Математический анализ: функции и пределы

Ведение в Математический анализ – часть математики, в
которой функции и их обобщения изучаются с помощью
пределов.
§ Понятие функции
Основные понятия
Пусть X,Y – множества произвольной природы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если xX поставлен в соответствие
единственный элемент yY, то говорят, что на
множестве X задана функция (отображение) с
множеством значений Y.
Записывают: f: X  Y,
y = f(x)
(где f – закон, осуществляющий соответствие)
Называют: X – область (множество) определения функции
x (xX) – аргумент (независимая переменная)
Y – область (множество) значений
y (yY) – зависимая переменная (функция)
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
1) словесный;
2) табличный;
3) графический;
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Графиком
функции
y = f(x) называется геометрическое место
точек плоскости с координатами (x; f(x)).
График функции y = f(x) будем также
называть «кривой y = f(x)».
4) аналитический:
а) явное задание (т.е. формулой y = f(x) )
б) неявное задание (т.е. с помощью
уравнения F(x,y)=0 ).
Классификация вещественных функций
вещественного аргумента
Вещественные функции
вещественного аргумента
элементарные
неэлементарные
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ:
1) степенные: y = xr (rℝ)
2) показательные: y = ax (a > 0, a  1)
3) логарифмические: y = logax (a > 0, a  1)
4) тригонометрические: y = sinx, y = cosx, y = tgx,
y = ctgx
5) обратные тригонометрические: y = arcsinx,
y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Элементарной
функцией
называется функция, которая может быть задана
одной формулой y = f(x), где f(x) – выражение,
составленное из основных элементарных функций
и действительных чисел с помощью конечного
числа операций сложения, вычитания, умножения,
деления и взятия функции от функции.
• Многочленом степени n (полиномом, целой
рациональной) называется функция вида
Pn ( x)  a0 x n  a1 x n 1  a2 x n  2  ...  an
(ak  R, a0  0, n  N , k  0, ..., n).
• Рациональной (дробной рациональной)
функцией называют отношение двух
многочленов
a0 x n  a1 x n 1  a2 x n  2  ...  an
f ( x) 
b0 x m  b1 x m 1  b2 x m  2  ...  bm
• Иррациональными функциями называют
функции, полученные конечным числом
арифметических операций над аргументом х и
конечного числа композиций степенных
функций с рациональным показателем.
• Алгебраическими функциями
называют рациональные (целые
рациональные и дробные
рациональные) и
иррациональные функции.
• Трансцендентными называют
остальные элементарные
функции.
элементарные
алгебраические
рациональные
Целые рациональные
(многочлен)
трансцендентные
иррациональные
Дробные рациональные
(рациональные дроби)
Основные характеристики поведения функции
1) Четность функции (четная,
нечетная, общего вида);
2) Периодичность функции;
3) Монотонность функции
(возрастающая, убывающая,
неубывающая, невозрастающая);
4) Ограниченность функции
(ограниченная сверху, ограниченная
снизу, ограниченная).
§ Предел функции
Определение предела функции по Коши
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки
x0ℝ̄ , кроме, может быть, самой точки x0 .
U*(x0, ) = U(x0, ) \ {x0} – проколотая окрестность точки x0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ (по Коши, на языке -).
Число Aℝ называется пределом функции f(x) при x ,
стремящемся к x0 (пределом функции f(x) в точке x0), когда
>0 >0 такое, что
если xU*(x0, ) , то f(x)U(A, ) .
Геометрическая интерпретация понятия предела функции
f ( x) 
 A
x x0
lim f ( x)  A
x  x0

(  0)( ( )  0)(x  X , 0  x  x 0   )  f ( x)  A   )
y
A+ε
A
f(x)
2ε
A-ε
2δ
x0
x0-h1
x0+h2
x
Свойства пределов
1) Если функция имеет предел при x  x0 ,
то этот предел единственный.
2) Если функция f(x) имеет предел при
x  x0 , то она ограничена в некоторой
проколотой окрестности точки
x0
(говорят:
функция
локально
ограничена).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция (x) называется
 ( x)  0
бесконечно малой при x  x0 , если xlim
x
0
3) ЛЕММА
(о роли бесконечно малых
функций).
Число Aℝ является пределом функции f(x)
при x  x0  f(x) = A + (x) , где (x) –
бесконечно малая при x  x0 .
4) Пусть f(x) – ограничена в некоторой
проколотой окрестности точки x0 , (x) –
бесконечно малая при x  x0 . Тогда
f(x)  (x) – бесконечно малая при x  x0 .
5) Пусть f(x) и g(x) имеют предел при x  x0 .
Тогда их сумма, разность, произведение и частное тоже
имеют предел при x  x0 , причем
a) lim [ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x)
x  x0
x  x0
x  x0
b) lim [ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x)
x  x0
x  x0
lim f ( x)
 f ( x)  x  x0
c) lim 


x  x0  g ( x) 
lim g ( x)
x  x0
x  x0


 lim g ( x)  0 
 x  x0

Следствие свойства 5. Если f(x) имеет предел при x  x0 , то
cℝ функция с  f(x) тоже имеет предел при x  x0, причем
lim c  f ( x)  c  lim f ( x)
x  x0
x  x0
Говорят: «константу можно вынести за знак предела».
Замечание. Свойство 5 и его следствие обычно называют
теоремами о пределах.
6) Пусть f(x) имеет предел при x  x0 и >0 такое, что
f(x)  0 (или f(x) > 0), xU*(x0, ).
Тогда lim f ( x)  0
x  x0
7) Пусть f(x) и g(x) имеют пределы при x  x0 и >0 такое,
что f(x)  g(x) (или f(x) > g(x)), xU*(x0, ).
Тогда lim f ( x)  lim g ( x)
x  x0
x  x0
8) ЛЕММА (о двух милиционерах).
Пусть f(x) и g(x) имеют одинаковый предел при x  x0 и
>0 такое, что f(x)  (x)  g(x) , xU*(x0, ).
Тогда функция (x) тоже имеет предел при x  x0 , причем
lim f ( x)  lim  ( x)  lim g ( x)
x  x0
x  x0
x  x0
9) Пусть f: X  Y , : Y  Z и существуют
f ( x)  y 0 ,
lim  ( y )  z0
пределы xlim
x
y y
0
0
Тогда сложная функция (f(x)) имеет предел
при x  x0 , причем
lim  ( f ( x))  lim  ( y )  z0
x  x0
y  y0
(1)
Формула (1) называется формулой замены
переменной в пределе.
Предел последовательности
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Последовательностью
называется функция, заданная на множестве
натуральных чисел.
Если область значений последовательности –
числовое множество, то последовательность
называют числовой, если область значений –
множество функций, то последовательность
называют функциональной.
Принято обозначать:
аргумент последовательности: n (или k)
значения функции: xn, yn и т.д.
Называют: x1 – первый член последовательности,
x2 – второй член последовательности и т.д.
xn – n-й (общий) член последовательности.
Способы задания последовательностей:
1) явно (т.е. формулой xn = f(n) )
2) рекуррентным соотношением
(т.е. формулой xn = F(xn-1, xn-2,…, xn-k) )
Записывают последовательность:
{ x1, x2, …, xn, …} – развернутая запись;
{ xn } – короткая запись (где xn – общий член
последовательности).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число aℝ называется пределом
последовательности { xn } если >0 Nℕ
такое, что
| xn – a | < , n>N.
Записывают:
lim xn  a,
n 
xn  a
Говорят: последовательность
(стремится) к a.
{
xn
}
сходится
Последовательность, имеющую предел, называют
сходящейся (сходящейся к числу a)
Последовательность, не имеющую предела, называют
расходящейся.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
предела последовательности
Пусть rℝ,
M(r)Ox
M
O
x
M(r) – геометрическая интерпретация числа rℝ .
Пусть x0ℝ, >0.
x0  
x0
x0  
x
Интервал (x0 – ; x0 + ) называют -окрестностью точки x0.
(геометрическое определение -окрестности точки)
Будем обозначать: U(x0, )
Имеем:
U(x0, ) = {xℝ : |x – x0| < }
(алгебраическое определение -окрестности точки)
Из определения предела последовательности
следует:
если {xn}a ,
то с геометрической точки зрения
это означает,
что в любой -окрестности точки a находятся
все члены последовательности {xn},
за исключением, может быть, конечного числа
членов
этой
последовательности.
(Геометрическая интерпретация предела
последовательности).
 a – точка «сгущения»
последовательности { xn }.
Число А называется пределом последовательности {xn} при
n→∞, если
  0 N ( ) n  N | xn  A | 
Пишут:
lim xn  A
n 
Доказать:
n
lim
1
n  n  1
xn
1
1±1/7
2
4
6
8
11
n
Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если
lim xn  0
n 
то есть если   0 N ( ) n  N ( ) | xn | 
1
n
xn
1
ε=0,2
2ε
xn 
2ε
2
4
6
8 10 12 14 16
ε=0,1
n
Бесконечно большие функции
Пусть функция f(x) определена в некоторой
окрестности точки x0ℝ̄ , кроме, может быть,
самой точки x0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ (на языке -).
Функцию f(x) называют бесконечно большой
при x  x0 (в точке x0), если M>0 >0
такое, что
если xU*(x0, ), то | f(x) |>M .
Говорят: «f(x) стремится к  при x  x0»
«предел функции f(x) при x  x0 равен ».
Частные случаи бесконечно больших функций:
1) f(x) – б.б. при x  x0 и f(x)  0 , xU*(x0, ) .
Тогда
| f(x) | = f(x) >M , xU*(x0, )
Записывают:
lim f ( x)  ,
f ( x)   ďđč x  x0
x  x0
Говорят: «f(x) стремится к +  при x  x0»
«предел функции f(x) при x  x0 равен + ».
2) f(x) – б.б. при x  x0 и f(x)  0 , xU*(x0, ).
Тогда
| f(x) | = – f(x) > M
 f(x) < – M, xU*(x0, )
Записывают:
lim f ( x)  ,
f ( x)   ďđč x  x0
x  x0
Говорят: «f(x) стремится к –  при x  x0»
«предел функции f(x) при x  x0 равен – ».
СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ
1) Если f(x) – б.б. при x  x0, то функция 1/f(x) – б.м. при x  x0.
Если (x) – б.м. при xx0, то функция 1/(x) – б.б. при xx0.
(связь бесконечно больших и бесконечно малых)
2) Если f(x) и g(x) – б.б функции одного знака, то их сумма
f(x) + g(x) – б.б. того же знака.
3) Если f(x) – б.б при x  x0 , g(x) – ограниченна в некоторой
окрестности U*(x0, ), то их сумма f(x) + g(x) – б.б. при x x0.
4) Если f(x) и g(x) – б.б. при x  x0 , то их произведение
f(x)  g(x) – тоже б.б. при x  x0 .
5) Если f(x) – б.б. при x  x0 , g(x) – имеет предел при x  x0,
причем
lim g ( x)  a  0
x  x0
то их произведение f(x)  g(x) – б.б. при x  x0 .
6) Если f(x) – б.б. при x  x0 и xU*(x0, ) имеет место
неравенство | f(x) | < | g(x) | (| f(x) |  | g(x) |),
то функция g(x) тоже является б.б. при x  x0 .
7) Пусть f(x) и g(x) – б.б. одного знака при x  x0 и >0 такое,
что
f(x)  (x)  g(x) , xU*(x0, ).
Тогда функция (x) тоже является б.б. того же знака при
x  x0 .
(лемма о двух милиционерах для б.б. функций)
Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если
Пишут:
xn =n2
C  0 N n  N | xn | C
lim x n  
n 
xn
C=100
100
50
C=9
2
4
6
8
11
n
Предел монотонной последовательности
Определение. Последовательность {xn} называется
- возрастающей, если для любого n xn < xn+1; обозначают (↑)
- неубывающей, если для любого n xn ≤ xn+1;
(↑)
- убывающей, если для любого n xn > xn+1;
(↓)
- невозрастающей, если для любого n xn  xn+1;
(↓)
Определение. Возрастающая и убывающая последовательности называются
монотонными
Теорема Вейерштрасса (о существовании предела монотонной
последовательности)
Если последовательность {xn} монотонно возрастает (убывает) и
ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел, равный
sup{xn} ( inf {xn} ).
Односторонние пределы.
Условие существования lim f ( x) (x0ℝ).
x  x0
Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x0ℝ ,
кроме, может быть, самой точки x0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
1) Число Aℝ называется пределом функции f(x) при x,
стремящемся к x0 слева (в точке x0 слева), если >0
>0 такое, что если x удовлетворяет условию
0 < x0 – x < ,
то
f(x)U(A, ) .
2) Число Bℝ называется пределом функции f(x) при x,
стремящемся к x0 справа, если >0 >0 такое, что если
x удовлетворяет условию
0 < x – x0 < ,
то
f(x)U(B, ).
3) Говорят, что предел функции f(x) в точке x0 слева равен
+ (–) (функция стремится к + (–) при x, стремящемся к x0 слева), если M>0 >0 такое, что если x
удовлетворяет условию
0 < x0 – x < ,
то
f(x) > M ( f(x) < –M).
4) Говорят, что предел функции f(x) в точке x0 справа равен
+ (–), если M>0 >0 такое, что, если x удовлетворяет
условию
0 < x – x0 < ,
то
f(x) > M ( f(x) < –M).
Обозначают:
f ( x0  0) ,
f ( x0  0) ,
lim
f ( x) – предел f(x) в точке x0 слева,
lim
f ( x) – предел f(x) в точке x0 справа.
x  x0  0
x  x0  0
Если x0 = 0, то пределы слева и справа обозначают:
f (0) , lim f ( x) è f (0) , lim f ( x)
x  0
x  0
ТЕОРЕМА (необходимое и достаточное условие
существования предела f(x) при x  x0 и x0ℝ).
Функция f(x) имеет предел (конечный) при x  x0
 существуют конечные и равные между собой
односторонние пределы функции f(x) при x  x0 .
При этом
lim f ( x)  lim
x  x0
x  x0  0
f ( x)  lim
x  x0  0
f ( x)
Замечание.
Все свойства пределов и бесконечно больших
остаются справедливыми и для односторонних
пределов.
Определение предела функции
символы
определение
lim f ( x )  A   0   0 x
x  x0
| x  x0 |  | f ( x)  A | 
картинка
y
A
пример
lim ( 2 x  5)  7
2ε
lim f ( x)  0
  0   0
x | x  x0 |  | f ( x) | 
x  x0
f(x) называется
б. б., если
lim f ( x)  
x  x0
f(x) называется
б. б., если
lim f ( x)  
x  x0
C  0   0 x,
| x  a |  f ( x)  C
|2x+5-7|=2|x-1|<ε
⇒ |x-1|<δ= ε/2
2δ
x0
f(x) называется
б. м., если
x 1
f(x)
y
2ε
x
x5
0
x 5
x
lim
f(x)
2δ
x0
x
Определение предела функции (продолжение)
символы
определение
lim f ( x)  A   0 C x,
x
картинка
f(x)
пример
y
A
| x | C | f ( x)  A | 
x2  x
lim
1
2
x 
x
2ε
x
C
-C
lim f ( x)  A
x
lim f ( x)  A
x 
 lim f ( x)   
x 
lim f ( x)  
x 
lim f ( x)   

x  
1) M  0 C  0 x  C f ( x)  M
2) M  0 C  0 x  C f ( x)   M
lim x( x 2  1  x)
y
x
f(x)
x
1 / 2, x  

, x   
Замечательные пределы
Название замечательных пределов в математическом анализе
получили следующие два утверждения:
sin x
– первый замечательный предел;
1) lim
1
x 0 x
1
x
2) lim 1  x   e
x 0
– второй замечательный предел.
СЛЕДСТВИЯ ПЕРВОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА
tg x
1) lim
1
x 0 x
arcsin x
3) lim
1
x 0
x
1  cos x
2) lim
1
2
x 0 x 2
arctg x
4) lim
1
x 0
x
СЛЕДСТВИЯ ВТОРОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА
ln(1  x)
1) lim
1
x 0
x
e x 1
3) lim
1
x 0
x
log a (1  x)
2) lim
1
x 0
x ln a
a x 1
4) lim
1
x  0 x ln a
Замечание. Из формулы замены переменной  1-й и 2-й
замечательный пределы и их следствия остаются верными,
если вместо x будет стоять любая б.м. функция (x).
Сравнение б.м. и б.б. функций
Пусть функции (x) и (x) – б.м. при x  x0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
1) (x) называется бесконечно малой более высокого порядка
 ( x)
чем (x) если
lim
x  x0  ( x )
0
Записывают: (x) = o((x)) .
2) (x) и (x) называются бесконечно малыми одного порядка,
если
 ( x)
lim
 C , где Сℝ и C  0 .
x  x0  ( x )
Записывают: (x) = O((x)) .
3) (x) и (x) называются эквивалентными, если
 ( x)
lim
1
x  x0  ( x )
Записывают: (x) ~ (x).
4) (x) называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой (x), если бесконечно малые (x)
и ((x))k имеют один порядок, т.е. если
 ( x)
lim
 C , где Сℝ и C  0 .
k
x  x 0  ( x ) 
ТЕОРЕМА 6 (о замене бесконечно малых на эквивалентные).
Пусть (x), (x), 1(x), 1(x) – б.м. при x  x0. Если
(x) ~ 1(x), (x) ~ 1(x),
то
 ( x)
1 ( x)
lim
x  x0  ( x )
 lim
x  x0 1 ( x)
ТЕОРЕМА 7 (о главной части бесконечно малой).
Пусть (x) и (x) – б.м. при x  x0, причем (x) – б.м. более
высокого порядка чем (x). Тогда
(x) = (x) + (x) ~ (x) .
Б.м. (x) называют в этом случае главной частью
бесконечно малой (x) .
Замечание. Из 1-го и 2-го замечательных пределов и их
следствий можно получить таблицу эквивалентных
бесконечно малых функций:
Аналогично бесконечно малым сравниваются и бесконечно
большие функции.
А именно, если f(x) и g(x) – бесконечно большие при x  x0, то
1) f(x) называется бесконечно большой более высокого порядка
чем g(x) если
f ( x)
lim
x  x0 g ( x )

2) f(x) и g(x) называются бесконечно большими одного
порядка, если
f ( x)
lim
 C , где Сℝ и C  0 ;
x  x0 g ( x )
3) f(x) и g(x) называются эквивалентными
большими (записывают: f(x) ~ g(x)), если
f ( x)
lim
1
x  x0 g ( x )
бесконечно
4) f(x) называется бесконечно малой порядка k относительно
бесконечно большой g(x), если
f ( x)
lim
 C , где Сℝ и C  0 .
k
x  x0  g ( x ) 
ТЕОРЕМА (о замене бесконечно больших на эквивалентные).
Пусть f(x), g(x), f1(x), g1(x) – б.б. при x  x0. Если
f(x) ~ f1(x) , g(x) ~ g1(x),
то
f ( x)
f1 ( x)
lim
x  x0 g ( x )
 lim
x  x0 g1 ( x)
ТЕОРЕМА (о главной части бесконечно большой).
Пусть f(x) и g(x) – б.б. при x  x0, причем g(x) – бесконечно
большая более высокого порядка чем f(x). Тогда
z(x) = f(x) + g(x) ~ g(x) .
Б.б. g(x) называют в этом случае главной частью бесконечно
большой z(x) .