ПРИЛОЖЕНИЕ
1. Спецкурс программы специалитета, годовой: Теория множеств.
2. Преподаватель: асс. Д.В. Фуфаев.
3. Аннотация курса: аксиоматика теории множеств, кардинальные и ординальные числа, трансфинитная индукция, парадокс БанахаТарского, теория категорий, К-теория, теорема Эрроу
4. Тематическое содержание курса:
Тема 1
Аксиоматика Цермело-Френкеля.
Тема 2
Введение в теорию множеств. Основные определения и понятия.
Тема 3
Отображения и их свойства.
Тема 4
Сходимость по ультрафильтрам.
Тема 5
Кардинальные числа. Основные свойства.
Тема 6
Конечные кардинальные числа, множество натуральных чисел и простейшие бесконечные множества.
Тема 7
Арифметика кардинальных чисел.
Тема 8
Континуум-гипотеза в рамках классической теории множеств.
Тема 9
Структура порядка, порядковые типы множеств.
Тема 10
Арифметика порядковых типов.
Тема 11
Вполне упорядоченные множества, ординальные числа.
Тема 12
Теорема Цермело и основные свойства ординальных чисел.
Тема 13
Трансфинитная индукция и ее применения.
Тема 14
Значение аксиомы выбора в математике.
Тема 15
Эквивалентность аксиомы выбора.
Тема 16
Альтернативы аксиоме выбора.
Тема 17
Равносоставленные и равновеликие фигуры на плоскости и в пространстве.
Тема 18
Парадокс Банаха-Тарского (начало).
Тема 19
Парадокс Банаха-Тарского (окончание).
Тема 20
Значение парадокса Банаха-Тарского для теории меры.
Тема 21
Аменабельные группы и группы движений.
Тема 22
Введение в теорию категорий. Основные примеры.
Тема 23
Функторы и естественные преобразования функторов.
Тема 24
Универсальные объекты. Примеры.
Тема 25
Сопряженные функторы, лемма Ионеды.
Тема 26
Представимые и h-функторы.
Тема 27
Проективность и инъективность, гомология.
Тема 28
Функтор расслоений.
Тема 29
Функтор Гельфанда.
Тема 30
К-функтор Гротендика.
Тема 31
Алгебраическая К-теория.
Тема 32
Теорема Эрроу.
5. Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки результатов обучения, характеризующих этапы
формирования компетенций.
Вопросы к экзамену:
1. Аксиоматика теории множеств.
2. Равномощные множества, кардиналы, их арифметика.
3. Порядковые типы, их арифметика, порядковые кардинала.
4. Вполне упорядоченные множества, теорема Цермело.
5. Аксиома выбора, лемма Цорна.
6. Парадокс Банаха-Тарского.
7. Аменабельные группы.
8. Категории и функторы, простейшие примеры.
9. Универсальные объекты и представимые функторы.
10. К-функтор Гротендика и функтор Гельфанда.
11. Теорема Эрроу.
Текущий контроль успеваемости – задачи для самостоятельного решения, на 10-й неделе.
Примеры предлагаемых задач:
1) Представить сходимость последовательности как сходимость по ультрафильтру.
2) Доказать, что любой бесконечный кардинал равен своему квадрату.
3) Доказать, что в фиксированном пространстве все базисы Гамеля равномощны.
4) Построить борелевскую сигма-алгебру с помощью трансфинитной индукции.
5) Показать, что группа, содержащая свободную группу с двумя образующими не аменабельна.
6) Привести пример неизмеримого множества на прямой.
7) Доказать существование тензорного произведения как универсального функтора.
8) Доказать, что функтор сопряжения — представимый функтор.
6. Перечень основной и дополнительной учебной литературы:
1. Ф. Хаусдорф, «Теория множеств», М.: Едиториал УРСС, 2004, 304 с.
2. К. Куратовский, А. Мостовский, «Теория множеств», М.: «МИР», 1970, 416 с.
3. С. Маклейн, «Категории для работающего математика», М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004, 352 с.
4. S. Wagon «The Banach-Tarski Paradox», Cambridge University Press, 1985, 253 p.
5. В. Босс «Лекции по математике: контрпримеры и парадоксы», М.: Едиториал УРСС, 2009, 216 с.
6. P. Komjath, V. Totik, «Problems and theorems in classical set theory», Springer, 2006, 514 p.
7. Н.К.Верешагин, А.Шень, «Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств», М.: МЦНМО, 2012,
112 с.
7. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет»: https://ru.wikipedia.org
Программа утверждена на заседании кафедры математического анализа
Протокол № 6 от 17 декабря 2014 г.
