Методические рекомендации по математике для экономистов

ГБПОУ
ТВЕРСКОЙ ПРОМЫШЛЕННО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ
Утверждаю
Зам. директора по УМР
____И.И. Жарова
"____" _________20__ г.
Методические рекомендации
по выполнению контрольной работы
по учебной дисциплине ЕН.01 Математика
для студентов 2 курса специальностей
38.02.01Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)
38.02.04 Коммерция (по отраслям)
заочной формы обучения
2015-2016 учебный год
Преподаватель
Рассмотрена на заседании ЦК
математических и естественнонаучных
дисциплин
Протокол № 1 от «04 » сентября 2015г.
Председатель ЦК ________ В.А. Петелина
Тверь 2015
В. А. Петелина
Пояснительная записка
Пособие предназначено для оказания помощи студентам заочного отделения при
выполнении домашней контрольной работы по учебной дисциплине ЕН.01 Математика.
Контрольная работа составлена в соответствии с рабочей программой учебной
дисциплины ЕН.01 Математика и предназначена для проведения контроля знаний студентов 2 курса по специальностям 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям), 38.02.04 Коммерция (по отраслям) заочной формы обучения.
Задания контрольной работы содержат все задания разделов рабочей программы.
Цель: установление фактического уровня теоретических знаний обучающихся по
математике обязательного компонента учебного плана, их практических умений и навыков; установление соответствия уровня ЗУН обучающихся требованиям государственного
образовательного стандарта.
Задачи: проверить уровень усвоения учащимися основных тем курса математики.
Контрольная работа содержит 10 вариантов и представляет собой форму самостоятельной работы. Написание контрольной работы предусмотрено учебным планом. Ее результат оценивается по пятибалльной системе и является допуском к зачету по учебной дисциплине Математика.
Особенность предлагаемых контрольно-измерительных материалов состоит в том, что в
основу их разработки положены следующие принципы:
- задания дифференцируются по уровням сложности;
- к тексту контрольной работы прилагаются критерии оценивания результатов для получения каждой из положительных оценок «3», «4», «5», с которыми обучающиеся знакомятся перед началом выполнения контрольной работы.
Требования к написанию контрольной работы
1. В процессе изучения математики, обучающийся должен выполнить одну контрольную работу. Не следует приступать к выполнению контрольного задания до
решения достаточного количества задач по учебному материалу, соответствующему
этому заданию.
2. Контрольная работа должна быть оформлена в соответствии с настоящими требованиями. Работа, выполненная без соблюдения этих требований, не засчитывается и возвращается обучающемуся для переработки.
3. Контрольную работу следует выполнить в отдельной тетради, чернилами синего цвета,
оставляя поля для замечаний преподавателя.
4. На обложке тетради должны быть разборчиво написаны учебное заведение, специальность, номер группы, название дисциплины (Математика), контрольная работа, номер
варианта, фамилия, имя, и отчество студента.
5. Решения задач надо располагать в порядке возрастания номеров. Условия задач
следует переписать в тетрадь. При решении задач нужно обосновать каждый этап
решения исходя из теоретических положений курса. Решение задач и примеров сл едует излагать подробно, объясняя все выполненные действия и используемые формулы. Решение каждой задачи должно доводиться до окончательного ответа, кот орого требует условие.
6. Срок проверки контрольной работы 10 рабочих дней. Обучающиеся обязаны сд авать письменные контрольные работы не позднее, чем за 30 дней до начала экзаменационной сессии в учебную часть и зарегистрировать ее. В противном случае
они не будут допущены к зачету.
7. После получения проверенной работы обучающийся должен исправить все отмеченные преподавателем ошибки и недочеты, внести в решения задач рекомендуемые преподавателем изменения или дополнения и предоставить работу для повторной проверки.
1
8.По каждой контрольной работе проводится собеседование, после чего выставляется зачет.
9. Вариант контрольной работы содержит 8 заданий. Номер варианта контрольной работы
выбирается по последней цифре номера зачетной книжки студента. Например, если зачетная книжка имеет номер 99875, то следует выполнять вариант №5. Если последняя
цифра равна 0, то следует выполнять вариант №10.
Оценка индивидуальных образовательных достижений по результатам текущего контроля
производится в соответствии с универсальной шкалой.
Процент результативности (правильных ответов)
90 ÷ 100
80 ÷ 89
70 ÷ 79
менее 70
Качественная оценка индивидуальных образовательных достижений
балл (отметка)
вербальный аналог
5
отлично
4
хорошо
3
удовлетворительно
2
не удовлетворительно
Рекомендуемая литература
Основная
1.Н. В. Математика , М:Дрофа, 2014
2.Богомолов Н. В.. Сборник задач по математики, М: Дрофа, 2014
3.Богомолов Н. В. Практические занятия по математике, М: Дрофа, 2013
Дополнительная
1.Лисичкин В. Т., Соловейчик И.Л., Математика в задачах с решениями, Лань,2013.
2. Пехлецкий И.Д., Математика: учебник для студентов образовательных учреждений
СПО, Академия, 2013
3. Яблонский С.В., Введение в дискретную математику, Высшая школа 2013
Интернет-ресурсы
1. http://math-portal.ru-математический портал (все книги по математике)
2. http://www.mathteachers.narod.ru- математика для колледжей
3. http://www.mathematics.ru –математика за среднюю школу
2
Теоретический материал
Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера
Линейное уравнение с двумя неизвестными – это уравнения вида :
аy + by = c
а,в,с – некоторые числа х,у – переменные
Решением линейного уравнения с двумя переменными является пара чисел (х,у), которые превращают уравнение в верное равенство.
Система линейных уравнений – это система вида:
 а1 х  в1 у  с1

а1 х  в 2 у  с 2
а1, в1, с1, а2, в2, с2 - некоторые числа х,у – переменные
Решением системы линейных уравнений с двумя переменными является пара чисел (х;у), если они превращают уравнения системы в верное равенство.
Системы линейных уравнений можно решить множеством различных способов, одним из них является решение с помощью формул Крамера. Он установил и опубликовал в
1750 г. правила решения систем линейных уравнений с буквенными коэффициентами.
Крамер заложил основы теории определителей. Формулы Крамера связаны с двумя понятиями: матрицами и определителями.
Матрица– прямоугольная таблица А, образованная из элементов некоторого множества и состоящая из m строк и n столбцов:
а1 в1 .......с1n
а в ........ с1n
А 2 2
.......... .....
а m1 d m1 .....с mn
Квадратная матрица. Элементы квадратной матрицы называются диагональными;
эти элементы расположены на главной и на побочной диагоналях матрицы. Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число – ее определитель или ее детерминант.
Матрицы являются основным математическим аппаратом линейной алгебры и применяются при исследовании линейных отображений векторных пространств, линейных и
квадратных форм, систем линейных уравнений.
Определитель (детерминант) – это число, получаемое при просчете квадратичной
матрицы. Определители обладают рядом важных свойств, которые, в частности, облегчают их вычисления.
Простейшие свойства определителей
1.Определитель не измениться, если в нем столбцы поменять на строки, а строки на
столбцы.
2.Определитель меняет знак, если поменять местами любые две строки (или два столбца)
матрицы.
3.Определитель равен нулю, если элементы двух строк (или двух столбцов) матрицы соответственно пропорциональны.
4.Определитель равен нулю, если элементы двух строк (или двух столбцов) матрицы соответственно равны.
5.Общий множитель всех элементов любой строки (или любого столбца) можно вынести
за знак определителя.
6.Если каждый элемент какой-либо строки (или какого-либо столбца) есть сумма двух
слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей.
7.Определитель не измениться, если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца).
Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера
3
(или с помощью определителей). Для вычисления определителей при решении систем линейных уравнений используются квадратные матрицы n-ого порядка. Рассмотрим
квадратную матрицу второго порядка.
Дана система линейных уравнений с двумя переменными:
 а1 х  в1 у  с1

а1 х  в 2 у  с 2
Решение:
ав
  1 1  а1 в 2  в1 а 2
а2 в2

с1 в1
 с1 в 2  в1 с 2
с2 в2
а1 с1
 а1 с 2  а 2 с1
а2 с2
Найдя Δ (дельта), Δх и Δу, мы можем легко вычислить х и у по формулам Крамера,

т.е.
у
х
,
х


Система имеет одно решение, когда Δ≠0.
Пример: Решить систему линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Краме4 х  5 у  0,
ра 
7х  2 у  0
Решение:
х
Δ= 4  5 = 8+35 = 43
7
2
Δх=
0  5=0
Δу=
0
4
2
0=0
7
0
0

 х  43  0

0
у 
0
43

Ответ: х = 0, у = 0
Пример:
Решить систему линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера
3x  2y  7

 xy  4

3
2
1 1
 5  0
 x 15

3

5
Проверка:
3  3  2  (1)  7

 3  (1)  4
x
x 
7 2
 15
4 1
y
y


y 
3 7
5
1 4
5
 1
5
4
Ответ: ( 3 ; -1 )
Пример: Исследовать систему линейных уравнений с двумя неизвестными на количество
3х  2 у  0,
решений 
 3х  2 у  0
Решение:
Система имеет множество решений, если Δ = 0, Δх = 0, Δу = 0.
Δ = 3  2 = -6+6 = 0
3  2
Δх = 0 
2 =0
Δу = 3
2 =0
0  2
3
2
хR

 у  0  3х  3х

2
2
3х
) R .
2
Зависимость количества решений системы линейных уравнений с двумя переменными от определителей
1.Система не имеет решений, когда Δ = 0, Δх ≠ 0, Δу ≠ 0.
2.Система имеет множество решений, когда Δ = 0, Δх = 0, Δу = 0.
3.Система имеет единственное решение, когда Δ ≠ 0.
Решение линейных уравнений с двумя и даже с тремя переменными упрощается благодаря формулам Габриеля Крамера. Применение же правила Крамера при практическом
решении большего числа линейных уравнений может встретить значительные трудности,
так как нахождение определителей высокого порядка связано с весьма большими вычислениями.
Пусть дана система линейных уравнений
Ответ: (х; у =
 a 11 x1  a 12 x 2 ... a 1n x n  b1
 a x  a x ... a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

...........................................
 a n1 x1  a n 2 x 2 ... a nn x n  b n
(1)
Коэффициенты a11,12,..., a1n, ... , an1 , b2 , ... , bn считаются заданными.
Вектор - строка x1 , x2 , ... , xn  - называется решением системы (1), если при подстановке этих чисел вместо переменных все уравнения системы (1) обращаются в верное равенство.
Определитель n-го порядка a ij , составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы (1). В зависимости от определителя системы
различают следующие случаи.
a) Если , то система имеет единственное решение, которое может быть найдено
по формулам Крамера: x1=  1 , x   2 ,....., x   i , где
2
i



определитель n-го порядка i (i=1,2,...,n) получается из определителя системы путем замены i-го столбца свободными членами b1 , b2 ,..., bn.
б) Если , Δх ≠0, Δу ≠ 0, то система несовместна, т.е. решений нет.
в) Если  Δх = Δу = 0, то система имеет бесконечное множество решений
5
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными
 a 11 x1  a 12 x 2  a 13 x 3  b1

(2)
a 21 x1  a 22 x 2  a 23 x 3  b 2
a x  a x  a x  b
32 3
33 3
3
 31 1
a 11 a 12 a 13
составим определитель
и вычислим
  a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
Составить и вычислить следующие определители :
b1 a 12 a 13
a 12 b1 a 13
a 11 a 12 b1
 1  b 2 a 22 a 23 ,  2  a 21 b 2 a 23 ,  3  a 21 a 22 b 2
b 2 a 32 a 33
a 31 b 3 a 33
a 31 a 32 b 3
Воспользуемся формулами Крамера
x1 
1


,x2  2 ,x3  3 .



Пример:
Решить систему линейных уравнений с тремя неизвестными по формулам Крамера
x  2 y  3z  0

2 x  y  4 z  5
 3x  y  z  2

Составим определители и вычислим их
1 2 3
  2 1 4  10  0
3 1 1
0 2 3
1 0 3
1 2 0
 x  5 1 4  5,  y  2 5 4  20,  z  2 1 5  15.
2 1 1
3 2 1
3 1 2
 y 20
x

5 1
15 3

 ,y 

 2, z  z 
 .
 10 2

10
 10 2
Проверка:
x
3
1
 2  2  2  3 2  0
 1
3
2   2  4   5
2
2

 3 1  2  3  2

2
2
Ответ: x=0,5; y=2 ; z=1,5 .
Вычисление пределов
Пример: Вычислить предел
1

2 x  x  2
2 x  3x  2  0 
2x  1 5 .
2
lim 2
    lim 
 lim

x 2 3 x  4 x  4
x

2
x

2
2
3x  2 8

0
3 x  x  2
3

Воспользуемся формулой разложения на множители:
2
6
ах 2  bx  c  ax  x1 x  x2  ,
где x1 и x2 - корни квадратного трехчлена.
Числитель х 
3  9  16 3  5
1
1


; х1   ; х2  2 ; 2 х 2  3 х  2  2 х   х  2  .
4
4
2
2

4  16  48 4  8
2
2


; х1   ; х2  2 ; 3 х 2  4 х  4  3 х   х  2  .
6
6
3
3

Пример: Вычислить предел
5 1
1  2
2
х  5х  1   
x x
lim 2
    lim
 1,
x  х  х  2
   x 0 1  1  2
x x2
так как
1
2
5
1
 0 ; 2  0 ;  0 и 2  0 при x   .
x
x
x
x
Знаменатель х 
Пример:
Найти производные функций:
y  cos x ;
а)
пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных, получим:
5
y   5 cos 4 x  cos x   5 cos 4 x   sin x   5 cos 4 x  sin x .
б)
y  cos 2 3x ;
y   2 cos 3x  cos 3x   2 cos 3x  sin 3x   3x   2 cos 3x  sin 3x  3  3 sin 6 x .
Исследование функции с помощью производной и построение графика функции
Алгоритм исследования:
1.Найти ОДЗ и точки разрыва функции.
2.Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
3.Провести исследование функции с помощью первой производной, то есть найти точки
экстремума функции и интервалы возрастания и убывания.
4.Исследовать функцию с помощью производной второго порядка, то есть найти точки
перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.
5.На основании проведенного исследования построить график функции.
Перед построением графика полезно установить, не является ли данная функция
четной или нечетной.
Функция называется четной, если при изменении знака аргумента значение функции не меняется: f(-x) = f(x) и функция называется нечетной, если f(-x) = -f(x).
В этом случае достаточно исследовать функцию и построить её график при положительных значениях аргумента, принадлежащих ОДЗ. При отрицательных значениях аргумента
график достраивается для четной функции симметрично относительно оси Oy, а для нечетной относительно начала координат.
Пример: Исследовать функцию и построить график
.
1.Область определения функции D(у)= (–∞; +∞). Точек разрыва нет.
Пересечение с осью Ox: x = 0,у=0.
Функция нечетная, следовательно, можно исследовать ее только на промежутке [0, +∞).
2. Найдем производную
7
Критические точки: x1 = 1; x2= –1.
Найдем вторую производную
Построим график функции
8
Варианты контрольной работы по учебной дисциплине Математика
для студентов заочного отделения
1 вариант
Запишите номер задания, перепишите условие.
№
Решите задание и напишите ответ
задания
Решить систему двух линейных уравнений по Формулам Крамера
1
2x – 3y = –8
7x – 5y = –6
2
При каком значении параметра а система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений
2x –ay = 3
6x – 9y = 9
3
Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера
a)
4
б)
10x + y + 4z = 1
x – 2y – 7z = –3
2x + y + 5z = 0
4x – y + 2z – 15=0
2x + 3y + 5z – 23=0
6x – 2y + 3z – 22=0
Решить уравнение, представленное в виде матрицы
x2 4 9
x 2 3 =0
1 1 1
5
Решить методом Гаусса систему 3х линейных уравнений с тремя неизвестными,
представленную расширенной матрицей
1 2 5 -1
1 1 2 0
3 -1 -3 1
6
Вычислить пределы
3x 2  5 x  2
а) lim
;
x 2 2 x 2  x  6
б) lim
2х 2  3х  1
x  3 х 2  х  4
7
Найти производные функций
8
а) y  xe ; б) y  ln cos 3x .
Исследуйте функцию и постройте график
.
x
у  3х 3  15 х 2  36 х  5
9
2 вариант
№
задания
1
Запишите номер задания, перепишите условие.
Решите задание и напишите ответ
Решить систему двух линейных уравнений по Формулам Крамера
5x – 8y = 29
– x – 3y =8
2
При каком значении параметра а система линейных уравнений не имеет решений
4x + 3y = 12
2x + ay = 7
3
Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера
2x – y + 2z = 3
x + 2y – z = – 4
3x + y – 3z = – 3
a)
4
б)
4x + y – 3z +4=0
2x – 3y +z–2=0
x + 5y – 4z +5=0
Решить уравнение, представленное в виде матрицы
x2 3 2
x –1 1
0 1 4
5
=0
Решить методом Гаусса систему 3х линейных уравнений с тремя неизвестными, представленную расширенной матрицей
2 -3 -5 1
3 1 -2 -4
1 -2 1 5
6
Вычислить пределы
а)
7
lim
x1
2x
2
 x 1
5х 2  2 х  1
;
б) lim
.
x  2 х 2  х  3
Найти производные функций
а) y 
8
4x 2  7x  3
2x  5
cos 5 x
; б) y  e
.
x 1
Исследуйте функцию и постройте график
у  2х 4  4х 2  3
10
3 вариант
№
задания
1
Запишите номер задания, перепишите условие.
Решите задание и напишите ответ
Решить систему двух линейных уравнений по Формулам Крамера
2
–7x + 6y = – 4
9x – 8y = 4
При каком значении параметра а система линейных уравнений имеет единственное решение
ax –y = 2
2x – y = 2
3
Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера
a)
4
4x – y – 5z = 1
x + y – 2z = 6
3x – 2y – 6z = – 2
б)
4x – 4y + 3z – 16=0
3x – y + 5z – 8= 0
2x – 7y + 3z – 18=0
Решить уравнение, представленное в виде матрицы
–x 1 x
0 –x –1 = 0
x 1 x
5
Решить методом Гаусса систему 3х линейных уравнений с тремя неизвестными, представленную расширенной матрицей
1 -3 1 2
2 1 3 3
2 -1 -2 8
6
Вычислить пределы
2x2  9x  9
а) lim
;
x3 x 2  5 x  6
7
х2  х 1
.
Найти производные функций
а) y 
8
б) lim
x 
3х 2  5 х  4
ex
2
; б) y  ln x  2 x  5 .
x


Исследуйте функцию и постройте график
у  6 х 2  3х 4  1 .
11
4 вариант
Запишите номер задания, перепишите условие.
Решите задание и напишите ответ
Решить систему двух линейных уравнений по Формулам Крамера
№
задания
1
4x + 5y =7
2x – 7y =13
2
При каком значении параметра а система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений
3x – 2y = 1
ax – 4y = 2
3
Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера
a)
4
3x – 2y + z = –3
5x + y – 2z = 11
x+y+z=1
б)
4x +5y + z – 3=0
2x – 8y + z – 2=0
8x + 3y – z – 3=0
Решить уравнение, представленное в виде матрицы
3 5 7
X –4 6 = 0
–1 x –3
5
Решить методом Гаусса систему 3х линейных уравнений с тремя неизвестными, представленную расширенной матрицей
2 -1 3 3
1 2 1 2
1 -3 4 -1
6
Вычислить пределы
3x  x 2  4
lim
а)
;
x4 x 2  2 x  8
2х 2  х  4
б) lim
.
x 3  x  4 х 2
7
Найти производные функций
8
Исследуйте функцию и постройте график
а) y  x  cos x ; б) y  ln sin 2 x .
у  2 х 3  3х 2  7 .
12
5 вариант
№
задания
1
Запишите номер задания, перепишите условие.
Решите задание и напишите ответ
Решить систему двух линейных уравнений по Формулам Крамера
4x + 3y =11
x – 4y = –2
2
При каком значении параметра а система линейных уравнений не имеет решений
7x – ay = 0
7ax – y = 3
3
Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера
a)
4
б)
3x + 2y + z = 14
2x + y + 4z = 12
x + 3y + 2z = 11
2x – y + 5z – 17=0
3x + 2y + 2z – 13=0
4x + 2y – 7z – 9=0
Решить уравнение, представленное в виде матрицы
x 1 –2
3 4 5
–2 1 x
5
=0
Решить методом Гаусса систему 3х линейных уравнений с тремя неизвестными, представленную расширенной матрицей
2 -1 3 1
1 2 1 8
4 -3 -2 -1
6
Вычислить пределы
а)
7
lim
x2 2 x 2  5 x  2
3х 2  5 х  4
;
б) lim
.
x  2 х 2  x  2
Найти производные функций
а) y  3 x
8
x 2  2x  8
2

2
 2 x ; б) y  cos 2 x .
x
Исследуйте функцию и постройте график
у  х 3  3х 2  9 х  2 .
13
6 вариант
№ задания
1
Запишите номер задания, перепишите условие.
Решите задание и напишите ответ
Решить систему двух линейных уравнений по Формулам Крамера
–3x + 3y =12
3x – y= –6
2
При каком значении параметра а система линейных уравнений имеет единственное решение
2x + 5y = 1
–9x – ay = 3
3
Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера
a)
4
5x – 3y + 2z = 19
4x + 5y – 3z =31
3x + 7y – 4z =31
б)
4x + y – 2z – 10=0
–x + 3y – z + 1=0
3x – y + 5z – 1=0
Решить уравнение, представленное в виде матрицы
x 2 3
–4 –2x 5 =0
6 6 7
5
Решить методом Гаусса систему 3х линейных уравнений с тремя неизвестными,
представленную расширенной матрицей
1 -2 1 4
2 1 3 5
3 4 1 -2
6
Вычислить пределы
3x 2  2 x  1
а) lim 2
;
x1 x  4 x  3
7
б) lim
.
x  3х 2  4 x  2
Найти производные функций
а) y  x  ln x ; б) y  cos
8
2х 2  2х  1
4 x
2
.
Исследуйте функцию и постройте график
у  3х 4  6 х 2  1 .
14
7 вариант
Запишите номер задания, перепишите условие.
№
Решите задание и напишите ответ
задания
Решить систему двух линейных уравнений по Формулам Крамера
1
- 4x + 4y = 8
2x – 5y = 5
При каком значении параметра а система линейных уравнений имеет бесконеч2
ное множество решений
ax + 2y = a
8x + ay = 2a
3
Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера
a)
4
2x – 3y + z = –3
x + 5y – z = –1
3x + y + 4z =11
б)
5x + 3y + z – 7=0
4x – 2y –3z – 3=0
x + y + z – 3=0
Решить уравнение, представленное в виде матрицы
–x 0 x
1 –x 1 =0
x –1 x
5
Решить методом Гаусса систему 3х линейных уравнений с тремя неизвестными,
представленную расширенной матрицей
3 3 2 -1
2 1 -1 3
1 -2 -3 4
6
Вычислить пределы
6  x  x2
а) lim
;
x 3 3 x 2  8 x  3
7
б) lim
.
x  2 х 4  x  2
Найти производные функций
а) у 
8
3х 4  x2  1

sin x
2
; б) y  ln x  5
x

Исследуйте функцию и постройте график
у  х 3  9 х 2  24 х  16
15
8 вариант
Запишите номер задания, перепишите условие.
№
задания Решите задание и напишите ответ
Решить систему двух линейных уравнений по Формулам Крамера
1
–6x + y = 15
4x + 4y = 4
2
При каком значении параметра а система линейных уравнений не имеет решений
ax + y = 2
x + y = 2a
3
Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера
a)
5x + y – 2z =5
10x + y + z =0
x – y + z = –11
б)
x – 2y + 3z –3=0
3x + y – 6z + 7=0
9x – 2y – z – 3=0
4
Решить уравнение, представленное в виде матрицы
x2 x 1
4 2 1 =0
9 3 1
5
Решить методом Гаусса систему 3х линейных уравнений с тремя неизвестными,
представленную расширенной матрицей
4 3 -2 -1
3 1 1 3
1 -2 -3 8
6
Вычислить пределы
x3  1
а) lim
;
x1 5 x 2  4 x  1
7
б) lim
.
x  2 х 3  5 x  1
Найти производные функций
а) y 
8
х 2  3х  4
2x  5  tg x ; б) y  3 2 x  1 .
Исследуйте функцию и постройте график
у  3х 4  8 х 3  1 .
16
9 Вариант
№
задания
1
Запишите номер задания, перепишите условие.
Решите задание и напишите ответ
Решить систему двух линейных уравнений по Формулам Крамера
–x – 7y = 9
6x – 2y = –10
2
При каком значении параметра а система линейных уравнений имеет единственное решений
8x + ay = 2a
ax + 2y = a
3
Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера
a) 2x –4 y + 3z =1
x – 2y + 4z = 3
3x – y + 5z = 2
б)
2x – 4y + 9z – 28=0
7x + 3y – 6z + 1=0
7x + 9y –9 z – 5=0
4
Решить уравнение, представленное в виде матрицы
x2 x 0
3 –1 1 =0
2 1 4
5
Решить методом Гаусса систему 3х линейных уравнений с тремя неизвестными, представленную расширенной матрицей
5 -2 1 -1
2 1 2 6
1 3 -1 -5
6
Вычислить пределы
а) lim
x 2
7
x 2  2x  8
8 x
;
б) lim
.
x  5 х 6  7 x 2  2
Найти производные функций
а) у  3 х 
8
3
3х 4  2 х  1
4
x2
4

5
х

2
y

e
;
б)
.
х2
Исследуйте функцию и постройте график
у  х3  6х 2  9х  5 .
17
10 вариант
№
задания
1
Запишите номер задания, перепишите условие.
Решите задание и напишите ответ
Решить систему двух линейных уравнений по Формулам Крамера
x – y = –1
4x – 5y = –2
2
При каком значении параметра а система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений
x + y = 2a
ax + y = 2
3
Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера
a)
4
2x + y – 2 z =5
3x + 3y + z =6
x – y + 3z = – 4
б)
2x +4y + 3z – 1=0
3x – y + 5z – 2=0
x – 2y + 4z – 3=0
Решить уравнение, представленное в виде матрицы
3 x –1
5 –4 x =0
7 6 –3
5
Решить методом Гаусса систему 3х линейных уравнений с тремя неизвестными, представленную расширенной матрицей
2 3 -1 2
1 -1 3 – 4
3 5 1 4
6
Вычислить пределы
а)
7
lim
x3 3x 2  11x  6
;
б) lim
.
x  2 х 5  2 x 2  5
Найти производные функций
а) у  2 х
8
8 х 5  3х 2  9
2 x 2  5x  3
3
 3х  5 ; б) y  tg 4 x .
3
Исследуйте функцию и постройте график
у  2х 4  4х 2  3
18