Лекция
МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
Понятие множества
Под множеством понимается всякая совокупность объектов (предметов, понятий),
рассматриваемая как единое целое; при этом объекты этой совокупности называют
элементами множества.
Примеры.
1 . Множество студентов в данной аудитории.
2 . Множество окружностей, имеющих центр в данной точке.
3 . Множество всех букв русского алфавита.
Множества обозначаются большими буквами A, B, X , E ,... , элементы множества
- малыми буквами a, b, x, e,....
Если объект a является элементом множества A (п р и н а д л е ж и т A ) , то
это обозначается a A . Если a не является элементом множества A (н е
п р и н а д л е ж и т A ) , то пишут a A .
Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми
множествами.
Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым
множеством и обозначается символом .
Примеры
1. Множество точек пересечения параллельных прямых – пустое множество.
x y 1,
- пустое множество.
x y 2
2. Множество решений системы уравнений
Способы задания множества
Множество считается заданным, если известен способ, позволяющий для данного
предмета решить, принадлежит ли он этому множеству.
Множества могут быть заданы несколькими способами.
Задание множества перечислением его элементов.
Примеры
Множество из четырех букв а, б , в, г записывается а, б , в, г.
Перечислением можно задать только множество, содержащее конечное число
элементов. Множества N натуральных чисел, Z целых чисел, множество Q
рациональных чисел, R действительных чисел перечислением задать нельзя, так как
они бесконечные множества.
Задание множества с помощью описания
Примеры
1. Множество точек плоскости, равноудаленных от двух точек.
2
2. Множество решений уравнения x 1 0 .
Задание множества с помощью характеристического свойства
Замечание. Характеристических свойств, которыми обладают элементы
множества, может быть несколько, тогда при перечислении они отделяются запятой
8
или соединяются логическим союзом «и».
Примеры
Число 2,5 принадлежит множеству С с с R, 3 c 2,6 .
Отношения между множествами
Включение множеств
Множество B называется подмножеством множества A (или частью множества
A ), если каждый элемент множества B является также элементом множества A .
Говорят также, что множество B включается во множество A и обозначается
как B A .
Отношения между множествами наглядно изображаются с помощью множеств
точек, ограниченных замкнутыми кривыми, - так называемых диаграмм Эйлера-Венна.
Например, на рисунке 2 приведена диаграмма для отношения включения, когда
B A.
A
B
Примеры
1. Множество параллелограммов является подмножеством множества
четырехугольников.
2. Открытый отрезок a, b является частью замкнутого отрезка a, b , то есть
a, b a, b .
Из определения отношения включения следуют его свойства.
Любое множество является подмножеством самого себя (рефлексивность): A A .
Для любых множеств A , B , C справедливо свойство транзитивности:
A B и B C , то A C .
Для всякого множества
подмножеством: A .
если
A пустое множество является его
Равенство множеств
* Множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же
элементов, то есть если любой элемент одного из множеств принадлежит другому
множеству.
Примеры
A 1, 3, B 3, 1. Множества A и B состоят из одних и тех же элементов,
поэтому они равные: A B .
Операции над множествами
Пересечение множеств
Пересечением множеств A и B называется множество, обозначаемое A B и
состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству
A , и множеству B :
А
Примеры
9
A B
В
Даны числовые множества A 0, 1, 2, 3 , B 2, 3, 4. Найдем их пересечение:
A B x | x A и x B 2, 3.
Свойства операции пересечения множеств
1. A 3. A B B A пересечение множества с пустым операция
пересечения
множеств
множеством есть пустое множество
коммутативна
4. ( A B) C A ( B C ) A B C 2. A A A пересечение множества с самим собой Операция
есть само множество
ассоциативна
пересечения
множеств
Объединение множеств
Объединением множеств A и B называется множество A B , состоящее только
из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B :
A B x x A или x B .
А
A B
В
Объединение множеств A B содержит все элементы множества A и все
элементы множества B .
Примеры
Пусть A 0,1,2,3, B 2,3,4. При нахождении объединения множеств будем
иметь в виду, что каждое объединение двух множеств содержит все элементы первого
и второго множества, записанные по одному разу и в произвольном порядке:
A B x | x A или x B 0, 1, 2, 3, 4.
Свойства операция объединения множеств
1. A A ,
2. A A A ,
3.
A B B A - коммутативность
(переместительный закон)
4. ( A B) C A ( B C ) A B C ассоциативность (распределительный закон)
5. ( A B) C ( A С ) ( B C ) дистрибутивность пересечения,
6. ( A B) C ( A С ) ( B C ) дистрибутивность объединения
Вычитание множеств
Разностью между множествами A и B называется множество A B , состоящее
из тех элементов множества A , которые не принадлежат множеству B , то есть
A B x | x A и x B.
A
B
A B
10
Примеры
Найдем разности множеств A 0, 1, 2, 3 , B 2, 3, 4:
A B x | x A, x B 0, 1; B A 4. Как видно, A B B A .
Свойства операции вычитания множеств
1. A A .
2. A .
3. A B тогда и только тогда, когда A B .
Дополнение множества
Часто множества A, B, C , … являются подмножествами некоторого более
широкого множества U , принимаемого за универсальное.
Для совокупности множеств A, B, C , ... универсальным множеством называют
каждое множество U такое, что A U , B U , С U , ... .
Примеры
Если A - множество параллелограммов, B - множество трапеций, C - множество
ромбов, D - множество прямоугольников, E - множество квадратов, то
универсальным множеством U служит множество всех четырехугольников.
Множество элементов универсального множества U , не принадлежащих
множеству A , называется дополнением множества A до множества U или
просто дополнением и обозначается A . Таким образом, A U A .
U
A
A
Свойства операции дополнения
Для любых множеств A и B , принадлежащих универсальному множеству U ,
справедливы следующие свойства.
6. Дополнение объединения множеств равно
1. U ;
пересечению дополнений этих множеств
2. U ;
A B A B ;
3. A A ;
7. Дополнение пересечения множеств равно
объединению дополнений этих множеств
4. A A U ;
A B A B.
5. A A ;
11
