«Решение
планиметрических задач
из банка заданий ОГЭ
№ 23-24»
Выполнила: учитель
математики
МБОУ СОШ №4
Гудзовская И.В.
Как решать задачи по
геометрии:
• 1. Сделать рисунок по условию
задачи
• 2. Отметить на рисунке все, что
дано и что нужно найти
• 3. Записать все формулы и
соотношения, которые приходят на
ум
• 4. Составить уравнения и получить
ответ
Типы задач
• 1. Задачи базового уровня – задачи
требующие базовых знаний основных теорем.
• 2. Задачи повышенного уровня сложности –
двух-трех ходовая задача, для решения
которой нужно достаточно свободно
ориентироваться в материале школьного
курса планиметрии.
• 3. Задачи на доказательства – это задачи в
которых требуется подтвердить или
опровергнуть утверждение из условия задачи.
Связь между задачами
первой и второй части
Задача повышенного уровня
сложности №23
• Это планиметрическая задача на вычисление,
для решения которой нужно достаточно
свободно ориентироваться в материале
школьного курса планиметрии, в его
теоремах, связанных с треугольниками,
многоугольниками (преимущественно
параллелограммами и трапециями) и
окружностями
Критерии оценивания
23 задачи
Типичные ошибки
1) Неправильно выполнен рисунок
2) Использование данных, которых
нет в условии
3) Нет ссылок на используемые
теоремы и свойства.
Задача №23
В
1 способ:
О
А
С
2 способ:
В
BC
2R
sin A
BC
20
1
2
BC 10
А
С
• Как мы видим в данной задаче были
использованы теоремы о сумме углов
в треугольнике, свойства
равнобедренного треугольника,
вписанные и центральные углы. Т.е
несколько шагов пришлось выполнить
и связать между собой в одной задаче.
А в задачах первой части,
используются такие же теоремы,
только в каждой задаче по одной.
Например задача № 15
этого же варианта
Или задача № 16 того
же варианта
• Центральный угол AOB опирается
на хорду AB длиной 6. При этом
угол OAB равен 60°. Найдите
радиус окружности.
• Здесь, как и в 23 задаче
применяется свойства
равнобедренного треугольника и
знание окружности и ее элементов.
ЗАДАЧА 23
Биссектрисы углов A и B при боковой
стороне AB трапеции ABCD пересекаются в
точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 10.
Решение 1:
1. Углы BAD и ABC — внутренние односторонние
при прямых AD || BC и секущей AB,
следовательно, углы BAD+ABC =180°. AF и BF —
биссектрисы углов BAD и ABC.
2. Сумма углов BAF и ABF будет равна
половине суммы углов BAD+ABC =180°, то есть
180:2=90°.
Треугольник ∆AFB — прямоугольный, тогда по
т. Пифагора находим AB:
AB2=BF2+AF2, AB2=102+242 AB2=100+576
AB2=676 AB=26
Ответ: 26.
Решение 2:
• 1) АЕ- биссектриса, то угол ВАЕ =
углу ЕАD. Так как ABCD – трапеция,
то АD параллельна ВС, значит угол
ВЕА= углу ЕАD ( накрест лежащие),
следовательно угол ВЕС так же
равен углу ВАЕ, то треугольник
АВЕ- равнобедренный.
• 2) Рассмотрим АВЕравнобедренный (см.1 ) , ВFбиссектриса (по условию) и высота
(по свойству равнобедренного
треугольника), значит угол
AFB=90.
3) Треугольник AFB —
прямоугольный, тогда по т.
Пифагора находим AB:
• AB2=BF2+AF2, AB2=102+242
AB2=100+576 AB2=676
AB=26
В данной задаче были использованы
свойства равнобедренного
треугольника, признаки
параллельности прямых и теорема
Пифагора. Т.е снова нужно связать
между собой знание базовых теорем.
В первой части они так же
применяются.
Задача № 16
• Найдите величину острого угла
параллелограмма , если
биссектриса угла образует со
стороной угол, равный 31°. Ответ
дайте в градусах.
• Здесь нужно применить , как и в 23
задаче знание накрест лежащих
углов, т.е признаков
параллельности прямых и свойство
биссектрисы угла.
Вывод: Если можешь
решать задачи базового
уровня 1 части, то 23
задача не доставит
больших затруднений.
Задача №24
• Представляет собой
планиметрическую задачу на
доказательство, связанную со
свойствами треугольников,
четырехугольников, окружностей.
Типичные ошибки:
1) Неправильно выполнен рисунок
2) Использование данных, которых
нет в условии
3) Нет ссылок на используемые
теоремы и свойства.
Для начала перечислим, что
нужно помнить, при решении 24
задачи:
• 1) Треугольники и их элементы:
признаки равенства треугольников; признаки
подобия треугольников; свойства сторон и углов
треугольника; площадь; свойства медианы;
биссектрисы и высоты треугольника; средняя
линия и серединный перпендикуляр
треугольника; равнобедренный, равносторонний и
прямоугольный треугольники; окружность,
описанная около треугольника и вписанная в
треугольник
• 2) Окружности и их элементы:
понятие окружности, круга и их
элементов; взаимное расположение
прямой и окружности; свойства хорд
окружности; касательные и секущие к
окружности; свойства углов в
окружности; свойства вписанных
углов; взаимное расположение двух
окружностей; общие касательные
двух окружностей.
• 3) Четырехугольники и их
элементы:
виды четырехугольников и их
свойства; вписанные и описанные
четырехугольники; правильные
многоугольники.
Треугольники и их элементы.
Окружность и ее элементы. Задача
№24.
В окружности с центром О
проведены две хорды АВ и CD так,
что центральные углы АОВ и СОD
равны. На эти хорды опущены
перпендикуляры ОК и OL. Докажите,
что ОК и OL равны.
Начинаем решение с
рисунка:
Доказательство:
Треугольники АОВ и СОD равны по
двум сторонам и углу между ними
(AO = BO = CO = DO как радиусы
окружности, ∠AOB = ∠COD по
условию). Следовательно,
высоты OK и OL равны как
соответственные элементы равных
треугольников.
Четырехугольники и их
элементы. Окружность и ее
элементы. Задача №24
В выпуклом четырёхугольнике ABCD
углы ABD и ACD равны. Докажите,
что углы DAC и DBC также равны.
Доказательство:
1) ∠АBD и ∠ACD опираются на отрезок
AD и равны друг другу.
Значит мы можем провести окружность
через точки AD и вершины этих углов.
Эти углы окажутся вписанными в
окружность, опирающимися на одну
дугу. Получится, что мы описали
окружность вокруг четырехугольника.
2) Заметим, что углы DAC и DBC
тоже являются вписанными и
опирающимися на одну и ту же
дугу, т.е., используя теорему о
вписанном угле, получаем, что они
равны друг другу . ч.т.д.
Окружность и ее элементы.
Треугольники и их элементы.
Четырехугольники и их элементы
Задача №24
Известно, что около
четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения
сторон AD и BC четырёхугольника
пересекаются в точке K. Докажите,
что треугольники KAB и KCD
подобны.
Начинаем как всегда с
рисунка:
Доказательство:
Поскольку четырёхугольник ABCD
вписанный, сумма углов ABC и ADC равна
180°, значит ∠ABC= 180° − ∠ADC и
∠KDC =180° − ∠ADC (так как смежные).
Получаем, что в треугольниках KAB и KCD
углы ABK и CDK равны, угол K общий,
следовательно, эти
треугольники подобны.
Закончить свое выступление
хотелось бы словами
американского математика
Дьердь Пойа:
Если хотите научиться плавать,
то смело входите в воду,
а если хотите научиться решать
задачи,
то решайте их.
Д. Пойа
Спасибо за
внимание!!!
