Симметрия в природе

Международный Фестиваль «Звёзды нового века» - 2016
Точные науки (от 11 до 13 лет)
«УКРАШАЕТ ЛИ СИММЕТРИЯ ГОРОД КИСЕЛЁВСК?»
Шахабутдинова Регина, 11 лет,
ученица 5 класса
Руководители:
Дыхова
Лариса Владимировна,
учитель математики,
Скрипай
Валерия Викторовна,
учитель биологии
МОУ СОШ №14
г. Киселёвск,
Кемеровской области
2016
1
СОДЕРЖАНИЕ
Введение.......................................................................................................................................... 3
1 Симметрия в геометрии............................................................................................................. 4
1.1 Осевая симметрия.................................................................................................................... 4
1.2 Зеркальная симметрия............................................................................................................. 5
1.3 Поворотная симметрия............................................................................................................ 7
1.3.1 Осесимметричность.............................................................................................................. 8
1.4 Центральная симметрия.......................................................................................................... 8
1.4.1 Центрально симметричность.............................................................................................. 9
1.5 Переносная симметрия........................................................................................................... 9
1.6 Скользящая симметрия........................................................................................................... 10
1.7 Винтовая симметрия............................................................................................................... 11
1.8 Симметрия подобия................................................................................................................ 11
1.9 Выводы по симметрии в геометрии...................................................................................... 11
2 Симметрия в природе................................................................................................................ 12
2.1 Симметрия в животном мире................................................................................................... 12
2.2 Симметрия в растительном мире............................................................................................. 15
2.3 Симметрия в неживой природе............................................................................................... 18
3 Симметрия в архитектуре и в быту........................................................................................... 19
4 Симметрия в технике................................................................................................................. 21
Заключение..................................................................................................................................... 22
Список источников информации и иллюстраций.....................................................................
23
Приложение А Билатеральная симметрия в животном мире................................................... 24
Приложение Б Поступательная симметрия в животном мире................................................ 26
Приложение В Осевая симметрия плюс трансляция в растительном мире.......................... 27
Приложение Г Винтовая симметрия в растительном мире..................................................
28
Приложение Д Зеркальная симметрия в архитектуре
....................................................
30
Приложение Е Переносная симметрия в архитектуре...........................................................
34
Приложение Ж Поворотная симметрия в архитектуре..........................................................
37
Приложение И Симметрия подобия в архитектуре и в быту.................................................. 38
Приложение К Бордюры............................................................................................................ 39
Приложение Л Розетка................................................................................................................ 41
Приложение М Сетчатый орнамент..........................................................................................
42
2
ВВЕДЕНИЕ
«Симметрия – есть идея, с помощью которой
человек веками пытался объяснить и создать порядок,
красоту и совершенство».
Известный математик ХХ века Герман Вейль
Актуальность. Симметрия – слово греческого происхождения. Она встречается как в природе,
так и в человеческом творчестве с древних времён и до наших дней. А что такое симметрия?
Симметрия означает соразмерность, наличие определённого порядка и закономерности в
расположении частей. Но в этом определении, к сожалению, не видно конкретности. Поэтому
возникла проблема: как видеть и понимать симметрию и обозначилась цель работы: выявить,
украшает ли симметрия город Киселёвск?
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
- определить виды симметрии в геометрии;
- на основе симметрии в геометрии выявить симметрию в окружающем мире Киселёвска;
- проанализировать, украшает ли симметрия Киселёвск.
Гипотеза: если понимать симметрию в геометрии, то возможно видеть симметрию в
окружающем мире и делать правильные выводы.
Объект исследования: окружающий мир Киселёвска.
Предмет исследования: симметрия в геометрии и симметрия в окружающем мире Киселёвска.
Методы исследования: теоретические и практические: изучение симметрии в геометрии и
выявление её в окружающем мире.
Главное в симметрии то, что в ней всегда присутствует движение, поэтому, чтобы рассмотреть
какой-то вид симметрии, нужно проанализировать, что приводится в движение, относительно чего
это движение и какое производится движение.
Вследствие этого в симметрии существуют три основных понятия:
1) объект симметрии – в геометрии, архитектуре, технике, например, - это точка, линия,
плоскость, геометрическое тело, в животном мире – это живые организмы;
2) элементы симметрии – это точка, линия, плоскость;
3) операции симметрии. К ним относятся:
- отображение - это движение, когда один объект симметрии отображается в другой такой же,
- поворот – это вращательное движение;
- перенос – это поступательное движение
и комбинации этих движений.
3
1
СИММЕТРИЯ В ГЕОМЕТРИИ
1.1 ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
Рис.1
Рис.2
Рис.3
Рис.4
Возьмём плоскость α (рис.1), сложим её пополам, чтобы получить линию сгиба (рис.2).
Теперь вернём плоскость в начальное положение (рис.3), получились две полуплоскости α и α1.
Линию сгиба обозначим строчной буквой s, она называется осью симметрии. Ось симметрии – это
элемент осевой симметрии. Поставим на плоскости α точку А (объект симметрии) чернилами
или тушью (рис.4).
Рис.5
Рис.6
Рис.7
Снова сложим плоскость пополам, прижав полуплоскости плотно друг к другу.
Изображение точки с поплоскости α отпечаталось на полуплоскости α1 (рис.5) – таким образом мы
получили точку А1. Другими словами: точка А отобразилась в точку А1. Такое движение, когда
один объект симметрии отображается в другой такой же, называется отображением (операция
симметрии). Ось симметрии s (рис.6) проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к
нему – в таком случае две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой s.
Другими словами, такое изображение обладает осевой симметрией. Если взять две точки А и В и
соединить их, получится отрезок АВ (объект симметрии). Отобразив отрезок АВ в А1В1 на
полуплоскости α1, получим два симметричных отрезка (рис.7). То же самое можно сделать и с
тремя точками, замкнув их в треугольник АВС (объект симметрии), который отобразится в
ΔА1В1С1 – получим два симметричных треугольника, т.е. две симметричные плоскости (рис.8).
Фигура называется симметричной относительно оси симметрии s, если для каждой точки фигуры
симметричная ей точка относительно оси симметрии s также принадлежит этой фигуре (рис.9).
Нанесём в ΔАВС (рис.10) линии, указывающие направление движения (рис.10). После
отображения это направление изменится на противоположное.
Рис.8
Рис.9
Рис.10
4
Таблица 1
Расположение
оси симметрии
(элемента
симметрии)
Изображение осевой симметрии
точка
Объект осевой симметрии
линейная фигура
плоскость
вертикальное
горизонтальное
наклонное
Выводы по осевой симметрии:
- объектом осевой симметрии может быть точка, линейная фигура и плоскость;
- элементом осевой симметрии служит прямая – ось симметрии, принадлежащая той же
плоскости, которой принадлежит объект симметрии;
- операцией осевой симметрии является отображение;
- границы полуплоскостей, как правило, на изображении не показывают;
- расположение оси симметрии может быть вертикальным, горизонтальным или
наклонным.
Осевой симметрией обладают:
- равнобедренные треугольники - одной осью симметрии;
- четырёхугольники:
 ромбоид или дельтоид - одной осью симметрии;
 прямоугольник и ромб (у ромба осями симметрии являются диагонали) – двумя осями
симметрии;
- правильные многоугольники: треугольник – тремя осями симметрии, квадрат – четырьмя,
пятиугольник – пятью, шестиугольник – шестью и т.д.;
- окружность и круг имеют бесконечное количество осей симметрии;
- плоские замкнутые циркульные кривые: овоид имеет одну ось симметрии, овал – две;
плоская замкнутая лекальная кривая эллипс имеет две оси симметрии;
- биссектриса сама является осью симметрии: стороны угла симметричны относительно
биссектрисы угла.
1.2 ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
Объектом зеркальной симметрии могут быть все геометрические фигуры, кроме точки.
Элементом зеркальной симметрии является плоскость, которая также может быть
вертикальной, горизонтальной и наклонной. Аналогично осевой у зеркальной симметрии
операцией симметрии служит отображение.
5
Таблица 2
Изображение зеркальной симметрии
линейная фигура
Объект зеркальной симметрии
плоскость
геометрическое тело
Зеркальная симметрия, так же как и осевая, меняет направление обхода на
противоположное.
Зеркальной симметрией обладают, например: прямые призмы, в основании которых могут
быть: прямоугольник и ромб – по две плоскости симметрии; правильные многогранники: тетраэдр,
гексаэдр (рис.11), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр;
Рис.11
- правильные пирамиды;
- призмы, в основании которых – плоские геометрические фигуры с осевой симметрией;
- прямые цилиндр и конус вращения, шар, эллипсоид, параболоид и гиперболоид вращения
имеют бесконечное количество плоскостей симметрии.
Как объект симметрии геометрическое тело присутствует в зеркальной симметрии. Но
геометрическое тело изображается на чертежах, картинах, фотографиях плоским изображением.
Имеем ли мы право назвать, например, здание, имеющее в пространстве зеркальную симметрию, на
плоском изображении зданием, имеющим осевую симметрию, т.е. геометрическое тело
переименовать в плоскость. Правильно ли это? Если проанализировать, то получается (см.табл.3):
Таблица 3
Вид
симметрии
Осевая
Зеркальная
Сравнительный анализ осевой и зеркальной симметрии
Объект симметрии
точка
+
-
линейная плосфигура
кость
+
+
+
+
геометр.
тело
+
Элемент симметрии
точка
прямая
-
+
-
плоскость
+
Операция
симметрии
отображение
+
+
В таблице 3 можно увидеть, что у осевой и зеркальной симметрий очень много общего:
операция симметрии – отображение, объекты симметрии – линейная фигура и плоскость.
Существенное различие в элементе симметрии:
для осевой симметрии – это прямая,
принадлежащая плоскости, для зеркальной – плоскость. Но так как плоскость на изображении
может показываться в виде прямой, поэтому, считаю, и происходит эта путаница. Поэтому, если
дан чертёж, например, симметричного здания, можно сказать, что изображение этого здания
имеет осевую симметрию, но, считаю, что нужно говорить, что у этого здания зеркальная
симметрия.
6
1.3 ПОВОРОТНАЯ СИММЕТРИЯ
В поворотной симметрии в качестве объекта симметрии могут выступать все
геометрические фигуры.
Операцией симметрии является вращательное движение, или поворот.
В поворотной симметрии есть понятие – порядок поворотной симметрии. Например,
можно поворачивать три раза на 1200 равносторонний треугольник вокруг поворотной оси,
перпендикулярной плоскости вращения (элемента симметрии), чтобы его вид не
изменился; квадрат 4 раза по 900. Эти числа, 3 и 4, называются порядком поворотной
симметрии.
Таблица 4
точка
Изображение поворотной симметрии
линейная
фигура
Объект поворотной симметрии
плоскость
геометрическое тело
Правильная
треугольная призма
имеет:
1 поворотную ось
3-го порядка и
3 поворотные
оси
2-го порядка
Куб имеет:
3 поворотные
оси 4-го порядка;
4 поворотные
оси 3-го
порядка;
6 поворотных
осей 2-го
порядка.
Всего у куба 13
поворотных
осей.
Поворотная симметрия сохраняет ориентацию:
Рис. 12
Поворотной симметрией обладают:
- прямой параллелепипед, в основании которого прямоугольник, ромб или квадрат;
7
- пятиугольная правильная призма - 1 поворотная ось 5-го порядка и 5 - 2-го порядка;
- шестиугольная правильная призма – 1 поворотная ось 6-го порядка и 6 – 2-го порядка и т.п.
- шар – бесконечное количество поворотных осей.
1.3.1
ОСЕСИММЕТРИЧНОСТЬ
Помимо некоторых многогранников, поворотной симметрией обладают тела вращения. В связи
с этим в поворотной симметрии существует такое понятие, как осесимметричность. Этим
свойством обладают только тела вращения - при самом минимальном повороте их вокруг оси
вращения они превращаются сами в себя: прямые цилиндр и конус вращения, шар, эллипсоид,
параболоид и гиперболоид вращения.
1.4 ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
Центральная симметрия – отображение пространства на себя, при котором любая точка
переходит в симметричную ей точку относительно центра О. Центральная симметрия является
поворотом на 1800.
Рис.13
Объектом центральной симметрии может быть любая геометрическая фигура.
Элементом в центральной симметрии служит точка.
Операцией симметрии служит отображение.
Таблица 5
точка
Изображение центральной симметрии
Объект центральной симметрии
линейная фигура
плоскость
геометрическое тело
Рис. 14
Движение отображения (рис.14) в центральной симметрии сохраняет ориентацию.
Центральной симметрией обладают:
- параллелограмм и ромб, центр симметрии – точка пересечения диагоналей;
- окружность: центром симметрии окружности является центр окружности;
8
- прямая также обладает центром симметрии, однако в отличие от окружности,
параллелограмма и ромба, которые имеют один центр симметрии – точку О, у прямой их
бесконечно много – любая точка прямой является её центральной симметрией;
- шар.
Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.
1.4.1
ЦЕНТРАЛЬНО СИММЕТРИЧНОСТЬ
В центральной симметрии существует такое понятие, как центрально симметричные детали.
Этому понятию полностью соответствует шар.
1.5 ПЕРЕНОСНАЯ СИММЕТРИЯ
Переносная симметрия - это движение, при котором все точки пространства перемещаются в
одном и том же направлении на одно и то же расстояние.
Рис.15
Рис.16
При переносе (трансляции, поступательном движении) вдоль прямой АВ на расстояние a
фигура совмещается сама с собой.
Объектом переносной симметрии может быть любая геометрическая фигура.
Элементом переносной симметрии является любая линия, которая называется осью переноса;
на рис. 15 это прямая АВ. Расстояние a называется элементарным переносом или периодом.
Операцией симметрии в переносной симметрии служит перенос.
В ходе исследования при рассмотрении скамьи, у которой бруски имеют чисто переносную
симметрию (рис.16), а направляющая – кривую линию, возник вопрос: а может ли симметрия
называться переносной, если направляющей будет не прямая, а кривая? В литературе и в
Интернете ответ на этот вопрос не найден, поэтому этот вопрос будет искать свой ответ. А я бы
назвала обычную переносную симметрию прямолинейным переносом, а вот такую, с
криволинейной направляющей - криволинейным переносом, а с ломаной направляющей – перенос с
ломаной направляющей.
Таблица 6
точка
Изображение переносной симметрии
Объект переносной симметрии
линейная фигура
плоскость
геометрическое тело
Рис.17
9
При нанесении в пятиугольнике линий, указывающих на направление движения, видно, что в
переносной симметрии направление этих линий не меняется.
Переносной симметрией в геометрии обладают параллельные прямые, основания и боковые
грани геометрических фигур, например, верхние и нижние основания цилиндра, призмы, боковые
грани nх2-угольных призм.
1.6 СКОЛЬЗЯЩАЯ СИММЕТРИЯ
Скользящей симметрией называется движение, состоящее последовательно из осевой
симметрии и переноса, параллельного оси симметрии.
Таблица 7
точка
Изображение скользящей симметрии
Объект скользящей симметрии
линейная фигура
плоскость
Рис.18
Рис.19
При нанесении в пятиугольнике линий, указывающих на направление движения (рис.18),
видно, что в скользящей симметрии движение меняет ориентацию.
На рис. 19 показана фигура с переносной симметрией вдоль оси АВ с периодом 2а плюс
симметрия относительно переноса вдоль оси АВ с периодом а и последующего отображения
относительно оси АВ. Ось АВ называется скользящей осью симметрии с периодом а.
Скользящая симметрия – это симметрия одной плоскости, т.к. здесь присутствует осевая
симметрия. Поэтому объектом скользящей симметрии могут быть только точка, линейная
фигура и плоскость. Элементом скользящей симметрии является прямая, принадлежащая
плоскости. Операции скользящей симметрии: отображение и параллельный перенос.
10
1.7 ВИНТОВАЯ СИММЕТРИЯ
Винтовая симметрия – это перенос и поворот одновременно (операции симметрии).
Объектом винтовой симметрии может быть любая геометрическая фигура.
Элементом винтовой симметрии является прямая – ось, относительно которой
происходит поступательное прямолинейное движение (параллельно оси) и поступательное
криволинейное движение (по окружности).
Рис.20
По ходу исследования возникал вопрос: винтовая линия бывает цилиндрическая и
коническая. В цилиндрической симметрия винтовая присутствует. А в конической тоже должна
быть? Считаю, да. Например, её можно назвать винтовой симметрией конуса.
1.8 СИММЕТРИЯ ПОДОБИЯ
Симметрия подобия связана с одновременным увеличением или уменьшением подобных частей
фигуры.
Таблица 8
линейная фигура
Изображение симметрии подобия
плоскость
Объект симметрии подобия
геометрическое тело
1.9 ВЫВОДЫ ПО СИММЕТРИИ В ГЕОМЕТРИИ
На основании вышеизложенного была составлена таблица, по которой можно сделать следующие
выводы: как объект симметрии точка может присутствовать во всех видах симметрии, кроме
зеркальной и подобия; линейная фигура и плоскость – во всех видах симметрии, а геометрическое
тело – во всех, кроме осевой и скользящей.
В качестве элемента симметрии точка служит только в центральной и центрально симметричной
симметриях; прямая – в осевой и скользящей принадлежит плоскости, в поворотной и
осесимметричной перпендикулярна плоскости вращения, и винтовой; линия (прямая, ломаная,
кривая) – в переносной симметрии, плоскость – только в зеркальной.
11
Как операция симметрии отображение присутствует в осевой симметрии, зеркальной,
центральной, центрально симметричной и скользящей; поворот – в поворотной, осесимметричной и
винтовой, а перенос – в переносной, скользящей и винтовой симметриях.
В симметрии подобия присутствует масштаб.
Направление движения меняется только в тех случаях, где присутствует отображение.
Симметрией одной плоскости можно считать осевую и скользящую симметрию.
Сравнительная таблица всех видов симметрии
Таблица 9
Вид
симметрии
Объект симметрии
Элемент симметрии
точка линей- плос- геометная
кость
плосричелиния
фигура
точкость
ское
ка
тело
1) Осевая
+
+
+
-
2) Зеркальная
3) Поворотная
-
+
+
+
+
+
Осесимметричность
4) Центральная
Центрально
симметричность
+
Прямая
принадлежит
плоскости
+
+
+
+
+
Прямая
перпендикулярна
плоскости
вращения
+
+
+
Операции симметрии
поворот перенос
(враща- (постуотобра- тельное пательжение
движе- ное
ние)
движение)
+
тела
вращения
+
+
+
шар
+
+
5) Переносная
+
+
+
+
6) Скользящая
+
+
+
-
7) Винтовая
8) Подобия
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
Линия
Прямая
принадлежит
плоскости
Прямая
Масштаб
+
+
+
+
-
12
2 СИММЕТРИЯ В ПРИРОДЕ
2.1 СИММЕТРИЯ В МИРЕ ЖИВОТНЫХ
Природа – удивительный творец и мастер. Эволюция в природе идёт в направлении всё
более совершенных движений. Надо кушать, но ты в одном месте, а еда в другом и вовсе не
желает попасть тебе в рот. А чем движение совершеннее, тем вернее насытишься. При этом тело
должно иметь такую симметрию, при которой нужные движения совершались бы как можно
быстрее и точнее.
При изучении строения тела животного так же, как в геометрии, используются три главных
элемента симметрии: центр симметрии, ось симметрии и плоскость симметрии.
В качестве объекта симметрии в животном мире выступают живые организмы, форма
которых:
- изначально имела форму шара, т.к. первые сгустки живого организма были взвешены в
воде. Для добычи пищи направление движения для них было безразличным – и это была
сферическая симметрия. У животных со сферической симметрией нет ни передней, ни задней, ни
боковых частей тела, любая плоскость, проведённая через центр, делит животное на одинаковые
половинки;
- по мере развития и усложнения движения под действием силы тяжести организмы
приспособились различать «верх» и «низ» и потеряли симметрию шара. Форму, которую они
приобрели, можно назвать телом вращения, а это значит, что такие организмы можно назвать
осесимметричными, т.к. они переходят в себя при любом повороте вокруг оси симметрии;
- усложняя свою организацию по добыче пищи, живые организмы приобретали различные
органы, тем самым приобретали с точки зрения геометрии поворотную, а с точки зрения биологии
- лучевую, или радиальную симметрию. Такая симметрия выражается в том, что органы
располагаются в радиальных (лучистых) направлениях вокруг одной главной продольной оси. От
числа повторяющихся органов зависит порядок радиальной симметрии. Например, если вокруг
продольной оси располагается четыре одинаковых органа, то радиальная симметрия называется
четырёхлучевой и т.п. Лучевая, или радиальная симметрия характерна для малоподвижных форм именно сидячий образ жизни способствует развитию такой симметрии;
- переход от лучевой, или радиальной к билатеральной (лат. би – дву, двух, латералис –
боковой), или двусторонней симметрии связан с переходом от сидячего образа жизни к активному
передвижению в среде, вследствие чего происходит формирование головы, становятся
различимыми правая и левая стороны тела. Благодаря этому через тело животного можно
провести лишь одну плоскость симметрии, делящую тело на правую и левую стороны.
Двусторонняя симметрия означает, что одно сторона тела животного представляет собой
зеркальное отражение другой стороны, что помогает им сохранять равновесие при передвижении,
а значит, добывать себе пищу и таким образом существовать. Левая и правая половины у
животных в биологии называются энантиоформами (правое и левое ухо, правый и левый глаз и
т.п.). Внешний облик и скелет человека тоже обладают билатеральной симметрией, которая
служит человеку не только для красоты, но и для приспособления к окружающему миру;
- если у билатеральной симметрии одна, то у двулучевой - две плоскости симметрии. Это
живые организмы, более приспособленные к законам природы;
- помимо перечисленных, существует в животном мире ещё и поступательная симметрия,
для которой характерным элементом являются метамеры (meta - один за другим, mer – часть). В
этом случае тела расположены друг за другом вдоль главной оси тела;
13
- винтовая, или вращательно-поступательная - это такой вид симметрии, при котором часть
живого организма «скопирована», а получившиеся «копии» уложены по спирали. Движение:
поступательное прямолинейное и поступательное криволинейное;
- и ещё один вид симметрии – симметрия подобия.
Типы симметрии у животных
Рисунок
прямой
Вращаательная
относительно
точки
Таблица 10
Тип симметрии
сферическая
Обнаружено в ходе исследования
Не обнаружено.
осесимметричная
Не обнаружено.
радиальная
(лучевая)
Не обнаружено.
Человек. Домашние животные: коза, корова, кошка,
кролик, лошадь, овца, свинья, собака.
Домашние птицы: гусь, курица, утка.
Птицы: воробей, ворона, голубь, ласточка, синичка,
сова. Насекомые.
(См. Приложение А)
Не обнаружено.
Билатеральная
Двулучевая
Поступательная
(метамерия)
Вращательнопоступательная
(спиральная)
Дождевой червь. Чешуя рыб. Соты, построенные
пчёлами. (См.Приложение Б)
Двухстворчатая беззубка (в верховьях реки Чумыш)
Соответствие симметрии в животном мире симметрии в геометрии
Таблица 11
Симметрия в геометрии
Осевая
Зеркальная
Поворотная
Центральная
Симметрия в животном мире
Билатеральная, или двусторонняя
Радиальная (лучевая)
Осесимметричная
-
Центрально симметричная (сферическая)
Переносная
Поступательная
Скользящая
Винтовая, или вращательно поступательная
Подобия
Вывод:
14
В мире животных проявление симметрии многообразно. Птицы, животные, люди обладают
симметрией. Симметричность форм, окраски насекомых, птиц придаёт им красоту. Но симметрия
– это не только красота. Симметричность формы необходимо рыбе, чтобы плыть, птице, чтобы
летать. Так что симметрия в природе существует неспроста: она ещё и полезна, или, иначе,
целесообразна.
2.2 СИММЕТРИЯ В РАСТИТЕЛЬНОМ МИРЕ
В результате исследования симметрии в растительном мире выявлено, что осевая симметрия
в растительном мире называется ещё симметрией листа – она характерна для листьев (рис.21).
Рис.21
Рис.22
Рис.23
Рис.24
Рис.25
Рис.26
Рис.27
Зеркальная симметрия встречается у цветов (анютины глазки) – рис.22.
В растительном мире есть такое понятие как симметрия конуса – рис.23. Здесь присутствуют
поворотная и зеркальная симметрии.
В многообразном мире цветов встречаются поворотные оси симметрии разных порядков.
Например, у петуньи (рис.24) поворотная симметрия 5-го порядка, у космеи (рис.25) – 8-го, у
ромашки (рис.26) и календулы (рис.27) – n-го порядка. Но чаще всего у цветов встречается
поворотная симметрия 5-го порядка.
Цветы яблони
Цветы вишни
Цветы черёмухи
Цветы ирги
Осесимметричной симметрией обладают овощи: кабачки (рис.28), лук (рис.29), морковь
(рис.30), редис (рис.31), свёкла (рис.32), томаты (рис.33):
Рис.28
Рис.29
Рис.30
Рис.31
Рис.32
Рис.33
фрукты: яблоки (рис.34), груши (рис.35):
Рис.34
Рис.35
Ягоды: арония черноплодная (рябина) - рис.36, вишня (рис.37),ирга (рис.38), клубника
(рис.39), облепиха (рис.40), шиповник (рис.41):
15
Рис.36
Рис.37
Рис.38
Рис.39
Рис.40
Рис.41
Центрально симметричными бывают некоторые ягоды, например, смородины (рис.42):
Рис.42
Рис. 43
Рис.44
Веточка акации имеет осевую и переносную симметрию (рис.43), а веточка боярышника
(рис.44) имеет скользящую симметрию.
В расположении листьев на стеблях большинства растений наблюдается винтовая
симметрия. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются во все стороны и не
заслоняют друг друга от света, крайне необходимого для жизни растений. Например, листья
цветка мимозы обладают винтовой симметрией, которая осуществляется переносом листьев вдоль
вертикальной оси, дополненным вращением вокруг неё на 720, а листья цветка коланхоэ – на 900
(см.Приложение Г).
Симметрию подобия можно наблюдать в растительном мире в цветах, листьях, фруктах,
ягодах, овощах.
При сравнении названия симметрии в геометрии и в растительном мире получилось
следующее:
- получили дополнительное название: осевая симметрия– симметрия листа, а поворотная –
симметрия конуса;
- центральная симметрия в растительном мире не обнаружена;
- остальные сохранили свои названия.
Соответствие симметрии в растительном мире симметрии в геометрии
Таблица 12
Симметрия в геометрии
Симметрия в растительном мире
Осевая
Осевая (симметрия листа)
Зеркальная
Поворотная
Поворотная (симметрия конуса)
Осесимметричная
Центральная
Центрально симметричная
Переносная
Скользящая
Винтовая
Подобия
16
Таблица 13 Анализ наличия симметрии в растительном мире Киселёвска
Растения
Ягоды
Сколь
зящая
Ранетка
Тополь
Акация
Боярышник
Малина
Рябина
Сирень
Смородина
Шиповник
Анютины глазки
Каны
Космея Коланхоэ
Мимоза
Мята
Ноготки
Петунья
Роза
Ромашка
Винтовая Подо(угол
бия
поворота)
л-1800
л-1200
л-1200
л
л
Липа
л-1200
я
л -1200
л-1200
л
л
я
л
л-1200
л
я
л
л-900
л-1200
я
л
я
л
ц
л-1800
ц 8-го
л-900
л-720
л-900
л-1200
ц
ц 5-го
л-1800
ц
Вишня
+
Ирга
+
Клубника
+
Облепиха
Груши
Яблоки
Кабачки
+
+
+
+
О
в
о
щ
и
Фрук
-ты
Берёза
Дуб
Карагач (вяз)
Клён
Зеркаль
ная
Существует у всех видов растений.
Цветы
Кустарники
Деревья
Осевая
Симметрия
Пово- Осе
Цент- Переротрально
носная
ная
симметричная
17
Лук
Морковь
Редис
Свёкла
Томаты
л – листья, ц – цветок, я – ягода
+
+
+
+
+
2.3 СИММЕТРИЯ В НЕЖИВОЙ ПРИРОДЕ
Симметрию в неживой природе
представляет, например, снег, который тоже
является украшением нашего города, ведь
каждая снежинка - это
сложная
симметричная структура, состоящая из
кристалликов льда, собранных вместе.
Форма снежинок может быть самой
разнообразной, до сих пор не удалось найти
среди снежинок двух одинаковых, но все они
обладают поворотной симметрией 6-го
порядка и зеркальной симметрией (6
плоскостей симметрии).
У плоских снежинок, вырезанных из бумаги, тоже поворотная симметрия 6-го порядка, но
вместо зеркальной уже осевая симметрия с шестью осями симметрии.
Зеркальная симметрия с горизонтальной осью симметрии
18
На берегу реки Чумыш (у моста)
Единственная горизонтальная симметрия, которую мы встречаем в природе, - отражение в
зеркале воды. Возможно, в необычности такой симметрии и заключается ее завораживающая сила.
2
СИММЕТРИЯ В АРХИТЕКТУРЕ И В БЫТУ
Архитектурные сооружения, созданные человеком, в большей своей части симметричны. Они
приятны для глаза, их люди считают красивыми и подсознательно понимают, что симметрия – это
форма устойчивости, а значит, существования на нашей планете. Поэтому в рукотворных вещах
человек интуитивно стремится к симметрии.
Простейший вид симметрии — зеркальная симметрия. Плоскость симметрии в
произведениях архитектуры, как правило, вертикальна. Поворотная симметрия — это симметрия
относительно вертикальной оси, линии пересечения двух (или большего числа) вертикальных
плоскостей симметрии. Сооружение при этом состоит из равных частей, которые могут
совмещаться при повороте вокруг оси симметрии. Поворотная симметрия определяет помимо
зданий форму некоторых архитектурных деталей — например, колонн и их капителей, покрытий
зданий. Используется в архитектуре переносная симметрия. К редко используемым видам
относится винтовая симметрия. Она издавна применялась, например, для винтовых лестниц.
Наиболее распространена в архитектуре зеркальная симметрия. Если обратиться к истории, то
зеркальной симметрии подчинены постройки Древнего Египта и храмы античной Греции,
амфитеатры, термы, базилики и триумфальные арки римлян, дворцы и церкви Ренессанса.
Архитектура древнего Египта – одни прямые линии, кроме, конечно, людей фигур и животных,
здесь зеркальная и переносная симметрия. В арабской архитектуре и в итальянской эпохи
Возрождения – плюс поворотная симметрия – и как она легка и красива! Максимум симметрии в
XYII и XYIII веках: уже не только общая симметрия здания, но и орнаментов, всяких цветочных
веночков. В XIX в. всё это исчезло, архитектура скучнеет. А в
XX в. симметрия и вовсе
начинает пропадать.
На дворе XXI век. Что с симметрией в настоящее время и конкретно с симметрией в
архитектуре и в быту в нашем городе?
Соответствие симметрии в архитектуре и в быту симметрии в геометрии
Таблица 13
Симметрия в геометрии
Симметрия в архитектуре
и в быту
Осевая
Зеркальная
Поворотная
Центральная
Переносная
Скользящая
Винтовая
Подобия
Обнаружено в ходе
исследования
Художественное творчество:
вышивки,картины и т.п.
См. Приложение Д
См. Приложение Ж
Художественное творчество:
вышивки,картины и т.п.
См. Приложение Е
Художественное творчество:
вышивки,картины и т.п.
Винтовые лестницы.
См. Приложение И
19
Большое значение в архитектуре и в быту имеют украшения в виде орнаментов. Орнамент
(от лат. – украшение) – узор, состоящий из повторяющихся, ритмически упорядоченных
элементов. Он может быть: ленточным, его называют бордюром (см.Приложение К), розеткой
(см.Приложение Л) и сетчатым орнаментом(см.Приложение М). По используемым в орнаменте
мотивам его делят на: геометрический, растительный, животный.
В ходе исследования орнаменты были обнаружены в рисунках обоев, которые находят всё
меньшее применение, особенно в общественных зданиях из-за своей пожароопасности, в
печатных рисунках на материалах и в рукоделии. Лепные розетки на фасадах жилых домов и
общественных зданий – явление довольно редкое, их можно увидеть разве лишь на постройках
50-х годов прошлого столетия, а в помещениях розетки используются преимущественно для
декорирования плафонов.
Прогуливаясь по нашему городу, можно убедиться в стремлении архитекторов города к
гармонии, а это в той или иной степени связано с симметрией.
20
4 СИММЕТРИЯ В ТЕХНИКЕ
Зеркальная симметрия в технике
Каток - осесимметричный
Переносная симметрия у вагонов и у шпал
Поворотная симметрия у колёс
Поворотная плюс винтовая симметрия
Симметрия подобия
21
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
По результатам исследования – украшает ли симметрия город Киселёвск – можно прийти к
выводу, что животный мир нашего города, обладая билатеральной симметрией, бегает, прыгает,
летает, питается сам и нас кормит; люди с этой же симметрией работоспособны, занимаются
спортом и очень красивы! Растительный мир – прекрасен, развивается по своим законам
симметрии, кормит нас и радует своей величавой простотой и красотой! Единичные постройки
пятидесятых годов прошлого столетия – украшение нашего города. Современная красота в
архитектуре больше связана в настоящее время с храмами и часовнями – духовная чистота и
красота присутствует здесь в полной мере! Киселёвск - угледобывающий и машиностроительный
город, строится – город заполонён автомобилями, на разрезах и шахтах работает тяжёлая техника
– экскаваторы, грузоподъёмные машины и много другой зеркально-симметричной техники! Все
виды симметрии присутствуют у нас, украшая наш прекрасный Киселёвск!
Гипотеза доказана: если понимать симметрию в геометрии, то возможно видеть симметрию
окружающего мира и делать правильные выводы. Поставленные задачи выполнены, цель работы
достигнута. В итоге, я с уверенностью могу сказать: да, симметрия украшает Киселёвск!!! Она
вокруг нас. Только надо уметь её видеть. Я научилась это делать!
22
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ ИНФОРМАЦИИ И ИЛЛЮСТРАЦИЙ
Литература:
1Волошинов,А.В. Математика и искусство/А.В.Волошинов –М.:Просвещение,1992.-335с.
2 Воротников,И.А.Занимательное черчение/И.А.Воротников- М.:Просвещение,1990.-224с.
3 Гильде, В. Зеркальный мир/В.Гильде –М.:Мир,1982.-120с.
4 Гутнов,А.Э.Мир архитектуры/А.Э.Гутнов – М.:Молодая гвардия,1985.-351с.
5 Овсянников,Ю.М.Рассказы об архитектуре – М.: Детская литература,1984.-191с.
6 Рыдник,В.И. От ромашки до антимира/В.И.Рыдник – М.:Детская литература,1971.-160с.
7 Тарасов,Л.В. Этот удивительно симметричный мир/Л.В.Тарасов – м.:Просвещение,1982.-176с.
8 Шарыгин,И.Ф.Наглядная геометрия/И.Ф.Шарыгин,Л.Н.Ерганжиева – Смоленск: Русич, 1995.208с.
9 9 Энциклопедический словарь юного математика/сост.Савин А.П.-М.:Педагогика,1985.-352с.
Сайты в Интернете:
1 http://images.yandex.ru
Иллюстрации:
1 http://images.yandex.ru
2 Фотографии из личного архива
23
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Билатеральная симметрия в животном мире
Домашние животные
Лошадь
Коза
Эту собаку зовут Султан
Кот Василий
Домашние птицы
24
Петух
Птицы
Голуби
Ласточка
Сова
Синица
Трясогузка
Дикие животные
Ёжик
25
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
Поступательная симметрия в животном мире
26
ПРИЛОЖЕНИЕ В
Осевая симметрия плюс трансляция в растительном мире
Листья рябины красной
Листья клёна
Листья шиповника
27
ПРИЛОЖЕНИЕ Г
Винтовая симметрия в растительном мире
720
Листья мимозы
900
Коланхоэ
Мята
Сирень
1200
Ранетка
Тополь
Вяз (карагач)
Дуб
Липа
28
Смородина
Малина
Ноготки (листья), цветок –
поворотная симметрия
Васильки (листья), цветок –
поворотная симметрия 5-го порядка
1800
Роза (листья)
Каны (листья)
Листья берёзы
29
ПРИЛОЖЕНИЕ Д
Зеркальная симметрия в архитектуре
Здание Администрации города Киселёвска
Стадион «Шахтёр»
30
Кинотеатр «Россия»
Памятник воинам-интернациолистам, воевавшим в Афганистане
Здание казначейства
31
Гостиница «Кристалл»
Храмовый комплекс Иконы Божьей Матери Скоропослушницы на Красном Камне
32
Часовня Иконы Божьей Матери Смоленской
33
Часовня в честь праздника Сретенье Господне в селе Верх-Чумыш
Жилой дом на улице Ленина
ПРИЛОЖЕНИЕ Е
Переносная симметрия в архитектуре
Окна Храмового комплекса Иконы Божьей Матери Скоропослушницы на Красном Камне
34
Опоры моста
Дом детского творчества на Тайбинке
Переносная симметрия: колонны, фонари; балясины на балконе; двери, над ними окна;
гипсовая лепка по периметру фронтона.
Плюс: зеркальная симметрия у самого здания, у окон, у дверей;
поворотная симметрия 4-го порядка - у композитной колонны
и осесимметричная – у фонарей и балясин на балконе.
Балясины на веранде у Россельхозбанка
35
Ограда Сбербанка
Ограда Храмового комплекса Иконы Божьей Матери Скоропослушницы на Красном Камне
Счёты на детской игровой Перила возле магазина
площадке
«Альфа»
36
Рукоход на детской площадке
Переносная симметрия с криволинейной направляющей
ПРИЛОЖЕНИЕ Ж
Поворотная симметрия в архитектуре и в быту
37
Тосканская колонна Композитная капитель на колонне
у Администрации
у Дома детского творчества на Тайбинке
города Киселёвска
ПРИЛОЖЕНИЕ И
Симметрия подобия в архитектуре и в быту
38
ПРИЛОЖЕНИЕ К
Бордюры
39
Периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте называют бордюром. На
практике бордюры встречаются в разных видах: это может быть настенная роспись, украшающая
стены зданий, бордюры могут быть на бумаге, изготовлены из чугунного литья, из гипса или
керамики. Всего существует семь типов симметрии бордюра. Любой бордюр обладает переносной
симметрией вдоль своей оси (оси переноса).
Таблица 25
Схема
бордюра
Анализ наличия бордюров в архитектуре и быту
Наименование
Моя проба пера
Обнаружено в ходе исследования
Переносная
Осевая +
переносная
Не обнаружено
Скользящая
Осевая
40
Поворотная 2го порядка
Не обнаружено
Скользящая +
поворотная 2го порядка
Не обнаружено
Осевая +
поворотная 2го порядка
ПРИЛОЖЕНИЕ Л
Розетка
Орнамент, вписанный в круг, называется розеткой. Розетка в архитектуре —
мотив орнамента в виде лепестков распустившегося цветка или нескольких листьев, одинаковых
41
по форме, расположенных симметрично и радиально расходящихся из сердцевины.
Геометрические приёмы, используемые при составлении розеток: деление окружности или
многоугольника на равные части, в одной части рисуется узор, а потом с помощью симметрии
повторяется в других частях.
ПРИЛОЖЕНИЕ М
Сетчатый орнамент
Сетчатый орнамент заполняет всю плоскую поверхность сплошным узором - такой вид
узора называют ещё орнаментальной симметрией. Орнаментальная симметрия строится на одной
42
из пяти возможных плоских решёток. Решётка образуется в результате пересечения двух семейств
параллельных, равноотстоящих друг от друга прямых. Точки пересечения прямых называются
узлами решётки.
Чтобы задать решётку, нужно задать её элементарную ячейку и затем переносить эту
ячейку параллельно самой себе вдоль прямой АВ на расстояния, кратные a, либо вдоль прямой АС
на расстояния, кратные b.
Различают пять типов плоских решёток (пять типов переносной симметрии на плоскости).
Таблица 23
Наименование
решётки
квадратная
Анализ наличия сетчатого орнамента
Параметры
Чертёж решётки
Обнаружено в ходе исследования
a=b, γ0=900
43
прямоугольная a≠b, γ0=900
гексагональная a=b, γ0=600
ромбическая
a=b,
γ0≠900, γ0≠600
косая
a≠b, γ0≠900
Не обнаружено
Заполнив одну ячейку решётки, весь орнамент получается с помощью переносной симметрии.
44
45