Министерство образования Российской Федерации Юго-Западный государственный университет Кафедра высшей математики Кратные интегралы Методические указания и индивидуальные задания для тренинга и контроля Курск 2001 2 Составители: И.Н. Бурилич, В.И. Дмитриев Кратные интегралы: Методические указания и индивидуальные задания для тренинга и контроля / Курск. гос. техн. ун-т; Сост. И.Н. Бурилич, В.И. Дмитриев. Курск, 2001.30 с. Предназначены для студентов всех специальностей всех форм обучения Рецензент канд. техн. наук, доц. В.И.Дроздов Текст печатается в авторской редакции ЛР №020280 от 09.12.96. ПЛД № 50-25 от 1.04.97. Подписано в печать . . . . . . . . . . . . . . . . Формат 60 х 84 1/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,87 . Уч. – изд. л. 2.01 . Тираж 100 экз. Заказ . . . . . Бесплатно. Курский государственный технический университет. Подразделение оперативной полиграфии Курского государственного технического университета. Адрес университета и подразделения оперативной полиграфии: 305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94. 3 Содержание 1. Общие указания …………………………………………………………4 2. Образцы выполнения заданий …………………………………………4 2.1. Задача 1……………………………………………………………..4 2.2. Задача 2 …………………………………………………………….5 2.3. Задача 3 …………………………………………………………….6 2.4. Задача 4-5 …………………………………………………………..7 2.5. Использование пакета "Mathcad" при вычислении кратных интегралов ………………………………………………9 3. Индивидуальные задания …………………………………………… 11 3.1. Задача 1…………………………………………………………… 11 3.2. Задача 2 ……………………………………………………………16 3.3. Задача 3 ……………………………………………………………22 3.4. Задача 4-5 ………………………………………………………… 24 3.5. Задача 6 ……………………………………………………………29 Библиографический список ……………………………………………..30 4 1. ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ Настоящее пособие предназначено для студентов, изучающих раздел "Кратные интегралы" курса математики. Оно может использоваться как тематический многовариантный сборник задач тренингового характера для студентов дистанционной формы образования – в особенности тьюторами при контактном обучении, - а также как сборник заданий по соответствующему модулю системы РИТМО. Студент, изучающий курс математики по модульной системе, должен выполнить индивидуальное задание, определяемое номером n студента в журнале группы и указаниями преподавателя. Рекомендуется трехуровневая система комплектации индивидуальных заданий. Уровни 1-й, 2-й, 3-й предлагают студенту набор задач, решение которых требует соответственно, по меньшей мере, удовлетворительного, хорошего, отличного знания темы "Кратные интегралы". Каждый студент – в зависимости от степени своей математической подготовки – должен: 1) выбрать определенный уровень; 2) выполнить задания этого уровня. Возможный комплект заданий: для первого уровня – 1, 2, 3; для второго – 1, 2, 3, 4; для третьего 1-5. Задача 6 предлагается тем студентам, которым необходимо освоить технику интегрирования в размерностях, больших 3. Задачи 2 – 6 могут быть решены на ЭВМ с помощью, например программного пакета Mathcad. Порядок действий при этом таков: n-кратный интеграл, подлежащий вычислению, следует предварительно преобразовать в повторный, т.е. представить его как результат n последовательных однократных интегрирований. Повторный интеграл непосредственно вычисляется соответствующей программой Mathcad'a. 2. ОБРАЗЦЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ 2.1. ЗАДАЧА 1 Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле 3 2y 1 0 dy f (x, y) dx . РЕШЕНИЕ. Область интегрирования органичена прямыми y = 1, y = 3, x = 0, x = 2y. На рис.2.1. она представляет трапецию АВСD. 5 y D Н С А В х 0 Рис.2.1. Область интегрирования При интегрировании в другом порядке, вначале по y, необходимо разбить область АВСD прямой BH, параллельной Оy на две части, так как нижняя линия границы этой области состоит из двух частей АВ и ВС, которые имеют уравнения y = 1 и y = x/2. Поэтому интеграл при изменении порядка интегрирования окажется равным сумме двух интегралов 3 2y 2 3 6 3 1 0 0 1 2 x/2 dy f (x, y) dx dx f (x, y) dy dx f (x, y) dy. 2.2. ЗАДАЧА 2 Вычислить двойной интеграл D dxdy x y 2 2 , где D – круговое кольцо, заключенное между окружностями x 2 y 2 1, x 2 y 2 4 (рис.2.2) y x 2 y2 4 х x 2 y2 1 Рис.2.2. Область интегрирования D 6 РЕШЕНИЕ. Преобразуем двойной интеграл, отнесенный к декартовым координатам (x,y), в двойной интеграл в полярных координатах (,). Имеем x cos , y sin . Якобиан соответствующего преобразования равен . Очевидно, что точкам (x,y)D взаимно однозначно соответствуют точки (,) области G {(, ) : 0 2, 1 2}. Поэтому данный интеграл равен 1 cos sin 2 G 2 2 2 2 2 0 1 0 2 2 2 0 1 dd dd d d G d d 2. 2.3. ЗАДАЧА 3 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y 2 x 3 , y 2 8(6 x ) 3 . РЕШЕНИЕ. Построив данные полукубические параболы y х , 2 3 y 2 8(6 x ) 3 , получим криволинейный четырехугольник ОАВС на рис.2.3, О(0;0), В(6;0), С(4;8) y 8 C B 6 0 x А Рис.2.3. Графики функций y х , y 8(6 x ) 2 3 2 3 7 Вследствие симметричности фигуры относительно оси Ох, ее площадь S равна удвоенной площади фигуры D - криволинейного треугольника ОВС: 8 1 6 y 2 / 3 2 8 1 6 y 2 / 3 2 0 y2 / 3 0 y2 / 3 S 2 dxdy 2 dy D dx 2 x 8 3 dy 2 (6 y 2 / 3 )dy 2 0 9 5/3 8 9 2 2(6 y y ) 2(48 32) 38 . 10 10 5 0 2.4. ЗАДАЧИ 4-5 Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями hz x y , z h (h 0) .Найти координаты центра масс тела, предполагая, что оно 2 2 однородно. x 2 y2 РЕШЕНИЕ. Данное тело ограничено снизу параболоидом z , h 2 2 сверху плоскостью z=h и проектируется в круг x y h плоскости XOY. z y х Рис.2.4. Область интегрирования Используем цилиндрические координаты: x cos , y sin , z z, в которых уравнение параболоида будет 2 cos 2 2 sin 2 z , h т.е. 2 z . h 8 Объем тела равен 2 2 2 V dxdydz dddz d d dz d h d h (V) 0 0 0 0 ( V* ) 2 / h h h h 2 h 2 4 h h 3 h 3 2 h 3 d d . 4h 0 4 0 3 2 0 2 Координаты центра масс тела вычисляются по формулам M yz M xy M zx Xc , Yc , Zc , где M M M M ( x, y, z)dxdydz, (V) M yz x( x, y, z)dxdydz, (V) M zx y( x, y, z)dxdydz, (V) M xy z( x, y, z)dxdydz, (V) где ( x, y, z) - плотность тела в точке (х,y,z). Для однородного тела можно положить ( x, y, z) 1. Находим: 2 2 2 M dddz d d dz d h d h 0 0 0 0 ( V* ) 2 / h h h h 2 h 2 4 h h 3 h 3 2 h 3 d d . 2 4 h 2 4 3 0 0 0 2 h h M yz cos dddz cos d d dz 2 2 ( V* ) 2 0 0 2 / h 2 h 2 2 4 cos d h d cos d h d h h 0 0 0 0 2 h 2 2 2 3 h4 h4 5 h 2h 4 cos h d cos d sin 0. 3 5 h 3 5 15 0 0 0 0 9 2 2 2 4 M zx sin d d dz sin d h d h 0 0 0 0 2 / h h h h 2 2 2 2h 4 2h 4 2 2h 4 sin d sin d 15 cos 0. 15 15 0 0 0 2 2 h h 2 4 z2 M xy d d zdz d d d 2 d 2 2 / h 2 2h 0 0 0 0 0 0 2 / h 2 h h 2 h h 2 h 2 5 2h 2 6 h 2 h 4 h 2 d 2 d 2 4 12 d 2 4 2 h 12 h 0 0 0 0 0 h h4 h2 . 2 4 12 Таким образом X c 0, Yc 0, Z c h 1 . 3h 2.5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПАКЕТА МATHCAD ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ЗАДАЧА. Вычислить тройной интеграл I ( x y z) dxdydz, T y2 z2 1} (т.о. Т – часть где T {( x , y, z) : x 0, y 0, z 0, x 2 3 y2 z2 2 1 , лежащая в неотриобласти, ограниченной эллипсоидом x 2 3 2 цательном октанте пространства). РЕШЕНИЕ. Выполняя переход от кратного интеграла к повторным интегралам, получаем 2 2 y ) 2 3(1 x 2 (1 x ) 1 2 dy dx I ( x y z ) dz 0 0 0 (*) 10 Обратимся к Mathcad. Вызовем на экран математическую палитру. Из окна математической палитры вызовем Arithmetic Palette и Calculus Palette. Наберем на экране правую часть равенства (*). Для набора знака определенного интеграла используем Calculus Palette, действуя мышью. Все остальное набираем или клавиатурой или – математические знаки –с помощью Arithmetic Palette, действуя мышью. По окончании набора нажмем клавишу ПРОБЕЛ и затем знак "=" (равно). Справа от знака "=" появляется результат: 1.994. Задача решена. 11 3.ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ. 3.1. ЗАДАЧА 1 Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле, сделав чертеж области интегрирования. Таблица 3.1 № Задание № Задание 3 y y 1 1 10 3 dy f (x, y)dx dy f ( x, y)dx 2 3 4 5 6 7 0 y 1 1 x 2 1 0 a 2 ax x 2 0 x 2 4 x 2 2 2 4 x 2 2x 1 x 1 x 2 2 x 0 0 1 0 3 1 ( 3 x ) 2 1 0 11 dx f ( x, y)dy 12 dx f (x, y)dy 13 dx f (x, y)dy 14 dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy 2 1 x 0 0 2 2 x 0 4 x 2 0 0 2 0 2 4 y 2 0 y2 15 16 dx f ( x, y)dy dx f ( x, y)dy 8 9 dx f ( x, y)dy dx f ( x, y)dy dy f (x, y)dx 17 18 0 9 y 2 R R 2 x 2 0 0 2R 2 Ry y 2 dx f ( x, y)dy dy f (x, y)dx R/2 6 x 2 0 dx f (x, y)dy 2 2 x 4 3 6 2 y 0 9 y 2 4 16 x 2 0 16 x 8 4 8x x 2 2 0 6 12 x 0 6x x 2 5 5 y 0 25 y 2 dy f (x, y)dx dx f2(x, y)dy dx f ( x, y)dy dx f ( x, y)dy dy f (x, y)dx 12 № 19 Задание 21 3 x 2 1 dx 2f ( x, y)dy 0 20 4 x 2 6 y 0 y R R 2 x 2 23 24 25 26 2ay y 2 0 y 3 9 x 2 0 x 3 a a 2 y2 0 y a 5 x 1 x 5 R 2 2 28 32 dy f (x, y)dx 33 dx f ( x, y)dy 34 dy f (x, y)dx 35 dx f (x, y)dy R x 36 2 f ( x, y)dy 0 x R R R 2 x 2 R 1 x R 37 dx f ( x, y)dy y 2 2 y dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx 0 0 1 25 y 2 0 3 y 4 4 x 0 x 8 1 y 1 0 y 1 2 2 x 1 0 x 1 4 y 0 1 y 2 x 0 x 2 2 y4 0 y 4 2 3 x 1 4 2 x 5 x 1 4/ х 2 4 x 2 0 4 2 x dy f (x, y)dx dx 2f (x, y)dy dy 2 f ( x, y)dx x R a 4 31 dx f ( x, y)dy dx 27 30 dy f ( x, y)dy 0 22 № 29 Продолжение табл.3.1 Задание 0 38 dx 2 f (x, y)dy dy f (x, y)dx dx 3f ( x, y)dy dy 2 f ( x, y)dx dx f ( x, y)dy dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy 13 № 39 40 Задание 2 8x 0 x 1 2 x dx 2f ( x, y)dy dx f (x, y)dy 0 41 42 43 44 45 46 47 x2 0 x dx 2f ( x, y)dy 3 25 x 2 0 3 0 4 x dx f ( x, y)dy dx f ( x, y)dy 0 1 0 3 x 0 1 .5 2x2 y 3 0 2y 0 x 3 dx f (x, y)dy dy 2f ( x, y)dx dx 2f (x, y)dy 1 2x 1 3 y dy 2f ( x, y)dx 49 3 x 52 53 54 55 56 57 58 dx 2f (x, y)dy 59 dx f (x, y)dy 60 1,5 2x 2 5 x 0 0 4 9 y 2 0 1, 25 y 0 5 y 4 4 9 y 2 1 x 2 1 0 1 1 4 x 2 0 0 dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx 2y 0 48 51 x 1 0 № 50 Продолжение табл.3.1 Задание dx f (x, y)dy dx f ( x, y)dy 2 4 0 2 x 2y 1 0 3 3 x 0 0 2 2 x 2 1 0 0 1 2 x 2 3 2 x 1 4 x 1 0 3 9 x 2 0 x 9 dx 2f ( x, y)dy dy f (x, y)dx dx f ( x, y)dy dx f ( x, y)dy dx f (x, y)dy dx f ( x, y)dy dx 2 f ( x, y)dy 14 № 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 Задание 1 4 y dy f (x, y)dx 0 0 1 2 x 1 0 0 2 x 2 0 x dx f (x, y)dy dx 2f (x, y)dy 2 1 4 x 0 4 2 x 1 7x 0 0,5 x 1 1 4 x 2 0 2 x 2 1 4 x2 0 0 2 x 2 4 2 1 0 x dx f ( x, y)dy dx f ( x, y)dy dx f (x, y)dy dx f ( x, y)dy dx f (x, y)dy № 72 73 74 75 76 77 78 79 dx 3f ( x, y)dy 80 0 x 2 4 x 2 81 2 x 4 2a 2 ax x 2 0 0 dx 2 f ( x, y)dy dx f ( x, y)dy 82 Продолжение табл.3.1 Задание 0 16 x 2 4 x 16 2 4 y 2 2 y 4 2 2 x 5 1 1 x 2 2 y 5 1 y 2 3 9 y 2 0 y 9 2 8 x 2 2 x 1 2 y 2 1 y 2 y2 4 2 0 dx 2 f ( x, y)dy dy 2 f (x, y)dx dx 2 f (x, y)dy dy 2 f ( x, y)dx dy 2 f (x, y)dx dy 2f ( x, y)dx dy 2f (x, y)dx dy f ( x, y)dx 2 a a 2 y2 0 a y 2a y 0 a a 2 y2 dy f (x, y)dx dy 8 f (x, y)dx 6 y 2 dx 3 f (x, y)dy 0 y 15 № 83 84 85 86 87 Задание 2a 2ay y 2 0 a 0 a x 0 2 dy f (x, y)dx dx f (x, y)dy 5 0 25 y 2 a a 2 x 2 a 0 f (x, y)dx dx f ( x, y)dy 4 4 x 1 1 0 x 1 1 x 1 1 1 x 2 1 1 x 93 2 a x 5 y dy № 92 94 95 96 dx f ( x, y)dy 88 89 dx 2 f (x, y)dy dx f ( x, y)dy 90 2 4 x 2 2 97 98 99 dx 2 f (x, y)dy 91 2 1 x /2 4 3 x dx 3f (x, y) dy 0 x 100 Окончание табл.3.1 Задание 1 y 0 y 4 y2 0 4 0 7 y 0 0,5 y 1 1 2 y 2 3 2 y 1 3 4 y 0 0 4 9 x 2 0 1, 25 x 1 4 y 2 0 2 0 y2 0 y dy 3f ( x, y)dx dy f ( x, y)dx dy f ( x, y)dx dy f (x, y)dx dy f ( x, y)dx dx f (x, y)dy dy f ( x, y)dx dy 2f ( x, y)dx 0 5 x 4 4 9 y 2 dx f (x, y)dy 16 3.2 ЗАДАЧА 2 Вычислить двойной интеграл f ( x, y)dxdy . Предварительно сделать черD теж области интегрирования. Таблица 3.2 №№ f(x,y) Уравнения линий, ограничивающих область D 1 y2 x y x, y 2x, x 2, x 4 2 x3y2 x 2 y2 R 2 3 x2 y y x 2 , y2 x 4 x2 y2 x 2, y x, yx 1 5 cos(x y) x 0, y , y x 6 1 x 2 y2 x 2 y 2 1, x 0, y 0 7 1 y x , y x , x 2 y 2 1. a x y 2 2 2 ,а 1 y x, y x, x 1 8 x 2 y2 9 x y y 2 x , x 0, y 1. x x2 y ,y x 2 10 x 2 y2 11 x x y 2, x 2 ( y 1) 2 1 17 Продолжение табл.3.2 1 2 3 12 y y 0, ( x 1) 2 y 2 1, ( y 0) 13 x 2y y x x2, y 1 x2,x 0 14 x2 y 15 x y 2 2px , x p 1 , x 1, x 2 x x 2 y2 16 xy 2 y 2 2px , x p 17 xy x 2 y 2 R 2 , x 0, y 0 18 y x 2 (y a) 2 a 2 19 x 2 y2 20 a 2 x 2 y2 x 2 y 2 a 2 ( x 0) 21 1 2 y 4 2x y 0, x y 9 22 4 x2 x 2 y2 4 23 x2 24 4xy x 2 y2 4 25 2x y 2 x, y 26 y 27 4y x 2 y 2 2ax y 0, x 0, x y 2 1 2 x 4 x 0, x 4, y x 2 y 2 4y 25 x 2 18 Продолжение табл.3.2 1 2 3 28 x 2 ye xy 0 x 1, 0 y 2 29 x2 y x 0, y 0, x y 5 30 x2 y2 y x, xy 4, x 6 31 y ln x y 1, y x , x 2 32 x 2 y2 x 2 y2 2 x2 33 4 x2 x 0, y 0, y 6 x, x 2 34 x y2 2x y 0, x y 9, y 0 35 x 2 y2 x 0, y x, y 4 x 2 36 x 2 y2 1 y 0, y 2 x , x 2 y 2 9 37 2x y 0, x 16 y 2 , y 2 38 x2 1 y x, y 3 x, x 0 39 x2 x 0, y 2x, x y 6 40 4xy x 2 y 2 42 41 4y y x 2 , x 3, y 0 42 9x y x,y 2 x , x 9 43 y2 2 2x 3y 6, x 0, y 0 19 Продолжение табл.3.2 1 2 3 44 6 2x 45 2x x y , x 0, y 4 46 1 y x y, y x 47 3x y 0, y 4, x 0, x y 6 48 x 2 y2 x 2 y 2 16 49 x 2 y2 y 2x, y 1, y 6 x 50 1 2 y 2 x 2y 2 , x 2y 4 51 x 2 2y 2 x 0, x 2 y 10, y x 2 52 4 y2 y x 2 , y 4 3x 53 x2 x 0, y 2x, x y 9 54 x 2 y2 55 x 2 y2 2 y x, y 2 x 2 56 x 2y y x2,x y 6 57 y2 58 4 x2 x 0, y 0, y 3, x y 6 59 16 x 2 y 0, x y 8, x 0 60 x 2 y2 y x , x 2 y 2 4, x 0 x 0, y 0, x 3, y 25 x 2 x 0, y 0, y 4,5x 2 y 10 x 0, y 0, y 3, x y 6 20 Продолжение табл.3.2 1 2 3 61 5 x2 x 0, y 0, x 3y 6 62 x 2 y2 2 x 0, y x , y 2 x 2 ( x 0) 63 6 2y 64 x 2 y2 3 65 y x 0, x 3, y 36 x 2 66 y2 2 2x y 6, x 0, y 0 67 16 x 2 x 4; y 0;2x 3y 6 68 25 x 2 x 5; y 0; x y 0 69 xy y x, y 2x, x 2, x 4 70 x 2 y3 x 2 y 2 25 71 xy 4 x 2, y x, yx 1 72 x 2 y2 y x, y x, x 1 73 x3y y 74 5x y 2 4x, x 2 x 0, y 0, x 2 y 2 25 5x 2 y 10, y 4, x 0, y 0 1 , x 1, x 2 x x 2 y2 75 xy 2 y 2 8x , x 4 76 1 x 2 y 2 16 25 x 2 y 2 21 Окончание табл.3.2 1 2 3 77 y2 y 0; ( x 1) 2 y 2 1; ( y 0) 78 x3y2 x 0; y 0;3x 2 y 6 79 xy x 8, y x, y 2x 80 x2y y x, x y 4, y 0 81 x 2 y2 82 16 x 2 y 2 x 2 y 2 16( y 0) 83 1 x 2 y2 x 2 y2 1 84 x x 2 y2 y 0, y 2x, x 4 85 x 2 y2 y x, y x, x 1 86 xy 87 y x 2 y2 88 1 16 x 2 y 2 x 2 y 2 2x x 2 y 2 25, y 0, x 0 x 0, x 2 y, y 5 x 2 y2 9 22 3.3. ЗАДАЧА 3 Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями. Таблица 3.3 №№ Уравнения линий №№ Уравнения линий 1 x y 2 2 y; x y 0 15 3x 2 25y;5 y 2 9 x 2 y 2 x; y 2 4 x 4 16 xy 4; x y 5 3 y 2 4x x 2 ; y 2 2x 17 x y 1; x 3y 1; x y; x 2 y (вне параболы) 4 3y 2 25x;5x 2 9 y 18 4 sin ; 2 sin 5 y 4 x x 2 ; y 2 x 2 5x 19 a cos 2 6 x 4 y 2 ; x 2y 4 0 20 a sin 3 7 2(1 cos ); 2 21 (x 2 y 2 ) 2 2y 3 (вне кардиоиды) 8 2(1 cos ); 2 cos 22 (x 2 y 2 ) 3 a 2 (x 4 y 4 ) 9 (x 2 y 2 )5 a 4 x 4 y 2 23 ( x 2 y 2 ) 2 2a 2 ( x 2 y 2 ) 10 (x 2 y 2 )3 a 2 x 3 y 24 ( x 2 y 2 ) 2 a 2 xy 11 (x 2 y 2 )3 a 4 x 2 25 y x; y 2 x; x 4 12 ( x 2 y 2 ) 5 a 6 xy 3 26 ( x 2 y 2 ) 2a 2 ( x 2 y 2 ) 13 ( x 2 y 2 ) 3 a 4 y 2 27 y cos x; y cos 2 x; y 0; ( x 0) 14 x y; x 2 y; x y 6; x 3y 6 28 y x; y 5x; x 1 23 Продолжение табл.3.3 1 29 2 2(1 cos ); 3 4 42 y 2 4(1 x ); x 2 y 2 4 2 cos (вне параболы) 30 (x 2 y 2 ) 5 a 6 x 3 y 43 5 xy a 2 ; x y a 2 31 (x 2 y 2 ) 2 a 2 (x 2 2y 2 ) 44 y 4 x2; y 2x 4 0 32 (x 2 y 2 )3 a 2 y 4 45 y x ; y 2x ; x 1 33 xy 6; x y 7 46 ( x 2 y 2 ) 2 4x 3 34 x y 2 4 y; x y 0 47 (x 2 y 2 )3 x 4 y 4 35 y x 2 4 x; x y 0 48 ( x 2 y 2 ) 2 2a 2 ( x 2 y 2 ) 36 x 4 y y 2 ; x 2 y 2 5y 49 x y; x 2 y; y 4 37 5; 1 cos 50 (x 2 y 2 )3 a 2 x 2 y 2 (вне кардиоиды) 38 xy 8; xy9 51 ( x 2 y 2 ) 2 a 2 (4x 2 y 2 ) 39 x 2 y 2 2 x; y x; 52 ( x 2 y 2 ) 3 a 2 x 2 (4x 2 3y 2 ) 53 ( x 2 y 2 ) 2 a 2 (3x 2 2 y 2 ) 54 x 4 a 2 (3x 2 y 2 ) x 2 y 2 4 x; y 0 40 a (1 cos ); a cos ; a 0 41 y 2 10x 25 y 2 6x 9 24 3.4. ЗАДАЧИ 4-5 Вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями. Найти координаты центра масс этого тела в предположении, что оно однородно. №№ 1 Уравнения поверхностей z 0; z y; x 0 №№ 10 z 0; z 16 x 2 ; 11 z 0; z y 2 ; 12 x 2 y 8; x 0; 4 5 z 0; z 9 x 2 ; x 0; y 0; 2y x 6 13 z 0; z 1 x 2 ; 14 z 0; z 4 x 2 ; z 0; z 4 y 2 ; 9 15 z 0; z 9 x 2 ; y 0; x y 3 16 z 0; z 4 x y; x 2 y2 4 z 0; z 1 2 y ; 4 2 x y 0; x y 9 17 z 0; z x 2 y 2 ; 18 x 0; x 2 y 2 4; y x z 0; z y 2 ; x 2 y2 9 x 0; x y 6 8 z 0; z 2 y; x 0; x 6; x y 9 x 0; y 0; x y 6 7 z 0; z 9 x 2 ; x 0; x 2 y 8; y 0; y 0; y 5 x 6 z 0; z 4 y ; x 0; 2x y 6 y 0; x y 8; x 0 3 z 0; z x 2 ; y 0; xy4 x 4; y 25 x 2 2 Таблица 3.4 Уравнения поверхностей z 0; z 2x; y 0; y 2; x 16 y 2 z 0; y z 4; y x 2 25 Продолжение табл.3.4 1 19 2 z 0; z x 2 y 2 ; 3 28 21 z 0; z x 2 ; y 2 x; xy6 29 z 0; z x 2 1; 30 z 0; z x 2 y 2 1; y 0; y 2 x; z 0; y x ; y 2 x; xz9 y x; x y 3; x 0 22 z 0; x z 9; x y2 x 2 y2 9 20 4 z 0; z 25 y 2 ; y 0; x 0; x y 10 31 z 0; z y 2 1; x 2 y 10; x 0; y 0; x 2 y2 9 23 24 25 z 0; z 9 x 2 ; x 0; y x; xy6 32 z 0; z y 2 2; x 0; y 0; 2 x 3y 6 33 z 0; x 0; y 0; 2 x z 6; y 0; x 3y 6 z 0; y 4; z 2x; 34 z 0; z 3x; y 4; y 0; x y 6 z 0; 2 y 2 x; x 2y z 4 0 35 x 2y 27 z 0; y 27 ; x 2 y2 4 x 2 y 2 25 26 z 0; z 1 x 2 ; z 0; x 0; y 0; y z 1; x y 2 1 36 z 0; x 0; y 0; z 9 y 2 ;3x 4 y 12 26 Продолжение табл.3.4 1 37 2 z 0; x y ; x 2 y ; 3 46 z 0; x y ; y x ; 47 z 0; x 0; y 0; z 0; y 0; z 2x 4; y x 2 y z 1 39 z 0; x 0; y 0; y z 2; y x 2 1 yz 9 38 4 48 z x 2 y 2 ; x 2 y 2 16 z 0; z x 2 y 2 ; y 1; y x 2 ( x 0; y 0) 40 z 0; y 1; y 2x; x 0; 49 x 0; y x 2 ; z x 2 y2 41 z 0; z 4 y 2 ; x 2 y 10 50 y x2 42 z 0; y 2x; 51 x y 9; z x 2 43 z 0; z x 2 y 2 2; z 0; x 0; y 0; 52 z 0; x 0; y 0; 2 y z 2; x 2 y2 z 0; z y; x 0; z 0; x 0; 2x y 6; z x 2 53 x z 2; y 6 x 2 45 z 0; y 2x 2 ; 2z 3y 6 x 3; y 36 x 2 x 0; y x; y 2 x 2 44 z 0; z x 2 2 y 2 ; z 0; y 0; z 25 x 2 ; xy8 54 z 0; y 0; z 16 x 2 ; 2 x 3y 6 27 Продолжение табл.3.4 1 55 2 z 0; x 0; y 0; 2 y z 6; 3 64 4 z 0; z 2 y ; x 0; 3x 5y 15 x 2 y 2 25; 56 z 0; y 0; x 0; 5x 2 y 10; y 4; 65 z 16 x 2 ; z x 2 y2 57 z 0; 2x y 8 66 x y2; 59 z 0; z 4 y 2 ; x 0; 2x y 8 0 67 z 0; y 3x; z x 2 ; 68 z 0; z x 2 y 2 ; z 0; y 0; z 3x; 69 z 0; x z 6; z 0; y 2x 2 ; z 4 y 8 0; 70 z 0; z x 2 y 2 5; y 2x; y 8; x 0 y 3; x 25 y 2 62 z 0; z 2x 2 y 2 ; y 3x; y 6; x 0 x 2 y 2 36 61 z 0; z y 2 3; x 4 y 8; x 0; y 0 xy8 60 z 0; z y 2 ; x 2 y 2 25 4x z 8 58 z 0; y 0; 71 y2 x z 0; y 0; x 0; z y2; 2 x 5 y 10 0 63 z 0; z 4 2 y; y 2x 2 72 z 0; z x 2 y 2 ; x 2 y 2 100 28 Продолжение табл. 3.4 1 73 74 2 z 0; x 0; y 0; 3 81 z 8 x2; x 2 y 6; x 2y 8 z 0; x 0; y 0; x 2 y 8; 82 z 0; y 0; 77 x 5 y 10 83 z 0; z 2x 2 3y 2 ; x 0 1 y x 2 ; x 5y 10 2 84 z 0; z 8 x 2 y 2 ; 85 z 0; y 0; x 0; x z 6; z 0; x 0; 2 x 3y 6; z 0; y 0; 4x y 8; z 1 x2 z 0; z x; y 0; y 3; x 18 y 2 86 z 0; y 0; x 0; z 9 y 2 ;3x 4 y 12 ( y 0) 87 z 0; y 0; x 0; z 4 x2; 2x y 4; ( y 0) z 6 x 2 5y 2 80 z 0; z 3y 6; x 0; y 0; x 4 y 2 y 4 x2 79 z 0; x 0; y 0; z x 2 ; 2x 3y 12 y x; y 2; x 0 78 z 0; x 0; z 16 y 2 ; z 5 x2; 2x 5y 10 76 z 0; y 0; z 16 y 2 ; z y2 4 75 4 88 z 0; x2 z 4 y ;y 2 2 29 Окончание табл. 3.4 1 2 3 z 0; z 2 y 2 ; 89 94 3x 4 y 12; x 0 z 0; y 0; 90 95 z x 2 y2 ; x 3; z 0 z 0; y 0; z xy; x y 2; y x z 25 x 2 ; x y 10 z x 2 y2 ; y x 2 ; 91 4 96 y 1; z 0 x 2 y 2 2x; z x 2 y; x 2 y 2 2 y; z 0; 97 z 0; x 0; y 0; x2 z2 z 0; 1 x 2 y 6; z 2 x 2 y 2 (z 0) 16 9 3 y x; y 0; (z 0, x 0) 4 92 y ln x; y ln 2 x; 93 98 z 0; y z 1; z 0; z 16 x 2 y 2 ; x 2 y 2 4x 3.5. ЗАДАЧА 6 Q – тело в четырехмерном пространстве R4, представляющее собой прямое произведение круга K {x ( x 1 , x 2 ) R : x 1 x 2 1} и прямо2 2 2 угольника П {y ( y1 , y 2 ) R : 0 y1 1, 0 y 2 n}, т.е. 2 Q {z ( x , y) ( x 1 , x 2 y1 , y 2 ) R 4 : x K, y П}. Вычислить четырехкратный интеграл (x1 x 2 y1 y 2 ) dz. 2 Q 2 30 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.2. М.: Высшая школа, 1981. 2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.Т.2. М: Наука , 1978. 3. Тюленева Г.И. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы. Метод. указания для дист. обучение для технич. спец./ КГТУ. Курск, 1999. 4. Данко П.Е., Попов А.Г. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. М. : Высш. шк., 1980. 5. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М. : Высш. шк., 1966. 6. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1959. 7. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике.М. : Наука, 1976.