxdy, D : y  x 2 , y  2 x
D
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
1
1 x 2
0
0
к полярным:  dx 
1 x2  y2
dy
1 x2  y2
8.4. Вычислить площадь плоских фигур, ограниченных данными
линиями x  0; y  e x ; y  e
8.5. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода
 x  y dl, где   окружность x  y  4
2
2
2
2

8.6. Вычислить площадь части поверхности, уравнение которой задано в
условии задач первым, вырезанной другими заданными поверхностями из нее.
x2+z2=1, 2x+y=2, y-2, z=0 x>0, y>0, z>0
8.7. Найти координаты центра тяжести плоских однородных пластин,
ограниченных заданными линиями x 2  y 2  4, x  0, y  0
x>0, y>0
8.8. Найти угол между градиентами скалярных полей U x, y, z  è V x, y, z  в
точке M x, y, z  U 

yz 2
x2
1 1 
,
V

 6 y 3  3 6 z 3 , M  2 ,
,

2
2
x
2 3

8.1.
Контрольная работа №8.
Вариант 2.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и сделать
3
4 x x2
1
0
чертеж области интегрирования  dx

f  x, y dy
8.2. Вычислить двойной интеграл по области D  xy 3 dxdy, D : y  x 3 , y  0, y  4 x
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
2
к полярным:  dx
2
4 x 2
 sin x  y dy
2
2
 4 x
8.4. Вычислить площадь плоских фигур, ограниченных данными
линиями x  1  0; y  arc sin x; y 

2
8.5. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода
 8  x  y , где   отрезок прямой, соединяющий точки О0,0 и В2,2
dl

2
2
8.6. Вычислить площадь части поверхности, уравнение которой задано в
условии задач первым, вырезанной другими заданными поверхностями из нее.
y2+z2=4, x2+y2=4, x=0, y=0, x>0, y>0, z>0
8.7. Найти координаты центра тяжести плоских однородных пластин,
ограниченных заданными линиями
x2 y2

 1, x  3,
9
4
y2
8.8. Найти угол между градиентами скалярных полей U x, y, z  è V x, y, z  в
точке M x, y, z  U 
 1
1
1 

, V  x 2  y 2  3z 2 , M 
,
,


yz 2
2
3
 2
x
Контрольная работа №8.
Вариант 3.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и сделать
8.1.
1
8 y 3
0
4 y 4
чертеж области интегрирования  dy  f x, y dx
8.2. Вычислить двойной интеграл по области D  x  y dxdy, D : y 2  x, y  x
D
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
0
3 x 2
 3
0
к полярным:  dx 
dy
1 x2  y2
8.4. Вычислить площадь плоских фигур, ограниченных данными
линиями x  1; y  arc tgx; y 

4
0
8.5. Вычислить криволинейный интеграл 1-го
рода  43 x  3 y dl, где   отрезок прямой, соединяющий точки А0,4 и В4,0

8.6. Вычислить площадь части поверхности, уравнение которой задано в
условии задач первым, вырезанной другими заданными поверхностями из нее.
x2+y2=z2, x+y=1, x=0, y=0, x>0, y>0, z>0
8.7. Найти координаты центра тяжести плоских однородных пластин,
ограниченных заданными линиями
x y
  1, x  2,
2 3
y3
8.8. Найти угол между градиентами скалярных полей U x, y, z  è V x, y, z  в
точке M x, y, z  U 
1
xyz
,
V  x 2  9 y 2  6z 2 ,
 1 1 

M 1, ,
 3

6

8.1.
Контрольная работа №8.
Вариант 4.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и сделать
1
4 x 4
0
8 x3
чертеж области интегрирования  dx  f x, y dy
8.2. Вычислить двойной интеграл по области D  x 3  2 y dxdy, D : y  x 2  1, y  0
D
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
1
1 x 2
0
 1 x
к полярным:  dx

2
tg x 2  y 2
x2  y2
dy
8.4. Вычислить площадь плоских фигур, ограниченных данными
линиями y  ln x; x  2 y  2  e; y  0
8.5. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода
 ydl, где   дуга астроиды x  cos t, y  sin t, заключенная между точками А1,0 и В0,1
3
3

8.6. Вычислить площадь части поверхности, уравнение которой задано в
условии задач первым, вырезанной другими заданными поверхностями из нее.
y2+z2=y,
y2+z2=x2, x=y, x>0, y>0, z>0
8.7. Найти координаты центра тяжести плоских однородных пластин,
ограниченных заданными линиями y 2  2 x, x  1
8.8. Найти угол между градиентами скалярных полей U x, y, z  è V x, y, z  в
точке M x, y, z  U  x 2 yz 2 , V 
3
2
x 2  3y 2  2z 2 ,
 1
M  2, ,
 3

3

2 
8.1.
Контрольная работа №8.
Вариант 5.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и сделать
0
8 y3
1
2 y 6
чертеж области интегрирования  dy  f x, y dx
8.2. Вычислить двойной интеграл по области D  1  y dxdy, D : y 2  x, 5 y  x
D
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
4 x 2
2
к полярным:  dx
0
 cosx  y dy
2
2
 4 x 2
8.4. Вычислить площадь плоских фигур, ограниченных данными линиями
y  tgx;
y  ctgx;


y  0;  0  x  
2

8.5. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода
 2 ydl , где   первая прка циклоиды x  2t  sin t , y  21  cos t 

8.6. Вычислить площадь части поверхности, уравнение которой задано в
условии задач первым, вырезанной другими заданными поверхностями из нее.
z2=2xy, x=y2, y=1, z=0
x>0, y>0, z>0
8.7. Найти координаты центра тяжести плоских однородных пластин,
ограниченных заданными линиями x 2  2 y, 2 x  y 2
8.8. Найти угол между градиентами скалярных полей U x, y, z  è V x, y, z  в
точке M x, y, z  U 
 1
1
1 

, V  x 2  y 2  3z 2 , M 
,
,


x
2
3
 2
yz 2
Контрольная работа №8.
Вариант 6.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и сделать
8.1.
0
8x3
1
4x4
чертеж области интегрирования  dx  f x, y dy
8.2.
Вычислить
двойной
2
2
D  x  y dxdy, D : y  x  1, y   x  1
интеграл
по
области
D
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
1
1 x 2
0
0
к полярным:  dx 
dy
1 x2  y2
8.4. Вычислить площадь плоских фигур, ограниченных данными
линиями y  2  x 2 ; y  x
8.5. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода
y  x xydl

 x  y  , где   дуга кривой r  9 sin 2 , 0    4
2

2
2
2 2
8.6. Вычислить площадь части поверхности, уравнение которой задано в
условии задач первым, вырезанной другими заданными поверхностями из нее.
z2=2xy, x=y, x=1, z=0 x>0, y>0, z>0
8.7. Найти моменты инерции плоских однородных фигур, ограниченных
заданными линиями x=0, x=2, y=0, y=3 относительно координатных осей
8.8. Найти величину и направление наибольшего изменения скалярного поля
U M   U x, y, z  в точке M 0 x0 , y0 , z0  U M   xyz, M 0 0, 1,  2
8.1.
Контрольная работа №8.
Вариант 7.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и сделать
1
2 y 6
0
8 y3
чертеж области интегрирования  dy  f x, y,dx
8.2. Вычислить двойной интеграл по области D  x y  1dxdy, D : y  5 x, y  x, x  3
D
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
1
1 x 2
к полярным:  dx 
1
1  x 2  y 2 dy
0
8.4. Вычислить площадь плоских фигур, ограниченных данными
линиями y  ln x; y  ln 2e  x ; y  0
8.5. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода

 arctg x dl, где   дуга кардиоиды r  21  cos  , 0    2
y

8.6. Вычислить площадь части поверхности, уравнение которой задано в
условии задач первым, вырезанной другими заданными поверхностями из нее.
x2-y2=2z, x2+y2=3, y=0, z=0 x>0, y>0, z>0
8.7. Найти моменты инерции плоских однородных фигур, ограниченных
заданными линиями 4х2=9, у=0, у=3 относительно оси ОУ.
8.8. Найти величину и направление наибольшего изменения скалярного поля
U M   U x, y, z  в точке M 0 x0 , y0 , z0  U M   x 2 yz, M 0 2, 0, 2
8.1.
Контрольная работа №8.
Вариант 8.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и сделать
1
8 x 3
0
2 x 6
чертеж области интегрирования  dx  f x, y dy
8.2.
Вычислить
D  x  2dxdy,
D : y  x, y 
D
двойной
интеграл
по
области
1
x, x  2
2
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
2
к полярным: 
2  ÷2
 x  y 
dy
e
2
2
 2  2 x 2
8.4. Вычислить площадь плоских фигур, ограниченных данными линиями
xy  3; x  y  4
8.5. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода
 x  y dl, где   контур треугольника с вершинами А1,0, В0,1, О0,0

8.6. Вычислить площадь части поверхности, уравнение которой задано в
условии задач первым, вырезанной другими заданными поверхностями из нее.
x2+y2+z2=25, z=4
8.7. Найти моменты инерции плоских однородных фигур, ограниченных
заданными линиями у=3х, у=2х, х=1 относительно координатных осей
8.8. Найти величину и направление наибольшего изменения скалярного поля
U M   U x, y, z  в точке M 0 x0 , y0 , z0  U M   xy 2 z, M 0 1,  2, 0
8.1.
Контрольная работа №8.
Вариант 9.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и сделать
0
4 y  4
1
8 y 3
чертеж области интегрирования  dy  f x, y dx
8.2. Вычислить двойной интеграл по области D  xy dxdy, D : y  x 3 , y  0, x  2
D
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
2
4 x 2
0
0
к полярным:  dx  cos x 2  y 2 dy
8.4. Вычислить площадь плоских фигур, ограниченных данными
линиями y 2  2 x; 2 x  y  2  0
8.5. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода


 x  y dl, где   дуга лемнискаты Бернулли r  cos 2 ,  4    4
2

8.6. Вычислить площадь части поверхности, уравнение которой задано в
условии задач первым, вырезанной другими заданными поверхностями из нее.
x2+y2=y y=2, x=0, z=0, x>0, y>0, z>0
8.7. Найти моменты инерции плоских однородных фигур, ограниченных
заданными линиями х2+у2=4, у=0, у≥0 относительно координатных осей
8.8. Найти величину и направление наибольшего изменения скалярного поля
U M   U x, y, z  в точке M 0 x0 , y0 , z0  U M   xyz 2 , M 0 3, 0, 1
8.1.
Контрольная работа №8.
Вариант 10.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и сделать
1
8 x 3
0
4x4
чертеж области интегрирования  dx  f x, y dy
8.2. Вычислить двойной интеграл по области D  x  y dxdy,
D
D : y  x , y  8, y  0, x  3
3
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
1
1 x 2
к полярным:  dx 
1
1  x 2  y 2 dy
0
8.4. Вычислить площадь плоских фигур, ограниченных данными
линиями y 2  2 x; 2 x  y  2  0
8.5. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода
 ydl, где   дуга параболы y  2 x, отсеченная параболой x  2 y
2
2

8.6. Вычислить площадь части поверхности, уравнение которой задано в
условии задач первым, вырезанной другими заданными поверхностями из нее.
x2+y2+z2=4, x2+y2=2y, x=0, x>0, , z>0
8.7. Найти моменты инерции плоских однородных фигур, ограниченных
заданными линиями х2+у2=9, х+у=3, х≥0, у≥0 относительно оси ОУ
8.8. Найти величину и направление наибольшего изменения скалярного поля
U M   U x, y, z  в точке M 0 x0 , y0 , z0  U M   x 2 yz 2 , M 0 2, 1,  1
8.1.
Контрольная работа №8.
Вариант 11.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и сделать
0
8 y3
1
4 y 4
чертеж области интегрирования  dy  f x, y dx
8.2. Вычислить двойной интеграл по области D  xy 2 dxdy, D : y  x, y  0, x  1
D
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
3
к полярным:  dx
3
0
xy
dy
2

y
2 x
 9 x

2
8.4. Вычислить площадь плоских фигур, ограниченных данными линиями
xy  1; x  y;
y2
8.5. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода
 x  2 xy dx  2 xy  y dy, где   дуга параболы y  x от точки А1,1 до точки В2,4
2
2
2
8.6. Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода, используя формулу
Остроградского-Гаусса
 xdydz  ydz  zdxdy, где   внешняя сторона поверхности эллипсоида

x2 y2

 z2  1
9
4
8.7. Найти моменты инерции плоских однородных фигур, ограниченных
заданными линиями 2у=х2 у=2 относительно координатных осей.




8.8. Выяснить, является ли векторное поле a  Pi  Qj  Rk соленоидальным




a  x 2 yi  2 xy 2 j  2 xyzk
8.1.
Контрольная работа №8.
Вариант 12.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и сделать
1
6 y  y 2
5
0
чертеж области интегрирования  dy

f  x, y dx
8.2. Вычислить двойной интеграл по области D  e y dxdy, D : y  ln x, y  0, x  2
D
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
3
3 x 2
 3
0
к полярным:  dx  1  x 2  y 2 dy
8.4. Вычислить площадь плоских фигур, ограниченных данными линиями
xy  2; 2 x  y;
y 1
8.5. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода
 x  1dy  2 xydx, где   ломанная с вершинами О0,0, В2,0, А2,1
2

8.6. Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода, используя формулу
Остроградского-Гаусса
 x dydz  y dzdx  z dxdy, где   внешняя сторона поверхности куба 0  у  1, 0  z  1
2
2
2
8.7. Доказать, что работа силы F Pxy , Qxy  зависит только от начального и
конечного положения точки ее приложения и не зависит от формы пути.
Вычислить работу при перемещении точки приложения силы из
М 1 x1 , y1  в M 2 x2 , y 2  P  x,
Q  y,
M 1  1, 2, M 2 2, 3




8.8. Выяснить, является ли векторное поле a  Pi  Qj  Rk соленоидальным




a   yz  2 x i  xz  2 y  j  xyk
8.1.
Контрольная работа №8.
Вариант 13.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и сделать
5
0
чертеж области интегрирования  dx
3
f x, y dy

 8x x
2
8.2. Вычислить двойной интеграл по области D  y 1  x 2 dxdy, D : y  x 3 , y  3x
D
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
3
к полярным:  dx
0
9 x 2
 cosx  y dy
2
2
 9 x 2
8.4. Вычислить площадь плоских фигур, ограниченных данными линиями
x 2  y  1; x  1  2 y
8.5. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода

x  y dx  x  y dy ,
где   контур треугольни ка, образованного прямыми y  x, y  0
x2  y2
при положительном направлении обхода контура

8.6. Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода, используя формулу
Остроградского-Гаусса
 x dydz  y dzdx  z dxdy, где   внешняя сторона сферы x  y  z  1
3
3
3
2
2
2
8.7. Доказать, что работа силы F Pxy , Qxy  зависит только от начального и
конечного положения точки ее приложения и не зависит от формы пути.
Вычислить работу при перемещении точки приложения силы из
М 1 x1 , y1  в M 2 x2 , y 2 
P=x-y, Q=y-x,
M1(1,-1),
M2(1,1)




8.8. Выяснить, является ли векторное поле a  Pi  Qj  Rk соленоидальным




a  x 2  z 2 i  3xyj  y 2  z 2 k




8.1.
Контрольная работа №8.
Вариант 14.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и сделать
1
0
чертеж области интегрирования  dy
3
f x, y dx

 4 y  y
2
8.2. Вычислить двойной интеграл по области D  xy dxdy, D : y  x , y  0, x  y  2
D
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
1
к полярным:  dx
0
1 x 2
 sin x  y dy
2
2
 1 x 2
8.4. Вычислить площадь плоских фигур, ограниченных данными
линиями x  y 2  1; x  y  1
8.5. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода


x  y dx  x  y dy ,
x2  y2
где   окружность x 2  y 2  4 при обходе против часовой стрелки
8.6. Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода, используя формулу
Остроградского-Гаусса
2
2
2
 x dydz  y dzdx  z dxdy, где   полная поверхность конуса

x2 y2

 z 2  0, 0  z  1
4
4
8.7. Доказать, что работа силы F Pxy , Qxy  зависит только от начального и
конечного положения точки ее приложения и не зависит от формы пути.
Вычислить работу при перемещении точки приложения силы из
М 1 x1 , y1  в M 2 x2 , y 2  P=2xy, Q=x2,
M1(0,0),
M2(2,1)




8.8. Выяснить, является ли векторное поле a  Pi  Qj  Rk соленоидальным




a  2 xyzi  y yz  1 j  zk
8.1.
Контрольная работа №8.
Вариант 15.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и сделать
7
8 y y2
1
0
чертеж области интегрирования  dy
8.2.
Вычислить
двойной

f x, y, dx
интеграл
по
D  x 3  3 y dxdy,
области
D
D : x  y  1,
y  x  1, x  0
2
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
2
4 x 2
0
 4 x
к полярным:  dx

2
tg x 2  y 2
x2  y2
dy
8.4. Вычислить площадь плоских фигур, ограниченных данными линиями
xy  3; x  y  4
8.5. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода
 x  y dx, где   дуга параболы y  x от точки А0,0 до точки В2,4
2
2
2

8.6. Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода, используя формулу
Остроградского-Гаусса
 xdydz  ydxdz  zdxdy, где   полная поверхность цилиндра x  y  4,  1  z  1
2
2
8.7. Доказать, что работа силы F Pxy , Qxy  зависит только от начального и
конечного положения точки ее приложения и не зависит от формы пути.
Вычислить работу при перемещении точки приложения силы из
Ì 1 x1 , y1  â M 2 x2 , y 2  P=x4+4xy3,
Q=6x2y2-5y4,

M1(-2,-1),


M2(3,0)

8.8. Выяснить, является ли векторное поле a  Pi  Qj  Rk соленоидальным




a  2 x  3 y i  2 xyj  z 2 k
8.1.
Контрольная работа №8.
Вариант 16.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и сделать
7
8 y y2
1
0
чертеж области интегрирования  dy

f x, y, dx
8.2. Вычислить двойной интеграл по области D  xy 3 dxdy, D : y  x 3 , y  0, y  4 x
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
1
1 x 2
1
0
к полярным:  dx  tg x 2  y 2 dy
8.4. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями
z  x 2  y 2 ; x  y  1; x  0;
y  0; z  0
8.5. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода
 ydx  xdy, где   дуга окружности x  R cos t , y  R sin t от точки А1,0 до точки В0,1

8.6. Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода, используя формулу
Остроградского-Гаусса
 x dydz  y dzdx  z dxdy, ãäå   ïîëíàÿ ïîâåðõíîñò ü êîíóñà
2
2
x 2  y 2  z 2 , 0  z 4
2
8.7. Доказать, что работа силы F Pxy , Qxy  зависит только от начального и
конечного положения точки ее приложения и не зависит от формы пути.
Вычислить работу при перемещении точки приложения силы из
Ì 1 x1 , y1  â M 2 x2 , y 2  P  e x cos y,
Q  e x sin y,

M1(0,0),



M2(1,2)
8.8. Выяснить, является ли векторное поле a  Pi  Qj  Rk потенциальным.




a   yz  2 x i  xz  zy  j  xyk
Контрольная работа №8.
Вариант 17.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и сделать
8.1.
2
0
чертеж области интегрирования  dx
4
f x, y dy

 6 x  x
2
8.2. Вычислить двойной интеграл по области D  x 3  y dxdy,
D
D : x  y  1, x  y  2, x  1, x  0
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
к полярным:
2
0
xy
dy
2

y
2 x
 4 x
 dx 
2
2
8.4. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями


z  2  x 2  y 2 ; x  2 y  1; x  0; y  0; z  0
8.5. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода
 xydx   y  x dy, ãäå  äóãà ïàðàáîëû y  x îò òî÷êè À0,0 äî òî÷êè Â1,1
2

8.6. Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода, используя формулу
Остроградского-Гаусса
 xdydz  ydzdx  zdxdy, ãäå  âíåøíÿÿ ñòîðîíà
ïîâåðõíîñò è ñôåðû x 2  y 2  z 2  9
8.7. Найти функцию U x, y  по заданному ее полному дифференциалу:


dU  4 x 2  y 2 xdx  ydy 




8.8. Выяснить, является ли векторное поле a  Pi  Qj  Rk потенциальным.




a  yzi  xzj  xyk
8.1.
Контрольная работа №8.
Вариант 18.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и сделать
3
чертеж области интегрирования  dy
1
0
f  x, y, dx

 4y y
2
8.2. Вычислить двойной интеграл по области D  x  1 y 2 dxdy, D : y  3x 2 , y  3
D
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
3
к полярным:  dy
3
9 y 2

1  x 2  y 2 dx
 9 y 2
8.4. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями
z  x;
y  4; x  25  y 2 ;
x  0; y  0; z  0
8.5. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода
 xydx   y  x dy, ãäå  äóãà ïàðàáîëû
y 2  x îò òî÷êè À0,0 äî òî÷êè Â1,1

8.6. Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода, используя формулу
Остроградского-Гаусса
 2 xdydz  ydxdz  zdxdy, где   поверхность тела x  y  z  4, 3z  x  y
2
2
2
2
2
8.7. Найти функцию U x, y  по заданному ее полному дифференциалу:
dU 
x  2 y dx  ydy
 x  y 2




8.8. Выяснить, является ли векторное поле a  Pi  Qj  Rk потенциальным.




a  6 xyi  3x 2  2 y j  zk


Контрольная работа №8.
Вариант 19.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и сделать
8.1.
6
8x x2
2
0
чертеж области интегрирования  dx

f  x, y dy
8.2. Вычислить двойной интеграл по области D  x  y dxdy, D : y  x 2  1, y  3
D
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
2
4 x 2
0
0
к полярным:  dx  ln 1  x 2  y 2 dy
8.4. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями
2 x  3 y  12  0; 2 z  y 2 ; x  0; y  0; z  0
8.5. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода
 ydx  xdy, где   замкнутая окружность x  2 cos t, y  2 sin t , 0  t  2

8.6. Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода, используя формулу
Остроградского-Гаусса
 x  yz dydz  y  xz dxdz  z  xy dxdy, где  состоит из нижней полусферы
3
3
z  16  x 2  y 2
3
и части плоскости z  0
8.7. Найти функцию U x, y  по заданному ее полному дифференциалу:
dU 
ydx  xdy
3 x  2 xy  3 y 2
2




8.8. Выяснить, является ли векторное поле a  Pi  Qj  Rk потенциальным.




a  2 x  yz i  2 x  xy  j  yzk
Контрольная работа №8.
Вариант 20.
8.1.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и сделать
4
0
чертеж области интегрирования  dy
2
f  x, y dx

 6y y
2
8.2. Вычислить двойной интеграл по области D  x y  5dxdy,
D
D : x  5, x  y  5  0, x  0
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
1
0
1
 1 x 2
dy
к полярным:  dx 
x 2  y 2 sin 2 x 2  y 2
8.4. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями
z  x2  2 y 2 ;
y  x; x  0; y  1; z  0
8.5. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода
 ydx  xdy, ãäå  çàìêíóòûé
ýëëèïñ
x  cos t ,
y  3 sin t , 0  t  2

8.6. Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода, используя формулу
Остроградского-Гаусса
 x cos ydydz  sin ydxdz  z  1 dxdy, ãäå  âíåøíÿÿ ñòîðîíà
2
ïîëíîé
ïîâåðõíîñò è öèëèíäðà
x 2  y 2  1, 0  z  2
8.7. Найти функцию U x, y  по заданному ее полному дифференциалу:




dU  2 xy 3  y dx  x  2 y  3x 2 y 2 dy




8.8. Выяснить, является ли векторное поле a  Pi  Qj  Rk потенциальным.




a   y  z i  3xyzj  z  x k
Контрольная работа №8.
Вариант 21.
 f x, y dxdy в виде повторного с внешним
8.1. Представить двойной интеграл
D
интегрированием по x и внешним интегрированием по y, если границы области
интегрирования
D
ограничены
кривыми
с
уравнениями:
y  x  x2 ,
y  3, x  0
8.2. Вычислить двойной интеграл по области D  xy 3 dxdy, D : y 2  1  x, x  0
D
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
1 x 2
1
к полярным:  dx 
1
x 2  y 2 e x  y dy
2
2
0
8.4. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями
z  y 2 ; x  y  1; x  0; z  0
8.5. Используя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по
замкнутому контуру   1  x 2 ydx  x1  y 2 dy, ãäå  îêðóæíîñòü x 2  y 2  1

8.6. Вычислить, используя формулу Стокса или непосредственно
криволинейный интеграл 2-го рода и пояснить его физический смысл
 ydx  zdy  xdz, ãäå  îêðóæíîñòü

x 2  y 2  z 2  1

x  y  z  0
8.7. Найти функцию U x, y  по заданному ее полному дифференциалу:
x
y
x

x
x2
dU  e 1  dx  2 e y dy
y
y





8.8. Выяснить, является ли векторное поле a  Pi  Qj  Rk потенциальным.



a   y  z i  x  z  j  x 2  y 2 k


Контрольная работа №8.
Вариант 22.
8.1. Представить двойной интеграл
 f x, y dxdy в виде повторного с внешним
D
интегрированием по x и внешним интегрированием по y, если границы области
интегрирования D ограничены кривыми с уравнениями: x 2  2 y, 5x  2 y  6  0
8.2. Вычислить двойной интеграл по области D  y1  x dxdy, D : y 3  x, y  x
D
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
3
9 x
3
0
к полярным:  dx  ln 1  x 2  y 2 dy
8.4. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями
z  2 x 2  y 2 ; x  y  1; x  0; y  0; z  0
8.5. Используя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по
замкнутому контуру   x  y dx  x  y dy, где   эллипс

x2 y2

1
4
9
8.6. Вычислить, используя формулу Стокса или непосредственно
криволинейный интеграл 2-го рода и пояснить его физический смысл
  y  z dx  z  x dy  x  y dz,

x 2  y 2  z 2  4
где   окружность 
x  y  z  0
8.7. Найти функцию U x, y  по заданному ее полному дифференциалу:


dU  x  y dx  x  y 2 dy




8.8. Выяснить, является ли векторное поле a  Pi  Qj  Rk потенциальным.




a  x  y i  2 xzj  3 y  z k
Контрольная работа №8.
Вариант 23.
8.1. Представить двойной интеграл
 f x, y dxdy в виде повторного с внешним
D
интегрированием по x и внешним интегрированием по y, если границы области
интегрирования D ограничены кривыми с уравнениями: x  8  y 2 , y  0, y  0
x2
dxdy, D : x  2, y  x, xy  1
2
D y
8.2. Вычислить двойной интеграл по области D 
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
1
1 x 2
0
 1 x 2
к полярным:  dx
dy
 1 x  y
2
2
8.4. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями
x 2  y 2  1; z  2  x 2  y 2 ; z  0
8.5. Используя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по
замкнутому контуру 
e

 x2  y2
 cos 2 xydx  sin 2 xydy , ãäå   îêðóæíîñòü
x2  y2  4

8.6. Вычислить, используя формулу Стокса или непосредственно
криволинейный интеграл 2-го рода и пояснить его физический смысл
  y  z dx  z  x dy  x  y dz, ãäå   ýëëèïñ

x 2  y 2  1


z
x   1
2

8.7. Найти массу однородного тела, ограниченного данными поверхностями,
считая его плотность   1 x 2  y  3, 2 y  z  0, z  0




8.8. Выяснить, является ли векторное поле a  Pi  Qj  Rk потенциальным.




a  z 2 i  xz  y  j  x 2 yk
Контрольная работа №8.
Вариант 24.
8.1. Представить двойной интеграл
 f x, y dxdy в виде повторного с внешним
D
интегрированием по x и внешним интегрированием по y, если границы области
интегрирования
D
ограничены
кривыми
с
уравнениями:
x 2   y, x  1  y 2 ,
y0
x
8.2. Вычислить двойной интеграл по области D  e y dxdy, D : x  y 2 , x  0, y  1
D
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
3
к полярным:  dy
3
9 y 2
1  x  y dx
2
2
 9 y 2
8.4. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями
z 2  4  z; x 2  y 2  4 x; z  0
8.5. Используя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по
замкнутому контуру   xy  x  y dx  xy  x  y dy, ãäå   ýëëèïñ

x2 y2

1
9
4
8.6. Вычислить, используя формулу Стокса или непосредственно
криволинейный интеграл 2-го рода и пояснить его физический смысл
2
2
2
 z dx  x dy  y dz, ãäå   îêðóæíîñòü

x 2  y 2  z 2  1

x  y  z  1
8.7. Найти массу однородного тела, ограниченного данными поверхностями,
считая его плотность   1 x  y  z  0, x  4  0, z  0




8.8. Выяснить, является ли векторное поле a  Pi  Qj  Rk потенциальным.




a  xy3x  4 y i  x 2 x  4 y  j  3z 2 k
Контрольная работа №8.
Вариант 25.
8.1. Представить двойной интеграл
 f x, y dxdy в виде повторного с внешним
D
интегрированием по x и внешним интегрированием по y, если границы области
интегрирования D ограничены кривыми с уравнениями: y   x, 3x  y  3, y  3
8.2.
Вычислить
двойной
 x  y dxdy, D : y  0, y  x, x  y  2
интеграл
по
области
D
D
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
0
4x2
2
0
к полярным:  dx
dy

x 2  y 2 ctg x 2  y 2
8.4. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями
y  x 2 ; x  y 2 ; z  3x  2 y  6; z  0
8.5. Используя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по
замкнутому контуру

 x y dx  yxy  ln x  x  y dy, ãäå  êîíòóð ïðÿìîóãîëü íèêà ñ âåðøèíàìè
2
2
2
2
À3,2,

B6,2, C 6,4, D3,4
8.6. Вычислить, используя формулу Стокса или непосредственно
криволинейный интеграл 2-го рода и пояснить его физический смысл
 3x  1dx   y  x  z dy  4 zdz, ãäå  êîíòóð ÀÂÑ , à åãî âåðøèíû À, Â, Ñ  òî÷êè ïåðåñå÷å

íèÿ ïëîñêîñòè 2 x  y  2 z  2  0 ñ îñÿìè OX , OY , OZ
8.7. Найти функцию U x, y  по заданному ее полному дифференциалу:
x 2  y  4  0,
y  2 z  0, z  0




8.8. Выяснить, является ли векторное поле a  Pi  Qj  Rk потенциальным.




a  6 x 2 i  3 cos3x  2 z  j  cos3 y  2 z k
Контрольная работа №8.
Вариант 26.
8.1. Представить двойной интеграл
 f x, y dxdy в виде повторного с внешним
D
интегрированием по x и внешним интегрированием по y, если границы области
интегрирования
D
ограничены
кривыми
с
уравнениями:
x  2 y  6  0,
y  0,
y0
8.2. Вычислить двойной интеграл по области D  x  y dxdy,
D
D : y  x, y  2  x , x  0, x  1
2
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
к полярным: 
D
x dxdy
x y
2
2
,
D : x 2  y 2  4, x 2  y 2  16, x  0,
y0
8.4. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями
y  x 2 ; x  y 2 ; z  3x  2 y  6; z  0
8.5. Используя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по
замкнутому контуру   xy 2 dy  x 2 ydx, ãäå   îêðóæíîñòü
x2  y2  1

8.6. Вычислить, используя формулу Стокса или непосредственно
криволинейный интеграл 2-го рода и пояснить его физический смысл
 xydx  yzdy  xzdz, ãäå  ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñò è

 x 2  y 2  1
 2
 x  y 2  z  1
8.7. Найти массу однородного тела, ограниченного данными поверхностями,
считая его плотность   1 x  y  z  0, y  4  0, x  0, z  0




8.8. Выяснить, является ли векторное поле a  Pi  Qj  Rk гармоническим




a  x 2 zi  y 2 j  xz 2 k
Контрольная работа №8.
Вариант 27.
8.1. Представить двойной интеграл
 f x, y dxdy в виде повторного с внешним
D
интегрированием по x и внешним интегрированием по y, если границы области
интегрирования D ограничены кривыми с уравнениями: y  3  x 2 , y  x
8.2. Вычислить двойной интеграл по области D  x  y dxdy, D : y 2  x  2, y  x  0
D
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
к полярным: 
D
ydxdy
x y
2
,
D : x 2  y 2  1, x 2  y 2  9,
y  0,
2
8.4. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями
z  2x2  y 2 ;
y  x;
y  3x; x  2; z  0
8.5. Используя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по
замкнутому контуру 
 x  y  dx  x  y dy, ãäå  êîíòóð òðåóãîëüíè êà ñ âåðøèíàìè
2
2
À1,1, Â3,2, Ñ 2,5
2

8.6. Вычислить, используя формулу Стокса или непосредственно
криволинейный интеграл 2-го рода и пояснить его физический смысл
3
3
3
 x dx  y dy  z dz, ãäå  ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ öèëèíäðà è ïëîñêîñòè

z  x 2  y 2

z  y  2
8.7. Найти массу однородного тела, ограниченного данными поверхностями,
считая его плотность   1 x 2  y  2  0, 3 y  2 z  0, z  0




8.8. Выяснить, является ли векторное поле a  Pi  Qj  Rk гармоническим




a  x  y i   y  z  j  x  z k
Контрольная работа №8.
Вариант 28.
8.1. Представить двойной интеграл
 f x, y dxdy в виде повторного с внешним
D
интегрированием по x и внешним интегрированием по y, если границы области
интегрирования
D
ограничены
кривыми
с
уравнениями:
y  0, x 
y  8  x2 .
y,
8.2. Вычислить двойной интеграл по области D  x 2 y dxdy, D : y  x 2 , x  y 2 .
D
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
к полярным:  e x  y dxdy,
D : x2  y2  1
2
2
D
8.4. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями
y 2  4 z 2  4;
y  2 x; x  0; z  0
8.5. Используя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по
замкнутому контуру 
 x  y dx  x  y dy, где   контур треугольника с вершинами А0,0, В1,0, С 0,1
2
2
2
2

8.6. Вычислить, используя формулу Стокса или непосредственно
криволинейный интеграл 2-го рода и пояснить его физический смысл
 ydx  xdy  zdz, ãäå  ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ñôåðû è êîíóñà

 x 2  y 2  z 2  4
 2
 x  y 2  z 2 ,
z0
8.7. Найти массу однородного тела, ограниченного данными поверхностями,
считая его плотность   1 3 y  z  0, x  y  0, x  2  0, z  0




8.8. Выяснить, является ли векторное поле a  Pi  Qj  Rk гармоническим
 x y  z 
a i  j k
y
z
x
Контрольная работа №8.
Вариант 29.
8.1. Представить двойной интеграл
 f x, y dxdy в виде повторного с внешним
D
интегрированием по x и внешним интегрированием по y, если границы области
интегрирования
D
ограничены
кривыми
с
уравнениями:
x  2  y2 , x  y2 ,
y0
8.2. Вычислить двойной интеграл по области D  xy dxdy, D : y  x 2 , y 2  x
D
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
к полярным:

cos x 2  y 2
dxdy, D :
x2  y2
D
2
4
 x 2  y 2  4 2
8.4. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями
9 y 2  x 2  9; z  3 y; x  0; z  0
8.5. Используя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по
замкнутому контуру   ydx  xdy, ãäå   äóãà ýëëèïñà x  2 cos t , y  3 sin t , 0  t  2

8.6. Вычислить, используя формулу Стокса или непосредственно
криволинейный интеграл 2-го рода и пояснить его физический смысл
y2  z2  9
 z dy  x dz, где   линия пересечения цилиндра и плоскости 3z  4 x  5

2
2
8.7. Найти массу однородного тела, ограниченного данными поверхностями,
считая его плотность   1 x 2  y  1  0, y  2 z  0, z  0




8.8. Выяснить, является ли векторное поле a  Pi  Qj  Rk гармоническим.




a  yzi  xzj  xyk
Контрольная работа №8.
Вариант 30.
8.1. Представить двойной интеграл
 f x, y dxdy в виде повторного с внешним
D
интегрированием по x и внешним интегрированием по y, если границы области
интегрирования D ограничены кривыми с уравнениями: y  x 2  2, y  x 2
8.2.
Вычислить
двойной
интеграл
по
области
 xy dxdy, D : x  y  4, x  y  2  0
2
2
2
D
8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат
к полярным:  cos x 2  y 2 dxdy,
D
D:
2
4
 x 2  y 2  4 2
8.4. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями
x 2  y 2  9; z 
y
; z  o;
3
y  0; z  0
8.5. Используя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по
замкнутому контуру   xy 2 dy  x 2 ydx, ãäå   îêðóæíîñòü
x2  y2  4

8.6. Вычислить, используя формулу Стокса или непосредственно
криволинейный интеграл 2-го рода и пояснить его физический смысл
y2  z2  1
 xzdx  xydy  yzdz, где   линия пересечения цилиндра и плоскости x  y  z  1

8.7. Найти массу однородного тела, ограниченного данными поверхностями,
считая его плотность   1 x  3 y  0, 2 x  z  0, y  2  0, z  0




8.8. Выяснить, является ли векторное поле a  Pi  Qj  Rk гармоническим




a   y  z i  z  x  j  x  y k
D