Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина»
В.А. Ковалёв, С.С. Мамонов
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Задачник-практикум
Рязань 2012
УДК
ББК
517
22.1 я73
К 563
Печатается по решению редакционно-издательского совета федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина».
Рецензенты: А.В. Багров, д-р физ.-мат. наук, проф
(Ин-т астрономии РАН)
Е.И. Бережной, д-р физ.-мат. наук, проф.
(Ярослав. гос. ун-т им. П.Г. Демидов)
Ковалёв, В.А.
Теория вероятностей : задачник-практикум / В.И. Ковалёв,
К 563
С.С. Мамонов ; Ряз. гос. ун-т им. С.А. Есенина. Рязань, 2012. 64 с.
ISBN 978-5-88006-746-6
В задачнике-практикуме представлен материал для проведения семинарских занятий по теории вероятностей, а также для организации самостоятельной работы студентов. Пособие содержит необходимые теоретические сведения и формулы, примеры решения типовых задач и практические
задания.
Адресован студентам и преподавателям экономических специальностей и направлений, а также специальностей, где изучается данная дисциплина или ее фрагменты.
событие, вероятность, перестановка, размещение, сочетание, условная вероятность, формула полной вероятности, схема Бернулли, локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа.
ББК 22.1 я73
ISBN 978-5-88006-746-6
2
© Ковалёв В.И., Мамонов С.С., 2012
© Федеральное государственное
бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Рязанский государственный университет
имени С.А. Есенина», 2012
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый задачник-практикум составлен для проведения практических занятий по разделу «Теория вероятностей», являющегося одним
из двух взаимозависимых разделов дисциплины «Теория вероятностей
и математическая статистика». Задачник-практикум соответствует федеральному государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования по направлению подготовки 080100 «Экономика» (квалификация – степень бакалавра). Указанный курс входит в базовую часть математического цикла. Для его успешного освоения необходимы знания и умения, приобретенные в результате обучения по предшествующим дисциплинам: математическому анализу, алгебре.
Освоение теории вероятностей и математической статистики необходимо для дальнейшего изучения эконометрики, поскольку может существенно помочь при построении и анализе различных математических моделей, возникающих в экономике, финансовой и аудитной областях.
Целями освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая
статистика» являются фундаментальная подготовка в области построения
и анализа вероятностных моделей, овладение современным математическим
аппаратом для дальнейшего использования в разнообразных приложениях.
В результате изучения дисциплины у студентов формируются следующие общекультурные (ОК) и профессиональные компетенции (ПК):
владение культурой мышления, способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1);
умение логически верно, аргументированно и ясно строить устную
и письменную речь (ОК-2);
способность к саморазвитию, повышению своей квалификации
и мастерства (ОК-3);
умение собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета экономических и социально-экономических показателей,
характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-1);
навыки выполнения необходимых для составления экономических
разделов планов расчетов, обоснования их и представления результатов работы в соответствии с принятыми в организации стандартами (ПК-2);
способность осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решения поставленных экономических задач (ПК-3).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
знать:
определения и свойства основных объектов изучения теории вероятностей;
3
формулировки наиболее важных утверждений, методы их доказательствf, необходимые для решения экономических задач;
уметь:
решать задачи вычислительного и теоретического характера в области теории вероятностей;
устанавливать взаимосвязи между вводимыми понятиями;
доказывать как известные утверждения, так и родственные им новые;
применять вероятностные методы для решения экономических задач;
владеть:
разнообразным математическим аппаратом, подбирая сочетания
различных методов для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов.
Структура и содержание дисциплины. Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц, 108 часов. Курс 1, семестр 2, отчетность – экзамен. В таблице приведено содержание дисциплины по теме
«Теория вероятностей».
Раздел
Всего часов
практ. лаб.
лекция занязанятия
тия
Теория вероятностей
1. Элементы комбинаторики. Правила
сложения и умножени.
2. Предмет теории вероятностей. Классификация событий. Операции над
событиями. Алгебра событий
3. Классическое определение вероятности. Статистическое определение
вероятности. Геометрическое определение вероятности. Аксиоматический
подход в теории вероятностей
4. Свойства вероятности. Расширенная
теорема сложения вероятностей
5. Условные вероятности. Зависимые
и независимые события. Умножение
вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Бейеса
6. Схема Бернулли. Биномиальная вероятность. Локальная предельная теоремы Муавра-Лапласа. Интегральная
предельная теоремы Муавра-Лапласа.
Теорема Пуассона
4
Коды
компетентностей
Кол-во
компетентностей
ОК-1,
ПК-1
ОК-2,
5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ОК-3,
ПК-3
4
2
2
2
ОК-2,
4
2
2
2
ОК-1-3,
ПК-1-3
4
2
2
2
ОК-3,
ПК-2-3
4
5
Раздел 1. КОМБИНАТОРИКА
1.1. ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Пусть необходимо выполнить одно за другим k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, после чего второе действие
можно выполнить n2 способами, после чего третье действие можно выполнить n3 способами и так далее до k -го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий вместе можно выполнить
n1 n2 n3 nk способами.
Задача 1.1. Пусть имеются три книги A, B, C. Сколькими различными способами их можно расположить на полке?
Решение. Расположение книг на полке сводится к выполнению k 3
действий. Первую книгу можно установить n1 3 способами, вторую –
n2 2 способами, третью – n3 1 способом. Все три действия можно выполнить n1n2 n3 3 2 1 6 способами.
Ответ: 6.
Задача 1.2. Номер автомобиля состоит из трех букв и трех цифр. Сколько
существует различных автомобильных номеров, если в алфавите 32 буквы?
Решение. Номер состоит из шести знаков и для его формирования следует произвести шесть действий. Первую букву можно выбрать n1 32 способами. Вторую букву можно выбрать n2 32 способами, третью букву можно выбрать n3 32 способами. Каждую цифру представляется возможным
выбрать десятью способами. Значит n4 n5 n6 10 . Тогда по правилу произведения число всех номеров равно
n1 n2 n3 n4 n5 n6 32 32 32 10 10 10 32 768 000 .
Ответ: 32 768 000.
1.2. ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ
Пусть среди k попарно несовместных действий (то есть никакие два
из указанных действий не могут произойти одновременно) первое действие
может быть выполнено n1 способами, второе – n2 способами и так далее,
наконец, k -е – nk способами. Тогда выполнение хотя бы одного из них
можно осуществить n1 n2 nk способами.
Задача 1.3. Пусть имеется пять карточек с буквами A, B, C, D, E. Сколько
различных «слов», содержащих не более трех букв из них, можно составить?
Решение. Каждое «слово» может содержать либо одну, либо две, либо три буквы. Решение задачи можно разбить на три действия: сначала со5
ставить все слова, содержащие ровно одну букву; затем – ровно две; и наконец, – ровно три. В итоге k 3 .
1. Первое действие (составление однобуквенных слов) можно осуществить пятью способами. Значит n1 5 .
2. Число способов осуществления второго действия подсчитаем по
правилу произведения: первую букву можно взять пятью, а вторую – четырьмя способами. По правилу произведения двухбуквенных слов можно
составить 5 4 20 , то есть n2 20 .
3. Число способов осуществления третьего действия равно
5 4 3 60 , то есть n3 60 .
По правилу сложения число всех «слов» равно n1 n2 n3
5 20 60 85 .
Ответ: 85.
1.3. ПЕРЕСТАНОВКИ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ
Определение 1.1. Пусть имеется множество X x1 , x2 , xn , тогда
упорядоченное множество, состоящее из всех элементов множества X без их
повторения, называется перестановкой без повторений n элементов множества X . Число всех таких перестановок обозначается Pn .
Пример 1.1. Пусть определены упорядоченные множества
( x2 , x1 , x3 , , xn ) , ( x1 , x2 , x3 , xn ) , тогда упорядоченные
множества , являются перестановками без повторений.
Теорема 1.1. Число всех перестановок без повторений из n элементов находится по формуле
Pn n ( n 1) ( n 2) 2 1 n! .
Задача 1.4. Сколько различных чисел можно составить из цифр 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, причем: а) каждая цифра в обозначении числа встречается один раз; б) цифра 0 не должна занимать первое место?
Решение. Если не принимать во внимание условие (б), то из десяти
цифр можно составить P10 10! различных чисел, в которых каждая цифра
содержится один раз. Из общего количества полученных чисел P9 9! начинаются цифрой 0. Следовательно, искомое количество чисел равно:
10! – 9! = 9 · 9! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 92 = 3 265 920.
Ответ: 3 265 920.
Задача 1.5. Дано m прописных букв A, B, …, K и n строчных букв
a, b, … k . Сколько слов можно составить из этих букв так, чтобы каждое слово содержало все исходные буквы и начиналось прописной, а заканчивалось
строчной буквой?
6
Решение. Взяв одну из прописных букв, например A , и одну из строчных букв, например a , поставим их соответственно на первое и последнее
места. Размещая прочие буквы всеми возможными способами, получим
( m n 2)! различных перестановок (начинающихся буквой A и кончающихся буквой a ). Для расстановки на первое и последнее места может
быть взята любая пара букв, одна из которых прописная, а другая строчная. Число различных таких пар по правилу умножения равно mn . Таким
образом, число слов по правилу умножения равно mn(m n 2)!.
Ответ: mn(m n 2)! .
1.4. РАЗМЕЩЕНИЯ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ
Определение 1.2. Пусть имеется множество X x1 , x2 , , xn , тогда упорядоченное множество, состоящее из k элементов (1 k n) множества X без повторения элементов, называется размещением без повторений
k элементов из n элементов множества X . Число всех размещений без повторений обозначается Ank .
Пример 1.2. Пусть определены упорядоченные множества
( x2 , x1 , x3 ) , ( x1 , x2 , x3 ) , тогда упорядоченные множества ,
являются перестановками без повторений трех из n элементов.
Определение 1.3. По определению выполняется равенство 0! 1 .
Теорема 1.2. Число различных размещений без повторений k элементов из n элементов выражается формулой:
n!
Ank n (n 1) ( n 2) ( n k 1)
.
(n k )!
Задача 1.6. Сколько различных натуральных чисел можно составить
из цифр 0, 1, 2, 3, 4, если в обозначении каждого числа каждая из данных
цифр используется не более одного раза?
Решение. Из пяти данных цифр можно составить A55 5! различных
размещений; эти размещения дадут всевозможные пятизначные числа за
исключением тех размещений, которые начинаются нулем. Количество
этих последних размещений равно A44 4!. Таким образом, из данных
цифр можно составить A55 A44 5 4 3 2 1 4 3 2 1 96 различных пятизначных чисел.
Количество различных четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, равно A54 за вычетом количества тех размещений, которые начинаются нулем, то есть
A54 A43 5 4 3 2 4 3 2 96 .
7
Аналогично количество различных трехзначных, двузначных и однозначных чисел будет равно соответственно A53 A42 48 , A52 A41 16 и
4.
По правилу сложения получится 96 + 96 + 48 + 16 + 4 = 260 натуральных чисел.
Ответ: 260.
1.5. СОЧЕТАНИЯ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ
Определение 1.4. Пусть имеется множество X x1 , x2 , , xn , тогда подмножество множества X , состоящее из k элементов (0 k n)
множества X , называется сочетанием без повторений k из n элементов
множества X . Число всех сочетаний обозначается C nk .
Пример 1.3. Пусть определены множества {x2 , x1 , x3 } ,
{x1 , x2 , x3 } , тогда множества , являются сочетаниями без повторений трех элементов из n элементов.
Теорема 1.3. Число сочетаний без повторений k из n элементов
n!
равно: C nk
.
k! (n k )!
Задача 1.7. Найти число диагоналей выпуклого n -угольника.
Решение. Вершины многоугольника образуют n точек плоскости, из
которых никакие три не лежат на одной прямой. Соединив всевозможныn( n 1)
ми способами попарно эти точки, получим Cn2
отрезков, из ко2
торых n отрезков являются сторонами многоугольника, а прочие
n(n 1)
n( n 3)
n
его диагоналями.
2
2
n(n 3)
Ответ:
.
2
Задача 1.8. Дано n белых и m черных шаров. Сколькими способами
из данного множества можно выбрать p шаров, чтобы среди них, два были белыми?
Решение. Задача имеет решение при следующих условиях
n 2 , p 2 m . Выбор p шаров, из которых два белых и ( p 2) черных,
сводится к выполнению двух действий. Первое действие: выбрать два белых шара из n шаров. Число способов выполнения этого действия определяется числом сочетаний Cn2 . Второе действие: выбрать ( p 2) черных
шаров из m шаров. Число способов выполнения второго действия опреде-
8
ляется числом сочетаний C mp2 . Согласно правилу умножения, число способов выбора p шаров, среди которых два белых, равно Cn2 Cmp 2 .
Ответ: Cn2 Cmp 2 .
1.6. ПЕРЕСТАНОВКИ С ПОВТОРЕНИЯМИ
Определение 1.5. Пусть имеется n элементов, среди которых n1 элементов принадлежит первому типу, n2 элементов принадлежит ко второму типу и так далее, наконец, nk элементов принадлежит k -му типу. При
этом n1 n2 nk n и элементы одного типа неразличимы между
собой. Упорядоченное множество, состоящее из всех n элементов, называется перестановкой с повторениями. Число всех перестановок с повторениями обозначается P( n1 , n2 , , nk ) .
Теорема 1.4. Число различных перестановок с повторениями из элементов k типов равно:
P( n1 , n2 , , nk )
( n1 n2 nk )!
n!
.
n1! n2 ! nk ! n1! n2 ! nk !
Задача 1.9. Дано m букв A и r букв B . Сколько различных слов
можно образовать из этих букв так, чтобы каждое слово содержало все
буквы A и B ?
Решение. Для образования слов мы по условию должны взять все m
букв A и r букв B . Будем считать буквы A элементами первого типа, их
количество равно n1 m . Буквы B определяют элементы второго типа, их
количество равно n2 r . Число различных слов есть число перестановок
с повторениями P (m, r )
(m r )!
C mr r .
m!r!
Ответ: C mr r .
1.7. РАЗМЕЩЕНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ
Определение 1.6. Пусть имеется множество X x1 , x2 , xn , тогда упорядоченное множество, состоящее из k элементов (1 k n) множества X с повторениями элементов, называется размещением с повторениями k элементов из n элементов множества X . Число всех таких размещений с повторенииями обозначается Ank .
Теорема 1.5. Число всевозможных размещений с повторениями
k элементов из n элементов равно Ank n k .
9
Задача 1.10. Имеется пять различных букв. Сколько можно составить различных слов, содержащих десять букв?
Решение. Число различных слов определяется числом размещений с
повторениями из n 5 элементов по k 10 и равно A510 510
Ответ: 510 .
1.8. СОЧЕТАНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ
Задача 1.11. Имеются конфеты трех видов, из которых формируется
подарок, содержащий семь конфет. Сколько можно сформировать различных подарков?
Решение. По условию задачи предполагается, что конфеты одного
вида не различаются и их можно взять любое необходимое число. Подарки являются различными тогда и только тогда, когда они различаются составом, но не порядком. Используя для конфет обозначение , и знак ,
который назовем разделителем, установим взаимно-однозначное соответствие между подарками и упорядоченными наборами знаков и . До
первого знака располагаем знаки , количество которых определяет
число конфет первого вида. Если в подарке нет конфет первого вида, то до
первого разделителя нет знаков . До второго знака располагаем
знаки , количество которых определяет число конфет второго вида. Если в подарке нет конфет второго вида, то между первым и вторым разделителями нет знаков . После второго знака располагаем знаки ,
количество которых определяет число конфет третьего вида. Если в подарке нет конфет третьего вида, то после второго разделителя отсутствуют знаки . Так например, упорядоченный набор элементов и вида
определяет подарок, содержащий одну конфету первого
вида, две конфеты второго вида и четыре конфеты третьего вида. Упорядоченный набор элементов и вида определяет подарок, содержащий три конфеты первого вида, четыре конфеты третьего вида, конфеты второго вида в подарке отсутствуют.
Таким образом, число подарков равно числу упорядоченных наборов
элементов двух типов. Число элементов первого типа определяется количеством конфет в подарке и равно семи. Число элементов второго типа
определяется количеством видов конфет и равно двум. Количество разделителей будет на единицу меньше числа видов конфет. Используя
перестановки с повторениями, получим, что всего можно составить
(7 2)! 9!
36 подарков.
7!2!
7!2!
Ответ: 36.
P(7, 2)
10
Определение 1.7. Выборка из n элементов длиной в k элементов
с повторениями и без учета порядка называется сочетанием с повторениями. Число всех таких выборок обозначается Cnk .
Теорема 1.6. Число сочетаний с повторениями из n элементов по k вы(k n 1)!
ражается формулой: C nk P(k , n 1)
C kk n1 .
k! (n 1)!
1.9. ЗАДАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НА ПРАКТИЧЕСКОМ ЗАНЯТИИ
1. Сколько четырехзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если: а) в числах цифры не повторяются; б) цифры могут
повторяться. Сколько в обоих случаях получается четных и нечетных чисел?
2. В пассажирском поезде десять вагонов. Сколькими способами
можно рассадить в поезде шесть пассажиров, если они должны ехать в
разных вагонах?
3. Сколько пятибуквенных слов можно образовать из букв, составляющих слово «треугольник»?
4. Сколькими способами из семи человек можно избрать комиссию,
состоящую из четырех членов?
5. Сколько различных чисел можно образовать, используя по две
цифры 2 и 5 и по три цифры 3 и 4?
6. Сколько различных чисел можно получить, переставляя цифры числа 1234567, при условии, что в каждой такой перестановке как все четные
цифры, так и все нечетные цифры будут идти в возрастающем порядке?
7. Код в секретном замке набирается с помощью шести цифр. Сколько потребуется времени для перебора всех кодов, если один код устанавливается в среднем за шесть секунд?
8. Имеется четыре сорта цветов. Сколькими способами из них можно
составить букет, содержащий семь цветков?
9. Сколько различных слов можно образовать из всех букв слова
«атака»?
10. Студенту необходимо сдать три экзамена в течение семи дней.
Сколькими способами ему можно составить расписание, если в один день
можно сдавать не более одного экзамена? более одного экзамена?
11. Сколько слов, содержащих не менее одной буквы, можно составить из двух букв A , двух B и трех C ?
12. Сколько пятибуквенных слов, каждое из которых состоит из трех
согласных и двух гласных, можно образовать из букв слова «уравнение»?
13. В лотерее разыгрывается 6 из 48 номеров. Главный выигрыш падает на ту карточку, где угаданы все шесть номеров. Меньшие призы дос11
таются тем, кто угадал пять, четыре или три номера из шести. Сколько
может быть различных карточек, где угаданы а) пять, б) четыре, г) три из
шести номеров, если в каждой карточке зачеркивается шесть номеров?
14. Найти число слов, которые можно получить, используя все буквы
слова «зоология». Сколько среди них тех, в которых три буквы «о» стоят
рядом? Ровно две буквы «о» стоят рядом?
15. Автобусный билет имеет номера от 0000 до 9999. Сколько среди
них имеется билетов, у которых сумма первых двух цифр равна сумме
двух последних цифр?
16. Симфония записана на четырех пластинках, причем для записи
использовались обе стороны каждой пластинки. Сколько существует способов проиграть эту симфонию так, чтобы по крайней мере одна часть попала не на свое место?
17. Сколько окружностей можно провести через десять точек, из которых
никакие четыре не лежат на одной окружности и никакие три не лежат на одной прямой, если каждая окружность проводится через три точки?
18. Пассажирский поезд состоит из двух багажных вагонов, четырех
плацкартных и трех купированных. Сколькими способами можно сформировать состав, если в начале состава находится багажный вагон, а в конце
состава находится купированный вагон?
19. Музыкальный концерт состоит из трех песен и двух скрипичных
пьес. Сколькими способами можно составить программу концерта так,
чтобы он начинался и оканчивался исполнением песни и чтобы пьесы не
исполнялись одна за другой?
20. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске восемь ладей так, чтобы они не били друг друга?
1.10. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Сколько существует пятизначных чисел? Сколько среди них начинается с цифры 2 и оканчивается цифрой 4? не содержит цифры 6? делится на 5? делится на 25?
2. Сколько существует различных семизначных телефонных номеров? Предполагается, что телефонные номера могут начинаться и с нуля.
3. Сколько слов можно образовать из букв слова «фрагмент», если
слова должны состоять из восьми букв? семи? трех?
4. Колода карт содержит 52 карты. Сдача карт одному игроку состоит из пяти карт, порядок которых не важен. Сколькими способами это
можно сделать?
5. Сколько чисел, содержащих цифру 3, заключено между 1 000 и 9 999?
6. В комнате десять лампочек. Сколько существует способов освещения?
12
7. Сколько существует шестизначных чисел, не содержащих нуля и
восьмерки?
8. Сколько автомобильных номеров, состоящих их трех букв и пяти
цифр, можно образовать, если в алфавите 32 буквы?
9. Сколькими способами можно разместить детей в классе, если присутствуют 26 человек, а мест 28?
10. На окружности выбрано восемь точек. Сколько можно провести
хорд с концами в этих точках? Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках? Каково число замкнутых ломаных линий с вершинами в этих точках?
11. Компания из двадцати мужчин делится на три группы, в первую из
которых входят три человека, во вторую – пять и в третью – двенадцать.
Сколькими способами они могут это сделать?
12. Лифт с семью пассажирами останавливается на десяти этажах, на
каждом этаже может выйти определенное число пассажиров от 0 до 7.
Сколько существует различных способов освобождения лифта (считается,
что различные способы различаются лишь числом людей, вышедших на
данном этаже)?
13. Три дороги соединяют города A и B , четыре дороги соединяют
B и C . Сколькими способами можно совершить поездку из города A в город C через город B и вернуться обратно?
14. Сколькими способами можно распределить 15 различных предметов между тремя лицами, обозначенными A , B и C , если A должен получить два предмета, B – три предмета, C – остальные?
15. Восемь мальчиков водят хоровод. Затем к ним присоединяются
еще пять девочек. Сколькими способами девочки могут встать в круг, если никакие две не должны стоять рядом?
16. Десять кресел поставлены в ряд. Сколькими способами на них могут сесть два человека? сесть рядом? сесть так, чтобы между ними было,
по крайней мере, одно пустое кресло?
17. Предприятие может предоставить работу по одной специальности
четырем женщинам, по другой специальности пяти мужчинам и по третьей специальности трем работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить эти места, если имеется 18 претендентов, среди
которых восемь женщин и десять мужчин?
18. Восемь человек должны расположиться в двух комнатах, причем
в каждой должно быть, по крайней мере, три человека. Сколькими способами они могут это сделать?
19. В классе изучается десять предметов. В среду шесть уроков, при
этом все уроки различные. Сколькими способами можно составить расписание на среду?
13
20. На гранях кубика поставлены цифры от 1 до 6. Сколько различных
кубиков может при этом получиться?
21. Собрание из 40 человек избирает председателя, секретаря и пять
членов комиссии. Сколько различных комиссий может быть составлено?
22. Из шести роз и черырех георгинов нужно составить букет, содержащий две розы и три георгина. Сколько можно составить различных букетов?
23. Комплексная бригада состоит из двух маляров, трех штукатуров и
одного столяра. Сколько различных бригад можно сделать из рабочего
коллектива, в котором 15 маляров, 10 штукатуров и 5 столяров?
24. Сколькими способами при бросании 12 игральных костей каждое
из значений 2, 3, 4, 5, 6 выпадает дважды?
25. На книжной полке стоят 20 книг по математике и по логике. Докажите, что наибольшее количество вариантов комплекта, содержащего
по пять книг по математике и логике, возможно в том случае, когда число
книг на полке по каждому предмету равно десяти.
26. Сколько существует пятизначных чисел, соседние цифры которых
различны?
27. Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых цифра 1 встречается два раза, а 2, 3 и 4 – по одному разу?
28. Автобусный билет имеет номера от 000000 до 999999. Сколько
среди них имеется билетов, у которых сумма первых трех цифр равна
сумме трех последних цифр?
29. Сколько слов, содержащих не более трех букв, можно составить из
трех букв A , двух B и четырех C ?
30. В коробке 12 карандашей, из них три черных, пять красных, четыре зеленых. Найти число способов выбора пяти карандашей, среди которых один черный, два красных, два зеленых.
14
Раздел 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
2.1. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Определение 2.1. Вероятностью события A называется отношение
числа исходов, благоприятствующих наступлению события A , к числу
всех возможных исходов
m
P( A) ,
(1)
n
где P ( A) – вероятность события A , m – число исходов, благоприятствующих событию A , n – число всех возможных исходов.
Задача 2.1. При бросании игральной кости возможны шесть исходов –
выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Какова вероятность появления четного
числа очков?
Решение. Все n 6 исходов равновозможны, единственно возможны
(то есть других исходов быть не может) и несовместны. Событию A (появление четного числа очков) благоприятствует три исхода (случая) – 2, 4
3 1
и 6 очков. По формуле (1) находим P( A) .
6 2
1
Ответ: .
2
Задача 2.2. Студент знает ответы на 20 вопросов из 30. Какова вероятность того, что он вытащит на экзамене известный ему вопрос?
Решение. Пусть n 30 – число всех вопросов, m 20 – число изm 20 2
вестных студенту вопросов, тогда P( A)
.
n 30 3
2
Ответ: .
3
Задача 2.3. Буквы Т, Е, И, Я, Р, О написаны на отдельных карточках.
Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает одну к другой: а) три карточки; б) все шесть карточек. Какова вероятность, что получится слово: а) «ТОР»; б) «ТЕОРИЯ».
Решение. а) пусть событие A – получение слова «ТОР». Различные
комбинации трех букв из имеющихся шести представляют размещения, так
как могут отличаться как составом входящих букв, так и порядком их следования (или и тем, и другим), то есть общее число случаев (исходов) n A63 , из
которых благоприятствующих событию A m 1 случай. По формуле (1):
m 1
1
1
P( A) 3
.
n A6 6 5 4 120
15
б) Пусть событие B – получение слова «ТЕОРИЯ». Различные комбинации шести букв из имеющихся шести представляют собой перестановки, так
как отличаются только порядком следования букв; то есть общее число случаев n P6 6!, из которых благоприятствует событию B m 1 случай. Поэтому
m 1 1
1
P( A)
.
n P6 6! 720
1
1
Ответ: а)
; б)
.
120
720
Задача 2.4. Найти вероятность получить слово «АНАНАС», если на
отдельных карточках написаны три буквы А, две буквы Н и одна буква С,
при условии, что карточки берутся в случайном порядке и прикладываются одна к другой.
Решение. Пусть событие B – получение слова «АНАНАС». Как
и в задаче 2.3, общее число случаев n P6 6!, но теперь число случаев
m , благоприятствующих событию B , существенно больше, так как
перестановка трех букв А осуществляется P3 3! способами, и перестановка двух букв Н ( P2 2! способами) не меняет собранное из карточек слово «АНАНАС». По правилу произведения m P3 P2 . Итак,
m
3!2! 1
P ( B ) P3 P2
.
n
6! 60
P6
Задачу можно решить и иначе, рассматривая комбинации букв как
перестановки с повторениями, из которых событию B благоприятствует
1
6!
1
одна комбинация: P( B)
1:
.
3!2!1! 60
P6 (3, 2, 1)
1
Ответ:
.
60
Задача 2.5. Из 30 студентов 10 имеют спортивные разряды. Какова
вероятность того, что выбранные наудачу три студента – разрядники?
Решение. Пусть событие A – три выбранных наудачу студента –
разрядники. Общее число случаев выбора трех студентов из 30 равно
n C 330 , так как комбинации из 30 студентов по три представляют собой
сочетания, ибо отличаются только составом студентов. Точно так же чис3
ло случаев, благоприятствующих событию A , равно n C10
. Итак,
3
m C10
61
P( A) 3
.
n C 30 203
61
Ответ:
.
203
16
Задача 2.6. По условию лотереи «Спортлото 6 из 45» участник лотереи, угадавший четыре, пять, шесть видов спорта из отобранных при случайном розыгрыше 6 видов спорта из 45, получает денежный приз. Найти
вероятность того, что будут угаданы: а) все шесть цифр; б) четыре цифры.
Решение. а) Пусть событие A – угадывание всех шести видов спорта
из 45. Общее число всех случаев, то есть всех вариантов заполнения карточек
спортлото, есть n C 645 , так как каждый вариант заполнения отличается только составом видов спорта. Число случаев, благоприятствующих событию A ,
1
1 2 3 4 5 6
есть m 1 . Поэтому P( A) 6
0,0000001.
45
44
43
42
41
40
C 45
б) Пусть событие B – угадывание четырех видов спорта из шести выигравших из 45. Вначале найдем число способов, какими можно выбрать четыре вида спорта из шести выигравших, то есть C 64 . К каждой комбинации четырех выигравших видов спорта из шести следует присоединить комбинацию
2
двух не выигравших видов из 45 – 6 = 39; таких комбинаций C 39
. По правилу
произведения общее число случаев, благоприятствующих событию B , равно
2
m C 64 C 39
4
2
m C 6 C 39 . Итак, P ( B )
0,00136 .
6
n
C 45
Ответ: а) 0, 0000001; б) 0,00136.
Задача 2.7. К экзамену подготовлены 30 теоретических вопросов
и 50 задач. Определить вероятность того, что студент получит отлично,
если для этого надо правильно ответить на два вопроса и решить три задачи, выбранные случайным образом, при этом студент выучил 20 вопросов
и умеет решать 30 задач.
Решение. В качестве элементарного события возьмем набор из двух вопросов и трех задач. Поскольку выбор случаен, то все исходы равновозможны
и применима формула (1). Для подсчета n (числа всех исходов) отметим, что
2
два теоретических вопроса из 30 можно выбрать C 30
способами (порядком
следования здесь не важен), а 3 задачи из 50 можно выбрать C 350 способами. По правилу произведения общее число таких наборов будет равно: n
2
C 30
C 350 . Событие A (отличная оценка) реализуется тогда, когда оба вопроса будут из 20 выученных и все три задачи – из 30 ему известных. Число
таких наборов, то есть благоприятствующих событию A исходов, находится
аналогично: n C 220 C 330 , поэтому искомая вероятность равна
m C 220 C 330 20 19 30 29 28
P( A) 2
0,09 .
n C 30 C 350 30 29 50 49 48
Ответ: 0,09.
17
Задача 2.8. Среди K единиц данного товара L не удовлетворяют
предъявленным условиям. Найти вероятность того, что среди k K , отобранных для выборного контроля качества, ровно l L не будет удовлетворять этим требованиям.
Решение. Опыт заключается в случайном отборе k образцов. Следовательно, исходы этого испытания равновозможны и их общее число равно n C kK . Событие A состоит в том, что из k отобранных ровно l не будут удовлетворять этим требованиям. Число исходов, благоприятствующих A , согласно правилу произведения равно m C kKlL C lL . Здесь первый
множитель дает число вариантов отбора хороших, а второй – плохих обm C kKl L C lL
разцов. Отсюда искомая вероятность P( A)
.
k
n
CK
k l
l
Ответ: C K LkC L .
CK
Задача 2.9. В партии из 50 изделий 10 бракованных. Для выборочного контроля отобрано пять изделий. Найти вероятность того, что среди
отобранных изделий бракованными окажутся два изделия.
Решение. Условие примера является частным случаем задачи 2.8, поэтому для его решения воспользуемся полученной формулой
2
3
m C10
10 9 40 39 38 1 2 3 4 5
C
40
P( A)
0,21.
5
n
50 49 48 47 46 1 2 1 2 3
C 50
Ответ: 0,21.
Задача 2.10. В коробке пять красных, три зеленых, два синих карандаша. Наудачу без возвращения извлекают три карандаша. Найти вероятность следующих событий: а) A – все извлеченные карандаши разного
цвета; б) B – все извлеченные карандаши одного цвета; в) C – среди извлеченных карандашей один синий; г) D – среди извлеченных карандашей в точности два одного цвета.
Решение. Всего в коробке 5 + 3 + 2 = 10 карандашей.
а) По правилу произведения m 5 3 2 – число исходов, благоприятствующих наступлению события A . Общее число способов выбора из
десяти карандашей трех вычисляется как число сочетаний из десяти по
30 1
10!
3
три n C10
.
120, отсюда P( A)
120 4
7! 3!
б) Если все извлеченные карандаши одного цвета, то это либо три
красных, либо три зеленых (три синих не может быть, так как их в коробке всего два).
18
Поэтому, по правилу суммы m C 35 C 33
5!
1 10 1 11 ,
(5 3)! 3!
m 11
.
n 120
в) Если из десяти карандашей два синего цвета, то один синий можно
выбрать двумя способами, а два из восьми карандашей не синего цвета –
2
C 8 28 способами. Отсюда, по правилу произведения m 2 28 56 ,
m 56
7
P (C )
.
n 120 15
г) Событие произойдет, если случится одно из трех событий: два красных карандаша плюс один зеленый; или один синий, два зеленых карандаша
плюс один красный; или один синий, два синих карандаша плюс один красный или один зеленый. По правилу произведения C 52 C15 – число способов
n 120 , следовательно, P( B)
выбора двух красных карандашей и одного другого цвета; C 32 C17 – число
способов выбора двух зеленых карандашей и одного другого цвета; C 22 C18 –
число способов выбора двух синих карандашей и одного другого цвета.
По правилу суммы m C52 C15 C32 C17 C22 C18 79, следовательно, P(D)
m 79
.
n 120
1
11
7
79
Ответ: а) ; б)
; в)
; г)
.
4
120
15
120
Задача 2.11. Лифт начинает движение с четырьмя пассажирами и останавливается на десяти этажах. Любой пассажир может выйти независимо друг от друга на любом этаже. Какова вероятность, что никакие два
пассажира не выйдут на одном этаже?
Решение. Пусть все возможные случаи выхода пассажиров равновероятны, тогда первый пассажир имеет десять возможностей выхода на десяти этажах, второй – девять на девяти оставшихся этажах, третий – восемь на восьми оставшихся этажах, четвертый – семь. По правилу произведения общее число исходов, благоприятствующих событию A (никакие
два пассажира не выйдут на одном этаже) m 10 9 8 7 A104 .
Общее число вариантов выхода четырех пассажиров на десяти этажах равно числу размещений с повторениями из десяти элементов по четыре A104 . Отсюда
P ( A)
m 10 9 8 7 9 8 7 504
0,504 .
4
3
n
1000
10
10
Ответ: 0,504.
19
2.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Определение 2.2. Геометрической вероятностью события A называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события A ,
к мере всей области:
mes g
P( A)
.
(2)
mes G
Рассмотрим конкретные случаи областей.
Пусть отрезок l составляет часть отрезка L . На отрезок L наудачу
поставлена точка. Если предположить, что вероятность попадания точки
на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его
расположения относительно отрезка L , то вероятность попадания точки
на отрезок определиться равенством:
Длина l
p
.
(3)
Длина L
Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G . На
фигуру G наудачу брошена точка. Если предположить, что вероятность
попадания брошенной точки на фигуру пропорциональна площади этой
фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G , ни от формы
g , то вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством:
Площадь g
p
.
(4)
ПлощадьG
Аналогично определяется вероятность попадания точки в пространственную фигуру v , которая составляет часть фигуры V :
Объем g
p
.
Объем G
Задача 2.12. На отрезке L длиной 20 см помещен меньший отрезок
l длиной 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная
на больший отрезок, попадает также и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна
длине отрезка и не зависит от его расположения.
Решение. По постановке задачи выполнены условия, приводящие
l 10 1
к формуле (3). Тогда p
.
L 20 2
1
Ответ: .
2
Задача 2.13. Перпендикулярно фарватеру установлен один ряд мин,
расстояние между которыми равно 100 м. Найти вероятность того, что
судно с наибольшей шириной 30 м не пройдет линию заграждения без
столкновения с миной.
20
Решение. Считаем, что положение судна в проходе между минами
равновозможно, тогда применима формула (3). При этом общая длина
l
30
3
L 100 м, а l 30 м и p
.
L 100 10
3
Ответ: .
10
Задача 2.14. На отрезок AB длины L брошена точка M , так, что ее
любое положение на этом отрезке равновозможно. Найти вероятность того, что меньший из отрезков ( AM или MB ) имеет длину, большую, чем
L / 3.
Решение. Длина отрезка AB по условию равна L и является длиной
(мерой) возможного нахождения точки M на прямой.
Благоприятным будет положение точки M на отрезке длины l , таком, что его концы отстоят от точек A и B на расстояние L / 3 . Тогда дли1
l
L 1
на равна l L и искомая вероятность p
.
3
L 3L 3
1
Ответ: .
3
Задача 2.15. Наудачу взяты два положительных числа, каждое из которых не превышает 2. Найти вероятность того, что произведение этих
чисел не больше 1, а частное не больше 2 (событие A ).
Решение. Обозначим взятые наудачу числа x и y . Тогда их возможные значения: 0 x 2 , 0 y 2 . Взятые числа x и y будут благоприятными для события A , если окажется, что xy 1 и x / y 2 . Следовательно,
G {( x, y ) : 0 x 2, 0 y 2} , g {( x, y ) : ( x, y ) G , xy 1, x / y 2} .
Построим множества G и g на плоскости, где G – квадрат
0;2 0;2 , g – заштрихованная область на рисунке 1.
Рис. 1.
21
2
2
При этом
2
1
1 3 ln 2
dy
,
y
2
2
mes g 2 ydy
0
mes G 4 , тогда
2
mes g 1 3 ln 2
.
mes G
8
1 3 ln 2
Ответ:
.
8
Задача 2.16. Задача Бюффона. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2a . На плоскость наудачу бросают иглу длиною 2l ( l a ). Найти вероятность того,
что игла пересечет какую-нибудь прямую (событие A ).
Решение. Введем обозначение: x – расстояние от середины иглы до
ближайшей параллели, – угол, составленный иглой с этой параллелью
(рис. 2).
P( A)
Рис. 2.
Положение иглы полностью определяется заданными значениями x и .
Возможны их значения: 0 x a, 0 . Если выполняются неравенства
0 x l sin , 0 , то игла пересечет прямую (рис. 3). Таким образом,
G {( x, ) : 0 x a, 0 } ,
g {( x, ) : ( x, ) G , 0 x l sin ,0 } .
Рис. 3.
22
Получим mes G a , mesg l sin l cos 2l , и искомая веро0
0
ятность равна
P( A)
mes g 2l
.
mes G a
2l
.
a
Задача 2.17. Задача о встрече. Два лица A и B условились встретиться в определенном месте, договорившись только о том, что каждый
является туда в любой момент времени между 11 ч и 12 ч и ждет в течение
30 мин. Если партнер к этому времени еще не пришел или уже успел покинуть установленное место, встреча не состоится. Найти вероятность того, что встреча состоится.
Решение. Обозначим моменты прихода в определенное место лиц A
и B соответственно через x и y . В прямоугольной системе координат
возьмем за начало отчета 11 ч, а за единицу измерения – 1 ч. По условию
0 x 1 , 0 y 1 . Этим неравенствам удовлетворяют координаты любой
точки, принадлежащей квадрату OKLM со стороной, равной 1 (рис. 4).
Ответ:
Рис. 4.
Событие A (встреча двух лиц) произойдет, если разность по абсолютной величине между x и y не превзойдет 0,5 часа, то есть y x 0,5,
то встреча произойдет. Решение последнего неравенства есть полоса
x 0,5 y x 0,5, которая внутри квадрата на рисунке 4 представляет
заштрихованную область g . Так как площадь области g равна площади
квадрата G без суммы площадей двух угловых (не заштрихованных) треугольников, то по формуле (4) получим:
2
1
mes g 1 2( 2 0.5 )
P( A)
0,75 .
2
mes G
1
Ответ: 0,75.
23
Задача 2.18. В квадрат вписан круг. Найти вероятность того, что
точка, брошенная в квадрат так, что любое ее положение в квадрате равновозможно, окажется внутри круга.
Решение. Очевидно, что применимо геометрическое определение,
mes g R 2
поэтому искомая вероятность равна P( A)
0,785 .
mes G 4 R 2 4
Здесь воспользовались тем, что площадь квадрата равна квадрату его
сторон, равному диаметру круга.
Ответ: 0,785.
Задача 2.19. В прямоугольном броневом щите размерами 2 1 м
имеется невидимая для противника амбразура 10 10 см. Определить вероятность того, что пуля, попавшая в щит, попадет в амбразуру, если попадание в любую точку щита равновозможно.
Решение. Применима формула (4), поскольку выполнены условия
геометрического определения вероятности. При этом mes G 2 1 2 м 2 ,
mes g 0,01
mes g 0,1 0,1 0,01 м 2 . Итак, p
0,005 .
mes G
2
Ответ: 0,005.
Задача 2.20. Телефонная линия, связывающая пункты A и B с расстоянием AB 3 км порвалась в неизвестном месте. Какова вероятность,
что она нарушена дальше 300 м от каждого из пунктов A и B ?
Решение. Рассуждая аналогично задаче 2.14, получим по формуле (4),
длина l 2 400 24 4
где L 3 000 м, а l 2 400 м , что p
.
длина L 3 000 30 5
4
Ответ: .
5
2.3. ЗАДАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НА ПРАКТИЧЕСКОМ ЗАНЯТИИ
1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма
выпавших очков: а) делится на шесть; б) делится на три; в) больше девяти.
2. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок,
не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал в произвольном
порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово
«книга».
3. На отдельных одинаковых карточках написаны цифры: 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9. Все девять карточек перемешивают, после чего наугад берут четыре карточки и раскладывают в ряд в порядке появления. Какова вероятность получить при этом: а) четное число; б) число 1234?
24
4. Восемь различных книг расставляются наугад на полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.
5. Слово «машина» составлено из букв разрезной азбуки. Какова вероятность того, что перемешав все буквы и укладывая их в ряд по одной,
получим слово: а) «машина»; б) «шина»; в) «маша»?
6. Из билетов с четырехзначными номерами наудачу выбирается
один билет. Найти вероятность, того что у выбранного билета сумма первых двух цифр будет равна сумме двух последних цифр?
7. Среди изготовленных 15 деталей имеется 5 нестандартных. Определить вероятность того, что взятые наугад три детали окажутся стандартными.
8. Определить вероятность того, что участник лотереи «5 из 36» угадает правильно: а) все пять номеров; б) три номера.
9. В денежно-вещевой лотерее на каждую 1 000 билетов приходится
12 денежных и 8 вещевых выигрышей. Какова вероятность выигрыша хотя бы на один из трех приобретенных билетов?
10. В ящике десять красных, пять зеленых и три черных шара. Определить вероятность того, что взятые наудачу пять шаров будут: а) одного
цвета; б) разных цветов; в) два красных, один зеленый и два черных.
11. В круг радиуса R вписан равнобедренный прямоугольный треугольник. Чему равна вероятность того, что поставленная наудачу внутри
круга точка окажется внутри заданного треугольника?
12. В круг радиуса R вписан прямоугольник наибольшей площади.
Чему равна вероятность того, что поставленная наудачу внутри круга точка окажется внутри заданного прямоугольника?
13. Два студента условились встретиться в определенном месте между
18 ч и 18 ч 30 мин. Пришедший первым ждет другого в течение пяти минут, после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход
каждого из них в течение указанных 30 мин может произойти наудачу?
2.4. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма
выпавших очков: а) делится на пять; б) делится на четыре; в) меньше четырех.
2. Какова вероятность, что на трех карточках, вынутых по одной и
положенных в порядке их появления, получим число 325, если всего карточек было шесть с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6?
3. Из коробки, содержащей восемь пронумерованных жетонов, вынимают один за другим все находящиеся в ней жетоны и укладывают ря-
25
дом. Найти вероятность того, что номера вынутых жетонов будут идти по
порядку 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
4. Цифровой замок содержит на общей оси четыре диска, каждый из
которых разделен на шесть секторов, отмеченных цифрами. Замок открывается в том случае, если диски установлены так, что цифры на них составляют определенное четырехзначное число. Какова вероятность того,
что замок откроется, если установить произвольную комбинацию цифр?
5. Из 40 деталей в ящике 5 бракованных. Какова вероятность того,
что взятые одновременно две детали не будут бракованными?
6. В партии готовой продукции из десяти изделий имеется семь изделий повышенного качества. Наудачу отбираются шесть изделий. Какова
вероятность того, что четыре из них будут повышенного качества?
7. В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены.
Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух
извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие.
8. Среди 20 студентов группы, в которой десять девушек, разыгрываются пять билетов в театр. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся три девушки.
9. Из 25 студентов группы, 12 занимаются научной работой на кафедре бухгалтерского учета, 7 – экономического анализа, остальные – на
кафедре статистики. Случайно отобраны пять студентов. Какова вероятность того, что: а) студенты занимаются научной работой на кафедре статистики; б) два студента занимаются научной работой на кафедре бухгалтерского учета, один на кафедре экономического анализа, два на кафедре
статистики.
10. В круг радиуса R вписан квадрат. Чему равна вероятность того,
что поставленная наудачу внутри круга точка окажется внутри заданного
квадрата?
11. Два студента условились встретиться в определенном месте между
17 ч и 17 ч 40 мин. Пришедший первым ждет другого в течение 10 мин,
после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанных 40 мин может произойти наудачу?
26
Раздел 3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
3.1. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ.
ТЕОРЕМЫ УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Теорема 3.1. Вероятность суммы двух несовместных событий A и B равна сумме их вероятностей:
P ( A B ) P ( A) P ( B ) .
(5)
Теорема 3.2. Вероятность суммы двух совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( A B ) .
(6)
Определение 3.1. Условной вероятностью события B , при условии,
что событие A произошло, называется вероятность
P ( AB)
PA ( B) P( B / A)
.
P( A)
Определение 3.2. Если для событий A и B выполняется соотношение
P ( AB) P ( A) P ( B ) ,
(7)
то события A и B называются независимыми.
Определение 3.3. Если для событий A1 , A2 , , An выполняется соотношение
P ( A1 , A2 , , An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ) ,
(8)
то события A1 , A2 , , An называются независимыми.
Теорема 3.3. Вероятность произведения двух зависимых событий A
и B равна произведению вероятности наступления события A на условную вероятность события B при условии, что событие A уже произошло:
P ( AB) P ( A) P ( B / A) .
(9)
Следствие. Вероятность произведения n зависимых событий
A1 , A2 , , An равна произведению последовательных условных вероятностей:
P ( A1 A2 ... An ) P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) ... P( An /( A1 A2 ... An1 )) .
Задача 3.1. Вероятность выхода из строя при эксплуатации сроком
до одного года некоторого изделия равна 0,13, а при эксплуатации сроком
до трех лет – 0,36. Найти вероятность выхода изделия из строя при эксплуатации сроком от одного года до трех лет.
Решение. Пусть событие A , B , C – выход из строя изделий при эксплуатации сроком соответственно до одного года, от одного года до трех
лет, до трех лет, причем по условию P ( A) 0,13 , P (C ) 0,36 . Очевидно,
27
что C A B , где A и B – несовместные события. По теореме сложения
P (C ) P ( A) P ( B ) , откуда P (B ) P (C ) P ( A) 0,36 0,13 0,23 .
Ответ: 0,23.
Задача 3.2. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих, 15 белых. Найти
вероятность появления цветного шара (красного или синего).
Решение. При одном испытании появление цветного или не цветного шара являются несовместными событиями. Причем, для события A
(появления цветного шара), благоприятными будут несовместные события A1 (появление красного шара) и A2 (появление синего шара). Очевидно,
m 10 1
m 5 1
P( A1)
, P( A2)
.
n 30 3
n 30 6
Тогда по формуле (5) находим:
1 1 1
P( A) P( A1 A2) P( A1) P( A2) .
3 6 2
1
Ответ: .
2
Задача 3.3. Телефонная линия, связывающая пункты D и Q , длиной
DQ 3 км порвалась в неизвестном месте. Какова вероятность, что она
нарушена не дальше 300 м от пунктов D или Q ?
Решение. Пусть событие C – обрыв телефонной линии не дальше
300 м от пунктов D или Q , событие A – обрыв телефонной линии не
дальше 300 м от пункта D , событие B – обрыв телефонной линии не
дальше 300 м от пункта Q . События A и B несовместные и C A B .
Поскольку для нахождения вероятности каждого из событий A и B применимо геометрическое определение вероятности, то по формуле (3) на0,3
ходим P ( A) P ( B )
0,1 . Тогда искомая вероятность находится по
3
формуле (5)
1 1 1
P(C ) P( A) P ( B) .
10 10 5
1
Ответ: .
5
Задача 3.4. Для прохождения практики на 30 студентов предоставлены 15 мест в городе K , 8 мест в городе M и 7 мест в городе N . Найти
вероятность, что два студента попадут в один город, если места распределяются по жребию.
Решение. Введем обозначения событий: A – данные два студента
попали в один город; A1 – данные два студента попали в город K ; A2 –
28
данные два студента попали в город M ; A3 – данные два студента попали
в город N .
Тогда A A1 A2 A3 . События A1 , A2 , A3 являются попарно несовместными. Для них так же применима теорема 3.1 и формула (5) в ее
более общем виде P ( A1 A2 ... An ) P ( A1) P ( A2) ... P ( An) . Поэтому
2
2
2
P( A) P( A1 A2 A3) P( A1) P( A2) P( A3) C15
C28 C27
2
C 30
C 30
C 30
1 2 15 14
87
7 6 154
0,331.
30 29 1 2
1 2
1 2 435
Использовались подсчеты числа сочетаний, так как порядок выбора
не учитывается.
Ответ: 0,331.
Задача 3.5. Вероятность поражения мишени при одном выстреле
первым стрелком равна 0,8; вторым стрелком – 0,9. Найти вероятность
поражения мишени (то есть вероятность хотя бы одного попадания в мишень).
Решение. Первый способ. Пусть событие A – «мишень поражена»,
событие A1 – «попал первый стрелок», событие A2 – «попал второй стрелок». Если под A для события A понимать противоположное событие, то
для данного случая можно записать: A A1 A2 A1 A2 A1 A2 .
События A1 A2 , A1 A2 , A1 A1 попарно несовместны, A1 и A2 , A1 и A2 –
независимы. Следовательно, можно воспользоваться формулой (5) для несовместных событий: P( A) P( A1 A2 ) P( A1 A2 ) P ( A1 A2 ) .
Вероятность каждого из событий в правой части равенства находится как вероятность произведения независимых событий.
Второй способ. Поскольку события A1 и A2 могут произойти вместе
и это независимые события, то справедлива теорема 3.2. Искомую вероятность находим по формуле (6):
P ( A) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A1 ) P ( A2 )
0,8 0,9 0,8 0,9 1,7 0,72 0,98 .
Ответ: 0.98.
Задача 3.6. Бросают две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?
Решение. Обозначим события: A – появление шестерки при бросании первой кости, B – появление шестерки при бросании второй кости.
29
Нам необходимо найти вероятность события C A B , где события
A и B совместны. Воспользуемся формулой (6): P (C ) P ( A B )
1
1
P ( A) P ( B ) P ( AB) . Ясно, что P( A) , P( B) .
6
6
Произведение событий A и B предполагает их одновременное выполнение, поэтому, вероятность P (AB) можно найти, не только пользуясь
формулой вероятности произведения двух независимых событий, но и
формулой (1) классического определения вероятностей. Действительно,
при бросании двух игральных костей число всех возможных исходов
n 36 . Число благоприятных исходов m 1 , что соответствует основному
выпадению на обеих игральных костях числа 6. Таким образом
m 1
1 1 1 11
P( AB) , а тогда P(C )
.
n 6
6 6 36 36
11
Ответ:
.
36
Задача 3.7. Пусть A , B и C совместные события. Доказать:
P ( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AB) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC ) .
Решение. Обозначим A B D . Тогда в силу соотношения
ACBC ABC , получим
P ( A B C ) P ( D C ) P ( D) P (C ) P ( DC ) P ( A B ) P (C )
P (( A B )C ) P ( A) P ( B ) P ( AB) P (C ) P ( AC BC ) P ( A) P ( B )
P (C ) P ( AB) ( P ( AC ) P ( BC ) P ( ACBC )) P ( A) P ( B ) P (C )
P ( AC ) P ( BC ) P ( AB) P ( ABC ) .
Задача 3.8. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором и
третьем справочнике соответственно равна 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится хотя бы в одном справочнике.
Решение. Пусть событие A – формула находится хотя бы в одном
справочнике, а Ai – формула находится в i -м справочнике ( i =1, 2, 3), тогда P ( A1 ) 0,6 ; P ( A2 ) 0,7 ; P ( A3 ) 0,8 .
События A1 , A2 , A3 совместны и A A1 A2 A3 . Тогда применим
доказанную в предыдущей задаче формулу вероятности для суммы трех
совместных событий или формулу для вероятности противоположного
события:
P ( A) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 A3 )
P( A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 1 0,4 0,3 0,2 0,976 ,
30
где А i ( i =1, 2, 3) – событие, противоположное для Ai , и в данном примере
P( A1 ) 0,4 ; P( A2 ) 0,3 ; P( A3 ) 0,2 .
Ответ: 0,976.
Задача 3.9. Из 30 экзаменационных билетов студент подготовил
только 25. Если он отказывается отвечать по первому взятому билету (которого он не знает), то ему разрешается взять второй. Определить вероятность того, что второй билет окажется счастливым.
Решение. Пусть событие A заключается в том, что первый взятый
билет окажется для студента «плохим», а B – в том, что второй будет «хорошим». Поскольку, после наступления события A один из «плохих» уже
извлечен, то остается всего 29 билетов, из которых 25 студент знает. Отсюда искомая вероятность, предполагая, что появление любого билета
25
равновозможно, и обратно они не возвращаются, равна P( B / A) .
29
25
Ответ:
.
29
Задача 3.10. По условиям предыдущего примера найти вероятность
успешной сдачи экзамена, если для этого студент должен ответить на первый билет, или, не ответив на первый, обязательно ответить на второй.
Решение. Пусть события A и B заключаются в том, что соответственно первый и второй билеты «хорошие». Тогда A – появление «плохого» билета в первый раз. Экзамен будет сдан, если произойдет событие A ,
или одновременно A и B . То есть искомое событие C – успешная сдача
экзамена выражается следующим образом: C A A B . Отсюда по формулам (5), (9) получим
25 5 25
P(C ) P( A A B) P( A) P( A B) P( A) P( A ) P( B / A )
0,98 .
30 30 29
Здесь мы воспользовались несовместностью A и A , а следовательно,
несовместностью A и A B , теоремами о вероятности суммы и произведения
и классическим определением вероятности при подсчете P ( A) и P( A ) .
Если воспользоваться равенствами P( A A) P( A) P( A) 1 и вероятностью для противоположного события P( A) 1 P( A) или P( A) 1 P( A) , то
5 4
P (C ) 1 P (C ) 1 P ( A B ) 1 P ( A ) P ( B / A ) 1
0,98.
30 29
Ответ: 0,98.
Задача 3.11. Причиной разрыва электрической цепи служит выход из
строя элемента K1 или одновременный выход из строя двух элементов – K 2
и K 3 . Элементы могут выходить из строя независимо друг от друга с ве-
31
роятностями, равными соответственно 0,1; 0,2; 0,3. Какова вероятность
разрыва электрической цепи?
Решение. Обозначим события: Ai – выход из строя элемента K i
( i =1,2,3); B – разрыв электрической цепи.
По условию, событие B произойдет, если произойдет событие A1 , либо A2 A3 , следовательно B A1 A2 A3 . По формулам (6), (7), (8) получим
P ( B ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 A3 ) P ( A1 ( A2 A3 )) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) 0,1 0,2 0,3 0,1 0,2 0,3 0,154 .
При использовании теоремы умножения учитываем независимость
событий A1 , A2 и A3 .
Ответ: 0,154.
Задача 3.12. В урне десять шаров, из которых два белые, а остальные
черные. Наудачу последовательно взято два шара. Найти вероятность того, что оба шара черные.
Решение. Обозначим события: A1 – первый шар черный, A2 – второй
шар черный, тогда A A1 A2 – оба шара черные.
Вероятность того, что второй шар черный, будет зависеть от того,
какого цвета первый шар. Если первый шар черный, то вероятность того,
что второй шар также черного цвета, равна условной вероятности события
A2 при условии, что A1 уже произошло. Следовательно, P ( A2 / A1 ) 7 / 9 ,
так как после наступления события A1 всего шаров остается 9, из них
7 черных. Отсюда по формуле (9) получим:
8 7 28
P( A) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 / A1 ) .
10 9 45
28
Ответ:
.
45
Задача 3.13. Два стрелка стреляли по одному выстрелу в мишень, вероятность попадания первого равна 0,8, второго – 0,6. Найти вероятность следующих событий: а) событие A – оба попали; б) событие B – попал один.
Решение. Обозначим через A1 , A2 события, обозначающие соответственно, что первый и второй стрелок попали в цель. По условию
P ( A1 ) 0,8 , P ( A2 ) 0,6 .
а) Событие A – оба стрелка попали в цель, наступит при одновременном попадании, поэтому A A1 A2 . Отсюда, в силу независимости событий A1 , A2 имеем P ( A) P ( A1 ) P ( A2 ) 0,48 .
б) Событие B – попал один стрелок, B A1 A2 A1 A2 . Применяя теоремы о вероятности суммы двух несовместных событий и произведении
независимых событий, получим:
32
P( B) P( A1 A2 A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A1 ) P( A2 )
(1 0,8) 0,6 0,8 (1 0,6) 0,12 0,32 0,428 .
Ответ: а) 0,48; б) 0,428.
Задача 3.14. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе
из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном
выстреле, первого орудия, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.
Решение. Событие A – попадание одного орудия при одновременном залпе из двух орудий. Элементарные события: A1 – попадание первого орудия, A2 – попадание второго орудия.
По условию: P( A) 0,38, P( A2 ) 0,8. Событие A наступит, если наступит A1 , но не наступит A2 или если наступит A2 , но не наступит событие A1 .
Имеем A A1 A2 A1 A2 , P( A) P( A1 A2 A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 A 2 ) .
Так как события A1 и A2 независимы, то
P( A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A1 )(1 P( A2 ))
P ( A2 )(1 P ( A1 )) 0,38 P ( A1 )(1 0,8) (1 P ( A1 )) 0,8 0,38
0,2 P( A1 ) 0,8 0,8 P( A1 ) 0,38 P( A1 ) 0,7 .
Ответ: 0,7.
Задача 3.15. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором и
третьем справочнике соответственно равна 0,6; 0,7; 0,8.
Найти вероятность того, что формула содержится: а) только в одном
справочнике (событие A ); б) только в двух справочниках (событие B );
в) во всех трех справочниках (событие C ); г) ни в одном справочнике (событие D ).
Решение. Рассмотрим элементарные события и их вероятности: A1 –
формула находится в первом справочнике, P ( A1 ) 0,6 , P( A1 ) 1 0,6
=0,4; A2 – формула находится во втором справочнике, P ( A 2 ) 0,7 ,
P( A2 ) 1 0,7 0,3 ; A3 – формула находится в третьем справочнике,
P ( A3 ) 0,8 , P( A3 ) 1 0,8 0,2 .
Выразим через элементарные события и их отрицания события
A D , применим теоремы о вероятности суммы и произведения событий:
а) A A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 ,
P( A) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 0,6 0,3 0,2 0,4 0,7 0,2
0,4 0,3 0,8 0,188 .
33
б) B A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 , далее аналогично пункту а) получим, что P ( B ) 0,452 .
в) C A1 A2 A3 , P(C) P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 0,6 0,7 0,8 0,336.
г) D A1 A2 A3 , P( D ) 0,024 .
Ответ: а) 0,188; б) 0,452; в) 0,336; г) 0,024.
Задача 3.16. Два игрока поочередно бросают игральную кость. Выигрывает тот, у которого первым появится шесть очков. Какова вероятность
выигрыша для игрока, бросающего игральную кость первым? Вторым?
Решение. Обозначим события: Ai – выпадение шести очков при i -м
бросании игральной кости ( i =1, 2, …); B – выигрыш игры игроком, бросающим игральную кость первым.
Имеем P ( Ai ) 1/ 6 , P( Ai ) 5 / 6 при любом i . Событие B можно представить в виде суммы вариантов: B A1 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A4 A5 , поэтому
2
4
1 5 1 5 1
P ( B ) P ( A1 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 A4 A) ...
6 6
6 6
6
По формуле суммы геометрической прогрессии с первым членом
2
5
a1 1 / 6 и знаменателем q 1 получим
6
Р( В)
a
1/ 6
6
0,545.
2
1 q 1 5 / 6 11
Вероятность P(B ) выигрыша игры игроком, бросающим кость вторым, равна P( B ) 1 P( B) 1 6 / 11 5 /11 0,455 , то есть существенно
меньше, чем игроком, бросающим игральную кость первым.
Ответ: 0,545 и 0,455.
Задача 3.17. (о расчете надежности электрических цепей).
Пусть есть некоторая цепь элементов, соединенных последовательно
и параллельно (рис. 5).
Рис. 5.
34
Пусть известно, что элемент l выходит из строя (происходит разрыв
в этом элементе) с вероятностью pi . Предполагаем, что все элементы выходят из строя независимо друг от друга. Какова вероятность, что вся цепь
выйдет из строя, то есть через нее не пойдет ток?
Решение. Сначала нужно рассчитать вероятности отказа элементарных цепей, то есть цепей вида, изображенных на рисунках 6, 7.
Рис. 6.
Рис. 7.
Введем событие Ai – выход из строя элемента l . Тогда P ( Ai ) pi .
Элементарная цепь на рисунке 6 выходит из строя, когда события A1 и A2 наступают одновременно. Следовательно, P1 вероятность того, что цепь на рисунке
6
выходит
из
строя
определяется
соотношением
P1 P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) p1 p 2 . Элементарная цепь на рисунке 7 выходит
из строя, когда наступает либо событие A3 , либо A4 , поэтому вероятность
P2 того, что цепь на рисунке 7 выходит из строя, определяется соотношением
P2 P ( A3 A4 ) P ( A3 ) P ( A4 ) P ( A3 A4 ) p3 p 4 p3 p 4 . Нашу сложную
цепь можно упростить с помощью укрупнения. Это значит, что элементарные
цепи рассматривали как новые элементы (на рисунке 5 они выделены пунктирной линией), вероятности отказа которых мы уже знаем: это P1 p1 p2
и P2 p3 p4 p3 p4 . Но упрощенная цепь будет снова цепь на рисунке 6,
и вероятность ее отказа будет равна P1 P2 p1 p2 ( p3 p4 p3 p4 ) .
Если вероятности отдельных элементов известны, то можно укрупнением рассмотреть вероятность отказа любых цепей.
Ответ: p1 p2 ( p3 p4 p3 p4 ) .
Задача 3.18. Найти надежность схемы (вероятность бесперебойной
работы), приведенной на рисунке 8, если надежность ее элементов известна: P ( A1 ) 0,9 , P ( A2 ) 0,8 , P ( A3 ) 0,7 , P ( A4 ) 0,6 .
Рис. 8.
35
Решение. Событие B (работа всей схемы) выражается через элементы Ai ( i =1,2,3,4) следующим образом A1 ( A2 A3 ) A4 . Тогда используя теоремы вероятности суммы совместных событий и вероятности произведения независимых событий, получим
P ( B ) P ( A1 ( A2 A3 ) A4 ) P ( A1 ) P ( A2 A3 ) P ( A4 ) P ( A1 )( P ( A2 ) P ( A3 )
P ( A2 A3 )) P ( A4 ) 0,9 (0,8 0,7 0,8 0,7 ) 0,6 0,5076 .
3.2. ЗАДАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НА ПРАКТИЧЕСКОМ ЗАНЯТИИ
1. В магазин вошли три покупателя. Вероятность того, что каждый чтонибудь купит, равна 0,3. Найти вероятность того, что: а) два из них совершат
покупки; б) все три совершат покупки; в) ни один не совершит покупки; г) по
крайней мере два совершат покупки; д) хотя бы один купит товар.
2. Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом
предприятии – 0,2, на втором – 0,35, на третьем – 0,15. Определить вероятность того, что акционер, имеющий акции всех предприятий, получит
высокие дивиденды: а) на всех предприятиях; б) только на одном предприятии; в) хотя бы на одном предприятии.
3. Брошены две игральные кости. Предполагается, что все комбинации
выпавших очков равновероятны. Найти условную вероятность того, что выпали две пятерки, если известно, что сумма выпавших очков делится на пять.
4. На предприятии имеется три автомобиля. Вероятность безотказной работы первого из них равна 0,9, второго – 0,7, третьего – 0,8. Найти
вероятности всех возможных значений числа автомобилей работающих
безотказно в течение определенного времени.
5. Круговая мишень состоит из трех зон. Вероятности попадания в эти
зоны при одном выстреле соответственно равны 0,1; 0,35 и 0,4. Найти вероятность: а) попадания в первую или третью зоны; б) промаха по мишени.
6. Из урны, содержащей четыре красных и шесть черных шаров, вынимают два шара (без возвращения первого). Какова вероятность того, что
будут вынуты: а) два шара черного цвета; б) красный и черный в любой последовательности; в) второй шар будет черным; г) оба шара одного цвета?
7. Вероятность поражения первой мишени для данного стрелка равна
0,6. Если при первом выстреле зафиксировано попадание, то стрелок получает право на следующий выстрел по второй мишени. Вероятность поражения обеих мишеней при двух выстрелах равна 0,3. Определить вероятность поражения второй мишени.
8. В колоде 36 карт четырех мастей. После извлечения и возвращения одной карты, колода перемешивается и снова извлекается одна карта.
Определить вероятность того, что обе извлеченные карты одной масти.
36
9. Читатель в поисках нужной книги обходит три библиотеки. Вероятность того, что она имеется в очередной библиотеке, равна 0,3. Что вероятнее: найдет читатель книгу или нет?
10. Вероятность спортсменом взять в одной попытке высоту 1,8 м равна 0,6, высоту 2 м – 0,2, высоту 2 м 10 см – 0,1. Спортсмен, не взявший
предыдущую высоту, выбывает из соревнований. Спортсмену на каждую
высоту дается три попытки. Определить вероятность того, что спортсмен
закончит соревнования, взяв высоту: а) 1,8 м; б) 2 м; в) 2 м 10 см.
11. В первой урне пять красных, три белых и два черных шара. Во
второй три белых и два черных шара. Из первой урны взято два шара, а из
второй – один. Определить вероятность того, что среди них: а) все шары
одного цвета; б) все шары разного цвета.
3.3. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия равна 0,6.
Производится по одному выстрелу одновременно из трех орудий. Цель
будет поражена, если в нее попадут не менее двух орудий. Найти вероятность: а) поражения цели; б) промаха одним или двумя орудиями.
2. Вероятность одного попадания в цель при одновременном залпе из
двух орудий равна 0,44. Найти вероятность поражения цели при одном
выстреле первым орудием, если для второго орудия эта вероятность равна 0,8.
3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Выстрелы производятся по одному до первого попадания. Определить вероятность того, что придется производить четвертый выстрел.
4. Три студента сдают экзамен. Вероятность того, что отдельный студент сдаст экзамен на «отлично» равна для первого студента 0,7, для второго – 0,6, для третьего – 0,2. Какова вероятность того, что экзамен будет
сдан на «отлично»: а) только одним из студентов; б) двумя студентами;
в) хотя бы одним; г) ни одним?
5. Первый студент из 20 вопросов программы выучил 17, второй – 12.
Каждому студенту задают по одному вопросу. Определить вероятность
того, что: а) оба студента правильно ответят на вопрос; б) хотя бы один
ответит верно; в) правильно ответит только первый студент.
6. Студент из 40 экзаменационных вопросов выучил только 30. Каким выгодней ему зайти на экзамен, первым или вторым?
7. В коробке 12 карандашей трех цветов, по четыре карандаша каждого
цвета. Наудачу вынимают три карандаша. Найти вероятность того, что все
карандаши окажутся разного цвета. Решить задачу при условии: а) карандаши возвращают в коробку; б) карандаши не возвращают в коробку.
37
8. В ящике десять белых и пять черных шаров. Вынули последовательно четыре шара, причем каждый вынутый шар возвращают в ящик
перед извлечением следующего и шары в ящике перемешивают. Какова
вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых?
9. Два игрока поочередно бросают две игральные кости. Выигрывает
первый, у которого в сумме появится двенадцать очков. Найти вероятность выигрыша для каждого игрока.
10. Через автобусную остановку проходят автобусы семи маршрутов
с равной частотой. Пассажир ожидает автобус одного из маршрутов № 1,
№ 5, № 7. Какова вероятность, что нужный ему автобус будет одним из
первых трех подошедших к остановке?
11. Покупатель с равной вероятностью посещает три магазина. Вероятность того, что он купит товар в первом магазине – 0,4, во втором – 0,3,
в третьем – 0,2. Определить вероятность того, что покупатель купит товар
только в одном магазине, если каждый магазин он посетил дважды?
38
Раздел 4. ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
4.1. ФОРМУЛА ВЕРОЯТНОСТИ
ПОЯВЛЕНИЯ ХОТЯ БЫ ОДНОГО СОБЫТИЯ
Теорема 4.1. Вероятность наступления события A , состоящего в появлении хотя бы одного из событий A1 , A2 , , An независимых в совокупности, определяется соотношением
P( A) 1 P( A1 ) P( A2 ) P( An ) .
Следствие. Если все события A1 , A2 , , An имеют одинаковую вероятность P ( Ai ) p , P( Ai ) 1 p q , i 1, n , то вероятность появления, хотя бы одного из этих событий P( A) 1 (1 p) n 1 q n .
Задача 4.1. В электрическую цепь последовательно включены три
элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов
первого, второго и третьего элементов соответственно равны: p1 0,1 ,
p 2 0,15 , p3 0,2 . Найти вероятность того, что в цепи тока не будет.
Решение. Так как элементы включены последовательно, то тока
в цепи не будет (событие A ), если откажет, хотя бы один из элементов. Искомая вероятность P ( A) 1 (1 p1 )(1 p2 )(1 p3 ) 1 0,9 0,85 0,8 0,388 .
Ответ: 0,388.
Задача 4.2. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при
одном выстреле.
Решение. Если вероятность попадания при различных выстрелах
одна и та же, то вероятность попадания хотя бы при одном выстреле из
трех будет равна P( A) 1 (1 p) 3 . По условию P ( A) 0,875 , следовательно,
0,875 1 (1 p) 3 (1 p) 3 0,125 .
Тогда 1 p 3 0,125 0,5 p 1 0,5 0,5 .
Ответ: 0,5.
Задача 4.3. Среди билетов денежно-вещевой лотереи половина выигрышных. Сколько лотерейных билетов нужно купить, чтобы с вероятностью не меньшей 0,999 быть уверенным в выигрыше хотя бы по одному
билету?
Решение. Пусть вероятность события Ai (выигрыш по i -му билету)
равна p , то есть P ( Ai ) p 0,5 , тогда вероятность выигрыша хотя бы по
одному из n приобретенных билетов определяется по формуле:
P( A) 1 (1 p) n .
39
По условию 1 (1 p ) n 0,999 , откуда (1 p ) n 1 0,999 . Логарифмируя обе части неравенства и обозначив 0,999 , получим
n lg(1 p) lg(1 Г ) . Так как lg(1 p) – величина отрицательная, то получим n lg1 Г / lg1 p .
lg 0,001
По условию p 0,5 , 0,999 , следовательно, n
9,96 , то
lg 0,5
есть n 10 и необходимо купить не менее десяти лотерейных билетов.
Ответ: не менее десяти.
4.2. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
Теорема 4.2. Пусть событие A может наступить лишь при появлении одного из попарно несовместных событий (гипотез) H 1 , H 2 , , H n ,
образующих полную группу. Тогда вероятность события A определяется
по формуле полной вероятности
P ( A) P ( H 1 ) P ( A / H 1 ) P ( H 2 ) P ( A / H 2 ) P ( H n ) P ( A / H n )
n
P( H i ) P( A / H i ) .
(10)
i 1
Задача 4.4. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после
чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все предположения
о первоначальном составе шаров (по цвету).
Решение. Обозначим через A событие – «извлечен белый шар». Возможны следующие варианты первоначального состава шаров: H 1 – белых
шаров нет, H 2 – один белый шар, H 3 – два белых шара. Поскольку всего
имеется три варианта, по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез (вариантов) равна единице, то P ( H 1 ) P ( H 2 ) P ( H 3 ) 1 / 3 .
Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар для первого
варианта P ( A / H 1 ) 1 / 3 , для второго P ( A / H 2 ) 2 / 3 и третьего
P( A / H3 ) 3 / 3 1. Тогда искомую вероятность можем найти по формуле (10)
P ( A) P ( H 1 ) P ( A / H 1 ) P ( H 2 ) P ( A / H 2 ) P ( H 3 ) P ( A / H 3 )
1 1 1 2 1
2
1 .
3 3 3 3 3
3
2
Ответ: .
3
Задача 4.5. Лампы изготавливаются на трех заводах. Первый завод
производит 45 % общего количества ламп, причем дает 70 % стандартных
ламп. Второй завод производит 40 % ламп, 80 % его продукции – стан40
дартные лампы. Третий завод дает 15 % ламп, причем 81 % – стандартных. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется стандартной?
Решение. Введем обозначения для событий: B – купленная лампа
оказалась стандартной, H i – лампа изготовлена на i -м заводе i =1, 2, 3, тогда
P ( H 1 ) 0,45 ,
P ( H 2 ) 0,4 ,
P ( H 3 ) 0,15
и
P ( B / H 1 ) 0,7 ,
P ( B / H 2 ) 0,8 , P ( B / H 3 ) 0,81 .
Выполнены все условия формулы полной вероятности, следовательно,
P ( A) P ( H 1 ) P ( A / H 1 ) P ( H 2 ) P ( A / H 2 ) P ( H 3 ) P ( A / H 3 )
0,45 0,7 0,4 0,8 0,15 0,81 0,7565 .
Ответ: 0,7565.
Задача 4.6. Команда стрелков состоит из пяти человек, трое из них попадают с вероятностью 0,8, а двое с вероятностью 0,6. Наудачу из команды берется стрелок и производит выстрел. Какова вероятность, что стрелок попадет?
Решение. Обозначим через A – событие, что стрелок попал, H 1 – наудачу взятый стрелок один из трех, H 2 – наудачу взятый стрелок один из двух.
Так как P ( H 1 ) 3 / 5 , P ( H 2 ) 2 / 5 , P ( A / H 1 ) 0,8 , P ( A / H 2 ) 0,6 , то по
формуле полной вероятности
3 8 2 6 36 18
P( A) P( H 1 ) P( A / H 1 ) P( H 2 ) P( A / H 2 )
.
5 10 5 10 50 25
18
Ответ:
.
25
Задача 4.7. По теории вероятностей и математической статистике
имеется 30 экзаменационных билетов. Студент Павлов выучил только 20.
Каким ему выгоднее зайти на экзамен, первым или вторым?
Решение. Пусть событие A – студент Павлов заходит первым, тогда
20 2
Р( А)
.
30 3
Пусть событие B – студент Павлов заходит вторым, тогда событие
B может произойти только с одним из попарно несовместных событий A1 ,
A2 , где: событие A1 – первый студент вытащил 1 из 20 билетов, которые
Павлов знает; событие A2 – первый студент вытащил 1 из 10 остальных
билетов, тогда по формуле полной вероятности получим
20 19 10 20 2
P( B) P( A1 ) P( B / A1 ) P( A2 ) P( B / A2 )
.
30 29 30 29 3
То есть все равно, зайдет студент первым или вторым.
2
Ответ: .
3
41
Задача 4.8. Пусть в коробке есть три новых и три уже использованных теннисных мяча. Для первой игры наудачу берут из коробки два мяча
и затем их возвращают в коробку. Какова вероятность для второй игры из
этой коробки наудачу вынуть два новых мяча?
Решение. Введем событие A – «вынуть два новых мяча для второй
игры». Ситуация перед второй игрой описывается следующими взаимоисключающими возможностями: H 3 – в коробке три новых мяча, если в
первый раз играли двумя старыми мячами; H 2 – в коробке два новых мяча, если играли одним старым и одним новым мячами; H 1 – в коробке
один новый мяч, если играли двумя новыми мячами.
События H 1 , H 2 , H 3 – несовместны и составляют полную группу событий. Используя комбинаторные формулы, получим
С32 1
С32 1
33 3
P( H 3 ) 2 , P( H 2 ) 2 , P( H1 ) 2 .
С6 5
С6 5
С6 5
С32 1
1
1
Далее имеем P( A / H 3 ) 2 , P( A / H 2 ) 2 , P ( A / H 1 ) 0 .
С6 5
С6 15
Теперь используя формулу полной вероятности, найдем
1
3 1 1 1 2
P( A) 0 .
5
5 15 5 5 25
2
Ответ:
.
25
Задача 4.9. Определить вероятность того, что путник, вышедший из
пункта A , попадет в пункт B , если на развилке дорог он наугад выбирает
дорогу. Схема дорог указана на рисунке 9.
Рис. 9
Решение. Пусть приход путника в пункты H 1 , H 2 , H 3 , H 4 будет соответствующими гипотезами. Очевидно, они образуют полную группу событий и P ( H 1 ) P ( H 2 ) P ( H 3 ) P ( H 4 ) 0,25 (все направления из пункта
A для путника равновозможные). Согласно схеме дорог получим
P ( B / H 1 ) 0 , P ( B / H 2 ) 1 / 2 , P ( B / H 3 ) 1, P ( B / H 4 ) 1 / 3 .
42
Применяя формулу полной вероятности, получим:
4
1
1 1 1
1 1 11
.
Р( В) Р( Н i ) P( B / H i ) 0 1
4
4 2 4
4 3 24
i 1
11
Ответ:
.
24
4.3. ФОРМУЛА БАЙЕСА
Теорема 4.3. Условная вероятность гипотезы H i , i 1, n при условии
того, что событие A произошло, определяется по формуле вероятности
гипотез или по формуле Байеса
P ( H i ) P( A / H i )
, i 1, n .
(11)
P ( H i / A) n
P ( H i ) P( A / H i )
i 1
Задача 4.10. Два автомата производят одинаковые детали, которые
поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата
вдвое больше производительности второго автомата. Первый автомат
производит в среднем 60 % деталей отличного качества, а второй – 84 %.
Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти
вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.
Решение. Введем обозначения для событий: B – взятая деталь оказалась отличного качества, H 1 – взятая деталь была произведена первым автоматом, H 2 – деталь была произведена вторым автоматом.
Введенные условия удовлетворяют условиям формулы Байеса
2
0,6
P( H1 ) P( B / H1 )
0,4 10
3
P( H1 / B)
.
P( H 1 ) P( B / H 1 ) P( H 2 ) P( B / H 2 ) 2 0,6 1 0,84 0,68 17
3
3
10
Ответ:
.
17
Задача 4.11. В группе из десять студентов, пришедших на экзамен,
три подготовлены отлично, четыре – хорошо, два – удовлетворительно и
один – плохо. Имеется 20 вопросов, причем отлично подготовленный студент может ответить на все, хорошо подготовленный – на 16, удовлетворительно подготовленный на – 10 и плохо подготовленный – на 5. Найти
вероятность того, что вызванный наугад студент ответит на три заданных
случайным образом вопроса. Найти вероятность того, что этот студент
плохо подготовлен и ему просто повезло.
Решение. Обозначим через A событие, заключающееся в том, что
случайно вызванный студент ответит на все доставшиеся ему вопросы.
43
Это событие может произойти при реализации одной из гипотез: H 1 – студент подготовлен отлично, H 2 – хорошо, H 3 – удовлетворительно, H 4 –
плохо. Очевидно, что гипотезы образуют полную группу и их вероятности: P ( H 1 ) 0,3 , P ( H 2 ) 0,4 , P ( H 3 ) 0,2 , P ( H 4 ) 0,1 . Вероятности наступления события A при условии реализации соответствующей гипотезы
можно найти, применяя классическое определение: P ( A / H 1 ) 1,
C163
C103
C53
P ( A / H 2 ) 3 0,491, P ( A / H 3 ) 3 0,105 , P ( A / H 4 ) 3 0,009 .
C20
C 20
C 20
Вероятность события A находим по формуле полной вероятности:
4
P ( A) P ( H i )P ( A / H i ) 0,3 1 0,4 0,491 0,2 0,105 0,1 0,009 0,518 .
i 1
По условию дополнительно стало известно, что событие A произошло, тогда вероятность того, что в этом «виноват» плохо подготовленный студент (гипотеза H 4 ), определяется по формуле (11):
P ( H 4 / A)
P ( H 4 ) P ( A / H 4) 0,1 0,009
0,002 .
P( A)
0,518
Таким образом, эта вероятность весьма мала.
Ответ: 0,518; 0,002.
Задача 4.12. Два охотника одновременно и независимо стреляют
в кабана. Известно, что первый попадает с вероятностью 0,8, а второй –
0,4.
Кабан убит, и в нем обнаружена одна пуля. Как делить кабана?
Решение. Наиболее естественно делить пропорционально вероятности попадания каждого при условии, что пуля одна. Это положение возможно применить, если считать, что частота появления ситуации будет
сближаться с соответствующей условной вероятностью.
Пусть A – в кабане имеется одна пуля. Полную группу событий выберем следующим образом: H00 – не попал ни первый, ни второй, H10 –
попал первый, не попал второй, H01 – не попал первый, попал второй, H11 –
попал первый и попал второй. Нам нужно найти вероятности P ( H 10 / A)
и P(H01 / A) . Очевидно, что P( A / H 00 ) 0 , P( A/ H10 ) 1, P( A/ H01) 1,
P( A/ H11) 0 .
Поскольку охотники стреляют независимо друг от друга, то по формуле
умножения вероятностей P ( H 10 ) 0,8 0,6 0,48 , P ( H 01 ) 0,2 0,4 0,08 .
Применяя формулу (11), получим
0,48
6
0,08
1
P( H10 / A)
, P( H 01 / A)
.
0,48 0,08 7
0,48 0,08 7
44
Таким образом, первому следует отдать шесть долей из семи, а второму – одну.
6 1
Ответ: и .
7 7
Задача 4.13. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудием соответственно равны p1 0,4 , p2 0,3 , p3 0,5 .
Решение. Обозначим через A событие – два орудия попали в цель.
Обозначим гипотезы: B1 – первое орудие попало в цель; B2 – первое
орудие не попало в цель. По условию P ( B1 ) 0,4 , следовательно
P ( B2 ) 1 0,4 0,6 .
Найдем условную вероятность P ( A / B1 ) , то есть вероятность того,
что в цель попало два снаряда, причем один из них послан первым орудием и, следовательно, второй – либо вторым орудием, либо третьим. Эти
два события несовместны, поэтому применима теорема сложения:
P ( A / B ) p2 q3 p3 q2 0,3 0,5 0,5 0,7 0,5 .
Найдем условную вероятность P ( A / B2 ) , то есть вероятность того,
что в цель попало два снаряда, причем первое орудие дало промах, то есть
попали в цель второе и третье орудия: P ( A / B2 ) p2 p3 0,3 0,5 0,15 .
Искомая вероятность найдется по формуле (11):
P( B1 ) P( A / B1 )
0,4 0,5
20
P( B1 / A)
.
P( B1 ) P( A / B1 ) P( B2 ) P( A / B2 ) 0,4 0,5 0,6 0,15 29
20
Ответ:
.
29
4.4. ЗАДАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НА ПРАКТИЧЕСКОМ ЗАНЯТИИ
1. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,1. Приобретено три билета. Какова вероятность выиграть хотя бы по одному из них?
2. Сколько раз необходимо бросить игральную кость, чтобы с вероятностью 0,9 хотя бы один раз выпало не менее четырех очков?
3. Вероятность безотказной работы автомобиля равна 0,9. Автомобиль
перед выходом на линию осматривается двумя механиками. Вероятность того, что первый механик обнаружит неисправность в автомобиле – 0,8, а второй – 0,9. Если хотя бы один механик обнаружит неисправность, то автомобиль отправляется на ремонт. Найти вероятность того, что: а) автомобиль будет выпущен на линию; б) автомобиль не будет выпущен на линию.
4. При исследовании жирности молока коров все стадо было разбито на
три группы. В первой группе оказалось 70 %, во второй – 23 % и в третьей –
45
7 % всех коров. Вероятность того, что молоко, полученное от отдельной
коровы, имеет не менее 4 % жирности, для каждой группы коров соответственно равна 0,6; 0,35 и 0,1. Определить вероятность того, что для взятой
наудачу коровы жирность молока составит не менее 4 %. Найти вероятность того, что, если взятая наудачу корова дает молоко жирностью не
менее 4 %, то эта корова из первой группы.
5. Перед посевом 90 % всех семян было обработано ядохимикатами.
Вероятность поражения вредителями для растений из обработанных семян
равна 0,08, для растений из необработанных семян – 0,4. Взятое наудачу
растение оказалось пораженным. Какова вероятность того, что оно выращено из обработанного семени?
6. Стрелковое отделение получило десять винтовок, из которых восемь
пристрелянных, две нет. Вероятность попадания в цель из пристрелянной
винтовки – 0,6, а из не пристрелянной – 0,4. Какова вероятность, что стрелок
из наудачу взятой винтовки попадет в цель при одном выстреле? Какова вероятность, что, если стрелок поразил цель, он стрелял из пристрелянной
винтовки?
7. Запасная деталь может находиться в одной из трех партий с вероятностями p1 0,2 , p2 0,5 , p3 0,3 . Вероятности того, что деталь проработает положенное время без ремонта, равны соответственно 0,9; 0,8 и 0,7. Определить вероятность того, что: а) взятая наудачу деталь проработает положенное время; б) деталь, проработавшая положенное время, взята из
второй или третьей партии.
8. Имеется пять урн. В первой, второй и третьей находится по четыре
белых и шесть черных шаров, в четвертой и пятой урнах по два белых и
три черных шара. Случайно выбирается урна и из нее извлекается шар.
Какова вероятность того, что была выбрана четвертая или пятая урна, если извлеченный шар оказался белым?
9. В первой урне десять деталей, из них восемь стандартных. Во второй шесть деталей, из которых пять стандартных. Из второй урны переложили в первую одну деталь. Какова вероятность того, что деталь, извлеченная после этого из второй урны, нестандартная?
10. В первом ящике из 20 деталей 4 бракованных, во втором из 30 деталей
5 бракованных. Из первого во второй переложили две детали. Найти вероятность того, что деталь, извлеченная после этого из второго ящика, бракованная.
4.5. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком при
трех выстрелах равна 0,784. Найти вероятность одного промаха при трех
выстрелах.
46
2. Акции могут дать доход владельцу с вероятностью 0,8. Сколько
акций нужно приобрести, чтобы с вероятностью не меньше 0,9 можно было бы ожидать доход хотя бы по одной акции?
3. При проведении некоторого опыта вероятность появления ожидаемого результата равна 0,01. Сколько раз нужно провести опыт, чтобы с
вероятностью 0,5 можно было бы ожидать хотя бы одного появления этого результата?
4. В первой бригаде шесть тракторов, во второй – девять. В каждой
бригаде один трактор требует ремонта. Из каждой бригады наудачу выбирают по одному трактору. Какова вероятность того, что: а) оба трактора
исправны; б) один требует ремонта; в) трактор из второй бригады исправен.
5. В районе 24 человека обучаются на заочном факультете института,
из них 6 – на мехфаке, 12 – на агрофаке и 6 – на экономфаке. Вероятность
успешно сдать все экзамены на предстоящей сессии для студентов мехфака – 0,6, агрофака – 0,76 и экономфака – 0,8. Найти вероятность того, что
наудачу взятый студент, сдавший успешно все экзамены, окажется студентом экономфака.
6. Для посева заготовлены семена четырех сортов пшеницы. Причем,
20 % всех семян первого сорта, 30 % – второго сорта, 10 % – третьего сорта и 40 % – четвертого сорта. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 40 зерен, для первого сорта равна 0,5, для второго – 0,3, для третьего – 0,2, для четвертого – 0,1. Найти вероятность того, что наудачу взятое зерно даст колос, содержащий не менее 40 зерен.
7. Из 25 студентов группы пять студентов знают все 30 вопросов
программы, десять студентов выучили по 25 вопросов, семь студентов по
20 вопросов, трое по 10 вопросов. Случайно вызванный студент ответил
на два заданных вопроса. Какова вероятность, что он из тех трех студентов, которые подготовили десять вопросов.
8. В первой бригаде производится в три раза больше продукции, чем
во второй. Вероятность того, что производимая продукция окажется стандартной для первой бригады – 0,7, для второй – 0,8. Определить вероятность того, что взятая наугад единица продукции будет стандартной. Какова вероятность, что она из второй бригады?
9. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность
попадания в мишень для первого стрелка – 0,8, а для второго – 0,6. В мишени оказалась одна пробоина, Найти вероятность того, что она принадлежит второму стрелку.
10. Имеются две урны. В первой – семь красных шаров и три черных,
во второй – три красных и четыре черных. Из первой урны переложили во
вторую один шар, затем, перемешав шары, из второй урны переложили в
47
первую один шар. Найти вероятность того, что шар, извлеченный после
этого из первой урны, окажется красным.
11. В каждой из трех урн содержится четыре белых и шесть черных
шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую
урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен
в третьб урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из
третьей урны, окажется черным.
48
Раздел 5. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ
5.1. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ
Теорема 5.1. Если вероятность p наступления события A в каждом
испытании постоянна, то вероятность Pm,n Pn (m) того, что событие A
наступит m раз в n испытаниях, равна
Pm ,n Pn ( m) cnm p m q nm ,
(12)
где q 1 p .
Задача 5.1. Вероятность изготовления на автоматическом станке
стандартной детали равно 0,8. Найти вероятности возможного числа появления бракованных деталей среди пяти отобранных.
Решение.
Вероятность
изготовления
бракованной
детали
p 1 0,8 0,2 . Искомые вероятности находим по формуле Бернулли (12):
Р0,5 С50 0,2 0 0,85 0,32768; Р1,5 С51 0,21 0,84 0,4096;
Р2,5 С 25 0,2 2 0,83 0,2048; Р3,5 С53 0,23 0,82 0,0512;
Р4,5 С54 0,2 4 0,81 0,064; Р5,5 С55 0,25 0,80 0,00032 .
На рисунке 10 изображен полигон распределения этих вероятностей:
Рис. 10.
Ответ: 0,32768; 0,4096; 0,2048; 0,0512; 0,064; 0,00032.
Задача 5.2. По данным задачи 5.1 найти наивероятнейшее число
бракованных деталей из пяти отобранных и вероятность этого числа.
Решение. Наивероятнейшее число m0 определяется из соотношения
np q m0 np p ,
(13)
поэтому 5 0,2 0,8 m0 5 0,2 0,2 или 0,2 m0 1,2 .
Единственное целое число, удовлетворяющее полученному неравенству, m0 1, а его вероятность P1,5 0,4096 .
Ответ: 1; 0,4096.
49
Задача 5.3. Сколько раз необходимо подбросить игровую кость, чтобы наивероятнейшее выпадение тройки было равно десяти?
Решение. В данном случае Р 1/ 6 . Согласно неравенству (13)
1 5
1 1
n 10 n или n 5 60 n 1 , откуда 59 n 65 , то есть не6 6
6 6
обходимо подбросить кость от 59 до 65 раз (включительно).
Ответ: от 59 до 65 раз.
Задача 5.4. Некоторый стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6,
он собирается произвести десять выстрелов. Найти вероятность того, что
он попадет в цель: а) три раза, б) хотя бы один раз.
Решение. а) В рассматриваемом случае p 0,6 , q 1 p 0,4 ,
n 10 . В силу соотношения (12) получим
10!
P10 (3) C103 p 3 q103
0,63 0,47 0,255 .
(10 3)! 3!
б) Воспользуемся соотношением P10 (k 1) 1 P10 (0) для подсчета вероятности того, что событие произошло хотя бы один раз. Как видим, это соотношение аналогично тому, что получено для вероятности суммы событий.
P10 (k 1) 1 P10 (0) 1 P0,10 1 C100 p 0 q100 1 0,410 .
Ответ: а) 0,255; б) 1 0,410 .
Задача 5.5. В среднем 20 % пакетов акций на аукционах продаются
по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из девяти
пакетов акций в результате торгов по первоначально заявленной цене:
а) не будет продано пять пакетов; б) будет продано менее двух пакетов; в)
не менее двух пакетов; г) ровно два пакета; д) наивероятнейшее число пакетов.
Решение. а) Вероятность того, что пакет акций не будет продан по
заявленной цене p 1 0,2 0,8 . По формуле Бернулли (12) получим
P5, 9 P9 (5) C95 0,85 0,2 4 0,066 .
б) По условию p 0,2 , q 0,8 . По формуле Бернулли (12) получим
P9 ( m 2) P0, 9 P1, 9 C90 0,20 0,89 C91 0,2 0,88 0,436 .
в) P9 ( m 2) P2, 9 P3, 9 ... P9, 9 .
Указанную вероятность можно найти проще, если перейти к противоположному событию, то есть
P9 (m 2) 1 P9 (m 2) 1 ( P0, 9 P1, 9 ) 1 0,436 0,564 .
г) P9 (2) P2, 9 C92 0,2 2 0,87 0,738 .
д) Наивероятнейшее число проданных акций по первоначально заявленной цене определяется из условия (13), то есть 9 0,2 0,8
50
m0 9 0,2 0,2 или 1 m0 2 . Таким обюразом, наивероятнейших чисел два: m0 1 и m0 2 .
Ответ: а) 0,066; б) 0,436; в) 0,564; г) 0,738; д) 1 и 2.
5.2. ФОРМУЛА ПУАССОНА
Теорема 5.2. Если для схемы Бернулли выполнены соотношения
npq 10 , p 0,01 и np , то
m k
k
Pn (k ) Pk , n e , Pn (k m) e .
(14)
k!
k
!
k 0
Для вычисления Pn (k ) и Pn (k m) имеются таблицы.
Задача 5.7. Завод отправил 5 000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути разбили одно изделие 0,0002. Найти вероятность
того, что в пути будет повреждено: а) три изделия; б) одно изделие; в) не
более трех изделий.
Решение. Для рассматриваемой задачи выполняются неравенства
npq 5 000 0,0002 0,9998 10 и p 0,01, поэтому применяем формулу
Пуассона (14), где np 1:
13 1 1
а) если k 3 , то получим: P5 000 (3) e
0,061;
3!
6e
11 1 1
e ;
б) если k 1, то получим: P5 000 (1)
1!
e
в) если 0 k 3 , то
P5 000 (0 k 3) P5 000 (0) P5 000 (1) P5 000 ( 2) P5 000 (3)
1 1 1 16 8
0,981 .
e e 2e 6e 3e
1
Ответ: а) 0,061; б) ; в) 0,981.
e
Задача 5.8. Завод отправил на базу 10 000 стандартных изделий.
Среднее число изделий, повреждаемых при транспортировке, составляет
0,02 %. Найти вероятность того, что из 10 000 изделий: а) будет повреждено по крайней мере три; б) не будет повреждено 9 997; в) хотя бы 9 997.
Решение: а) Поскольку вероятность того, что изделие будет повреждено при транспортировке, равна p 0,0002 и n 10 000 , npq 10 ,
np 2 , то следует применить формулу Пуассона
P10 000 ( m 3) P3, 10 000 P4, 10 000 ... P10 000, 10 000 .
51
Но, разумеется, проще ее вычислить, перейдя к противоположному
событию:
P10 000 ( m 3) 1 P10 000 (m 3) 1 ( P0, 10 000 P1, 10 000 P2, 10 000 )
1 (0,1353 0,2707 0,2707) 0,3233 .
б) В данном случае удобно воспользоваться равносильностью событий «не будет повреждено 9 997 из 10 000» и «будет повреждено 3 из
1 000», вероятность которого равна 0,1804.
в) Событие «не будет повреждено хотя бы 9 997 из 10 000» равносильно событию «будет повреждено не более 3 из 10 000», для которого
p 0,0002 и
P10 000 ( m 3) P0, 10 000 P1, 10 000 P2, 10 000 P3, 10 000
0,1353 0,2707 0,2707 0,1805 0,8572 .
Ответ: а) 0,3233; б) 0,1804; в) 0,8572.
Задача 5.9. На факультете учится 500 студентов. Найти вероятность
того, что первое сентября является днем рождения: а) трех студентов, б)
не менее трех.
Решение. Число испытаний в данном случае n 500 . Вероятность
того, что день рождения студента факультета первого сентября Р 1 / 365 .
Тогда npq 2 , np 1,37 и можно пользоваться формулой Пуассона.
Имеем:
1,373 1,37
а) P500 (3)
e
0,11 ;
3!
б) P500 ( m 3) 1 P500 (m 2) 1 0,84 0,16 .
Ответ: а) 0,11; б) 0,16.
5.3. ЛОКАЛЬНАЯ И ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛЫ МУАВРА – ЛАПЛАСА
Теорема 5.3. (Локальная теорема Лапласа). Пусть для схемы Бернулли выполнены неравенства npq 10 , 0 p 1 , тогда
x2
Pn ( k )
1
1 2
e ,
npq 2
(15)
k np
.
npq
Для облегчения вычисления по формуле (15), определяется функция
x
1 2
( x)
e . Функция (x) является четной ( x) ( x) . Для поло2
жительных значений x составлены таблицы значений функции (x) .
где x
2
52
Теорема 5.4. (Интегральная теорема Лапласа). Пусть для схемы
Бернулли выполнены неравенства npq 10 , 0 p 1 , тогда
Pn (k1 k k 2 ) ( x2 ) ( x1 ) ,
(16)
t2
k1 np
k 2 np
1 x 2
где x1
, x2
, ( x)
e dt . Функция (x) является
npq
npq
2 0
нечетной ( x) ( x) . Для положительных значений x составлены таблицы значений функции (x) .
Задача 5.10. Стрелок выполнил 400 выстрелов. Найти вероятность
325 попаданий, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8.
Решение. В рассматриваемой задаче n 400 , p 0,8 , k 325 , npq
1
400 0,8 0.2 64 10 , следовательно, по формуле (16) Pn ( x)
( x)
npq
k np 325 400 0,8
где x
0,63 .
npq
400 0,8 0,2
1
1
P400 (325)
(0,63) 0,3271 0,041.
8
64
Ответ: 0,041.
Задача 5.11. В первые классы школы должны быть приняты 200 детей. Найти вероятность того, что среди них девочек и мальчиков будет
поровну, если вероятность рождения мальчиков равна 0,515.
Решение. Имеем p 0,515 , q 1 p 0,485 и npq 10 . Поэтому для
определения вероятности того, что число мальчиков будет равно k 100 ,
применяем локальную формулу Муавра – Лапласа: np 103 , npq 49,995 ,
k np
npq 7,068 , k np 100 103 3 , x
0,4245 . По таблице наnpq
ходим значение функции (x) , получим
( x) ( 0,4245)
( x ) 0,364
(0,4245) 0,364 , P200 (100)
0,05 .
npq 7,068
Ответ: 0,05.
Задача 5.12. Стрелок выполнил 400 выстрелов, вероятность одного попадания равна 0,8. Найти вероятность того, что он попадает от 310 до 325 раз.
Решение. Воспользуемся интегральной формулой Муавра – Лапласа,
так как npq 10 имеем P400 (310 k 325) ( x2 ) ( x1 ) , где
x2
k 2 np 325 320 5
k np 310 320
10
0,63 , x1 1
1,25 ,
8
8
npq
64
npq
64
53
P400 (310 k 325) (0,63) ( 1,25) (0,63) (1,25)
0,2357 0,3944 0,6301.
Ответ: 0,6301.
Задача 5.13. Вероятность того, что зашедший в ресторан посетитель
сделает заказ, равна 0,8. Определить вероятность того, что из 100 зашедших посетителей не менее 75 сделают заказ.
Решение. Поскольку n 100 , p 0,8 , q 0,2 , npq 10 , то применим
интегральную формулу Муавра – Лапласа
100 100 0,8
P100 (k 75) P100 (75 k 100) ( x 2 ) ( x1 )
100 0,8 0,2
75 100 0,8
(5) (1,2) (5) (1,2) 0,5 0,385 0,885 .
100
0
,
8
0
,
2
Ответ: 0,885.
Задача 5.14. Известно, что 30 % призывников имеют 27 размер обуви. Сколько пар обуви надо иметь на складе воинской части, чтобы с вероятностью p0 0,9 были обеспечены все такие призывники, если в часть
прибыло 200 новобранцев?
Решение. Очевидно, имеет место схема Бернулли: подбор пары обуви
каждому призывнику – одно из 200 испытаний, причем вероятность того, что
ему потребуется обувь 27 размера, p 0,3 , q 0,7 . Пусть на складе имеется
m пар обуви, где m пока не известно. Требуется подобрать такое m , чтобы
P200 (0 k m) p0 . Поскольку npq 10 , то применим интегральную формулу
Муавра – Лапласа:
m np
0 np
m 200 0,3
P200 (0 k m) ( x2 ) ( x1 )
200 0,3 0,7
npq
npq
0 200 0,3
m 60
60
m 60
(9,26)
6
,
48
6
,
48
6
,
48
200
0
,
3
0
,
7
m 60
0,5 0,9 .
6
,
48
m 60
Отсюда: надо решить неравенство
0,4 . Из таблицы на 6,48
ходим, что если x 1,28 , то ( x ) 0,4 , следовательно, ( m 60) / 6,48 1,28
и m 68,284 . То есть на складе достаточно иметь 69 пар обуви такого
размера, чтобы с вероятностью 0,9 обеспечить спрос.
Ответ: 69.
Задача 5.15. В страховой компании 10 тыс. клиентов. Страховой
взнос каждого клиента составляет 500 руб. При наступлении страхового
54
случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов
можно считать равной р=0,005, страховая компания обязана выплатить
клиенту страховую сумму размером 50 тыс. руб. На какую прибыль может
рассчитывать страховая компания с надежностью 0,95?
Решение. Размер прибыли компании составляет разность между
суммарным взносом всех клиентов и суммарной страховой суммой, выплаченной n0 клиентам при наступлении страхового случая, то есть
500 10 50n0 50(100 n0 ) тыс. руб.
Для определения n0 применим интегральную формулу Муавра – Лапласа (требование npq 10 000 0,005 0,995 49,75 10 выполнено).
По условию задачи P10 000 (0 k n0 ) ( x2 ) ( x1 ) 0,95 , где k –
число клиентов, которым будет выплачена страховая сумма;
n np
0 np
np
10 000 0,005
x1
7,09 , x2 0
,
q
0,995
npq
npq
откуда n0 np x2 npq 10 000 0,005 x2 49,75 50 x2 49,75 .
Из соотношения ( x2 ) 0,95 ( x1 ) находим (x2 ) 0,90 при x2 1,645.
Теперь n0 50 1,645 49,75 61,6 и 50(100 61,6) 1920 тысяч
рублей. Таким образом, с надежностью 0,95 ожидаемая прибыль составляет 1,92 млн. руб.
Ответ: 1,92 млн.руб.
Задача 5.16. В каждом из 10 000 независимых испытаний вероятность успеха равна p 0,75 . Найти вероятность того, что относительная
частота появления события отклонится от постоянной вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,0001.
Решение. Для рассматриваемой задачи n 10 000 , p 0,75 ,
m
q 1 0,75 0,25 , 0,001, следовательно, для формулы Pn ( p )
n
n
получим
2
pq
n
10 000
m
2 0,001
P10 000 0,75 0,001 2
n
pq
0
,
75
0
,
25
2 (0,23) 0,182 .
Вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности в независимых испытаниях не превосходит 0,001, равна 0,182.
Ответ: 0,182.
Задача 5.17. Вероятность появления события в каждом независимом
испытании равна 0,2. Найти, какое отклонение относительной частоты по55
явления события от его вероятности может быть с вероятностью 0,9128
при 5 000 повторений независимых испытаний по схеме Бернулли.
n
m
0,9128 отсюда
Решение. P5 000 ( p ) 0,9128 или 2
pq
n
5 000
1,71
5 000
1,71
0,00967 .
0,4564
0,2 0,8
0
,
16
5
000
0
,
16
Ответ: 0,00967.
Задача 5.18. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью
0,6 можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появления
герба от вероятности p 0,5 окажется по абсолютной величине не больше 0,01.
n
n
0,6 , отсюда:
0,3 ,
Решение. По условию 2
pq
pq
2
2
n
n
0,84
0,84
0,84
0,84
n
0,5(1 0,5) 842 0,25
pq
pq
pq
0,01
2
2
(84 0,5) 42 1 764 .
Ответ: 1 764.
5.4. ЗАДАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НА ПРАКТИЧЕСКОМ ЗАНЯТИИ
1. Найти вероятность того, что при четырех подбрасываниях игральной кости, пять очков появится: а) два раза; б) хотя бы один раз.
2. Вероятность выбора отличника на факультете равна 1/7. Из 28 студентов группы наудачу вызываются три студента. Определить вероятности всех возможных значений числа отличников, которые могут оказаться
среди вызванных трех студентов.
3. Всхожесть клубней картофеля равна 80 %. Сколько нужно посадить
клубней, чтобы наивероятнейшее число взошедших из них было равно 100?
4. В автопарке 70 машин. Вероятность поломки машины 0,2. Найти
наивероятнейшее число исправных, автомобилей и вероятность этого числа.
5. Два равносильных противника играют в шахматы. Что для каждого из них вероятнее выиграть: а) одну партию из двух или две из четырех;
б) не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти. Ничьи во внимание не принимаются.
6. Вероятность того, что при сортировке изделий одно из них будет
разбито, равна 0,005. Найти вероятность того, что из 200 изделий окажутся разбитыми: а) три изделия; б) не более двух; в) не менее двух изделий.
7. В пчелиной семье 5 000 пчел. Вероятность заболевания «течение
дня равна 0,001 для каждой пчелы. Найти вероятность того, что в течение
дня заболеет более чем одна пчела.
56
8. Установлено, что виноградник поражен вредителями в среднем на
10 %. Определить вероятность того, что из десяти проверенных кустов
винограда один будет поражен. Вычислить по формулам Бернулли, Лапласа, Пуассона. Сравнить результаты, сделать выводы.
9. На факультете 900 студентов. Вероятность дня рождения каждого
студента в данный день равна 1/365. Найти вероятность того, что найдутся
три студента с одним и тем же днем рождения.
10. Вероятность того, что автомат при опускании одной монеты правильно сработает, равна 0,99. Найти наиболее вероятное число случаев
неправильной работы автомата и вероятность этого числа случаев, если
будет опущено 200 монет.
11. Известно, что 80 % специалистов в районе имеет высшее образование. Найти вероятность того, что из 100 наудачу отобранных человек
высшее образование имеет: а) не менее 70; б) от 65 до 90 человек.
12. Найти такое число K , чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что среди 900 новорожденных более K мальчиков. Вероятность
рождения мальчика 0,515.
13. Всхожесть зерна 90 %. Какова вероятность того, что для случайно отобранных 100 зерен относительная частота всхожести будет отличаться от вероятности взойти p 0,9 по абсолютной величине не более чем на 0,1?
14. Известно, что 10 % делянок под овощами плохо обработаны.
Сколько нужно проверить делянок, чтобы с вероятностью 0,9973 можно
было утверждать, что относительная частота засоренных делянок будет
отличаться от вероятности засоренности по модулю не более чем на 0,01?
15. Для определения степени поражения винограда вредителями было
обследовано 400 кустов. Вероятность поражения куста виноградника равна 0,03. Определить границы, в которых с вероятностью 0,9545 будет заключено число кустов, не пораженных вредителями.
5.5. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Всхожесть семян некоторого растения составляет 80 %. Найти вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут: а) пять семян; б) не
менее четырех; в) не более одного.
2. В семье пять детей. Считая вероятности рождений мальчика и девочки одинаковыми, найти вероятность того, что среди этих детей: а) два
мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков.
3. Сколько раз нужно подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадения 6 очков было равно 50?
4. Два стрелка одновременно делают выстрелы по мишени. Сколько
нужно произвести залпов, если наивероятнейшее число залпов, при кото57
рых оба стрелка попадут в мишень, равно восьми, причем вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,5,
а для второго – 0,8?
5. Бланк программированного опроса состоит из пяти вопросов. На
каждый даны три ответа, среди которых один правильный. Какова вероятность, что методом угадывания студенту удастся выбрать, по крайней мере, четыре правильных ответа?
6. Событие A появится в случае, если событие B наступит не менее
четырех раз. Найти вероятность наступления события A , если будет произведено пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятность
наступления события B равна 0,8.
7. Станок-автомат делает детали. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно четыре бракованных.
8. Вероятность невыхода на работу из-за болезни равна 0,01 для каждого работника предприятия. Определить вероятность того, что в ближайший день не выйдет на работу хотя бы один из работников. Численность работников составляет 500 человек.
9. Вероятность получения отличной оценки на экзамене равна 0,2.
Найти наивероятнейшее число отличных оценок и вероятность этого числа, если сдают экзамен 75 студентов.
10. Всхожесть семян составляет 80 %, какова вероятность того, что из
1 000 посеянных семян взойдут от 650 до 760?
11. Вероятность того, что человек в период страхования будет травмирован, равна 0,006. Компанией застраховано 1 000 человек. Годовой
взнос с человека составляет 150 руб. В случае получения травмы, застраховавшийся получает 12 000 руб. Какова вероятность того, что выплата по
страховкам превысит сумму страховых взносов?
12. Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное число , чтобы с вероятностью 0,9876 абсолютная величина отклонения относительной частоты
появления события от вероятности 0,8, не превысила .
13. Отдел контроля проверяет на стандартность 900 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. С вероятностью 0,9544 найти
границы, в которых будет заключено число стандартных деталей.
14. В автопарке имеется 400 автомобилей. Вероятность безотказной
работы каждого из них равна 0,9. С вероятностью 0,95 определить границы, в которых будет находиться доля безотказно работавших машин в определенный момент времени.
15. Проверяется всхожесть кукурузы. Сколько семян необходимо посеять с вероятностью всхожести 0,99, чтобы частота всхожести отличалась от 0,95 меньше, чем на 0,01?
58
Раздел 6. ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
ВАРИАНТ 1
1. В коробке семь одинаковых изделий из них четыре окрашенных.
Наудачу взяты три изделия. Найдите вероятность того, что среди взятых
изделий: а) только одно окрашено; б) только два изделия окрашены; в) хотя бы одно окрашено.
2. Три стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка – 0,6, для второго – 0,9, для третьего – 0,8. Найдите вероятность того, что при одном
залпе будет: а) ровно два попадания; б) хотя бы одно попадание.
3. В пирамиде 18 винтовок, из них 6 имеют оптические прицелы. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с
прицелом – 0, 9, для винтовки без прицела – 0,7. Стрелок поразил мишень
из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: выстрел был сделан из винтовки с прицелом или без него?
4. В мастерской 15 моторов. При существующем режиме работы вероятность того, что в течение рабочего дня мотор работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найдите вероятность того, что в течение рабочего дня
с полной нагрузкой будут работать: а) 10 моторов; б) не менее 14 моторов.
Найдите наиболее вероятное число работающих моторов.
5. В партии 800 изделий. Вероятность того, что отдельное изделие
окажется высшего сорта, равна 0,7. Найдите вероятность того, что количество изделий высшего сорта будет: а) от 600 до 700; б) ровно 400.
6. Учебник издан тиражом 10 000 экземпляров. Вероятность того,
что учебник сброшюрован не правильно, равна 0,0001. Найдите вероятность того, что в тираже: а) не более четырех бракованных книг; б) ровно
семь бракованных книг; в) хотя бы одна бракованная книга.
ВАРИАНТ 2
1. В партии 31 деталь без дефектов и 6 с дефектами. Наудачу взяты
три детали. Найдите вероятность того, что среди взятых деталей: а) все
три без дефекта; б) по крайней мере одна без дефекта.
2. Для сигнализации об аварии установлены три сигнализатора работающих независимо. Вероятность того, что при аварии сигнализаторы
сработают, равны: 0,95 – для первого, 0,9 – для второго, 0,8 – для третьего.
Найдите вероятность того, что при аварии: а) сработают два сигнализатора; б) хотя бы один сигнализатор.
3. Два охотника одновременно стреляют в цель. Вероятность попадания у первого охотника – 0,2, у второго – 0,6. В результате залпа обна59
ружилось одно попадание в цель. Найдите вероятность того, что промахнулся первый охотник.
4. Среди продукции предприятия, изделия высшего сорта составляют
30 %. Некто приобрел шесть изделий этого предприятия. Чему равна вероятность того, что: а) четыре из них высшего сорта; б) не менее четырех
высшего сорта. Каково наиболее вероятное число изделий высшего сорта
в партии из десяти изделий?
5. Посажено 400 деревьев. Вероятность того, что отдельное дерево
приживется, равна 0,8. Найдите вероятность того, что приживется: а) более 250 деревьев; б) ровно 250 деревьев.
6. Прядильщица обслуживает 1 000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин равна 0,003. Найдите вероятность
того, что за 1 мин произойдет: а) ровно два обрыва нити; б) не менее двух
обрывов; в) хотя бы один обрыв.
60
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Основная
1. Баврин, И.И. Теория вероятностей и математическая статистика
[Текст]. – М. : Высш. шк., 2000. – 160 с.
2. Виленкин, Н.Я. Задачник-практикум по теории вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики [Текст] / Н.Я. Виленкин, В.Г. Потапов. – М. : Просвещение, 1979. – 114 с.
3. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике [Текст]. – М. : Высш. шк., 1979. – 400 с.
4. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика
[Текст]. – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 573 с.
5. Математика: практикум [Текст] / сост. Е.Ю. Лискина. – Рязань :
РГУ, 2009. – Ч. 1. – 204 с.
Дополнительная
16. Большакова, Л.В. Теория вероятностей для экономистов [Текст]. –
М. : Финансы и статистика, 2009. – 208 с.
17. Бочаров, П.П. Теория вероятностей. Математическая статистика
[Текст] / П.П. Бочаров, А.В. Печенкин. – М. : Физматлит, 2005. – 296 с.
18. Виленкин, Н.Я. Комбинаторика [Текст] / Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, П.А. Виленкин. – М. : ФИМА, МЦНМО, 2006. – 400 с.
19. Ватутин, В.А. Теория вероятностей и математическая статистика
в задачах [Текст] / В.А. Ватутин [и др.]. – М. : Дрофа, 2003. – 328 с.
20. Вентцель, Е.С. Прикладные задачи теории вероятностей [Текст] /
Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. – М. : Радио и Связь, 1983. – 416 с.
21. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей [Текст]. – М. : Наука, 1969. –
576 с.
22. Гнеденко, Б.В. Курс теории вероятностей [Текст]. – М. : Едиториал УРСС, 2005. – 448 с.
23. Гнеденко, Б.В. Элементарное введение в теорию вероятностей
[Текст] / Б.В. Гнеденко, А.Я. Хинчин. – М. : Наука, 1970. –168 с.
24. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика
[Текст]. – М. : Высш. шк., 2003. – 479 с.
25. Кибзун, А.И. Теория вероятностей и математическая статистика.
Базовый курс с примерами и задачами [Текст] / А.И. Кибзун [и др.]. – М. :
Физматлит, 2002. – 224 с.
26. Колемаев, В.А. Теория вероятностей и математическая статистика
[Текст] / В.А. Колемаев, В.Н. Калинина. – М. : ИНФРА-М, 1997. – 308 с.
61
27. Колмогоров, А.Н. Введение в теорию вероятностей [Текст] /
А.Н. Колмогоров, И.Г. Журбенко, А.В. Прохоров. – М. : Физматлит, 1995. –
176 с.
28. Кофман, А. Введение в прикладную комбинаторику [Текст]. – М. :
Наука, 1975. – 480 с.
Электронные ресурсы
29. Техническая библиотека. – URL : http://www.techlibrary.ru
30. Теория вероятностей: для студентов задачи с решениями. – URL :
http://www.exponenta.ru
31. Теория вероятностей и математическая статистика. – URL :
http://www.ipmnet.ru
32. Математический сайт – теория вероятностей, математическая статистика и их приложения. – URL : http://www.teorver.ru
33. Теория вероятностей. – URL : http://www.nuru.ru
34. Электронное учебное пособие. – URL : http://www.rsu.edu.ru/~anaziev
62
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ........................................................................................ 3
Раздел 1. КОМБИНАТОРИКА ................................................................ 5
1.1. Правило произведения ...................................................................... 5
1.2. Правило сложения............................................................................. 5
1.3. Перестановки без повторений .......................................................... 6
1.4. Размещения без повторений ............................................................. 7
1.5. Сочетания без повторений................................................................ 8
1.6. Перестановки с повторениями.......................................................... 9
1.7. Размещения с повторениями ............................................................ 9
1.8. Сочетания с повторениями ............................................................... 10
1.9. Задания для решения на практическом занятии ....................... 11
1.10. Задания для самостоятельной работы ....................................... 12
Раздел 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ........................................ 15
2.1. Классическое определение вероятности.......................................... 15
2.2. Геометрическое определение вероятности...................................... 20
2.3. Задания для решения на практическом занятии ....................... 24
2.4. Задания для самостоятельной работы ......................................... 25
Раздел 3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ .... 27
3.1. Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность.
Теоремы умножения вероятностей ......................................................... 27
3.2. Задания для решения на практическом занятии ....................... 36
3.3. Задания для самостоятельной работы ......................................... 37
Раздел 4. ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ............................ 39
4.1. Формула вероятности появления хотя бы одного события............ 39
4.2. Формула полной вероятности........................................................... 40
4.3. Формула Байеса................................................................................. 43
4.4. Задания для решения на практическом занятии ....................... 45
4.5. Задания для самостоятельной работы ......................................... 46
Раздел 5. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ............... 49
5.1. Формула Бернулли ............................................................................ 49
5.2. Формула Пуассона ............................................................................ 51
5.3. Локальная и интегральная формулы Муавра – Лапласа................. 52
5.4. Задания для решения на практическом занятии ....................... 56
5.5. Задания для самостоятельной работы ......................................... 57
Раздел 6. ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ......................... 59
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ................................. 61
63
Учебное издание
Ковалёв Виктор Анатольевич
Мамонов Сергей Станиславович
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Задачник-практикум
Редактор Г.И. Ершова
Технический редактор Г.И. Ершова
Подписано в печать 22.06.12. Поз. № 022. Бумага офсетная. Формат 60х841/16.
Гарнитура Times New Roman. Печать трафаретная.
Усл. печ. л. 3,72. Уч.-изд. л. 3,2. Тираж 200 экз. Заказ №
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина»
390000, г. Рязань, ул. Свободы, 46
Редакционно-издательский центр РГУ имени С.А. Есенина
390023, г. Рязань, ул. Урицкого, 22
64
