Вынужденные колебания: курс общей физики

КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
АВТОР Э.Б. ШОШИН
Занятие 4. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
§ 1.Динамика вынужденных колебаний
Рассмотрим колебания, которые совершает система, если на нее,
кроме упругой силы F= - kх и сил сопротивления F= - rυ действует еще
добавочная сила F, которую мы будем называть вынуждающей силой.
Здесь k – коэффициент упругости; r – коэффициент сопротивления;
υ – скорость движения. Такие колебания совершает, например, груз
висящий на пружине, подталкиваемый вверх через равные промежутки
времени. Если период вынуждающей силы равен периоду собственных
Рис.1
колебаний системы, то вначале происходит несколько биений, а затем
устанавливаются вынужденные колебания с постоянной амплитудой
(рис. 1). Биения, происходящие вначале, являются результатом наложения
вынужденных колебаний и свободных затухающих колебаний.
Напишем основное уравнение динамики для вынужденных
прямолинейных колебаний
mа = -кх - rυ + F,
где F - периодически действующая вынуждающая сила.
Заменяя скорость и ускорение производными от смещения по
времени и перенося члены с переменной х влево, получаем
m
d 2x
dx
 r   kx  F .
2
dt
dt
Пусть для простоты вынуждающая
гармоническому закону
F=F0cost.
47
(1)
сила
изменяется
по
(2)
Предположим, что возникающие под действием F установившиеся
вынужденные колебания системы также являются гармоническими
х = А sin (t + 0),
(3)
причем их циклическая частота равна циклической частоте 
вынуждающей силы.
Задача заключается в нахождении амплитуды А и начальной фазы 0.
Если нам удастся выразить их через массу m системы, коэффициенты k и r,
а также амплитуду F0 и циклическую частоту  вынуждающей силы так,
чтобы выражение (3) обращало в тождество уравнение (1), то тем самым
мы докажем справедливость сделанного выше предположения. Из (3)
имеем

dx
 A cos(t  0 ),

dt

d
 
2
2
a
  A sin(t  0 )  A cos(t  0  ).
dt
2 



x  A cos  t  0   .

2


=
(4)
Подставляя эти выражения в уравнение (1), получим




mA 2 cos  t   0    rA cos(t   0 )  kA cos t   0    F0 cos t .
2
2


Разделим все члены равенства на mА:
 r
k
 F


(5)
 2 cos t   0     cos(t   0 )  cos t   0    0 cos t .
2 m
m 
2  mA

k
Но,
0- циклическая частота собственных колебаний
  02 , где
m
системы,
r
 2  , где
m
 - коэффициент затухания (см. занятие №1
«Гармонические колебания»). Следовательно, равенство (5) можно
записать и так

 f


 2 сost   0    2  cos(t   0 )   02 сost   0    0 cos t , (6)
2
2 A


где
F
f0  0 .
m
Правую часть этого выражения можем рассматривать как некоторое
гармоническое колебание, получившееся от сложения трех гармонических
колебаний, определяемых членами левой части равенства (6). Для
сложения этих колебаний воспользуемся методом векторных диаграмм.
Проведем опорную линию ОХ (рис. 2) и отложим под углами,
48
соответствующими начальным фазам всех четырех колебаний, векторы
f
f
амплитуд  2 ; 2  ;  02 и 0 . Вектор 0   2  2  ω   02
A
A
Из рис. 2 видно, что
2
 f0 
2
2 2
2
   ( 0   )  (2  ) ,
 A
Откуда
A
Амплитуда
F0
m  02   2 ) 2  4  2 2
.
(7)
установившихся
вынужденных колебаний прямо
пропорциональна амплитуде
2 ω
2

вынуждающей
силы
F0,
х
0
обратно
пропорциональна
f0
массе
m
системы
и

A
уменьшается с увеличением
2
2
0  
коэффициента затухания 
при постоянных F0, m и 
 02
амплитуда зависит только от
соотношения циклических
Рис.2
частот вынуждающей силы ( )
и собственных колебаний системы (0). позволяет определить сдвиг фаз 0
между скоростью установившихся вынужденных колебаний и

вынуждающей силой, а также сдвиг фаз    0  между смещением и
2
вынуждающей силой
tg 0 
 02   2
.
2 
(8)
Исследуем выражение (7) и построим кривую зависимости амплитуды
вынужденных колебаний от циклической частоты вынуждающей силы
(рис.3): а) при циклической частоте вынуждающей силы  = 0. В этом
случае колебания не совершаются и смещение при вынужденных
колебаниях равно статической деформации под действием постоянной
силы F0
F
F
x  A0  0 2  0 ,
(9)
k
m 0
Потому отклонение А0 иногда называют статической амплитудой;
б) Если затухания нет  1 

r

 0  , то амплитуда колебаний А растет
2m

с увеличением циклической частоты  и вынуждающей силы F и при
= 0 называется резонансным.
49
50
§ 2. РЕЗОНАНС
Явлением
резонанса
называется
нарастание
амплитуды
вынужденных колебаний до максимума под действием периодической
вынуждающей силы, частота которой приближается к частоте собственных
колебаний системы.
При дальнейшем росте циклической частоты со вынуждающей силы
(>0) , амплитуда А вынужденных колебаний уменьшается (см. рис. 3,
кривую для случая 1=0).
Рассмотрим, при каком условии наступает резонанс, если затухание
существует (0). Из уравнения (7)
следует, что амплитуда достигает
максимального
значения,
когда
знаменатель правой части достигает
минимума. Приравнивая нулю первую
производную
по
 подкоренного
выражения, получим условие минимума
 4( 02   2рез ) рез  8 2 рез  0
где рез
обозначает то значение
циклической частоты  вынуждающей
силы, при котором наступает резонанс.
Преобразуя это выражение, получим
Рис 3
 рез   02  2  2   0 1 
2 2
 02
.
(10)
Из (10) следует, что при   0, рез < 0. Поэтому в реальных
системах резонанс наступает при частоте вынуждающей силы, несколько
меньшей частоты собственных колебаний системы.
При дальнейшем возрастании  амплитуда вынужденных колебаний
убывает и стремится к нулю, когда 
неограниченно возрастает. С увеличением
коэффициента затухания  явления резонанса
проявляются все слабее (см. рис. 3) и, наконец,
исчезают при  
с
0
2
.
Явление резонанса можно иллюстрировать
следующими опытами:
в
а) К подставке подвешены маятники а, b, с
и d, связанные между собою нитью (рис. 4).
Рис.4
Длины маятников а и d одинаковы. Сообщим
маятнику а импульс, под действием которого он начнет колебаться. По
нити колебательные импульсы будут передаваться другим маятникам,
а
d
51
однако заметно раскачиваться начнет лишь маятник d, период колебания
которого равен периоду колебания маятника а.
б) По одному из двух стоящих на столе камертонов ударяют
деревянным молотком, и через несколько секунд прекращают его
звучание, дотронувшись до него рукою. Во время звучания первого
камертона звуковые импульсы передаются через воздух и стол второму
камертону, если периоды собственных колебаний камертонов одинаковы,
то вследствие резонанса второй камертон также начнет звучать. Если
камертоны «расстроить» насадив на ножку одного из них небольшую
насадку, резонанс наблюдаться не будет.
5. Явления резонанса широко используются в радиотехнике
(например, для настройки радиоприемников на прием той или иной
радиостанции), в акустике (для анализа звуков, их усиления и т.д.). Ряд
оптических явлений, например, аномальная дисперсия, связаны с
резонансом.
В различных сооружения и машинах, подвергающихся периодически
изменяющимся нагрузкам, резонанс весьма опасен. Он может вызывать их
разрушение вследствие значительного возрастания амплитуды колебаний.
Так, например, поршни и шатуны двигателя внутреннего сгорания
действуют на коленчатый вал с угловой скоростью вращения вала. Эти
силы вызывают колебания коленчатого вала и при скорости вращения,
соответствующей резонансу, могут привести к поломке вала.
Вращающиеся части машины, диски и валы турбин, винты самолетов не
могут быть абсолютно точно уравновешены, т.е. их центра масс слегка
смещены по отношению к осям вращения. Следовательно, они также
испытывают переменную нагрузку и совершают вынужденные колебания.
При проектировании современных машин и других сооружений,
подвергающихся вибрациям, производятся специальные расчеты и
принимаются меры для исключения возможности возникновения
резонанса.
§ 3. ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Электрическое сопротивление R любого реального колебательного
контура отлично от нуля. Поэтому свободные электромагнитные
колебания в контуре постепенно затухают. Для получения незатухающих
электромагнитных колебаний необходимо извне подводить энергию,
компенсирующую потери на джоулево тепло. В этом случае мы будем
иметь дело уже не со свободными, а с вынужденными
электромагнитными колебаниями. Для осуществления таких колебаний
52
необходимо включить в колебательный контур источник тока,
обладающий периодически изменяющейся ЭДС (рис. 5).
Рассмотрим простейший случай вынужденных электромагнитных
колебаний в контуре, происходящих под действием синусоидальной ЭДС
 = 0sin  t,
(11)
где 0 - амплитуда ЭДС, a  - циклическая частота. Этот случай в то же
время является и достаточно общим, так как по теореме Фурье любую
непрерывную периодическую функцию  = 0t можно представить в виде
суммы (конечной или бесконечной) простых синусоидальных функций,
имеющих различные амплитуды, начальные фазы и циклические частоты.
Для получения дифференциального уравнения вынужденных
электромагнитных колебаний запишем закон Ома для колебательного
контура
IR =  + ,
(12)
где I, ,  - соответственно, мгновенные значения силы тока в цепи,
разности потенциалов между обкладками конденсатора и алгебраической
суммы ЭДС, приложенных на рассматриваемом участке цепи. Учтем, что
разность потенциалов между обкладками
конденсатора равна
 = q/C,
сила тока в цепи -
I 
dq
,
dt
а ЭДС
самоиндукции

LdI
d 2q
 L 2 .
dt
dt
Заменим  суммой вынуждающей ЭДС (11)
и ЭДС самоиндукции
d 2q
dq q
Рис.5
(13)
L  2  R     0  sin t .
dt C
dt
Полное решение неоднородного .линейного дифференциального
уравнения (13) равно сумме полного решения соответствующего
однородного линейного уравнения (см. (17,19), занятие №3)

R
2 L sin(
q  A0e
t  0 ) .
(14)
и частичного решения уравнения (13). Величина первого члена этой суммы
обычно быстро убывает с течением времени, так как он характеризует
свободные з а т у х ающие колебания в контуре. Поэтому вскоре после
начала колебаний влиянием этого члена, можно пренебречь. Частное
решение уравнения (13) будем искать в форме
53
dq
(15)
 I 0  sin(   t   0 )
dt
Задача состоит в отыскании таких значений амплитуды тока I0 и
начальной фазы φ0, чтобы выражение (15) обращало уравнение (13) в
тождество.
Из (15) следует, что
I 
q
I
I


 cos(  t  0 )   0 sin    t  0  


2

dq
  I 0  sin(  t  0 )
dt
и
,
d 2q


  I 0    cos(  t  0 )   I 0    sin    t  0   .
2
dt
2

dq
d 2q
и
в (11), получим
dt
dt 2
I




I 0  L  sin    t  0    I 0  sin(  t  0 )  0 sin    t  0     0 sin  t
2
C 
2

Подставив значения q,
Левая часть этого тождества представляет собой сумму трех
гармонических колебаний одной частоты, но имеющих разные начальные
фазы. Для их сложения удобно воспользоваться методом векторных
диаграмм (рис. 6). Из рис. 6 следует, что
1
L


С
tg 0 
R
(16)
и
I0 
I0  R
I0  L  
0
0
0
 1

R2  
 L 
 C

I0
 I0  L  
C
I0
C
Рис.6
0
Z
, (17)
где
2
 1

Z  R 
   L .
 C

2
0

2
(18)
Формула
(17),
показывающая
зависимость
амплитуды I0 переменного тока
в колебательном контуре от
амплитуды 0 вынуждающей
ЭДС, аналогична закону Ома
IR =  для
замкнутой цепи постоянного тока.
54
Поэтому
величина
Z
называется
полным
(эффективным)
сопротивлением электрической цепи переменного тока (колебательного
контура). Оно складывается из активного (омического) сопротивления R,
1
индуктивного сопротивления L и емкостного сопротивления
.
Ω С
Амплитуда силы тока в контуре, как видно из формулы (15), зависит
не только от параметров контура (R, L и С) и амплитуды 0 вынуждающей
Рис. 7
Рис. 8
ЭДС, но и от циклической частоты . На рис. 7 и 8 представлены
зависимости амплитуды I0 силы тока и сдвига фаз между силой тока и
вынуждающей ЭДС от частоты последней при постоянных R, L, С и 0 .
Независимо от величины R активного сопротивления контура амплитуда
силы тока в контуре достигает максимального значения
I 0 max 
при одном и том же значении р
ЭДС, равном
р 
0
R
циклической
1
 0 .
LC
частоты
вынуждающей
(19)
Из (18) следует, что при  = р полное сопротивление контура
минимально и равно его активному сопротивлению. В этом случае 0 = 0,
т.е. сила тока совпадает по фазе с вынуждающей ЭДС.
Явление резкого возрастания амплитуды силы тока в колебательном
контуре при приближении циклической частоты вынуждающей ЭДС к
значению р называется явлением резонанса в электрической цепи, а
частота р - резонансной циклической частотой. Кривая зависимости I0 от
 называется резонансной кривой.
55
Важным отличием электрического резонанса от резонанса при
вынужденных
колебаниях
механических
систем
является
независимость
резонансной частоты от величины коэффициента 
затухания свободных колебаний, т.е. активного сопротивления R цепи.
Отношение резонансной циклической частоты к удвоенному
коэффициенту затухания электромагнитных колебаний в контуре
называется добротностью Q.
Q
p
2

1
L
.

R C
(20)
§ 4 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Какая сила называется вынуждающей?
2. Какие колебания называются вынужденными?
3. Какими параметрами отличается уравнение динамики для вынужденных
прямолинейных колебаний от уравнения динамики свободных
незатухающих колебаний?
4. Как Вы понимаете, что такое коэффициент затухания?
5. Какое явление называется резонансом?
6. При каких условиях наступает резонанс?
7. Почему в реальном колебательном контуре наблюдаются затухающие
электромагнитные колебания?
8. Как связан коэффициент затухания с параметрами колебательного
контура?
9. Как связана ЭДС самоиндукции в колебательном контуре с
индуктивностью контура?
10. Какую величину называют полным эффективным сопротивлением
электрической цепи?
11. Какую величину называют добротностью контура?
12. Приведите примеры систем, в которых наблюдаются затухающие
колебания.
§ 5. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Колебательный контур состоит из соединенных
последовательно батареи конденсаторов и дросселя, активное
сопротивление которого равно 100 Ом, а. индуктивность 0,05 Гн.
Резонансная частота контура рез = 6000 Гц. Каково полное сопротивление
56
цепи для переменного тока, если его частота 1 = 50 Гц. Каково оно будет
при частотах 2= 5000 Гц и З = 6000 Гц?
Дано:
Решение
полное сопротивление Z (см. формулу (18)) равно
R = 100 Ом
L = 0,05 Гн
рез = 6000 Гц
1 = 50 Гц
2= 5000 Гц
З = 6000 Гц
______________
Z1-? Z2-? Z3-?
2
1 

Z  R   L 
 ,
C 

2
где R – ее активное сопротивление, С – емкость,
L – индуктивность,
а
 - циклическая частота
переменного тока, равная 2.
Таким образом
 1

Z  R2  
 2L 
 2C

2
Резонансная частота p контура (по формуле (19)) равна
p 
p
1

2 2 LC
поэтому
2
 2

Z  R  4  L  2p  1 


 1

2
2
2 2
1
 600 2 
2
100  4  3,14  50  0, 05  
  1  2, 26 10 Ом
 50 

2
2
2
2
2
2
 6000 2 
  2p 
2
2
2
2
Z2  R  L  2  1  100  4  3,14  5000  0, 05  
  1  698 Ом


 2

 5000 

2
2 2
2
2
 6000 2 
  2p 
Z3  R  L  2  1  1002  4  3,142  60002  0, 0052  
  1  100 Ом.


600




 3


2
2 2
3
Пример 2. При включении катушки в цепь постоянного тока с
напряжением 12 В амперметр показал силу тока 4,0 А. При включении той
же катушки в цепь переменного тока с частотой 50 Гц и напряжением 12 В
амперметр показал ток 2,4А. Определить индуктивность катушки. Чему
будет равна активная мощность тока в цепи, если последовательно с
катушкой включить конденсатор емкостью 394 мкФ ?
Дано:
Решение: так как при постоянном токе реактивное
Uпост=12 В
сопротивление отсутствует, то в этом случае по закону
Iпост = 4А
Ома можно найти активное сопротивление катушки
U~ = 12 В
I~ = 2,4 А
f = 50 Гц
R
U пост
. При переменном токе с помощью того же
I пост
57
С = 394 мкФ
L-? P-?
закона можно найти полное сопротивление катушки
I пер 
U перем
1 

R   L 

C 

2
.
2
Нужный для вычисления
следующим образом
cos 
коэффициент
R

Z
мощности
определяется
R
1 

R   L 

C 

2
2
Вычисления:
U пос 12 В

 3 Ом .
I пос
4А
Полное сопротивление катушки
U перем
12
Zk 
; Zk 
 5 Ом .
I перем
2,4
R
Определим ХL и L катушки, а также сопротивление конденсатора Хс
X L  Z k2  R 2 ,
X L  252  92  4(Ом);
XL
4
, L
 0, 0127 Гн  4(Ом);
2f
6, 28  50
1
1
Xc 
, Xc 
 8(Ом);
2fc
6,28  50  394 10-6
3
cos 
 0, 6;
9  (8  4) 2
L
Р  12  2,4  0,6  17,3(Вт).
Пример 3. Груз массой m = 3 кг, подвешенный на пружине, коэффициент
упругости которой k = 0,05 Н/см помещен в масло. Коэффициент трения в
масле r = 0,5 кг/с. На верхний конец пружины действует вынуждающая
сила, меняющаяся по закону
F = F0sin t(H).
При какой частоте вынуждающей силы амплитуда вынужденных
колебаний будет максимальна? Чему равна максимальная амплитуда?
Какова амплитуда вынужденных колебаний, если частота вынуждающей
силы вдвое больше (меньше) резонансной?
Решение. Вынужденные колебания совершаются с
Дано:
m = 3 кг,
частотой вынуждающей силы. Амплитуда вынужденных
k = 0,05 Н/см,
колебаний определяется формулой
r = 0,5 кг/с.
58
Найти: ωр, Аm,
A1, A2.
A
f0
( 02   2 ) 2  4  2 2
,
(1)
где  - частота вынужденных колебаний, 0 – собственная частота
маятника, f0 – амплитудное значение силы, деленное на массу
колеблющегося тела,  - коэффициент затухания.
Резонанс наступает тогда, когда
 2   02  2  2 .
(2)
Если <<0, то можно считать, что резонанс наступает при
 = 0.
(3)
Прежде всего, следует по данным задачи рассчитывать значения 
и . Все остальные искомые величины могут быть получены
непосредственно с помощью формул (1) и (2) или (3).
Расчет показывает, что
k
0 
 10 c 1;
m
r

 0,5 c 1.
2m
Значит, ошибка, совершенная при расчете резонансной частоты по
формуле (3), будет составлять всего лишь 0,25%
  2 2  2
 2 2 

.
 2  0,005.

2
 2




0


Поэтому можно считать, что амплитуда внутри данных колебаний примет
максимальное значение при  = 0 =10 с-1.
Максимальное значение амплитуды при этом
f
F0
Amax  0 
 20 см .
2 m2
Здесь F0 – амплитуда вынуждающей силы. По условию F0 = 1Н.
При проведении всех указанных расчетов следует тщательно следить
за размерностями единиц измерений. Если  
0
F0
A1 / 2 
m
, то
2
9 / 16   04  2  02
.
Вынося 0 из-под знака радикала и учитывая, что 2<<  02 , получим
59
A1 
для частоты  = 2
A2 
F0
 2,7см ;
3 2
m 0
4
F0
m  3 02
 0,7см .
§ 6. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 1. Какая нужна вынуждающая сила, чтобы осциллятор массы m с
коэффициентом затухания  начал совершать гармонические колебания с
собственной частотой о по закону х = A cos (о t- ) ?
Ответ: F = - 2mо sin (о t - ).
Задача 2. Амплитуда вынуждающей силы равна F0, ее частота
- 0. Определите амплитуду вынужденных колебаний. Во сколько раз она
больше отклонения осциллятора при действии постоянной силы F0 ?
Ответ: А = - F0/2m00; в 0 /2 раз.
Задача 3. Осциллятор движется по закону х = х0 sin t, а вынуждающая
сила, действующая на него, F = F0 cos t. Каков коэффициент затухания у
осциллятора? Масса осциллятора m.
Ответ:  = F0/2x0m.
Задача 4. Игла звукоснимателя движется по синусоидальной бороздке
грампластинки. Частота собственных колебаний иглы 0. При какой
скорости иглы относительно пластинки она начнет выскакивать из
бороздки? Изгибы бороздки повторяются через расстояние .
Ответ: 0/2.
Задача 5. Найдите зависимость координаты осциллятора от времени (см.
условие и ответ задачи 4) 0.
Ft
Ответ: x(t )  0 sin  0 t .
2m 0
Задача 6. С момента времени t = 0 на частицу массы m начинает в
направлении оси х действовать сила Fх = F0 sin 0t, а в направлении
у - сила Fу = F0 cos t. Найдите траекторию частицы, если в начальный
момент она покоится. Чему равна средняя скорость частицы за большое
время?
Ответ: Циклоида; υср=F0/m .
Задача 7. В условиях задачи 4 найдите: а) какую начальную скорость
должна иметь частица, чтобы двигаться при наличии сил Fx и Fy по
окружности?
б) каков радиус этой окружности?
60
Ответ: а) если при t = 0 υx=-F0/m, а при vy = 0; б) r = F0/m2.
Задача 8. Тело совершает вынужденные колебания в среде с
коэффициентом сопротивления r = 1 г/c. Считая затухание малым,
определить амплитудное значение вынуждающей силы, если резонансная
амплитуда Арез = 0,5 см и частота 0 собственных колебаний равна 10 Гц.
Ответ: F0 = 0,314 мкН.
Задача 9. Почему при линейной зависимости вынуждающей силы от
смещения и скорости осциллятора общее движение является суммой
свободных и вынужденных колебаний?
Задача 10. В момент времени t0 на покоящийся в положении равновесия
осциллятор начинает действовать вынуждающая сила F = F0 cos t. Масса
осциллятора m, его собственная частота 0. Найдите зависимость
координаты осциллятора от времени и построите ее график для
|-0|.
При
построении
графика
воспользуйтесь
тождеством


cos   cos   2 sin
sin
.
2
2
2 F0
  0    0 
sin
t  sin 
t .
Ответ: x(t ) 

m( 02   2 )  2
  2

Задача 11. Частицы массы m каждая вылетают из источника в момент
времени t =0 с почти нулевой начальной скоростью, Сразу после вылета на
них начинает действовать сила F = F0 sin t. Определите скорость частиц
спустя время t после вылета. Какова средняя скорость этих частиц? На
каком расстоянии  от источника достигается наибольшая скорость?
Ответ: υ=(F0/m)(1-cost);υср =F0/m;  = (F/m m 2)(2n+n),
где n - целое число.
Задача 12. Добротностью осциллятора называют отношение его начальной
энергии к энергии, потерянной им за время изменения фазы на 8 раз.
Выразите добротность через коэффициент затухания  частоту свободных
колебаний  0 (    0 ) .Как связана добротность Q с числом колебаний n,
за которое энергия осциллятора уменьшится в
е раз.
Ответ: Q = 0/2; n = Q/2π.
61