3.4. Погрешность и неопределенность измерений
3.4.1. Погрешность результата и средства измерений. Классификация погрешностей
Целью измерений является нахождение истинного значения измеряемой физической величины. Качество результатов измерений характеризуется близостью достижения цели, т. е. близостью измеренного значения к истинному. Истинное значение физической величины – это значение, которое идеальным образом характеризует в качественном и количественном отношении соответствующую физическую величину. Оно является абсолютной истиной и может быть получено только в результате бесконечного процесса измерений с бесконечным совершенствованием методов и средств измерений. Количественной оценкой точности результата измерений является погрешность, определяемая отклонением результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Формально погрешность
можно представить выражением
= X – Q,
(3.9)
где – абсолютная погрешность измерения; X – результат измерения
физической величины; Q – истинное значение измеряемой физической величины (физическая величина, представленная ее истинным
значением).
Результат измерения является приближенной оценкой истинного значения физической величины, которая найдена путем измерения.
Погрешность результата измерения указывает границы неопределенности значения измеряемой величины.
Так как истинное значение неизвестно и его применяют только в
теоретических исследованиях, то на практике это абстрактное понятие
заменяют понятием «действительное значение». За действительное
значение физической величины принимают значение, полученное
экспериментальным путем (в результате измерений) и настолько
близкое к истинному, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него, т. е.
X дт Q,
(3.10)
где X дт – действительное значение физической величины; Q – истинное значение физической величины.
Заменяя истинное значение действительным, погрешность можно определить как отклонение измеренного значения от действительного
= X – Хдт,
(3.11)
Для характеристики точности технических устройств, применяемых при измерениях, используется понятие погрешность средства
измерений, как разность между показанием средства измерений и истинным (действительным) значением измеряемой физической величины.
Погрешности результата и средств измерений классифицируют
по различным признакам.
По способу выражения различают абсолютную, относительную
и приведенную погрешности.
Абсолютная погрешность описывается формулой (3.11) и выражается в единицах измеряемой величины. Относительная погрешность – это погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности к действительному или измеренному значению измеряемой величины
δ
x
,
X
(3.12)
где x – абсолютная погрешность измерений; X – действительное
или измеренное значение величины.
Относительная погрешность может быть рассчитана в неименованных относительных единицах (долях) по формуле (3.12) или в
именованных относительных единицах (например, в процентах или в
промилле). При использовании именованной относительной погрешности, выраженной в процентах, формулу для относительной погрешности можно записать в виде
x
100 % .
X
(3.13)
Для характеристики средств измерений используют приведенную погрешность. ( γ ). Приведенная погрешность – это относительная погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности
средства измерений к условно принятому значению величины (нормирующему значению), постоянному во всем диапазоне измерений
или в его части
γ
100%,
XN
(3.14)
где – абсолютная погрешность средства измерений; X N – нормирующее значение.
В качестве нормирующей величины могут использоваться верхний предел измерений либо больший из модулей пределов измерений,
если нулевое значение находится внутри диапазона измерений, а
верхний и нижний пределы неодинаковы по модулю, и другие величины, оговоренные в ГОСТ 8.401–80.
По характеру проявления погрешности делятся на систематические, случайные и грубые.
Систематическая погрешность (СТБ П 8021–2003) – составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же
физической величины.
Отличительная особенность систематических погрешностей заключается в том, что они могут быть предсказаны, выявлены, оценены
и исключены из результата измерения путем внесения поправок. Исключение систематических погрешностей измерения из отдельных
результатов или серий, полученных при многократных измерениях
одной и той же физической величины, называется «исправлением результатов», а полученные при этом значения – исправленными.
В зависимости от характера изменения систематические погрешности подразделяют на постоянные, прогрессивные, периодические и погрешности, изменяющиеся по сложному закону.
Составляющие систематические погрешности, которые могут
длительное время сохранять свое значение, например, в течение времени выполнения всего ряда измерений, являются постоянными
(например, прибор с неправильно выставленным нулем). Непрерывно
возрастающие или убывающие погрешности называют прогрессивными. Значения периодических погрешностей является периодической функцией времени или перемещения указателя измерительного
прибора (например, спешащие или отстающие часы).
Систематическая погрешность может изменяться по сложному
закону и включать постоянную, прогрессивную и периодическую составляющие. В общем виде может быть описана выражением
s = a + b + dsin,
(3.15)
где a – постоянная составляющая сложной систематической погрешности; , – соответственно аргументы прогрессирующей и периодической составляющих систематической погрешности.
Случайная погрешность – составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при
повторных измерениях, проведенных с одинаковой тщательностью,
одной и той же величины (СПБ П 8021–2003). Они обнаруживаются
при повторных измерениях одной и той же величины в виде разброса
получаемых значений. Причиной появления таких погрешностей чаще
всего является совокупное действие различных факторов, среди которых нельзя выделить доминирующий.
Случайные погрешности неизбежны, неустранимы и всегда
присутствуют в результате измерения. Описание случайных погрешностей, как и любой случайной величины, возможно только на основе
теории вероятностей и математической статистики.
В отличие от систематических случайные погрешности нельзя
исключить из результатов измерений путем введения поправки, однако их можно существенно уменьшить путем увеличения числа наблюдений. Поэтому для получения результата, минимально отличающегося от истинного значения измеряемой величины, проводят многократные измерения с последующей математической обработкой данных.
Грубая погрешность (промах) – это погрешность результата
отдельного измерения, входящего в ряд измерений, который для данных условий резко отличается от остальных результатов ряда.
Они, как правило, возникают из-за ошибок или неправильных
действий оператора или резких изменений условий проведения измерений. Такие погрешности в принципе непредсказуемы, и их значения
(в отличие от случайных погрешностей) невозможно прогнозировать с
учетом теории вероятностей.
Если промахи обнаруживаются в процессе измерений, то результаты, их содержащие, отбрасывают. Однако чаще всего промахи
выявляют только при окончательной обработке результатов измерений с помощью специальных критериев, которые подробно рассмотрены в разделе 3.4.4.
В зависимости от места возникновения различают инструментальные, методические, субъективные и погрешности условий.
Инструментальная погрешность – составляющая погрешности измерения, обусловленная погрешностью применяемого средства
измерений. К ней относят погрешности всех применяемых в данной
методике средств измерений и вспомогательных устройств, включая
погрешности прибора, мер для его настройки и т. п.
Методическая ( погрешность метода измерений) – это составляющая систематической погрешности измерений, обусловленная
несовершенством принятого метода. Они обусловлены:
– отличием принятой модели объекта измерения от модели,
адекватно описывающей его свойство, которое определяется путем
измерения;
– влиянием способа применения СИ;
– влиянием алгоритмов (формул), по которым производятся вычисления результатов измерений;
– влиянием других факторов, не связанных со свойствами используемых средств измерений.
Погрешность условий – составляющая погрешности измерения, которая возникает из-за отклонений условий от нормальных.
По влиянию внешних условий различают основную и дополнительную погрешность СИ. Основной называется погрешность СИ,
определяемая в нормальных условиях его применения. Для каждого
СИ в технических нормативных правовых актах (ТНПА) оговариваются условия эксплуатации – совокупность влияющих величин (температуры окружающей среды, влажности, давления, напряжения и частоты питающей сети и др.), при которых нормируется его погрешность. Дополнительной называется погрешность СИ, возникающая
вследствие выхода какой-либо из влияющих величин за пределы нормальной области значений. Например, изменение температуры влияет
на результат определения размеров, плотности и др.
Субъективная (личная) погрешность – составляющая систематической погрешности измерений, обусловленная индивидуальными особенностями оператора. Они вызываются недостаточно высокой
квалификацией оператора, его состоянием, положением во время работы, несовершенством органов чувств, эргономическими свойствами
СИ и др. Чаще всего они обусловлены погрешностью отсчета оператором показаний по шкалам СИ и др. Погрешности отсчитывания
возникают при необходимости оценивания на глаз доли деления шкалы, соответствующей положению указателя (погрешность интерполяции при считывании), а также из-за параллакса при «косом» направлении взгляда оператора (погрешность от параллакса).
Погрешность измерения является интегральной погрешностью, которая образуется в результате объединения составляющих погрешностей от разных источников:
= си* м *у *оп ,
(3.16)
где си – инструментальная погрешность; м – методическая погрешность; у – погрешность условий; оп – субъективная погрешность|.
Знак * является знаком объединения (не сложения), поскольку
погрешности различные погрешности объединяют с использованием
разных математических операций.
Каждый из источников, в свою очередь, может дать одну либо
несколько элементарных составляющих.
По значимости все погрешности (составляющие и интегральные) можно разделить на значимые и пренебрежимо малые. К пренебрежимо малым составляющим погрешностям относят погрешности,
которые значительно меньше доминирующих составляющих, т.е. min
<< max.
Статическая и динамическая погрешности относятся к погрешностям средств измерений. Динамической погрешностью средства
измерений называют погрешность, возникающую при измерении изменяющейся (в процессе измерений) физической величины. Она равна
дин = д.р – ст.р ,
(3.17)
где дин – динамическая погрешность средства измерения; д..р – погрешность средства измерения при использовании его в динамическом режиме; ст..р – погрешность при использовании средства измерений в статическом режиме.
При этом статической погрешностью называют погрешность
средства измерения, применяемого при измерении физической величины, принимаемой за неизменную. Динамический режим измерений
встречается не только при измерении изменяющейся величины, но и
при измерении величины постоянной в том случае, когда скорость изменения сигнала измерительной информации на входе средства измерений оказывается соизмерима и даже выше скорости преобразования
измерительной информации.
По зависимости абсолютной погрешности от значений измеряемой величины различают погрешность:
– аддитивную – не зависящую от
измеряемой величины
(рис. 3.3.а);
– мультипликативную, которая прямо пропорциональна измеряемой величине (рис. 3.3. б);
– суммарную, имеющую и аддитивную и мультипликативнуюсоставляющие (рис. 3.3. в) или нелинейную.
Эти погрешности применяются в основном для описания метрологических характеристик СИ и определения их класса точности.
а
м
а
м
а
а
x
б
x
в
x
Рис. 3.3. Аддитивная (а), мультипликативная (б) и суммарная (в) погрешности
Эти погрешности применяются в основном для описания метрологических характеристик СИ и определения их класса точности.
3.4.2. Случайные погрешности
Случайные погрешности возникают из-за наличия случайных
погрешностей у применяемых средств измерений, из-за колебаний
влияющих факторов, из-за ограниченных возможностей органов
чувств человека и др.
Присутствие случайных погрешностей в результатах измерений
обнаруживается по разбросу значений относительно некоторого значения.
Вследствие того, что результат измерения X содержит случайную погрешность , он сам является случайной величиной, так как
X Q . Предсказать результат отдельного единичного измерения
невозможно, можно лишь, зная закономерности поведения результатов, с определенной уверенностью утверждать, что истинное значение
находится в определенных пределах.
Дать количественные оценки результата измерения и его случайной погрешности позволяет теория вероятностей и математическая
статистика.
Случайной величиной называется переменная, которая может
принимать любое значение из заданного множества значений и с которой связано распределение вероятностей. Она может принимать
дискретные и непрерывные значения.
Случайную величину, которая может принимать только отдельные значения, называют дискретной .
Случайную величину, которая может принимать любые значения из конечного или бесконечного интервала, называют непрерывной. Измеренные значения физических величин и их случайные погрешности рассматриваются как непрерывные случайные величины.
Все случайные величины подчиняются определенным закономерностям, называемым законами распределения. Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и
соответствующими им вероятностями.
Различают две формы закона: интегральную и дифференциальную. Интегральная форма – функция распределения вероятностей –
функция, задающая для любого значения х вероятность того, что случайная величина Х будет меньше или равна х:
(3.18)
F ( x) P( X x) P( X x) .
По определению функция распределения равна вероятности, с
которой случайная величина Х принимает значения, меньше или равные х (вероятности достижения х). Например, значение функции от
5 – это вероятность, с которой случайная величина Х достигнет значения, равного 5: F (5) P( X 5) .
Функция распределения вероятностей обладает следующими
свойствами:
– она неотрицательная, т. е. F ( x) 0 ;
– значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1];
– функция распределения неубывающая , т. е F ( x2 ) F ( x1 ) , если
x2 x1 .
Если функция распределения непрерывной случайной переменной дифференцируема, то первая производная от нее называется
плотностью распределения вероятностей случайной переменной Х:
f ( x)
dF ( x)
.
dx
(3.19)
Плотность распределения обладает следующими свойствами:
– f ( x) 0 ;
– f ( x)dx 1 .
Вид функции и плотности нормального распределения представлен на рис. 3.4.
F(x)
1
F(x2)
а)
0,5
F(x1)
x
f(x)
б)
x1
x2
x
Рис. 3.4. Интегральная (а) и дифференциальная (б) функции нормального
распределения
Если усредненные величины, отсчитываются от начала координат, то моменты называются начальными, если от центра mx – центральными. Начальный и центральный моменты k -го порядка для непрерывных случайных величин определяются по формулам
k x k f ( x)dx ;
(3.20)
k ( x mx ) k f ( x)dx .
(3.21)
Для того чтобы охарактеризовать случайную величину, часто
достаточно определить положение центра и меру разброса значений.
Для нахождения этих параметров могут быть использованы некоторые усредненные числовые величины – начальные и центральные
моменты.
Координата центра в зависимости от вида распределения (мера
положения) может быть охарактеризована медианой, математическим
ожиданием, модой или центром размаха.
Медиана X 00,5 (50% квантиль) является центром симметрии. Это
точка на оси Х, слева и справа от которой вероятность появления различных значений одинакова и равна 0,5:
x
F ( X 0,5 ) f ( x)dx f ( x)dx 0,5 .
(3.22)
x
Математическое ожидание – центр тяжести распределения,
опрокидывающий момент в этой точке равен нулю. Математическое
ожидание является первым начальным моментом случайной величины
( k 1 ):
mx M Х xf ( x)dx ,
(3.23)
где интеграл берется по всему интервалу изменения Х.
Мода – это координата максимума распределения X M . Распределения с одним максимумом называются одномодальные, с двумя –
двухмодальные.
Для ограниченных распределений например равномерного применяется оценка в виде центра размаха X p :
(3.24)
X p ( x1 x2 ) / 2 ,
где x1 , x2 – первый и последний члены вариационного ряда соответствующего распределения.
Разные оценки центра имеют различную эффективность.
Например, для островершинных распределений оценка координаты
центра эффективнее медианой, чем математическим ожиданием. Для
распределений, близких к нормальному, наиболее эффективной оценкой является математическое ожидание.
Характеристикой рассеивания значений служит дисперсия D ,
которая является вторым центральным моментом ( k 2 ):
D ( x mx ) 2 f ( x)dx .
(3.25)
Дисперсия случайной величины характеризует рассеяние отдельных ее значений относительно математического ожидания. Она
имеет размерность квадрата случайной величины. Чаще для характеристики разброса значений пользуются положительным корнем квадратным из дисперсии – стандартным (средним квадратическим) отклонением (СКО), которое имеет размерность самой случайной
величины.
Математическое ожидание и дисперсия являются наиболее часто применяемыми моментами, так как они определяют наиболее
важные черты распределения – положение центра и степень разбросанности результатов.
Для характеристики некоторых распределений могут быть использованы и другие величины, например коэффициент асимметрии и
эксцесс. Коэффициент асимметрии 3 / 3 используется для характеристики асимметрии или скошенности распределения. Для его расчета используется третий центральный момент
3 ( x mx )3 f ( x)dx .
(3.26)
Четвертый центральный момент 4 ( x mx )4 f ( x)dx использу
ется для расчета эксцесса и характеристики плосковершинности распределения.
Точечные оценки законов распределения. Функции распределения вероятностей описывают поведение непрерывных случайных величин, т. е. величин, возможные значения которых неотделимы друг
от друга и непрерывно заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал. Этот конечный или бесконечный интервал, т. е. множество всех рассматриваемых значений, называют генеральной совокупностью.
Генеральная совокупность как множество случайных величин
описывается определенным законом и характеризуется своими параметрами (положением центра и рассеиванием), которые определяются
по рассмотренным выше формулам. На практике используется ограниченное число измерений и задача состоит в том, чтобы оценить параметры генеральной совокупности (математическое ожидание, дисперсию или СКО) по конечному числу измерений, которые называют
выборкой. Каждое единичное измерение, входящее в выборку и полученное при отдельном наблюдении, называется результатом
наблюдения.
Операция определения на основе выборочных данных числовых
значений параметров распределения, принятых в качестве статистической модели генеральной совокупности, из которой извлечена выборка, называется оцениванием.
Используемая выборка должна быть репрезентативной (представительной), т. е. должна достаточно хорошо представлять генеральную совокупность.
Оценкой является статистика, используемая для оценивания
параметра генеральной совокупности. Оценка параметра называется
точечной, если она выражается одним числом. В отличие от параметров генеральной совокупности (математического ожидания, дисперсии, СКО), их точечные оценки являются случайными величинами,
значения которых будут зависеть от объема экспериментальных данных, а закон распределения – от законов распределения генеральной
совокупности.
Точечные оценки должны быть состоятельными, несмещенными и эффективными. Состоятельность оценки состоит в том, что при
увеличении числа измерений она должна приближаться к истинному
значению. Несмещенной является оценка, математическое ожидание
которой равно измеряемой величине. Эффективной является оценка,
дисперсия которой меньше дисперсии любой другой оценки данного
параметра.
Точечной оценкой математического ожидания результатов
наблюдений является среднее арифметическое значение измеряемой
величины. Среднее арифметическое является также оценкой истинного значения измеряемой величины после исключения систематической погрешности. Среднее арифметическое определяется как сумма
всех значений, деленная на их число
Х
х ,
i
n
(3.27)
где xi – i-й результат наблюдения, n – число результатов наблюдений.
При любом законе распределения среднее арифметическое является состоятельной и несмещенной оценкой, а также наиболее эффективной по критерию наименьших квадратов.
Точечная оценка дисперсии представляет собой сумму квадратов отклонений результатов наблюдений xi от их среднего арифметического x , деленную на число наблюдений минус единица
S 2x
1 n
( xi x)2 .
n 1 i 1
(3.28)
Она является также несмещенной и состоятельной.
Стандартное отклонение результатов наблюдений S x[ – положительный корень из дисперсии
Sx
n
1
( xi x) 2 .
(n 1) i 1
(3.29)
СКО среднего арифметического значения (результата измерений) в n раз меньше СКО результата отдельного наблюдения
S
x
n
1
( xi x) 2 .
n(n 1) i 1
(3.30)
Эта величина характеризует рассеяние среднего арифметического значения x результатов n наблюдений измеряемой величины относительно его истинного значения.
Для оценки рассеивания значений может быть использована такая характеристика, как размах. Размах (R) – разность между
наибольшим и наименьшим наблюдаемыми значениями в ряду результатов наблюдений
(3.31)
R X max X min .
Чтобы разграничить параметры генеральной совокупности и их
точечные оценки, они обозначаются различными символами. Параметры генеральной совокупности: математическое ожидание , или
mx , дисперсия 2 и стандартное отклонение . Их выборочные оценки:
среднее арифметическое X , дисперсия результатов наблюдений S 2 x и
стандартное отклонение S x , размах R .
В теории вероятностей и математической статистике используется множество разнообразных законов, с помощью которых описываются случайные величины. Встречающиеся в метрологии законы
распределения также достаточно разнообразны: нормальный, равномерный, треугольный, трапецеидальный, экспоненциальный и др.
Нормальное распределение. Нормальное распределение случайной переменной (распределение Лапласа – Гаусса) – это наиболее
важное распределение в метрологии. Его широкое применение объясняется тем, что многие случайные величины достаточно близко описываются этим законом. Особенность его в том, что он является предельным законом, к которому при определенных условиях приближаются другие законы. Нормальный закон проявляется в тех случаях,
когда случайная переменная Х является результатом действия большого числа различных факторов. Каждый фактор в отдельности на величину Х воздействует незначительно, и нельзя указать, какой именно
влияет в большей степени, чем остальные.
Нормальное распределение (распределение Лапласа – Гаусса) – распределение вероятностей непрерывной случайной величины
Х такое, что плотность распределения вероятностей при < х <
принимает действительное значение
1 x 2
f (x)
ехр
,
2
2
1
(3.31)
где – математическое ожидание; – стандартное отклонение нормального распределения; x – независимая переменная.
Величина 2 –дисперсия нормального распределения.
Функция распределения (интегральная функция) имеет вид
x
F ( x) f ( x)dx
2
1
1 x
dx
exp
2π
2 σ
x
(3.33)
Как видно из формул, нормальный закон распределения харакФ(z )
1
а
0,5
0
z
ф(z )
б
=0
z
Рис. 3.5. Функция (а) и плотность нормированного нормального распределения
теризуется двумя параметрами: и . Математическое ожидание
характеризует положение центра распределения, а стандартное отклонение является характеристикой рассеивания. Достаточно знать эти
параметры, чтобы задать нормальное распределение.
В силу того, что нормальное распределение одномодально и
симметрично, то медиана, мода и математическое ожидание совпадают: X M X 0,5 μ .
Плотность нормального распределения имеет две точки перегиба x μ σ , а функция – одну точку перегиба x μ (рис.3.4)
Нормальное распределение с произвольными параметрами и
называется общим.
Линейное преобразование нормально распределенной случайной переменной Х, после которого получается случайная переменная
Z с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, называется нормированием: Z
x
.
Нормальное распределение с = 0, 2 = 1 называется нормированным (стандартным) нормальным распределением. Вид функции и
плотности нормированного нормального распределения представлен
на рис. 3.5.
Стандартное нормальное распределение (стандартное распределение Лапласа – Гаусса, или нормированное нормальное распределение) – распределение вероятностей стандартизованной нормальной случайной величины Z, плотность распределения которой равна
ф( z )
z2
1
ехр
2
2
(3.33)
при < z < .
Значения функции Ф(z) определяется по формуле
z
z2
1
Ф( z ) ф( z )dz
exp dz
2
2
z
(3.35)
Значения функции Ф(z) и плотности ф(z) нормированного нормального распределения рассчитаны и сведены в таблицы (табулированы). Часто таблицы составлены только для положительных значений z. Так как распределение симметрично относительно 0, то
Ф(–z) = 1–Ф(z).
(3.36)
Нормирование позволяет все возможные варианты нормального
распределения свести к одному случаю: = 0, 2 = 1. С помощью
таблиц можно определить не только значения функции и плотности
нормированного нормального распределения для заданного z, но и
значения функции общего нормального распределения по следующим
формулам
x
F ( x ) Ф
Ф( z ) ;
σ
1 x 1
f ( x) ф
ф( z ) .
σ σ σ
(3.37)
(3.38)
Оценка результатов наблюдений, результата измерения и случайных погрешностей осуществляется, исходя из предположения о
нормальном законе их распределения. Этот закон проявляется тогда,
когда на результат измерений действует масса факторов, среди которых нельзя выделить доминирующий.
f( )
0 +
Рис. 3.6. Плотность распределения погрешностей
Исходя из нормального закона, результаты наблюдений физической величины описываются формулой (3.33).
Погрешность равна разности измеренного значения и истинного, оценкой которого является математическое ожидание X μ .
Если считать, что результаты измерений не содержат грубых и систематических погрешностей, то, перенеся начало координат в центр
распределения и откладывая по оси абсцисс погрешность, получим
формулы нормального распределения погрешностей
1 2
1
f ()
ехр ,
σ 2π
2 σ
(3.39)
F () f ()d .
(3.40)
Кривая плотности нормального распределения погрешностей
(рис. 3.6) симметрична относительно оси ординат.
Это означает, что погрешности, одинаковые по величине, но
противоположные по знаку, имеют одинаковую плотность распределения вероятностей, т. е. при большом числе наблюдений встречаются
одинаково часто. Из характера кривой следует, что при нормальном
законе распределения малые погрешности будут встречаться чаще,
чем большие.
В метрологической практике часто необходимо определить вероятность того, что случайная величина (результаты наблюдений, погрешность) будет находиться в определенном интервале от х1 до х2.
Вероятность нахождения случайной в интервал от х1 до х2 можно
определить по формуле
x μ
х μ
P( x1 x x2 ) F ( x2 ) F ( x1 ) Ф 2
Ф 1
Ф( z2 ) Ф( z1 ) (3.41).
σ
σ
Обычно z1 и z2 выбирают симметрично по обе стороны от мак-
симума распределения, так что z1 z2 z p (рис. 3.7).
x μ
x μ
, z2 2
, а математическое ожидание явσ
σ
ляется оценкой истинного значения μ Q при исключении системати-
Так как Z1 1
ф(z)
P= 1
/2
0
zp
/2
+zp
z
Рис. 3.7. Квантильные оценки
случайной величины
ческих погрешностей, то формула вероятности нахождения результата наблюдения в заданном интервале приобретает вид
P(Q z p σ x Q z p σ) Ф( z p ) Ф( z p )
Ф( z p ) (1 Ф( z p )) 2Ф( z p ) 1
3.42)
где z p – аргумент (квантиль) функции нормированного нормального
распределения, определенной на интервале от до :
z
z2
1
Ф( z ) ф( z )dz
exp dz .
2π 2
z
Поменяв местами x и Q , получим вероятность того, что истинное значение будет находиться в определенном интервале
(3.43)
P( x z p σ Q x z p σ) 2Ф( z p ) 1 .
Для погрешности вероятность нахождения в определенном интервале соответственно равна
P( z p σ z p σ) 2Ф( z p ) 1 .
(3.44)
Это означает, что истинное значение измеряемой величины с
вероятностью P 2Ф( z p ) 1 , называемой доверительной вероятностью
(или уровнем доверия), находится между границами интервала
[( x z p σ); ( x z p σ)] . Интервал от z p σ до z p σ называется доверительным интервалом погрешности измерения, а половина интервала z p σ ,
называется доверительной границей случайного отклонения результатов наблюдения, соответствующей доверительной вероятности P . Доверительный интервал является интервальной оценкой случайной погрешности и наряду с точечными оценками используется для ее характеристики.
Стандартное отклонение среднего арифметического в n раз
меньше стандартного отклонения результатов наблюдений, поэтому
доверительный интервал, устанавливающий отклонения среднего
арифметического от истинного значения, обозначаемый ε определяется формулой
ε zp
n
.
(3.45)
Он указывает, что с доверительной вероятностью равной P истинное
значение находится в интервале x z p
n
. Истинное значение может
находиться и за пределами указанного интервала, и такая вероятность
равная α 1 P (рис.3.7), называется уровнем значимости.
Если таблицы нормированного нормального распределения составлены для положительных значений аргумента от 0 до , то в силу симметричности распределения относительно начала координат
вероятность нахождения истинного значения и случайной погрешности в заданном интервале можно определить по следующим формулам:
(3.46)
P( x z p σ Q x z p σ) 2Ф( z p / 2 ) ;
(3.47)
P( z p σ z p σ) 2Ф( z p / 2 ) .
где z p / 2 – квантиль функции нормированного нормального распределения, определенной на интервале от 0 до :
z
z2
1
dz .
Ф( z ) ф( z )dz
exp
2π 0
2
0
z
(3.48)
Можно найти вероятность того, что истинное значение окажется в интервале в пределах μ k.
При k =1, 2, 3 эта вероятность равна
P( x 1σ Q x 1σ) 2Ф( z p / 2 ) 0,6826 ;
P( x 2σ Q x 2σ) 2Ф( z p / 2 ) 0,9544 ;
P( x 3σ Q x 3σ) 2Ф( z p / 2 ) 0,9973 .
Последний результат означает, что с вероятностью, близкой к
единице ( P 0,9973 ), случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, не выходит за границы интервала
[(x 3σ); ( x 3σ)] . Это утверждение носит название правило трех сигм.
Если какое-либо значение появляется за пределами трехсигмового участка, в котором находятся 99,73% всех возможных значений,
а вероятность появления такого события очень мала (1:270), то следует считать, что рассматриваемое значение не принадлежит той гене-
ральной совокупности, которой принадлежат все остальные результаты наблюдений.
Часто нужно решить обратную задачу, т. е определить доверительные границы, в пределах которых истинное значение находится с
наперед заданной доверительной вероятностью Р . Для этого
необходимо:
– задаться доверительной вероятностью P , которую чаще всего
выбирают из следующего ряда 0,9; 0,95 или 0,99. Для технических измерений обычно выбирают 0,95;
– вычислить значение функции нормированного нормального
распределения. Из формул P 2Ф( z p ) 1 или P 2Ф( z p / 2 ) находим
Ф( z p )
P 1
P
или Ф( zP / 2 ) ;
2
2
– определить квантили z p или z p / 2 из таблиц нормированного
нормального распределения, при которых функция примет значение
Ф( z p ) или Ф( z p / 2 ) .
Например, необходимо определить доверительные границы истинного значения физической величины, распределенной по нормальному закону при доверительной вероятности Р = 0,95. Для их определения воспользуемся формулой нахождения истинного значения в доверительном интервале P 2Ф( z p / 2 ) . Отсюда значение Ф( z p / 2 ) P / 2 ,
т. е. Ф( z p / 2 ) 0,95 / 2 0,475 . По таблицам значений функции нормированного нормального распределения находим значение аргумента
z p / 2 , при котором функция примет значение равное 0,475 : z p / 2 1,96 .
Доверительные границы равны ε 1,96σ / n .
Распределение Стьюдента. Закон нормального распределения
вероятностей справедлив только при сравнительно большом (более
20) числе наблюдений одной и той же физической величины. В этом
случае можно считать, что оценка стандартного отклонения равна
оцениваемому параметру, т. е. σ S x .
Если распределение результатов наблюдений нормально, но их
дисперсия неизвестна, т. е. при малом числе наблюдений n , расчет
доверительных интервалов выполняют с использованием распределения Стьюдента S (t , k ) , которое зависит от числа результатов наблюдений. Оно описывает плотность распределения отношения (дроби
Стьюдента)
t
xμ xQ
xQ
,
Sx
Sx
Sx / n
(3.49)
p
1/2a
0
x1
Xn
a
a
x2
x
Рис. 3.8. Плотность равномерного
распределения
где Q – истинное значение измеряемой величины. Величины x, S x , S x
вычисляют на основании опытных данных, они представляют собой
точечные оценки математического ожидания, СКО результатов
наблюдений и СКО среднего арифметического.
Вероятность того, что дробь Стьюдента в результате выполненных наблюдений примет некоторое значение в интервале [t p ;t p ) ,
равна
t p
tp
xQ
P(t p
t p ) P( x t p S x Q x t p S x ) S (t , k )dt 2 S (t , k )dt (3.50)
Sx
t p
0
где k – число степеней свободы, равное (n 1) .
Величины t p (называемые коэффициентами Стьюдента) рассчитаны для различных значений доверительной вероятности и различного числа измерений и сведены в таблицы (см. приложение). Следовательно, с помощью распределения Стьюдента можно найти вероятность того, что отклонение среднего арифметического от истинного
значения измеряемой величины не превышает ε t p S x t p S x / n . Распределение Стьюдента используется при числе измерений n 20 , поскольку уже при n 20...30 оно переходит в нормальное и вместо
уравнения 3.50 можно использовать уравнение 3.46.
Равномерное, треугольное и трапецеидальное распределения.
Если случайная величина X принимает значения лишь в пределах некоторого конечного интервала от х1 до х2 с постоянной плотностью
вероятностей (рис. 3.8), то такое распределение называется равномерным и описывается соотношением
f ( x) c , при x1 x x2
f ( x) 0 , при x x1 и x x2 .
(3.51)
Так как площадь, ограниченная кривой распределения равна
единице, а x2 x1 2a , то
c( x2 x1 ) 1 и
c
1
1
x2 x1 2a
Математическое ожидание определяется формулой
mx
x2 x1
.
2
(3.52)
Дисперсия случайной величины Х, распределенной по равномерному закону равна:
( x2 x1 ) 2 a 2
,
12
12
a
откуда
.
2 3
Dx
(3.53)
Для треугольного и трапецеидального распределения (рис. 3.9)
СКО определяются соответственно формулами
(3.54)
σ a/ 6 ;
σ а / 6 1 (а / b) 2 .
(3.55)
p
1/(a + b)
а
Xn
x1
0
b
x2
b
x
p
1/a
0
б
x1
Xn
a
a
x2
x
Рис. 3.9. Плотности трапецеидального и треугольного распределений
3.4.2. Систематические погрешности
Наличие систематических погрешностей искажает результаты
измерений. Их отсутствие определяет правильность измерений – качество, отражающее близость к нулю систематических погрешностей.
Основная трудность – обнаружение систематических погрешностей с
последующей их полной или частичной компенсацией.
Результаты наблюдений, полученные при наличии систематической погрешности, называются неисправленными. При проведении
измерений стараются исключить или учесть влияние систематической
погрешности.
Все имеющиеся методы можно разделить на методы выявления
и исключения систематических погрешностей.
Методы выявления (обнаружения) позволяют обнаружить систематические погрешности, связанные с действием определенных
факторов.
Для обнаружения переменных систематических погрешностей
можно использовать точечные диаграммы. Их анализ является сравнительно простым и достаточно эффективным средством, позволяющим выявлять и оценивать переменные систематические погрешности.
Точечную диаграмму строят в координатах «результат измерения X – номер измерения n». Идеальная точечная диаграмма должна
состоять из точек, располагающихся на одинаковой высоте, которая
соответствует истинному значению измеряемой физической величины Q. Тенденции изменения результатов на точечной диаграмме свидетельствуют о наличии переменных систематических погрешностей
и дают возможность провести соответствующую аппроксимирующую
линию. Вид используемой аппроксимации соответствует характеру
систематических погрешностей. Отклонения результатов от аппроксимирующей линии могут рассматриваться как случайные составляющие погрешности измерения. Для выявления систематической погрешности применяют специальные статистические методы. К ним
относятся способ последовательных разностей Аббе, дисперсионный
анализ и др.
Способ последовательных разностей (критерий Аббе). Применяется для обнаружения изменяющихся во времени систематических
погрешностей (МИ 2091–90). Дисперсию результатов наблюдений
можно оценить двумя способами
1 n
σ [ x]
( xi x) 2 ;
n 1 i 1
n 1
1
Q 2 [ x]
( xi 1 xi )2 .
2(n 1) i 1
2
(3.54)
(3.55)
При использовании критерия Аббе считают, что в результатах
есть систематическая составляющая погрешности измерений, если
r Q 2 [ x] / σ 2 [ x] rq ,
(3.56)
где rq – критическое значение критерия Аббе, найденное при определенном уровне значимости и числе наблюдений.
Если полученное значение критерия Аббе меньше критического,
то в результатах наблюдений обнаруживается переменная систематическая погрешность.
Дисперсионный анализ (критерий Фишера). Применяется для
выявления систематической погрешности результатов наблюдения
под действием какого-либо фактора (например температуры, давления
и др.). Для этого проводят несколько серий ( s 3 ) по n j измерений в
каждой при различных значениях влияющего фактора. Всего sn j N
измерений.
Рассчитывают внутрисерийную и межсерийную дисперсии.
Внутрисерийная рассчитывается как средняя сумма дисперсий результатов наблюдений в каждой серии
n
1 s j
σ вс
( xij x j ) 2 ,
N s j 1 i 1
2
n
1 j
где x j xij , xij – результат i-го измерения в j-й серии.
n j i 1
(3.57)
Усредненная межсерийная дисперсия будет зависеть не только
от случайных погрешностей, но и от систематических различий между
результатами наблюдений в различных сериях. Она рассчитывается по
формуле
σ 2 мс
где x
1 s
n j ( x j x) 2 ,
s 1 j 1
(3.58)
1 s
nj x j .
N j 1
Критерием наличия систематических погрешностей является
критерий Фишера F σ2мс / σ2вс . Если F Fq , где Fq – критическое значение критерия Фишера, найденное по таблице распределения Фишера при определенном уровне значимости q и степенях свободы
k1 s 1 и k2 N s , то обнаруживается систематическая погрешность,
вызываемая тем фактором, по которому группировались результаты
наблюдений.
Если закон распределения результатов измерений неизвестен, то
для обнаружения систематических погрешностей применяют статистический критерий Вилкоксона или критерий Сиджела-Тьюки, подробно описанные в МИ 2091–90.
При проведении измерений стараются в максимальной степени
исключить или учесть влияние систематических погрешностей. Это
может быть достигнуто следующими путями:
– устранением источников погрешности до начала измерений;
– устранением источников погрешности в процессе измерений;
– определением поправок и внесением их в результат измерений;
– оценкой границ неисключенных систематических погрешностей.
Устранение источников погрешностей до начала измерений
(профилактика погрешностей) является наиболее рациональным.
Профилактика погрешностей включает:
– применение исправных, стабильных и помехоустойчивых
средств измерений;
– выявление теоретических погрешностей метода или средств
измерений и их исключение или учет до начала измерений;
– стабилизацию условий измерений и защиту от нежелательных
воздействий влияющих величин (и физических полей) на средства и
объекты измерений; строгое соблюдение правил использования
средств измерений и методик их выполнения;
– обучение операторов и контроль их квалификации.
Методы исключения (компенсации) погрешностей в процессе
измерений достаточно разнообразны и включают такие частные случаи, как:
– компенсация погрешности по знаку;
– измерение четное число раз через полупериоды,
– использование метода замещения;
– устранение влияния вариации;
– исключение погрешности от мертвого хода;
– измерение одной величины несколькими методами, несколькими средствами измерений;
– автоматическая поднастройка или коррекция «нуля» после выполнения серии измерений;
– применение автоматических компенсаторов для учета воздействия на средство измерения влияющих величин и ряд других.
Наиболее распространенный способ исключения систематической погрешности – способ замещения, суть которого заключается в
том, что измеряемый объект заменяют известной мерой, находящейся
в тех же условиях. Этот метод используют, например, при взвешивании груза на равноплечих весах для устранения неравноплечности весов. Груз уравновешивают любой тарой, затем снимают и замещают
набором гирь, при этом сохраняется равновесие коромысла.
Метод компенсации по знаку (метод изменения знака систематической погрешности) состоит в том, что измерения проводят дважды так, чтобы погрешность входила в результаты с противоположными знаками. Исключается она при вычислении среднего значения
x
x1 x2 ( xД c ) ( xД с )
,
2
2
(3.59)
где x – среднее арифметическое значение измеряемой величины; x1 ,
x2 – результаты измерений; xД – действительное значение измеряемой
величины; с – систематическая погрешность.
Примером использования этого метода может служить исключение влияния магнитного поля Земли. Первое измерение проводят,
когда средства измерений находятся в любом положении. При проведении второго измерения поворачивают средство измерения на 180о.
Если в первом случае магнитное поле будет вызывать положительную
погрешность, а во втором – отрицательную, то среднее арифметическое двух результатов не будет содержать погрешности из-за влияния
магнитного поля.
Метод поверки средства измерения в рабочих условиях основан на «самоповерке» СИ по точной мере или набору мер в перерывах между измерениями. Наиболее эффективным такой метод будет
при автоматическом переключении на измерение меры (мер) и автоматическом внесении поправки в результаты последующих измерений
или автоматической поднастройке СИ. Поскольку предусмотрено
определение значения погрешности «в рабочих условиях», и в ограниченном числе точек, строгое соответствие такого метода поверке
СИ не гарантировано. Такой метод, скорее, следует рассматривать как
автоматизированную поднастройку СИ или автоматизированный метод получения поправки и внесения ее в результаты измерений. С
точки зрения общих методов выявления погрешностей он базируется
на измерении точной меры.
Способ симметричных наблюдений заключается в том, что в
течение некоторого времени выполняются несколько измерений одной и той же величины постоянного размера и за окончательный результат принимается полусумма отдельных результатов, симметричных во времени относительно середины интервала. Этот способ применяется для устранения прогрессирующей погрешности (от постоянного прогрева аппаратуры, падения напряжения в цепи питания,
вызванного разрядом аккумулятора). Например, было проведено пять
измерений, начатых в момент времени t1 , когда погрешность имела
5 2 4
3 .
2 2
значение 1 . Очевидно, что 1
Способ противопоставления заключается в том, что измерения проводят два раза так, чтобы причина, вызывающая погрешность,
при первом измерении оказала противоположное действие на результат второго. Например, при взвешивании на равноплечих весах с целью устранения неравноплечности необходимо произвести два измерения. При проведении второго следует груз и гири поменять местами. За результат принимают среднее арифметическое двух измерений.
Метод рондомизации. Суть в том, что одна и та же величина
измеряется разными методами (приборами). При увеличении числа
используемых методов (приборов) систематические погрешности взаимно исключаются.
Метод вспомогательных измерений (измерений влияющих
величин, выходящих за нормальные области значений) используется
для определения значений поправок, компенсирующих погрешности
из-за воздействия влияющих физических величин. Для учета такого
воздействия на результаты измерений (для определения значений поправок) необходимо знать не только значения аргументов, которые
получают с помощью «вспомогательных измерений», но и функции
влияния на результаты измерений влияющих физических величин.
Если измерения не удалось организовать так, чтобы исключить
или скомпенсировать какой-либо фактор, то в результат для компенсации действия определенной составляющей погрешности вводится
поправка С. Поправка – это величина, одноименная измеряемой, которая вводится в результат измерения с целью исключения составляющих систематической погрешности. Поправка по числовому значению равна систематической погрешности и противоположна ей по
знаку. В результат может вводиться несколько поправок. Введение их
в процессе измерений или после является весьма эффективным методом исключения систематических погрешностей. Для его реализации
необходимо предварительно выявить и оценить погрешность, которая
при изменении знака на противоположный и будет использоваться в
качестве поправки.
Систематические погрешности, остающиеся после введения поправок на ее наиболее существенные составляющие, называются неисключенными остатками систематических погрешностей i
(НСП).
В этом случае ограничиваются оценкой границ возможных систематических погрешностей. Границы вычисляют в предположении,
что НСП представлена в виде суммы элементарных составляющих,
для которых заданы границы, i , i 1...m . Арифметическая граница
НСП является надежной, но обычно завышена
m
a i .
(3.60)
i 1
Доверительная граница НСП оценивается в предположении о
равномерном распределении НСП в заданных границах. Доверительная граница равна:
m
p k i ,
i 1
2
(3.61)
где k k p ( P, m) . При доверительной вероятности Р = 0,95 и числе составляющих m 4 , k 1,1 ; при P 0,90 , k 0,95 .
3.4.4. Грубые погрешности
При статистической обработке необходимо убедиться, что отсутствуют результаты с грубой погрешностью, так как они искажают
результат измерения. Выявление результата с грубой погрешностью
решается статистическими методами – проверкой статистических гипотез. Проверяется гипотеза о том, что результат наблюдения xi не
содержит грубой погрешности, т.е. он является одним из значений измеряемой величины. Для этого задаются вероятностью α (уровнем
значимости) того, что сомнительный результат действительно мог
иметь место в данной совокупности результатов наблюдений.
Если результаты наблюдений распределены по нормальному закону, то грубые погрешности исключают, основываясь на критериях
оценки анормальности. Выбор критерия обосновывается тщательностью оценки принятия гипотезы нормального распределения и точностью результатов.
Для оценки анормальности могут быть применены различные
критерии.
Критерий «трех сигм» применяется при числе измерений
n 20...50 . Так как в области 3σ находится 99,73% всех возможных
значений, то результат, возникающий с вероятностью q 0,003 , маловероятен и его можно считать промахом. Т. е. если отклонение результата от среднего арифметического превышает три стандартных
отклонения x xi i 3S x , где S x – оценка СКО измерений, то xi – промах. Величины x и S x вычисляют без учета экстремальных значений
xi .
Критерий Романовского применяется, если число измерений
n 20 . При этом вычисляется отношение ( x xi ) / S x β и сравнивается
с критерием βТ , выбранным по табл. 3.5. Если β βТ , то результат xi
считается промахом и отбрасывается.
Таблица 3.5
q
n4
Значения критерия Романовского β f (n)
n6
n8
n 10
n 12
n 15
n 20
0,01
0,02
0,05
0,10
1,73
1,72
1,71
1,69
2,16
2,13
2,10
2,00
2,43
2,37
2,27
2,17
2,62
2,54
2,41
2,29
2,75
2,66
2,52
2,39
2,90
2,80
2,64
2,49
3,08
2,96
2,78
2,62
Вариационный ряд Диксона удобный и достаточно мощный (с
малыми вероятностями ошибок) критерий. При его применении полученные результаты наблюдений записывают в вариационный возрастающий ряд x1, x2 ,..., xn ( x1 x2 ... xn ) . Критерий Диксона определяется
К Д ( xn xn 1 ) /( xn x1 ) ,
где xn – последний результат вариационного ряда; xn 1 – предпоследний результат вариационного ряда; x1 – первый результат вариационного ряда.
Критическая область для этого критерия P(К Д Z q ) q . Значения Z q приведены в табл. 3.6.
Таблица 3.6
Значения критерия Диксона
Z q при q равном
n
4
6
8
10
14
16
18
20
30
0,10
0,68
0,48
0,40
0,35
0,29
0,28
0,26
0,26
0,22
0,05
0,76
0,56
0,47
0,41
0,35
0,33
0,31
0,30
0,26
0,02
0,85
0,64
0,54
0,48
0,41
0,39
0,37
0,36
0,31
0,01
0,89
0,70
0,59
0,53
0,45
0,43
0,41
0,39
0,34
Кроме рассмотренных критериев для оценки наличия в результатах измерений грубой погрешности существуют и другие, например
критерий Граббса, Шовинэ, Шарлье и др.
4.4.
Неопределенность результата измерения
В эпоху расширения международного сотрудничества в различных сферах деятельности необходимо, чтобы метод для оценки точности проводимых измерений был единым во всем мире, чтобы резуль-
таты измерений, проводимые в разных странах, можно было легко
сличать.
Отсутствие международного единства в вопросе оценки точности результатов измерений привело к разработке международными
организациями: Международным бюро мер и весов, Международной
электротехнической комиссией, Международной федерацией клинической химии, Международной организацией по стандартизации,
Международным союзом по чистой и прикладной физике, Международной организацией законодательной метрологии такого международного документа, содержащего новую концепцию описания результатов измерения, как «Руководство по выражению неопределенности
в измерениях». Целями данного руководства явились:
– обеспечить полную информацию о том, как составлять отчеты
о неопределенностях;
– предоставить основу для международного сличения результатов измерений.
Сразу после издания в 1993 г. руководство приобрело статус
неформального международного стандарта, который внес согласованность во все научные и технические измерения и всемирное единство
в оценке точности результатов измерений путем расчета неопределенности.
Принципы этого руководства предназначены для использования
в широком спектре измерений, включая те, которые требуются для
поддержания контроля качества и обеспечения его в процессе производства; проведения фундаментальных и прикладных исследований в
науке и технике; разработки, поддержания и сличения международных и национальных эталонов единиц физических величин, включая
стандартные образцы состава и свойств веществ и материалов.
Основными положениями руководства являются:
– отказ (по возможности) при изложении от использования понятий «погрешность» и «истинное значение измеряемой величины» в
пользу понятий «неопределенность» и «оцененное значение измеряемой величины»;
– переход от деления (классификации) погрешностей по природе их появления на «случайные» и «систематические» к делению по
способу оценивания неопределенностей измерений (по типу А – методами математической статистики и по типу В – другими методами).
Идейной основой замены термина «погрешность» на «неопределенность» является философское понимание того, что «истинное зна-
чение» непознаваемо и погрешность как базирующаяся на использовании истинного значения измеряемой величины теряет смысл. Новизну концепции авторы руководства видят в том, что «неопределенность» – мера сомнений, является неотъемлемой частью результата
измерения, тогда как погрешность часто трактуется как некоторая
самодостаточная конкретная величина.
Неопределенность измерения трактуется в двух смыслах: широком и узком. В широком смысле «неопределенность» трактуется как
«сомнение»: например: «когда все известные и предполагаемые составляющие поправки оценены и внесены, все еще остается неопределенность относительно истинности указанного результата, т. е. сомнение в том, насколько точно результат измерения представляет значение измеряемой величины». В узком смысле «неопределенность» –
есть параметр, связанный с результатом измерений, который характеризует разброс значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине. Оценки неопределенностей получают на
основе ряда экспериментальных данных (оценки неопределенности по
типу А) и на основе любой другой, нестатистической информации
(оценки неопределенностей по типу В).
В качестве неопределенности измерения оценивают стандартную неопределенность и расширенную неопределенность.
Стандартная неопределенность – неопределенность результата измерений, выраженная как стандартное отклонение.
Расширенная неопределенность – величина, определяемая
интервал вокруг результата измерений, в пределах которого можно
ожидать, находится большая часть распределения значений, которые с
достаточным основанием могли бы быть приписаны измеряемой величине.
Неопределенность является количественной мерой того,
насколько надежной оценкой измеряемой величины является полученный результат. Неопределенность не означает сомнение в результате, а, наоборот, неопределенность предполагает увеличение степени
достоверности результата.
Неопределенность является мерой:
– наших знаний о физической величине после измерений;
– качества измерений с точки зрения точности;
– надежности результата измерения.
С целью способствования сотрудничеству между лабораториями и органами по аккредитации, взаимного признания результатов
измерений и гармонизации национальных требований и процедур с
международными в Республике Беларусь введен национальный стандарт СТБ ИСО/МЭК 17025 «Общие требования к компетентности испытательных и калибровочных лабораторий». Стандарт устанавливает, что оценка точности результата измерений должна сопровождаться
посредством расчета неопределенности. С введением в действие указанного стандарта оценка неопределенности результата измерения
стала актуальной практической задачей.
