МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Алтайский государственный университет»
Рубцовский институт (филиал)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
Специальность – 230101.65 Вычислительные машины, комплексы,
системы и сети
Форма обучения – очная
Кафедра – математики и прикладной информатики
Рубцовск - 2014
При разработке учебно – методического комплекса учебной дисциплины
в основу положены:
1) ГОС ВПО по специальности 230101.65 Вычислительные машины, комплексы,
системы и сети, утвержденный Министерством образования РФ «27» марта 2000
г., 224 ТЕХ/ДС
2) Учебный план по специальности 230101.65 Вычислительные машины,
комплексы, системы и сети, утвержденный решением Ученого совета
Рубцовского института (филиала) АлтГУ от «17» февраля 2014г., протокол № 6
Учебно – методический комплекс одобрен на заседании кафедры математики и
прикладной информатики от «28» августа 2014 г., протокол № 1
Заведующий кафедрой ______________________________ Е.А. Жданова
Г.Н. Файзиева
Разработчик:
Старший преподаватель
(занимаемая должность)
_____________________
Работодатель:
Начальник
Рубцовского
участка ООО «УГМК –
ТЕЛЕКОМ»
_____________________
М.А. Одокиенко
СОДЕРЖАНИЕ
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
4
2. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
5
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
8
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОСВОЕНИЮ УЧЕБНОЙ
ДИСЦИПЛИНЫ «АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ»
20
5. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УЧЕБНОЙ
ДИСЦИПЛИНЫ
22
5.1. Требования к аудиториям
22
5.2. Требования к оборудованию рабочих мест
22
5.3. Требования к специализированному оборудованию:
22
5.4. Требования к программному обеспечению учебного процесса:
22
6.
СПИСОК ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ,
ДРУГИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ
22
7. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ И
РЕЗУЛЬТАТОВ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
26
7.1. ВИДЫ КОНТРОЛЯ И АТТЕСТАЦИИ, ФОРМЫ ОЦЕНОЧНЫХ
СРЕДСТВ
26
8. ПЕРЕЧЕНЬ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ (ФОРМЫ ОЦЕНОЧНЫХ
СРЕДСТВ)
27
8.1. Перечень оценочных средств (очная форма)
27
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
«Алгебра и геометрия» общематематическая дисциплина, решающая
интеграционные задачи между всеми разделами высшей математики и ее
приложениями. Представляет собой далеко идущее обобщение школьного курса
элементарной алгебры. Одна из центральных тем высшей алгебры - изучение
произвольных систем уравнений первой степени. Для решения сложных систем,
с одной стороны, разработан аппарат теории определителей, теории матриц. С
другой стороны, изучение систем линейных уравнений потребовало введение и
изучение векторных и линейных пространств. Линейная алгебра посвященная, в
основном, теории матриц и связанной с ней теорией линейных преобразований
векторных пространств, включает в себя также теорию форм, теорию
инвариантов и тензорную алгебру, играющую важную роль в
дифференциальной геометрии.
Цель изучения дисциплины:
Вооружить студентов знаниями основных разделов высшей алгебры и
аналитической геометрии, как науки решающей интеграционные задачи между
всеми разделами высшей математики и ее приложениями.
Задачи дисциплины:
– математическое обеспечение специальной подготовки: вооружение
студентов знаниями и умениями, необходимыми для изучения
специальных дисциплин, разработки курсовых и дипломных проектов,
для профессиональной деятельности;
– развитие математической культуры у студентов: понимание
необходимости
математической
составляющей
в
общем,
университетском образовании, выработку представления о роли и
месте «Алгебры и геометрии» в современной цивилизации и в мировой
культуре, умение логически мыслить, оперировать с абстрактными
объектами и быть корректными в употреблении понятий и символов
для выражения количественных и качественных отношений.
– привитие навыков математического мышления;
– развитие пространственного воображения, абстрактного мышления
– формирование умения видеть ситуации использования математических
методов в практической деятельности;
– формировать у студентов культуру вычислительных работ.
Дисциплина «Алгебра и геометрия» относится к циклу ЕН.Ф.01.01 Цикл
естественнонаучных дисциплин. Федеральный компонент.
Программа предусматривает различные формы работы со студентами:
проведение лекционных и семинарских занятий, коллоквиумов, типовых
расчетов, контрольных работ.
4
ДЕ 2
Лаборатор
ные работы
Самостоятельная
работа студентов, час.
2
Тема 1. Матрицы и
определители. Операции
над матрицами. Обратная
матрица.
Тема 2. Определители.
Свойства определителей.
Тема 3. Системы
линейных уравнений.
Методы решения.
Элементарные
преобразования матрицы.
Ранг матрицы
Тема 4. Система
линейных однородных
уравнений.
Фундаментальная система
решений. Задачи с
экономическим
содержанием.
Семинары
Наименование тем
Лекции
ДЕ 1 .
1
Очная форма обучения
Количество
аудиторных часов
при очной форме
обучения
Максимальная
нагрузка студентов,
час.
Дидактические
единицы (ДЕ)
2. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
(распределение часов курса по разделам и видам работ)
3
4
5
6
7
8
2
2
4
10
2
2
6
8
2
2
4
10
2
2
6
Текущий контроль
Коллоквиум 20 баллов. Контрольная
работа 10 баллов
Тема 5. Векторы на
плоскости и в
пространстве. Линейные
операции над векторами.
8
2
5
2
4
Тема 6. Скалярное,
векторное и смешанное
произведение векторов.
Геометрическое
приложение. Проекция
вектора на ось и на оси
координат.
Тема 7. n-мерный вектор,
n-мерное векторное
пространство. Евклидово
пространство.
Тема 8. Линейные
операторы. Собственные
векторы и собственные
значения линейного
оператора. Квадратичные
формы.
ДЕ 3
Текущий контроль
Тема 9. Уравнение
линии в прямоугольных
декартовых координатах.
Прямая на плоскости.
Различные виды
уравнений прямой на
плоскости..
Тема 10. Угол между
прямыми. Расстояние от
точки до прямой.
Нормальное уравнение
прямой
Тема 11. Кривые
второго порядка
(парабола, Эллипс,
гипербола)
Тема 12. Деление
отрезка в данном
отношении.
Преобразования
прямоугольных
координат. Полярные
10
2
6
2
8
2
4
4
4
2
4
Контрольная работа 20 баллов, тест
10 баллов
8
2
2
4
8
2
2
4
10
4
2
4
8
2
2
4
6
координаты. Приведение
линии второго порядка к
каноническому в
Текущий контроль
8
2
2
4
8
2
2
4
12
2
4
6
10
2
4
4
ДЕ 4
Тема 13.
Плоскость в пространстве.
Уравнения плоскости.
Тема 14.
Пря
мая в пространстве. Угол
между двумя прямыми,
между прямой и
плоскостью. Взаимное
расположение прямых в
пространстве.
Тема 15.
Поверхности в
пространстве. Поверхности
второго порядка.
Тема 16.
Приведение общего
уравнения поверхности
второго порядка к
каноническому виду.
Текущий контроль
Промежуточная аттестация
Итого часов
Контрольная работа 10 баллов,
тестирование 10
Самостоятельная работа 10 баллов
Экзамен- 40 баллов
140
34
36
70
7
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
СОДЕРЖАНИЕ ГОС ПО ДИСЦИПЛИНЕ «АЛГЕБРА И
ГЕОМЕТРИЯ»
Основные алгебраические структуры, векторные пространства и
линейные отображения. Аналитическая геометрия, многомерная
евклидова геометрия, дифференциальная геометрия кривых и
поверхностей, элементы топологии.
(дидактические единицы)
ДЕ 1
Системы линейных уравнений.
Тема 1. Матрицы. Операции над матрицами
Аудиторное изучение: Матрицы, виды матриц, операции над матрицами.
Квадратные матрицы. Определители, свойства определителей. Миноры,
алгебраические дополнения элементов матрицы. Обратная матрица.
Самостоятельное изучение: матрицы, экономическое приложение
матриц, определители.
Тема 2. Определители. Свойства определителей
Аудиторное изучение: Определители. Свойства определителей. Теорема
Лапласа.
Самостоятельное
изучение:
Различные
способы
нахождения
определителей. Решение задач.
Тема 3. Системы линейных уравнений. Ранг матрицы. Элементарные
преобразования матриц.
Аудиторное изучение: Линейная независимость строк (столбцов).
Элементарные преобразование матриц. Ранг матрицы. Система линейных
уравнений, основные определения. Способы решения системы линейных
уравнений: матричный, метод Гаусса, Крамера.
Самостоятельное изучение: Методы решения систем, фундаментальная
система решений. Экономическое приложение систем. Решение задач.
Тема 4. Системы линейных однородных уравнений
Аудиторное изучение: Система линейных однородных уравнений.
Фундаментальная система решений. Задачи с экономическим содержанием
Самостоятельное изучение: Фундаментальная система решений.
Решение задач.
ДЕ 2.
Элементы матричного анализа.
8
Тема 5. Векторы.
Аудиторное изучение: Векторы на плоскости и в пространстве.
Линейные операции над векторами, признаки коллинеарности векторов.
Разложение вектора по базису. Координаты суммы векторов и произведения
вектора на число. Проекция вектора на ось, свойства.
Самостоятельное изучение: Векторы в пространстве. Построение
векторов. Векторное решение задач.
Тема 6. Произведения векторов
Аудиторное изучение: Скалярное произведение векторов его свойства.
Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых
векторов. Векторное произведение векторов, его свойства. Выражение
векторного произведения через координаты. Смешанное произведение,
свойства. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
Самостоятельное изучение: Геометрические приложения скалярного,
векторного и смешанного произведения векторов. Решение задач.
Тема 7. n-мерный вектор, n-мерное векторное пространство.
Евклидово пространство
Аудиторное изучение: n-мерный вектор, n-мерное векторное
пространство. Евклидово пространство. Линейные операторы. Собственные
векторы и собственные значения линейного оператора. Квадратичные формы.
Самостоятельное изучение: Декартова система координат на плоскости
и в пространстве. Полярная система координат. Векторы на плоскости и в
пространстве Аксиоматические построения и системы аксиом, n-мерный вектор
и векторное пространство. Решение задач.
Тема 8. Линейные операторы. Квадратичная форма.
Аудиторное изучение: Линейные операторы. Собственные векторы и
собственные значения линейного оператора. Квадратичная форма. Приведение
квадратичной формы к каноническому виду.
Самостоятельное изучение: Приведение квадратичной формы к
каноническому виду. Линейные и аффинные преобразования плоскости.
ДЕ 3.
Аналитическая геометрия на плоскости
Тема 9. Уравнения прямой на плоскости
Аудиторное изучение: Линия на плоскости и ее уравнение. Прямая на
плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой в
9
отрезках. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Общее уравнение
прямой.
Самостоятельное изучение: Прямая в аффинном пространстве.
Уравнение прямой в полярных координатах. Решение задач.
Тема 10. Взаимное расположение прямых на плоскости
Аудиторное изучение: Угол между прямыми, условие параллельности,
перпендикулярности прямых. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от
точки до прямой.
Самостоятельное изучение: Решение задач.
Тема 11. Кривые второго порядка
Аудиторное изучение: Парабола. Эллипс. Гипербола (определение,
вывод канонического уравнения, оптическое свойство, касательная).
Самостоятельная работа: Геометрические свойства кривых второго
порядка. Директрисы эллипса и гиперболы.
Тема 12. Преобразование декартовой системы координат
Аудиторное изучение: Деление отрезка в данном отношении.
Преобразования прямоугольных координат. Приведение линии второго порядка
к каноническому виду.
Самостоятельное изучение: Прямая и плоскость в аффинном
пространстве. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду.
Построение кривых второго порядка.
ДЕ 4
Аналитическая геометрия в пространстве
Тема 13. Уравнения плоскости
Аудиторное изучение: Плоскость в пространстве. Различные виды
уравнений плоскости. Угол между плоскостями, условие параллельности и
перпендикулярности плоскостей. Формула расстояния от точи до плоскости.
Самостоятельное изучение: Векторное и параметрические уравнения
плоскости. Замена системы координат.
Тема 14. Уравнения прямой в пространстве
Аудиторное изучение: Прямые в пространстве (канонические и
параметрические уравнения). Уравнения общего перпендикуляра к
скрещивающимся прямым, расстояние между скрещивающимися прямыми.
10
Самостоятельное изучение: Векторное уравнение прямой в
пространстве. Уравнения проекций прямых на оси координат. Решение задач.
Тема 15. Поверхности второго порядка
Аудиторное изучение: Поверхности в пространстве. Поверхности
второго порядка.
Самостоятельное изучение: Поверхности второго порядка (эллипсоид,
однополостной и двуполостной гиперболоид. Свойства поверхностей второго
порядка. Уравнения множеств в пространстве.
Тема 16. Приведение общего уравнения поверхности второго порядка
к каноническому виду
Аудиторное изучение: Приведение общего уравнения поверхности
второго порядка к каноническому виду.
Самостоятельное изучение: Приведение общего уравнения линии
второго порядка к каноническому виду. Решение задач.
11
Содержание лабораторных (практических) занятий
ДЕ. 1.
Занятие 1-2. Матрицы, действия над ними.
План:
1. Основные понятия: Матрица, виды матриц.
2. Действия над матрицами и их свойства.
3. . Решение задач.
Найти значение матричного многочлена f(A)
2 3
1 f x 2 x 2 3x 2,
A
1 0
22 21
7
8
Ответ:
2. f x x 2 3x 2,
1 3
A
0 2
Ответ: 0 0
0 0
1 2
3 f x 2 x 3 3x 2 5, A
2 3
Занятие 3. Определители.
План:
1.Определители первого, второго, третьего порядков.
2. Свойства определителей.
3. Определители четвертого порядка.
4. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы.
5. Решение задач.
Занятие 4. Системы линейных уравнений.
План:
1.Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц.
2.Система линейных уравнений. Решение системы. Равносильность
системы.
3. Теорема Кронекера – Капели.
4. Матричный метод решения системы.
5. Метод Крамера.
6. Решение задач.
Занятие 5 Системы линейных уравнений.
План:
12
1. Метод Гаусса.
2. Исследование системы линейных уравнений.
3. Система линейных однородных уравнений.
4. Решение задач.
x y z 1
2 x 2 y 2 z 3
3x 3 y 3z 4
x 2y z 4
3x 5 y 3z 1
2x 3y z 8
x yz 2
2 x 2 y 2 z 4
3x 3 y 3z 5
x yz 2
3x 2 y 2 z 1
4 x 3 y 3 z 4
x 2 y 3z 5
2 x 4 y 3 z 1
4 x 5 y 6 z 8
x 2 y 4z 3
7x 8y 2
3x y 5 z 2
x 2y z 4
2 x 4 y 9 z 28
3x 5 y 3z 1
7
x
3
y
6
z
1
2x 7 y z 8
7 x 9 y 9z 5
Контрольная работа, коллоквиум.
ДЕ 2.
Занятие 1. Векторы.
План:
1.Вектор. Коллинеарность векторов.
2. Равенство векторов.
3. Линейные операции над векторами.
4. Координаты вектора.
5. Проекция вектора на ось.
6. Модуль вектора.
7. Решение задач.
1. В параллелограмме ABCD даны стороны AB p, AD q.
Выразить через p и q векторы BC , CB, CD, AC , BD, DB.
2.В Треугольнике ABC проведены меридианы AK, BL и CM. Выразить
AK, BL и CM через векторы BC a и AB c .
13
3.На прямой проходящей через точки А (-3;8;2) и B (1;-2;0) найти точку С,
абсцисса которой xC 2 .Выберите правильный ответ.
4.Найти направляющие косинусы вектора a 8i 4 j k
5. Даны векторы a 3;4;1, b 1;2;3 и ñ 4;2;1 . Найти
векторы: 4a 3b 2c ; 5a 4b c .
Занятие 2-3. Скалярное произведение векторов. Векторное
произведение векторов.
План:
1. Скалярное произведение векторов (определение), свойства.
2. Скалярное произведение в координатной форме.
3. Угол между векторами.
4. Условие перпендикулярности векторов.
5.Определение векторного произведения.
6. Геометрический смысл векторного произведения.
7. Решение задач.
Решение задач.
1 Дано a =5, b =6. Найти скалярное произведение векторов a и b , если
угол между ними равен 120°
2.Найти угол Â в треугольнике с вершинами A(1;2;-1), B(5;5;11), C(13;18;20)
3. Даны векторы a 2;4;2 , b 0;6;2, c 2;6;5. Найти проекцию
вектора a c на вектор b c .
4. Даны векторы a 4; m;6 и b m;2;7. При каком значении m эти
векторы перпендикулярны?
5.Даны три последовательные вершины параллелограмма А(-3;-2;0), В(3;-3;1)
и С(5;0;2). Найти четвёртую вершину D и угол между векторами AC и
BD .
6. Даны векторы a 4;1;4 , b 1;6;8 и c 3;5;2. Найти
проекцию вектора b c на вектор a c .
7. Даны векторы a mi 3 j 4k и b 4i mj 7k . При каком
значении m векторы перпендикулярны?
14
8.Найти площадь треугольника с вершинами А(2;2;2), В(1;3;3), С(3;4;2).
9.Упростить:
3i 4 j 5k 2i 6 j k
10Вычислить площадь треугольника с вершинами А(-3;-2;-4), В(-1;-4;-7),
С(1;-2;2).
11. Вычислить площадь и высоту параллелограмма, построенного на
векторах a 2 j k , b i 2k
12.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a m 2n
и b 2m n , где m n 1, m ˆ; n
6
.
13.Вычислить диагонали и площадь параллелограмма, построенного на
векторах a k j и b i j k .
Занятие 4. Смешанное произведение векторов. Квадратичные формы.
План:
1. Смешанное произведение векторов (определение) и его свойства.
2. Компланарность векторов.
3.Объем параллелепипеда.
4. Деление отрезка в данном отношении.
ДЕ 3.
Занятие 1. Прямая на плоскости
План:
1. Уравнение линии на плоскости.
2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
3. Уравнение прямой в отрезках.
4. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
5. Нормальное уравнение прямой.
6. Общее уравнение прямой.
. Решение задач.
1. Проверить, принадлежат ли точки A(3; 14), B(4; 13) прямой 7x-3y+21=0
2. Составить уравнение прямой, пересекающей ось Ox в точке (3; 0), а ось
оринат в точке (0; 5).
Ответ: x/3+y/5=1
3. Вычислить угол наклона прямой 3x y 6 0 к оси Ox
Ответ: 120°
4. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и
образующей с осью Ox угол 120°
15
Ответ: 3x y 0
5.Составить уравнение прямой, проходящей через точку (3; 4) и отсекающей
на оси Oy отрезок B=2
Ответ: y
2
x 2
3
6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-3; -2) и
образующей с осью Ox угол arctg2.
Ответ: 2x-y+4=0
7. Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(2; -3), B(-1; 4)
Ответ: 7x+3y-5=0
8. Прямая, проходящая через точку A(-2; 3), образует с осью Ox угол 135°.
Составить уравнение этой прямой.
Ответ: x+y-1=0
9. Через точку A(1; 2) проведена прямая, отсекающая на положительных
полуосях равные отрезки. Составить ее уравнение.
Ответ: x+y-3=0
10. Уравнение прямой привести к нормальному виду. 5x-12y+26=0
Ответ:
5
12
x y20
13
13
Занятие 2. Угол между прямыми. Условия параллельности и
перпендикулярности прямых.
План:
1. Угол между прямыми.
2. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
3. Расстояние от точки до прямой.
6. Решение задач.
Найти острый угол между прямыми 5x-y+7=0 и 2x-3y+1=0
Ответ: 45°
2. Найти угол между прямыми 3x-4y=6 и 8x+6y=11
Ответ: 90°
3. Определить точки пересечения прямой с осями координат 3x-2y=12
Ответ: (4; 0) и (0; -6)
4. Найти угол между прямыми 3x+2y=0 и 6x+4y+9=0.
Ответ: 0°
5. Найти расстояние от начала координат до прямой 15x-8y-68=0
Ответ: 4
Занятие 3. Кривые второго порядка.
16
План:
1. Окружность. Уравнение окружности.
2. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса.
3.Гипербола. Уравнение гиперболы.
4. Директрисы эллипса и гиперболы.
5 Решение задач.
1. Окружность с центром в точке (12;-5) проходит через начало
координат. Составить уравнение окружности.
2. Проходит ли окружность с центром S(-5;7) и радиусом 10 через точку
М(-11;15).
3. Определить
координаты
центра
и
радиус
окружности
x 2 y 2 8x 6 y 0
4. Окружность, проходящая через точки А(3;-1) и В(-4;-8), имеет радиус
r=13. Написать её уравнение.
5. ( x 8) 2 ( y 5) 2 625
6. Найти центр окружности, касающейся оси ординат и проходящей
через точки А(4;5) и В(18;-9).
7. Составить уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если он проходит
через точки А(6;4) и В(8;3).
8. Составить уравнение эллипса, фокусы которого находится в точках
(0; 3 ) и (0; 3 ) , а большая ось равна 4 7
9. Составить уравнение эллипса, фокусы которого находится в точках (4;0) и (4;0), а эксцентриситет е=2/3.
10. Составить уравнение гиперболы, если известны координаты её
фокусов (-20;0) и (20;0) и эксцентриситет е=5/3
Занятие 4. Приведение общего уравнения линии второго порядка к
каноническому виду.
План:
1. Парабола. Каноническое уравнение параболы.
2. Приведение общего уравнения второго порядка к каноническому виду.
3. Классификация линий второго порядка.
Контрольная работа.
ДЕ 4.
Занятие 1-2. Плоскость в пространстве.
План:
1. Уравнение плоскости, проходящей
перпендикулярную вектору N
17
через
заданную
точку
и
2. Общее уравнение плоскости.
3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
4. Решение задач.
Занятие 3. Прямая и плоскость в пространстве.
План:
1. Канонические уравнения прямой.
3. Параметрические уравнения прямой.
4. Общее уравнение прямой.
5. Угол между прямыми в пространстве.
6. Расстояние от точки до плоскости.
7. Решение задач.
1. Даны точки M1(-3; 7; -5) и M2(-8; 3; -4). Составить уравнение
плоскости, проходящей через точкуM1 и перпендикулярной вектору
N M 1M 2
Ответ: 5x+4y-z-18=0
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M1(1; -3;
4), M2(0; -2; -1), M3(1; 1;-1)
Ответ: 15x-5y-4z-14=0
3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1(-1; -2; 0) и
M2(1; 1; 2) и перпендикулярной плоскости x+2y+2z-4=0
Ответ: 2x-2y+z-2=0
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(-4; 3; -7)
параллельно плоскости 6x-5y+4z-15=0
Ответ: 6x-5y+4z+67=0
5. Найти угол между плоскостями и x y
2z 5 0 и
x y 2z 3 0
Ответ: π /3
6. Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости x-2y+2z-7=0 и
отстоящей от нее на расстоянии, равном 5.
Ответ: x-2y+2z+8=0 и x-2y+2z-22=0
7. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку
A(-7; -3; 2) и перпендикулярной плоскости x-4y-5z+8=0.
Ответ: (x+7)/2=(y+3)/(-4)=(z+5)/(-5)
8. Написать уравнение прямой l, проходящей через точки A(-1; 2; 3) и
B(5; -2; 1)
Ответ: (x+1)/6=(y-2)/(-4)=(z-3)/(-2)
18
x 2 y 3z 15 0
. Привести ее к
2 x 3 y 4 z 12 0
9. Общее уравнение прямой
каноническому виду.
Ответ: (x+3)/(-1)=(y-6)/10=z/7
10. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через
точку A(-7; -3; 2) и
перпендикулярной плоскости x-4y-5z+8=0.
Ответ: x=-7+t
y=-3-4t
z=2-5t
11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M(1; 1; 1) и
перпендикулярной векторам S1 2i 3 j k и S2 3i j 2k .
Ответ: (x-1)/5=(y-1)/(-1)=(z-1)/(-7)
x 3z 8 0
с осями координат.
x 2 y 5 0
12. Найти углы, образуемые прямой
Занятие 4 Поверхности в пространстве
План:
1. Сфера.
2. Поверхности вращения.
3. Цилиндрические и конические поверхности.
4. Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к
каноническому виду.
5. Решение задач..
Занятие 5. Приведение общего уравнения поверхности второго
порядка к каноническому виду.
План:
1. Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к
каноническому виду.
Контрольная работа
19
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОСВОЕНИЮ УЧЕБНОЙ
ДИСЦИПЛИНЫ «АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ»
Математическое образование студента специальности «Вычислительные
машины, комплексы, системы и сети» начинается с изучения трех основных
дисциплин: математического анализа, аналитической геометрии и высшей
алгебры. Эти дисциплины имеют ряд точек соприкосновения и вместе
составляют фундамент современной математической науки. Высшая алгебра
представляет собой далеко идущее обобщение школьного курса элементарной
алгебры. Одна из центральных тем высшей алгебры - изучение произвольных
систем уравнений первой степени. Для решения сложных систем разработан
аппарат теории определителей, теории матриц. С другой стороны, изучение
систем линейных уравнений потребовало введение и изучение векторных и
линейных пространств. Линейная алгебра посвященная, в основном, теории
матриц и связанной с ней теорией линейных преобразований векторных
пространств, включает в себя также теорию форм, теорию инвариантов и
тензорную алгебру, играющую важную роль в дифференциальной геометрии
(этот раздел алгебры не входит в программу нашего изучения).
Истинным объектом алгебраического исследования следует считать
алгебраические операции, подобные сложению или умножению чисел, но
производимые, возможно, не над числами. Учась в школе, вам приходилось
встречаться с операцией сложения сил. Математические дисциплины,
изучаемые вами уже на первом курсе, требуют многочисленные алгебраические
операции - сложение и умножение матриц, функций, операции над
преобразованиями пространства, над векторами и т. д. Эти операции обычно
похожи на операции над числами и носят те же названия, но иногда некоторые
их свойства оказываются утерянными. Так, очень часто операции оказываются
некоммутативными, а иногда не ассоциативными.
Систематическому изучению подвергаются наиболее важные типы
алгебраических систем, для которых определены некоторые алгебраические
операции. Таковы, в частности, поля, группы, подгруппы. В последние
десятилетия возникла и далеко развилась новая область алгебры – теория
структур. Структурой называется алгебраическая система с двумя операциями –
сложением и умножением. Эти операции должны быть коммутативны и
ассоциативны, а также удовлетворять следующим требованиям: и сумма, и
произведение с самим собой должны равняться самому этому элементу. Теория
структур имеет тесную связь с теорией групп, с теорией множеств, с
геометрией.
Мы будем изучать аналитическую геометрию – раздел геометрии, в
котором свойства геометрических объектов изучаются методами алгебры.
20
Поясним эти слова. Геометрия, как и другие разделы математики, строится так:
сначала формулируются исходные положения – аксиомы, а затем из них
выводятся логические следствия – теоремы. Эта часть геометрии называется
элементарной, ее вы изучали в школе. Следующий этап в построении геометрии
состоит в расширении аппарата путем привлечения средств из других разделов
математики, в первую очередь алгебры и математического анализа. Делается это
так: вводится система координат, в результате чего каждая точка описывается
набором чисел, а геометрическая фигура – уравнением и неравенством.
Благодаря этому изучение геометрических объектов может быть в ряде случаев
сведено к изучению уравнений. Изучение же свойств уравнений осуществляется
методами алгебры и математического анализа.
Рекомендации по обеспечению самостоятельной работы:
Высшая алгебра и аналитическая геометрия требуют глубокого
понимания основных понятий, знания определений, теорем, уравнений,
описывающих ту или иную геометрическую фигуру, поэтому важно уметь
работать с математическим текстом:
прочитайте текст не менее двух раз с карандашом в руках, делая
выписки основных моментов;
попробуйте воспроизвести текст, закрыв книгу;
просмотрите текст еще раз;
воспроизведите материал, делая вывод формул, доказательства теорем
самостоятельно.
При изучении теоретического материала не задерживать внимания на
трудных и непонятных местах, смело их пропускать и двигаться дальше, а затем
возвращаться к тому, что было пропущено (часто последующее проясняет
предыдущее).
При чтении учебников и лекционных материалов активно отмечать
карандашом непонятные места. Карандаш легко стирается, когда вопрос можно
снять;
С первых студенческих дней конструировать собственный стиль
понимания сути изучаемого материала. Математические дисциплины в этой
ситуации являются наиболее успешным полигоном
Учиться преодолевать самый высокий уровень непонимания материала
(«непонятно, что непонятно»).
При разборе примеров в аудитории или при выполнении домашних
заданий целесообразно каждый шаг обосновывать теми или иными
теоретическими положениями.
Самостоятельно изучать материал по дополнительным источникам,
подбирать необходимые источники, заниматься поиском необходимой
информации через Интернет.
21
5. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УЧЕБНОЙ
ДИСЦИПЛИНЫ
5.1. Требования к аудиториям: (помещениям, местам) для проведения
занятий: Стандартно оборудованные лекционные аудитории, аудитории для
проведения интерактивных лекций: видеопроектор, экран настенный, др.
оборудование или компьютерный класс.
5.2. Требования к оборудованию рабочих мест
обучающихся: Видеопроектор, ноутбук, переносной экран.
преподавателя
и
5.3. Требования к специализированному оборудованию:
Технологическое оборудование, лабораторные установки (стенды),
мультимедийные средства
5.4. Требования к программному обеспечению учебного процесса:
Системное программное обеспечение: Excel 2010, Word 2010, Power Point
2010, Консультант+ 4000 ПрофКонсультант+ 4000 (региональный
выпуск)
6.
СПИСОК ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ, ДРУГИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ
Основная литература
1. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
Из-во «Лань» 2009, 512 с.
2. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1 :
учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова,
С.П. Данко. - 7-е изд., испр.- М.: ООО "Издательство "Мир и
образование"; ООО "Издательство Астрель", 2012 - 368c..
3. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч.1. /
Д.Т. Письменный. - 10--е изд.- М.: Айрис-пресс, 2010 - 288c.
4. Высшая математика для экономических специальностей : Учебник и
практикум / Под ред. Н.Ш. Кремера. - 3-е изд., перераб и доп.- М.:
Юрайт, 2010 - 909c
5. Элементы векторной алгебры : Учебно-методическое пособие / Авт.22
сост.Г.Н.Файзиева. - Рубцовск-Барнаул: Изд-во АлтГу, 2012 - 43c
Дополнительная литература.
6. Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия.-СПб.:
Лань 2005, 304с.
7. Беклемишева, Л. А. Сборник задач по аналитической геометрии и
линейной алгебре: Учебн. пособие. 2 изд. перер.- М.-: ФИЗМАТЛИТ,
лаб. Баз. знаний, 2003.- 496с.
8. Беклемишева, Л. А. Сборник задач по аналитической геометрии и
линейной алгебре: Из-во «Лань» 2008, 496с.
9. Гусак А.А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Справочное
пособие к решению задач. Минск Театра Системс, 2003.
10. В. А. Ильин, Г. Д. Ким Линейная алгебра и аналитическая геометрия,
М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007, 400с.
11. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в
вопросах и задачах. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 248 с.
12. Кадомцев, С.Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2003.-160С.
13. Ланкастер П. Теория матриц.-М.:Наука 1973, 280с.
14. Курош А. Г. Курс высшей алгебры.-М.:Наука 1968, 331с
15. Проскуряков И. В. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения.М.:Мир 1980, 454с.
16. Сандаков Е. Б. Основы аналитической геометрии и линейной алгебры:
учебное пособие.-М.:МИФИ, 2005.-308с.
17. Сборник задач по линейной алгебре.-М.:Наука 1966,
Базы данных, Интернет-ресурсы,
информационно-справочные и поисковые системы
18. Единое окно доступа к образовательным ресурсам. Электронная
библиотека [Электронный ресурс]: инф. система. – М.: ФГАУ ГНИИ
ИТТ "Математика", 2005-2012. – Режим доступа: //www.
http://window.edu.ru, свободный. – Загл. с экрана (дата обращения
11.04.2012)
19. Единое окно доступа к образовательным ресурсам. Электронная
библиотека [Электронный ресурс] Университетская библиотека on-line .
Режим доступа:// http://www.biblioclub.ru/collection.php?id=24– Загл. с
экрана (дата обращения 11.10.2012).
20. Единое окно доступа к образовательным ресурсам. Электронная
библиотека [Электронный ресурс] Издательство Лань. Режим доступа://
http://e.lanbook.com/– Загл. с экрана (дата обращения 15.10.2012).
23
21. Интернет-университет информационных технологий – дистанционное
образование – INTUIT.ru [Электронный ресурс]: офиц. сайт. – М.:
Открытые системы, 2003-2011. - Режим доступа: http://www.intuit.ru,
свободный. - Загл. с экрана (дата обращения: 17.05.2012).
24
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
по …(дисциплине)
«Алгебра и геометрия»
Специальность
230101.65 Вычислительные машины, комплексы, системы и сети
Квалификация выпускника: инженер
Форма обучения: очная
25
7. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ КОНТРОЛЯ
УСПЕВАЕМОСТИ И РЕЗУЛЬТАТОВ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ
ДИСЦИПЛИНЫ
7.1. ВИДЫ КОНТРОЛЯ И АТТЕСТАЦИИ, ФОРМЫ ОЦЕНОЧНЫХ
СРЕДСТВ
Виды контроля
Номер
и аттестации
раздела
№
(текущий
учебной семест
контроль,
дисциплин ра
промежуточная
ы
аттестация)
ДЕ 1
1
Текущий
контроль
ДЕ 2
1
Текущий
Форма оценочного средства
Коллоквиум, домашняя контрольная
работа
Тест, контрольная работа
контроль
ДЕ 3.
1
Текущий
Контрольная работа, тестирование
контроль
ДЕ 4
1
текущий
Самостоятельная работа
Промежуточная
Экзамен
аттестация
В разделе рассматриваются оценочные средства для контроля успеваемости и
результатов освоения учебной дисциплины, указываются виды контроля и
аттестации, формы оценочных средств.
Приводятся контрольные вопросы и задания для проведения текущего
контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины, а
также для контроля самостоятельной работы обучающегося по отдельным
разделам дисциплины.
Указываются темы эссе, рефератов, курсовых работ и др.
26
8. ПЕРЕЧЕНЬ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ (ФОРМЫ ОЦЕНОЧНЫХ
СРЕДСТВ)
8.1. Перечень оценочных средств (очная форма)
Вопросы для подготовки к экзамену
по дисциплине Линейная алгебра
Вопросы к экзамену.
Вопросы для проверки уровня обученности ЗНАТЬ
1. Матрицы и действия над ними.
2. Обратная матрица. Алгоритм ее нахождения.
3. Миноры, алгебраические дополнения. Обратная матрица.
4. Определитель квадратной матрицы, его свойства.
5. Элементарные преобразования матриц. Ранг матриц.
6. Векторы, основные понятия. Линейные операции над векторами.
Признак коллинеарности векторов.
7. Проекция вектора на ось, свойства.
8. Скалярное произведение векторов, его свойства.
9. Выражение скалярного произведения векторов через координаты
перемножаемых векторов.
10. Векторное произведение векторов, его свойства.
11. Выражение векторного произведения векторов через координаты
перемножаемых векторов.
12. Смешанное произведение векторов, его свойства.
13. Выражение смешанного произведения векторов через координаты
перемножаемых векторов.
14. n-мерный вектор и векторное пространство.
15. Размерность и базис векторного пространства.
16. Евклидово пространство.
17. Линейные операторы.
18. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
19. Прямая на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
20. Уравнение прямой в отрезках. Уравнение пучка прямых.
21. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Нормальное уравнение
прямой.
22. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности
прямых.
23. Расстояние от точки до прямой.
24. Плоскость. Различные виды уравнений плоскости (одно с
27
доказательством).
25. Угол между плоскостями. Условие ║ и ┴ плоскостей.
26. Прямая в пространстве (канонические и параметрические уравнения).
27. Парабола (определение, вывод канонического уравнения).
28. Гипербола (определение, вывод канонического уравнения).
29. Эллипс (определение, вывод канонического уравнения).
30. Окружность (определение, вывод канонического уравнения).
31. Деление отрезка в данном отношении.
32. Основные типы поверхностей второго порядка
Вопросы для проверки уровня обученности УМЕТЬ*
1. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Координаты
суммы векторов и произведения вектора на число.
2. Системы линейных уравнений. Основные определения. Матричный
метод решения систем линейных уравнений.
3. Метод Гаусса. Правило Крамера.
4. Система однородных линейных уравнений.
5. Переход к новому базису.
6. Квадратичные формы (определение, матричная запись). Приведение
квадратичной формы к каноническому виду.
……………………………………………………………………………..……
3. Задачи для проверки уровня обученности ВЛАДЕТЬ*
…………………………………………………………………………………..
ДЕ 1 Алгебраические структуры
1 f x 2 x 2 3x 2,
2 3
A
1 0
22 21
7
8
Ответ:
2. f x x 2 3x 2,
1 3
A
0 2
Ответ: 0 0
0 0
1 2
2 3
3 f x 2 x 3 3x 2 5, A
ДЕ 2 Векторы
Примерные задания для тестирования.
1. Проверить, является ли векторы a 1;1;3, b 0;2;1, c 1;1;4
компланарными?
Да.
28
Нет.
2. Найти объём тетраэдра с вершинами в точках А(-1;1;0), В(2;-2;1), С(3;1;1), D(1;0;-2).
6/25
25/6
3/5
3. Вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах
a 3;2;1;, b 1;0;1 и c 1;2;1.
10 куб. ед.
11 куб. ед.
12 куб. ед.
13 куб. ед.
4. Установить, лежат ли в одной плоскости точки А(4;3;10), В(5;1;5),
С(2;2;5), D(3;4;12).
Да.
Нет.
5. В тетраэдре с вершинами D(-3;-3;-3), A(2;-1;-3), B(-1;2;3) и C(-2;-2;1).
Найти площадь грани АВС и длину высоты, проведённой к этой грани.
3 куб. ед.
3 17 куб. ед.
6 3 куб. ед.
7 3
3
3
2
6 3
5
6.Выяснить,
компланарны
ли
векторы
a i j k, b i j k, c i j k ?
Нет.
Да.
7. Даны векторы a 4;1;4 , b 1;6;8 и c 3;5;2. Найти
проекцию вектора b c на вектор a c .
-11/14
-14/11
14/11
29
11/14
8. Даны векторы a mi 3 j 4k и b 4i mj 7k . При каком
значении m векторы перпендикулярны?
ДЕ 3 Аналитическая геометрия на плоскости
Примерные задания:
1. Окружность с центром в точке (12;-5) проходит через начало
координат. Составить уравнение окружности.
2. Проходит ли окружность с центром S(-5;7) и радиусом 10 через
точку М(-11;15).
3. Определить координаты центра и радиус окружности
x 2 y 2 8x 6 y 0
4. Окружность, проходящая через точки А(3;-1) и В(-4;-8), имеет
радиус r=13. Написать её уравнение.
5. ( x 8) 2 ( y 5) 2 625
6. Найти центр окружности, касающейся оси ординат и проходящей
через точки А(4;5) и В(18;-9).
7. Составить уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если он
проходит через точки А(6;4) и В(8;3).
8. Составить уравнение эллипса, фокусы которого находится в
точках (0; 3 ) и (0; 3 ) , а большая ось равна 4 7
9. Составить уравнение эллипса, фокусы которого находится в
точках (-4;0) и (4;0), а эксцентриситет е=2/3.
10. Составить уравнение гиперболы, если известны координаты её
фокусов (-20;0) и (20;0) и эксцентриситет е=5/3
Примерные задания теста:
1 Написать уравнения прямой, проходящей через точки A(-1; 2; 3) и B(2; 6;
-2)
x/2=(y-3)/1=(z-1)/3
(x+1)/3=(y-2)/4=(z-3)/(-5)
(x+4)/(-5)=y/(-3)=z/(-7)
(x-2)/1=(y+4)/2=(z+5)/5
2 Через точку M(-1; 2; 3) проведена плоскость, перпендикулярная к OM.
Написать ее уравнение.
2x+2y-7z=0
x-y+3z+5=0
x-2y-3z+14=0
3x+y+z-7=0
30
3 Найти угол между прямой x/2=(y+1)/(-6)=(z-1)/3 и плоскостью 2x+y+z5=0.
arcsin
1
7 6
2
arcsin
3
2
arcsin
2
1
arcsin
2 2
4. Составить уравнение гиперболы, если её асимптоты заданы уравнениями
6
x и они проходят через точку (6;-4)
3
x 2 / 8 y 2 / 11 1
y
x 2 / 12 y 2 / 8 1
x2 / 4 y2 / 6 1
x 2 / 2 y 2 / 12 1
2
5. Дана парабола y 12 x . Найти хорды, проходящие через фокусы
параболы и перпендикулярную её оси.
2
6. Найти координаты вершины параболы x 6 x 6 y 21 0
(-2;-7)
(4;4)
(-1;2)
(3;-5)
2
7. Дана парабола y 4 y 20 x 24 0 . Составить уравнение
директрисы.
x=-4
x+y=1
y=0
y=3/4
8. Составить уравнение параболы с ось симметрии, параллельной оси Ох,
если парабола проходит через точку М(1;3) и имеет вершину А(-4;-2).
( y 5) 2 2( x 3)
31
( y 2) 2 5( x 4)
( y 1) 2 7 x
9. Найти эксцентриситет эллипса x 2 25 y 2 225 0
-2
3/2
4/5
1/3
10. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых
x+6y+5=0, 3x-2y+1=0 и через точку M(-4/5; 1)
x+y=0
3x+2y-1=0
8y+3=0
5x+4=0
1. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых
x+2y+3=0, 2x+3y+4=0 и параллельную прямой 5x+8y=0
y-1=0
3x+2y+3=0
5x+8y+11=0
x-2y-5=0
12. Даны вершины треугольника ABC: A (0; 2), B(7; 3) и C(1;3).
Определить угол BAC=α
ДЕ.4 Аналитическая геометрия в пространстве
1. Даны точки M1(-3; 7; -5) и M2(-8; 3; -4). Составить уравнение
плоскости, проходящей через точкуM1 и перпендикулярной вектору
N M 1M 2
Ответ: 5x+4y-z-18=0
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M1(1; -3;
4), M2(0; -2; -1), M3(1; 1;-1)
Ответ: 15x-5y-4z-14=0
3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1(-1; -2; 0) и
M2(1; 1; 2) и перпендикулярной плоскости x+2y+2z-4=0
Ответ: 2x-2y+z-2=0
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(-4; 3; -7)
параллельно плоскости 6x-5y+4z-15=0
Ответ: 6x-5y+4z+67=0
5.
Найти
угол
между
плоскостями
x y 2z 3 0
32
и
x y 2z 5 0
и
Ответ: π /3
6. Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости x-2y+2z-7=0 и
отстоящей от нее на расстоянии, равном 5.
Ответ: x-2y+2z+8=0 и x-2y+2z-22=0
7. Составить каноничское уравнение прямой, проходящей через точку A(7; -3; 2) и перпендикулярной плоскости x-4y-5z+8=0.
Ответ: (x+7)/2=(y+3)/(-4)=(z+5)/(-5)
8. Написать уравнение прямой l, проходящей через точки A(-1; 2; 3) и
B(5; -2; 1)
Ответ: (x+1)/6=(y-2)/(-4)=(z-3)/(-2)
x 2 y 3z 15 0
. Привести ее к
2 x 3 y 4 z 12 0
9. Общее уравнение прямой
каноническому виду.
Ответ: (x+3)/(-1)=(y-6)/10=z/7
10. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через
точку A(-7; -3; 2) и
перпендикулярной плоскости x-4y-5z+8=0.
Ответ: x=-7+t
y=-3-4t
z=2-5t
11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M(1; 1; 1) и
перпендикулярной векторам S1 2i 3 j k и S2 3i j 2k .
Ответ: (x-1)/5=(y-1)/(-1)=(z-1)/(-7)
x 3z 8 0
с осями координат.
x 2 y 5 0
12. Найти углы, образуемые прямой
Критерии оценки:
При оценивании знаний студентов по дисциплине используются
Балльно-рейтинговые технологии, которые полностью описаны в «Положении о
балльно-рейтинговых технологиях в РИ (филиале) АлтГУ». Балльнорейтинговая схема предполагает, что студент для получения экзаменационной
оценки по данной дисциплине может набрать до 100 баллов, независимо от
формы итогового контроля.
Максимум 100 баллов студент может набрать в ходе семестра на
аудиторных занятиях, промежуточном контроле и за решения контрольных
работ и типовых расчетов. Баллы присуждаются по результатам работы на
семинарских занятиях. Максимальное количество баллов за работу на семинаре,
можно получить, демонстрируя хорошее знание теоретического материала и
умение применять их при решении практических задач. Студент, набравший
определенное число баллов, может автоматически получить экзаменационную
33
оценку: от 61 до 75 – удовлетворительно, от 76 до 90 - хорошо, 91 и выше
баллов - отлично. Ответ на экзамене дает студенту от 0 до 40 баллов.
На экзамене оценка «отлично» ставится, если студент строит ответ
логично в соответствии с планом, показывает максимально глубокие знания
математических терминов, понятий, категорий, концепций и теорий. Теоремы
представляет с доказательством. Практические задания выполнены полностью,
осознанно.
Устанавливает
содержательные
межпредметные
связи.
Демонстрирует знание специальной литературы в рамках учебного
методического комплекса и дополнительных источников информации.
Оценка «хорошо» ставится, если студент строит свой ответ в
соответствии с планом. Есть небольшие неточности в доказательстве теорем или
в выполнении практических заданий.. Устанавливает содержательные
межпредметные связи. Речь грамотна, используется профессиональная лексика.
Демонстрирует знание специальной литературы в рамках учебного
методического комплекса и дополнительных источников информации. Имеет
место средний уровень выполнения контрольных и самостоятельных работ в
течение учебного процесса
Оценка «удовлетворительно» ставится, если ответ недостаточно
логически выстроен, план ответа соблюдается непоследовательно. Студент
представляет теорему без доказательства. Практические задания выполнены все,
есть небольшие неточности.
Оценка «неудовлетворительно» ставится при условии недостаточного
раскрытия понятий. Ответ содержит ряд серьезных неточностей. Выводы
поверхностны. Имеет место очень низкий уровень выполнения контрольных и
самостоятельных работ в течение учебного процесса
34
Вопросы для коллоквиума по дисциплине Линейная алгебра
Раздел 1
1.Определение матрицы. Виды матриц.
2. Действия над матрицами и их свойства.
3.Определители .
4. Свойства определителей.
5. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы.
6.Ранг матрицы.
7. Элементарные преобразования матриц.
8. Система линейных уравнений. Решение системы. Равносильность системы.
9 Теорема Кронекера – Капели.
10. Матричный метод решения системы.
11. Метод Крамера.
12. Метод Гаусса.
13. Исследование системы линейных уравнений.
14. Система линейных однородных уравнений.
15.Фундаментальная система решений.
Критерии оценки:
- оценка «отлично» выставляется студенту, если отлично знает все вопросы,
хорошо ориентируется в изученном материале, умеет применять
теоретический материал на практике;
- оценка «хорошо» выставляется студенту, если он хорошо знает все
вопросы, делает незначительные ошибки в практическом применении;
- оценка «удовлетворительно» ставится студенту, если он знает вопросы, но
нечетко дает формулировки определений, алгоритмов.
- оценка «неудовлетворительно» ставится при условии недостаточного
раскрытия понятий. Ответ содержит ряд серьезных неточностей. Выводы
поверхностны.…………………………………….
35
Комплект заданий для контрольной работы
по дисциплине Линейная алгебра
ДЕ.1 Контрольная работа №1
1.
Вычислить 2 AB 3BAT B 2 , если
23 N N 15 16 N
A N 28 30 N N 9 ,
13 N N 2 3 N
20 N N 22
N
B 27 N N 13 19 N ,
N 21 11 N N 5
где N - номер варианта.
2.
Вычислить определитель
29 N
N 10
9 N
2N
3.
N 3 15 N
N
2 N N 27 N 12
,
N 19 N 4 10 N
N 7
N 6
2 N
Выяснить совместность системы:
3 x y 6 z t 2
5 x y 2 z t 0
7 x 3 y z t 3 .
4 x 2 y 5 z 0
4.
Решить систему
2 x 6 y 3 z 11
2 x y 5 z 2 .
x y 3 z 3
5.
тремя методами (матричным, Крамера, Гаусса).
Решить системы:
5 x 3 y 4 z 5v 6u 0
3x 2 y z 3v 3u 0
4 x 2 y 2 z 4v 3u 0 ;
x 2 y z 3v u 0
2 x y z t 2
3 x 3 y z 2t 16
2 x 2 y 5 z 3t 6 .
6 x 2 y 7 z t 6
36
6. Найти ранг матрицы
5
3 №
№5 2 №
2
№6
1 №
2
6
1
№2
№
2№
№2
4
13 №
ДЕ.2. Контрольная работа №2 по теме «Векторы»
1. Даны точки А (2-N, N-15), В(N-8, 29-N), С(15-N, 4-N).
AC
AB ,
а). Найти и построить векторы
+
1
· AC ,
2
AB 3
AC
,
AB
.
б). Найти длину последнего вектора, его направляющие косинусы и его
проекции на оси координат.
2. Даны
векторы
a
N 12, 23 N , 5 N
и
b
17 N , N 12, N .
3.
а). Найти их скалярное произведение. Можно ли по полученному
результату определить, перпендикулярны ли данные векторы.
Объяснить ответ.
б). Найти угол между ними.
Найти
векторное
произведение
векторов
a
N 12, 23 N , 5 N ,
b
17 N , N 12, N .
Коллинеарны ли эти векторы? Объяснить ответ.
a
b
4. Дано |
|= 25-N, |
|= N+14.
а). Найти скалярное произведение векторов
a
b
и
.
б). Найти площадь параллелограмма построенного на векторах
a
b
и
.
Если угол φ между векторами
a
b
и
равен 60º.
5. Даны точки А(2-N, N-15, N-2), В(N-8, 29-N, N), С(15-N, 4-N, 3-N). Найти
6.
площадь АВС.
Найти
смешанное
произведение
37
векторов
a
b
N 12, 23 N , 5 N ,
17 N , N 12, N и
c
N 12, N 7, 28 N . Компланарны ли эти векторы?
7.
Объяснить ответ.
Найти объем пирамиды с вершинами в точках А(12-N, N-5, N-2), В(N18, 19-N, N), С(25-N, 14-N, 3-N), D (N, 30-N, N-3).
ДЕ.3. Контрольная работа № 3 по теме «Аналитическая геометрия»
Вариант 1.
1. Составить уравнение прямой, пересекающей ось Ox в точке (3; 0), а ось
ординат в точке (0; 5).
2. Уравнение прямой привести к нормальному виду. 5x-12y+26=0
3. Дан треугольник с вершинами A(6; 8), B(2; -4) и С(-6; 4). Составить
уравнение высоты, медианы, биссектрисы.
4. Найти угол между прямыми 3x-4y=6 и 8x+6y=11
5. Составить уравнение радиуса окружности
x 2 y 2 4 x 2 y 32 0
6. Составить уравнение эллипса с фокусами на оси Оx, если расстояние
между его фокусами
равно 16, а эксцентриситет равен 1/2.
7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
М(-2;3;-1) перпендикулярно прямой
x 3 y 2 z 1
4
3
2
8. Вычислить расстояние от точки А(3;4;2) до плоскости 3x+4y+12z+16=0.
Вариант 2.
1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(ە-2;3;4) и
перпендикулярной вектору n=(3;1;4).
2. Составить уравнение прямой, пересекающей ось Ox в точке (3; 0), а ось
ординат в точке (0; 5).
38
3. Вычислить угол наклона прямой 3x y 6 0 к оси O x
4. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и
образующей с осью Ox угол 120°
5. Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Оx, если расстояние между ее
фокусами
равно 40, а уравнение ее асимптот y
4
x.
3
6. Составить уравнение директрисы параболы
y 2 4 y 8 x 12 0
7. Дан треугольник с вершинами A(6; 8), B(2; -4) и С(-6; 4). Найди угол между
стороной AB и медианой, проведенной из вершины A.
8. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
3x y 2 z 4 0,
x y z 2 0.
и точку (2;-1;1).
2.4.2. Критерии оценивания:
- оценка «отлично» выставляется студенту, если контрольная работа выполнена
вся без ошибок;
- оценка «хорошо» выставляется студенту, если выполнено правильно 80%
работы;
- оценка «удовлетворительно» выставляется студенту, если выполнено
правильно более половины работы;
- оценка «неудовлетворительно» выставляется студенту, если выполнено
правильно менее половины работы.
39
40
