Физика плазмы: Практикум для студентов

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
"ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"
___________________________________________________________________________________________
ПРАКТИКУМ ПО ФИЗИКЕ ПЛАЗМЫ
Учебно-методическое пособие по дисциплине “Физика плазмы”.
Томск 2008
1
УДК 539.122.17+539.124.17+539.125.17
Практикум по курсу физики плазмы: Учебно-методическое пособие. Авторсост. канд. физ.-мат. наук ассистент А.В.Вуколов.-Томск: 2008 - 29.
Практикум содержит задач по курсу “Физика плазмы” и предназначен для
студентов специальности 140302 (072700) “Физика атомного ядра и частиц”.
Тематика включенных в практикум задач охватывает разделы: свойства
плазмы, движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях,
физические механизмы неустойчивости плазмы, диффузионные процессы,
уравнение вмороженности, спектральные методы измерения температуры
плазмы.
Рецензент: канд. техн. наук, доцент ФТФ ТПУ Ю.М.Степанов
Рассмотрено и рекомендовано к изданию методическим семинаром
кафедры Прикладной физики ФТФ.
Протокол №16 от 17 января 2008г.
Зав.каф.ПФ ФТФ
Проф., д-р физ. мат. наук ________________________А.П.Потылицын
Рассмотрено и рекомендовано к изданию методической комиссией ФТФ
Председатель методической комиссии _______________В.Д.Каратаев
Регистрация №____ от
2
“___” ___________ 2008 г.
Практика №1
Плазма понятия и свойства.
Радиус Дебая.
Плазма – ионизированный газ, линейные размеры которого много больше
радиуса Дебая.
Из уравнения Максвелла 2 (r )  4 (r ) получим, что

 - электростатический потенциал,
 - плотность заряда,
l2
~ 4 где
l – масштаб разделения зарядов.
Условие существования плазмы – потенциальная энергия должна быть равна
кинетической U  e ~ T .
U ~ l 2 4ene отсюда
n
n

T
где:
e l 4n
2 2
е - элементарный заряд,
n, n – концентрация и изменение концентрации частиц.
n
T
- безразмерная величина, значит 2 2
тоже безразмерная величина, тогда
e l 4n
n
1/ 2
 T 
некоторая константа, радиус Дебая – минимальное расстояние,
rD   2

 e 4n 
на которое нужно разделить заряды, чтобы утверждать, что вещество является
плазмой.
n
l  rD
 1
n
rD
 2 то
Если
при
n
l
n
~1
n
n
2
- количественный параметр разделения
l ~ rD
зарядов.
Плазменные колебания.
Предположим, что разделили заряды на расстояние порядка радиуса Дебая rD :
12
 T 
 ~  e 2
e  4ne 
rD
12
me
 1 
12

me - время жизни плазмы после отключения
12
2 
Te
 4ne 
12
энергии.
me – масса электрона,
e – скорость электрона,
n – концентрация частиц,
Te – кинетическая энергия электрона.
1
Тогда  p ~ 

4ne 2
- частота Ленгмюра или плазменная частота.
me
Если группу электронов в плазме сдвинуть из равновесного положения, то на
электрон будет действовать кулоновская сила. В момент, когда электроны
3
проходят положение равновесия, кинетическая энергия электронов равна
потенциальной энергии их начального смещения. Поэтому они будут
двигаться дальше, пока их кинетическая энергия не перейдет в
потенциальную. Частота такого простого гармонического движения равна ωр,
т.е. плазменной частоте. Этот вид движения называется плазменными
колебаниями.
Реакции синтеза
d  t  He 4  n  17,6МэВ;
0,5
a) d  d 
He3  n  3,2МэВ;
0,5
d  d 
t  p  4МэВ;
n - быстрый нейтрон;
d – дейтерий;
t – тритий.
Недостаток таких реакций – контакт быстрых нейтронов с окружающей
средой приводит к радиоактивному заражению.
Примерное содержание тяжелой воды d 2O в морской воде 1 : 6500 .
b)
Li 7  n  He 4  T  n~  2,47 МэВ;
 экологически чище, но получение Li 6 и Li 7
6
4
~
Li  n  He  T  4,8МэВ
технологически сложный и дорогостоящий процесс, к тому же малый выход
энергии 3 МэВ на один нейтрон.
n~ -медленный нейтрон.
c) D  He3  He4  p  15,5МэВ - наиболее выгодная реакция.
Задачи.
1.
Получить расчетные формулы для радиуса Дебая rД и плазменной
частоты  p
2.
Показать, что в плазме кулоновская энергия много меньше
кинетической.
3.
В разрядной трубке диаметром d=5мм и
Ø5мм He; P=10
длинной l=1м из кварцевого стекла
L=1м
находится гелий под давлением P=10-3
U
мм.рт.ст. Найти минимальное напряжение
приложенное
к
концам
трубки,
плазменную частоту и радиус Дебая, для полной ионизации газа. Показать
невозможность подобного рода машины.
4.
Какая энергия выделится при сгорании 1 г ядерного горючего в
следующих реакциях: а) dt; б) dd; в) Li6(d,)He4? Сравнить полученные
результаты с энергией, выделившейся при сгорании 1 г урана.
5.
Пусть плазма имеет вид плоскопараллельного слоя и под действием
некоторой причины произошло смещение всех электронов на некоторую
величину x относительно ионов в направлении, перпендикулярном к
-3
4
поверхности слоя. Найти с помощью этой модели частоту возникающих
электронных колебаний.
Практика №2
Скорости и энергии частиц в плазме (для одной степени свободы).
Средняя скорость частиц в плазме  x .
Максвелловское распределение частиц по скоростям f(υx):
 m 2
f  x   A exp 
 
 2T

m – масса частиц,
T – кинетическая энергия,
 - скорость частиц.
Коэффициент А находим из условия нормировки, тогда
распределение:
m
 m 2
exp
 .
2T
 2T

f  x  
Средняя скорость частиц:

 x    x f ( x )d x 
0
AxT
m T
.

m
2T m
Максимальная скорость частиц в плазме  max .
Определение экстремума квадрата скорости:
2
( x )  0 ;
 x

2

m 2
x
m
T
2  2T
;
   x f ( x )d x 

e
d x 
x

2T 0
2m
0
2
m 2
2T
m 2
2T
m 2
 m  2T
( e
)  2e

e
2  0 ;
2T
m
2T
2   3
 0 ; 2 
; отсюда максимальная скорость частиц в плазме
T
m
2T
T
 max 
; где “стандартное отклонение”  2  .
m
m
2


2
Распределение по энергиям f ( ) .
Если 4 2 df   - плотность вероятности того, что
частицы имеют распределение по энергии :
2
 4 d f     f  d  1 ;
1

m 2
2
2  d   2 mT
;  4
 f  ;

 e
m
m  d 
5
f   
Взяв
f
 

1 T
e
 8 .
m2
производную

по
1



2
T
8  1 T
1
 e
  e
2 
m  T
2

энергии
и
приравняв
ее
к
нулю

  0 определим среднюю энергию частиц в плазме


T
.
2
Практическая формула расчета максимальной скорости частиц в плазме:


max см сек 
1.
2.
3.
4.
2T
T
3 1010 2
c 2

me
me c 2
0,511 10 6
T эв   5,9 10 7 T .
Задачи.
Получить теоретические и расчетные формулы для определения
средней  и максимальной  max скоростей частиц в плазме.
Рассчитать  , max для температур T ~ 1  10 кэВ (трехмерный случай).
Получить теоретические и расчетные формулы для определения
средней  и максимальной  max энергий частиц в плазме (трехмерный
случай), для температур T ~ 1  10 кэВ (трехмерный случай).
Водородная плазма с концентрацией ядер n=1015см-3 находится при
температуре 10кэВ. Вычислить дебаевский радиус и число ядер в
пределах сферы с этим радиусом.
На сколько лет хватит запаса термоядерной энергии в отношении
реакции dd, если использовать 1% дейтерия, содержащегося в воде
океанов, объем которых порядка 1018м3, при уровне потребления 10Q
в год (1Q1018кДж)? Замечание: современный уровень потребления
энергии человечеством 0,1Q в год.
Практика №3
Транспортное сечение в плазме.
В случае поглощающего центра
сечение столкновений не зависит от
скорости частиц. Сечение столкновений
тогда определяется:
N st

 st  N ;
0

 N  N  2 .
0
 st
Nst – поток рассеянных частиц,
6
N0 – количество налетающих частиц,
 - прицельный параметр,
θ- угол рассеяния,
p , p|| , p - импульс и проекции импульса, соответственно,
F , F|| , F - сила и проекция силы, соответственно.
p 
- сила, действующая между зарядами, где t - время взаимодействия.
t
p  p  p cos - изменение импульса частицы.
F
Чтобы определить всю силу, действующую на поглощающий цент,

проинтегрируем F    N 0  p1  cos 2d .
0
Выясним, как зависит cosθ от прицельного параметра ρ. В случае малых углов
p  p sin   p .

p    F dt , из рисунка видно, F  F sin  , где F 
0
e2
r2
кулоновская сила, r –
расстояние между зарядами.

e2
Тогда sin   , F  3  , r   2   2t 2 .
r
r

p  
e 2 dt
 2   2t 2 3 / 2
 
1  cos  2 sin 2
Таким


p
e2 1
 ,
, т. о.     2
p

m 2 
2e 2
2
 
 2  для θ<<1.
2
2
образом
транспортное
сечение
определяется
по
формуле:
2


2


2e 2 1 
e 4
 

 tr     d   
d 
ln   max .
2 
2

 min
0
2

m 2
0
0  2m
 
2e 2 1
.
m 2 
 r 
  ln  D    min 
Максимальный и минимальный прицельные параметры:  max  rD ,  min 
В итоге транспортное сечение  tr 
 r 
ln  D  , где
2
  min 
m 2
e 4
 
кулоновский логарифм.
1.
2.
Задачи.
Получить теоретическую формулу расчета транспортного сечения  tr .
Получить инженерную формулу расчета транспортного сечения
 tr приняв кулоновский логарифм равным 15.
7
3.
4.
Вычислить сечение, соответствующее рассеянию электронов с
кинетической энергией Т=1кэВ на углы >900 при соударении с ионами
водородной плазмы.
Водородная плазма с концентрацией ядер n=1015см-3 находится при
температуре 1кэВ. Оценить минимальный угол мин, под которым
рассеиваются электроны с наиболее вероятной скоростью на ядрах, а
также значение кулоновского логарифма Ln(2 /  мин ) . Считая,
кулоновское поле ядер простирается до дебаевского радиуса и затем
резко обрывается.
Практика №4
Температура плазмы. Поле Драйсера.
Для частицы, находящейся в электрическом поле Е, запишем
приращение скорости Δυ и изменение энергии  за время τ ( m
d
 eE dt
уравнение движения):
e
e
E
E - приращение скорости для одной пары частиц,
m
m
m
   0   e 2   02 - энергия, передаваемая между частицам,
2
       - энергия, передаваемая ионам и электронам,
 E 


m, me, Мi – масса электрона и иона соответственно,
0 , E . – скорость частицы и приращение скорости,
е – элементарный заряд,
Т – кинетическая энергия частицы,
ei - частота столкновений электронов с ионами.
Тогда   




m
m
e2 E 2
2  0   E     E2  ,   
,
 E2 
2
2
2 mei 2
   e   i  , где
2me M e
- коэффициент передачи энергии.

2
 me  M e 
e2 E 2
 T . Полагая время взаимодействия малым
2m ei
2m eiT
следует вывод поля Драйсера Eдр 2 
.
e2
Считая ε<T, тогда
Eдр 
2m ei2 T
- поле Драйсера – граничное поле, в котором вносимая энергия
e2
E равна первоначальной энергии системы. Слабое поле в случае E<Eдр.
Сильное поле E>Eдр.
Температура плазмы
8
3
kT - средняя энергия одного атома идеального газа.
2
1
1
kT  kT  kT - энергия на две степени свободы.
2
2
 
k=1,3810-16эрг/град – постоянная Больцмана.
В плазме имеется несколько температур в отличие от идеального газа:
-температура ионов;
-температура электронов;
-температура нейтральных частиц.
U
- параметр идеальности, где T - кинетическая энергия.
T
U  e - потенциальная энергия кулоновского взаимодействия.
e
~
- потенциал точечного заряда, где r - среднее расстояние между
r
g
частицами.
n
N N
4

-концентрация частиц в единице объёма. V  r 3 - объем плазмы. N
V
x
3
– количество частиц.
e2
e2
U  e ~
 1 3  e 2 n1 3  T
r n
Полагая
для
плазмы
=>
n 2 3 en1 3

 1
n2 3 T
=>
e2n
1
3
2
 2 2 3 << 1, или rD n 2 3 >> 1 => rD n  1 .
23
Tn
rD n
Число частиц в сфере порядка радиуса Дебая rD должно быть много больше
4 3

rD n  1 .
3


единицы 
4 3
rD - объем сферы радиуса Дебая. Таким образом, температура T зависит от
3
параметра идеальности g, чем меньше g << 1, тем выше температура.
 эрг 
1,38 10 16
12


T
эВ

T гр   0,8625 10 4 T гр  или




kT  1,38 10 16 

T
гр

1
,
6

10
T
эВ
12

1
,
6

10
гр


справочная информация
Тепловая и кулоновская энергия плазм:
3
2
3
3
Тепловая энергия плазмы  T  kTe ne  kTi ni , где:
2
2
Te , Ti - температура электрона и иона соответственно;
Энергия идеального газа:  T  kTn .
ne , ni - концентрация иона и электрона соответственно.
K  
1 e2
n -кулоновская энергия единичного объема плазмы.
2 rD
9
Полная энергия плазмы:
3
2
   T   K  (neTe  niTi ) 
1.
2.
3.
4.
1 e2
n;
2 rD
Задачи.
Определить критическую энергию E k p , при которой сила торможения
Ftr в плазме меняет зависимость (начинает спадать).
Найти соотношение между E Др ei и E Др ii .
Найти температуру Т дейтериево-тритиевой плазмы с концентрацией
ядер n=1015см-3 (nd=nt), при которой выделяемая объемная плотность
мощности 1Вт/см3. Считать, что эта мощность выделяется в основном
за счет реакции dt.
Вычислить для дейтеривой плазмы с концентрацией ядер n=1015см-3 и
температур 110кэВ выделяемую объемную плотность мощности.
Практика №5.
Диффузионные процессы
Если в нейтральном газе создается градиент плотности, то может
возникнуть поток частиц, стремящийся уменьшить этот градиент - такой
процесс называется диффузией, причем в нейтральном газе этому процессу
препятствуют столкновения между частицами. В плазме столкновения иногда
могут способствовать диффузии.
Физические причины диффузии.
Если зададим распределение частиц по скорости как: f ( x )

то   x f ( x )d x   x .
0
Знаем, что f ( x )  Ae
 m 
A

 2T 
1/ 2

;  x   x e

m 2
2T

m
2T
0
, где
2
m
d 
2T

T
 T ;
2m 2 
T - средняя тепловая скорость,
m – масса частицы,
T – кинетическая энергия,
nx  x   n x - соотношение линейной концентрации частиц на интервале
xx+x.
10
n T


22 

Тогда
nx  x   T  - потоки частиц в точках x и x+x.
xx  
2
2  
x 
Знак минус из-за того, что частицы движутся навстречу друг другу.
  x  x  x  n
T
- поток направлен против градиента концентрации, что
2 
и является причиной диффузии.
Коэффициент диффузии.
Рассмотрим случайный процесс блуждания частиц вдоль оси x . xi - путь
N
частиц между столкновениями.  N   xi - путь частиц в одном направлении
i 1
при N   . В итоге путь частицы  N  0 , т.к. вероятность движения влево и
вправо равны.
Поэтому вводят меру движения частиц
x 2 

1
n tr
1 N
2
xi  2 .

N i i 1
- длина свободного пробега.
Тогда расстояние, которое пройдет частица  2  2 N где:
N~
t

- число столкновений,
 - среднее время между столкновениями,
t – время полной диффузии,
 tr - транспортное сечение,
n - концентрация.
2
 D - коэффициент диффузии.

Если известна вероятность того, что частица, находящаяся в точке x
перейдет в точку x за время t с вероятностью px  x; t  t , то
концентрация запишется:
nx, t  t    px  x; t  t dx; где t   ; t  t р - время полной диффузии ( t р полное время релаксации).
Если x  L полных размеров системы тогда концентрацию можно разложить
в ряды:
n
1  2n 2
t 
t  ... (по времени)
t
2 t 2
1 N
n
1  2n 2
nx  nx, t   x 

x

...

x

0

(по
размерам),
при
 x;
x
2 x 2
N 0
nt  n x, t  
11
x 2   x 2 pdx; приравняем nt  n x .
n 1  2 n x
В итоге

t 2 x 2 t
2

1  2 n 2
2n

D
; - уравнение диффузии.
2 x 2 
x 2
Задачи.
1. На оси х создано возмущение плотности n(x) в начальный момент времени
t = 0. Найти время ∆t, за которое размеры L0 станут равными Lt за счет
диффузии. Коэффициент диффузии D известен.
L0
Lt
Lt>>L0
2. В начальный момент времени t между двумя стенками создано нормальное
распределение n(x). Оценить время выравнивания плотностей, т.е. n = n0.
n
(
x
)
L
3. К установке для создания плазмы в
течении время τ = 10 нсек было
приложено
напряжение
U=1МВ.
Машина помещена в магнитное поле с
индукцией
В=1Мгс=100Тл.
Для
создания плазмы использовался газ водород при нормальных условиях,
расстояние между электродами ∆х=1
см. Вычислить время жизни плазмы ∆t
после отключения энергии.
12
1см
1 cм
Практика №6.
Уравнение вмороженности.
При проводимости вещества, стремящемуся к бесконечности,
магнитный поток через любой жидкий контур сохраняется, то есть силовые
линии магнитного
поля “текут” вместе с плазмой.



 
B
 rot   B - уравнение вмороженности.
t

B - магнитная индукция.

 - скорость частиц.
Вывод уравнения вмороженности.
В приближении идеальной плазмы проводимость стремится к
бесконечности, тогда любая малая напряженность приведет к возникновению


бесконечных токов, т.к. j   E . Но в реальной плазме этого нет, значит

напряженность электрического поля E  0 или запись в лабораторной системе
координат E  E    B   0 . Из уравнения Максвелла:


1  
c
 4   1   
rotB 
 E    B  , следует, что
c 
c









c
1
E
rotB    B , т.к. rotrotB  B  divB  B , то следовательно
c
 4


 
B
c2
 crotE  rot   B 
B .
t
4
2
c
D
- коэффициент диффузии магнитного поля,
4






 - проводимость вещества,
j  - плотность тока,
 
E , E - вектор напряженности электрического поля снаружи и внутри
плазмы,
с– скорость света.
В - индукция магнитного поля,
 - частота магнитного поля.
c2
- диффузия магнитного поля,
vL2
c2
При   2 - вмороженность магнитного поля.
vL
t
Отсюда следует L  c
- величина проникновения магнитного поля,
4
При  
где t – время диффузии магнитного поля.
Скин-эффект – глубина, на которую может проникнуть магнитное поле в
плазму за счет диффузии.
13
Электропропроводность
плазмы:
полностью
ионизированной
водородной
3
  4 105  Т 2 Ом 1  см 1
где Т – температура плазмы, кэВ.
Задачи.
1. Определить толщину водородной плазмы (пределы), на которую проникнет

магнитное
поле
от
бытовой
«микроволновки»,
H
Z
температура плазмы 1кэВ.
2. Плазма удерживается магнитным полем. Сжимаем
плазму поперек магнитных силовых линий. Определить,
как изменится магнитное поле в процессе сжатия.
3. Плазма удерживается магнитным полем, сжатие производим вдоль силовых
линий. Что будет происходить с напряженностью магнитного поля Нz?
Hz
4. Показать, что условие устойчивости цилиндрического плазменного шнура с
током I в отношении перетяжек при наличии «вмороженного» в плазму
продольного магнитного поля Вz имеет следующий вид: H I  2 Bz , где H I магнитное поле тока I. Считать, что ток I течет в тонком скин-слое. При каком
значении Bz не будет перетяжек плазменного шнура с током I  105 A и
радиусом r=1см? Примечание: Условие равновесия
H2
 p  0 , где p –
8
газокинетическое давление.
5. В результате резкого возрастания тока до величины I0=50кА
цилиндрический шнур полностью ионизированной водородной плазмы сжался
до равновесного радиуса r0=1см, причем ток в процессе нарастания протекал в
тонком скин-слое. Оценить время установления магнитного поля по сечению
шнура, число ядер в котором в единицу длины N=1016см-1.
6. Водородная плазма с концентрацией ядер n0=21010см-3, заполняющая
стеклянную трубку радиусом r0=2,5 см, находится во внешнем продольном
магнитном поле Hz0=4кЭ. При пропускании через эту плазму тока Iz=5105А,
протекающего в тонком скин-слое, плазма сжалась до радиуса r=0,5см,
14
увлекая за собой заключенное в ней магнитное поле Hz. Оценить время
«вмораживания» поля в плазме.
Практика №7
Равновесие и устойчивость плазмы в магнитном поле.
Равновесие – сумма всех сил действующих на плазму равна нулю.
Устойчивость - переход из состояния равновесия в состояние
термодинамического равновесия с уменьшением общей энергии.
А – не устойчивое состояние.
В – устойчивое состояние, потенциальная энергия
равна нулю.
Равновесие плазмы в магнитном поле H .
Стационарное уравнение движения магнитной гидродинамики:
d
1
равновесие,
 p   jH   0
dt
c

H2 
  0.
  p 
 

H - напряженность магнитного поля,

т.к.
p – давление,
с – скорость света,
j - плотность тока,

 - скорость частиц.
Условие равновесия – гидродинамическое
давление уравновешивается силой Лоренца.
Механические причины равновесия:
p - градиент концентрации. Под действием газокинетического давления
плазма расширяется.
p 
1
 jH  - условие равновесия.
c
Из условия равновесия следует pH    H  j H    jH 2  H Hj  , где j 1
c
1
c
поперечная плотность тока.
В итоге: j  
pH  c - ток в жгуте создаваемый магнитным полем.
H2
Ток j - создает магнитный момент  направленный против магнитного
поля. Получаем градиентный дрейф, удерживающий частицы от разлета.
15
Следствие первое
p  j; p  H ; j  H ; Распределение давления и концентрации в плазме вдоль
поверхности цилиндра одинаковы, значит, получаем в столбе цилиндрические
поверхности равного давления. То есть градиент давления p и плотности
тока j одинаковы на поверхностях равного давления.
Следствие 2
 
H 2 


Условие равновесия    p     0 .
8  
 
Из условия равновесия p 
H2
 const - в области вокруг столба, где нет
8
плазмы.
Характеристика отношений магнитного и газокинетического давлений:
p
~ 10 3  10  4 - обычная ловушка;
H 18
 ~ 10 2 - термоядерная плазма;

2
  1 - на границе плазмы.
Примеры равновесия плазмы.
Z- Pinch - цилиндрический столб плазмы, в вакууме
который удерживается электродинамическими силами,
создаваемыми током I z вдоль оси цилиндра плазмы.
Iz
H
H  - магнитное поле, возникающее из-за тока I z .


1
I z H  - сила сжатия столба плазмы Z- Pinch .
c
- pinch - цилиндрический столб плазмы, в вакууме который удерживается
электродинамическими силами, создаваемыми
магнитным полем Hz вдоль оси цилиндра плазмы.
1
F ~ I  H z  - сила сжатия столба плазмы - pinch .
c
Связь между температурой Т и продольным
током I для равновесного цилиндрического шнура
полностью ионизированной водородной плазмы:
F~
T
I2
,
4c 2 N
где N – число электронов на единицу длины шнура.
Задачи.
1. Стеклянная трубка радиусом r0 = 2,5 см заполнена дейтерием с
концентрацией n0 = 2·1014 молекул на см3 и помещена внутрь одновитковой
“катушки” длинной l = 10 см сделанной из плоской медной шины. После
предварительной ионизации дейтерия через виток разряжают батарею
16
конденсаторов. Магнитное поле витка с током сжимает образующийся
плазменный шнур до радиуса r = 0,5 см, причем сила тока через виток в этот
момент достигает I = 106 А. Оценить температуру плазмы, пренебрегая
магнитным полем внутри нее. Объяснить механизм сжатия плазмы в этом
случае.
2. Пусть газокинетическое давление p дейтериевой плазмы при температуре 10
кэВ уравновешивается магнитным давлением, соответствующим H = 50 кЭ.
Вычислить концентрацию дейтонов, давление p и объемную плотность
мощности, выделяемой в результате протекания термоядерных реакций dd.
3. Кольцевой плазменный водородный виток с
током I = 10 кА и концентрацией ядер n = 1015
см-3 образован в тороидальной кварцевой
камере с радиусом поперечного сечения а = 5
см и большим средним радиусом R = 50 см.
Пусть в начальный момент средний большой
радиус витка так же равен R. Оценить
промежуток времени, за который виток будет
выброшен на стенку камеры. Считать, что в
процессе расширения витка его малый радиус, равный r = 1 см, и ток I не
меняется, и газокинетическое давление плазменного витка уравновешивается
магнитным давлением тока I. Считать также, что ток течет по поверхности
витка, условия, при котором индуктивность витка L  4R(ln
4. Ток I0 протекает вдоль тонкого скинслоя цилиндрического плазменного шнура
радиусом r0. Найти магнитное давление,
т.е. силу Лоренца Fл, действующую на
единицу поверхности шнура.
8R
 2) .
r
H
I0
r
0
5. Оценить амплитуду смещения
электронов в процессе ленгмюровских колебаний в плазме с температурой
100эВ, удерживаемой магнитным полем 10кГс.
17
Ответы и решения.
Практика №1
1.
1
 T  2
T
 
rД  
2 
4

e
n
n



1
эВ


3
 см эВ см
1
T

4 e 2
n
m0C 2
e2
Т
 re 
 760
2
2
4 e m0C
m0C 2
n
1 
  см
см 2 
p  B n 
4 e 2 n
4 e 2 nC 2
e2


r

 n 4 re C 2 
e
me
meC 2
m0C 2
 5.6 10 4 n
 см см 2

с2


1
1 1
 2   Гц 
3
см
с
c

 p 5.627 4

10 n  10 4 n
2
2

2. Покажем что k  1 .
T
f 
[сек 1 ]
Кулоновская энергия  k 

e2
e2
тогда, k 
. Умножив и разделив на 4 n
2 rД
T
2 rД T
k
e 2 n 4
T
1
2
получим
.

 rД 
 3
2
T
2 rД T 4 n
4 n e
rД 8 n
Очевидно, что произведение rД n  1 следовательно
k
T
 1 , а значит  k  T .
3. Концентрация частиц в одном кубическом сантиметре газа при давлении
760 мм. Рт. Ст.
 шт 
n0  3.536 1016  3  .
 см 
Концентрация гелия в трубке:
nHe  n0 V P  n0
d 2
 шт 
l  P  6.94 1014  3  .
4
 см 
Напряжение на разрядном промежутке:
U  4 nHe Ze l  1.256 1011 В.
Плазменная частота  p  1.48 1012 Гц .
Длина волны, излучаемая из объема разрядной трубки:

2C
p
 424 .5 мкм .
Радиус Дебая: rД  10.23 см .
4.а) 3,4108 кДж; б) 0,9108 кДж; в) 2,7108 кДж для урана 0,8108кДж.
18
..
..
5. Из уравнения me x  eE  4ne2 x получим плазменную частоту.
Практика №2
1. По определению средняя скорость (для трех степеней свободы) есть
3

 m 2  3
1  m 2
    A Exp 
d , где A  
 .

2  2T 
 2T 
0
3

3
 m 2  3  2 1  m  2
 m 2  2
1  m 2
   

Exp

d




Exp



 2T 
 2T  d 

2
2

T
4
2

T








0
0
3
   2T
 m 2  2  1 2T  m  2
 0  
Exp 
 d   4 m  2T  
m
2
T




 0

3
 m 2 
1 2T  m  2 2T   2T
Exp



 2T 
4 m  2T  m  m


3
 1  m  2 T  2T  1



 
2  2T  m  m  2
0

 м
 с 
T
2m
Выделив константы получим формулу:
 м
 с  .
Для протонов с температурой 1кэВ:   19667 ,5 м
 
1
2
1
2
TС 2
С

2
mС
2
1
2
T
T
 1.9 10 7
E0
E0
с
Для протонов с температурой 100кэВ:   196675 м
с
Максимальную скорость получим исходя из равенства нулю первой
производной распределения частиц плазмы по скоростям:
 m 2 
f    A Exp 

 2T 

m
0
T
 2 

 2
 m 2  
 m 2 
 m 2 
2 m
 Exp 


2

Exp



Exp




 2  0

2T
 2T  
 2T 
 2T 

2   3



m 2
 0
T 
1  0;
 3, 4  
2T
m
Нулевое решение интереса не представляет, отрицательная скорость не имеет
физического смысла. Следовательно
max 
2T
T
 4.243 108
m
E0
м с .
Для протонов с температурой 1кэВ:  mxa  438061 м с .
Для протонов с температурой 100кэВ:  max  4380610 м с .
2. Средняя энергия  определяется выражением:
19
 
m 2 
2
Далее рассмотрим одномерный случай движения и под скоростью  будем
понимать проекцию скорости на ортогональную ось. Средний квадрат

 m 2 
 d . Этот интеграл
 2T 
скорости определяется выражением   2   2 А Exp 


возьмем по частям с использованием интеграла Пуассона  Exp b 2 d 


b
.
1

2
T
 m  2 2  m 
   
d 
   Exp 

m
 2T  
 2T 
m
m T T
Тогда средняя энергия     2    .
2
2 m 2
2
Соответственно для протонов с температурой T=1кэВ средняя энергия
  0.5 кэВ а, для протонов с температурой 100кэВ   50 кэВ .
Для трехмерного случая имеем:
3

 m 2 
1
 m 2 2
   

Exp

d 
 


2
 2T  
 2T 
2
Тогда средняя энергия для (трех степеней свободы) случая  
Скорость с энергией связаны выражением  
m
.
4
m 2
2
откуда  2  .
2
m
Функция плотности вероятности нормирована на 1 а, следовательно:
 4 d f     f  d  1
2
Из равенства подынтегральных выражений получаем
f    4
2  d 
1
 m2 
 
 8 2 Exp    .

 Exp 

m  d 
m
 2mT 
 T
Максимальную энергию определим из равенства нулю первой производной.

 1 
 8  1
f   
  Exp[ ]   Exp[ ]
0
m T
T
T 2  
1

 1

f     Exp[ ]   Exp[ ]
0
T
T
T 2 
Решив уравнение, относительно энергии  получим максимальную энергию
T
. Соответственно для протонов с температурой T=1кэВ максимальная
2
энергия  max  0.5 кэВ а, для протонов с температурой 100кэВ  max  50кэВ .
 max 
3. Ответ: 1,710-3см; 2107шт.
4. Ответ: 3106лет.
20
Практика №3



1.  tr   e2 2  Ln   max  
4
m  
  min  
Максимальный прицельный параметр выберем равным радиусу Дебая
0.5
 T 
 , минимальный прицельный параметр выберем исходя из
rД  
2 
4

n
e


равенства
T U 
кинетической
и
потенциальной
энергии
взаимодействия
2e
m
e
e

  min  rmin 

2
2
r
m max T
2
2
2

2

 
3
Ln  max   Ln 4 n rД  
  min 
В
приближении
больших
скоростей
кинетическую энергию, тогда  tr   
вместо
m 2 можем
использовать
4
e
.
T2
 
1
см 2
(T эв ) 2
3.   e4 / 4T 2  1,6 10 20 см2 .
2.  tr  8.968  10 13 
4.  мин  8ne3 3 / 2  (6 10 3 )'' ; 15,8
Практика №4
1.
Ftr  m U  ei 
m n  e2 4
 const  A
m
U
Ftr  A 3 ;


A 2
Ftr ( ) 

U 
U
Очевидно, что максимум функции силы трения (точка начала спада)
определяется равенством нулю первой ее производной.
1
U 

Ftr  A 2  Ln  

 
Очевидно, что равенство нулю произведения может обеспечить только
равенство нулю второго множителя:
U
U 
Ln    0   1

 
Из определения кинетической энергии получаем что скорость:

2T
eE

2  mTe .
а, U 
, тогда получим E Др 
m
m ei
e
21

2  mTe
e
2MM
2M 2 1
 ii 

 ;
( M  M ) 2 4M 2 2
2. E Др 
e4
 ii  n Л i
Ti
e4
 ei  n Л e
Te
2me M
2me
 ei 
 me  M 
2
M
(me  M )
Тогда:
E Др
E Др
ei
 ei
2  ei meTe
 e
ii
 ii

2  ii M Ti
e
 ei  ei Te
 ii  ii Ti
Пусть плазма является равновесной т.е. Te  Ti ,
тогда:
E Др
E Др
E Др  E Др
ei
ei
ii
2
Te
 1 и i 
Ti
2Ti
; e 
M
me
1
M
ii
2T m ei

 1;
m e Ekp
Ответ: Ekp 
2T m ei


 2T m  ei
m
e
e
3. Ответ: 3кэВ.
4. Ответ: 0,28 Вт/см3.
Практика №5.
1. Записываем уравнение диффузии
n
 2n
 De 2 .
t
x
Для простоты решения считаем возмущение концентрации и время
наблюдения малыми. Тогда запишем это уравнение в виде D
1
n
D 2.
t
x
2
( L  L0 ) 2
x
 t
Здесь x  Lt  L0 , тогда t 
[сек.].
D  n
D  n
Затем выражаем время ∆t:
( Lt  L0 ) 2
x 2

Ответ: t 
[сек.].
D  n
D  n
2. Записываем уравнение диффузии
n
 2n
 D 2 .
t
t
22
n 2 n

.
x 2 t
2Te
,
me
 ( x  x0 ) 2 
t  .



Записываем закон нормального распределения n(x)  n 0 exp 
Подставляем его в уравнение диффузии.
n0
( x  x0 ) 2

exp(
( x  x0 ) 2

2

x 2   2 x  2t 
t )   Dn0 exp( t )   t    .
      

Путем преобразований выражаем время t:
( x  x0 ) 2

2
 2 x  2 2t 
x2  2x  2 2
  D   t    ; 
  t  t.
D   

    

Ответ: t  2 x

2
2
4x
2
2


D [сек.]
3. Записываем уравнение диффузии. Для простоты решения, запишем это
n 2 n
x 2


t

.
Получаем
. Так как в данном случае:
x 2 t
D  n
 
магнитная индукция B E напряженности электрического поля, тогда можно
уравнение в виде D
считать имеет место диффузия Бома. Следовательно, можем использовать
1 T
. Также в данном случае Т=U=106 В (здесь Т –
16 eH
B
кинетическая энергия электронов). Известно B   0 H , тогда H  . Так как в
равенство De 
0
1 T
1 U
данном случае μ0 << U, то можно принять μ0=1. Тогда De 
.

16 eH 16 eB
- концентрация электронов.
n  3.54  1016 1
см3
Ответ: t  1.2 1022 сек
Практика №6.
1. Возьмем длину волны излучения равной 1мкм. Записываем формулу для
расчета величины проникновения магнитного поля в плазму:
lc
t
4
с
1
4
.
3
  4 105  Т 2 ом1  см 1
- электропроводность
плазмы, где Т – температура плазмы, кэВ.
Ответ: l  6,7см .
2. Решение:

H  [0,0, H z ] - напряженность магнитного поля.
полностью



d H
H
( )  ( ) , тогда
dt 

ионизированной
1 dH z H z 

 z  0 , т.к.
 dt


сжатие происходит поперек магнитных силовых линий  z  0 .
Уравнение вмороженности
23
Отсюда следует
Hz

 const , Нz ~ ρ, Нz2
~ ρ2. Таким образом, с ростом
плотности частиц, напряженность магнитного поля также увеличивается,
происходит сжатие плазмы.
3. Решение:
Преобразуем уравнение вмороженности согласно условию задачи:


1 d  z d  H  H  d   H d 
d
d  H z  H z H z
;   div   ; div  
;       


 
.
 dt
z dt      dt    2 dt 
dt
dt     z
Уравнение неразрывности
C 
 d  Hz 
d
d
d H 

   (ln  )  (ln H z  ln  )    ln z  .
H z dt   
dt
dt
dt   
 Hz 
d  C  d  Hz  C Hz
, С = Нz =const.

 , тогда
 ln    ln
,

dt    dt    
  
Здесь ln    ln 

Отсюда следует, что магнитное давление будет постоянным.
4. В месте перетяжки, где радиус шнура уменьшается на r, магнитное поле
возрастает на величину Bz  2Bz r / r , так как в следствии вмороженности
поля Bz его магнитный поток не изменится. Собственное магнитное поле H I
тока I также возрастает в этом месте на величину H I   H I r / r . При этом
газокинетическое давление не изменяется, так как плазма может свободно
вытекать в обе стороны из этой области. Для компенсации неустойчивости
 Bz2

 H I2 
необходимо, чтобы   p     , откуда H I  2 Bz ; Bz  2 I / cr  14кгс .
 8

 8 
5. Время диффузии магнитного поля на расстоянии l составляет величину
порядка l2/D, где D=c2/4 - коэффициент диффузии;  - коэффициент
электропроводности. t  r02 4 (T ) / c 2  10 3 сек, где T  I 02 / 4c 2 N  0,39кэВ .
6. 0,8мсек.
Практика №7
1. Решение:
Имеем следующий случай.
Работа поля (работа силы Лоренца, направленной к оси цилиндра),
создаваемого проводником с током направлена на сжатие газа внутри трубки.
По условию магнитное поле внутри плазмы равно нулю, следовательно,
давление внутри плазмы постоянно. Имеем так называемый скинированный
случай – граница плазмы резкая и на границе
p
H2
,
8
где Н – поле снаружи границы. После ионизации газа концентрации ni и ne
равны, а также равны соответствующие температуры.
H
2I
4I

;
crвитка
cl
24
где l – длина витка «катушки».
Газокинетическое давление p зависит от температуры плазмы и принимает
следующий вид.
p  2nT .
Так как концентрация – число частиц на единицу объема газа, следовательно, с
его сжатием величина n будет меняться и при максимальном сжатии газа в
плазменный шнур примет вид:
2
r 
n  2n0  0  ,
r
где r0 – радиус кожуха, r – радиус пинча, n0 – концентрация несжатого газа.
Т
I 2 r 2
2c 2l 2 n0 r0
2
;
Ответ: 20 кэВ
2. Решение:
Приравняем выражения для газокинетического давления
H2
 2nТ ;
8
Выразим концентрацию частиц:
n
H2
 3,11 1015 см 3
16Т
Рассчитаем давление:
p  2nТ  98,21атм
Рассмотрим следующие реакции:
dd  He 3  n  3,2МэВ
dd  t  p  4МэВ
Поскольку протекание этих реакций равновероятно
W  E dd 
n
 2,7 Вт / см 3
2
Ответы: концентрация дейтонов n  3.11 1015 см3 ; газокинетическое давление
p  98,21атм ; объемная плотность мощности W  2,7 Вт / см 3
3. Кольцевой плазменный водородный виток с током, подвергающийся
адиабатическому расширению, можно представить себе как обычный
замкнутый проводник с током. Из курса электротехники известно, что
проводник с током возбуждает вокруг себя магнитное поле. Зная правило
левого винта, можно определить направление силы Ампера. Из этого следует,
что проводники с параллельными сонаправленными векторами сил тока будут
притягиваться, с противоположным направлением – расталкиваться.
Следовательно, кольцевой проводник с током будет стремиться к расширению
по большому радиусу. При условии (сказано в задании) равенства
газокинетического давления и магнитного, иных сил, действующих на
25
проводник не имеется (пренебрегая действием гравитационных сил).
Запасенная энергия, расходуемая на расширение проводника с током будет
равняться:
U маг 
LI
8R
, где L  4R(ln  2) .
2
r
2c
Определим силу на единицу длины, с которой магнитное поле, возбуждаемое
плазменным витком, действует на его расширение:
4I 2  8R
 
ln
 2   1
2 
U маг
2c  r
 
f 

R
2R
Выражая силу f, получаем растягивающую силу
плазменного витка)
f  (ln
t 2
R
t 
Тогда из кинематики a 
2
(на единицу длинны
8R
I2
 1)( 2 )
r
c R
2a
; f  Rm . Здесь т – линейная масса, т.к.

R
растягивающую силу мы посчитали на единицу длины:
m   r2
где ρ – плотность плазмы.
Окончательное выражение для времени выброса плазменного витка на стенки
кожуха будет иметь вид:
t
2a
2r 2 a rc



f
I
R
2Ra
 0.7321 мкс
8R
ln( )  1
r
Ответ: 0.7321мкс
4. Запишем выражение силы Лоренца для элементарного участка
dPdS  df
где dР – магнитное давление, dS – площадь элементарной площадки.
Выражаем dP:
df 1
 jHdr
dS c
I
I
где j   2 - плотность тока. Но так как ток проходит в тонком скин слое,
S r0
dP 
то площадь можно заменит на длину окружности столба плазмы: S  L  2r ,
тогда j 
I
2r
(I- сила тока, S - площадь сечения проводника, через который течет ток, L –
длина окружности z-pinch),
Н – напряженность магнитного поля.
rotH 
4
j.
c
26
Вычислим rotH, с учетом направлений векторов напряженности магнитного
поля.
Hy
i
rotH  [H ]  H x

x
j
Hy

y
y
k
H x  H x .

z
x
Выражаем Нх
Hх 
4I
cr02
H
x
Подставляем его в выражение для давления магнитного поля. Получаем
2I 2 1
P 2 4 2 .
c r0 
1
dP  Hjdr
c
Находим выражение для магнитного давления интегрированием
 dP 
I2
  c 2 r0
Ответ: P 
I2
H2
.

  c 2 r0 8
5. Из условия равновесия известно
H2
 nkT . Частота Ленгмюра или
8
плазменные колебания появляются в случае смещения частиц относительно
друг друга на расстояния порядка радиуса Дебая.
Ответ: 510-4см.
27
Список литературы
1. И.Е.Иродов “Сборник задач по атомной и ядерной физике”, Москва
атомиздат 1971г.
2. Б.И.Казанов. “Интерфейсы измерительных систем.” М.: Энергия 1979г.
3. Л. А. Арцимович “Что каждый физик должен знать о плазме”, Москва,
Атомиздат 1976.
4. Д. А. Франк-Каменецкий “Лекции по физике плазмы”, Москва,
Атомиздат 1968.
5. Н. Кролл, А. Трайвелпис “Основы физики плазмы”, Москва,
издательство “Мир” 1975.
6. К. Д. Синельников, Б. Н. Руткевич “Лекции по физике плазмы”, Харьков,
издательство харьковского ордена трудового красного знамени
государственного университета им. А. М. Горького, 1964.
28
Содержание
1. Плазма понятия и свойства…………………………...……………………..3
2. Скорости частиц в плазме (одномерный случай)………………………….5
3. Транспортное сечение в плазме…………………………………………….6
4. Температура плазмы. Поле Драйсера………………………………………8
5. Диффузионные процессы……………………………………….................10
6. Уравнение вмороженности…………………………..….............................13
7. Равновесие и устойчивость плазмы в магнитном поле…………………..15
8. Ответы и решения………………………………………..………..............18
9. Список литературы……………………….……………...............................28
29