Интегральное исчисление: Неопределенный интеграл - Практика

СЕМЕСТР 1 РАЗДЕЛ 6
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Практическое занятие № 1
Тема 1-06-01 «Общие приемы и методы интегрирования.
Первообразная и неопределенный интеграл.
Интегрирование подстановкой (заменой переменной).»
СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ
1.Первообразная и неопределенный интеграл. Функция F(x)
называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке,
если F(x) непрерывна на этом промежутке и дифференцируема в
каждой его внутренней точке, причем F(x)  f (x) .
Если F(x) –первообразная для f(x), то множество
{ F(x)+C, СR},
т.е. совокупность всех первообразных функций f(x) называется
неопределённым интегралом от f(x) и обозначается f (x)dx .

Таким образом, по определению
 f  x  dx  F  x   C ,
где F(x) –какая либо первообразная f(x), а С–произвольная
постоянная.
Не всякая функция имеет первообразную. Однако, если f(x) –
непрерывная функция, то она имеет первообразную.
2.Свойства неопределённого интеграла.
1)
2)
3)
 df  x   f  x   C ;
 k f  x  dx  k  f  x  dx , где k – постоянная величина;
  f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx .
(свойства 2 и 3 составляют так называемое свойство линейности).
197
3. Таблица основных неопределённых интегралов
x p1
1. x dx 
 C , p  1
p 1
dx
2.
 ln x  C .
x
ax
x
 C.
3. a dx 
ln a

p
9.



10. shx  chx  C .

4.  sin x dx   cos x  C .
5.  cos x dx  sin x  C .
dx
 tgx  C .
6. 
cos x
 chx  shx  C .
dx
12. 
 thx  C .
ch x
dx
13. 
 cthx  C .
sh x
dx
1
x
 arctg  C .
14. 
x a
a
a
11.
2
2
2
2
dx
15.
 ctgx  C .
sin 2 x
dx
x
 ln tg  C .
8.
16.
sin x
2
dx
 ln x  x 2  a 2  C .
17.
x2  a2
dx
 ln x  x 2  a 2  C .
18.
x2  a2
7.
dx
 x 
 ln tg     C .
cos x
2 4







2
dx
1
x a

ln
 C.
x 2  a 2 2a x  a
dx
x
 arcsin  C .
a
a2  x2

Замечание. Существует множество неберущихся интегралов, определяющих неэлементарные
функции, которые часто используются как в теоретических, так и прикладных вопросах
математики. Пример:
1.
2.
3.
sin x
dx одна из первообразных этого интеграла называется интегральным синусом и
x
обозначается si( x) .

dx
 интегральный логарифм (li x) .

ln x
d

1  k sin 
2
– эллиптический интеграл первого рода.
2
198
2
4.
x
 e dx – интеграл вероятности.
4. Интегрирование подстановкой (заменой переменной).
Пусть  f  x  dx  F  x   C на промежутке X . Если x    t  –
дифференцируемая на некотором интервале функция, а её значения
x  t   X , то
 f   t   d  t    f   t     t  dt  F   t    C .
Данная формула и является сутью метода подстановки. Частным
случаем этого метода является метод подведения под знак
дифференциала, когда явно переменную t не вводят.
План практического занятия
Первообразная
и
неопределенный
интеграл.
Свойства
неопределенного интеграла. Табличное интегрирование. Подведение
под знак дифференциала. Замена переменной в неопределенном
интеграле.
Теоретические вопросы
1. Первообразная.
2. Неопределенный интеграл.
3. Основные свойства неопределенного интеграла.
4. Основные методы интегрирования.
5. Формула интегрирования подстановкой.
6. Формула интегрирования заменой переменной.
Задания для работы в аудитории
Найти интегралы:
x2  x  1
1
1

dx    x  1  dx  x 2  x  ln x  C ;
1. 
x
x
2

2.  cos
2 x
1
1
dx   1  cos x  dx   x  sin x   C ;
2
2
2
199


3. а)  4 x 
б)
4.
5.


2 6
5


7sin
x


3
 dx ;
2
x5 x
9x

 12
3
4
6 

5sin
x



6 5
 dx ;
2
2
x
sin
x
64  x
 x

 3x  2 dx ;
 tgx dx ;
x dx
 1  9x ;
3
6.
8

dx
;
2
ln arctg5x  arctg5x 1  25x 
8.

9.
dx
;
x x
dx
 x 16  x ;
7.
10.
11.
12.
2
dx
;
8  2x
(9  cos x)5 sin x dx ;


cos x dx
 16sin x  49 .
2
Работа в аудитории.
x2  x  1
1
1

dx    x  1  dx  x 2  x  ln x  C ;
Пример 1. 
x
x
2

Пример 2.  cos 2
x
1
1
dx   1  cos x  dx   x  sin x   C
2
2
2


2 6
5
Пример 3. а) Найти  4 x  5   7sin x 
 3  dx .
x
x
9  x2



200
 1

6
5
Решение.  4x 2  2x 5   7sin x 
 3  dx =
x
9  x2





1
 4 x 2 dx  2 x 5dx  6

dx
 7 sin x dx  5
x

dx
 3  x  3 dx 
2
2
1
1
2
x
x 51
x
 4
 2
 6ln x  7cos x  5arcsin  3x  C 
1
5  1
3
1
2
8 3
1
x
 x 2  4  6ln x  7cos x  5arcsin  3x  C .
3
2x
3
Пример 4.

3x  2 dx 
1
3
 3x  2  2 d 3x  2   3x  2  t  
1
1
1
2
1 12
t dt 
3

3
1 t
2 32
2
 
 C   t  C   3x  2  2  C ;
3 1 1
9
9
2
Пример 5.

cos x 
d  cos x 

sin x
tgx dx 
dx  
dx  
 cos x  t  
cos x
cos x
cos x
dt

  ln t  C   ln cos x  C ;
t
Пример 6.
4 
3
3x
dx
d  3x 4 


x dx
1
1



8
2
2
12
12
4
4
1  9x
1  3x
1  3x













1
arcsin  3x 4   C .
12
Пример 7. Найти

dx
.
ln arctg5x  arctg5x 1  25x 2 
201
Решение.
dx
1

ln arctg5x  arctg5x 1  25x 2  5

d  arctg5x 
 ln arctg5x  arctg5x 
1
dt
1 d  ln t 
  arctg5x  t  

  ln t  p  
5 t ln t 5
ln t



1
2
 p dp 
1
2
1 p
2
2
2
  C
p C
ln t  C 
ln  arctg5x   C .
5 1
5
5
5
2
2 способ нахождения интеграла:
1
1

 5dx ;
u  ln arctg5x , du   ln arctg5x  dx 
arctg5x 1  25x 2
dx
du
;

2
arctg5x  1  25x  5
dx
du
1 1/ 2


u du 
2
5
ln arctg5x  arctg5x 1  25x 
5 u



1 u1/ 2
2
2

C
u C
ln arctg5x  C
5 1/ 2
5
5
dx
Пример 8. Найти
.
x x

Решение. Положим x  t 2 .

Тогда dx  d t 2  t 2 dt  2tdt
   
и
dx
2tdt
dt
 2
2

t t
t 1
x x
d(t  1)
2
 2ln t  1  C  2ln x  1  C .
t 1
dx
Пример 9. Найти
.
2
x 16  x





Решение. Применим подстановку x 
202
4
.
t

4
4
Тогда dx    dt   2 dt .
t
t
4
 2 dt
dx
dt
1
t



2
4
4
16
x 16  x 2
16t
 16
16  2
t
t
t
t2



 t 1 
1
1 4
16
  ln t  t 2  1  C   ln 
1  C .
4
4 x
x2
Домашнее задание
1.

x

2
3
4 
3

    8cos x  2  dx ;
 2
5 16
sin x 
4
x
 x  49
 sin(5  4x) dx ;
3.  cos x  5
dx ;
x dx
4. 
;
9  25x
2.
10 2sin x
3
8
5.


7. 
6.

9. 
8.
10.
dx
;
6
13  8x
sin x dx
;
3  2cos x
x dx
;
36x 4  25
arctg(2cos 2 x)  sin 2xdx
;
1  4cos 4 x
dx
;
x3 6 x
dx
.
2
2
x x 9

Практическое занятие № 2
203
dt
2
Тема 1-06-02 «Метод интегрирования по частям.»
СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ
1.
Интегрирование по частям
Пусть функции u(x), v(x) непрерывны на некотором числовом
промежутке и дифференцируемы во всех его внутренних точках.
Тогда справедлива формула интегрирования по частям
 udv  uv   vdu .
Эту формулу следует применять в тех случаях, когда
подынтегральное выражение vdu проще исходного выражения udv.
Ниже приведены основные типы интегралов, берущихся по частям.
III тип
(интегралы,
I тип
II тип
приводящиеся к
себе)
m
sin  x 
sin  x 
arcsin x 
x 
Pn  x   
e

 dx

 dx


cos

x
cos

x




arccos x 
Pn  x   
 dx
arctgx


arcctgx 


e x 
Pn  x     x  dx
sin  ln x  dx
a 






 x  ln x  dx,   1
Pn  x    ln x  dx
m

m
 cos  ln x  dx
 a  x dx
 x  a dx
2
2
2
2
За u принимаются подчёркнутые функции, за dv – остальная часть
подынтегрального выражения. Pn (x) – многочлен степени n.
Интегралы I типа берутся путём интегрирования по частям n раз, II
типа – m раз, III типа (за исключением двух последних) – 2 раза
(причём, в первом интеграле III типа оба раза за u можно принять как
ex , так и тригонометрические функции sin x , cos x ).
По частям могут быть взяты и интегралы, не вошедшие в эту таблицу.
204
План практического занятия
Неопределенный интеграл. Интегрирование по частям
Теоретические вопросы
1. Формула интегрирования по частям.
2. Привести примеры интегралов, в которых применение формулы
целесообразно.
Задания для работы в аудитории
Методом интегрирования по частям найти интегралы:
 ln x dx ;
2.   x  3x  4  sin 2xdx ;
3.  e cos3x dx ;
1.
2
2x
2
u  ln 2 x, du  ln xdx
1
1
x
4.  x3 ln 2 xdx 
 x 4 ln 2 x   x3 ln xdx 
1
4
2
dv  x3dx, v  x 4
4
u  e x , du  e x dx
5. I   e sin xdx 
 e x cos x   e x cos xdx 
dv  sin xdx, v   cos x
x
6. I   x  bdx 
2
u  x 2  b , du 
dv  dx,
vx
 x sin 4xdx ;
8.  arcsin xdx ;
9.  arctgxdx .
7.
205
xdx
x b  x x b 
2
2
x2  b  b
x b
2
dx 
Работа в аудитории
Методом интегрирования по частям найти интегралы:
Пример 1.
1


u

ln
x,
du

dx,


x
Решение. ln x dx  

dv  dx, v  dv  dx  x 


1
 x ln x  x  dx  x ln x  dx  x ln x  x  C .
x
При нахождении v при известном dv мы полагаем С = 0 (как в этом
случае: dv = dx, отсюда следует v = x + C, выбираем одну из
первообразных v = x).
Пример 2.
 x 2  3x  4  sin 2xdx ;






Решение.

 u  x 2  3x  4,

du   2x  3 dx
2
 x  3x  4  sin 2x dx   dv  sin 2x dx, v  dv  sin 2x dx   1 cos 2x  

2



1 2
1
x  3x  4  cos 2x 
 2x  3 cos 2x dx 

2
2
du  2dx 
 u  2x  3,
 . . .

1
dv  cos 2x dx, v  sin 2x 

2

1
1 1
1

   x 2  3x  4  cos 2x    2x  3  sin 2x 
2sin 2x dx  
2
2 2
2

1
1
1
   x 2  3x  4  cos 2x   2x  3 sin 2x 
sin 2x dx 
2
4
2
1
1
1
   x 2  3x  4  cos 2x   2x  3 sin 2x  cos 2x  C .
2
4
4
Пример 3.
e 2x cos3x dx .





206

Обозначим J  e 2x cos3x dx . Имеем
 u  e 2x ,
du  2e 2x dx 
  1 e 2x sin 3x 
e2x cos3x dx  
1
dv  cos3x dx, v  sin 3x  3


3
 u  e2x ,
du  2e 2x dx 
2
  1 e2x sin 3x 
 e2x sin 3x dx  
1
dv  sin 3x dx, v   cos3x  3
3


3
2 1
2 2x
2
 1
   e 2x cos3x 
e cos3xdx   e 2x sin 3x  e 2x cos3x 
3 3
3
9
 3
4
 e2x cos3x dx .
9
Получаем интегральное уравнение. относительно искомого интеграла
2e 2x  3
 4
J
sin
3x

cos3x

  J. ;
9 2
 9
2 3

ответ : J   sin 3x  cos3x   C .
13  2





Пример 4.
2
u  ln 2 x, du  ln xdx
1
1
x
3
2
 x 4 ln 2 x   x3 ln xdx 
 x ln xdx 
1
4
2
dv  x3dx, v  x 4
4
dx
u  ln x, du 
1
11
1

x

 x 4 ln 2 x   x 4 ln x   x3dx  
1
4
2 4
4

dv  x3du, v  x 4
4
1 4 2
1 4
1 4
x4
 x ln x  x ln x  x  C 
8ln 2 x  4ln x  1  C .
4
8
32
32


Пример 5.
u  e x , du  e x dx
I   e sin xdx 
 e x cos x   e x cos xdx 
dv  sin xdx, v   cos x
x
207
u  e x , du  e x dx

 e x cos x  e x sin x  I . 
dv  cos xdx, v  sin x
 2 I  e x  sin x  cos x  .
1
I  e x  sin x  cos x   C .
2
Пример 6.
I   x  bdx 
2
u  x 2  b , du 
xdx
x b  x x b 
2
2
x2  b  b
dx 
x b
dv  dx,
vx
dx
1
 x x2  b  I  b
 I  x x 2  b  b ln x  x 2  b  C .
2
x2  b

Домашнее задание
 x ln xdx ;
2.
 x sin10xdx ;
3.
 x cos3xdx ;
4.
 xe dx ;
5.
 (x  2x  1)sin 3xdx ;
6.
 (x  3x  2)cos 2xdx ;
7.
 x ln xdx ;
8.
 e cos5xdx ;
9.
 x sin 4xdx ;
10.  e sin xdx .
1.
3
2
2x
2
2
2
x
3x
Практическое занятие № 3
208
2

Тема 1-06-03 «Интегрирование основных классов
элементарных функций. Интегрирование рациональных
дробей.»
СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ
1. Представление рациональной функции в виде суммы
простейших дробей
Если f(z), g(z) – многочлены, то функция h  z   g  z  f  z 
называется рациональной функцией или рациональной дробью.
Рациональная дробь g  z  f  z  называется правильной, если deg g(z)
<deg f(z). Любую неправильную дробь можно представить в виде
суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Если
h z  g z f z
–
правильная
рациональная
дробь
с
действительными коэффициентами и f(z) имеет разложение (3), то
h(z) допускает следующее представление в виде суммы простейших
дробей:
A k11
g  z  A11
A 21
A1 2
A 22
h z 


 



k1
2
f  z  z  z1  z  z1 2
z

z
z

z
z

z
 1
 1
2
... 
Ak22
 z  z2 

k2
Akmm
B11 z  C11
B21 z  C21

 2


km
2
2
z

p
z

q
 z  zm 
1
1
 z  p1z  q1 

Br11 z  Cr11
z  p z  q 
2
1
1
r1

B1s  z  C1s 
 2

z  ps z  q s

Brss  z  Crss 
z  p z  q 
2
s
rs
.
(12)
s
Коэффициенты A i  , Bi  , Ci  находятся путём приравнивания
коэффициентов при одинаковых степенях z у многочлена g(z) и
многочлена, который получается в числителе правой части (11) после
приведения суммы к общему знаменателю (метод неопределённых
коэффициентов).
2. Интегрирование элементарных дробей.
Элементарные рациональные дроби – это дроби вида:
ах  b
a
.
и
2
n
n
(
х

px

q
)
 x  x0 
j
j
j
209
Интеграл от рациональной дроби
a
 x  x0 
n
легко выражается
через элементарные функции.
a
dx  a ln x  x0  C.
При n  1 имеем 
x  x0
a
a
При n  1 
dx

 C.
n
n 1
(1  n)( x  x0 )
 x  x0 
При n  1 получим
p
t
ах  b
2
dx 
 2
х  px  q
p2
q
 k2
4
x
p
a(t  )  b
2

dt 
2
t  k2
tdt
ap
dt
a d (t 2  k 2 )
ap 1
t
 a 2

(
b

)


(
b

)
arctg



2
2
2
2
2
2
2
2
k
k
t k
t k
t k
p
x
a
ap 1
2  C.
 ln( х 2  px  q)  (b  ) arctg
2
2 k
k
При n  1 получим
p
p
t
a(t  )  b
ax  b
a d (t 2  k 2 )
2
2

 2
dt   2

 2
n
2 n
2 n
2
2
( x  px  q)
(t  k )
(t  k )
p
q
 k2
4
ap
dt
a 1
1
ap
dt
(b  )  2




(
b

)
.

2 (t  k 2 ) n 2 1  n ( x 2  px  q ) n 1
2 (t 2  k 2 ) n
x
3. Интегрирование рациональной функции.
Pn  x 
a n x n  a n 1x n 1   a1x  a 0
, где a n b m  0 , являющейся

Qm  x  b m x m  b m1x m1   b1x  b0
правильной дробью (т.е. при deg Pn  x   n  deg Q m  x   m ),
производится путём представления этой функции в виде суммы
210
простых дробей. Если же дробь является неправильной
( deg Pn  x   n  deg Q m  x   m ), то её представляют в виде суммы
многочлена и правильной дроби, затем интегрируют эти слагаемые.
План практического занятия
Разложение многочленов на множители. Разложение правильных
рациональных дробей на простейшие. Интегрирование простейших и
рациональных дробей.
Теоретические вопросы
1. Элементарные рациональные дроби.
2. Интегрирование элементарных дробей.
3. Представление рациональной функции в виде суммы
многочлена и элементарных простейших дробей.
Задания для работы в аудитории
1.
 3x  1 dx ;
 x  4x  13
2
x3
dx ;
x2  x  6
 2x  3 dx
2.

3.
  x  1  x  2  ;
4.
x 2  3x  5
dx ;
x 4  8x
2

2
x 4  3x 2  2x  7
dx ;
5.
x 3  2x 2  x
dx
I;
6.  2
ax  bx  c

x3  x 2  x  3
dx
xdx
x 1
7. 
dx



2
dx  ;


 2
x  1 x2  1
( x  1)( x 2  1)2
( x  1)2
211
( x 2  x  2)dx 1
1
7

ln
x

1

ln
x

1

ln x  3  C .
8.  3
2
2
4
x  3x  x  3 2
Работа в аудитории
Пример 1. Найти интеграл:
Решение.
 3x  1 dx 
 3x  1 dx .
 x  4x  13
2
 3x  1 dx
 x  4x  13  x  4x  4  9
2
2

 3x  1 dx 
  x  2 2  9
2
3 t  2   1
 x  2  t,

t dt
dt
3 d  t  9

dt 3 2
5 2



2
2
x

t

2,
dx

dt
t

9
t

9
t

9
2
t

9


dt
3
5
t
3
5
x2
2
5 2 2  ln  t 2  9   arctg  C  ln  x  2   9  arctg

t 3
2
3
3
2
3
3
3
5
x2
C  ln  x 2  4x  13  arctg
 C.
2
3
3
tdt
Иногда 2
вычисляют иначе
t 9
t2  9  u
tdt
du 1 du 1
1
2


du

(t

9)
dt

2tdt



ln
u

C

ln t 2  9  C
2
t 9
2u 2 u 2
2
tdt  du / 2











Пример2
1


1
x

 t,
t

3


 x  3 dx   x  3 dx 
2
2
dt 


2
25
1
x2  x  6
2
1  25  x  t  , dx  dt 

t 
x   


4
2

2
4 

25 

d  t2  
t dt
7
dt
1
dt
4  7






2
25 2 2 25 2
25
2
2
2
5
2
t 
t 
t 
t

 
4
4
4
2







212
5
2
1
25 7 1 2
1 
1  25
2
2
 ln t 
   ln
 C  ln  x   

2
4 2 2 5 t5
2 
2
4
2
1 5
x 
7
2 2  C  1 ln x 2  x  6  7 ln x  3  C .
 ln
10 x  1  5
2
10 x  2
2 2
 2x  3 dx ;
Пример 3. Найти интеграл:
2
 x  1  x 2  2
Решение. а) Найдём разложение подынтегральной функции
2x  3
на сумму простых дробей:
f (x) 
2
2
 x  1  x  2 
t

2x  3

A1
A2
Bx  C
;


2
2
x  1  x  1
x 2
 x  1  x 2  2 
2
A1  x  1  x 2  2   A 2  x 2  2    Bx  C  x  1  2x  3 ;
A1  x 3  x 2  2x  2   A 2 x 2  2A 2   Bx  C   x 2  2x  1  2x  3 ;
2
A1x 3  A1x 2  2A1x  2A1  A 2 x 2  2A 2  Bx 3  2Bx 2  Bx  Cx 2 
2Cx  C  2x  3;
 A1  B  x 3   A1  A 2  2B  C  x 2   2A1  B  2C  x   2A1  2A 2  C  
 2x  3.
A1  B  0,
A1  8 9,
A  A  2B  C  0,
A  1 3,
 1

2
  2

2A1  B  2C  2,
B  8 9,
2A1  2A 2  C  3.
C  5 9.
8 dx 1
dx
1 8x  5


dx 
Таким образом, f  x  dx 
9 x  1 3  x  12 9 x 2  2




2
8
1
4 d  x  2 5
dx
 ln x  1 



9
3  x  1 9
x2  2
9 x2  2 2


 
8
1
4
5
x
 ln x  1 
 ln  x 2  2  
arctg
C.
9
3  x  1 9
9 2
2
213
Пример 4.

x 2  3x  5  dx

x 2  3x  5
dx 
.
4
2
x  8x
x  x  2   x  2x  4 

x 2  3x  5
Разложим подынтегральную функцию f  x  
x  x  2   x 2  2x  4 
на сумму простых дробей:
x 2  3x  5
A
B
Cx  D
;



2
x  x  2   x 2  2x  4  x x  2 x  2x  4
A  x  2   x 2  2x  4   Bx  x 2  2x  4    Cx  D  x  x  2  
(1)
 x 2  3x  5 .
x = 0; –8A = +5.  A = –5/8,
x = 2; 24B = 3.  B = 1/8.
Из равенства (1) следует (приравниваются коэффициенты при x3 и x):
A  B  C  0,

4B  2D  3.
Отсюда, зная уже A = –5/8 , B = 1/8, находим C = 1/2, D = 7/4. Таким
x 2  3x  5

5 dx 1 dx
1  2x  7  dx
образом,
dx





4
2
x  8x
8 x 8 x  2 4 x  2x  4
5
1
1 2x  2  5
5
1
  ln x  ln x  2 
dx


ln
x

ln x  2 
8
8
4 x 2  2x  4
8
8

2
x

2x

4
dx 5

1 
dx
5
1




ln
x

ln x  2 
4
x 2  2x  4
4 x 2  2x  4
8
8
2
1 d  x  2x  4  5
d(x  1)
5
1


  ln x  ln x  2 
2
2
4
x  2x  4
4  x  12  3
8
8









 
1
5
x 1
 ln  x 2  2x  4  
arctg
 C.
4
4 3
3
x 4  3x 2  2x  7
f x 
Пример
5. Рациональная
функция
x 3  2x 2  x
представляет собой неправильную дробь. Выделим целую часть
делением уголком
x4 – 3x2 + 2x +7 x3 – 2x2 + x
x4 – 2x3 + x2
x+2
214
2x3 – 4x2 + 2x + 7
2x3 – 4x2+2x
7
Таким образом,
x 4  3x 2  2x  7
7
7
.

x

2


x

2

2
x 3  2x 2  x
x 3  2x 2  x
x  x  1
Разложим правильную дробь
7
x  x  1

2
7
x  x  1
2
на сумму простых дробей:
B2
A B1
;


x x  1  x  12
A  x  1  B1x  x  1  B2 x  7 ;
(2)
x = 0;
A = 7;
x = 1;
B2 = 7.
Сравнивая старшие коэффициенты в обеих частях равенства (2),
находим A + B1 = 0, B1 = –A = –7 . Таким образом,
dx
dx
dx
x2
f  x  dx   x  2  dx  7
7
7

 2x  7ln x 
2
x
x 1
2
 x  1
2


7ln x  1 



7
 C.
x 1
dx
I.
ax 2  bx  c
Преобразуем квадратный трёхчлен в знаменателе следующим
образом:
2
2
b  b 2  4ac
b 
Д


2
ax  bx  c  a  x 


a
x






2a 
4a
2a  4a


2


b 
Д
2
2
 a x 

k
k


,
где
, Д  b 2  4ac – дискриминант.




2a 
4a


а) Пусть Д<0, тогда
Пример 6. 
215
b
x
t 1
dx
1
dx
dt



2
a
 2

 2 2
2
a
ax  bx  c a 
t k
b 
2
dx

dt
x


k


2a 

b
x
1
t
1
2a  C .

arctg  C 
arctg
ak
k
ak
k
б) Пусть Д>0, тогда
b
x
t 1
1
dx
dt
I 


2
a
 2 2
2
a 
a
t k
b 
2
dx

dt
x


k


2a 

1  1
1 
1


 ln t  k  ln t  k   C 

 dt 
2ak  t  k t  k 
2ak
b
x
k
1
tk
1
2
a

ln
C 
ln
C.
2ak t  k
2ak x  b  k
2a
Пример 7.
x3  x 2  x  3
dx
xdx
x 1
dx



2
dx 



 2
x  1 x2  1
( x  1)( x 2  1)2
( x  1)2
1
d ( x 2  1)
dx
2
 ln x  1  ln( x  1)   2

2


2
2
2
2
( x  1)
( x  1)
1
1
1
x
1
 ln x  1  ln( x 2  1)  2
 2  2
 2   arctg x  C.
2
2 ( x  1)
2
x 1
( x 2  x  2)dx 1
1
7

ln
x

1

ln
x

1

ln x  3  C ;
Пример 8.  3
2
4
x  3x 2  x  3 2
Т.к.
x3  3x 2  x  3  ( x  1)( x  1)( x  3) ;
a
a
a
x2  x  2
1 1
1 1
7 1
 1  2  3  
 
 
.
( x  1)( x  1)( x  3) x  1 x  1 x  3 2 x  1 2 x  1 4 x  3
Домашнее задание
216
(3x  2)
dx ;
x 2  8x  17
(2x  5)dx
;
2
x  6x  8
(2x  9)dx
;
(x  2) 2 (x 2  x  2)
(x 2  2x  7)dx
;
4
3
x  2x  27x  54
(x 4  2x 3  x  11)
dx .
x 3  4x 2  3x
1.

2.

3.

4.

5.

Практическое занятие № 4
Тема 1-06-04 «Интегрирование тригонометрических функций.
Интегрирование некоторых иррациональных функций»
СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ
1.
Интегрирование тригонометрических функций
1) Интегралы вида  sin m x cos n x dx.
При интегрировании функций вида
придерживаться следующего правила:
если n-нечётное положительное
переменной cos x  t ,
число,
sin n x  cos m x
то
делаем
лучше
замену
если m – нечётное положительное число, то
делаем замену
переменной sin x  t и это приведёт к интегралу от степенной
функции;
если
n и m – чётные числа, то с помощью формул
1  cos 2x
1  cos 2x
sin 2 x 
, cos 2 x 
достигается упрощение вида
2
2
подынтегральной функции.
217
2) Интегралы вида  R (sin x, cos x)dx.
Подынтегральное выражение рационализируется универсальной
2dt
x
тригонометрической подстановкой tg  t ., x  2arctg t  dx 
2
1 t2
x
x
2sin  cos
x
x
2
2  2t – рациональная функция
sin x  2sin  cos 
2
2 sin 2 x  cos 2 x 1  t 2
2
2
аргумента t .
x
x
cos 2  sin 2
1 t2
2 x
2 x
2
2
– рациональная
cos x  cos  sin 

2
2 cos 2 x  sin 2 x 1  t 2
2
2
функция аргумента t .
 2t 1  t 2  2
Итак,  R (sin x, cos x)dx   R 
,
dt   R (t ) dt –
2
2 
2
 1 t 1 t 1 t
интеграл от рациональной функции.
3).Интегралы вида
 sin  x sin  x dx,  cos  x cos  x dx,  sin  x cos  x dx
вычисляются преобразованием произведения тригонометрических
функций в сумму:
1
sin  x sin  x  (cos(   ) x  cos(   ) x),
2
1
cos  x cos  x  (cos(   ) x  cos(   ) x),
2
1
sin  x cos  x  (sin(   ) x  sin(   ) x).
2
2.
Интегрирование некоторых иррациональных функций
r
r
1
s
 ax  b 
 ax  b 
1) Интегралы вида  R ( x, 
 , ..., 
 ) dx.
 cx  d 
 cx  d 
В данном случае применяется подстановка
ax  b
t md  b
m
t 
 x
 q (t )
cx  d
a  ct m
218
Интеграл преобразуется к виду
p
p
p

 R (q (t ), t 1 , t 2 ,..., t s ) q(t ) dt   R (t ) dt.
dx
dx
dx
, 
, 
2) Интегралы вида

2
3/ 2
x ax 2  c x 2 ax 2  c (ax  c)
1
удобнее вычислять подстановкой x  .
t
3) Интегралы вида
 

R x, ax 2  bx  c , где R – рациональная
функция двух переменных, выделением полного квадрата
приводятся к одному из следующих видов:

 
б)  R  t, t  a  dt ;
в)  R  t, a  t  dt .
а) R t, t 2  a 2 dt ;
2
2
2
2
Эти последние интегралы находятся с помощью подстановок:
а) t = a tgu или t = a shu ;
б) t = a/cosu или t = a chu ;
в) t = a sinu или t = a thu .
4) Интегралы вида  R( x, ax 2  bx  c ) dx. Подстановки Эйлера.
Так как первообразная находится на интервале, лежащем в
области определения подынтегральной функции, т.е. на интервале
ax 2  bx  c  0.
Если квадратный трехчлен ax 2  bx  c имеет действительные
x  x2
корни, то ax 2  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 )  x  x1 a
x  x1
Если корни трехчлена ax 2  bx  c комплексные,то парабола
y  ax 2  bx  c
x
не
пересекает
ось
и
при
a0
ax 2  bx  c  0  x  (, ) , то есть областью определения
подынтегральной функции является Ø.
При a  0 используется подстановка Эйлера.
ax 2  bx  c  t  x a (3)  ax 2  bx  c  t 2  2tx a  ax 2 
219
t2  c
 x
 q (t ) – рациональная функция аргумента t ,
6  2t a
dx  q(t ) dt – рациональная функция аргумента t .
ax 2  bx  c  t  q(t ) a – рациональная функция аргумента t .
Подстановка Эйлера рационализирует интеграл  R( x, ax 2  bx  c ) dx ,
если a  0 .
5) Интегралы вида  x m (a  bx n ) p dx .
Здесь m, n, p  рациональные числа, a и b – действительные.
Подынтегральное выражение называют дифференциальным биномом.
1
1
1
1
При целом p используется замена x  t n , dx  t n dt
n
p
m 1
m 1
1
 p 1
1
1  a  bt 
m
n p
p
n
n
x
(
a

bx
)
dx

(
a

bt
)

t
dt


t
dt .




n
n  t 
m 1
m 1
Если
или
 p – целые числа, то этот интеграл
n
n
совпадает с общим интегралом, рассмотренным в пункте а).
m 1 m 1
,
p
(6)
Замечание. Если хотя бы одно из чисел p,
n
n
целое, то подынтегральное выражение интеграла рационализируется.
Чебышев доказал, что в любом другом случае интеграл является
неберущимся, то есть его первообразная не выражается через
элементарные функции.
План практического занятия
Интегрирование тригонометрических функций.
Интегрирование некоторых иррациональных выражений.
Теоретические вопросы
1. С помощью каких подстановок интегралы от
тригонометрических функций удается рационализировать?
2. С помощью каких подстановок интегралы от иррациональных
функций удается рационализировать?
220
Задания для работы в аудитории
1.

sin 3 x
dx ;
4
cos x
 sin x cos x dx ;
3.  sin 2x cos 4xdx ;
4
2.
4.

2
dx
;
1  sin x  cos x
x
t
2
dx
2dt
dt
2
t
 dx 

2

arctg
C 
5. 

2  cos x
1 t2
3  t2
3
3
1 t2
cos x 
1 t2
tg
6. 
sin x  t
dx
dt
1
 1




dt  ;



2
2 
cos x sin 2 x cos x dx  dt
(1  t 2 )t 2
1

t
t


1
1
1
7.  sin 3x sin 2 x dx   (cos x  cos5 x) dx  sin x  sin 5 x  C ;
2
2
10
8. 
3 sin x cos xdx 

1
1
3
sin x cos 3 x dx
ex  t
dx
dt
dt


 2
;
9. 
2
2  ch x tdx  dt

1  1
t  2  3
t  2  t  
2  t 

eix  t
10.

dx
dt
dt
 itdx  dt
 i 
 2i  2

2  cos x

1  1
t  4t  1
t 2  t  
1
1
cos x  t  t
2  t 

2


Работа в аудитории
221
Интегрирование тригонометрических выражений
Пример 1. Найти

Решение.
sin 3 x
dx ;
cos 4 x
1  cos 2 x  d  cos x 

sin 3 x
sin 2 x  sin x
à)
dx =
dx = 
   cos x  t  
4
4
4
cos x
cos x
cos x
2
t 1
1 1
1
1
2
4
dt

t

t
dt




C




 C;


t4
t 3t 3
cos x
3cos3 x
Пример 2. Найти sin 4 x cos 2 x dx .






 1  cos 2x  1  cos 2x
sin x cos x dx  
dx 

2
2


1

cos3 2x  cos 2 2x  cos 2x  1 dx 

8
1
1
1  cos 4x

  1  sin 2 2x  d  sin 2x  
dx  cos 2xdx  dx  
8
2
2

1
1
1
1

d  sin 2x  
sin 2 2xd  sin 2x  
dx 
cos 4xdx 
16
16
16
16
1
1
1
1
1
1
 sin 2x  x  sin 2x  sin 3 2x  x  sin 4x 
16
8
16
48
16
64
1
1
1
1
1
 sin 2x  x  C  x  sin 3 2x  sin 4x  C .
16
8
16
48
64
Пример 3. Найти sin 2x cos 4xdx .

4
2

2











Решение. sin 2x cos 4xdx 
1
(sin(2x))  sin(6x)dx 
2

1
1
 cos 2x  cos6x  C .
4
12
dx
.
1  sin x  cos x
x
2dt 

tg

t,
dx

,

dx
2
1 t2 
Решение.
=
=
2
1  sin x  cos x 
2t
1 t 
sin x 
,
cos
x


1 t2
1  t 2 
Пример 4. Найти


222
2dt
dt
dt

2


2
2
2
1

t

2t

1

t
t(t

1)


2t
1

t
(1  t 2 ) 1 

2
1

t
1  t 2 

x
tg
1 
t
1
2  C.
  
dt

ln
t

ln
t

1

C

ln
 C  ln

x
t 1
 t t 1
tg  1
2





Пример 5.
x
tg  t
2
dx
2dt
dt
2
t
 dx 

2

arctg
C 


2
2
2  cos x
1 t
3t
3
3
1 t2
cos x 
1 t2
 x
 tg 2 
2

arctg 
C.
3
 3 


Пример 6.
sin x  t
dx
dt
1
 1








 dt 
2
cos x sin 2 x cos x dx  dt
(1  t 2 )t 2
t2 
1 t
1 1
1
1 1 t 1
1 1  sin x
1
1 1
 

 2  dt  ln
  C  ln

C.
2
1

t
2
1

t
2
1

t
t
2
1

sin
x
sin
x
t


Пример 7.
1
2
1
2
 sin 3 x sin 2 x dx   (cos x  cos5 x) dx  sin x 
3 sin x cos xdx 
1
sin 5 x  C .
10
1
1
3
sin x cos 3 x dx ,
Пример 8. 

1
m  n  данный интеграл не берется в элементарных функциях.
3
223
Задания повышенной сложности:
Пример 9.
ex  t
dx
dt
dt



2




2
2  ch x tdx  dt

1  1
t  2  3
t  2  t  
2  t 

1 t 2 3
1
ex  2  3

ln
C 
ln x
C.
3 t 2 3
3 e 2 3
Пример 10.
eix  t
dx
dt
dt

itdx

dt


i


2
i



 2
2  cos x

1  1
t  4t  1
t 2  t  
1
cos x  t  t 1
2  t 

2
dt
i
t 2 3
i
eix  2  3
 2i 

ln
C  
ln ix
C 
2
(t  2)  3
3 t 2 3
3 e 2 3
i
1  2cos x  i 3 sin x
i
ei
1

ln
C  
ln
C 
  C1 
3
3
2

3
3
2  3  2  cos x 





1
3 sin x
arctg
 C2 .
1  2cos x
3
1.

2.

3.

Задания для работы в аудитории
Интегрирование иррациональных выражений
dx
;
2
x 4x
dx
;
2
 x  2x  3
dx
;
2
3
(x  4)
x  3  t2
4.
2
2
4
2
 x x  3dx  x  t  3    t  3 t 2tdx  2  t  3t  dt  ;
dx  2tdt
224
t6  x
5.
6t 5 dt
t2 11
1
 5
  3 4  6
dt  6 (t  1 
) dt 

3 2
t

1
t

1
t

t
6t dt  dx
x x
6.
1
 x2


4


( x  2) 2  x  1 
( x  1)3 ( x  2)5
7.

dx
dx
dx
x x x2
2

3/ 4
dx 
dx

x  ( x  2)( x  1)
dx
x  ( x  1)
x2
x 1

x2  x  1  t  x
2t 2  2t  2


t2 1
t 2  t  1   t (2t  1)2 dt 
2
, dx  2
dt
x  x  x 1 x 
2t  1
(2t  1) 2
dx
8.

9.
dx
x 1  x2

x  sin t
dx  cos t dt


cos t dt
dt


sin t  cos t
sin t
m  1

x  t3
10.
dx
dt
1
1/ 3 2
2

x
1

x
dx

n

1/
3
dx

3
t
dt

3




2
2
3
t (1  t )
x(1  x )
p  2
11.
m 1
3
3 1/ 2
 x 1  x dx   x(1  x ) dx  n  3
p  1/ 2
Работа в аудитории
dx
Пример 1. Найти
.
2
x 4x
x 

x

2sin
t,
t

arcsin
,
dx
Решение.
=
=
2
2


x 4x
dx  2cos tdt

1 cos t dt
1
dt
2cos t dt



=
2
2
sin
t
cos
t
2
sin
t
2sin t  4  4sin t





225
1
t
1
x
1
 ln tg  C  ln tg  arcsin   C .
2
2
2
2
2
dx
Пример 2. Найти
.
2
 x  2x  3
dx
dx
Решение.
=

2
2
 x  2x  3
4  (x  1)
d(x  1)
x 1
=
 arcsin
 C.
2
2
2
2  (x  1)




Пример 3. Найти
dx
 (x  4) .
2
3
Решение.
x  2tgt
2dt
dx
 dx 
cos 2 t
(x 2  4)3


x 2  4  4tg 2 t  4 
2
cos t
2  cos3 t dt 1
1


cos t dt  sin t  C 
2
8cos t
4
4


выразим sint через tgt, используя формулу
1
tg 2 t
tgt
2
 1  ctg t 
,
sin
t

,
sin
t


2
sin 2 t
1  tg 2 t
1  tg t
2
sin t 
x
4 4  x2
x
2
x2
1
4

x
4  x2
 C.
226
Пример 4.
x  3  t2
2
2
4
2
 x x  3dx  x  t  3    t  3 t 2tdx  2  t  3t  dt 
dx  2tdt
5
3
1

1
 2 t5  t3   C  2
 x  3   x  3   C .
5

5

Пример 5.
t6  x
dx
6t 5 dt
t2 11
1
 5
  3 4  6
dt  6 (t  1 
) dt 

3 2
t

1
t

1
t

t
6
t
dt

dx
x x
 3(t  1) 2  6ln(t  1)  C  3( 6 x  1) 2  6ln( 6 x  1)  C.
Пример 6.
1
 x2


4


( x  2) 2  x  1 
( x  1)3 ( x  2)5
dx

x2 4
t
x 1
12t 3
dx   4
dt
(t  1)2
3/ 4
dx 
(t 4  1)2  t 3 12t 3
 
dt 
9t 8 (t 4  1)2
2  t4
3t 4
x 4
x2 4
t 1
t 1
4 dt 4
4 x 1
  2  tC  4
 C.
3 t
3
3 x2


Пример 7.
dx
x x x2
2

dx

x  ( x  2)( x  1)
dx
x2
x  ( x  1)
x 1
x2 2
6 tdt
 t dx 
x 1
(1  t 2 ) 2
2t
3
t2
2
x

1

x

x

x

2

1 t
1 t2
1 t2
6 t (1  t )
tdt

dt


6


(1  t 2 ) 2 (t  2)
(t  1)(t  1) 2 (t  2)
x
2
227


1 1
2 1
3 1
1
1 
 6  
 
 
 
dt 
2 
12
t

1
3
t

2
4
t

1
2
(
t

1)


1
9
3
  ln t  1  4ln t  2  ln t  1 
C.
2
2
t 1
x2
,где t =
.
x 1
Пример 8.
x2  x  1  t  x
2t 2  2t  2


t2 1
t 2  t  1   t (2t  1)2 dt 
2
, dx  2
dt
x  x  x 1 x 
2t  1
(2t  1) 2
2

3
3
3
3 1
  

dt

2ln
t

ln
2
t

1


C 
2 
t
2
t

1
2
2
2
t

1
(2
t

1)


3
 2ln x  x 2  x  1  ln 2 x  1  2 x 2  x  1 
2
3
1
 
C.
2 2x  2 x2  x  1  1
Пример 9. Первый способ.
x  sin t
dx
cos t dt
dt





2
dx

cos
t
dt
sin
t

cos
t
sin
t
x 1 x
 t
d  tg 
dt
dt
2


 

t
t
t
t
t
2sin  cos
2cos 2  tg
tg
2
2
2
2
2
 t
 arcsin x 
 ln  tg   C  ln  tg
C.
2 
 2

dx
Второй способ.
1
x
dx
dt
t

 
  ln t  t 2  1  C 

x 1  x 2 dx   dt
t2 1
t2
228
1
2

1

C

ln
x

ln
1

1

x
C.
x2
Пример 10.
m  1 x  t 3
dx
dt
1
1/ 3 2
2

x
1

x
dx

n

1/
3
dx

3
t
dt

3




2
2
3
t (1  t )
x(1  x )
p  2
  ln
1

x


1 1
1 
1
 3  

dt

3(ln
t

ln
t

1

)C 
2 
t
t

1
t

1
(
t

1)


1 

 3  ln 3 x  ln 3 x  1  3
C.
x 1

m 1
Пример 11.  x 1  x3 dx   x (1  x 3 )1/ 2 dx  n  3 .
p  1/ 2
Интеграл неберущийся.
Домашнее задание
1.
2.
3.
4.
5.

 sin x cos x dx ;
 sin x cos x dx ;
 sin 3x cos5x dx ;
 cos 4x cos 2x dx ;
sin 3 x cos 2 x dx ;
2
2
6.

7.

8.
5
2
dx
;
1  2sin x  2cos x
dx
;
10 3
x 5 x
dx
 x 4x ;
2
2
229
(5x  11)dx
 x  2x  10 ;
9.
2
10.
x 2dx
 64  x .
2
Практическое занятие № 5
Тема 1-06-05 «Контрольная работа»
Вариант №0
Найти интеграл:
1.
2.

 11 10

2
1
5x




3

 dx ;
2
2
2
x
36

x
49  x



e x dx
;
2
x
sin (e  2)
 x  arctgxdx ;
4.  (x  4x  3)sin 3xdx ;
3.
2
5.

6.

7.
8.
9.
(2x  5)dx
;
x 2  6x  8
dx
;
1  3sin x  3cos x
x 2dx
 64  x ;
2
(5x  11)dx
 x  2x  10
2

(2x  9)dx
,
(x  2) 2 (x 2  x  2)
230
10.

(x 2  2x  7)dx
Запишите вид разложения f(x) на простые
4
3
x  2x  27x  54
дроби (без нахождения коэффициентов)
Интернет-ресурсы:
1.
Сборник заданий к типовым расчетам и контрольным работам по математическим
дисциплинам, ч. 1. Под ред. Сухинова А.И. – Ростов-на-Дону, изд. Южного
федерального университета 2010.
2.
Фирсов И. П. и др. Конспект лекций по высшей математике. Часть 1. Таганрог: ТРТУ,
2003г.
231