Контрольная работа по математике: матрицы и системы уравнений

Контрольная работа №2
по математике
Вариант №1
Задание 1.
  1 0
 2  1
 1 1 2






3 1
;
Дано: A   2 1 ;
B   3 0 ;
C  
D   2  1 2
 5 2
 4 3
1 6 
 4 1 4






Найти, если можно: 1) 5  B; 2)3  A  2  B, 3)3  B  4  C, 4)C  D, 5) A  C ,
7) для матрицы D минор M 11 ; алгебраическое дополнение A11 ,
8) определитель матрицы A ,
9) определитель матрицы D ,
10) определитель матрицы C
Решение:
 2  1 10  5 

 

1) 5  B  5   3 0   15 0 
 1 6   5 30 

 

6) B T ,
  1 0
 2  1   3 0   4  2   1  2 



 
 
 

2) 3  A  2  B  3   2 1   2   3 0    6 3    6 0   12 3 
 1 3
 1 6   12 9   2 12  14 21 



 
 
 

 2  1
 6  3


  12 4 
3 1 
   9 0   

3) 3  B  4  C  3   3 0   4  
5
2
20
8




1 6 
 3 18 




матрицы разного размера нельзя складывать и вычитать.
 1 1 2

3 1 
   2  1 2 
4) C  D  
 5 2  4 1 4


Невозможно выполнить операцию умножения матриц, так как количество столбцов в
матрице C не равно количеству строк в матрице D .
  1 0
  3  0  1  0    3  1

 3 1 
 

   6  5
5) A  C   2 1   
2  2    11 4 
 4 3   5 2  12  15 4  6   27 10 



 

 2  1


 2 3 1
T

6) B   3 0   

1
0
6


1 6 


1 2
7) M 11 
 4  2  6
1 4
1 2
2 1 2
A11   1 

 4  2  6
1 4
1 4
8) Определитель матрицы A не существует, так как матрица не является квадратной.
T
1
1
2
9) det D  2  1 2  4  4  8  8  8  2  6
4
10) det C 
1
3 1
5 2
4
 65 1
Задание 2.
Решить систему уравнений тремя способами:
1) методом Гаусса;
2) по формулам Крамера;
3) матричным методом.
 1 1 2
 x1 
 1 


 
 
D  X  Z,
D   2  1 2 ,
X   x 2 ,
Z    4
 4 1 4
x 
 2 


 3
 
Решение:
 x1  x 2  2 x3  1
 x1  x 2  2 x3  1  x1  x 2  2 x3  1  x1  x 2  2 x3  1




1) 2 x1  x 2  2 x3  4   3x 2  2 x3  6   3x 2  2 x3  6   3x 2  2 x3  6 
4 x  x  4 x  2  3x  4 x  2  3x  4 x  2   2 x  4
2
3
2
3
2
3
3



 1
10 5

x1  5 


3 3
 x1  x 2  2 x3  1  x1  x 2  1  2 x3  1  4  5 
10



x2 
 3 x 2  2 x3  6   3x 2  6  2 x3  6  4  10  
3



x3  2
x3  2
x


2


3


 5 10

;  2  - решение
 ;
3
3

Проверка
 5 10
 3  3  4  5  4  1 (верно)
 10 10
  4  4
(верно)

3 3

 20  10  8  10  8  2 (верно)
 3
3
 x1  x 2  2 x3  1

2) 2 x1  x 2  2 x3  4
 4x  x  4x  2
2
3
 1
x1 
x1
y
z
, y1  1 , z1  1



1 1 2
  2  1 2  6 (см. задание1)
4
1
4
1
1
2
x1   4  1 2  4  4  8  4  2  16  10
2
1 4
1
1
2
x 2  2  4 2  16  8  8  32  8  4  20
4 2 4
1
1
1
x3  2  1  4  2  2  16  4  4  4  12
4 1
2
10 5
20 10
 12
 , x2 
 , x3 
2
6 3
6
3
6
 5 
 
 3 
 10 
 3 
  2
 
 
 1 1 2   x1   1 

    
3)  2  1 2    x 2     4 
 4 1 4  x   2 

  3  
Dx  z
D 1  D  x  D 1  z
x  D 1  z
 D  6  0 D 1 -существует
1 2
2 2
2 1
A11 
 4  2  6, A12  
 (8  8)  0, A13 
 2  4  6,
1 4
4 4
4 1
1 2
1 2
1 1
A21  
 (4  2)  2, A22 
 4  8  4, A23  
 (1  4)  3,
1 4
4 4
4 1
1 2
1 2
1 1
A31 
 2  2  4, A32  
 (2  4)  2, A33 
 1  2  3.
1 2
2 2
2 1
1 2 

1 

3 3 
 6  2 4  

1 
2 1 
D 1    0  4 2    0 

6 
3 3 
3  3 
1
1
 6
 
1
2
2

1 2 
4
4  5 


1 

 1
  
3 3   1  
3
3  3 

2 1    
8
2   10 
x 0 
   4  0

- решение системы уравнения



3 3  
3
3  3 

1
1   2   1  2  1   2 
 
1

  
2
2


  
x1 
Задание 3.
Даны координаты вершин треугольника A(8;2),
B(4,2), C (10,3) .
Найти:
1) уравнение стороны AB ;
2) уравнение медианы AE ;
3) уравнение и длину высоты CD ;
4) уравнение прямой CK , параллельной прямой AB .
Решение:
x8
y2
С
1) AB :

E
-3
48 22
В
-2
x8 y 2

-10 -8
-4
D
4
4
-2
x 8  y  2
А
y  x  6 - уравнение стороны АВ
( x  y  6  0)
2) АЕ – медиана (СЕ=ЕВ)
23 5
 4  10
yE 
 , xE 
 7
2
2
2
x8
y2
AE :

5
78
2
2
x8 y 2 7

;   x  8  y  2
7
2
1
2
7
7 8
x
 y2
2
2
7 x  56  2 y  4
7 x  2 y  52  0 - уравнение медианы АЕ
3) 1   2  k1  k2  1
AB : y  x  6  k1  1
k2  1  1, k2  1
CD : y   x  b т. C  CD : 3   10   b, 3  10  b, b  7
CD : y   x  7 - уравнение высоты CD
CD 
 10  1  3  (1)  6
1  (1)
2
2

 10  3  6
2
4)  1  2  k1  k2
AB : y  x  6
k1  1  k2  1
CK : y  x  b, т. C  CK
3  10  b
b  13
CK : y  x  13 или x  y  13  0

7
2

7
7 2

2
2
Задание 4.
Даны координаты точек A1 (5,2,3),
A2 (2,2,1),
A3 (4,1,6),
A4 (1,1,3) .
Составить: а) уравнение плоскости ( ) , проходящей через точки A1 , A2 , A3
б) каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A4 , перпендикулярно
плоскости ( ) .
Решение:
x  x1 y  y1 z  z1
а) x2  x1 y2  y1 z2  z1  0 - уравнение плоскости через 3 точки
x3  x1
y3  y1
z3  z1
x5
y 2 z 3
x5
2  5 2  2 1  3  0;  3
4  5 1 2 6  3
1
y 2 z 3
0
1
 2  0;
3
б) т. A4  ,   

a  2;11;3 - направляющий вектор прямой 
x 1 y 1 z  3
- каноническое уравнение искомой прямой


2
 11
3
Задание 5.
Найти точку M ' , симметричную точке M (1,2,3) относительно прямой l :
x  0,5 y  1,5 z  1,5
.


0
1
1
Решение:
т. O  , т. O  MM 
M

 M xM  ; yM  ; zM  , MM   .
a


О
a  0;  1; 1 - направляющий вектор прямой a  

M1
n  0;  1; 1 нормальный вектор прямой MM 

n  MM 
MM  : 0  x  y  z  D  0
 yzD0
M  MM 
 23 D  0
D 1  0
D  1
MM  :  y  z  1  0 или y  z  1  0
 x  0.5

 :  y  1.5  t - параметрическое уравнение прямой 
 z  1.5  t

Подставим в уравнение прямой MM  и найдем параметр t для точки
пересечения прямых  и MM  .
 1.5  t  1.5  t  1  0
 3  2t  1  0
 2t  2  0
2t  2
t  1
1 1
1
т. O0.5;  0.5; 0.5 или т. O ; 
.
2 2
2
x  xM 
y  yM 
z  zM 
x0  M
; y0  M
; z0  M
;
2
2
2
(т.к. MO  M 0 )
1 1  xM 

 1  1  xM   xM   0
2
2
1 1  yM 
 
 1  2  yM   yM   3
2
2
1 3  zM 

 1  3  zM   zM   2
2
2
т. M 0;  3;  2.
Ответ: M 0;  3;  2.