13.09.13
Свойства функций
Свойства числовых неравенств:
a˂b
a+7 b+7
a–9 b–9
2a 2b
- 6a - 6b
𝟏
𝟏
𝒂
𝒃
a˂b
𝟏
-
𝒂
𝟑
𝟏
𝒃
𝟑
𝒂 𝒃
𝟐
𝟐
𝒂 ?𝒃
1) Возрастание и убывание
функций.
! Функцию у = f (x) называют
возрастающей на множестве Х D (f),
если для любых точек х1 и х2 из
множества Х таких, что х1 ˂ х2
выполняется неравенство f (x1) ˂ f (x2).
х1 ˂ х2 ⇒ f (x1) ˂ f (x2)
! Функцию у = f (x) называют
убывающей на множестве Х D (f),
если для любых точек х1 и х2 из
множества Х таких, что х1 ˂ х2
выполняется неравенство f (x1) f (x2).
х1 ˂ х2 ⇒ f (x1) f (x2)
у2
у1
х2
х1
у1
х1
х2
у2
! Функция возрастает на промежутке,
если большему значению аргумента (х)
соответствует большее значение функции
(у)
! Функция убывает на промежутке,
если большему значению аргумента (х)
соответствует меньшее значение
функции (у).
«возрастающая функция» и
«убывающая функция»
«монотонная функция»
Пример: 1) у = 2х3 + 4
2) у = 6 – 3х
2) Ограниченность функций.
1. ! Функцию у = f (x) называют
ограниченной снизу на множестве Х D
(f), если все значения этой функции на
множестве Х больше некоторого числа.
у = f(x) – ограничена снизу, если f
(x) m.
m
! Функцию у = f (x) называют
ограниченной сверху на множестве
Х D (f), если все значения этой
функции на множестве Х меньше
некоторого числа.
у = f(x) – ограничена снизу, если f
(x) ˂ M.
М
! Если функция ограничена снизу и
сверху, то её называют ограниченной.
Пример: у = 𝟗 − х𝟐
2. Наибольшее и наименьшее значение
функции.
! Число m = у
наим. , если:
1) существует х0 Х, f (x0) = m
2) для любого х выполняется
равенство f (x) f (x0).
yнаим
! Число m = у
наиб. , если:
1) существует х0 Х, f (x0) = М
2) для любого х выполняется
равенство f (x) f (x0).
унаиб
Утверждения:
1. Если функция имеет наименьшее
значение, то она ограничена снизу.
2. Если функция имеет наибольшее
значение, то она ограничена сверху.
3. Если функция не ограничена снизу,
то у неё не существует наименьшего
значения.
4. Если функция не ограничена
сверху, то у неё не существует
наибольшего значения.
3) Четность и нечетность функций
! Функцию у = f (x) называют четной,
если для любого значения хХ
выполняется равенство
f (-x) = f (x)
! Функцию у = f (x) называют нечетной,
если для любого значения хХ
выполняется равенство
f (-x) = - f (x)
у = х2, у = х4, у = х6, у = х8, … - четные
функции
у = х3, у = х5, у = х7, у = х9, … - нечетные
функции
! у = 2х + 3; у(-х) = -2х +3
у (-х) у (х) и у(-х) - у(х)
у = 2х + 3– не является ни четной, ни
нечетной
! Если х Х и - х Х, то множество Х
называют симметричным.
Пример:
1) (-2; 2), [-5; 5], (-; + ) - симметричные
2) [ 0; +), (-2; 3), [-5; 4] - несимметричные
! Если функция четная или нечетная, то
её область определения – симметричное
множество.
Алгоритм исследования функции
у = f (х), х Х на четность.
1. Установить симметрична ли область
определения функции (если нет, то функция ни
четная, ни нечётная).
2. Найти f (-x).
3. Сравнить f (-x) и f (x):
а) если f (-x) = f (x), то функция чётная
б) если f (-x) = - f (x), то функция нечётная
в) если f (-x) f (x) и f (-x) - f (x) ни в одной
точке, то функция не является ни чётной, ни
нечётной.
Графики функций:
1) Чётная функция – график
симметричен относительно оси Оу
2) Нечётная функция – график
симметричен относительно начала
координат.
4. Выпуклость функции.
Выпукла вниз
Выпукла вверх
5. Непрерывность (разрывность)
функции
Свойства функции:
1. Монотонность (
или
)
2. Ограниченность
3. Наибольшее и наименьшее
значение функции
4. Четность, нечетность
5. Непрерывность
6. Выпуклость
