ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ
«БАРАБИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ»
Цикловая методическая комиссия общих гуманитарных,
социально-экономических дисциплин
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ВНЕАУДИТОРНОЙ РАБОТЫ
СТУДЕНТА
Дисциплина: Математика: алгебра и начала математического анализа;
геометрия
Раздел 3 «Алгебра и начала анализа»
Тема 3.12 «Решение логарифмических уравнений»
для специальности 34.02.01 Сестринское дело
по программе базовой подготовки
курс 1
Барабинск, 2016 г
Рассмотрена на заседании
ЦМК ОГСЭД
Протокол № ___________
От ____________ 2016 г.
Председатель ЦМК
______________________
(Ф. И. О.)
______________________
(подпись)
Разработчик:
Преподаватель 1 квалификационной категории Вашурина Т. В.
2
Содержание
Методический лист
4
Формирование требований ФГОС при изучении темы
4
Актуальность изучения математики
5
Блок информации по теме
6
Приложение №1
12
Приложение №2
12
Приложение №3
12
Домашнее задание
13
Список использованных источников
13
3
Методический лист
Тема 3.12 «Решение логарифмических уравнений»
Образовательные цели: формировать умения решать логарифмические
уравнения. Способствовать формированию умения организовывать
собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения
упражнений при решении логарифмических уравнений.
Воспитательные цели: развивать коммуникативные способности; создавать
условия для развития скорости восприятия и переработки информации,
культуры речи; формировать умение работать в коллективе и команде.
Развивающие цели: способствовать выработке навыков выполнения
упражнений.
Формирование требований ФГОС при изучении темы
«Решение логарифмических уравнений»
Результаты обучения:
владение стандартными приемами решения логарифмических
уравнений;
сформированность представлений об основных понятиях, идеях и
методах математического анализа.
Изучение темы 3.12 способствует формированию у обучающихся
следующих общих компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы
и способы выполнения задач, оценивать их выполнение и качество.
ОК 6. Работать в коллективе и команде.
4
Актуальность изучения математики
В требованиях к результатам освоения основной профессиональной
программы ФГОС СПО по специальности «Сестринское дело» сказано, что
медицинская сестра должна обладать профессиональными компетенциями,
включающими в себя способность самостоятельно оценивать состояние и
потребности пациента, вести правильное наблюдение за ним и принимать
обоснованные ответственные решения – ведь от его профессиональной
компетентности зависит здоровье и жизнь пациента.
Основная
профессиональная
образовательная
программа
предусматривает изучение математического и общего естественнонаучного
циклов.Значимость математических методов в профессиональной подготовке
среднего медицинского персонала очень велика. Наряду с безусловной
важностью изучения клинических дисциплин необходимо изучение и
прочное усвоение математики. Будущей медицинской сестре необходимо
знать метрическую систему единиц для правильного расчета количества
таблеток и капсул, объема лекарственного средства для различного вида
инъекций, уметь вычислять дозы при парентеральном введении
лекарственных средств, скорость внутривенного введения лекарственных
средств, а также распознавать ошибки в назначениях врача. Вычислительные
ошибки при разведении лекарственных препаратов, которые вводятся
больному, могут привести к трагическим последствиям.
В подготовке медицинских сестер выдвигают в качестве основного
принципа обучения реализацию межпредметных связей специальных и
общепрофессиональных дисциплин. Межпредметные связи по составу
показывают, что используется, трансформируется из других дисциплин при
изучении конкретной темы. При правильном действии межпредметные связи
не только способствуют систематизации учебного процесса и повышению
прочности усвоения знаний, но и вызывают усиление познавательного
интереса к обучению. В результате знания становятся конкретными и
обобщенными, что дает студентам возможность применять их на практике.
5
Блок информации
«Решение логарифмических уравнений»
Определение: Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и)
в его основании, называется логарифмическим уравнением.
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида
loga x = b.
(1)
Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом
действительном b имеет единственное решение x = ab.
Пример 1. Решить уравнения:
a) log2 x = 3,
b) log3 x = -1,
c)
Решение. Используя утверждение 1, получим
a) x = 23 или x = 8;
b) x = 3-1 или x = 1/3;
или x = 1.
c)
Утверждение 2. Уравнение loga f(x) = loga g(x) (a > 0, a ≠ 1) равносильно одной
из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается
проще)
f(x) = g(x),
f(x) = g(x),
f(x) > 0,
g(x) > 0.
Утверждение 3. Уравнение logh(x) f(x) = logh(x) g(x) равносильно одной из систем
f(x) = g(x),
f(x) = g(x),
h(x) > 0,
h(x) > 0,
h(x) ≠ 1,
h(x) ≠ 1,
f(x) > 0,
g(x) > 0.
Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто
используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений
6
(ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения
или могут быть потеряны решения. Например, уравнения
f(x) = g(x) и loga f(x) = loga g(x)
или
loga [f(x)·g(x)] = b и loga f(x) + loga g(x) = b
вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).
Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать
равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных
решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и
преобразования, которые могут привести к потере корней.
Приведем основные способы решения логарифмических уравнений.
I. Использование определения логарифма
Пример 2. Решить уравнения
a) log2(5 + 3log2(x - 3)) = 3,
c) log(x - 2)9 = 2,
d) log2x + 1(2x2 - 8x + 15) = 2.
b)
Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1)
называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Таким
образом, logab = c b = ac и, следовательно,
5 + 3log2(x - 3) = 23
или
3log2(x - 3) = 8 - 5,
log2(x - 3) = 1.
Опять используя определение, получим
x - 3 = 21,
x = 5.
Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого
уравнения:
log2(5 + 3log2(5 - 3)) = log2(5 + 3log22) = log2(5 + 3) = log28 = 3.
7
Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного
уравнения.
b) Аналогично примеру a), получим уравнение
откуда следует линейное уравнение x - 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем
проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.
c) Аналогично примеру a), получим уравнение
(x - 2)2 = 9.
Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x2 - 4x - 5 = 0 с решениями
x1 = -1 иx2 = 5. После проверки остается лишь x = 5.
d) Используя определение логарифма, получим уравнение
(2x2 - 8x + 15) = (2x + 1)2
или, после элементарных преобразований,
x2 + 6x-7 = 0,
откуда x1 = -7 и x2 = 1. После проверки остается x = 1.
II. Использование свойств логарифма
Пример 3. Решить уравнения
a) log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24),
b) log4(x2 - 4x + 1) - log4(x2 - 6x + 5) = -1/2
Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x (0;+) которое определяется из
системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)
x > 0,
x+3 > 0,
x+24 > 0.
Используя свойство P2 и утверждение 1, получим
8
log3x(x + 3) = log3(x + 24),
log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24)
x > 0,
x1 = -6,
2
x(x + 3) = x + 24,
x + 2x - 24 = 0,
x > 0,
x2 = 4, x = 4.
x > 0,
x > 0,
b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения
откуда, используя определение логарифма, получим
или
x2 - 4x + 1 = 1/2(x2 - 6x + 5),
откуда получаем уравнение
x2 - 2x - 3 = 0
с решениями x1 = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.
III. Метод подстановки
В некоторых случаях логарифмическое уравнение можно свести к
алгебраическому уравнению относительно новой переменной. Например,
уравнение F (logax) = 0, где F(x) - алгебраическая рациональная функция,
посредством подстановки logax = t сводится к алгебраическому уравнению
относительно t, R(t) = 0.
Пример 4. Решить уравнения
a) lg2x - 3lgx + 2 = 0,
b)
,
9
Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x (0;+). Обозначив lgx = t (тогда
lg2x = (lg x)2 = t2), получим квадратное уравнение
t2 - 3t + 2 = 0,
решения которого t1 = 1 и t2 = 2. Следовательно,
lg x = 1,
lg x = 2,
откуда x1 = 10 и x2 = 100. Оба корня входят в ОДЗ.
b) ОДЗ уравнения - множество (1;+).
Поскольку
подстановкой t = log2(x - 1) получим квадратное уравнение
4t2 - 3t - 1 = 0
решениями которого являются t1 = -1/4 и t2 = 1. Таким образом,
log2(x - 1) = -1/4,
log2(x - 1) = 1,
IV. Уравнения, содержащие выражения вида
Пример 5. Решить уравнения
Решение. a) ОДЗ уравнения определяется из системы
x + 2 > 0,
x + 2 ≠ 1.
Получим множество x (-2;-1)(-1;+). В ОДЗ обе части уравнения положительны,
поэтому, логарифмируя обе части уравнения (например, по основанию 2), получим
равносильное уравнение
10
или, используя свойства P4 и P2,
log2(x + 2)·log2(x + 2) = log24 + log2(x + 2).
Обозначив log2(x + 2) = t, получим квадратное уравнение
t2 - t - 2 = 0
решениями которого являются t1 = -1 и t2 = 2. Следовательно,
log2(x + 2) = -1,
log2(x + 2) = 2,
откуда
x + 2 = 1/2,
x+2=4
или
x1 = -3/2,
x2 = 2.
Оба корня входят в ОДЗ.
b) ОДЗ уравнения - множество (0;1)(1;+). Поскольку (см. свойство P5 и
формулу (2))
уравнение примет вид
или
Логарифмируя обе части уравнения по основанию 2, получим
или log2x = 1, откуда x = 2.
11
Приложение №1
Подготовьте ответы на вопросы по предыдущей теме:
«Логарифмы и их свойства. Логарифмическая функция»
1. Дайте определение логарифма числа b по основанию а.
2. Запишите основное логарифмическое тождество.
3. Сформулируйте все известные вам свойства логарифмов.
4. Запишите формулу перехода к новому основанию.
5. Дайте определение десятичного логарифма.
6. Дайте определение натурального логарифма.
7. Сформулируйте определение логарифмической функции.
8. Перечислите основные свойства логарифмической функции.
Приложение №2
Выполните задания для первичного закрепления материала
стр. 244 № 512, 513 (а, б), 514 (в, г), 515, 518, 519 (а, б)
Приложение №3
Задания для самостоятельной работы (итоговый контроль)
Решить уравнения:
a) log3(5х – 1) = 2.
б) log2(х – 5) + log2(х + 2) = 3.
в) log2х – 2 logх2 = –1
Критерии оценки: «5» баллов – 3 верно выполненных задания
«4» балла –2 верно выполненных задания
«3» балла – 1 верно выполненное задание
12
Домашнее задание
Цель: Определить объем информации для самостоятельной работы, обратить
внимание на значимые моменты.
Учебник Алгебра и начала математического анализа под ред. А. Н.
Колмогорова, 10-11 классы: с.242-244, с.244 упр. 513 (в, г), 514 (а, б).
Работа с электронным приложением к учебнику «Алгебра 10-11», работа с
конспектом лекции.
Список использованных источников
Основные источники:
1.Алгебра и начала анализа. 10-11 классы [Текст]: учебник для
общеобразовательных учреждений с приложением на электронном носителе:
/[А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.].под ред. А. Н.
Колмагорова.-20-е изд. - М. : Просвещение, 2011. – 384 с.
2. Портал ЯКласс /Задачи и тесты по теме «Логарифмические уравнения»
[Электронный ресурс] // Режим доступа:
http://www.yaklass.ru/materiali?mode=lsntheme&themeid=11
3. Социальная сеть работников образования/ Урок по теме «Логарифмические
уравнения» [Электронный ресурс] // Режим доступа: http://www.nado5.ru/ebook/logarifmy-i-ikh-svoistva
13
