Кратные интегралы: Методические указания и задания

Министерство образования Российской Федерации
Юго-Западный государственный университет
Кафедра высшей математики
Кратные интегралы
Методические указания и индивидуальные задания
для тренинга и контроля
Курск 2001
2
Составители: И.Н. Бурилич, В.И. Дмитриев
Кратные интегралы: Методические указания и индивидуальные задания для
тренинга и контроля / Курск. гос. техн. ун-т; Сост. И.Н. Бурилич, В.И. Дмитриев. Курск, 2001.30 с.
Предназначены для студентов всех специальностей всех форм обучения
Рецензент канд. техн. наук, доц. В.И.Дроздов
Текст печатается в авторской редакции
ЛР №020280 от 09.12.96. ПЛД № 50-25 от 1.04.97.
Подписано в печать . . . . . . . . . . . . . . . . Формат 60 х 84 1/16. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 1,87 . Уч. – изд. л. 2.01 . Тираж 100 экз. Заказ . . . . . Бесплатно.
Курский государственный технический университет.
Подразделение оперативной полиграфии Курского государственного
технического университета.
Адрес университета и подразделения оперативной полиграфии:
305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94.
3
Содержание
1. Общие указания …………………………………………………………4
2. Образцы выполнения заданий …………………………………………4
2.1. Задача 1……………………………………………………………..4
2.2. Задача 2 …………………………………………………………….5
2.3. Задача 3 …………………………………………………………….6
2.4. Задача 4-5 …………………………………………………………..7
2.5. Использование пакета "Mathcad" при вычислении
кратных интегралов ………………………………………………9
3. Индивидуальные задания …………………………………………… 11
3.1. Задача 1…………………………………………………………… 11
3.2. Задача 2 ……………………………………………………………16
3.3. Задача 3 ……………………………………………………………22
3.4. Задача 4-5 ………………………………………………………… 24
3.5. Задача 6 ……………………………………………………………29
Библиографический список ……………………………………………..30
4
1. ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ
Настоящее пособие предназначено для студентов, изучающих раздел
"Кратные интегралы" курса математики. Оно может использоваться как тематический многовариантный сборник задач тренингового характера для
студентов дистанционной формы образования – в особенности тьюторами
при контактном обучении, - а также как сборник заданий по соответствующему модулю системы РИТМО.
Студент, изучающий курс математики по модульной системе, должен
выполнить индивидуальное задание, определяемое номером n студента в
журнале группы и указаниями преподавателя. Рекомендуется трехуровневая
система комплектации индивидуальных заданий. Уровни 1-й, 2-й, 3-й предлагают студенту набор задач, решение которых требует соответственно, по
меньшей мере, удовлетворительного, хорошего, отличного знания темы
"Кратные интегралы". Каждый студент – в зависимости от степени своей математической подготовки – должен: 1) выбрать определенный уровень; 2)
выполнить задания этого уровня. Возможный комплект заданий: для первого
уровня – 1, 2, 3; для второго – 1, 2, 3, 4; для третьего 1-5.
Задача 6 предлагается тем студентам, которым необходимо освоить технику интегрирования в размерностях, больших 3.
Задачи 2 – 6 могут быть решены на ЭВМ с помощью, например программного пакета Mathcad. Порядок действий при этом таков: n-кратный интеграл, подлежащий вычислению, следует предварительно преобразовать в
повторный, т.е. представить его как результат n последовательных однократных интегрирований. Повторный интеграл непосредственно вычисляется соответствующей программой Mathcad'a.
2. ОБРАЗЦЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
2.1.
ЗАДАЧА 1
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
3
2y
1
0
 dy  f (x, y) dx .
РЕШЕНИЕ. Область интегрирования органичена прямыми y = 1, y = 3,
x = 0, x = 2y. На рис.2.1. она представляет трапецию АВСD.
5
y
D
Н
С
А
В
х
0
Рис.2.1. Область интегрирования
При интегрировании в другом порядке, вначале по y, необходимо разбить область АВСD прямой BH, параллельной Оy на две части, так как нижняя линия границы этой области состоит из двух частей АВ и ВС, которые
имеют уравнения y = 1 и y = x/2.
Поэтому интеграл при изменении порядка интегрирования окажется
равным сумме двух интегралов
3
2y
2
3
6
3
1
0
0
1
2
x/2
 dy  f (x, y) dx   dx  f (x, y) dy   dx  f (x, y) dy.
2.2. ЗАДАЧА 2
Вычислить двойной интеграл

D
dxdy
x y
2
2
,
где D – круговое кольцо, заключенное между окружностями
x 2  y 2  1, x 2  y 2  4 (рис.2.2)
y
x 2  y2  4
х
x 2  y2  1
Рис.2.2. Область интегрирования D
6
РЕШЕНИЕ. Преобразуем двойной интеграл, отнесенный к декартовым
координатам (x,y), в двойной интеграл в полярных координатах (,). Имеем
x   cos , y   sin  . Якобиан соответствующего преобразования равен .
Очевидно, что точкам (x,y)D взаимно однозначно соответствуют точки
(,) области G  {(, ) : 0    2, 1    2}. Поэтому данный интеграл равен
1

 cos    sin 
2
G
2
2
2
2
2
0
1
0
2
2
2
0
1
dd   dd   d d 
G
   d   d  2.
2.3. ЗАДАЧА 3
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y 2  x 3 , y 2  8(6  x ) 3 .
РЕШЕНИЕ. Построив данные полукубические параболы y  х ,
2
3
y 2  8(6  x ) 3 , получим криволинейный четырехугольник ОАВС на
рис.2.3, О(0;0), В(6;0), С(4;8)
y
8
C
B
6
0
x
А
Рис.2.3. Графики функций y  х , y  8(6  x )
2
3
2
3
7
Вследствие симметричности фигуры относительно оси Ох, ее площадь
S равна удвоенной площади фигуры D - криволинейного треугольника ОВС:
8
1
6 y 2 / 3
2
8
1
6 y 2 / 3
2
0
y2 / 3
0
y2 / 3
S  2 dxdy  2 dy
D
 dx  2 x
8
3
dy  2 (6  y 2 / 3 )dy 
2
0
9 5/3 8
9
2
 2(6 y  y )  2(48   32)  38 .
10
10
5
0
2.4. ЗАДАЧИ 4-5
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями hz  x  y ,
z  h (h  0) .Найти координаты центра масс тела, предполагая, что оно
2
2
однородно.
x 2  y2
РЕШЕНИЕ. Данное тело ограничено снизу параболоидом z 
,
h
2
2
сверху плоскостью z=h и проектируется в круг x  y  h плоскости XOY.
z
y
х
Рис.2.4. Область интегрирования
Используем цилиндрические координаты:
x   cos ,
y   sin ,
z  z,
в которых уравнение параболоида будет
 2 cos 2    2 sin 2 
z
,
h
т.е.
2
z
.
h
8
Объем тела равен
2
2

2 
V   dxdydz   dddz   d d  dz   d  h   d 
h 
(V)
0
0
0
0
( V* )
2 / h
h
h
h
2
 h 2  4  h
 h 3 h 3  2
h 3
  
  d      d 
.
4h  0
4 0
3
 2
0 2
Координаты центра масс тела вычисляются по формулам
M yz
M xy
M zx
Xc 
, Yc 
, Zc 
, где
M
M
M
M   ( x, y, z)dxdydz,
(V)
M yz   x( x, y, z)dxdydz,
(V)
M zx   y( x, y, z)dxdydz,
(V)
M xy   z( x, y, z)dxdydz,
(V)
где ( x, y, z) - плотность тела в точке (х,y,z). Для однородного тела можно
положить ( x, y, z)  1.
Находим:
2
2

2 

M   dddz   d d  dz   d  h   d 
h 
0
0
0
0
( V* )
2 / h
h
h
h
2
 h 2  4  h
 h 3 h 3  2
h 3
  
  d      d 
.
2
4
h
2
4
3
 0

0
0
2
h
h
M yz    cos dddz   cos d  d  dz 
2
2
( V* )
2
0
0
2 / h
2
h
 2
2 
4 
  cos d   h   d   cos d   h   d 
h 
h 

0
0
0
0
2
h
2
2
2
 3
 h4 h4 
5  h
2h 4
  cos  h   d   cos 
  d 
sin   0.
3
5
h
3
5
15

 0


0
0
0
9
2
2
 2
4 
M zx   sin d  d  dz   sin d   h   d 
h 
0
0
0
0
2 / h
h
h
h
2
2
2
2h 4
2h 4 2 
2h 4
 
 sin d 
 sin d   15  cos   0.
15
15
0
0
0
2
2
h
 h 2 4 
z2
M xy   d d  zdz   d 
d   d 
 2  d 
2 2 / h
2 2h 
0
0
0
0
0
0 
2 / h
2
h
h
2
h
h
2
 h 2  5 
 2h 2
 6  h 2  h 4 h 2 
  

  d 
 2  d   

2 
 4  12  d 
2
4
2
h
12
h

 0 0

0
0
0
h
 h4 h2 
.
 2  


4
12


Таким образом
X c  0, Yc  0, Z c  h 
1
.
3h
2.5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПАКЕТА МATHCAD ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ
КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ЗАДАЧА. Вычислить тройной интеграл
I   ( x  y  z) dxdydz,
T
y2 z2

 1} (т.о. Т – часть
где T  {( x , y, z) : x  0, y  0, z  0, x 
2
3
y2 z2
2

 1 , лежащая в неотриобласти, ограниченной эллипсоидом x 
2
3
2
цательном октанте пространства).
РЕШЕНИЕ. Выполняя переход от кратного интеграла к повторным интегралам, получаем
2


 
2 y
)
2  3(1 x 

 
2 (1 x )
1
2
 dy  dx
I     
(
x

y

z
)
dz


 
0
0
0

 


 

(*)
10
Обратимся к Mathcad. Вызовем на экран математическую палитру. Из
окна математической палитры вызовем Arithmetic Palette и Calculus Palette.
Наберем на экране правую часть равенства (*). Для набора знака определенного интеграла используем Calculus Palette, действуя мышью. Все остальное
набираем или клавиатурой или – математические знаки –с помощью Arithmetic Palette, действуя мышью. По окончании набора нажмем клавишу ПРОБЕЛ и затем знак "=" (равно). Справа от знака "=" появляется результат:
1.994.
Задача решена.
11
3.ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ.
3.1. ЗАДАЧА 1
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле, сделав чертеж
области интегрирования.
Таблица 3.1
№
Задание
№
Задание
3 y
y
1
1
10 3
 dy  f (x, y)dx
 dy  f ( x, y)dx
2
3
4
5
6
7
0
y
1
1 x 2
1
0
a
2 ax  x 2
0
x
2
4 x 2
2
2
 4 x 2
2x
1
x
1
x
2
2 x
0
0
1
0
3
1
( 3 x )
2
1
0
11
 dx  f ( x, y)dy
12
 dx  f (x, y)dy
13
 dx  f (x, y)dy
14
 dx  f (x, y)dy
 dx  f (x, y)dy   dx  f (x, y)dy
2
1
x
0
0
2
2 x
0
4 x 2
0
0
2
0
2
4 y 2
0
y2
15
16
 dx  f ( x, y)dy   dx  f ( x, y)dy
8
9
 dx  f ( x, y)dy   dx  f ( x, y)dy
 dy  f (x, y)dx
17
18
0
 9 y 2
R
R 2 x 2
0
0
2R
2 Ry  y 2
 dx  f ( x, y)dy
 dy  f (x, y)dx
R/2
6
x 2
0
 dx  f (x, y)dy
2
2 x 4
3
6 2 y
0
 9 y 2
4
16  x 2
0
16  x
8
4
8x x 2
2
0
6
12 x
0
6x x 2
5
5 y
0
 25 y 2
 dy  f (x, y)dx
 dx  f2(x, y)dy
 dx  f ( x, y)dy
 dx  f ( x, y)dy
 dy  f (x, y)dx
12
№
19
Задание
21
3 x 2
1
 dx  2f ( x, y)dy
0
20
4
x
2
6 y
0
y
R
R 2 x 2

23
24
25
26
2ay  y 2
0
y
3
9 x 2
0
x 3
a
a 2  y2
0
y a
5
x
1
x 5
R
2
2
28
32
 dy  f (x, y)dx
33
 dx  f ( x, y)dy
34
 dy  f (x, y)dx
35
 dx  f (x, y)dy
R x
36
2
 f ( x, y)dy
0
x R
R
R 2 x 2
R
1
x R
37
 dx  f ( x, y)dy
y
2
2 y
 dy f (x, y)dx   dy  f (x, y)dx
0
0
1
25  y 2
0
3
y
4
4
x
0
x
8
1
y 1
0
y 1
2
2 x 1
0
x 1
4
y
0
1
y
2
x
0
x
2
2 y4
0
y 4
2
3 x
1
4
2
x
5 x
1
4/ х
2
4 x 2
0
4 2 x
 dy  f (x, y)dx
 dx 2f (x, y)dy
 dy 2 f ( x, y)dx
x R
a
4
31
 dx  f ( x, y)dy
 dx
27
30
 dy  f ( x, y)dy
0
22
№
29
Продолжение табл.3.1
Задание
0
38
 dx 2 f (x, y)dy
 dy  f (x, y)dx
 dx 3f ( x, y)dy
 dy 2 f ( x, y)dx
 dx  f ( x, y)dy
 dx  f (x, y)dy
 dx  f (x, y)dy
13
№
39
40
Задание
2
8x
0
x
1
2 x
 dx 2f ( x, y)dy
 dx  f (x, y)dy
0
41
42
43
44
45
46
47
x2
0
x
 dx  2f ( x, y)dy
3
25  x 2
0
3
0
4 x
 dx  f ( x, y)dy
 dx  f ( x, y)dy
0
1
0
3 x
0
1 .5
2x2
y 3
0
2y
0
x 3
 dx  f (x, y)dy
 dy 2f ( x, y)dx
 dx 2f (x, y)dy
1
2x
1
3 y
 dy 2f ( x, y)dx
49
3 x
52
53
54
55
56
57
58
 dx 2f (x, y)dy
59
 dx  f (x, y)dy
60
1,5
2x
2
5 x
0
0
4
9 y 2
0
1, 25 y
0
5
y
4
4
 9 y 2
1
x 2 1
0
1
1
4 x 2
0
0
 dy  f (x, y)dx
 dy  f (x, y)dx
2y
0
48
51
x
1
0
№
50
Продолжение табл.3.1
Задание
 dx  f (x, y)dy
 dx  f ( x, y)dy
2
4
0
2
x
2y
1
0
3
3 x
0
0
2
2 x 2 1
0
0
1
2 x 2
3
2 x 1
4
x
1
0
3
9 x 2
0
x 9
 dx 2f ( x, y)dy
 dy  f (x, y)dx
 dx  f ( x, y)dy
 dx  f ( x, y)dy
 dx  f (x, y)dy
 dx  f ( x, y)dy
 dx 2 f ( x, y)dy
14
№
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
Задание
1
4 y
 dy  f (x, y)dx
0
0
1
2
x 1
0
0
2
x 2
0
x
 dx  f (x, y)dy
 dx 2f (x, y)dy
2
1
4 x
0
4
2 x 1
7x
0
0,5 x 1
1
4 x 2
0
2 x 2 1
4
x2
0
0
2
x 2 4
2
1
0
x
 dx  f ( x, y)dy
 dx  f ( x, y)dy
 dx  f (x, y)dy
 dx  f ( x, y)dy
 dx  f (x, y)dy
№
72
73
74
75
76
77
78
79
 dx 3f ( x, y)dy
80
0
x
2
4 x 2
81
2
x 4
2a
2 ax  x 2
0
0
 dx 2 f ( x, y)dy
 dx  f ( x, y)dy
82
Продолжение табл.3.1
Задание
0
16  x 2
4
x 16
2
4 y 2
2
y 4
2
2 x 5
1
1
x 2
2 y 5
1
y 2
3
9 y 2
0
y 9
2
8 x 2
2
x
1
2 y 2
1
y
2
y2 4
2
0
 dx 2 f ( x, y)dy
 dy 2 f (x, y)dx
 dx 2 f (x, y)dy
 dy 2 f ( x, y)dx
 dy 2 f (x, y)dx
 dy 2f ( x, y)dx
 dy 2f (x, y)dx
 dy  f ( x, y)dx
2
a  a 2  y2
0
a
y
2a  y
0
a  a 2  y2
 dy
 f (x, y)dx
 dy
8
 f (x, y)dx
6
y
2
 dx 3 f (x, y)dy
0
y
15
№
83
84
85
86
87
Задание
2a
2ay  y 2
0
a
0
a x
0
2
 dy  f (x, y)dx
 dx  f (x, y)dy
5
0
 25 y 2
a
a 2 x 2
a
0
 f (x, y)dx
 dx  f ( x, y)dy
4
4
x
1
1
0
x 1
1
x 1
1
1 x 2
1
1 x
93
2
 a x
5 y
 dy
№
92
94
95
96
 dx  f ( x, y)dy
88
89
 dx 2 f (x, y)dy
 dx  f ( x, y)dy
90
2
4
x
2
2
97
98
99
 dx 2 f (x, y)dy
91
2
1
x /2
4 3 x
 dx 3f (x, y) dy
0
x
100
Окончание табл.3.1
Задание
1
y
0
y
4
y2
0
4
0
7 y
0
0,5 y 1
1
2 y 2
3
2 y 1
3
4 y
0
0
4
9 x 2
0
1, 25 x
1
4 y 2
0
2
0
y2
0
y
 dy 3f ( x, y)dx
 dy  f ( x, y)dx
 dy  f ( x, y)dx
 dy  f (x, y)dx
 dy  f ( x, y)dx
 dx  f (x, y)dy
 dy  f ( x, y)dx
 dy 2f ( x, y)dx
0
5
x
4
4
 9 y 2
 dx  f (x, y)dy
16
3.2 ЗАДАЧА 2
Вычислить двойной интеграл  f ( x, y)dxdy . Предварительно сделать черD
теж области интегрирования.
Таблица 3.2
№№
f(x,y)
Уравнения линий, ограничивающих область D
1
y2
x
y  x, y  2x, x  2, x  4
2
x3y2
x 2  y2  R 2
3
x2  y
y  x 2 , y2  x
4
x2
y2
x  2, y  x, yx  1
5
cos(x  y)
x  0, y  , y  x
6
1  x 2  y2
x 2  y 2  1, x  0, y  0
7
1
y  x , y   x , x 2  y 2  1.
a x y
2
2
2
,а  1
y  x, y   x, x  1
8
x 2  y2
9
x
y
y 2  x , x  0, y  1.
x
x2
y
,y  x
2

10
x 2  y2
11
x
x  y  2, x 2  ( y  1) 2  1
17
Продолжение табл.3.2
1
2
3
12
y
y  0, ( x  1) 2  y 2  1, ( y  0)
13
x  2y
y  x  x2, y  1 x2,x  0
14
x2
y
15
x
y 2  2px , x  p
1
, x  1, x  2
x
x 2  y2
16
xy 2
y 2  2px , x  p
17
xy
x 2  y 2  R 2 , x  0, y  0
18
y
x 2  (y  a) 2  a 2
19
x 2  y2
20
a 2  x 2  y2
x 2  y 2  a 2 ( x  0)
21
1 2
y
4
2x  y  0, x  y  9
22
4  x2
x 2  y2  4
23
x2
24
4xy
x 2  y2  4
25
2x
y  2 x, y 
26
y
27
4y
x 2  y 2  2ax
y  0, x  0, x  y  2
1 2
x
4
x  0, x  4, y 
x 2  y 2  4y
25  x 2
18
Продолжение табл.3.2
1
2
3
28
x 2 ye xy
0  x  1, 0  y  2
29
x2  y
x  0, y  0, x  y  5
30
x2
y2
y  x, xy  4, x  6
31
y ln x
y  1, y  x , x  2
32
x 2  y2
x 2  y2  2
x2
33
4  x2
x  0, y  0, y  6  x, x  2
34
x  y2
2x  y  0, x  y  9, y  0
35
x 2  y2
x  0, y  x, y  4  x 2
36
x 2  y2 1
y  0, y  2 x , x 2  y 2  9
37
2x
y  0, x  16  y 2 , y  2
38
x2 1
y  x, y  3  x, x  0
39
x2
x  0, y  2x, x  y  6
40
4xy
x 2  y 2  42
41
4y
y  x 2 , x  3, y  0
42
9x
y  x,y  2 x , x  9
43
y2  2
2x  3y  6, x  0, y  0
19
Продолжение табл.3.2
1
2
3
44
6  2x
45
2x
x  y , x  0, y  4
46
1 y
x  y, y  x
47
3x
y  0, y  4, x  0, x  y  6
48
x 2  y2
x 2  y 2  16
49
x 2  y2
y  2x, y  1, y  6  x
50
1 2
y
2
x  2y 2 , x  2y  4
51
x 2  2y 2
x  0, x  2 y  10, y  x 2
52
4  y2
y  x 2 , y  4  3x
53
x2
x  0, y  2x, x  y  9
54
x 2  y2
55
x 2  y2  2
y  x, y  2  x 2
56
x  2y
y  x2,x  y  6
57
y2
58
4  x2
x  0, y  0, y  3, x  y  6
59
16  x 2
y  0, x  y  8, x  0
60
x 2  y2
y  x , x 2  y 2  4, x  0
x  0, y  0, x  3, y 
25  x 2
x  0, y  0, y  4,5x  2 y  10
x  0, y  0, y  3, x  y  6
20
Продолжение табл.3.2
1
2
3
61
5  x2
x  0, y  0, x  3y  6
62
x 2  y2  2
x  0, y  x , y  2  x 2 ( x  0)
63
6  2y
64
x 2  y2  3
65
y
x  0, x  3, y  36  x 2
66
y2  2
2x  y  6, x  0, y  0
67
16  x 2
x  4; y  0;2x  3y  6
68
25  x 2
x  5; y  0; x  y  0
69
xy
y  x, y  2x, x  2, x  4
70
x 2 y3
x 2  y 2  25
71
xy 4
x  2, y  x, yx  1
72
x 2  y2
y  x, y   x, x  1
73
x3y
y
74
5x
y 2  4x, x  2
x  0, y  0, x 2  y 2  25
5x  2 y  10, y  4, x  0, y  0
1
, x  1, x  2
x
x 2  y2
75
xy 2
y 2  8x , x  4
76
1
x 2  y 2  16
25  x 2  y 2
21
Окончание табл.3.2
1
2
3
77
y2
y  0; ( x  1) 2  y 2  1; ( y  0)
78
x3y2
x  0; y  0;3x  2 y  6
79
xy
x  8, y  x, y  2x
80
x2y
y  x, x  y  4, y  0
81
x 2  y2
82
16  x 2  y 2
x 2  y 2  16( y  0)
83
1  x 2  y2
x 2  y2  1
84
x x 2  y2
y  0, y  2x, x  4
85
x 2  y2
y  x, y   x, x  1
86
xy
87
y x 2  y2
88
1
16  x 2  y 2
x 2  y 2  2x
x 2  y 2  25, y  0, x  0
x  0, x  2 y, y  5
x 2  y2  9
22
3.3.
ЗАДАЧА 3
Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями.
Таблица 3.3
№№
Уравнения линий
№№
Уравнения линий
1
x  y 2  2 y; x  y  0
15
3x 2  25y;5 y 2  9 x
2
y  2  x; y 2  4 x  4
16
xy  4; x  y  5
3
y 2  4x  x 2 ; y 2  2x
17
x  y  1; x  3y  1;
x  y; x  2 y
(вне параболы)
4
3y 2  25x;5x 2  9 y
18
  4 sin ;   2 sin 
5
y  4 x  x 2 ; y  2 x 2  5x
19
  a cos 2
6
x  4  y 2 ; x  2y  4  0
20
  a sin 3
7
  2(1  cos );   2
21
(x 2  y 2 ) 2  2y 3
(вне кардиоиды)
8
  2(1  cos );   2 cos 
22
(x 2  y 2 ) 3  a 2 (x 4  y 4 )
9
(x 2  y 2 )5  a 4 x 4 y 2
23
( x 2  y 2 ) 2  2a 2 ( x 2  y 2 )
10
(x 2  y 2 )3  a 2 x 3 y
24
( x 2  y 2 ) 2  a 2 xy
11
(x 2  y 2 )3  a 4 x 2
25
y  x; y  2 x; x  4
12
( x 2  y 2 ) 5  a 6 xy 3
26
( x 2  y 2 )  2a 2 ( x 2  y 2 )
13
( x 2  y 2 ) 3 a 4 y 2
27
y  cos x; y  cos 2 x;
y  0; ( x  0)
14
x  y; x  2 y;
x  y  6; x  3y  6
28
y  x; y  5x; x  1
23
Продолжение табл.3.3
1
29
2
  2(1  cos );
3
4
42
y 2  4(1  x ); x 2  y 2  4
  2 cos 
(вне параболы)
30
(x 2  y 2 ) 5  a 6 x 3 y
43
5
xy  a 2 ; x  y  a
2
31
(x 2  y 2 ) 2  a 2 (x 2  2y 2 )
44
y  4  x2;
y  2x  4  0
32
(x 2  y 2 )3  a 2 y 4
45
y   x ; y   2x ; x  1
33
xy  6; x  y  7
46
( x 2  y 2 ) 2  4x 3
34
x  y 2  4 y; x  y  0
47
(x 2  y 2 )3  x 4  y 4
35
y  x 2  4 x; x  y  0
48
( x 2  y 2 ) 2  2a 2 ( x 2  y 2 )
36
x  4 y  y 2 ; x  2 y 2  5y
49
x  y; x  2 y; y  4
37
  5;   1  cos 
50
(x 2  y 2 )3  a 2 x 2 y 2
(вне кардиоиды)
38
xy  8;
xy9
51
( x 2  y 2 ) 2  a 2 (4x 2  y 2 )
39
x 2  y 2  2 x; y  x;
52
( x 2  y 2 ) 3  a 2 x 2 (4x 2 3y 2 )
53
( x 2  y 2 ) 2  a 2 (3x 2  2 y 2 )
54
x 4  a 2 (3x 2  y 2 )
x 2  y 2  4 x; y  0
40
  a (1  cos );
  a cos ; a  0
41
y 2  10x  25
y 2  6x  9
24
3.4. ЗАДАЧИ 4-5
Вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями. Найти координаты центра масс этого тела в предположении, что оно однородно.
№№
1
Уравнения поверхностей
z  0; z  y; x  0
№№
10
z  0; z  16  x 2 ;
11
z  0; z  y 2 ;
12
x  2 y  8; x  0;
4
5
z  0; z  9  x 2 ;
x  0; y  0;
2y  x  6
13
z  0; z  1  x 2 ;
14
z  0; z  4  x 2 ;
z  0; z  4  y 2 ;
9
15
z  0; z  9  x 2 ;
y  0; x  y  3
16
z  0; z  4  x  y;
x 2  y2  4
z  0; z 
1 2
y ;
4
2 x  y  0; x  y  9
17
z  0; z  x 2  y 2 ;
18
x  0; x 2  y 2  4; y  x
z  0; z  y 2 ;
x 2  y2  9
x  0; x  y  6
8
z  0; z  2 y; x  0;
x  6; x  y  9
x  0; y  0; x  y  6
7
z  0; z  9  x 2 ; x  0;
x  2 y  8; y  0;
y  0; y  5  x
6
z  0; z  4 y ; x  0;
2x  y  6
y  0; x  y  8; x  0
3
z  0; z  x 2 ; y  0;
xy4
x  4; y  25  x 2
2
Таблица 3.4
Уравнения поверхностей
z  0; z  2x; y  0;
y  2; x  16  y 2
z  0; y  z  4; y  x 2
25
Продолжение табл.3.4
1
19
2
z  0; z  x 2  y 2 ;
3
28
21
z  0; z  x 2 ;
y  2 x;
xy6
29
z  0; z  x 2  1;
30
z  0; z  x 2  y 2  1;
y  0; y  2 x;
z  0; y  x ;
y  2 x;
xz9
y  x; x  y  3; x  0
22
z  0; x  z  9;
x  y2
x 2  y2  9
20
4
z  0; z  25  y 2 ;
y  0; x  0; x  y  10
31
z  0; z  y 2  1;
x  2 y  10; x  0; y  0;
x 2  y2  9
23
24
25
z  0; z  9  x 2 ;
x  0; y  x;
xy6
32
z  0; z  y 2  2;
x  0; y  0;
2 x  3y  6
33
z  0; x  0; y  0;
2 x  z  6;
y  0; x  3y  6
z  0; y  4; z  2x;
34
z  0; z  3x; y  4;
y  0; x  y  6
z  0;
2 y 2  x;
x  2y  z  4  0
35
x  2y
27
z  0; y  27 ;
x 2  y2  4
x 2  y 2  25
26
z  0; z  1  x 2 ;
z  0; x  0; y  0;
y  z  1; x  y 2  1
36
z  0; x  0; y  0;
z  9  y 2 ;3x  4 y  12
26
Продолжение табл.3.4
1
37
2
z  0; x  y ; x  2 y ;
3
46
z  0; x  y ; y  x ;
47
z  0; x  0; y  0;
z  0; y  0;
z  2x  4; y  x 2
y  z 1
39
z  0; x  0; y  0;
y  z  2; y  x 2  1
yz 9
38
4
48
z  x 2  y 2 ; x 2  y 2  16
z  0; z  x 2  y 2 ;
y  1; y  x 2
( x  0; y  0)
40
z  0; y  1; y  2x;
x  0;
49
x  0; y  x 2 ;
z  x 2  y2
41
z  0; z  4  y 2 ;
x  2 y  10
50
y  x2
42
z  0; y  2x;
51
x  y  9; z  x 2
43
z  0; z  x 2  y 2  2;
z  0; x  0; y  0;
52
z  0; x  0; y  0;
2 y  z  2;
x  2  y2
z  0; z  y; x  0;
z  0; x  0;
2x  y  6; z  x 2
53
x  z  2; y  6  x 2
45
z  0; y  2x 2 ;
2z  3y  6
x  3; y  36  x 2
x  0; y  x; y  2  x 2
44
z  0; z  x 2  2 y 2 ;
z  0; y  0;
z  25  x 2 ;
xy8
54
z  0; y  0;
z  16  x 2 ;
2 x  3y  6
27
Продолжение табл.3.4
1
55
2
z  0; x  0; y  0;
2 y  z  6;
3
64
4
z  0; z  2 y ; x  0;
3x  5y  15
x 2  y 2  25;
56
z  0; y  0; x  0;
5x  2 y  10; y  4;
65
z  16  x 2 ;
z  x 2  y2
57
z  0;
2x  y  8
66
x  y2;
59
z  0; z  4  y 2 ;
x  0;
2x  y  8  0
67
z  0; y  3x; z  x 2 ;
68
z  0; z  x 2  y 2 ;
z  0; y  0; z  3x;
69
z  0; x  z  6;
z  0; y  2x 2 ;
z  4 y  8  0;
70
z  0; z  x 2  y 2  5;
y  2x; y  8; x  0
y  3; x  25  y 2
62
z  0; z  2x 2  y 2 ;
y  3x; y  6; x  0
x 2  y 2  36
61
z  0; z  y 2  3;
x  4 y  8; x  0; y  0
xy8
60
z  0; z  y 2 ;
x 2  y 2  25
4x  z  8
58
z  0; y  0;
71
y2  x
z  0; y  0; x  0;
z  y2;
2 x  5 y  10  0
63
z  0; z  4  2 y;
y  2x 2
72
z  0; z  x 2  y 2 ;
x 2  y 2  100
28
Продолжение табл. 3.4
1
73
74
2
z  0; x  0; y  0;
3
81
z  8  x2;
x  2 y  6;
x  2y  8
z  0; x  0; y  0;
x  2 y  8;
82
z  0; y  0;
77
x  5 y  10
83
z  0; z  2x 2  3y 2 ; x  0
1
y  x 2 ; x  5y  10
2
84
z  0; z  8  x 2  y 2 ;
85
z  0; y  0; x  0;
x  z  6;
z  0; x  0;
2 x  3y  6;
z  0; y  0;
4x  y  8;
z  1 x2
z  0; z  x; y  0;
y  3; x  18  y 2
86
z  0; y  0; x  0;
z  9  y 2 ;3x  4 y  12
( y  0)
87
z  0; y  0; x  0;
z  4  x2;
2x  y  4; ( y  0)
z  6  x 2  5y 2
80
z  0; z  3y  6; x  0;
y  0; x  4  y 2
y  4  x2
79
z  0; x  0; y  0; z  x 2 ;
2x  3y  12
y  x; y  2; x  0
78
z  0; x  0;
z  16  y 2 ;
z  5  x2;
2x  5y  10
76
z  0; y  0;
z  16  y 2 ;
z  y2  4
75
4
88
z  0;
x2
z  4 y ;y 
2
2
29
Окончание табл. 3.4
1
2
3
z  0; z  2 y 2 ;
89
94
3x  4 y  12; x  0
z  0; y  0;
90
95
z  x 2  y2 ;
x  3; z  0
z  0; y  0; z  xy;
x  y  2; y  x
z  25  x 2 ;
x  y  10
z  x 2  y2 ; y  x 2 ;
91
4
96
y  1; z  0
x 2  y 2  2x; z  x  2 y;
x 2  y 2  2 y; z  0;
97 z  0; x  0; y  0;
x2 z2
z  0;

1
x  2 y  6; z 2  x 2  y 2 (z  0)
16 9
3
y  x; y  0; (z  0, x  0)
4
92
y  ln x; y  ln 2 x;
93
98
z  0; y  z  1;
z  0; z  16  x 2  y 2 ;
x 2  y 2  4x
3.5. ЗАДАЧА 6
Q – тело в четырехмерном пространстве R4, представляющее собой прямое произведение круга K  {x  ( x 1 , x 2 )  R : x 1  x 2  1} и прямо2
2
2
угольника П  {y  ( y1 , y 2 )  R : 0  y1  1, 0  y 2  n}, т.е.
2
Q  {z  ( x , y)  ( x 1 , x 2 y1 , y 2 )  R 4 : x  K, y  П}.
Вычислить четырехкратный интеграл
 (x1  x 2  y1 y 2 ) dz.
2
Q
2
30
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.2. М.: Высшая школа,
1981.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.Т.2. М:
Наука , 1978.
3. Тюленева Г.И. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы. Метод. указания для дист. обучение для технич. спец./ КГТУ. Курск, 1999.
4. Данко П.Е., Попов А.Г. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. М. : Высш. шк., 1980.
5. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М. : Высш. шк., 1966.
6. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1959.
7. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике.М. : Наука, 1976.