Математика: Оценочные материалы 1 семестр

Примерные оценочные материалы, применяемые при проведении
промежуточной аттестации по дисциплине «Математика»
1 семестр
При проведении промежуточной аттестации студентам необходимо
выполнить два задания по теме «Производная функции одной переменной»,
два задания по теме «Предел функции», решить задачу по геометрии и
ответить на один теоретический вопрос. (Задания в вариантах могут быть
изменены на аналогичные).
Вопросы теории
1.
Числовые множества. Верхняя и нижняя грани.
2.
Числовые последовательности.
3.
Предел последовательности. Свойства предела.
4.
Функции. Определение. Основные элементарные функции.
5.
Предел функции. Свойства предела.
6.
Виды неопределённостей.
7.
Способы раскрытия неопределённостей.
8.
Вычисление пределов при помощи формул эквивалентности.
9.
Непрерывность.
10. Классификация точек разрыва.
11. Нахождение корня уравнения методом половинного деления.
12. Производная функции.
13. Геометрический смысл производной.
14. Экономический смысл производной.
15. Уравнения касательной и нормальной прямой.
16. Правила дифференцирования.
17. Дифференцируемость и непрерывность.
18. Дифференциал.
19. Теоремы о среднем.
20. Экстремум функции.
21. Применение второй производной. Выпуклость.
22. Асимптоты графика функции.
23. Построение графика функции.
Вариант №1
1) Найти производную от функции y  x 2 sin 3x
2) Найти производную
 y  t  arctg2t ,
dy
функции 
при t  1
3
dx
 x  t  6arcctgt
3) Найти производную функции y  tgx3 
ln 4 x
4) Вычислить пределы функций:
1  2x  3
1.
lim
x4
2.
lim
3x 2  5 x
x  0 sin 3 x
3.
lim
3x 2  x 3  5 x
x   2x3  6x  7
4.
x5
lim
 3x  1 


x    3x  2 
x 2
5. Составить уравнение прямой, проходящей через т. M 1 (2; 3;  1) и M 2 (3;1; 4) и
указать какая из т. A, B, C, D, E лежит на этой прямой:
а) A(5;  3;14) ;
б) B(5;14;  3) ;
в) C (3; 5;14) ;
г) D(3;14; 5) ;
д) E(14;  3; 5) .
Вариант №2
1) Найти производную от функции y  x 3 ln 4 x
2) Найти производную
 y  3t  arctgt 2 ,
dy
1
t

функции 
при
dx
2
 x  t 4  arcctgt
3) Найти производную функции y  cos 2 x sin 3 x
4) Вычислить пределы функций:
1.
lim
1 x  3
x  8 2  3 x
2.
lim
1  cos 2 x
x  0 cos 7 x  cos 3 x
3.
lim
( x  1) 3  ( x  1) 2
2x3  x  5
x
4.
x2
lim
 2x  1 


x    2x  7 
5) Составить уравнение прямой, проходящей через т. M 1 (0;1;  1) и M 2 (1; 2;  3)
и указать какая из т. A, B, C, D, E лежит на этой прямой:
а) A(3; 4;  7) ;
б) B(3;  7; 4) ;
в) C(4; 3;  7) ;
г) D(4;  7; 3) ;
д) E(7; 4; 3) .
Вариант №3
1) Найти производную от функции y  x 4 tg 2 x
 y  t 3  arctg3t ,
dy
1
2) Найти производную
функции  1
при t 
dx
3
 x  t  arcctg3t
3

3) Найти производную функции y  cos x 5 
sin 3 x
4) Вычислить пределы функций:
1.
lim
x 1
x 1
x2 1
2.
lim
2x
x  0 tg (  2 x)
3.
lim
2  ( x  2) 3
x   3x 3  6 x  7
4.
x 1
lim
 3x  1 


x    3x  2 
5)
Составить уравнение прямой, проходящей через т. M 1 (2; 0;  1) и M 2
(3;  1; 2) и указать какая из т. A, B, C, D, E лежит на этой прямой:
а) A(5;  3; 8) ;
б) B(5; 8;  3) ;
в) C(3; 5; 8) ; г) D(3; 8; 5) ;
д) E(8;  3; 5) .
Вариант №4
1) Найти производную от функции y  x 5 e 4 x
2) Найти производную
 y  t  65arctgt 3 ,
dy
1
t

функции 
при
2
dx
2

 x  t  arcctgt
3) Найти производную функции y  cos 2 x tg 3 x
4) Вычислить пределы функций:
x  13  2 x  1
x2  9
1.
lim
x3
2.
lim
sin 2 x
x  0 4x 2
3.
lim
15 x 5  6 x 4  2
x   4  3x 3  5 x 5
4.
2x  3
lim
 x 1 


x    x  2
5) Составить уравнение прямой, проходящей через т. M 1 (1;1;  1) и M 2 (2;  1; 3)
и указать какая из т. A, B, C, D, E лежит на этой прямой:
а) A(4;  5;11) ;
б) B(4;11;  5) ;
в) C (5; 4;11) ;
г) D(5;11; 4) ;
д) E(11;  5; 4) .
Вариант №5
1) Найти производную от функции y  x 4 ctg5x
 y  t 5  ln 25t ,
dy
1
2) Найти производную
функции  1
при t 
dx
5
 x  t  arccos 3t
4

3) Найти производную функции y  sin x 7 
sin 4 x
4) Вычислить пределы функций:
1.
3
lim
x6 2
x  2 x 3  8
2.
lim
x0
3.
lim
( x  2) 2  x 3
x   ( x  1) 2  x 3
4.
1
lim
1

5
x

x


x  0  1  2x 
arcsin 3 x
2 x  2
5) Составить уравнение прямой, проходящей через т. M 1 (2; 0;  1) и M 2 (3;  1; 2)
и указать какая из т. A, B, C, D, E лежит на этой прямой:
а) A(5;  3; 8) ;
б) B(5; 8;  3) ;
в) C(3; 5; 8) ;
г) D(3; 8; 5) ;
д) E(8;  3; 5) .
Вариант №6
1) Найти производную от функции y  x 3 sin 5x
2) Найти производную
 y  t  arctg3t ,
dy
функции 
при t  1
2
dx
 x  t  2arcctgt
3) Найти производную функции y  cos 3x sin 2 x
4) Вычислить пределы функций:
4) Вычислить пределы функций:
1.
2.
3.
3
lim
x 1
x 1
1  x  2x
lim
1  sin 2 x
(  4 x) 2
x

4
lim
(6  x ) 2  x 3
x   (2  x) 3
4.
x2
lim
 2x  1 


x    2x  1 
5) Составить уравнение прямой, проходящей через т. M 1 (0;2;3) и M 2 (1;1;2) и
указать какая из т. A, B, C, D, E лежит на этой прямой
а) A(3;1;0) ;
б) B(3;0;1) ;
в) C (1;3;0) ;
г) D(1;0;3) ;
д) E(0;3;1) .
Вариант №7
1) Найти производную от функции y  x 4 ln 7 x
 y  7t  arctgt 3 ,
dy
2) Найти производную
функции 
при t  2
dx
 x  t 5  arcctgt
3) Найти производную функции y  cos 5 x sin 7 x
4) Вычислить пределы функций:
1.
lim
x 8
9  2x  5
2.
lim
x0
1 x 1
sin x
3.
lim
2 x  x 2  3x 3
x   x 3  5x 2  7
4.
2
lim
 x  4x


x  0  2x  4 
3
x 2
5) Составить уравнение прямой, проходящей через т. M 1 (1;0;4) и M 2 (1;1;1) и
указать какая из т. A, B, C, D, E лежит на этой прямой
а) A(5;3;5) ;
б) B(5;5;3) ;
в) C (3;5;5) ;
г) D(3;5;5) ;
д) E(5;5;3) .
Вариант №8
1) Найти производную от функции y  x 5tg 4 x
 y  t 5  arctg 4t ,
dy
1
2) Найти производную
функции 
при t 
5
dx
2
 x  t  arcctg 4t
16

3) Найти производную функции y  cos x 4 
sin 8 x
4) Вычислить пределы функций:
1.
3
lim
27  x  3 27  x
x
x0
2.
lim
2 x sin x
x  0 1  cos x
3.
lim
( x  2) 3  ( x  1) 2
3x 3  8
x
4.
3
 x2 1 x2
lim


x  0  2 x 2  1 
5) Составить уравнение плоскости, проходящей через прямые:
x3  y  z 1 и x1  y 1  z .
2
1
2
2
1
2
Вариант №9
1) Найти производную от функции y  x 6 e 5 x
 y  t  17 arctgt 2 ,
dy
2) Найти производную
функции 
при t  2
1 5
dx
x

t

arcctgt

20

3) Найти производную функции y  cos 4 x tg 6 x
4) Вычислить пределы функций:
1.
lim
x 1
3
x 1
1  x  2x
lim
2.
x

4
1  sin 2 x
(  4 x) 2
3.
lim
(6  x ) 2  x 3
x   (2  x) 3
4.
x2
lim
 2x  1 


x    2x  1 
5) Составить уравнение прямой, проходящей через т. M 1 (0;2;3) и M 2 (1;1;2) и
указать какая из т. A, B, C, D, E лежит на этой прямой
а) A(3;1;0) ;
б) B(3;0;1) ;
в) C (1;3;0) ;
г) D(1;0;3) ;
д) E(0;3;1) .
Вариант №10
1) Найти производную от функции y  x 7 ctg10 x
 y  t 2  arcsin 5t ,
dy
1
2) Найти производную
функции 
при t 
2
dx
25
t  arccos 5t
x 
25

3) Найти производную функции y  sin x 2 
sin 7 x
4) Вычислить пределы функций:
1.
lim
1 x  1 x
3
x  0 1 x  3 1 x
2.
lim
x0
3.
lim
(3  x) 3
x   ( x  1) 2  2
4.
x2
lim
 3x  1 


x    3x  3 
2x  x
sin 2 x
5) Составить уравнение плоскости, проходящей через т. A3;0;1 и прямую
x1  y 1  z .
2
1
2
Вариант №11
1) Найти производную от функции y  x 2 sin 4 x
2) Найти производную
 y  t  arctg3t ,
dy
функции 
при t  1
3
dx
 x  t  2arcctgt
3) Найти производную функции y  cos 4 x sin 3 x
4) Вычислить пределы функций:
1.
2.
3.
4.
x 1
x  1 x 1
lim
2
lim
x 
x2   2
sin x
lim
15 x 4  ( x  2) 2
x   ( x  1) 2  3x 4
3 x
lim
2 x x


x 0 2 x
5) Составить уравнение прямой, проходящей через т. M 1 (0;  2; 3) и M 2 (1;  1; 2)
и указать какая из т. A, B, C, D, E лежит на этой прямой.
Вариант №12
1) Найти производную от функции y  x ln 9 x
7
2

dy
 y  10t  arctgt ,
2) Найти производную
функции 
при t  2
6
dx

 x  t  arcctgt
3) Найти производную функции y  cos 7 x sin 9 x
4) Вычислить пределы функций:
1.
2.
3.
4.
3
lim
x6 2
x2
x  2
1 x2
x  1 sin x
lim
lim
(2 x  1) 2  3x 3
x   x 3  (2 x  1) 2
1 x
lim
3

x

 x


x  0  3  2x 
5) Составить уравнение плоскости, проходящей через прямые 2x  y11  z01 , и
x2  y2  z .
2
1
0
Вариант №13
1) Найти производную от функции y  x 4 tg10 x
 y  t 3  arctg 2t ,
dy
1
2) Найти производную
функции  1
при t 
dx
3
 x  t  arcctg 2t
3

3) Найти производную функции y  cos x 3 
sin 11 x
4) Вычислить пределы функций:
1.
2.
3.
4.
lim
x0
1 x  1 x
7
x
x3  1
x  1 sin( x  1)
lim
lim
14 x 4  3x 2  5
x   1  (2 x 2  1) 2
1 x
lim
 1  2x  x


x  0  1  3x 
5) Составить уравнение прямой, проходящей через т. M 1 (1;1;1) и M 2 (3; 2; 0) и
указать какая из т. A, B, C, D, E лежит на этой прямой.
Вариант №14
1) Найти производную от функции y  x 7 e 8 x
 y  17t  257 arctgt 4 ,
dy
2) Найти производную
функции 
при t  2
1 6
dx
x

t

5
arcctgt

32

3) Найти производную функции y  cos14 x tg 2 x
4) Вычислить пределы функций:
1.
lim
x 8
9  2x  5
2.
lim
x0
x2 2
sin 3 x
3.
lim
( x 2  3) 2  5 x
x   (2 x 2  1) 2  3x
4.
x5
lim
 2x  7 


x    2x  3 
3
x 2
5) Составить уравнение плоскости, проходящей через т. A(3; 2;  1) и прямую
x  y  z 4 .
0 2
1
Вариант №15
1) Найти производную от функции y  x 8 ctg11x
 y  t 3  arctg6t ,
dy
1
2) Найти производную
функции 
при t 
6
dx
7
t  2arcctg6t
x 
49

3) Найти производную функции y  sin x 3 
sin 15 x
4) Вычислить пределы функций:
1.
2.
lim
x 2
x  4 3 x 2  16
x2   2
sin x
lim
x 
3.
lim
( x 2  1) 3  1
x   ( x 2  2) 3  2
4.
2
 x2 1 x  7
lim


x    x 2  2 
5) Составить уравнение прямой, проходящей через т. M 1 (2;  2;1) и M 2 (3;1;  1)
и указать какая из т. A, B, C, D, E лежит на этой прямой.
Вариант №16
1) Найти производную от функции y  x 3 sin 4 x
2) Найти производную
 y  t  arctg4t ,
dy
функции 
при t  1
2
dx
 x  t  3arcctgt
3) Найти производную функции y  cos 3x sin 4 x
4) Вычислить пределы функций:
1.
4
lim
x 2
x  16 x  16
2.
lim
tgx
x  2 x  2
3.
lim
(2 x  1) 3
x   ( x  1) 2  x 3
4.
2 x
lim
 2  3x  x


x 0 2 x 
5) Составить уравнение плоскости, проходящей через прямые: x11  1y  z21 и
x  y2  z 1 .
1
1
2
Вариант №17
1) Найти производную от функции y  x 3 ln 17 x
 y  12t  10 arctgt,
dy
2) Найти производную
функции 
при t  2
1 8
dx
x
t  65arcctgt 3

256

3) Найти производную функции y  cos17 x sin 3 x
4) Вычислить пределы функций:
1.
2.
lim
x4
x4
4  x  2x
3  10  x
x  1 sin 3x
lim
3.
lim
( x  3) 3  8
x   (2 x  1) 3  2
4.
2
 2x 2  7  x  3
lim


x    2 x 2  1 
5) Составить уравнение прямой, проходящей через т. M 1 (2;  1;1) и M 2 (1; 2;  1)
и указать какая из т. A, B, C, D, E лежит на этой прямой.
Вариант №18
1) Найти производную от функции y  x 5tg18 x
 y  t 2  arctg7t ,
dy
1
2) Найти производную
функции  3
при t 
dx
8
 x  t  3arcctg7t
4

3) Найти производную функции y  cos x 2 
sin 17 x
4) Вычислить пределы функций:
1.
lim
x3
x 3
x2  9
2.
lim
x0
4 x 2
3arctgx
3.
lim
4  5x 2  6 x 5
x   5  4 x 2  3x 5
4.
2 x
lim
 2  3x  x


x 0 2 x 
5) Составить уравнение плоскости, проходящей через т. A(1;1;0) и прямую
x1  y  z 1 .
2
3
1
Вариант №19
1) Найти производную от функции y  x 4 e18 x
2) Найти производную
 y  24,9t  arctgt,
dy
1
t

функции 
при
4
3
dx
3
 x  20,25t  730 arcctgt
3) Найти производную функции y  cos17 x tg 3 x
4) Вычислить пределы функций:
1.
3
lim
9x  3
x 3 x3
2.
lim
x0
3.
lim
( x  1)( x 2  3)
x   (2  x 2 )(3x  1)
4.
 x3 1
lim


x    x 3  1 
x3  3
sin 2 x
x3  2
5) Составить уравнение прямой, проходящей через т. M 1 (2;  1; 3) и M 2 (1;1;  1)
и указать какая из т. A, B, C, D, E лежит на этой прямой.
Вариант №20
1) Найти производную от функции y  x 9 ctg 20 x
 y  20t  4 arcsin 3t ,
dy
1
функции 
при t 
3
dx
5
 x  5t  ln 19t
2) Найти производную
3) Найти производную функции y  sin x 4 
sin 12 x
4) Вычислить пределы функций:
1.
2.
3.
4.
lim
x2
x3  8
x 2
sin 2 x
x2   2
lim
x 
lim
x3  2x 2  5
x   x 2  3x 3
1
lim
7

x

x


x  0  7  2x 
5) Составить уравнение прямой, проходящего через т. A(1;3)
перпендикулярно прямой 2 x  y  14  0 .
Вариант №21
1) Найти производную от функции y  x 2 sin 7 x
 y  7t  arctg7t ,
dy
функции 
при t  1
3
dx
 x  t  5arcctgt
2) Найти производную
3) Найти производную функции y  cos 5 x sin 3 x
4) Вычислить пределы функций:
3
1.
lim
x0
2.
lim
arctg3x
x  0 sin 5 x
x
x 3  3 x
3.
lim
3x 4  5
x   (2 x 2  1) 2
4.
lim
 3  2x 


x    5  2x 
2 x1
5) Составить уравнение прямой, проходящей через т. A3; 0 перпендикулярно
прямой 3x  y  1  0 .
Вариант №22
1) Найти производную от функции y  x 5 ln 22 x
2 4

t  82 arcctgt 2
dy
y 
2) Найти производную
функции  27
при t  3
dx
 x  11t  10 arctgt,
3) Найти производную функции y  cos 3x sin 22 x
4) Вычислить пределы функций:
1.
lim
x4
x  12  4
2.
lim
x0
tg 4 x
3.
lim
( x 3  3) 2  1
x   (2  x 3 ) 2  4
4.
x 2
x 1 1
2 x
lim
5

2
x

 x


x  0  5  3x 
5) Составить уравнение прямой, проходящей через т. M 1 (3;  1; 4) и M 2 (2;1;  1)
и указать какая из т. A, B, C, D, E лежит на этой прямой
а) A(0; 5;  11) ;
б) B(0;  11; 5) ;
в) C (5; 0;  11) ;
г) D(0;  11; 5) ;
д) E(11; 0; 5) .
Вариант №23
1) Найти производную от функции y  x 20 tg7 x
 y  t 2  arcsin 3t ,
dy
1
2) Найти производную
функции  1
при t 
dx
4
 x  t  arccos 3t
2

3) Найти производную функции y  cos x 3 
sin 23 x
4) Вычислить пределы функций:
x 2  25
1.
lim
x5
2.
lim
tgx
x  0 sin 2 2 x
3.
lim
2x 6  7
x   ( x 3  3)( 2  x 3 )
4.
lim
 3x  1 


x    3x  2 
x5
x3
5) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку O(0; 0; 0) и
прямую: x21  y31  z11 .
Вариант №24
1) Найти производную от функции y  x 4 e 24 x
 y  21t  10 arctgt,
dy
2) Найти производную
функции 
при t  3
1 5
2
dx
x

t

41
arcctgt

81

3) Найти производную функции y  cos 5 x tg 24 x
4) Вычислить пределы функций:
1.
2.
lim
x  1
3
x7 2
x 1
sin( x  1)
x 1 x2 1
lim
3.
lim
(3x  2) 3
x   ( x 2  1)(2  x)
4.
1
lim
2 xx


x 0 2 x
5) Составить уравнение перпендикуляра, проходящего через середину
отрезка AB , если A2; 5 ; B6;1 .
Вариант №25
1) Найти производную от функции y  x 7 ctg 25 x
 y  10t  ln 8t ,
dy
1
2) Найти производную
функции 
при t 
4
4
dx
5
x  125t  arcsin 3t

5

3) Найти производную функции y  sin x 6 
sin 25 x
4) Вычислить пределы функций:
x2  4
1.
lim
x2
2.
lim
x0
3.
lim
( x  3)(2  x 2 )
( x  1) 3
x
4.
 2x 2  1 
lim


x    2 x 2  3 
x  14  2 x  2
arcsin x
3 x  3
x 2 1
5) Составить уравнение прямой, проходящей через т. M 1 (2; 0;  2) и M 2 (3;1;  3)
и указать какая из т. A, B, C, D, E лежит на этой прямой
а) A(5; 3;  5) ;
б) B(5;  5; 3) ;
в) C(3; 5;  5) ;
г) D(3;  5; 5) ;
д) E(5; 5; 3) .
Вариант №26
1) Найти производную от функции y  x 3 sin 7 x
2) Найти производную
 y  5t  arctgt,
dy
функции 
при t  1
2
dx
 x  t  3arcctg5t
3) Найти производную функции y  cos 7 x sin 3 x
4) Вычислить пределы функций:
1.
3
lim
1 x  3 1 x
x
x0
2.
lim
tg 2 x
x  0 5x 2  9 x
3.
4.
lim
5x 4  6 x  7
x   ( x 2  3) 2
x 1
lim
 2x  1  x


x  0  x 1
5) Составить уравнение плоскости, проходящей через прямые:
x1  y1  z 2 ; и x  y1  z 1 .
1
2
3
1 2
3
Вариант №27
15
1) Найти производную от функции y  x ln 3x
2) Найти производную
1

y  t 4  257 arcctgt2
dy
функции  16
при t  4
dx

 x  13t  17 arctgt,
3) Найти производную функции y  cos 3x sin 27 x
4) Вычислить пределы функций:
1  2 x  1  3x
5x
1.
lim
x0
2.
lim
sin 2 x
x  0 arcsin 3 x
3.
lim
1  2x  x3
x   (2  x) 2  3x 3
4.
 3x 2  2 
lim


x    3 x 2  1 
x 2 5
5). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(1; 0; 5) и
y1
прямую x21  2  3z .
Вариант №28
1) Найти производную от функции y  x 28 tg3x
 y  16t 3  arctg2t ,
dy
1
2) Найти производную
функции 
при t 
dx
4
 x  3t  arcctg2t
3) Найти производную функции y  cos x 5 
sin 28 x
4) Вычислить пределы функций:
1.
lim
x3
x  3 5 1  x  2 4  7 x
2.
lim
4 x 2
x  0 arcsin 2 x
3.
4.
lim
7  x  x 2  2x3
(1  x) 3
x
1
lim
 x  2x


x  0  3x  2 
5) Составить уравнения прямой, проходящей через т. M 1 (2; 0;1) и M 2 (1;  1;  1)
и указать какая из т. A, B, C, D, E лежит на этой прямой
а) A(4;  2;  3) ;
б) B(4; 5;  2) ;
в) C(2; 4; 5) ;
г) D(2; 5; 4) ;
д) E (5;  2; 4) .
Вариант №29
1) Найти производную от функции y  x 6 e 24 x
1 4

t  10 arctgt,
dy
y 
2) Найти производную
функции  36
при t  3
dx
 x  30t  730 arcctgt 3

3) Найти производную функции y  cos 3x tg 29 x
4) Вычислить пределы функций:
1.
2.
lim
x0
1  2 x  1  3x
3x
lim
tg 2 x
sin 3x
x 
3.
lim
( x 2  3) 2  5
x   (1  2 x 2 ) 2  7
4.
lim
 7x  1


x    7x 1
x2
5) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(1; 0; 5) и
y1
прямую x21  2  3z .
Вариант №30
1) Найти производную от функции y  x 7 ctg
x
3
1

dy
1
 y  27t  ln 30t ,
2) Найти производную
функции 
при t  
5
dx
5
 x  5t 2  4 arcsin 3t

3) Найти производную функции y  sin x 6 
sin 30 x
4) Вычислить пределы функций:
1.
2.
3.
4.
lim
x0
xx
x 1 1
lim
arcsin 2 x
x  0 x 1 1
lim
4  x  x5
x   2  x 2  3x 5
7
lim
7 xx


x 0 7 x
5) Составить уравнения прямой, проходящей через т. M 1 (1; 2;1) и M 2 (1;  1; 3)
и указать какая из т. A, B, C, D, E лежит на этой прямой
а) A(3; 5;  1) ;
б) B(3;  1; 5) ;
в) C(5;  3;  1) ;
г) D(5;  1;  3) ;
д) E(1;  3; 5) .
2 семестр
При проведении промежуточной аттестации студентам предлагается выполнить
следующие задания (задания в вариантах могут быть изменены на аналогичные). Для
получения зачета необходимо выполнить любые четыре задания и ответить на один
теоретический вопрос.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Вопросы теории
Функции нескольких переменных.
Частные производные.
Дифференциал.
Градиент. Производная по направлению.
Касательная плоскость к поверхности.
Нормальная прямая к поверхности.
Экстремум функции нескольких переменных.
Условный экстремум.
Неопределенный интеграл. Первообразная.
Основные свойства неопределенного интеграла.
Таблица интегралов.
Замена переменной в неопределенном интеграле.
Интегрирование по частям.
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование простейших иррациональных функций.
Интегрирование тригонометрических функций.
Понятие определенного интеграла и его свойства.
Формула Ньютона-Лейбница.
Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Замена переменной в определенном интеграле.
Несобственные интегралы.
Вычисление площадей плоских фигур при помощи определенного интеграла
Вариант №1
1.
Найти первообразную:
20
 sin x  cos xdx
2.
Найти первообразную:
3x
 2 x  1e dx
3.
Найти первообразную:
dx
 x 2  4x  1
4. Найти площадь области, ограниченной линиями:
2 y   x2 ; x  2 y  0 .
5. Найти величину и направление наибыстрейшего изменения функции
U ( x, y, z )  2 x 2 y  2 xy 2  12 xy  3z 2  6 ln z в точке M 0 (2;3;1) .
Вариант№2
1.
Найти первообразную:
x
 x 2  1 dx
2.
Найти первообразную:
 x  3 cos 2 xdx
3. Найти первообразную:
dx
 x 2  6 x  2 dx
4. Найти площадь области ограничения линиями:
y 2  9  3x , x  y  3  0 .
5. Найти величину и направление наибыстрейшего изменения функции
U ( x, y , z )  x 3 y  4 x 2 
y 3 z  5 y  z в точке M 0 (1;4;4) .
Вариант№3
1.
Найти первообразную:
 sin 2  3x dx
2.
Найти первообразную:
2
 x ln 4 xdx
3.
Найти первообразную:
x4
 x 2  1 dx
Найти площадь области, ограниченной линиями:
x  4  y2; x  y2  2y
5.
Найти величину и направление наибыстрейшего изменения функции
U ( x, y, z )  3x 2  2 y 2  z 2  yz  8 x  2 y  3z в точке M 0 (1;1;1) .
4.
Вариант№4
Найти первообразную:
1.
x
 x 2  3 dx
2.
Найти первообразную:
 x sin 4x dx
3.
Найти первообразную:
dx
 2  x  1  x
Найти площадь области, ограниченной линиями: y = 4x–x2; y = 0
Найти стационарные точки функции F ( x, y) и исследовать их на локальный
экстремум.
F ( x, y)  9 x 2  2 y 2  6 xy  54 x  24 y  85
4.
5.
Вариант№5
1.
Найти первообразную:
 3x  2 dx
2.
Найти первообразную:
  x  2 ex dx
3.
Найти первообразную:
cos x
 1  cos x dx
4. Найти площадь области, ограниченной линиями: y = ln x; y = 0; x = e.
5.
Найти величину и направление наибыстрейшего изменения функции
в точке M 0 (2;3;1) .
U ( x, y, z )
U ( x, y, z )  2 x 2 y  2 xy 2  12 xy  3z 2  6 ln z
Вариант №6
1. Найти первообразную:
x

 sin  5  3 dx
2. Найти первообразную:
 x cos 3xdx
3. Найти первообразную:
dx
 x  1  x  1
3
4. Найти площадь области, ограниченной линиями: y = sin x; y = 0; x = 0;
x = π.
5. Найти производную функции
в точке
U ( x, y, z )  4  xy 2  yz 2  4 z
M 0 (0;0;1) в направлении вектора  ={1;0;1}.
Вариант №7
1. Найти первообразную:
1 2 x
 2e dx
2. Найти первообразную:
 x ln 4 xdx
3. Найти первообразную:
2
2
 sin x cos xdx
4. Найти площадь области, ограниченной линиями: y2 = x3; y = 8; x = 0.
5. Найти стационарные точки функции F ( x, y) и исследовать их на локальный
экстремум.
F ( x, y)  4 x 2  2 y 2  4 xy  36 x  28 y  100
Вариант №8
1. Найти первообразную:
e x dx
 e2 x  1
2. Найти первообразную:
 x  3sin 7 xdx
3. Найти первообразную:
dx
 x  12 x  3
4. Найти площадь области, ограниченной линиями: y = x3; y = 8; x = 0.
5. Найти стационарные точки функции F ( x, y) и исследовать их на локальный
экстремум.
F ( x, y)  4 x 2  2 y 2  4 xy  36 x  28 y  100 .
Вариант №9
1. Найти первообразную:
4 8 x
 e dx
2. Найти первообразную:
 arctgxdx
3. Найти первообразную:
1
1 x
 x 2  x dx
4. Найти площадь области, ограниченной линиями: y  tgx ; y  0 ; x 

.
3
5. Найти величину и направление наибыстрейшего изменения функции U ( x, y, z )
в точке M 0 (1;4;4) ,
U ( x, y , z )  x 3 y  4 x 2 
y3z  5y  z .
Вариант №10
1. Найти первообразную:
dx
 cos2 7 x  5
2. Найти первообразную:
 ln xdx
3. Найти первообразную:
3x  5
 x 2  8x  15 dx
4. Найти площадь области, ограниченной линиями: y  2 x  x 2 ; y   x .
5. Найти производную функции
U ( x, y, z )  2 x 2 y  xy 2  4 z 3
в точке M 0 (1;1;0) в направлении вектора  ={0;1;1}.
Вариант №11
1. Найти первообразную:
dx
 (1  x 2 )arctgx
2. Найти первообразную:
 x cos 2 xdx
3. Найти первообразную:
dx
1 x 1
4. Найти площадь области, ограниченной линиями: y  3  2 x ; y  x 2 .
5. Найти стационарные точки функции F ( x, y) и исследовать их на локальный
экстремум,
F ( x, y)  4 x 2  10 y 2  12 xy  52 x  84 y  170
Вариант №12
1. Найти первообразную:
7
 (3  2 x) dx
2. Найти первообразную:
x
 ( x  1)e dx
3. Найти первообразную:
3
 tg xdx
4. Найти площадь области, ограниченной линиями: y  2x3 ; y  6x 2 .
5. Найти величину и направление наибыстрейшего изменения функции U ( x, y, z )
в точке M 0 (2;1;2) ,
U ( x, y, z )  z 3  ( x  2 y) 2  2 xy  3 yz  14 z .
Вариант №13
1. Найти первообразную:
dx
 sin 2 (2  3x)
2. Найти первообразную:
 ( x  2) cos10 xdx
3. Найти первообразную:
dx
 ( x  1) 2 ( x  2)
4. Найти площадь области, ограниченной линиями: 2 y   x 2 ; x  2 y  0 .
5. Найти
производную
функции
U ( x, y, z )  3xy 2  3xz 2  6 xyz
точке M 0 (1;1;1) в направлении вектора  ={1;1;1}.
Вариант №14
1. Найти первообразную:
ex
 e 2 x  1 dx
2. Найти первообразную:
 x ln 3xdx
3. Найти первообразную:
dx
 (1  x) x
4. Найти площадь области ограничения линиями: y 2  9  3x
x  y  3  0.
5. Найти стационарные точки функции F ( x, y) и исследовать их на локальный
экстремум.
F ( x, y)  4 x 2  8 y 2  12 xy  52 x  72 y  154
Вариант №15
1. Найти первообразную:
 9 x  5dx
2. Найти первообразную:
 ( x  2) sin 15 xdx
3.
Найти первообразную:
dx
3
 x  x2
3. Вычислить площадь области ограниченной линиями: y  2 x  x 2  3 ;
y  x 2  4x  3 .
в
4. Найти величину и направление наибыстрейшего изменения функции U ( x, y, z )
в точке M 0 (1;1;1) .
y
U ( x, y, z )  x 2 y 2 z  2arcctg  2 x
x
Вариант №16
1. Найти первообразную:
1
 3 sin 1  3x dx
2. Найти первообразную:
x
 x e dx
3. Найти первообразную:
dx
 x  2x
2
4. Найти площадь области, ограниченной линиями: x  4  y 2 ; x  y 2  2 y .
5. Найти производную функции
в точке
U ( x, y, z)  2 xy  3 yz  4 xz
M 0 (1;2;0)
в направлении вектора  ={1;2;2}.
Вариант №17
1. Найти первообразную:
 3x  1 dx
15
2. Найти первообразную:
 x  1cos xdx
3. Найти первообразную:
3
 sin xdx
x3
.
3
5. Найти стационарные точки функции F ( x, y) и исследовать их на локальный
экстремум.
F ( x, y)  4 x 2  2 y 2  4 xy  28 x  12 y  46 .
4. Найти площадь области, ограниченной линиями: y  x 2 ; y 
Вариант №18
1. Найти первообразную:
4dx
 2x  3
2. Найти первообразную:
 x ln 2xdx
3. Найти первообразную:
2x  1
 x  1x  2 dx
4. Найти площадь области, ограниченной линиями: xy  4 ; x  y  5  0 .
5. Найти величину и направление наибыстрейшего изменения функции U ( x, y, z )
в точке M 0 (1;1;1) ,
U ( x, y, z )  3x 2  2 y 2  z 2  yz  8 x  2 y  3z .
Вариант №19
1. Найти первообразную:
ex
 e 2 x  1dx
2. Найти первообразную:
 x sin 3xdx
3. Найти первообразную:
3
2
 sin x  cos xdx
4. Найти площадь области, ограниченной линиями: y  x 2  3x ; y  0 .
5. Найти производную функции
U ( x, y, z )  3x 2  2 xy 2  xyz 2
точке M 0 (2;1;0) в направлении вектора  ={2;1;2}.
Вариант №20
1. Найти первообразную:
6dx
 3x  7
2. Найти первообразную:
x
 x  e dx
3. Найти первообразную:
x2
 x 2  5x  6dx
4. Найти площадь области, ограниченной линиями: y  4 x  x 2 ; y  0 .
5. Найти стационарные точки функции F ( x, y) и исследовать их на локальный
экстремум,
F ( x, y)  9 x 2  26 y 2  30 xy  18 x  36 y  10 .
Вариант №21
1.
Найти первообразную:
2.
Найти первообразную:
  x  1 cos x dx
3.
Найти первообразную:
ln x  1
 x  1 dx
dx
 1  5 sin 2 x
в
Найти площадь области, ограниченной линиями: y   x 2  5x  6 ;
y  0.
5. Найти величину и направление наибыстрейшего изменения функции U ( x, y, z )
1 1
1 1
в точке M 0 (1; ; ) ,
U ( x, y, z )  2 x 2  3 xz  2 y  4 z   .
2 3
y z
4.
Вариант №22
1.
Найти первообразную:
tg x
 cos 2 x dx
2.
Найти первообразную:
 ln 3x dx
3.
Найти первообразную:

x 8
dx
2
x x  2 
4.
Найти площадь области, ограниченной линиями: y   x 2 ; x  y  2  0
5.
Найти
производную
функции
U ( x, y, z )  xy  yz  2 x  z 2  3
в точке M 0 (1;2;3) в направлении вектора  ={2;2;1}.
Вариант №23
1.
Найти первообразную:
dx
 x ln x
2.
Найти первообразную:
 x sin 2 x dx
3.
Найти первообразную:
1 x
 1  x dx
4.
5.
Найти площадь области, ограниченной линиями: y 2  9  3x ; x  0 .
Найти стационарные точки функции F ( x, y) и исследовать их на локальный
экстремум.
F ( x, y)  4 x 2  26 y 2  20 xy  44 x  116 y  122
Вариант №24
1. Найти первообразную:
 x x  1dx
2
2. Найти первообразную:
2x
 x  e dx
3. Найти первообразную:
4
 ctg xdx
4. Найти площадь области, ограниченной линиями: y = 2x – x2; y = 2x ; x=1.
5. Найти величину и направление наибыстрейшего изменения функции U ( x, y, z )
точке M 0 (1;1;2) ,
U ( x, y, z )  ( x  y ) 2  xyz 
2
z
2
Вариант №25
1. Найти первообразную:
5dx
 cos 2 5 x 1
2. Найти первообразную:
 x  cos xdx
3. Найти первообразную:
dx
1 x
4. Найти площадь области, ограниченной линиями: x2 + 4y = 0; x = 2; y = 0.
5. Найти производную функции
U ( x, y, z )  xz 2  x 2 y  y 2 z  2 x  y  10
в точке M 0 (1;2;2) в направлении вектора  ={-1;1;-1}.
Вариант №26
1. Найти первообразную:
arcsin x
 1  x 2 dx
2. Найти первообразную:
 x ln xdx
3. Найти первообразную:
3dx
 x  1x  9
4. Найти площадь области, ограниченной линиями: y = x2; x = 2; y = 0.
5. Найти стационарные точки функции F ( x, y) и исследовать их на локальный
экстремум.
F ( x, y)  x 2  8 y 2  6 xy  18 x  46 y  60
Вариант №27
в
1. Найти первообразную:
dx
 1  x  arcsin x
2
2. Найти первообразную:
x
 x  1e dx
3. Найти первообразную:
3
8
 sin x  cos xdx
4. Найти площадь области, ограниченной линиями:
xy  4 ; x  y  5 .
5. Найти величину и направление наибыстрейшего изменения функции U ( x, y, z )
в точке M 0 (2;1;0) ,
U ( x, y, z )  x 2 z 2  3x 2 z  xy 2  5 y 2 z 2  2 x
Вариант 28
1. Найти первообразную:
3
10
 cos x sin xdx
2. Найти первообразную:
 ( x  3) sin xdx
3. Найти первообразную:
x4
 ( x  1)( x  5x  6)dx
2
3. Найти площадь области, ограниченной линиями: y  x 2  2 x ; x  1 ;
y  0.
U ( x, y, z )  2 x 2 y  3xz 2  xy 2 z
4. Найти производную функции
в точке M 0 (0;1;1) в направлении вектора  ={4;3;0}.
Вариант 29
1. Найти первообразную:
2
 sin x cos xdx
2. Найти первообразную:
 arctgxdx
3. Найти первообразную:
( x  1)dx
 x x2
4. Найти площадь области, ограниченной линиями: 4 y  8x  x 2 ; x  y .
5. Найти стационарные точки функции F ( x, y) и исследовать их на локальный
экстремум.
F ( x, y)  4 x 2  3 y 2  8xy  56 x  50 y  180
Вариант №30
1. Найти первообразную:
sin x
 e  cos xdx
2. Найти первообразную:
 ln 2 xdx
3. Найти первообразную:
dx
 1  x  x
3
4. Найти площадь области, ограниченной линиями: 9 y  x 2  0 ; x  3  0 ; y  0 .
5. Найти величину и направление наибыстрейшего изменения функции U ( x, y, z )
точке M 0 (1;4;9) ,
в
U ( x, y, z )  xy  yz  2 xz  2 x  12 ln z .
3 семестр
При проведении промежуточной аттестации студенту необходимо
ответить на один теоретический вопрос, решить два дифференциальных
уравнения, выполнить три задания по теме «Числовые и функциональные
ряды».
Примерный перечень вопросов к экзамену
1. Понятие о дифференциальном уравнении. Задача Коши.
2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
3. Однородные дифференциальные уравнения.
4. Линейные дифференциальные уравнения. Метод вариации постоянных.
5. Уравнение Бернулли.
6. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами. Нахождение общего решения.
7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами и специальной правой частью. Поиск частного решения.
8. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
9. Числовые ряды. Основные понятия.
10. Необходимое условие сходимости ряда.
11. Признаки сравнения знакопеременных рядов.
12. Предельный признак сходимости.
13. Признак Даламбера.
14. Интегральный признак сходимости.
15. Ряды с членами произвольного знака.
16. Абсолютная и условная сходимость.
17. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
18. Степенные ряды. Область сходимости.
19. Свойства степенных рядов.
20. Ряд Тейлора.
Задание 1. Тема «Дифференциальные уравнения»
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
y ' ctgx  y  2 ; y0  1 .
sin 2 y  xctgy  y '  1 .
dy
dy
yx  x y .
dx
dx
2
3x y
y'  3
 y 2 x 3  1sin x ; y0  1 .
x 1
 
2
yy ''  y ' .
y ''  5 y '  6 y  12 x  7e  x ; y0  y ' 0  0 .
y ''  y  e x .
1
y ''  y 
.
sin x
tgx  sin 2 ydx  cos2 x  ctgydy  0 ; y0  1 .
y
y '  1 .
x
'
xy  y  sin x .
y '  4 xy  2 xe  x
y ; y0  1 .
x y  a.
y ''  4 y  8 sin 2 x ; y0  y ' 0  0 .
y ''  6 y '  9 y  2 xe 3 x .
4
y ''  3 y 
.
5  e3 x
2 xy '  y ; y1  1 .
2
''
y
x
y e 
'
y
.
x
y
 1  x  0 ; y0  0 .
1  x2
2 y
2y
.
y' 

x
cos 2 x
y ''tgx  y '  1 .
y ''  4 y '  5 y  xe 2 x ; y0  1 , y ' 0  0 .
x
x
y ''  3 y '  sin  cos .
5
5
1
y ''  y  x
.
e 2
y' 
2 ydx  x  1dy  0 ; y1  1 .
y '  2 y  4x .
y 2  3x 2 dy  2xy  0 , y0  1.
25
26
27
28
2 y
2y

.
x
cos 2 x
y ''  4 y '  12 y  8 sin 2 x ; y0  y ' 0  0 .
y' 
29
30
y ''  y '  5 x  2e x .
Задание 2. Тема «Числовые и функциональные ряды»
1. .Исследовать числовой ряд на сходимость.

3n  2
2n
1) 
, 2) 
.
n 1 n  1!
n  0 5n  1

2. .Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.
1
3
1
5
1
7
1-    ...
3. Найти область сходимости степенного ряда.

1) 
n 1
 1n  x n , 2) 
5n  n n
xn
.

n  0 ( n  1)!
4. .Разложить функцию f(x;y)=
1
в ряд Маклорена и найти область
( x  1)  ( x  2)
сходимости.
5. .Исследовать числовой ряд на сходимость.
n2
 2n  1 
2 3 4 5
1)     ... , 2)  
 .
1 4 9 16
n 1 2n 
6. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.

 1n  n 2
n 1
2n

7. Найти область сходимости степенного ряда.

n! x n
x n  3n
, 2)  n .
n0
n0
n 1
3

1) 
3 x
 в ряд Маклорена и найти область
 1 x 
8. Разложить функцию f(x)= ln 
сходимости.
9. Исследовать числовой ряд на сходимость.

n
n 1
7
3
1) 
n 1
, 2) 1 
4
9
16


 ... .
2 3 35 4  7
10. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.

 (1)
n
n 1
2n  1
n!
11. Найти область сходимости степенного ряда.
n

n 1
n 0
1)  3  x , 2)  (n  1)!x n .
n
n 1
12. Разложить функцию f(x;y)=
1
в ряд Маклорена и найти область
x 2  6x  5
сходимости.
13. Исследовать числовой ряд на сходимость.
n2
 3n  1 
 .
1)  1 , 2)  
n 1 n 2  1
n 1  3 n 

14. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.
2
4
8
16



 ... .
1 1 2 1 2  3 1 2  3  4
15. Найти область сходимости степенного ряда.

xn
( x) n  2n
, 2) 
.
n0
n 1
n 1 ( n  1)!

1) 
3 x
 в ряд Маклорена и найти область
1 x 
16. Разложить функцию f(x)=ln 
сходимости.
17. Исследовать числовой ряд на сходимость.
1)  5n  1 2 , 2)
n 1
n  2n
1
1
1
 2
 3
 ... .
5  2! 5  3! 5  4!
18. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.

 1n  4n
n 1
3n  2

19. Найти область сходимости степенного ряда.

 x n , 2) 
1)  n
n 1
2
xn
 n.
n 0 n
n
20. Разложить функцию f(x)=ln(x2-3x+2) в ряд Маклорена и найти область
сходимости.
21. Исследовать числовой ряд на сходимость.
n3
  n2  5 
n 1
1)  n , 2)   2  .
n 1 n  4 
n 1 3  n!

22. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.
1
1
1
1



 ...
1 2
24
36
48
23. Найти область сходимости степенного ряда.

x  1n
n0
2n  n2  1
1) 


xn
.
n
n  0 5  n!

, 2) 
2
в ряд Маклорена и найти область
x  4x  3
24. Разложить функцию f(x)= 2
сходимости.