Предисловие
3
Глава 1. ПЕРВИЧНЫЕ ПОНЯТИЯ
6
Числовые и алгебраические системы
6
Определения основных понятий
7
Глава 2. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
13
§1. Натуральный ряд
13
Формирование определения
13
Независимость аксиом Пеано
15
О непротиворечивости аксиоматической теории натуральных чисел
16
Принцип полной математической индукции
17
§2. Сложение. Аддитивная полугруппа натуральных чисел
20
Сложение натуральных чисел
20
Основные свойства сложения
22
§3. Умножение. Полукольцо натуральных чисел
25
Умножение натуральных чисел
25
Основные свойства умножения
27
§4. Отношение «меньше». Линейное упорядоченное множество натуральных
чисел
29
Вспомогательные утверждения
29
Отношение «меньше» для натуральных чисел
30
Основные свойства линейно упорядоченного множества натуральных чисел 31
§5. Различные виды доказательств по индукции
34
Усиленный принцип полной математической индукции
34
Обобщенный принцип полной математической индукции
34
Обобщенный усиленный принцип полной математической индукции
35
§6. Упорядоченное полукольцо натуральных чисел
36
Связь между операциями +, и отношением <
36
Основные свойства упорядоченного полукольца натуральных чисел
37
§7. Индуктивные определения
38
Обоснование индуктивных определений
38
Сумма и произведение нескольких элементов
41
§8. Изоморфизм одноименных систем натуральных чисел
42
Чем могут отличаться одноименные системы натуральных чисел?
42
§9. Конечные и счетные множества
45
Определение и основное свойство конечного множества
45
Число элементов объединения и прямого произведения двух конечных множеств
47
Счетные множества
48
Глава 3. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
50
§1. Определение системы целых чисел
50
Формирование определения
50
Кольцо целых чисел как расширение полукольца натуральных чисел
51
Определение кольца целых чисел с помощью понятия разности натуральных
чисел
52
§2. Существование системы целых чисел
54
Вводные соображения
54
Построение кольца целых чисел
55
§3. Основные свойства системы целых чисел
57
Основные свойства колец
57
Область целостности
58
Упорядоченное кольцо целых чисел
59
Деление с остатком
61
Представление целого числа в десятичной системе счисления
62
Изоморфизм систем целых чисел
63
Системы с основным множеством целых чисел
64
Глава 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
66
§1. Определение системы рациональных чисел
66
Формирование определения
66
Поле рациональных чисел как расширение кольца целых чисел
67
§2. Существование системы рациональных чисел
69
Вводные соображения
69
Построение поля рациональных чисел
69
§3. Основные свойства системы рациональных чисел
71
Основные свойства полей
71
Упорядоченное поле рациональных чисел
72
Изоморфизм (упорядоченных) полей рациональных чисел
74
Системы с основным множеством рациональных чисел
75
§4. Представление рациональных чисел десятичными дробями
76
Десятичные дроби
76
Способ представления рационального числа десятичной дробью
77
Глава 5. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
81
§1. Определение системы действительных чисел
81
Формирование определения
81
Обсуждение определения
83
§2. Существование системы действительных чисел
86
Вводные соображения
86
Линейно упорядоченное множество десятичных дробей
86
Конечные десятичные дроби
88
Сложение произвольных десятичных дробей
89
Основные свойства сложения десятичных дробей
90
Умножение произвольных десятичных дробей
92
§3. Представление действительных чисел десятичными дробями
95
Последовательность стягивающихся отрезков
95
Целая часть действительного числа
95
Представление действительного числа десятичной дробью
96
Связь между отношениями линейного порядка на множествах R и S
98
Другая трактовка понятия представимости действительного числа десятичной
дробью
99
Характеризация рационального числа через его представление в виде десятичной
дроби
100
§4. Изоморфизм упорядоченных полей действительных чисел
102
Представление в виде десятичной дроби суммы и произведения двух
действительных чисел
102
Изоморфные отображения упорядоченного поля действительных чисел
103
Еще один аспект понятия представимости действительного числа десятичной
дробью
103
§5. Аксиома Архимеда и усиленная аксиома Кантора в упорядоченных полях
104
Упорядоченные поля, удовлетворяющие аксиоме Архимеда
104
Усиленная аксиома Кантора
107
§6. Степени и логарифмы
108
Степень с целым показателем
108
Степень с рациональным показателем
109
Степень с действительным показателем
111
Логарифмы
113
§7. Другие определения системы действительных чисел
115
Определения системы действительных чисел с помощью понятий сечения и
верхней границы
115
Определение системы действительных чисел с помощью понятия
фундаментальной последовательности
118
§8.p-адические числа
121
Кольцо m-адических чисел
121
10-адические числа
127
m-адическая норма
129
Нормированные поля
131
Абстрактная характеризация поля р-адических чисел и поля действительных
чисел с помощью понятия нормы
134
Глава 6. КОМПЛЕКСНЫЕ, ДВОЙНЫЕ И ДУАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
138
§1. Комплексные числа
138
Формирование определения
138
Алгебраическая форма комплексного числа
139
Существование поля комплексных чисел
139
§2. Основные свойства комплексных чисел
140
Единственность алгебраической формы. Об отношении линейного порядка на
множестве комплексных чисел
140
Изоморфизм
141
Расширения числовых систем, связанные с решением уравнений
142
§3. Двойные и дуальные числа
143
Определения и существование двойных и дуальных чисел
143
Общий взгляд на комплексные, двойные и дуальные числа
144
Глава 7. АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
146
§1. Кватернионы
146
Формирование определения
146
Определение и существование системы кватернионов
146
§2. Общая характеризация некоторых числовых систем
148
Необходимые сведения из курса алгебры
Общая характеризация комплексных, двойных и дуальных чисел
Общий взгляд на действительные, комплексные числа и кватернионы
Гиперкомплексные числа
Список литературы
148
149
150
153
155
