ПРОГРАММА ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.
2015. 2-й СЕМЕСТР.
1. Аффинные преобразования. Определения.
2. Движения евклидовой плоскости.
3. Несобственные линейные ортогональные преобразования плоскости.
4. Несобственные ортогональные преобразования плоскости.
5. Движения 3-мерного евклидова пространства.
6. Несобственные преобразования 3-мерного евклидова пространства.
7. Изометрические преобразования как аффинные преобразования в стандартном
евклидовом пространстве Rn.
8. Преобразования евклидова пространства, сохраняющие скалярное произведение.
Вид изометрических преобразований в стандартном евклидовом пространстве Rn.
9. Структура преобразования растяжения в стандартном евклидовом пространстве
Rn
10. Парабола в канонической форме записи, ее характеристики. Асимптотическое
свойство параболы, геометрическое определение параболы.
11. Хорда и диаметр параболы. Хордальное свойство параболы. Оптическое свойство
параболы.
12. Эллипс в канонической форме записи, его характеристики. Геометрическое
определение эллипса.
13. Хорды и диаметры эллипса. Сопряженные диаметры эллипса.
14. Теорема Апполония. Оптическое свойство эллипса.
15. Гипербола в канонической форме записи, ее характеристики. Геометрическое
определение гиперболы.
16. Хордальное свойство гиперболы. Оптическое свойство гиперболы.
17. Директрисы и фокусы эллипса и гиперболы. Характеристика эллипса, гиперболы и
параболы через фокусы и директрисы.
18. Эллипс, гипербола и парабола в полярной системе координат.
19. Упрощение уравнения кривых 2-го порядка путем выбора специальной
прямоугольной системы координат. Классификация кривых 2-го порядка.
20. Линейные симметрические преобразования евклидовых пространств и их матрицы.
21. Собственные числа и соответствующие им подпространства симметрических
преобразований и их свойства.
22. Теорема о невырожденном линейном преобразовании евклидова пространства как
о композиции ортогонального преобразования, сжатий и растяжений.
23. Многочлены 2-го порядка от n-переменных. Приведение к каноническому виду.
24. Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду. Векторы базиса
канонической системы координат.
25. Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду. Центральный случай.
Центр симметрии.
26. Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду. Параболический случай.
Ортогональный семиинвариант (полуинвариант).
27. Ортогональные инварианты квадратичных функций. Запись кривой 2-го порядка в
терминах инвариантов. Тип кривой.
28. Центр кривой 2-го порядка, определение и свойства. Теорема о центре кривой 2-го
порядка.
29. Асимптотические направления кривых 2-го порядка. Определения и свойства.
Асимптоты.
30. Сопряженные диаметры и сопряженные направления кривых 2-го порядка.
Определения и свойства.
31. Касательные к кривым 2-го порядка. Особые и неособые точки.
32. Прямые неасимптотических направлений кривых 2-го порядка. Свойства.
33. Особые и главные направления кривых 2-го порядка. Свойства.
34. Поверхности 2-го порядка в канонической форме и их элементарные свойства.
Пересечение поверхности 2-го порядка с плоскостью.
35. Приведение поверхности 2-го порядка к каноническому виду.
36. Асимптотические направления поверхностей 2-го порядка. Прямые
асимптотических направлений. Асимптотические направления поверхностей 2-го
порядка, имеющих каноническую форму записи.
37. Прямолинейные образующие поверхностей 2-го порядка. Прямолинейные
образующие однополостного гиперболоида.
38. Прямолинейные образующие поверхностей 2-го порядка. Прямолинейные
образующие гиперболического параболоида.
39. Касательная плоскость к поверхности 2-го порядка.
40. Особые точки поверхности 2-го порядка.
41. Хорды и диаметральные плоскости поверхности 2-го порядка.
42. Центры поверхности 2-го порядка. Центры симметрии. Центральные и
нецентральные поверхности. Уравнение центральной поверхности 2-го порядка.
43. Плоскости, сопряженные направлению, и их свойства.
44. Сопряженные направления. Особые и неособые направления.
45. Главные диаметры кривой 2-го порядка. Оси симметрии
46. Главные направления поверхностей 2-го порядка.
47. Элементы проективной геометрии. Проективная плоскость.
48. Элементы проективной геометрии. Связка. Однородные координаты в связке.
49. Элементы проективной геометрии. Однородные координаты на плоскости.
50. Связь однородных координат в связке с однородными координатами на плоскости
51. Арифметическая модель проективной плоскости.
52. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.
53. Проективная система координат в связке.
