Тема 3. Векторы и линейные операции над ними. Базис. Скалярное
произведения векторов./
План лекции. Линейные операции над векторами. Базис. Разложение вектора по
базису. Скалярное произведения векторов и его свойства. Длина вектора и угол
между двумя векторами в координатной форме. Условия ортогональности,
коллинеарности двух векторов.
ГЛАВА 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ
§1. Векторы и линейные операции над ними
Определение. Вектором с началом в точке A и с концом в точке B
называется отрезок с выбранным направлением, или направленный отрезок -
AB .
Вектор, у которого начало совпадает с его концом, называется нулевым
вектором - 0 . Длина отрезка, изображающего вектор a называется модулем
этого вектора - | a |. Векторы a1 , a2 ,, an параллельные одной прямой называются
коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любым векторам. Два
вектора a и b считаются равными, если они равны по модулю, коллинеарны и
одинаково направлены.
Определение. Произведением вектора a на число называется такой
вектор a , что выполняются три условия.
1) | a |=||| a |, 2) a || a ,
Рис. 1.
Рис. 2.
3)
Вектор
a
сонаправлен вектору a , если
0 и направлен в противоположную сторону, если 0.
Определение (правило параллелограмма). Суммой векторов a и b
исходящих из одной точки называется вектор, совпадающий с диагональю
параллелограмма образованного векторами a и b исходящий из той же точки
(см. рис. 1).
Суммой векторов a1 , a 2 ,..., ak у которых начало вектора a i совпадает с
концом a i 1 i 2 k , является вектор соединяющий начало вектора a1 с
концом вектора a k (см. рис. 2).
Эти линейные операции
свойствами.
1.
1 a = a .
2.
0 a = 0 .
3.
( a )=() a .
4.
(+) a = a + a .
над
векторами
обладают
следующими
a +b =b +a .
Рис. 3.
6. ( a + b )+ c = a +( b + c ).
7. ( a + b )= a + b
Разностью векторов a и b , исходящих из одной точки называется
вектор, соединяющий конец вектора b с концом вектора a (см. рис. 3).
5.
Определение.
Линейной
комбинацией
векторов
a1 , a 2 ,..., an
с
коэффициентами C1,C2,...,Cn называется вектор C1 a1 +C2 a 2 +...+Cn an .
Если векторы a1 , a 2 ,..., an коллинеарны некоторой прямой, то любая их
линейная комбинация будет коллинеарна той же прямой.
Векторы
a1 , a 2 ,..., an
параллельные одной плоскости называются
компланарными. Если векторы a1 , a 2 ,..., an компланарны некоторой плоскости,
то любая их линейная комбинация компланарна той же плоскости.
§2. Базис векторного пространства. Координаты вектора
Векторным пространством называется такое множество векторов, что
любая линейная комбинация векторов этого множества также ему принадлежит.
Определение. Любой ненулевой вектор e на прямой называется
базисным вектором этой прямой. Любая пара неколлинеарных векторов { e1 ,
e 2 } плоскости называется базисом этой плоскости. Любая тройка
некомпланарных векторов { e1 , e 2 , e3 } называется базисом пространства.
Теорема о базисе. Любой вектор a (на прямой, плоскости или в
пространстве) единственным образом записывается в
комбинации соответствующих базисных векторов. То есть,
1)
на прямой: a =x e ,
2)
на плоскости: a =x e1 +y e 2 ,
виде линейной
3) в пространстве: a =x e1 +y e 2 +z e3
Определение. Коэффициенты линейной комбинации базисных векторов
выражающих вектор a на прямой, в плоскости или в пространстве называются
координатами вектора a в данном базисе.
Теорема. При сложении векторов их соответствующие координаты
складываются, при умножении вектора на число все его координаты
умножаются на это число.
Пусть в пространстве имеется, декартова система координат Oxyz . С ней
связан стандартный базис из единичных взаимно перпендикулярных векторов,
расположенных вдоль осей Ox, Oy, Oz. Эти базисные вектора обозначаются через
i , j , k . Вектор, начало которого находится в начале координат - точке О, а конец
в точке А, т. е. вектор OA , называется радиус-вектором точки А.
Если (x,y,z) – координаты точки A в системе Oxyz , то радиус-вектор OA
можно записать в виде OA =x i +y j +z k . Координаты точки A(x,y,z) в системе Oxyz
и вектора OA в базисе i , j , k – это одни и те же числа.
Теорема. Пусть в декартовой системе координат Oxyz заданы две точки
A( x A , y A , z A ) и B( x A , y A , z A ) , тогда в базисе i , j , k вектор AB имеет координаты
xB x A , y B y A , z B z A .
Определение. Проекцией вектора a на координатную ось l ( прl a )
называется длина проекции вектора a на l взятая со знаком “+”, если угол
между a и положительным направлением оси острый, и “–“, если он тупой (см.
рис. 4).
Рис. 4
Если λ – число, a, b - векторы, то прl a = прl a и прl (a b ) = прl a + прl b .
Теорема. Пусть вектор a имеет координаты x, y, z в базисе {i, j, k} ,
тогда x прOx a , y прOy a , z прOz a .
§3. Скалярное произведение векторов и его свойства
Определение. Скалярным произведением векторов a и b называется
число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними,
т. е.
a b a b cos(a, b ) .
Для любых
векторов справедливы следующие свойства.
1) ab b a .
2
2) a a a , т. к. cos(a, a ) cos 0 1 .
3) Скалярное произведение ненулевых векторов a и b равно 0 только в
том случае, когда эти векторы
ортогональны (перпендикулярны).
a
Проекцией вектора
на
ненулевой вектор b (обозначение
прb a ) называется его проекция на
ось l, проведенную через вектор b
(см. рис. 5).
4) a b a прa b b прb a .
5) Для любого вектора a с
координатами ( x, y, z ) в базисе
Рис. 5
{i , j , k } верно:
x a i , y a j , z ak .
6) (a ) b (a b ) ; λ – любое число.
7) (a b ) c ac b c .
Теорема. Пусть в базисе {i , j , k } вектор a имеет координаты ( x1 , y1 , z1 ) ,
а вектор b – ( x2 , y2 , z 2 ) . Тогда
a b x1 x2 y1 y 2 z1 z 2 .
Следствие 1. Модуль вектора a ( x, y, z ) равен a x 2 y 2 z 2 .
Следствие 2. Косинус угла между векторами a ( x1 , y1 , z1 ) и
b ( x2 , y 2 , z 2 ) равен
x1 x2 y1 y 2 z1 z 2
cos
.
2
2
2
2
2
2
x1 y1 z1 x2 y 2 z 2
Следствие 3. Ненулевые векторы a ( x1 , y1 , z1 ) и b ( x2 , y2 , z 2 )
перпендикулярны только в том случае, когда
a b x1 x2 y1 y 2 z1 z 2 0 .
Выводы: Даны определения векторов в пространствах R2 и R3, линейных
операций над векторами и базиса. Сформулирована теорема о разложении
вектора по базису. Рассмотрены понятие скалярного произведения векторов и его
свойства. В координатной форме вычислены длина вектора и угол между двумя
векторами. Получены условия ортогональности, коллинеарности двух векторов.
Тема 4. Векторное, смешанное произведения векторов и их свойства и их
приложения. Уравнения прямой, взаимное расположение прямых на плоскости.
План лекции: Определение векторного и смешанного произведения векторов,
их свойства и приложения. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и
общее уравнение прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от
точки до прямой.
§4. Векторное произведение векторов и его свойства
Определение. Векторным произведением векторов a
и b называется вектор c a b , удовлетворяющий трём
условиям:
а) c a b sin( a , b )
в) c перпендикулярен векторам a и b т. е. он
перпендикулярен плоскости, проходящей через векторы a и b
.
с) Тройка векторов a , b , c правая, т.е. при взгляде
со стороны конца третьего вектора кратчайший поворот от
Рис. 6.
первого ко второму происходит против часовой стрелки (рис.
6).
Для любых векторов справедливы следующие свойства.
1. Векторное произведение антикоммутативно:
b
a
a
b .
2. Ненулевые векторы a и b коллинеарны только в том случае когда
a b 0.
3. (a ) b (a b ) , - число.
(
a
a
)
b
a
b
a
b
4. 1
.
2
1
2
Теорема. Пусть в базисе {i , j , k } векторы a и b имеют координаты
( x1 , y1 , z1 ) и ( x2 , y 2 , z 2 ) соответственно. Тогда в этом базисе
i j k
a b (( y1 z 2 z1 y 2 ),( x1 z 2 z1 x 2 ), ( x1 y 2 y1 x 2 )) x1 y1 z1 .
x2 y 2 z 2
Следствие 1. Площадь параллелограмма построенного на векторах
a ( x1 , y1 , z1 ) и b ( x2 , y 2 , z 2 ) , равна
S пар a b ( y1 z 2 z1 y 2 ) 2 ( x1 z 2 z1 x2 ) 2 ( x1 y 2 y1 x2 ) 2 .
Площадь треугольника, построенного на этих векторах, равна:
1 1
S mp a b
( y1 z 2 z1 y 2 ) 2 ( x1 z 2 z1 x 2 ) 2 ( x1 y 2 y1 x 2 ) 2 .
2
2
Следствие 2. Площадь параллелограмма построенного на векторах
a ( x1 , y1 ) и b ( x2 , y 2 ) , лежащих в плоскости Oxy , равна
S пар x1 y 2 y1 x2 .
Площадь треугольника построенного на этих векторах, равна
1
S тр x1 y 2 y1 x2 .
2
§5. Смешанное произведение векторов
Определение. Смешанным произведением трех векторов a , b и с
называется число, равное скалярному произведению векторного произведения
векторов a и b с вектором с : ( a b с (a b )c ).
Основные его свойства заключаются в следующей теореме (свойство 1).
1. Теорема. Смешанное произведение векторов a , b и с равно объему
параллелепипеда, построенного на этих векторах:
a b с Vпар .
Здесь знак “+” берется, в случае если
тройка векторов a , b , с правая “” если она
левая (см. рис. 7).
2. Векторы a , b , с являются
компланарными только в том случае когда их
смешанное произведение равно 0: a b c 0.
3.
a b с ac b c ab c b a b c a b ac ;
a b с (a b ) c (b c ) a (c a ) b .
Рис. 7.
4. (a )b c (ab c ) ,.λ число.
5. (a1 a 2 )b c a1b c a 2 b c .
Теорема. Пусть в базисе {i , j , k } векторы a , b , с имеют координаты
соответственно ( x1 , y1 , z1 ) ( x2 , y 2 , z 2 ) и ( x3 , y3 , z3 ) , тогда их смешанное
произведение записывается в виде определителя:
x1 y1 z1
ab c x2 y 2 z 2 .
x 3 y3 z3
Следствие. Объем параллелепипеда построенного
a ( x1 , y1 , z1 , ), b ( x2 , y 2 , z 2 , ), c ( x , y3 , z 3 , ) равен:
на
векторах
x1 y1 z1
Vпар ab c | x2 y 2 z 2 | .
x3 y 3 z 3
Объем тетраэдра (треугольной пирамиды), образованного этими
векторами равен:
x1 y1 z1
1
Vтетр | x2 y 2 z 2 | .
6
x3 y 3 z 3
