Теория вероятностей и мат. статистика: Методические указания

Юргинский технологический институт
Томского политехнического университета
_______________________________________________________
У Т В Е Р Ж Д А Ю
.
"____"___________2016 г.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Методические указания к выполнению контрольной работы
по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика"
для студентов направления 09.03.03
«Прикладная информатика» всех форм обучения
Юрга 2016
УДК 330.131
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА:
Методические указания к выполнению контрольной работы по дисциплине
«Теория вероятностей и математическая статистика» для
студентов
направления 09.03.03 «Прикладная информатика» - Юрга: Изд. ЮТИ ТПУ,
2016 - 34 с.
Составитель доц., к.т.н.
Рецензент
Т.Ю. Чернышева
доц., к.т.н.
Методические указания рассмотрены и рекомендованы
к изданию методическим семинаром кафедры информационных
систем филиала ТПУ
« ____»___________ 2016 г.
Зав. кафедрой ИС,
кандидат тех. наук
2
А.А.Захарова
ВВЕДЕНИЕ
Одной из основных задач математической статистики является разработка
методов анализа статистических данных в зависимости от целей исследования.
Сюда относится и оценка параметров распределения, вид которого известен. В
данном методическом указании приводятся основные понятия, формулы и
методы нахождения оценок параметров распределения, даны решения типовой
задачи.
Предназначается для практических занятий и самостоятельной работы
студентов.
Номер варианта задачи определяется по последней цифре номера зачетной
книжки студента.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
Статистические оценки характеристик выборочных данных
Цель: найти оценки неизвестных параметров генеральной совокупности,
предположить вид распределения признака.
Ход работы:
1. По данному вариационному ряду решить следующие подзадачи:
 Вычислить относительные частоты и накопленные частости;
 Составить эмпирическую функцию распределения;
 Построить график эмпирической функции распределения;
 Вычислить
числовые
характеристики
вариационного
ряда:
выборочные среднее, дисперсию, стандартное отклонение;

Построить полигон и гистограмму относительных частот;
 Найти интервальные оценки параметров генеральной совокупности;
 Сделать предположение о виде распределения.
2. Считая выборки пробными, определить минимальный объем выборки n
для нахождения доверительного интервала среднего значения а длины 2 и
доверительной вероятностью = 0,95. (= номер варианта/10)
Индивидуальные задания
1
X
ni
5,7-10,7
6
10,7-15,7 15,7-20,7 20,7-25,7 25,7-30,7 30,7-35,7 35.7-40,7
5
9
20
21
16
11
2
X
ni
-30 – -23
40
-23 – -16
35
-16 – -9
20
-9 – -2
25
-2 – 5
15
5 – 12
10
12 – 19
2
X
0.5-1.0
1.0-1.5
1.5-2.0
2.0-2.5
2.5-3.0
3.0-3.5
3.5-4.0
3
3
ni
4
X
10
-2 –
-1.75
2
ni
5
15
-1.75 –
-1.50
5
X
ni
0-15
80
X
ni
-100 – -80
3
X
13
-1.50 –
-1.25
7
15-30
61
30-45
53
12
17
10
14
-1.25 –
-1.0
15
-1.0 –
-0.75
12
-0.75 –
-0.50
10
-0.5 –
-0.25
4
45-60
49
60-75
42
75-90
30
90-105
10
-80 – -60 -60 – -40 -40 – -20 -20 – 0
10
22
51
42
0 – 20
15
20 – 40
1
7.17.102
7.1027.104
7.1047.106
7.1067.108
7.1087.11
7.117.112
7.1127.114
ni
30
18
14
7
2
1
1
X
6,3-9,3
9,3-12,3
ni
10
15
12,315,3
12
15,318,3
14
18,321,3
13
21,324,3
10
24,327,3
14
1.661.74
50
1.741.82
48
1.82-1.9 1.9-1.98
42
15
-10 –
-13
15
-13 –
-16
12
-16 –
-19
10
-19 –
-22
1
6
7
8
9
X
1.42-1.5 1.5-1.58
ni
30
31
1.581.66
40
X
-1 – -4
-4 – -7
-7 – -10
ni
4
6
8
10
Возможно задание интервалов и соответствующих частот студентами.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КР №1
1 ТОЧЕЧНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
1.1 Статистические оценки параметров распределения
Пусть требуется изучить количественный признак генеральной
совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось
установить, какое именно распределение имеет признак. Естественно возникает
задача оценки параметров, которыми определяется это распределение.
Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним
числом *  f ( x1 , x2 ,, xn ) , где x1 , x2 ,, xn – результаты п наблюдений над
4
количественным признаком Х.
1.2 Выборочная средняя. Оценка генеральной средней по выборочной
средней
Пусть для изучения генеральной совокупности относительно
количественного признака X извлечена выборка объёма n.
Выборочной средней xB называют среднее арифметическое значения
признака выборочной совокупности.
Если все значения x1, x2, …, xn признака выборки объёма n различны, то:
xB  ( x1  x2    xn ) / n .
Если же значения признака x1, x2, …, xk имеют соответственно частоты n1,
n2, …, nk, причём n1 + n2 + …+ nk = n, то
xB  (n1 x1  n2 x2    nk xn ) / n , или xB  (
k
n x )/ n,
i 1
i
i
т.е. выборочная средняя есть средняя взвешенная значений признака с весами,
равными соответствующим частотам.
Пусть из генеральной совокупности (в результате независимых
наблюдений над количественным признаком X) извлечена повторная выборка
объема п со значениями признака x1, x2, …, xn. Не уменьшая общности
рассуждений, будем считать эти значения признака различными. Пусть
генеральная средняя xг неизвестна, и требуется оценить ее по данным выборки.
В качестве оценки генеральной средней принимают выборочную среднюю
xB  ( x1  x2    xn ) / n .
Выборочная средняя есть несмещенная оценка генеральной средней.
1.3 Выборочная дисперсия. Оценка генеральной дисперсии по
выборочной. Среднее квадратическое отклонение
Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений
количественного признака выборки вокруг своего среднего значения xB ,
вводят сводную характеристику – выборочную дисперсию.
Выборочной дисперсией DB называют среднее арифметическое квадратов
отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения xB .
Если все значения x1 , x2 ,, xn признака выборки объема п различны, то
D B  ( ( xi  x B ) 2 ) / n .
Если же значения признака x1 , x2 ,, xk имеют соответственно частоты
n1 , n2 ,, nk причем n1  n2    nk  n , то
DB  ( ni ( xi  x B ) 2 ) / n ,
т.е. выборочная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с
весами, равными соответствующим частотам.
5
Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака
выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются
сводной характеристикой – средним квадратическим отклонением.
Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом)
называют квадратный корень из выборочной дисперсии:
 B  DB .
Пример. Дана совокупность равноотстоящих вариант:
Таблица 1
*
*
xi
ni
13,088
2
18,304
0
23,520
4
28,736
5
33,952
16
39,168
28
44,384
18
49,600
20
54,816
5
60,032
2
Для вычисления выборочной средней и выборочной дисперсии
воспользуемся методом произведений. Воспользуемся расчетной таблицей,
которая составляется так:
1) в
первый
столбец
таблицы
записывают
выборочные
(первоначальные) варианты, располагая их в возрастающем порядке;
2) во второй столбец записывают частоты вариант; складывают все
частоты и их сумму (объём выборки n) помещают в нижнюю клетку столбца;
3) в третий столбец записывают условные варианты Ui = (xi - C)/h,
причем в качестве ложного нуля C выбирают варианту 39,168, которая
расположена примерно в середине вариационного ряда, и полагают h равным
разности между любыми двумя соседними вариантами - 5,2160; практически же
третий столбец заполняется так: в клетке строки, содержащей выбранный
ложный нуль, пишут 0; в клетках над нулем пишут последовательно –1, -2, -3 и
т.д., а под нулем – 1, 2, 3 и т.д.;
4) умножают частоты на условные варианты и записывают их
произведения niUi в четвертый столбец; сложив все полученные числа, их
сумму  niUi помещают в нижнюю клетку столбца;
5) умножают частоты на квадраты условных вариант и записывают их
произведения niUi2 в пятый столбец; сложив все полученные числа, их сумму 
niUi2 помещают в нижнюю клетку столбца;
6) умножают частоты на квадраты условных вариант, увеличенных
каждая на единицу, и записывают произведения ni(Ui+1)2 в шестой
контрольный столбец; сложив все полученные числа, их сумму  ni(Ui+1)2
помещают в нижнюю клетку столбца.
6
Шестой столбец служит для контроля вычислений: если сумма  ni(Ui+1)2
окажется равной сумме  niUi2 + 2  niUi + n , то вычисления произведены
правильно.
После того как расчетная таблица заполнена и проверена правильность
вычислений, вычисляют условные моменты:
M1*= ( niUi)/n, M2*= ( niUi2)/n.
Наконец, вычисляют выборочные среднюю и дисперсию по формулам:
хв = M1*h + C, Dв = [M2* - (M1*)2]h2.
Составим расчетную таблицу 2.
Таблица 2
x*i
13,088
18,304
23,520
28,736
33,952
39,168
44,384
49,600
54,816
60,032
ni
2
0
4
5
16
28
18
20
5
2
100
Ui
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
niUi
-10
0
-12
-10
-16
0
18
40
15
8
33
niUi2
50
0
36
20
16
0
18
80
45
32
297
ni(Ui+1)2
32
0
16
5
0
28
72
180
80
50
463
Контроль:  niUi2 + 2  niUi + n = 297 + 233 +100 = 463.
 ni(Ui+1)2 = 463.
Вычисления произведены правильно.
Вычислим условные моменты первого и второго порядков:
M1* = ( niUi)/n = 33/100 = 0,33;
M2*= ( niUi2)/n = 297/100 = 2,97.
Вычислим искомые выборочные среднюю и дисперсию:
 х в = M1*h + C = 0,335,216 +39,168 = 40,8893;
Dв = [M2* - (M1*)2]h2 = [2,97 – 0,332]5,21602 = 77,8411.
 B  DB  8,82 .
Полигон и гистограмма
Для наглядности строят различные графики
распределения и, в частности, полигон и гистограмму.
статистического
7
Полигон, как правило, служит для изображения дискретного
вариационного ряда, и представляет собой ломаную, в которой концы отрезков
имеют координаты (xi, ni) или (xi , wi), i= 1, …, k.
Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi,
а на оси ординат – соответствующие им частоты ni. Точки (хi; пi) соединяют
отрезками прямых и получают полигон частот.
Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой
соединяют точки (xi , wi), i= 1, …, k. Для, построения полигона относительных
частот на оси абсцисс откладывают варианты хi, а на оси ординат –
соответствующие им относительные частоты Wi.
На рис. 1 изображен полигон относительных частот распределения:
i / n
2 / n
1 / n
x1
x2
xk
x
Рис.1. Полигон относительных частот
В силу закона больших чисел в схеме Бернулли относительные частоты
сходятся при
n  
к теоретическим вероятностям
pi  P( X  xi ), i  1,2, ... , k. Поэтому полигон относительных частот является
статистическим аналогом многоугольника распределения. Кроме того, что
полигон обеспечивает наглядность представления дискретного статистического
ряда, он позволяет сравнивать визуально и делать предположения о близости
распределения исследуемого признака к тому или иному закону распределения.
В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму,
для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака,
разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого
частичного интервала ni – сумму частот вариант, попавших в i–й интервал.
Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из
прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною
h, а высоты равны отношению ni/h (плотность частоты) (рис.2).
Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают
частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс
на расстоянии ni/h.
р i*
8
Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру,
состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные
интервалы длиною h,
Площадь i–ro частичного прямоугольника равна hni/h=ni, n – сумме
частот вариант i–гo интервала; следовательно, площадь гистограммы частот
равна сумме всех частот, т. е. объему выборки. Из этого следует, что площадь
гистограммы
относительных
частот
равна
единице.
Следовательно,
гистограмму относительных частот можно рассматривать как статистический
аналог плотности распределения исследуемого признака X.
Рис.2 – Гистограмма частот
2 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
2.1 Точность оценки, доверительная вероятность, доверительный
интервал
Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика Θ *
служит оценкой неизвестного параметра Θ.
Надежностью (доверительной вероятностью) оценки Θ по Θ* называют
вероятность γ, с которой осуществляется неравенство | Θ – Θ* | < δ, δ0.
Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве γ берут число,
близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и
0,999.
Пусть вероятность того, что | Θ – Θ* | < δ, равна γ:
P [| Θ – Θ* | < δ] = γ.
Заменив неравенство | Θ – Θ* | < δ равносильным ему двойным неравенством –
δ < Θ – Θ* < δ, или Θ* – δ < Θ < Θ* + δ, имеем
9
P [Θ* – δ < Θ < Θ* + δ] = γ.
Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал (Θ* – δ
, Θ* + δ) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр Θ, равна γ.
Доверительным называют интервал (Θ* – δ , Θ* + δ), который покрывает
неизвестный параметр с заданной надежностью γ.
2.2 Доверительные интервалы для оценки математического ожидания
нормального распределения при неизвестном среднем квадратическом
отклонении
Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен
нормально, причем среднее квадратическое отклонение σ неизвестно.
Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а с помощью
доверительных интервалов.
Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную
величину (ее возможные значения обозначим через t): T 
X a
S/ n
,
которая имеет распределение Стьюдента с k  n  1 степенями свободы; здесь Х
– выборочная средняя, S – «исправленное» среднее квадратическое отклонение,
п – объем выборки.
После ряда преобразований, получим
P ( X  t S / n  a  X  t  S / n )   ,
где tγ находят по таблице приложения 1 по заданным n и γ. Итак, пользуясь
распределением
Стьюдента,
мы
нашли
доверительный
интервал
( x  t s / n , x  t s / n ) , покрывающий неизвестный параметр а с надежностью
γ. Здесь случайные величины X и S заменены неслучайными величинами x и
s, найденными по выборке.
Пример. По данной выше выборке построим доверительный интервал для
оценки математического ожидания при неизвестном .
Найдем «исправленное» среднее квадратическое отклонение S:
S  S 2 , где S2 – «исправленная» дисперсия.
S2 
n
 D B  78,6272 , S  8,8672
n 1
Найдем t ( примем равным 0,95, n = 100). t = 1,984.
Найдем доверительные границы:
x  t S
n  40,8893  1,984  8,8672
100  39,13 ;
x  t S
n  40,8893  1,984  8,8672
100  42,6485 .
Итак, с надежностью 0,95 неизвестный параметр а заключен в
доверительном интервале 39,13 < а < 42,6485.
2.3 Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического
отклонения генеральной совокупности нормального распределения
10
Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен
нормально.
Требуется
оценить
неизвестное
генеральное
среднее
квадратическое отклонение  по «исправленному» выборочному среднему
квадратическому отклонению s. Найдем доверительные интервалы,
покрывающие параметр  с заданной надежностью .
Потребуем, чтобы выполнялось соотношение
P(   s   )   , или P(s      s   )   .
Для того, чтобы можно было пользоваться готовой таблицей, преобразуем
двойное неравенство: s(1   / s)    s(1   / s) ,
s(1  q)    s(1  q) .
положив  / s  q , получим
Практически для отыскания q пользуются
специальной
таблицей
значений q  q( , n) (таблица приложения 2 ).
При q > 1 (учитывая, что σ > 0) доверительный интервал находят по
0    s(1  q) .
формуле:
Пример.
Построим доверительный интервал для оценки среднего квадратического
отклонения. По  = 0,95 и n = 100 найдем q = 0,143.
Искомый доверительный интервал таков:
8,8672 (1 – 0,143) <  < 8,8672 (1 + 0.143)
или 7,599 <  < 10,135.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2
ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Цель: научиться применять принцип проверки статистических гипотез,
находить теоретические частоты, исходя из вида распределения; уяснить
сущность критерия Пирсона.
Задача: По выборке из КР №1 проверить гипотезу о предполагаемом
виде распределения генеральной совокупности.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О РАВНОМЕРНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ
ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ
Задано эмпирическое распределение непрерывной случайной величины Х
в виде последовательности интервалов xi 1  xi и соответствующих им частот ni,
причем  ni  n (объем выборки). Требуется проверить гипотезу о том, что
случайная величина Х распределена равномерно.
Правило. Для того, чтобы проверить гипотезу о равномерном
11
распределении Х, то есть по закону
1 /(b  a) в интервале (a, b)
f ( x)  
вне интервала (a, b)
0
надо:
1. Оценить параметры a и b – концы интервала, в котором наблюдались
возможные значения Х, по формулам (через a* и b* обозначены оценки
параметров):
a *  x B  3 B , b *  x B  3 B .
2. Найти плотность вероятности предполагаемого распределения
f ( x)  1 /(b *  a * ) .
3. Найти теоретические частоты:
n1'  nP1  n[ f ( x)  ( x1  a * )]  n 
n 2'  n3'    n s 1  n 
1
( x1  a * );
*
*
b a
1
( x i  xi 1 ), (i  2,3,  , s  1);
*
*
b a
1
(b *  xs 1 ).
*
b a
4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия
Пирсона, приняв число степеней свободы k  s  3 , где s – число интервалов, на
которые разбита выборка.
По заданной выборке проверим гипотезу о равномерном распределении
генеральной совокупности:
Таблица 2.1
Границы интервала
i
xi
xi+1
ni
1
10,48
15,696
2
2
15,696
20,912
0
3
20,912
26,128
4
4
26,128
31,344
5
5
31,344
36,56
16
6
36,56
41,776
28
7
41,776
46,992
18
8
46,992
52,208
20
9
52,208
57,424
5
10
57,424
62,64
2
ns'  n 
*
1. Найдем оценки параметров a и b равномерного распределения по
формулам:
a *  x B  3 B , b *  x B  3 B .
a *  40,8893  1,732  8,8228  25,6078 ,
12
b*  35,1633  1,732  4,43  56,1707 .
2. Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения:
f ( x)  1 /(b *  a * )  1 (56,1707  25,6078 )  0,0327
3. Найдем теоретические частоты (предварительно объединим
малочисленные эмпирические частоты):
n1  n  f ( x)  ( x3  a * )  100  0,0327  (26,128  25,6078 )  1,7
'
n2  100  0,0327  ( x4  x3 )  100  0,0327  5,216  17,07
'
Длины четвертого – девятого интервалов равны длине второго интервала,
поэтому теоретические частоты, соответствующие этим интервалам и
теоретическая частота второго интервала одинаковы, т.е.
n3  n4  n5  n6  17,07
'
'
'
'
n7  n  f ( x)  (b *  x6 )  100  0,0327  (56,1707  52,208)  10,9
'
4. Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий
Пирсона, приняв число степеней свободы k = S – 3 = 7 – 3 = 4. Для этого
составим расчетную таблицу 2.2.
Таблица 2.2
’
’
’ 2
’ 2
i
ni
ni
ni- ni
(ni- ni ) (ni- ni ) / ni’
1
6
1,7
4,3
18,49
10,88
2
5
17,07
-12,07 145,68
8,53
3
16
17,07
-1,07
1,14
0,07
4
28
17,07
10,93
119,46
7,00
5
18
17,07
0,93
0,86
0,05
6
20
17,07
2,93
8,58
0,50
7
7
10,9
-3,9
15,21
1,40
набл2= 28,43
Из расчетной таблицы получаем набл2 = 28,43.
Найдем по таблице критических точек распределения 2 по уровню
значимости  = 0,01 и числу степеней свободы k = 4 критическую точку
правосторонней области кр2 (0,01;4) = 13,3.
Так как набл2 > кр2 – отвергаем гипотезу о равномерном распределении
генеральной совокупности.
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ПОКАЗАТЕЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ
ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ
Задано эмпирическое распределение непрерывной случайной величины Х
в виде последовательности интервалов xi  xi 1 и соответствующих им частот ni,
причем  ni  n (объем выборки). Требуется проверить гипотезу о том, что
случайная величина Х имеет показательное распределение.
13
Правило. Для того, чтобы при уровне значимости а проверить гипотезу о
том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному
закону, надо:
1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную
среднюю xB . Для этого, приняв в качестве «представителя» i–го интервала его
середину xi*  ( xi  xi 1 ) / 2 , составляют последовательность равноотстоящих
вариант и соответствующих им частот.
2. Принять в качестве оценки параметра λ показательного распределения
величину, обратную выборочной средней:
*  1 / x B .
3. Найти вероятности попадания Х в частичные интервалы ( xi , xi 1 ) по
формуле
Pi  P( xi  X  xi 1 )  e  xi  e  xi 1
4. Вычислить теоретические частоты:
ni'  ni  Pi ,
где n   ni – объем выборки.
5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия
Пирсона, приняв число степеней свободы k  s  2 , где s – число
первоначальных интервалов выборки; если же было произведено объединение
малочисленных частот, следовательно, и самих интервалов, то s – число
интервалов, оставшихся после объединения.
По заданной выборке проверим гипотезу о показательном распределении
генеральной совокупности:
1. x B  40,8893 .
2. Найдем оценку параметра предполагаемого показательного
*
распределения:   1 / x B  0,02.
Таким
образом,
дифференциальная
функция
предполагаемого
показательного распределения имеет вид
f ( x)  0,02e 0.02 x
( x  0)
4. Найдем вероятности попадания Х в каждый из интервалов по формуле
Pi  P( xi  X  xi 1 )  e  xi  e  xi 1
Например, для первого интервала
P0  P(0  X  10,48)  e 0, 020  e 0, 0210 , 48 
 1  e 0, 2096  1  77,39  0,2261
Аналогично вычислим вероятности попадания Х в другие интервалы:
14
P1  e 0, 0210 , 48  e 0, 0215 , 696  0,0927 ;
P2  e 0, 0215 , 696  e 0 , 0220 ,912  0,0816 ;
P3  e 0 , 0220 ,912  e 0, 0226 ,128  0,0718 ;
P4  e 0, 0226 ,128  e 0, 0231,344  0,0632 ;
P5  e 0, 0231,344  e 0 , 0236 ,56  0,0556 ;
P6  e 0 , 0236 ,56  e 0 , 0241, 776  0,0490 ;
P7  e 0, 0241, 776  e 0, 0246 , 992  0,0431;
P8  e 0 , 0246 ,992  e 0, 0252 , 208  0,0379 ;
P9  e 0, 0252 , 208  e 0 , 0257 , 424  0,0334 ;
P10  e 0 , 0357 , 424  e 0, 0362 , 24  0,0294 ;
P  e 0 , 0362 , 24  e   0,2161 .
4. Найдем теоретические частоты:
ni'  n  Pi  100  Pi ,
где Рi – вероятность попадания Х в i-ый интервал.
n0  100  P0  22,61;
n6  100  P6  4,90;
n1  100  P1  9,27;
n7  100  P7  4,31;
n2  100  P2  8,16;
n8  100  P8  3,79;
n3  100  P3  7,18;
n9  100  P9  3,34;
n4  100  P4  6,32;
n10  100  P10  2,94;
n5  100  P5  5,56;
n  100  P  21,61 .
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
5. Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия
Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу 2.3, причем объединим
малочисленные частоты и соответствующие им теоретические частоты.
Таблица 2.3
’
’
’ 2
’ 2
’
i
ni
ni
ni- ni
(ni- ni )
(ni- ni ) / ni
6
1
47,22 -41,22 1698,88
35,9800
5
2
6,32
-1,32
1,75
0,2762
16
3
5,56 10,44
108,90
19,5719
28
4
4,90 23,10
533,71
108,9664
18
5
4,31 13,69
187,38
43,4624
20
6
3,79 16,21
262,60
69,1974
7
7
27,89 -20,89 436,43
15,6477
набл2=293,1020
15
Из таблицы 1.7 находим набл2 = 293,1020. По таблице критических точек
распределения 2, по уровню значимости  = 0,01 и числу степеней свободы k =
s-2 = 7-2 = 5 критическую точку правосторонней области кр2 (0,01;5) = 15,1.
Так как набл2 > кр2 – отвергаем гипотезу о показательном распределении
генеральной совокупности.
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ
ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ ПО КРИТЕРИЮ ПИРСОНА
Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности
интервалов ( xi  xi 1 ) и соответствующих им частот ni (ni – сумма частот,
которые попали в i-й интервал):
( x1 , x2 ) ( x2 , x3 )  ( x s , x s 1 )
ns
n1
n2
Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что
генеральная совокупность Х распределена нормально.
Правило. Для того, чтобы при уровне значимости α проверить гипотезу о
нормальном распределении генеральной совокупности, надо:
1. Вычислить, например методом произведений, выборочную среднюю x
и выборочное среднее квадратическое отклонение  B , причем в качестве
*
вариант xi принимают среднее арифметическое концов интервала:
xi*  ( xi  xi 1 ) / 2 .
2. Пронормировать Х, то есть перейти к случайной величине
и вычислить концы интервалов:
z i  ( xi  x * ) /  * ,
Z  (X  x* ) / * ,
z i 1  ( xi 1  x * ) /  * , причем наименьшее значение Z, то есть z1, полагают
равным – , а наибольшее, то есть zs+1, полагают равным .
3. Вычислить теоретические частоты
ni'  n  Pi ,
где п – объем выборки (сумма всех частот); Pi  Ф( z i 1 )  Ф( z i ) – вероятности
попадания Х в интервалы ( xi , xi 1 ) ; Ф (Z) – функция Лапласа.
4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия
Пирсона. Для этого:
а) составляют расчетную таблицу, по которой находят наблюдаемое
значение критерия Пирсона
2
2
 набл
  ( ni  ni' ) / ni' ;
б) по таблице критических точек распределения 2, по заданному уровню
значимости  и числу степеней свободы k  s  3 (s – число интервалов
выборки) находят критическую точку правосторонней критической области
 кр2 ( ; k ).
2
2
Если  набл
– нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном
  кр
16
распределении генеральной совокупности. Если
отвергают.
2
2
 набл
  кр
– гипотезу
Проверим
гипотезу
нормальном
распределении
генеральной
совокупности с использованием критерия Пирсона:
1. x B  40,8893 .
2. Найдем интервалы (zi, zi+1). Для этого составим расчетную таблицу 2.4
(левый конец первого интервала примем равным -, а правый конец последнего
интервала ).
Таблица 2.4
Границы
интервала
Границы интервала
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi  x
*
xi  x
*
xi 1  x zi   *
xi
xi+1
10,48 15,696
-25,1933
15,696 20,912 -25,1933-19,9773
20,912 26,128 -19,9773-14,7613
26,128 31,344 -14,7613 -9,5453
31,344 36,56 -9,5453 -4,3293
36,56 41,776 -4,3293 0,8867
41,776 46,992 0,8867 6,1027
46,992 52,208 6,1027 11,3187
52,208 57,424 11,3187 16,5347
57,424 62,64 16,5347
-
-
-2,8555
-2,2643
-1,6731
-1,0819
-0,4907
0,1005
0,6917
1,2829
1,8741

z i 1 
x i 1  x

*
-2,8555
-2,2643
-1,6731
-1,0819
-0,4907
0,1005
0,6917
1,2829
1,8741

3. Найдем теоретические вероятности Рi и теоретические частоты
n  n  Pi  100  Pi . Для этого составим расчетную таблицу 2.5.
'
i
17
Таблица 2.5
Границы интервала
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

zi
-2,8555
-2,2643
-1,6731
-1,0819
-0,4907
0,1005
0,6917
1,2829
1,8741
zi+1
-2,8555
-2,2643
-1,6731
-1,0819
-0,4907
0,1005
0,6917
1,2829
1,8741
-
Ф(zi)
-0,5000
-0,4979
-0,4881
-0,4525
-0,3599
-0,1879
0,0398
0,2549
0,3997
0,4693
Pi=
Ф(zi+1)Ф(zi+1) Ф(zi) ni’=100Pi
-0,4979 0,0021 0,21
-0,4881 0,0098 0,98
-0,4525 0,0356 3,56
-0,3599 0,0926 9,26
-0,1879 0,1720 17,2
0,0398 0,2277 22,77
0,2549 0,2151 21,51
0,3997 0,1448 14,48
0,4693 0,0696 6,96
0,5000 0,0307 3,07
1,0000
100
4. Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий
Пирсона:
а) вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого
составим расчетную таблицу 2.6.
Таблица 2.6
’
’
’ 2
’ 2
’
2
i
ni
ni
ni- ni (ni- ni ) (ni- ni ) / ni
ni
ni2/ ni’
1
6
4,75 1,25 1,5625
0,3289
36
7,5789
2
5
9,26 -4,26 18,1476
1,9598
25
2,6998
3
16
17,2 -1,2 1,4400
0,0837
256
14,8837
4
28
22,77 5,23 27,3529
1,2013
784
34,4313
5
18
21,51 -3,51 12,3201
0,5728
324
15,0628
6
20
14,48 5,52 30,4704
2,1043
400
27,6243
7
7
10,03 -3,03 9,1809
0,9153
49
4,8853
2

набл =7,1661
107,1661
Столбцы 7 и 8 служат для контроля вычислений по формуле
2
 набл
  ( ni  ni' ) / ni'
2
Контроль:
 (ni  ni' )  n  107 ,1661  100  7,1661   набл .
Вычисления произведены правильно.
б) По таблице критических точек распределения 2, по уровню
значимости  = 0,01 и числу степеней свободы k = s-3 = 7-3 = 4 критическую
точку правосторонней области кр2 (0,01;4) = 13,3.
Так как набл2 < кр2 – нет оснований отвергнуть гипотезу о равномерном
распределении генеральной совокупности. Данные наблюдений согласуются с
гипотезой о нормальном распределении.
2
18
2
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3
КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
Цель: применить формулу функции регрессии для прогноза изменения
одного признака пи изменении другого; научиться выявлять зависимости
между признаками по значению выборочного коэффициента корреляции.
Задача: 1. Найти линейные функции регрессии (предварительно отыскав
выборочный коэффициент корреляции) и построить их графики.
2. Проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента
корреляции (при  = 0,05).
Индивидуальные задания
1. Результаты рост Х (см) и веса Y (см) 136 школьников младших классов
приведены в следующей таблице:
Y
X
117,5122,5
122,5127,5
127,5132,5
132,5137,5
137,5142,5
142,5147,5
147,5152,5
Всего
22,5-25,5
25,5-28,5
4
8
4
28,5-31,5
31,5-34,5
34,5-37,5
Всего
12
6
14
4
24
4
12
12
28
4
14
16
6
40
4
10
6
20
4
4
8
4
4
20
136
22
44
46
Предполагая, что между Х и Y существует линейная корреляционная
зависимость, требуется:
а) вычислить коэффициент корреляции и проанализировать степень тесноты и
направление связи;
б) составить уравнения прямых регрессии и построить их графики;
в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить рост
школьника при весе в 45 кг.
19
2. Результаты рост Х (см) и веса Y (см) 86 школьников младших классов
приведены в следующей таблице:
Y
X
117,5122,5
122,5127,5
127,5132,5
132,5137,5
137,5142,5
142,5147,5
147,5152,5
Всего
22,5-25,5
25,5-28,5
3
5
3
28,5-31,5
31,5-34,5
34,5-37,5
Всего
8
4
8
3
15
3
7
7
17
3
8
9
4
24
3
6
4
13
3
3
6
3
3
14
86
15
26
28
Предполагая, что между Х и Y существует линейная корреляционная
зависимость, требуется:
а) вычислить коэффициент корреляции и проанализировать степень тесноты и
направление связи;
б) составить уравнения прямых регрессии и построить их графики;
в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить рост
школьника при весе в 42 кг.
3. Данные о распределении 135 предприятий по производительности труда
Y (в млн. руб. на одного рабочего) и уровню автоматизации производства Х (в
процентах) даны в следующей таблице:
Y
1-2
2-4
4-6
1-20
20-40
40-60
60-80
80-100
Всего
3
4
2
3
4
7
9
5
3
8
12
5
12
285
28
6-8
8-10
10-12
Всего
5
5
4
14
10
26
48
363
18
1385
X
20
7
14
8
5
34
6
7
9
22
Предполагая, что между Х и Y существует линейная корреляционная
зависимость, требуется:
а) вычислить коэффициент корреляции и проанализировать степень тесноты и
направление связи;
б) составить уравнения прямых регрессии и построить их графики;
в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить среднюю
производительность труда одного рабочего при уровне автоматизации
производства, равном 72%.
4. Взаимосвязь между стоимостью активной части основных фондов и
затратами на производство работ по 35 строительным фирмам представлена
следующей таблицей:
Затраты на производство
строительно-монтажных работ, % к
стоимости активной части
основных фондов
1-5
5-9
9-13
13-17
17-21
Итого
Стоимость активной
части основных фондов,
Тыс. руб.
50100150200100 150
200
250
2
4
2
6
4
5
3
2
2
5
7
9
11
8
Всего
фирм
6
12
8
4
5
35
Построить эмпирическую линию регрессии. Найти стоимость активной
части основных фондов (тыс. руб.), если затраты на производство строительномонтажных работ увеличатся до 23 % к стоимости активной части основных
фондов. (Предварительно найти уравнение регрессии)
5. Дано распределение 74 однотипных предприятий по величине их
основных производственных фондов Х (в млн. руб.) и суточной выработке
продукции У (в тыс. руб.)
Х
У
25-30
30-35
35-40
40-45
45-50
Всего
11-15
4
5
9
15-19
19-23
7
5
12
4
16
21
23-27
27-31
9
8
3
20
5
3
8
Всего
4
19
28
17
6
74
Считая, что между Х и У существует линейная корреляционная зависимость,
требуется:
1) вычислить коэффициент корреляции и проанализировать степень тесноты и
направление связи между Х и У;
21
б) составить уравнения прямых регрессии и построить их графики;
в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить среднюю
суточную выработку продукции при основных фондах в 60 млн. рублей.
6.
По выборке объема n, извлеченной из двумерной нормальной
совокупности (X,Y):
а) найти выборочный коэффициент корреляции;
б) найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на Х и Х на Y;
X
Y
53-58
58-63
63-68
68-73
73-78
78-83
ny
-321
-304
3
3
-304
-287
-287
-270
7
24
1
7
25
-270
-253
-253
-236
4
11
9
9
18
15
-236
-219
1
5
-219
-202
4
6
4
nx
5
9
20
33
8
3
78
Вычислить значение Х, если значение Y увеличится до -200.
7.
По выборке объема n, извлеченной из двумерной нормальной
совокупности (X,Y):
а) найти выборочный коэффициент корреляции;
б) найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на Х и Х на Y;
X
Y
53-58
58-63
63-68
68-73
73-78
78-83
ny
-320
-305
3
3
-305
-290
-290
-275
7
24
2
7
26
-275
-260
-260
-245
4
11
10
9
19
15
-245
-230
1
5
-230
-215
4
6
4
nx
5
9
21
33
9
3
80
Вычислить значение Х, если значение Y увеличится до -180.
8. По выборке объема n, извлеченной из двумерной нормальной
совокупности (X,Y):
а) найти выборочный коэффициент корреляции;
б) найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на Х и Х на Y;
Y
5
22
10
15
20
X
25
30
35
40
ny
100
2
1
—
—
—
—
—
—
3
120
3
4
3
—
—
—
—
.—
10
140
—
—
5
10
8
—
—
—
23
160
—
—
—
1
—
6
1
1
9
180
—
—
—
—
—
—
4
1
5
nx
5
5
8
11
8
6
5
2
n=50
Вычислить значение Х, если значение Y увеличится до 200.
9. По выборке объема n, извлеченной из двумерной нормальной
совокупности (X,Y):
а) найти выборочный коэффициент корреляции;
б) найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на Х и Х на Y.
Y
125
150
175
200
225
250
nx
18
—
1
—
—
—
—
1
23
1
2
3
—
—
—
6
28
—
5
2
1
—
—
8
33
—
—
12
8
—
—
20
X
38
—
—
—
7
3
—
10
43
—
—
—
—
3
1
4
48
—
—
—
—
—
1
1
ny
1
8
17
16
6
2
n=50
Вычислить значение У, если значение Х увеличится до 50.
10. По выборке объема n, извлеченной из двумерной нормальной
совокупности (X,Y):
а) найти выборочный коэффициент корреляции;
б) найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на Х и Х на Y.
Y
X
5
100
120
140
160
180
4
3
10
4
1
15
20
25
9
5
12
5
1
30
6
4
35
1
2
ny
7
6
26
13
5
23
200
2
1
nx
9
6
3
14
13
5
10
3
n=60
Вычислить значение У, если значение Х увеличится до 40.
КОНТРОЛЬНЫЙ ПРИМЕР (ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ).
Данные о распределении 144 предприятий по производительности труда Y (в
млн. руб. на одного рабочего) и уровню автоматизации производства X (в %)
представлены в следующей таблице 3.1:
Таблица 3.1.
Исходные данные
X
1
20
20
40
40
60
60
80
80
100
всего ny
Y
1
2
3
4
4
7
2
4
4
7
9
8
4
6
3
8
12
5
18
28
28
6
8
8
10
7
14
8
5
34
6
7
9
22
10
12
5
5
4
14
всего nx
10
26
50
40
18
144
Решение:
1.
вычислим коэффициент корреляции:
rВ 
 n uv uv  n uv
.
nσ u σ v
Перейдем от интервальных значений к серединам этих интервалов:
Таблица 3.2
Переход от интервальных значений к серединам
Y
X
1
3
5
7
9
11 всего nx
10
30
50
70
90
всего ny
24
3
4
4
7
4
7
9
8
3
8
12
5
18
28
28
7
14
8
5
34
6
7
9
22
5
5
4
14
10
26
50
40
18
144
Составим корреляционную таблицу в условных вариантах, выбрав в
качестве ложных нулей С1=7 и С2=50:перейдем от интервальных значений к
серединам этих интервалов:
Таблица 3.3
Переход к условным вариантам
v
u
nu
-3
-2
-1
0
1 2
3
4
3
10
-2
4
7
8
7
26
-1
0
1
2
всего nv
4
7
9
8
12
5
18
28
28
14
8
5
34
6
7
9
22
5
5
4
14
50
40
18
144
Найдем  nuvuv , для этого составим расчетную таблицу 3.4:
Таблица 3.4
Расчетная таблица
V
v
u
-3
-2
-9
3
-2
-14
7
0
34
10
-26
0
10
-25
-25
5
8
17
34
0
0
5
5
0
-5
8
6
6
0
-16
8
0
14
7
8
7
8
5
7
5
0
9
5
2
U
vU
-34
-7
-12
12
0
7
40
7
-8
-18
9
0
-20
0
8
-7
-21
1
-8
7
-12
0
2
-6
-12
4
1
3
-8
-4
0
-3
4
-6
4
-1
-1
-8
uV
10
9
18
4
8
-3
-7
-9
11
25
13
9
14
9
0
25
26
сумма
83
83
Суммируя числа последнего столбца таблицы находим
 v *U   u *V =  nuvuv =83
v
u
Найдём u и v :
u =(  nu u )/n=(18*(-3)+28*(-2)+28*(-1)+34*0+22*1+14*2)/144=-0,61
v =(  nv v )/n=(10*(-2)+26*(-1)+50*0+40*1+18*2)/144=0,21
Найдем вспомогательные величины:
25
u 2 =(  nu u 2 )/n=(18*(-3)2+28*(-2)2+28(-1)2+34*02+22*12+14*22)/144=2,71
v 2 =(  nv v 2 )/n=(10*(-2)2+26*(-1)2+50*02+40*12+18*22)/144=1,24
Найдем  u и  v :
 u = u 2  (u ) 2 = 2,71  (0,61) 2  1,53
 v = v 2  (v) 2 = 1 / 24  (0 / 21) 2  1,1
Найдем искомый выборочный коэффициент корреляции:
rВ 
 n uv uv  n uv 83  144 * (0,61) * 0,21
=
=0,42
144 *1,53 *1,1
nσ u σ v
Значение ∞ rВ положительное, следовательно зависимость
признаками прямая.
Связь между признаками средняя, так как 0,3< rВ < 0,7.
между
2. Составим уравнения прямых регрессии и построим их графики:
Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X:
y x  y  rВ
y
( x  x)
x
Выборочное уравнение прямой линии регрессии X на Y:
x y  x  rВ
x
( y  y)
y
Найдем шаги h1 и h2 (разности между соседними вариантами):
h1 =5-3=2
h2 =50-30=20
Найдем x и y , учитывая, что С1=7, С2=50:
x = u * h1+ С1=-0,61*2+7=5,78
y = v * h2+ С2=0,21*20+50=54,2
Найдем  x и  y :
 x = h1*  u =2*1,53=3,06
 y = h2*  v =50*1,1=55
Подставив найденные величины в уравнение y x  y  rВ
искомое уравнение прямой линии регрессии Y на X:
y x -54,2=0,42*55/3,06*(x - 5,78)
y x =82,1x - 420,6
26
y
( x  x) , получим
x
Подставив найденные величины в уравнение x y  x  rВ
x
( y  y ) , получим
y
искомое уравнение прямой линии регрессии X на Y:
x y -5,78=4,57*3,06/55*(y-54,2)
x y =0,25y+8
Построим графики прямых регрессии (рис.3).
3.
Используя соответствующее уравнение регрессии, определим
среднюю производительность труда одного рабочего при уровне автоматизации
производства, равном 72%:
y x =82,1*72-420,6=5490,6
YX
8
12
XY
5y +8
Y=82,1x - 420,6
4
8
4
X= 0,2
0
12
Рисунок 3. Графики прямых регрессии
4.
Проверим гипотезу о значимости выборочного коэффициента
корреляции (при  =0,05)
В качестве критерия проверки гипотезы принимают случайную величину,
распределенную по закону Стьюдента:
Тнабл =
rВ n  2
1  rВ2
27
Тнабл =
0,42 144  2
1  0,42 2
=5,55
 =144-2=142
tкр(  ; ) = 1,96
Вывод: |Тнабл |> tкр (  ; ) следовательно, отвергаем нулевую гипотезу, т.е.
генеральный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля.
28
Приложение №1
х
Таблица значений функции Ф(х)=
x
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
Ф(х)
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,1179
0,1217
x
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
Ф(х)
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
x
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
1
е
z2
2
dz
2П 0
Ф(х)
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2703
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
X
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
Ф(х)
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
0,3413
0,3438
0,3261
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
0,3849
0,3869
0,3883
0,3907
0,3925
0,3944
29
Продолжение приложения 1
x
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
30
Ф(х)
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
X
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
Ф(х)
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,5499
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
0,4713
0,4719
x
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
2,30
2,32
2,34
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
Ф(х)
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,4750
0,4756
0,4761
0,4767
0,4772
0,4783
0,4793
0,4803
0,4812
0,4821
0,4830
0,4838
0,4846
0,4854
0,4861
0,4868
0,4875
0,4881
0,4887
0,4893
0,4898
0,4904
0,4909
0,4913
0,4918
0,4922
0,4927
0,4931
0,4934
x
2,50
2,52
2,54
2,56
2,58
2,60
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
2,78
2,80
2,82
2,84
2,86
2,88
2,90
2,92
2,94
2,96
2,98
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,50
5,00
Ф(х)
0,4938
0,4941
0,4945
0,4948
0,4951
0,4953
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
0,4973
0,4974
0,4976
0,4977
0,4979
0,4980
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
0,4986
0,49865
0,49931
0,49966
0,499841
0,499928
0,499968
0,499997
0,499997
Приложение №2
Таблица значений t=t(,n)

n
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

0,999
0,95
0,99
2,78
2,57
2,45
2,37
2,31
2,26
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,11
2,10
4,60
4,03
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
3,11
3,06
3,01
2,98
2,95
2,92
2,90
2,88
n
8,61
6,86
5,96
5,41
5,04
4,78
4,59
4,44
4,32
4,22
4,14
4,07
4,02
3,97
3,92
20
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
120

0,95
0,99
0,999
2,093
2,064
2,045
2,032
2,023
2,016
2,009
2,001
1,996
1,991
1,987
1,984
1,980
1,960
2,861
2,797
2,756
2,720
2,708
2,692
2,679
2,662
2,649
2,640
2,633
2,627
2,617
2,576
3,883
3,745
3,659
3,600
3,558
3,527
3,502
3,464
3,439
3,418
3,403
3,392
3,374
3,291
0,95
0,99
0,999
0,37
0,32
0,28
0,26
0,24
0,22
0,21
0,188
0,174
0,161
0,151
0,143
0,115
0,099
0,089
0,58
0,49
0,43
0,38
0,35
0,32
0,30
0,269
0,245
0,226
0,211
0,198
0,160
0,136
0,120
0,88
0,73
0,63
0,56
0,50
0,46
0,43
0,38
0,34
0,31
0,29
0,27
0,211
0,185
0,162
Приложение №3
Таблица значений q=q(,n)

n
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

0,95
0,99
0,999
1,37
1,09
0,92
0,80
0,71
0,65
0,59
0,55
0,52
0,48
0,46
0,44
0,42
0,40
0,39
2,67
2,01
1,62
1,38
1,20
1,08
0,98
0,90
0,83
0,78
0,73
0,70
0,66
0,63
0,60
5,64
3,88
2,98
2,42
2,06
1,80
1,60
1,45
1,33
1,23
1,15
1,07
1,01
0,96
0,92
n
20
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
150
200
250
31
Приложение №4
Критические точки распределения  2
Число
степеней
свободы k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
32
Уровень значимости 
0,01
0,025
0,05
0,95
0,975
0,99
6,6
9,2
11,3
13,3
15,1
16,8
18,5
20,1
21,7
23,2
24,7
26,2
27,7
29,1
30,6
32,0
33,4
34,8
36,2
37,6
38,9
40,3
41,6
43,0
44,3
45,6
47,0
48,3
49,6
50,9
5,0
7,4
9,34
11,1
12,8
14,4
16,0
17,5
19,0
20,5
21,9
23,3
24,7
26,1
27,5
28,8
30,2
31,5
32,9
34,2
35,5
36,8
38,1
39,4
40,6
41,9
43,2
44,5
45,7
47,0
3,8
6,0
7,8
9,5
11,1
12,6
14,1
15,5
16,9
18,3
19,7
21,0
22,4
23,7
25,0
26,3
27,6
28,9
30,1
31,4
32,7
33,9
35,2
36,4
37,7
38,9
40,1
41,3
42,6
43,8
0,0039
0,103
0,352
0,711
1,15
1,64
2,17
2,73
3,33
3,94
4,57
5,23
5,89
6,57
7,26
7,96
8,67
9,39
10,1
10,9
11,6
12,3
13,1
13,8
14,6
15,4
16,2
16,9
17,7
18,5
0,00098
0,051
0,216
0,484
0,831
1,24
1,69
2,18
2,70
3,25
3,82
4,40
5,01
5,63
6,26
6,91
7,56
8,23
8,91
9,59
10,3
11,0
11,7
12,4
13,1
13,8
14,6
15,3
16,0
16,8
0,00016
0,020
0,115
0,297
0,554
0,872
1,24
1,65
2,09
2,56
3,05
3,57
4,11
4,66
5,23
5,81
6,41
7,01
7,63
8,26
8,90
9,54
10,2
10,9
11,5
12,2
12,9
13,6
14,3
15,0
Число
степеней
свободы k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120

Приложение №5
Критические точки распределения Стьюдента
Уровень значимости (двусторонняя критическая область)
0,10
0,05
0,02
0,01
0,002
0,001
6,31
12,7
31,82
63,7
318,3
637,0
2,92
4,30
6,97
9,92
22,33
31,6
2,35
3,18
4,54
5,84
10,22
12,9
2,13
2,78
3,75
4,60
7,17
8,61
2,01
2,57
3,37
4,03
5,89
6,86
1,94
2,45
3,14
3,71
5,21
5,96
1,89
2,36
3,00
3,50
4,79
5,40
1,86
2,31
2,90
3,36
4,50
5,04
1,83
2,26
2,82
3,25
4,30
4,78
1,81
2,23
2,76
3,17
4,14
4,59
1,80
2,20
2,72
3,11
4,03
4,44
1,78
2,18
2,68
3,05
3,93
4,32
1,77
2,16
2,65
3,01
3,85
4,22
1,76
2,14
2,62
2,98
3,79
4,14
1,75
2,13
2,60
2,95
3,73
4,07
1,75
2,12
2,58
2,92
3,69
4,01
1,74
2,11
2,57
2,90
3,65
3,96
1,73
2,10
2,55
2,88
3,61
3,92
1,73
2,09
2,54
2,86
3,58
3,88
1,73
2,09
2,53
2,85
3,55
3,85
1,72
2,08
2,52
2,83
3,53
3,82
1,72
2,07
2,51
2,82
3,51
3,79
1,71
2,07
25,0
2,81
3,49
3,77
1,71
2,06
2,49
2,80
3,47
3,74
1,71
2,06
2,49
2,79
3,45
3,72
1,71
2,06
2,48
2,78
3,44
3,71
1,71
2,05
2,47
2,77
3,42
3,69
1,70
2,05
2,46
2,76
3,40
3,66
1,70
2,05
2,46
2,76
3,40
3,66
1,70
2,04
2,46
2,75
3,39
3,65
1,68
2,02
2,42
2,70
3,31
3,55
1,67
2,00
2,39
2,66
3,23
3,46
1,66
1,98
2,36
2,62
3,17
3,37
1,64
1,96
2,58
2,58
3,09
3,29
0,05
0,025
0,01
0,005
0,001
0,0005
Уровень значимости (односторонняя критическая область)
33
Приложение №6
Критические точки распределения F Фишера-Снедекора
(K1 – число степеней свободы большей дисперсии, K2 - число степеней свободы
меньшей дисперсии)
Уровень значимости =0,01
К1
К2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4052
4999
5403
5625
5764
5889
5928
5981
6022
6056
6082
6106
98,49 99,01 90,17 99,25 99,33 99,30 99,34 99,36 99,36 99,40 99,41 99,42
34,12 30,81 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,34 27,23 27,13 27,05
21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,54 14,45 14,37
16,26 13,27 12,39 11,39 10,97 10,67 10,45 10,27 10,15 10,05
9,96
9,89
13,74 10,92
9,78
9,15
8,75
8,47
8,26
8,10
7,98
7,87
7,79
7,72
12,25
9,55
8,45
7,85
7,46
7,19
7,00
6,48
6,71
6,26
6,54
6,47
11,26
8,65
7,59
7,01
6,63
6,37
6,19
6,03
5,91
5,82
5,74
5,67
10,56
8,02
6,99
6,42
6,06
5,80
5,62
5,74
5,35
5,26
5,18
5,11
10,04
7,56
6,55
5,99
5,64
5,39
5,21
5,06
4,95
4,85
4,78
4,71
9,86
7,20
6,22
5,67
5,32
5,07
4,88
4,74
4,63
4,54
4,46
4,40
9,33
6,93
5,95
5,41
5,06
4,82
4,65
4,50
4,39
4,30
4,22
4,16
9,07
6,70
5,74
5,20
4,86
4,62
4,44
4,30
4,19
4,10
4,02
3,96
8,86
6,51
5,56
5,03
4,69
4,46
4,28
4,14
4,03
3,94
3,86
3,80
8,68
6,36
5,42
4,89
4,56
4,32
4,14
4,00
3,89
3,80
3,73
3,67
8,53
6,23
5,29
4,77
4,44
4,20
4,03
3,89
3,78
3,69
3,61
3,55
8,40
6,11
5,18
4,67
4,34
4,10
3,93
3,79
3,68
3,59
3,52
3,45
Уровень значимости =0,05
К1
К2
1
2
3
4
5
6
7
34
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
161
200
216
225
230
234
237
239
241
242
243
244
18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,36 19,37 19,38 19,39 19,40 19,41
10,13
9,55
9,28
9,12
9,01
8,94
8,88
8,84
8,81
8,78
8,76
8,74
7,71
6,94
6,59
6,39
6,26
6,16
6,09
6,04
6,00
5,96
5,93
5,91
6,61
5,79
5,41
5,19
5,05
4,95
4,88
4,82
4,78
4,74
4,70
4,68
5,99
5,14
4,76
4,53
4,39
4,28
4,21
4,15
4,10
4,06
4,03
4,00
5,59
4,74
4,35
4,12
3,97
3,87
3,79
3,73
3,68
3,63
3,60
3,57
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
5,32
4,46
4,07
3,84
3,69
3,58
3,50
3,44
3,39
3,34
3,31
3,28
5,12
4,26
3,86
3,63
3,48
3,37
3,29
3,23
3,18
3,13
3,10
3,07
4,96
4,10
3,71
3,48
3,33
3,22
3,14
3,07
3,02
2,97
2,94
2,91
4,84
3,98
3,59
3,36
3,20
3,09
3,01
2,95
2,90
2,86
2,82
2,79
4,75
3,88
3,49
3,26
3,11
3,00
2,92
2,85
2,80
2,76
2,72
2,69
4,67
3,80
3,41
3,18
3,02
2,92
2,84
2,77
2,72
2,67
2,63
2,60
4,60
3,74
3,34
3,11
2,96
2,85
2,77
2,70
2,65
2,60
2,56
2,53
4,54
3,68
3,29
3,06
2,90
2,79
2,70
2,64
2,59
2,55
2,51
2,48
4,49
3,63
3,24
3,01
2,85
2,74
2,66
2,59
2,54
2,49
2,45
2,42
4,45
3,59
3,20
2,96
2,81
2,70
2,62
2,55
2,50
2,45
2,41
2,38
Приложение №7
Критические точки распределения Кочрена
(k – число степеней свободы, l – количество выборок)
Уровень значимости =0,01
K
l
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
24
30
40
60
120

1
2
3
4
5
6
7
0,9999
9933
9676
0,9279
8828
8376
0,7945
7544
7175
0,6528
5747
4799
0,4247
3632
2940
0,2151
1225
0000
0,9950
9423
8643
0,78855
7218
6644
0,6152
5727
5358
0,4751
4069
3297
0,2871
2412
1915
0,1371
0759
0000
0,9794
8831
7814
0,6957
6258
5685
0,5209
4810
4469
0,3919
3317
2654
0,2295
1913
1508
0,1069
0585
0000
0,9586
8335
7212
0,6329
5635
5080
0,4627
4251
3934
0,3428
2882
2288
0,1970
1635
1281
0,0902
0489
0000
0,9373
7933
6761
0,5875
5195
4659
0,4226
3870
3572
0,3099
2593
2048
0,1759
1454
1135
0,0796
0429
0000
0,9172
7606
6410
0,5531
4866
4347
0,3932
3592
3308
0,2861
2386
1877
0,1608
1327
1033
0,0722
0387
0000
0,8988
7335
6129
0,5259
4608
4105
0,3704
3378
3106
0,2680
2228
1748
0,1495
1232
0957
0,0668
0357
0000
35
Уровень значимости =0,01
K
l
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
24
30
40
60
120

8
9
10
16
36
144

0,8823
7107
5897
0,5037
4401
3911
0,3522
3207
2945
0,2535
2104
1646
0,1406
1157
0898
0,0625
0334
0000
0,8674
6912
5702
0,4854
4229
3751
0,33373
3067
2813
0,2419
2002
1567
0,1338
1100
0853
0,0594
0316
0000
0,8539
6743
5536
0,4697
4084
3616
0,3248
2950
2704
0,2320
1918
1501
0,1283
1054
0816
0,0567
0302
0000
0,7949
6059
4884
0,4094
3529
3105
0,2779
2514
2297
0,1961
1612
1248
0,1060
0867
0668
0,0461
0242
0000
0,7067
5153
4057
0,3351
2858
2494
0,2214
1992
1811
0,1535
1251
0960
0,0810
0658
0503
0,0344
0178
0000
0,6062
4230
3251
0,2644
2229
1929
0,1700
1521
1376
0,1157
0934
0709
0,595
0480
0363
0,0245
0125
0000
0,5000
3333
2500
0,2000
1667
1429
0,1250
1111
1000
0,0833
0667
0500
0,0417
0333
0250
0,0167
0083
0000
Уровень значимости =0,05
K
l
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
36
1
2
3
4
5
6
7
0,9985
9669
9065
0,8412
7808
7271
0,6798
6385
6020
0,5410
4709
0,9750
8709
7679
0,6338
6161
5612
0,5157
4775
4450
0,3924
3346
0,9392
7977
6841
0,5981
5321
4800
0,4377
4027
3733
0,3624
2758
0,9057
7457
6287
0,5440
4803
4307
0,3910
3584
3311
0,2880
2419
0,8772
7071
5895
0,5063
4447
3974
0,3595
3286
3029
0,2624
2195
0,8534
6771
5598
0,4783
4184
3726
0,3362
3067
2823
0,2439
2034
0,8332
6530
5365
0,4564
3980
3535
0,3185
2901
2666
0,2299
1911
20
24
30
40
60
120

3894
0,3434
2929
2370
0,1737
0998
0000
2705
0,2354
1980
1576
0,1131
0632
0000
2205
0,1907
1593
1259
0,0895
0495
0000
1921
0,1656
1377
1082
0,0765
0419
0000
1735
0,1493
1237
0968
0,0682
0381
0000
1602
0,1374
1137
0887
0,0623
0337
0000
1501
0,1286
1261
0827
0,0583
0312
0000
Уровень значимости =0,05
K
l
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
24
30
40
60
120

8
9
10
16
36
144

0,8159
6333
5175
0,4387
3817
3384
0,3043
2768
2541
0,2187
1815
1422
0,1216
1002
0780
0,0552
0292
0000
0,8010
6167
5017
0,4241
3682
3259
0,2926
2659
2439
0,2098
1736
1357
0,1160
0958
0745
0,0520
0279
0000
0,7880
6025
4884
0,4118
3568
3154
0,2829
2568
2353
0,2020
1671
1303
0,1113
0920
0713
0,0497
0266
0000
0,7341
5466
4366
0,3645
3135
2756
0,2462
2226
2032
0,1737
1429
1108
0,0942
0771
0595
0,0411
0218
0000
0,6602
4748
3720
0,3066
2612
2278
0,2022
1820
1655
0,1403
1144
0879
0,0743
0604
0462
0,0316
0165
0000
0,5813
4031
3093
0,2013
2119
1833
0,1616
1446
1308
0,1100
0889
0675
0,0567
0457
0347
0,0234
0120
0000
0,5000
3333
2500
0,2000
1667
1429
0,1250
1111
1000
0,0833
0667
0500
0,0417
0333
0250
0,0167
0083
0000
37
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Методические указания для выполнения контрольной работы
Составитель
Татьяна Юрьевна Чернышева
Подписано к печати 15.04.2008
Формат 60х84/16. Бумага офсетная
Плоская печать. Усл. печ. л. 1,39 Уч. - изд. л.1,26
Тираж 30 экз. Заказ № . Цена свободная.
ИПЛ ЮФ ТПУ. Лицензия ПЛД № 44-55 от 14.12.97.
Ризограф ЮФ ТПУ. 652000, г. Юрга, ул. Московская, 17
38