Министерство образования Российской Федерации
Юго-Западный государственный университет
Кафедра высшей математики
Кратные интегралы
Методические указания и индивидуальные задания
для тренинга и контроля
Курск 2001
2
Составители: И.Н. Бурилич, В.И. Дмитриев
Кратные интегралы: Методические указания и индивидуальные задания для
тренинга и контроля / Курск. гос. техн. ун-т; Сост. И.Н. Бурилич, В.И. Дмитриев. Курск, 2001.30 с.
Предназначены для студентов всех специальностей всех форм обучения
Рецензент канд. техн. наук, доц. В.И.Дроздов
Текст печатается в авторской редакции
ЛР №020280 от 09.12.96. ПЛД № 50-25 от 1.04.97.
Подписано в печать . . . . . . . . . . . . . . . . Формат 60 х 84 1/16. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 1,87 . Уч. – изд. л. 2.01 . Тираж 100 экз. Заказ . . . . . Бесплатно.
Курский государственный технический университет.
Подразделение оперативной полиграфии Курского государственного
технического университета.
Адрес университета и подразделения оперативной полиграфии:
305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94.
3
Содержание
1. Общие указания …………………………………………………………4
2. Образцы выполнения заданий …………………………………………4
2.1. Задача 1……………………………………………………………..4
2.2. Задача 2 …………………………………………………………….5
2.3. Задача 3 …………………………………………………………….6
2.4. Задача 4-5 …………………………………………………………..7
2.5. Использование пакета "Mathcad" при вычислении
кратных интегралов ………………………………………………9
3. Индивидуальные задания …………………………………………… 11
3.1. Задача 1…………………………………………………………… 11
3.2. Задача 2 ……………………………………………………………16
3.3. Задача 3 ……………………………………………………………22
3.4. Задача 4-5 ………………………………………………………… 24
3.5. Задача 6 ……………………………………………………………29
Библиографический список ……………………………………………..30
4
1. ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ
Настоящее пособие предназначено для студентов, изучающих раздел
"Кратные интегралы" курса математики. Оно может использоваться как тематический многовариантный сборник задач тренингового характера для
студентов дистанционной формы образования – в особенности тьюторами
при контактном обучении, - а также как сборник заданий по соответствующему модулю системы РИТМО.
Студент, изучающий курс математики по модульной системе, должен
выполнить индивидуальное задание, определяемое номером n студента в
журнале группы и указаниями преподавателя. Рекомендуется трехуровневая
система комплектации индивидуальных заданий. Уровни 1-й, 2-й, 3-й предлагают студенту набор задач, решение которых требует соответственно, по
меньшей мере, удовлетворительного, хорошего, отличного знания темы
"Кратные интегралы". Каждый студент – в зависимости от степени своей математической подготовки – должен: 1) выбрать определенный уровень; 2)
выполнить задания этого уровня. Возможный комплект заданий: для первого
уровня – 1, 2, 3; для второго – 1, 2, 3, 4; для третьего 1-5.
Задача 6 предлагается тем студентам, которым необходимо освоить технику интегрирования в размерностях, больших 3.
Задачи 2 – 6 могут быть решены на ЭВМ с помощью, например программного пакета Mathcad. Порядок действий при этом таков: n-кратный интеграл, подлежащий вычислению, следует предварительно преобразовать в
повторный, т.е. представить его как результат n последовательных однократных интегрирований. Повторный интеграл непосредственно вычисляется соответствующей программой Mathcad'a.
2. ОБРАЗЦЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
2.1.
ЗАДАЧА 1
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
3
2y
1
0
dy f (x, y) dx .
РЕШЕНИЕ. Область интегрирования органичена прямыми y = 1, y = 3,
x = 0, x = 2y. На рис.2.1. она представляет трапецию АВСD.
5
y
D
Н
С
А
В
х
0
Рис.2.1. Область интегрирования
При интегрировании в другом порядке, вначале по y, необходимо разбить область АВСD прямой BH, параллельной Оy на две части, так как нижняя линия границы этой области состоит из двух частей АВ и ВС, которые
имеют уравнения y = 1 и y = x/2.
Поэтому интеграл при изменении порядка интегрирования окажется
равным сумме двух интегралов
3
2y
2
3
6
3
1
0
0
1
2
x/2
dy f (x, y) dx dx f (x, y) dy dx f (x, y) dy.
2.2. ЗАДАЧА 2
Вычислить двойной интеграл
D
dxdy
x y
2
2
,
где D – круговое кольцо, заключенное между окружностями
x 2 y 2 1, x 2 y 2 4 (рис.2.2)
y
x 2 y2 4
х
x 2 y2 1
Рис.2.2. Область интегрирования D
6
РЕШЕНИЕ. Преобразуем двойной интеграл, отнесенный к декартовым
координатам (x,y), в двойной интеграл в полярных координатах (,). Имеем
x cos , y sin . Якобиан соответствующего преобразования равен .
Очевидно, что точкам (x,y)D взаимно однозначно соответствуют точки
(,) области G {(, ) : 0 2, 1 2}. Поэтому данный интеграл равен
1
cos sin
2
G
2
2
2
2
2
0
1
0
2
2
2
0
1
dd dd d d
G
d d 2.
2.3. ЗАДАЧА 3
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y 2 x 3 , y 2 8(6 x ) 3 .
РЕШЕНИЕ. Построив данные полукубические параболы y х ,
2
3
y 2 8(6 x ) 3 , получим криволинейный четырехугольник ОАВС на
рис.2.3, О(0;0), В(6;0), С(4;8)
y
8
C
B
6
0
x
А
Рис.2.3. Графики функций y х , y 8(6 x )
2
3
2
3
7
Вследствие симметричности фигуры относительно оси Ох, ее площадь
S равна удвоенной площади фигуры D - криволинейного треугольника ОВС:
8
1
6 y 2 / 3
2
8
1
6 y 2 / 3
2
0
y2 / 3
0
y2 / 3
S 2 dxdy 2 dy
D
dx 2 x
8
3
dy 2 (6 y 2 / 3 )dy
2
0
9 5/3 8
9
2
2(6 y y ) 2(48 32) 38 .
10
10
5
0
2.4. ЗАДАЧИ 4-5
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями hz x y ,
z h (h 0) .Найти координаты центра масс тела, предполагая, что оно
2
2
однородно.
x 2 y2
РЕШЕНИЕ. Данное тело ограничено снизу параболоидом z
,
h
2
2
сверху плоскостью z=h и проектируется в круг x y h плоскости XOY.
z
y
х
Рис.2.4. Область интегрирования
Используем цилиндрические координаты:
x cos ,
y sin ,
z z,
в которых уравнение параболоида будет
2 cos 2 2 sin 2
z
,
h
т.е.
2
z
.
h
8
Объем тела равен
2
2
2
V dxdydz dddz d d dz d h d
h
(V)
0
0
0
0
( V* )
2 / h
h
h
h
2
h 2 4 h
h 3 h 3 2
h 3
d d
.
4h 0
4 0
3
2
0 2
Координаты центра масс тела вычисляются по формулам
M yz
M xy
M zx
Xc
, Yc
, Zc
, где
M
M
M
M ( x, y, z)dxdydz,
(V)
M yz x( x, y, z)dxdydz,
(V)
M zx y( x, y, z)dxdydz,
(V)
M xy z( x, y, z)dxdydz,
(V)
где ( x, y, z) - плотность тела в точке (х,y,z). Для однородного тела можно
положить ( x, y, z) 1.
Находим:
2
2
2
M dddz d d dz d h d
h
0
0
0
0
( V* )
2 / h
h
h
h
2
h 2 4 h
h 3 h 3 2
h 3
d d
.
2
4
h
2
4
3
0
0
0
2
h
h
M yz cos dddz cos d d dz
2
2
( V* )
2
0
0
2 / h
2
h
2
2
4
cos d h d cos d h d
h
h
0
0
0
0
2
h
2
2
2
3
h4 h4
5 h
2h 4
cos h d cos
d
sin 0.
3
5
h
3
5
15
0
0
0
0
9
2
2
2
4
M zx sin d d dz sin d h d
h
0
0
0
0
2 / h
h
h
h
2
2
2
2h 4
2h 4 2
2h 4
sin d
sin d 15 cos 0.
15
15
0
0
0
2
2
h
h 2 4
z2
M xy d d zdz d
d d
2 d
2 2 / h
2 2h
0
0
0
0
0
0
2 / h
2
h
h
2
h
h
2
h 2 5
2h 2
6 h 2 h 4 h 2
d
2 d
2
4 12 d
2
4
2
h
12
h
0 0
0
0
0
h
h4 h2
.
2
4
12
Таким образом
X c 0, Yc 0, Z c h
1
.
3h
2.5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПАКЕТА МATHCAD ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ
КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ЗАДАЧА. Вычислить тройной интеграл
I ( x y z) dxdydz,
T
y2 z2
1} (т.о. Т – часть
где T {( x , y, z) : x 0, y 0, z 0, x
2
3
y2 z2
2
1 , лежащая в неотриобласти, ограниченной эллипсоидом x
2
3
2
цательном октанте пространства).
РЕШЕНИЕ. Выполняя переход от кратного интеграла к повторным интегралам, получаем
2
2 y
)
2 3(1 x
2 (1 x )
1
2
dy dx
I
(
x
y
z
)
dz
0
0
0
(*)
10
Обратимся к Mathcad. Вызовем на экран математическую палитру. Из
окна математической палитры вызовем Arithmetic Palette и Calculus Palette.
Наберем на экране правую часть равенства (*). Для набора знака определенного интеграла используем Calculus Palette, действуя мышью. Все остальное
набираем или клавиатурой или – математические знаки –с помощью Arithmetic Palette, действуя мышью. По окончании набора нажмем клавишу ПРОБЕЛ и затем знак "=" (равно). Справа от знака "=" появляется результат:
1.994.
Задача решена.
11
3.ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ.
3.1. ЗАДАЧА 1
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле, сделав чертеж
области интегрирования.
Таблица 3.1
№
Задание
№
Задание
3 y
y
1
1
10 3
dy f (x, y)dx
dy f ( x, y)dx
2
3
4
5
6
7
0
y
1
1 x 2
1
0
a
2 ax x 2
0
x
2
4 x 2
2
2
4 x 2
2x
1
x
1
x
2
2 x
0
0
1
0
3
1
( 3 x )
2
1
0
11
dx f ( x, y)dy
12
dx f (x, y)dy
13
dx f (x, y)dy
14
dx f (x, y)dy
dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy
2
1
x
0
0
2
2 x
0
4 x 2
0
0
2
0
2
4 y 2
0
y2
15
16
dx f ( x, y)dy dx f ( x, y)dy
8
9
dx f ( x, y)dy dx f ( x, y)dy
dy f (x, y)dx
17
18
0
9 y 2
R
R 2 x 2
0
0
2R
2 Ry y 2
dx f ( x, y)dy
dy f (x, y)dx
R/2
6
x 2
0
dx f (x, y)dy
2
2 x 4
3
6 2 y
0
9 y 2
4
16 x 2
0
16 x
8
4
8x x 2
2
0
6
12 x
0
6x x 2
5
5 y
0
25 y 2
dy f (x, y)dx
dx f2(x, y)dy
dx f ( x, y)dy
dx f ( x, y)dy
dy f (x, y)dx
12
№
19
Задание
21
3 x 2
1
dx 2f ( x, y)dy
0
20
4
x
2
6 y
0
y
R
R 2 x 2
23
24
25
26
2ay y 2
0
y
3
9 x 2
0
x 3
a
a 2 y2
0
y a
5
x
1
x 5
R
2
2
28
32
dy f (x, y)dx
33
dx f ( x, y)dy
34
dy f (x, y)dx
35
dx f (x, y)dy
R x
36
2
f ( x, y)dy
0
x R
R
R 2 x 2
R
1
x R
37
dx f ( x, y)dy
y
2
2 y
dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
0
0
1
25 y 2
0
3
y
4
4
x
0
x
8
1
y 1
0
y 1
2
2 x 1
0
x 1
4
y
0
1
y
2
x
0
x
2
2 y4
0
y 4
2
3 x
1
4
2
x
5 x
1
4/ х
2
4 x 2
0
4 2 x
dy f (x, y)dx
dx 2f (x, y)dy
dy 2 f ( x, y)dx
x R
a
4
31
dx f ( x, y)dy
dx
27
30
dy f ( x, y)dy
0
22
№
29
Продолжение табл.3.1
Задание
0
38
dx 2 f (x, y)dy
dy f (x, y)dx
dx 3f ( x, y)dy
dy 2 f ( x, y)dx
dx f ( x, y)dy
dx f (x, y)dy
dx f (x, y)dy
13
№
39
40
Задание
2
8x
0
x
1
2 x
dx 2f ( x, y)dy
dx f (x, y)dy
0
41
42
43
44
45
46
47
x2
0
x
dx 2f ( x, y)dy
3
25 x 2
0
3
0
4 x
dx f ( x, y)dy
dx f ( x, y)dy
0
1
0
3 x
0
1 .5
2x2
y 3
0
2y
0
x 3
dx f (x, y)dy
dy 2f ( x, y)dx
dx 2f (x, y)dy
1
2x
1
3 y
dy 2f ( x, y)dx
49
3 x
52
53
54
55
56
57
58
dx 2f (x, y)dy
59
dx f (x, y)dy
60
1,5
2x
2
5 x
0
0
4
9 y 2
0
1, 25 y
0
5
y
4
4
9 y 2
1
x 2 1
0
1
1
4 x 2
0
0
dy f (x, y)dx
dy f (x, y)dx
2y
0
48
51
x
1
0
№
50
Продолжение табл.3.1
Задание
dx f (x, y)dy
dx f ( x, y)dy
2
4
0
2
x
2y
1
0
3
3 x
0
0
2
2 x 2 1
0
0
1
2 x 2
3
2 x 1
4
x
1
0
3
9 x 2
0
x 9
dx 2f ( x, y)dy
dy f (x, y)dx
dx f ( x, y)dy
dx f ( x, y)dy
dx f (x, y)dy
dx f ( x, y)dy
dx 2 f ( x, y)dy
14
№
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
Задание
1
4 y
dy f (x, y)dx
0
0
1
2
x 1
0
0
2
x 2
0
x
dx f (x, y)dy
dx 2f (x, y)dy
2
1
4 x
0
4
2 x 1
7x
0
0,5 x 1
1
4 x 2
0
2 x 2 1
4
x2
0
0
2
x 2 4
2
1
0
x
dx f ( x, y)dy
dx f ( x, y)dy
dx f (x, y)dy
dx f ( x, y)dy
dx f (x, y)dy
№
72
73
74
75
76
77
78
79
dx 3f ( x, y)dy
80
0
x
2
4 x 2
81
2
x 4
2a
2 ax x 2
0
0
dx 2 f ( x, y)dy
dx f ( x, y)dy
82
Продолжение табл.3.1
Задание
0
16 x 2
4
x 16
2
4 y 2
2
y 4
2
2 x 5
1
1
x 2
2 y 5
1
y 2
3
9 y 2
0
y 9
2
8 x 2
2
x
1
2 y 2
1
y
2
y2 4
2
0
dx 2 f ( x, y)dy
dy 2 f (x, y)dx
dx 2 f (x, y)dy
dy 2 f ( x, y)dx
dy 2 f (x, y)dx
dy 2f ( x, y)dx
dy 2f (x, y)dx
dy f ( x, y)dx
2
a a 2 y2
0
a
y
2a y
0
a a 2 y2
dy
f (x, y)dx
dy
8
f (x, y)dx
6
y
2
dx 3 f (x, y)dy
0
y
15
№
83
84
85
86
87
Задание
2a
2ay y 2
0
a
0
a x
0
2
dy f (x, y)dx
dx f (x, y)dy
5
0
25 y 2
a
a 2 x 2
a
0
f (x, y)dx
dx f ( x, y)dy
4
4
x
1
1
0
x 1
1
x 1
1
1 x 2
1
1 x
93
2
a x
5 y
dy
№
92
94
95
96
dx f ( x, y)dy
88
89
dx 2 f (x, y)dy
dx f ( x, y)dy
90
2
4
x
2
2
97
98
99
dx 2 f (x, y)dy
91
2
1
x /2
4 3 x
dx 3f (x, y) dy
0
x
100
Окончание табл.3.1
Задание
1
y
0
y
4
y2
0
4
0
7 y
0
0,5 y 1
1
2 y 2
3
2 y 1
3
4 y
0
0
4
9 x 2
0
1, 25 x
1
4 y 2
0
2
0
y2
0
y
dy 3f ( x, y)dx
dy f ( x, y)dx
dy f ( x, y)dx
dy f (x, y)dx
dy f ( x, y)dx
dx f (x, y)dy
dy f ( x, y)dx
dy 2f ( x, y)dx
0
5
x
4
4
9 y 2
dx f (x, y)dy
16
3.2 ЗАДАЧА 2
Вычислить двойной интеграл f ( x, y)dxdy . Предварительно сделать черD
теж области интегрирования.
Таблица 3.2
№№
f(x,y)
Уравнения линий, ограничивающих область D
1
y2
x
y x, y 2x, x 2, x 4
2
x3y2
x 2 y2 R 2
3
x2 y
y x 2 , y2 x
4
x2
y2
x 2, y x, yx 1
5
cos(x y)
x 0, y , y x
6
1 x 2 y2
x 2 y 2 1, x 0, y 0
7
1
y x , y x , x 2 y 2 1.
a x y
2
2
2
,а 1
y x, y x, x 1
8
x 2 y2
9
x
y
y 2 x , x 0, y 1.
x
x2
y
,y x
2
10
x 2 y2
11
x
x y 2, x 2 ( y 1) 2 1
17
Продолжение табл.3.2
1
2
3
12
y
y 0, ( x 1) 2 y 2 1, ( y 0)
13
x 2y
y x x2, y 1 x2,x 0
14
x2
y
15
x
y 2 2px , x p
1
, x 1, x 2
x
x 2 y2
16
xy 2
y 2 2px , x p
17
xy
x 2 y 2 R 2 , x 0, y 0
18
y
x 2 (y a) 2 a 2
19
x 2 y2
20
a 2 x 2 y2
x 2 y 2 a 2 ( x 0)
21
1 2
y
4
2x y 0, x y 9
22
4 x2
x 2 y2 4
23
x2
24
4xy
x 2 y2 4
25
2x
y 2 x, y
26
y
27
4y
x 2 y 2 2ax
y 0, x 0, x y 2
1 2
x
4
x 0, x 4, y
x 2 y 2 4y
25 x 2
18
Продолжение табл.3.2
1
2
3
28
x 2 ye xy
0 x 1, 0 y 2
29
x2 y
x 0, y 0, x y 5
30
x2
y2
y x, xy 4, x 6
31
y ln x
y 1, y x , x 2
32
x 2 y2
x 2 y2 2
x2
33
4 x2
x 0, y 0, y 6 x, x 2
34
x y2
2x y 0, x y 9, y 0
35
x 2 y2
x 0, y x, y 4 x 2
36
x 2 y2 1
y 0, y 2 x , x 2 y 2 9
37
2x
y 0, x 16 y 2 , y 2
38
x2 1
y x, y 3 x, x 0
39
x2
x 0, y 2x, x y 6
40
4xy
x 2 y 2 42
41
4y
y x 2 , x 3, y 0
42
9x
y x,y 2 x , x 9
43
y2 2
2x 3y 6, x 0, y 0
19
Продолжение табл.3.2
1
2
3
44
6 2x
45
2x
x y , x 0, y 4
46
1 y
x y, y x
47
3x
y 0, y 4, x 0, x y 6
48
x 2 y2
x 2 y 2 16
49
x 2 y2
y 2x, y 1, y 6 x
50
1 2
y
2
x 2y 2 , x 2y 4
51
x 2 2y 2
x 0, x 2 y 10, y x 2
52
4 y2
y x 2 , y 4 3x
53
x2
x 0, y 2x, x y 9
54
x 2 y2
55
x 2 y2 2
y x, y 2 x 2
56
x 2y
y x2,x y 6
57
y2
58
4 x2
x 0, y 0, y 3, x y 6
59
16 x 2
y 0, x y 8, x 0
60
x 2 y2
y x , x 2 y 2 4, x 0
x 0, y 0, x 3, y
25 x 2
x 0, y 0, y 4,5x 2 y 10
x 0, y 0, y 3, x y 6
20
Продолжение табл.3.2
1
2
3
61
5 x2
x 0, y 0, x 3y 6
62
x 2 y2 2
x 0, y x , y 2 x 2 ( x 0)
63
6 2y
64
x 2 y2 3
65
y
x 0, x 3, y 36 x 2
66
y2 2
2x y 6, x 0, y 0
67
16 x 2
x 4; y 0;2x 3y 6
68
25 x 2
x 5; y 0; x y 0
69
xy
y x, y 2x, x 2, x 4
70
x 2 y3
x 2 y 2 25
71
xy 4
x 2, y x, yx 1
72
x 2 y2
y x, y x, x 1
73
x3y
y
74
5x
y 2 4x, x 2
x 0, y 0, x 2 y 2 25
5x 2 y 10, y 4, x 0, y 0
1
, x 1, x 2
x
x 2 y2
75
xy 2
y 2 8x , x 4
76
1
x 2 y 2 16
25 x 2 y 2
21
Окончание табл.3.2
1
2
3
77
y2
y 0; ( x 1) 2 y 2 1; ( y 0)
78
x3y2
x 0; y 0;3x 2 y 6
79
xy
x 8, y x, y 2x
80
x2y
y x, x y 4, y 0
81
x 2 y2
82
16 x 2 y 2
x 2 y 2 16( y 0)
83
1 x 2 y2
x 2 y2 1
84
x x 2 y2
y 0, y 2x, x 4
85
x 2 y2
y x, y x, x 1
86
xy
87
y x 2 y2
88
1
16 x 2 y 2
x 2 y 2 2x
x 2 y 2 25, y 0, x 0
x 0, x 2 y, y 5
x 2 y2 9
22
3.3.
ЗАДАЧА 3
Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями.
Таблица 3.3
№№
Уравнения линий
№№
Уравнения линий
1
x y 2 2 y; x y 0
15
3x 2 25y;5 y 2 9 x
2
y 2 x; y 2 4 x 4
16
xy 4; x y 5
3
y 2 4x x 2 ; y 2 2x
17
x y 1; x 3y 1;
x y; x 2 y
(вне параболы)
4
3y 2 25x;5x 2 9 y
18
4 sin ; 2 sin
5
y 4 x x 2 ; y 2 x 2 5x
19
a cos 2
6
x 4 y 2 ; x 2y 4 0
20
a sin 3
7
2(1 cos ); 2
21
(x 2 y 2 ) 2 2y 3
(вне кардиоиды)
8
2(1 cos ); 2 cos
22
(x 2 y 2 ) 3 a 2 (x 4 y 4 )
9
(x 2 y 2 )5 a 4 x 4 y 2
23
( x 2 y 2 ) 2 2a 2 ( x 2 y 2 )
10
(x 2 y 2 )3 a 2 x 3 y
24
( x 2 y 2 ) 2 a 2 xy
11
(x 2 y 2 )3 a 4 x 2
25
y x; y 2 x; x 4
12
( x 2 y 2 ) 5 a 6 xy 3
26
( x 2 y 2 ) 2a 2 ( x 2 y 2 )
13
( x 2 y 2 ) 3 a 4 y 2
27
y cos x; y cos 2 x;
y 0; ( x 0)
14
x y; x 2 y;
x y 6; x 3y 6
28
y x; y 5x; x 1
23
Продолжение табл.3.3
1
29
2
2(1 cos );
3
4
42
y 2 4(1 x ); x 2 y 2 4
2 cos
(вне параболы)
30
(x 2 y 2 ) 5 a 6 x 3 y
43
5
xy a 2 ; x y a
2
31
(x 2 y 2 ) 2 a 2 (x 2 2y 2 )
44
y 4 x2;
y 2x 4 0
32
(x 2 y 2 )3 a 2 y 4
45
y x ; y 2x ; x 1
33
xy 6; x y 7
46
( x 2 y 2 ) 2 4x 3
34
x y 2 4 y; x y 0
47
(x 2 y 2 )3 x 4 y 4
35
y x 2 4 x; x y 0
48
( x 2 y 2 ) 2 2a 2 ( x 2 y 2 )
36
x 4 y y 2 ; x 2 y 2 5y
49
x y; x 2 y; y 4
37
5; 1 cos
50
(x 2 y 2 )3 a 2 x 2 y 2
(вне кардиоиды)
38
xy 8;
xy9
51
( x 2 y 2 ) 2 a 2 (4x 2 y 2 )
39
x 2 y 2 2 x; y x;
52
( x 2 y 2 ) 3 a 2 x 2 (4x 2 3y 2 )
53
( x 2 y 2 ) 2 a 2 (3x 2 2 y 2 )
54
x 4 a 2 (3x 2 y 2 )
x 2 y 2 4 x; y 0
40
a (1 cos );
a cos ; a 0
41
y 2 10x 25
y 2 6x 9
24
3.4. ЗАДАЧИ 4-5
Вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями. Найти координаты центра масс этого тела в предположении, что оно однородно.
№№
1
Уравнения поверхностей
z 0; z y; x 0
№№
10
z 0; z 16 x 2 ;
11
z 0; z y 2 ;
12
x 2 y 8; x 0;
4
5
z 0; z 9 x 2 ;
x 0; y 0;
2y x 6
13
z 0; z 1 x 2 ;
14
z 0; z 4 x 2 ;
z 0; z 4 y 2 ;
9
15
z 0; z 9 x 2 ;
y 0; x y 3
16
z 0; z 4 x y;
x 2 y2 4
z 0; z
1 2
y ;
4
2 x y 0; x y 9
17
z 0; z x 2 y 2 ;
18
x 0; x 2 y 2 4; y x
z 0; z y 2 ;
x 2 y2 9
x 0; x y 6
8
z 0; z 2 y; x 0;
x 6; x y 9
x 0; y 0; x y 6
7
z 0; z 9 x 2 ; x 0;
x 2 y 8; y 0;
y 0; y 5 x
6
z 0; z 4 y ; x 0;
2x y 6
y 0; x y 8; x 0
3
z 0; z x 2 ; y 0;
xy4
x 4; y 25 x 2
2
Таблица 3.4
Уравнения поверхностей
z 0; z 2x; y 0;
y 2; x 16 y 2
z 0; y z 4; y x 2
25
Продолжение табл.3.4
1
19
2
z 0; z x 2 y 2 ;
3
28
21
z 0; z x 2 ;
y 2 x;
xy6
29
z 0; z x 2 1;
30
z 0; z x 2 y 2 1;
y 0; y 2 x;
z 0; y x ;
y 2 x;
xz9
y x; x y 3; x 0
22
z 0; x z 9;
x y2
x 2 y2 9
20
4
z 0; z 25 y 2 ;
y 0; x 0; x y 10
31
z 0; z y 2 1;
x 2 y 10; x 0; y 0;
x 2 y2 9
23
24
25
z 0; z 9 x 2 ;
x 0; y x;
xy6
32
z 0; z y 2 2;
x 0; y 0;
2 x 3y 6
33
z 0; x 0; y 0;
2 x z 6;
y 0; x 3y 6
z 0; y 4; z 2x;
34
z 0; z 3x; y 4;
y 0; x y 6
z 0;
2 y 2 x;
x 2y z 4 0
35
x 2y
27
z 0; y 27 ;
x 2 y2 4
x 2 y 2 25
26
z 0; z 1 x 2 ;
z 0; x 0; y 0;
y z 1; x y 2 1
36
z 0; x 0; y 0;
z 9 y 2 ;3x 4 y 12
26
Продолжение табл.3.4
1
37
2
z 0; x y ; x 2 y ;
3
46
z 0; x y ; y x ;
47
z 0; x 0; y 0;
z 0; y 0;
z 2x 4; y x 2
y z 1
39
z 0; x 0; y 0;
y z 2; y x 2 1
yz 9
38
4
48
z x 2 y 2 ; x 2 y 2 16
z 0; z x 2 y 2 ;
y 1; y x 2
( x 0; y 0)
40
z 0; y 1; y 2x;
x 0;
49
x 0; y x 2 ;
z x 2 y2
41
z 0; z 4 y 2 ;
x 2 y 10
50
y x2
42
z 0; y 2x;
51
x y 9; z x 2
43
z 0; z x 2 y 2 2;
z 0; x 0; y 0;
52
z 0; x 0; y 0;
2 y z 2;
x 2 y2
z 0; z y; x 0;
z 0; x 0;
2x y 6; z x 2
53
x z 2; y 6 x 2
45
z 0; y 2x 2 ;
2z 3y 6
x 3; y 36 x 2
x 0; y x; y 2 x 2
44
z 0; z x 2 2 y 2 ;
z 0; y 0;
z 25 x 2 ;
xy8
54
z 0; y 0;
z 16 x 2 ;
2 x 3y 6
27
Продолжение табл.3.4
1
55
2
z 0; x 0; y 0;
2 y z 6;
3
64
4
z 0; z 2 y ; x 0;
3x 5y 15
x 2 y 2 25;
56
z 0; y 0; x 0;
5x 2 y 10; y 4;
65
z 16 x 2 ;
z x 2 y2
57
z 0;
2x y 8
66
x y2;
59
z 0; z 4 y 2 ;
x 0;
2x y 8 0
67
z 0; y 3x; z x 2 ;
68
z 0; z x 2 y 2 ;
z 0; y 0; z 3x;
69
z 0; x z 6;
z 0; y 2x 2 ;
z 4 y 8 0;
70
z 0; z x 2 y 2 5;
y 2x; y 8; x 0
y 3; x 25 y 2
62
z 0; z 2x 2 y 2 ;
y 3x; y 6; x 0
x 2 y 2 36
61
z 0; z y 2 3;
x 4 y 8; x 0; y 0
xy8
60
z 0; z y 2 ;
x 2 y 2 25
4x z 8
58
z 0; y 0;
71
y2 x
z 0; y 0; x 0;
z y2;
2 x 5 y 10 0
63
z 0; z 4 2 y;
y 2x 2
72
z 0; z x 2 y 2 ;
x 2 y 2 100
28
Продолжение табл. 3.4
1
73
74
2
z 0; x 0; y 0;
3
81
z 8 x2;
x 2 y 6;
x 2y 8
z 0; x 0; y 0;
x 2 y 8;
82
z 0; y 0;
77
x 5 y 10
83
z 0; z 2x 2 3y 2 ; x 0
1
y x 2 ; x 5y 10
2
84
z 0; z 8 x 2 y 2 ;
85
z 0; y 0; x 0;
x z 6;
z 0; x 0;
2 x 3y 6;
z 0; y 0;
4x y 8;
z 1 x2
z 0; z x; y 0;
y 3; x 18 y 2
86
z 0; y 0; x 0;
z 9 y 2 ;3x 4 y 12
( y 0)
87
z 0; y 0; x 0;
z 4 x2;
2x y 4; ( y 0)
z 6 x 2 5y 2
80
z 0; z 3y 6; x 0;
y 0; x 4 y 2
y 4 x2
79
z 0; x 0; y 0; z x 2 ;
2x 3y 12
y x; y 2; x 0
78
z 0; x 0;
z 16 y 2 ;
z 5 x2;
2x 5y 10
76
z 0; y 0;
z 16 y 2 ;
z y2 4
75
4
88
z 0;
x2
z 4 y ;y
2
2
29
Окончание табл. 3.4
1
2
3
z 0; z 2 y 2 ;
89
94
3x 4 y 12; x 0
z 0; y 0;
90
95
z x 2 y2 ;
x 3; z 0
z 0; y 0; z xy;
x y 2; y x
z 25 x 2 ;
x y 10
z x 2 y2 ; y x 2 ;
91
4
96
y 1; z 0
x 2 y 2 2x; z x 2 y;
x 2 y 2 2 y; z 0;
97 z 0; x 0; y 0;
x2 z2
z 0;
1
x 2 y 6; z 2 x 2 y 2 (z 0)
16 9
3
y x; y 0; (z 0, x 0)
4
92
y ln x; y ln 2 x;
93
98
z 0; y z 1;
z 0; z 16 x 2 y 2 ;
x 2 y 2 4x
3.5. ЗАДАЧА 6
Q – тело в четырехмерном пространстве R4, представляющее собой прямое произведение круга K {x ( x 1 , x 2 ) R : x 1 x 2 1} и прямо2
2
2
угольника П {y ( y1 , y 2 ) R : 0 y1 1, 0 y 2 n}, т.е.
2
Q {z ( x , y) ( x 1 , x 2 y1 , y 2 ) R 4 : x K, y П}.
Вычислить четырехкратный интеграл
(x1 x 2 y1 y 2 ) dz.
2
Q
2
30
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.2. М.: Высшая школа,
1981.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.Т.2. М:
Наука , 1978.
3. Тюленева Г.И. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы. Метод. указания для дист. обучение для технич. спец./ КГТУ. Курск, 1999.
4. Данко П.Е., Попов А.Г. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. М. : Высш. шк., 1980.
5. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М. : Высш. шк., 1966.
6. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1959.
7. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике.М. : Наука, 1976.
