Уравнения и
системы уравнений
9 класс
Обобщающий урок
Учитель: Чуракова Н. А.
Ушаковская средняя школа им. Н. С. Котлова
Какие уравнения
называются
квадратными?
Квадратным уравнением называется
уравнение вида a x2 + b x + c = 0
где х – переменная,
a, b и c – некоторые числа, причём а ≠ 0.
a x2 + b x + c = 0
Первый
коэффициент
Второй
коэффициент
Свободный
член
Является ли квадратным
каждое из следующих
уравнений:
а) 5х2 +4х-6 = 0;
б) 6 х2 -3х-9 = 0;
в) х3+х2-8 = 0;
г) 3х+х2 = 0;
д) 2х- 6 +3 = 0.
Какие виды
квадратных уравнений
вам известны?
Квадратные уравнения.
c = 0;
a x2 + b x = 0
неполное
полное
а х2 + в х + с = 0
приведённое
x2 + p x + q = 0
b = 0; c = 0;
a x2 = 0
b = 0;
a x2 + c = 0
Заполните таблицу, распределив
уравнения по видам.
Уравнение
7х2 +9х+2=0
6x2+x=0
ax2 –1=0
y2 –3у–4=0
Полное
Неполное
Приведен
ное
Может ли уравнение вида
ах2+с=0 не иметь
действительных корней?
Решите уравнения устно:
2
а) -2х –18=0;
2
б) 5х +20=0;
в) 5х2–80=0;
г) -х2+9=0.
Какое выражение называют
дискриминантом?
в D
а
в D
2а
в 4ас
2
в 4ас
2
в D
2а
«ДИСКРИМИНАНТ» - РАЗЛИЧИТЕЛЬ.
D = в2 - 4 а с
D>0
Уравнение имеет
два корня.
D=0
Уравнение имеет
один корень
D<0
Уравнение не имеет
корней.
в D
x1, 2
2a
в
x1, 2
2a
Выберите формулы для
нахождения корней
квадратного уравнения.
в D
2а
(k±√(k2 –ac))/a
где k=b/a
в 4ас
2
в 4ас
2
в D
2а
Решите уравнения:
2
а) х -7х-18=0;
2
2
2
б) (х -10) - 3(х -10)+4=0;
4
2
в) х -5х -36=0.
Методы решения уравнений, сводящихся к
квадратным.
af2(x) + bf(x) + c = 0.
Метод введения
новой переменной:
1) Замена: f(x) = t.
2) Решаем уравнение:
at2 + bt + c = 0.
3) Решаем уравнение:
f(x) = t.
Уравнение с переменной
в знаменателе:
p(x) / q(x) = 0.
Биквадратное уравнение:
ax4 + bx2 + c = 0.
p(x) = 0,
q(x) ≠ 0.
Рациональное
уравнение f(x) = q(x),
где f(x) и q(x) – дробные
выражения.
1. Найти общий
знаменатель дробей,
входящих в уравнение;
2. Умножить обе части
уравнения
на общий знаменатель;
3. Решить получившееся
целое уравнение;
4. Исключить из его корней
те, которые обращают в
нуль общий знаменатель.
Способы решения систем
уравнений.
а) Графический способ решения
систем уравнения.
б) Решение систем уравнений
способом подстановки.
в) Решение систем уравнений
способом сложения.
Самостоятельная работа.
Нормативы:
а) свыше 6 баллов – “5”;
б) от 4,5 до 6 баллов – “4”;
в) от 3 до 4,5 баллов – “3”.
Классификация
заданий:
Решить уравнение, используя теорему Виета:
0.5 балла
Решить неполное квадратное уравнение: 0, 5
балла
Решить уравнение через дискриминант: 1 балл
Решить уравнение, предварительно упростив:
1.5 балл
Решить уравнение, введя вспомогательную
переменную: 1,5 балла
Решить биквадратное уравнение: 1,5 балла
Решить систему уравнений:2 балла
“Кто хочет ограничиться
настоящим без знания
прошлого, тот никогда его
не поймет”.
немецкий математик Г.Лейбниц
Немного
истории
Квадратные уравнения в Индии.
Задачи на квадратные уравнения
встречаются уже в 449 году. В древней
Индии были распространены публичные
соревнования в решении трудных задач.
Часто они были составлены в стихотворной
форме.
Вот одна из задач знаменитого индийского математика
XII века Бхаскара
Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась,
А двенадцать по лианам
Стали прыгать, повисая…
Сколько ж было обезьянок,
Ты скажи мне в этой стае?
Решение:
(x/8)2+12=x;
X2/64-х+12=0
x2-64х+768=0
D=1024
x1=16, x2=48
Квадратные уравнения в
Древнем Вавилоне.
Квадратные уравнения умели решать
вавилоняне около 2000 лет до н. э.
Отдельные виды квадратных уравнений
решали древнегреческие математики,
сводя их решения к геометрическим
построениям.
Применяя современную алгебраическую
запись, можно сказать, что в их
клинописных текстах встречаются,
кроме неполных, и такие, например,
полные квадратные уравнения
x2+x=3/4 x2-х=14.1/2
Квадратные уравнения в Европе
Лишь в XVII веке благодаря трудам
Жиррара, Декарта, Ньютона и
других ученых, способ решения
квадратных уравнений принимает
современный вид.
