Лекция 1 Введение в курс
«Теоретические основы
электротехники 1 (ТОЭ 1)»
Цель дисциплины – изучение как с
качественной так и с
количественной стороны
установившихся процессов в
линейных электрических цепях
однофазного синусоидального и
трехфазного тока.
Дисциплины, предшествующие
изучению курса ТОЭ 1:
Математика 1
Физика 1
Информатика
Раздел 1 Линейные электрические
цепи постоянного тока.
Элементы электрических цепей
Электрическая цепь –
Совокупность соединенных между
собой источников и приемников
электрической энергии, по
которым может протекать
электрический ток.
Источник электрической
энергии – устройство, в котором
энергия неэлектрическая
(химическая, тепловая,
механическая и др.)
превращается в энергию
электрическую (гальванический
элемент, термоэлемент, генератор
и др.)
Приемник электрической
энергии – устройство,
преобразующее электрическую
энергию в энергию другого вида:
световую, тепловую,
механическую и др. (эл.лампа,
электронагревательный прибор,
эл.двигатель и др.)
Цепи, содержащие источники
эл.энергии, называют активными
Цепи, содержащие приемники
эл.энергии, называют пассивными
Постоянный ток – ток,
неизменный во времени
Электрические цепи, в которых
получение, передача и
преобразование электрической
энергии происходит при
неизменных во времени токах и
напряжениях, являются цепями
постоянного тока
Схема замещения простейшей
электрической цепи
Режимы работы простейшей
электрической цепи
Режим холостого хода (без нагрузки)
Rн=∞
Iхх = 0
Uхх = E
Режим короткого замыкания
Rн=0
Uкз = 0
Iкз = Е/r0
Нормальный режим работы цепи
E
I
R H r0
U E I r0 I RH
Направление действия ЭДС
соответствует перемещению
положительного заряда внутри
источника сторонними
(неэлектрическими) силами от
вывода с меньшим потенциалом к
выводу с большим потенциалом.
На схеме обозначают стрелкой
Напряжение на сопротивлении
называют падением напряжения.
Направление напряжения между двумя
точками эл.цепи соответствует
направлению от точки с большим
потенциалом к точке с меньшим
потенциалом.
В международной системе (СИ):
Ток измеряют в амперах (А)
ЭДС и напряжение – в вольтах (В)
Сопротивление – в омах (Ом)
Проводимость – в сименсах (См)
Расчет сложных электрических
цепей
Под сложной линейной электрической
цепью постоянного тока понимают любую
разветвлённую электрическую цепь, в состав
которой в общем случае входят неизменные во
времени источники напряжения (э.д.с.) и
источники тока, а также линейные резисторы,
сопротивления которых не зависят ни от
значений, ни от направлений токов и
напряжений в цепи.
Для расчёта сложных цепей, как правило,
применяют законы Кирхгофа, а также
различные методы, основанные на этих
законах.
В сложной электрической цепи выделяют
узел, ветвь, контур
Ветвь – соединение элементов эл.цепи,
по которым течет один ток
(последовательное)
Узел – место соединения трех и более
ветвей. На схеме показывают точкой
Контур – замкнутый путь, проходящий по
нескольким ветвям
Законы Кирхгофа
I закон применим для узла эл.цепи
Алгебраическая сумма токов в узле
равна нулю или сумма токов
притекающих к узлу равна сумме
токов утекающих из узла.
I 0
Притекающие к узлу токи считаются
положительными, а утекающие из
узла – отрицательными.
II Закон применим для контура
эл.цепи
Алгебраическая сумма падений
напряжения в любом замкнутом
контуре равна алгебраической
сумме ЭДС вдоль того же контура.
Å IR
В каждую из сумм соответствующие слагаемые
входят со знаком «плюс», если они совпадают с
направлением обхода контура, и со знаком
«минус», если они не совпадают с ним
Составление уравнений для расчета токов
в схемах при помощи законов Кирхгофа
Так как в каждой ветви схемы течет свой
ток, то число неизвестных токов равно
числу ветвей схемы.
Перед тем, как составлять уравнения,
необходимо:
1. Произвольно выбрать положительные
направления токов в ветвях и
обозначить их на схеме.
2. Выбрать положительные направления
обхода контура (для уравнений по II
закону Кирхгофа)
Составление уравнений
1. По I закону Кирхгофа составляется
число уравнений, равное числу узлов
без единицы, т.е.
N óð I nóçëîâ 1
Для узла а:
I1 I 2 I 3 0
2. По II закону Кирхгофа составляется
число уравнений, равное числу ветвей,
за вычетом числа уравнений,
составленных по Iзакону Кирхгофа
N óð II nâåòâåé N óðI
Для левого контура:
E1 I1 R1 I 3 R3
Для правого контура:
E2 I 2 R2 I 3 R3 I 4 R4 I 5 R5
Метод контурных токов
Суть метода – в каждом
независимом контуре схемы течет
свой контурный ток.
Уравнения составляются
относительно контурных токов.
N óð níåçàâèñèìû õ êîíòóðîâ
Составление уравнений для расчета токов
в схемах при помощи метода контурных
токов
1.
Для того чтобы составить
уравнения необходимо направить
контурный ток в каждом контуре.
2.
Составить уравнения по II закону
Кирхгофа
Для левого контура:
E1 I I ( R1 R3 ) I II R3
Для правого контура:
E2 I I R3 I II ( R2 R3 R4 R5 )
Далее определяются токи в ветвях:
1. Если ветвь является внешней (с Е1,
Е2), то ток в этой ветви численно
равен контурному и направлен как
контурный.
2. Если ветвь является внутренней
(с R3), то ток в этой ветви равен
алгебраической сумме контурных токов
Метод двух узлов
Применим для схем, содержащих
два узла.
Это метод расчета электрических
цепей, в котором за искомое
принимается напряжение между
двумя узлами схемы.
Напряжение между узлами а и б
Ек g k
U ав
g k
Е1 g1 Е 2 g 2
U ав
g1 g 2 g 3
Где
1
g
R
проводимость ветви
Далее определяется ток в каждой
ветви по II закону Кирхгофа
Например для ветви с Е 1:
Е1 I1 R1 U aб
E1 U аб
I1
R1
Метод узловых потенциалов
Это метод расчета эл.цепей, в
котором за неизвестные принимают
потенциалы узлов схемы.
Применим для электрических схем с
количеством узлов больше двух.
Количество уравнений соответствует
количеству узлов без одного (один
узел заземляют, т.е. потенциал
приравнивают к нулю )
Составляем систему уравнений
1G11 2 g12 3 g13 I11
1 g 21 2G22 3 g 23 I 22
1 g31 2 g32 3G33 I 33
Где G11 , G 22 , G33 проводимость
ветвей, сходящихся к узлам 1,2,3
g12 g 21
g13 g31
g 23 g32
проводимость ветви
соответственно между узлами
I11 , I22 , I33
собственный ток узла
Энергетический баланс в
электрических цепях – баланс
мощности
При протекании токов по
сопротивлениям в последних
выделяется тепло. На основании
закона сохранения энергии
количество тепла, выделяющееся
в единицу времени в
сопротивлениях схемы должно
равняться энергии, доставляемой
за то же время источником
питания.
Если через источник ЭДС Е течет ток
I так, что направление тока
совпадает с направлением ЭДС, то
источник доставляет в цепь энергию
(или мощность), равную ЕI
(произведение входит в уравнение со
знаком «+»)
Если же ток I направлен встречно
ЭДС Е, то источник не поставляет
энергию, а потребляет ее (например
зарядка аккумулятора) и
произведение ЕI входит в уравнение
энергетического баланса со знаком
«-»
Уравнение энергетического
баланса
Рист Рнагр
EI I R
2
Потенциальная диаграмма
Это график распределения
потенциала вдоль участка цепи или
замкнутого контура, на котором по
оси абсцисс откладывают
последовательно, в порядке их
расположения, значения
сопротивлений между каждой парой
соседних точек. По оси ординат –
значение потенциалов этих точек.
Метод активного двухполюсника –
эквивалентного генератора
Этот метод применяется для
определения тока в одной ветви
сложной электрической цепи.
В любой эл.цепи всегда можно
выделить какую-то одну ветвь, а
всю остальную часть схемы
поместить в «прямоугольник» двухполюсник
Если в двухполюснике есть ЭДС,
то такой двухполюсник называют
активным.
Если в двухполюснике нет ЭДС пассивным
Теорема об активном двухполюснике
Ток любой ветви (aв) линейной
эл.цепи не изменится, если всю
остальную цепь заменить
эквивалентным генератором с ЭДС
Е=Uxx, равной напряжению холостого
хода между зажимами (aв), и
внутренним сопротивлением Rвх,
равным входному сопротивлению
пассивного двухполюсника,
представляющего цепь при холостом
ходе относительно этих зажимов.
Алгоритм расчета:
1. Найти напряжение на зажимах
разомкнутой ветви Е=Uxx
2. Определить входное
сопротивление Rвх всей схемы по
отношению к зажимам (aв) при
закороченных источниках ЭДС.
3. Определить ток в ветви
U хх Еэг
I
R Rвх
Однофазные электрические цепи
переменного (синусоидального) тока
Переменный ток – ток,
изменяющийся во времени по
величине и направлению
Получение переменного тока
Генератор переменного тока состоит из
неподвижной части – статора и
вращающейся – ротора. В пазах
статора уложена обмотка, с которой
снимают переменное напряжение.
Магнитное поле ротора, вращаясь,
пересекает витки статорной обмотки
и наводит (индуктирует) в них ЭДС.
Синусоидальный ток – ток,
изменяющийся по синусоидальному
закону
i = Im Sin ( wt + φ)
Основные понятия синусоидального
тока
Мгновенные значения
i (А), u (В),
e (В) - значение переменных I, U, E в
любой момент времени t
Амплитудные (максимальные)
значения Im(А), Um(В), Em(В) –
наибольшие из мгновенных значений
Частота переменного тока f, (Гц) –
число периодов в секунду, или
величина обратная периоду
1
f
T
Период
Т, с – временной
интервал, за который происходит
полный цикл изменения
рад
Угловая частота w, с - величина,
пропорционально синусу которой
изменяются мгновенные значения
тока, напряжения, ЭДС
2
w 2f
T
Среднее значение переменной
величины Iср(A), Uср(B),
Еср(B) – вычисляют за
полупериод, в течении которого
величина остается положительной
I СР
2
U СР
IМ
EСР
2
EМ
2
UМ
Действующие
U (B), E (B)
I
значения
IM
U
2
E
EM
2
UM
2
I (A),
Начальная фаза φ –
электрический угол,
определяющий значение тока,
напряжения, ЭДС в начальный
момент времени (t = 0)
Опережающая по фазе
синусоидальная величина – та, у
которой положительный полупериод
начинается раньше, чем у другой
синусоидальной величины
Отстающая по фазе синусоидальная
величина – та, у которой
положительный полупериод
начинается позже, чем у другой
синусоидальной величины
Совпадающие по фазе
синусоидальные величины – те, у
которых начальные фазы
одинаковы
Изображение синусоидальных
функций времени векторами и
комплексными числами
Векторной диаграммой
называют совокупность векторов,
изображающих исследуемые
функции времени
Расчет электрических цепей
синусоидального тока
Эл.цепь, в которой происходит
преобразование эл.энергии в
тепловую, и в которой происходит
изменение энергии электрического и
магнитного полей, характеризуется
основными элементами:
- Резистором с сопротивлением R
- Индуктивной катушкой с
индуктивностью L
- Конденсатором с емкостью С
В активном сопротивлении R
происходит преобразование
электромагнитной энергии в тепло.
Напряжение на резисторе и ток в нем
связаны законом Ома
u r iR
Элементы, связанные только с
магнитным полем, учитывающие его
энергию и явление самоиндукции,
характеризуют индуктивностью L.
При изменении тока i в индуктивности
L возникает ЭДС самоиндукции,
препятствующая изменению тока
di
еl L
dt
Для прохождения тока через
индуктивность, источник расходует
часть своего напряжения на
преодоление ЭДС самоиндукции.
di
ul еl L
dt
При этом поступающая от него энергия
накапливается в магнитном поле
катушки
Элементы, связанные только с
электрическим полем и
учитывающие его энергию,
характеризуют емкостью С.
При изменении напряжения Uc на емкости
С, изменяется величина накопленного в
ней заряда, что соответствует
протеканию в цепи электрического тока
duC
dq
i
C
dt
dt
Пусть в цепи протекает ток
it I m Sin wt
Цепь с сопротивлением R.
По закону Ома, напряжение на
активном сопротивлении
1.
u r RI m Sin wt U m Sin wt
Соотношение между током и
напряжением показывает, что фазы
напряжения и тока в резисторе
совпадают. Графически это представлено
на временной диаграмме и на
комплексной плоскости.
2. Цепь с индуктивностью L
Под действием синусоидального
напряжения в цепи с индуктивной
катушкой проходит синусоидальный
ток
Зададим изменение тока в индуктивности по
синусоидальному закону
i(t) = ImL sin ωt
Используем уравнение связи между током и
напряжением в индуктивности
uL = L · di / dt
и получим
uL(t) = ωL · ImL cos ωt
Заменим cos на sin и получим
uL(t) = ωL · ImL sin(ωt + 90°).
для действующих значений
UL = ωL · IL.
Уравнение показывает, что фаза тока в
индуктивности отстает от фазы напряжения на
90°. Величину XL = ωL называют индуктивным
сопротивлением. Единицей его измерения
является Ом. Графически электрические процессы
в индуктивности представлены на рисунке
3. Цепь с емкостью С
Зададим изменение тока в емкости по
синусоидальному закону
i(t) = Imс sin ωt .
Используем уравнение связи
между током и напряжением в
емкости
uC = 1 / C · ∫ i dt,
и получим
uC = 1 / (ωC) · ImC (-cos ωt ).
Заменим –cos на sin
uC = 1 / (ωC) · ImC sin(ωt - 90°).
для действующих значений
UC = 1 / (ωC) · IC.
Уравнение показывает, что фаза напряжения в емкости
отстает от фазы тока на 90°. Величину XC = 1 / (ωC)
называют емкостным сопротивлением цепи и измеряют его в
Омах. Графически электрические процессы в емкости
представлены на рисунке
В цепях переменного тока выделяют
следующие виды сопротивлений:
Активное. Активным называют сопротивление
резистора.
Единицей измерения сопротивления является Ом.
Сопротивление резистора не зависит от частоты.
Условное обозначение
Реактивное. В разделе реактивные выделяют
три вида сопротивлений: индуктивное XL и
емкостное XC и собственно реактивное. Для
индуктивного сопротивления выше была
получена формула XL = ωL. Единицей
измерения индуктивного сопротивления также
является Ом. Величина XL линейно зависит от
частоты.
Для емкостного сопротивления выше была
получена формула XC = 1 / ωC. Единицей
измерения емкостного сопротивления является
Ом. Величина XC зависит от частоты по
обратно-пропорциональному закону. Просто
реактивным сопротивлением цепи называют
величину X = XL - XC
Цепь с последовательным
соединением элементов
R. L. C
Положим, что в этой задаче заданы величины R,
L, С, частота f, напряжение U. Требуется
определить ток в цепи и напряжение на
элементах цепи. Из свойства последовательного
соединения следует, что ток во всех элементах
цепи одинаковый. Задача разбивается на ряд
этапов.
1. Определение сопротивлений.
Реактивные сопротивления элементов L
и С находим по формулам
XL = ωL,
XC = 1 / ωC,
ω = 2πf.
2. Расчет напряжений на элементах
UR = I R, ψuR = ψi ;
UL = I XL, ψuL = ψi + 90° ;
UC = I XC, ψuC = ψi - 90°.
Для напряжений выполняется второй
закон Кирхгофа в векторной форме.
Ú = ÚR + ÚL + ÚC.
Анализ расчетных данных.
В зависимости от величин L и С возможны
следующие варианты: XL > XC; XL < XC;
X L = X C.
Для варианта XL > XC угол φ > 0,
UL > UC. Ток отстает от напряжения на
угол φ. Цепь имеет активноиндуктивный характер. Векторная
диаграмма напряжений имеет вид
Для варианта XL < XC угол φ < 0,
UL < UC. Ток опережает напряжение
на угол φ. Цепь имеет активноемкостный характер. Векторная
диаграмма напряжений имеет вид
Для варианта XL = XC угол φ = 0,
UL = UC. Ток совпадает с напряжением.
Цепь имеет активный характер
Полное сопротивление. Полным сопротивлением
цепи называют величину
Из этого соотношения следует, что сопротивления Z, R
и X образуют треугольник: Z – гипотенуза, R и X –
катеты. Для удобства в этом треугольнике
рассматривают угол φ, который определяют
уравнением
φ = arctg((XL - XC) / R),
и называют углом сдвига фаз. С учетом него можно
дать дополнительные связ
R = Z cos φ,
X = Z sin φ.
Мощности в цепях переменного тока
Элемент R (резистор)
P = U I cos φ,
Величину Р равную произведению
действующих значений тока и
напряжения называют активной
мощностью. Единицей ее
измерения является Ватт (Вт).
Элемент L (индуктивность)
Для количественной оценки мощности в
индуктивности используют величину QL и
называют ее реактивной (индуктивной)
мощностью. Единицей ее измерения
является ВАр (вольт-ампер реактивный).
QL = UL I sin φ
Элемент С (ёмкость)
По аналогии с индуктивностью вводят
величину QC, которую называют
реактивной (емкостной) мощностью.
Единицей ее измерения также является
ВАр.
Qс = Uс I sin φ,
Если в цепи присутствуют элементы R,
L и С, то активная и реактивная
мощности определяются уравнениями
P = U I cos φ,
Q = QL - QC,
Q = U I sin φ,
где φ – угол сдвига фаз
Вводят понятие полной мощности
цепи
С учетом уравнений P и Q
S=UI
Единицей измерения полной
мощности является ВА – вольт-ампер.
Цепь с параллельным соединением
элементов. Метод проводимости.
Положим, что заданы величины R1, R2, L, С, частота f и
входное напряжение U. Требуется определить токи в
ветвях и ток всей цепи.
В данной схеме две ветви. Согласно свойству
параллельного соединения, напряжение на всех
ветвях параллельной цепи одинаковое, если
пренебречь сопротивлением подводящих проводов.
Чаще всего используют метод
проекций и метод проводимостей. В
методе проекций ток I1 и I2
раскладываются по две ортогональные
составляющие активную и
реактивную. Ось активной
составляющей совпадает с вектором
напряжения U. Ось реактивной
составляющей перпендикулярна
вектору U.
Активные составляющие токов равны
I1а = I1 cos φ1, I2а = I2 cos φ2,
Iа = I1а + I2а.
Реактивные составляющие токов
равны
I1р = I1 sin φ1, I2р = I2 sin φ2,
Iр = I1р - I2р.
Полный ток находится из уравнений
,
φ = arctg(Iр / Iа).
В методе проводимостей также
используется разложение на активные
и реактивные составляющие.
Активные составляющие токов
записываются в виде
где через g1 = R1 / Z12 обозначена величина,
названная активной проводимостью первой
ветви.
Аналогичным образом получим
где g2 = R2 / Z22 обозначена величина,
названная активной проводимостью
второй ветви.
А величину g = g1 + g2 называют
активной проводимостью всей цепи.
Реактивные составляющие токов
где b1 и b2 – реактивные проводимости
ветвей b1 = XL / Z12, b2 = XC / Z22.
Для реактивной проводимости всей
цепи имеем
b = b1 - b2.
Законы Ома и Кирхгофа в
комплексной форме
Закон Ома
Под законом Ома в комплексной
форме понимают:
Í=Ú/Z
Комплексное сопротивление участка
цепи представляет собой комплексное
число, вещественная часть которого
соответствует величине активного
сопротивления, а коэффициент при
мнимой части – реактивному
сопротивлению.
По виду записи комплексного
сопротивления можно судить о
характере участка цепи:
R + j X — активно-индуктивное
сопротивление;
R – j X — активно-емкостное.
Примеры:
Первый закон Кирхгофа в
комплексной форме
Алгебраическая сумма
комплексных действующих
значений токов в узле равна
нулю.
Второй закон Кирхгофа в
комплексной форме
В замкнутом контуре электрической
цепи алгебраическая сумма
комплексных действующих значений
ЭДС равна алгебраической сумме
комплексных падений напряжений в
нём.
Мощность в комплексной форме
При использовании символического
метода можно пользоваться
понятиями мощностей. Но в
комплексной форме можно записать
только полную мощность:
где
— комплексно-сопряженный ток
S cos φ ± j S sin φ = P ± j Q.
Полная мощность в комплексной
форме представляет собой
комплексное число, вещественная
часть которого соответствует
активной мощности
рассматриваемого участка, а
коэффициент при мнимой части –
реактивной мощности участка.
Значение знака перед мнимой
частью: “+” означает, что
напряжение опережает ток, нагрузка
– активно-индуктивная; “–” означает,
что нагрузка - активно-емкостная
Повышение коэффициента
мощности в электрической цепи
Активная мощность потребителя определена формулой
P = U I cos φ.
Величину cos φ здесь называют коэффициентом
мощности. Ток в линии питающей потребителя с
заданной мощностью Р равен
I = P / (U cos φ).
и будет тем больше, чем меньше cos φ. При этом
возрастают потери в питающей линии. Для их
снижения желательно увеличивать cos φ. Большинство
потребителей имеет активно-индуктивную нагрузку.
Увеличение cos φ возможно путем компенсации
индуктивной составляющей тока путем подключения
параллельно нагрузке конденсатора
Расчет емкости
дополнительного конденсатора
для обеспечения заданного
cos φ проводится следующим
образом:
Пусть известны параметры нагрузки Pн, U и
Iн . Можно определить cosφн
cos φн = P / (U Iн).
Подключение емкости не изменяет активную
составляющую нагрузки
Iна = Iн cos φн = Pн / U
Реактивная составляющая нагрузки Iнр может
быть выражена через tg φн
Iнр = Iна tg φн.
При подключении емкости величина Iнр
уменьшается на величину IC.
Если задано, что коэффициент мощности в
питающей линии должен быть равен cos φ,
то можно определить величину реактивной
составляющей тока в линии
Iр = Iа tg φ.
Уменьшение реактивной составляющей
нагрузки с Iнр до Iр определяет величину тока
компенсирующей емкости
IC = Iнр - Iр = Iа (tg φн - tg φ).
Подставляя в уравнение, значение Iна и
учитывая, что IC = U / XC = U ωC, получим
U ωC = Pн / U · (tg φн - tg φ), откуда для
емкости конденсатора имеем
2
C = Pн / ωU · (tg φн - tg φ).
Для больших значений Pн величина емкости C
может оказаться слишком большой, что
технически трудно реализовать. В этом
случае используют синхронные
компенсирующие машины.
Резонансы в цепях синусоидального
тока.
Резонансом называется такой
режим работы цепи, включающей
в себя индуктивные и емкостные
элементы, при котором ток на
входе цепи совпадает по фазе с
входным напряжением.
Резонанс в цепи с последовательно
соединенными элементами
(резонанс напряжений)
Условие резонанса напряжений:
При этом следует:
Режима резонанса можно добиться
путем изменения параметров L и C, а
также частоты. Для резонансной
частоты можно записать
Резонансными кривыми называются
зависимости тока и напряжения от
частоты. В качестве их примера на
рисунке приведены типовые кривые
I(f);
и
для цепи с
последовательным соединением L и C при
U=const.
Важной характеристикой резонансного контура
является добротность Q, определяемая
отношением напряжения на индуктивном
(емкостном) элементе к входному напряжению:
Другим параметром резонансного контура
является характеристическое
сопротивление, связанное с добротностью
соотношением
или
Резонанс в цепи с параллельно
соединенными элементами
(резонанс токов)
Условие резонанса токов
или
При этом
Таким образом, при резонансе токов
входная проводимость цепи минимальна,
а входное сопротивление, наоборот,
максимально.
Трехфазные электрические цепи
Основные понятия и определения
Трехфазная цепь является частным
случаем многофазных систем электрических
цепей, представляющих собой совокупность
электрических цепей, в которых действуют
синусоидальные ЭДС одинаковой частоты,
отличающиеся по фазе одна от другой и
создаваемые общим источником энергии.
Каждую из частей многофазной системы,
характеризующуюся одинаковым током,
принято называть фазой. Таким образом,
понятие "фаза" имеет два значения: первое –
аргумент синусоидально изменяющейся
величины, второе – часть многофазной
системы электрических цепей. Цепи в
зависимости от количества фаз бывают
двухфазными, трехфазными, шестифазными
и т.п.
Трехфазные цепи – наиболее
распространенные в современной
электроэнергетике. Это объясняется рядом
их преимуществ по сравнению как с
однофазными, так и с другими
многофазными цепями:
- экономичность производства и передачи
энергии по сравнению с однофазными
цепями;
- возможность сравнительно простого
получения кругового вращающегося
магнитного поля, необходимого для
трехфазного асинхронного двигателя;
- возможность получения в одной
установке двух эксплуатационных
напряжений – фазного и линейного.
Трехфазная цепь состоит из трех
основных элементов: трехфазного
генератора, в котором механическая
энергия преобразуется в электрическую
с трехфазной системой ЭДС; линии
передачи со всем необходимым
оборудованием; приемников
(потребителей), которые могут быть как
трехфазными (например, трехфазные
асинхронные двигатели), так и
однофазными (например, лампы
накаливания).
Трехфазный генератор представляет
собой синхронную машину двух
типов: турбогенератор и
гидрогенератор. Модель трехфазного
генератора схематически изображена
на рисунке
На статоре 1 генератора размещается
обмотка 2, состоящая из трех частей или, как
их принято называть, фаз. Обмотки фаз
располагаются на статоре таким образом,
чтобы их магнитные оси были сдвинуты в
пространстве относительно друг друга на
угол 2π/3, т.е. на 120°.
На рисунке каждая фаза обмотки статора
условно показана состоящей из одного витка.
Начала фаз обозначены буквами A, B и C, а
концы – X, Y, Z. Ротор 3 представляет собой
электромагнит, возбуждаемый постоянным
током обмотки возбуждения, расположенной
на роторе
При вращении ротора турбиной с
равномерной скоростью в обмотках
фаз статора индуктируются
периодически изменяющиеся
синусоидальные ЭДС одинаковой
частоты и амплитуды, но
отличающиеся друг от друга по фазе
на 120° вследствие их
пространственного смещения.
За условное положительное
направление ЭДС в каждой фазе
принимают направление от конца к
началу. Обычно индуктированные в
обмотках статора ЭДС имеют
одинаковые амплитуды и сдвинуты по
фазе относительно друг друга на
один и тот же угол 120°. Такая
система ЭДС называется
симметричной.
Трехфазная симметричная система ЭДС может
изображаться графиками, тригонометрическими
функциями, векторами и функциями комплексного
переменного.
Графики мгновенных значений трехфазной
симметричной системы ЭДС показаны на рисунке
Если ЭДС одной фазы (например,
фазы А) принять за исходную и
считать её начальную фазу равной
нулю, то выражения мгновенных
значений ЭДС можно записать в виде
eA = Em sin ωt,
eB = Em sin (ωt - 120°),
eC = Em sin (ωt - 240°)=
= Em sin (ωt + 120°).
График мгновенных значений ЭДС
Комплексные действующие ЭДС
будут иметь выражения:
ĖA = Em ej0°
ĖB = Em e-j120°
ĖC = Em ej120°
Векторная диаграмма трехфазной
симметричной системы
Соединение фаз генератора и
приемника звездой
При соединение фаз обмотки
генератора (или трансформатора)
звездой их концы X, Y и Z
соединяют в одну общую точку N,
называемую нейтральной точкой
(или нейтралью). Концы фаз
приемников (Za, Zb, Zc) также
соединяют в одну точку n. Такое
соединение называется
соединение звезда
Провода A-a, B-b и C-c, соединяющие начала фаз
генератора и приемника, называются линейными,
провод N-n, соединяющий точку N генератора с точкой n
приемника, – нейтральным.
Трехфазная цепь с нейтральным проводом
будет четырехпроводной, без нейтрального
провода – трехпроводной.
В трехфазных цепях различают фазные и
линейные напряжения.
Фазное напряжение UФ – напряжение между
началом и концом фазы или между линейным
проводом и нейтралью (UA, UB, UC у источника;
Ua, Ub, Uc у приемника). За условно
положительные
направления
фазных
напряжений принимают направления от начала
к концу фаз.
Линейное напряжение (UЛ) – напряжение
между линейными проводами или между
одноименными выводами разных фаз (UAB, UBC,
UCA). Условно положительные направления
линейных напряжений приняты от точек,
соответствующих первому индексу, к точкам
соответствующим второму индексу.
При соединении в звезду фазные
и линейные токи равны
IФ = IЛ.
По первому закону Кирхгофа для
нейтральной точки n(N) имеем в
комплексной форме
İ N = İ A + İ B + İ C.
В соответствии с выбранными условными
положительными направлениями фазных и линейных
напряжений можно записать уравнения по второму закону
Кирхгофа.
ÚAB = ÚA - ÚB;
ÚBC = ÚB - ÚC;
ÚCA = ÚC - ÚA.
Действующие значения линейных
напряжений можно определить графически по
векторной диаграмме или по треугольнику,
образованному векторами двух фазных и
одного линейного напряжений:
UЛ = 2 UФ cos 30°
или
UЛ = √3 UФ
Предусмотренные ГОСТом линейные и
фазные напряжения для цепей низкого
напряжения связаны между собой
соотношениями:
UЛ = 660 В; UФ = 380 В;
UЛ = 380 В; UФ = 220 В;
UЛ = 220 В; UФ = 127 В.
Классификация приемников в
трехфазной цепи
Приемники, включаемые в трехфазную цепь,
могут быть либо однофазными, либо трехфазными. К
однофазным приемникам относятся электрические
лампы накаливания и другие осветительные приборы,
различные бытовые приборы, однофазные двигатели
и
т.д.
К
трехфазным
приемникам
относятся
трехфазные асинхронные двигатели и индукционные
печи. Обычно комплексные сопротивления фаз
трехфазных приемников равны между собой:
Za = Zb = Zc = Zejφ.
Такие приемники называют симметричными. Если
это условие не выполняется, то приемники называют
несимметричными. При этом, если Za = Zb = Zc, то
трехфазный приемник называют равномерным, если
φa = φb = φc, то однородным.
Четырехпроводная цепь
Для расчета трехфазной цепи применимы все
методы, используемые для расчета линейных цепей.
Обычно
сопротивления
проводов
и
внутреннее
сопротивление
генератора
меньше
сопротивлений
приемников, поэтому для упрощения расчетов таких
цепей
(если
не
требуется
большая
точность)
сопротивления проводов можно не учитывать (ZЛ = 0,
ZN = 0). Тогда фазные напряжения приемника Ua, Ub и Uc
будут равны соответственно фазным напряжениям
источника электрической энергии (генератора или
вторичной обмотки трансформатора), т.е. Ua = UA;
Ub = UB; Uc = UC. Если полные комплексные
сопротивления фаз приемника равны Za = Zb = Zc, то
токи в каждой фазе можно определить по формулам
İa = Úa / Za; İb = Úb / Zb; İc = Úc / Zc.
В соответствии с первым законом Кирхгофа ток в
нейтральном проводе
İN = İa + İb + İc = İA + İB + İC.
Симметричная нагрузка
приемника
При симметричной системе напряжений и
симметричной нагрузке, когда Za = Zb = Zc, т.е.
когда Ra = Rb = Rc = Rф и Xa = Xb = Xc = Xф,
фазные токи равны по значению и углы сдвига фаз
одинаковы
Ia = Ib = Ic = Iф = Uф / Zф,
φa = φb = φc = φ = arctg (Xф/Rф).
Построив
векторную
диаграмму
токов
для
симметричного приемника, легко установить, что
геометрическая сумма трех векторов тока равна
нулю: İa + İb + İc = 0. Следовательно, в случае
симметричной нагрузки ток в нейтральном проводе
IN = 0, поэтому необходимость в нейтральном
проводе отпадает.
Несимметричная нагрузка приемника
При симметричной системе напряжений и несимметричной
нагрузке, когда Za ≠ Zb ≠ Zc и φa ≠ φb ≠ φc токи в фазах
потребителя различны и определяются по закону Ома
İa = Úa / Za; İb = Úb / Zb; İc = Úc / Zc.
Ток в нейтральном проводе İN равен геометрической сумме
фазных токов
İN = İa + İb + İc.
Напряжения будут Ua = UA; Ub = UB; Uc = UC, UФ = UЛ/√3 ,
благодаря нейтральному проводу при ZN = 0.
Следовательно,
нейтральный
провод
обеспечивает
симметрию
фазных
напряжений
приемника
при
несимметричной нагрузке.
Поэтому в четырехпроводную сеть включают однофазные
несимметричные нагрузки, например, электрические
лампы накаливания. Режим работы каждой фазы
нагрузки,
находящейся
под
неизменным
фазным
напряжением генератора, не будет зависеть от режима
работы других фаз.
Трехпроводная электрическая
цепь
Это соединение источника и
приемника звездой без нейтрального
провода
При симметричной нагрузке, когда
Za = Zb = Zc = Z, напряжение между
нейтральной точкой источника N и
нейтральной точкой приемника n
равно нулю, UnN = 0.
При несимметричной нагрузке
Za ≠ Zb ≠ Zc между нейтральными
точками приемника и источника
электроэнергии возникает
напряжение смещения нейтрали UnN
Для определения напряжения
смещения нейтрали можно
воспользоваться формулой
межузлового напряжения
Тогда напряжения по фазам
Зная фазные напряжения приемника, можно
определить фазные токи:
Несимметричная нагрузка в таких условиях вызывает
несимметрию ее фазных напряжений Úa, Úb, Úc и
смещение ее нейтральной точки n из центра
треугольника напряжений (смещение нейтрали).
Поэтому нейтральный провод необходим для того, чтобы:
• выравнивать фазные напряжения приемника при несимметричной нагрузке;
• подключать к трехфазной цепи однофазные приемники с номинальным
напряжением в
раз меньше номинального линейного напряжения сети.
Следует иметь в виду, что в цепь нейтрального провода нельзя
ставить предохранитель, так как перегорание предохранителя приведет к
разрыву нейтрального провода и появлению значительных перенапряжений
на фазах нагрузки
Соединение фаз генератора и
приемника треугольником
При соединении источника питания
треугольником конец X одной фазы
соединяется с началом В второй фазы, конец Y
второй фазы – с началом С третьей фазы,
конец третьей фазы Z – c началом первой фазы
А. Начала А, В и С фаз подключаются с
помощью трех проводов к приемникам.
Напряжение между концом и началом фазы при
соединении треугольником – это напряжение
между линейными проводами. Поэтому при
соединении треугольником линейное напряжение
равно фазному напряжению.
UЛ = UФ.
Пренебрегая сопротивлением линейных проводов,
линейные напряжения потребителя можно
приравнять линейным напряжениям источника
питания: Uab = UAB, Ubc = UBC, Uca = UCA. По фазам
Zab, Zbc, Zca приемника протекают фазные токи
İab, İbc и İca. Условное положительное
направление фазных напряжений Úab, Úbc и Úca
совпадает с положительным направлением фазных
токов. Условное положительное направление
линейных токов İA, İB и İC принято от источников
питания к приемнику.
В отличие от соединения звездой при
соединении треугольником фазные токи не
равны линейным. Токи в фазах приемника
определяются по формулам
İab = Úab / Zab; İbc = Úbc / Zbc; İca = Úca / Zca.
Линейные токи можно определить по фазным,
составив уравнения по первому закону
Кирхгофа для узлов a, b и c
İA = İab - İca; İB = İbc - İab; İC = İca - İbc.
Следовательно
Iл = √3IФ
Мощность трехфазной цепи, ее
расчет и измерение
В
трехфазных цепях, так же как и в однофазных,
пользуются понятиями активной, реактивной и полной
мощностей.
Соединение потребителей звездой
В общем случае несимметричной нагрузки активная
мощность трехфазного приемника равна сумме активных
мощностей отдельных фаз
P = Pa + Pb + Pc,
Где Pa = Ua Ia cos φa; Pb = Ub Ib cos φb; Pc = Uc Ic cos φc;
Ua, Ub, Uc; Ia, Ib, Ic – фазные напряжения и токи;
φa, φb, φc – углы сдвига фаз между напряжением и
током.
Реактивная
мощность
соответственно
равна
алгебраической сумме реактивных мощностей отдельных
фаз
Q = Qa + Qb + Qc,
где Qa = Ua Ia sin φa; Qb = Ub Ib sin φb; Qc = Uc Ic sin φc.
Полная мощность отдельных фаз
Sa = Ua Ia; Sb = Ub Ib; Sc = Uc Ic.
Активная мощность симметричного
трехфазного приемника
P = 3 PФ = 3 UФ IФ cos φ.
Аналогично выражается и реактивная
мощность
Q = 3 QФ = 3 UФ IФ cos φ.
Полная мощность
S = 3 SФ = 3 UФ IФ.
Отсюда следует, что в трехфазной цепи при
симметричной системе напряжений и
симметричной
нагрузке
достаточно
измерить мощность одной фазы и утроить
результат.
Или через линейные параметры:
Активная мощность
P = √3 UЛ IЛ cos φ.
где UЛ и IЛ – линейное напряжение и
ток; cos φ – фазный.
Реактивная мощность
Q = √3 UЛ IЛ sin φ.
Полная мощность
S = √3 UЛ IЛ
