Л Е К Ц И Я № 2 Часть I Линейная функция, её свойства и график. Построение графиков функций, аналитический способ задания которых содержит модуль. План лекции: Литература В помощь учащимся лицея – интерната при СГАУ им. Н. И. Вавилова « Сборник задач по математике Часть I» стр. 74. Линейная функция её свойства и график. Построение графиков линейных функций, аналитический способ задания которых содержит модуль. Линейная функция её свойства и график. Определение Функция вида y = kx + b , где k,b R , называет линейной. Графиком линейной функции является прямая линия. У y=kx+b b α 0 Х α -угол наклона прямой с поло- жительным направлением оси абсцисс. k = tgα - угловой коэффициент прямой. b - ордината точки пересечения графика с осью ординат. Линейная функция её свойства и график. Частные случаи линейной функции. прямая y = kx пропорциональность. У У y=kx 0 y = b постоянная функция. Х b y=b 0 Х Свойства линейной функции. 1. Область определения D(y) = R У 0 Х Свойства линейной функции. 2. Область значений y=kx+b k0 E(y) = R k=0 E(y) = b У У b 0 Х 0 Х Свойства линейной функции. 3. Нули функции k 0 y = kx + b b y=0x=k k =0 b 0 y=b нулей нет k=0 b=0 У y=kx+b y=0 y = 0 xR У y=b b x=k 0 Х 0 Х Свойства линейной функции. k0 b0 4. Чётность, k0 b=0 нечётность. k=0 b0 k=0 b=0 Функция y = kx +b общего вида. Функция y = kx нечётная. Функция y = b чётная. Функция тождественно равна нулю. Свойства линейной функции. 5. Промежутки знакопостоянства. k>0 b y < 0 при x -; - k У x=- b y > 0 при x - ; k y=kx+b b k 0 Х Свойства линейной функции. 5. Промежутки знакопостоянства. k<0 b y < 0 при x - ; k У x=- b k b y > 0 при x -; - k y=kx+b 0 Х Свойства линейной функции. k=0 y > 0 при x R b>0 5. Промежутки k=0 b<0 знакопостоянства. k=0 y < 0 при x R y = 0 при x R b=0 У b y=kx, b>0 0 Х b y=kx, b<0 Свойства линейной функции. Функция возрастает 6. Промежутки k > 0 b R при x R. монотонности. Функция убывает k < 0 b R при x R. Функция постоянна k = 0 b R при x R. У У y1 0 y2 x1 x2 x2 x1 Х 0 y1 Х y2 Свойства линейной функции. 7. Экстремумы. Функция экстремумов не имеет. Алгоритм построения графика линейной функции. Аргументы (значения независимой переменной ) выбираются таким образом, чтобы координаты точек для построения графика функции были целочисленными. Задание. 1 Построить график функции y = - x + 2 . 3 Решение 1 y = - x+2 3 Х -3 3 У 3 1 5 4 3 f( x) 2 1 4 3 2 1 0 1 x 1 2 3 4 Построение графиков функций, аналитический способ задания которых содержит модуль. К функциям, аналитический способ задания которых содержит модуль, относят функции вида: y = f(x) ; y = f( x ); y = f1 (x) f2 (x) ... fn (x) Алгоритм построения графика функции y = f(x) . Функция y = f(x) принимает только неотрицательные значения, т. е. её график располагается только в верхней полуплоскости относительно оси абсцисс. Построить график функции y = f(x). Части графика функции y = f(x) , лежащие выше оси и на оси абсцисс, оставить без изменения. Части графика функции y = f(x) , лежащие ниже оси абсцисс, симметрично отобразить относительно оси абсцисс в верхнюю полуплоскость. Задание 1 . Построить график функции y = x+5 Решение У y = x+5 5 1 -5 0 1 Х Алгоритм построения графика функции y = f( x ). Функция y = f( x ) чётная, т. е. её график симметричен относительно оси ординат. Построить график функции y = f(x) . Части графика функции y = f(x) , лежащие левее оси ординат, удалить. Части графика функции y = f(x) , лежащие на оси ординат и правее неё, оставить без изменения. Части графика функции y = f(x) , лежащие правее оси ординат, симметрично отобразить относительно оси ординат в левую полуплоскость. Задание 1 . Построить график функции y = x +2 Решение У y = x+2 y = x +2 Х У 2 -2 0 1 0 2 -2 0 1 Х Алгоритм построения графика функции y = f1 (x) + f 2 (x) + ... + fn (x) 1. Найти нули всех подмодульных выражений, расположить их по возрастанию на числовой оси и выбрать крайний левый из полученных интервалов. 2. На полученных интервалах определить знак всех подмодульных выражений и раскрыть модули по определению. 3. Составить совокупность смешанных систем, задающую функцию. Задание 1 . Построить график функции y = x-2 + x-4 Решение Найдём нули подмодульных выражений x-2 x-4 - - x - 2 = 0, x = 2. + 2 - x - 4 = 0, x = 4. + 4 + Х Задание 1 . Решение x-2 x-4 Построить график функции y = x-2 + x-4 + - - x < 2, -x + 2 - x + 4; 2 x < 4, y = x - 2 - x + 4; x 4, x - 2 + x - 4; 2 - + 4 + x < 2, -2x + 6; 2 x < 4, = 2; x 4, 2x - 6. Х Задание 1 . Построить график функции y = x-2 + x-4 Решение y = -2x + 6 Х 0 У 6 -1 8 У 8 6 y = 2x - 6 Х У 4 5 2 4 1 -1 0 1 2 4 5 Х Задание 2 . Построить график функции y = x+2 - x-3 . Решение Найдём нули под- x + 2 = 0, x = -2. модульных выражений x+2 x-3 - + -2 - x - 3 = 0, x = 3. + 3 + Х Задание 2 . Построить график функции y = x+2 - x-3 . Решение x+2 x-3 - x < -2, -x - 2 + x - 3; -2 x < 3, y = x + 2 + x - 3; x 3, x + 2 - x + 3; + -2 - + 3 + x < -2, -5; -2 x < 3, = 2x - 1; x 3, 5; Х Задание 2 . Построить график функции y = x+2 - x-3 . Решение У 5 y = 2x -1 Х У -1 -3 2 1 -2 -1 0 1 3 -3 -5 3 Х Домашнее задание 1.Лекции №1-3. 2.А.Н. Колмогоров № 95а), в). 3. ПФИ часть1 стр. 81 №4), 7); стр. 83 № 1).