Функция у=kx и ее график

Л Е К Ц И Я № 2 Часть I
Линейная функция, её свойства
и график.
Построение графиков функций,
аналитический способ задания
которых содержит модуль.
План лекции:
Литература
В помощь учащимся лицея – интерната при
СГАУ им. Н. И. Вавилова « Сборник задач по математике
Часть I» стр. 74.
Линейная функция её свойства и график.
Построение графиков линейных функций,
аналитический способ задания которых
содержит модуль.
Линейная функция её свойства и график.
Определение
Функция вида y = kx + b , где
k,b  R , называет линейной.
Графиком линейной функции является
прямая линия.
У
y=kx+b
b
α
0
Х
α -угол наклона прямой с поло-
жительным направлением оси
абсцисс.
k = tgα - угловой коэффициент
прямой.
b - ордината точки пересечения
графика с осью ординат.
Линейная функция её свойства и график.
Частные случаи линейной функции.
прямая
y = kx
пропорциональность.
У
У
y=kx
0
y = b постоянная функция.
Х
b
y=b
0
Х
Свойства линейной функции.
1. Область определения
D(y) = R
У
0
Х
Свойства линейной функции.
2. Область значений
y=kx+b
k0
E(y) = R
k=0
E(y) = b
У
У
b
0
Х
0
Х
Свойства линейной функции.
3. Нули
функции
k  0 y = kx + b
b
y=0x=k
k =0 b 0 y=b
нулей нет
k=0 b=0
У
y=kx+b
y=0
y = 0 xR
У
y=b
b
x=k
0
Х
0
Х
Свойства линейной функции.
k0 b0
4. Чётность,
k0 b=0
нечётность.
k=0 b0
k=0
b=0
Функция y = kx +b
общего вида.
Функция y = kx
нечётная.
Функция y = b
чётная.
Функция тождественно равна нулю.
Свойства линейной функции.
5. Промежутки
знакопостоянства.
k>0
b

y < 0 при x   -; - 
k

У
x=-
 b 
y > 0 при x   - ;  
 k 
y=kx+b
b
k
0
Х
Свойства линейной функции.
5. Промежутки
знакопостоянства.
k<0
 b 
y < 0 при x   - ;  
 k 
У
x=-
b
k
b

y > 0 при x   -; - 
k

y=kx+b
0
Х
Свойства линейной функции.
k=0
y > 0 при x  R
b>0
5. Промежутки
k=0 b<0
знакопостоянства.
k=0
y < 0 при x  R
y = 0 при x  R
b=0
У
b
y=kx, b>0
0
Х
b
y=kx, b<0
Свойства линейной функции.
Функция возрастает
6. Промежутки k > 0 b  R при x  R.
монотонности.
Функция убывает
k < 0 b  R при x  R.
Функция постоянна
k = 0 b  R при x  R.
У
У
y1
0
y2
x1 x2
x2
x1
Х
0
y1
Х
y2
Свойства линейной функции.
7. Экстремумы.
Функция экстремумов не
имеет.
Алгоритм построения графика линейной
функции.
Аргументы (значения независимой переменной )
выбираются таким образом, чтобы координаты
точек для построения графика функции были
целочисленными.
Задание.
1
Построить график функции y = - x + 2 .
3
Решение
1
y = - x+2
3
Х
-3
3
У
3
1
5
4
3
f( x)
2
1
4
3
2
1
0
1
x
1
2
3
4
Построение графиков функций, аналитический
способ задания которых содержит модуль.
К функциям, аналитический способ задания
которых содержит модуль, относят функции вида:
 y = f(x) ;
 y = f( x );
 y = f1 (x)  f2 (x)  ...  fn (x)
Алгоритм построения графика
функции y = f(x) .
Функция y = f(x) принимает только неотрицательные
значения, т. е. её график располагается только в верхней
полуплоскости относительно оси абсцисс.
Построить график функции y = f(x).
Части графика функции y = f(x) , лежащие
выше оси и на оси абсцисс, оставить без
изменения.
Части графика функции y = f(x) , лежащие
ниже оси абсцисс, симметрично
отобразить относительно оси абсцисс в
верхнюю полуплоскость.
Задание 1 .
Построить график функции
y = x+5
Решение
У
y = x+5
5
1
-5
0
1
Х
Алгоритм построения графика
функции y = f( x ).
Функция y = f( x ) чётная, т. е. её график
симметричен относительно оси ординат.
Построить график функции y = f(x) .
 Части графика функции y = f(x) , лежащие
левее оси ординат, удалить.
 Части графика функции y = f(x) , лежащие на
оси ординат и правее неё, оставить без изменения.
 Части графика функции y = f(x) , лежащие
правее оси ординат, симметрично отобразить
относительно оси ординат в левую полуплоскость.
Задание 1 .
Построить график функции
y = x +2
Решение
У
y = x+2
y = x +2
Х
У
2
-2
0
1
0
2
-2
0
1
Х
Алгоритм построения графика функции
y = f1 (x) + f 2 (x) + ... + fn (x)
1. Найти нули всех подмодульных выражений,
расположить их по возрастанию на числовой оси и
выбрать крайний левый из полученных интервалов.
2. На полученных интервалах определить знак
всех подмодульных выражений и раскрыть
модули по определению.
3. Составить совокупность смешанных систем,
задающую функцию.
Задание 1 .
Построить график функции
y = x-2 + x-4
Решение
Найдём нули подмодульных выражений
x-2
x-4
-
-
x - 2 = 0,
x = 2.
+
2
-
x - 4 = 0,
x = 4.
+
4
+
Х
Задание 1 .
Решение
x-2
x-4
Построить график функции
y = x-2 + x-4
+
-
-
  x < 2,

 -x + 2 - x + 4;
  2  x < 4,
y = 
  x - 2 - x + 4;

  x  4,
 
 x - 2 + x - 4;
2
-
+
4 +
  x < 2,

 -2x + 6;
  2  x < 4,
= 
  2;

  x  4,
 
 2x - 6.
Х
Задание 1 .
Построить график функции
y = x-2 + x-4
Решение
y = -2x + 6
Х
0
У
6
-1
8
У
8
6
y = 2x - 6
Х
У
4
5
2
4
1
-1
0
1
2
4
5
Х
Задание 2 .
Построить график функции
y = x+2 - x-3 .
Решение
Найдём нули под-
x + 2 = 0,
x = -2.
модульных выражений
x+2
x-3
-
+
-2
-
x - 3 = 0,
x = 3.
+
3
+
Х
Задание 2 .
Построить график функции
y = x+2 - x-3 .
Решение
x+2
x-3
-
  x < -2,

 -x - 2 + x - 3;
 -2  x < 3,
y = 
  x + 2 + x - 3;

  x  3,

  x + 2 - x + 3;
+
-2
-
+
3
+
  x < -2,

 -5;
 -2  x < 3,
= 
  2x - 1;

  x  3,
 
5;
Х
Задание 2 .
Построить график функции
y = x+2 - x-3 .
Решение
У
5
y = 2x -1
Х
У
-1
-3
2
1
-2
-1
0
1
3
-3
-5
3
Х
Домашнее задание
1.Лекции №1-3.
2.А.Н. Колмогоров № 95а), в).
3. ПФИ часть1 стр. 81 №4),
7); стр. 83 № 1).