13.09.13 Свойства функций Свойства числовых неравенств: a˂b a+7 b+7 a–9 b–9 2a 2b - 6a - 6b 𝟏 𝟏 𝒂 𝒃 a˂b 𝟏 - 𝒂 𝟑 𝟏 𝒃 𝟑 𝒂 𝒃 𝟐 𝟐 𝒂 ?𝒃 1) Возрастание и убывание функций. ! Функцию у = f (x) называют возрастающей на множестве Х D (f), если для любых точек х1 и х2 из множества Х таких, что х1 ˂ х2 выполняется неравенство f (x1) ˂ f (x2). х1 ˂ х2 ⇒ f (x1) ˂ f (x2) ! Функцию у = f (x) называют убывающей на множестве Х D (f), если для любых точек х1 и х2 из множества Х таких, что х1 ˂ х2 выполняется неравенство f (x1) f (x2). х1 ˂ х2 ⇒ f (x1) f (x2) у2 у1 х2 х1 у1 х1 х2 у2 ! Функция возрастает на промежутке, если большему значению аргумента (х) соответствует большее значение функции (у) ! Функция убывает на промежутке, если большему значению аргумента (х) соответствует меньшее значение функции (у). «возрастающая функция» и «убывающая функция» «монотонная функция» Пример: 1) у = 2х3 + 4 2) у = 6 – 3х 2) Ограниченность функций. 1. ! Функцию у = f (x) называют ограниченной снизу на множестве Х D (f), если все значения этой функции на множестве Х больше некоторого числа. у = f(x) – ограничена снизу, если f (x) m. m ! Функцию у = f (x) называют ограниченной сверху на множестве Х D (f), если все значения этой функции на множестве Х меньше некоторого числа. у = f(x) – ограничена снизу, если f (x) ˂ M. М ! Если функция ограничена снизу и сверху, то её называют ограниченной. Пример: у = 𝟗 − х𝟐 2. Наибольшее и наименьшее значение функции. ! Число m = у наим. , если: 1) существует х0 Х, f (x0) = m 2) для любого х выполняется равенство f (x) f (x0). yнаим ! Число m = у наиб. , если: 1) существует х0 Х, f (x0) = М 2) для любого х выполняется равенство f (x) f (x0). унаиб Утверждения: 1. Если функция имеет наименьшее значение, то она ограничена снизу. 2. Если функция имеет наибольшее значение, то она ограничена сверху. 3. Если функция не ограничена снизу, то у неё не существует наименьшего значения. 4. Если функция не ограничена сверху, то у неё не существует наибольшего значения. 3) Четность и нечетность функций ! Функцию у = f (x) называют четной, если для любого значения хХ выполняется равенство f (-x) = f (x) ! Функцию у = f (x) называют нечетной, если для любого значения хХ выполняется равенство f (-x) = - f (x) у = х2, у = х4, у = х6, у = х8, … - четные функции у = х3, у = х5, у = х7, у = х9, … - нечетные функции ! у = 2х + 3; у(-х) = -2х +3 у (-х) у (х) и у(-х) - у(х) у = 2х + 3– не является ни четной, ни нечетной ! Если х Х и - х Х, то множество Х называют симметричным. Пример: 1) (-2; 2), [-5; 5], (-; + ) - симметричные 2) [ 0; +), (-2; 3), [-5; 4] - несимметричные ! Если функция четная или нечетная, то её область определения – симметричное множество. Алгоритм исследования функции у = f (х), х Х на четность. 1. Установить симметрична ли область определения функции (если нет, то функция ни четная, ни нечётная). 2. Найти f (-x). 3. Сравнить f (-x) и f (x): а) если f (-x) = f (x), то функция чётная б) если f (-x) = - f (x), то функция нечётная в) если f (-x) f (x) и f (-x) - f (x) ни в одной точке, то функция не является ни чётной, ни нечётной. Графики функций: 1) Чётная функция – график симметричен относительно оси Оу 2) Нечётная функция – график симметричен относительно начала координат. 4. Выпуклость функции. Выпукла вниз Выпукла вверх 5. Непрерывность (разрывность) функции Свойства функции: 1. Монотонность ( или ) 2. Ограниченность 3. Наибольшее и наименьшее значение функции 4. Четность, нечетность 5. Непрерывность 6. Выпуклость