Частные производные и полный дифференциал: Практика

Функції кількох змінних.
165
Практичне заняття № 5.2
ЧАСТИННІ ПОХІДНІ ТА ПОВНИЙ ДИФЕРЕНЦІАЛ
ФУНКЦІЇ
1. Частинні похідні і повний диференціал функції двох змінних.
2. Частинні похідні і диференціали вищих порядків.
1. Частинні похідні і повний диференціал функції двох змінних.
Частинною похідною по x від функції z  f ( x, y) називається скінчена границя
f ( x  x, y)  f ( x, y) z
lim

 f x' ( x, y ) .
x
x
x 0
Частинною похідною по y від функції z  f ( x, y) називається скінчена границя
f ( x, y  y)  f ( x, y ) z

 f y' ( x, y ) .
y  0
y
y
lim
Зауваження: 1) Частинна похідна по x від функції z  f ( x, y) знаходиться як
звичайна прохідна по x, при припущенні, що y є сталою.
2) Частинна похідна по y від функції z  f ( x, y) знаходиться як
звичайна прохідна по y, при припущенні, що х є сталою.
Повним диференціалом dz функції називається головна лінійна частина
приросту функції, яка обчислюється за формулою
z
z
dz  dx 
dy .
x
y
Для функції трьох аргументів u  f ( x, y, z )
u
u
u
du 
dx 
dy 
dz .
x
y
z
Задача 1. Знайти частинні похідні та повний диференціал функції
2
2
z  ex  y .
Розв’язання:
2 2
2 2
z
 e x  y ( x 2  y 2 ) 'x  2 xe x  y ;
x
2
2
2
2 2
2 2
z
 e x  y ( x 2  y 2 ) 'y  2 ye x  y ;
y
2
dz  2 xe x  y dx  2 ye x  y dy .
Відповідь:
2 2
2 2
2 2
2 2
z
z
 2 ye x  y , dz  2 xe x  y dx  2 ye x  y dy .
 2 xe x  y ,
y
x
Розділ 5.
166
Задача 2. Показати, що функція
x2
y
 y
x
z  y sin  
x
z
z
 xy
 yz .
x
y
задовольняє рівняння
Розв’язання: Знаходимо частинні похідні перших порядків:
'
y
y
y
y
'
 y 
y
y
y
y y 
z  x 

x
x
x
 sin  y cos  
,
 y
sin  y  sin   y ln y 

2
2
x 
x
x
x
x


 x 
 x 

'
y
y
y
y
'  y
1 
y
y
y
y
y 1
z  x 
1


 y
sin  y x  sin    y x ln y  y x  sin  y x cos  .


y 
x
x  
x x
x
x x



Підставимо знайдені вирази в ліву частину нашого рівняння і
отримаємо:
x
2
y
y
 y x ln y  y  sin
x
x2
x
2
y
y
 y x cos  y
x
x2
y
y
x
xy  y cos
y
y
xy  y x ln y  sin
y
y
xy  y x sin
x
x

x
x
y
x  y  y x sin y  y  z .

x
x
Отримали тотожність yz  yz . Отже, функція z задовольняє дане
рівняння.
Задача 3. Знайти частинні похідні та повний диференціал функцій:
x y
;
x y
1) z  x 2 y  x  y  5 ;
2) z  x 3  y 3  3xy ;
4) z  3 x 2  y 3 ;
5) z  ln ;
6) z  ln x  x 2  y 2  ;
8) z  x y ;
9) z  ln arctg ;
7) z 
3 x2  y2
x y
;
x
y
10) z  ln(e y cos x  e  y sin x) ;
12) u  x
yz
;
13)
3) z 


y
x
11) u  x 2 yz  xy 2 z  xyz 2 ;
y
u  xz ;
14) u  ln tgxyz .
Відповідь: 1) z x  2 xy  1, z y  x 2  1. 2) z x  3x2  3 y, z y  3 y 2  3x .
Функції кількох змінних.
3) z  
x
2y
( x  y )2
,
z 
y
2x
( x  y)2
. 4) z  
6) z x 
5) z x   , z y    .
1
x
167
1
y
2
2x
x
33 ( x 2  y 3 ) 2
1
, z y 
x y
2
y2
, z y 
33 ( x 2  y 3 ) 2
y
2
2
2
x y x x y
2
.
.
y 2  4 xy  3x 2

z x   yx y 1 ,
.
8)
zy 
,
x
6( x  y )( x 2  y 2 )
6( x  y )( x 2  y 2 )
x
y
z y  
9) z x  
.
z y   x y ln x .
,
x
2
2
x
2
2
( x  y )arctg
( x  y )arctg
y
y
7) z  
x 2  4 xy  3 y
cos x  e2 y sin x
10) z x  2 y
e
cos x  sin x
z y 
,
e2 y cos x  sin x
e
2y
cos x  sin x
.
11) u x  2 xyz  y 2 z  yz 2 ,
z 1
z 1
u y  x 2 z  2 xyz  xyz 2 , u z  x 2 y  xy 2  2 xyz . 12) u x  y z x y , u x  y z x y ,
y
y
y z 1
1


z y
, u y  x z ln x ,
uZ  y x ln x ln y . 13) u x  x
z
z
z
14) u x 
uZ   
y
z2
2 yz
2 xz
2 yx
, u y 
, u z 
.
sin 2 xyz
sin 2 xyz
sin 2 xyz
Задача 4. Показати, що виконуються наступні тотожності:
z
2
1) xz 'x  yz 'y  , якщо z  x sin
2)
y
x
x '
1 '
zx 
z y  2 z , якщо z  x y .
y
ln x
x3
x2 x 1 1
y

   .
3) x
, якщо z 
x
y
y
2y 2 x y
2 z
2 z
l


.
g
 0 , якщо   
g
l
g
x y tx
u u u u
5)
.



 0 , якщо u 

x y z t
z t y  z
4) l
y
x z ln x .
Розділ 5.
168
x

Задача 5. Обчислити визначник
y

x

якщо:
y

 x   cos 
1) 
;
y


sin


 x   2 cos 
2) 
.
2
 y   sin 
Відповідь: 1)  ;
2) 2  3 .
Задача 6. Наближено обчислити sin 2 1,55  8e0,015 .
Розв’язання: Введемо в розгляд функцію z  sin 2 x  8e y . Приймемо,
що x 0 

2
 1,571, тоді x  1,55  1,571  0,021,
y0  0 ,
тоді
y  0,015 .
Застосуємо формулу f ( x  x, y  y)  f ( x0 , y 0 )  df ( x0 , y 0 ) 
 f ( x0 , y 0 ) 
f ( x 0 , y 0 )
f ( x 0 , y 0 )
x 
y .
x
y

Отже: z 0  z ( x0 , y 0 )  z 0  sin 2    8e 0  1  8  9  3 .
Знаходимо: z  dz 
2
sin 2 xx  8e y y
z
z
8  0,015
x 
y 

 0,02 .
x
y
6
2 sin 2 x  8e y
Отже, sin 2 1,55  8e0,015  z0  z  3  0,02  3,02 .
Відповідь: 3,02.
 1,02 
.
 0,95 
Задача 7. Наближено обчислити arctg 
Розв’язання:
x
y
Введемо в розгляд функцію z  arctg .
Приймемо, що x 0  1 , тоді
x  1,02  1  0,02 ,
якщо y0  1, тоді y  0,95  1  0,05 .
Застосуємо формулу f ( x  x, y  y)  f ( x0 , y 0 )  df ( x0 , y 0 ) 
Функції кількох змінних.
169
f ( x 0 , y 0 )
f ( x 0 , y 0 )
x 
y .
x
y
1 
Отже z 0  z ( x 0 , y 0 )  arctg   0,785 ,
1 4
yx
xy
xy  yx 1  0,02  1  0,05
z
z
z  dz  x  y   2



 0,035
x
y
2
x  y2 x2  y2
x2  y2
 f ( x0 , y 0 ) 
 1,02 
  z0  z  0,785  0,035  0,82 .
 0,95 
Тоді, arctg 
Відповідь: 0,82.
Задача 8. Наближено обчислити вирази:
1) 1,02 4,05 ; 2) 1,02 3  1,97 3 ; 3) 5e0,02  2,032 ;
Відповідь: 1)  0,18 ; 2) ≈2,95; 3) ≈3,037;
4) ln 3 1,03  4 0,98  1.
4) ≈0,005.
2. Частинні похідні і диференціали вищих порядків.
Частинними похідними другого порядку від функції z  f ( x, y) називаються
частинні похідні від її частинних похідних першого порядку і позначаються:
  z   2 z
''
  
 f yy
( x, y ) .
y  y  y 2
  z   2 z
''
   2  f xx ( x, y ) ;
x  x  x
Мішані частинні похідні другого порядку:
  z   2 z
''
 f xy
( x, y ) ;
 
y  x  yx
Диференціалом
другого
порядку
  z   2 z
''
  
 f yx
( x, y ) .
x  y  xy
від
функції
z  f ( x, y)
називається
диференціал від її повного диференціала, т.б. d 2 z  d (dz )
2z
2z 2 .
d z
dx  2
dxdy 
dy
xy
x 2
y 2
2
2z
2
Аналогічно до частинних похідних та диференціала другого порядку
визначаються частинні похідні та диференціал вищого порядку.
   2 z 
3 z
'''

 f xxy
( x, y ) і т.д.
2
2


y  x  x y
   2 z   3 z
'''

 f xxx
( x, y ) ;
2
3


x  x  x
3
d z
3 z
x3
3 z
3
dx  3
n
x 2y
Має місце формула d z  d (d
n 1
2
dx dy  3
3 z
x 2 y
2
dxd y 
n
z) ,

 
d z   dx  dy  z
y 
 x
n
3 z
y 3
dy3 .
Розділ 5.
170
3 z
3 z
Задача 9. Знайти
для функції z  y 3 ln x .
2
2 і
x y
xy
Розв’язання:
2z 6y


xy x 2
z 3 y 2

x
x
z 3 y 2

x
x

Відповідь:
3 z
2 z
3y2
x
x2
xy

2

2


6
3 z
x
x y
,
3
2
3 z
xy

2
3 z
x3

x 2y

6
6y
x2
.
6y
x2
.
.
Задача 10. Знайти повний диференціал другого порядку d 2 u функції
u  e xy .
Розв’язання: Використаємо формулу:
 2u
 2u 2
d u
dx  2
dxdy 
dy .
xy
x 2
y 2
2
 2u
2
u
u
 ye xy ,
Знайдемо:
 xe xy ,
y
x
 2u
 xye xy ,
xy
 2u
 y 2e xy ,
2
x
 2u
y
2
 x 2 e xy .
Отже, отримаємо: d 2u  y 2e xy dx2  2 xye xy dxdy  x 2e xy dy 2 .
Відповідь: d 2u  y 2e xy dx 2  2 xye xy dxdy  x 2e xy dy 2 .
Задача 11. Знайти повні диференціали другого порядку функцій:
1) z  x 4  3x 2 y 2  y 4 ; 2) z  arctg
4) z  ln x 2  y 2 ;
x y
;
1  xy
y
x
3) z  x ln ;
6) z  cos( x  y) .
5) z  xy ;
Відповідь: 1) d 2 z  (12 x 2  6 y 2 )dx 2  24 xydxdy  (12 y 2  6 x 2 )dy 2 ;
2) d 2 z  2

;

 (1  x 2 ) 2 (1  y 2 ) 2 


2
2
2
2
xdx2
ydy 2
3) d 2 z  
( ydx  xdy)2
xy
2
;
4) d 2 z  ( y  x )(dx  dy )  4 xydxdy ; 5) d 2 z  2dxdy ;
(x2  y 2 )2
6) d 2 z   cos( x  y )(dx  dy)2 .
Функції кількох змінних.
171
Задача 12. Знайти частинні похідні третього порядку функцій:
1) z  x 4  x3 y  x 2 y 2  xy3  y 4 ; 2) z  sin( x  cos y) ;
3) z  x 3 sin y  y 3 sin x ;
Відповідь:
3z

y 2 x
3z
y 2 x
1)
3z
xy 2
3z
x 3
x 2 y
3z
xy
2
3z
yx 2
3)
3 z
x
3
3z
x y
2
4)
3z
x
3
3z
 6 x  24 y ;
3 z
x 2 y

3z
yx 2
 6x  4 y ;
  cos( x  cos y ) ;
x3
  cos( x  cos y ) sin 2 y  sin( x  cos y ) cos y ;
 cos( x  cos y ) sin 3 y 
3
3z
y 3
2)
3z
y
3z
 24 x  6 y ;
 6 y  4x ;
4) z  x 2 y3 .
3
sin( x  cos y ) sin 2 y  cos( x  cos y ) sin y ;
2
 cos( x  cos y ) sin y ;
 cos( x  cos y ) sin 2 y  sin( x  cos y ) cos y ;
 cos( x  cos y ) sin y.
3z
 6 sin y  y cos x ;
3

3z
yx
  x 3 cos y  6 sin x ;
3 z
 6 x cos y  3 y sin x ;
2
2
 z
3
 0;
y
3
y 3
 6x ;
2
 z
3
x 2 y
 6y ;
y x
2
 z
3

 6y ;
3 z
xy
 3x 2 sin y  6 y cos x.
3z
2
yx 2
2
y 2 x
 12 xy ;
3z
xy 2
 12 xy .
Домашнє завдання
Задача 1. Знайти всі похідні першого порядку та повний диференціал
функцій:
y
1) z  ;
x
x2  y 2
2) z 
;
5
3) z 
1
x2  y2
;
4) z  (3x 2 y  4 xy 2  5)3 ;
Розділ 5.
172
5) z  ln
x y
x y
x y
; 6) z  arctg
; 7) z  acr sin
;
x y
1  xy
x y
8) z  xy ln( x  y) .
Задача 2. Показати, що виконуються наступні тотожності:
1)
 2u
2

 2u
2

 2u
2

1
3
, якщо u  x 2  y 2  z 2 .
x
y
z
u
 2 (ln u )  2 (ln u )  2 (ln u ) 1


 3 , якщо u  x 2  y 2  z 2 .
2)
2
2
2
x
y
z
u
Задача 3. Наближено обчислити:
1) 0,983,03 ;
2)
1,03 2
3 0,98 4 1,05
3) 1,041,99  ln 1,02 .
;
Задача 4. Знайти повні диференціали другого порядку функцій:
y
1) z  arctg ;
x
4) z  e xy ;
2) z 
y2
2
;
x
2x  3y
5) z 
;
x y
3) z  x 2  y 2 ;
6) z 
xy
2
x y
2
.