Геометрия: Индивидуальный план изучения для математиков

Министерство образования и науки Красноярского края
КГАОУ СПО «Канский педагогический колледж»
ГЕОМЕТРИЯ.
ИНДИВИДУАЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ
ПЛАН ИЗУЧЕНИЯ
Методическое пособие
Специальность 050201 – «Математика»
Канск 2011
Печатается по решению Педагогического совета колледжа
Автор-составитель: Е.И. Ткаченко, преподаватель КГАОУ СПО «Канский педагогический
колледж»
Рецензенты: С.В. Ларин, кандидат физико-математических наук, профессор ФГБОУ ВПО
КГПУ им. В.П. Астафьева
Геометрия. Идивидуально-ориентированный план изучения: методическое пособие /
автор-сост. Е.И. Ткаченко, рец. С.В. Ларин, КГАОУ СПО «Канский педагогический колледж»,
Канск, 2011 г. –73 с.
Индивидуально-ориентированный план изучения курса геометрии предназначен для
организации взаимодействия преподавателя и студента в системе ИОСО и является подробным
рабочим планом изучения предмета. Содержит конкретные темы по семестрам, примерное число
часов, отводимых для них на лекции и практические занятия, вопросы для проведения
коллоквиумов и экзаменов, варианты контрольных работ. Содержание рабочих планов
соответствует стандарту среднего специального образования, введенного в действие с 1 сентября
2002 года. Весь материал хорошо продуман и тщательно отработан. Он интересен и полезен для
студентов и преподавателей, работающих по программе основного курса геометрии.
Индивидуально-ориентированный план предназначен для специальности 050201
«Математика» по дисциплине «Геометрия».
 КГАОУ СПО «Канский педагогический колледж»
2
Содержание
Пояснительная записка 1 семестр
Тематическое планирование
Схематический план отчета по курсу геометрии(элементарной и высшей)
Приложения
1. Геометрический метод решения задач на построение
2. Алгебраический метод решения задач
3. Лист опроса № 1 (50 вопросов)
4. Лист опроса № 2 (30 вопросов)
5. Лист опроса № 3 Элементарные задачи на построение циркулем и линейкой.
Семинар 1. Элементарные задачи на построение фигур
6. Семинар 2. Степень точки, относительно окружности
7. Контрольная работа № 1. Построения геометрических фигур
8. Коллоквиум. Метрические соотношения в треугольнике и окружности
9. Семинар 4. Площадь фигуры
10. Алгоритм 1. Как работать над теоремой
11. Контрольная работа № 2. Площади. Метрические соотношения
12. Примерные задачи
13. Как работать с учебным текстом
14. Учимся работать с вопросами
15. Вопросы к устному экзамену
Пояснительная записка. 2 семестр
Тематическое планирование
Схематический план отчета по курсу геометрии (элементарной и высшей)
Приложения
1. Вопросы к экзамену по геометрии
2. Прямая на плоскости. Векторы
3. Линии 2-го порядка
4. Лист опроса 4 (семинар 1). Векторы. Система координат
5.1. Памятка для самостоятельной работы студентов I курса по высшей геометрии
5.2. Прямая на координатной плоскости
6. Семинар 3 “Линии второго порядка”
7. Преобразование системы координат и уравнения линии 2-го порядка
8. Семинар 5. Циклоида. Циклоидальные кривые
9. Семинар 6. Специальные кривые
10. Коллоквиум. Линии второго порядка
Пояснительная записка 3 семестр
Тематическое планирование
Схема отчета при изучении курса геометрии (элементарной и общей)
Приложения
1. Семинар "Векторы в пространстве"
2. Коллоквиум "Векторы в пространстве"
3. Семинар" Прямые и плоскости в пространстве"
4. Примерные задания в контрольной работе по теме: “Прямая и плоскость в
3
5
7
11
12
12
13
14
15
16
16
17
18
21
22
23
24
26
27
27
28
29
31
35
36
37
37
38
39
40
41
42
42
43
44
45
46
51
52
52
53
пространстве”
5. Примерное содержание контрольной работы по теме: “Изображение на параллельной
проекции”
6. Семинар"Многогранники"
7. Коллоквиум “Объем”
8. Примерное содержание контрольной работы по теме: "Объемы"
Пояснительная записка 4 семестр
Тематическое планирование
Схема отчета об изучении курса геометрии (элементарной и высшей)
СЕМИНАРЫ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Индивидуально - ориентированный план изучения геометрии 5 семестр
Вопросы для повторения к итоговой аттестации
4
54
54
55
55
56
56
58
64
65
67
68
72
Пояснительная записка
1 семестр
Индивидуально-ориентированный план является рабочей программой для преподавателя и
студента, так как содержит требования к знаниям, умениям и навыкам студентов; примерную
тематику и сроки лекционных занятий, семинаров, практических занятий в рамках часов,
отводимых учебным планом на геометрию и ПРЗ. Курс геометрии является интегрированным, так
как параллельно изучается высшая геометрия и элементарная. В плане указаны задания для
самостоятельной работы студентов, время на которую планируется в пределах 50% от часов,
отводимых на аудиторные занятия (в плане все часы указаны суммой: аудиторные плюс часы для
самостоятельной работы). По 1 часу в неделю (на учебную группу) предусмотрены
индивидуальные консультации.




Курс геометрии 1 семестра содержит следующие разделы:
геометрические фигуры на плоскости ;
построение фигур на плоскости ;
метрические соотношения в треугольнике, четырехугольнике, окружности;
площадь фигуры;
Основные понятия:
 геометрическая фигура как множество точек, обладающая определенными свойствами;
 задача на построение геометрической фигуры, решением которой является описание плана
построения искомой фигуры, с обоснованием (доказательством) и исследованием
возможных вариантов ответа;
 методы решения задач: геометрический, алгебраический (см. приложение 1 и 2);
 метрические соотношения, определяющие взаимосвязь между величинами: длина отрезка,
величина угла и т.п.;
 величина – некоторое свойство объектов, которое можно измерить, выбрав единицу
измерения так, что:
- каждому объекту ставится в соответствии определенная мера (неотрицательное
число, показывающее, сколько единиц измерения укладывается в измеряемом объекте);
- равные величины имеют равные меры;
- величина, состоящая из непересекающихся частей имеет меру, равную сумме мер
составляющих ее частей (свойство аддитивности).
В данном курсе работают понятия и утверждения (теоремы), рассмотренные в школе (см.
приложение 3, 4).
Систематизируются знания о методах и приемах решения задач. Совершенствуются умения
задавать вопросы (приложение 14).
В разделе “Геометрические фигуры” значительное место отведено истории развития
геометрии и первым книгам: “Начала” Евклида.
В разделе “построение фигур на плоскости” основное место занимают построения
циркулем и линейкой, отдельные построения другими наборами инструментов. Построения
только циркулем или только линейкой могут быть рассмотрены студентами при написании
курсовой работы в VI семестре.
“Метрические соотношения” рассматриваются с небольшим расширением знаний
школьного курса о соотношениях между сторонами и углами треугольника, четырехугольников, в
том числе вписанных в окружность. Тема “Степень точки относительно окружности” предлагается
на самостоятельное изучение в качестве материала, позволяющего студенту определить уровень
умений работать с математическим текстом. (Указания в приложении 6).
Раздел “Площади” содержит знания о площади плоской фигуры, приобретенные в школе, и
дополнен понятиями: равновеликость и равносоставленность, изопериметрическая задача.
Курс включает 4 зачетных опроса и 2 контрольные работы:
 основные понятия и утверждения школьного курса геометрии (приложения 3, 4);
 элементарные геометрические построения (приложение 5);
5




метрические соотношения в треугольнике и четырехугольнике (приложение 8);
формулы площадей плоских фигур (приложение 9);
контрольная 1: “Задачи на построение геометрических фигур” (приложение 7);
контрольная 2: “Задачи на площади фигур, связанные с метрическими соотношениями”
(приложение 12);
Курс завершается устным экзаменом (вопросы в приложении 13), допуском к которому
является зачет по практическим заданиям. Зачет может быть выставлен автоматически при
условии своевременного выполнения всех зачетных заданий и активного участия в семинарах.
Семинар – занятие, где есть возможность подвести итоги по изученной теме, выяснить
проблемные вопросы, провести самооценку.
В курсе геометрии предусмотрено 4 семинарских занятия: “Построение геометрических
фигур”, “Степень точки относительно окружности”, “Метрические отношения в треугольниках”,
“Площади” (приложение 5, 6, 8, 9).
Вопросы на семинарские занятия могут быть предложены студентами. В приложениях по
семинарам указан лишь перечень дополнительной литературы по теме семинара.
Литература
С.А. Анищенко. Лекции по геометрии. Ч. 1. КГПУ, 2006.
Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. Элементарная геометрия. М.: Просвещение, 1966.
М.Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. (любое издание), Наука, 2006
Газета “Математика в школе” приложение к “Первое Сентября”.
Журнал “Квант”.
Журнал “Математика в школе”.
Школьные учебники по геометрии 7-9 кл. (любого автора).
В программу курса включено занятие-коллоквиум, которое является формой проверки
теоретических и практических знаний по теме “метрические соотношения” (см. Приложение 8).
Замечание: В календарно-тематическом планировании страницы и номера указаны по
“Лекциям…” С.А. Анищенко.
Успешной Вам работы в течение семестра!
6
1
I. Геометрические
фигуры
на
плоскости.
ЗНАТЬ: что изучает
геометрия;
понятия:
точка, прямая, отрезок,
угол,
геометрическая
фигура,
свойства,
признаки, бесконечность,
непрерывность, теорема,
аксиома;
Постулат,
тематику книг “Начала”
Евклида.
УМЕТЬ: формулировать
определения
геометрических фигур:
отрезок,
угол,
окружность,
круг,
многоугольник и частные
виды
многоугольника
конечной и бесконечной
величины,
непрерывность прямой,
доказывать теорему о
множестве точек отрезка.
НАВЫК: определение
основных
понятий,
выполнение изображений
геометрических фигур,
использование основных
утверждений
(см.
Приложение 3).
Кол-во
часов, в т.ч.
лекц.
2
Сроки
примерны
е
Сроки
фактическ
ие
Тематическое планирование
Содержание
3
4
Лекция 1
(вводная )
Практические задания
тренировочные
зачетные
5
Лекции ч.1
Лист опроса 1
(приложение 3)
Словарь
терминов,
подтверждающ
их
практическое
происхождение
геометрии.
Лист опроса 2
(приложение 4)
Постулаты
и
аксиомы
Евклида.
6
(введение)
Лист опроса
1
Разбор решения
2-3 задач из
“Начала”
Евклида.
Лекция 2
“Бесконечность и
непрерывность”
Задачи
из
“Геометрия 7
кл.”
(5-10
штук)
7
Итоги
(самооценка и
оценка)
7
Схема:
“Содержание
“Начал”
Евклида”.
Самооценка
знаний по листу
№1, листу №2.
Лист опроса
2
Самооценка
умения
работать
с
учебным
текстом
(стр.
10-11)
(см.
Приложение 6)
11, 10
Классификация
затруднения и
ошибок
в
ответах
по
листам опроса
для
индивидуально
го повторения
школьного
курса
(см.
литературу № 1
и № 2 в списке
дополнительно
й литературы).
1
II.
Метрические
соотношения.
ЗНАТЬ:
теоремы:
синусов, косинусов, о
биссектрисах
внутреннего и внешнего
угла
треугольника,
Птолемея,
Чевы,
Менелая,
о
прямой
Эйлера, о радикальной
оси; понятия: степень
точки
относительно
окружности, радикальная
ось, радикальный центр.
УМЕТЬ:
доказывать
названные выше теоремы
и использовать их в
решении задач, в том
числе
по
правилу
заключения и методом
“от противного”.
НАВЫК: соотношение
сторон
и
углов
в
треугольнике,
в
том
числе в прямоугольном.
Формулирование
теоремы в виде “если …,
то …”.
2
3
4
Лекция 7
“Теоремы о
треугольни
ке”
Лекция 8
Теоремы
Полемея,
Эйлера.
Семинар 2
(2)
“Степень
точки
относитель
но
окружности
”
(приложени
е 6).
Семинар 3
“Метрическ
ие
соотношени
я
в
треугольни
ке”
(приложени
е
8)Коллоквиу
м
“Метрическ
ие
соотношени
я”
(приложени
е 8)
5
Лекции
ч.1
Задачи
1. стр.
47-50
2.
1
0 задач из
школьног
о
учебника
о
треугольн
ике
и
окружнос
ти
6
глава 1, &2
Домашняя
зачетная
работа
1.
5
задач,
стр.48-49
2. 5 задач из
школьного
курса
3. блок-схемы
доказательс
тва
основных
теорем.
7
Блок-схема
“Теоремы в
соотношениях в
треугольнике”
Блок-схема
“Теоремы об
окружности”
Коллоквиум
Классификация
затруднений и
ошибок в решении
задач и
доказательствах
теорем для
последующего
повторения по
индивидуальному
плану.
8
1
III. Построение на
плоскости.
ЗНАТЬ:
аксиомы
циркуля, линейки, суть
методов решения задач
(алгебраического
и
геометрического);
понятие:
золотое
сечение;
правильный
многоугольник, этапы
решения
задачи
на
построение,
анализ,
доказательство,
исследование в задачах.
Теорема о трапеции.
УМЕТЬ:
кратко
излагать
план
построения
и
доказательства;
описывать
методы
решения
задач
и
обосновывать их выбор;
четко
формулировать
требование
задачи;
проводить анализ и
исследования в задачах.
НАВЫК:
решения
простейших задач на
построение
геометрических фигур
(приложение 5).
2
3
4
Лекция 3
“Задачи
на
построение.
Методы
их
решения”.
Лекция 4
“Золотое
сечение”.
(4 ч.)
Семинар 1
“Элементарные
построения”
(приложение 5)
Лекция 5
“Задачи,
не
разрешимые
циркулем
и
линейкой”.
Лекция 6
“Задачи
на
построение”
(приложение 7)
контрольная
работа 1.
5
Лекции ч.1,
1. Приложен
ие № 4
2. стр. 32-33
(задачи)
3.
Зада
чи
на
построение в
планиметри
и
из
школьного
учебника
любого
автора.
4. 5 задач,
решаемых
разными
наборами
инструменто
в.
5.
Модель
“Линейка со
вставкой” и
“Трисектора
”
9
6
глава 1, &1
1. Лист
опроса
3.
2. 10 задач
из
школьного
курса
планиметрии
(построение
треугольника
и
четырехугол
ьника.
3.
Контрольна
я работа №
1
“Задачи на
построение в
планиметрии
” (см. № 1, №
11, № 6, №
15).
7
Самооценка
и
оценка по листу
опроса № 3.
Схема
“Классификация
методов решения
задач
по
построение”.
Классификация
затруднений
и
ошибок
в
контрольной
работе
для
последующего
повторения темы
по
индивидуальному
плану.
1
IV. Площади.
ЗНАТЬ: понятия: длина,
площадь;
аксиомы:
площади,
теоремы,
формулы
площади
многоугольников, круга и
его частей, в том числе
теорему Брахмагупта.
Теорема Бояи-Гервина.
Понятия равновеликость
и равносоставленность;
изоперемитрическая
задача.
УМЕТЬ: обосновывать
формулы
вычисления
площади
любого
многоугольника,
использовать
понятие
площади
в
доказательствах
и
в
решении задач.
НАВЫК: использование
формул
вычисления
площади треугольника,
прямоугольника, круга.
2
3
4
Лекция 9
“Длина, площадь,
равновеликость и
равносоставленно
сть”
Семинар 4(2)
“Площадь
многоугольников
и
круга”
(приложение 9)
Лекция 10
“Теорема
Брахмагупта.
Площадь
в
доказательствах т.
Пифагора.
Т.
Чевы”.
Лекция 11
“Изопериметриче
ские задачи”
5
Лекции ч. 1,
глава
1.
Задачи
стр. 63-65
2. Задачи из
школьного
учебника (в
т.ч.
учебника
“Алгебра”)
6
1&3
1. Блоксхема
доказательств
а
а) т.
Брахмагупта;
б) т. БояиГервина.
7
Блок-схема
“Формулы
площади
многоугольнико
в, круга и его
частей”
Сборник
“Изопериметри
ческие задачи с
решениями”.
Сборник
“Доказательств
а теоремы
Пифагора”.
Контрольная
работа
№
2
(приложение 2)
2.
Контрольная
работа (см. №
5, № 9, № 20,
№ 22, …)
10
Классификация
затруднений и
ошибок в теме
(для доработки
по
индивидуально
му плану).
Схематический план отчета по курсу геометрии(элементарной и высшей)
1 КУРС ( 1 СЕМЕСТР) “ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ” ( 64 ч.)
№
п/п
Наименование
раздела
1
Определение и
свойства
геометрически
х фигур
Колво
часов
Зачетные занятия и задания
Л.О. № 1
Общие учебные умения
Схема содержания
“Начал” Евклида
10
задач
(7
кл.)
Умения работать с
учебным текстом ( с
научным)
О
3
Построение
фигур на
плоскости
Элементы
построения
С.
№1
Л.О
.
№
3
К/р
№1
Умения:
10 шк.
задани
й
анали
зиров
ать
О
2
4
Метрические
соотношения в
треугольнике,
четырехугольн
ике и
окружности
Площадь
фигуры
Степень
точки
относител
ьно
окружнос
ти
Метрические
соотношения в
треугольнике
и окружности
С
№2
С№2
Зад
ачи
док
азы
ват
ь
исс
ледов
ать
О
О
Составление СПС:
-
теоремы 2;
-
методы
доказательства;
тео
р.
5
шк.
зад
ач
5 зад.
с. 4849
Формулы
СЛС доказательства
к/р
  
Составление сборника:
С
№4
т.
Брахмагуп
та
5
шк.
зад
ач
№2
-
СЛ
С
задач
и
Коллоквиум
сос
тав
лят
ь
пла
н
О
т. БояиГервина
работа над текстовой
задачей.
-
“Изопериметрически
е задачи”;
“Доказательства т.
Пифагора”;
Тестов: “Площади”.
ООО
ИТОГ: зачет; устный экзамен (см. вопросы)
Заполните сами последнюю колонку ….
11
Доп.
инд.
занятия
Приложения
Приложение 1
Геометрический метод решения задач на построение
а) метод пересечения заключается в том, что построение искомой точки Х, удовлетворяющей
двум условиям, выполняется в результате пересечения: Х = F1  F2, где F1 - фигура, точки которой
удовлетворяют первому условию; F2 - фигура, точки которой удовлетворяют второму условию.
Пример 1. Построить Х, отстоящую от В на расстоянии а и принадлежащую прямой е где
В  е.
План построения: (F1 - прямая е (она дана))
1. Строим F2 – окружность (В; а), т.к. все точки окружности отстоят от В на а.
2. Х = F1  F2, Х – искомая.
В исследовании отмечаем соотношение между а и  (В, е)
б) метод геометрических преобразований заключается в использовании одного из геометрических
преобразований (поворот, симметрия, гомотетия и др.) для построения искомого образа, прообраз
может быть построен без выполнения части требований задачи.
Симметрия любая и поворот используются чаще в том случае, когда образ одной из данных
фигур совмещается (или пересекается) с прообразом другой, т.е. получаем прообраз искомой
точки. Выполняя обратное данному преобразование получаем искомый образ.
Гомотетия полезна тогда, когда можно построить фигуру, удовлетворяющую требованиям,
а затем перенести ее в нужное место, сохранив форму, но изменив размеры. Параллельный
перенос сохраняет размеры.
Пример 2. Построить трапецию по ее основаниям и боковым ребрам.
1. Строим треугольник с боковыми ребрами, равными ребрам трапеции и основанием, равным
разности оснований трапеции.
2. Выполнив параллельный перенос по вектору, равному длине меньшего основания трапеции и
параллельному основанию треугольника, получим трапецию.
С
d1
b-a
А
М
a
с
Краткая запись плана построения (черт. 1):
1. АВ = b – a
2. ABC, AC = c, BC = d
3. Ta (CB) = MK
ACMK – искомая трапеция
d
К
b В
чертеж 1
Замечание. Остальные этапы: доказательство, исследование и предварительный анализ
опущены для краткости изложения.
Пример 3. Построить окружность вписанную в сектор (K, m).
План построения: (черт. 2).
1. (О; ОМ) произвольная, вписанная в угол К.
2. М1 = КО  RZ.
3. (О1; О1М1) – образ (О; ОМ) при гомотетии с центром К и k = КМ1 : КМ.
R
(О1; О1М1) – искомая.
М
К
О
М1
О1
Z
чертеж 2

 (В, е) – расстояние от В до е.
12
Приложение 2
Алгебраический метод решения задач
Алгебраический метод решения задач на построение заключается в следующем:
а) составляем формулу, связывающую искомый отрезок с данными отрезками (их длинами) с
помощью арифметических операций: (+, , –, :,  );
б) строим полученный отрезок, преобразуя формулу в цепочку элементарных построений по
формулам (см. 10 элементарных формул);
в) строим искомую фигуру, используя полученный отрезок.
Пример. Построить квадрат, площадь которого равна площади данного треугольника с
высотой h и основанием а.
ah
2  ah
Анализ. S =1/2 ah; Sкв = x2, по условию: x2 = 1/2 ah  х 
.

2
2
План построения.
1. Х1  ah (см. построение среднего геометрического (среднего пропорционального)).
2.
Х 2  2  Х1 .
3. Х 3  Х 2 2 .
4. Строим квадрат, со стороной Х3 искомый квадрат, т.к. Sкв  X 23  12 ah , что требовалось в задаче
(доказательство).
Все квадраты с данной стороной равны, поэтому задача имеет единственное решение при всех
значения h и а (исследование).
13
Приложение 3
Лист опроса № 1 (50 вопросов)
1. Параллельные прямые.
2. Аксиома.
3. Теорема.
4. Треугольник.
5. Виды треугольников.
6. Отрезок.
7. Медиана треугольника.
8. Биссектриса треугольника.
9. Биссектриса угла.
10. Угол.
11. Высота треугольника.
12. Высота параллелограмма.
13. Перпендикуляр.
14. Виды углов.
15. Окружность.
16. Круг.
17. Радиус.
18. Диаметр.
19. Круговой сектор.
20. Хорда.
21. Сегмент.
22. Параллелограмм.
23. Виды параллелограмма.
24. Серединный перпендикуляр к отрезку.
25. Доказательство.
26. Анализ.
27. Синтез.
28. Исследование в задачах.
29. Задача.
30. Длина отрезка.
31. Площадь фигуры.
32. Отношение. Пропорция.
33. Многоугольник.
34. Вектор.
35. Симметрия относительно точки.
36. Симметрия относительно прямой.
37. Параллельный перенос.
38. Поворот вокруг точки.
39. Гомотетия.
40. Подобие.
41. Синус.
42. Косинус.
43. Тангенс. Котангенс.
44. Равные треугольники.
45. Равные отрезки.
46. Равные углы.
47. Касательная к окружности.
48. Расстояние от точки до прямой.
49. Средняя линия треугольника (трапеции).
50. Внешний угол многоугольника.
14
Приложение 4
Лист опроса № 2 (30 вопросов)
1. Свойства точек и прямой.
2. Свойства измерения отрезков.
3. Свойства измерения углов.
4. Свойства измерения площади.
5. Свойства откладывания угла.
6. Свойства откладывания отрезка.
7. Свойства биссектрисы угла.
8. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку.
9. Свойство точки пересечения медиан треугольника.
10. Признаки равенства треугольников.
11. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
12. Признаки подобия треугольников.
13. Отношение периметров подобных фигур.
14. Отношение площадей подобных фигур.
15. Признаки параллельности прямых.
16. Свойство углов при параллельных прямых и секущей.
17. Свойства параллелограмма.
18. Признаки параллелограмма.
19. Свойства равнобедренного треугольника.
20. Свойства ромба.
21. Свойства прямоугольника.
22. Неравенства треугольника.
23. Свойства биссектрисы треугольника.
24. Свойства медианы треугольника.
25. Свойства средней линии треугольника.
26. Свойства средней линии трапеции.
27. Свойство четырехугольника, вписанного в окружность (описанного около …).
28. Свойство смежных углов.
29. Свойство вертикальных углов.
30. Свойства внешнего угла треугольника.
15
Приложение 5
Лист опроса № 3
Элементарные задачи на построение циркулем и линейкой.
1. Деление отрезка пополам.
2. Деление угла пополам.
3. Построение отрезка равного данному.
4. Построение угла равного данному.
5. Проведение перпендикуляра к прямой из точки на прямой.
6. Проведение перпендикуляра к прямой из точки вне прямой.
7. Построение треугольника по определяющим его элементам (ССС, СУС, УСУ).
8. Деление отрезка в данном отношении.
9. Построение касательной к данной окружности из данной вне ее точки.
10. Построение общей внешней касательной к 2-м окружностям .
11. Построение внутренней касательной к 2-м окружностям.
12. Множество точек, лежащих на данном расстоянии от данной прямой.
13. Множество точек, равноудаленных от сторон угла.
14. Множество точек, равноудаленных от 2-х данных точек.
15. Множество точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.
16. Множество точек, середин хорд данной окружности, проходящих через данную точку.
17. Множество точек, для которых разность квадратов расстояний до 2-х данных точек есть
постоянная величина.
18. Множество точек, отношение расстояний до 2-х данных точек есть величина постоянная,
отличная от 1.
19. Построение х по формулам, где а, b, с – отрезки, m, n - числа натуральные:
а) х = а + b
г) х  m  a
ж) х  b2  с2
к) х  а m .
n
a
m
б) х = а – b
д) х 
в) х = nа
е) х  а 2  b2
з) х 
и) х 
a b
c
а b
Семинар 1
Элементарные задачи на построение фигур
Элементарные задачи на построение фигур ставит целью рассмотреть затруднения,
связанные с подготовкой листа опроса №3.
Литература.
1. Б.И. А р г у н о в, М.А. Б а я к. Элементарная геометрия. М.: Просвещение, 1966.
2. М.Я. В ы г о т с к и й. Справочник по элементарной математике. М.: Наука, 1971.
3. Школьный учебник “Геометрия” (7 кл.).
16
Приложение 6
Семинар 2
Степень точки, относительно окружности
1. Подготовка к семинару:
а) Прочитать п. 2.6 (параграф 2, гл.1), “Лекции по геометрии”. Ч. 1. С.А. Анищенко.
б) Проработайте текст, пользуясь приложением 13 и 14, подготовьте свои вопросы по
данной теме, в том числе по задачам: №№ 35-38, стр. 39.
2. Примерные вопросы на семинар:
 Что такое степень точки относительно окружности?

 Как читать запись?
С
 Как можно вычислить значение? 
 Какие значения может принимать?
 Что такое радикальная ось двух окружностей?
 Что называют радикальным центром окружности?
 Как построить радикальную ось двух окружностей?
 Какая теорема является основой построения радикальной оси?
 Какова структурно-логическая схема доказательства теоремы с радикальной оси?
 Как построить радикальный центр трех окружностей?
 Что значит: “окружность ортогонально пересекает две данные окружности”?
 Какие задачи можно решать с использованием понятия “Степень точки относительности
окружности”?
3. Составьте структурно-логическую схему по теме: “Степень точки относительно окружности”.
“ранее известное”
“новое”
“возможное использование”, в
т.ч. в задачах.
17
Приложение 7
Контрольная работа № 1
Построения геометрических фигур
Для подготовки: рассмотрите № 4 ( с решением).
Примерные задачи №№ 1 – 46.
1. Провести общую касательную к двум окружностям.
2. Построить  зная его сторону, биссектрису, проведенную к этой стороне и точку пересечения
этой биссектрисы с данной стороной.
3. Построить три окружности, попарно касающихся друг друга внешним образом, чтобы их
центры являлись вершинами данного треугольника.
4. Построить окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой.
5. Разделить угол и отрезок пополам, пользуясь двусторонней линейкой.
6. Построить  по двум углам и периметру.
7. Построить  по высоте и медиане, проведенным к данной стороне.
8. Построить  по трем медианам.
9. Построить  по углу, прилежащей к нему стороне и разности двух других сторон.
10. Построить равнобедренный  по боковой стороне и сумме основания и высоты.
11. Через данную точку к данной окружности провести секущую, чтобы ее внешняя часть была
вдвое больше внутренней.
12. Построить ромб, зная его диагональ и радиус вписанной окружности.
13. Построить квадрат ABCD так, чтобы А и В принадлежали данной окружности, а C и D –
данной прямой.
14. Построить параллелограмм так, чтобы его сторона и две высоты были равны данным отрезкам
a, b и с.
15. Построить окружность, касающуюся данной окружности и прямой q в данной точке А.
16. Построить окружность, касающуюся данной окружности в данной на ней точке В и данной
прямой.
17. Постройте треугольник по заданным элементам: а) a, b, h;
б)  А, hb, ha; в)  А, b + с,
hb; г)  А, a, b–с; д)  А,  В, Р, где Р = а + b + с; е) а, ma  А +  В; ж)  В,  А, а; з) a, b
+ с, hс .
18. Постройте треугольник по стороне, биссектрисе к ней и точке пересечения биссектрисы со
стороной.
19. Найдите множество точек:
а) равноудаленных от двух параллельных прямых;
б) от двух пересекающихся прямых;
в) середин всех равных хорд, проведенных в данной окружности.
20. Найти множество точек Х, таких что:
а) АХ  ВХ СХ, где АВС треугольник;
б) касательные, проведенные из точки Х к данной окружности имеют данную длину.
21. На окружности зафиксирована точка А. Найти множество точек Х, делящих хорды с концом в
точке А в отношении 1:2, считая от точки А.
22. Из данной точки, лежащей вне круга, провести секущую так, чтобы ее внешняя часть а)
равнялась внутренней; б) была втрое больше внутренней.
23. Постройте треугольник, у которого один катет вдвое больше другого, а сумма катетов и
высоты, опущенной на гипотенузу равна данному отрезку.
24. (С решением.) В данный  АВС вписать прямоугольный равнобедренный  MNP, где М –
вершина прямого угла на стороне АВ.
а) М задана на отрезке АВ;
б) М не задана.
Рассуждать можно так:
а) I. Анализ (чертеж 3)
18
B
Чтобы построить  MPN достаточно построить P и N на сторонах
АС и ВС.
MP=MN  P и N лежат на окружности с центром в М. Учитывая
P
M
B’
A
N
C’
 90
свойства поворота вокруг точки можно получить N=R м
(P) N = BC  AB,
C

 90
где ВС= R м
(ВС).

чертеж 3
II. Построение: (план)
 90
1) R м
(ВС) = В С
2) N = ВС  АС

 90
3) Р = R м
(N) (можно так: 3) РВ = ВN или 3) Р = ВС  окр. (М, r = MN)) PMN –
искомый.

III. Доказательство:
Докажем: 1) что MPN – вписанный в  АВС, т.е. М, Р и N лежат на сторонах АВС. (по
построению).
2) NMP = 90 (угол поворота, т.к. Р и N соответствующие друг другу точки, М –
неподвижная точка – центр поворота).
3) МР = MN (как отрезки, соединяющие образ и прообраз с центром поворота М).
Следовательно, треугольник удовлетворяет всем требованиям задачи.
IV. Исследование (проводим по этапам построения)
1. Образ отрезка ВС при повороте вокруг любой точки на любой угол можно получить
всегда, причем единственный.
2. Пересечение двух отрезков единственная точка, если существует. Выясним когда ВС и
АС не пересекутся? (чертеж 4).
B
P
M
A
E
C
B’
АС  ВС = , если МВ  МЕ. В этом случае  МЕР (Е  N)
можно считать вписанным в АВС (см. Определение вписанных
фигур “Математическая энциклопедия”). Только 2 вершины М и
Р лежат на АВ, но это не противоречит условию задачи.
C’
чертеж 4
3. Если существует N, то Р существует и единственно.
Итог задача имеет единственное решение.
19
б I. Анализ: (чертеж 5)
B
M
P’
M’
P
N’ N K’
K
C
В  MPN не дано ни одной точки, тогда можно построить любой
равнобедренный прямоугольный треугольник МРN (или квадрат
МРNK), чтобы М, N можно получить из М, N как образ при
АР
гомотетии с центром А и k 
, где Р=АР  ВС.
АР 
чертеж 5
II. Построение:
1. Любой треугольник МРN, чтобы МР = М N, М  АВ, N АС.
2. Луч МР  ВС =Р, k 
АР
.
АР 
k
3. Н A
( МРN) =  MPN- искомый. (здесь как половина квадрата) чертеж 5.
III. Доказательство:
1. Точки М, Р и N лежат на сторонах  АВС по построению.
2. МР = MN, т.к. МР = М N по построению.
3.  М =  М = 90 (при гомотетии сохраняются углы без изменения) и т.д.
IV. Исследование:
1. Так как  MPN строим произвольный, то таких треугольников может быть несколько,
удовлетворяющих требованиям задачи, тогда и образов получится несколько (зависит от угла
АМN) т.е. задача имеет множество решений, т.к. полученные образы будут иметь разные катеты.
Рассмотрите решение задачи. Решите аналогичную задачу, если нужно вписать правильный 
MPN.
2. (задача об удвоении квадрата). Постройте квадрат, площадь которого вдвое площади
данного квадрата.
3. Постройте квадрат, площадь которого равна сумме площадей двух данных
прямоугольников.
4. В данную окружность вписать треугольник, если даны точки пересечения продолжения
его биссектрис с окружностью.
20
Приложение 8
Коллоквиум
Метрические соотношения в треугольнике и окружности
Теоретическая часть
1. Неравенства треугольника (сформулировать и доказать).
2. Сумма углов треугольника.
3. Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30.
4. Свойства равнобедренного треугольника.
5. Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике.
6. Свойства равностороннего треугольника.
7. Свойство точки пересечения медиан треугольника.
8. Теорема Пифагора.
9. Теорема синусов.
10. Теорема косинусов.
11. Теорема Чевы.
12. Теорема Менелая.
13. Теорема о прямой Эйлера.
14. Теорема-формула Эйлера.
15. Теорема об окружности 9 точек.
16. Теорема Птолемея.
17. Свойство углов четырехугольника, вписанного в окружность.
18. Свойство треугольника вписанного в окружность.
19. Свойство треугольника, описанного около окружности.
20. Свойство вписанных в окружность углов.
21. Свойство биссектрис углов треугольника (о делении противолежащей стороны).
22. Теорема двух синусов.
23. Свойство точек пересечения сторон треугольника, вписанного в окружность, и касательной к
окружности в противолежащей для стороны вершине.
24. Теорема о радикальной оси двух окружностей.
25. Свойство точки пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.
26. Угол между биссектрисами углов треугольника при одной вершине.
27. Теорема о точке пересечения биссектрис двух внешних углов треугольника.
28. Свойство высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу.
29. Свойства катетов прямоугольного треугольника и отрезков гипотенузы, на которые ее делит
высота.
Практическая часть
Решение задач № 1-44 к параграфу 2 “Лекции по геометрии”. С.А. Анищенко (ч. 1).
21
Приложение 9
Семинар 4
Площадь фигуры
1. Аксиомы площади (сопоставьте с аксиомами длины).
2. Площадь прямоугольника: а) для целых чисел;
б) для рациональных чисел;
в) для действительных чисел.
3. Площадь треугольника: а) через основание и высоту;
б) через синус угла;
в) формула Герона;
г) для прямоугольного треугольника.
4. Площадь параллелограмма: а) через основание и высоту;
б) через синус угла;
в) через диагонали;
г) площадь ромба.
5. Площадь круга и его частей.
4. Площадь трапеции и треугольников, образованных диагоналями.
5. Применение площади к доказательству теорем:
а) теорема Пифагора; б) теорема Чевы; в) формулы сокращенного умножения.
6. Площадь четырехугольника, вписанного в окружность.
7. а) Как найти площадь четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны? (d1 =
6, d2 = 8).
б) Нельзя ли задачу (а) решить другими способами?
в) Нельзя ли обобщить задачу (а)?
г) Нельзя ли конкретизировать задачу (а) (ромб, квадрат, трапеция)?
д) Нельзя ли применить результат задачи (а) в других ситуациях? (фиксировалась ли точка
пересечения диагоналей, зависело ли решение от выбора этой точки)?
Е) Составьте задачу обратную задаче (а).
8. (Задача Герона). Участок заболоченной местности имеет форму четырехугольника, как
определить его площадь?
9. Составьте структурно-логическую схему “Формулы площади плоской фигуры”.
Литература
Анищенко С.А. Геометрия. Ч. 1. Красноярск, 2000.
Атанасян Л.С. Геометрия 7-9.
В.А. Гусев и др. Практикум по элементарной математике (геометрия). М.: Просвещение, 1992.
В.С. Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. М.: Просвещение,
1992.
5. Погорелов А.В. Геометрия 7-11.
6. Математическая энциклопедия.
7. Математика в школе. № 2 – 1999, стр. 19, № 6 – 1998, стр. 27-30.
1.
2.
3.
4.
22
Приложение 10
Алгоритм 1
Как работать над теоремой
1. Прочитайте теорему, переформулируйте ее в форме “если …, то …” (прием реконструкции).
2. Запишите условие (“дано”) и заключение (“доказать”). Выполните чертеж, (прием
конструирования, конкретизации).
3. Проведите анализ: “Что надо знать, чтобы утверждать …?” (прием прогнозирования)
4. Рассмотри доказательство в учебнике, разбейте его на смысловые части.
5. Прочитайте еще раз, составь план доказательства, записав его в виде утверждений.
6. Продумайте на чем основано каждое утверждение (запишите теоремы, аксиомы или
определения, из которых вытекает это утверждение).
7. Повтори доказательство по плану.
8. Попробуй доказать: а) по своему чертежу;
б) другим способом.
9. Сформулируй обратную теорему.
10. Верна ли теорема, обратная данной ?
11. Что дает изученная теорема для решения задач? Когда ее можно применять? (следствие
теоремы).
12. Оформи блок-схему по теореме.
1. Как работать над теоремой.
Вспомним, как работать над теоремой на примере теоремы косинусов:
1) В любом треугольнике, есть а, b, с – стороны треугольника,(разъяснительная часть) А
лежит против а, то квадрат стороны (а) равен сумме квадратов(условие) двух других сторон
без удвоенного произведения их на косинус угла между ними. (заключение)
2) А

c2
c1
В
Дано:  АВС, а, b, с – стороны;
 = (b, c) (чертеж 12).
h
b
a
Доказать: а2 = b2 + с2 – 2bс  cos 
С
чертеж 12
3) (а2 = b2 + с2 – 2bс  cos )  (а2 =с2 + h2 )
1) h 2  b 2  c22
2) с1  c  c2

с2 = b  cos  -
доказательство одним из возможных способов.
4) План 1) выбираем векторы, выходящие из вершины А.
5) ВС  АС  АВ (правило “треугольника”).
6) ВС2  |АB |2 | АC|2 2|AB||AC|cos
или а2 = b2 + с2 – 2bс  cos  (свойство равенств и скалярного произведения).
7) Если а2 = b2 + с2 – 2bс  cos , то а, b, с – стороны треугольника,  = ( b, c ) - не верна, т.к.
отрезки могут быть расположены, не образуя треугольник.
23
Приложение 12
Контрольная работа № 2
Площади. Метрические соотношения.
Для подготовки:
Образец 1. Вспомните методы решения геометрических задач на вычисление и доказательство.
Пример 1.
С1
В
А1
c
а
А
b
Задача: Найти зависимость между длинами сторон треугольника
АВС, если его медиана АА1, высота ВВ1 и биссектриса СС1
пересекаются в одной точке. (чертеж 13).
С
В1
чертеж 13
Анализ: (чертеж 13)
Связь сторон
Теорема косинусов
из АВВ1, где В1 = 90
cos A
АС1В1 
АВС
Свойство трапеции В1С1ВС
AВ1
AС1
Свойство биссектрисы СС1
С1В
С1В + АС1 = АВ=с
Решение вверх по схеме.
Решение. Поэтапно-вычислительный метод и геометрический (чертеж 13).
1. Найдем С1В и АС1 из системы уравнений:
С1В  АС1  С - сумма отрезков

 АС1 C1B
 b  a cвойство биссектрисы угла треугольника
b

АС1 
СВ


a 1

a + b C B  C
1

 a
ас

С1В 

a+b
 
AC  bc

 1 b+ a
24
2. А1 середина СВ, А – пересечение В1С и С1В, АА1 проходит через точку пересечения ВВ1 и
СС1, т.е. можно утверждать, что ВСВ1С1 – трапеция, т.е. В1С1 || СВ, тогда
 АВС   АС1В1, k 
2
AВ
АС
, значит и АВ1 = k  АС  b  b  c  b .

AС1 АВ1
(a  b)  c a  b
3. Из  АВ1В (В1 = 90), cos A 
AB1
b2
.

с
c(a  b)
4. а2 = b2 + с2 – 2bс  cos А
а 2  b 2  c 2  2bc 
c2  а 2  b2 
b2
c(a  b)
2b 3
– это равенство связывает 3 стороны треугольника.
a b
3
3
2
2
Ответ. c2  а + b  а b  ab .
a b
Образец 2. Один из углов треугольника равен 60, противоположная сторона равна 4. Один из
отрезков, на которых эта сторона разделена опущенной на нее биссектрисой, равен 1. Найти две
оставшиеся стороны.
1. Используя прием реконструкции переформулируем задачу, выполнив чертеж:
В
Дано:  АВС, AD – биссектриса; (черт. 14).
ВАС = 60, ВС = 4, BD = 1.
Найти: АВ и АС
D
А
чертеж 14
С
2. Рассуждаем, используя синтез с элементами анализа:
а) AD – биссектриса 
1) BAD = DAC = 30
2)
BD D C
.

AB AC
б) ВС = 4, BD = 1 DC = 3, тогда из а) (2) получаем уравнение с двумя неизвестными
1
3
.

AB AC
в) ВС = 4, А= 60, противолежащие стороны и угол связаны с остальными сторонами
теоремой косинусов:
42 = АВ2 + АС2 – 2АВ  АС  cos 60
г) имея 2 уравнения с двумя неизвестными можно найти эти неизвестные, решив систему:
3
 1


 АВ АС
4 2  АВ2  АС 2  2АВ  АС  cos60  ,

получим: АВ  4 7 ; АС  12 7 .
Ответ: АВ  4 7 ; АС  12 7
25
Примерные задачи
1. Равнобедренный прямоугольный  АВС вписан в окружность радиуса R. Другая окружность
касается катетов  АВС и первой окружности. Найти ее радиус.
2. Окружность, проходящая через вершину  АВС и через середины сторон АВ и АС, касается
третьей стороны  АВС в точке М. Доказать, что АМ2 = ВМ  МС.
3. Найти зависимость между длинами сторон  АВС, если его медиана АА1, высота ВВ1 и
биссектриса СС1 пересекаются в одной точке D.
4. Длины сторон АС и АВ  АВС равны b и c. Угол А вдвое больше угла В. Найдите длину ВС.
5. На стороне АВ  АВС взяты М и N так, что АМ = MN = MB. Точки А1 и В1 – середины ВС и
АС соответственно. Р = ВВ1  CN,
К=АА1  СМ. Найти РК : АВ.
6. Вычислить площадь F, если дан радиус сектора: r  13 a (чертеж 28).
F
а
чертеж 28
7. Вычислить площадь, зная сторону квадрата (чертеж 29).
чертеж 29
8. Вычислить площадь (чертеж 29), зная радиус сектора: r  1 2 a .
9. Вычислить площадь, если треугольник правильный (чертеж 30).
чертеж 30
10. Вычислить площадь, зная сторону квадрата (чертеж 31).
чертеж 31
11. Вычислить площадь, зная радиус круга (чертеж 31).
26
Приложение 13
Как работать с учебным текстом
Прочитайте текст.
Перечислите письменно новые понятия, о которых идет речь в тексте.
Подчеркните те понятия, определения которых даны в тексте.
О каких понятиях еще, на Ваш взгляд, можно вести речь в этой теме.
Выпишите определения (если есть, и эквивалентное ему определение). Докажите
эквивалентность.
6. Приведите примеры фигур (объектов), соответствующие определению. Дайте геометрическую
иллюстрацию. Выделите существенные признаки.
7. Приведите контрпример, дайте обоснование (“Почему пример не удовлетворяет
определению?”).
8. Выпишите теоремы, утверждающие свойства новых понятий или отношений.
9. Разберите теоремы (используя приложение 10).
10. Ответьте на вопросы:
а) Что нового Вы узнали?
б) С чем ранее изученного это новое связано? (вспомните ранее изученные понятия,
теоремы …)
в) Где в тексте использованы определения понятий, теоремы, изученные ранее?
11. Составьте структурно-логическую схему учебного текста (опорный конспект) в любой,
удобной для Вас форме.
1.
2.
3.
4.
5.
Приложение 14
Учимся работать с вопросами
ТИПЫ ВОПРОСОВ
х
х
х
х
х
ИНФОРМАТИВНЫЕ ВОПРОСЫ
ВОПРОСЫ ЦЕЛИ И СРЕДСТВА
ВОПРОСЫ ПРИЧИНЫ И СЛЕДСТВИЯ
ВОПРОСЫ ТИПА “ЧТО … ЕСЛИ”
ВОПРОСЫ ОТКРЫТЫЕ И ЗАКРЫТЫЕ
ЧТО ?
ПОЧЕМУ ?
ИЗ-ЗА ЧЕГО ?
ФУНДАМЕНТ АКТИВНОГО УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА
ФОРМИРУЕТСЯ ВОПРОСАМИ УЧЕНИКОВ, А НЕ ВОПРОСАМИ УЧИТЕЛЯ,
ПОДРАЗУМЕВАЮЩИМИ
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ОТВЕТЫ
МЕТРАПОЛИС. КУРС “РАЗРАБОТКА УЧЕБНЫХ ПЛАНОВ”
27
Приложение 15
Вопросы к устному экзамену
Геометрическая фигура. Бесконечность и непрерывность.
Построение циркулем и линейкой. Схема решения задач на построение.
Геометрический метод решения задач. Пример.
Алгебраический метод решения задач. Пример.
Множество точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.
Множество точек, разность квадратов расстояний от которых до двух данных точек –
постоянная величина.
7. Окружность Аполлония.
8. Квадратура круга.
9. Удвоение куба.
10. Трисекция угла.
11. Золотое сечение.
12. Построение правильных пятиугольников.
13. Построение правильных десятиугольников.
14. Теорема Гаусса о построении правильных многоугольников (без доказательства). Примеры.
15. Построение двусторонней линейкой. Пример.
16. Построение одним циркулем. Пример.
17. Построение одной линейкой. Пример.
18. Теорема о биссектрисах внутреннего и внешнего углов (при одной вершине треугольника).
19. Теорема косинусов.
20. Теорема о прямой Эйлера.
21. Теорема Чевы.
22. Теорема Менелая.
23. Теорема Птолемея.
24. Степень точки относительно окружности.
25. Радикальная ось двух окружностей.
26. Теорема об окружности 9 точек.
27. Формула Эйлера.
28. Длина отрезка. Площадь многоугольника.
29. Теорема Брахмагупта.
30. Площадь треугольника.
31. Площадь параллелограмма, трапеции.
32. Площадь круга и его частей.
33. Главная изопериметрическая задача.
34. Использование площади в доказательствах (т. Пифагора и другие).
35. Равновеликость и равносоставленность. Теорема Бояи-Гервина.
36. Теорема синусов.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
28
Пояснительная записка
2 семестр
Индивидуально-ориентированный план является рабочей программой для преподавателя и
студента. В плане указаны темы лекций, семинаров, задания для практических занятий
(тренировочных и зачетных).
Отчетом по самостоятельной работе является участие в семинарах и выполнение зачетных
заданий. Возникающие в ходе самостоятельной работы вопросы можно вынести на семинарские
или практические занятия, а также на индивидуальные консультации (1 час в неделю на группу). К
семинарским занятиям указан примерный перечень вопросов, который может быть изменен самим
студентом, и перечень дополнительной литературы по теме семинара.
В графе “примечание” предполагается отметка результатов оценки по зачету, самооценки
по теме, в том числе проблемы возникающие в начале изучения темы и трудности отмеченные
преподавателем и студентом в конце изучения темы. Эти проблемы (трудности) являются
объектом для планирования индивидуального повторения вопросов курса.
Курс данного семестра содержит следующие разделы:
 векторы и действия с ними на координатной плоскости;
 прямая на плоскости;
 линии второго порядка;
 преобразования координатной плоскости;
 циклоидальные кривые;
 Специальные кривые для решения классических задач, неразрешимых циркулем и
линейкой;
 Основными понятиями курса являются:
 вектор направленный отрезок ( а или АВ );
 модуль вектора - число являющееся длиной вектора (отрезка);
 коллинеарность векторов - принадлежность их одной прямой или параллельным прямым;
 аналитическая геометрия - теория, устанавливающая связь между линиями на плоскости и
алгебраическими уравнениями с двумя переменными;
 алгебраическая линия - множество точек определяемых уравнением F(х,у)=0, где F (х,у) многочлен, состоящий из слагаемых вида ахp уq где a-действительное число, p, q - целые
неотрицательные числа;
 порядок линии определяется степенью многочлена F (х,у),т.е. числом p + q
- окружность:
1. Сечение конической поверхности плоскостью,
перпендикулярной ее оси.
2. Множество точек равноудаленных от фиксированной точки.
3. Множество точек определяемых уравнением
где а, b, k - действительные числа.
- эллипс:
- парабола:
- гипербола:
1. Сечение конической поверхности плоскостью, пересекающей все ее
образующие под углом к оси, отличным от 90.
2. Множество точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных
точек постоянная
3. Множество точек, определяемых уравнением вида
где а и b-действительные числа (полуоси эллипса).
1. Сечение конической поверхности плоскостью, параллельной одной ее
образующих.
2. Множество точек, равноудаленных от фиксированной точки и
фиксированной прямой.
3. Множество точек определяемых уравнением вида:
где р - действительное число.
1. Сечение конической поверхности плоскостью, параллельной паре, ее
образующих (т.е. параллельной ее оси)
2. Множество точек, модуль разности расстояний от которых до двух
29
фиксированных точек есть величина постоянная.
3. Множество точек, определяемых уравнением вида
- циклоида:
где а и b- действительные числа.
плоская кривая, которая является траекторией точки окружности, катящейся
по прямой без скольжения.
циклоидальна
я кривая:
плоская линия, которая является траекторией точки окружности, катящейся
без скольжения по неподвижной окружности (вне неподвижной окружности эпициклоида, внутри неподвижной окружности - гипоциклоида.
В разделе “Векторы и действия на ними” обобщаются и углубляются знания школьного
курса геометрии и курс высшей алгебры по системе координат, координатной плоскости,
координатах точки и вектора;
определения и свойства действий над векторами, виды векторов и условия взаимного
расположения векторов на плоскости. Знания этого раздела является основой усвоения курса
аналитической геометрии.
В разделе “Прямая на плоскости” систематизируются и расширяются знания об уравнении
прямой на плоскости, полученные в школьном курсе геометрии.
Рассматриваются различные способы задания прямой и виды ее уравнений,
устанавливаются способы определения взаимного расположения
точки и прямой, двух
прямых, прямой и оси координат. Вводится понятие пучка прямых. Рассматриваются задачи на
составление уравнения прямой и исследования прямой по ее уравнению.
В разделе “Линии второго порядка” рассмотрены линии - конические сечения: их
уравнения, свойства, способы построения.
В разделе “Преобразование системы координат” рассматривается зависимость между
координатами точки в исходной и полученной системах координат, что позволяет рассмотреть
порядок приведения любого уравнения линии второго порядка каноническому (общепринятому)
виду, способствующему изображению любой линии на координатной плоскости.
В разделе “ Циклоида. Циклоидальные кривые” рассматриваются способы составления
уравнений любой линии - траектории точки подвижной окружности; использование угла поворота
в качестве параметра, способы приведения параметрического уравнения к каноническому
виду, использования уравнений для построения кривых.
В разделе “Специальные кривые” завершается курс “Построение фигур на плоскости”,
рассматривается критерий разрешимости задач на построение циркулем и линейкой и способы
решения классических задач: о трисекции угла, квадратуре круга( спрямлении окружности) и
удвоении куба с помощью специальных кривых.
Курс геометрии завершается зачетом и устным экзаменом (вопросы в приложении № 1)
Зачет выставляется на основе результатов двух контрольных работ (“Прямая на плоскости”
(приложение № 2), “Линии 2-го порядка (приложение № 3)
В курсе предусмотрены семинарские занятия по каждому разделу (приложения 4,5,6,7,8,9)
и “Коллоквиум по теме “Линии 2-го порядка” (приложение 9)
Тема “Специальные кривые” может быть рассмотрена глубже в курсовой работе (VI
семестр), с включением компьютерной графики.
Темой курсовой работы может стать аналитическая геометрия с аффинной системой
координат (основные отличия решения задач от их решения в декартовой системе координат).
1.
2.
3.
4.
5.
Литература
С.А.Анищенко “Лекции по геометрии ч.1, КГПУ. 2006.
М.Я.Выгодский “Справочник по высшей математике” М., Наука,2006.
Журнал “Математика в школе”
Математическая энциклопедия”
“Геометрия” под редакцией Г.Н. Яковлева. М.Н. Наука.1990. 320с.
30
Тематическое планирование
Содержание
Количество часов
1
I.Векторы. Система
координат.
Знать:
понятия:
координатная прямая
(плоскость),
координаты
точки
(вектора),
длина
вектора,
коллинеарные
векторы,
радиусвектор,
линейная
комбинация
векторов,
равные
векторы, правила и
свойства действий с
векторами, условия
коллинеарности
и
перпендикулярности
векторов.
Уметь
формулировать
и
доказывать свойства
действий
над
векторами,
эквивалентность
геометрического
и
координатного
определений
действий
над
векторами;
определять взаимное
расположение
векторов
и
расположение
вектора в системе
координат;
Обосновывать
и
применять формулу
вычисления
длины
вектора, угла между
векторами.
Навык изображение
точки и вектора в
системе координат;
выполнение действий
с
векторами,
определение
координат точки и
вектора,
изображенных
на
плоскости
II.Прямая
плоскости.
на
Знать:
уравнения
прямой на плоскости
различного
вида
(смысл постоянных
величин в каждом
виде
уравнения)формулу
расстояния от точки
до
прямой;
угол
между прямыми.
Уметь: составлять и
исследовать
уравнение прямой на
плоскости;
2
Дата
План
Факт
3
4
Лекция 1.
“Векторы в системе
координат
на
плоскости.
Декартова система
координат”
Лекция 2
“Действия
над
векторами,
использование
их
свойств в решении
задач”
“Существование
площади
п
угольника”
Семинар 1
(приложение 4)
“Векторы. Система
координат”
Лекция 3
“Прямая
плоскости”
Практические задания
Тренировочн
Зачетные
ые
5
6
1) 5 задач с
1)стр.85-86
векторами
С.А.Анищенк
из
о
школьно“Лекции.....”
го курса
геоNN 1 - 30
метрии 7-9
кл.
2) Задачи из 2) 5
задач
школьных
различных
учебников
ви-дов,
геометрии
состав7-9
кл.
ленных
разных
студентом,
авторов
решаемых
векторным
ме-тодом.
3) Лист опроса
4
(приложение
4)
Блок схема
“Векторы
в
курсе
геометрии 7-9
классов”
Блок схема
“Уравнение
прямой
на
плоскости”
Лекции
С.А.Анищенк
о
стр.92-93
на
Лекция 4
“Взаимное
расположение
прямой.
Пучки
прямых”
Контрольная
работа 1
Прямая
плоскости
(приложение 2)
7
Блок схема
Векторы на
координально
й плоскости”
NN 1-24
Семинар 2
(приложение 5)
“Прямая
плоскости”
Примечание
на
на
31
Задач
и с прямой,
составленные
студентами (5
штук
различного
вида).
2.
Задачи с
прямой из
школьного
курса
математики (5
штук)
3.
Лист
опроса N 5
4. Контрольн
ая работа
(приложение
2)
1.
Структурнологическая
схема
“Расстояние
от точки до
прямой”
Анализ
трудностей и
ошибок
в
контрольной
работе
для
планирования
индивидуальн
ого
повторения.
определять взаимное
расположение
прямых
на
плоскости, в том
числе
на
координатной
плоскости;
определять
угол
между
прямыми;
расстояние от точки
до прямой и между
параллельными
прямыми; доказывать
эквивалентность
различных уравнений
одной прямой.
Навык: построение
прямой на плоскости
по ее уравнению,
нахождение
угла
наклона к оси ОХ,
Составление и чтение
общего
уравнения
прямой.
.III
Линии
порядка
2-го
Знать:
знать
различные
определения
конических сечений линий
второго
порядка;
канонические
уравнения каждой из
линий;
параметрические
уравнения
окружности
и
эллипса.
Уметь:
составить
уравнение линии 2-го
порядка
по
ее
характеристическим
свойствам.
Уметь
составлять
параметрические
уравнения
окружности
и
эллипса, приводить
их к каноническому
виду. Уметь строить
линию
по
характеристическим
свойствам
и
по
уравнению.
Навык: схематичное
изображение каждой
линии
второго
Лекции
С.А.Анищенк
о
стр.108-110
№№ 1-40
Лекция 5
“Коническое
сечение, эллипс, его
уравнение
и
свойства”
Лекция 6
“ Виды конических
сечений
и
их
уравнения”
Лекция 7.
“Задачи
приводящие
линиям
порядка
к
2-го
Блок-схема
1.”Блок схема
“Линии 2го
порядка”
3)
Рассказ
“Моя
любимая
линия 2го
порядка”
4)
Чертежи
линий
второго
порядка”
5)
Зачетная
работа
“Чертеж и
рассказ о
линии 2го
порядка по
ее
уравнению
”
Семинар № 3
(приложение 6)
“Линии
2го
порядкаконические
сечения”
“Конические
сечения и их
уравнения”
Коллоквиум
“Линии
2го
порядка”
(приложение 10)
Лекции ч.1
С.А.Анищенк
о
стр. 116-117
№ 1-4
32
Блок-схема
“Линии 2-го
порядка
и
ихпреображе
ние”
1)
2)
Памятка
“Приведе
ние линии
2-го
порядка к
каноничес
порядка.
IV.
Общее
уравнение линии 2го
порядка.
Преобразование
системы координат
Знать; определения
и
свойства
преобразований
плоскости:
Симметрия
относительно точки
(оси), параллельный
перенос,
поворот
вокруг точки.
Общее
уравнение
линии 2-го порядка и
порядок приведения
его к каноническому
виду.
Уметь: определить
координаты точки в
преобразованной
системе координат,
приводить уравнение
линии 2-го порядка к
каноническому виду,
выполнять
схематичный чертеж
линии 2-го порядка и
образа
системы
координат.
Навык Схематичное
изображение образа
системы координат
при преобразованиях
и
схематичный
чертеж линии 2-го
порядка
по
ее
каноничному
уравнению
кому
виду”
Лекция
8”Преобразование
системы координат
и ее практическое
использование для
выполнения
чертежей”
3)
Контроль
ная работа
№2
Лекция 9
Приведение общего
уравнения линии 2го
порядка
к
каноническому
виду”
(Семинар 4)
Контрольная
работа №2
“Линии
2-го
порядка”
(приложение 3)
Построение
эпициклоид и
гипоциклоид
в
т.ч.
с
помощью
ЭВМ
Лекция 1
Циклоидальные
кривые”
Семинар 5
“Частные
случаи
эпициклоид
и
гипоциклоид”
(приложение 8)
V.Циклоида.
Циклоидальные
кривые.
Знать; определение
циклоиды,
Эпициклоиды
и
гипоциклоиды,
33
Блок-схема
“Составление
уравнения
циклоидальн
ых кривых”
методику
составления
параметрических
уравнений линий.
Уметь:
получать
параметрические
уравнения;
преобразовывать их к
каноническому виду,
определять порядок
линии
по
ее
каноническому
уравнению,
выполнять
чертеж
линии
по
ее
уравнению
Навык: определение
координат
точек
через
тригонометрические
функции
угла,
записывать
векторные равенства
в
координатной
форме.
Построение
специальных
кривых в т.ч.
с
помощью
ЭВМ
Блок-схема
Решение
задач
с
помощью
специальных
кривых”
Решение
задач
о
трисекции
угла,
удвоении
куба
и
квадратуре
круга.
Лекция
“Критерий
разрешимости задач
на
построение
циркулем
и
линейкой”
Семинар 6
“Специальные
кривые”
(приложение 9)
VI.Специальные
кривые.
Знать:
Критерий
разрешимости задач
на
построение
циркулем
и
линейкой,
Определение
циклоиды Диоклеса,
конхоиды Никомеда,
квадратрисы
Динострата.
Уметь обосновывать
неразрешимость
классических задач
на
построение
циркулем
и
линейкой, решать их
с
помощью
специальных кривых
Навык:
формулировка
классических задач,
неразрешимых
циркулем
и
линейкой.
34
Схематический план отчета по курсу геометрии (элементарной и высшей)
I курс (II семестр) «Аналитическая геометрия на плоскости» (84 часа)
№
6
Наименование
раздела
Кол-во
часов
Зачетные занятия и задания
1
Векторы и
действия над
ними на
координатной
плоскости
С.№4
5 шк.
задач
5
своих
задач
2
Прямая на
координатной
плоскости
С. №2 Л,О,№
5
задач
5 шк.
задач
3
Линии 2-го
порядка
С. №3 Чертеж сочине
и всех
ние
линий "Моя
линия"
4
Преобразования
координатной
плоскости
С. № 4.
6
задач
5
Циклоиды.
Циклоидальные
кривые.
С. № 5
7 чертежей
различных
линий
Специальные
кривые
С. №6
К/р
№2
Общеучебные умения
СЛС. ""Классификация
векторов на плоскости"
"Векторы в шк. курсе
геометрии"" Действия
над векторами"
О О О
5
К/р
СЛС "Уравнение
своих
№1
прямой"
(классификация).
"Расстояние от точки до
прямой"
О О О
коллоквиум
СЛС "Линия 2-го
порядка
(классификация)
"Полные сведения о
теория
практика линии 2-го порядка"
О
Моделирование
Алгоритм проведения
линии 2-го порядка к
каноническому
О О О О виду и построение
чертежа.
О
СЛС «Циклоидальные
кривые»
*Программа на ЭВМ
(составление)
Построение для решения
СЛС «Способы
классических задач
решения одной из
спрямлен квадрату удвоен трисекц классических задач»
О
ие
ра
ие
ия
Итог: зачет; устный экзамен (см. вопросы).
Заполните для себя последнюю колонку
35
Индивид. допол. задания
Приложения
Приложение 1
Вопросы к экзамену по геометрии
(I курс, II семестр)
Вектор. Действия сложения и вычитания векторов (определение, свойства).
Определение и свойства умножения вектора на число. Применение в задачах.
Скалярное произведение векторов, свойства его. Определение взаимного расположения
векторов по их произведению.
4. Уравнение прямой, заданной направляющим вектором и точкой (каноническое и
параметрические).
5. Общий вид уравнений прямой, заданной на координатной плоскости. Исследование прямой по
ее уравнению.
6. Расстояние от точки до прямой.
7. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Эквивалентность его другим уравнениям
прямой (1 по выбору).
8. Уравнение прямой, заданной нормальным вектором и точкой. Эквивалентность его общему
виду уравнения прямой.
9. Уравнение прямой, заданной направляющим вектором и точкой. Эквивалентность его общему
виду уравнения прямой.
10. Уравнения прямой с угловым коэффициентом. Эквивалентность его общему виду уравнения
прямой.
11. Параметрические уравнения прямой. Эквивалентность их общему виду уравнения прямой.
12. Взаимное расположение прямых на плоскости.
13. Пучки прямых на плоскости, общее уравнение.
14. Парабола. Вывод канонического уравнения. Исследование по уравнению. Построение
параболы по уравнению.
15. Гипербола. Вывод уравнения, исследование по уравнению. Построение гиперболы уравнению.
16. Эллипс. Вывод уравнения, исследование по уравнению. Построение эллипса по уравнению.
17. Изменение координат в результате поворота координатной плоскости вокруг 0 (0;0).
18. Каноническое и параметрические уравнения окружности.
19. Эллипс как проекция окружности. Параметрические уравнения эллипса, построение эллипса
по ним.
20. Изменение координат в результате геометрических преобразований координатной плоскости
(симметрии, параллельный перенос).
21. Общий вид уравнения линии 2-го порядка, порядок приведения его к каноническому виду.
22. Циклоида. Уравнение, исследование по уравнению, построение.
23. Гипоциклоида. Параметрические уравнения. Построение.
24. Эпициклоида. Параметрические уравнения. Построение.
25. Кардиоида, как частный вид эпициклоиды. Параметрические уравнения, построение
эпициклоид.
26. Астроида (или кривая Штейнера), как частный вид гипоциклоиды. Параметрические
уравнения. Построение частных видов гипоциклоид.
27. Критерий разрешимости задач на построение циркулем и линейкой. Неразрешимость задач о
квадратуре круга, спрямление окружности, удвоение куба и трисекции угла.
28. Квадратриса Динострата, использование ее при решении задач о квадратуре круга т трисекции
угла.
29. Циссоида Диоклеса, использование ее для решения задачи об удвоении куба.
30. Конхоида Никомеда, использование ее для решения задачи о трисекции угла.
31. Уравнение прямой “в отрезках” Эквивалентность его общему виду уравнения прямой.
32. Эллипс как коническое сечение. Характеристическое свойство эллипса в построении его.
33. Парабола как коническое сечение. Характеристические свойства параболы в построении ее.
34. Гипербола как коническое сечение. Характеристические свойства гиперболы в построении ее.
35. Окружность как коническое сечение. Характеристические свойства окружности. Точка как
вырожденная окружность.
36. Пара прямых как образ линии 2-го порядка.
1.
2.
3.
36
Приложение 2
Прямая на плоскости. Векторы
Контрольная работа
(примерное содержание)
I
II
1. Составьте уравнение прямой,
проходящей
через
F
перпендикулярно n
(2; 5), если F
симметрична, К(3; -4) относительно
оси ОХ.
1.
Составьте
уравнение
прямой,
проходящей через точку пересечения
прямой 5х-2у-10=0 с осью ОУ и
перпендикулярной данной прямой.
3. Даны уравнения двух сторон
параллелограмма х-4у+11=0; 2х+у-5=0
и уравнение одной его диагоналей х-у1=0. Найти координаты вершин этого
параллелограмма и его площадь.
3. Даны вершины треугольника: А(2; 1),
В (-2; 3) и С (-10; -13). Вычислите длину
перпендикуляра,
опущенного
из
вершины В на медиану, проведенную из
вершины С.
4. Составьте уравнение прямой,
проходящей через точку (1; 2) что
расстояние до этой прямой от точек (2;
3) и (4; –5) одинаковые.
4.
Запишите
уравнение
прямых,
параллельных прямой 4х + 3у + 1 + 0 так,
и отстоящих от нее на расстоянии 3
единиц.
2. Дан правильный шестиугольник, 2
стороны которого a1 и a2 Выразите
(пятиугольник)
через
a1 и a2 все векторы,
определяемые
вершинами
шестиугольника и выходящие из одной
вершины. Определите его площадь.
(пятиугольника)
Приложение 3
Вариант 1
1.
Линии 2-го порядка
Контрольная работа 2
Составьте уравнение касательной к гиперболе
x2 y2
=1, если касательная параллельна
9 36
прямой 3х - у -17= 0
Составьте каноническое уравнение параболы, которая делит отрезок АВ пополам, если А(6;0);
В(0;12).
3. Уравнение 6x2+4xy+3y2+3x+4y-3=0 привести к каноническому виду, Постройте линию,
заданную уравнением.
2.
Вариант 2
Дан прямоугольник со сторонами 12 и 16. Найдите эксцентриситет гиперболы, которая
касается двух его противоположных сторон, а диагонали прямоугольника являются ее
асимптотами.
2. Напишите уравнение касательной к параболе y2=8x, которая образует с осью абсцисс угол в
450
Уравнение 5x2+8xy+5y2-18y+9=0 привести к каноническому виду. Постройте линию, заданную
уравнением.
1.
37
Приложение 4
Векторы. Система координат
Лист опроса 4 (семинар 1)
1. Система координат на плоскости.
2. Виды системы координат.
3. 3.Координаты точки на плоскости.
4. Вектор.
5. Координаты вектора на плоскости.
6. Длина вектора.
7. Равные векторы.
8. Радиус - вектор.
9. Единичный вектор.
10. Коллинеарные векторы.
11. Условие коллениарности векторов.
12. Произведение вектора на число.
13. Сумма векторов.
14. 14.Разность векторов.
15. Скалярное произведение векторов.
16. Угол между векторами.
17. Перпендикулярность (ортогональность) векторов.
18. Условие перпендикулярности векторов.
19. Векторный метод решения задач.
а) а||в
б)А, В и С - принадлежат одной прямой
в)а  в
г) длина отрезка
д) угол между прямыми.
20. Координатный метод решения задач (алгебраический)
а) расстояние между точками;
б) угол треугольника.
21. Свойства сложения векторов.
22. Свойства вычитания векторов.
23. Свойства умножения вектора на число.
24. Свойства скалярного произведения векторов.
25. Линейная комбинация векторов.
26. Линейная зависимость векторов.
27. Блок - схема “Векторы на плоскости”
Литература:
1. В.А. Гусев и др. Практикум по элементарной математике (геометрия) М. Просвещение 1992.
352 с.
2. Геометрия под редакцией Г.Н. Яковлева М., Наука. 1990. 320 с.
38
Приложение 5.1
Памятка для самостоятельной работы
студентов I курса по высшей геометрии
Тема: “Прямая на плоскости” должна быть усвоена за 20 учебных часов
4 часа - лекция
12 часов - практики
2 часа - рефлексия /подведение итогов/
2 часа - контрольная работа по решению задач
Лекцию вы прослушали, где были разобраны примеры отдельных задач. Дома вам нужно
проработать лекцию по памятке “Как работать с учебным текстом”. Подобрать свои примеры
элементарных задач.
Дома решаете задачи из темы “Координатная плоскость” (Геометрия 7-9кл.) и задачи из
“Геометрии Яковлева для техникумов ( гл.2) и лекции по геометрии С.А. Анищенко стр. 9293.Трудные задачи можно обсудить с учителем на любом из практических занятий.
По итогам изучения темы Вы должны уметь:
1) рассказать по уравнению о положении прямой на плоскости;
2) составить уравнение прямой:
а) по направляющему вектору и точке,
б) по двум точкам /координатам этих точек,
в) по нормальному вектору и точке,
г) по отрезкам, отсекаемым прямой на осях координат,
3) перейти от одного вида уравнения прямой к другому виду,
4) определить взаимное расположение точки и прямой, двух прямых,
5) найти расстояние от точки до прямой, между двумя точками,
6) найти угол между прямыми,
При необходимости надо быть готовым обосновать свой путь рассуждениями с теоретических
позиций.
Зачетом является: 1. Самоотчет по листу №,5,
2.Контрольная работа по решению задач, проверяемая учителем.
Работа предлагает в двух стилях / или вариантах/ В1 - от теории к практике /дедуктивный стиль
мышления/
В 2 от задач к теории /индуктивно-дедуктивный/
Вы выбираете тот, который Вам подходит. Если затрудняетесь сразу определить свой стиль
мышления, начните с В1, т.к. он соответствует методике обучения в ВУЗе.
Надеюсь, что Вы успешно подготовитесь к итоговой контрольной работе.
В добрый путь!
В1. Ответь на вопросы: Лист №.5
Если смогли ответить на все вопросы, то решите задачи на карточках 5 из группы В, 3 из
группы А.
1.2.
Оцените свою работу:
За все задачи группы В - “4”
За все задачи группы В и 1-3 группы А - “5”
Правильность решения обсудите с товарищем, ответы проверьте по карточке
преподавателя.
Итог подводим вместе /март 3/
После обсуждения к/р /март 3/
Вариант 2 попробуйте решать задачи 5 гр. В, затем 3 гр. А. В случаях затруднения в решении
задач обратитесь за помощью.
2.1.К лекции. После прочтения нужной части вернитесь к задаче.
2.2. К однокурснику, после обсуждения с ним теоретической основы задач /математической
модели/, вернитесь к решению задач.
2.2. Если лекция и однокурсник не помогли, обратитесь к преподавателю.
2.2. Ответьте на вопросы листа №.5
2.2. Обсуждать итоги будем вместе /март 3/.
1.1.
39
Приложение 5.2
Прямая на координатной плоскости
ЛИСТ ОПРОСА 5 (семинар 2)
Где можно линейную зависимость векторов использовать в теме “Прямая на координатной
плоскости.(3 варианта ответа) ?
2. Как использовать знания о векторах в следующих задачах?
а) составление уравнения прямой
б) определение взаимного расположения двух прямых
в) определение расстояния от точки до прямой.
3. Какой вид может иметь уравнение прямой на плоскости? Что по нему можно сказать о
положении прямой на координатной плоскости?
 каноническое
 параметрические
 “в отрезках”
 с угловым коэффициентом
4. Каким набором элементов можно задать прямую?
5. Нормальный вектор прямой
6. Направляющий вектор прямой.
7. Точка принадлежит прямой.
8. Назовите возможные случаи расположения двух прямых на плоскости.
9. Как определить угол между двумя прямыми?
10. Как установить параллельность прямых? (4 способа: через направляющие векторы
/нормальные/, через угол, через коэффициенты общего уравнения, через систему уравнений/.
11. Как установить перпендикулярность прямых? ( 3 способа)
12. Как определить точку пересечения двух прямых?
13. Как определить расстояние от точки до прямой? / 2 способа/
14. Как найти точки, расположенные по одну сторону от прямой?
15. Блок-схема “Вектор и прямая на координатной плоскости”
1.
1.
2.
3.
4.
5.
Литература:
С.А. Анищенко. Лекции по геометрии Ч.1. КГПУ, 2006.
Г.Н. Яковлев. Геометрия. М.: Наука, 1972.
Л.С. Атанасян. Геометрия. 2 Ч.1
Математическая энциклопедия
В.С. Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс математики. М.: Просвещение,
1992.
40
Приложение 6
Семинар 3 “Линии второго порядка”
1.Окружность
а) определение, характеристическое свойство
б) каноническое уравнение
в) параметрические уравнения
г) касательная прямая
д) построение окружности по 3 точкам
2.Эллипс
а) определение, характеристическое свойство
б) каноническое уравнение
в) параметрические уравнения
г) оси эллипса
д) сопряженные диаметры
е) эллипс как проекция окружности
ж) построение эллипса
з)касательные к эллипсу
3.Гипербола
а) определение, характеристическое свойство
б) каноническое уравнение
в) асимптоты гиперболы
г) оси гиперболы
д) касательные к гиперболе
е)построение гиперболы
4.Парабола
а) определение, характеристическое свойство
б) каноническое уравнение
в) уравнение директрисы
г) ось параболы
д) касательная к параболе
е) построение параболы
5. Линии второго порядка как конические сечения, в том числе точка, пара прямых
пересекающихся.
6. Пара параллельных прямых как линия 2 - го порядка
7. Диаметр конического сечения (гиперболы, эллипса, параболы)
8. Эксцентриситет линии 2-го порядка
9. Общее определение эллипса, гиперболы, параболы.
10. Блок - схема “Линии 2-го порядка”
Дополнительная литература:
1. Л.С. Атанасян. Геометрия. Ч.1, 2. М.: КноРус, 2011. (http://book.ru/view/900390/1, электронная
библиотека.
2. Математическая энциклопедия
3. М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике. М.: Наука. 2006. с.872
41
Приложение 7
Преобразование системы координат и
уравнения линии 2-го порядка.
Общий вид уравнения линии 2-го порядка
Поворот осей системы координат на угол  вокруг О
3. Параллельный перенос системы координат на a (x0,y0)
4. Отражение системы координат от оси ОХ
5. Отражение системы координат от оси ОУ
6. Отражение системы координат от точки О
7. Алгоритм приведения общего уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду
8. Построение схематичного чертежа линии 2-го порядка с учетом преобразования системы
координат.
1.
2.
Дополнительная литература (см. в приложении 6)
Приложение 8
Циклоида. Циклоидальные кривые
Семинар 5
1.Циклоида.
а) определение
б) параметрические уравнения
в) трансцендентное уравнение
г) построение циклоиды (в т.ч. на дисплее ЭВМ)
д) Блок-схема “Вывод уравнения циклоиды”
2. Циклоидальные кривые
а)эпициклоида (определение, параметрические уравнения)
б) гипоциклоида (определение, параметрические уравнения, построение, в т.ч. на ЭВМ)
в) кардиоида
г)астроида
д) кривая Штейнера
3. Блок-схема “ Циклоидальные кривые”
Литература (дополнительная)
1. Математическая энциклопедия
2. М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике. М.: Наука 2006, 382с.
3. Л.С. Атанасян. Геометрия. Ч.1, 2. М.: КноРус, 2011. (http://book.ru/view/900390/1, электронная
библиотека.
4. Н.И. Пак, В.В. Рогов. Практика работы на языке Турбо-Паскаль. Красноярск, КГПУ, 1992,
155с.
42
Приложение 9
Специальные кривые
Семинар 6
1.
Критерий разрешимости задач на построение циркулем и линейкой.
2.
Примеры задач на построение, разрешимых циркулем и линейкой.
3.
Классические задачи на построение, неразрешимые циркулем и линейкой (формулировка,
обоснование неразрешимости)
а) о трисекции угла
б) об удвоении куба
в) о квадратуре круга
г) о спрямлении окружности.
4. Циссоида Диоклеса (определение, уравнение, построение, практическое использование)
5. Конхоида Никомеда (определение, уравнение, построение, практическое использование)
6. Квадратриса Динострата (определение, уравнение, построение, практическое использование)
7. Блок схема:
“Классические задачи на построение, неразрешимые циркулем и линейкой и
способы их решения другими средствами”
Литература: ( см. приложение 8)
1. В.Д. Чистяков. Старинные задачи. Минск, “Высшая школа” 1966.
43
Приложение 10
Линии второго порядка
Коллоквиум
Смотри вопросы теоретические в приложении 6
Практические задания - узнай и изобрази заданную линию
x2 y2
x2 y2
x2 y2
a)
+
=1;
б)
–
=1;
в)
–
=0;
5
2
8
3
3
4
y2 x2
x2 y2
г) –
–
=–1;
д)
–
=2;
е) 3x2 + 4y2 = 8;
8
9
3
4
x2 y2
2
2
ж) (x – 5) + (y – 3) =8;
з)
+
=1;
и) 5x2 – 20 = 0;
3
3
1
к) x2 = 8y;
л) y = x2
2
3. Изобрази и запиши уравнение линии:
а) эллипс с осями 8 и 6
б) гиперболу с осями 8 и 6
в) окружность с центром (0; 5) и радиус r
г) гиперболу с мнимой осью 3 и действительной осью 2.
д) эллипс с эксцентриситетом 1/3 и большей осью 4
ж) гиперболу с эксцентриситетом 3/2 и действительной осью 4
з) параболу с фокусом (0; 4) и директрисой у–8=0
и) параболу с осью х = 3 и директрисой у = –5
3. Запишите уравнение касательной
а) к окружности 5x2+5y2=15: 1) в точке ( 3 ;0)
2) параллельную оси ОХ
3) параллельную ее диаметру,
лежащему на прямой у=х
4) перпендикулярную ее диаметру,
лежащему на прямой у=-х
2
2
y
x
б) к эллипсу
+
=1 в точке (2 2 ; 0);
8
2
x2 y2
в) к гиперболе
–
=1 в точке (4; 3 );
4
1
г) к параболе y2=4x в точке (5; 2 5 ).
5. Напишите уравнение асимптот гиперболы:
y2 x2
x2 y2
а)
–
=1;
б)
–
=1.
5
3
3
2
Литература (в приложении № 6).
1.
2.
44
Пояснительная записка
3 семестр
План индивидуальной работы студента предполагает учет индивидуальных особенностей в
определении продолжительности изучения раздела (в рамках учебного плана по геометрии на
данный семестр), в определении места и формы самостоятельной работы студента по освоению
теории и выполнению системы практических заданий, в определении стиля учения (от теории к
практике или наоборот), в использовании тактик мыслительной деятельности, соответствующих
типу мышления и степени сформированности общих учебных навыков в предыдущие годы
учения.
Работать по индивидуальным планам предполагает самооценку и корректировку реальных
знаний, полученных в школе, а также при изучении геометрии и других предметов на предыдущих
этапах. Эта работа планируется студентами самостоятельно.
План содержит сведения о лекционных занятиях, что позволяет послушать лекцию с целью
вхождения в материал нового раздела или с целью обобщения и корректировки знаний по данному
разделу, полученных самостоятельно. В случае затруднений и для защиты итогов самостоятельной
работы предусматривается консультации у преподавателя; консультации могут быть
индивидуальные или групповые. В группы объединяются студенты, находящиеся на одном этапе
изучения геометрии (работающие по одному разделу или над одним заданием). Общение в группе
позволяет студенту скорректировать свои знания, способствуют формированию навыков устной
математической речи. Навыков общения с коллегами.
В плане указано общее количество часов в виде суммы, где первое слагаемое – количество
аудиторных часов, второе слагаемое – количество неаудиторных часов (для самостоятельной
работы).
В графе “сроки” цифры рядом с названием месяца обозначают порядковый номер недели в
месяц, в том числе отдельно конкретизировано время проведения семинаров, контрольных работ,
коллоквиумов.
При отчете по изученной теме студент предъявляет письменный отчет – зачетные задания,
проходит собеседование.
45
Содержание.
Раздел, система
знаний
и навыков
1
III семестр
“Аналитическая
геометрия в
пространстве”
1.
Система
координат
в
пространстве.
Знать:
определение
системы
координат,
виды
систем,
определение
координат точки,
вектора;
Правила (формулы)
вычисления
длины,
выполнения
действий над
векторами (+, –,
na, (a  b), [a  b],
a  b  c).
Уметь: вывести
основные
формулы,
сформулировать
и доказать
свойства
действий над
векторами.
Навык:
определение
координат точки
(вектора) и
построение по
заданным
координатам
точки (вектора);
выполнение
действий с
векторами, в том
числе заданными
координатами.
Тематическое планирование
Количество
Сроки
Практическая часть
часов
(недели 1, 2, 3,
4)
План (в факт
По
Фак Практические Зачетные
т.
.
плану (в
т.
задания
задания
числе
т. числе
лекции
лекции)
)
2
3
4
5
6
7
Основная
С.А.
Анищенко
Литерату
ра
“Лекции
по
Глава 4
геометрии
Стр. 54
”
ч.2,
№1-3, №4-6
КГПУ,
стр. 63-64
1995
№1-5, №8-12
1а) Блок№13-14
схема
Допол-но
“Действия
Стр. 54 №7-9
над
Стр. 64 №6-7
векторами
Семинар
“Векторы
в ”
пространстве” 1б)
2-3
свои
задачи с
векторами
на
вычислен
ие длины;
на
доказател
ьство;
на
линейную
комбинац
ию
(разложен
ие
вектора)
- 5 задач с
векторами
из
“Геометр
ии 10-11
кл.”
1г)
коллокви
ум
по
теме
“Векторы
”
46
Оценка (в
том числе
качественн
ая)
8
1. Схема:
“Что знаю
по теме?”
(из
школьного
курса, из
других
предметов)
.
1! Схема:
“Что знаю
по теме?”
(дополнить
схему 2).
1
2.
Линии
и
поверхности.
Знать: общий вид
уравнения
поверхности (в т.ч.
плоскости).
Частные
виды
уравнения
плоскости
Общий
вид
уравнения линии в
пространстве ( в
т.ч. прямой линии).
Параметрические и
канонические
уравнения прямой
Канонические
уравнения
поверхностей 2го порядка.
Метод
параллельных
сечений в
исследовании
поверхностей 2го порядка.
Уметь: вывести
уравнения
(прямой,
плоскости, тора,
конической и
цилиндрической
поверхностей,
сферы,
эллипсоида,
гиперболоидов,
параболоида),
формулу
расстояния от
точки до
плоскости,
изображать
перечисленные
поверхности,
определять
взаимное
расположение
прямых и
плоскостей.
Навык:
Чтение
общего уравнения,
каноническая
запись уравнения
плоскости по трем
точкам, по точке и
нормальному
вектору; уравнения
прямой (по 2-м
точкам, запись и
чтение
канонических
уравнений
поверхностей 2-го
порядка).
2
3
4
5
6
7
8
Глава 4
Стр. 68-69
№1-3, №4-6
№8, №7, №9
Дополн. № 10
стр. 85-88
№1-2, 3-5, 6-7
№8-14, 16-17
№19, 18, 2027, №28-30,
31-32
(ЭВМ) № 3338
Схема:
2а)
знаю
структурн “Что
по
теме?”
ологическа
я схема
“Векторы
в
уравнени
ях прямой
и
плоскости
”
2б)
Семинар
чертежи
“Взаимное
поверхно
расположение стей 2-го
прямой
и порядка и
плоскости”
тора
2г)
К/р
“Прямая
и
плоскость
”
2! Схема:
“Что знаю
по теме?”
(дополнить
схему 2).
47
1
3.
Изображение
пространственных
фигур
Знать:
определение
параллельного
проектирования,
основные
инварианты
его.
Определение
главных
направлений
параллельного
проектирования,
теоремы
о
проекции
треугольника,
тетраэдра, способ
построения
изображения
прямоугольной
системы
координат,
куба,
сферы.
2
3
4
5
6
Глава 3
Стр. 15-16
№1-5,
№6-8
№9- 11
Уметь:
доказывать
теоремы (о
изображении
треугольника,
тетраэдра, о
существовании
главных
направлений в
параллельном
проектировании).
Изображать
прекции
правильных
многоугольников
, других плоских
фигур,
изображать
пирамиды,
призмы, сферу,
конус, цилиндр.
стр. 33-34,
стр. 34-35
№1-6 (а-г)
7
8
3а)
5
задач
учебника
“Геометр
ия 10-11
кл.”
по
теме
3б)
чертежи:
проекция
правильн
ого
пятиуголь
ника по
заданным
требовани
ям,
вписать и
описать
окружнос
ть
на
проекции
пятиуголь
ника (не
менее 3-х
задач).
Схема:
“Что знаю
уже?”
К/р
“Изображ
ение
в
параллель
ной
проекции
”
Навык:
выполнение
чертежей плоских
и
простратнственных
фигур
в
параллельном
проектировании и
оценка правильных
чертежей.
48
3! Схема:
“Что знаю
по теме?”
(дополнить
схему 3).
1
2
3
4
5
4.
Правильные
многогранники.
6
Глава 3
Стр. 24
№1-4
Знать:
определение
и
название
правильных
многогранников,
различные способы
изображения
их;
теорему Эйлера.
стр. 35
№ 6 (д – з)
стр. 54
№ 5-9
Уметь: доказать
теорему Эйлера,
обосновать
разные способы
изображения (в
том числе
аналитический
способ
доказательства),
обосновать
наличие 5
правильных
многогранников.
стр 87, № 15
№17 - 18
Семинар
“Многогранн
ики”
Навык:
Изображение куба,
тетраэдра, октаэдра
( втом числе в
системе
координат).
7
4а)
чертежи
всех
правильн
ых
многогра
нников
(не менее
2-х
чертежей
для
каждого)
с
обоснова
нием
способа
изображе
ния.
4б) 3 свои
задачи с
многогра
нниками,
в
том
числе
на
построен
ие
сечения,
на
вычислен
ие
(комбина
ции
с
кубом
или
сферой)
2г)
К/р
“Прямая
и
плоскость
”
49
8
Схема:
“Что
знаю?”
4! Схема:
“Что знаю
?”
(дополнен
ие к схеме
4)
1
2
3
4
5
5. Объемы.
6
7
8
Глава 3
Глава4
5. Схема:
5а)
структурн “Что
известно?”
ологическа
я схема
Стр. 47-49
“Формул
№ 1-6
ы
№7 – 11
объемов”
№ 12 – 15
5б)
5
№16 – 18
задач из
Дополн.
№ “Геометр
ии 10-11
19-30
кл”
Знать:
определение
объема, теорему о
существовании
объема
многогранника,
принцип
Ковальери,
формула
вычисления объема
(прямоугольника,
призмы, пирамиды,
конуса,
шара,
цилиндра,
шаровых сектора и
сегмента).
Коллоквиум
“Объемы”
Уметь:
обосновать
теорему о
существовании
объема
многогранника,
любую из
формул
вычисления
объема
названных фигур,
в том числе с
использованием
принципа
Кавальери.
5! Схема:
“Что знаю
К/р
по
теме
“Объемы” “Объемы””
?
(дополнить
схему 5)
Общая
самооценк
а
за
семестр.
Навык:
использование
формул в решении
задач.
Резерв
времени,
обобщение
к
экзаменам
50
Схема отчета при изучении курса геометрии (элементарной и общей)
2 курс (III семестр) “Аналитическая геометрия в пространстве ” ( 64 ч.)
Система
координат
(точка;
векторы)
2
Линии и
поверхности
. Уравнения.
Взаимное
расположен
ие.
Зачетные занятия и задания
С.
№1
5
шк.
зада
ч
5
свои
х
зада
ч
Коллоквиум
«Векторы»
Теория Практ
ика
Уравнения
С.
№2
Взаимно
е
располож
плоскост
ение
и
прямой и
плоскост
поверхно
и
сти
2-го
порядка
К/р № 1
1
Колво
часо
в
плоскост
и
поверхно
сти
тора
Наименован
ие раздела
прямой
№
п/
п
Чертежи
Общие учебные
умения
Доп.
инд.
занятия
СЛС «Действие над
векторами в
пространстве»
«Классификация
векторов
в
пространстве»
ОО
«Вектор
ы на
плоскос
ти»
СЛС «Векторы в «Прямая
уравнениях прямой на
и плоскости»
плоскос
ти»
«Исследование
поверхности по ее
уравнении.»
ОО
4
5
Изображени
е фигур в
стереометри
и.
Правильные
многогранни
ки
Объемы
Изобр
ажени
е
фигур
на
проек
ции
окруж
ности
С. №
3
5 шк.
задач
5
школьных
задач
на
пост
роен
ие
на
выч
исл
ени
е
Изобр
аж.
прост
р.
фигур
К/
р
№
2
СЛС « Способы
изображения
пространственных
фигур»
«Треуго
льник и
окружно
сть»
Классификация
задач на построение
фигур»
ОО
Чертежи
всех
3 свои
многогранн задачи
иков
на
на
окр. пр.
куба
Коллоквиум
К/р №
3
Теори Практ
я
ика
т. Эйлера
3
анал
ит.
обос
нова
ние
СЛС
«Способы «Много
изображения
угольни
правильных
ки»
многогранников»
О
СЛС
«Формулы «Площа
вычисления
дь»
объема»
«Теорема
о
существовании
объема
многогранника»
О
Заполните сами последнюю колонку ….!
ИТОГ: устный экзамен (см. вопросы)
51
Приложения
Приложение 1
СЕМИНАР
"Векторы в пространстве"
Цель: Систематизировать знания о векторах в пространстве ( в том числе в системе
координат), правила и свойства, геометрический смысл действий над векторами.
1. Что такое вектор в системе координат в пространстве? Дайте классификацию векторов.
2. Как можно классифицировать действия над векторами?
3. Какие подходы существуют к определению действий над векторами?
4. Как доказать эквивалентность разных определений одного и того же действия над
векторами?
5. Как связать координаты вектора о его модулем?
6. Как установить взаимное расположение двух векторов?
7. Как установить взаимное расположение трех векторов?
8. Как вектор может быть связан с прямой линией в пространстве?
9. Установить взаимосвязи в структурнологической схеме "Векторы".
Приложение 2
Коллоквиум
"Векторы в пространстве"
I. Теоретическая часть:
1. Понятие "вектора" в пространстве.
2. Как можно классифицировать множество действий над векторами.
3. Что такое "линейная зависимость" и "линейная комбинация" векторов и как она связана с
координатами вектора (в декартовой системе координат).
4. Различные подходы к определению любого действия над векторами, их эквивалентность.
5. Геометрический смысл каждого действия над векторами и класс задач, связанный с
результатом действия над векторами.
6. Установление взаимного расположения векторов, заданных координатами.
7. Формулы вычисления угла между двумя векторами.
8. Условия компланарности трех векторов. (Почему не формируют условия компланарности
двух векторов?).
9. Различные формулировки условия компланарности двух векторов.
10. Различные способы определения перпендикулярности векторов
Практические задания:
1. С.А. Анищенко. Лекции по геометрии. (ч.2) стр. 63- 64.
2. Г.Н. Яковлев. Геометрия (глава V).
3. Школьный учебник (любой) "Геометрия 10-11 кл.".
а. классифицировать задачи с векторами
б. решить разными способами (не менее 2-х способов)
Литература:
1. С.А. Анищенко. Лекции по геометрии (ч. 2). КГПУ,2006.
2. Г.Н. Яковлев. Геометрия. М.: Наука, 1990.
3. В.С. Крамор. Повторяем и систематизируем геометрию. М.: Просвещение, 2008.
4. Л.С .Атанасян. Геометрия. "Альфа", 1993.
5. Л.С. Атанасян, С.В.Гуревич. Геометрия. М.: Просвещение, 1976.
Приложение 3
СЕМИНАР
" Прямые и плоскости в пространстве"
Общее:
1. Уравнение плоскости в пространстве (вывод, исследование плоскости по ее уравнению).
2. Уравнение плоскости, заданной тремя ее точками.
3. Уравнение плоскости в отрезках.
4. Уравнение плоскости, заданной ее точкой и двумя векторами, параллельными плоскости.
5. Определение взаимного расположения плоскостей по их уравнениям (т.ч. формула
вычисления угла между плоскостями).
6. Способы выявления перпендикулярности двух плоскостей.
7. Способы выявления параллельности плоскостей. Пучок параллельных плоскостей.
8. Уравнение прямой в пространстве - как пересечения двух плоскостей.
9. Уравнение прямой, определяемой двумя точками.
10. Уравнение прямой заданной точкой и направляющим вектором (канонические и
параметрические уравнения).
11. Почему для прямой в пространстве не рассматривают ее нормальный вектор?
12. Определение взаимного расположения прямых в пространстве.
13. Формула вычисления угла между прямыми.
14. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве в (том числе установления
перпендикулярности, параллельности).
15. Формула вычисления угла между прямой и плоскость.
16. Формулы (или алгоритмы) вычисления расстояния
а. от точки до плоскости
б. от точки до прямой
в. между скрещивающимися прямыми
г. между параллельными плоскостями (прямыми).
Указание:
При ответе на вопросы необходимо выделить основные компоненты структурно - логической
схемы связи с темой "Векторы" и внутри данной мы
а - что используется при выводе (доказательствах)
б - основной результат (утверждение; формула)
в - где может быть использован (в каких задачах)
Замечание:
Литература перечислена в приложении 1
53
Приложение 4
Примерные задания в контрольной работе по теме:
“Прямая и плоскость в пространстве”
1.
а. Указать особенности расположения плоскости: х – z + 1 = 0 в системе координат.
б. Написать уравнения прямой, параллельной (перпендикулярной).
в. Найти расстояние от М(1; –2; 3) до
г. Определить угол между радиус-вектором ОМ и плоскостью.
2. На оси найти точку, равноудаленную от: 2х – 2у + z – 12 = 0 и М(1; 1; 4).
3. Составить уравнение множества точек, равноудаленных от плоскостей:
2х – у + 3z – 5 = 0.
4. Определить двугранный угол между плоскостями 2х + 5у + 4z + 15 = 0 и
6х – 3z + 2 = 0.
5. Написать уравнения плоскостей, делящих пополам двугранный угол между плоскостями
х – zу + 6 = 0 и 3х – 4у + 5z – 6 = 0.
6. Определить взаимное расположение прямой х  5  у  6  z  3 и плоскости
2х + 5у + 4z + 15 = 0.
2
8
2
Приложение 5
Примерное содержание контрольной работы по теме:
“Изображение на параллельной проекции”
1. На параллельной проекции правильного треугольника изобразите ортоцентр; окружность,
вписанную около треугольника.
2. Постройте изображение (проекцию) правильного пятиугольника по 3-м его произвольным
точкам (вершинам или точкам пересечения диагоналей).
3. На проекции окружности постройте изображение правильного шестиугольника, описанного
около нее.
4. Постройте изображение тетраэдра, вписанного в сферу, используя изображение сферы при
параллельном проектировании.
5. Изобразите, используя параллельное проектирование, цилиндр, вписанный в конус (в
правильную пирамиду), если радиус и высота цилиндра равны по длине.
6. Изобразите правильную призму (пирамиду) в системе координат.
54
Приложение 6
СЕМИНАР
"Многогранники"
Цель: Обобщить и систематизировать знания о многогранниках, в том числе о правильных;
рассмотреть приложение аналитической геометрии к обоснованию решения позиционных задач.
1. Как можно сформулировать определение многогранника?
2. Как можно классифицировать множество многогранников?
3. Измеряемые свойства многогранников.
4. Требования к изображению многогранников при параллельном проектировании.
5. Структурно-логическая схема "Формула поверхностей многогранников".
6. Конечное число правильных многогранников.
7. Различные подходы к изображению параллельной проекции правильных
многогранников: тетраэдра, октаэдра, гексаэдра, додекаэдра, икосаэдра..
8. Геометрический и аналитический способы обоснования правильности построения
изображения правильных многогранников.
9. Возможности ЭВМ в изображении правильных многогранников.
Литература:
1. С.А. Анищенко. Лекции по геометрии, ч.2. КГПУ, 1994.
2. Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. Элементарная геометрия. Москва, 1966.
3. С.А. Анищенко. Геометрия. Красноярск, 1992.
4. В.А. Гусев и др. Практикум по элементарной математике. Москва, 1992.
Приложение 7
Коллоквиум
“Объем”
I. Теоретическая часть:
1. Сопоставить аксиомы объема и площади.
2. Объем прямоугольного параллелепипеда, длина ребер которого выражена
действительными числами.
3. Теорема о существовании объема многогранника.
4. Объем прямой призмы.
5. Объем цилиндра.
6. Принцип кавальери.
7. Формула вычисления объема наклонной призмы через площадь основания и высоту.
8. Формула зависимости объема наклонной призмы от площади перпендикулярного
сечения и длины ребра.
9. Объем пирамиды.
10. Объем конуса.
11. Объем шара.
12. Объем шарового сектора.
13. Площадь сферы.
II. Практическая часть:
1. Составить структурно-логическую схему:
а) “формулы вычисления объема”;
б) “Объем призмы”;
в) “Объем шарового сегмента”;
г) “Площадь сферы”.
2. Задачи:
а) С.А. Анищенко. Лекции по геометрии. Ч. 2. КГПУ, 1994 (стр. 47-49).
б) В.С. Крамор. Повторяет и систематизируем школьный курс геометрии. М.:
Просвещение, 1992 (стр. 229-259).
в) Школьные учебники “Геометрия 10-11 кл.”. Тема “Объемы” (любого автора, не менее
5 тем и задач решить).
Литература: (перечислена в указаниях о задачах).
55
Приложение 8
Примерное содержание контрольной работы по теме:
"Объемы"
1. Вычислить отношения объема правильной треугольной пирамиды. вписанной в шар, к
объему шара.
2. В прямом параллелепипеде основание - ромб со стороной А и углом между сторонами
60. Меньшая диагональ параллелепипеда в. Найдите объем.
3. Самая большая диагональ правильной шестиугольной призмы, имеющая длину,
составляет с боковым ребром призмы угол. Найдите объем призмы.
4. Докажите, что если радиусы трех шаров относятся как 1:2:3, то объем большого шара в
3 раза больше суммы объемов меньших шаров.
5. Шар вписан в шаровой сектор, имеющий в осевом сечении угол. Вычислите отношение
объемов шарового сектора к объему шара при;
6. Основанием пирамиды служит ромб со стороной, "равной А и острым углом.
Двугранные углы при основании равны. Найдите радиус шара, вписанного в эту пирамиду.
56
Пояснительная записка
4 семестр
Литература
С.А. Анищенко. Лекции по геометрии. (ч.2) КГПУ, 2006.
Л.С.Атанасян, Г.Б.Гуревич «Геометрия», ч.2., М.: КноРус, 2011. . (http://book.ru/view/900390/1,
электронная библиотека.
С.А.Анищенко “Геометрические преобразования”, Красноярск, 1992.
Г.И.Саранцев “Сборник задач на геометрические преобразования”. “Просвещение”, 1981.
А.А.Егоров “Геометрия” /Школа в “Кванте”, к № 1/95 г/ Москва, 1995.
Основные понятия раздела:
- преобразование (множества) - взаимно-однозначное отображение множества на
себя;
- композиция (произведение) преобразований - последовательное выполнение
нескольких преобразований;
- инвариант - свойство, сохраняющееся при преобразовании;
- симметрия - а) частный вид преобразования плоскости (пространства);
б) движение плоскости (пространства), отображающее фигуру на себя;
- группа симметрий (группа преобразований):
(смотри “группа” из алгебры и теории чисел).
Материал раздела разбит на 5 структурных частей:
1. Вводная / геометрические преобразования, композиция, группа, частные виды (12
аудиторных часов).
2. Движение (4 ч.).
3. Симметрия фигур (12 ч.).
4. Подобия. Аффинные преобразования (14 ч.).
5. Проективные преобразования (20 ч.)
В каждой части выделены результаты усвоения программного материала: знания, умения;
навыки, тренировочные и зачетные задания (номера указаны по основной литературе). Один из
возможных вариантов обобщения итогов работы над темой - структурно-логическая схема,
составление которой предполагает обобщение представлений о новом понятии (или разделе),
установление связей как внутри нового содержания, так и с информацией, полученной ранее из
других разделов курса геометрии или из других учебных дисциплин.
В плане указано количество аудиторных часов в виде суммы:  л +  пр. (лекций и
практических) и предполагается еще 1/3-1/2 от аудиторных часов на самостоятельную домашнюю
работу.
Студент имеет возможность перераспределять часы между темами, в соответствии со
своими возможностями и способностями; предполагается вариативность в определении средств,
форм и места занятия, порядка изучения (от практики к теории или от теории к практике),в выборе
консультанта.
Посещение лекций и семинаров предполагается обязательным, но для одних это будет
работа, предваряющая самостоятельную, для других - обобщающая (позволяющая соотнести
приобретенные знания с информацией преподавателя или однокурсников).
Практические аудиторные занятия студент планирует сам, имея возможность выбора
содержания и формы работы (коллективной, групповой или индивидуальной). Любой студент
может предложить свой вопрос (или задачу) для коллективного обсуждения на практическом
занятии.
План содержит приложения:
1) вопросы на семинарские занятия, которые можно дополнить своими вопросами;
2) вопросы и задачи, примерно определяющие уровень сложности проверочных
(контрольных) работ;
3) методические рекомендации к выполнению творческих работ;
4) вопросы к экзамену.
57
Тематическое планирование
Содержание
Количество
часов
1
Введение.
2
I.
Геометрические
преобразования
Знать:
определение
геометрического
преобразования,
виды
преобразований
(их определение
и
свойства);
группа
преобразований,
композиция;
аналитический и
геометрический
способы задания
преобразований.
Уметь: строить
образ и прообраз
фигур
при
различных
преобразованиях
(3
вида
симметрии,
2
вида поворота,
параллельный
перенос,
подобие,
гомотетия,
скользящая
и
вращательная
симметрии),
выделять
и
обосновывать
инварианты
геометрических
преобразований;
классифицироват
ь преобразования
по
разным
основаниям;
использовать
преобразования в
решении задач.
Навык: задание
каждого
преобразования
и
нахождение
образа
(прообраза)
точки.
Сроки
План
Факт
.
3
4
Задания
Тренировочн
ые
5
С.А.
Анищенко
“Лекции по
стр. 95 №№
стр. 109-110
№№ 26-32
Лекция 1
«Геометрически
е
преобразования.
Группы»
Практические
зачетные
Оценка (в т. ч.)
самооценка)
6
7
ч. 2
геометрии”
1 – 14
Структурнологическая
схема:
а)
“Виды
1.1.
преобразований
№№ 10-25
плоскости
(пространства)”
б)
“Группы
1.2.
преобразований
Сочинение “Мое ”
преобразование”
Семинар 1
«Геометрически
е
преобразования
на плоскости»
1.3.
Модели
“Преобразования
плоскости”
Лекция 2
«Классификаци
я
преобразований
плоскости»
1.4.
Контрольная
работа:
“Геометрические
преобразования
в задачах”
58
1
2
II.
Движение
плоскости
(пространства)
пр.
Знать:
понятие
“движение”, группа
движений,
виды
движений (теоремы о
композиции осевых
симметрий),
основные
элементарные задачи
на
каждый
вид
движения.
3
4
5
№2
стр. 108
№1-9
Семинар
2
«Класси
фикация
движени
я
плоскос
ти»
Уметь:
классифицировать
движения плоскости
(пространства)
по
разным
признакам,
доказывать теоремы о
композициях осевых
симметрий,
использовать
движения в решении
задач.
Навык: построение
образов (прообразов)
точек в разных видах
движений; подводить
преобразование под
понятие “движение”.
59
6
7
1) Не менее Схема
5 задач на “Классификация
движений”
движение из
школьного
учебника
любого
автора.
2)
Контрольная
работа:
“Задачи,
решаемые с
помощью
движений”.
1
III.
фигур
2
3
4
5
6
стр. 118
№№ 1-2; 511
2.1.
Контрольная
работа
(домашняя)
а) № 3; № 4
стр. 118
б)
свои
задания,
аналогичные
№ 5, стр. 118
в) № 9, №
10, стр. 118.
7
Симметрия
Знать:
“симметрия
фигуры”,
“группа
симметрии фигуры“,
структура
группы
симметрии
ограниченной
фигуры;
элемент
группы симметрии.
Уметь:
описывать
группы
симметрий
ограниченной фигуры
(плоской
и
пространственной),
обосновывать
утверждение:
“Множество
симметрий фигуры F
является группой”.
Лекция
3
«Группа
.
Симмет
рия
фигуры:
плоской;
простра
нственн
ой
Семинар
3
«Группы
симметр
ичных
фигур»
60
Структурнологическая схема:
“Симметрия
фигуры” (в том
числе с темой:
“Геометрические
преобразования”)
1
IV.
Подобие.
Аффинные
преобразования.
Знать: определения и
способы
задания
подобия, гомотетии,
аффинных
преобразований ( в
том числе родства);
основные
свойства
аффинных
преобразований;
аффинные свойства
конических сечений,
треугольников;
теорему
(и
ее
следствия) о задании
аффинного
преобразования,
аффинная
система
координат. Понятие
полноты
и
метрической
определенности
чертежа и способы
выполнения чертежей
(в
том
числе
“аксонометрия”).
Знать
основные
позиционную
и
метрическую задачи.
Уметь:
формулировать
и
доказывать основные
свойства названных
преобразований;
доказывать теоремы о
задании аффинного
преобразования ( в
т.ч.
родства),
находить
главные
направления родства,
результаты
композиций
названных
преобразований.
Выполнять чертежи и
решать позиционные
и метрические задачи,
в
том
числе
в
аксонометрии.
Навык: построение
образа
(прообраза)
точек в названных
преобразованиях,
в
аффинной
системе
координат, решение
основных
позиционной
и
метрической задач.
2
3
4
5
с.р
стр. 141
№№ 1-6
№№ 10-12
№№ 15-17
Лекция
4
«Подоби
е.
Гомотет
ия»
Лекция
5
«Аффин
ные
преобра
зования
»
Лекция
6
«Родств
о.
Аксоном
етрия»
Семинар
4
«Геомет
рически
е
преобра
зования
в
решении
задач»
61
6
1. № 7-9, №
13-14
2. Чертежи :
а)
“Мои
инициалы в
родстве”
(разные
случаи
задания
родства);
б) построение
эллипса
по
его
сопряженным
диаметрам.
3.
Структурнологическая
схема
“Теорема
о
задании
аффинного
преобразован
ия”.
4.
Контрольная
работа:
а) домашняя
по 5 задач:
на
построение
сечений
многогранник
ов;
позиционные
задачи
с
композицией
из
многогранник
ов и сферы
(шара);
б)
чертеж
“Пересечение
2-х
многогранник
ов”
(в
аксонометрии
) (См. №13,
стр. 142, 1 из
10 вариантов).
7
1)
Структурнологическая схема:
“Аффинные
преобразования”
2) Круги Эйлера
“Геометрические
преобразования”
1
V.
Проективные
преобразования
V.1.
Проективные
преобразования
Знать: центральное
проектирование, ось и
центр перспективы,
проективное
пространство
(несобственные
точки,
прямые,
плоскости), сложное
отношение 4-х точек,
гармонизм;
проективные
преобразования
(гомология);
гармонические
свойства окружности
и
полного
4-х
вершинника; полюс и
поляра. Теоремы о
задании гомологии,
проективных
преобразований;
теоремы
Дезарга,
Паскаля, Брианшона.
Уметь:
формулировать
определение
и
основные
свойства
названных понятий,
принципы
двойственности;
взаимности полюсов
и
поляр;
формулировать
и
доказывать
перечисленные
теоремы,
гармонические
свойства окружности
и 4-х вершинника,
доказывать принцип
взаимности полюсов
и поляр; истинность
двойственных
предложений.
Навык: построение
(линейкой) полюсов,
поляр, касательных к
окружности
(коническим
сечениям);
образа
(прообраза) точки в
гомологии.
2
3
4
с.р.
Лекция
7
«Центра
льная
перспект
ива.
Сложно
е
отношен
ие (АВ,
CD)»
Лекция
8
«Проект
ивная
плоскос
ть.
Т.
Дезарга.
»
Лекция
9
«Проект
ивное
преобра
зование.
Гомолог
ия»
Лекция
10
«проект
ивные
свойства
окружно
сти»
Лекция
11
«Св-во
полного
4-х
вершинн
ика»
Лекция
12
«Теорем
ы
Брианш
она
и
Паскаля
»
62
5
7
8
1) стр. 177180
№№ 1-18
№№ 20-25
№№ 26-35
№№ 36-38
2)
Обобщение
свойств
сложного
отношения
4-х точек (с
перестановк
ами точек)
3)
Структурнологическая
схема:
“Теорема
Брианшона”
1) стр. 177179 №№ 8-10;
18
2) Чертежи:
а)
“мои
инициалы в
гомологии”
(разные
случаи
задания
гомологии);
б) полюса и
поляры
(разные
случаи
расположения
относительно
окружности);
в) касательная
к окружности
(2
случая
расположения
точки
относительно
окружности);
г) построение
4-й
гармоническо
й
точки
(разные
способы
с
теоретически
м
обоснованием
).
3)
Контрольная
работа
из
задач
типа:
№№ 26-35
1) Круги Эйлера
“Геометрические
преобразования”
2)
Структурнологическая схема:
“Проективные
преобразования
проективной
плоскости”
1
V.2.
Линейная
перспектива
Знать:
понятия:
картинная плоскость
(картина), предметная
плоскость
(пространство),
основание
и
перспектива
точки,
линия
горизонта,
главная
точка
картины, масштабные
точки.
2
3
4
5
С.А.
Анищенко
(ч. 2), стр.
172-176
7
Зачетный
чертеж:
“Линейная
перспектива
комнаты” (с
устным
стр. 180 № обоснованием
изображения)
39
Консул
ьтации
Уметь:
обосновать
построение
в
линейной
перспективе
с
помощью
проективных
преобразований;
изобразить систему
координат в линейной
перспективе.
Навык: построения
образа-точки
(фигуры) в линейной
перспективе.
63
8
Схема:
Место
темы
“Линейная
перспектива”
в
теме
“Геометрические
преобразования”
Схема отчета об изучении курса геометрии (элементарной и высшей)
II курс (IV семестр) “ Геометрические преобразования” (72 часа)
№
Наименование
раздела
1
Определение
геометрических
преобразований
Композиция.
Группа
2
Движение
3
Симметрия
фигур
4
Подобие
5
Проективные
преобразования
6
Линейная
перспектива
Колво
часов
Зачетные занятия и задания
Общеучебные
умения
Виды геометрич.преобраз.,
Сочинен К/р №1
СЛС
группы
“Мое
“Геометрическ
геоие
С. № чертеж модели 5 шк.
преобразовани
1
и
задач метрич.
преобрая”,”Групзование»
пы
геометричес.п
реобр.”
 
С. № 5 шк. К/р
Классификация движений СЛС
“
2
задач № 2
Движение
в
плоскость
пространства задачах”

С. № Свои задачи
К/Р № 3
СЛС
3
(аналог.№5,9.1 (см.№3,4
“Строение
0
с.118
группы
стр. 118)
симметрии
фигуры”

С. № Инициа Построен
5 шк.
Построение
СЛС
4
лы в
ие
задач
сечен.
“Способы
родстве эллипса
(шар,
2-х многозадания
по
многогра
гранн. в
аффинных
диаметр.
нник)
аксонометри преобразов.”
и
“
Группа
С. № 5 св-ва построен построен
Иниц аффинных
проектив сл.
ие
.
К/р иалы преобразовани
я”
ная и
отн. гармон. полюсов, № 4
в
«Т.
Евклидов 4-х
четвер. поляр.кагомо СЛС
ы
точек
сат..к оклогии Брианшона»
Круги Эйлера:
плоскост
ружност

и
и
“Геометрическ
ие
преобразовани
я

Чертеж своей комнаты в лин. Перспективе
СЛС
“Линейная
перспектива и
проективные
преобразовани
я”
ИТОГ: зачет; устный экзамен (см. вопросы)
Заполните последнюю колонку...!
64
Дополн.
задания
(индивид
. с/р)
Приложение 1
СЕМИНАРЫ
(список вопросов примерный, Вы можете его дополнить)
1. “Геометрические преобразования”
1) Что такое геометрическое преобразование?
2) Рассказ об одном из преобразований, по следующему плану:
- определение;
- способы задания (в том числе в аналитической геометрии);
- основные свойства;
- является ли множество данных преобразований группой?
- в каких задачах можно использовать данное преобразование?
- как можно продемонстрировать данное преобразование учащимся (в том числе
на модели)
3) Приведите один из способов классификации известных вам преобразований.
4) Что может являться композицией 2-х/3-х одинаковых преобразований? Примеры.
5) Перечислите известные композиции двух различных преобразований, дающих новое
преобразование.
6) Представьте свою сводную блок-схему “Геометрические преобразования.
7) Приведите свою блок-схему “Группы преобразований плоскости (пространства)”.
8) ...
Литература (дополнительная):
5. Энциклопедия юного математика.
6. А.Д.Александров “Геометрия 6-9”, “Геометрия 10-11” / “Просвещение”, 2006 г.
2. Движения.
1) Составьте множество геометрических преобразований “Движения”.
2) Классифицируйте множество движений по какому-либо признаку.
3) Представьте поворот в виде композиции...
4)Представьте параллельный перенос в виде композиции...
5) Представьте осевую симметрию в виде композиции...
6) Опишите свойства скользящей симметрии.
7) Опишите свойства вращательной симметрии.
8) Докажите, что множество движений есть группа относительно операции композиция
преобразований.
9) Приведите примеры задач, решаемых с помощью движения.
Литература в пояснительной записке в списке к семинару №1.
3. “Симметрия фигуры”.
1) Перечислите геометрические преобразования, которые могут быть элементами группы
симметрии фигуры.
2) Что такое циклическая группа симметрий фигуры?
3) Что такое группа Диэдра?
4) Что такое собственные симметрии многогранников?
5) Приведите примеры конечной группы симметрий:
- плоской фигуры;
- пространственной фигуры.
4. “Подобие. Аффинные преобразования”.
1) Взаимосвязь между объемами понятий “подобие” и “гомотетия”.
2) Простое отношение 3-х точек.
3) Определение и свойства аффинных преобразований.
65
4) Способы задания аффинных преобразований.
5) Родство, способы задания, свойства..
6) Главные направления родства (аффинных преобразований).
7) Построение эллипса с помощью аффинных преобразований.
9) Полнота чертежа при параллельном проектировании.
10) Метрическая определенность чертежа в стереометрии.
11) Аксонометрия, пример.
12) Позиционная задача, примеры.
13) Метрическая задача, примеры.
14) Аффинная система координат.
15) ...
Дополнительная литература:
7) В.А.Гусев и др. “Практикум по элементарной математике (геометрии)”/ “Просвещение”, 2008 г.
5. Проективные преобразования.
1) Центральное проектирование.
2) Проективное пространство в сравнении с евклидовым.
3) Сложное отношение 4-х точек, гармонизм.
4) Гармонические свойства окружности, полюс и номера.
5) Полный 4-х вершинник и его свойства.
6) Сложное отношение прямых пучка.
7) Теорема Дезарга (структурная блок-схема).
8) Гомология. Частные виды.
9) Структурная блок-схема “Задание гомологии”.
10) Структурная блок-схема “Теорема Паскаля”.
11) Структурная блок-схема “Теорема Брианшона”.
12) Принципы двойственности и их использование в теоремах.
Дополнительно:
1) Л.С.Атанасян “Сборник задач по геометрии”, ч.2, М.: Просвещение, 1995 г.
66
Приложение 2
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
(примерное содержание)
№ 1. “Геометрические преобразования в задачах”
1) В треугольник с основанием а и высотой h впишите квадрат так, чтобы две его вершины лежали
на основании, а 2 другие - на боковых сторонах. Найдите сторону квадрата.
2) Постройте равнобедренную трапецию по основаниям а и b, боковому ребру с. Вычислите
площадь трапеции, подобной данной с коэффициентом подобия k.
3) В  АВС проведены медианы АА1, ВВ1 и СС1, пересекающиеся в точке М.Точки Р, Q b R середины отрезков АМ, ВМ и СМ. Докажите, что А1В1С1 =  PQR.
4) Доказать, что неравные окружности (на плоскости) всегда гомотетичны.
5) Пользуясь произведением 2-х гомотетий, докажите, что прямая, соединяющая середины
оснований трапеции, проходит через точку пересечения (продолжений) боковых сторон трапеции.
6) Выразите площадь треугольника через его медианы.
7) Диагонали АD, ВЕ и СF вписанного в окружность шестиугольника АВСDЕF сходятся в одной
точке в том и только в том случае, если АВ  СD  EF = ВС  DE  AF. Докажите эту теорему.
8) ...
№ 2. “Движение в задачах”.
1) Докажите, что сумма оснований трапеции меньше суммы ее диагоналей, но больше их
разности.
2) Отрезок, длиной а, пересекает плоскость, концы его удалены от плоскости на b и с. Найдите
угол между данным отрезком и плоскостью.
3) На сторонах АВ и ВС  АВС вне его построены квадраты АВDЕ и ВСКМ. Докажите, что DM
перпендикулярен медиане  АВС ВР и в два раза больше ВР.
4) На сторонах угла (меньше развернутого) постройте прямую, отрезок которой, заключенный
между сторонами угла, делится данной внутри угла точкой пополам.
№ 3. Симметрия фигур.
1) Составить группу симметрий правильного восьмиугольника.
2) Приведите пример фигуры, для которой группа симметрий к = {, |, 2 = 5 = ,  = 2}.
3) Составьте группу симметрий правильной n-угольной антипризмы.
4) Докажите, что плоскость можно покрыть равными между собой треугольниками.
№ 4. “Аффинные преобразования”.
1) Отображается ли центр тяжести треугольника в центр тяжести его образца при аффинном
преобразовании.
2) В правильной треугольной пирамиде даны сторона основания а и двугранный угол при
основании . Найдите площадь сечения, проведенного через центр основания параллельного двум
неперекающимся ребрам пирамиды.
3) Построить сечение призмы АВСDА1В1С1D1 плоскостями, заданными точками Р, Q и R: а) Р на
ребре А1В1, Q в грани АВСD, R на ребре DD1; б) Р на диагонали АС1, Q лежит на диагонали В, D;
R на ребре С1D1.
4) На ребре ВВ1 призмы АВСА1В1С1 задана точка Р, а на продолжении АА1 и СС1 соответственно точки Q и R, причем А между А1 и Q, С1 - между С и R. Построить точку
пересечения плоскости РQR с СК, где К лежит на ребре А1В1.
5) В правильном тетраэдре SАВС опустить перпендикуляры на SВС из точек: а) D - середина АВ;
б) Е - середина SA; в) К - середина апофемы SM грани SAC.
6) Задача типа № 13 стр.142 С.А. Анищенко “Лекции по геометрии” (ч.2.).
67
№ 5. Проективные преобразования проективного пространства (плоскости).
1) Доказать: а) различные плоскости всегда имеют по меньшей мере одну общую точку; б) если 3
прямые попарно пересекаются и не лежат в одной плоскости, то они имеют одну и только одну
общую точку.
2) Сформулировать (и тем самым доказать) предложения, двойственные предложениям в задаче 1.
3) В трехвершинниках АСВ и А1В1С1, имеющих центр перспективы, вершины А и А1 несобственные, а ВС и В1С1 не параллельны. Сформулируйте предложение аффинной геометрии,
которое соответствует теории Дезарга.
4) Даны три различные точки А, В, С прямой q. Построить на q точки D, Е, F и Q так, чтобы (АВ,
СD) = 2, (АВ, СЕ) = -2; (АВ, СF) = 3, (АВ, CQ) = 2/3.
5) Доказать методом проективной геометрии:
а) средняя линия треугольника параллельна основанию;
б) медианы треугольника пересекаются в одной точке;
в) прямая МН делит основание трапеции пополам, если М - пересечение прямых, содержащих
боковые стороны трапеции, Н - точка пересечения диагоналей трапеции.
Индивидуально - ориентированный план изучения геометрии
5 семестр
План составлен в соответствии с программой
по геометрии для студентов математического
факультета Iступени высшего педагогического
образования.
В V семестре планируется изучение раздела
“Основания геометрии” и обобщение вопросов
аналитической
геометрии
к
итоговой
аттестации.
Основная
литература:
“Лекции
по
геометрии” С.А. Анищенко, КГПУ, 1997 г.
Список дополнительной литературы указан в
названной выше книге (стр. 85). Для работы
понадобятся школьные учебники геометрии
Курс рассчитан на 54 часа аудиторных и 40
часов
самостоятельной
работы
и
индивидуальных
консультаций.
Самостоятельная работа предполагает усвоение
вопросов по заданию преподавателя и по
личному плану студента в соответствии с
уровнем знаний и умений, приобретенных в
предыдущие годы изучения геометрии, в том
числе, за годы обучения в школе.
68
Среди
аудиторных
часов
20
лекционных,
которые
являются
обязательными для посещения, т.к.
позволяют углубить и систематизировать
знания, приобретенные самостоятельно,
а
также
курса
и
работы
с
дополнительной литературой.
Курс разбит на 5 блоков:
1. О логическом строении геометрии (4
+ 2 часа)
2. Система аксиом Гильберта (8 + 6
часов)
3. Сумма углов треугольника (8 + 4
часа)
Аксиома параллельности
4. Геометрия Лобачевского (8 + 6
часов)
5. Непротиворечивость, независимость
и
полнота
системы
аксиом
Евклидовой геометрии (8 + 6 часов)
Итого: 36 часов аудиторных и 24 часа на
самостоятельную работу. Оставшиеся 18
+ 16 часов отводится на обобщение
(повторение) к итоговой аттестации по
темам указанным в приложении 1.
Желаю успехов и настойчивости в
усвоении курса геометрии!
№
п/
п
1
1.
Тема,
Количест
знания, умения,
во часов
навыки
2
3
О логическом строении
геометрии
Знать:
суть Лекция 1
аксиоматического
метода
построения
геометрии,
формулировки
постулатов и аксиом
Евклида
Сроки
план/фа
кт
4
Уметь: формулировать Семинар
определения понятий и
1
теоремы,
доказывать (“Логичес
теоремы о свойствах
кое
треугольника, в т.ч. его строение
внешнего угла
геометри
и”)
Навык: формулировка
V постулата Евклида
2.
3
Система
аксиом
Гильберта
Знать: группы аксиом и
формулировки аксиом,
основные понятия и
основные
отношения
между геометрическими
понятиями (объектами
Уметь: формулировать и
доказывать
теоремы
абсолютной геометрии о
взаимном расположении
прямых и плоскостей в
пространстве,
о
пересечении
сторон
треугольника прямой, о
внешнем
угле
треугольника, признаки
равенства
треугольников,
о
пересечении прямой и
окружности, о свойствах
отношения “равенство”.
Навык: формулировка и
раскрытие
смысла
аксиом,
определение
величины
геометрической
Практические
(тренировочны
е)
4а
Лекции
по
геометрии (ч.3)
С.А. Анищенко
1.
стр.
5-6.
Определения
Евклида
сравнить
с
определениями в
школьном
учебнике и в
математической
энциклопедии.
2.
Доказать
предложения
Евклида № 1-5
(стр. 9)
Задания
зачетные
4б
1.
Формулировк
и и раскрытие
смысла
постулатов
(стр. 7)
2.
Доказать
предложения
№ 16 - 20, 27
(стр. 9)
3. Блок-схема:
“Логическое
строение
геометрии”
Лекция 2
Семинар
2
(“Система
аксиом
абсолютн
ой
геометри
и”)
Коллокви
ум 1
(“Теорем
ы
абсолютн
ой
геометри
и”)
1.
Сравнить
систему аксиом
Гильберта
с
системой аксиом
школьного
учебника
(по
выбору
студента)ой
энциклопедии.
1.
Доказательств
о не менее 1
теоремы
из
каждой
группы
аксиом.
2.
Блок-схема
“Система аксиом
“Гильберта”
“Система аксиом
школьного
курса”
(с
указанием
автора учебника)
2. Теоремы о
равенстве
треугольнико
в, о внешнем
угле
треугольника,
о
существовани
и
и
единственнос
ти середины
отрезка,
о
соотношении
сторон углов
треугольника
в
равенстве
прямых углов
1.
Доказательство
теоремы о сумме
углов
1.
Доказать
эквивалентно
сть:
а) AV и ПV
б)
AV
и
О
сумме
углов
треугольника. Аксиома
параллельности.
Знать:
аксиому
параллельности, теорему
о
сумме
углов
треугольника
в
абсолютной
и
евклидовой геометриях;
Лекция 3
Лекция 4
Лекция 5
Семинар
3
октябрь
3
октябрь
1
69
Прим.
(самоо
ценка)
5
понятие
“четырехугольник
Саккери”, его свойства.
Уметь: формулировать и
доказывать
теоремы
Лежандра (о сумме углов
треугольника),
эквивалентность
аксиомы параллельности
и V постулата Евклида;
теоремы
о
существовании прямой,
параллельной данной, о
свойствах углов при
параллельных прямых и
секущей, о сумме углов
треугольника,
о
свойствах внешнего угла
треугольника.
(“Сумма
углов
треугольн
ика”)
треугольника в
абсолютной
и
Евклидовой
геометриях.
2.
Доказательство
утверждений,
эквивалентных
аксиоме
параллельности
(стр. 32)
Семинар
4
(“Аксиом
а
параллель
ности”)
Коллокви
ум 2
теоремы
о
сумме углов
треугольника
в)
AV
и
теоремы
о
внешнем угле
треугольника.
2. Блок-схема
“Сумма углов
треугольника
”.
(“Эквивал
ентность
утвержде
ний”)
Навык: формулировка
аксиомы параллельности
Гильберта
и
2-х
предложений,
эквивалентных ей.
4
Геометрия
Лобачевского.
Знать:
аксиому
параллельности
Лобачевского
(АVЛ);
основные
свойства
расстояний, прямых в
плоскости Лобачевского,
свойства треугольников
и
4-х
угольников;
понятия эквидистанты и
орициклы.
Лекция 6
Лекция 7
Лекция 8
Семинар
5
(“Линии
плоскости
Лобачевс
кого”)
1
Семинар
6
(“Модель
плоскости
Лобачевс
кого”)
Уметь: описать одну из
моделей
плоскости
Лобачевского, проверить
выполнение
системы
аксиом;
вывести
формулу
угла Коллокви
ум 3
параллельности.
Навык:
изображение
прямых параллельных и
сверхпараллельных
на
плоскости Лобачевского,
угла параллельности
(“Основн
ые факты
геометри
и
Лобачевс
кого”)
70
1. Блок-схемы:
а)
“Система
аксиом
Лобачевского”
б) “Прямые на
плоскости
Лобачевского”
в) Эквидистанты
1. стр. 48 №
и орициклы
1-13
г) Сумма углов
2. стр. 62-63
треугольника по
№1-13
Лобачевскому”
д) “Расстояние
на
плоскости
Лобачевского.
Угол
параллельности”
.
1
5
2
3
4
4а
4б
Требования к системе
аксиом. Система аксиом
Вейля.
Знать: систему аксиом
Вейля
аффинное
и Лекция 9
евклидово
n-мерные Лекция 10
пространства; аффинную
систему
координат;
требования к системе
аксиом:
непротиворечивость;
Семинар
независимость;
7
полнота.
(“Непрот
иворечив
ость
Уметь:
описать системы
основные
аксиом
геометрические понятия евклидов
и аксиомы в евклидовом ой
пространстве, проверить геометри
выполнение
системы и”)
аксиом
Гильберта:
обосновать
независимость,
Семинар
непротиворечивость
и
8
полноту системы аксиом (“Система
евклидовой геометрии.
аксиом
Вейля”)
Навык: работа в 3-х
мерном пространстве по
проверке
аксиом
геометрии Евклида.
1. стр. 84 №№ 1. Блок-схема
1-3, 5, 14, 16
“Действия с
векторами и
их свойства”.
2. Блок-схема
“Аналитическ
ая
геометрия”.
3. Блок-схема
“Геометрия”
1. Описание
евклидовой
геометрии (в
т.ч.
по
Вейляну)
2.
Модель
плоскости
Лобачевского.
Проверка на
ней аксиом.
3.
Независимост
ь аксиомы V.
4.
Непротивореч
ивость
геометрии
Евклида.
5.
Полнота
систем
евклидовой
геометрии.
Итог: Зачет.
71
5
Приложение 1
Вопросы для
повторения к итоговой
аттестации








Линии 2-го порядка, их канонические уравнения.
Движение плоскости; их классификация.
Преобразование подобия плоскости, его применение к решению
задач.
Аффинные преобразования плоскости; их аналитическое
задание.
Векторное произведение векторов, его приложение к решению
задач.
Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
Многогранники. Теорема Эйлера.
Понятие проективной плоскости. Теорема Дезарга.
Замечание: На каждый из перечисленных вопросов отводится 2 аудиторных часа.
Количество внеаудиторных примерно 2, но оно зависит от качества Вашего усвоения этих
вопросов в прошлые годы.
72
Оригинал-макет и компьютерная верстка:
А.П. Афанасьева, Т.Н. Игошина, Е.Н. Федоров,
методисты отдела информационных технологий
663606, г. Канск, ул. 40 лет Октября, 65
тел. (39161) 2-56-30, факс (39161) 2-55-91
E-mail: [email protected]
73