Национальная образовательная программа
«Интеллектуально – творческий потенциал России»
Всероссийский конкурс исследовательских работ
«Юность. Наука. Культура»
Секция: математика
Тема: «С уравнением по жизни»
Автор работы: Карелина Любовь
МОУ «Лицей №1 имени К.С. Отарова», 10 класс.
г. Тырныауз КБР
Научный руководитель: Тишина Наталья Ивановна,
учитель математики МОУ «Лицей №1»
г. Тырныауз КБР
г. Обнинск, 2018/2019 учебный год
Оглавление.
Стр.
1. Введение____________________________________________________________ 3
2. Обзор литературы___________________________________________________
3
3. Методика исследования______________________________________________
3
4. Анализ методов решений уравнений в разных классах школы_____________
4
1-4 классы _______________________________________
4
5-8 классы
_______________________________
5
9-11 классы
________________________________
6-9
5. Практическая часть _________________________________________________
10
1) Решения заданий №6 и №21 ОГЭ____________________________________
10
2) Решения заданий №7 уравнений ЕГЭ – базовый уровень ______________
11
3) Решения заданий №5 и №15 уравнений ЕГЭ – профильный уровень_____ 11-13
4) Примеры экзаменационных уравнений ОГЭ и ЕГЭ____________________
13
6. Заключение________________________________________________________
13
7. Выводы____________________________________________________________
13
8. Практическая значимость_____________________________________________
14
9.Список использованных источников и литературы________________________
14
2
Введение
Первая встреча с уравнением в школе происходит в первом классе. Ученик растет, переходит
из класса в класс и уравнения усложняются, становятся разнообразными способы их решения, решаются задачи с помощью уравнений.
Однажды мы обратили внимание на то, что уравнения решаются каждый год. Мы начали сравнивать решения уравнений из разных классов, находить общее, различия и знакомиться с новыми,
незнакомыми нам ранее уравнениями и методами их решений. Таким образом, убеждаемся в том,
что уравнения есть во всех классах школьного курса математики, но различаются способы их
решений. Уравнение играет большую роль в математическом образовании учащихся. Уравнения
встречаются и на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ.
Цель работы: исследовать использование уравнений в школьном курсе математики.
Задачи работы:
1. Собрать и обобщить данные об уравнениях.
2.Охарактеризовать и проанализировать виды уравнений и способы их решений.
Актуальность работы заключается в том, чтобы собрать и обобщить материал об уравнениях,
найти возможность применения обобщенного материала в учебной деятельности учащихся, в
подготовке к промежуточной аттестации и выпускным экзаменам в форме ОГЭ и ЕГЭ.
Работа выполнена в лицее №1 г. Тырныауза под руководством учителя Тишиной Н.И.
в октябре-ноябре 2018 года.
Обзор литературы по теме исследования:
Были собраны материалы: понятия, формулы, определения и методы решений уравнений из энциклопедий, справочников, учебников, Интернет-сайтов.
Учебники: Математика 1кл., 2кл., 3кл., 4кл. автор Э. И. Александрова М.: Издательство «ВИТАПРЕСС», 2015г.
Учебники: Математика 5кл., 6кл. авторы Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С. И.
Шварцбурд М.: «Мнемозина», 2016г.
Учебники: Алгебра 7кл., 8кл., 9кл. авторы Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова М.: «Просвещение», 2012г.
Учебники: Алгебра и начала анализа 10кл., 11кл. авторы А.Г. Мордкович М.: «Мнемозина», 2016г.
Учебник: Алгебра и начала анализа 10кл. авторы А.Н. Колмогоров и др. М.: «Просвещение»,
2012г.
3000 задач с ответами по математике. Авторы А.Л. Семенова, И.В. Ященко. М.: «Экзамен», 2013
Интернет-сайты: http:// ru.wikipedia.org/wiki,
alekxlarin.net
www1.ege.edu
www.100 ege.ru
Методика исследования:
При проведении исследования мы собирали и систематизировали найденные данные о приемах
и методах решений различных уравнений, выбирали наиболее важные понятия. В работе применяли компьютерные технологии: набирали, редактировали тексты в Word, работали с файлами,
нумеровали страницы, применяли редактор формул, вычисляли в Excel, находили в Интернете
интересующий нас материал, изучали учебники математики с 1 по 11 классы, сборники ОГЭ и
ЕГЭ.
3
Анализ методов решений уравнений в разных классах школы.
1 класс.1
44-х=40
х=44-40
х=4
Ответ: 4
2 класс.2
х+7=17
х=17-7
х=10
Ответ:10
Уравнения решаются логически, подбором постепенно совершается переход к решению уравнений по правилам.
3 класс.3
х+3=17-2
х+3=15
х=15-3
х=12
Проверка: 12+3=17-2
15=15(верно)
Ответ: 12
Уравнения такого типа решаются по правилам нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого.
4 класс.4
350: c=5*10
350: c=50
c = 350:50
с =7
Проверка: 350:7=5*10
50=50 (верно)
Ответ: 7
Уравнения такого типа решаются по правилам нахождения неизвестного множителя, делимого,
делителя.
5 класс.5
Математика 1 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. /Э. И. Александрова. М. «ВИТА-ПРЕСС»,
2015/
2
Математика 1 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. /Э. И. Александрова. М. «ВИТА-ПРЕСС»,
2015/
3
Математика 3 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений./Э. И. Александрова. М. «ВИТА-ПРЕСС», 2015
1
Математика 4 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. /Э. И. Александрова. М. «ВИТА-ПРЕСС»,
2015/
5
Математика 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений / Виленкин Н. Я. и др. – М. «Мнемозина»,
2017/
4
4
28 + (45 + х) = 100
45 + х = 100 - 28
45 + х = 72
x = 72 - 45
x = 27
Ответ: 27
6 класс.6
3*(2x-9)=4*(x-4)
6x-27=4x-16
6x-4x= - 16+27
2x=11
x=11:2
x=5,5
Ответ: 5,5
Уравнения усложняются, изменяются способы их решений. В 6 классе учащиеся знакомятся с отрицательными числами и вводятся новые правила: правила переноса слагаемых из одной части
уравнения в другую, со сменой знака слагаемого на противоположный знак.
Применяются правила раскрытия скобок.
7 класс. 7
4*(9-5x)+7x=11-2(8x+1)
36-20x+7x=11-16x-2
-20x+7x+16x =11-2-36
3x= - 27
x=-27:3
x= - 9
Ответ: - 9
В 7 классе решаются линейные уравнения, впервые решаются системы уравнений 3 способами.
Способом сложения, способом подстановки и графическим способом.
8 класс.8
6
Математика 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений / Виленкин Н. Я. и др. – М. «Мнемозина»,
2012./
Алгебра 7 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович - М. "Мнемозина", 2012/
7
8
Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович - М., "Мнемозина", 2016/
5
64x+4x2=0
4x(16+x)=0
x=0 или 16+x=0
x = -16
Ответ: 0; -16
В 8 классе применяются правила разложения на множители, впервые вводятся формулы для решения квадратных уравнений.
9 класс. 9
С системами уравнений впервые учащиеся встретились в 7 классе, но там были системы двух линейных уравнений с двумя переменными. В 9 классе решаются системы нелинейных уравнений с
двумя переменными.
Методы решения систем уравнений:
1. Метод подстановки.
2. Метод алгебраического сложения.
3. Метод введения новых переменных.
Пример: (Решение методом подстановки)
Из 1 уравнения выразим: x=5-3y
Подставим во 2 уравнение:
(5-3y)*y=2
5y-3y2=2
3y2-5y+2=0
y1=1 У2=
Вернемся к исходному уравнению, получим: x1=5-3*1=2; x2=5-3* =3
Ответ: (2;1); (3; )
10 класс.10
Алгебра 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович - М., "Мнемозина",2015/
9
6
Тригонометрические уравнения
1) Простейшие тригонометрические уравнения вида: cost=a
sint=a
tgt=a
ctgt=a
Примеры: №1 cos t=
t=± arccos
+ 2πk, kϵz
Ответ: t=± +2πk, kϵz
№2
sint=
Ответ: t=
+ 2πk, kϵz, t =
3
+2πk, kϵz
4
2)Методы решения тригонометрических уравнений
1. Метод замены переменной
Пример: 2sin2 х - 5sinx+2=0
z=sinx
2z2-5z+2=0
z1=2; z2=
sinx=2
либо
sinx=
нет решений либо x = (-1) т
10
6
+ m , mϵz
Алгебра и начала анализа 10-11класс. Учебник для общеобразовательных учреждений./ А.Н.
Колмогоров, А.М. Абрамов и др. - М., Просвещение, 2014/
7
Ответ: x = (-1) т
6
+ m , mϵz
2) Метод разложения на множители
Пример: 2sinx*cos5x-cos5x=0
cos5x(2sinx-1)=0
cos5x=0
, m ϵz
x= +
или
sinx=
или
x= (-1)n
+
πn, nϵz
3) Однородные тригонометрические уравнения
Пример: 2sinx-3cosx=0
Разделив обе части уравнения почленно на cosx получим:
2tgx-3=0
tgx=
Ответ: x=arctg + πn, nϵz
11 класс. 11
I. Иррациональные уравнения
II. Показательные уравнения
III. Логарифмические уравнения
IV. Уравнения высших степеней
Примеры:
I.
Иррациональные уравнения:
Пример:
=2
2
=22
Алгебра 11 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович
М.,"Мнемозина", 2015/
11
8
-
7x-31=4
7x=4+31
7x=35
x=5 (Проверка показывает, что число 5 является корнем уравнения)
Ответ: x=5
II. Показательные уравнения:
Примеры: 1) 76-x=49x
76-x=7 2 x
6-x=2x
3x=6
x=2
Ответ: 2
2) 5x2-2x-1=25
5x2-2x-1=52
x2-2x-1=2
x2-2x-3=0
x1=3 ; x2=-1
Ответ: 3;-1
III. Логарифмические уравнения:
Пример: log2(x2+4x+3)=3
x2+4x+3=23
x2+4x+3=8
x2+4x-5=0
x1=1 ; x2=-5
Ответ: x=1; x=-5
IV.Уравнения высших степеней:
Пример: x(x-1)(x-2)(x-3)=24
Заметив, что x(x-3)=x2-3x, а (x-1)(x-2) = x2-3x+2 перепишем уравнение в виде:
9
(x2-3x)(x2-3x+2)=24
Введя новую переменную y=x2-3x, преобразуем уравнение к виду:
y(y+2)=24
y2+2у-24=0
y=4; y=-6
Возвращаясь к переменной x, мы должны решить два уравнения:
x2-3x=4 ;
x2-3x=-6
x= 4
x= - 1
Ответ: 4; -1
Практическая часть
В качестве эксперимента, мы провели два занятия в 10 классе по решению уравнений различной
сложности, в рамках подготовки к экзаменам. В 9 классе провели занятие по повторению решений уравнений и систем уравнений, подготовили учащихся к контрольной работе. Убедились в
полезности нашей работы. Проанализировали результаты контрольной работы в 9 классе. Проанализировали результаты двух тренировочных работ в 10 классе, в начале эксперимента и в конце.
I результаты
Количество
учащихся
20
Количество
уравнений
15
Решено 15
Решено 13
Решено 10
Решено 8
Решено 5
2
2
4
2
10
Количество
уравнений
15
Решено 15
Решено 13
Решено 10
Решено 8
Решено 5
10
7
2
1
0
II результаты
Количество
учащихся
20
Анализ собственных результатов в сопоставлении с данными аналогичных работ других авторов,
например Ященко И.В., и др. показал, что недостаточно давать большое количество уравнений.
Необходимо больше рассматривать подробные (пошаговые) решения уравнений различного типа,
что приносит больше пользы.
1) Решения заданий №6 и №21 ОГЭ:
1 часть.
№6
7-5(7-2x)=6x-4
7-35+10x=6x-4
10x-6x=-4-7+35
10
4x=24
x=6
Ответ: 6
2 часть.
№21
x3+4x2-9x-36=0
(x3+4x2)-(9x+36)=0
x2(x+4)-9(x+4)=0
(x+4)(x2-9)=0
(x+4)(x-3)(x+3)=0
x=-4 x=3 x=-3
Ответ: -4;3;-3
2) Решения заданий №7 уравнений ЕГЭ – базовый уровень:
№7
4x-6=64
4x-6=43
x-6 =3
x=9
Ответ: 9
№7
(x+2)2=(x-8)2
(x+2)2-(x-8)2=0
(x+2-x+8)(x+2+x-8)=0
10(2x-6)=0
2x-6=0
2x=6
x=3
Ответ: 3
11
3) Решения заданий №5 и №15 уравнений ЕГЭ – профильный уровень:
I часть.
№5
x=-4
x=- :
x=-8,25
Ответ:-8,25
№5
8x-3=162x
23(x-3)=28x
3(x-3)=8x
3x-9=8x
5х = - 9
x= - 1,8
Ответ: -1,8
№5
=x
15-2x=x2
x2+2x-15=0
x1=3; x2= -5 п/к
Ответ: 3
№5
log2(4-x)=8
4 х 0
{4 х 2
8
12
x= -252
Ответ:-252
II часть.
№15
а) Решить уравнение:
4*16cosx-9*4cosx+2=0
б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
а) Пусть t=4cosx , тогда получим
4t2-9t+2=0
t1 =
t2=2
При t=
получим:
4cosx=
cosx= -1
x= -π+2πk, kЄz
При t=2, получим:
4cosx=2
cosx=
x=± +2πn, nЄz
б) С помощью числовой окружности отберем корни, Є отрезку
13
Получим: - , -π
Ответ: а) -π+2πk, kЄz; ± +2πn, nЄz б) - , -π
4) Примеры экзаменационных уравнений ОГЭ и ЕГЭ
(для самостоятельной работы)
1) x2-36=0
2)
=10
3) -4x-9=6x
4) x3+4x2-9x-36=0
5) (-5x-3)(2x-1)=0
6) log7(x+8)=log7(3x-14)
7) (x -5)3=216
8) (2x2-5x-12)(2cosx+1)=0
9) cos4x+ cos2x = 0
10) 2sin2x – 4cosx+3sinx – 3 = 0
Все 10 уравнений взяты из сборников:
Сборник вариантов подготовки к ОГЭ - /И.В. Ященко - М.,"Национальное образование", 2019/
Сборник вариантов подготовки к ЕГЭ - базовый уровень/И.В. Ященко - М.,"Национальное образование", 2019/
Сборник вариантов подготовки к ЕГЭ - профильный уровень/И.В. Ященко - М.,"Национальное
образование", 2019/
Заключение
В ходе работы были исследованы методы и приемы решений различных уравнений с 1 по 11
классы. Решение экзаменационных уравнений ОГЭ и ЕГЭ. Систематизировали и обобщили собранный материал.
Выводы
1. Действительно уравнения встречаются в школьном курсе математики с 1 по 11 классы. Материал по теме постоянно усложняется, изменяются методы решения уравнений.
14
2. Систематизация решений уравнений по методам их решений и уровню сложности из разных
классов школы, поможет повторить тему: «Решение уравнений», качественно подготовиться к выпускным и вступительным экзаменам.
Практическая значимость работы
Собранный материал будет полезен учащимся на уроках математики, учителям для подготовки и проведения уроков, факультативов и для подготовки учеников к выпускным экзаменам ОГЭ
и ЕГЭ. Мы поместим исследовательскую работу на сайте нашего лицея, на странице лицейского
научного общества, чтобы все желающие могли познакомиться с различными методами решений
уравнении, повторить тему: «Уравнения», качественно подготовиться к выпускным и вступительным экзаменам. Планируем выпустить электронное пособие, помогающее выпускникам подготовиться к экзаменам по теме: «Уравнения», для этого добавим в пособие больше примеров, рассмотрим решения более сложных уравнений.
Список использованных источников и литературы
Учебники: Математика 1кл., 2кл., 3кл., 4кл., автор Э. И. Александрова М.: Издательство «ВИТАПРЕСС», 2015г.
Учебники: Математика 5кл., 6кл., авторы Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С. И.
Шварцбурд М.: «Мнемозина», 2016г.
Учебники: Алгебра 7кл., 8кл., 9кл., авторы Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова М.: «Просвещение», 2012г.
Учебники: Алгебра и начала анализа 10кл., 11кл.,автор А.Г. Мордкович М.: «Мнемозина», 2016г.
Учебник: Алгебра и начала анализа 10кл., авторы А.Н. Колмогоров и др. М.: «Просвещение»,
2012г.
Сборник вариантов подготовки к ОГЭ - /И.В. Ященко - М.,"Национальное образование", 2019/
Сборник вариантов подготовки к ЕГЭ - базовый уровень/И.В. Ященко - М.,"Национальное образование", 2019/
Сборник вариантов подготовки к ЕГЭ - профильный уровень/И.В. Ященко - М.,"Национальное
образование", 2019/
Интернет-сайты: http:// ru.wikipedia.org/wiki, www1.ege.edu, www.100 ege.ru
15
