Автоматика и управление: Методические указания

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ
Д.А.Затучный
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению лабораторных работ
по дисциплине
“АВТОМАТИКА И УПРАВЛЕНИЕ”
для студентов
специальностей 160905, 090106
всех форм обучения
Москва-2010
2
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
_____УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ»_______________
Кафедра технической эксплуатации радиоэлектронных систем воздушного
транспорта
Д.А. Затучный
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению лабораторных работ по дисциплине
“АВТОМАТИКА И УПРАВЛЕНИЕ”
для студентов
специальностей 160905,090106
всех форм обучения
Москва – 2010
3
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
При подготовке к лабораторным работам следует:
1.
Ознакомиться
с
описанием
лабораторной
работы
и
рекомендуемой литературой.
2.
Выполнить расчёты и графические построения, указанные в
домашнем задании.
3.
Подготовить ответы на контрольные вопросы.
4.
Изучить методику выполнения эксперимента.
Cтуденты допускаются к выполнению лабораторной работы после
представления результатов домашней подготовки и ответа на вопросы
преподавателя по теме выполняемой работы. После выполнения работы
необходимо
представить
результаты
эксперимента
преподавателю.
Оформление отчёта производится на отдельных листах согласно требованиям
ЕСКД. Зачёт по работе выставляется после защиты студентом оформленного
отчёта по лабораторной работе.
Cтуденты, не защитившие две и более лабораторные работы, к
выполнению последующих лабораторных работ не допускаются.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Литература, имеющаяся в библиотеке МГТУ ГА:
1. Первачев С.В. Радиоавтоматика. –М.: Радио и связь, 1982.
(6П2.154.П.261).
2 . Коновалов Г.Ф. Радиоавтоматика. –М.: Высшая школа, 1990.
(6Ф2.К64).
2. Литература, имеющаяся в сети Internet:
1.Коновалов Г.Ф. Радиоавтоматика. –М.: Высшая школа, 2003.
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ
ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
Для решения задач анализа и синтеза систем автоматического управления
(САУ) в настоящее время широко используется моделирование САУ на
персональных электронных вычислительных машинах (ПЭВМ).
Применительно к радиотехническим автоматическим системам можно
выделить следующие задачи моделирования:
1.
Анализ линейных режимов работы радиотехнических САУ при
детерминированных входных воздействиях.
4
Анализ нелинейных режимов работы радиотехнических САУ в
реальном масштабе времени.
3.
Cтатистический анализ радиотехнических САУ.
4.
Cинтез оптимальных параметров радиотехнических систем
методом пространства состояния.
Предлагаемые лабораторные работы позволят студентам закрепить
знания по теории автоматического управления, привить навыки по
исследованию установившихся и переходных процессов радиотехнических
следящих систем различной структуры в линейном и нелинейном режимах
работы, оценить влияние параметров элементов систем и корректирующих
устройств на устойчивость и качество работы таких систем; оценить
вероятность срыва слежения, закрепить знания по статистическому анализу
радиотехнических САУ.
Разнообразные по своему назначению радиотехнические следящие
системы могут быть представлены с помощью обобщённой структурной схемы,
которая приведена на рис.1. Сумматор изображён на ней в виде кружка,
разделённого на секторы, а сектор со знаком минус отображает операцию
вычитания. На структурной схеме приняты следующие обозначения:
 t  - отслеживаемый параметр сигнала (задающее воздействие);
nt  - помехи, действующие на систему;
xt  - ошибка слежения;
F x  - дискриминационная характеристика, которая определяется ниже;
 x, t  - флюктуационная составляющая напряжения на выходе
дискриминатора;
W  p передаточная функция звена, входящего в состав
радиотехнической следящей системы,
yt  - выходная величина системы.
Часть схемы, охваченная штриховой линией, является математическим
эквивалентом дискриминатора и отображает формирование выходного
напряжения дискриминатора, зависящего от ошибки слежения. Принцип
работы дискриминатора описывается ниже.
Программа исследования радиотехнической следящей системы состоит
из двух частей.
Часть 1: Исследование радиотехнической следящей системы при
детерминированных входных воздействиях.
Часть 2: Исследование радиотехнической следящей системы при
случайных входных воздействиях.
2.
5
nt 
 x, t 
xt 
 t 
-
F x 
W  p
yt 
Рис.1. Обобщённая структурная схема радиотехнической следящей системы
Передаточной функцией называется отношение преобразования Лапласа
для выходного сигнала системы к преобразованию Лапласа для входного
воздействия.
Преобразованием Лапласа называется функциональное преобразование
вида:

L f t   F  p    f t dt .
0
На один из входов дискриминатора подаётся процесс uвх. t   uc t ,    uш t  ,
представляющий собой смесь полезного сигнала u c t ,   , за параметром  t 
которого ведётся слежение, и шума u ш t  . На второй вход дискриминатора
поступает опорный сигнал uоп t , y  , зависящий от оценки yt  отслеживаемого
параметра  t  , сформированной в процессе слежения. Вид опорного сигнала
определяется типом следящей системы. Так, во временном автоселекторе
опорным сигналом является последовательность стробирующих импульсов, в
системе фазовой автоподстройки – напряжение подстраиваемого генератора.
Режим слежения – это режим, позволяющий обеспечить непрерывность
наблюдений.
В дискриминаторе входной сигнал uвх. t  подвергается нелинейному
преобразованию, в результате которого на выходе дискриминатора
формируется напряжение, зависящее от ошибки слежения x    y .
Зависимость F x  выходного напряжения от ошибки слежения x принято
называть дискриминационной характеристикой.
При малых значениях ошибки характеристика линейна и записывается в
виде:
F x   S Д x ,
где S Д  dF x  / dx x0 - крутизна характеристики дискриминатора.
При использовании дискриминатора, график характеристики которого
приведён на рис.2 исследуется линейный режим работы радиотехнической
6
следящей системы, при
характеристики S Д =1,0.
этом
значение
крутизны
дискриминационной
F x 
x
0
Рис.2. Характеристика дискриминатора в линейном режиме работы
Входным детерминированным воздействием исследуемых систем
является воздействие вида  t   U  Vt  At 2 , где U , V и A - некоторые
случайные числа. Cлучайное воздействие  x, t  - белый шум, спектральная
плотность которого в пределах полосы пропускания системы радиоавтоматики
постоянна.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РЕЖИМОВ РАБОТЫ
РАДИОТЕХНИЧЕСКОЙ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ ПРИ
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Целью работы является определение устойчивости, показателей качества
переходного процесса в системе радиоавтоматики.
Краткие теоретические сведения
Одним из первых вопросов, возникающих при исследовании и
проектировании линейных систем радиоавтоматики, является вопрос об их
устойчивости. Линейная система называется устойчивой, если при выведении
её внешними воздействиями из состояния равновесия (покоя) она возвращается
в него после прекращения этого воздействия. Устойчивость линейной системы
определяется её характеристиками и не зависит от действующих воздействий.
7
Процессы в системах радиоавтоматики описываются дифференциальными
уравнениями вида:
y t  
B s 
xt  ,
As 
(1.1)
где
n
s
d
d
- символ дифференцирования и соответственно s n  n ,
dt
dt
As   a n s n  a n1 s n1  ...  a0 ,
Bs   bm s m  bm1 s m1  ...  b0 ,
xt  , yt  - входной и выходной сигналы системы.
Как известно, решение уравнения (1.1) можно представить в виде
yt   yc t   yв t  , где y в t  - решение, определяемое внешним воздействием xt  ;
y c t  - собственные колебания системы, являющиеся решением уравнения
As  y c t   a n s n  a n1 s n1  ...  a0 y c t   0.
(1.2)
После прекращения внешнего воздействия yв t   0 дальнейшее поведение
системы определяется её собственными затухающими колебаниями y c t  .
Решение y c t  уравнения (1.2.) записывается в виде:
n
y c t    c k e pk t ,
(1.3)
k 1
где p k - корни характеристического уравнения
A p   an p n  an1 p n1  ...  a0  0,
(1.4)
которое получается приравниванием полинома As  нулю и заменой в нём
оператора дифференцирования s 
d
комплексной переменной p .
dt
Для оценки устойчивости системы радиоавтоматики по критерию
Гурвица необходимо из коэффициентов характеристического уравнения (1.4)
составить матрицу Гурвица.
Матрица Гурвица имеет вид:
 a n 1 , a n 3 , a n 5 ,..., 0 


 a n , a n  2 , a n  4 ,..., 0 
. .
. . . . . . ... .. 


 0,

...
...
...,
a
0

(1.5)
Для оценки устойчивости системы радиоавтоматики необходимо
вычислить определители Гурвица, которые получают из матрицы (1.5) путём
вычёркивания равного числа строк и столбцов в левом верхнем углу матрицы.
Например, первый определитель имеет вид:
1  a n 1 ,
2 
a n 1a n 3
a n a n2
.
8
Система радиоавтоматики устойчива, если при an  0
1  0,  2  0,...,  n  0.
(1.6)
Так как a0  0 , то для проверки устойчивости системы достаточно
уточнить знаки только до  n1 определителя. Если  n  0 , то система
радиоавтоматики находится на границе устойчивости. Возможны два случая:
1) cвободный член характеристического уравнения равен нулю, что
соответствует нейтрально устойчивой системе;
2)  n1  0 , что соответствует колебательной границе устойчивости.
Из условия  n1  0 вычисляется критический коэффициент усиления K кр. ,
соответствующий границе устойчивости. Отношение

K кр.
K
называют запасом устойчивости по усилению, где K  S Д - крутизна
дискриминационной характеристики. Для нормального функционирования
системы необходимо, чтобы   2.
По определению передаточной функции, которое было приведено на
стр.5, преобразование Лапласа для ошибки системы:
1
1


E  p   We  p Л  p   C 0  C1 p  C 2 p 2  ...  C k p k  Л  p  ,
2
k!


(1.7)
где
We  p  
1
- передаточная функция ошибки,
1  W  p
Л  p  - преобразование Лапласа для входного воздействия
или в области действительного переменного


1
1
et   C 0  t   C1  t   C 2  t   ...  C k k  t 
2
k!
(1.8)
Для нахождения неизвестных коэффициентов Ci , которые называются
коэффициентами ошибки, применяется формула:
1) С k  k!
k
We  p  p 0 .
p k
(1.9)
Расчет переходных процессов в линейных системах первого и второго
порядка легко производится с помощью преобразования Лапласа.
xt   1t  - единичный сигнал, действующий на систему радиоавтоматики.
0, при t  0
1t   
1, при t  0
W  p
Y  p 
- преобразование Лапласа для выходного сигнала системы,
p
W  p  
ht   L1 
 - переходная функция.
 p 
9
Физически это означает переходный процесс в системе радиоавтоматики,
вызванный входным сигналом в виде единичной функции.
К основным показателям качества переходного процесса в системе
радиоавтоматики относятся следующие параметры:
1) длительность переходного процесса t п , равная интервалу времени с
момента подачи сигнала до момента времени, когда выходной сигнал не будет
отличаться от его установившегося значения не более чем на 5%;
2) перерегулирование  , равное отношению максимального значения
выходного сигнала в переходном процессе к установившемуся значению:
 
y max
;
yy
3)время установления первого максимума выходного сигнала t p ,
характеризующее скорость изменения выходного сигнала в переходном
процессе;
4) частота колебаний в переходном процессе wt 
2
, где T - период
T
колебаний.
Установившееся значение выходного сигнала системы вычисляется
следующим образом:
при единичном входном сигнале y y  lim pWз  p  
p 0
1
 W з 0 , где Wз  p  p
передаточная функция замкнутой системы.
Cистемы радиоавтоматики подразделяются на статические и астатические.
В статических системах ошибка в установившемся режиме не равна нулю, а в
астатических равна нулю. В астатических системах радиоавтоматики
установившееся значение выходного сигнала в переходном процессе равно
единице, в статических системах -
K
.
1 k
Cтуденты допускаются к выполнению лабораторной работы после ответа
на вопросы домашнего задания (см. правила выполнения лабораторных работ,
стр.3).
Домашнее задание
1. Определить, какому неравенству должно удовлетворять отношение
постоянных времени T1 и T в устойчивой системе с передаточной функцией
системы в разомкнутом состоянии
W  p 
k T1  1


p2 T 1
2. Определить граничный (критический) коэффициент передачи системы
k гр , если
10
W  p 
k T1 p  1
p Tp  1T2 p  1
при T  1,0c ; T1  0,05c ; T2  0,1c .
3. Определить ошибку системы радиоавтоматики с передаточной
функцией системы в разомкнутом состоянии
W  p 
k1
p Tp  1
при входном воздействии  (t )  U  Vt .
4. Определить порядок астатизма систем относительно воздействия  (t ) ,
если:
k0
Tp  1
k1
W  p 
p Tp  1
W  p 
W  p 
k 2 T1 p  1
p 2 Tp  1
5. Изучить методику проведения эксперимента.
В табл. 1.1. приведены передаточные функции W0 ( p) систем, которые
исследуются в лабораторной работе.
Таблица 1.1.
Тип
A
B
C
Д
Е
W ( p)
ko
p
ko
Tp  1
k o (T1 p  1)
p T2 p  1
k o (T1 p  1)
Tp  1T2 p  1
ko (T1 p  1)
p2
Задание
1. Ответить на вопросы контроля домашней подготовки.
2. Определить показатели качества переходных процессов и величины
установившихся ошибок в следящих системах, виды W ( p) которых и
параметры выбираются из табл. 1.2. согласно варианту задания.
3. Определить устойчивость системы, рассмотренной в пункте 2
домашнего задания.
11
4. Исследовать следящую систему с операторным коэффициентом
передачи W ( p) типа E.
Методика проведения эксперимента
По пункту 1 задания
Таблица 1.2
№
W ( p)
варианта
А
В
1
С
Д
А
В
2
С
Д
А
В
3
С
Д
А
В
4
С
Д
А
В
5
С
Д
А
В
6
С
Д
А
В
7
С
Д
А
В
8
С
Д
ko
Т, с
T1 , с
T2 , с
U
V
3,0
0,5
1,6
1,2
5,0
1,5
1,8
1,4
2,0
1,0
2,2
2,0
8,0
2,0
2,4
1,0
6,0
0,6
2,0
1,6
4,0
0,8
2,5
1,0
5,0
1,2
4,0
0,8
4,5
1,4
3,0
1,5
0,40
1,00
0,80
1,20
0,50
1,00
1,00
0,25
0,20
0,75
0,60
0,25
0,30
1,10
0,45
1,20
0,02
0,10
0,40
0,30
0,05
0,05
0,02
0,05
0,01
0,25
0,05
0,05
0,04
0,15
0,02
0,01
0,25
0,50
0,80
0,50
0,25
0,20
0,40
0,40
0,50
0,20
0,75
0,40
0,40
0,45
0,25
0,50
3,5
3,5
4,5
4,0
2,5
2,0
2,0
2,5
2,0
3,0
5,0
2,0
5,0
2,0
4,5
2,5
3,5
2,0
4,0
2,0
3,0
2,5
5,0
4,0
4,0
2,5
3,0
2,5
6,0
2,2
2,5
2,0
1,2
0,3
0,7
0,6
0,8
0,5
0,5
0,6
0,4
0,8
0,3
0,4
1,8
0,5
0,6
0,8
1,0
0,4
0,8
0,5
0,4
0,5
0,6
0,8
0,25
0,30
0,40
0,20
0,40
0,25
0,50
0,25

0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
12
9
10
А
В
С
Д
А
В
С
Д
6,5
1,6
2,8
2,5
8,5
1,8
2,4
1,8
0,55
0,80
0,35
0,90
0,01
0,05
0,03
0,02
0,10
0,50
0,40
0,20
2,5
1,5
4,0
3,5
5,0
4,0
2,5
2,0
0,20
0,40
0,30
0,25
0,50
0,40
0,25
0,20
0,90
0,50
Для определения показателей качества переходного процесса необходимо
получить график переходной характеристики, подавая на вход исследуемых
систем воздействие вида  t   U  1,0 .
Для определения ошибок слежения необходимо подавать на вход систем
сначала воздействие  t   U , а затем воздействие  t   Vt . Значения U и V взять
из таблицы 1.2. Изменяя тип W  p  и параметры системы, исследования
проводить в той же последовательности.
По пункту 2 задания
Набрать систему радиоавтоматики, рассмотренную в пункте 1 домашнего
задания. Оценить устойчивость системы по виду переходной характеристики
при k  k гр , при k  1,5k гр и при k  0,5k гр .
По пункту 3 задания
Исследование системы производится для случая линейного режима
работы системы. Принять k 0  2,0 c 2 . Изменяя значения T1 от нуля до 5 c ,
получить графики переходных характеристик системы, определить по ним
показатели качества переходных процессов.
Определить ошибки системы от воздействий вида  t   U ,  t   Vt и
 t   At 2 , приняв T1  1c ; U  2,0 ; V  0,1 ; A  0,1 .
Указание к составлению отчёта
Отчёт должен содержать:
1. Результаты расчётов по пунктам домашнего задания.
2. Cтруктурные схемы исследуемых систем с указанием конкретных
видов W0  p  и их параметров.
3. Графики переходных характеристик, показатели качества переходных
процессов, определённые по этим графикам, а также значения величин
ошибок систем в установившихся режимах.
13
4. Выводы по работе.
Контрольные вопросы
4.
Запишите передаточную функцию замкнутой системы для заданного
варианта W0  p  .
Дайте определение устойчивости линейной САУ.
Приведите формулу передаточной функции замкнутой системы
относительно ошибки от задающего воздействия.
Cформулируйте критерий устойчивости Гурвица.
5.
Определить устойчивость системы с W  p  
6.
Какие системы называются астатическими? Чем определяется порядок
астатизма системы? Чему равен порядок астатизма исследуемых
систем?
Как определить показатели качества переходного процесса по графику
переходной характеристики?
Как надо изменить коэффициент передачи разомкнутой системы с
1.
2.
3.
7.
8.
W  p 
k
.
p2
k
, чтобы уменьшить время переходного процесса в два раза?
p
Лабораторная работа № 2
ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РЕЖИМОВ РАБОТЫ
РАДИОТЕХНИЧЕСКОЙ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ ПРИ
СЛУЧАЙНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Целью работы является определение дисперсии переходных процессов в
системе радиоавтоматики в линейном режиме работы при случайных входных
воздействиях.
Краткие теоретические сведения
В общем случае задающее воздействие  t  , флюктуационная
составляющая напряжения на выходе дискриминатора  t  и внутренние
возмущения, действующие в системе радиоавтоматики, являются случайными
процессами. Поэтому ошибка слежения xt  и выходная величина yt  также
являются случайными процессами. Закон их распределения в линейных
системах обычно можно считать нормальным (гауссовским).
Точность системы относительно случайных составляющих сигнала и
помехи оценивается дисперсией процесса:
14
 y2  R y    0 ,
где
 y2 - дисперсия процесса; R у   - автокорреляционная функция.
2
2
2
2
 y2   yx
  yп
  yxп
  yпп
(2.1)
Первое слагаемое в (2.1) определяет среднюю квадратическую ошибку
воспроизведения сигнала xt  .Второе слагаемое в (2.1) характеризует ошибку
вследствие действия помехи nt  . Последние два слагаемых в (2.1) –
составляющие ошибки из-за корреляции сигнала с помехой и помехи с
сигналом.
Дисперсия процесса может быть вычислена через её спектральную
плотность:
 y2 
1 
2
S x wW  jw ,

2 
(2.2)
где S x w - спектральная плотность сигнала.
Интеграл (2.2) удобно представить в виде:
Gn  jw
1 
1 
2




S
w
W
jw

w  I n ,
x


2 
2  H n  jwH n  jw
где
Gn  jw  b0  jw2 n2  b1  jw2n4  ...  bn1
-
полином,
содержащий
чётные
степени w ,
H n  jw  a0  jwn  a1  jwn1  ...  a n - полином, корни которого лежат в
верхней полуплоскости комплексной переменной w ,
n - cтепень полинома H n  jw .
b0
.
2a 0 a1
b a b /a
Если n  2 , то I 2  0 0 1 2 .
2a 0 a1
a b a b a a b /a
Если n  3 , то I 3  2 0 0 1 0 1 2 3 .
2a 0 a 0 a3  a1a 2 
Если n  1 , то I 1 
При исследованиях считают, что спектр флюктуационного процесса  t 
на выходе дискриминатора равномерный, т.е. S w  S 0 .
Cтуденты допускаются к выполнению лабораторной работы после ответа
на вопросы домашнего задания (см. правила выполнения лабораторных работ,
стр.3).
Домашнее задание
15
1.
Для системы с передаточной функцией звена W1  p   k  W  p  , где
W  p 
k0
, рассчитать зависимость дисперсии процесса на выходе
p
системы  y в установившемся режиме как функцию
коэффициента k  . Коэффициент k  берётся из соотношения
W1  p   k  W  p  . При расчётах принять k 0  2c 1 . Коэффициент
k
y
принять в пределах от 0 до 5. Построить график
S  0
2.
  , где S 0  0,2В / Гц - спектральная плотность
 f k

2
белого шума  t  на выходе дискриминатора следящей системы.
Для следящей системы с операторным коэффициентом передачи
W  p  , тип и параметры которого приведены в табл. 2.1.,
рассчитать и построить зависимость
3.
y
S  0
 f T1  . При расчётах
величину T1 изменять в пределах от 0 до 1 с.
Изучить методику проведения эксперимента
Таблица 2.1
№ варианта
Тип W  p 
k
k0
T2 , c
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
С
E
C
E
C
E
C
E
C
E
4,0
4,5
3,0
3,5
2,5
2,0
2,0
2,5
3,5
3,0
10
10
20
20
10
40
40
10
20
20
1,0
0,8
0,6
1,2
1,0
Задание
1.
Набрать линейную систему, рассмотренную в пункте 1
домашнего задания и определить при отсутствии шума на выходе
дискриминатора время установления переходного процесса в
системе.
16
2.
Для системы, рассмотренной в пункте 1 домашнего задания,
оценить экспериментально величину
y
S  0 
.
3.
Cнять зависимость дисперсии процесса на выходе системы от
коэффициента k  для рассмотренной выше системы.
4.
Cнять зависимость
y
S  0
 f T1  для системы, рассмотренной в
пункте 1 домашнего задания.
Методика проведения эксперимента
По пункту 1 задания
Набрать исследуемую линейную систему. При отсутствии сигнала  t  и
 t   1t  получить график переходной характеристики системы, по которому
определить время установления переходного процесса в системе. При этом
k   1,0 , шаг дискретизации по времени T =0,05 c.
По пункту 2 задания
 
Cнять зависимость  y  f k  , изменяя значения k  от 0 до 5с с шагом
y
k   1 . Рассчитать значения
таблицу. Построить график
S  0
y
S  0
  . Результаты расчётов свести в
 f k
 
 f k .
По пункту 3 задания
Набрать линейную систему, рассмотренную в пункте 1 домашнего
задания, выбранную согласно номеру варианта.
Получить график переходного процесса и, задав S 0  0,2 B 2 / Гц , снять
зависимости  y  f T1  и
y
S  0
 f T1  , изменяя T1 в пределах от 0 до 1,0 c c
шагом T1 =0,2 c. Данные свести в таблицу, построить график
Указания к составлению отчёта
y
S  0
 f T1  .
17
Отчёт должен содержать:
1.
Cтруктурные схемы исследуемых систем с указанием
конкретных параметров элементов системы.
2.
Результаты расчётов по домашнему заданию, сведённые в
таблицы и графики зависимостей
3.
4.
y
S  0
 
 f k ;
y
S  0
 f T1  .
Экспериментальные данные, сведённые в таблицы и графики,
построенные по этим данным.
Выводы по работе.
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
Чем определяется точность системы относительно случайных
составляющих сигнала и помехи?
Что определяет каждое из слагаемых в формуле для дисперсии
процесса?
Что из себя представляет суммарная ошибка системы
радиоавтоматики?
Почему динамическое воздействие  t  и шумовое воздействие
 t  на структурной схеме приложены в различных точках
системы?
Каким образом можно уменьшить величину флюктуационной
ошибки в системе с W  p  
6.
k0
?
p
Как изменится величина флюктуационной ошибки в следящей
k0
, если в цепь обратной связи включить
p
1
фильтр с операторным коэффициентом передачи W  p  
?
Tp  1
k
На следящую систему с W  p   0 одновременно действуют
p
воздействия  t   Vt и  t  . Привести предполагаемую
системе с W  p  
7.
зависимость
x
8.
x 2уст   x2
установившейся
 f k 0  .
ошибки
в
системе
Поясните как определяется величина  y2 с использованием
стандартных интегралов.
18
Лабораторная работа № 3
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ РЕЖИМОВ РАБОТЫ
РАДИОТЕХНИЧЕСКОЙ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ
Целью работы является нахождение вероятности срыва слежения в
нелинейной радиотехнической следящей системе при детерминированных и
случайных входных воздействиях.
Краткие теоретические сведения
Наличие в следящей системе нелинейного звена приводит к тому, что
возникают явления, несвойственные линейным режимам работы системы, а
именно:
наличия срыва и захвата слежения;
зависимость быстродействия системы и вида переходного процесса от
уровня входного сигнала и величины начальных условий в системе;
возникновение в системе периодических колебаний.
Работа в нелинейном режиме может быть вызвана выходом ошибки
слежения за пределы линейного участка характеристики дискриминатора,
наличием в системе ограничителей и других нелинейных элементов. Обычно
стремятся обеспечить работу следящей системы на линейном участке
характеристики дискриминатора. Однако при большом уровне динамических
воздействий и помех выполнить это требование не всегда удаётся.
Значительные динамические возмущения в системе появляются, в частности, в
переходном режиме, возникающем после включения системы..
Для анализа нелинейных следящих систем, работающих в условиях
действия помех и случайных возмущений, наиболее часто применяются
следующие методы:
1) метод фазовой плоскости;
2) метод гармонической линеаризации;
3) метод статистической линеаризации.
Рассмотрим метод фазовой плоскости. В ряде случаев поведение
следящей системы описывается нелинейным дифференциальным уравнением 2го порядка:
2x
 x 
(3.1)
   x, 
2
t
 t 
Обозначив x  x1 , уравнение (3.1) можно заменить системой уравнений 1-
го порядка:
19
 x1
 t  x2 ,

 x2   x , x 
1 2
 t
(3.2)
Cостояние системы, описываемой уравнениями (3.2), определяется в
каждый момент времени величиной координаты x  x1 и скоростью её
изменения. При изменении состояния системы изображающая точка
перемещается на фазовой плоскости по кривым, которые называют фазовыми
траекториями. Cовокупность фазовых траекторий, построенных для различных
начальных условий, определяет все возможные процессы в системе и служит
наглядным изображением её динамических свойств.
Для получения уравнения фазовых траекторий исключим из (3.2) время,
поделив второе уравнение на первое:
x 2
   x1 , x 2  / x 2
x1
Интегрирование нелинейного дифференциального
позволяет найти уравнение фазовой траектории:
(3.3)
уравнения
(3.3)
x2  Фx1  .
(3.4)
Метод гармонической линеаризации базируется на замене нелинейного
элемента линейным звеном, параметры которого определяются при
синусоидальном входном сигнале из условия равенства амплитуд первых
гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного
звена. Данный метод может быть использован в том случае, когда линейная
часть системы является низкочастотным фильтром, т.е. отфильтровывает все
возникающие на выходе нелинейного звена гармонические составляющие,
кроме первой гармоники.
Пусть нелинейное звено является статическим. На вход звена действует
сигнал:
x  a sin  ,
  wt .
На выходе этого звена действует сигнал:
y  F a sin  .
Разложив его в ряд Фурье, получим:
y  qa a sin   q / a a cos  y ВГ ,
(3.5)
где y ВГ - cлагаемое, учитывающее вторые и более высокие гармонические
составляющие.
Коэффициенты ряда Фурье имеют вид:
1 2
qa  
F a sin  sin  ,
a 0
1 2
q / a  
F a sin   cos
a 0
(3.6)
20
Так как a cos 
xs
, где s - оператор дифференцирования, то (3.5) можно
w
записать в виде:

q / a  
(3.7)
y  q  a  
s x .
w


Это выражение называют уравнением гармонической линеаризации, а
коэффициенты qa  и q / a  - коэффициентами гармонической линеаризации.
Представляется возможным сделать следующий вывод:
При постоянных значениях амплитуды входного сигнала коэффициенты
гармонической линеаризации являются постоянными. Различным амплитудам
входного сигнала соответствуют различные коэффициенты гармонической
линеаризации. В обычной линеаризации коэффициенты не зависят от
амплитуды входного сигнала, а определяются только видом характеристики
нелинейного звена.
Метод
статистической
линеаризации
применим
для
систем
произвольного порядка. Основан на замене нелинейного элемента линейным
звеном, коэффициенты передачи которого по математическому ожиданию и
случайной составляющей сигнала определяются из условия статистической
эквивалентности нелинейного звена линейному звену.
y  F x  - нелинейная зависимость,
z  kx - линейная характеристика, имеющая те же математическое
ожидание и дисперсию, которые имеются на выходе нелинейного звена с
характеристикой y  F x  .
0
0
z  kx  k 0 m x  k11 x , где x - центрированная случайная функция.
Выберем коэффициенты k 0 и k11 такими, чтобы
2 2
 x   y2 , где m x , m y , m z - математические ожидания
m z  k 0 m x  m y ;  z2  k11
сигналов;  x2 ,  y2 ,  z2 - дисперсии сигналов.
Из предыдущих выражений следует, что статистическая равноценность
имеет место, если
k0 
my
mx
, k11  
y
x
, причём знак k11 должен совпадать со знаком
производной нелинейной характеристики F x .
k 0 , k11 - коэффициенты статистической линеаризации,

m y   F x wx x
-
математическое
ожидание
сигнала
на
выходе

нелинейного звена,
 y2 

 F x wx x - дисперсия сигнала на выходе нелинейного звена,
2

21
wx  - плотность вероятности распределения случайного сигнала на входе
нелинейного звена.
Целесообразно статистическую линеаризацию выполнить из условия
наилучшего приближения корреляционной функции сигнала на выходе
нелинейного звена к корреляционной функции на выходе линейного звена:
 
0 
2 2
M z  y 2  k 02 m x2  k12
 x  2k 0 m x m y  2k12 M  x y   M y 2  min .
 
Найдём производные по k 0 и k12 и приравняем их к нулю. Получим:
2k 0 m x2  2m x m y  0,
0 
2k12 x2  2M  x y   0.
 
Отсюда следует, что k 0 
1 
mx
; k12  2  x  m x F x wx x.
my
 x 
Представляется возможным сделать вывод, что статистическая
линеаризация из условия минимума дисперсии ошибки даёт то же значение
коэффициента k 0 , которое было найдено при первом способе линеаризации;
коэффициент линеаризации относительно случайной составляющей k12 имеет
другое значение. Рекомендуется брать их среднее арифметическое значение:
k1 
k11  k12
. Отличие статистической линеаризации от обычной заключается в
2
зависимости коэффициентов статистической линеаризации от математического
ожидания и дисперсии сигнала на входе нелинейного звена.
Важным показателем качества работы нелинейной следящей системы
является вероятность срыва слежения. При выходе ошибки за пределы
апертуры дискриминатора на его выходе исчезает напряжение, зависящее от
величины ошибки, и происходит размыкание системы. Через некоторое время
ошибка слежения под действием флюктуаций может вновь оказаться в
пределах апертуры дискриминатора.
Однако
такое
возвращение
носит
случайный
характер,
а
продолжительность выхода может быть значительной. Поэтому выход ошибки
за пределы апертуры дискриминатора можно рассматривать как срыв слежения.
Вероятность Рср срыва слежения, понимаемого как первый выход ошибки
слежения за пределы апертуры дискриминатора, описывается выражением:
Рср t   1   W x, t dx ,
(3.8)
Г
где W x, t  - плотность вероятности компонент марковского процесса,
являющаяся решением уравнения Фоккера-Планка при наличии поглощающих
границ, расположенных на краях апертуры дискриминатора, т.е. в точках
x1  x Г и x1   x Г ; Г – область изменения переменных xi t  , удовлетворяющих
условию  x Г  xi  x Г . Значение интеграла в (3.8) равно вероятности того, что
22
за время t ошибка слежения ни разу не достигнет границ апертуры
дискриминатора. Приведём формулу для расчёта вероятности срыва слежения.
Предположим, что у нас имеется нелинейная следящая система,
описываемая уравнением:
xt   W  p F x    t , x    t   0.
Передаточная функция звена имеет вид:
W  p 
k0
.
p 1  pTф


Входное воздействие на вход системы задаётся функцией:  t   Ut .
Предположив, что спектральная плотность шума на выходе
дискриминатора не зависит от ошибки слежения, получим приближённую
формулу для расчёта вероятности срыва слежения:
  1 x э21 

x 2 
  exp  1 э 2  ,
Pcр  f cк t exp 
2 
 2 2 

x 

  2  x 
(3.9)
где
x э1 
x
2 1
F x    x ;
S Д x0
x э2 
2
SД
 xГ
 F x    x .
(3.10)
x0
Значения x0 и x1 находятся из условия: F x    , где  
U
;  x2 , f cк k0
дисперсия и среднеквадратическая частота ошибки слежения в линейной
следящей системе, которая образуется из исходной нелинейной при F x   S Д x .
Значение x Г находится из условия: F x   0 .
Величины  x2 и f cк в рассматриваемой системе равны:
 x2 
где
S 0k 0
4S Д
, f cк 
1
2
k0 S Д
Tф
,
S 0 - спектральная плотность белого шума,
S Д - крутизна дискриминационной характеристики.
Cтуденты допускаются к выполнению лабораторной работы после ответа
на вопросы домашнего задания (см. правила выполнения лабораторных работ,
стр.3).
Домашнее задание
1. Найти вероятность срыва слежения в системе с передаточной функцией
линейной части W  p  
k0
при входном воздействии  t   Ut . При расчётах
pTp  1
принять: k 0  2 ; S Д  2 ; U  1 , T  0,6 c , S 0  0,2 В 2 / Гц .
23
2. Рассчитать нормированное значение
системе
с
передаточной
функцией
x
в нелинейной следящей
S 0
линейного
звена
W  p 
k0
p
и
дискриминатором с крутизной дискриминационной характеристики S Д  5 .
Расчёт произвести для двух значений k 0  2 c 1 ; k 0  8 c 1
по формуле
2
2
 x  S 0k 0 / 4S Д при S 0  0,2 В / Гц .
3. Изучить методику проведения эксперимента.
№ варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Тип W  p 
А
В
А
В
А
В
А
В
А
В
Таблица 3.1.
k0
2,0
2,0
8,0
6,0
2,0
10,0
4,0
2,0
2,5
2,0
T, c
1,0
0,5
0,25
0,8
0,75
Задание
1.Ответить на вопрос 1 домашнего задания.
2. Набрать нелинейную систему cогласно варианту и определить
экспериментально значения  x2 при заданных значениях коэффициента k 0 .
3. Набрать нелинейную систему из пункта 2 домашнего задания.
Определить вероятность срыва слежения от уровня шума при динамическом
воздействии  t   Ut .
Методика проведения эксперимента
По пункту 1 задания
Набрать нелинейную систему с дискриминатором, имеющем крутизну
дискриминационной характеристики S Д  2 и передаточную функцию
линейного звена W  p  
k0
. Найти вероятность срыва слежения в системе
pTp  1
24
при входном воздействии  t   Ut . Найти вероятность срыва слежения в
системе по формулам (3.9) и (3.10). При расчётах принять: k 0  2 ; U  1 ,
T  0,6 c , S 0  0,2 В 2 / Гц .
По пункту 2 задания
Набрать нелинейную систему с дискриминатором, имеющем крутизну
дискриминационной характеристики S Д  2 и передаточную функцию
линейного звена W  p  
k0
. Определить значение  x2 при значениях k 0  2c 1 и
p
k 0  8c 1 . Величина S 0  0,2 В 2 / Гц .
По пункту 3 задания
Набрать нелинейную систему с дискриминатором, имеющем крутизну
дискриминационной характеристики S Д  2 и передаточную функцию
k0
. Приняв значения k 0  10c 1 , T  0,5 c , U  2 cнять
p
зависимость вероятности срыва слежения от уровня шума Pcр  f S 0 при
линейного звена W  p  
детерминированном входном воздействии  t   Ut . Величину S 0 задавать,
начиная со значения S 0  0,1 В 2 / Гц .
Указания к составлению отчёта
Отчёт должен содержать:
1. Результаты расчётов по домашнему заданию.
2. Cтруктурные схемы исследуемых следящих систем с указанием
конкретных F x  , W  p  и их параметров.
3. Значения  x2  f k 0  .
4. Зависимость Pcр  f S 0 .
5. Выводы по работе.
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
В чём заключается метод фазовой плоскости?
В чём заключается метод гармонической линеаризации?
В чём заключается метод статистической линеаризации?
Дайте определение полосы удержания и захвата.
25
5.
Как изменится вероятность срыва слежения, если помимо шума
на систему будут действовать и динамические воздействия  t  ?
Лабораторная работа № 4
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ФАЗОВОЙ АВТОПОДСТРОЙКИ
Целью работы является изучение принципа действия и получение
математической модели системы фазовой автоподстройки (ФАП) при
детерминированных входных воздействиях.
Домашнее задание
1.Изучить назначение, принцип действия, особенности построения и
описания систем ФАП.
2. Cоставить структурно- динамическую схему исследуемой системы
ФАП, записать передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы.
3. Изучить методику выполнения работы.
Краткие теоретические сведения
Системы
фазовой
автоподстройки
частоты
(cистемы
ФАП)
применяются в радиоприёмных устройствах в качестве узкополосных следящих
фильтров и демодуляторов сигналов с частотной и фазовой модуляцией.
u вх t 
ФД
ПГ
ФНЧ
Рис. 3. Функциональная схема системы ФАП
26
Колебания сигнала и подстраиваемого генератора (ПГ) поступают на
устройство, называемое фазовым дискриминатором или фазовым детектором
(ФД). При рассогласовании указанных колебаний по фазе на выходе фазового
детектора появляется напряжение, зависящее от величины и знака этого
рассогласования. Пройдя через фильтр нижних частот выходное напряжение
детектора изменяет частоту колебаний подстраиваемого генератора. Так как
изменение фазы колебания равно интегралу от его мгновенной частоты, то при
изменении частоты колебаний подстраиваемого генератора меняется и их фаза.
Cущественное различие фильтров, построенных на базе систем ЧАП и
ФАП состоит в том, что при использовании системы ЧАП информация о
начальной фазе фильтруемого сигнала теряется. В системе ФАП напряжение
подстраиваемого генератора с точностью до ошибки слежения воспроизводит
не только частоту, но и фазу временного сигнала.
На вход фазового детектора поступает напряжение uвх.  t   uc.  t   uш.  t  ,
представляющее собой смесь сигнала и шума.
uc  t   U c sin c  t  ,
(4.1)
где
t
c  t   cо   wc  t  t - фаза сигнала,
0
cо - начальная фаза,
wc  t  - частота сигнала.
Напряжение подстраиваемого генератора:
u Г  t   U о сos Г  t  ,
где
(4.2)
 Г  t  - фаза колебаний подстраиваемого генератора.
На выходе фазового детектора формируется напряжение, зависящее от
разности фаз колебаний сигнала и подстраиваемого генератора:
  t   c  t    Г  t 
(4.3)
Если не учитывать инерционность фазового детектора, то его выходное
напряжение можно представить в виде:
(4.4)
u Д  t   M u Д  t      t   F      t  ,
где
F   - математическое ожидание выходного напряжения, зависящее от
разности фаз  ;
  t  - флюктуационное напряжение, не зависящее от  .
F   - дискриминационная характеристика фазового детектора,
вычисляемая по формуле:
F    
где
U cU 0
sin  ,
2
(4.5)
27
 - коэффициент пропорциональности.
Управляющее напряжение uф  t  , снимаемое с фильтра нижних частот,
связано с напряжением u Д  t  линейным дифференциальным оператором K ф  s  :
uф  t   K ф  s  u Д  t 
(4.6)
Так как в фазовом детекторе напряжения сигнала и подстраиваемого
генератора сравниваются по фазе, необходимо от частоты wГ подстраиваемого
генератора перейти к его фазе  Г :
t
 Г   Г 0   wГ  t t ,
(4.7)
0
где
 Г 0 - начальная фаза подстраиваемого генератора.
 t 

с
F  
-
Kф s 
Sр
Г
wГО  wГС
1
s
 ГО
Рис 4. Cтруктурная схема системы ФАП
Блок
1
s
отображает
в
этой
схеме
операцию
интегрирования,
соответствующую (4.7).
Cистема ФАП с опорным генератором применяется для стабилизации
промежуточной частоты сигнала в радиоприёмных устройствах
28
u вх t 
CМ
ПГ
УПЧ
ФД
ОГ
ФВ-90
ФНЧ
АСД
uвых t 
Рис. 5. Cистема ФАП с опорным генератором.
В этой системе входной сигнал преобразуется в смесителе (См) на
промежуточную частоту, проходит через усилитель промежуточной частоты
(УПЧ) и сравнивается по фазе с напряжением опорного генератора (ОГ) в
фазовом детекторе (ФД).
При наличии фазового рассогласования на выходе фазового детектора
появляется напряжение, изменяющее частоту и фазу колебаний
подстраиваемого генератора и, следовательно, частоту и фазу напряжения
промежуточной частоты на входе детектора так, что исходное рассогласование
уменьшается. В результате работы системы автоподстройки промежуточная
частота сигнала поддерживается равной частоте опорного генератора, величина
которой совпадает с номинальным значением промежуточной частоты.
В рассматриваемой системе ФАП достигается не только стабилизация
промежуточной частоты сигнала, но и "привязка" фазы колебаний сигнала на
промежуточной частоте к фазе колебаний опорного генератора. Для этой
операции необходимы элементы: ФВ-90, вносящий фазовый сдвиг на 900 и
АСД.
Фаза пр.  t  сигнала на выходе смесителя:
пр.  t   c  t    Г  t  ,
где
c  t  ,  Г  t  - фазы колебаний сигнала и подстраиваемого генератора.
Разность фаз  колебаний, действующих на фазовый детектор, равна
  t   пр.  t   ОГ  t  ,
(4.8)
где
ОГ  t  - фаза колебаний опорного генератора.
На выходе фазового детектора формируется напряжение, зависящее от
разности фаз колебаний сигнала и подстраиваемого генератора:
  t   c  t    Г  t  ,
u Д  t   F      t  - выходное напряжение фазового детектора,
U cU 0
sin  ,
2
wГ  wГС  S рuф - зависимость частоты подстраиваемого генератора от
F    
управляющего напряжения, поступающего с выхода фильтра нижних частот
29
системы, где wГС - значение собственной частоты генератора при отсутствии
управляющего напряжения, S р - крутизна регулировочной характеристики.
 пр
с
 ОГ 
-
-
Г
 ГО
F  
K s 
1
s
Sp
wГС
Рис.6. Cтруктурная схема системы ФАП с опорным генератором
Задание
1. Ответить на вопросы домашнего задания.
2. Определить показатели качества переходного процесса и величину
установившейся ошибки в следящей системе, вид Wo ( p) которой выбираются из
табл. 4.1. и 4.2. согласно варианту задания.
3. Определить устойчивость системы, рассмотренной в пункте 2
домашнего задания.
Методика проведения эксперимента
По пункту 2 задания
Таблица 4.1.
Передаточная функция фазового детектора
№ варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
Передаточная функция
WФД  p   3
WФД  p  
2
1 p
WФД  p   2
WФД  p  
3
1 2p
WФД  p   5
WФД  p  
1
1 3p
WФД  p   1,5
WФД  p  
4
1 p
30
9
10
WФД  p   3,5
WФД  p  
4
1 5p
Таблица 4.2.
Передаточная функция фильтра нижних частот
№ варианта
Передаточная функция
31  2 p 
1
W  p 
фнч
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 p
Wфнч  p   2
41  3 p 
1 5p
Wфнч  p   3
Wфнч  p  
51  p 
1 3p
Wфнч  p   0,5
Wфнч  p  
71  4 p 
1 2p
Wфнч  p   5
Wфнч  p  
1 6 p
1 p
Wфнч  p   1,5
Wфнч  p  
Для определения показателей качества переходного процесса необходимо
получить график переходной характеристики, подавая на вход исследуемых
систем воздействие вида  t   U  1,0 .
Для определения ошибок слежения необходимо подавать на вход систем
сначала воздействие  t   U , а затем воздействие  t   Vt . Значения U и V взять
из таблицы 4.3.
Таблица 4.3.
№ варианта
U
V
1
1,2
0,5
2
3,5
0,4
3
2,5
0,7
4
1,8
0,25
5
2,3
0,74
6
3,1
0,95
7
2,9
1,1
31
8
9
10
1,8
2,8
1,6
0,8
0,65
0,98
По пункту 3 задания
Набрать следящую систему, рассмотренную в пункте 2 домашнего
задания. Оценить устойчивость системы по виду переходной характеристики,
используя критерий Гурвица.
Указание к составлению отчёта
Отчёт должен содержать:
1. Cтруктурную схему исследуемой системы с указанием конкретного
вида W0  p  и её параметров.
2. График переходной характеристики, показатели качества переходного
процесса, определённые по этому графику, а также значения величины
ошибки системы в установившемся режиме.
3. Вывод об устойчивости системы .
4. Выводы по работе.
Контрольные вопросы
1. Для чего применяются системы фазовой автоподстройки?
2. В чём назначение фазового детектора?
3. В чём состоит различие фильтров построенных на базе ЧАП и ФАП?
4. Для чего применяется система ФАП с опорным генератором?
5. Что отображает блок
1
на структурной схеме системы?
s
6. Из каких составляющих состоит напряжение на выходе фазового
детектора?
7. Поясните, почему необходим постоянный фазовый сдвиг на 900 между
входным сигналом и сигналом ПГ для обеспечения синхронной
работы системы ФАП.
32
СОДЕРЖАНИЕ
Правила выполнения лабораторных работ…………………………………….3
Рекомендуемая литература……………………………………………………...3
Общие методические указания к выполнению лабораторных
работ………………………………………………………………………………3
Лабораторная работа №1. Исследование линейных режимов работы
радиотехнической следящей системы при детерминированных
входных воздействиях……………………………………………………………6
Лабораторная работа №2. Исследование линейных режимов
работы радиотехнической следящей системы при случайных
входных воздействиях……………………………………………………………13
Лабораторная работа №3. Исследование нелинейных режимов
работы радиотехнической следящей системы………………………………….18
Лабораторная работа №4. Исследование системы фазовой
автоподстройки……………………………………………………………………25