Теория вероятностей: Контрольная работа для геодезистов

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Московский государственный университет геодезии и картографии»
(МИИГАиК)
Учебно-методическое пособие по дисциплине
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
методические указания по выполнению контрольной работы № 1
«Теория вероятностей»
для студентов заочной формы обучения
по специальности 21.05.01 Прикладная геодезия
Составитель:
Аристархова Анна Вячеславовна, к. ф.-м. н., доцент
Сугаипова Лейла Супьяновна, д. ф.-м. н., доцент
Рекомендовано к использованию в учебном процессе МИИГАиК
решением Редакционно-издательского совета (протокол №
от « »
2020 г.)
Рецензенты:
Литвиненко М.В., декан факультета дистанционных форм
обучения МИИГАиК, д.п.н., доцент
Чирский В.Г., зав. кафедрой теории чисел Института математики
и информатики МПГУ д.ф-м.н., профессор
Москва 2020 г.
Оглавление
стр.
1. Требования к знаниям, умениям, которые студент должен будет 2
продемонстрировать
по
результатам
самостоятельной
учебнопознавательной деятельности в ходе выполнения работы
2. Условия допуска работы к защите
3
3. Задания для контрольной работы
4
4. Методические указания по выполнению контрольной работы
19
5. Методические указания по оформлению контрольной работы
19
6. Вопросы для самоконтроля
20
7. Демонстрационный вариант
21
8. Перечень рекомендуемой литературы
36
1. Требования к знаниям и умениям, которые студент должен будет
продемонстрировать
по
результатам
самостоятельной
учебнопознавательной деятельности в ходе выполнения работы
По учебному плану для студентов 2 курса заочной формы обучения по
специальности 21.05.01 Прикладная геодезия предусматривается выполнение двух
контрольных работ, из которых работа №1 – это «Теория вероятностей». По
результатам самостоятельной учебно-познавательной деятельности в ходе
выполнения контрольной работы студент должен:
Знать: теоретические сведения по всем вопросам теории вероятностей,
которые рассматриваются в контрольной работе №1. С этой целью необходимо
изучить следующие разделы теории вероятностей: элементы комбинаторики;
случайные события совместные (несовместные), зависимые (независимые);
теоремы сложения и умножения вероятностей и их следствия; формула полной
вероятности; случайные величины, их законы распределения (биномиальный,
равномерный, нормальный) и числовые характеристики; случайные векторы и их
числовые характеристики; числовые характеристики результатов линейных
преобразований случайных векторов, используя, в частности, литературу,
указанную в п. [8]. Рекомендуется ознакомиться с вопросами для самоконтроля
(п. [6]) и ответить на них.
Уметь: решать задачи, относящиеся к разделам теории вероятностей,
затронутым в контрольной работе №1. С этой целью рекомендуется разобрать
решение задач демонстрационного варианта п. [7].
2
2. Условие допуска к защите
По результатам проверки студент может получить следующие оценки:
1.Работа допущена к защите.
2. Работа допущена к защите после исправлений.
3. Работа не допущена к защите.
В таблице приводятся действия студента, получившего ту или иную оценку своей
работы:
1.
2.
3.
Работа допущена к защите
Студент приносит распечатанную или
отсканированную работу на экзамен.
Работа допущена к защите Сделав исправления в работе по указанию
после исправлений
преподавателя, студент не присылает
повторно работу на проверку, а приносит в
период сессии в распечатанном виде для
последующей проверки преподавателем.
Работа не допущена к защите Сделав исправления в работе по указанию
преподавателя, студент присылает работу на
проверку повторно до тех пор, пока работа
не будет допущена к защите без
исправлений или с незначительными
исправлениями.
3. Задания для контрольной работы № 1.
Теория вероятностей
Задачи № 1 – 10.
№1.
В телестудии установлено три камеры. Вероятности того, что в данный момент
камеры включены, равны соответственно 0,9, 0,8 и 0,7. Найдите вероятность того,
что в данный момент включены: а) две камеры; б) не более одной камеры; в) три
камеры.
3
№2.
Читатель ищет заданную сказку в трёх сборниках. Вероятности того, что данная
сказка содержится в сборниках 1-го, 2-го и 3-го издательств, соответственно
равны 0,8, 0,6 и 0,7. Найдите вероятность того, что сказка содержится: а) только в
одном сборнике; б) в двух сборниках; в) хотя бы в одном сборнике.
№3.
В светильник установлено три лампы. Вероятности выхода из строя в течение
гарантийного срока для них равны 0,3, 0,2 и 0,4 соответственно. Найдите
вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдут из строя: а) не менее
двух ламп; б) ни одна лампа; в) хотя бы одна лампа.
№4.
Самолет противника обнаруживается тремя радиолокаторами с вероятностями
0,8, 0,7 и 0,6. Найдите вероятность обнаружения самолета: а) только одним
радиолокатором; б) хотя бы одним радиолокатором; в) двумя радиолокаторами.
№5.
Для гербария были собраны листья клена, липы и каштана. Вероятность того, что
в гербарии будут преобладать листья клена, равна 0,7, листья липы – 0,6, листья
каштана – 0,4. Найдите вероятность того, что в гербарии преобладают листья: а)
одного дерева; б) только каштана; в) клена и липы.
№6.
В мастерской три станка. Они требуют наладки в течение смены с вероятностями
0,1, 0,2 и 0,3 соответственно. Найдите вероятность того, что в течение смены
потребуется наладить: а) только один станок; б) все станки; в) хотя бы один
станок.
№7.
Два стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Вероятности поражения
цели стрелками равны соответственно 0,9 и 0,7. Найдите вероятность того, что
цель поражена: а) один раз; б) два раза; в) хотя бы один раз.
№8.
Студент выполняет контрольную работу, пользуясь тремя учебными пособиями.
Вероятности того, что интересующая его информация находится в 1-м, 2-м и 3-м
4
пособиях, соответственно равны 0,7, 0,8 и 0,9. Найдите вероятность того, что
интересующие студента данные содержатся: а) только в двух пособиях; б) во всех
трех пособиях; в) хотя бы в одном пособии.
№9.
Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,7, второй – 0,8,
третий – 0,9. Найдите вероятность того, что студентом будут сданы: а) только
третий экзамен; б) три экзамена; в) не менее двух экзаменов.
№10.
На участке велокросса для велосипедиста имеются три препятствия. Вероятность
успешного прохождения первого препятствия равна 0,8, второго – 0,7, третьего –
0,6. Найдите вероятность успешного преодоления: а) трех препятствий; б) не
менее двух препятствий; в) двух препятствий.
Задачи № 11 – 20.
№11.
На елочный базар поступило 25 елей, 15 сосен и 10 пихт. Вероятность того, что
покупатель отдаст предпочтение ели, равна 0,95, сосне – 0,85, а пихте – 0,7.
Найдите вероятность того, что: а) наудачу взятое дерево будет куплено; б)
купленное дерево оказалось сосной.
№12.
В гипермаркет поступили кассовые аппараты от трех поставщиков в отношении
1:4:5. Практика показала, что кассовые аппараты, поступающие от 1-го, 2-го и 3го поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока
соответственно в 98%, 88% и 92% случаев. Найдите вероятность того, что: а)
наугад взятый кассовый аппарат не потребует ремонта в течение гарантийного
срока; б) не потребовавший ремонта в течение гарантийного срока кассовый
аппарат был поставлен 2-ым производителем.
№13.
Страховая компания разделяет застрахованных клиентов по классам риска: I класс
– малый риск, II класс – средний, III класс – большой риск. Среди этих клиентов
50% – первого класса риска, 30% – второго и 20% – третьего. Вероятность
необходимости выплачивать страховое вознаграждение для первого класса риска
равна 0,01, второго – 0,03, третьего – 0,08. Найдите вероятность того, что: а)
5
страхователь получит денежное вознаграждение за период страхования; б)
получивший денежное вознаграждение страхователь относится к группе малого
риска?
№14.
Из 1000 ламп 590 принадлежит 1-ой партии, 200 − 2-ой, остальные − 3-ей партии.
В 1-ой партии содержится 6%, во 2-ой − 5%, в 3-ей − 4% бракованных ламп.
Найдите вероятность того, что: а) купленная наугад лампа окажется бракованной;
б) купленная бракованная лампа принадлежит 2-ой партии.
№15.
В магазин обуви изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5:8:7.
Среди продукции первой фирмы качественные изделия составляют 90%, второй –
85%, третьей – 75%. Найдите вероятность того, что: а) приобретенное наугад
изделие окажется качественным; б) приобретенное качественное изделие
изготовлено 3-ей фирмой.
№16.
45% телевизоров, имеющихся в магазине, изготовлены на первом заводе, 15%
изготовлены на втором, остальные − на третьем заводе. Вероятности того, что
телевизоры, изготовленные на этих заводах, не потребуют ремонта в течение
гарантийного срока, равны 0,96, 0,84 и 0,90 соответственно. Найдите вероятность
того, что: а) купленный наудачу телевизор выдержит гарантийный срок работы;
б) купленный телевизор, выдержавший гарантийный срок работы, изготовлен на
первом заводе.
№17.
В интернет-магазине имеются жесткие диски с WI-FI от трёх производителей в
количестве 25, 15 и 60 штук соответственно. Вероятность того, что покупатель
отдаст предпочтение диску от 1-го производителя, равна 0,85, от 2-го – 0,7, а от 3го – 0,75. Найдите вероятность того, что: а) наудачу выбранный диск будет
куплен; б) купленный диск поступил от 1-го производителя.
№18.
Взвод пешей разведки в составе 53 человек, включая командира взвода в звании
лейтенанта, получил 4 пистолета, 14 пистолетов-пулемётов, 2 винтовки, 30
самозарядных винтовок, 3 ручных пулемёта, из которых только самозарядные
винтовки были пристрелянными. Вероятность попадания в цель из
6
пристрелянного орудия равна 0,7, а из непристрелянного – 0,3. Найдите
вероятность того, что: а) из наудачу взятого орудия цель будет поражена при
одном выстреле; б) стрелок поразил цель, стреляя из пристрелянной винтовки.
№19.
В магазин поступили русские, польские и немецкие елочные игрушки в
количестве 1200, 650 и 150 штук соответственно. Вероятность того, что
покупатель отдаст предпочтение русской игрушке, равна 0,95, польской – 0,85, а
немецкой – 0,88. Найдите вероятность того, что: а) наудачу взятая елочная
игрушка будет куплена; б) купленная игрушка оказалась немецкой.
№20.
В торговую фирму поступили компьютеры от трех поставщиков в отношении
3:4:7. Компьютеры, поступающие от 1-го, 2-го и 3-го поставщиков, не потребуют
ремонта в течение гарантийного срока в 98%, 95% и 90% случаев соответственно.
Найдите вероятность того, что: а) наудачу выбранный компьютер не потребует
ремонта в течение гарантийного срока; б) компьютер, который не потребовал
ремонта в течение гарантийного срока, поступил от 2-го поставщика.
Задачи № 21 – 30.
№21.
Вероятность успешной сдачи студентом каждого из пяти экзаменов равна 0,7.
Найдите вероятность успешной сдачи: а) трех экзаменов; б) не менее двух
экзаменов; в) хотя бы одного экзамена.
№22.
Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента
вероятность того, что в течение часа он позвонит на станцию, равна 0,01. Найдите
вероятность того, что в течение часа позвонят: а) 2 абонента; б) 4 абонента; в) не
более 4 абонентов.
№23.
Торговый агент в среднем контактирует с восемью потенциальными
покупателями в день. Из опыта ему известно, что вероятность того, что
потенциальный покупатель совершит покупку, равна 0,1. Найдите вероятность
того, что в течение дня у агента будут: а) две продажи; б) менее трех; в) хотя бы
две продажи.
7
№24.
Строительная фирма раскладывает рекламные листки по почтовым ящикам.
Прежний опыт работы показывает, что примерно в одном случае из двух тысяч
следует заказ. Найдите вероятность того, что при размещении 100000 листков
число заказов составит: а) 48; б) от 45 до 55.
№25.
Фирма предлагает в продажу со склада партию из 10 компьютеров, 4 из которых –
с дефектами. Покупатель приобретает 5 из них, не зная о возможных дефектах.
Найдите вероятность того, что среди купленных компьютеров окажутся без
дефектов: а) 2 компьютера; б) более 3-х; в) все компьютеры.
№26.
На факультете 900 студентов. Вероятность дня рождения каждого студента в
данный день равна 1/365. Найдите вероятность того, что сегодня день рождения
будет: а) у 3-х студентов; б) у 4-х студентов; в) не менее, чем у 4-х студентов.
№27.
Найдите вероятность того, что при четырех подбрасываниях игральной кости 5
очков появится: а) два раза; б) менее трех раз; в) хотя бы один раз.
№28.
Всхожесть семян некоторого растения составляет 80%. Найдите вероятность того,
что из шести посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех; в) четыре.
№29.
Вероятность поломки станков в течение смены равна 0,2. Найдите вероятность
того, что из 100 станков сломаются: а) 25 станков; б) от 15 до 25 станков.
№30.
Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при
перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найдите вероятность того, что
магазин получил: а) 2 разбитые бутылки; б) 3 разбитые бутылки; в) не менее 4
разбитых бутылок.
Задачи № 31 – 40.
8
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения в виде таблицы.
Требуется:
1) найти значение вероятности pi = P(X = xi);
2) найти функцию распределения F(x);
3) вычислить математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее
квадратическое отклонение (СКО) σ(X) случайной величины Х.
№ 31.
X
0
2
3
5
P
0,2
0,1
p3
0,3
X
-1
2
4
7
P
0,3
p2
0,4
0,1
X
-3
-2
1
3
P
0,1
0,2
0,3
p4
X
0
1
3
4
P
p1
0,1
0,4
0,3
X
2
4
5
7
P
0,1
0,2
p3
0,3
№ 32.
№ 33.
№ 34.
№ 35.
9
№ 36.
X
-4
-2
1
3
P
0,2
0,3
0,2
p4
X
-2
0
3
4
P
p1
0,1
0,3
0,4
X
1
3
4
5
P
0,2
p2
0,1
0,3
X
-4
-3
0
2
P
0,2
0,4
p3
0,3
X
0
2
3
5
P
0,3
0,2
0,3
p4
№ 37.
№ 38.
№ 39.
№ 40.
Задачи № 41 – 50.
Задачи № 41 – 45.
10
Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения вероятностей
F(x). Найдите:
1) значение параметра a;
2) плотность распределения f(x);
3) математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и СКО σ(X);
4) вероятность того, что случайная величина X примет значение из промежутка
(x1, x2).
№ 41.
0,


F ( x)  a  ( x  2) 2 ,

1,

x  2,
2  x  4,
x  4;
x1  1, x2  3.
№ 42.
0, x  0,


F ( x)  a  x3 , 0  x  2,

1, x  2;

x1  0,5; x2  2.
№ 43.
0, x  1,


F ( x)  a  ( x3  1), 1  x  2,

1, x  2;

x1  1, x2  1,5.
№ 44.
0,


F ( x)  a  ( x 2  3x),

1,

x  0,
0  x  2,
x  2;
x1  1, x2  2.
11
№ 45.
0,


F ( x)  a  ( x 2  4),

1,

x  2,
2  x  4,
x  4;
x1  2,5; x2  3.
Задачи № 46 – 50.
Для заданной функции f(x) найти значение параметра λ, при котором она является
плотностью распределения вероятностей некоторой случайной величины X.
Вычислить математическое ожидание M(X). Найти вероятность того, что
случайная величина X примет значение из промежутка (x1, x2).
№ 46.


0, x  0,



f ( x)    sin 3x, 0  x  ,
3



0, x  ;

3
x1  0, x2 

4
.
№ 47.
0,


2
f ( x)    (3x  x ),

0,

x  0,
0  x  3,
x  3;
x1  1, x2  2.
№ 48.
12


0, x   ,

2




f ( x)    cos x,   x  ,
2
2



0,
x

;

2

x1  

3
, x2  0.
№ 49.
 0,

f ( x)   
,

 x3
x  1,
x  1,
x1  2, x2  3.
№ 50.
x  0,
 0,
f ( x)  
2 x
  e , x  0,
x1  1, x2  3.
Задачи № 51 – 60.
Задачи № 51 – 55.
Все значения равномерно распределенной случайной величины X лежат на
заданном отрезке. Найти: а) плотность распределения вероятностей f(x); б)
функцию распределения F(x); в) математическое ожидание M(X), дисперсию D(X)
и СКО σ(X); г) вероятность попадания X на промежуток (x1, x2).
№ 51.
[2, 4]; x1  0, x2  2.
№ 52.
[2, 8]; x1  3, x2  5.
№ 53.
[10, 0]; x1  6, x2  1.
13
№ 54.
[1, 7]; x1  2, x2  5.
№ 55.
[3, 5]; x1  1, x2  2.
Задачи № 56 – 60.
Математическое ожидание m и СКО σ нормально распределенной случайной
величины X заданы. Найти её плотность распределения f(x). Вычислить
вероятность того, что величина X примет значения из заданного промежутка (x1,
x2).
№ 56.
m  2,   3; x1  0, x2  2.
№ 57.
m  2,   4; x1  4, x2  1.
№ 58.
m  5,   2; x1  3, x2  6.
№ 59.
m  0,   3; x1  2, x2  3.
№ 60.
m  4,   2; x1  6, x2  1.
14
Задачи №61 – 70.
Даны две независимые случайные величины X1 и X2, для которых известны их
математические ожидания и дисперсии. Требуется найти математическое
ожидание и дисперсию случайной величины Y, пользуясь свойствами этих
числовых характеристик.
№61.
M ( X 1 )  3, D( X 1 )  2, M ( X 2 )  2, D( X 2 )  5,
Y  2 X1  3 X 2  5.
№62.
M ( X 1 )  5, D( X 1 )  4, M ( X 2 )  3, D( X 2 )  3,
Y  2 X1  4 X 2  7.
№63.
M ( X 1 )  6, D( X 1 )  9, M ( X 2 )  2, D( X 2 )  4,
Y  X 2  3 X 1  4.
№64.
M ( X 1 )  7, D( X 1 )  16, M ( X 2 )  1, D( X 2 )  6,
Y  3  4 X1  3 X 2 .
№65.
M ( X 1 )  4, D( X 1 )  1, M ( X 2 )  7, D( X 2 )  8,
Y  10 X 1  X 2  1.
№66.
M ( X 1 )  5, D( X 1 )  2, M ( X 2 )  3, D( X 2 )  9,
Y  4 X 1  3 X 2  2.
№67.
M ( X 1 )  0, D( X 1 )  3, M ( X 2 )  8, D( X 2 )  6,
Y  1  7 X1  3 X 2 .
№68.
15
M ( X 1 )  2, D( X 1 )  8, M ( X 2 )  5, D( X 2 )  9,
Y  3 X 1  2 X 2  7.
№69.
M ( X 1 )  1, D( X 1 )  4, M ( X 2 )  10, D( X 2 )  10,
Y  4 X1  3 X 2  3.
№70.
M ( X 1 )  3, D( X 1 )  6, M ( X 2 )  4, D( X 2 )  16,
Y  2 X 1  9 X 2  2.
Задачи №71 – 80.
а) Случайный вектор Х с математическим ожиданием M(X) и ковариационной
матрицей K(X) подвергается линейному преобразованию y  Ax  C. Найти
математическое ожидание M(Y), ковариационную матрицу K(Y) и нормированную
ковариационную матрицу C(Y) преобразованного вектора Y  A  X  C.
б) Известна ковариационная матрица K(X) случайного вектора Х. Найти
дисперсию D(Y) случайной величины Y.
№ 71.
0 2 
5
 1
 2 1


 
а) M ( X )   2  , K ( X )   1 4  , A   1 1 , C   1  .
 


2 3 
0


 
 4 2 1


б) K ( X )   2 4 1 , Y  X 1  X 2  X 3  3.
 1 1 9 


№ 72.
16
0
 4 2 1
 1 1 2
 4
 


M
(
X
)


2
,
K
(
X
)

2
4
3
,
A

,
C



 .
а)
 



2
0
1


1
3
 1 3 9 
 


 4 2 1


б) K ( X )   2 6 1  , Y  X 1  X 2  2 X 3  3.
 1 1 9 


№ 73.
 9 1 1
 2 1 0
2
6






 
а) M ( X )   2  , K ( X )   1 4 2  , A   1 2 3  , C   2  .
0 
4 
 1 2 8 
 1 0 2
 
 




 9 2 1 


б) K ( X )   2 4 1  , Y  2 X 1  X 2  X 3  1.
 1 1 8


№ 74.
 3 1 
 1
 4 
 6 2 


 
а) M ( X )   3  , K ( X )   2 8  , A   0 2  , C   0  .
 


4 1
2


 
 9 2 1


б) K ( X )   2 4 3  , Y  3 X 2  X 1  X 3  1.
 1 3 8 


№ 75.
2
 9 2 1
 3 0 1
2
 


M
(
X
)


3
,
K
(
X
)

2
4
1
,
A

,
C



 .
а)
 



2
5
1


 1
1
 1 1 9 
 


17
9 2 1


б) K ( X )   2 4 2  , Y  X 1  4 X 2  X 3  1.
1 2 9


№ 76.
 2
 4 2 2 
 0 1 1 
1
 




 
а) M ( X )   2  , K ( X )   2 9 1  , A   2 2 0  , C   2  .
 3
 2 1 16 
3 1 1
 3 
 




 
4 2 0 


б) K ( X )   2 16 1 , Y  X 3  X 1  2 X 2  2.
 0 1 9 


№ 77.
0 4
3
 4
 6 2 


 
а) M ( X )   2  , K ( X )   2 9  , A   1 2  , C   0  .
 


3 5
 1


 
 4 3 1


б) K ( X )   3 6 1  , Y  3 X 1  X 2  X 3  2.
 1 1 9 


№ 78.
 2
 9 1 2 
 0 2 3
2
 


M
(
X
)

4
,
K
(
X
)


1
4
1
,
A

,
C



 .
а)
 



1
6
1


 3 
 2
 2 1 9
 


 4 1 1


б) K ( X )   1 16 1  , Y  X 1  3 X 2  2 X 3  1.
 1 1 9 


№ 79.
18
 2 
9 2 0
 4 1 1 
 1
 




 
а) M ( X )   7  , K ( X )   2 16 1  , A   2 2 0  , C   2  .
0
 0 1 4
 3 0 5
3
 




 
 9 2 1


б) K ( X )   2 4 1  , Y  X 2  X 1  3 X 3  2.
 1 1 9 


№ 80.
0 2 
5
5
9 1


 
а) M ( X )   2  , K ( X )   1 4  , A   4 1 , C   1  .
 


6 3 
 3 


 
 4 2 1


б) K ( X )   2 4 1  , Y  X 1  4 X 2  X 3  2.
 1 1 9 


4. Методические указания по выполнению контрольной работы.
В каждой контрольной работе студент решает все те задачи, номера которых
оканчиваются на ту же цифру, на которую оканчивается номер учебного шифра.
Например, если номер шифра оканчивается на 5, то студент должен решить
задачи 5, 15, 25 и т.д.
При выполнении контрольной работы студент должен изложить подробное
решение всех задач своего варианта, желательно, в той же последовательности,
как они приводятся в задании. Содержание решения задачи должно включать
условие задачи, пошаговый ход решения, при необходимости, демонстрационный
чертеж.
Работы должны быть представлены не менее, чем за 2 недели до начала сессии.
5. Методические указания по оформлению контрольной работы.
19
Каждая работа выполняется в отдельной тетради «от руки» с последующим
сканированием и сохранением в PDF. Чертежи к работе также выполняются от
руки.
6. Вопросы для самоконтроля по курсу «Теория вероятностей»
1. Приведите классификацию случайных событий.
2. Дайте определение вероятности случайного события.
3. Определите понятие суммы событий и сформулируйте теорему сложения
вероятностей.
4. Определите понятие произведения событий и сформулируйте теорему
умножения вероятностей.
8. Дайте определение дискретной случайной величины, закона её распределения.
9. Дайте определение непрерывной случайной величины.
10. Дайте определение функции распределения вероятностей.
11. Дайте определение плотности распределения вероятностей.
12. Дайте определение биномиального закона.
13. Дайте определения математического ожидания, дисперсии и среднего
квадратического отклонения (СКО) случайной величины.
14. Какими свойствами обладают эти понятия и как вычисляются?
15. Изложите суть равномерного закона распределения и его числовые
характеристики.
16. Изложите суть нормального закона распределения и его числовые
характеристики.
17. Укажите связь плотности распределения нормальной случайной величины и
функции Лапласа.
18. Как вычисляется вероятность попадания нормально распределенной
случайной величины на заданный промежуток?
19. Изложите суть правила «трех сигм».
20. Какие случайные величины называются зависимыми (независимыми),
коррелированными (некоррелированными)? Что такое случайный вектор?
21. Что такое ковариация и коэффициент корреляции? Какими свойствами они
обладают? Какую информацию о характере связи двух случайных величин дает
коэффициент корреляции?
22. Дайте определения числовых характеристик случайного вектора: вектора
математических ожиданий и ковариационной матрицы.
23. Что такое линейное преобразование случайного вектора? Как найти числовые
характеристики результата линейного преобразования случайного вектора?
20
7. Демонстрационный вариант контрольной работы № 1.
Задача 1. Вероятности поражения цели первым, вторым и третьим стрелками
соответственно равны 0,85, 0,8 и 0,7. Найдите вероятность того, что цель будет
поражена: а) двумя стрелками; б) только одним стрелком; в) хотя бы одним
стрелком.
Решение: а) Обозначим через A, B и C следующие события:
A  поражение цели первым стрелком ,
B  поражение цели вторым стрелком ,
C  поражение цели третьим стрелком .
А значит, P  A  0,85, P  B   0,8, P  C   0,7.
Тогда, событие D  цель поражена двумя стрелками имеет вид
D  ABC  ABC  ABC ,
где
A  промах 1-го стрелка ,
события
B  промах 2-го стрелка  ,
C  промах 3-го стрелка являются событиями противоположными к событиям
A, B и C соответственно.
Учитывая, что события A, B, C , A, B, C и A, B, C являются независимыми, а
события ABC , ABC и ABC  несовместными, имеем:

      
 P  A P  B  P  C   P  A P  B  P  C   P  A  P  B  P  C  .
P  D   P ABC  ABC  ABC  P ABC  P ABC  P ABC 
Учитывая, что сумма вероятностей противоположных событий равна единице,
получаем:
 
P  B   1  P  B   1  0,8  0,2,
P  C   1  P  C   1  0,7  0,3.
P A  1  P  A  1  0,85  0,15,
Итак, P  D   0,85  0,8  0,3  0,85  0,2  0,7  0,15  0,8  0,7  0,407.
б) Событие E  цель поражена только одним стрелком имеет вид
E  ABC  ABC  ABC .
21
Учитывая, что события A, B, C , A, B, C и A, B, C являются независимыми, а
события ABC , ABC и ABC  несовместными, имеем:

 
    
 P  A P  B  P  C   P  A  P  B  P  C   P  A  P  B  P  C  
P  E   P ABC  ABC  ABC  P ABC  P ABC  P ABC 
 0,85  0,2  0,3  0,15  0,8  0,3  0,15  0,2  0,7  0,108.
в) Вероятность события F  цель поражена хотя бы одним стрелком может быть
 
вычислена по формуле P  F   1  P F , где F  ABC . Учитывая, что события
A, B, C являются независимыми, имеем:
 


     
P  F   1  P F  1  P ABC  1  P A P B P C  1  0,15  0,2  0,3  0,991.
Задача 2. При исследовании двух одинаковых групп мужчин и женщин было
установлено, что среди мужчин 5% левшей, а среди женщин – 0,25%. Найдите
вероятность того, что: а) наугад выбранный человек будет левшой; б) наугад
выбранный человек является мужчиной, если известно, что он левша.
Решение: а) Пусть событие А состоит в том, что наудачу выбранный человек
является левшой. При этом, возможны следующие гипотезы:
H1  выбранный человек является мужчиной ,
H 2  выбранный человек является женщиной .
Из условия задачи следует, что
P  H1   P  H 2   0,5 , а
PH1  A  0,05,
PH 2  A   0,0025 . Тогда, учитывая формулу полной вероятности, вычислим
вероятность того, что наудачу выбранный человек будет левшой:
P  A  P  H1  PH1  A   P  H 2  PH 2  A   0,5  0,05  0,5  0,0025  0,02625 .
б) Вероятность PA  H1  того, что наудачу выбранный человек оказался мужчиной,
если известно, что он левша, вычисляется по формуле Бейеса:
P  H1  PH1  A 
P  H1  PH1  A 
0,5  0,05
PA  H1  


 0,9524.
P  A
P  H1  PH1  A   P  H 2  PH 2  A  0,02625
Задача 3.1. Установлено, что в ноябре бывает 12 дождливых дней. Найдите
вероятность того, что из зафиксированных 8 дней дождливыми окажутся: а) три
дня; б) не менее трех дней; в) хотя бы один день.
22
Решение: а) Наблюдения в условиях данной задачи являются независимыми, а
12
вероятность выпадения дождя в любой день ноября равна p 
 0,4 . Тогда,
30
вероятность того, что в любой день данного месяца дождя не будет, равна
q  1  p  1  0,4  0,6 .
Вероятность P8  3 того, что из зафиксированных 8 дней дождливыми
окажутся ровно три дня, вычисляется по формуле Бернулли:
n!
.
Pn  m   Сnm  p m  q nm , где Сnm 
m!  n  m !
Итак, P8  3  С83  p 3  q83 
8!
 0,43  0,65  0,2787.
3!  8  3!
б) Вероятность P8   3 того, что из зафиксированных 8 дней дождливыми
окажутся не менее трех дней, вычисляется следующим образом:
P8   3  1  P8   3  1   P8  0   P8 1  P8  2   
 1  С80  p 0  q80  С81  p1  q81  С82  p 2  q82 
1
8!
8!
8!
 0,40  0,68 
 0,41  0,67 
 0,42  0,66 
0!  8  0 !
1! 8  1!
2! 8  2 !
 1  0,68  8  0,4  0,67  28  0,42  0,66  0,6846.
в) Вероятность P8   1 того, что из зафиксированных 8 дней дождливыми
окажется хотя бы один день, вычисляется по формуле:
P8   1  1  q8  1  0,68  0,9832.
Задача 3.2. Завод отправил 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того,
что в пути разбили одно изделие, равна 0,0002. Найдите вероятность того, что в
пути будет повреждено: а) 3 изделия; б) 1 изделие; в) не более трех изделий.
Решение: а) Так как по условию n  p  q  5000  0,0002  0,9998  0,9998  10 , а
p  0,0002  0,1, то в данном случае вероятность P5000  3 того, что из 5000
изделий будут повреждены только 3 изделия, надо вычислять, применяя формулу
Пуассона:
n  p   e  n p

Pn  m  
, где n  p  q  10, а p  0,1.
m
m!
5000  0,0002   e50000,0002 1

Итак, P5000  3 
 .
3
3!
6e
23
б) Вероятность P5000 1 того, что из 5000 изделий будет повреждено только 1
изделие, вычисляется следующим образом:
5000  0,0002   e50000,0002 1

P5000 1 
 .
1
1!
e
в) Вероятность P5000   3 того, что из 5000 изделий будет повреждено не более
трех изделий, вычисляется следующим образом:
P5000   3  P5000  0   P5000 1  P5000  2   P5000  3 
5000  0,0002   e50000,0002 1  5000  0,0002   e50000,0002 1


 


0
0!
2
e
2!
1 1 1
1 16 8
      .
e e 2e 6e 6e 3e
6e
Задача 3.3. Стрелок выполнил 400 выстрелов. Вероятность попадания при
каждом выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок попадет: а)
325 раз; б) от 310 до 325 раз.
Решение: а) Так как по условию n  p  q  400  0,8  0,2  64  10 , а p  0,8 , то в
данном случае вероятность P400  325  того, что среди 400 выстрелов будет 325
попаданий, надо вычислять по локальной формуле Муавра-Лапласа:
1
Pn  m  
  x,
n pq
2
x

1
mn p
 e 2  функция Гаусса.
где x 
, q  1  p, а   x  
2
n pq
Итак, P400  325 
1
325  400  0,8 5
   x  , где x 
  0,63.
400  0,8  0,2
400  0,8  0,2 8
 

1
 e 2  0,3271 . А значит,
Тогда,   0,63 
2
1
0,3271
P400  325  
   0,63 
 0,041.
8
400  0,8  0,2
0,63
2
б) Вероятность P400  310  m  325  того, что среди 400 выстрелов будет от 310 до
325 попаданий, вычисляется по интегральной формуле Муавра-Лапласа:
Pn  m1  m  m2     x2     x1  ,
2
t

1
m1  n  p
m2  n  p
e 2 dt  функция Лапласа.
где x1 
, x2 
, а   x 

2 0
n pq
n pq
x
24
Учитывая, что    x     x  , получаем:
P400  310  m  325    x2     x1  ,
где x1 
310  400  0,8
10
325  400  0,8 5
   1,25, x2 
  0,63.
8
400  0,8  0,2
400  0,8  0,2 8
А значит, P400  310  m  325    0,63    1,25     0,63   1,25 .
Используя таблицу значений функции
  0,63  0,2357, а  1,25  0,3944. Итак,
Лапласа,
получаем,
что
P400  310  m  325   0,2357  0,3944  0,6301.
Решение.
Задача 4. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения в виде
таблицы. Требуется:
1) найти значение вероятности pi = P(X = xi);
2) найти функцию распределения F(x);
3) вычислить математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее
квадратическое отклонение (СКО) σ(X) случайной величины Х.
X
-6
-2
3
5
P
0,3
0,2
p3
0,1
Решение.
n
1)
Используя
соотношение
 p  1,
i 1
i
получим
0,3  0, 2  p3  0,1  1.
Следовательно, p3  0, 4.
2) Найдем функцию распределения F ( x)  P( X  x) , используя тот факт, что
вероятность попадания дискретной случайной величины в некоторый промежуток
определяется суммой вероятностей тех значений, которые находятся в этом
промежутке. Учитывая закон распределения, находим:
25
x  6,
 0;
0,3;  6  x  2,

F ( x)   0,5;  2  x  3,
 0,9; 3  x  5,

x  5.
 1;
Пояснения
P( X  x)  0 при x  6 , так как в промежутке (; x) нет ни одного значения
данной случайной величины;
P( X  x)  P( X  6)  0,3 при 6  x  2 , так как в промежуток (; x) попадает
только одно значение x1  6 ;
P( X  x)  P( X  6)  P( X  2)  0,3  0,2  0,5
при
2  x  3 ,
так
как
в
промежуток (; x) попадают два значения x1  6 и x2  2 ;
P( X  x)  P( X  6)  P( X  2)  P( X  3)  0,3  0,2  0,4  0,9 при 3  x  5 , так
как в промежуток (; x) попадают значения x1  6, x2  2 и x3  3 .
P( X  x)  P( X  6)  P( X  2)  P( X  3)  P( X  5)  0,3  0,2  0,4  0,1  1 при
x  5 , так как в промежуток (; x) попадают все значения случайной величины
X.
3) Пользуясь формулами
n
n
i 1
i 1
M ( X )   xi pi ; D( X )   xi2 pi  ( M ( X )) 2 ;  ( X )  D( X ),
вычислим M ( X ) и D( X ) :
M ( X )  6  0,3  (2)  0,2  3  0,4  5  0,1  0,5;
D( X )  (6) 2  0,3  (2) 2  0,2  32  0,4  52  0,1  (0,5) 2  17,45;
 ( X )  4,18.
Задача 5.1.
Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения вероятностей
F(x). Найти:
1) значение параметра a;
26
2) плотность распределения f(x);
3) математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и СКО σ(X);
4) вероятность того, что случайная величина X примет значение из промежутка
(x1, x2).
0,


F ( x)  a  (3x  x3 ),

1,

x  0,
0  x  1,
x  1;
x1  0, 2; x2  0, 6.
Решение.
1) Одно из свойств функции распределения состоит в том, что она непрерывна
слева на всей числовой оси. В точке x  0 заданная функция F(x) непрерывна при
любом значении a. Подберём значение параметра а так, чтобы в точке x  1
1
1
3
a

.
a

(3
x

x
)

1.
выполнялось равенство xlim
Следовательно,
1 0
lim (3x  x 3 ) 2
x 1 0
Таким образом, функция распределения принимает следующий вид:
0,

1

F ( x)    (3x  x 3 ),
2
1,

x  0,
0  x  1,
x  1.
2) Плотность распределения f(x) и функция распределения F(x) непрерывной
случайной величины X связаны соотношением f ( x)  F ( x). Тогда
0, x  0,

3

f ( x)   (1  x 2 ), 0  x  1,
2
0, x  1.

3) Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X , определяемой
плотностью вероятности f ( x) , могут быть вычислены по следующим формулам
(если все значения этой величины X заключены в промежутке (a, b) ):
M ( X )  a x f ( x )dx;
b
D ( X )  a x 2 f ( x )dx  ( M ( X )) 2 .
b
27
Найдём требуемые числовые характеристики случайной величины Х:
1
31
31
3  x2 x4  3
2
3
M ( X )   x  1  x  dx   ( x  x )dx       ;
20
20
2  2 4 0 8
2
2
31 2
3 3 1 2
3
2
D( X )   x  1  x  dx      ( x  x 4 )dx    
20
8 2 0
8
1
3  x3 x5 
9
19
    

;
2  3 5  0 64 320
 (X ) 
19
.
320
4) Одно из свойств функции распределения заключается в том, что вероятность
попадания случайной величины в некоторый промежуток равна приращению
функции распределения на этом промежутке.
Следовательно, вероятность того, что случайная величина X примет значение из
промежутка (0,2; 0,6) такова:




1
1
P(0, 2  X  0, 6)  F (0, 6)  F (0, 2)   3  0, 6  0, 63   3  0, 2  0, 2 3  0, 496.
2
2
Задача 5.2. Для заданной функции f(x) найти значение параметра λ, при котором
она является плотностью распределения вероятностей некоторой случайной
величины X. Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение
из промежутка (x1, x2).
f ( x) 

1 x
;
2
x1  0, x2 

4
.
Решение.
Функция плотности распределения вероятностей f ( x) обладает следующими
свойствами:
1. f ( x)  0 для всех значений x;

2.  f ( x)dx  1;

28
b
3. P(a  X  b)   f ( x)dx.
a
Воспользуемся этими свойствами для решения поставленных задач.
В силу первого свойства,   0. Значение этого параметра найдём, опираясь на
второе свойство:


 1  x dx  1,  ,  
2

1
.
1
dx

2
 1  x

Тогда

0
b
1
1
1
dx

lim
dx

lim
dx 

2
2
2
a  
b  
 1  x
a 1 x
0 1 x
 lim arctg x a  lim arctg x 0   .
0
a 
Таким образом,  
1

b
b 
.
Используя третье свойство, найдём вероятность попадания случайной величины Х
 
в промежуток  0,  :
 4
P(0  X 

4
 /4
1
1
1
 /4
dx   arctg x 0  .
2


0  1  x 
) 
Задача 6.1.
Все значения равномерно распределенной случайной величины X лежат на
заданном отрезке. Найти: а) плотность распределения вероятностей f(x); б)
функцию распределения F(x); в) математическое ожидание M(X), дисперсию D(X)
и СКО σ(X); г) вероятность попадания X на промежуток (x1, x2).
[5, 3]; x1  2, x2  1.
Решение.
29
Если непрерывная случайная величина распределена равномерно в некотором
промежутке [a, b], то ее плотность распределения имеет следующий вид:
 0, x  a
 1
f ( x)  
, a xb
b

a

 0, x  b.
В нашем случае
 0, x  5
 1
f ( x)   ,  5  x  3
8
 0, x  3.
Найдем F ( x) , исходя из известного соотношения
F ( x)   f (t ) dt.
x
При x  5
F ( x)   f (t )dt  0;
x
при 5  x  3
5
F ( x)   f (t )dt  5 f (t )dt  51 / 8dt 
x
x
x5
;
8
при x  3
5
F ( x)   f (t ) dt  5 f (t )dt  3 f (t )dt  51 / 8dt  1.
3
x
3
Итак, функция распределения имеет вид
 0, x  5
 x  5
F ( x)  
, 5 x 3
8

 1, x  3.
30
Математическое ожидание и дисперсию равномерно распределенной случайной
величины можно вычислить по формулам
ab
M (X ) 
,
2
(b  a)2
D( X ) 
.
12
Имеем
5  3
M (X ) 
 1,
2
(3  (5)) 2 16
D( X ) 
 ;
12
3
 ( X )  D( X ) 
16 4 3

.
3
3
Далее, найдем вероятность попадания случайной величины X в промежуток
(2, 1) :
P(2  X  1)  F (1)  F (2) 
1  5 2  5 3

 .
8
8
8
Задача 6.2. Математическое ожидание m и СКО σ нормально распределенной
случайной величины X заданы. Найти её плотность распределения f(x). Вычислить
вероятность того, что величина X примет значения из заданного промежутка
(x1, x2).
m  10,   2; x1  12, x2  14.
Решение.
Если непрерывная случайная величина X распределена нормально, то ее
плотность распределения вероятностей задается формулой
( xm )

1
f ( x) 
e 2 ,
 2
2
2
где m – математическое ожидание, σ – среднее квадратическое отклонение.
Вероятность попадания такой величины в промежуток (a, b) определяется
следующим соотношением:
bm
am
P ( a  X  b)   
  
,
  
  
31
где

t2
2
 ( x)  0 e dt
x
– функция Лапласа. Значения этой функции табулированы (таблица значений
функции Лапласа имеется, например, в конце учебника [2]). В таблице приводятся
значения функции при 0  x  5 . Функция Лапласа является нечетной, то есть
( x)  ( x). Кроме того, при x  5 можно считать, что ( x)  0,5 .
В нашем случае
( x 10)

1
f ( x) 
e 8 ;
2 2
2
 14  10 
 12  10 
P(12  x  14)   
  

 2 
 2 
 (2)  (1)  0,4772  0,3413  0,1359.
Задача 7. Даны две независимые случайные величины X1 и X2, для которых
известны их математические ожидания и дисперсии. Требуется найти
математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y, пользуясь
свойствами этих числовых характеристик.
M ( X 1 )  6, D( X 1 )  4, M ( X 2 )  9, D( X 2 )  5,
Y  7 X1  2 X 2  8.
Решение.
Нам понадобятся следующие свойства математического ожидания и дисперсии
(C – константа, X, Y – случайные величины):
1) M(C) = C;
2) M(CX) = C·M(X);
3) M(X±Y) = M(X) ± M(Y);
4) D(C) = 0;
5) D(CX) = C2·D(X);
6) D(X±Y) = D(X) + D(Y), если X, Y – независимые случайные величины.
32
Итак,
M (Y )  M (7 X 1  2 X 2  8)  M (7 X 1 )  M (2 X 2 )  M (8)  7  M ( X 1 ) 
2M ( X 2 )  8  7  (6)  2  9  8  68;
D(Y )  D(7 X 1  2 X 2  8)  D(7 X 1 )  D(2 X 2 )  D(8)  7 2  D( X 1 ) 
22 D( X 2 )  0  49  4  4  5  216.
Задача 8. a) Случайный вектор Х с математическим ожиданием M(X) и
ковариационной матрицей K(X) подвергается линейному преобразованию
y  Ax  C. Найти математическое ожидание M(Y), ковариационную матрицу K(Y)
и нормированную ковариационную матрицу C(Y) преобразованного вектора
Y  A  X  C.
2
9 2 1 
 0 1 2 
3
 




 
M ( X )   3  , K ( X )   2 16 1 , A   3 3 4  , C   6  .
4
 1 1 4 
2 5 1 
1
 




 
Решение.
Пусть для k-мерного случайного вектора
 X1 
X 
 2
X

k 1
 
 
 Xk 
известны математическое ожидание
 M ( X1) 
 M (X )
2 
M ( kX1 )  




 M (Xk )
и ковариационная матрица
 k ( X1, X1 ) k ( X 1, X 2 )
 k(X , X ) k(X , X )
2
1
2
2

K
(
X
)

k k


 k ( X k , X1) k ( X k , X 2 )
k ( X 1, X k ) 
k ( X 2 , X k ) 
.


k(Xk , Xk )
33
Здесь k ( X i , X j )  M ( X i  X j ) – ковариация между случайными величинами
X i , X j ; i, j  1,..., k ; X i  X i  M ( X i ) – центрированная случайная величина X i ,
k ( X i , X i )  M ( X i  X i )  D( X i ). Ковариационная матрица K(X) симметрична, так
как k ( X i , X j )  k ( X j , X i ). Нормированная ковариационная матрица получается
путём деления всех элементов ковариационной матрицы на произведение
соответствующих СКО:
 k ( X1, X1)
  ( X )  ( X )
1
1

 k ( X 2 , X1)
Kk kH ( X )    ( X 2 )   ( X 1 )


 k ( X k , X1)
  ( X )  ( X )

k
1
k(X 2, X 2)
 ( X 2 )  ( X 2 )
k(X k , X 2)
 ( X k )  ( X 2 )
1
 ( X1, X 2 )

 (X , X )
1
2
1



  ( X k , X1)  ( X k , X 2 )
(Xi, X j ) 
k ( X 1, X k ) 
 ( X1)  ( X k ) 

k(X 2, X k ) 
 ( X 2 )  ( X k )  



k(X k , X k ) 
 ( X k )   ( X k ) 
k ( X1, X 2 )
 ( X1)  ( X 2 )
k(Xi, X j )
 коэффициент
 ( X i )  ( X j )
 ( X 1, X k ) 
 ( X 2 , X k ) 
корреляции
1



;
между
случайными
величинами X i , X j ; i, j  1,..., k.
Тогда эти же числовые характеристики n-мерного случайного вектора Y,
полученного в результате линейного преобразования y  Ax  C k-мерного
случайного вектора X, могут быть найдены по следующим формулам:
M (Y
)  A  M ( kX1 )  C ;
n1
T
K
(
Y
)

A

K
(
X
)

A
.
nn
k k
Итак,
34
 0 1 2   2   3   11   3   14 

     
   

M (Y )   3 3 4    3    6    19    6    25  ;
 2 5 1   4   1   7   1   6 

     
   

 0 1 2   9 2 1   0 3 2 

 
 

K (Y )   3 3 4    2 16 1    1 3 5  
 2 5 1   1 1 4   2 4 1 

 
 

 0 18 9   0 3 2   36 90 81 

 
 

  29 58 16    1 3 5    90 325 332 .
 29 83
1   2 4 1   81 332 474 

Для нормировки ковариационной матрицы нам понадобятся СКО компонент
случайного вектора Y:
 (Y1 )  36  6;  (Y2 )  325  5 13;  (Y3 )  474.
Тогда

1


 90
K Н (Y )  
 6  5 13
 81

 6  474
90
6  5 13
1
332
5 13  474
81
  1
 
6  474  
332
  3 13

5 13  474   13
  27
1
 
  2 474
3 13
13
1
332
5 6162
27 

2 474 
332 
.
5 6162 


1


б) Известна ковариационная матрица K(X) случайного вектора Х. Найти
дисперсию D(Y) случайной величины Y.
 4 2 1


K ( X )   2 25 1  , Y  X 2  X 1  4 X 3  5.
 1 1 9 


Решение.
Рассмотрим частный случай линейного преобразования. Пусть
n
Y  a1 X 1  a2 X 2    an X n  a0   ai X i  a0 ,
i 1
то есть
35
 X1 
X 
Y  (a1 a2 ak )  2   a0  A X  a0 .
11
1 k k 1
 ... 
 
 Xk 
Тогда
k
M (Y )   ai M ( X i )  a0 ,
i 1
k
k
K (Y )  1A
 K ( X )  kA1   ai a j k ( X i , X j )  D(Y ),
k k k
T
i 1 j 1
и ковариационная матрица K(Y) вырождается в дисперсию D(Y).
В нашем случае
 X1 
Y
 (1 1 4)  X 2   5  1A
 X  5.
11
3 31
X 
 3
Тогда
 4 2 1  1
 1

  
 
D(Y )  (1 1 4)   2 25 1    1   (10 31 38)   1   193.
 1 1 9   4 
4

  
 
8. Литература
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:
Высшая школа, 2003, 2008.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. – М.: Высшая школа, 2002-2003, 2008.
3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей,
математической статистике и случайным процессам – М.: Айрис-пресс, 2005.
4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для ВУЗов. – М.: Высшая
школа, 1998, 2001.
36